Konkretisering av matematiska begrepp i skolan

Karin KairavuoKonkretisering avmatematiska begrepp i skolanDen kinesiska författaren och nobelpristagaren ilitteratur, Gao Xingjian, använder en spännandemetod i sitt arbete. Han talar in sina blivandetexter på band för att kunna lyssna på deminnan han skriver ner dem. Det gör han för atttexten måste uppfattas av örat och inte enbartmed de verktyg vi använder när vi tänker.Många vetenskaper har sina egna tecken förnotation, sitt eget symbolspråk. De insatta kanenkelt ta del av symbolerna och förvandla demtill inre bilder.En musikaliskt bevandrad människa kanläsa noter och samtidigt höra musik inom sig.På samma sätt kan en matematiker läsa matematisktext och göra sig en bild av situationen isitt inre. För de allra flesta av våra elever behövsdet någon form av konkretisering för att matematiskabegrepp och regler skall bli begripligaoch kunna befästas i deras verklighet.Konkretisering är ett sätt att synliggöramatematiska idéer så att många, till sin läggningoch utrustning, olika personer kan tadel av dem. När man konkretiserar stimulerasflera sinnen samtidigt och upplevelsen berör pådjupet. Konkretisering sker oftast i sambandmed introduktionen av nya begrepp och regler.Karin KairavuoHelsingfors stads utbildningsverk, Finlandkarin.kairavuo@edu.hel.fiFör mig är konkretisering att med hjälp av konkretahjälpmedel vägleda eleven till förståelse avteoretiska begrepp. Metoderna och hjälpmedlenvid konkretisering kan variera. Själv uppleverjag mig konkretisera begrepp också när jaganvänder mitt språk till på olika sätt förklaranya begrepp och regler för eleven.För matematikens del kan man genom attkonkretisera få uppgifterna att stiga ut ur papperet.De svarta symbolerna på det vita papperetbehövs, men konkretiseringen ger liv åt uppgifternaoch hjälper eleverna att förstå teoretiskaresonemang. När man arbetar med konkretmaterial i matematikundervisningen blir uppgifternaöppna och ger möjlighet till differentiering.Vi konkretiserar för att hjälpa elever tillförståelse av teoretiska begrepp, väcka nya idéereller för att bekräfta det de redan vet.Vad fordras det av en elev för att hon skallkunna känna glädje och ha framgång i sinamatematikstudier? Som gymnasielärare frapperasjag ofta av att problemen i matematik på allastadier ser ganska likadana ut. Eleverna kännersig osäkra inför räkning med bråktal, hyfsningav enkla uttryck, räkning med kvadratrötter,skillnaden mellan uttryck och ekvation, införandetav variabel och parameter, enhetsomvandlingar.Alla lärare vet hur viktigt det är att eleventillägnar sig en god grund i matematikstudierna.En förutsättning för att studierna skalltangenten 1/2010 11

uppfattas som meningsfulla är att eleven medlärarens stöd får möjlighet till egen begreppsbildning.Läraren befäster sedan nya begrepp ielevens matematiska verklighet.För elever i åldern 6–12 år är det naturligtatt begrepp måste konkretiseras på olika sätt.Också för elever i de högre klasserna kan konkretiseringöka intresset och förståelsen förmatematiken.Förutom klara begrepp behöver eleverna engod taluppfattning för att studierna skall löpasmidigt. Då man löser matematiska problemgäller det ofta att kunna ana sig till lösningsmodeller;man bör kunna koppla ihop olikadelar av sitt kunnande på ett kreativt sätt. Ettsätt att beskriva den förmågan är att tala om enmatematisk intuition. För att kunna utveckla enmatematisk intuition är en god taluppfattningmycket värdefull.Talen skall gärna ha en skepnad och skiljasig från varandra för att eleverna skall kunnaexperimentera med dem och använda olika tankemodeller.Med små transparanta färgknapparskapar vi bilder av två udda tal och visar elegantatt summan av två udda tal alltid är jämn. Medhjälp av knapparna kan man lätt och vackertkonkretisera eller visualisera ett antal matematiskaregler som följer nedan. Uppgifternanedan är exempel på hur man med ett konkretmaterial, i detta fall de färggranna knapparna,kan konkretisera eller synliggöra matematiskaregler och sanningar. Elevernas abstraktionsförmågautvecklas i ”egen takt” vilket betyder attdet i ett och samma klassrum oftast finns elevermed väldigt olika förmåga till abstraktion. Medvarierande undervisningsmetoder och med stödav konkretisering kan man ge alla elever enchans till inlärning. Såväl hög- som lågpresterandeelever gynnas av att använda varierandekanaler för inlärning.Visualisera ett udda talmed hjälp av knapparnaBilden av ett jämnt tal upplever eleverna somnaturlig. Man kan dela knapparna rättvist12mellan två personer och två lika höga staplarkan bildas av knapparna. På matematikensexakta symbolspråk skriver vi 2·n där n ŒN, denaturliga talens mängd. Ett udda tal däremotgår inte att dela jämnt med två. Då vi arbetarabstrakt och endast använder symbolspråkbetecknar vi ett udda tal 2n – 1 eller 2n + 1 därn tillhör de hela talens mängd. Då vi konkretiserarudda tal använder vi oss av formen 2n + 1av naturliga skäl.Vi skriver då 2n + 1, där n är ett naturligt tal.Då man använder konkretisering som hjälpmedelär det lämpligt att jobba endast i talmängdenN.Nu kommer vi till den egentliga uppgiften.Vad gäller för svaret då man adderar två uddatal?Bevisa att summan av två udda tal alltid ärett jämnt tal.Om eleven har bekantat sig med udda talen ochderas ”konkreta” framställning är det enkelt attbevisa satsen ovan:(2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1)där (n + m + 1) utgör ett positivt heltal. Alltså ärsumman av två udda tal alltid ett jämnt tal.Beviset ovan är inte speciellt svårt för en elevatt lära sig om läraren visar bevisföringen med1/2010 tangenten

symboler. Om eleven har laborerat med talensegenskaper och visuella utseende är det sannoliktatt hon kan komma på beviset utan handledningav läraren.Konkretisera kvadreringsregeln(n + 1)² = n² + 2n + 1Visa att 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n²Summan av på varandra följande udda tal, börjandefrån 1, blir alltid ett kvadrattal.Att konstatera faktum genom att summeratalen kan vara en upplevelse i sig. Man kan dockkonstatera samma sak genom att forma udda talmed hjälp av färgknappar och sedan foga ihopen bild, där man börjar med den triviala ettanoch därefter omgärdar den ensamma knappenmed knappar, formade som bilder av talen 3,5, 7,…Resultatet är förbluffande i början, menmedan eleverna bygger den allt större kvadrateninser de att regeln är allmängiltig.En annan uppgift som kräver god taluppfattning:«Bevisa att (n 3 – n) är delbart med 6då n ≥ 2»Uppgiften förekom i studentexamensprovet imatematik hösten 2007 i Finland. Jag minns attjag gett samma uppgift till mina elever i förstagymnasieklass för ett antal år sedan. De klaradeav att hyfsa uttrycket till n(n – 1)(n + 1). Däreftervar det stopp. Eleverna hade svårigheter med attdra slutsatser av resultatet. De saknade erfarenhetenatt vart tredje tal är delbart med 3. Denupplevelsen kan man ge dem redan i tidig ålder.En talremsa rullas runt en Toblerone ask som påbilden och saken är klar.Eleverna konfronteras med kvadreringsregeln(kvadratsetning, red. anm.) i årskurs 8 och denupplevs som svår av många elever. Här hjälperdet med konkretisering. Eleverna märker självaatt den «dubbla produkten» motsvaras av degula knapparna på bilden. Förståelsen ökar ochden vägen blir regeln och begriplig. Man kananvända färgkoder och tala om de röda knapparnasom motsvarar n², de gula kommer från2n och till sist den ensamma blåa knappen somrepresenterar ettan.tangenten 1/2010 13

I exemplen ovan har vi utgått från ett konkretiseringsmaterial,i detta fall de små färggrannaoch transparenta knapparna, och samlatbegrepp samt regler som låter sig konkretiserasmed hjälp av dem. Nu vänder vi på steken ochundersöker hur kvadratrotsbegreppet görs synligtmed hjälp av olika konkretiseringsmaterial.Vi låter färgknapparna fungera som en brooch startar med dem.Eleverna får uppgiften:14«Rada knappar i formationer som är likabreda som de är höga. Vi kallar antaletknappar i formationerna för kvadrattal.»Läraren gör därefter en tabell med en kolumnför det totala antalet knappar i formationenoch en annan kolumn för antalet knappar påen sida.På så sätt får eleverna i ett tidigt skede enuppfattning om kvadratrotens uppgift. Det kanvara spännande att utforska vilka antal knapparsom låter sig formas till en kvadrat.Än så länge får eleverna nöja sig med att kvadratrotensvärde är ett heltal. En fundersam elevkan leva i tron att kvadratroten av 17 inte existerar.I heltalens värld är allt ännu enkelt. Nuutökar vi mängden av tal som konkretiseras. Vitar med också de irrationella talen.Då byter vi konkretiseringsmaterial frånknapparna till geobrädet. Om det inte finnsgeobräden i skolan kan man använda prickpapper.Uppgiften till eleverna lyder:Märk ut en kvadrat med arean 16 rutor pågeobrädet. Markera inne i den förra kvadratenen ny kvadrat, vars area är hälftenav den förra kvadratens area. Fortsätt påsamma sätt ytterligare två gånger. Gör därefteren tabell lik den förra. Ena kolumnenger kvadraternas area och den andra gerlängden av sidorna.Denna övning kan utvecklas och ger lärarenmöjlighet till individualisering. Efter att Pythagorassats är känd för eleverna kan man frittlaborera vidare och be eleverna visa kvadraterpå geobrädet med areorna 2, 5, 13, 17, …En följdfråga kan ju vara varför inte gåratt visa på geobrädet.Jag har fortsatt uppgiften med äldre eleverså att vi byggt rätblock med hjälp av små kubermed sidan 1cm. Längden av rymddiagonalen iden lilla kuben kan då få representera och1/2010 tangenten

kan visas med hjälp av ett rätblock meddimensionerna 1 cm, 2 cm, 3 cm.I ett tangrampussel vimlar det av kvadratrötter.Vi bestämmer att arean av den enda parallellogrammeni pusslet är 1. Därefter kan vibe elever från åk.8 framåt beräkna arean samtsidornas längder för alla de andra delarna. Dekan också bygga en serie kvadrater med hjälpav bitarna, där varje kvadrats area är hälften avden föregående kvadratens area. En intressantuppgift får vi om vi ber dem lägga fyra kvadratersida vid sida, såsom bilden visar, och därefterlägga en linje genom alla fyra kvadratersövre hörn till höger. Det finns säkert elever somgärna försöker sig på att bevisa det som ser ut attstämma i bilden, d.v.s. att linjen verkligen gårgenom alla kvadraters övre, högra hörnpunkt.Vill man ge den intresserade eleven en spännandeutflykt kan vi fortsätta uppgiften ocksåefter att Tangram-bitarna tagit slut. Vi halverarkvadraternas areor i all oändlighet och beräknarsumman av alla kvadraters sidor. Det intressantaär att alla dessa halverade kvadrater rymspå såväl en finländsk som på en norsk elevsarbetsbord.tangenten 1/2010 15