annuitetslån - Universitetet i Tromsø

Forelesningsnotater i matematikk.Tallfølger og rekker.2. Litt finansmatematikk.Geometriske rekker er svært viktige innen finansmatematikk. Utgangspunktet er at dersom etbeløp K 0får forrente seg til p % rente i n terminer, og renten legges til kapitalen etter hvertermin, vil kapitalen ved starten av termin nr. n ha vokst tilKnp( 1 )= K + .0 100nHvis man nå etter et fast beløp K 0inn i en bank ved starten av hver termin, vil man like etterinnskudd nr. n ha innestående et beløppp2pn−1K = K0 + K0( 1+ 100 ) + K0( 1+ 100 ) + + K0( 1+100 ) .pMen dette er en geometrisk rekke med n ledd og kvotient ( 1100 )pn( 1+ ) −1100 100 pnK = a1 = K0⋅ . ( )( )( 1+− 1pp 100 ).1+ −1100+ , slik atEksempel 3: Du setter inn 10 000 kroner i banken hvert år til 4% årlig rente.a) Hvor mye har du stående i banken like etter det 10. innskuddet?b) Hvor lang tid tar det før det oppsamlede beløpet har vokst til 200 000 kroner?Løsning:a) Bruker formelen over, og fårpn10(( ) ) ( )K = K ⋅ . 1+ − 1 = 10000 ⋅ ⋅ 1.04 − 1 = 10000 ⋅25⋅ 0.480244 = 120061.100 1000 p 100 4b) Må nå løse n av likningennn(( ) ) ( )200000 = 10000 ⋅ . 1+ −1 ⇔ 20 = 25 1.04 −1100 44 100nn⇔ 1.04 − 1 = 0.80 ⇔ 1.04 = 1.80nln1.80ln ( 1.04 ) = ln1.80 ⇔ n⋅ ln1.04 = ln1.80 ⇔ n= ≈ 15 .ln1.04Det vil altså ta 15 år før oppsamlet beløp er vokst til 200 000 kroner. Da er beløpet voksttil 200 236 kroner ved hjelp av formelen i a).Dersom du får utbetalt et beløp en gang i framtiden, har dette en nåverdi som er lik detinnskuddet som du kan sette i banken i dag til en kjent rente for å få beløpet. Mer presist kanvi si at dersom du får et beløp om n terminer, er nåverdien K ved p % rente gitt vedp( 1100 )K = K + ⇔ K =nn0 0Kn0Knp( 1+100 )n.Et annuitetslån er et lån der tilbakebetalingen skjer med like store beløp. I starten betaler dumest bare renter av lånet, men etter hvert vil en stadig større del av terminbeløpet være avdragpå lånet. Terminbeløpet beregnes ved å sette at summen nåverdiene av alle terminbeløpeneskal være lik størrelsen av lånet. Vi setter lånebeløpet lik L, terminbeløpet som du betalertilbake er T, renten er p, og vi har n terminer. Dersom første terminbeløp betales etter 1termin, får vil likningenBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

T T TL = + + + .pn1+ 100 1+ 1+Forelesningsnotater i matematikk.Tallfølger og rekker.2pp( 100 ) ( 100 )TDette er en geometrisk rekke med første ledd a1= og kvotientp1 +⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞1 1 1n⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ −k −1T 1+ 1+ 1+L = a1⋅ = ⋅⎝ ⎠= T ⋅⎝ ⎠= T ⋅⎝ ⎠k − 1 1+ 1 1−p p p100 100 100p1pp100 −1− ( +100 )100p1+100100n n n1k = . Dette gir1 +p100p( 1100 )np( 100 )n⎛ ⎛1001 ⎞ ⎞ 1+pp= T ⋅ ⋅⎜1− p ⎜ p ⎟ ⎟ ⇔ T = L⋅ ⋅ = L⋅ ⋅100 n 100⎜ 1+ ⎟⎝ ⎝ 100 ⎠ ⎠ ⎛ 1 ⎞ 1+ −11− ⎜ p ⎟⎝1+100 ⎠Det er flere måter å beregne størrelsen av restlånet under veis. Det enkleste er kanskje å si atstørrelsen av restlånet er nåverdien av de terminbeløpene som ikke er betalt hittil, beregnet tildet aktuelle tidspunktet.Eksempel 4: Du låner 200 000 kroner, som skal betales tilbake i 15 årlige terminer med likestore terminbeløp (annuitetsprinsippet) med 8% rente. Første tilbakebetaling ett år etterlåneopptak.a) Hvor stort blir terminbeløpet?b) Hvor mye av dette er avdrag, og hvor mye er renter ved første terminbeløp?c) Hvor mye er avdrag, og hvor mye er renter ved 10. terminbeløp?Løsning:a) Bruker formelen ovenfor:p( + )pn( 100 )n1 15p100 81.08100 100 15T = L⋅ ⋅ = 200000 ⋅ ⋅ = 23361.91.1+ −11.08 −1b) Du betaler rente av hele beløpet, slik at renten er 8 ⋅ 200000 = 16000 .100Da blir avdraget 23361.91− 16000 = 7361.91.c) Like etter at det 9. terminbeløpet ble betalt, sto det igjen 6 terminer. Nåverdien av disse(beregnet til tidspunktet da 9. terminbeløp ble betalt) varT T TR = + + + .p2 61+ pp100 1+ 1+( 100 ) ( 100 )Dette er en geometrisk rekke av samme form som ovenfor, med n = 6 . Vi fårn⎛ ⎛1001 ⎞ ⎞100 16R = T ⋅ ⋅⎜1− ⎟ 23361.918 ( 1 ( 1.08)) 107999.30p ⎜ p ⎟ = ⋅ ⋅ − = .⎜ ⎝1+⎟⎝100 ⎠ ⎠Renten av dette beløpet (som betales ved den 10. terminen) er 8 ⋅ 107999.30 = 8639.94 .100Da blir avdraget 23361.91− 8639.94 = 14725.97 .nBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.