Beregning av massesenter. - Universitetet i Tromsø

Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 15. Beregning av massesenter.5.1. Definisjoner.ym iriR CCMxFiguren til venstre viser et lite utsnitt av en ”sky” av småpartikler, der m i er massen til en partikkel som har posisjonsvektorr i i forhold til et fastlagt origo. Selv om figuren er todimensjonal,vil partikkelskyen generelt være tredimensjonal,slik at posisjonsvektoren kan skrivesr = xˆi+ yˆj+zkˆi i i ider î , ĵ og ˆk er enhetsvektorer langs henholdsvis x- y- og z-aksen. Vi definerer nå posisjonsvektoren R C til partikkelskyensmassesenter (CM) slik:Massesenterets posisjon R C i forhold til origo er1RC= ∑m ir imder den samlede massen til alle partiklene erm = ∑ m i.Vi summerer over alle partiklene.I praksis får vi mest å gjøre med sammenhengende, utstrakte legemer. Vi tenker oss at slikelegemer er ”limt” sammen av bitte små biter, som hver har masse dm. Istedenfor å summere,må vi nå integrere:1RC= dmm∫ rder legemets samlede masse erm = ∫ dmog integrasjonene tas over hele legemet. Men ”integrasjon over hele legemet” medfører at vimå integrere i rommet. Dette ligger utenfor vårt matematikkpensum. Vi skal derfor begrenseoss til å se på spesielle typer legemer, som vi kan handtere innefor vårt pensum.Vi skal nå begrense oss til romlegemer som har konstant tetthet ρ. Dersom hele legemet harmasse m og volum V, og en liten bit av legemet har masse dm og volum dV, så er tetthetenm dm mρ = = ⇔ dm = dV .V dV VDette gir1 1 m 1RC= dm =m∫ r r dV dVm∫ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎝ V ⎠ V∫ r .Vi dekomponerer nå både r og RCved hjelp av enhetsvektorene î , ĵ og ˆk , og fårr = xˆi+ yˆj+zkˆogR = X ˆ i+ Y ˆ j+Z k. ˆC C C CBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 2Da blirsom gir komponentlikningeneVi summerer opp:, , .Dersom et legeme har konstant tetthet ρ, er massesenterets posisjonsvektorgitt ved, , ,der V er legemets volum, og alle integrasjonene tas over hele legemet.5.2. Rotasjons-symmetriske legemer.Vi kan få et rotasjons-symmetrisk legeme ved å la grafen til funksjonen, ,rotere om x-aksen. Det er umiddelbart klart at dersom tettheten til legemet er konstant måmassesenteret ligge på x-aksen slik at. Vi trenger bare å finne X C , og brukerskivemetoden.Alle de små volumelementene som utgjør ei tynnskive med tykkelse dx vinkelrett på x-aksen harsamme x-koordinat. Skiva har da volum.Siden legemets volum erblir.Vi kan også få et rotasjons-symmetrisk legeme ved å rotere grafen tilom y-aksen.Da må massesenteret ligge på y-aksen slik at. På samme måte som ovenfor blir.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 3Eksempel 5.1: Finn massesenteret til en rett kjegle med høyde H og grunnflateradius R.Løsning:yHy =RHxRxVi plasserer kjeglen med topp-punkt i origo og x-aksen som symmetriakse. Vi kan da tenke oss atkjeglen framkommer ved at den rette linjaRy = xHroterer om x-aksen. Da vil massesenteret ligge påx-aksen, og posisjonen er gitt vedXR2R2∫ ∫ ( H ) ( H)∫RR∫ ∫ ( H ) ( H)∫H H H2 3 1 4Hxy dx x x dx x dx ⎡40 0 0 4 ⎣x ⎤⎦0HC H H2 2 2 H2 3H31y dx x dx x dx ⎡xH0 0 03 ⎣⎤⎦03 3= = = = = = H .4 4Eksempel 5.2: Finn massesenteret til det rotasjonslegemet som framkommer når grafen tily = f x = x( )2og den rette linja y = 4 roterer om y-aksen.2Løsning: Massesenteret må ligge på y-aksen. Siden y = x , blir innsettingen i formelen for YClett:Y( − )( 4 − 0 )y=42 4341 1 3 3∫ yx dy y y dy yy=0 ∫ ⋅ ⎡0 ⎣⎤3 ⎦03C y=4 4242 1 2 21x dy y dy y2 2∫⎡ ⎤y=0 ∫0⎣ ⎦04 0 8= = = = = .3Oppgave 5.1.5.3. Plane legemer.5.3.1. De grunnleggende formlene.Vi skal nå se på plane legemer. Det er mest praktisk å legge plane legemer i xy-planet, slik atdet ikke blir noen z-komponent. Massesenteret er da gitt vedy 1 1RC= dm ( xˆ yˆ)dmm∫r =m∫i+jr dm ⎛ 1 ⎞ˆ⎛ 1 ⎞= x dm y dm ˆ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = XC+ YC⎝m∫i⎠ ⎝m∫j i j⎠xHer er11XC= ∫ x dm , YC= ∫ y dmIntegralene i uttrykkene forXCogCmY har fått egne navn:∫ x ⋅ dm kalles statisk moment om y-aksen.∫ y ⋅ dm kalles statisk moment om x-aksen.mBjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 4Vi får enklere uttrykk dersom vi antar at tettheten er konstant over hele flata. Tettheten må nåuttrykkes i kg/m 2 . Dersom flata har masse m og areal A, mens et lite flate-element har massedm og areal dA, blir tetthetenm dm mρ = = ⇔ dm = dA .A dA ADermed blir1 1 m 1XC= x dm=m∫x dA xdAm∫ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎝ A ⎠ A∫ ,1 1 m 1YC= y dm =m∫y dA ydAm∫ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎝ A ⎠ A∫ ,der arealet av flata erA= ∫ dA .Dette er de grunnleggende formlene som vi skal benytte i praksis.Også her har integralene fått egne navn:MyMx= ∫ x dA kalles flatemomentet om y-aksen,= ∫ y dA kalles flatemomentet om x-aksen.Med disse definisjonene kan koordinatene til massesenteret skrives:XCM y= , YCAM x= .AVi summerer opp:Massesenteret for ei flate som ligger i xy-planet erRC = 1 dm = XC+ YCm∫ r i jder11XC= x dmm∫ , YC= y dmm∫ .Dersom tettheten er konstant over hele flata, blir1 MyXC= xdAA∫ = der My= x dAA∫ er flatemomentet om y-aksen,1 MxYC= ydAA∫ = der Mx= y dAA∫ er flatemomentet om x-aksen.A = ∫ dAAlle integralene tas over hele flata.Når vi skal integrere over ei flate, får vi vanligvis dobbeltintegral som ligger utenfor vårtpensum. Vi skal derfor begrense oss til to situasjoner som vi kan handtere:Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 51. Flata deles opp i striper parallelt med y-aksen.2. Flata deles opp i striper parallelt med x-aksen.Vi skal se på de to situasjonene etter tur.5.3.2. Striper parallelt med y-aksen.Vi antar at flata er avgrenset av grafene til funksjoneneyy 2 = f 2 (x) y1 = f1( x)og y2 = f2( x),samt av de to rette linjenex = a og x = b.y 2 - y 1Se figuren til venstre.dx y 1 = f 1 (x)Vi legger striper med bredde dx parallelt med y-aksen.Hvis y2 > y1når a ≤ x ≤ b, får hver stripe et arealdA = ( y2 − y1)dxab x slik atx=b= ∫ ( 2−1).Alle flate-elementene innenfor ei stripe har nå samme x-verdi. Da blir massesenterets x-verdiX 1 x= bxdA 1 x=bC= ( 2 1)A∫ = x y y dxx= aA∫ − .x=aDet er ikke fullt så enkelt å finne Y C , fordi elementene innenfor ei stripe har ulike y-verdier. Vikan derfor ikke bruke formelen for Y C direkte. Dette problemet løser vi ved å erstatte y iformelen for YCmed avstanden til midtpunktet på stripa, som har y-koordinaty2 + y1yM= .2Da blir1 x= b 1 x= by2 + y11 x=b2 2YC= yMdA ( y2 y1) dx ( y2 y1) dxA∫ ⋅ =x= aA∫ − =x= a2 2A∫ − .x=ax=a5.3.3. Striper parallelt med x-aksen.ydx 1 = g 1 (y)dyx 2 = g 2 (y)Vi skal nå anta at flata er avgrenset av grafene tilx g y x = g y samt de to rette linjene= ( ) og ( )1 12 2y = c og y = d . Da legger vi stripene parallelt medx-aksen. Se figuren til venstre.cx 2 - x 1xVi finner massesenteret med samme resonnementsom når stripene ligger loddrett. Dersom x2 > x1nårc ≤ y ≤ d , blirog∫y=dy=c( )A = x − x dy2 1Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

1 y dForelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 6=x=d2 2∫ ( 2 1),C= ( − )2 1Y C= y ⋅ x −Ax dyy=c1X x x dy2A∫ .x=cEksempel 5.3: Bestem massesenteret til flata som avgrenses av grafen tilog x-aksen på to måter:a) ved å legge stripene parallelt med y-aksen.b) ved å legge stripene parallelt med x-aksen.y2= x , linja x = 2Løsning: Situasjonene er illustrert nedenfor til venstre.a) En loddrett stripe i avstand x fra y-aksen har areal2dA = y ⋅ dx = x dxSlik at arealet blir2221 3 1 3 3( ) 8A = ∫ x dx = ⎡ x 2 00 ⎣ ⎤3 ⎦ = − = .0 3 3Da blir massesenterets x-koordinat1 x=2 1 22X ( ) ( )C= x y02y1 dx x x 0 dxx8A∫− = ⋅ −=∫0( 2 0 )423 13 4 4 3⎡8 ⎣ x ⎤4 ⎦032 2= = − =Massesenterets y-koordinat blir1 x=2 22 2 1 22 21 5 1 5YC= ( y − 0 ) dx = ( x ) dx = ⋅ ⎡ x ⎤ = ⋅ ( 2 − 0)=0 82Ax=2⋅0⎣ ⎦03 3 6∫ ∫ .16 5 16 5 53b) Når vi skal bruke striper parallelle med x-aksen, må vi først finne x uttrykt ved y:2y = x ⇔ x = y.Vi kan selvsagt bruke det arealet som vi fant ovenfor. Men vi kan også beregne arealetogså med utgangspunkt i vannrette striper. Av figuren ser vi at arealet av en slik vannrettstripe i avstand y fra x-aksen blir( 2 ) ( 2 )dA = − x dy = − y dyslik at arealet blir4( 2 43) ( 2 ) 1 4( 1 32 ⎡ 2 2 2⎤2 2)8∫ ∫ ⎣2 4 4 03 ⎦.03 3A = − y dy = − y dy = y − y = ⋅ − ⋅ − =0 0Da blir1 12XC= ( x x ) dy ( 2 ( y ) ) dy ( 4 y)dy2A∫ − = − = −2∫ ∫y=4 4 42 2 2 3y=02 1 8 0 16⋅03( )243 1 3 1 23⎡16 ⎣4yy ⎤ 4 4 4 02 ⎦016 2 2= ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ − =1 y=4 1 4 4YC= y ⋅ x − x dy = y − y dy = y − y dyA∫ ∫ ∫33( 2 1) ( 2 ) ( 2 )288y=0 0 035 453 ⎡ 2 2 2 3 2 2 23 2 5 3 16 6y y ⎤8 5 8 ( 4 45 ) 08 ( 16 2⎣ ⎦5 ) 8 5 50= ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ = ⋅ =3Oppgave 5.2.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 75.4. Massesenter for krumme linjer.−1En krum linje er gitt ved y = f ( x)eller ved x f ( y)= . Anta at tettheten ρ (som er gitt ikg/m) er konstant slik atm dmρ = =L dsder m er massen til linja, L er lengden til linja, mens dm og ds er henholdsvis masse og lengdetil et lite element på linja. Koordinatene til massesenteret er da gitt ved1 1 m 1XC= x dm =m∫x ds x dsm∫ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎝ L ⎠ L∫og1 1 m 1YC= y dm =m∫y ds y dsm∫ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎝ L ⎠ L∫der vi integrerer langs hele linja.I notatet om buelengde har vi vist hvordan vi kan finne lengden L av et krumt linjestykke. Derfant vi bl.a. at:Dersom y f ( x)−1Dersom x f ( y)dy= , er ( ) 2ds = 1+ dx .= , er ( ) 2dxds = + dy .dx1dyVi får bruk for disse uttrykkene nå også.Eksempel 5.4: Beregn koordinatene til massesenteret til grafen tily2= x , 0 x 2≤ ≤ .Løsning: 2dyy = x ⇒ = 2xdxslik atDa blir( dydx ) ( )2 2 2ds = 1+ dx = 1+ 2x dx = 1+ 4x dx .( )( )x=2 42 1∫ 1 4 ln 17 4 17 4.6468x=0 ∫ .04L = ds = + x dx = + + ≈x=2 21 1 2 1 1C L x=0 L 0L 12∫ ∫ .X = x ds = x 1+ 4 x dx = ⋅ 17 17 −1 ≈1.239x=2 21 1 2 2YC= 1 4L∫y ds = x + x dxx=0 L∫033( 16 64 ( ))= ⋅ 17 − ln 17 + 4 ≈1.8231 1LPå grafen er massesenteret tegnet inn med en liten ring.Merk at massesenteret ikke ligger på selve linja. Du kan visualisere massesenteret slik: Tenkdeg at linja spenner ut en masseløs membran. Denne membranen kan nå balansere på en spisssom plasseres i massesenteret.Oppgave 5.3.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

5.5. Oppdeling i del-legemer.Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 8Definisjonen på massesenter∑ miriRC=mgjelder egentlig når m i er massen til en partikkel i legemet vårt. Men formelen gjelder ogsådersom legemet vårt består av del-legemer med kjent masse m i , og der r i oppfattes somposisjonsvektoren til del-legemets massesenter. Jeg skal nøye meg med å vise at dettestemmer for et legeme som deles opp i to del-legemer med masse m 1 og m 2 , og volum V 1 ogV 2 . For hvert av disse del-legemene er massesentrene gitt vedr 11= ∑mi i⇔ ∑mi i=m1 1mr r r der vi summerer over V 1og1 V1 V1r 1= m r ⇔ m r = m r der vi summerer over V 2 .∑∑2 i ii i 2 2m2V2 V2Da blir∑ miri1 ⎛⎞ 1RC= = ⎜∑miri+ ∑miri⎟= ( m1r1 + m2r 2).m m⎝V1 V m2 ⎠Vi kan enkelt benytte samme resonnement dersom legemet deles opp i n deler. Dette kan vibenytte oss av til å beregne massesenteret til legemer som kan deles opp i enkle del-legemer.Jeg skal illustrere teknikken i et par eksempler.Eksempel 5.5:OB To svært tynne metallstenger med lengde OA = l og1OB = l sveises sammen til en vinkel slik figuren til2A venstre viser. Finn vinkelens massesenter.Løsning: La hele legemets masse være m. Siden stanga OA er dobbelt så lang som OB, måden også ha dobbelt så stor masse. Dette gir at massene til OA og OB blir henholdsvis21mOA = m, og m3OB= m.3Begge stengene har sitt massesenter midt på, slik at1 ˆ1 1 1rOA = l i, og r2OB= ⋅ lˆj=lˆj.2 2 4Legemets massesenter er da gitt ved1 12 1 1 1 1 1R = ( mOArOA mOB OB ) ( m lˆ m lˆ 3 2 3 4 ) lˆ lˆ3 12m+ r = m⋅ i + ⋅ j = i + j.Vi kan føre et tilsvarende resonnement dersom vi fjerner en bit fra et legeme. Anta at m ermassen og R C er massesenteret til et legeme som framkommer når vi fjerner et stykke medmasse m 2 og massesenter r 2 fra et legeme med masse m 1 og massesenter r 1 . Da får vi at1RC = ( m1r1 − m2r 2).mI neste eksempel skal vi illustrere bruken av denne formelen.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Forelesningsnotater i matematikk.Bruk av integrasjon. Beregning av massesenter. Side 9Eksempel 5.6:Ei skive består av et rektangel med sidekanter 8 og 4,der et kvadratisk hjørne med sidekant 2 er fjernet. Sefiguren til venstre.Finn massesenteret til skiva.Løsning: Jeg skal løse oppgaven på to måter.Først deler jeg skiva inn i to deler slik den stiplede linja på figuren viser. Hele skiva har areal2A = 8 ⋅4 − 2 = 28 .Dersom hele skiva har masse m, blir tettheten (som oppgis i kg/m 2 )m mρ = = .A 28Nedre del får massenm 4m1= ρ ⋅( 8⋅ 2)= ⋅ 16 = m28 7og øvre del får massenm 3m2= ρ ⋅( 6 ⋅ 2)= ⋅ 12 = m.28 7Hver av delene har massesenter midt i. Av figuren ser vi atr1 = 4 i+1jogr2 = 3 i+3 j .Da blir massesenteret gitt ved1 1 ⎛4 3 ⎞RC= ( m11 r + m2r2) = m( 4 ⎜ i+ 1j) + m( 3i+3j)⎟mm⎝7 7 ⎠1 25 13= ( 16i+ 4j+ 9 i+ 9j)= i+j7 7 7Så skal jeg løse problemet ved å ta utgangspunkt i rektangelet, og fjerne bidraget fra det lillekvadratet. Hvis vi kaller rektangelets masse og massesenter for m R og r R , og kvadratets masseog massesenter for m K og r K , kan vi sette opp (se figuren, og kontroller massesentrene tilrektangelet og til kvadratet):1 ( ) 1 ⎛ mm⎞RC= mRrR− mKrK= ⋅( 8⋅4) ⋅ ( 4 ⎜i+ 2j) − ⋅( 2⋅2) ⋅ ( 7i+3j)⎟mm⎝28 28⎠8 1 25 13= ( 4i+ 2j) − ( 7i+ 3j)= i+j7 7 7 7Og dette er samme resultat som før.Oppgave 5.4.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.