Notat 5: Kompleks impedans

Strømmens komplekse amplitude erellerI 0 = V 0Z = V 0R + iωL +1/iωC , (9)I 0 = |V 0|e iα|Z|e iφ = |V 0 |√R 2 +(ωL − 1/ωC) 2 e i(α−φ) = |I 0 |e iβ (10)Oppsummert:Impedans for motstand R:Impedans for induktans L:Impedans for kapasitans C:Z R = RZ L = iωL = e iπ/2 ωLZ C =1/iωC = e −iπ/2 /ωC.Strøm gjennom induktans (I = V L /Z L )eraltså faseforskjøvet π/2 etter spenningen og |I 0 |→0når ω →∞.Strøm gjennom kapasitans (I = V C /Z C ) er faseforskjøvet π/2 foran spenningen og |I 0 |→0når ω → 0.Disse uttrykkene kan du selv overbevise deg om ved åsepå tre kretser hver for seg, med en spenningskilde V 0 e iωtkoblet til hhv. en motstand, en induktans og en kapasitans.Seriekopling: Merk at den komplekse impedansen (7) ganske enkelt er en sum av enkeltimpedansene Z R , Z Log Z C . Dvs: Samme regel for seriekobling av komplekse impedanser i AC-kretser som for seriekoblede resistanser iDC-kretser!Parallellkopling: Da er det nok ingen overraskelse at vi også har samme regel for parallellkobling av komplekseimpedanser i AC-kretser som for parallellkobling av vanlige resistanser i DC-kretser. Eksempel: Total impedans ien krets med en R, L og C koblet i parallell er gitt ved1Z = 1 + 1 + 1 = 1 Z R Z L Z C R + 1iωL + iωCMerknad: Idet vi slår på spenningen V (t) (medenbryter)får vi et “innsvingningsforløp” som ikke er harmonisk. Vi ernormalt ikke interessert i dette, og betrakter derfor kun den harmoniske løsningen. Som kjent er en løsning av en diff.likning,som Kirchhoff 2 er, sammensatt av av en partikulær og en homogen løsning. Vi er her bare interessert i den partikulæreløsningen med V (t) = V 0e iωt som pådrag. Dvs. vi betrakter kun “tvungne” svingninger, dvs. svingninger med samme(vinkel-)frekvens som påtrykt spenning.Resonans i RLC-kretsenRLC-kretsen beskrevet over gir resonans ved en bestemt frekvens ω 0 for pådraget. Denne frekvensen er bestemt avat strømamplituden |I 0 | blir veldig stor, som vi finner fra likn. (10):I 0 maksimum ⇒ R 2 +(ωL − 1/ωC) 2 = minimum ⇒ ω = √ 1/LC = ω 0 (11)I 01/ LCstor Rmiddels Rliten RωFiguren viser hvordan |I 0 | varierer med ω ifølge likn.(10) for hhv. stor, middels og liten verdi for resistansenR. Ved ω = ω 0 får vi maksimal amplitudepå strømmen med |I 0 | = |V 0 |/R. Vihardaresonans.Frekvensen til den påtrykte spenningen ”matcher” daden elektriske kretsens “naturlige frekvens” ω 0 .For riktig lave frekvenser (ω ≪ ω 0 ) representerer kondensatoren et brudd i en tilnærmet likestrømkrets. Da er detikke urimelig at I 0 → 0. For riktig høye frekvenser (ω ≫ ω 0 ) blir indusert motspenning i induktansen L stor selvuten strøm av betydning. Da er det heller ikke urimelig at I 0 → 0 i denne grensen.TFY4155/FY1003 – s.2