Resistência dos Materiais

Resistência dos Materiais
Aula 2 – Tensão Normal Média e
Tensão de Cisalhamento Média
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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Tópicos Abordados Nesta Aula
Definição de Tensão.
Tensão Normal Média.
Tensão de Cisalhamento Média.
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Conceito de Tensão
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Representa a intensidade da força interna sobre um plano
específico (área) que passa por um determinado ponto.
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Tensão Normal e Tensão de Cisalhamento
Tensão Normal: A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua no
sentido perpendicular a ∆A, é definida como tensão normal, σ (sigma). Portanto podese
escrever que:
σ
=
∆lim A→0
Tensão de Cisalhamento: A intensidade da força ou força por unidade de área, que
atua na tangente a ∆A, é definida como tensão de cisalhamento, τ (tau). Portanto
pode-se escrever que:
τ
=
∆lim A→0
∆F
∆A
∆F
∆A
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Unidades de Tensão no SI
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No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade tanto da tensão
normal quanto da tensão de cisalhamento é especificada na unidade básica de
newtons por metro quadrado (N/m²).
Esta unidade é denominada pascal (1 Pa = 1 N/m²), como essa unidade é
muito pequena, nos trabalhos de engenharia são usados prefixos como quilo
(10³), mega (10 6 ) ou giga (10 9 ).
1MPa
1GPa
= 10
=
10
6
9
Pa
Pa
= 10
= 10
6
9
N
N
/
/
m²
m²
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Tensão Normal Média
1) É necessário que a barra permaneça
reta tanto antes como depois de a
carga ser aplicada, e, além disso, a
seção transversal deve permanecer
plana durante a deformação.
Hipóteses de simplificação
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2) A fim de que a barra
possa sofrer deformação
uniforme, é necessário
que P seja aplicada ao
longo do eixo do
centróide da seção
transversal e o material
deve ser homogêneo e
isotrópico.
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Tensão Normal Média - Simplificações
Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedades
físicas e mecânicas em todo o seu volume.
Material Isotrópico: Possui as mesmas propriedades
físicas e mecânicas em todas as direções.
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Distribuição da Tensão Normal Média
∫ dF = ∫σdA
A
P = σ ⋅
onde:
σ =
P
A
A
σ = Tensão normal média em qualquer ponto da área da
seção transversal.
P = resultante da força normal interna, aplicada no centróide
da área da seção transversal.
A = área da seção transversal da barra.
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Exercício 1
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1) A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e
BC como mostra a figura. Se AB tem diâmetro de 10 mm e
BC tem diâmetro de 8 mm. Determinar a tensão normal
média em cada haste.
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Solução do Exercício 1
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Diagrama de corpo livre: Determinação das forças em AB e BC:
F
BC
4
⋅ − FBA
⋅cos60°
=
5
∑ Fy
= 0
3
⋅ + F ⋅ sen60°
−
5
FBC BA
∑ Fx
= 0
0
784,
8
(I)
=
0
(II)
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F
BC
BC
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Solução do Exercício 1
De (I)
4
⋅ − FBA
⋅cos60°
=
5
5 ⋅ FBA
⋅cos
60°
=
4
F (III)
Substituindo-se (III) em (II), tem-se que:
5
3
⋅ FBA ⋅cos60°
⋅ + FBA
⋅ sen60°
−
4
5
15
20
⋅ ⋅cos
60°
+ F ⋅ sen60°
−
FBA BA
0
784,
8
784,
8
=
=
0
0
F BA
F BA
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⎛ 15
⎞
⋅⎜ ⋅cos
60°
+ sen60°
⎟ −
⎝ 20
⎠
=
⎛ 15
⎜
⎝ 20
FBC
784,
8
⎞
⋅cos
60°
+ sen60°
⎟
⎠
F = 632,
38 N
BA
Em (III)
5 ⋅632,
38⋅
cos60°
=
4
F = 395,
23 N
BC
784,
8
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= 0

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Solução do Exercício 1
Área do Circulo
A CIRC
⋅ d
=
4
π
σ
σ
BC
BA
2
=
=
F
A
F
A
BC
BC
BA
BA
σ =
Tensão Normal
F
A
Cabo BC
=
F
π ⋅ d
4
4⋅
395,
23
= = 2
π ⋅8
Cabo BA
2
4⋅
F
=
π ⋅ d
7,
86
4 632,
38
8,
05
2
10
=
⋅
=
π ⋅
2
MPa
MPa
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Tensão de Cisalhamento Média
onde:
méd = τ
V
A
τ méd = Tensão de cisalhamento média na seção.
V = Resultante interna da força de cisalhamento.
A = Área da seção transversal.
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Cisalhamento em Juntas
Cisalhamento Simples:
Cisalhamento Duplo:
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Exercício 2
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2) A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada
para a qual a profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo
que seja aplicada uma força axial de 800 N ao longo do eixo do
centróide da área da seção transversal da barra, determinar a
tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que
atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e (b) no plano
da seção b-b.
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Solução do Exercício 2
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Parte (a): Na barra seccionada, pode-se verificar a carga interna resultante consiste apenas
na força axial P = 800 N.
σ =
P
=
A
P
2
l
Tensão normal média:
800
σ = σ = 500
2
0,
04
kPa
Tensão de cisalhamento:
τ méd
=
0
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Solução do Exercício 2
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Parte (b): Se a barra for seccionada ao longo de b-b, o diagrama de corpo livre do
segmento esquerdo será como o mostrado na figura. Nesse caso, tanto a força normal N
como a força de cisalhamento V atuarão sobre a área seccionada.
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Solução do Exercício 2
∑ Fx´
=
0
N −800
⋅cos30°
= 0
N
= 800⋅
cos30°
N
Utilizando como referência os eixos x´ e y´:
=
692,
82
N
V
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∑ Fy´
=
0
− 800 ⋅ sen30°
=
V
= 800⋅ sen30°
V
=
400
N
0
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Solução do Exercício 2
Área da seção transversal:
b = 40 mm
40
h = = 46,
18 mm
sen60°
A = b⋅
h
=
0, 04⋅
0,
04618
Tensão normal média:
N
σ =
A
=
0,
04
692
⋅
= 375,
06
, 82
0,
04618
σ kPa
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Tensão de cisalhamento média:
V
τ =
A
=
0,
04
= 216,
49
τ kPa
400
⋅0,
04618
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Exercícios Propostos
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1) O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3 kN.
Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o esforço de compressão
médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A haste tem uma
área de seção transversal de 400 mm², e a área de contato em C é de 650 mm².
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Exercícios Propostos
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2) O mancal de encosto está submetido as cargas mostradas. Determinar a tensão normal
média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Fazer o
desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado
em cada seção.
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Exercícios Propostos
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3) O eixo está submetido a uma força axial de 30 kN. Supondo que o eixo passe pelo furo
de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A, determinar a tensão do mancal que atua sobre o
colar C. Qual é a tensão de cisalhamento média que atua ao longo da superfície interna do
colar onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro.
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Exercícios Propostos
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4) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de
aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga
vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste e ao
longo das duas áreas sombreadas da escora, uma das quais está identificada
como abcd.
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Exercícios Propostos
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5) A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15
kN, determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos
pinos A, B e C. Todos os pinos estão sob cisalhamento duplo e cada
um deles tem 18 mm de diâmetro.
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Projeto de Acoplamentos Simples.
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