PROBABILIDADES - Uem

Capítulo 1
PROBABILIDADES
A teoria da probabilidade é o ramo da matemática relacionado com fenômenos aleatórios, tendo muitas aplicações
nas diversas áreas de conhecimento, como áreas de ciências físicas, biológicas e sociais, na engenharia e negócios.
Trataremos de experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado.
Estes experimentos são denominados de EXPERIMENTOS ALEAT ÓRIOS.
EXEMPLO 1:
E1 = lançar um dado e observar a face de cima;
E2 = escolher aleatoriamente um aluno da turma e observar seu peso;
1.1 Espaço Amostral e Evento
Denominaremos ESPAÇO AMOSTRAL associado a um experimento o conjunto de TODOS os seus possíveis resultados
.
O espaço amostral será representado por um conjunto Ω, cujos elementos serão denominados eventos simples ou
amostrais. Assim para o exemplo 1 temos:
E1 ⇒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
E2 ⇒ Ω = (38; 115)
Seja Ω o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto A ⊂ Ω será chamado EVENTO. Ω é o evento certo,
∅ o evento impossível. Se ω ∈ Ω, o evento {ω} é dito evento elementar ou simples.
1.2 Definições de operações sobre eventos
• INTERSECÇÃO: O evento intersecção de dois eventos A e B equivale a ocorrência de ambos os eventos ou
seja, A ∩ B é o evento ”A e B”.
• EXCLUSÃO: Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles impossibilita a
ocorrência do outro, ou seja, A ∩ B = ∅ significa; A e B são incompatíveis.
• UNIÃO: A união de dois eventos A e B, ou seja,A ∪ B equivale a ocorrência de A ou de B ou de ambos.
• NEGAÇ ÃO OU COMPLEMENTAR:Ac é ”não A”(isto é, ocorre o evento A c se e somente se não ocorre o
evento A)
1.3 Definições: Clássica e Freqüentista de Probabilidade
A DEFINIÇÃO CLÁSSICA baseia-se no conceito primitivo de eventos igualmente possíveis, ou seja, eventos que
tenha a mesma chance de ocorrência a cada um dos eventos simples.
Consideremos um espaço amostral Ω. Seja A um evento de Ω, a probabilidade de A, que denotaremos P (A), é
definida por:
P (A) = N(A)
. (1)
N(Ω)
1

EXEMPLO 2:
• Na jogada de um dado, qual a probabilidade de aparecer a face 2?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2}
P (A) = 1
6 = 0, 17
• Qual a probabilidade de aparecer número ímpar?
B = {1, 3, 5}
P (B) = 3
6 = 0, 5
DEFINIÇÃO FREQUENTISTA: A probabilidade de um evento é a proporção do número de vezes que eventos
do mesmo tipo ocorrem ao longo do tempo.
EXEMPLO 3:
Se registros de uma companhia de aviação mostram que, durante certo tempo, 468 dentre 600 de seus jatos da
linha São Francisco - Phoenix chegaram no horário, qual a probabilidade de que um avião daquela linha chegue no
horário?
A={o avião chega no horário}
= 0, 78
P (A) = 468
600
1.4 Propriedades de Probabilidade
Vamos supor que a todo evento A seja associado um número real P (A), chamado probabilidade de A, de modo que
as propriedades a seguir sejam satisfeitas:
• 0 ≤ P (A) ≤ 1
• P (Ω) = 1
• P (∅) = 0
• P (A c ) = 1 − P (A).
• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
• Se A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
• P (A c ∩ B) = P (B) − P (A ∩ B)
• P (A c ∩ B c ) = P (A ∪ B) c = 1 − P (A ∪ B)
1.5 Diagrama de Árvore
Uma maneira de determinar espaços amostrais é utilizar diagramas de árvore. Eis o processo:
EXEMPLO 4:
Uma distribuidora de materiais para escritório fornece mercadorias que podem ser classificadas como:
B= boa qualidade; O= ótima qualidade P=péssima qualidade
Determine o espaço amostral se duas destas mercadorias são selecionadas ao acaso, com reposição.
2

1.6 Probabilidade Condicional
Consideremos um espaço amostral Ω. Sejam A e B eventos de Ω, a probabilidade de ocorrer o evento A quando se
sabe que o evento B já ocorreu é chamada de ”PROBABILIDADE CONDICONAL de A dado B”, que denotaremos
P (A|B), é definida por:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
. (2)
P (B)
EXEMPLO 5:
Considerando o lançamento de dois dados, qual a probabilidade da soma ser 8, se a face superior de um dos
dados é 3?
EXEMPLO 6:
Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e presão arterial de acordo com o quadro a seguir:
PESO
PRESSÃO EXCEDENTE NORMAL DEFICIENTE TOTAL
ELEVADA 10 8 2 20
NORMAL 15 45 20 80
TOTAL 25 53 22 100
(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso naquele grupo ter pressão elevada?
(b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso naquele grupo ter pressão elevada se foi verificado que
ela tem excesso de peso?
1.7 Independência de eventos
Sejam dois eventos A e B em um espaço aostral Ω. Diremos que os eventos A e B são independentes se:
P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
EXEMPLO 7:
Considerando e exemplo 6, podemos afirmar que os eventos
A={ter pressão elevada}
B={ter excesso de peso} são independentes?
1.8 EXERCÍCIOS
seção 1.1
(1) Descreva os espaços amostrais relacionados com os seguintes experimentos aleatórios:
3

(a) Jogar uma moeda uma vez;
(b) Jogar uma moeda quatro vezes;
(c) Jogar quatro moedas uma vez;
(d) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada;
(e) Uma urna contém 20 fichas coloridas, das quais 10 são amarelas e 10 são verdes. Três fichas são selecionadas
ao acaso com reposição e as cores são anotadas;
(f) Uma máquina produz 20peças por hora. Escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de peças
defeituosas na próxima hora;
(g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara;
(h) Um dado e uma moeda são lançados;
(2) Três moedas são lançadas, enumere os seguintes eventos:
(a) A={saem faces iguais}
(b) B={cara na primeira moeda}
(c) C={coroa na segunda e na terceira moeda}
(3) Considerando a letra (h) do exercício (1), enumere os eventos:
(a) A={coroa, marcada por número par}
(b) B={cara, marcada por número ímpar}
(c) C={múltiplos de 3}
(4) Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 30. Determine os eventos:
(a) ser número primo;
(b) o número ser maior que 16;
(c) o número é múltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo;
(d) o número não é múltiplo de 6.
seção 1.2
(5) Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Exprimir os eventos usando as operações definidas para
os eventos:
(a) Somente A ocorre;
(b) A e C ocorrem mas B não ocorre;
(c) A, B e C ocorrem;
(d) Pelo menos um ocorre;
(e) exatamente um ocorre;
(f) nenhum ocorre;
(6) Considerando o espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e os eventos A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e
C = {5, 6, 7}, enumere os eventos pedidos:
(a) A c ∩ B
(b) A c ∪ B
(c) A c ∩ B c
(d) A ∩ (B ∩ C) c
4

seção 1.3
(7) Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 50. Qual a probabilidade de:
(a) ser número primo;
(b) o número ser divisível por 5;
(c) o número ser divisível por 6 ou por 8;
(d) o número terminar em 3.
(8) Numa urna são misturadas 10 bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas aleatoriamente sem
reposição. Qual a probabilidade de que a soma dos números seja igual a 10?
(9) Se P (A) = 1
1
2 ; P (B) = 4
(a) P (A) c
(b) P (B) c
(c) P (A ∩ B)
(d) P (A) ∪ B)
e A e B São mutuamente exclusivos, calcule:
(10) Qual a probabilidade de se obter uma cara em três jogadas de uma moeda?
(11) Qual a probabilidade de sair uma ”ás”na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas?
(12) Qual a probabilidade de não se obter soma sete no lançamento de dois dados?
(13) Qual a probabilidade de se obter pelo menos uma face 6 na jogada de dois dados?
(14) A cidade de Wethersfield, em Connecticut, tem cerca de 36 mil quilômetros quadrados de área. Qual a
probabilidade de um meteorito que se encaminha aleatoriamente para a Terra atingir Wethersfield? ( a área
da superfície da Terra é de 518 milhões de quilômetros quadrados aproximadamente).
(15) Se 226 dentre 300 assinantes de um jornal, selecionados ao acaso, afirmaram que lêem a seção cômica diariamente,
qual a probabilidade de um assinante, escolhido aleatoriamente ler tal seção?
(16) Uma pesquisa feita junto a 1290 visitantes de um parque nacional, selecionados ao acaso, revelou que 726
deles não vão além de 3 Km do ponto de estacionamento do carro. Qual a probabilidade de que um visitante
qualquer, selecionado ao acaso, vá além de 3 km do ponto de estacionamento?
(17) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens com mais de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos,
6 mulheres com mais de 21 anos e 3 mulheres com menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre
este grupo. Qual a probabilidade de:
(a) a pessoa ter mais que 21 anos?
(b) a pessoa ser homem?
(c) a pessoa ter menos de 21 anos OU ser mulher?
(d) a pessoa não ter mais de 21 anos E não ser homem?
seção 1.5
(18) Numa central de atendimento ao consumidor, o serviço prestado pode ser classificado em:
E= excelente; O=ótimo; S=satisfatório; R=regular; P=péssimo
Tomando-se 2 destes funcionários, ao acaso, e com reposição, pede-se:
(a) descreva o espaço amostral;
(b) qual a probabilidade de que os dois funcionários prestem serviços de maneira satisfatória?
(c) qual a probabilidade de que nenhum dos funcionários prestem serviços de maneira regular?
(d) qual a probabilidade de que pelo menos um dos funcionários preste ótimo serviço?
(e) qual a probabilidade de que um dos funcionários preste um excelente serviço e o outro não seja um péssimo
atendente?
5

seção 1.6
(19) Há 80 candidatos a uma franquia de fast food. Alguns deles possuem diplomas de 3 o. grau, outros não, bem
como alguns possuem experiências no ramo e outros não. Os dados são apresentados abaixo:
POSSUI DIPLOMA NÃO POSSUI DIPLOMA
COM EXPERIÊNCIA 24 36
SEM EXPERIÊNCIA 12 8
Escolhido ao acaso um destes candidatos, qual a probabilidade de:
(a) o candidato possuir diploma?
(b) o candidato não ter experiência?
(c) o candidato ter experiência e não possuir diploma?
(d) o candidato não possuir diploma ou não ter experiência
(e) o candidato possuir diploma, sabendo que tem experiência no ramo?
seção 1.7
(20) Considerando o exercício anterior (19)
Os eventos ”ser possuidor de diploma”e ”possuir experiência no ramo”são independentes? Justifique.
(21) A probabilidade de que Marcos ganhe um jogo é 0,3. A probabilidade de que Giovana ganhe o jogo é 0,45.
Qual a probabilidade de que:
(a) Apenas Marcos ganhe o jogo?
(b) ambos ganhem o jogo?
(c) pelo menos um deles ganhe o jogo?
(d) nenhum deles ganhe o jogo?
(22) Sejam A e B eventos tais que P (A) = 0, 2, P (B) = X e P (A ∪ B) = 0, 6. Calcular X, considerando A e B:
(a) mutuamente exclusivos;
(b) independentes.
(23) Se A e B são eventos independentes, P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 45, determine:
(a) P (A ∩ B);
(b) P (B ∩ A);
(c) P (A c ∩ B);
(24) A probabilidade de um homem viver mais que 35 anos anos é 1/4 e a probabilidade de que sua esposa viva
mais que 35 anos é 1/3. determine a probabilidade de:
(a) ambos estarem vivos depois de 35 anos;
(b) pelo menos um estar vivo depois de 35 anos;
(c) somente a esposa estar viva depois de 35 anos;
(d) nenhum deles estar vivo depois de 35 anos;
6

Capítulo 2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Muitos experimentos produzem resultados não numéricos e antes de analisá-los é conveniente transformar seus resultados
em números, o que é feito através da variável aleatória, que é uma regra de associação de um valor numérico
para cada ponto do espaço amostral.
DEFINIÇÃO: Uma variável aleatória é uma função definida em Ω que costuma ser representada por X, e cujo
valor é um número real determinado pelo resultado de uma experiência aleatória.
2.1 Tipos de variáveis Aleatórias
As variáveis aleatórias (v.a’s) podem ser discretas, contínuas ou mistas.
• VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: X é uma v.a discreta se assumir valores em um conjunto finito ou
infinito enumerável.
EXEMPLO 1: Considere o experimento: Lançar duas moedas e, seja X a v.a que representa o número de
caras.
Resolução: Ω = {cc, ck, kc, kk}, onde c=cara e k=coroa.
X=número de caras
X 2 1 1 0
EVENTOS cc ck kc kk
• VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA:X é uma v.a contínua se assumir valores em um conjunto infinito não
enumerável.
EXEMPLO 2: O tempo (em horas) de durabilidade de um certo tipo de lâmpada.
Ω = {1200; 2300}
7

2.1.1 Distribuição Discreta de Probabilidade
Distribuição Discreta de Probabilidade é um conjunto de valores xi que a v.a X assume, juntamente com as probabilidades
associadas a estes valores.
p(xi) = P (X = xi)
EXEMPLO 3: Considerando o exemplo 1 temos:
VALORES DE X 0 1 2
PROBABILIDADES (P (X = xi)) 1/4 2/4 1/4
Observe que: 1 2 1
4 + 4 + 4 = 1 e os valores são todos positivos, com isto temos as seguintes propriedades:
1) p(xi) ≥ 0 ∀x ∈ X
2) ∑
i p(xi) = 1
Então uma distribuição discreta de probabilidade fica caracterizada pelos valores da v.a e pela função que associa
os valores xi às respectivas probabilidades p(xi).
EXERCÍCIO 1: Dois dados são lançados. Seja a v.a. X a soma das faces superiores.
Calcule:
X
P(X=x)
• 1) P (X = 7) =.......................................
• 2) P (X ≤ 4) =.......................................
• 3) P (X < 6) =.......................................
• 4) P (X ≥ 10) =.......................................
• 5) P (6 < X < 9) =.......................................
2.1.2 Distribuição Contínua de Probabilidade
Quando temos um número infinito não enumerável de pontos no spaço amostral, não é possível calcular a probabilidade
em cada valor assumido pela variável aleatória e assim precisamos da função densidade de probabilidade (f.d.p)
DEFINIÇÃO: Uma função f(x) é denominada f.d.p se a variável aleatória contínua satisfaz as condições:
1) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R
2) ∫ ∞
f(x)dx = 1
−∞
2.1.3 Função de Distribuição Acumulada de uma V.A.
Dada uma variável aleatória X a função de distribuição de probabilidade f(x) é uma aplicação F : X → [0, 1] tal
que:
F (x) = P (X ≤ x)
2.1.4 Valor Esperado (ou Média ou Esperança Matemática) de uma Variável Aleatória
A Esperança de uma variável aleatória X é denotada por E(X) e é definida por:
• variáveis aleatórias discretas:
• variáveis aleatórias contínuas:
E(X) = ∑
xip(xi)
∫
E(X) = xf(x)dx
8
i

EXEMPLO 4: Determinar a esperança matemática para os dados do exemplo 3.
Resolução:
(
E(X) = 0 × 1
) (
+ 1 ×
4
2
) (
+ 2 ×
4
1
)
= 1
4
EXERCÍCIO 2: Determine a esperança matemática para os dados do exercício 1.
2.1.5 Propriedades da Esperança Matemática
Se X e Y são v.a’s. e a e b são constantes então:
1) E(a) = a
2) E(bX) = b × E(X)
3) E(X + a) = E(X) + a
4) E(a + bX) = a + b × E(X)
5) E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6) Se X e Y são independentes então: E(XY ) = E(X) × E(Y )
2.1.6 Variância e Desvio Padrão de uma Variável Aleatória
Uma medida de dispersão para uma v.a. é a variância que é definida por:
σ 2 = V AR(X) = E(X 2 ) − (E(X)) 2
OBS.: E(X 2 ) = ∑ x 2 i p(xi).
Para exprimir essa dispersão na mesma unidade de medida que a variável aleatória definiremos o desvio padrão:
2.1.7 Exercícios
σ = DP (X) = √ V AR(X)
1) Um lojista mantém registros de vendas diárias de liquidificadores. O quadro abaixo nos fornece o número de
aparelhos vendidos em uma semana e as respectivas probabilidades,
X 0 1 2 3 4 5
P (X = x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
Se o lucro por unidade vendida é de R$20, 00, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana?
2) Uma v.a. X tem a seguinte distribuição de probabilidade:
Qual a probabilidade de que X seja maior que 5?
X 3 6 8
P (X = x) 0,4 0,3 0,3
3) Considere a v.a X: número de meninos em uma família com 3 crianças
a) Encontre a distribuição de probabilidade de X;
b) Encontre o número esperado e a variância do número de meninos. (2; 0, 75)
9

4) Os dados abaixo representam a demanda diária de certo produto:
a) Qual a demanda média deste produto? (3, 5)
b) Qual o desvio padrão? (1, 3)
X 1 2 3 4 5
P (X = x) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3
5) Um vendedor determinou a probabilidade de realizar determinado número de vendas X por dia, visitando oito
possíveis compradores. Com base no quadro abaixo determine :
X 1 2 3 4 5 6 7 8
P (X = x) 0,04 0,15 0,20 0,25 0,19 0,10 0,05 0,02
a) a probabilidade de se realizar no máximo 4 vendas diárias; (0, 64)
b) o número esperado de vendas diárias e o desvio padrão. (4; 2, 52; 1, 59)
6) Descobriu-se que a chegada de clientes a um banco no centro da cidade durante intervalos aleatoriamente
escolhidos de 10 minutos, segue a distribuição de probabilidade abaixo. Calcule o número esperado de chegadas,
bem como a variância das chegadas. (2; 1, 9)
X 0 1 2 3 4 5
P (X = x) 0,15 0,25 0,25 0,20 0,10 0,05
7) Suponhamos que um número seja sorteado entre os números inteiros positivos de 1 a 10. Seja X:o número de
divisores do número sorteado. Calcular número médio de divisores do número sorteado. (2, 7)
8) Uma seguradora paga R$30.000, 00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de R$1000, 00. Sabe-se
que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro
segurado? (R$100, 00)
9) Num jogo de dados, Jonas paga R$20, 00 a Marcos e joga 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados apenas,
Jonas ganha R$20, 00. Se sair face 1 em apenas 2 dados, Jonas ganha R$50, 00. Se sair face 1 nos 3 dados,
Jonas ganha R$80, 00. Calcule o lucro médio de Jonas em uma jogada. (−R$9, 21)
10) Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Oferece um prêmio de R$150, 00 para cada cliente
atendido além de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de R$100, 00 para cada cliente
atendido além de 41 clientes. As probabilidades de atendimento são:
n o de clientes (X) até 41 42 43 44 45 46
P (X = x) 0,88 0,06 0,04 0,01 0,006 0,004
Qual a esperança de ganho do banco se este novo sistema for implantado?
X : ganho (lucro)
10

2.2 Principais distribuições Discretas:
Utilizando a teoria de probabilidades em situações concretas podemos determinar um modelo probabilístico adequado
à situação.
2.2.1 Distribuição de Bernoulli
Considere um experimento em que só pode ocorrer sucesso ou fracasso, por exemplo:
• Uma peça é escolhida ao acaso em certo lote e verifica-se: a peça é defeituosa ou não
• Uma moeda é lançada: o resultado é cara ou não;
• Um dado é lançado: ocorre face 6 ou não.
Esses experimentos são denominados experimentos de Bernoulli e só admitem dois resultados possíveis: Sucesso
(S) ou fracasso (F). tal que X = 1 se ocorre sucesso e X = 0 se ocorre fracasso. A probabilidade de ocorrer sucesso
é p, constante em cada realização da prova e a de fracasso será q = 1 − p, valor também constante.
A esperança e a variância de uma v.a. de Bernoulli é:
2.2.2 Distribuição Binomial
E(X) = p
σ 2 (X) = pq
Consideremos um experimento em que estamos interessados num particular de seus eventos. Registramos em cada
repetição do experimento a ocorrência ou não desse evento. A ocorrência do evento de interesse será denominada
sucesso (S) e a sua não-ocorrência, fracasso (F).
São realizadas n provas de Bernoulli independentes e a probabilidade p é cte.
Assim , para k = 0, 1, 2, . . . , n temos:
( )
n
P (X = k) = p
k
k (1 − p) n−k
(1)
A equação (1) é denominada distribuição Binomial comparâmetros n e p onde n é o número de ensaios e p é
( a probabilidade ) de sucesso em cada ensaio.
n
representa o número de combinações de n elementos tomados k a k.
k
A esperança e a variância de uma v.a. Binomial é dada por:
E(X) = np
σ 2 (X) = npq − np(1 − p)
EXEMPLO 5: Qual a probabilidade de se obter uma única face 2 em três jogadas de uma dado?
Resolução:
Seja a v.a. X:obter um único 2. Assim X = {0, 1, 2, 3}
Temos que p = 1/6, então q = 1 − p = 1 − 1/6 = 5/6, logo a probabilidade de sucesso é:
) 1 1
P (X = 1) =
( 3
1
6
× 5 (3−1)
= 0, 35
6
EXERCÍCIO 3: Suponha que em um processo de fabricação, de cada 100 peças produzidas 10 sejam defeituosas.
Se 8 peças são retiradas ao acaso, qual a probabilidade de:
• que exatamente 2 delas sejam defeituosas?
• que mais que 5 delas sejam defeituosas?
• no máximo 2 delas sejam defeituosas?
• todas sejam boas?
• no mínimo 3 e no máximo 5 sejam defeituosas?
11

2.2.3 Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson tem um número de aplicações vasto, pois pode ser utilizado como uma aproximação da
distribuição Binomial e também em situações onde os eventos ocorrem em intervalos de tempo.
Consideremos as seguintes situações:
• N o de chamadas telefônicas recebidas em uma central telefônica durante meia hora.
• N o de falhas em um computador em um dia de observação.
• N o de acidentes de trabalho em uma fábrica durante uma semana.
• N o de bactérias em um copo de água não purificada.
DEFINIÇÃO: A v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ se para k = 0, 1, 2, . . .
onde λ é o parâmetro populacional (taxa)
A esperança e a variância são dadas por:
P (X = k) = e−λ λ k
E(X) = λ
k!
V AR(X) = λ
EXEMPLO 6: Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. As chamadas que chegam
supostamente seguem um distribuição de Poisson. Calcule a probabilidade de que a central não receba chamadas
durante um intervalo de 1 minutos.
P (X = 0) = e−5 × 50 = 0, 006
0!
EXERCÍCIO 4: Considerando o exemplo 6, qual a probabilidade de se obter no máximo duas chamadas em 4
minutos?
2.2.4 Exercícios
1) Se jogarmos 5 moedas simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos três caras? (31, 25%)
2) Admite-se que um terço dos adultos de certa região sejam alfabetizados. Qual a probabilidade que de dentre
5 adultos escolhidos ao acaso:
– dois sejam alfabetizados? (32, 92%)
– mais que dois sejam alfabetizados? (20, 99%)
3) Uma prova tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas onde apenas 1 resposta é correta..
Se um aluno resolve a prova a esmo, qual a probabilidade de que ele tire nota 5? (OBS.: a prova vale 10)
(0, 000002)
4) Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo
menos 3 erros? (0, 08)
5) Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
– em um minuto não haja chamada alguma? (0, 0067)
– em 2 minutos ocorram 2 chamadas? (0, 00227)
6) Considere 10 tentativas independentes de um experimento. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade
0,05. Seja X : número de sucessos,
– Calcule P (1 < X ≤ 4) (0, 086)
– Considere 100 tentativas independentes. Calcule P (X ≤ 2) (0, 1246)
12