PRIMEIROS CONCEITOS - Uem

ESTATÍSTICA **** Ponto 2 – PRIMEIROS CONCEITOS **** Pág. 1 de 7
PRIMEIROS CONCEITOS
Daremos início a nossas aulas pelo seu alicerce: os conceitos iniciais,
aquelas noções básicas, cujo conhecimento se faz essencial ao desenrolar da
matéria.
Quero deixar claro que nosso objetivo será o de atacar o programa do AFRF
(Fiscal da Receita), tendo em vista, inclusive, a expectativa de novos concursos
em breve! Neste intuito, serei o mais objetivo possível, de forma que estarei
ressaltando certos assuntos e explicando outros de forma menos enfática,
conforme estejam ou não inseridos no espírito das últimas provas realizadas pela
ESAF!
Esta primeira aula é a mais, digamos, enfadonha... pelo fato de ser
teórica em sua essência. Mas sua importância é indiscutível, para nos dar a
noção inicial da disciplina.
Passemos, pois, aos primeiros conceitos:
Estatística:
Trata-se de um ramo da Matemática Aplicada, uma metodologia, uma técnica
científica, adotada para se trabalhar com dados, ou seja, com elementos de
pesquisa. Esta metodologia consiste em uma série de etapas, que serão explicadas
por meio do exemplo abaixo:
Se eu pretendo realizar uma pesquisa para saber dos alunos de um colégio,
quantos livros cada um deles lê por ano, o primeiro passo seria, obviamente,
coletar esta informação, questionando um a um dos alunos. Feito isto, verei que
as respostas estão desordenadas, desorganizadas, ou seja, estão fora de uma
ordem (por exemplo: 8, 4, 7, 9, 5, 3, 15, 12, etc). Até aqui, os dados são
chamados dados brutos, com os quais sequer podemos trabalhar. Surge, pois, a
necessidade de se proceder a uma organização dos dados, para enfim passarmos à
sua apresentação. Podemos, então, dispor estes dados brutos em um arranjo
crescente (que poderia ser também decrescente!), a que chamaremos de rol. E o
nosso rol seria, neste caso: {3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15, ...}.
Estas três etapas iniciais resumem-se em um único termo: síntese dos
dados!
Realizada a síntese dos elementos, chegamos a uma fase mais complexa do
processo estatístico, que consiste na análise dos dados, com a qual
descobriremos, por exemplo, quantos livros em média lêem por ano os alunos
daquele colégio. Por fim, a partir da análise realizada, poderemos chegar a uma
tomada de decisão, para, suponhamos, investir ou não em uma livraria naquela
cidade ou naquela redondeza.
Os autores fazem, dentre estas etapas, uma classificação da estatística, a qual já
foi objeto de questões teóricas em algumas provas passadas!
Estatística Descritiva ou Dedutiva:
Lembraremos dela como a Estatística do D. É aquela encarregada dos primeiros
passos do processo estatístico, quais sejam, a coleta, a organização e a descrição (ou
apresentação) dos dados. Conforme dito acima, estas etapas iniciais podem ser resumidas
apenas como síntese dos dados. Portanto, se a questão perguntar se a estatística
descritiva é responsável pela síntese dos dados, isto estará correto!
Estatística Indutiva ou Inferencial:
Será, para efeitos mneumônicos, a Estatística do I. É a responsável pelas etapas
finais do processo estatístico: a análise e a tomada de decisões. É a parte mais
profunda, mais elaborada, enfim, mais complexa da estatística!

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Dica de Prova: para distinguir a estatística descritiva da indutiva, basta
lembrar-se do D (de descritiva) e do I (de indutiva) e pensar que, no alfabeto,
o D vem antes do I, logo, a estatística do D vem antes, ou seja, abraça os
primeiros passos do método estatístico, enquanto a do I vem depois, ficando com
as etapas finais.
População:
Também chamada de Conjunto Universo. É aquele conjunto do qual se deseja
extrair a informação, e cujos elementos têm, pelo menos, uma característica
comum.
Naquele exemplo do colégio, em que íamos pesquisar o número de livros que
os alunos lêem por ano, fica claro que a população seria o conjunto dos
estudantes daquela escola. Primeiramente, porque é deste conjunto que se deseja
extrair a informação; em segundo lugar, apresentam a característica comum de
serem todos alunos do mesmo colégio.
Observe que o significado estatístico de população difere do seu
significado geográfico! Se a questão afirmar somente que população é um conjunto
de pessoas, isto estará incompleto, portanto errado!
Censo:
É uma das formas de se processar um estudo estatístico. Suponha que aquele
mesmo colégio do exemplo acima tenha precisamente mil estudantes. Se, na minha
pesquisa, eu resolver consultar todos os alunos, ou seja, todos os elementos da
minha população, fazendo o questionamento a cada um deles, sem exceção, estarei
realizando um censo.
Ou seja, o censo é o tipo de estudo estatístico que abrange todos os
elementos da população.
Amostragem:
É o tipo de estudo estatístico que se contrapõe ao censo. Como o próprio
nome indica, aqui será utilizada uma amostra, ou seja, uma parte, um subconjunto
da população, que terá o condão de representar o conjunto inteiro. Ou seja, para
que se possa considerar uma parte da população como uma amostra, é preciso que
esta parte seja representativa do todo.
Se a questão afirmar que amostra é uma parte da população, e apenas isso,
então a questão estará errada! É preciso frisar a característica essencial de
uma amostra, que é a representatividade. Assim, estaria correta a assertiva:
amostra é uma parte da população (um subconjunto), a partir da qual podemos
auferir conclusões acerca desta mesma população. Observa-se, assim, o caráter de
representatividade da amostra.
Algumas Razões para a Adoção da Amostragem:
São todas elas intuitivas:
a) Quando a população é muito grande. Por exemplo, uma pesquisa eleitoral,
realizada em um município com milhões de eleitores. Seria quase impossível
entrevistar cada eleitor! Coleta-se, pois, uma amostra.
b) Quando se deseja o resultado da pesquisa em curto espaço de tempo. Vale o mesmo
exemplo da pesquisa eleitoral. Às vezes se deseja atualizar o resultado destas
pesquisas de dois em dois dias, ou mesmo diariamente. Não seria possível se
entrevistar milhões de eleitores neste intervalo.
c) c) Quando se deseja gastar menos. Evidentemente, sai mais barato entrevistar
algumas centenas ou mesmo milhares de pessoas, que entrevistar alguns milhões.

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Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Evento:
Surgem aqui três conceitos, que serão apresentados conjuntamente, por
estarem intrinsicamente relacionados.
O significado de Experimento Aleatório poderá ser mais bem compreendido,
se separado em três pontos:
1.º) É todo experimento que pode ser realizado indefinidas vezes, mantidas
as mesmas condições iniciais;
2.º) Antes de ser realizado, não é possível afirmar qual será o resultado
do experimento aleatório.
Observe que este segundo ponto é uma condição imprescindível para que um
experimento seja considerado aleatório. A priori, ou seja, antes de acontecer,
não se pode ter certeza de qual será o resultado do experimento aleatório!
3.º) Embora não conhecendo a priori o resultado do experimento aleatório
(2.º ponto), mesmo antes de realizar o experimento aleatório é possível
descrever todos os resultados possíveis deste experimento.
Ora, imaginemos o lançamento de um dado (daqueles que a gente joga na
mesa), e analisemos se isto poderia ser considerado um experimento aleatório...
1.º) É possível repetir a experiência de lançar um dado indefinidas vezes,
mantidas as mesmas condições? Ora, claro que sim! Se eu quisesse (tenho coisa
melhor a fazer), poderia dedicar o resto dos meus dias a lançar o mesmo dadinho
sobre a mesma mesa, sempre nas mesmas condições.
2.º) É possível, antes de lançar o dado, afirmar qual será exatamente o
seu resultado? Claro que não, se considerarmos que o dado é normal (um dado de
seis faces, com um valor diferente, de 1 a 6, em cada face). Poderemos tentar
adivinhar, que dará um 6 ou um 4, mas afirmar com absoluta certeza, isso não
podemos.
3.º) Antes de lançar o dado, é possível descrever o conjunto dos
resultados possíveis? Claro! No caso, este conjunto será {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sabemos que, se o dado é convencional, os resultados possíveis são de 1 a 6.
Conclusão: o lançamento de um dado (convencional, não viciado) é um
experimento aleatório!
Com esta conclusão, e para efeitos mneumônicos, lembraremos da Teoria do
Dado, para trabalharmos os três conceitos que estamos agora estudando!
O segundo conceito é o de Espaço Amostral (ou Espaço Amostra), que é um
conceito, digamos, anterior à realização do experimento aleatório, e nada mais é
do que o conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório!
Com a Teoria do Dado nos lembraremos que antes de jogar o dadinho, sabemos
que os resultados possíveis deste experimento aleatório são {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Pois bem: este é o espaço amostral daquele experimento aleatório! Repito:
observemos que o espaço amostral já é conhecido, mesmo antes do experimento ser
realizado!
O terceiro conceito é o de Evento, o qual, por sua vez, é um conceito posterior à
realização do experimento aleatório, pois consiste simplesmente no resultado do
experimento! Quando eu lancei o dado, e caiu o número 5, este é o evento: {5}.
Logicamente, como vimos, o evento só será conhecido a posteriori, ou seja, após a
realização do experimento.
Uma questão interessante de concurso falava sobre experimento aleatório com espaço
amostral uniforme, definindo-o como aquele espaço amostral cujos elementos seriam todos
iguais... Vamos pensar sobre isso! Imaginemos um dado

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viciado, ou seja, um dado que traga o número 6 em todas as faces. Isto estaria
de acordo com este conceito criado pela questão. Neste caso, o espaço amostral –
o conjunto dos resultados possíveis – seria: {6, 6, 6, 6, 6, 6}. Ora, deste modo
seria possível prever o resultado do lançamento deste dado? Claro que sim! Seria
6, certo? Uma vez que todas as faces trazem este valor, não seria possível outro
resultado! Agora, recordando o segundo ponto do conceito de experimento
aleatório, vemos que, uma das condições deste conceito é a imprevisibilidade do
resultado! Concluímos, daí, que espaço amostral uniforme é uma ficção, não
existe, uma vez que destrói o próprio conceito de experimento aleatório!
Variável:
É o objeto da pesquisa! É aquilo que estamos investigando. Por exemplo, se
eu pergunto quantos livros você lê por ano, esta é a minha variável: número de
livros lidos por ano; se a pesquisa questiona qual a sua altura, então altura
será a variável; da mesma forma, pode-se pesquisar uma infinidade de outras
variáveis: nível de instrução, religião, cor dos olhos, peso, estado civil,
nacionalidade, raça, número de pessoas que moram na sua casa etc, etc. O objeto
da pesquisa, do estudo estatístico, será, pois, a variável!
Classificação das Variáveis:
Há, inicialmente, uma divisão principal para as variáveis estatísticas,
que consiste em considerá-las como: Variáveis Quantitativas e Variáveis
Qualitativas. Esta divisão é de facílima compreensão: será quantitativa a
variável para a qual se possa atribuir um valor numérico! Ou seja, se a resposta
fornecida à pesquisa estiver expressa por um número, então a variável é
quantitativa. Por exemplo: quantos livros você lê por ano? A resposta é um
número? Então, variável quantitativa. Quantas pessoas moram em sua casa? A
resposta é um número? Então, novamente, variável quantitativa. Agora, se a
pergunta é “qual a sua cor preferida?”, logicamente a resposta não será um
número, daí estaremos tratando de uma variável qualitativa, ou seja, aquela para
a qual não se atribui um valor numérico.
Dentro desta classificação inicial, há uma outra, outrora bastante
explorada em provas, e que diz respeito às variáveis quantitativas.
As Variáveis Quantitativas podem ser: discretas ou contínuas.
Variável Discreta é a variável quantitativa que não pode assumir qualquer valor,
dentro de um intervalo de valores de resultados possíveis. Por exemplo, se eu
pergunto quantos irmãos você tem, a resposta jamais poderia ser “tenho 3,75
irmãos”, ou “tenho 4,8 irmãos”, ou seja, a resposta não poderia assumir todos os
valores de um intervalo! Ou ainda, as respostas possíveis seriam sempre
descontínuas.
Este acima é o conceito formal de variável discreta! O conceito mneumônico
é o seguinte: aquela variável obtida por meio de uma contagem. Em outras
palavras: a variável discreta você conta!
Exemplos: quantas pessoas moram na sua casa? Quantos livros você tem em sua
estante? Quantos carros importados você tem na sua garagem? Se, para responder à
pergunta, você faz uma contagem, então está diante de uma variável quantitativa discreta
(ou descontínua).
Por sua vez, a Variável Contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro
de um intervalo de resultados possíveis. Se eu pergunto quantos quilos você pesa, a
resposta pode ser 65,357kg. Se eu pergunto qual a temperatura na cidade hoje, a resposta
pode ser 27,35°C. Para facilitar a memorização, basta lembrar que a variável contínua
pode ser obtida por uma medição, ou seja, a

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variável contínua você mede! Exemplos: peso, altura, duração de tempo para
resolução de uma prova, pressão, temperatura etc, etc.
Dados Brutos:
Como o próprio nome indica, são os dados obtidos da pesquisa, dispostos da
mesma forma como foram coletados, sem que tenha sido feito com eles qualquer
ordenamento. Em outras palavras, podemos dizer que são os resultados das
variáveis dispostos aleatoriamente, isto é, sem nenhuma ordem de grandeza
crescente ou decrescente.
Rol:
Vimos que uma das etapas do processo estatístico consiste em organizar os
dados. Inclusive, já sabemos que organizar os dados é um dos passos da
Estatística Descritiva ou Dedutiva (a Estatística do D!). Daí, uma forma de
organizar os dados brutos consiste em dispor estes dados em uma ordem crescente
ou decrescente. Daí, rol nada mais é que a ordenação dos dados brutos, de um
modo crescente ou decrescente.
Uma questão de prova afirmava apenas que o rol é um arranjo dos dados
brutos. E aí, certo ou errado? Vejamos que arranjo pode ser qualquer forma de
dispor os dados. Para ser rol, teria a questão que falar em arranjo em ordem
crescente ou decrescente. Errado, portanto, este item.
Séries Estatísticas:
São nada mais que tabelas, as quais expressam o resultado de um estudo
estatístico. Se, olhando para esta tabela, pudermos identificar três elementos,
quais sejam: o objeto do estudo, o local e a época da pesquisa, então estaremos
diante de uma série estatística. É, portanto, uma maneira de apresentar os dados
estatísticos, de uma forma tabulada.
São três, pois, os elementos de uma série estatística: 1) o fato: é o
fenômeno que foi investigado, e cujos valores estão sendo apresentados na
tabela; 2) o local: indica o âmbito geográfico ou a região onde o fato
aconteceu; 3) a época: refere-se ao período, data ou tempo, quando o assunto foi
investigado.
Logo, ao apresentarmos uma série estatística, devemos apresentar respostas
às seguintes perguntas: O quê? Quando? Onde? Tais perguntas serão respondidas,
respectivamente, pelos elementos: descrição do fato, época e local.
Na série estatística haverá sempre um elemento que sofrerá variações. A
partir deste elemento, estabeleceremos uma classificação para as séries
estatísticas.
Classificação das Séries Estatísticas:
Dependendo do elemento que varia e dos elementos que permanecem fixos, as séries
serão classificadas em: Históricas, Geográficas, Específicas e Distribuição de
Freqüências.
Serão chamadas Séries Históricas aquelas cujo elemento que sofrerá variação é a
época, permanecendo fixos o local e a descrição do fenômeno.
Vejamos o exemplo abaixo:
PRODUÇÃO DE MINÉRIO DE MANGANÊS ---- PARÁ
Anos Quantidade (*)
(toneladas)
(*) Valores hipotéticos.
1978 12.104.375
1979 13.072.942
1980 18.739.223
1981 16.435.838
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Observemos que, olhando esta tabela acima, saberemos dizer qual foi o
fenômeno estudado, qual o local e a época da pesquisa. Verificamos ainda que,

destes elementos, o objeto do estudo é fixo (produção de manganês), o local é
fixo (Pará), porém a época da pesquisa varia de 1978 a 1981, determinando, por
isso, que se trata de uma série histórica.
Existem alguns sinônimos para este tipo de série estatística, e que devem
ser cuidadosamente memorizados, para o caso de uma questão teórica. São eles:
séries cronológicas, temporais ou de marcha.
Serão chamadas Séries Geográficas aquelas cujo elemento variável será o
local, permanecendo fixos o tempo e a descrição do fenômeno. São igualmente
chamadas de séries espaciais, territoriais ou de localização. Convém dedicarmos
especial atenção a estes sinônimos! Vejamos o exemplo abaixo:
PRODUTO INTERNO BRUTO - 1980
Países US$
(bilhões) (*)
(*) valores hipotéticos.
Holanda 126,3
Itália 106,3
França 103,6
Portugal 92,0
Verifica-se, facilmente, que são fixos o fenômeno estudado (produto
interno bruto) e a época da pesquisa (1980). Todavia, o elemento local sofre
variação, caracterizando, por isso, esta série estatística como série
geográfica.
Chamar-se-ão Séries Específicas aquelas cuja descrição do fenômeno sofrerá
variação, permanecendo fixos os elementos local e tempo. Recebem ainda os
sinônimos de séries especificativas ou categóricas. Analisemos o exemplo abaixo:
Número de alunos concludentes.
UFPE – 2000
Cursos n.º alunos (*) (*) valores hipotéticos
Direito 238
Medicina 125
Engenharia 74
Estatística 1
Observemos que permanecem fixos o local da pesquisa (UFPE – Universidade
Federal de Pernambuco) e a época (ano 2000). Todavia, o fenômeno estudado está
sofrendo uma variação, em diversas categorias (daí o nome categóricas), dando
ensejo a esta classificação das séries específicas.
A quarta e última espécie de série estatística é, de longe, a mais
importante delas. Trata-se da chamada Distribuição de Freqüências! A maioria das
provas de estatística trabalha as questões tomando por base dados apresentados
sob esta forma, ou seja, dados dispostos na Distribuição de Freqüências. Por
este motivo, daremos redobrada ênfase a este tópico, reservando, inclusive, uma
aula inteira para tratarmos deste assunto. Na Distribuição de Freqüências, os
dados são ordenados segundo um critério de magnitude, em classes ou intervalos,
permanecendo fixos o fato, o local e a época. Isto é, embora o fenômeno estudado
seja único, este sofrerá uma subdivisão em classes! Vejamos o exemplo a seguir:
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Altura dos alunos do curso X. – 27/08/2002
Alturas (m) Nº de alunos
1,50 |----- 1,60 14
1,60 |----- 1,70 29
1,70 |----- 1,80 37
1,80 |----- 1,90 18

1,90 |----- 2,00 2
Observemos que o fenômeno estudado é único (altura dos alunos), todavia
está se subdividindo em várias classes! Temos, pois, a classe dos alunos com
altura variando entre 1,50m e 1,60m; a classe dos alunos com altura entre 1,60m
e 1,70m, e assim por diante. Quando formos detalhar, em uma próxima aula, a
Distribuição de Freqüências, voltaremos a falar sobre as classes e sobre todos
os demais elementos deste tipo de série estatística!
OK! Chega de teoria por hoje... Ficamos agora com algumas questões de
concursos, e o gabarito comentado iniciará a aula seguinte. Até lá, e um grande
abraço!
EXERCÍCIOS DE HOJE
1. (TCU-93) Assinale a opção correta:
a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à
síntese de dados numéricos.
b) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de
uma dada população recebe o nome de censo.
c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são
tomadas decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra.
d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus
componentes.
e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de
uma amostra aleatória.
2. (TCDF-95) Assinale a opção correta:
a) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.
b) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de
determinado intervalo.
c) Freqüência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa
variável.
d) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.
e) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.
3. (TTN-94) Marque a opção correta:
a) Um evento tem, no mínimo, dois elementos de espaço-amostra de um experimento
aleatório.
b) Em um experimento aleatório uniforme todos os elementos do espaço-amostra são
iguais.
c) Dois experimentos aleatórios distintos têm, necessariamente, espaços-amostra
distintos.
d) Uma parte não-nula do espaço-amostra de um experimento aleatório define um
evento.
e) Um experimento aleatório pode ser repetido indefinidamente, mantidas as
condições iniciais.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 1 de 8
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Conforme combinado na aula passada, iniciamos hoje com o comentário dos
exercícios que ficaram. Vamos a eles:
1. (TCU-93) Assinale a opção correta:
a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à
síntese
de dados numéricos.
FALSO. Vimos que síntese é a palavra que resume as primeiras etapas do processo
estatístico (coleta, organização e descrição dos dados), que fazem parte da
Estatística Dedutiva (a Estatística do D).
b) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de
uma dada população recebe o nome de censo.
VERDADEIRO. É exatamente o conceito de censo, que abrange a totalidade dos
elementos da população investigada.
c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são
tomadas
decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra.
FALSO. Análise dos dados e tomada de decisões são as etapas finais do processo
estatístico, e pertencem à Estatística Indutiva ou Inferencial (a Estatística
do I). Percebamos que os itens (a) e (c) vieram com os conceitos invertidos!
d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus
componentes.
FALSO. Vimos que existe a possibilidade de se trabalhar apenas com uma parte da
população, um subconjunto, que deverá ser representativo do todo. Estamos
falando da amostra, e o estudo correspondente, a amostragem.
e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de
uma amostra
aleatória.
FALSO.
2. (TCDF-95) Assinale a opção correta:
a) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.
FALSO. De graça esta! Faltam aqui as duas características que definem uma
população: o interesse em se extrair dela uma informação e que todos os seus
elementos tenham ao menos uma característica comum.
b) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de
determinado intervalo.
FALSO. É esse justamente o conceito de variável contínua (aquela que se mede!).
Contrariamente, a variável discreta ou descontínua (aquela que se conta) não
pode assumir qualquer valor.
c) Freqüência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa
variável.
FALSO. Ainda não falamos sobre isso. Este assunto, dos tipos de freqüências, só
será visto na quarta aula, então vamos por eliminação!

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 2 de 8
d) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo.
VERDADEIRO. Isso já vimos e está totalmente de acordo. Só recordando, outros
sinônimos de série cronológica são: séries temporais, históricas ou de marcha.
Nelas, o elemento que sofre variação é a época.
e) Amplitude
total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.
FALSO. Também não falamos ainda sobre Amplitude Total, mas por eliminação já
matamos que é falsa. Este conceito surgirá no final da aula de hoje! Então,
após estudar a presente aula, retorne a este item para comprovar que está
errado!
3. (TTN-94) Marque a opção correta:
a) Um evento tem, no mínimo, dois elementos de espaço-amostra de um experimento
aleatório.
FALSO. Para resolver esta questão, vamos nos lembrar da Teoria do Dado. O
Evento é o resultado do experimento aleatório. Joguei o dado e deu {5}. Logo,
{5} é o evento. Ora, {5} é apenas um dos elementos do Espaço Amostral deste
experimento, logo a opção é incorreta.
b) Em um experimento aleatório uniforme todos os elementos do espaço-amostra
são iguais.
FALSO. Inclusive já comentamos este item na aula passada. Se todos os elementos
do Espaço Amostral fossem iguais, já se poderá conhecer, a priori, qual será o
resultado do Experimento Aleatório. Isso vai de encontro, como sabemos, ao
próprio conceito de Experimento Aleatório.
c) Dois experimentos aleatórios distintos têm, necessariamente, espaços-amostra
distintos.
FALSO. Tomemos dois experimentos aleatórios distintos: o lançamento do dado A,
e o lançamento do dado B. Lancei o dado A, e o resultado, ou seja, o evento foi
{3}. Lancei o dado B, e o resultado foi, adivinhem, {3} também. O
“necessariamente” do enunciado matou o item...
d) Uma parte não-nula do espaço-amostra de um experimento aleatório define um
evento.
FALSO. Esta é boa! Bastante sutil! Para entendê-la tínhamos que lembrar que
Espaço Amostral e Evento são conceitos que surgem em momentos distintos. Ou
seja, o Espaço Amostral é conhecido antes da realização do Experimento
Aleatório; enquanto que Evento só é conhecido após a sua realização. Daí,
podemos passar o resto da vida a jogar um dadinho na mesa, e nunca – em tempo
algum – o resultado dar {5}. Ou seja, um valor do Espaço Amostral, enquanto não
se tornar resultado de um Experimento Aleatório, jamais será tomado por Evento.
e) Um experimento aleatório pode ser repetido indefinidamente, mantidas as
condições iniciais.
VERDADEIRO. O item mais fácil da questão. Quem começou a resolvê-la de trás
para frente, matou esta questão na hora! Temos aqui apenas uma parte do
conceito de Experimento Aleatório.
A bem da verdade, as últimas provas da ESAF não têm exigido diretamente os
conceitos que aprendemos na aula passada. Todavia, não poderíamos jamais deixar
de conhecê-los, por serem o alicerce do programa.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 3 de 8
Hoje, mergulharemos na Distribuição de Freqüência, para conhecê-la
aprofundadamente.
Não tenho receio em afirmar que estas primeiras aulas são as mais
importantes do nosso curso. Em breve, comprovaremos isso mais concretamente!
Vamos à Distribuição de Freqüências...
Conforme vimos na aula passada, a Distribuição de Freqüências é um tipo de
série estatística, ou seja, uma tabela que informa o resultado de uma pesquisa
estatística, de forma que, olhando-se para ela, sabe-se o objeto da pesquisa –
a variável –, além do local e da época em que foi esta pesquisa realizada.
Vimos também que, na Distribuição de Freqüências, a variável estudada é
única, não varia; contudo, esta mesma variável estará subdividida em classes.
A grande maioria dos livros e apostilas ensina a forma de se construir uma
Distribuição de Freqüências, a partir dos elementos fornecidos. Aqui nos
diferenciaremos destes autores, por uma razão bem simples: se o programa do
concurso já pede que se calcule tantas e tantas medidas, então o elaborador não
vai querer que você perca tempo para construir a Distribuição. Ela já vem
pronta, ou quase!
Veremos nas duas próximas aulas que existe, sim, um trabalho preliminar a
ser feito na Distribuição de Freqüências, que diz respeito às colunas de
freqüência, e que deve anteceder à resolução da prova. Mas isso só aprenderemos
nas aulas que virão!
Partiremos, portanto, de uma Distribuição de Freqüências já fornecida.
Vejamos abaixo um exemplo, que nos mostra a variável “altura” dos alunos de uma
classe.
Altura dos alunos (m) Freqüências
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
6
11
19
10
4
Total 50
Observe que neste exemplo, trabalhamos com a variável “estatura”, a qual
classifica-se, conforme já visto, como uma variável quantitativa contínua! O
entendimento das mesas elaboradoras, para efeito de uma questão teórica, é que
em uma Distribuição de Freqüências só se pode trabalhar com variáveis
contínuas, nunca com as discretas. Obviamente adotaremos esta corrente.
Olhando a tabela acima, talvez surja a pergunta: onde estão as
identificações de lugar e época da pesquisa, que devem constar numa série
estatística? O questionamento procede, porém saibamos, desde já, que muitas
questões de prova costumam trazer apenas a tabela, com as classes e
freqüências, sem maiores esclarecimentos acerca sequer da variável que se está
apresentando. Daí, concluímos: para identificar que os dados apresentados estão
em forma de uma Distribuição de Freqüências, bastará observar o fato de os
elementos estarem agrupados em classes. Se estiverem agrupados em classes,
pronto: é uma Distribuição de Freqüências.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 4 de 8
Analisemos, agora, detalhadamente, cada um dos elementos de uma
Distribuição de Freqüências. Posso afirmar, sem medo de cometer exageros, que
este tópico é a base da resolução de uma prova de estatística. Sem se dominar,
sem se conhecer a fundo estes elementos de uma Distribuição, pouco se pode
fazer numa prova!
Classes:
Consistem em um conceito intuitivo: são aquelas subdivisões dos elementos
do conjunto. As classes são sempre definidas por dois limites – inferior e
superior. No exemplo das alturas dos alunos, temos que aquela distribuição
apresenta cinco classes.
Vemos que a primeira classe é a que vai de 1,50m a 1,60m; a segunda classe
vai de 1,60m a 1,70m e assim por diante. A quinta classe vai de 1,90m a 2,00m.
Não há dificuldades em identificar as classes de uma Distribuição de
Freqüências. Aprenderemos em breve que convém verificar se o número de classes
da Distribuição é par ou ímpar, para efeito de analisar a existência de
simetria no conjunto. (Veremos isso a seu tempo!).
Intervalo de Classe:
Existe uma diferença sutil entre o que entendemos por classe e por
intervalo de classe! Um exemplo simples elucidará o fato: se tomarmos, por
exemplo, a quarta classe do nosso exemplo de Distribuição de Freqüências,
veremos que esta classe vai de 1,80m a 1,90m. Eis a questão: um aluno que meça
exatamente 1,90m integrará esta quarta classe? Ora, olhando-se atentamente,
vemos que este valor 1,90m também faz parte da quinta classe (como limite
inferior!). E aí? O aluno com 1,90m será computado na quarta ou na quinta
classe? Aí é que entra o conceito de intervalo de classe! Dependendo da
nomenclatura utilizada pela questão para construir as classes, teremos
definidos os intervalos de classe, e saberemos responder à questão colocada.
São as seguintes as nomenclaturas possíveis para o intervalo:
i) 1,80 |⎯ 1,90 : diz-se intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita.
O tracinho na vertical indica intervalo fechado; a ausência deste
tracinho indica intervalo aberto. O intervalo fechado significa
inclusão, enquanto o intervalo aberto significa exclusão. Daí, neste
caso, teremos que o presente intervalo inclui o limite inferior
desta classe e exclui o seu limite superior. Logo, um aluno com
exatamente 1,90m não estaria participando desta classe. Note bem:
para este exemplo, a classe vai de 1,80m a 1,90m; porém, o intervalo
de classe vai somente de 1,80m a 1,89m.
ii) 1,80 ⎯| 1,90 : aqui temos a situação inversa, ou seja,
intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. Esta nomenclatura
implica na exclusão do limite inferior e inclusão do limite superior
da classe. Neste caso, aquele aluno de exatos 1,90m estaria
participando desta classe, cujo intervalo está variando de 1,81m a
1,90m.
iii) 1,80 |⎯| 1,90 : intervalo fechado à esquerda e à direita.
Vêem-se aqui incluídos neste intervalo tanto o limite inferior
quanto o limite superior da classe. É o único caso em que o
intervalo de classe se confunde com a própria classe. Um aluno com
1,90m estaria participando desta classe, bem como um aluno com
1,80m.
ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 5 de 8
iv) 1,80 ⎯ 1,90 : intervalo aberto à esquerda e à direita.
Excluem-se deste intervalo ambos os limites – inferior e superior –

da classe. Neste caso, somente seriam computados nesta classe alunos
cuja altura variasse entre 1,81m a 1,89m.
Conhecidas as possibilidades para a definição dos intervalos de classes,
uma boa notícia: 99,99% das Distribuições de Freqüências presentes nas questões
de concurso usam uma mesma nomenclatura para esta definição, qual seja:
intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (linf |⎯ lsup ). Esta é a
nomenclatura clássica, incluindo-se no intervalo o limite inferior da classe e
excluindo-se o superior.
Considerando-se, pois, esta nomenclatura clássica, observamos que, uma vez
que o limite superior da classe não está incluído no intervalo, faz-se
necessário que o limite inferior da classe seguinte seja, necessariamente,
igual ao limite superior da classe precedente. Se assim não fosse, haveria uma
descontinuidade, e como já foi citado, trabalhamos aqui com dados contínuos!
Em palavras mais fáceis: onde acaba uma classe, começa a próxima! Ou
ainda: o limite superior de uma classe coincide com o limite inferior da classe
seguinte. Observemos:
Altura dos alunos
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
Limites de uma classe:
São os seus extremos, mais conhecidos como limite inferior (linf) e limite
superior (lsup). Já vimos que classe nem sempre é o mesmo que intervalo de
classe, todavia, para se definir os limites (inferior e superior) de uma
classe, basta olhar onde ela começa e termina, não se levando em conta a
questão
do intervalo de classe.
Por exemplo, para a seguinte classe: 1,80 |---- 1,90 , teremos que o limite
inferior é 1,80 e o limite superior é 1,90. Só isso!
Olhando para a Distribuição acima, qual seria o limite superior da quarta
classe? Naturalmente que a resposta será 1,90!
Ponto Médio de uma Classe:
Como o próprio nome indica, Ponto Médio é aquele elemento que está no meio
da classe, ou seja, que divide a classe em duas partes iguais. Doravante,
designaremos Ponto Médio por PM, e o calcularemos do seguinte modo:
l sup+ l inf
PM =
2
Considerando a primeira classe do nosso exemplo: (1,50 |--- 1,60). Ora,
neste caso até no olho se pode afirmar que entre 1,50 e 1,60 estará o 1,55,
certo? Certíssimo! Ocorre que nem sempre dá para se dizer o resultado sem fazer
as contas.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 6 de 8
Daí, faríamos:
(1,50 + 1,60) / 2 = 3,10 / 2 = 1,65 = PM
Construamos, agora, a coluna dos Pontos Médios da nossa Distribuição de
Freqüências! Teremos o seguinte:
Altura dos alunos PM
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
1,55
1,65
1,75
1,85
1,95
Se observarmos bem, constataremos que os Pontos Médios de uma distribuição
estão dispostos em uma progressão aritmética, ou seja, a diferença entre dois
pontos médios consecutivos é sempre uma constante! Observemos que essa
diferença entre dois pontos médios consecutivos, neste exemplo, é igual a 0,10
(gravemos este valor!).
Guardemos, desde já, mais esta seguinte informação: o Ponto Médio é o
legítimo representativo de uma classe, ou seja, é o elemento que melhor
representa cada classe! Usaremos este dado no futuro.
Amplitude de um Intervalo de Classe:
Tomaremos a palavra amplitude como sinônimo da palavra tamanho. Se estamos
falando em amplitude da classe, trata-se do tamanho da classe. Um conceito
muito simples e útil!
Designaremos a amplitude da classe por h, e a determinaremos da seguinte
maneira:
h = l sup− l inf
Determinemos a amplitude das classes do nosso exemplo:
1,50 |--- 1,60 h = 1,60 – 1,50 h = 0,10
1,60 |--- 1,70 h = 1,70 – 1,60 h = 0,10
1,70 |--- 1,80 h = 1,80 – 1,70 h = 0,10
1,80 |--- 1,90 h = 1,90 – 1,80 h = 0,10
1,90 |--- 2,00 h = 2,00 – 1,90 h = 0,10
Observamos, pois, que as classes todas têm mesma amplitude! Ou seja, o h é
sempre o mesmo! Neste caso, o h é igual a 0,10 (já vimos este valor antes?).
Ora, agora há pouco vimos que para esta mesma Distribuição a distância entre
dois pontos médios consecutivos era igual a 0,10! Coincidência? Nenhuma!
Concluímos que a diferença entre dois Pontos Médios consecutivos é igual à
Amplitude da Classe!
Daí, descobrimos uma nova forma, mais prática, de construir a coluna dos
pontos médios: basta calcularmos o primeiro Ponto Médio – o PM da primeira
classe –, e depois, sairmos somando sempre o valor da amplitude da classe h.
Senão, vejamos: no nosso exemplo, o primeiro Ponto Médio é 1,55 e a amplitude
da classe h=0,10. Teremos, pois:

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 7 de 8
1,50 |--- 1,60 PM = 1,55 1,55 + 0,10 = 1,65 = o próximo PM!
1,60 |--- 1,70 PM = 1,65 1,65 + 0,10 = 1,75 = o próximo PM!
1,70 |--- 1,80 PM = 1,75 1,75 + 0,10 = 1,85 = o próximo PM!
1,80 |--- 1,90 PM = 1,85 1,85 + 0,10 = 1,95 = o próximo PM!
1,90 |--- 2,00 PM = 1,95
Descobriremos agora algumas relações possíveis que envolvem Ponto Médio,
Amplitude da Classe e os limites inferior e superior de uma classe!
Imaginemos que a classe é a reta seguinte, iniciando no limite inferior e
terminando no limite superior. Vejamos:
linf lsup
| |
Agora lembremo-nos que o Ponto Médio – PM – é aquele elemento que está no
centro da classe. Então teremos:
linf PM lsup
| | |
Agora nos lembramos: Amplitude é o mesmo que tamanho. O tamanho da classe
é o h. Vejamos também que, uma vez que o Ponto Médio divide a classe em duas
partes iguais, a distância do limite inferior até o PM será (h/2); assim como
será (h/2) a distância do PM até o limite superior. Teremos:
h/2 h/2
linf PM lsup
| | |
h
Apenas olhando para a figura acima, concluímos que o limite superior de
uma classe é o Ponto Médio do intervalo dessa classe somado com a metade da
Amplitude de classe, ou seja:
⎛ h ⎞
l sup = PM + ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
Concluímos ainda que o limite inferior de uma classe é o Ponto Médio do
intervalo dessa classe subtraído da metade da amplitude de classe, ou seja:
⎛ h ⎞
l inf = PM − ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
Amplitude Total da Distribuição:
Chamamos antes amplitude de tamanho. Logo, Amplitude Total, designada por
AT, consiste simplesmente no tamanho do conjunto inteiro. É um conceito
facílimo e há duas formas de se calcular.

ESTATÍSTICA *** PONTO 3 – Distribuição de Freqüências *** Página 8 de 8
A primeira forma é fazer o cálculo da diferença entre o limite superior da
última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe
(limite inferior mínimo).
AT = L max− L
min
A segunda maneira de determinarmos a Amplitude Total será simplesmente
multiplicarmos o valor da Amplitude da Classe – h – pelo número de classes da
Distribuição. O resultado será o mesmo.
AT = (número de classes).h
Difícil é decidir qual destas duas maneiras é a mais fácil para se chegar
ao valor da AT. Adiante veremos que a Amplitude Total é também considerada uma
Medida de Dispersão! A seu tempo...
De conversa por hoje já chega!!! Agora, passemos aos exercícios... Gabarito
comentado, você já sabe, só no início da próxima aula. Até lá, e um grande
abraço!
EXERCÍCIOS DE HOJE
1. Para o conjunto abaixo, determine o que se pede:
Xi fi
10 !--- 25 2
25 !--- 40 7
40 !--- 55 11
55 !--- 70 13
70 !--- 85 8
85 !--- 100 4
a) Qual a amplitude da classe?
b) Qual a amplitude total?
c) Construa a coluna dos Pontos Médios
2. Se os pontos médios de uma distribuição de freqüências dos pesos dos
estudantes de uma classe são: 52, 58, 64, 70, 76 e 82, determine a amplitude
e os limites da quinta classe:
a) 5; (61 !--- 66)
b) 6; (73 !--- 79)
c) 5; (79 !--- 84)
d) 6; (67 !--- 73)

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 1 de 9
TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS
Oi, pessoal! Vamos retomar, pelos exercícios que ficaram da aula passada.
1. Para o conjunto abaixo, determine o que se pede:
Xi fi
10 !--- 25 2
25 !--- 40 7
40 !--- 55 11
55 !--- 70 13
70 !--- 85 8
85 !--- 100 4
Sol.: Questão das mais fáceis, apenas para efeitos de fixação!
a) Qual a amplitude
da classe?
Resp.) h=15 Basta lembrar que “amplitude da classe = tamanho da classe”.
Daí: (25-10=15; 40-25=15; ...)
b) Qual a amplitude
total?
Resp.) AT=90 Claro! Amplitude Total é o tamanho de todo o conjunto. Assim,
podemos fazer: (Lsup – Linf)=100–10=90, ou ainda AT={h.(número de
classes)}=6x15=90
c) Construa
a coluna dos Pontos Médios
Resp.) Basta fazermos a conta do PM para a primeira classe (a mais de cima),
e daí, sairmos somando com o valor do h, que é 15. Vejamos:
Xi fi PM
10 !--- 25
25 !--- 40
40 !--- 55
55 !--- 70
70 !--- 85
85 !--- 100
2
7
11
13
8
4
17,5 (10+25)/2
32,5 (17,5 + 15)
47,5 (32,5 + 15)
62,5 (47,5 + 15)
77,5 (62,5 + 15)
92,5 (77,5 + 15)
2. Se os pontos médios de uma distribuição de freqüências dos pesos dos
estudantes de uma classe são: 52, 58, 64, 70, 76, 82, determine a amplitude e
os limites da quinta classe:
a) 5; (61 !--- 66)
b) 6; (73 !--- 79)
c) 5; (79 !--- 84)
d) 6; (67 !--- 73)
Sol.: Aqui precisamos lembrar dos conceitos e da relação que existe entre
Amplitude de Classe – h – e os Pontos Médios – PM.
Sabemos que a distância entre dois Pontos Médios é igual à Amplitude da
Classe. Assim, já matamos que o h=6. (58-52=6; 64-58=6; 70-64=6 e assim por
diante).

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 2 de 9
Ora, conhecendo o h, trabalharemos para descobrir a primeira classe, cujo PM é
igual a 52. Façamos o desenho desta classe, para podermos enxergar melhor:
(h/2)=3 (h/2)=3
linf PM=52 lsup
| | |
h=6
Daí, tomaremos aquelas duas relações entre PM, Amplitude h e os limites da
classe, quais sejam...
⎛ h ⎞
⎛ h ⎞
l sup = PM + ⎜ ⎟ e l inf = PM − ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
... e chegaremos aos seguintes valores:
lsup = (52 + 3) = 55 e linf = (52 – 3) = 49
Pronto! Conhecendo a primeira classe, praticamente matamos a questão!
Vamos desenhar a estrutura desta Distribuição de Freqüências, e ver o que já
temos:
Xi PM
49 !--- 55
? !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
52
58
64
70
76
82
Como já sabemos da aula passada, onde acaba uma classe começa a próxima,
ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe
seguinte. Logo, na segunda classe, o limite inferior será 55, ok? Daí,
ficaremos assim:
Xi PM
49 !--- 55
55 !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
52
58
64
70
76
82
Para completar a segunda classe, ou seja, para descobrir o seu limite
superior, bastará somar o limite inferior com a Amplitude da Classe, o h. Não é
claro isso? Teremos que, para esta segunda classe, lsup = 55 + 6 = 61.

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 3 de 9
Ficaremos agora com:
Xi PM
49 !--- 55
55 !--- 61
? !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
? !--- ?
52
58
64
70
76
82
Para determinarmos o restante das classes, só precisaremos continuar com
este mesmo procedimento:
O limite inferior da classe é igual ao limite superior da classe
anterior; e
o limite superior da classe é o seu limite inferior somado à Amplitude
da Classe, h.
Daí, ao final, teremos a seguinte Distribuição de Freqüências:
Xi PM
49 !--- 55
55 !--- 61
61 !--- 67
67 !--- 73
73 !--- 79
79 !--- 85
52
58
64
70
76
82
A questão perguntou a respeito da quinta classe, e as respostas são as
seguintes:
Resp.) h=6 ; linf=73 e lsup=79 Letra B.
Entraremos neste instante em um tópico crucial do programa: o conhecimento
dos diferentes tipos de freqüências – as colunas de freqüência – que podem ser
construídas e utilizadas em uma Distribuição!
Direi porque este tópico é fundamental: sem saber como trabalhar com as
colunas de freqüências, de nada servirá conhecermos todas as fórmulas que
usaremos na prova; corremos o risco de errar uma questão após a outra...!
Agora que consegui prender sua atenção, vamos ao que interessa.
Por primeiro, saibamos que trabalharemos com freqüências que podem ser
absolutas ou relativas. Designadas pela letra f, minúscula ou maiúscula, como
segue:
f Freqüência Absoluta.
F Freqüência Relativa.
O que diferencia a freqüência absoluta (f) da freqüência relativa (F) é o
fato de que, na absoluta trabalha-se com número de elementos; enquanto que na
relativa trabalha-se com percentual de elementos! Logo entenderemos isso
melhor!
Existem seis tipos de freqüências, sendo três freqüências absolutas e três
freqüências relativas! São elas as seguintes:

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág.4 de 9
fi freqüência absoluta simples
Absolutas fac freqüência absoluta acumulada crescente
fad freqüência absoluta acumulada decrescente
Fi freqüência relativa simples
Relativas Fac freqüência relativa acumulada crescente
Fad freqüência relativa acumulada decrescente
Aprenderemos como se construir essas colunas de freqüências e o que
significa cada uma delas! Antes, porém, é preciso conhecer o Caminho das
Pedras, que será usado para se construir tais freqüências. Ei-lo:
fad
fi fad ⇒ Caminho das Pedras!
Fac
Fi
Fad
Este caminho indica o seguinte: a freqüência absoluta simples, fi, é a
mãe, por assim dizer, direta ou indiretamente, de todos os outros tipos de
freqüências.
São diretamente originadas por ela (fi) as freqüências absolutas
acumuladas, crescente (fac) e decrescente (fad), bem como a freqüência relativa
simples (Fi)! Desta última originam-se as freqüências relativas acumuladas,
crescente (Fac) e decrescente (Fad).
Além de ser a mãe das demais freqüências, a absoluta simples (fi) é a mais
importante delas: seu conhecimento se faz necessário na determinação de
praticamente tudo o que se costuma cobrar numa prova de Estatística, como
cálculo da média, moda, mediana, desvio-padrão, variância, coeficiente de
variação, medidas de assimetria, medidas de curtose, medidas separatrizes etc.
Daí a pergunta: se a fi é assim tão essencial numa prova, será ela sempre
fornecida pelas questões? Eis o ponto! Até alguns anos atrás, era já um fato
costumeiro que os enunciados trouxessem (de bandeja) a coluna da fi. Tornou-se
algo tão comum, que muita gente foi surpreendida quando isso deixou de
acontecer! De fato, em provas ocorridas nos últimos três ou quatro anos, os
enunciados passaram a fornecer outras freqüências, que não a fi, embora as
questões continuassem a exigir todas aquelas medidas cujo conhecimento da
freqüência absoluta simples seria essencial.
E então? Como proceder? Simples! Basta percorrer o caminho das pedras ao
contrário, ou seja, o caminho de volta, para se chegar da freqüência fornecida
à freqüência absoluta simples.
Vamos antes conhecer cada uma das freqüências!
Freqüência Absoluta Simples (fi)
Indica, simplesmente, quantos elementos do conjunto pertencem a cada
classe.

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 5 de 9
Tomemos nosso exemplo dos alunos de uma sala de aula:
Altura dos alunos fi
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
6
11
19
10
4
Total 50
A fi da primeira classe é 6, o que indica que há 6 elementos do conjunto
que participam da primeira classe. Traduzindo, para este caso: há 6 alunos com
altura entre 1,50m e 1,60m (na verdade, até 1,59m! Vide intervalo de classe!)
A fi da segunda classe é 11, ou seja, há 11 elementos do conjunto que
participam da segunda classe. Ou ainda: são 11 alunos que medem entre 1,60m e
1,70m (mais precisamente, até 1,69m). E assim por diante!
Uma observação importante: a soma das freqüências absolutas simples é
chamada de freqüência total ou tamanho do conjunto e corresponde, obviamente,
ao número total de elementos do conjunto. Este total de elementos é,
geralmente, designado pela letra n. No nosso exemplo, temos que n = 50, ou
seja, nosso conjunto tem 50 elementos (50 alunos na sala!).
Quando a questão apresentar a Distribuição de Freqüências já com a coluna
da fi construída, então ótimo! Já poderemos até começar a resolver nossa prova!
Contudo, quando isto não acontecer e, em vez de ser fornecida a fi, a prova
trouxer uma das outras freqüências – fac, fad, Fi, Fac ou Fad – será
necessário, antes que se inicie a resolução das questões, que se determine a
coluna da fi, perfazendo o caminho de volta do Caminho das Pedras!
Freqüência Absoluta Acumulada Crescente (fac)
A fac é de fácil compreensão se utilizarmos um exemplo! Primeiramente,
aprendamos como se constrói esta coluna de freqüência. Pelo caminho das pedras,
sabe-se que isto se faz partindo-se da fi.
Precisamos saber que a fac tem um apelido, qual seja, a freqüência do
“abaixo de”. Como seu apelido é “abaixo de”, indicaremos esta coluna também com
uma setinha para baixo, e assim, lembraremos que ela será construída de cima
para baixo (no mesmo sentido da seta!). Tudo o que precisamos saber é que, na
primeira classe (a mais de cima), a freqüência absoluta acumulada crescente
(fac) tem o mesmo valor que a freqüência simples (fi)! Vejamos:
Altura dos alunos fi fac ↓
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
6
11
19
10
4
Total n=50
6
.
.
.
.

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 6 de 9
Agora, para construir o restante da coluna da fac, nos bastará apenas
somar com a diagonal. Portanto, somaremos a fac com a próxima fi, ou seja,
somaremos com a fi da classe seguinte! Vejamos:
Altura dos alunos fi fac ↓
1,50 |⎯ 1,60 6 6 (= à primeira fi)
1,60 |⎯ 1,70
11
1,70 |⎯ 1,80
19
1,80 |⎯ 1,90
10
1,90 |⎯ 2,00
4
Total n=50
17 (= 6 + 11)
36 (= 17 + 19)
46 (= 36 + 10)
50 (= 46 + 4)
Se você é bom observador (e eu já dei uma forcinha...), já terá visto que
a fac da última classe é igual ao total de elementos do conjunto (n)! Isso não
foi mera coincidência! Se ao construir a fac, o último valor dessa coluna for
diferente do n, então refaça suas contas.
Como se vê, não há dificuldades em se construir a coluna da fac! Repetese,
na primeira classe, a freqüência simples (fi), e daí soma-se sempre com a
diagonal também da fi.
Agora, vejamos o significado desta freqüência absoluta acumulada crescente:
conforme o próprio apelido desta freqüência indica, a fac de uma classe
significa o número de elementos do conjunto que tem valor abaixo do limite
superior da própria classe!
Tomando o nosso exemplo, se perguntarmos quantos alunos desta classe tem
estatura abaixo de 1,80m, veremos que participam da resposta as freqüências
envolvidas nas três primeiras classes desta Distribuição. Sendo que há 6 alunos
na primeira classe, 11 alunos na segunda classe e 19 alunos na terceira.
Somadas as freqüências simples destas três classes (6+11+19), chegamos a um
total de 36 alunos. Exatamente o valor da freqüência absoluta acumulada
crescente da terceira classe!
Ou seja, o valor 36 da fac da terceira classe significa que existem 36
alunos com altura abaixo de 1,80m (que é o limite superior desta terceira
classe)! Não é fácil?
De novo: o que significa o valor 46 que está na fac da quarta classe?
Significa que há 46 alunos com altura abaixo de 1,90m (limite superior desta
quarta classe)! OK?
Como dito anteriormente, teremos, na resolução da prova, que conhecer a
freqüência absoluta simples – fi. Precisaremos desta fi para calcular quase
tudo o que as questões irão pedir! Logo, se na prova vier uma Distribuição de
Freqüências que forneça a freqüência absoluta acumulada crescente – fac – em
vez da freqüência simples, não poderemos começar a resolver nada, antes de
encontrar a fi. Acima, aprendemos a construir a fac partindo da fi. Estávamos
seguindo o caminho das pedras. Agora, faremos o caminho de volta: fac para fi!

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 7 de 9
Vejamos:
Altura dos alunos fac fi
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
6
17
36
46
50
Total n=50
Neste caso, a volta do caminho das pedras se fará da seguinte forma: já
sabemos que a fi e a fac têm, na primeira classe, o mesmo valor! Daí, repete-se
a freqüência da primeira classe da fac na fi. Teremos:
Altura dos alunos fac fi
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
6
17
36
46
50
Total n=50
Agora lembre-se: no caminho de volta do caminho das pedras nós não
somaremos com a diagonal! Somar com a diagonal é o processo da ida no caminho
das pedras! O caminho de volta é diferente!
Trabalharemos com a coluna da fac, fazendo apenas uma subtração: próxima
fac menos fac anterior! Só isso: próxima fac menos fac anterior. O resultado da
subtração vai ser a freqüência absoluta simples, fi.
Senão, vejamos:
Altura dos alunos fac fi
1,50 |⎯ 1,60 6
6
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
17 (17-6=)
36 (36-17=)
46 (46-36=)
1,90 |⎯ 2,00 50 (50-46=)
4
Total n=50
Convém novamente ressaltar: antes de iniciarmos a resolução das questões,
é preciso atentar para qual foi a freqüência fornecida. Caso tenha sido a
freqüência absoluta simples (fi), então ótimo, já se poderá começar a resolver
a prova. Caso contrário, não há o que pensar: será preciso encontrar a fi,
antes de qualquer coisa!
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ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 8 de 9
Freqüência Absoluta Acumulada Decrescente (fad)
Aprenderemos, inicialmente, como se constrói a freqüência absoluta
acumulada decrescente e, depois, qual o seu significado. Retomando o caminho
das pedras vemos que também a fad será construída a partir da freqüência
absoluta simples (fi).
A freqüência absoluta acumulada decrescente (fad) também tem um apelido:
freqüência do “acima de”. Com este apelido, usaremos para esta freqüência uma
setinha apontada para cima! No mesmo sentido desta seta iremos construir esta
coluna, ou seja, de baixo para cima. Desse modo, na última classe (a mais de
baixo), a fad terá o mesmo valor que a fi. Vejamos:
Altura dos alunos (m) fi fad ↑
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
6
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19
10
4
Total n=50
Para completar a coluna, basta subirmos sempre somando com a diagonal, ou seja,
somando a fad com a próxima fi (a fi da diagonal), do modo abaixo descrito:
Altura dos alunos fi fad ↑
1,50 |⎯ 1,60 6 50 (=44+6)
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
11
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1,90 |⎯ 2,00 4
Total n=50
.
.
.
.
4
44 (=33+11)
33 (=14+19)
14 (=4+10)
Observe que, quando usamos o caminho das pedras para construir as
freqüências acumuladas, utilizamos sempre esse artifício de somar na diagonal.
No caso da fac, descemos somando com a fi da diagonal; no caso da fad, subimos!
E agora, qual o significado desta coluna? Por exemplo, vamos descobrir o
que significa o valor 33 da terceira classe da fad. Se perguntarmos quantos
elementos do conjunto apresentam valor maior que 1,70m, ou seja, quantos alunos
desta classe tem estatura acima de 1,70m, perceberemos que participam da
resposta a terceira, a quarta e a quinta classes. Teremos, então, 19 alunos na
terceira classe, 10 alunos na quarta classe e 4 alunos na quinta classe,
totalizando 33 alunos, estes com altura maior (ou igual) a 1,70m. Se formos
diretamente na coluna da freqüência absoluta acumulada decrescente, na linha
correspondente à terceira classe, acharemos justamente este valor: 33.
4

ESTATÍSTICA *** PONTO 4 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS *** Pág. 9 de 9
Concluímos, pois, que a freqüência absoluta acumulada decrescente de uma
classe (fad) indica o número de elementos do conjunto que tem valor acima do
limite inferior desta mesma classe.
Outro exemplo: vejamos o que significa o valor 14 constante na quarta
classe da coluna da fad? Significa exatamente que existem 14 alunos na classe,
com valor acima de 1,80m, que é o limite inferior desta quarta classe! Entendase
este “acima de 1,80m” como “maior ou igual a 1,80m”. Fácil, não? Somente
isso!
As provas mais recentes têm trazido a seguinte cilada: fornecem a
freqüência absoluta acumulada decrescente – fad – e pedem que sejam
determinadas medidas de posição, de dispersão etc. Neste caso, obviamente, fazse
imprescindível o conhecimento da freqüência absoluta simples – fi – como já
foi dito anteriormente.
Para isso, teremos que percorrer o sentido de volta do caminho das pedras.
Partindo da última classe da coluna da fad (cuja freqüência é igual à da
fi), faremos apenas uma subtração: próxima fad menos fad anterior! O resultado
da subtração vai ser a freqüência absoluta simples, fi. Vejamos:
Altura dos alunos fad ↑ fi
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
50 (50-44=)
44 (44-33=)
33 (33-14=)
14 (14-4=)
4
Total n=50
Agora, sim! Após construída a coluna da freqüência absoluta simples,
estamos prontos para iniciarmos a resolução da prova.
Em outras palavras: não basta ao candidato deter o conhecimento de todas
as fórmulas (que já não são poucas!) das medidas de posição, dispersão,
assimetria, curtose etc! É preciso saber trabalhar com as colunas de
freqüência, sob pena de sair errando uma questão após outra, somente por uma
desatenção!
Ficamos hoje por aqui, tendo concluído a apresentação das freqüências
absolutas. Próxima aula, conheceremos as freqüências relativas e a forma de
trabalhar com elas.
Deixarei os exercícios desta aula acumularem com os da aula seguinte,
quando encerraremos esta teoria das colunas de freqüências. Até lá, e um grande
abraço!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 1 de 7
TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS
Oi, minha gente! Como não ficaram exercícios remanescentes da aula
passada, partiremos imediatamente para o assunto de hoje, dando seqüência ao
estudo das colunas de freqüência.
Freqüência Relativa Simples (Fi)
Agora que conhecemos as três colunas de freqüências absolutas, passaremos
às freqüências relativas. O que as diferencia – freqüências absolutas e
relativas – é o fato de que as absolutas indicam (como o próprio nome sugere)
valores absolutos, ou seja, indicam o número de elementos; enquanto que as
relativas indicam percentuais de elementos.
Designam-se as freqüências simples com a letra “f ” (minúscula) e as
relativas pela maiúscula “F”. Daí, não podemos nos esquecer: se a questão trata
de número de elementos, pensaremos em freqüências absolutas; se a questão trata
de percentual de elementos, pensaremos em freqüências relativas.
A primeira coluna de freqüência relativa que veremos é a Freqüência
Relativa Simples – Fi, que será originada a partir da freqüência absoluta
simples fi (conforme ilustra o caminho das pedras!) e, por sua vez, dará origem
aos dois outros tipos de freqüência relativa. Relembremos esta parte do caminho
das pedras:
fi Fi
A freqüência relativa simples – Fi – será determinada por meio de uma
conta, uma divisão, que é a seguinte:
⎛
Fi = ⎜
⎝
fi
∑ fi
⎞
⎟
⎠
Onde fi é a freqüência absoluta simples da classe, e Σfi (somatório da
freqüência absoluta simples) é o número de elementos do conjunto, ou seja, é o
nosso “n”. Já vimos que este “n” será encontrado simplesmente somando-se a
coluna da freqüência absoluta simples – fi.
Daí, teremos:
⎛ fi ⎞
Fi = ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
Portanto, teremos que fazer esta divisão para cada uma das classes, para
assim completarmos a coluna da freqüência relativa simples.
Vejamos o nosso exemplo:
Fac
Fad

ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 2 de 7
Altura dos alunos Fi Fi
1,50 |⎯ 1,60 6 0,12 ou 12% (=6/50)
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
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1,90 |⎯ 2,00 4
Total n=50
0,22 ou 22% (=11/50)
0,38 ou 38% (=19/50)
0,20 ou 20% (=10/50)
0,08 ou 8% (=4/50)
Vamos ilustrar um exemplo de como estas contas foram elaboradas. Para a
primeira classe, como tínhamos fi = 5, a conta foi a seguinte:
6 / 50 = 0,12 (= 12%)
Observemos que a resposta em termos unitários (0,12) significa a
mesmíssima coisa que a resposta em termos percentuais (12%). Apenas é uma
maneira diferente de se representar. Tanto é assim que, nas provas, podem vir
fornecidas de qualquer dos dois formatos (12% ou 0,12). Para passar do modo
unitário para o percentual, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita
e acrescer o símbolo do percentual (%).
Atentemos para o seguinte fato: quando começamos a construir esta coluna
da Fi, verificamos que o resultado da conta, neste nosso exemplo, é sempre – em
termos percentuais – o dobro da freqüência simples fi. Vejamos: na primeira
classe, a fi é 6 e a Fi é 12% (6x2=12); na segunda classe, a fi é 11 e a Fi é
22% (11x2=22). Ora, se o candidato quiser continuar fazendo sempre aquela
divisão, irá constatar que, para este nosso exemplo, a regra já está
estabelecida (uma vez que dividir por 50 resultaria o mesmo efeito que
multiplicar por 2, acrescentando o símbolo do percentual!). Esta observação na
hora da prova pode nos dar alguns segundos de vantagem sobre a concorrência!
Percebemos, portanto, que não há dificuldade alguma em se construir a Fi.
Basta nos lembrarmos da divisão, e pronto! Agora, qual o significado desta
coluna de freqüência? Muito simples: a Freqüência Relativa Simples indica o
percentual de elementos que pertence a cada classe.
No nosso exemplo, o valor 20% presente na quarta classe da Fi significa
apenas que 20% do total dos elementos do conjunto têm altura entre 1,80 e 1,90m
(1,89m para ser mais exato. Vide intervalo de classe). Ou seja, fazem parte da
quarta classe, 20% dos elementos do conjunto.
A Fi da segunda classe é 22%. Isto significa que há 22% do total de elementos do
conjunto que estão compreendidos nesta classe, ou seja, com altura entre 1,60 e 1,70m
(1,69m, exatamente). E assim por diante!
Eventualmente, pode a prova fornecer a Fi e precisarmos encontrar a fi,
freqüência absoluta simples. Neste caso, mais uma vez, percorreremos o sentido de
retorno do caminho das pedras. Aqui a coisa será bem simples. Basta usar a mesma
fórmula que vimos acima, agora isolando a fi em vez da Fi.
Teremos que: fi = Fi . n
Ou seja, multiplicaremos, ao invés de dividirmos! Atenção: se isto acontecer na
nossa prova (e já aconteceu!), observe que o enunciado terá, necessariamente, que
fornecer o “n”, ou seja, terá que informar o número total de elementos do conjunto!
Vejamos o nosso exemplo, e suponhamos que a questão informou que o número total de
elementos do nosso conjunto é n=50.

ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 3 de 7
Daí, teremos:
Altura dos alunos Fi fi
1,50 |⎯ 1,60 12% (ou 0,12) 6 (= 0,12 x 50)
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
22% (ou 0,22)
38% (ou 0,38)
11 (= 0,22 x 50)
19 (= 0,38 x 50)
1,80 |⎯ 1,90
20% (ou 0,20) 10 (=0,20 x 50)
1,90 |⎯ 2,00
8% (ou 0,08) 4 (=0,08 x 50)
Total n=50 (dado da questão)
Uma vez dispondo da coluna da freqüência absoluta simples – fi – estamos
finalmente aptos a iniciar a resolução da prova.
Se você é bom observador, deve ter notado o seguinte: o somatório da
coluna da freqüência relativa simples (Fi) será sempre, necessariamente, 100%
(ou 1,00 se usarmos a notação unitária em vez da percentual). Isto é até uma
redundância, pois se a Fi significa o percentual de elementos do conjunto que
pertence a cada classe, se somarmos os percentuais de todas as classes teremos
a totalidade do conjunto, ou seja, 100%. Portanto, se formos obrigados a
construir a coluna da Freqüência Relativa Simples, uma boa maneira de
constatarmos se acertamos as contas é somarmos esta coluna. Se der 100%, é
sinal que provavelmente acertamos. Se der diferente de 100%, é certeza que
erramos!
Freqüência Relativa Acumulada Crescente (Fac)
Gerada a partir da Freqüência Relativa Simples, a Fac é de construção
semelhante à freqüência absoluta crescente. O processo é o mesmo. A diferença
consiste apenas no fato de que a fac é oriunda da fi, enquanto a Fac nasce da
Fi. Ou seja, as acumuladas absolutas – fac e fad – derivam da freqüência
absoluta simples fi; enquanto que as acumuladas relativas – Fac e Fad – derivam
da freqüência relativa simples Fi.
Basta lembrar do caminho das pedras:
fad
fi fad ⇒ Caminho das Pedras!
Fac
Fi
Fad
Da mesma forma que a fac, também a Fac será apelidada de coluna do “abaixo
de”, e será construída de cima para baixo, a partir da Fi. Observemos que na
primeira classe, ambas as colunas – Fi e Fac – têm o mesmo valor. Daí, para se
completar a Fac basta sair somando na diagonal. Vejamos, no nosso exemplo, como
se faz a Fac:

ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 4 de 7
Altura dos alunos Fi Fac ↓
1,50 |⎯ 1,60 12% 12% (= à primeira fi)
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
Total
22%
38%
20%
8%
34% (= 12% + 22%)
72% (= 34% + 38%)
92% (= 72% + 20%)
100% (= 92% + 8%)
Agora o significado desta coluna Fac: representa o percentual de elementos
do conjunto com valor “abaixo do” limite superior da classe correspondente. Por
exemplo, se perguntarmos qual o significado do valor 34% presente na segunda
classe da Fac: simplesmente que há 34% dos elementos do conjunto que têm
estatura “abaixo de” 1,70m (que é o limite superior desta classe). Se
conferirmos na coluna da Fi, confirmaremos que de fato, são 12% da primeira
classe, e mais 22% da segunda. Total: 34%. Outro exemplo: o que significa o
valor 92% na quarta classe da Fac? Apenas que 92% dos elementos do conjunto têm
altura “abaixo de” 1,90m (limite superior desta classe). E assim por diante.
E se a prova, em vez de trazer a Fi para a construção da Fac, fizer
exatamente o contrário, ou seja, fornecer a Fac para construirmos a Fi? Neste
caso percorreremos a volta do caminho das pedras, de forma análoga a que
utilizamos na caso das freqüências absolutas, ou seja, na coluna da Fac,
faremos “próxima Fac menos a Fac anterior”.
Vejamos:
Altura dos alunos Fac ↓ Fi
1,50 |⎯ 1,60
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
12%
34% (34%-12%=)
72% (72%-34%=)
92% (92%-72%=)
100% (100%-92%=)
12%
22%
38%
20%
8%
Total 100%
Conforme já sabemos, a coluna de freqüências imprescindível para
iniciarmos a resolução de uma prova de estatística é a da freqüência absoluta
simples – fi. Se, por acaso, o enunciado da prova fornecer apenas a Freqüência
Relativa Acumulada Crescente, Fac, o passo que fizemos acima será apenas o
primeiro para chegarmos à fi. Uma vez de posse da Freqüência Relativa Simples
(como fizemos acima), teremos depois que passar da Fi para a fi. E este segundo
passo já foi feito por nós hoje mesmo, na página anterior!
Ou seja, para passarmos de qualquer das duas freqüências relativas
acumuladas, ou Fac ou Fad, para a freqüência absoluta simples, fi, teremos que
fazê-lo em dois momentos distintos; sendo o primeiro passo chegarmos à
Freqüência Relativa Simples, Fi. Desta, chegaremos finalmente à freqüência
absoluta simples, fi.

ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 5 de 7
Freqüência Relativa Acumulada Decrescente (Fad)
Conforme indicado no caminho das pedras, nasce também a Fad a partir da
Freqüência Relativa Simples, Fi. Seu apelido, da mesma forma que nas
freqüências absolutas, é coluna do “acima de”. E será construída de baixo para
cima! Portanto, na última classe, Fad e Fi terão o mesmo valor. Atento(a) como
eu sei que você é, tenho certeza que até já sabe como formar esta coluna.
Começando de baixo (da última classe), subiremos somando com a diagonal da
Fi. Vejamos o nosso exemplo:
Altura dos alunos Fi Fad ↑
1,50 |⎯ 1,60 12% 100% (=88%+12%)
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
22%
38%
20%
1,90 |⎯ 2,00
8%
Total 100%
88% (=66%+22%)
66% (=28%+38%)
28% (=8%+20%)
O que significa a Fad? Significa o percentual de elementos do conjunto que
tem valor acima do limite inferior da classe correspondente. Por exemplo: o
valor 28% presente na quarta classe da Fad significa o quê? Apenas que há 28%
dos elementos do conjunto com estatura acima de 1,80m. (20% da quarta classe
mais 8% da quinta classe). Outro exemplo: o que significa o valor 88% presente
na segunda classe da Fad? Que 88% dos elementos do conjunto têm altura acima de
1,60m (que é o limite inferior!).
Obviamente, sabemos que a prova pode fornecer a Fad, para termos que
encontrar a Fi. Já sabemos que estas duas colunas têm o mesmo valor na última
classe. Daí, trabalhando na coluna da Fad, faremos apenas aquela subtração que
já conhecemos: “próxima Fad menos Fad anterior”. A resposta será a Fi. Senão,
vejamos:
Altura dos alunos Fad ↑ Fi
1,50 |⎯ 1,60 100% (100%-88%)
1,60 |⎯ 1,70
1,70 |⎯ 1,80
1,80 |⎯ 1,90
1,90 |⎯ 2,00
Total
8%
88% (88%-66%=)
66% (66%-28%=)
28% (28% - 8%)
8%
Como bom observador que é, você deve ter percebido que em qualquer das
Freqüências Relativas Acumuladas, Fac ou Fad, estará presente o valor 100%.
12%
22%
38%
20%
ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 6 de 7
8%

No caso da Fad, o 100% estará na primeira classe; já na Fac, aparecerá o 100%
na última classe. Estamos falando em 100% por estarmos usando a notação
percentual; caso estivéssemos usando a notação unitária, teríamos, em lugar de
100%, o valor da unidade (1,00).
Em uma prova antiga da ESAF a questão perguntava se as Freqüências
Relativas Acumuladas necessariamente começavam ou terminavam com a unidade.
Isto é verdadeiro! No caso da Fad (veja acima) começamos com a unidade (100%);
no caso da Fac, encerramos com ela!
OK! Enfim, concluímos o estudo das colunas de freqüências de uma
Distribuição. Agora vamos entrar na parte prática. Veremos, por meio dos
exercícios abaixo, como as provas têm exigido esse conhecimento.
O importante é recordar que, logo de cara, será nosso objetivo chegarmos à
freqüência absoluta simples – fi. É exatamente o que faremos nestas questões
que se seguem.
EXERCÍCIOS DE HOJE
A ordem é apenas a mesma para todas as questões abaixo: a partir dos
dados fornecidos pelo enunciado, tete construir a freqüência absoluta
simples.
Respostas comentadas no início da próxima aula. Até lá e um grande abraço!
01) Extraído da prova do AFRF-2000:
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de
Freqüências
Salário
Acumuladas
(3 ; 6] 12
(6 ; 9] 30
(9 ; 12] 50
(12 ; 15] 60
(15 ; 18] 65
(18 ; 21] 68
02) Extraído da prova de AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X)
foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes. As questões de 38 a 43 referem-se a esses ensaios.
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100

ESTATÍSTICA *** Ponto 5 - TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS *** Pág. 7 de 7
03) Extraído da prova de Agente Fiscal de Tributos Estaduais – PI:
A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra
aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são
acumuladas.
Classes de
Salários
Freqüências
(5.000-6.500) 12
(6.500-8.000) 28
(8.000-9.500) 52
(9.500-11.000) 74
(11.000-12.500) 89
(12.500-14.000) 97
(14.000-15.500) 100
04) Extraído da prova de Fiscal de Tributos Estaduais – PA:
A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas questões 21, 22 e 23 e
apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da
distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$1.000,00, do
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y
coincidentes com as extremidades das classes salariais.
Classes F
29,5 – 39,5 2
39,5 – 49,5 6
49,5 - 59,5 13
59,5 – 69,5 23
69,5 – 79,5 36
79,5 – 89,5 45
89,5 – 99,5 50
05) Extraído da prova de AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Boa sorte!
Classes Freqüência
(f)
29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 - 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10

ESTATÍSTICA *** Ponto 06 - EXERCÍCIOS DE COLUNAS DE FREQÜÊNCIAS *** Pág. 1 de 6
EXERCÍCIOS DE COLUNAS DE FREQÜÊNCIAS
01) Extraído da prova do AFRF/2000:
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de Freqüências Acumuladas
Salário
(3 ; 6] 12
(6 ; 9] 30
(9 ; 12] 50
(12 ; 15] 60
(15 ; 18] 65
(18 ; 21] 68
Sol.:
O cabeçalho da prova apresentou a distribuição de freqüências acima, com
apenas a coluna das classes, e uma coluna de freqüências que foi chamada de
“freqüências acumuladas”. As questões que se seguiam, iriam solicitar o
cálculo de medidas de posição, dispersão, assimetria, curtose etc. Logo,
sabemos que não seria possível iniciar a resolução da prova sem antes
conhecermos a freqüência absoluta simples – fi.
Vamos ao caso: quando a prova trouxe uma coluna a quem chamou unicamente
de freqüências acumuladas, o candidato vai lembrar-se inicialmente que há
quatro tipos de freqüências acumuladas: duas absolutas acumuladas (fac e fad)
e duas relativas acumuladas (Fac e Fad). Daí, a primeira preocupação é saber
se trata-se de uma freqüência absoluta ou relativa.
Já sabemos que a diferença entre estes dois grupos de freqüências é que
a absoluta diz respeito a número de elementos, enquanto a relativa trata de
percentual de elementos do conjunto. Observando os valores fornecidos pela
prova, constatamos que não são valores percentuais (como 12%, 30% ou 0,12 ,
0,30 etc), e também vimos que no título da coluna havia apenas “freqüências
acumuladas”, desacompanhado de um sinal de porcentagem “%”. Se assim o fosse,
estaríamos diante de uma freqüência relativa. Como não houve a presença de
nenhum desses indicadores, concluímos que a coluna fornecida é uma freqüência
acumulada absoluta!
Restam assim duas opções: absoluta acumulada crescente ou decrescente.
Isto é ainda mais fácil de concluir. Basta olharmos para a seqüência dos
valores presentes nesta coluna. Se os valores estiverem aumentando, a
freqüência é crescente; se estiverem diminuindo, decrescente. No caso, temos:
12, 30, 50, 60, ... ; daí a conclusão: estamos trabalhando com uma coluna de
freqüência absoluta acumulada crescente! Esta descoberta é o primeiro passo da
prova! Agora, resta-nos chegar à freqüência absoluta simples.
Vejamos:
Classes de
Salário
fac ↓
fi
( 3 ; 6] 12 12
( 6 ; 9] 30 (30 – 12=) 18
( 9 ; 12] 50 (50 – 30=) 20
(12 ; 15] 60 (60 – 50=) 10
(15 ; 18] 65 (65 – 60=) 5
(18 ; 21] 68 (68 – 65=) 3

ESTATÍSTICA *** Ponto 06 - EXERCÍCIOS DE COLUNAS DE FREQÜÊNCIAS *** Pág. 2 de 6
02) Extraído da prova de AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X)
foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa.
Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a
freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes. As questões de 38 a 43 referem-se a esses ensaios.
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100
Sol.: Aqui a coisa já foi mais interessante um pouco! Veja que a prova
trouxe a distribuição de freqüências com apenas duas colunas: a das classes, e
uma chamada de “P(%)”. No enunciado, foi dito que “P representa a freqüência
relativa acumulada”, não deixando com isso qualquer dúvida a respeito de a
freqüência ser absoluta ou relativa. Agora que sabemos que é relativa e que é
acumulada, basta olhar para os seus valores para podermos concluir se será
acumulada crescente ou decrescente. Aí não tem segredo: 5, 15, 40, 70, ... é
uma seqüência crescente. Conclusão: estamos diante de uma coluna de freqüência
relativa acumulada crescente, a nossa conhecida Fac!
Como já se era de esperar, as questões deste enunciado irão exigir o
conhecimento da freqüência absoluta simples, fi. Conhecê-la é agora o nosso
objetivo.
Lembremo-nos de que, quando queremos chegar à fi, partindo de uma
freqüência relativa, temos, necessariamente, que conhecer o número de
elementos do conjunto “n”. Este foi fornecido no enunciado: “...foram
examinados 200 itens...”, ou seja, n=200.
Como primeiro passo, passaremos da Fac para a coluna da freqüência
relativa simples Fi. Vejamos:
Classes Fac ↓ Fi
70-90 5% 5% (ou 0,05)
90-110 15% (15%-5%=) 10% (ou 0,10)
110-130 40% (40%-15%=) 25% (ou 0,25)
130-150 70% (70%-40%=) 30% (ou 0,30)
150-170 85% (85%-70%=) 15% (ou 0,15)
170-190 95% (95%-85%=) 10% (ou 0,10)
190-210 100% (100%-95%=) 5% (ou 0,05)
Feito isso, resta encontrar agora a fi, partindo da Fi, usando a relação
que há entre estes dois tipos de freqüências, já nossa conhecida:
Fi = fi / n ou, isolando o fi: fi = Fi . n
Teremos:
1.ª Classe: fi = 0,05 x 200 = 10
2.ª Classe: fi = 0,10 x 200 = 20
3.ª Classe: fi = 0,25 x 200 = 50

ESTATÍSTICA *** Ponto 06 - EXERCÍCIOS DE COLUNAS DE FREQÜÊNCIAS *** Pág. 3 de 6
Mesmo antes de concluir estes cálculos, o bom observador já notou que a
relação entre estas duas freqüências consiste em multiplicar a Fi por 2 e
tirar o sinal de porcentagem! É claro que se o candidato não tivesse essa
percepção, iria ainda assim chegar ao mesmo resultado. Continuando as contas:
4.ª Classe: fi = 0,30 x 200 = 60
5.ª Classe: fi = 0,15 x 200 = 30
6.ª Classe: fi = 0,10 x 200 = 20
7.ª Classe: fi = 0,05 x 200 = 10
Daí, teremos finalmente a nossa coluna da freqüência absoluta simples:
Classes Fac Fi fi
70-90 5% 5% (ou 0,05) 10
90-110 15% (15%-5%=) 10% (ou 0,10) 20
110-130 40% (40%-15%=) 25% (ou 0,25) 50
130-150 70% (70%-40%=) 30% (ou 0,30) 60
150-170 85% (85%-70%=) 15% (ou 0,15) 30
170-190 95% (95%-85%=) 10% (ou 0,10) 20
190-210 100% (100%-95%=) 5% (ou 0,05) 10
Somente neste momento a resolução das questões da prova poderia ser
iniciada! Em outras palavras: mesmo que fossem fornecidas todas as fórmulas da
prova (o que não acontece...), se este trabalho inicial de encontrar a
freqüência absoluta simples não fosse feito, o candidato correria o risco de
errar todas as questões, uma após outra!
03) Extraído da prova de Agente Fiscal de Tributos Estaduais – PI:
A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra
aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são
acumuladas.
Classes de Freqüências
Salários
(5.000-6.500) 12
(6.500-8.000) 28
(8.000-9.500) 52
(9.500-11.000) 74
(11.000-12.500) 89
(12.500-14.000) 97
(14.000-15.500) 100
Sol.: Vamos tentar descobrir o tipo de freqüência que foi fornecida neste enunciado.
Absoluta ou relativa? Como isso não foi explicitado na questão, temos que buscar os
sinais! Se as freqüências não trazem um símbolo de percentagem (%) nem no cabeçalho
da coluna, nem ao lado das freqüências, então fica patente que se trata de uma
freqüência absoluta. É exatamente este nosso caso! Daí, uma vez que o enunciado já
nos disse que “as freqüências são acumuladas”, resta saber se será acumulada
crescente ou decrescente. Aí é moleza, basta ver os valores da coluna {12, 28, 52,
74,...}, ou seja, uma seqüência crescente. Daí, concluímos: a coluna apresentada na
questão é uma fac – freqüência absoluta acumulada crescente.
Para chegarmos à freqüência absoluta simples, fi, teremos que percorrer o
sentido de volta do caminho das pedras, trabalhando com a coluna da fac e fazendo
sempre próxima fac menos fac anterior.

ESTATÍSTICA *** Ponto 06 - EXERCÍCIOS DE COLUNAS DE FREQÜÊNCIAS *** Pág. 4 de 6
Vejamos:
Classes de Salários fac ↓ fi
(5.000-6.500) 12 12
(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16
(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24
(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22
(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15
(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8
(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3
E aí? Já estamos ficando práticos? É só uma questão de treino!
04) Extraído da prova de Fiscal de Tributos Estaduais – PA:
A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas questões 21, 22 e 23 e
apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição
dos salários anuais de economistas (Y) – em R$1.000,00, do departamento de
fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades
das classes salariais.
Classes F
29,5 – 39,5 2
39,5 – 49,5 6
49,5 - 59,5 13
59,5 – 69,5 23
69,5 – 79,5 36
79,5 – 89,5 45
89,5 – 99,5 50
Sol.:
Por certo você já percebeu que alguns enunciados, no intuito de confundir,
chamam freqüências simples com a letra maiúscula F. Isso não deve nos iludir. Quando
formos iniciar a prova, temos que ter plena certeza do tipo de freqüência que estamos
trabalhando!
No caso deste enunciado, também nada foi explicitado sobre a freqüência ser do
tipo absoluta ou relativa. Novamente, procuraremos os “sinais” que indicariam ser uma
freqüência relativa. Basicamente fazemos duas observações: 1)Existe o símbolo de % no
cabeçalho da coluna? 2)Existe o símbolo de % ao lado das freqüências? Sendo ambas
estas respostas negativas, tudo indica que se trata de freqüências absolutas! É este
o presente caso.
Disse expressamente o enunciado que estamos com freqüências acumuladas. Como
estão dispostas em uma seqüência crescente {2, 6, 13, 23...}, já matamos que a
freqüência é acumulada crescente. Daí, chegamos finalmente à nossa conclusão: a prova
forneceu uma coluna de freqüências absolutas acumuladas crescentes – fac.
Perfazendo o sentido de volta do caminho das pedras, chegaremos à fi, daquela
forma que já conhecemos: próxima fac menos fac anterior. Vejamos:
Classes fac ↓ fi
29,5 – 39,5 2 2
39,5 – 49,5 6 (6-2=) 4
49,5 - 59,5 13 (13-6=) 7
59,5 – 69,5 23 (23-13=) 10
69,5 – 79,5 36 (36-23=) 13
79,5 – 89,5 45 (45-36=) 9
89,5 – 99,5 50 (50-45=) 5

ESTATÍSTICA *** Ponto 06 - EXERCÍCIOS DE COLUNAS DE FREQÜÊNCIAS *** Pág. 5 de 6
05) Extraído da prova de AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra
de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela
de freqüências seguinte:
Classes Freqüência
(f)
29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 - 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Sol.: E aí, fizeram essa também? Quem fez? Infelizmente, tenho que comunicar
que quem fez qualquer coisa nesta questão já errou!... Na verdade, já está
tudo feito! Eu coloquei esse enunciado aqui só pra ver se vocês estão atentos!
Ora, o enunciado não disse expressamente, nem deu qualquer sinal de se tratar
de uma freqüência relativa, pelo que concluímos que se trata de uma freqüência
absoluta.
Além disso, o enunciado também nada disse a respeito de esta freqüência
ser acumulada, donde deduzimos que é freqüência absoluta. Finalmente, trata-se
de uma freqüência absoluta simples, a nossa fi.
Alguém caiu nessa? Se caiu, alegre-se! Melhor errar em casa que errar na
prova...
Para que nós possamos ficar mais bem treinados com estas colunas de
freqüências, colocarei abaixo alguns outros exercícios, todos com o objetivo
de chegarmos, a partir dos dados fornecidos, à freqüência absoluta simples,
fi. Como já vimos repetidamente os procedimentos para resolver esses
exercícios, na próxima aula darei apenas as respostas, sem comentá-las. Estou
certo que já não haverá mais dificuldades! Seguem os exercícios e eu fico hoje
por aqui. Prosseguimos na próxima aula. Um grande abraço e até lá!
EXERCÍCIOS DE HOJE
De acordo com os dados fornecidos por cada uma das questões abaixo, encontre a
coluna da freqüência absoluta simples:
01. A tabela abaixo apresenta as freqüências acumuladas (k) relacionadas
à distribuição de uma amostra de 500 elementos.
Classes k
10-20 100%
20-30 95%
30-40 85%
40-50 70%
50-60 40%
60-70 15%
70-80 5%

ESTATÍSTICA *** Ponto 06 - EXERCÍCIOS DE COLUNAS DE FREQÜÊNCIAS *** Pág. 6 de 6
02. A tabela abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) relacionadas à
seguinte distribuição:
Classes F
10-20 5
20-30 15
30-40 40
40-50 70
50-60 85
60-70 95
70-80 100
03. A tabela abaixo apresenta as freqüências (W) relacionadas à distribuição
de uma amostra de 200 elementos.
Classes W (%)
10-20 5
20-30 15
30-40 40
40-50 70
50-60 85
60-70 95
70-80 100
04. A tabela abaixo apresenta as freqüências acumuladas (Z) relacionadas à
seguinte distribuição de freqüências:
Boa sorte!
Classes Z
10-20 100
20-30 95
30-40 85
40-50 70
50-60 40
60-70 15
70-80 5

ESTATÍSTICA - Ponto dos concursos Ponto 7 pag. 1 de 4
APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Oi, turma! Conforme combinado, começamos hoje com as respostas dos
exercícios que ficaram da aula passada. Antes só uma pergunta: fizeram as
questões? Olha lá, hein? o maior engano que existe é o próprio! Vamos às
respostas:
01. O procedimento desta questão é Fad Fi fi:
Classes Fad↑ Fi fi
10-20 100% 5% 25
20-30 95% 10% 50
30-40 85% 15%75
40-50 70% 30% 150
50-60 40% 25% 125
60-70 15% 10% 50
70-80 5% 5% 25
02. O procedimento desta questão é fac fi:
Classes fac↓ fi
10-20 5 5
20-30 15 10
30-40 40 25
40-50 70 30
50-60 85 15
60-70 95 10
70-80 100 5
03. O procedimento desta questão é Fac Fi fi:
Classes Fac↓ Fi fi
10-20 5% 5% 10
20-30 15% 10% 20
30-40 40% 25% 50
40-50 70% 30% 60
50-60 85% 15% 30
60-70 95% 10% 20
70-80 100% 5% 10
04. O procedimento desta questão é fad fi:
Classes fad ↑ fi
10-20 100 5
20-30 95 10
30-40 85 15
40-50 70 30
50-60 40 25
60-70 15 10
70-80 55
E aí? Tudo certo? Espero que sim! O negócio é prestar atenção e não se
deixar iludir pelas aparências. Creio que a “casca de banana” que pode
ter ensejado algum erro estava presente na terceira questão, em que o
enunciado não falava que a freqüência era acumulada. Acertei?

ESTATÍSTICA - Ponto dos concursos Ponto 7 pag. 2 de 4
Ora, neste caso, apesar do silêncio do enunciado, teríamos que
lembrar que no caso das freqüências relativas (que é o nosso!), o
somatório da coluna tem necessariamente que ser igual a 100%. Além disso,
sabemos que nas relativas acumuladas a coluna ou começa (Fad) ou termina
(Fac) com 100%. Daí, não restaria nenhuma dúvida de que esta freqüência
relativa era acumulada. Certo?
Vamos a aula de hoje... que por sinal é bem light!
Dando seqüência à matéria, temos que nos deter aqui em um ponto
básico, que consiste em reconhecer as três formas mais usuais de como os
dados de um conjunto são apresentados.
Sabemos que as questões das provas irão nos pedir que calculemos as
medidas de posição, de dispersão, de assimetria, de curtose etc, em
relação aos dados de um conjunto.
Portanto, vamos agora nos familiarizar com as maneiras de como os
enunciados expõem os elementos com os quais iremos trabalhar. Vamos a
elas:
O Rol:
Como já explicado em aula passada, o rol nada mais é que uma
relação dos dados do conjunto, dispostos um após outro, em uma ordem
crescente ou decrescente. Passemos a um exemplo que aconteceu na prova de
Auditor-Fiscal da Receita Federal de 1998. Vejamos este enunciado,
transcrito a seguir:
“Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa
de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9,
9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13,
13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23”
Notemos que o enunciado trouxe os dados do conjunto em forma de Rol, e
pediu que se calculassem a Mediana e a Variância. Esta última é uma
medida de dispersão, que veremos futuramente. Porém, para se calcular a
Variância, tínhamos que conhecer a Média do conjunto. Logo depois, na
questão seguinte desta prova, o enunciado pedia que se calculasse a Moda
reportando-se aos dados do presente enunciado. Ou seja, para este Rol,
seria preciso calcular a Média, a Moda e a Mediana - as três medidas de
Tendência Central, que estudaremos muito em breve!
Dados Tabulados Não-Agrupados em Classes:
Uma outra maneira de se apresentarem os dados da questão seria
dispondo-os em uma tabela, todavia sem agrupá-los em classes, ou seja,
trabalhando-os de forma individualizada, na coluna Xi. Vejamos o exemplo
abaixo:
Xi fi
0 2
1 5
2 7
3 4
4 3
5 1
Na coluna do Xi estão os elementos do conjunto; na coluna à
direita, estão as freqüências absolutas simples, ou seja, o número de
vezes que cada elemento se repete no conjunto. É possível, facilmente,
transformarmos esta tabela em um rol. Senão, vejamos:

ESTATÍSTICA - Ponto dos concursos Ponto 7 pag. 3 de 4
O elemento 0 (zero) aparece duas vezes (fi=2); o elemento 1 aparece
5 vezes (fi=5), e assim por diante. Logo teríamos o seguinte rol:
{0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5}
Note que o rol e a tabela acima representam exatamente o mesmo
conjunto, só que apresentados de formas distintas. O que diferencia os
Dados Tabulados Não-Agrupados (que passaremos a chamar apenas Dados
Tabulados) da Distribuição de Freqüências, é que nos Dados Tabulados, os
elementos Xi são dispostos de forma individualizada, enquanto que na
Distribuição de Freqüências, os elementos estão dispostos em classes.
Diz-se que, nos Dados Tabulados não há perda de informação. Por
exemplo, se perguntarmos quantas vezes aparece no conjunto acima o
elemento 3, basta conferirmos na coluna da freqüência, e responderemos: 4
vezes.
Distribuição de Freqüências:
Desta já falamos exaustivamente! A principal característica desta
forma de apresentação dos dados é justamente a disposição dos elementos
em classes!
Neste caso, diz-se que há perda de informação. Vejamos o exemplo
abaixo:
Classes fi
0-10 3
10-20 7
20-30 12
30-40 8
40-50 5
Se perguntarmos quantas vezes exatamente aparecem no conjunto o elemento
8 (oito), não saberemos responder. Diremos apenas que os elementos entre
0 e 10 aparecem 3 vezes (fi=3), mas não podemos dar uma informação
precisa acerca de um elemento isoladamente considerado.
São, portanto, estas três maneiras de os dados virem normalmente
presentes numa questão de prova. Ressaltamos que a distribuição de
freqüências é, de longe, a forma preferida pelas mesas elaboradoras de
concursos. Por isso, daremos sempre grande ênfase a ela, como, aliás, já
o temos feito.
Observação: é bem verdade que vários (bons) autores não vêem distinção
entre as duas últimas formas de apresentação dos dados que mostramos
acima, chamando-as ambas de Distribuição de Freqüências. Não nos cabe
aqui entrar nesta discussão, mesmo porque não atende nossos objetivos.
Até para efeitos didáticos, e isso facilitará raciocínios futuros,
continuaremos a separá-las em “Distribuição de Freqüências” e “Dados
Tabulados”, conforme os dados venham ou deixem de vir dispostos em
classes.
Hoje, ficamos por aqui! Essa aula foi até para vocês poderem dar
uma respirada! Seria interessante que vocês me dessem um retorno, para eu
ter uma idéia se estou correndo demais, ou se o ritmo está bom assim
deste jeito. Se ninguém disser nada, eu vou-me embora...
Aqui é assim: quem manda é o freguês!
Aliás, quero abrir um parênteses para agradecer os e-mails
afetuosos que tenho recebido desta “sala lotada” de novos alunos virtuais
que eu ganhei, vindos dos quatro cantos do país! Muito obrigado, mesmo!
Próximo Ponto, voltaremos com um assunto muito em voga: a
interpolação linear da ogiva! A partir desta próxima aula, estaremos

ESTATÍSTICA - Ponto dos concursos Ponto 7 pag. 4 de 4
aptos a resolver a primeira questão da prova de estatística da ESAF! É
mole, não? Um grande abraço e até lá!
Observação: você que está interessado somente na nossa matéria, poderá
deixar de imprimir essa última página, que só tem abobrinha! E ainda
economiza uma folha!

Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
1 INTERPOLAÇÃO LINEAR DA OGIVA
Até a última aula vimos as noções introdutórias do nosso curso.
Somente hoje estaremos aptos a iniciar a resolução da prova. O assunto
que veremos agora passou a elencar as provas de estatística da ESAF já há
alguns anos, mais ou menos desde o AFRF de 2001, e desde então não mais
deixou de ser cobrado. Trata-se de uma questão muito fácil, embora o nome
do assunto possa assustar um pouco.
Começaremos com um exemplo bem simples. Vejamos a Distribuição de
Freqüências abaixo:
Xi fi
0 |--- 10 5
10 |--- 20 8
20 |--- 30 13
30 |--- 40 11
40 |--- 50 7
50 |--- 60 3
Se a questão da prova perguntasse, por exemplo, quantos elementos
deste conjunto têm valor abaixo de 30, como responderíamos? Ora,
observando as classes desta distribuição, vemos facilmente que
“participam desta resposta” os elementos das três primeiras classes.
Desta forma, teríamos 5 elementos na primeira classe (abaixo de 10), mais
8 elementos na segunda classe (de 10 a 20) e finalmente 13 elementos na
terceira classe (valores de 20 a 30). Somando tudo, nossa resposta seria
26. Essa foi fácil, não?
Mais uma vez: a pergunta agora é “quantos elementos deste conjunto
têm valor acima de 40?” Também sem grandes dificuldades, percebemos que
“participam desta resposta” os elementos das duas últimas classes, ou
seja, elementos com valor de 40 a 50 (quinta classe) e de 50 a 60 (sexta
classe). Logo, como temos 7 elementos na penúltima, e 3 elementos na
última classe, nossa resposta seria a soma, ou seja, 10 elementos. Até
aqui, sem problemas, certo?
# A Questão:
A nova pergunta é: quantos elementos deste mesmo conjunto têm valor
menor ou igual a 28? Observando os limites das classes apresentadas,
percebemos que 28 não é nem limite superior, nem inferior de qualquer
destas classes. Na verdade, o valor 28 encontra-se dentro da terceira
classe! Para completar o enunciado, a questão vai pedir ainda que
determinemos esta resposta utilizando-nos da Interpolação Linear da
Ogiva.
E aí? Pulamos pra próxima questão? De jeito nenhum! Embora ainda
nem tenhamos falado de Ogiva (ou de outros gráficos estatísticos),
teremos já total condição de resolver este problema, fazendo uso de uma
regra de três simples, a mais fácil possível.
Percebamos que é fácil deduzir que a primeira e a segunda classes
participarão da resposta integralmente, porém a terceira classe
(20 |--- 30) participará apenas parcialmente do resultado!
Página 1 de 8

Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
Ou seja:
Xi fi
0 |--- 10 5 participa integralmente da resposta!
10 |--- 20 8 participa integralmente da resposta!
20 |--- 30 13 participa parcialmente da resposta!
30 |--- 40 11
40 |--- 50 7
50 |--- 60 3
O segredo então é trabalharmos com esta classe que participa apenas
parcialmente da resposta!
Daí faremos:
A terceira classe tem amplitude h-10, e freqüência simples fi=13
Daí, a primeira linha da regra de três está formada:
10 ---- 13 (dez está para treze!)
Traduzindo: nesta amplitude de 10, temos 13 elementos.
Para o complemento da regra de três pensaremos o seguinte: a
questão quer saber “menor ou igual a 28”. Ora, menor ou igual a 28 nesta
classe, nós teremos desde o limite inferior da classe (20) até o próprio
28. Ou seja, a amplitude desejada para esta classe neste momento será
apenas esta diferença: (28 – 20) = 8. Daí, a segunda linha da regra de
três será:
8 ---- X (oito está para X)
Ou seja, nesta amplitude de apenas 8, quantos elementos teremos?
(X=?)
Agora, nossa regra de três completa será:
10-------- 13
8 -------- X
Multiplicamos cruzando e chegaremos a:
X = (8 . 13) / 10 -> E: X = 104 / 10 -> Donde: X = 10,4
Observemos que este calculado (10,4) é apenas a participação da
terceira classe em nossa resposta! O valor que de fato procuramos reunirá
também as freqüências das duas primeiras classes desse conjunto, as
quais, como vimos, participam integralmente do resultado!
Daí, teremos:
Primeira classe:(0 |--- 10) 5 elementos (fi=5)
Segunda classe: (10 |--- 20) 8 elementos (fi=8)
Página 2 de 8

Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
Terceira classe:(20 |--- 30) 10,4 elementos (X=10,4)
-----------------------
Total de elementos: 23,4 elementos Resposta da questão!
Obviamente que este resultado reflete apenas uma aproximação, ou
seja, uma estimativa, uma vez que quando trabalhamos com a Distribuição
de Freqüências teremos efetivamente uma perda de informação. Mas não nos
preocupemos: embora essa resposta seja o reflexo de uma aproximação, ela
nos garantirá um ponto de verdade a mais na nossa prova!
# Outro exemplo:
Uma nova questão agora pergunta, para aquela mesma distribuição de
freqüências: “quantos elementos deste conjunto têm valor maior ou igual a
34?”
Aqui está de novo o nosso conjunto:
Xi fi
0 |--- 10 5
10 |--- 20 8
20 |--- 30 13
30 |--- 40 11
40 |--- 50 7
50 |--- 60 3
Observamos que este valor, 34, não é limite inferior ou superior de
nenhuma das classes, ao contrário, está dentro da quarta classe.
Constatamos, ainda, pela mera observação, que se a questão pede
elementos com valores acima de 34, esta quarta classe participará da
resposta apenas de forma parcial. Enquanto isso, as duas últimas classes
participarão integralmente do resultado. Ou seja:
Xi fi
0 |--- 10 5
10 |--- 20 8
20 |--- 30 13
30 |--- 40 11 participa parcialmente da resposta!
40 |--- 50 7 participa integralmente da resposta!
50 |--- 60 3 participa integralmente da resposta!
Ficou fácil perceber que teremos que trabalhar a regra de três com
a quarta classe, para descobrir quantos de seus elementos participarão da
resposta.
Para compor a regra de três, inicialmente trabalhamos com a classe
inteira. E nesta quarta classe, temos amplitude h=10 e freqüência simples
fi=11. Portanto, a primeira linha da regra de três será a seguinte:
10 --- 11 (dez está para onze!)
Ora, para esta mesma quarta classe, maiores ou iguais a 34 serão os
elementos 34 a 40. Ou seja, a amplitude desejada na resposta para essa
classe será apenas esta diferença: 40 – 34 = 6. Daí, a segunda linha da
regra de três será:
6 ---- X (seis está para X)
Ou seja, na amplitude de 6 teremos X elementos.
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Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
Portanto, nossa regra de três completa será a seguinte:
10 ---- 11
6 ---- X
Resolvendo, teremos:
X = (6 . 11) / 10 E: X = 6,6
Ou seja, em relação à quarta classe, participam da resposta apenas
6,6 elementos! Para chegarmos ao resultado da questão, todavia, temos de
nos lembrar que as freqüências das duas derradeiras classes terão
participação integral. Daí, teremos:
Quarta classe:(30 |--- 40) 6,6 elementos (X=6,6)
Quinta classe:(40 |--- 50) 7 elementos (fi=7)
Sexta classe: (50 |--- 60) 3 elementos (fi=3)
-----------------------
Total de elementos: 16,6 elementos Resposta da questão!
A questão é basicamente isso! Há algumas variações possíveis, como
por exemplo, em vez de a questão perguntar “quantos elementos”, ela
perguntaria “qual o percentual de elementos”, ou seja, em vez de
trabalharmos com a freqüência absoluta simples (fi), trabalharíamos com a
freqüência relativa simples (Fi).
Outra variação é aquela em que a questão pergunta “quantos
elementos do conjunto têm valor acima de X e abaixo de Y?”, de forma que
X e Y são valores não coincidentes com os limites inferiores ou
superiores das classes da distribuição. Neste caso, teríamos duas classes
participando parcialmente da resposta, logo, teríamos que fazer duas
regras de três: uma para a classe em que o X estará inserido, outra para
a classe a qual pertence o Y.
# Variação Importante:
Existe, todavia, uma variação desta questão digna de nota! Seria um
enunciado do tipo que se segue:
Xi Fi
0 |--- 10 5%
10 |--- 20 22%
20 |--- 30 33%
30 |--- 40 12%
40 |--- 50 8%
Considerando a distribuição de freqüências acima, em que Fi
representa a freqüência relativa simples, determine, via interpolação
linear da ogiva, qual o elemento deste conjunto que não é superado por
45% das observações de Xi.
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Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
E agora? Complicou? Pulamos para a próxima questão? Ainda não:
raciocinemos juntos.
Temos aí uma coluna com as freqüências relativas, e a questão
pergunta, em outras palavras, qual o elemento (Xi) que está abaixo de 45%
do total de elementos do conjunto.
Vejamos: a primeira classe tem 5% dos elementos, ok? A segunda
classe tem 22%. Somando estas duas primeiras freqüências relativas,
teremos já 27% do total dos elementos. Agora: de 27% para chegarmos a
45%, quanto falta? Obviamente que faltam ainda 18%, certo? É a diferença
(45%-27%=18%). Tudo bem até aqui?
Seguindo: se eu preciso andar mais 18% a partir da segunda classe,
(para chegar aos 45% desejados) e a próxima classe, que é a terceira, já
tem 33% dos elementos do conjunto, isso significa que a resposta que
estamos procurando estará exatamente dentro desta terceira classe!
Senão, vejamos: já tínhamos 27% dos elementos acumulados nas duas
primeiras classes. Se somássemos a esses 27% os 33% da terceira classe,
passaríamos a 60% dos elementos do conjunto. E o nosso objetivo é
chegarmos aos 45%.
Daí, trabalharemos formando uma regra de três simples para a
terceira classe, cuja freqüência relativa participa apenas parcialmente
na busca do resultado! De antemão, já sabemos que nossa resposta estará
dentro da terceira classe, ou seja, será um valor no intervalo de 20 a
30.
A nossa situação é a seguinte:
Xi Fi
0 |--- 10 5% 5% acumulados!
10 |--- 20 22% 27% acumulados!
20 |--- 30 33% Faltam 18% para chegarmos aos 45%
30 |--- 40 12%
40 |--- 50 8%
Daí, faremos nossa regra de três com o seguinte raciocínio: na
terceira classe, temos amplitude h=10 e freqüência relativa Fi=33%. Logo,
a primeira linha da regra de três será:
10 --- 33% (dez está para trinta e três por cento)
Ou seja, em uma amplitude de 10 temos 33% dos elementos do
conjunto.
Para construir a segunda linha da regra de três, pensaremos assim:
nos interessam nesta terceira classe apenas 18% dos elementos, que serão
necessários para acumularmos os 45% desejados. Daí, faremos:
X --- 18% (X está para dezoito por cento)
Ou seja: qual será a amplitude (X=?) desta terceira classe, que
abrangerá apenas 18% dos seus elementos?
A regra de três completa é a seguinte:
10 --- 33%
X --- 18%
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Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
Multiplicando em cruz, teremos:
X = (18%.10)/33% E: X = 5,45
Agora o mais importante: como usar esse X encontrado? Somando-o ao
limite inferior da terceira classe!
Vamos tentar entender: se estamos no limite inferior da terceira
classe (linf=20) e somamos a este a amplitude da classe inteira (h=10),
chegaríamos ao limite superior (lsup=30). Todavia, não nos interessa somar
o limite inferior com a amplitude da classe, pois assim “avançaríamos”
mais 33% dos elementos.
Queremos avançar apenas 18% dos elementos, o que corresponde a uma
amplitude de X=5,45 , conforme calculamos acima.
Logo, para chegarmos ao resultado solicitado pela questão, faremos:
20 + 5,45 = 25,45 Resposta da questão!
É isso!
Na seqüência, a transcrição de algumas questões de provas recentes
elaboradas pela ESAF, nas quais este assunto foi exigido. O gabarito
comentado principiará nossa próxima aula. Até lá e um grande abraço!
Extraído do AFRF-2002.1:
EXERCÍCIOS DE HOJE
01. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro
(X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo.
A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a
coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem
observações
coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de
observações de X menores ou iguais a 145.
a) 62,5%
b) 70,0%
c) 50,0%
d) 45,0%
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Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
e) 53,4%
02. Extraída do AFRF-2001:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia.
Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a
partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se
estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência
populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$7.000,00 na Cia.
Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número.
a) 150
b) 120
c) 130
d) 160
e) 180
03. Extraída do AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela
de freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,4 --- 39,5 4
39,5 --- 49,5 8
49,5 --- 59,5 14
59,5 --- 69,5 20
69,5 --- 79,5 26
79,5 --- 89,5 18
89,5 --- 99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos com
valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.
a) 700
b) 638
c) 826
d) 995
e)
900
04. Extraída do Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001:
Página 7 de 8

Estatística – Ponto dos Concursos Ponto 8-Interpolação Linear da Ogiva
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma
amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As
freqüências são acumuladas.
Classes de Salários Freqüências
(5.000 – 6.500) 12
(6.500 – 8.000) 28
(8.000 – 9.500) 52
(9.500 – 11.000) 74
(11.000 – 12.500) 89
(12.500 – 14.000) 97
(14.000 – 15.500) 100
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial
populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a
opção que corresponde a essa estimativa.
a)R$ 10.000,00
b)R$ 9.500,00
c)R$ 12.500,00
d)R$ 11.000,00
e)R$ 11.500,00
05. Extraída do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F)
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de
economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia.
X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das
classes salariais.
Classes F
29,4 --- 39,5 2
39,5 --- 49,5 6
49,5 --- 59,5 13
59,5 --- 69,5 23
69,5 --- 79,5 36
79,5 --- 89,5 45
89,5 --- 99,5 50
Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da
ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y.
a) 82,0
b) 80,0
c) 83,9
d) 74,5
e) 84,5
Boa sorte!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos
Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 1 de 10
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE INTERPOLAÇÃO DA OGIVA
Olá, amigos! Nós, de novo! E ai? Resolveram as questões da última
aula? Espero que tenham tentado ( e conseguido, obviamente!). Faremos
apenas as resoluções e os comentários pertinentes àquelas questões e, nas
próximas aulas avançaremos na matéria. Vamos lá!
Extraído do AFRF-2002.1
1. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram examinados 200 itens
de natureza contábil do balançco de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências
abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a
freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P(%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de
observações de X menores ou iguais a 145.
a) 62,5% d) 45,0%
b) 70,0% e) 53,4%
c) 50,0%
Sol.: Esta questão pede a resposta em valores percentuais, ou seja, ela
quer que trabalhemos com freqüências relativas, mais especificamente com a
freqüência relativa simples (Fi). Essa constatação foi fácil! Resta agora
verificar se a coluna fornecida foi já a Fi, ou se foi alguma outra. Ora, o
enunciado foi explícito, afirmando que a coluna P “representa a freqüência
relativa acumulada”. Já aprendemos, neste caso, o que fazer para chegarmos
à coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi). Esse estudo já foi objeto do
Ponto n.º 05 (“Trabalhando com as Freqüências Acumuladas”) e na segunda
página do Ponto n.º 06 (“Exercícios de Colunas de Freqüências”) trabalhamos
exatamente este enunciado, de forma que chegamos ao seguinte:
Classes Fac ↓ Fi
70-90 5% 5%
90-110 15% (15%-5%=) 10%
110-130 40% (40%-15%=) 25%
130-150 70% (70%-40%=) 30%
150-170 85% (85%-70%=) 15%
170-190 95% (95%-85%=) 10%
190-210 100% (100%-95%=) 5%
A questão quer saber valores “menores ou iguais a 145”. É fácil
verificar que este valor (145) está inserido na quarta classe (130
|-- 150). Logo, trabalharemos a regra de três exatamente aí, tendo em vista
que as freqüências relativas das três primeiras classes participarão
integralmente da resposta.
Ou seja, a situação será a seguinte:
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos
Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 2 de 10
Classes Fi
70-90 5% participa integralmente da resposta!
90-110 10% participa integralmente da resposta!
110-130 25% participa integralmente da resposta!
130-150 30% participa parcialmente da resposta!
150-170 15%
170-190 10%
190-210 5%
A primeira parte desta regra de três levará em conta a quarta classe
completa. Temos uma amplitude de h=20 e uma freqüência relativa simples de
Fi=30%. Daí:
20 --- 30% (vinte está para trinta por cento)
Na segunda parte da regra de três, trabalhamos com a classe
“quebrada”. Ora, menores ou iguais a 145, nesta classe, nós temos de 130
até 145. Logo, para este enunciado, a amplitude aqui desejada será esta
diferença: (145 – 130)=15. Daí, teremos:
15 --- X% (quinze está para X%)
Nossa regra de três completa ficará assim:
20 --- 30%
15 --- X%
Resolvendo, ficaremos com:
X = (15 . 30%)/20 X = 450%/20 X=22,5%
Logo, este valor encontrado será a parcela de participação da quarta
classe na resposta! Contudo, é evidente que as freqüências relativas das
três primeiras classes também participarão do resultado, e de forma
integral, como vimos acima! Assim, teremos:
Primeira classe:(70 |--- 90) 5% dos elementos (Fi=5%)
Segunda classe: (90 |--- 110) 10% dos elementos (Fi=10%)
Terceira classe:(110 |--- 130) 25% dos elementos (Fi=25%)
Quarta classe: (130 |--- 150) 22,5% dos elementos (X=22,5%)
-------------------------------------
Total: 62,5% dos elementos! Resposta!
02. Extraída do AFRF-2001:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia.
Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 3 de 10
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68
Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a
partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se
estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional
de salários anuais iguais ou inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale
a opção que corresponde a este número.
a) 150 b)120 c)130 d) 160 e)180
Sol.: Esta questão é para observadores! Pra começo de conversa, o enunciado
vem falando que as freqüências representam uma amostra de 10% dos
empregados, ou seja, apenas 10% dos elementos do conjunto estão
representados na amostra.
Observado isto, a questão pede um resultado referente à “freqüência
populacional”. Ora, “populacional” significa “da população”! Se a amostra
representa 10% da população, qualquer resultado encontrado para a amostra
terá que ser multiplicado por 10, para se chegar ao resultado
correspondente da população. Claro:
10%(amostra) x 10 = 100%(população)
Outra coisa: os limites das classes são valores expressos na casa das
unidades (3, 6, 9) e das dezenas (12, 15, 18, 21) e o enunciado fala em
valores “iguais ou inferiores a 7.000”. A explicação está acima da tabela,
quando a questão diz “freqüências... em milhares de reais”. Ou seja, onde
existe um 3, leia-se 3.000; onde existe um 9, leia-se 9.000, e assim por
diante. Tudo isso é feito para tentar complicar um pouco o raciocínio do
aluno, todavia, na essência, a questão é fácil do mesmo jeito!
Feitas estas preleções exordiais (!), temos que passar àquele trabalho
já conhecido nosso, de chegarmos aos valores da freqüência absoluta simples
– fi. Isso já o fizemos no Ponto n.º6 (“Exercícios de Colunas de
Freqüências”), quando trabalhamos exatamente este enunciado. O resultado
foi o seguinte:
Classes de Salários fac ↓ fi
(3 ; 6] 12 12
(6 ; 9] 30 (30 – 12=) 18
(9 ; 12] 50 (50 – 30=) 20
(12 ; 15] 60 (60 – 50=) 10
(15 ; 18] 65 (65 – 60=) 5
(18 ; 21] 68 (68 – 65=) 3
Pois bem! Valores iguais ou inferiores a R$7.000,00 passarão a ser,
para nós, valores iguais ou inferiores a 7 (conforme vimos acima a questão
dos milhares de reais!). Pela simples observação, constataremos que
participa integralmente da resposta a freqüência da primeira classe. Já a
segunda classe participará apenas parcialmente do resultado.
Ou seja:
Classes de
Salários
fi
(3 ; 6] 12 participa integralmente da resposta!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 4 de 10
(6 ; 9] 18 participa parcialmente da resposta!
(9 ; 12] 20
(12 ; 15] 10
(15 ; 18] 5
(18 ; 21] 3
Daí, trabalhando a regra de três com a segunda classe (naturalmente!),
teremos:
3 --- 18
1 --- X
Multiplicando em cruz, chegamos a:
X = (1 . 18)/3 X = 6
Acharemos a resposta somando ao X a participação integral da primeira
classe. Daí:
Primeira classe:(3 |--- 6) 12 elementos (fi=12)
Segunda classe: (6 |--- 9) 6 elementos (X=6)
-------------------------
Total: 18 elementos!
Conforme a observação que fizemos no início desta resolução, os
resultados obtidos para a amostra teriam que ser multiplicados por 10, para
chegarmos aos resultados da população. Em vista disso, faremos:
18 x 10 = 180 Resposta da Questão!
03. Extraída do AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela
de freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,4 --- 39,5 4
39,5 --- 49,5 8
49,5 --- 59,5 14
59,5 --- 69,5 20
69,5 --- 79,5 26
79,5 --- 89,5 18
89,5 --- 99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos com
valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.
a) 700 b)638 c)826 d)995 e)900
Sol.: Esta questão é mais trabalhosa, mas igualmente fácil! Apenas que
teremos dois trabalhos, em vez de um! Ou seja, faremos duas regras de três,
com as duas classes que participarão parcialmente do resultado! Vamos lá!
Novamente nesse enunciado, a questão veio com aquela história de
amostra e população! Disse que a amostra é de 100 e que a população é de
1000 indivíduos! Ora, deduzimos que a população é “10 vezes” o tamanho da
amostra. Logo, qualquer resultado encontrado para a amostra terá que ser
multiplicado por 10, para se chegar ao correspondente resultado da
população! Até aqui, tudo bem!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 5 de 10
A questão ofereceu ainda algumas facilidades: primeiramente, ela já
forneceu a freqüência absoluta simples (fi), e pediu como resposta um
“número de indivíduos”, ou seja, ela quer que trabalhemos exatamente com
esta fi.
Valores maiores que 50,5 e menores que 95,5! Quais as classes que
participarão desta resposta? Vejamos:
Classes Freqüência (f)
29,4 --- 39,5 4
39,5 --- 49,5 8
49,5 --- 59,5 14 participa parcialmente!
59,5 --- 69,5 20 participa integralmente!
69,5 --- 79,5 26 participa integralmente!
79,5 --- 89,5 18 participa integralmente!
89,5 --- 99,5 10 participa parcialmente!
Daí, teremos que fazer duas regras de três: uma para cada classe que
participa apenas parcialmente da resposta. Ficarão assim:
Primeira Regra de Três, referente à terceira classe:
10 --- 14
9 --- X
Daí: X = (9 . 14)/10 X = 126/ 10 X = 12,6
Segunda Regra de Três, referente à última classe:
10 --- 10
6 --- Y
Daí: Y = (6 . 10)/10 Y = 60 / 10 Y = 6
Finalmente, passamos à composição do resultado:
Terceira classe: (49,5|--- 59,5) 12,6 elementos (X=12,6)
Quarta classe: (59,5|--- 69,5) 20 elementos (fi=20)
Quinta classe: (69,5 |--- 79,5) 26 elementos (fi=26)
Sexta classe: (79,5 |--- 89,5) 18 elementos (fi=18)
Sétima classe: (89,5 |--- 99,5) 6 elementos (Y=6)
-------------------------
Total: 82,6 elementos!
Como pretendemos chegar ao resultado relacionado à população, temos
que multiplicar a resposta da amostra por 10, conforme vimos acima!
Ficaremos assim:
82,6 x 10 = 826 Resposta da Questão!
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ESTATÍSTICA
– Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 6 de 10
04. Extraída do Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001:
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra
aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são
acumuladas.
Classes de Salários Freqüências
(5.000 – 6.500) 12
(6.500 – 8.000) 28
(8.000 – 9.500) 52
(9.500 – 11.000) 74
(11.000 – 12.500) 89
(12.500 – 14.000) 97
(14.000 – 15.500) 100
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional
que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que
corresponde a essa estimativa.
a)R$10.000,00 b)R$9.500,00 c)R$12.500,00 d)R$11.000,00 e)R$11.500,00
Sol.: Novamente aqui se faz necessário trabalhar as colunas de freqüências
para se chegar à freqüência absoluta simples, fi. Como isso já foi feito no
Ponto n.º06 (“Exercícios de Colunas de Freqüências”), partiremos para o
resultado, como segue abaixo:
Classes de Salários fac ↓ fi
(5.000-6.500) 12 12
(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16
(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24
(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22
(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15
(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8
(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3
Aqui, precisaremos ir além, uma vez que o enunciado pede os salários
“não ultrapassados por 79% da população”. Quero dizer que precisaremos
encontrar a coluna da freqüência relativa simples (Fi). Para isso, usamos a
relação que há entre esta Fi e a freqüência absoluta simples (fi). No caso
desta questão, será facílimo este trabalho, pois o número de elementos da
questão é n=100. Daí, teremos:
Classes de Salários fac ↓ fi Fi
(5.000-6.500) 12 12 12%
(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16 16%
(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24 24%
(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22 22%
(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15 15%
(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8 8%
(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3 3%
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ESTATÍSTICA
– Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 7 de 10
Pois bem! Você já deve ter percebido que esta questão é exatamente
semelhante àquele exemplo da aula passada (Ponto 08), a quem denominamos
“Variação Importante”. É isso mesmo!
Então, vamos verificar como ficam os valores acumulados da freqüência
relativa – Fi -, a fim de descobrirmos com qual das classes trabalharemos
nossa regra de três.
Vejamos: na primeira classe, temos 12% dos elementos do conjunto;
somando aos 28% da segunda classe, passamos a 40%; somando agora esses 40%
acumulados com os 24% da terceira classe, passaríamos então a 52% dos
elementos; somando a esses 52% acumulados os 22% da quarta classe, chegamos
aos 74% do total de elementos; finalmente, somando os 74% já acumulados aos
15% da quinta classe, passaríamos já aos 89% dos elementos deste conjunto!
Ou seja, quando chegamos à quinta classe, se adicionarmos toda a sua
freqüência relativa, ultrapassaremos os 79% desejados pelo enunciado!
Conclusão: trabalharemos a regra de três com a quinta classe da nossa
distribuição!
Atenção agora: antes de chegarmos à quinta classe, tínhamos acumulados
74% do total dos elementos. Para chegarmos aos 79% desejados pela questão,
teremos que “avançar” mais quanto? Ora, a diferença: (79% - 74%)=5%. Ou
seja: faltam 5% dos elementos da quinta classe para chegarmos a nossa
resposta!
Nossa situação, portanto, é a seguinte:
Classes de fac fi Fi
Salários ↓
(5.000-6.500) 12 12 12% 12% acumulados
(6.500-8.000) 28 16 16% 28% acumulados
(8.000-9.500) 52 24 24% 52% acumulados
(9.500-11.000) 74 22 22% 74% acumulados
(11.000-12.500) 89 15 15% faltam 5% para chegarmos aos 79%!
(12.500-14.000) 97 8 8%
(14.000-15.500) 100 3 3%
Trabalhando a regra de três na quinta questão, ficaremos com:
1500 --- 15%
X --- 5%
Daí, teremos:
X = (1500.5%)/15% E: X=500
Traduzindo: 500 elementos representam exatamente 5% do total de
elementos do conjunto, que precisaríamos “avançar” nesta quinta classe,
para chegarmos aos 79% desejados. Cuidado agora para saber o que fazer com
esse valor encontrado!
Como havíamos visto na aula passada, este valor X=500 será somado ao
limite inferior da classe na qual trabalhamos a regra de três. Daí,
ficaremos com:
11.000 + 500 = 11.500 Resposta da Questão!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 8 de 10
05. Extraída do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F)
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de
economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X.
Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes
salariais.
Classes F
29,4 --- 39,5 2
39,5 --- 49,5 6
49,5 --- 59,5 13
59,5 --- 69,5 23
69,5 --- 79,5 36
79,5 --- 89,5 45
89,5 --- 99,5 50
Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da
ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y.
a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,5
Sol.: Aqui, mais uma questãozinha no modelo da anterior! Deseja-se
encontrar o valor não superado por 80% dos elementos. Já sabemos, portanto,
que vamos trabalhar com a freqüência relativa simples, Fi! A análise da
coluna de freqüência fornecida já foi realizada no Ponto n.º06, em que
trabalhamos este enunciado, para chegarmos à freqüência absoluta simples. O
resultado foi o seguinte:
Classes fac ↓ fi
29,5 – 39,5 2 2
39,5 – 49,5 6 (6-2=) 4
49,5 - 59,5 13 (13-6=) 7
59,5 – 69,5 23 (23-13=) 10
69,5 – 79,5 36 (36-23=) 13
79,5 – 89,5 45 (45-36=) 9
89,5 – 99,5 50 (50-45=) 5
Feito isso, passaremos à construção da coluna da Freqüência Relativa
Simples. Basta usarmos a relação (Fi=fi/n) para chegarmos ao seguinte:
Classes fac ↓ fi Fi
29,5 – 39,5 2 2 4%
39,5 – 49,5 6 4 8%
49,5 - 59,5 13 7 14%
59,5 – 69,5 23 10 20%
69,5 – 79,5 36 13 26%
79,5 – 89,5 45 9 18%
89,5 – 99,5 50 5 10%
Observemos que o “n” neste caso foi igual a 50, que é o valor da fac
da última classe! Já sabemos disso, naturalmente!
Faremos agora a análise dos valores acumulados da Fi, para
descobrirmos com qual das classes trabalharemos a nossa regra de três. Na
primeira classe, temos 4% dos elementos; somando com os 8% da segunda
classe, passamos a 12%; somando estes 12% acumulados com os 14% da terceira
classe, passamos a 26%; somando estes 26% acumulados com os 20% da quarta
classe, chegamos aos 46% dos elementos do conjunto; (...calma, ta
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 9 de 10
chegando!); somando os 46% acumulados com os 26% da quinta classe, chegamos
a 72% do total dos elementos; finalmente, somando estes 72% acumulados até
aqui com os 18% da sexta classe, já passaríamos dos 80% desejados pelo
enunciado!
Ou seja, até a quinta classe já acumulamos 72% do total dos elementos.
Quanto falta “avançar” para alcançarmos os 80% procurados pela questão?
Apenas a diferença: (80% - 72%) = 8%. Traduzindo: teremos que “avançar” 8%
na sexta classe, para chegarmos à resposta!
Ficou evidente que trabalharemos nossa regra de três na sexta classe
desta distribuição. A situação é a seguinte:
Classes fac fi Fi
29,5 – 39,5 2 2 4% 4% acumulados
39,5 – 49,5 6 4 8% 12% acumulados
49,5 – 59,5 13 7 14% 26% acumulados
59,5 – 69,5 23 10 20% 46% acumulados
69,5 – 79,5 36 13 26% 72% acumulados
79,5 – 89,5 45 9 18% faltam 8% para chegarmos aos 80%!
89,5 – 99,5 50 5 10%
A regra de três que faremos é a seguinte:
10 --- 18%
X --- 8%
Daí, teremos que:
X = (10 . 8%)/18% E: X=4,4
Finalmente, somando o valor encontrado ao limite inferior da sexta
classe, chegaremos à resposta:
79,5 + 4,4 = 83,9 Resposta da Questão!
E aí, meus bons amigos, como nos saímos? Espero que bem! De qualquer
forma, ninguém sai perdendo: quem acertou, porque já começa a sentir
segurança; quem errou, porque não vai errar mais, e com isso, já garantiu
um ponto extra na próxima prova!
Tenho recebido vários e-mails me pedindo pra apressar o passo. Outros
tantos pedem que eu continue nesse ritmo... O fato é que estou trabalhando
nossas aulas na medida que o tempo me permite!
Peço licença agora para fazer uma pequena propaganda ao pessoal de
Fortaleza: estou tentando formar uma turma preparatória de Estatística e
Matemática Financeira. Aproveito o ensejo para lembrar que apenas com este
curso o aluno já estará se preparando para várias provas, como Fiscal da
Receita, Fiscal de Fortaleza (ISS), Fiscal do Estado do Ceará (ICMS) e
Fiscal do INSS, além de outros... Início IMEDIATO!! Aos interessados (se
houver algum), peço que me mandem um e-mail. Obrigado!
Próxima aula, começaremos as medidas de posição! A primeira a ser
vista será a Média! O bonde está andando, minha gente!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 9 – Resulução dos exercícios de interpolação da ogiva Página 10 de 10
O “dever de casa” de hoje é revisar todas as aulas passadas, e refazer
todos os exercícios que foram propostos até aqui! Isso é importante que
seja feito, porque daqui pra frente, a matéria vai se acumulando, se
acumulando... e quem não revisar o que já aprendeu, vai esquecendo,
esquecendo... até não saber mais nem o que é um rol! Fico por aqui. Um
grande abraço e até a próxima!
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ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 1 de 8
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS
Olá amigos! Eu havia dito na última aula que iniciaríamos, na seqüência,
as medidas de posição, a começar pela Média! Ocorreu-me, todavia, que seria
mais interessante e mais conveniente apresentar um tópico bastante simples da
nossa matéria, e que, eventualmente, nos poderá ser extremamente útil,
sobretudo na determinação destas mesmas medidas – média, moda e mediana!
Destarte, embora o estudo da Média fique adiado para a próxima aula,
estou certo de que não sairemos perdendo com isso! (Vocês mesmos me dirão no
futuro!). Hoje, portanto, iremos analisar a Distribuição de Freqüência, quanto
a um aspecto da maior relevância: a Simetria do conjunto.
Falar em simetria de uma distribuição é falar, a grosso modo, de como os
elementos do conjunto se “distribuem” entre as classes. Se o fazem de uma
forma “eqüitativa” ou não, ou por outra, de uma forma simétrica ou
assimétrica.
Para que o assunto seja mais “palpável”, apresentaremos o gráfico mais
importante da Estatística (pelo menos, para nós concurseiros!): o chamado
HISTOGRAMA!
# Histograma:
Sempre que desejarmos representar graficamente uma Distribuição de
Freqüências, o faremos por meio deste tipo de gráfico! Então, lembraremos que
o Histograma é o gráfico que é um “retrato” da nossa distribuição! E é muito
fácil de ser construído e interpretado.
No eixo das abscissas (o horizontal), estarão dispostos os elementos do
conjunto – Xi – agrupados, naturalmente, em classes. Enquanto que nas
ordenadas (eixo vertical) ficarão as freqüências absolutas simples – fi.
Vejamos abaixo:
fi (freqüência simples)
Xi (classes)
Daí, as classes serão representadas por retângulos (um para cada
classe), cuja base será determinada pelos limites da classe (linf e lsup) e
cuja altura, pela freqüência absoluta simples – fi. Vejamos o exemplo abaixo,
considerando a seguinte Distribuição de freqüências:
Classes fi
0 |--- 10 2
10|--- 20 3
20|--- 30 6
30|--- 40 9
40|--- 50 12
50|--- 60 15
60|--- 70 12
70|--- 80 9
80|--- 90 6
90|--- 100 3
100|--- 110 2

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 2 de 8
Teremos para esse conjunto, o seguinte Histograma:
Percebamos que para cada classe haverá um retângulo, cuja altura nos
dirá a freqüência correspondente! Mais simples, impossível! Só de olharmos
para o Histograma, já temos uma excelente noção visual de como os elementos
deste conjunto se distribuem. No caso desse nosso conjunto, se traçarmos um
pontilhado dividindo o gráfico (verticalmente) em duas metades, teremos o
seguinte:
O que um bom observador constataria neste momento? Que os elementos do
conjunto estão distribuídos de uma forma simétrica, a considerar como
referência a classe intermediária! Todos perceberam? É como se a linha
pontilhada fosse um “espelho”. Notaram?
Outro exemplo! Façamos o mesmo procedimento, ou seja, encontremos o
Histograma e tracemos uma linha divisória partindo da classe intermediária,
para a seguinte Distribuição de Freqüência:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 3 de 8
Classes fi
0 |--- 10 2
10|--- 20 6
20|--- 30 11
30|--- 40 15
40|--- 50 8
50|--- 60 7
60|--- 70 6
70|--- 80 4
80|--- 90 3
90|--- 100 2
100|--- 110 1
Nosso Histograma agora será o seguinte:
Separando-o em duas metades a partir da classe intermediária, ficaremos
com o seguinte:
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 4 de8

Facilmente verificamos que, para esse último exemplo, não ocorreu a
mesma simetria observada naquele primeiro conjunto que estudamos. Ou seja,
tomando a classe intermediária da distribuição como referência, os elementos
não se dispuseram de uma forma simétrica. Percebamos que aqui a linha
pontilhada não funcionou como um “espelho”! Diz-se, nesse caso, que esta
distribuição é assimétrica.
Surge a pergunta: precisaremos construir um Histograma sempre que
desejarmos saber se uma Distribuição de Freqüências é simétrica? Claro que
não! Apresentamos o Histograma com o intuito de proporcionar um melhor
entendimento – uma melhor idéia inicial – do que vem a ser a simetria!
Quando, porém, desejarmos afirmar se uma distribuição é simétrica ou
não, o faremos utilizando uma técnica que, aliás, não será encontrada em
nenhum livro de Estatística (que se preze!): a Técnica do Elevador, que
passamos a explicar neste momento.
# “Técnica do Elevador”:
Antes de mais nada, uma observação importante: doravante, sempre que nos
depararmos com uma Distribuição de Freqüências, a primeira preocupação que
teremos será justamente a seguinte: SABER SE A DISTRIBUIÇÃO É SIMÉTRICA, ou
não!
Qual a razão disso? Oportunamente, veremos as facilidades de se
determinar as medidas de posição (média, moda e mediana) para uma distribuição
simétrica, sem necessitar fazer uma só conta!
Por hora, nossa preocupação será apenas identificar quando a
distribuição será simétrica. E isto é facílimo!
CASO 01) Distribuição com número ímpar de classes.
Se a distribuição apresenta um número ímpar de classes, o primeiro passo
é achar a classe intermediária. Por exemplo, sendo cinco classes, a
intermediária é a terceira, pois ficam duas classes para cima e duas para
baixo. Se a distribuição tiver sete classes, a intermediária será a quarta:
ficarão três classes para cima e três para baixo; e assim por diante. Vejamos
os exemplos abaixo:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 5 de 8
Distribuição com sete classes:
Classes
70-90
90-110
110-130
130-150 Classe intermediária!
150-170
170-190
190-210
Distribuição com cinco classes:
Classes
10-20
20-30
30-40 Classe intermediária!
40-50
50-60
Feito isso, analisaremos se a distribuição é simétrica observando a
coluna da freqüência absoluta simples – fi – partindo da classe intermediária.
Vejamos o exemplo abaixo:
Classes fi
70-90 7
90-110 16
110-130 28
130-150 35
150-170 28
170-190 16
190-210 7
Partindo da freqüência simples da classe intermediária, basta comparar
as freqüências das classes “vizinhas” para cima e para baixo. Ou seja,
“subindo e descendo um andar”, na coluna da fi, observamos que os valores são
iguais. Para efeitos mneumônicos, estamos utilizando a infalível “Técnica do
Elevador”. Vejamos:
Classes fi
70-90 7
90-110 16
110-130 28
130-150 35
150-170 28
170-190 16
190-210 7
Se as freqüências que achamos com este procedimento são iguais, então
prosseguimos com a mesma tática, ou seja, “subindo e descendo um andar”, a
partir de onde paramos. Desse modo, partindo das duas freqüências 28,
subiremos e desceremos um andar, e chegaremos ao seguinte:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 6 de 8
Classes Fi
70-90 7
90-110 16
110-130 28
130-150 35
150-170 28
170-190 16
190-210 7
Novamente, valores iguais: 16! Em sendo iguais, continuaremos “subindo e
descendo um andar”, a partir destas freqüências 16. Finalmente, teremos:
Classes Fi
70-90 7
90-110 16
110-130 28
130-150 35
150-170 28
170-190 16
190-210 7
Chegamos, daí, ao final da utilização da Técnica do Elevador, subindo e
descendo um andar a partir da freqüência absoluta simples da classe
intermediária, e constatamos que, a cada vez que subíamos e descíamos uma
classe na coluna da fi, os valores destas freqüências eram os mesmos!
Conclusão: estamos diante de uma distribuição de freqüências simétrica!
Se em pelo menos uma das aplicações da técnica do elevador, ou seja, em
qualquer das vezes que subirmos e descermos um andar, encontrarmos dois
valores de fi diferentes, então a distribuição não será simétrica, mas
assimétrica!
Em 99,9% das questões de concurso, as distribuições simétricas não
aparecem! Pois facilitaria sobremaneira a resolução da prova, como veremos
oportunamente. Mas, doravante, toda vez que surgir uma distribuição de
freqüências em nossa frente, teremos esta preocupação: verificar se ela é
simétrica, ou se não o é!
CASO 02) Distribuição com número par de classes.
Se a distribuição trouxer um número par de classes, nosso primeiro passo
será, igualmente, identificar as classes intermediárias, que agora serão duas
(em vez de uma só). Por exemplo, sendo quatro classes, as intermediárias serão
a segunda e a terceira, pois ficará uma classe para cima e uma para baixo. Se
a distribuição tiver seis classes, as intermediárias serão a terceira e a
quarta: ficarão duas classes para cima e duas para baixo; e assim por diante.
Vejamos os exemplos abaixo:
Distribuição com quatro classes:
Classes
10-20
20-30 Classe intermediária!
30-40 Classe intermediária!
40-50
Distribuição com seis classes:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 7 de 8
Classes
10-20
20-30
30-40 Classe intermediária!
40-50 Classe intermediária!
50-60
60-70
Isso feito, procederemos exatamente da forma como fizemos no primeiro
caso (número ímpar de classes), e aplicaremos a técnica do elevador,
analisando a coluna da freqüência absoluta simples – fi – partindo das duas
classes intermediárias. Vejamos o exemplo abaixo:
Classes fi
10-20 7
20-30 15
30-40 23
40-50 23
50-60 15
60-70 7
Para início de conversa, as duas freqüências absolutas simples destas
duas classes intermediárias têm que ser iguais. Caso contrário, nossa análise
já estaria encerrada. Considerando, portanto, a igualdade entre as fi das
classes intermediárias, prosseguiríamos comparando as freqüências das classes
“vizinhas” para cima e para baixo. Ou seja, “subindo e descendo um andar”, na
coluna da fi, observamos que os valores são iguais.
Vejamos:
Classes fi
10-20 7
20-30 15
30-40 23
40-50 23
50-60 15
60-70 7
Se as freqüências que achamos com este procedimento são iguais, então
prosseguimos com a mesma tática, ou seja, “subindo e descendo um andar”, a
partir de onde paramos. Desse modo, partido das duas freqüências 15, subiremos
e desceremos um andar, e chegaremos ao seguinte:
Classes fi
10-20 7
20-30 15
30-40 23
40-50 23
50-60 15
60-70 7
Chegamos, novamente, ao final da utilização da técnica do elevador, para este
exemplo. Constatamos que, a cada vez que subíamos e descíamos uma classe na coluna da
fi, os valores destas freqüências eram o mesmo!
Conclusão: estamos novamente diante de uma distribuição de freqüências
simétrica!

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 10-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜENCIAS SIMÉTRICAS Página 8 de 8
Ressaltamos mais uma vez que a Distribuição só será Simétrica se, em todas as
vezes que “subirmos e descermos um andar”, encontrarmos o mesmo valor de fi! Caso
contrário, estamos diante de uma distribuição assimétrica.
Este assunto, Simetria da Distribuição, guarda estreita relação com as medidas
de posição! Quando, em um futuro próximo, concluirmos o estudo destas medidas –
média, moda e mediana -, retornaremos a falar de Assimetria e passaremos a conhecer
melhor este assunto.
Aprenderemos que uma distribuição, no tocante à sua simetria, pode assumir uma
das seguintes três situações: ser simétrica, ou de assimetria positiva, ou ainda de
assimetria negativa. Aprenderemos também que, apenas conhecendo duas quaisquer destas
medidas de posição, já teremos como afirmar em qual das três situações de simetria se
encontra aquele conjunto!
Mas isso a seu tempo! Hoje ficamos por aqui. Vou ver se consigo espremer as
horas do meu dia, para tentar adiantar um pouco nossa matéria. Acreditem-me: tenho
feito o que posso! Conto com a paciência (eu sei que é difícil!) de vocês, meus
alunos virtuais! Próxima aula, impreterivelmente, iniciaremos o assunto da Média! Um
grande abraço e até a próxima!
PS: Não tem exercício desse assunto, portanto minha recomendação é ainda de uma boa
revisão do que foi visto! Sobretudo pra que ainda não a fez...!

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 1 de 14
MÉDIA ARITMÉTICA
Agora é pra valer! Todos bem? Vamos iniciando hoje as Medidas de
Posição! Se uma prova de Estatística tiver apenas uma questão, há imensa
chance de ela versar sobre este assunto. Portanto, nem preciso falar da
importância desta aula, e das seguintes! Adiante!
A Média é a mais importante das Medidas de Posição e saber calculá-la é
simplesmente essencial para qualquer prova de Estatística.
Quando a questão pedir que se calcule a Média, simplesmente isso,
estaremos tratando da Média Aritmética. Na verdade, há outros dois tipos de
Média: a Geométrica e a Harmônica. Como estas duas últimas costumam ser quase
sempre ignoradas nas provas, embora presentes no programas dos editais, as
explicaremos mais adiante, em uma aula à parte.
Média para o Rol:
Caso a questão da prova nos forneça os dados do conjunto dispostos em
forma de um rol, utilizaremos para o cálculo da Média a seguinte fórmula:
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ Xi
X
n
Para quem não está familiarizado, o símbolo Σ significa “somatório”,
entendendo-se que teremos que somar o que estiver disposto após ele. No nosso
caso, ΣXi nos indica que somaremos os elementos (Xi) do rol. Conforme o
restante da fórmula, em seguida, dividiremos o resultado desta soma pelo
número de elementos do conjunto, o nosso “n”. Vejamos um exemplo!
Calcule a média aritmética do conjunto abaixo:
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
Não há nenhuma dificuldade em se constatar que o conjunto foi
apresentado sob a forma de um rol. Aliás, temos uma aula passada – o Ponto
nº07 – em que falamos das formas de apresentação dos dados! Daí, identificado
o rol, resta apenas aplicarmos a fórmula:
Sol.: X = (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) → X = 49 → Y = 7
7 7
Facílimo, não? Pena que não sejam tão freqüentes questões assim... só
bem raramente!
Média para Dados Tabulados:
Quando o conjunto nos for apresentado sob a forma de Dados Tabulados
Não Agrupados em Classes (vide Ponto nº07!), nossa Média será calculada pela
seguinte fórmula:
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 2 de 14

⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ Xi fi
X
n
Observemos que, neste caso, para chegarmos ao somatório dos elementos
do conjunto, será preciso construirmos a coluna “Xi.fi”, e depois obtermos
sua soma. Vejamos um exemplo.
Calcular a média aritmética dos dados do conjunto abaixo:
Xi fi
4
5
6
7
8
1
5
6
5
3
n=20
Como primeiro passo construiremos a coluna Xi.fi! Obtendo o somatório
desta coluna, precisaremos apenas dividi-lo pelo número total de
elementos n. Observemos que o n – número de elementos do conjunto – será
calculado pela soma da coluna da freqüência absoluta simples – fi.
Ou seja, n = ∑fi . Isso será sempre assim, ou seja, sempre que os dados
do conjunto vierem apresentados em uma tabela – ou dados tabulados, ou
distribuição de freqüências – o “n” será o somatório da coluna fi.
Daí, teremos:
Xi fi Xi.fi
4
5
6
7
8
1
5
6
5
3
4x1=4
5x5=25
6x6=36
7x5=35
8x3=24
Soma 20 124
E, finalmente: X = (124 / 20) → X = 6,2
Média para Distribuição de Freqüências:
Aqui nossa atenção deve ser redobrada! E por uma razão muito simples: a
grande e considerável maioria das questões de prova que pedem o cálculo da
Média costuma apresentar o conjunto sob a forma de uma Distribuição de
Freqüências. Logo, é quase certo nos depararmos com essa situação, na qual
teremos que utilizar, para determinação da Média, a seguinte fórmula:
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ PM.
fi
X
n
Comecemos a juntar as peças do quebra-cabeça: no Ponto nº07 vimos que o
que diferencia os Dados Tabulados da Distribuição de Freqüências é o fato de
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 3 de 14
que nos Dados Tabulados os elementos aparecem individualizados (Xi) e na
Distribuição de Freqüências aparecem em classes. Logo, na fórmula da média
para “Distribuição” não vai aparecer o Xi – elemento individualizado. Em seu
lugar, deve aparecer um elemento que represente a classe. Aí nos lembramos de

uma observação feita no Ponto n.º03, quando tratamos dos elementos da
Distribuição de Freqüências, e veremos o que foi dito: o Ponto Médio é o
legítimo representativo de uma classe, ou seja, é o elemento que melhor
representa cada classe!
Daí, para chegarmos à fórmula da Média para a Distribuição de
Freqüências, repete-se a fórmula que usamos para Dados Tabulados, e trocamos
Xi (elemento individualizado) pelo Ponto Médio – PM – elemento representativo
da classe! Vejamos o exemplo abaixo.
Exemplo: Calcular a média aritmética dos dados abaixo:
Xi fi
2 !--- 4
4 !--- 6
6 !--- 8
8 !--- 10
10 !--- 12
3
5
10
5
3
n=26
Teremos aqui de criar mais duas colunas para encontrar a solução: a
primeira será a coluna dos Pontos Médios e a segunda será a do
produto (PM . fi)!
Daí, teremos:
Xi fi PM PM.fi
2 !--- 4
4 !--- 6
6 !--- 8
8 !--- 10
10 !--- 12
3
5
10
5
3
3
5
7
9
11
9
25
70
45
33
Soma 26 182
E, finalmente: X = 182 / 26 → X = 7,00
Este cálculo que fizemos acima, ou seja, a fórmula que utilizamos para
determinar a Média da Distribuição de Freqüências consiste no que chamaremos
de Cálculo Convencional da Média Aritmética. Todavia, existe uma outra forma
de se achar esta medida, e que pode se tornar uma resolução mais rápida e,
portanto, mais conveniente!
Este método alternativo, na verdade, é o que utilizaremos na nossa
prova! Trabalharemos, nesta nova forma de calcular a média, com a chamada
Variável transformada! Para entendermos este novo método, precisamos antes
conhecer algumas propriedades da Média Aritmética. Vamos a elas!

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 4 de 14
# Propriedades da Média Aritmética:
São várias as propriedades da Média! Aprenderemos agora duas delas,
necessárias para utilizarmos, na seqüência, o cálculo da Média pela Variável
Transformada:
1ª Propriedade) Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer
somarmos ou subtrairmos uma constante, a média ficará acrescida ou subtraída
desta constante.
Toda atenção a esta propriedade! Nós a chamaremos de Propriedade da
Soma e Subtração. Precisaremos dela tanto para marcar uma questão teórica,
quanto para resolver uma questão de cálculo. E é bem simples. Vejamos um
exemplo:
Consideremos o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, cuja Média será calculada da
seguinte maneira:
X = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 → E: X = 15 / 5 → X = 3
Agora, se a cada elemento Xi deste conjunto original A somarmos a
constante k=5, por exemplo, passaremos a dispor do conjunto B, dado por:
B= {6, 7, 8, 9, 10}. Se formos calcular a Média deste novo conjunto B,
teremos:
X = (6 + 7 + 8 + 9 + 10) / 5 → E: X = 40 / 5 → X = 8
Ora, em vez de calcularmos a Média do grupo B, poderíamos simplesmente
aplicar a propriedade da Soma e Subtração!
Se a Média do conjunto original é igual a 3, e apenas somamos todos os
elementos deste conjunto a uma constante, usando a propriedade, a nova Média,
ou seja, a Média do novo conjunto será a Média do conjunto original somada a
esta mesma constante. Teremos:
Média de B = Média de A + constante
Média de B = 3 + 5 = 8
Uma aplicação prática desta propriedade ocorreu na prova de Fiscal da Receita
de 1996, quando o enunciado trazia uma Distribuição de Freqüências, e dizia que os
elementos ali dispostos seriam as idades dos funcionários de uma empresa na data de
01/01/1990. Na primeira questão, pedia-se o cálculo da Média. Até aqui tudo bem!
Acontece que na quarta questão, o enunciado iria falar que seis anos depois, ou
seja, em 01/01/1996, o quadro de pessoal da empresa se mantinha o mesmo, as mesmas
pessoas, e se pedia então que se calculasse a nova média do conjunto.
Bem criativa esta questão (a resolveremos oportunamente), e muito fácil também!
Bastava que se percebesse o seguinte: se o conjunto original trazia uma série de
idades em uma data, e o novo conjunto trazia as idades destas mesmas pessoas seis
anos mais tarde, é lógico que as novas idades são as idades originais somadas a
seis! Claro: daqui a seis anos todos teremos a idade de hoje adicionada a seis. Daí,
era só aplicar a propriedade!
Como a Média do conjunto original, das idades em 1990, já tinha sido calculada
na primeira questão, restava apenas tomar este valor e somar mais
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 5 de 14

seis! E chegava-se à nova resposta! Uma questão de graça... para quem
conhecia a propriedade!
Agora há pouco, chamamos a atenção para o fato de que a fórmula que
apresentamos para o cálculo da Média era a do cálculo convencional. E que
iríamos em breve conhecer o método da Variável Transformada. Pois bem, para
usarmos esta nova forma de determinar a Média, como veremos logo a seguir,
teremos que aplicar também esta Propriedade da Soma e da Subtração, além da
próxima,que se segue.
2ª Propriedade) Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for
multiplicado ou dividido por uma constante, a média ficará multiplicada ou
dividida por esta constante.
Tão importante quanto a anterior, chamaremos esta de Propriedade do
Produto e da Divisão. É a correspondente da Propriedade da Soma e Subtração,
só que para as operações de multiplicação e divisão. Vejamos um exemplo:
Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, cuja média já conhecemos do exemplo
anterior: X =3. Agora, suponhamos que a cada elemento do conjunto
multipliquemos a constante k=5. Passaremos a ter o novo conjunto
B = {5, 10, 15, 20, 25}. Se formos calcular a média deste novo conjunto B,
faremos:
X = (5 + 10 + 15 + 20 + 25) / 5 E: X = 75 / 5 → X = 15
Ora, poderíamos simplesmente usando a propriedade do Produto e da
Divisão, chegarmos ao mesmo resultado. Se a média do conjunto original é
igual 3, e cada um desses elementos foi multiplicado pela constante 5, então
a nova média (do novo conjunto) será a média anterior, também multiplicada
pela constante. Ou seja:
Média de B = (Média de A) x (constante)
Média de B = 3 x 5 = 15
# Cálculo da Média pela Variável Transformada:
Já dispomos do necessário para aprendermos o cálculo da Média pela
utilização da Variável Transformada. Já conhecemos a forma convencional de se
calcular a Média, pela mera aplicação da fórmula. Todavia, como já foi dito,
as últimas provas, sobretudo da ESAF, têm trazido enunciados que tornariam a
resolução da questão mais rápida e mais prática se utilizarmos uma outra
saída, que é justamente o trabalho com a chamada Variável Transformada.
E o que é a variável transformada? Ora, quando a questão apresenta o
conjunto original, seja em forma de um rol, ou Dados Tabulados ou de uma
Distribuição de Freqüências, estes dados correspondem, obviamente, à Variável
Original. Agora, se com cada elemento deste conjunto original, fizermos uma
ou mais de uma operação – seja de soma, subtração, produto ou divisão –
deixaremos então de trabalhar com a variável original e passaremos a
trabalhar com a variável transformada. Portanto, diremos que “a variável
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 6 de 14
original foi transformada” por meio de operações a que foram submetidos todos
os elementos do conjunto original.
Entenderemos melhor esta explicação por meio de exemplos. Senão,
vejamos o seguinte. Consideremos o conjunto abaixo:

Xi fi PM
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
n=80
Trata-se, obviamente, de uma Distribuição de Freqüências, em que foi
fornecida a variável original Xi, cujos elementos estão dispostos nas
classes. Se esta questão pedisse o cálculo da Média, poderíamos encontrá-la
pela mera aplicação da fórmula abaixo:
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ PM.
fi
X
n
Isso seria o que chamamos de cálculo convencional da Média. Para este
cálculo, teríamos que construir a coluna do numerador, ou seja: (PM.fi). É o
próximo passo:
5
15
25
35
45
Xi fi PM PM.fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
5
15
25
35
45
45
225
700
595
495
n=80 Σ=2060
Daí, teríamos que: X = (2060 / 80) E: X = 25,75
Observemos que as contas que fomos obrigados a fazer na construção
desta coluna (PM.fi) são trabalhosas e poderiam vir a ser bastante mais
demoradas, sobretudo se as classes tivessem como Pontos Médios valores nãointeiros,
ou seja, valores “quebrados”, o que ocorre com freqüência nas
provas de concursos.
Aí é que entra a Variável Transformada! Iremos, portanto, construir uma
nova coluna, que será a coluna da transformação da variável original.
Criaremos esta coluna logo após a coluna dos Pontos Médios.
Para construir a coluna da transformação, poderemos usar sempre a
seguinte sugestão:
90 No numerador, fazer PM subtraído do primeiro Ponto Médio (o PM da
primeira classe); e
91 Dividir o resultado pela Amplitude da Classe, o h.
Só isso! Vejamos na prática como ficaria a nossa coluna da
transformação deste nosso exemplo:
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 7 de 14
Xi fi PM (PM – 5)
10
0 |--- 10
9
5
0
10 |--- 20
15
15
1
20 |--- 30
28
25
2
30 |--- 40
17
35
3
40 |--- 50
11
n=80
45
4

Vejamos que a coluna (PM – 5)/10 é exatamente aquilo que sugerimos
acima: no numerador,(PM – 5) é justamente a subtração dos Pontos Médios pelo
primeiro PM (que é 5); e depois dividimos por 10, que é a amplitude da
classe.
Observe que, sempre que construirmos uma coluna de transformação da
variável original por meio desta sugestão apresentada acima, teremos como
resultado os mesmos valores: uma seqüência dos números inteiros, iniciando
pelo zero!
Feito isto, temos agora que “batizar” a coluna que acabamos de
construir! Ora, neste momento já não mais estamos com a variável original Xi!
Acabamos de transformá-la em uma outra variável! Desse modo, poderemos chamar
a nova variável por uma outra letra, Yi por exemplo. Ou Wi, ou Zi... fica a
gosto do freguês!
Neste nosso exercício, chamaremos a nova variável de Yi. E o próximo
passo será calcular a Média da Variável Transformada! Aqui, a nossa fórmula
original (aquela do cálculo convencional!) sofrerá uma pequena variação.
Vejamos:
Quando trabalhávamos com a variável original, tínhamos a seguinte
fórmula:
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ PM.
fi
X
n
Agora, que estamos trabalhando com a nova variável Yi, nossa fórmula
será dada por:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y
n
Observemos que a alteração é mesmo intuitiva: em lugar do Ponto Médio
(que representava a variável original Xi) usaremos o Yi, que representa a
variável transformada! Perceberemos, agora, como é bem mais fácil construir a
coluna (Yi.fi). Senão, vejamos:
Xi fi PM (PM – 5) = Yi
10
Yi.fi
0 |--- 10 9 5
0
0
10 |--- 20 15 15
1
15
20 |--- 30 28 25
2
56
30 |--- 40 17 35
3
51
40 |--- 50 11 45
4
44
n=80 166
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 8 de 14
Calculada a coluna (Yi.fi), o próximo passo é encontrar o valor da Y .
Teremos que:
Y = (166 / 80) E: Y = 2,075
Ora, a questão quer saber o valor da Média da variável original Xi, e
não a Média desta variável transformada que acabamos de achar. Então,
precisamos usar as propriedades da Média (de Soma e Subtração, e de Produto e
Divisão), que acabamos de aprender, para chegarmos ao valor que procuramos.

Vamos reconstruir o caminho que usamos para sair da variável original
Xi e chegar à variável transformada Yi: Caminho de Ida! Basta olhar para a
coluna de transformação, e vermos o que foi feito com o PM (que representa a
variável original)!
Variável Original Xi 1.º) (–5) 2.º) (÷10) Variável Transformada Yi
E agora, invertendo o caminho de ida – da variável original para a
transformada –, construiremos o caminho de volta, ou seja, aquele que nos
trará da variável transformada – Yi – para a variável original – Xi. Basta
usar as operações inversas às do caminho de ida. Vejamos o Caminho de Volta:
Variável Transformada Yi 1.º)(x10) 2.º)(+5) Variável Original Xi
Observemos que a primeira operação do Caminho de Volta é o inverso da
última operação do Caminho de Ida, e vice-versa. Ou seja, onde termina um
caminho, começa o outro. Bem, usaremos agora apenas o Caminho de Volta, para
descobrirmos o valor da Média da variável original.
Ora, sabemos que a média da variável transformada é di = = 2,075. Daí,
percorremos o Caminho de Volta, aplicando as propriedades da Média. Vejamos:
A primeira operação do Caminho de Volta é um produto:(x10).
Perguntamos: a Média é influenciada pela multiplicação? Sim, conforme
aprendemos na propriedade! Daí, nossa Média passa a ser:
2,075 x 10 = 20,75
A segunda operação do caminho de volta é uma soma: (+5). Novamente a
pergunta: a Média sofre influência de operações de soma? Sim, também de
acordo com a propriedade da mèdia! Daí tomando nosso último resultado,
faremos:
20,75 + 5 = 25,75 = X
Chegamos, portanto, ao valor da nossa média da variável original,
usando o método da Variável Transformada!
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 9 de 14
Em suma, os passos deste método, do Cálculo da Média pela Variável
Transformada, são os seguintes:
a)Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Yi), seguindo
a sugestão que apresentamos;
b)Construir a coluna (Yi.fi) e calcular o seu somatório;
c) Encontrar o valor da Média da Variável Transformada, usando a fórmula
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y
n

d)Descrever, a partir do Caminho de Ida, da variável original para a
transformada, o caminho inverso, ou seja, o Caminho de Volta, que usaremos
para achar a nossa resposta!
e)Seguindo, então, esse Caminho de Volta, calcularemos a Média da Variável
Original, seguindo as propriedades, e lembrando-nos que a Média é
influenciada pelas quatro operações (soma, subtração, produto e divisão).
Talvez, a primeira impressão deste método da Variável Transformada seja
a de um procedimento trabalhoso, ou complexo. Mas, ao contrário do que possa
parecer, trabalhar com a Variável Transformada é, na maioria das vezes, a
maneira mais prática de se chegar ao valor da Média. Isso se torna mais
verdade ainda se o próprio enunciado já trouxer construída a coluna de
transformação da variável original. Foi o que ocorreu, por exemplo, na prova
de 1996 do AFRF, transcrita a seguir:
(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes
dados:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS
Classes de
Idades
(anos)
19,5 !--- 24,5
24,5 !--- 29,5
29,5 !--- 34,5
34,5 !--- 39,5
39,5 !--- 44,5
44,5 !--- 49,5
49,5 !--- 54,5
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90
Pontos
Médios
(PM)
PM − 37
= di
5
di.fi di 2 .fi di 3 .fi di 4 .fi
Freqüências
(fi)
2
9
23
29
18
12
7
22
27
32
37
42
47
52
-3
-2
-1
---
1
2
3
-6
-18
-23
---
18
24
21
18
36
23
---
18
48
63
-54
-72
-23
---
18
96
189
Total n=100 16 206 154 1106
Observemos que a quarta coluna, fornecida pelo enunciado na
Distribuição de Freqüências, foi justamente aquela que fez a transformação da
variável original. Desta forma, esta transformação ocorreu por meio de duas
operações: a primeira, a subtração dos Pontos Médios por 37; a segunda, a
divisão por 5. Logo, este foi o caminho que o enunciado escolheu para
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 10 de 14
transformar a variável original na variável transformada, que foi aqui
chamada de “di”.
Logo, o nosso Caminho de Ida será:
Variável Original Xi 1.º)(– 37) 2.º)(÷5) Variável Transformada di
Faremos agora o Caminho de Volta:
Variável Transformada di 1.º)(x5) 2.º)(+37) Variável Original Xi
Calcularemos aqui a Média da variável transformada – di – usando a
fórmula alterada, que neste caso será:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ di fi
di
n
162
144
23
---
18
192
567

Observemos que a distribuição de freqüências fornecida pela prova já
trazia, na coluna seguinte, os valores de (di.fi) e o somatório desta coluna,
que será utilizado no numerador, como se segue:
di = 16 / 100 E: di = 0,16
Finalmente, percorrendo o Caminho de Volta com o valor da Média da
Variável Transformada, lembrando-nos de que a Média é influenciada pelas
quatro operações, chegaremos ao seguinte:
0,16 x 5 = 0,8 E: 0,8 + 37 = 37,8 = X Resposta da Questão!
Para fazer o serviço completo, essa questão acima é exatamente aquela a
qual eu me referi quando explicava a Propriedade da Soma e da Subtração, para
a Média! Estão lembrados? A Média que acabamos de calcular dizia respeito à
idade dos funcionários da empresa em 01/01/1990. Na seqüência, em uma questão
posterior, o enunciado falava que estávamos agora em 01/01/1996, ou seja,
seis anos após!
E pedia a nova média das idades daquele mesmo grupo de pessoas! Moleza
pura! Só tínhamos que aplicar a Propriedade da Soma e Subtração e pensar: se
se passaram 6 anos, isso quer dizer que cada elemento do conjunto original
foi somado à constante 6. Daí, a nova média será a média anterior, somada
também a 6. Logo:
X (em 01/01/1996) = X (em 01/01/1990) + 6
Daí: X (em 01/01/1996) = 37,8 + 6 E: X (em 01/01/1996)= 43,8 Resposta!
ATENÇÃO: Talvez esteja surgindo a seguinte dúvida: dissemos acima que na hora
de construirmos a coluna de transformação, o procedimento sugerido seria
dividir PM pelo valor do primeiro Ponto Médio, para, em seguida, dividir este
resultado pela amplitude da classe, h. Certo? Porém, na questão acima, o
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 11 de 14
próprio enunciado já trouxe uma coluna de transformação construída, só que de
uma outra forma, diferente do que sugerimos! E aí? Ora, os passos que
indicamos para chegarmos à coluna de transformação é uma sugestão, que eu
recomendo que seja aceita, quando nós tivermos que construir essa coluna!
Todavia, se o próprio enunciado já trouxer uma coluna de transformação toda
pronta, seja ela como for, então não teremos mais de nos preocupar em
construir uma outra coluna! Resumindo: aceitaremos sempre a coluna de
transformação fornecida pelo enunciado; quando isso não acontecer, a
construiremos adotando a sugestão por nós ensinada! Só isso!
-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-
Eu sou até capaz de apostar que tem muita gente aí pensando o seguinte:
“...esse cara tá é doido se acha que eu vou perder tempo aprendendo essa tal
de variável transformada!... vou é usar a minha formulazinha do cálculo
convencional, e pronto... o resultado é o mesmo!”
Aí eu respondo dizendo que: “Tudo bem! A resposta, de fato, será a
mesma! Então, façamos o seguinte: só precisa aprender a Variável Transformada
quem quiser passar no concurso, ok?”
Na verdade, o que eu quero dizer é que as provas da ESAF não nos têm
deixado muita escolha! Inúmeros alunos saem da prova dizendo que não houve
tempo suficiente para as questões de Estatística, o que (me perdoem falar)
não é verdade! A prova é feita para quem usar todos os artifícios necessários

para economizar o tempo! A Variável Transformada é, talvez, o mais importante
desses artifícios!
Então, coloquemos uma coisa na cabeça: é muito fácil trabalhar com a
Variável Transformada, e ganhar velocidade com essa técnica é apenas uma
questão de tempo e de TREINO!! Portanto, na seqüência, colocarei umas
questões de concurso (já bem conhecidas nossas!), além de outras que
inventarei, apenas para nos dar velocidade e prática com a variável
transformada, ok?
EXERCÍCIOS DE HOJE
Enunciado Único: Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da
Média Aritmética, utilizando o método da Variável Transformada.
Observação: aproveite o ensejo e refaça, quando necessário, todo aquele
trabalho com as colunas de freqüência, para chegar à freqüência absoluta
simples!!
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
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02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi Fi
0 !--- 15
4
15 !--- 30
7
30 !--- 45
11
45 !--- 60
9
60 !--- 75
5
75 !--- 90
2
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi Fi
0 !--- 7
7
7 !--- 14
11
14 !--- 21
15
21 !--- 28
9
28 !--- 35
3
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi Fi
9,5 !--- 19,5
4
19,5 !--- 29,5
6
29,5 !--- 39,5
7
39,5 !--- 49,5
5
49,5 !--- 59,5
3
3
5
8
4
2

05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi Fi
90 !--- 95
40
95 !--- 100
60
100 !--- 105
140
105 !--- 110
160
110 !--- 115
180
115 !--- 120
120
120 !--- 125
40
125 !--- 130
30
130 !--- 135
20
135 !--- 140
10
06. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
30 !--- 40
1
40 !--- 50
3
50 !--- 60
7
60 !--- 70
11
90 !--- 80
14
90 !--- 90
11
90 !--- 100
7
100 !--- 110
3
110 !--- 120
1
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07. Extraído do AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X),
foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa.
Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a
freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
08. Extraído do AFRF-2001:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia.
Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68

09. Extraído do AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,4 --- 39,5 4
39,5 --- 49,5 8
49,5 --- 59,5 14
59,5 --- 69,5 20
69,5 --- 79,5 26
79,5 --- 89,5 18
89,5 --- 99,5 10
10. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001:
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra
aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são
acumuladas.
Classes de Salários Freqüências
(5.000 – 6.500) 12
(6.500 – 8.000) 28
(8.000 – 9.500) 52
(9.500 – 11.000) 74
(11.000 – 12.500) 89
(12.500 – 14.000) 97
(14.000 – 15.500) 100
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 11-MÉDIA ARITMÉTICA Página 14 de 14
11. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F)
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de
economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X.
Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes
salariais.
Classes F
29,4 --- 39,5 2
39,5 --- 49,5 6
49,5 --- 59,5 13
59,5 --- 69,5 23
69,5 --- 79,5 36
79,5 --- 89,5 45
89,5 --- 99,5 50
-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-
E então, meus amigos? Uma aula de 13 páginas para acertarmos uma questão na
prova...! Ainda chamam o funcionário público de “vida boa”... Mas, como diz o
ditado, muito pertinentemente: “vida boa é a dos outros!”
Deixemos de lado a vida alheia e cuidemos da nossa, mesmo porque uma questão
pode nos deixar de fora das vagas do próximo concurso! Acreditem, isso já aconteceu
comigo! Foi no AFRF de 2001..., águas passadas.
O gabarito comentado iniciará nossa próxima aula! Não perca tempo nem a chance
de tentar resolver esses exercícios! O mais importante é tentar! Mãos à obra,
portanto!
Peço licença para mandar um grande abraço a todos que me têm escrito, com
palavras de incentivo e de amizade! Serei injusto por não relacionar a todos, mas
dedico esta aula e envio um abraço forte aos seguintes novos amigos que ganhei
nestas últimas semanas: o Gean Barreto, de Manaus (e batalhando no Acre!); a turma
de Macapá: Stélio, Rubenita e cia. ltda.; a Ana Beatriz, do Recife; a Elba, de
Belém; a Cristiane, do Chuí; o Danilo Martins, de São Paulo; a Juliana Maciel, de

Fortaleza; o Ricardo Lopes, de Niterói; e o Diogo Cabeda, de Porto Alegre. Todos
futuros AFRF!
O abraço agora é para os meus “velhos” amigos do Recife, aqueles responsáveis
por eu viver com saudades: Cristiane Abreu (minha grande amiga “Vida Boa”!); Flávia
Siqueira (minha irmã, Flavinha!); Fábio Araújo (meu irmão, Fabão!); minha caríssima
Vanessa Falcão; os amigos do peito Aquiles Albino e Manuela, do Curso Especial; meu
querido professor Pompeu, do Pró-Concurso de Pernambuco e o meu grande amigo
professor João Antônio Carvalho (o pai do Pedro Aurélio!). Não poderia esquecer de
mencionar meus bons amigos de Suape: Eleonora Carvalho, Luís Antônio Barros, Ângelo
Carvalho (e a Maria Júlia!), Scheila Neher (e o Paulão e a Julinha), Luís Augusto,
Lomanto, Juarez Miranda, Ginaldo Freire, Vilmarcos Barbosa (e a pequena Eduarda!),
Rafael Cavalcanti, Ricardo Kuklinsky, Fernando Dias, Vanisse, Eduardo Martins, Esiel
Fernandes, Renato, Ana Helena, Eni Sávio, Alcélio Silva, Telma Timóteo, e aqueles
que já saíram de lá: Celene Nogueira (minha eterna “chefinha”), Moisés de Freitas
Cabral, Carlos Fernando, Paulo Sérgio Santos, Massachi Kochimizu, Maria das Graças
Kochimizu, e José Erison. Posso ter esquecido alguns na lista, mas não aqui no
peito!
Que Deus abençoe a Regina Célia, Weber Campos e Beatriz! Até a próxima!

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 1 de 20
EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA
Olá, amigos! Hoje nossa missão será apenas resolver os exercícios deixados
para vocês na última aula! E já!
Enunciado Único: Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da Média
Aritmética, utilizando o método da Variável Transformada.
Observação: aproveite o ensejo e refaça, quando necessário, todo aquele
trabalho com as colunas de freqüência, para chegar à freqüência absoluta
simples!!
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.: Para acharmos a Média pela Variável Transformada, nossos primeiros passos
serão construir a coluna dos Pontos Médios, e a coluna de transformação da
nossa variável original. A coluna dos PM já é nossa velha conhecida:
encontraremos o PM da primeira classe [(linf+lsup)/2], e depois saímos somando
com o valor da amplitude da classe (h). Já quanto à coluna de transformação,
seguiremos a sugestão apresentada na aula passada:
Variável transformada = (PM – primeiro PM)
(amplitude da classe)
Chamaremos aqui nossa variável transformada de Yi.
Xi fi PM (PM-5)= Yi
10
0 !--- 10 3
5
0
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
5
8
4
2
15
25
35
45
1
2
3
4
Agora, recordando o que aprendemos na aula passada, nossa fórmula da Média para
a Variável Transformada será a seguinte:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y
n
3
5
8
4
2
Página 1 de 20

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 2 de 20
Logo, para encontrarmos o numerador, construiremos a coluna (Yi.fi). Ficaremos
assim:
Xi fi PM (PM-5)= Yi
10
Yi.fi
0 !--- 10 3
5
0
0
10 !--- 20 5
15
1
5
20 !--- 30 8
25
2
16
30 !--- 40 4
35
3
12
40 !--- 50 2
45
4
8
n=22 41
Percebam que coloquei o n=22 em destaque, justamente para lembrar que, na
Distribuição de Freqüências, encontraremos sempre o número de elementos do
conjunto (n) pelo somatório da coluna do fi!
Agora, determinaremos o valor da Média da Variável Transformada, que será:
Y = (41/22) E:
Y = 1,86
Ora, como sabemos, interessa-nos na resposta determinar não o valor da média da
variável transformada, mas o da variável original Xi! Para isso, vamos
transcrever o caminho utilizado para chegarmos do Xi à variável transformada
Yi:
Caminho de Ida: (Xi para Yi): 1º)(–5) e 2º)(÷10)
Logo, o Caminho de Volta (Yi para Xi), que é o que nos interessa agora, será
encontrado simplesmente invertendo as operações do Caminho de Ida, de trás para
frente! Teremos:
Caminho de Volta: (Yi para Xi): 1º)(x10) e 2º)(+5)
Para podermos enxergar melhor essas idas e vindas, podemos até fazer um rápido
desenho:
Caminho de Ida
1º)(-5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 1,86
2º)(+5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
Percebamos que, onde termina o caminho de ida começa o caminho de volta!
Finalmente, o que temos que fazer para chegarmos ao nosso X é seguirmos o
caminho de volta, partindo do valor do Y = 1,86. Teremos, que:
1º)(x10) 1,86x10=18,6 e 2º)(+5) 18,6+5=23,6 que é nosso X !
Daí: X = 23,6 Resposta da Questão!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 3 de 20
Antes de prosseguirmos, uma pergunta: todos estão lembrados do motivo de termos
feito ambas as operações do caminho de volta (um produto e uma soma)? Ora, foi
devido às Propriedades da Média (vimos na aula passada!), que nos dizem que a
Média será influenciada pelas quatro operações – soma, subtração, produto e
divisão! Em frente...
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
Sol.: Novamente, iniciaremos com os passos preliminares, de construir a coluna
do Ponto Médio e a coluna de transformação da variável original! Ficaremos
assim:
4
7
11
9
5
2
Xi fi PM (PM-7,5)= Yi
15
0 !--- 15 4 7,5
0
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
7
11
9
5
2
22,5
37,5
52,5
67,5
82,5
1
2
3
4
5
Agora, construiremos a coluna (Yi.fi). Teremos que:
Xi Fi PM (PM-7,5)= Yi
15
Yi.fi
0 !--- 15 4 7,5
0
0
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
7
11
9
5
2
22,5
37,5
52,5
67,5
82,5
1
2
3
4
5
7
22
27
20
10
n=38 86
Daí, calcularemos o valor da Média da nossa variável transformada, Y , usando a
nossa fórmula já conhecida:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Ficaremos com: Y = (86/38) E: Y =2,26
n
Agora, é só fazer o “desenho” dos caminhos de ida e volta, que usamos para ir
da variável original Xi, para a transformada Yi, e o retorno! Teremos que:
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 4 de 20
Caminho de Ida
1º)(-7,5) e 2º)(÷15)
X =? Xi Yi Y = 2,26
2º)(+7,5) e 1º)(x15)
Caminho de Volta
Ficou fácil, não? Só teremos que percorrer o caminho de volta, partindo de
Y = 2,26, e lembrando-nos que a Média é influenciada pelas quatro operações.
Daí, teremos:
1º)(x15) 2,26x15=33,9 e 2º)(+7,5) 33,9+7,5=41,4 que é nosso X !
Daí: X = 41,4 Resposta da Questão!
Percebem que está ficando cada vez mais fácil! Em frente...
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
Sol.: Primeiros passos: coluna do PM e coluna de transformação! Teremos:
7
11
15
9
3
Xi fi PM (PM-3,5)= Yi
7
0 !--- 7 7 3,5
0
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
11
15
9
3
10,5
17,5
24,5
31,5
1
2
3
4
Na seqüência, coluna do (Yi.fi). Teremos:
Xi fi PM (PM-3,5)= Yi
7
Yi.fi
0 !--- 7 7 3,5
0
0
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
11
15
9
3
10,5
17,5
24,5
31,5
1
2
3
4
11
30
27
12
n=45 80
Página 4 de 20

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 5 de 20
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(80/45) Y =1,77
n
Agora, cálculo do Y :
Agora, o desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-3,5) e 2º)(÷7)
X =? Xi Yi Y = 1,77
2º)(+3,5) e 1º)(x7)
Caminho de Volta
Finalmente, correremos o caminho de volta, partindo do Y = 1,77:
1º)(x7) 1,77x7=12,4 e 2º)(+3,5) 12,4+3,5=15,9 que é nosso X !
Daí: X = 15,9 Resposta da Questão!
Nas próximas questões, padronizaremos nossos passos, colocando-os em destaque,
para facilitar nossa memorização!
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Sol.:
i) Coluna do PM e coluna de transformação:
Xi fi PM (PM-14,5)= Yi
10
9,5 !--- 19,5 4 14,5
0
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
6
7
5
3
24,5
34,5
44,5
54,5
1
2
3
4
ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 6 de 20
4
6
7
5
3
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ii) Coluna do (Yi.fi):
iii) Cálculo do Y :
Xi fi PM (PM-14,5)= Yi
10
Yi.fi
9,5 !--- 19,5 4 14,5
0
0
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
6
7
5
3
24,5
34,5
44,5
54,5
1
2
3
4
6
14
15
12
n=25 47
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(47/25) Y =1,88
n
Caminho de Ida
1º)(-14,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 1,88
2º)(+14,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 1,88x10=18,8 e 2º)(+14,5) 18,8+14,5=33,3 que é nosso X !
Daí: X = 33,3 Resposta da Questão!
Pronto! Estão traçados os nossos passos nesta assunto! Em frente...
05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 7 de 20
Sol.:
i) coluna do PM e coluna de transformação:
ii) Coluna do (Yi.fi):
Xi fi PM (PM-92,5)= Yi
5
90 !--- 95 40 92,5
0
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
60
140
160
180
120
40
30
20
10
97,5
102,5
107,5
112,5
117,5
122,5
127,5
132,5
137,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Xi fi PM (PM-92,5)= Yi
5
Yi.fi
90 !--- 95 40 92,5
0
0
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
60
140
160
180
120
40
30
20
10
97,5
102,5
107,5
112,5
117,5
122,5
127,5
132,5
137,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
60
280
480
720
600
240
210
160
90
n=800 2.840
iii) Cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(2840/800) Y =3,55
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-92,5) e 2º)(÷5)
X =? Xi Yi Y = 3,55
2º)(+92,5) e 1º)(x5)
Caminho de Volta
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 8 de 20
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x5) 3,55x5=17,75 e 2º)(+92,5) 17,75+92,5=110,25
06. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Daí: X = 110,25 Resposta da Questão!
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
90 !--- 80
90 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
i) coluna do PM e coluna de transformação:
ii) Coluna do (Yi.fi):
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Xi fi PM (PM-35)= Yi
10
30 !--- 40 1
35
0
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
3
7
11
14
11
7
3
1
45
55
65
75
85
95
105
115
1
2
3
4
5
6
7
8
Xi fi PM (PM-35)= Yi
10
Yi.fi
30 !--- 40 1
35
0
0
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
3
7
11
14
11
7
3
1
45
55
65
75
85
95
105
115
1
2
3
4
5
6
7
8
3
14
33
56
55
42
21
8
n=58 232
iii) Cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(232/58) Y =4,0
n
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 9 de 20
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-35) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 4,0
2º)(+35) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 4,0x10=40,0 e 2º)(+35) 40+35=75
Daí: X = 75 Resposta da Questão!
Observação: Daqui a pouco, no finalzinho desta aula, darei uma dica preciosa
sobre a média – a primeira Dica de Ouro deste nosso curso! E aí, veremos que
dava para dizer a resposta desta questão 06 que acabamos de resolver, sem
precisar fazer uma conta sequer!!
07. Extraído do AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Sol.: Estas próximas questões já são nossas conhecidas; apareceram em aulas
passadas, no nosso estudo das colunas de freqüências, e no estudo da
interpolação da ogiva. Mesmo assim, para não perder a oportunidade, faremos o
serviço completo, ou seja, trabalharemos passo a passo o enunciado, até
chegarmos à Média pela variável transformada!
Iniciaremos com os passos preliminares, para chegarmos à freqüência absoluta
simples, fi! A primeira coisa a fazer é descobrir quem é esta coluna P(%). Ora,
o enunciado foi claro: “P representa a freqüência relativa acumulada”. Como os
valores desta coluna estão dispostos de forma crescente (5, 15, 40...), então
concluímos: P(%) é a nossa Fac. Teremos que usar dois passos, para chegarmos à
fi. Seguindo o caminho das pedras faremos o seguinte:
Fac Fi fi
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 10 de 20
Na primeira conversão, faremos “próxima Fac menos Fac anterior” e ficaremos
assim:
Classes Fac ↓ Fi
70 – 90 5% 5%
90 – 110 15% 10%
110 – 130 40% 25%
130 – 150 70% 30%
150 – 170 85% 15%
170 – 190 95% 10%
190 – 210 100% 5%
Na segunda conversão, observaremos que o enunciado nos disse que n=200.
Daí,usaremos a relação entre Fi e fi, qual seja: fi=Fi.n e ficaremos assim:
Classes Fac ↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
Pronto! Todo esse trabalho preliminar nos serviu apenas para chegarmos à nossa
coluna da freqüência absoluta simples. A partir deste ponto é que começaremos
os passos necessários para chegarmos à Média!
Para enxergarmos mais facilmente, vamos reduzir nossa tabela apenas às duas
colunas que nos interessarão agora: a das classes e a fi. Em frente!
Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10
i) coluna do PM e coluna de transformação:
Classes fi PM (PM-80)= Yi
20
70 – 90 10 80 0
90 – 110 20 100 1
110 – 130 50 120 2
130 – 150 60 140 3
150 – 170 30 160 4
170 – 190 20 180 5
190 – 210 10 200 6
Página 10 de 20

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 11 de 20
ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes Fi PM (PM-80)= Yi
iii) Cálculo do Y :
20
Yi.fi
70 – 90 10 80 0 0
90 – 110 20 100 1 20
110 – 130 50 120 2 100
130 – 150 60 140 3 180
150 – 170 30 160 4 120
170 – 190 20 180 5 100
190 – 210 10 200 6 60
n=200 580
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(580/200) Y =2,9
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-80) e 2º)(÷20)
X =? Xi Yi Y = 2,9
2º)(+80) e 1º)(x20)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x20) 2,9x20=58,0 e 2º)(+80) 58+80=138
Daí: X = 138 Resposta da Questão!
Talvez agora vocês estejam sentindo realmente a importância daquelas nossas
aulas iniciais sobre como trabalharmos as colunas de freqüências! Percebam que
não adianta de nada conhecer a fórmula da Média, nem todo o procedimento para
encontrá-la, caso não soubéssemos como chegar à freqüência absoluta simples!
08. Extraído do AFRF-2001:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 12 de 20
Sol.: Aqui novamente vamos trabalhar os passos preliminares para chegarmos à
fi! Quem é esta “freqüências acumuladas” que o enunciado forneceu? Serão
freqüências absolutas ou relativas? Como não apresentam nenhum “sinal” de que
sejam relativas (nem um símbolo de %, no cabeçalho ou nos próprios valores da
coluna), concluímos que se trata de freqüência absoluta. Ora, como esta coluna
apresenta os valores dispostos de forma crescente, não resta dúvida que estamos
diante de uma freqüência absoluta acumulada crescente – fac!
Precisaremos de um único passo (vide caminho das pedras, Ponto 04) para
construirmos nossa fi! Faremos “próxima fac menos fac anterior”! Teremos:
Classes de
salários
fac ↓ fi
3 ; 6 12 12
6 ; 9 30 18
9 ; 12 50 20
12 ; 15 60 10
15 ; 18 65 5
18 ; 21 68 3
Agora, sim: estamos prontos para encontrar a Média! Para simplificar, novamente
reduziremos nossa tabela às classes que nos interessarão. Teremos:
Classes de
salários
fi
3 ; 6 12
6 ; 9 18
9 ; 12 20
12 ; 15 10
15 ; 18 5
18 ; 21 3
i) coluna do PM e coluna de transformação:
ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes de fi PM (PM-4,5)= Yi
salários
3
3 ; 6 12 4,5 0
6 ; 9 18 7,5 1
9 ; 12 20 10,5 2
12 ; 15 10 13,5 3
15 ; 18 5 16,5 4
18 ; 21 3 19,5 5
Classes de fi PM (PM-4,5)= Yi Yi.fi
salários
3
3 ; 6 12 4,5 0 0
6 ; 9 18 7,5 1 18
9 ; 12 20 10,5 2 40
12 ; 15 10 13,5 3 30
15 ; 18 5 16,5 4 20
18 ; 21 3 19,5 5 15
n=68 123
ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 13 de 20
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iii) Cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(123/68) Y =1,81
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-4,5) e 2º)(÷3)
X =? Xi Yi Y = 1,81
2º)(+4,5) e 1º)(x3)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x3) 1,81x3=5,43 e 2º)(+4,5) 5,43+4,5=9,93
Daí: X = 9,93 Resposta da Questão!
09. Extraído do AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,4 --- 39,5 4
39,5 --- 49,5 8
49,5 --- 59,5 14
59,5 --- 69,5 20
69,5 --- 79,5 26
79,5 --- 89,5 18
89,5 --- 99,5 10
Sol.: Nesta questão, a coluna de freqüências fornecida já foi a própria fi, de
forma que podemos imediatamente passar aos passos do cálculo da média!
i) coluna do PM e coluna de transformação:
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
29,4 --- 39,5 4 34,5 0
39,5 --- 49,5 8 44,5 1
49,5 --- 59,5 14 54,5 2
59,5 --- 69,5 20 64,5 3
69,5 --- 79,5 26 74,5 4
79,5 --- 89,5 18 84,5 5
89,5 --- 99,5 10 94,5 6
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 14 de 20
i)
Coluna do (Yi.fi):
iii) Cálculo do Y :
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
Yi.fi
29,4 --- 39,5 4 34,5 0 0
39,5 --- 49,5 8 44,5 1 8
49,5 --- 59,5 14 54,5 2 28
59,5 --- 69,5 20 64,5 3 60
69,5 --- 79,5 26 74,5 4 104
79,5 --- 89,5 18 84,5 5 90
89,5 --- 99,5 10 94,5 6 60
n=100 350
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(350/100) Y =3,5
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-34,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 3,5
2º)(+34,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 3,5x10=35 e 2º)(+34,5) 35+34,5=69,5
Daí: X = 69,5 Resposta da Questão!
10. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001:
A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra
aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são
acumuladas.
Classes de Salários Freqüências
(5.000 – 6.500) 12
(6.500 – 8.000) 28
(8.000 – 9.500) 52
(9.500 – 11.000) 74
(11.000 – 12.500) 89
(12.500 – 14.000) 97
(14.000 – 15.500) 100
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 15 de 20
Sol.: Este enunciado nos forneceu uma coluna com o nome de “freqüências”, e
disse expressamente tratar-se de “freqüências acumuladas”. Como não se
verificam os “sinais” de que seja uma freqüência relativa, constatamos estar
diante de uma coluna de freqüências absolutas. Uma vez que os valores desta
coluna aumentam sucessivamente, concluímos: trata-se da fac!
Feita esta primeira descoberta, teremos que seguir os passos necessários para
chegarmos à freqüência absoluta simples – fi. Para tanto (conforme o retorno do
caminho das pedras), faremos “próxima fac menos fac anterior”, e teremos:
Classes de Salários fac ↓ fi
(5.000 – 6.500) 12 12
(6.500 – 8.000) 28 16
(8.000 – 9.500) 52 24
(9.500 – 11.000) 74 22
(11.000 – 12.500) 89 15
(12.500 – 14.000) 97 8
(14.000 – 15.500) 100 3
Agora, sim: passaremos aos passos para encontrar a Média! Vamos usar a tabela
reduzida ao que nos interessa:
Classes de Salários fi
(5.000 – 6.500) 12
(6.500 – 8.000) 16
(8.000 – 9.500) 24
(9.500 – 11.000) 22
(11.000 – 12.500) 15
(12.500 – 14.000) 8
(14.000 – 15.500) 3
i) coluna do PM e coluna de transformação:
Classes de Salários fi PM (PM-5750)= Yi
1500
(5.000 – 6.500) 12 5.750 0
(6.500 – 8.000) 16 7.250 1
(8.000 – 9.500) 24 8.750 2
(9.500 – 11.000) 22 10.250 3
(11.000 – 12.500) 15 11.750 4
(12.500 – 14.000) 8 13.250 5
(14.000 – 15.500) 3 14.750 6
ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes de Salários fi PM (PM-5750)= Yi
1500
Yi.fi
(5.000 – 6.500) 12 5.750 0 0
(6.500 – 8.000) 16 7.250 1 16
(8.000 – 9.500) 24 8.750 2 48
(9.500 – 11.000) 22 10.250 3 66
(11.000 – 12.500) 15 11.750 4 60
(12.500 – 14.000) 8 13.250 5 40
(14.000 – 15.500) 3 14.750 6 18
n=100 248
ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 16 de 20
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iii) Cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(248/100) Y =2,48
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-5750) e 2º)(÷1500)
X =? Xi Yi Y = 2,48
2º)(+5750) e 1º)(x1500)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x1500) 2,48x1500=3720 e 2º)(+5750) 3720+5750=9470,
Daí: X = 9.470, Resposta da Questão!
11. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F)
correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de
economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não
existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes
salariais.
Classes F
29,4 --- 39,5 2
39,5 --- 49,5 6
49,5 --- 59,5 13
59,5 --- 69,5 23
69,5 --- 79,5 36
79,5 --- 89,5 45
89,5 --- 99,5 50
Sol.: O enunciado fala em “freqüências acumuladas” e só! Vamos concluir que não
são relativas, pela ausência dos “sinais”. E, como estão dispostas
crescentemente, constatamos que se trata de uma coluna de freqüências absolutas
acumuladas crescentes, a nossa fac.
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 17 de 20
Daí, como passo preliminar, encontraremos a coluna da fi, pelo caminho de volta
do caminho das pedras, fazendo “próxima fac menos fac anterior”. Teremos o
seguinte:
Classes fac ↓ Fi
29,4 --- 39,5 2 2
39,5 --- 49,5 6 4
49,5 --- 59,5 13 7
59,5 --- 69,5 23 10
69,5 --- 79,5 36 13
79,5 --- 89,5 45 9
89,5 --- 99,5 50 5
Feito isso, estamos prontos para realizarmos os cinco passos necessários para
determinarmos a Média, pelo método da variável transformada. Espero que, nesta
altura do campeonato, estes passos já tenham “entrado no sangue” de vocês! É
que existe uma diferença entre “decorar” e “entrar no sangue”: neste último
caso, a memorização é profunda! Dura meses e até anos! Só é preciso usar uma
técnica que os japoneses adotam bastante: repetir o estudo, incansavelmente,
muitas e muitas vezes, até a exaustão... acreditem-me: funciona! Noutra
oportunidade eu ensinarei um método de memorização que criei, e se aplica
perfeitamente à Estatística! É o método do chamequinho! Mas, isso é para outra
hora... Vamos à Média!
i) coluna do PM e coluna de transformação:
ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
29,4 --- 39,5 2 34,5 0
39,5 --- 49,5 4 44,5 1
49,5 --- 59,5 7 54,5 2
59,5 --- 69,5 10 64,5 3
69,5 --- 79,5 13 74,5 4
79,5 --- 89,5 9 84,5 5
89,5 --- 99,5 5 94,5 6
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
Yi.fi
29,4 --- 39,5 2 34,5 0 0
39,5 --- 49,5 4 44,5 1 4
49,5 --- 59,5 7 54,5 2 14
59,5 --- 69,5 10 64,5 3 30
69,5 --- 79,5 13 74,5 4 52
79,5 --- 89,5 9 84,5 5 45
89,5 --- 99,5 5 94,5 6 30
n=50 175
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 18 de 20
iii) Cálculo do
h
⎛fpo
⎞
lMo + ⎜ ⋅
⎝fpo
+ fa⎠
=inf :
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(175/50) Y =3,5
n
Caminho de Ida
1º)(-34,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 3,5
2º)(+34,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 3,5x10=35 e 2º)(+34,5) 35+34,5=69,5
Daí: X = 69,5 Resposta da Questão!
Observação: Vou testar a capacidade de observação dos meus alunos virtuais!
Existem duas destas 11 questões muito semelhantes! Muito mesmo! Alguém seria
capaz de dizer quais? Estou fazendo isso para demonstrar a importância de se
estudar por provas passadas! Às vezes, como no caso destas questões 11 e 9, até
o resultado é o mesmo!! É certo que isso de dar a mesma resposta é uma exceção,
e não importa muito! Mesmo porque ninguém vai sair “decorando” respostas de
provas passadas de Estatística! O importante é que o estilo da questão é o
mesmo! O mesmo raciocínio! Os mesmos passos! Tudo igual! Talvez essas minhas
palavras venham a animar alguém que sempre achou que tivesse problemas com
números e matérias afins (matemática, estatística...). Essas pessoas devem ver
que estou falando a verdade!! Basta olhar para essas 11 questões que acabamos
de fazer! Por isso, meu amigo, minha amiga, acredite: não é coisa impossível
gabaritar uma prova de Estatística de concurso! Basta ficar ligado... (como
dizem os recifenses! Tá ligado?)
Agora, conforme prometido na página 08 (questão 06) desta aula de hoje,
ensinarei a primeira Dica de Ouro do nosso curso! E tem relação com o que
aprendemos no Ponto 10: Distribuições Simétricas! A dica é muito simples:
Dica de Ouro da Média Aritmética
Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número ímpar de classes,
a Média será o Ponto Médio da classe intermediária!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 19 de 20
Exemplo: a questão 06 de hoje! Vejamos:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Classe intermediária PM=75
Daí, nossa média será exatamente esse valor: X =75.
E não precisamos fazer uma conta sequer!! Gostaram? Uma pergunta: todo mundo
percebeu, quando foi resolver essa questão, que se tratava de uma distribuição
simétrica? Se não percebeu é porque não seguiu o meu conselho do Ponto 10. Vou
transcrevê-lo novamente:
“...doravante, sempre que nos depararmos com uma Distribuição de Freqüências, a
primeira preocupação que teremos será justamente a seguinte: SABER SE A
DISTRIBUIÇÃO É SIMÉTRICA, ou não!”
(PONTO 10, página 4, 4ºparágrafo)
Comigo é assim: eu mato a cobra e digo até a página em que eu falei a dica!
Agora, a versão da Dica de Ouro para distribuições com número par de classes:
Dica de Ouro da Média Aritmética
Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número par de classes, a
Média será o limite superior da primeira classe intermediária, que é igual ao
limite inferior da segunda classe intermediária!
Vejamos um exemplo:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
1
3
7
7
3
1
Classe intermediária lsup=60
Classe intermediária linf=60
Daí, dispensando-se toda e qualquer conta, concluímos que a nossa média será
essa: X =60. Neste caso, é como se as duas classes intermediárias se
transformassem em uma única classe (50 a 70), cujo PM é exatamente 60.
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos Ponto 12-EXERCÍCIOS DE MÉDIA ARITMÉTICA Página 20 de 20
Bem, fica registrada a dica! Conforme já disse anteriormente, é bastante raro
aparecer uma distribuição de freqüências simétrica em uma prova de concurso.
Mas não é impossível! Se aparecer, já sabemos como tirar proveito disso.
Para fechar essa aula, fiquem com o dever de casa de hoje: uma questão do AFRF
de 1996. Já falei dessa questão, mas aqui está ela novamente. E é toda de
vocês. Encontrem a Média, ok? Fico por aqui. Semana que vem, se Deus quiser,
voltaremos com o estudo da Moda! Um grande abraço e até a próxima!
(AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90
Classes de
Idades
(anos)
Freqüências
(fi)
Pontos
Médios
(PM)
PM − 37
= di
5
di.fi di 2 .fi di 3 .fi di 4 .fi
19,5 !--- 24,5 2 22
-3
-6 18 -54 162
24,5 !--- 29,5 9 27
-2
-18 36 -72 144
29,5 !--- 34,5 23 32
-1
-23 23 -23 23
34,5 !--- 39,5 29 37
---
--- --- --- ---
39,5 !--- 44,5 18 42
1
18 18 18 18
44,5 !--- 49,5 12 47
2
24 48 96 192
49,5 !--- 54,5 7 52
3
21 63 189 567
Total n=100 16 206 154 1106
PS: Se eu fosse vocês, faria novamente todas essas 11 questões da aula de hoje!
Pra ver se “entra no sangue”...
PS: Por favor, qualquer erro que eu tenha cometido nestas resoluções (seja nas
contas ou qualquer outro), não deixem de me avisar, ok?
PS final: Feliz “dia dos namorados” pra todos! (É hoje...)
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ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 1 de 15
MODA
Olá, amigos! Como se saíram com as questões de Média? Espero que
bem! Mesmo porque o bonde não pode parar, e hoje veremos a segunda (e a
mais fácil!) medida de posição: a Moda.
Analisando o histórico de provas passadas da ESAF, vemos que a
Moda é, dentre as medidas de posição, a menos exigida. Isso não quer
dizer que nunca seja cobrada, conforme veremos ainda nesta aula, em
exercícios extraídos de provas recentes.
Normalmente, quando o valor da Moda é exigido em um enunciado, a
ESAF costuma pedir, nesta mesma questão, alguma outra coisa além da
Moda. Talvez isso porque determinar a Moda seja realmente muito fácil!
Vamos a ela...
# Conceito:
Na linguagem coloquial (as alunas o sabem perfeitamente!), moda é
algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê bastante! Na
Estatística, como o próprio nome sugere, a Moda é aquele elemento que
mais vezes aparece no conjunto! (Leia-se: é o elemento de maior
freqüência). Sua determinação é bastante simples, como se verá adiante.
Moda para o Rol:
Determinar a Moda para um rol é uma das coisas mais fáceis deste
curso inteiro! Diante de um rol de elementos, para determinar a Moda,
só teremos que verificar qual o elemento que mais se repete! Vejamos um
exemplo:
Consideremos o conjunto abaixo:
{1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10}
Ora, verificamos (usando a milenar técnica do dedo) que o
elemento que aparece mais vezes no conjunto é o valor “7”. Logo, não
resta dúvida: a Moda deste conjunto é 7. Mo = 7
Só
isso!!
ATENÇÃO:
Convém atentar para o fato de que a Moda é o elemento do conjunto que
mais se repete, e não o número de vezes que ele aparece! Este último seria a
freqüência do elemento, como já o sabemos!
Pode parecer uma observação desnecessária, mas muitas pessoas (bem
preparadas!) erraram uma questão do AFRF de 1998, por não estarem atentas a
esse detalhe! A referida questão trazia um rol, e pedia que se determinasse a
Moda. O rol era o seguinte:
{4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9,
9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13,
13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23}
Frisamos o elemento 8 (oito) do conjunto, o qual se repetiu 9 (nove)
vezes. E então? Qual seria a Moda, 8 ou 9? Ora, vimos há pouco:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 2 de 15
a Moda é o elemento que mais se repete. Neste caso, o elemento
mais freqüente é o 8 (oito), portanto, resposta da questão!
Uma das opções de resposta era o valor 9 (nove), que muita gente,
por displicência, acabou marcando. A Moda, portanto, não é a maior
freqüência, e sim o elemento de maior freqüência! Ficou claro?
Daí, concluímos que, para determinar a Moda de um rol, não há
outro caminho, senão usar o bom e velho dedo, e sair contando quantas
vezes se repete cada elemento. E só!
Suponhamos, agora, que a questão solicite a Moda do seguinte
conjunto:
{1, 2, 3, 5, 8, 9, 11, 15}
Neste caso, pela mera observação, constatamos que não há nenhum
elemento que se repita mais vezes que os demais. Ora, todos eles
aparecem uma só vez no conjunto! Daí, concluímos: esse conjunto não
possui Moda! Dizemos, destarte, que se trata de um conjunto amodal!
Analisemos o conjunto abaixo, quanto à presença da Moda:
{2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8}
Já inclusive destacamos o elemento 4, que é o que aparece mais
vezes no conjunto! Será ele a nossa Moda, portanto: Mo=4. Ora, como só
temos aqui uma única Moda, dizemos que se trata de um conjunto
unimodal!
Ocorre que a prova pode apresentar um rol da seguinte forma:
{1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9}
Quantas Modas? Duas, naturalmente: o 3 (três) e o 7 (sete).
Estamos, portanto, diante de um conjunto dito bimodal!
E se o conjunto possuir três ou mais Modas, como no exemplo
abaixo?
{1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 13, 15}
Neste caso, diremos que o conjunto é multimodal!
Daí, nós chegamos à seguinte conclusão: a Moda é de fato uma
medida atípica, porque tanto pode nem existir, quanto pode haver uma,
ou duas, ou várias Modas no mesmo conjunto. Diferentemente da Média
que, conforme já estudamos, sempre existe e é única!
Recapitulando:
Conjunto sem Moda: Amodal;
Conjunto com uma única Moda: Unimodal;
Conjunto com duas Modas: Bimodal;
Conjunto com três ou mais Modas: Multimodal.

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 3 de 15
Essa aula de Moda é um “refresco”, depois de estudarmos o cálculo
da Média pela Variável Transformada! Só há uma coisa mais fácil que
calcular a Moda de um rol, e é exatamente determinar a Moda para Dados
Tabulados. Senão, vejamos:
Moda para Dados Tabulados:
Suponhamos que a questão da prova solicitou que se determine a
Moda do seguinte conjunto abaixo:
Xi fi
1
2
3
4
5
6
Verificamos que, nesta questão, os elementos não estão
apresentados sob a forma de um rol; também não vieram subdivididos em
classes! Vemos que, embora tabelados, os dados foram dispostos
individualmente (vide a coluna do Xi). Por isso, dizemos que estamos
diante de “Dados Tabulados Não Agrupados em Classes”, ou simplesmente,
“Dados Tabulados”. (Vide Ponto nº07: Apresentação dos Dados).
Quando isso ocorrer, ou seja, quando os elementos forem
apresentados sob esta forma de “Dados Tabulados”, para determinarmos a
Moda só teremos que procurar, na coluna do fi, qual é a maior
freqüência! Vejamos:
Xi fi
1
2
3
4
5
6
3
7
10
15
3
2
3
7
10
15 maior freqüência!
3
2
Feito isto, nosso trabalho se resumirá a identificar o elemento
Xi ao qual corresponde aquela maior freqüência. Ou seja:
Xi fi
1
2
3
4
5
6
3
7
10
15 maior freqüência!
3
2

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 4 de 15
Neste caso, verificamos que a maior freqüência simples (>fi) é
fi=15, referente ao elemento Xi=4! Logo, nossa Moda será o elemento 4.
Mo = 4.
Está feito: nossa Moda é simplesmente o elemento de maior freqüência.
Só isso!
Mais
fácil, impossível!
Moda para Distribuição de Freqüências:
Existem diferentes formas de se calcular a Moda de uma Distribuição de
Freqüências. Para efeito de concurso, duas destas maneiras nos interessarão!
São, na verdade, dois métodos, cada um dos quais traduzido por uma fórmula.
Aprenderemos a determinar a Moda da Distribuição de Freqüências pelo
Método de Czuber e pelo Método de King! Teremos então que conhecer ambas as
fórmulas, saber aplicá-las e, sobretudo, saber quando usar uma ou outra.
A regra é a seguinte: se a questão não especificar qual das fórmulas a
ser empregada, pedindo apenas que se calcule a Moda, usaremos a fórmula de
Czuber. Conseqüentemente, só empregaremos a fórmula de King quando assim for
solicitado expressamente pelo enunciado.
# Passo Preliminar: A Classe Modal
A determinação da Moda de uma Distribuição requer que se proceda a um
passo preliminar, que consiste em identificar a classe modal daquele
conjunto. A classe modal será, simplesmente, aquela que apresentar maior
freqüência absoluta simples, ou seja, maior fi. Apenas isso!
Por exemplo, vamos determinar a classe modal dos seguintes conjuntos:
a)
Sol.:
b)
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
Maior fi (fi=28)! Classe Modal!
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 5 de 15

Sol.:
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Maior fi (fi=180)! Classe Modal!
Não tem segredo! Agora, que já identificamos a classe modal da nossa
Distribuição, só nos resta aprender a fórmula que aplicaremos, de acordo com
o método solicitado pela questão!
# Moda pelo Método de Czuber:
É dado pela fórmula seguinte:
⎛ Δa
⎞
Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
onde:
linf = limite inferior da classe modal.
Δa = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior.
Entenderemos como classe anterior aquela que precede à classe modal.
Δp = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior
(aquela que vem logo após a classe modal).
h = amplitude da classe modal.
Para não haver qualquer confusão, vamos identificar, nos exemplos
abaixo, quem são a classe anterior e a classe posterior, cujas fi serão
utilizadas nos cálculos dos deltas (Δa e Δp). Teremos:
a)
b)
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
Classe Anterior!
Classe Modal!
Classe Posterior!
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 6 de 15
Xi fi
90 !--- 95 40

95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Classe Anterior!
Classe Modal!
Classe Posterior!
Aprendamos o seguinte: delta (Δ) normalmente significa “diferença”.
Quando falamos em Δa, estamos nos referindo a “diferença anterior” (“a” de
“anterior”!). Diferença entre quem? Entre duas freqüências simples: a da
classe modal e a da classe anterior. Ou seja:
Δa = fi(classe modal) – fi(classe anterior)
Da mesma forma, no cálculo do Δp, nos lembraremos que o Δ significa
“diferença” e o “p” significa “posterior”! Logo Δp será a diferença entre
duas freqüências simples: a da classe modal e a da classe posterior. Ou seja:
Δp = fi(classe modal) – fi(classe posterior)
Finalmente, estamos prontos para aplicar o Método de Czuber, e
determinar a Moda de uma Distribuição de Freqüências! Vamos aos exemplos:
a) Determinar, pelo Método de Czuber, o valor da Moda do seguinte
conjunto:
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
Sol.: Destacaremos os passos a serem seguidos, a fim de facilitar nossa
memorização.
9
15
28
17
11
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
Classe Modal! (a de maior fi)

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 7 de 15
ii) Determinação de Δa e Δp.
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
Classe Anterior: Δa=28-15 Δa=13
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=28-17 Δp=11
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de Czuber:
⎛ Δa
⎞
Teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
Observemos na fórmula que os dados linf e h dizem respeito à classe
modal, portanto:
linf=20 (= limite inferior da classe modal) e
h=10 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
⎛ Δa
⎞
⎛ 13 ⎞
Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h Mo = 20 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=25,42 Resposta!
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎝13
+ 11⎠
b) Calcular a Moda do conjunto abaixo, pelo Método de Czuber:
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Sol.: É só seguir a nossa “receita de bolo” e não tem dificuldade!

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 8 de 15
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
Xi Fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
ii) Determinação de Δa e Δp.
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe Anterior: Δa=180-160 Δa=20
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=180-120 Δp=60
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de Czuber:
⎛ Δa
⎞
Teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
Tomando os valores da classe modal, encontraremos que:
linf=110 (= limite inferior da classe modal) e
h=5 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
⎛ Δa
⎞
⎛ 20 ⎞
Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h Mo = 110 + ⎜ ⎟⋅
5 E: Mo=111,25 Resposta!
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎝ 20 + 60 ⎠
# Moda pelo Método de King:
Até bem pouco tempo, as provas da ESAF costumavam apresentar enunciados
solicitando o cálculo da Moda da distribuição de freqüências, sem a
preocupação de especificar qual dos métodos deveria ser empregado neste
cálculo. Com isso, ficava sempre implícita a exigência de utilização do
Método de Czuber. De fato, todas as respostas – os gabaritos oficiais –
apontavam para resultados de aplicação deste método.

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 9 de 15
Todavia, em prova bastante recente, no segundo AFRF de 2002, o
enunciado solicitou, expressamente, que se calculasse a Moda do conjunto,
pelo “conceito de Czuber”.
Ora, como isso nunca acontecera antes, fui levado a ter o seguinte
raciocínio: se nesta prova a ESAF começou a indicar o método a ser usado no
cálculo da Moda, é bastante possível que resolva inovar e, quem sabe no
próximo concurso, solicitar que se calcule a Moda pelo Método de King! Não é
verdade?
Destarte, parece-me deveras conveniente aprendermos também este Método
de King, o qual se traduz pela seguinte fórmula:
⎛ fpost ⎞
Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
onde:
linf = limite inferior da classe modal.
fpost = fi da classe posterior à classe modal;
fant = fi da classe anterior à classe modal;
h = amplitude da classe modal
Observemos que a fórmula de King não contempla “deltas”, ou seja,
diferenças! Em vez disso, surgem entre parênteses as próprias freqüências da
classe anterior (fant) e da classe posterior (fpost).
Fique claro que, também neste método, entenderemos classe anterior como
a que precede a classe modal; e, classe posterior a que a sucede.
Igualmente aqui, realizaremos o passo preliminar de identificação da
classe modal (cujo conceito permanece inalterado!).
Feito este passo preliminar, só nos restará substituir os respectivos
valores na fórmula de King. Vejamos os exemplos abaixo:
a) Determinar, pelo Método de King, o valor da Moda do seguinte
conjunto:
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
Sol.: Igualmente aqui destacaremos os passos da questão, no intuito de
facilitar nossa memorização.
9
15
28
17
11
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
Classe Modal! (a de maior fi)
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 10 de 15

ii) Identificação dos elementos da fórmula fpost e fant.
Xi fi
0 |--- 10
10 |--- 20
20 |--- 30
30 |--- 40
40 |--- 50
9
15
28
17
11
Classe anterior fant=15
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe posterior fpost=17
E, finalmente, no derradeiro passo, aplicaremos a fórmula de King,
substituindo os valores respectivos:
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de King:
⎛ fpost ⎞
Teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
Como os valores de linf e h dizem respeito à classe modal, teremos:
linf=20 (= limite inferior da classe modal) e
h=10 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
⎛ fpost ⎞
⎛ 17 ⎞
Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h Mo = 20 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=25,31 Resposta!
⎝ fpost + fant ⎠
⎝17
+ 15 ⎠
Observação: Fizemos o cálculo da Moda para este mesmo exemplo usando o Método
de Czuber (vide páginas 6 e 7), e encontramos o resultado de Mo=25,42.
Conclusão: os valores da Moda, para um mesmo conjunto, determinados pelos
dois métodos – Czuber e King – são ligeiramente diferentes. Mas não nos
iludamos: é bastante provável (quase certo) que ambos os resultados estejam
presentes entre as opções de resposta! Portanto, temos que estar cientes de
qual das fórmulas devemos usar.
Mais um exemplo!
b) Calcular a Moda do conjunto abaixo, pelo Método de King:
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10

Sol.:
ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 11 de 15
i) Passo Preliminar: identificar a classe modal!
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Classe Modal! (a de maior fi)
ii) Identificação dos elementos da fórmula fpost e fant.
Xi fi
90 !--- 95
95 !--- 100
100 !--- 105
105 !--- 110
110 !--- 115
115 !--- 120
120 !--- 125
125 !--- 130
130 !--- 135
135 !--- 140
40
60
140
160
180
120
40
30
20
10
Classe anterior fant=160
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe posterior fpost=120
iii) Substituição dos valores correspondentes na fórmula de King:
⎛ fpost ⎞
Teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
Observando a classe modal, verificamos que:
linf=110 (= limite inferior da classe modal) e
h=5 (= amplitude da classe modal)
Daí, teremos:
⎛ fpost ⎞
⎛ 120 ⎞
Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h = 110 + ⎜ ⎟ ⋅5
⎝ fpost + fant ⎠
⎝120
+ 160 ⎠
Mo E: Mo=112,14 Resposta!
Obs.: Também para este conjunto, já havíamos calculado a Moda pelo Método de
Czuber (vide páginas 7 e 8), ocasião em que encontramos o valor de Mo=111,25.
# Dica de Memorização:
Para facilitar a memorização destas duas fórmulas – Czuber e King –
poderemos seguir a seguinte sugestão:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 12 de 15
1º) Memorizemos o corpo de ambas as fórmulas, que é exatamente o mesmo:
⎛ ⎞
Mo = l inf + ⎜
⎟
⎟⋅
h
⎝ ⎠
2º) Agora, nossa preocupação será apenas com o “miolo” da fórmula, ou
seja, aquilo que estará dentro dos parênteses!
Aí, lembraremos: “a fórmula de Czuber é a fórmula dos deltas” e com
Δa no numerador! Percebamos que quem está no numerador também inicia a soma
do denominador! Daí:
⎛ Δa
⎞
Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
Ora, se Czuber é a fórmula dos deltas, então King é a fórmula das
freqüências, começando com fpost no numerador! Logo, fpost também iniciará a
soma no denominador! E teremos:
⎛ fpost ⎞
Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
Cuidado com o numerador dos parênteses destas duas fórmulas: em Czuber
surge o “delta anterior” , enquanto que em King teremos a “freqüência
posterior”. É preciso toda a atenção!
# Propriedades da Moda:
Antes de passarmos aos exercícios de hoje, convém questionarmos o
seguinte: será que aquelas propriedades da soma, subtração, produto e
divisão, que aprendemos para a Média Aritmética, também se aplicarão à Moda?
Ora, vejamos um exemplo: suponhamos que dispomos do seguinte conjunto abaixo:
A = {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 8}
Sem qualquer dificuldade, já identificamos que a Moda é o elemento 5. Agora,
caso tomemos todos os elementos deste conjunto original A, e os somemos a uma
constante, K=10, por exemplo, teremos o novo conjunto:
A’ = {11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 18}
Verificamos, portanto, que se aplica também à Moda a Propriedade da Soma e da
Subtração, uma vez que a nova Moda, ou seja, a Moda do novo conjunto, será
igual à Moda do conjunto original (5) somada à constante k=10. Daí, a nova
Moda é: Mo=15.
Da mesma forma, se tomarmos cada elemento do conjunto original A e os
multiplicarmos por uma constante, k=2, por exemplo, teremos o novo conjunto:
A’’ = {2, 4, 4, 6, 8, 10, 10, 10, 16}
Nossa nova Moda será 10, que é exatamente o resultado da multiplicação entre
a Moda do conjunto original (5) e a constante K=2. Destarte, concluímos que à

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 13 de 15
Moda também se aplica a Propriedade do Produto e da Divisão, que aprendemos
na Média.
É isso! Acho que já estamos prontos para resolver algumas questões
recentes de provas da ESAF, dentre outras! Vamos a elas!
EXERCÍCIOS DE HOJE
Enunciado Único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo,
determine o valor da Moda, das duas maneiras distintas, utilizando o método
de Czuber e o Método de King.
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
3
5
8
4
2
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
4
7
11
9
5
2
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
7
11
15
9
3
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
5
3

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 14 de 15
05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
Obs.: Atente para esta questão 05, pois será objeto da Regra de Ouro da Moda,
que aprenderemos somente na próxima aula!
06. Extraído da prova de AFRF – 2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra
de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela
de freqüência seguinte:
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Xi Freqüência (f)
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X, no
conceito de Czuber.
a) 69,50 b)73,79 c)71,20 d)74,53 e)80,10
07. Extraído da prova AFRF – 1998:
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15,
16,
16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 13 – MODA Página 15 de 15
08. Extraído da prova do AFRF – 1996:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 01/01/90
Classes das Freq. Ptos. Médios Xi-37 = di di . fi di
idades
(anos)
(fi)
(Xi) 5
2 . fi di 3 . fi di 4 . fi
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162
24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 – 39,5 29 37 - - - - -
39,5 – 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 – 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 – 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 100 16 206 154 1106
Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 01/01/90.
a) 35,97 b) 36,26 c) 36,76 d) 37,03 e) 37,31
Ok, amigos! Ficamos por aqui! Na aula seguinte, prosseguiremos com as resoluções
destes exercícios que vão ficando de hoje, como já é de praxe.
Quero aproveitar o ensejo e dirigir algumas palavras de agradecimento ao meu mais
novo amigo do Ponto, o Professor Sérgio Gadelha – de quem sou sincero admirador, e que
tive a honra de manter contato (ainda que por e-mail) –, pelo incentivo que me transmitiu
e pela gentil acolhida que me proporcionou. Fico lisonjeado em partilhar com este grande
profissional a missão de tentar facilitar aos alunos o estudo e a compreensão da
estatística. Um grande abraço, Professor!
Amanhã, aliás hoje (já é uma e meia da manhã), completo um mês de Ponto dos
Concursos! Só quero ainda agradecer, mais uma vez, ao Professor Vicente Paulo, por essa
oportunidade de poder expandir, a uma proporção que nunca antes imaginei possível, essa
atividade que considero entre todas a mais sublime, que é a de transmitir conhecimentos e
repassar experiências. Não tenho palavras para expressar minha gratidão.
Nesses últimos dias, uma velha preocupação voltou a me incomodar e, mais uma vez,
vou pedir um “retorno” de vocês, meus alunos: não estarei eu correndo muito com a
matéria? Mesmo sabendo que as aulas permanecem disponíveis no Site, tenho um grande
desejo de que aqueles que estão me acompanhando desde o início não percam o “tempo” do
curso, entendem? Quero dizer, que a matéria não se transforme em uma bola de neve, e com
isso, o aluno não fique desanimado, achando que não vai aprendê-la. E também porque sou
muito acostumado à sala de aula, e não quero ver ninguém “perdido” nos assuntos que
estamos vendo. Então, se não for abusar muito, passem-me a impressão de vocês, ok?
Mudando de assunto: peço novamente licença a todos, para anunciar que estou,
(acreditem!) ainda sem êxito, tentando reunir umas dez ou doze cabeças pensantes, para
iniciarmos uma turminha de Matemática Financeira e Estatística, a preço de custo (eu tô
quase pagando pra dar aula!), na Terra do Sol, nesta cidade que é sinônimo de
encantamento, beleza e alegria (acho que é por isso que ninguém quer fazer curso!), que é
a minha Fortaleza! Pra quem aparecer, eu prometo até o gabarito da prova! É só mandar um
e-mail!
Dedico a aula de hoje à minha amada esposa, Sílvia, que tem suportado comigo as
agruras da distância a qual somos ora forçados a enfrentar, por conta desses meus
concursos... Fica com Deus, meu amor!
Um abraço especial para os alunos silenciosos, aqueles que sorrateiramente acessam
o Site e, sem que ninguém perceba, imprimem as aulas e estudam ali no seu cantinho, sem
jamais dizer palavra! Eu fiz muito isso com as aulas do Vicente e do Marcelo... e eles
nem sabiam que eu existia...
Um forte abraço a todos, e até a próxima!

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 1 de 13
EXERCÍCIOS DE MODA
Olá, amigos! Hoje resolveremos as questões sobre a Moda deixadas na
última aula. E veremos também, conforme prometido, a Dica de Ouro da Moda.
Vamos a elas!
Enunciado Único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo,
determine o valor da Moda, das duas maneiras distintas, utilizando o Método de
Czuber e o Método de King.
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.: Nestas questões, seguiremos a seguinte rotina: 1)Encontraremos a classe
modal; 2)Determinaremos os elementos da fórmula de Czuber; 3)Calcularemos a
Moda de Czuber; 4)Determinaremos os elementos da fórmula de King;
5)Calcularemos a Moda de King. Ok? Vamos lá!
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
Classe Modal! (a de maior fi)
Observemos aqui que os elementos comuns às duas fórmulas da Moda (Czuber e
King) são determinados a partir da Classe Modal, quais sejam: o limite inferior
da classe modal (linf) e a sua amplitude (h). Neste caso, teremos:
linf=20 e h=10
ii) Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Teremos:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
Classe Anterior: Δa=8-5 Δa=3
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=8-4 Δp=4
3
5
8
4
2

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 2 de 13
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 3 ⎞
Daí: Mo = 20 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=24,28 Resposta!
⎝ 3 + 4 ⎠
iv) Elementos da Fórmula de King: fpost e fant
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
v) Cálculo da Moda de King
3
5
8
4
2
Classe anterior fant=5
Classe Modal!
Classe posterior fpost=4
⎛ fpost ⎞
Segundo King, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
⎛ 4 ⎞
Daí: Mo = 20 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=24,44 Resposta!
⎝ 4 + 5 ⎠
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
Sol.: Seguiremos os mesmos passos, para fixá-los melhor!
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
4
7
11
9
5
2
Classe Modal! (a de maior fi)

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 3 de 13
Para a qual teremos: linf=30 e h=15
ii) Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
Classe Anterior: Δa=11-7 Δa=4
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=11-9 Δp=2
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 4 ⎞
Daí: Mo = 30 + ⎜ ⎟⋅15
E: Mo=40,0 Resposta!
⎝ 4 + 2 ⎠
iv) Elementos da Fórmula de King: fpost e fant
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
v) Cálculo da Moda de King
4
7
11
9
5
2
Classe anterior fant=7
Classe Modal!
Classe posterior fpost=9
⎛ fpost ⎞
Segundo King, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
⎛ 9 ⎞
Daí: Mo = 30 + ⎜ ⎟⋅15
E: Mo=38,43 Resposta!
⎝ 9 + 7 ⎠
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 4 de 13
Sol.: Novamente, seguindo a mesma seqüência.
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
Para a qual teremos: linf=14 e h=7
ii) Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe Anterior: Δa=15-11 Δa=4
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=15-9 Δp=6
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 4 ⎞
Daí: Mo = 14 + ⎜ ⎟⋅
7 E: Mo=16,8 Resposta!
⎝ 4 + 6 ⎠
iv) Elementos da Fórmula de King: fpost e fant
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
v) Cálculo da Moda de King
7
11
15
9
3
Classe anterior fant=11
Classe Modal!
Classe posterior fpost=9
⎛ fpost ⎞
Segundo King, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
⎛ 9 ⎞
Daí: Mo = 14 + ⎜ ⎟⋅
7 E: Mo=17,15 Resposta!
⎝ 9 + 11⎠

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 5 de 13
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Sol.: Percebamos que a assimilação dos passos da Estatística é algo natural,
que acontece na medida em que os repetimos!
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Para a qual teremos: linf=29,5 e h=10
ii)
Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
4
6
7
5
3
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
5
3
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
4
6
7
5
3
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe Anterior: Δa=7-6 Δa=1
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=7-5 Δp=2
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 1 ⎞
Daí: Mo = 29, 5 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=32,83 Resposta!
⎝1
+ 2 ⎠
iv) Elementos da Fórmula de King: fpost e fant
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
5
3
Classe anterior fant=6
Classe Modal!
Classe posterior fpost=5

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 6 de 13
v) Cálculo da Moda de King
⎛ fpost ⎞
Segundo King, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
⎛ 5 ⎞
Daí: Mo = 29, 5 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=34,04 Resposta!
⎝ 5 + 6 ⎠
05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
Sol.: Toda a atenção para esta questão! Primeiramente, a resolveremos pelas
fórmulas convencionais, de Czuber e King. Depois vem a dica!
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Para a qual teremos: linf=70 e h=10
ii) Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
61 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe Anterior: Δa=14-11 Δa=3
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=14-11 Δp=3

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 7 de 13
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 3 ⎞
Daí: Mo = 70 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=75 Resposta!
⎝ 3 + 3⎠
iv) Elementos da Fórmula de King: fpost e fant
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
62 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
v) Cálculo da Moda de King
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Classe anterior fant=11
Classe Modal!
Classe posterior fpost=11
⎛ fpost ⎞
Segundo King, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
⎛ 11 ⎞
Daí: Mo = 70 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=75 Resposta!
⎝11+
11⎠
Observação 01) A primeira coisa interessante que observamos nesta questão é que
ela foi, das cinco que fizemos até aqui, a única em que os resultados da Moda
de Czuber e da Moda de King foram exatamente iguais! O motivo é simples: esse
nosso conjunto foi a primeira Distribuição de Freqüências Simétrica que
trabalhamos hoje! Conclusão inicial: se a distribuição de freqüências é
simétrica, estaremos livres para calcular a Moda tanto por Czuber quanto por
King, pois o resultado será o mesmo. Fica a gosto do freguês!
Acontece que estou certo de que o freguês vai preferir não fazer conta nenhuma!
E de fato, isso não será preciso! Vejamos a razão:
Dica de Ouro da Moda
Se a distribuição de freqüências é simétrica, a Moda do conjunto será
exatamente igual à Média!
Essa dica de nada adiantará se não nos lembrarmos que a Média tem também sua
dica de ouro, que foi vista no Ponto nº12, na página 17, e que reproduzirei
abaixo:

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 8 de 13
Dica de Ouro da Média Aritmética
Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número ímpar de classes,
a Média será o Ponto Médio da classe intermediária!
Dica de Ouro da Média Aritmética
Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número par de classes, a
Média será o limite superior da primeira classe intermediária, que é igual ao
limite inferior da segunda classe intermediária!
Daí, meus amigos, a facilidade de se trabalhar com uma Distribuição de
Freqüências Simétrica: somos dispensados de perder um tempo precioso fazendo
cálculos de Média e de Moda (por enquanto!). Ambas serão iguais (nas
distribuições simétricas!) e determinadas pelo PM da classe intermediária,
conforme explicado acima!
Caso haja alguma dificuldade em relembrar como funciona essa dica de ouro
da Média, basta retornarmos ao Ponto nº12, na página 17, para reavivarmos nossa
memória! Outra coisa: espero que, doravante, redobremos nossa atenção quando
estivermos diante de uma distribuição de freqüências, para que nossa primeira
preocupação seja, SEMPRE, verificar se ela é ou não simétrica! (Será que já
disse isso antes?...)
Daí, para refazermos essa nossa questão 05 pela Dica de Ouro da Moda,
teríamos apenas que enxergar que se tratava de uma distribuição simétrica. Daí:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Classe intermediária PM=75
Conclusão: X = Mo = 75 Resposta! (O mesmo resultado de Czuber e King)
06. Extraído da prova de AFRF – 2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüência seguinte:
Xi Freqüência (f)
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 9 de 13
Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X, no conceito
de Czuber.
a) 69,50 b)73,79 c)71,20 d)74,53 e)80,10
Sol.: Esta questão é exatamente a que eu me referi na aula passada, quando
disse que a ESAF especificou qual dos métodos deveria ser utilizado na
determinação da Moda! Iremos além do que o enunciado está pedindo e, mais uma
vez, determinaremos a Moda por Czuber e por King.
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Para a qual teremos: linf=69,5 e h=10
ii) Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe Anterior: Δa=26-20 Δa=6
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=26-18 Δp=8
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 6 ⎞
Daí: Mo = 69, 5 + ⎜ ⎟ ⋅10
E: Mo=73,79 Resposta da Questão!
⎝ 6 + 8 ⎠
iv) Elementos da Fórmula de King: fpost e fant
Xi fi
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Classe anterior fant=20
Classe Modal!
Classe posterior fpost=18

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 10 de 13
v) Cálculo da Moda de King
⎛ fpost ⎞
Segundo King, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
⎛ 18 ⎞
Daí: Mo = 69, 5 + ⎜ ⎟ ⋅10
E: Mo=74,24 Resposta!
⎝18
+ 20 ⎠
Observemos que, entre as opções de resposta, não aparece este resultado que
encontramos na Moda de King, mas há um resultado próximo, que é a letra “d”
(74,53). Daí, a importância de utilizar o método correto! Caso o enunciado
desta questão não houvesse especificado que deveríamos usar o Método de Czuber,
teríamos que utilizá-lo de qualquer forma! Já foi dito (na aula passada, página
4, terceiro parágrafo), que em caso de silêncio do enunciado quanto ao método a
ser empregado no cálculo da Moda, usamos o de Czuber!
07. Extraído da prova AFRF – 1998:
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma
amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15,
16,
16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 8 b) 23 c) 7 d) 10 e) 9
Sol.: Aqui não tem Czuber nem King! Tem apenas a Técnica do Dedo, para
contarmos o elemento que mais se repete! Somente isso! E a conclusão é quase
imediata: o elemento 8 aparece neste rol mais vezes que os demais. Portanto: Mo
= 8 Resposta!
08. Extraído da prova do AFRF – 1996:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 01/01/90
Classes das Freq. Ptos. Médios Xi-37 = di Di . fi di
idades
(anos)
(fi)
(Xi)
5
2 . fi di 3 . fi di 4 . fi
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162
24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 – 39,5 29 37 - - - - -
39,5 – 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 – 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 – 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 100 16 206 154 1106
Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 01/01/90.
a) 35,97 b) 36,26 c) 36,76 d) 37,03 e) 37,31

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 11 de 13
Sol.: Percebamos que aqui o enunciado não especificou se queria a Moda de
Czuber ou de King. Daí, não resta dúvida: usaremos o Método de Czuber. Podemos
até reduzir essa tabela e usarmos só o que nos interessa:
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
19,5 – 24,5 2
24,5 – 29,5 9
29,5 – 34,5 23
34,5 – 39,5 29
39,5 – 44,5 18
44,5 – 49,5 12
49,5 – 54,5 7
Para a qual teremos: linf=34,5 e h=5
Xi fi
19,5 – 24,5 2
24,5 – 29,5 9
29,5 – 34,5 23
34,5 – 39,5 29
39,5 – 44,5 18
44,5 – 49,5 12
49,5 – 54,5 7
ii) Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
19,5 – 24,5 2
24,5 – 29,5 9
29,5 – 34,5 23
34,5 – 39,5 29
39,5 – 44,5 18
44,5 – 49,5 12
49,5 – 54,5 7
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe Anterior: Δa=29-23 Δa=6
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=29-18 Δp=11
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 6 ⎞
Daí: Mo = 34, 5 + ⎜ ⎟⋅
5 E: Mo=36,26 Resposta da Questão!
⎝ 6 + 11⎠
Já que estamos aqui, vamos adiante e determinemos a Moda de King!

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 12 de 13
iv) Elementos da Fórmula de King: fpost e fant
Xi fi
19,5 – 24,5 2
24,5 – 29,5 9
29,5 – 34,5 23
34,5 – 39,5 29
39,5 – 44,5 18
44,5 – 49,5 12
49,5 – 54,5 7
v) Cálculo da Moda de King
Classe anterior fant=23
Classe Modal!
Classe posterior fpost=18
⎛ fpost ⎞
Segundo King, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎟⋅
h
⎝ fpost + fant ⎠
⎛ 18 ⎞
Daí: Mo = 34, 5 + ⎜ ⎟⋅
5 E: Mo=36,69 Resposta!
⎝18
+ 23⎠
Observemos que esta última resposta, achada pelo método de King, já se aproxima
mais da opção “c”, enquanto sabemos que a resposta correta da questão, a Moda
de Czuber, é a letra “b”, ou seja: Mo=36,26.
Antes de encerrarmos esta aula, gostaria de dar mais uma pequena dica de
concurseiro tarimbado. Vejamos o conjunto abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Suponhamos que o enunciado esteja pedindo o valor da Moda e que as opções de
resposta sejam as seguintes:
a) 24,28 b)17,35 c)33,72 d)19,74 e)31,16
Suponhamos ainda que está praticamente esgotado o tempo que dispomos para
entregar a prova e o examinador já está ali, no nosso pé, olhando feio para
nós, de forma que não dá mais para fazermos conta nenhuma! Neste caso, faremos
só o seguinte:
- Primeiro, descobriremos quem é a classe modal. Ora, para isso, basta
verificar quem é a maior fi. Logo, como a maior fi é 8, a classe
correspondente será a classe modal. Daí, nossa classe modal será a
terceira: (20!---30).
3
5
8
4
2

ESTATÍSTICA-Ponto dos Concursos Ponto 14 - EXERCÍCIOS DE MODA Página 13 de 13
- Ora, se a classe modal vai de 20 a 30, isso quer dizer,
necessariamente, que a nossa Moda estará incluída neste intervalo. Ou
seja, neste caso, a Moda jamais poderá ter um valor inferior a 20 nem
superior a 30.
E aí? Quem me diz qual será a resposta desta questão? Obviamente será a opção
“a”, que foi a única que está incluída no intervalo da classe modal! E aqui,
sem dica de ouro nem nada, conseguimos matar a questão também sem fazer contas!
Mas não nos empolguemos muito, porque isso não é comum de acontecer! Na melhor
das hipóteses, teremos duas opções, possíveis de ser a Moda, incluídas no
intervalo da classe modal. Pelo sim e pelo não, não custa nada dar uma
olhadinha nas respostas da Moda antes de começar as contas...!
É isso! Por hoje terminamos! Próxima aula, daremos início ao estudo da
Mediana, que costuma ser uma questão quase certa nas provas da ESAF!
Importantíssimas, portanto, as próximas aulas!
Um grande abraço a todos e até lá!

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 1 de 17
MEDIANA – PARTE 01
Olá! Como estão todos? E sobre as questões de Moda, conseguimos fazê-las
todas? Sem problemas? Ótimo! Hoje, iniciaremos o estudo da Mediana, a terceira
e última Medida de Posição! Quando encerrarmos este estudo, passaremos a um
tópico importantíssimo, que vem a ser exatamente a relação entre Média, Moda,
Mediana e o comportamento do conjunto quanto ao aspecto da simetria!
# Observação Preliminar:
Desde que iniciamos o estudo da Média e da Moda, estamos sempre as
chamando de Medidas de Posição! E de fato, o são; da mesma forma que a Mediana!
Ocorre que as Medidas de Posição não se restringem a estas três, cujo estudo
estamos prestes a encerrar. Na verdade, a Média, a Moda e a Mediana fazem parte
de um grupo de Medidas de Posição, o qual chamamos de Medidas de Tendência
Central!
Há, porém, um outro grupo de Medidas de Posição, ditas Medidas
Separatrizes, as quais estudaremos de forma pormenorizada em um outro momento
do curso. São as seguintes as medidas separatrizes: a Mediana, o Quartil, o
Decil e o Centil (ou Percentil).
Em suma, teremos o seguinte:
Medidas de Posição
Média
Medidas de Tendência Central Moda
Mediana
Mediana
Medidas Separatrizes Quartil
Decil
Centil (ou Percentil)
Observamos, quase que imediatamente, a seguinte curiosidade: a Mediana
figura, a um tempo, tanto como Medida de Tendência Central, quanto como Medida
Separatriz. E isso por uma razão muito simples: como o próprio nome sugere,
Medida Separatriz é aquela que “separa”, ou por outra, divide os elementos do
conjunto em um número de partes iguais.
À exceção da Mediana, falaremos hoje apenas superficialmente das
Separatrizes. Apenas o suficiente para sabermos identificar outros sinônimos da
Mediana!
# A Mediana e as Medidas Separatrizes
Para termos uma primeira visão do que seja a Mediana de um conjunto,
apresentaremos um conceito escrito e um conceito visual (para melhor
assimilação).
A Mediana – Md – será exatamente aquele elemento que separará o conjunto
em duas partes iguais, ou seja, em duas metades. Por isso, será também
considerado uma Medida Separatriz!
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 2 de 17
Consideremos o conjunto abaixo:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
Ora, identificar a Mediana deste conjunto significa encontrar aquele
elemento que está exatamente no centro (no meio do conjunto), dividindo-o em
duas partes iguais, ou seja em duas metades!
Neste caso, teremos o seguinte:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
Observemos que, tomando o elemento “7” como referência, restarão seis
elementos à sua esquerda, bem como seis elementos à sua direita! Daí,
concluímos que o elemento 7 está no meio do conjunto, dividindo-o em duas
metades. Portanto, a Mediana deste conjunto é 7: Md=7.
Ainda não estamos ensinando como calcular a Mediana. Estamos apenas
preparando o terreno..., portanto, muita calma!
---x-x-x-x-x-x-x---
Agora, imaginemos que o nosso conjunto é representado por uma reta, como
se segue:
!---------------------------------------!
Percebamos que esta reta representa todo o conjunto! Se quisermos marcar a
Mediana nesta reta, obviamente que ela estará precisamente no meio da reta,
dividindo-a em duas partes iguais. Então, visualmente, teremos:
!-------------------!-------------------!
Md
Até aqui, tudo bem? Então, aproveitando o ensejo, vamos definir, também
visualmente, as outras Medidas Separatrizes!
O Quartil, por sua vez, é aquela Medida que “separa”, ou seja, divide o
conjunto em quatro partes iguais! Ora, é claro que para dividir uma reta em
quatro partes, precisamos marcar três pontos, certo? Claro! Então, haverá
sempre três Quartis em um conjunto, os quais designaremos por Q1 (primeiro
quartil), Q2 (segundo quartil) e Q3 (terceiro quartil). Visualmente, teremos:
!---------!---------!---------!---------!
Q1 Q2 Q3
Já o Decil é responsável por dividir o conjunto em dez partes iguais!
Concluímos que haverá, em um conjunto, nove Decis! Visualmente:
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Em se tratando do Centil (ou Percentil), é a Medida Separatriz que
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 3 de 17
dividirá o conjunto em cem partes iguais! Teremos, assim, noventa e nove
Centis! Infelizmente, torna-se inviável desenhar o conjunto com as suas cem
divisões! Mas, basta imaginar a reta acima (a reta do Decil), e “enxergar” que,
entre dois Decis consecutivos existem dez Centis! Dessa forma, quando chegarmos
ao primeiro Decil, teremos andado dez Centis; quando chegarmos ao segundo
Decil, estaremos no vigésimo Centil, e assim por diante. Vejamos:
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90
Agora, chegamos ao ponto! Vamos observar a relação que há entre estas
quatro Medidas Separatrizes, apenas pelos conceitos visuais:
!-------------------!-------------------!
Md
!---------!---------!---------!---------!
Q1 Q2 Q3
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90
Pronto!! Matamos a charada!! Apenas observando os conceitos visuais das
Medidas Separatrizes, estamos aptos a concluir que:
Md = Q2 = D5 = C50
Ou seja, se a questão da prova nos fornecer um conjunto e solicitar que
calculemos o segundo quartil, ou o quinto decil ou o qüinquagésimo percentil,
então, na verdade, o que a questão está pedindo é apenas a Mediana do conjunto!
Isso aconteceu bem recentemente, numa das provas do AFRF de 2002, em que a
questão pedia a determinação do quinto decil! E teve muita gente que sabia
calcular a Mediana, mas ficou apenas olhando a questão e não a resolveu, por
não conhecer estes outros “sinônimos”...
É quase a mesma coisa da criança que não sabe resolver o problema com
maçãs e diz: “se fosse com laranjas, eu saberia...”
# Determinação da Mediana – 1 a PARTE
Mediana para o Rol:
O cálculo da Mediana para um rol é algo realmente muito fácil. Veremos a
maneira formal de encontrá-la, e depois a maneira concurseira!
Procurar pela Mediana de um rol é, na verdade, tentar identificar a
Posição Central do conjunto! Ou seja, identificar o elemento que ocupa aquela
posição intermediária, a qual divide o conjunto em duas partes. Analisemos o
conjunto abaixo: {2, 5, 6, 11, 15}
ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 4 de 17
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Vemos que existem cinco elementos, o que nos leva a concluir que existem
cinco posições! Cada elemento ocupa uma posição. A Posição Central deste
conjunto será exatamente a terceira posição, ocupada pelo elemento 6. Tomando a
terceira posição como referência, teremos duas posições à sua esquerda e duas à
sua direita.
Observemos que, por enquanto, não estamos falando em Mediana. Estamos
apenas falando em Posição Central do conjunto!
Agora, consideremos o seguinte conjunto:
{0, 1, 4, 5, 7, 12, 15, 18}
A pergunta é: qual será a Posição Central deste conjunto? Ora, é fácil
concluirmos que, para este exemplo, teremos duas posições centrais (e não
apenas uma!). E serão elas a quarta e a quinta posições, ocupadas
respectivamente pelos elementos 5 e 7. Tomando estas duas posições centrais
como referência, restarão três posições à sua esquerda e três à sua direita.
Do exposto, extraímos nossas primeiras conclusões:
- Se o rol apresenta um número ímpar de elementos (primeiro
exemplo), teremos apenas uma Posição Central.
- Se o rol apresenta um número par de elementos (segundo exemplo),
teremos duas Posições Centrais.
Destarte, nossa primeira preocupação para encontrar a Posição Central (ou
Posições Centrais) do conjunto será identificar se o número de elementos do rol
é par ou é ímpar!
Nos exemplos usados acima, não houve grande dificuldade em identificar
qual seria a Posição Central (ou Posições Centrais) do conjunto. Todavia, se a
questão fornecer um rol com dezenas e dezenas de elementos, a coisa pode
complicar um pouco. Daí, aprenderemos como padronizar nosso procedimento!
Mediana para o Rol com n ímpar:
Vejamos o conjunto abaixo:
---x-x-x-x-x-x-x---
{1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
O primeiro passo para identificar a Posição Central é saber se o número de
elementos do rol (o nosso n) é par ou ímpar.
Daí, contamos e constatamos que n=21 n é ÍMPAR!
Se n é impar, isso significa que teremos apenas uma Posição Central, a
qual será identificada por meio da seguinte conta:
Como n=21, faremos:
Posição Central =
( n + 1)
2
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 5 de 17
21+
1
=
2
Posição Central = ( ) 11
Posição Central = 11ª posição!
Identificada a Posição Central, restará apenas sairmos contando com o
dedo, a partir da primeira posição do rol, até chegarmos na 11ª posição!
Acharemos o seguinte:
{1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
Conclusão: o elemento que ocupa a Posição Central é o elemento 9, que será
a própria Mediana! Logo, Md=9.
Ou seja: quando o rol apresentar um número ímpar de elementos (n ímpar),
aquele elemento que ocupar a Posição Central será a própria Mediana!
Atentemos para o seguinte fato: a conta que fizemos acima nos servirá
apenas para identificar a Posição Central do conjunto. Ou seja, feita esta
conta, temos que sair em busca do elemento que ocupa aquela posição! Observemos
que a Mediana não é a Posição Central, e sim o elemento que a ocupa!
Mediana para o Rol com n Par:
Vejamos o conjunto abaixo:
---x-x-x-x-x-x-x---
{ 1,
1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
Novamente, nossa primeira preocupação será saber se n é par ou ímpar.
Contamos e concluímos que: n=22. Portanto, n é par!
Se n é par, já sabemos que teremos duas Posições Centrais. A primeira
delas será determinada pela seguinte conta:
n
1ª Posição Central =
2
E a segunda Posição Central será a vizinha, posterior à primeira! Ou seja:
2ª Posição Central = a que sucede a primeira!
Para nosso exemplo acima, teremos o seguinte:
n 22
1ª Posição Central = = = 11
2 2
1ª Posição Central = 11ª posição!
2ª Posição Central = a posterior! 2ª Posição Central = 12ª posição!
Daí, só nos resta procurar com o dedo, partindo da primeira posição do
rol, quais os elementos que ocupam a 11ª e a 12ª posições. Teremos:
{1, 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 6 de 17
Uma vez identificados os elementos que ocupam as Posições Centrais,
calcularemos a Média destes dois elementos, para determinarmos enfim a Mediana
do rol. Vejamos:
{1, 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
Md=(8+9)/2 Md=8,5
Ou seja, somaremos os dois elementos que ocupam as Posições Centrais, e
dividiremos o resultado desta soma por 2. O resultado será a Mediana.
Pronto! Só isso! Observemos que o valor da Mediana encontrado acima não é
nenhum dos elementos do conjunto! De fato, naquele rol não consta nenhum
elemento com esse valor (8,5). Não importa! Concluímos que a Mediana de um
conjunto não tem, necessariamente, que ser um dos seus elementos!
---x-x-x-x-x-x-x---
Para tentar simplificar, faremos um resumo dos passos:
Resumo dos Passos: Cálculo da Mediana para o Rol com n ímpar
1º) Determinamos o n, que é o número de elementos do rol! Constatamos que n é
ímpar!
2º) Determinamos a Posição Central, fazendo:
Posição Central =
( n + 1)
3º) Encontramos (contando com o dedo) o elemento do rol que ocupa aquela
Posição Central.
4º) Conclusão: a Mediana será o próprio elemento encontrado no passo anterior!
---x-x-x-x-x-x-x---
Resumo dos Passos: Cálculo da Mediana para o Rol com n par
1º) Determinamos o n, que é o número de elementos do rol! Constatamos que n é
par!
2º) Determinamos as duas Posições Centrais, fazendo:
n
1ª Posição Central =
2
2ª Posição Central = a que sucede a primeira!
3º) Encontramos (contando com o dedo) os elementos que ocupam as duas Posições
Centrais.
2
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ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 7 de 17
4º) A Mediana será a Média dos dois elementos encontrados no passo anterior. Ou
seja, somaremos os elementos que ocupam as Posições Centrais, e dividiremos
este resultado por 2. A resposta é a Mediana!
---x-x-x-x-x-x-x---
# Cálculo Concurseiro da Mediana para o Rol:
Na hora da prova, sobretudo se for fornecido um rol não muito extenso,
poderemos usar um meio bastante simples de determinar as Posições Centrais do
rol. Vejamos o exemplo seguinte:
{1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
Teremos, para esta prática, que usar as duas mãos! O dedo da mão esquerda
ficará sobre o primeiro elemento do rol, enquanto que o da mão direita ficará
sobre o último elemento. Da forma seguinte:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
(A setinha embaixo do elemento é o nosso dedo!).
Feito isso, o procedimento agora será aproximar ambos os dedos em direção
ao centro do conjunto, saltando sempre de um em um elemento. Ou seja,
simultaneamente, saltaremos cada dedo uma posição, na direção do centro.
Teremos:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
Continuando o procedimento, teremos:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
Percebamos que nossos dedos estão, no mesmo passo, aproximando-se do
centro! Prosseguindo, teremos:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
E agora:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
E depois:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
E mais:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑........................↑
Página 7 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 8 de 17
Calma, falta pouco:
{1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
Estamos quase chegando:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
Só mais um pouquinho:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑ ↑
Atenção agora! Quando dermos o último salto (que é o próximo), veremos que
nossos dedos se encontrarão em um único elemento. Vejamos:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑
Quando isso acontecer, concluímos que este rol apresenta apenas uma única
Posição Central, e que este elemento encontrado na junção dos dedos será a
nossa própria Mediana! Ou seja:
{ 1, 1, 1, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 13, 15, 17, 18, 18}
↑
Md=9
Só isso!
---x-x-x-x-x-x-x---
Vejamos o próximo exemplo. Consideremos o conjunto abaixo:
{0, 1, 4, 5, 15, 18, 20, 22}
O procedimento será exatamente o mesmo. Partiremos com um dedo de cada mão
em um dos extremos do rol, aproximando-se, de uma em uma posição, em direção ao
centro do conjunto. Teremos, portanto:
{ 0, 1, 4, 5, 15, 18, 20, 22}
↑ ↑
(Novamente, a seta embaixo do elemento será o nosso dedo!).
Em seguida, teremos:
E depois, teremos:
{ 0, 1, 4, 5, 15, 18, 20, 22}
↑ ↑
{ 0, 1, 4, 5, 15, 18, 20, 22}
↑ ↑
Página 8 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 9 de 17
Atenção aqui! No próximo salto que fizermos (que será o último), veremos
que nossos dedos não se encontrarão em um mesmo elemento, porém em elementos
vizinhos! Vejamos:
{ 0, 1, 4, 5, 15, 18, 20, 22}
↑ ↑
Quando isso acontecer, concluiremos que neste rol existem duas Posições
Centrais. Logo, para determinarmos a Mediana, teremos que calcular a Média
destes dois elementos em cujas posições nossos dedos se avizinharam! Ou seja:
{ 0, 1, 4, 5, 15, 18, 20, 22}
↑ ↑
Md=(5+15)/2 Md=10
E aí? Mais fácil que isso, só dois disso! Concordam? Em frente!
# determinação da Mediana – 2ª PARTE
Mediana para Dados Tabulados:
# Determinação da Mediana – 2 a PARTE
Mediana para Dados Tabulados:
Quando os dados do conjunto vierem apresentados sob a forma de Dados
Tabulados, encontraremos a Mediana seguindo os passos que explicaremos a
seguir. Consideremos o exemplo abaixo:
Xi fi
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
5
3
n=49
O primeiro passo será descobrir o n (número de elementos do conjunto).
Para isso, conforme já estudamos, basta somar a coluna da fi. Precisamos saber
se o n será par ou ímpar!
Caso o n seja ímpar, o conjunto terá apenas uma Posição Central. Caso seja
par, teremos duas Posições Centrais! Por enquanto, tudo igual ao que aprendemos
para o rol.
Identificado se n é par ou ímpar, determinaremos – exatamente como o
fizemos para o rol – quais são as Posições Centrais do nosso conjunto.
Neste nosso exemplo, temos n=49. Logo, sabemos que nossa única Posição
Central será determinada pela conta:
Então, calculamos:
Posição Central =
( n + 1)
2
Página 9 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 10 de 17
( n + 1)
( 49 + 1)
Posição Central =
2
=
2
50
= = 25 Posição Central = 25ª Posição!
2
Até aqui foi tudo idêntico ao trabalho para o rol! Agora vem a
particularidade dos Dados Tabulados! Nesse momento, teremos que comparar esta
Posição Central que acabamos de identificar com os valores de uma determinada
coluna de freqüências, que ainda nem construímos: a coluna da freqüência
absoluta acumulada crescente, a fac!
É este, portanto, nosso próximo passo: construir a fac! Teremos:
Xi fi fac ↓
2
5
5
4
10
15
6
15
30
8
11
41
10
5
46
12
3
n=49
49
Agora vem o mais importante: de que forma vamos comparar o valor
encontrado da Posição Central com os valores da coluna da fac? Da seguinte
maneira: partimos para a fac, tendo em mente o valor da Posição Central (neste
caso, com o valor 25, que significa 25ª posição!).
Daí, iniciando com a primeira fac (a mais de cima), para cada valor desta
coluna faremos a seguinte pergunta:
“O valor desta fac é maior ou igual ao valor da Posição Central?”
E repetiremos esta pergunta até o momento em que a resposta for
afirmativa.
Para entendermos melhor, vejamos nosso exemplo.
Encontramos acima que a Posição Central é a 25ª. Então, coloquemos na
cabeça esse valor: 25 (que será nosso valor de referência!). Daí, começaremos a
perguntar:
Xi fi fac ↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
5
3
5
15
30
41
46
49
5 é maior ou igual a 25? NÃO!
Se a resposta for “NÃO”, desceremos um andar e repetiremos a pergunta,
usando agora a fac seguinte:
Xi fi fac ↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
5
3
5
15
30
41
46
49
15 é maior ou igual a 25? NÃO!
Página 10 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 11 de 17
A resposta é “NÃO”. Daí, prosseguimos para a próxima fac:
Xi fi fac ↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
5
3
5
15
30
41
46
49
30 é maior ou igual a 25? SIM!
Aqui a resposta é “SIM”. Então, paramos! E olhamos qual é o elemento Xi
correspondente a esta fac em que estamos estacionados:
Xi Fi fac ↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
5
3
Será justamente o elemento Xi=6, que ocupa a nossa Posição Central, e que
será, portanto, a nossa Mediana! Logo: Md=6.
5
15
30
41
46
49
---x-x-x-x-x-x-x---
Vamos a mais um exemplo! Consideremos o conjunto abaixo e determinemos o
valor da Mediana:
Xi fi
1
2
3
4
5
O primeiro passo é determinar o n (número de elementos do conjunto) para
sabermos se é par ou ímpar! Para isso, somamos a coluna da fi! Teremos:
2
3
6
4
2
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
6
4
2
n=17
Achamos n=17, portanto, ímpar! Daí, sabemos que vamos ter apenas uma
Posição Central no conjunto, identificada pela seguinte conta:
Calculamos:
Posição Central =
( n + 1)
2
Página 11 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 12 de 17
Posição Central =
( n + 1)
( 17 + 1)
2
=
2
18
= = 9 Posição Central = 9ª Posição!
2
O próximo passo será a construção da fac. Teremos, então:
Xi fi fac ↓
1
2
3
4
5
2
3
6
4
2
n=17
Finalmente, passamos à fase das perguntas! Lembremos que agora o valor de
referência é 9 (que significa 9ª posição!). Teremos:
Xi fi fac ↓
1 2 2 2 é maior ou igual a 9? NÃO!
2 3 5
3 6 11
4 4 15
5 2 17
n=17
Se a resposta é negativa, prosseguimos para a fac seguinte:
Xi fi fac ↓
1
2
3
4
5
2
3
6
4
2
n=17
2
5
11
15
17
2
5
11
15
17
5 é maior ou igual a 9? NÃO!
Já sabemos que, enquanto a resposta for “NÃO”, apenas passaremos à fac que
se segue:
Xi fi fac ↓
1
2
3
4
5
2
3
6
4
2
n=17
2
5
11
15
17
11 é maior ou igual a 9? SIM!
Como a resposta agora foi “SIM”, nós imediatamente paramos e procuramos,
na coluna do Xi, qual o elemento correspondente àquela fac em que nos
encontramos!
E o elemento correspondente é Xi=3, que ocupa nossa Posição Central e
será, portanto, a nossa própria Mediana! Logo: Md=3.
---x-x-x-x-x-x-x---
Página 12 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 13 de 17
Acabamos de fazer dois exemplos para cálculo da Mediana de Dados
Tabulados, quando o número de elementos do conjunto é ímpar! Passemos aos
exemplos nos quais o nosso n será um valor par!
Considerando o conjunto abaixo, determinemos o valor da Mediana:
Xi fi
2
5
4
10
6
15
8
11
10
6
12
3
n=50
O primeiro passo consiste apenas em determinar o número de elementos do
conjunto, o n. Isso o fazemos somando a coluna do fi. Neste caso, encontramos
n=50, donde concluímos que haverá duas Posições Centrais neste conjunto! Na
seqüência, determinaremos – por meio daquela mesma fórmula que aprendemos para
o rol – quais estas duas Posições Centrais:
Calculamos:
n 50
1ª Posição Central = = = 25
2 2
n
1ª Posição Central =
2
1ª Posição Central = 25ª Posição!
2ª Posição Central = a que sucede a primeira!
Logo, teremos: 2ª Posição Central = 26 a Posição!
Como próximo passo, construiremos a coluna da fac! Teremos:
Xi fi fac↓
2 5 5
4 10 15
6 15 30
8 11 41
10 6 47
12 3
n=50
50
Finalmente, passaremos à fase das perguntas! Trabalharemos inicialmente
com a primeira Posição Central, que é a 25 a posição. Destarte, nosso valor de
referência é o 25. Faremos:
Xi fi Fac↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
6
3
n=50
5
15
30
41
47
50
5 é maior ou igual a 25? NÃO!
Página 13 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 14 de 17
Enquanto nossa resposta for “NÃO”, nós prosseguimos, passando à próxima
fac. Daí:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
6
3
n=50
5
15
30
41
47
50
15 é maior ou igual a 25? NÃO!
Novamente, com a resposta negativa, avançamos para a fac seguinte:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
6
3
n=50
5
15
30
41
47
50
30 é maior ou igual a 25? SIM!
Como a resposta agora foi afirmativa, paramos e buscamos o Xi
correspondente! Neste caso, encontramos como Xi da primeira Posição Central o
valor Xi=6. Este valor ficará guardado para o final da questão!
Agora, repetimos este último passo (o das perguntas), só que usando a
segunda Posição Central do conjunto, a qual, conforme constatamos acima, será a
26 a Posição! Logo, nosso valor de referência será aqui o 26. Teremos:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
6
3
n=50
5
15
30
41
47
50
5 é maior ou igual a 26? NÃO!
Como a resposta é negativa, passamos à próxima fac:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
6
3
n=50
5
15
30
41
47
50
15 é maior ou igual a 26? NÃO!
Página 14 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 15 de 17
Ainda resposta negativa! Adiante:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
10
12
5
10
15
11
6
3
n=50
5
15
30
41
47
50
30 é maior ou igual a 26? SIM!
Pronto! Chegamos à resposta afirmativa. Neste momento, então, paramos e
verificamos quem é o Xi correspondente! E é exatamente o Xi=6.
Descobertos os dois elementos que ocupam as Posições Centrais, teremos que
calcular a sua Média, para chegarmos à Mediana do conjunto! Vejamos:
Na 1 a Posição Central, temos o elemento: Xi=6
Na 2 a Posição Central, temos o elemento: Xi=6
Daí: Md=(6+6)/2 E: Md=6
---x-x-x-x-x-x-x---
Vamos a mais um exemplo! Consideremos o seguinte conjunto e calculemos o
valor da Mediana:
Xi fi
2
4
6
8
5
10
8
7
n=30
Primeiro passo: determinar o número de elementos do conjunto, o nosso n.
Somando a coluna do fi, chegamos a n=30. Ora, como o n é par, imediatamente
sabemos que haverá duas Posições Centrais, as quais passaremos a determinar:
Calculamos:
n 30
1ª Posição Central = = = 15
2 2
n
1ª Posição Central =
2
1ª Posição Central = 15ª Posição!
2ª Posição Central = a que sucede a primeira!
Logo, teremos: 2ª Posição Central = 16 a Posição!
Página 15 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 16 de 17
Como próximo passo, construiremos a coluna da fac! Teremos:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
5
10
8
7
n=30
Trabalharemos as perguntas iniciando com a primeira Posição Central, que é
a 15 a . Portanto, nosso valor de referência para as perguntas será o 15.
Xi fi fac↓
2
4
6
8
5
10
8
7
n=30
5
15
23
30
5
15
23
30
5 é maior ou igual a 15? NÃO!
Resposta negativa implica passarmos à próxima fac. Teremos:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
5
10
8
7
5
15
23
30
15 é maior ou igual a 15? SIM!
n=30
Chegamos, enfim, à resposta afirmativa! Então, paramos e constatamos qual
é o elemento correspondente! Encontramos, pois, Xi=4. Este valor ficará
guardado para o final da questão.
Passamos agora a trabalhar com a segunda Posição Central do conjunto, que
é a 16 a posição! Daí, nosso novo valor de referência para as perguntas será o
16. Daí, teremos:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
5
10
8
7
n=30
5
15
23
30
5 é maior ou igual a 16? NÃO!
A resposta é negativa, daí passamos à fac seguinte:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
5
10
8
7
n=30
5
15
23
30
15 é maior ou igual a 16? NÃO!
Página 16 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 15-MEDIANA PARTE 01 *** Página 17 de 17
Novamente a resposta é negativa. Daí, prosseguimos:
Xi fi fac↓
2
4
6
8
5
10
8
7
n=30
5
15
23
30
23 é maior ou igual a 16? SIM!
Aqui, paramos, uma vez que a resposta foi afirmativa! Daí, procuramos o Xi
correspondente e encontramos o valor: Xi=6.
Encontramos, portanto, os dois elementos do conjunto que ocupam as
Posições Centrais! Determinamos que:
Na 1 a Posição Central, temos o elemento: Xi=4
Na 2 a Posição Central, temos o elemento: Xi=6
Daí: Md=(4+6)/2 E: Md=5
---x-x-x-x-x-x-x---
Talvez muitos de vocês estejam se perguntando a razão de trabalharmos com
a fac – freqüência acumulada crescente, na determinação da Mediana dos Dados
Tabulados. Então, eu peço licença para adiar essa explicação para um outro
momento, quando tivermos mais condição de respirar. Ok?
Por hoje é tudo! Próxima aula, continuaremos com o estudo da Mediana. Na
verdade, a parte principal está por vir, que é o cálculo da Mediana para a
Distribuição de Freqüências.
Faremos três aulas de Mediana, sendo essa a primeira. A de amanhã será com
a Distribuição de Freqüências e os exercícios, e a terceira, finalmente, com as
resoluções dos exercícios.
É importante, sobretudo quem está se preparando para o AFRF, que não se
deixe acumular matéria. Um grande abraço a todos e até breve!
Página 17 de 17

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 1 de 15
MEDIANA – PARTE 02
Olá amigos! Dando continuidade ao estudo da Mediana, passamos hoje à
análise desta medida no caso de os dados do conjunto vierem apresentados sob a
forma de uma Distribuição de Freqüências.
Posso assegurar que se trata do tópico mais importante de todos, tendo em
vista que a Distribuição de Freqüências é a forma de apresentação dos dados
mais comuns nas provas de Estatística, seja da ESAF ou de qualquer outra
elaboradora!
Vamos em frente!
# Determinação da Mediana – 3 a PARTE
Mediana para Distribuição de Freqüências:
Vimos que, quando íamos procurar a Mediana no rol e nos dados tabulados,
tínhamos sempre a preocupação de saber se o n (número de elementos do conjunto)
era par ou ímpar! Essa preocupação deixa de existir no cálculo da Mediana para
a distribuição de freqüências.
Aqui, teremos simplesmente que aplicar a fórmula da Mediana, cujos
elementos serão extraídos de uma determinada classe da distribuição: a chamada
Classe Mediana.
Daí, basicamente o que precisamos fazer para determinar a Mediana de uma
distribuição será:
1 o ) Descobrir quem é a Classe Mediana; e
2 o ) Aplicar a fórmula da Mediana para distribuição de freqüências!
# Determinação da Classe Mediana:
Nosso primeiro passo na busca da Classe Mediana será apenas determinar o
valor do n, ou seja, do número de elementos do conjunto. Isto o faremos somando
a coluna da fi!
Feito isso, independentemente de encontrarmos um n par ou ímpar, faremos a
seguinte conta:
n
2
Repetindo: não interessa, no caso da Distribuição de Freqüências, se o n é
par ou ímpar. Em qualquer caso, faremos apenas a divisão acima.
Na seqüência, teremos que comparar o valor de (n/2) que acabamos de
calcular, com os valores da coluna da freqüência absoluta acumulada crescente,
a fac!
Logo, nosso próximo passo será a construção da fac!
Finalmente, a comparação do valor (n/2) com os valores da fac será feita
da mesma forma que aprendemos para os Dados Tabulados. Ou seja, por meio
daquela velha pergunta, que aqui adaptamos:

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 2 de 15
“O valor desta fac é maior ou igual ao valor de (n/2)?”
E esta pergunta será repetida, até o momento em que a resposta for
afirmativa. Ou seja, quando a resposta for “SIM”, pararemos, procuraremos a
classe correspondente, e diremos que esta será a Classe Mediana. Para
entendermos melhor, vejamos o exemplo abaixo.
Encontremos a Classe Mediana do seguinte conjunto:
Xi fi
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
O primeiro passo é determinar o n. Nesse caso, nosso n=20. Agora não
importa mais se n é par ou ímpar! Faremos a seguinte conta:
E teremos que:
n
2
= 10 Este
n
2
será nosso valor de referência, para
compararmos com os valores da coluna da freqüência absoluta acumulada
crescente, que vamos construir agora:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
O passo seguinte será o das perguntas! Da mesma forma como fizemos nos
Dados Tabulados, iremos agora comparar os valores da fac com o valor de
referência (n/2), que nesse caso será 10. Faremos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
3
8
15
19
20
3 é maior ou igual a 10? NÃO!
Enquanto a resposta for negativa, avançamos para a próxima fac! Teremos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20 3
3
20 !--- 30 5
8 8 é maior ou igual a 10? NÃO!
30 !--- 40 7 15
40 !--- 50 4 19
50 !--- 60 1
n=20
20

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 3 de 15
Se a resposta ainda é “NÃO”, prosseguimos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
15 é maior ou igual a 10? SIM!
Aqui paramos, pois nossa resposta foi afirmativa! E nesse momento,
procuramos qual a classe correspondente a esta fac em que nos encontramos!
Neste nosso caso, foi a terceira classe (30 !--- 40), que será a nossa Classe
Mediana!
---x-x-x-x-x-x-x---
Outro exemplo: Determine a Classe Mediana do conjunto abaixo.
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
8
12
7
4
2
n=33
1 o Passo) Determinar o n. Neste caso, temos n=33.
2 o Passo) Calcular (n/2). Teremos: (n/2)=16,5
3º Passo) Construir a coluna da fac! Teremos:
Xi fi fac↓
0!---15 8 8
15!---30 12 20
30!---45 7 27
45!---60 4 31
60!---75 2 33
N=33
4 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2).
Teremos:
Xi fi Fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
8
12
7
4
2
n=33
8
20
27
31
33
8 é maior ou igual a 16,5? NÃO!

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 4 de 15
Em
caso de resposta negativa (como ocorreu), passamos à fac seguinte:
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
8
12
7
4
2
n=33
8
20
27
31
33
20 é maior ou igual a 16,5? SIM!
Como a resposta é afirmativa, paramos e verificamos qual é a classe
correspondente! Neste caso, foi a segunda classe (15 !--- 30), que será
justamente a nossa Classe Mediana!
Observação: Alguém muito observador deve ter reparado que, nos dois exemplos
acima, ocorreu de a Classe Mediana ser também a Classe Modal da Distribuição!
(Estamos lembrados da Classe Modal? A que apresenta maior fi!). Daí poderia
surgir a pergunta: A Classe Mediana e a Classe Modal de uma distribuição de
freqüências serão sempre a mesma classe? E a resposta é NÃO! Podem até
coincidir (como muitas vezes acontece), mas é perfeitamente possível que sejam
classes distintas, uma vez que são determinadas por caminhos diferentes!
Convém, portanto, não misturarmos as coisas!
# Fórmula da Mediana:
---x-x-x-x-x-x-x---
Uma vez descoberta qual a Classe Mediana da Distribuição de Freqüências,
só nos resta aplicar a Fórmula da Mediana! E é a seguinte:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
Onde: linf é o limite inferior da Classe Mediana;
facANT é a fac da classe anterior à classe mediana;
fi é a freqüência absoluta simples da classe mediana;
h é a amplitude da classe mediana.
Observemos agora a nossa fórmula em sua “estrutura”, sem o “miolo” contido
nos colchetes:
⎡ ⎤
Md = l inf + ⎢ ⎥ ⋅ h
Esta “estrutura” da fórmula da Mediana nos faz lembrar de alguém? Claro! É
a mesma “estrutura” das fórmulas da Moda (tanto de Czuber, quanto de King).
Então, a rigor, só teremos que memorizar o “miolo” da fórmula! E de tanto a
usarmos e a repetirmos, logo, logo estará memorizada!
⎣
⎦

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 5 de 15
Vamos aprender a localizar os valores da fórmula na Distribuição de
Freqüências. Tomando os dois exemplos anteriores, nos quais encontramos a
Classe Mediana, vamos aplicar nossa fórmula e determinar o valor da Mediana!
Vamos lá:
Exemplo 1) Encontramos acima que a Classe Mediana é a terceira classe.
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
Daí, teremos que aplicar a fórmula:
3
8
15
19
20
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
Localizando o linf da Classe Mediana: linf=30
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
Classe Mediana!
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
Classe Mediana!
Localizando a facANT (freqüência absoluta acumulada crescente da classe
anterior à Classe Mediana): facANT = 8
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
Classe Anterior!
Classe Mediana!

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 6 de 15
Localizando a fi da Classe Mediana: fi=7
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
Classe Mediana!
Temos ainda que a amplitude da Classe Mediana é h=10 e que (n/2)=10,
conforme já havíamos calculado anteriormente!
Daí, jogando os dados encontrados na fórmula da Mediana, teremos:
⎡10 − 8⎤
Md = 30 +
⎢
⋅10
⎣ 7 ⎥
E: Md=32,8 Resposta!
⎦
---x-x-x-x-x-x-x---
Exemplo
2) Havíamos encontrado que a Classe Mediana é a segunda classe.
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
8
12
7
4
2
n=33
Daí, aplicaremos a fórmula da Mediana:
8
20
27
31
33
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
Classe Mediana!
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
Novamente, localizando o linf da Classe Mediana: linf=15
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
8
12
7
4
2
n=33
8
20
27
31
33
Classe Mediana!

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 7 de 15
Localizando a facANT (freqüência absoluta acumulada crescente da classe
anterior à Classe Mediana): facANT = 8
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
8
12
7
4
2
n=33
8
20
27
31
33
Localizando a fi da Classe Mediana: fi=12
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
8
12
7
4
2
n=33
8
20
27
31
33
Classe Anterior!
Classe Mediana!
Classe Mediana!
Sabemos ainda que a Amplitude da Classe Mediana é h=15 e que (n/2)= 16,5
(conforme já havíamos calculado). Daí, jogando todos os dados na fórmula,
encontraremos:
⎡16, 5 − 8⎤
Md = 15 +
⎢
⋅15
⎣ 12 ⎥
E: Md=25,6
⎦
---x-x-x-x-x-x-x---
# Resumo dos Passos para Cálculo da Md de uma Distribuição:
Estou certo que já ficou claro que, uma vez determinada a Classe Mediana,
o que resta para o cálculo da Mediana é um mero “copiar-colar” dos dados da
distribuição transpostos para a fórmula!
Ou seja, o importante mesmo é memorizar a fórmula e coletar os dados do
conjunto, com toda a atenção do mundo, para não se confundir! Com o treinamento
e a prática, a coisa fica até sem graça!
Façamos um resumo dos passos, desde o início, para se encontrar a Mediana
de uma Distribuição de Freqüências:
1 o Passo) Determinar a Classe Mediana, fazendo o seguinte:
Calcula-se o n (pelo somatório da coluna do fi);
Calcula-se (n/2), independentemente de n ser par ou ímpar. Este
valor (n/2) será nosso “valor de referência”;
Constrói-se a coluna da fac;

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 8 de 15
Compara-se os valores da fac (um a um, a começar da primeira
classe) com o valor de referência (n/2), fazendo-se a pergunta: “esta fac é
maior ou igual a (n/2)?”
Quando a resposta for afirmativa, procura-se a classe
correspondente, a qual será a nossa Classe Mediana!
2 o Passo) Aplica-se a fórmula da Mediana, abaixo transcrita, fazendo um
mero “copiar-colar” com os dados da distribuição:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
E isso é tudo!
Vamos a mais um exemplo! Calculemos a Md do conjunto abaixo:
Xi fi
10 !--- 20 2
20 !--- 30 7
30 !--- 40 11
40 !--- 50 20
50 !--- 60 11
60 !--- 70 7
70 !--- 80 2
n=60
1 o Passo) Calculamos o n. Neste caso, temos que n=60.
2 o Passo) Calculamos (n/2), que será: (n/2)=30
3 o Passo) Construiremos a coluna da fac:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
n=60
4 o Passo) Compararemos os valores da fac com nosso valor de referência (n/2),
que neste caso é 30.
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
2
9
20
40
51
58
60
2
7
11
20
11
7
2
2
9
20
40
51
58
60
3 é maior ou igual a 30? NÃO!
9 é maior ou igual a 30? NÃO!
20 é maior ou igual a 30? NÃO!
40 é maior ou igual a 30? SIM!

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 9 de 15
Como a resposta foi afirmativa estávamos perguntando com a fac da quarta
classe, então já descobrimos que exatamente esta (40 !---- 50) será a nossa
Classe Mediana!
5ª Passo) “Copiar-colar” os dados da distribuição para a fórmula da Mediana,
que se segue:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Teremos então, que:
Xi Fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
2
9
20
40
51
58
60
Classe Anterior!
Classe Mediana!
⎡30 − 20⎤
Fazendo as contas, teremos: Md = 40 +
⎢
⋅10
⎣ 20 ⎥
E: Md=45
⎦
E aí eu lhes digo: eu já sabia que a Mediana deste conjunto seria 45,
mesmo antes de fazer qualquer conta!! De que maneira eu tinha esse
conhecimento? Por acaso todos observaram que neste exemplo acima estamos
trabalhando com uma distribuição de freqüências simétrica? É exatamente aqui
que surge a primeira Dica de Ouro da Mediana!
# 1 a Dica de Ouro da Mediana:
Quando a Distribuição de Freqüências for simétrica, teremos que a Mediana
será igual à Média! Como já sabemos, nestes casos será igual à Moda. Ou seja,
quando a distribuição for simétrica, teremos sempre que:
X = Mo = Md
Dessa forma, as contas são dispensáveis! Só teremos que nos lembrar da
Dica de Ouro da Média, que aprendemos na página 17 do Ponto 12! É só conferir!
Testando se aprendemos bem a 1 a Dica de Ouro da Mediana, respondamos (sem
pensar muito) qual o valor da Mediana dos seguintes conjuntos abaixo:
a)
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
11
7
4

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 10 de 15
Resposta) Md=Média=Mo=45
Aqui temos uma distribuição simétrica com número par de classes! Logo:
média, moda e mediana serão iguais ao limite superior da primeira classe
intermediária (que por sua vez é também igual ao limite inferior da segunda
classe intermediária!), que é igual a 45!
b)
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
Resposta) Md=Média=Mo=17,5
Aqui temos uma distribuição simétrica com número ímpar de classes! Logo:
média, moda e mediana serão iguais ao Ponto Médio da classe intermediária, que
é igual a 17,5! Só isso, meus amigos!
c)
4
10
15
10
4
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Resposta) Md=Média=Mo=34,5
Aqui a mesma coisa do exemplo (b). Temos uma distribuição simétrica com
número ímpar de classes, donde concluímos que média, moda e mediana serão
iguais ao Ponto Médio da classe intermediária, que é igual a 34,5!
Tudo isso sem precisar fazer uma só conta!!
---x-x-x-x-x-x-x---
Mais um exemplo! Determinemos a Mediana do conjunto abaixo:
Sol.: É só seguir a receita:
Xi Fi
0 !--- 20
20 !--- 40
40 !--- 60
60 !--- 80
1 o Passo) Calculamos o n. Neste exemplo: n=26
2 o Passo) (n/2)=13
5
8
11
2
n=26
4
6
7
6
4

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 11 de 15
3 o Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
0 !--- 20
20 !--- 40
40 !--- 60
60 !--- 80
n=26
4ª Passo) Compararmos os valores da fac com o valor de (n/2):
Xi fi fac↓
0 !--- 20 5 5 5 é maior ou igual a 13? NÃO!
20 !--- 40 8 13 13 é maior ou igual a 13? NÃO!
40 !--- 60 11 24
60 !--- 80 2 26
n=26
Encontramos que nossa Classe Mediana é a segunda (20!---40).
5 o Passo) Aplicamos a fórmula da Mediana:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡13 − 5⎤
= inf +
⋅ h Md = 20 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 8 ⎥
Daí: Md=40
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
E lá vem de novo o “sabe tudo” aqui dizer que já sabia, antes das contas,
que esta Mediana seria igual a 40! Mas, desta vez, como eu poderia adivinhar? A
distribuição sequer é simétrica, para usarmos a 1 a Dica de Ouro?!! É exatamente
neste ponto que surge a...
... # 2 a Dica de Ouro da Mediana:
Quando estivermos na fase de compararmos os valores da fac com o valor de
referência (n/2) e, ao fazermos a pergunta de praxe, encontrarmos um valor de
fac exatamente igual ao (n/2), pararemos, e diremos que a Mediana será o limite
superior da classe correspondente!
Vejamos o exemplo que acabamos de fazer. Quando chegamos na fase das
perguntas, observemos o que aconteceu:
Xi fi fac↓
0 !--- 20
20 !--- 40
40 !--- 60
60 !--- 80
5
8
11
2
n=26
5
13
24
26
5
8
11
2
5
13
24
26
13 é maior ou igual a 13 ? SIM!
É o quê? É IGUAL!!
Se é IGUAL, então procuramos o limite superior desta classe, que no caso é
40 e afirmamos, sem pestanejar: Md=40.

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 12 de 15
Outro exemplo! Determinemos a Md do conjunto abaixo:
1 o Passo) Calculamos n=60.
2 o Passo) Calculamos (n/2)=30
3 o Passo) Construímos a fac:
Xi Fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60
4 o Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de referência (n/2):
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60
8
20
30
50
60
8
20
30
50
60
8 é maior ou igual a 30? NÃO!
20 é maior ou igual a 30? NÃO!
30 é maior ou igual a 30? SIM!
É o quê? É IGUAL!
Imediatamente procuramos o limite superior da classe correspondente, e
encontramos que lsup=30! Daí, não resta dúvida:
# Propriedades da Mediana:
Md=30
---x-x-x-x-x-x-x---
Antes de passarmos aos exercícios de hoje, é conveniente analisarmos se a
Mediana também estará sujeita àquelas propriedades que aprendemos para a Média
e para a Moda, quais sejam: a “Propriedade da Soma e Subtração” e a
“Propriedade do Produto e da Divisão”.
A resposta é afirmativa em ambos os casos. Consideremos o conjunto abaixo:
{1, 2, 3, 4, 5}
Naturalmente que para este conjunto original, teremos que a Mediana será o
elemento 3, de forma que restarão dois elementos à sua esquerda e dois à sua
direita.

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 13 de 15
Agora, se tomarmos cada elemento do conjunto acima, e os somarmos à
constante k=5 (por exemplo!). Ficaremos com o novo conjunto:
{6, 7, 8, 9, 10}
...cuja Mediana será exatamente 8. Ou seja, a Mediana do novo conjunto
será a Mediana do conjunto original somada à constante k=5.
Da mesma forma, se tomarmos o conjunto original, e multiplicarmos cada
elemento pela constante k=3, por exemplo, ficaremos com o seguinte:
{3, 6, 9, 12, 15}
...cuja Mediana será 9, ninguém menos que a antiga Mediana multiplicada
pela mesma constante k=3.
Destarte, concluímos que as três Medidas de Tendência Central – Média,
Moda e Mediana – ficam igualmente sujeitas à Propriedade da Soma e Subtração e
à Propriedade do Produto e Divisão! Para relembrar melhor estas propriedades,
consultar o Ponto nº11, páginas 3 e 4!
--- X-X-X-X-X-X-X-X---
Eu acho que é isoo! Qualquer coisa que me lembre depois, acrescento na próxima
aula, da resolução dos exercícios! Passemos, portanto, aos nossos...
EXERCÍCIOS DE HOJE
Enunciado único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo,
determine o valor da Mediana.
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
3
5
8
4
2
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 7
7
7 !--- 14
11
14 !--- 21
15
21 !--- 28
9
28 !--- 35
3

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 14 de 15
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
4
6
7
2
1
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
06. Extraída da prova de AFRF – 2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüência seguinte:
Xi Freqüência (f)
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa da Mediana amostral do
atributo X:
a) 71,04 b)65,02 c)75,03 d)68,08 e)70,02
07. Extraída da prova AFRF – 1998:
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma
amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15,
16,
16, 18, 23
Assinale a opção que corresponde à mediana (com aproximação de uma casa
decimal):
a) 9,0 b)9,5 c)8,5 d) 8,0 e)10,0
1
3
7
11
14
11
7
3
1

ESTATÍSTICA – Ponto dos Concursos *** Ponto 16 – MEDIANA PARTE 02 *** Página 15 de 15
08. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição
de X:
a) 138,00 b)140,00 c)136,67 d) 139,01 e)140,66
09 e 10. Extraídas da prova do AFRF – 1996:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 01/01/90
Classes das Freq. Ptos. Médios Xi-37 = di di . fi di
idades
(anos)
(fi)
(Xi) 5
2 . fi di 3 . fi di 4 . fi
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162
24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 – 39,5 29 37 - - - - -
39,5 – 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 – 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 – 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 100 16 206 154 1106
09. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 01/01/90.
a) 35,49 b) 35,73 c) 35,91 d) 37,26 e) 38,01
Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em
01/01/96.
10. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários, em 01/01/96.
a) 35,49 b) 36,44 c) 41,49 d) 41,91 e) 43,26
11. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor
aproximado desta estatística, com base na distribuição de freqüências.
a) 12,50 b)9,60 c)9,00 d) 12,00 e)12,10
Boa sorte!

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 1 de 14
MEDIANA – PARTE 03
Olá pessoal! Estamos de volta! Hoje, encerramos a Mediana com a resolução
dos exercícios pendentes. Todos resolvidos por vocês, espero! (Olha que houve
bastante tempo para isso!). Será meramente uma confirmação dos resultados. Ou
não?
Deixemos de conversa mole e passemos às questões!
Enunciado Único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo,
determine o valor da Mediana.
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.: Vamos tentar estabelecer logo os passos da resolução e padronizá-los, a
fim de facilitar nossa memorização!
1º Passo) Determinar o “n” (número de elementos do conjunto), por meio do
somatório da coluna fi, e o valor de (n/2):
Logo, teremos: n=22 e (n/2)=11
Xi Fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
3
5
8
4
2
n=22
o
2 Passo) Construir a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente, fac!
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
n=22
3 o Passo) Comparar os valores da coluna da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe: “esta fac é maior ou igual a (n/2)?” Quando a
resposta for SIM, a classe correspondente será a Classe Mediana!
3
8
16
20
22

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 2 de 14
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
3
8
16
20
22
3 é ≥ 11? NÃO!
8 é ≥ 11? NÃO!
16 é ≥ 11? SIM!
n=22
Assim, achamos que nossa Classe Mediana será a terceira: (20 !—30)! Agora
só nos resta aplicar a fórmula!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡11− 8⎤
= inf +
⋅ h = 20 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 8 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
Sol.:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Logo: n=38 e (n/2)=19
2 o Passo) Construir a fac!
Md Daí: Md=23,75 Resposta!
Xi fi
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
4
7
11
9
5
2
n=38
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
n=38
4
11
22
31
36
38

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 3 de 14
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
4
11
22
31
36
38
4 é ≥ 19? NÃO!
11 é ≥ 19? NÃO!
22 é ≥ 19? SIM!
n=38
Daí, achamos a Classe Mediana, que é a terceira: (30 !-- 45)!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡19 −11⎤
= inf +
⋅ h = 30 + ⋅15
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 11 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Md Daí: Md=40,9 Resposta!
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 7
7
7 !--- 14
11
14 !--- 21
15
21 !--- 28
9
28 !--- 35
Sol.:
1
3
o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Teremos: n=45 e (n/2)=22,5
2 o Passo) Construir a fac!
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
n=45
Xi fi fac↓
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
n=45
7
18
33
42
45

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 4 de 14
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi Fi fac↓
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
n=45
7
18
33
42
45
7 é ≥ 22,5? NÃO!
18 é ≥ 22,5? NÃO!
33 é ≥ 22,5? SIM!
Achamos, portanto, que nossa Classe Mediana é a terceira: (14!--21)!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡22, 5 −18⎤
= inf +
⋅ h = 14 + ⋅ 7
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 15 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Sol.:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Achamos que: n=20 e (n/2)=10
2 o Passo) Construir a fac!
Md Daí: Md=16,1 Resposta!
Xi fi
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1
4
6
7
2
1
n=20
Xi fi fac↓
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1
n=20
4
10
17
19
20

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 5 de 14
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi fi Fac↓
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1
n=20
4
10
17
19
20
4 é ≥ 10? NÃO!
10 é ≥ 10? SIM!
É o quê? É IGUAL!!
Ora, uma vez que encontramos um valor da fac exatamente igual ao (n/2), caímos
no caso da 2 a Regra de Ouro da Mediana!! Claro! Já podemos afirmar, dispensando
os cálculos do próximo passo, que a Mediana será o limite superior da classe
correspondente! Ou seja:
Md=29,5 Resposta!
Todavia (para os incrédulos), para não perder mais uma oportunidade de
memorizar a fórmula da Mediana, faremos o passo dos cálculos!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡20 − 4⎤
= inf +
⋅ h = 19, 5 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 6 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Md Daí: Md=29,5 Resposta!
Ou seja, quem se lembrar das Regras de Ouro deste curso certamente levará
alguma vantagem em relação ao tempo!
05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Sol.:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
Esta é a questão de solução mais rápida de hoje! Por quê? Quem me diz?
Basta olharmos a coluna da fi!! Com esta dica ficou fácil!! Trata-se de uma
Distribuição Simétrica! Todos lembrados de como se identifica uma distribuição
simétrica? Partindo da fi da classe intermediária, aplicamos a Técnica do
Elevador (Ponto nº10), e verificamos que, a cada salto, os valores da fi são
iguais. Vejamos:
1
3
7
11
14
11
7
3
1

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 6 de 14
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
Daí, como temos um número ímpar de classes e a distribuição é simétrica,
concluímos que a Mediana (que será igual à Média e à Moda) será justamente o
Ponto Médio da classe intermediária! Ou seja:
Md=75 Resposta!
Encontramos esse resultado sem precisarmos fazer nenhum dos passos
convencionais para determinação da Mediana!! Percebamos que vantagem
sensacional!
Novamente, para aproveitar o ensejo, acharemos a Mediana fazendo o serviço
completo, a fim de memorizarmos ainda mais os passos e a fórmula!
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Achamos, portanto: n=58 e (n/2)=29
2 o Passo) Construir a fac!
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
1
3
7
11
14
11
7
3
1
n=58
Xi fi fac↓
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
n=58
1
4
11
22
36
47
54
57
58

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 7 de 14
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi fi fac↓
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
n=58
1
4
11
22
36
47
54
57
58
1 é ≥ 29? NÃO!
4 é ≥ 29? NÃO!
11 é ≥ 29? NÃO!
22 é ≥ 29? NÃO!
36 é ≥ 29? SIM!
Achamos que a Classe Mediana é a quinta classe: (70 !-- 80)!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡29 − 22⎤
= inf +
⋅ h = 70 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 14 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Md Daí: Md=75 Resposta!
Então, queremos frisar o seguinte: na hora da prova, se conseguirmos enxergar
que caímos em uma das Dicas de Ouro da Mediana, não hesitemos: marquemos a
resposta e sigamos adiante! Próxima!
06. Extraída da prova de AFRF – 2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüência seguinte:
Xi Freqüência (f)
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa da Mediana amostral do
atributo X:
a) 71,04 b)65,02 c)75,03 d)68,08 e)70,02
Sol.:
Nesta questão, nossa primeira preocupação será descobrir que tipo de
coluna de freqüência é essa que ele forneceu na tabela! Como já estamos
treinados neste aspecto, logo matamos que se trata da própria fi, freqüência
absoluta simples! Então, neste caso, estamos prontos para seguir nossos passos
convencionais!

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 8 de 14
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Daí, achamos que: n=100 e (n/2)=50
2 o Passo) Construir a fac!
Xi fi
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
n=100
Xi fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4
39,5 - 49,5 8 12
49,5 – 59,5 14 26
59,5 – 69,5 20 46
69,5 – 79,5 26 72
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 50? NÃO!
39,5 - 49,5 8 12 12 é ≥ 50? NÃO!
49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 50? NÃO!
59,5 – 69,5 20 46 46 é ≥ 50? NÃO!
69,5 – 79,5 26 72 72 é ≥ 50? SIM!
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100
Identificamos como sendo a Classe Mediana exatamente: (69,5 !-- 79,5)!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡50 − 46⎤
= inf +
⋅ h = 69, 5 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 26 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Md E: Md=71,04 Resposta!

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 9 de 14
07. Extraída da prova AFRF – 1998:
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma
amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15,
16,
16, 18, 23
Assinale a opção que corresponde à mediana (com aproximação de uma casa
decimal):
a) 9,0 b)9,5 c)8,5 d) 8,0 e)10,0
Sol.:
Nesta questão dispomos de um rol, com número par de elementos: n=50. Desse
modo, teremos duas posições centrais no conjunto, as quais serão determinadas
da seguinte forma: (vide Ponto nº15, página 5)
Daí, encontraremos que:
1ª Posição Central = 2
n
1ª Posição Central =
2
e
2ª Posição Central = a que sucede a primeira!
n = (50/2) = 25 a posição!
2ª Posição Central = a posterior = 26 a posição!
De resto, só teremos que encontrar (usando o bom e velho dedo!) quais os
elementos do rol que ocupam respectivamente a 25 a e 26 a posições! Teremos o
seguinte:
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15,
16, 16, 18, 23
Uma vez identificados os elementos que ocupam as duas posições centrais
restará apenas soma-los e dividir a soma por dois, ou seja, restar extrairmos a
Média dos dois elementos encontrados.
Teremos: Md=(9+9)/2 Md=9 Resposta
08. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 10 de 14
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição
de X:
a) 138,00 b)140,00 c)136,67 d) 139,01 e)140,66
Sol.:
Nosso primeiro trabalho nesta questão será identificar a coluna P(%)
fornecida pelo enunciado e, partindo dela, construir a coluna da freqüência
absoluta simples, fi!
Todo este trabalho já foi feito em outras ocasiões (leia-se: em aulas
anteriores), de modo que descobrimos que o P(%) é a freqüência relativa
acumulada crescente (Fac), e que para chegarmos à fi, teríamos que perfazer o
caminho seguinte: Fac Fi fi.
Feito isso, chegaremos ao seguinte:
Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
Agora sim! Estamos aptos a iniciar os passos convencionais para
determinação da Mediana!
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Trabalharemos apenas com as colunas que interessam:
Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10
n=200

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 11 de 14
Teremos: n=200 e (n/2)=100
2 o Passo) Construir a fac!
Classes fi fac↓
70 – 90 10 10
90 – 110 20 30
110 – 130 50 80
130 – 150 60 140
150 – 170 30 170
170 – 190 20 190
190 – 210 10 200
n=200
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes fi fac↓
70 – 90 10 10 10 é ≥ 100? NÃO!
90 – 110 20 30 30 é ≥ 100? NÃO!
110 – 130 50 80 80 é ≥ 100? NÃO!
130 – 150 60 140 140 é ≥ 100? SIM!
150 – 170 30 170
170 – 190 20 190
190 – 210 10 200
n=200
Logo, identificamos nossa Classe Mediana: (130 !-- 150)!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡100 − 80⎤
= inf +
⋅ h = 130 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 60 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
09 e 10. Extraídas da prova do AFRF – 1996:
Md E: Md=136,67 Resposta!
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 01/01/90
Classes das Freq. Ptos. Médios Xi-37 = di di . fi di
idades
(anos)
(fi)
(Xi) 5
2 . fi di 3 . fi di 4 . fi
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162
24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 – 39,5 29 37 - - - - -
39,5 – 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 – 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 – 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 100 16 206 154 1106

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 12 de 14
09. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em
01/01/90.
a)
35,49 b) 35,73 c) 35,91 d) 37,26 e) 38,01
Sol.: Neste enunciado, já temos calculado o valor do n (somatório da coluna do
fi), então já estamos com a conclusão do 1 o Passo. Vejamos:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Logo: n=100 e (n/2)=50
2 o Passo) Construir a fac!
Classes fi
19,5 – 24,5 2
24,5 – 29,5 9
29,5 – 34,5 23
34,5 – 39,5 29
39,5 – 44,5 18
44,5 – 49,5 12
49,5 – 54,5 7
Total n=100
Classes fi fac↓
19,5 – 24,5 2 2
24,5 – 29,5 9 11
29,5 – 34,5 23 34
34,5 – 39,5 29 63
39,5 – 44,5 18 81
44,5 – 49,5 12 93
49,5 – 54,5 7 100
Total 100
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes fi fac↓
19,5 – 24,5 2 2 2 é ≥ 50? NÃO!
24,5 – 29,5 9 11 11 é ≥ 50? NÃO!
29,5 – 34,5 23 34 34 é ≥ 50? NÃO!
34,5 – 39,5 29 63 63 é ≥ 50? SIM!
39,5 – 44,5 18 81
44,5 – 49,5 12 93
49,5 – 54,5 7 100
Total 100
Identificamos, pois, nossa Classe Mediana: (34,5 !-- 39,5)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 13 de 14
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡50 − 34⎤
= inf +
⋅ h = 34, 5 + ⋅5
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 29 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Md E: Md=37,26 Resposta!
Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa
continua o mesmo em 01/01/96.
10. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários, em
01/01/96.
a) 35,49 b) 36,44 c) 41,49 d) 41,91 e) 43,26
Sol.: Esta questão é de resolução imediata!! Claro! Basta nos lembrarmos que a
Mediana (assim como a Média e a Moda!) está sujeita à Propriedade da Soma e da
Subtração, bem como à do Produto e da Divisão! Vimos isso no Ponto nº16, página
13! É só conferir!
Daí, se na questão anterior estávamos trabalhando as idades de pessoas na
data de 01/01/90 e, passamos a analisar as idades daquele mesmo grupo de
pessoas seis anos depois, ou seja, em 01/01/96, isso significa que, a cada
elemento do conjunto adicionamos a constante 6.
Conseqüentemente, pela Propriedade da Soma e Subtração, a nova Mediana
será a Mediana anterior (do conjunto original) somada à mesma constante!
Ou seja: Md=(37,26+6) Md=43,26 Resposta!
11. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que
corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de
freqüências.
a) 12,50 b)9,60 c)9,00 d) 12,00 e)12,10
Sol.:
Este enunciado forneceu-nos a coluna da fac! Temos, como já é do nosso
conhecimento, que construir a fi! Feito isso, passaremos aos passos
convencionais para acharmos a Mediana. Em frente!

ESTATÍSTICA – Ponto dos concursos **** Ponto 17-MEDIANA PARTE 03 *** Página 14 de 14
Teremos, assim:
Na seqüência, faremos:
Classes de
salários
fac↓ Fi
3 ; 6 12 12
6 ; 9 30 18
9 ; 12 50 20
12 ; 15 60 10
15 ; 18 65 5
18 ; 21 68 3
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Obviamente nem perderemos nosso tempo somando a coluna do fi, para encontrarmos
o n! E por quê? Porque o n é sempre igual à última freqüência absoluta
acumulada crescente, fac! Lembramos disso?
Daí, teremos: n=68 e (n/2)=34
2 o Passo) Construir a fac!
Também não necessitaremos fazer este passo, porque ele já veio feito! O
próprio enunciado já nos forneceu a fac!
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
e salários fi fac↓
3 ; 6 12 12 12 é ≥ 34? NÃO!
6 ; 9 18 30 30 é ≥ 34? NÃO!
9 ; 12 20 50 50 é ≥ 34? SIM!
12 ; 15 10 60
15 ; 18 5 65
18 ; 21 3 68
Identificamos a Classe Mediana: (9 !-- 12)!
o
4 Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡34 − 30⎤
= inf +
⋅ h = 9 + ⋅3
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 20 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Md E: Md=9,60 Resposta!
Ok, amigos! Ficamos hoje por aqui! Próxima aula, aprenderemos algo da maior importância,
que é a relação entre as Medidas de Tendência Central – Média, Moda e Mediana – e a situação de
simetria de um conjunto.
É uma teoria bastante fácil de ser compreendida e bastante útil na prova! Várias questões
de concurso já versaram sobre isso! Na seqüência, creio que já estaremos prontos para um primeiro
simulado!
Isso tudo, antes de iniciarmos as Medidas Separatrizes e as Medidas de Dispersão! Um grande abraço a todos e até a próxima!

ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 1 de 10
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA
Caros amigos, estamos de volta! Hoje, tentarei fazer uma aula sucinta
sobre um assunto muito simples e também muito importante! Falaremos sobre a
relação que há entre as Medidas de Tendência Central – Média, Moda e Mediana –
e o comportamento da Simetria de um conjunto.
# Curva de Freqüências:
Já vimos, no Ponto nº10 (Distribuições Simétricas), o que é um
Histograma. Estamos lembrados? É aquele gráfico que representa uma Distribuição
de Freqüências! Observemos o conjunto abaixo:
Classes fi
0 !-- 10
10 !-- 20
20 !-- 30
30 !-- 40
40 !-- 50
Construindo o Histograma para este conjunto, teríamos o seguinte:
Façamos agora o seguinte: marquemos em cada retângulo do Histograma, em
sua parte superior, o ponto correspondente ao Ponto Médio de cada classe.
Ficaríamos assim:
2
5
8
5
2

ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 2 de 10
Neste momento, voltaremos ao nosso tempo de infância e ligaremos os
pontinhos marcados no histograma acima. Passaremos ao seguinte:
Pois bem, amigos! Estamos agora diante de um novo gráfico, originado pelo
Histograma, o qual chamaremos de Polígono de Freqüências!
Primeira conclusão de hoje: o Polígono de Freqüências é um gráfico,
representativo da Distribuição de Freqüências, obtido quando ligamos os Pontos
Médios das classes do conjunto, marcados na parte superior dos retângulos do
Histograma!
Já houve uma questão teórica sobre esse gráfico em uma prova da ESAF.
Veremos nos exercícios do fim da aula!
Agora é que vem! Se quisermos aproximar estas retas que formam o Polígono
de Freqüências para uma curva, ou seja, se quisermos “suavizar” o Polígono de
Freqüências, fazendo com que suas retas tomem aspecto curvilíneo, teríamos algo
parecido com o seguinte:
Esta curva, que consideraremos apenas uma suavização do Polígono de
Freqüências, é a chamada Curva de Freqüências, e também (como vimos) será
representativa de uma Distribuição de Freqüências! Essa consideração que
estamos fazendo (curva como mera suavização do Polígono) é apenas uma
aproximação (que fique bem claro isso!) e que, para efeito de concurso, nos
ajuda e não nos prejudica em nada! Portanto, aceitaremos dessa forma!
Ou seja, percorremos este caminho até aqui, para concluir que uma
Distribuição de Freqüências pode ser representada por uma Curva!

ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 3 de 10
Agora uma pergunta: o que podemos dizer acerca desta Distribuição de
Freqüências que estamos estudando? Nem precisa pensar muito! De cara,
respondemos que se trata de uma Distribuição Simétrica!
Ora, já vimos nas aulas precedentes (nas Dicas de Ouro da Média, Moda e
Mediana) que quando uma Distribuição de Freqüências é simétrica, teremos que a
Média será igual à Moda e à Mediana. Certo? No caso de um conjunto simétrico
com número ímpar de classes, sabemos que:
Média = Moda = Mediana= Ponto Médio da Classe Intermediária!
Passando essa informação para nosso gráfico, teremos:
Média=Mo=Md
Já sabíamos praticamente tudo o que foi dito até aqui! Agora consideremos
as duas outras situações, quando a Distribuição de Freqüências não for
simétrica, ou seja, quando o conjunto apresentar assimetria!
Observemos o conjunto abaixo (emprestado do Ponto nº 10!)
Classes fi
0 |--- 10 2
10|--- 20 6
20|--- 30 11
30|--- 40 15
40|--- 50 8
50|--- 60 7
60|--- 70 6
70|--- 80 4
80|--- 90 3
90|--- 100 2
100|--- 110 1
Se traçarmos o Histograma para esse conjunto acima, como já o fizemos no
Ponto nº10, teremos o seguinte:

ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 4 de 10
Saltando os passos de marcar os pontinhos (os Pontos Médios!), e de ligálos
(formando o Polígono de Freqüências), teremos (aproximadamente) a seguinte
Curva de Freqüências:
Tomemos agora mais um conjunto, qual seja:
Classes fi
0 |--- 10 1
10|--- 20 2
20|--- 30 3
30|--- 40 4
40|--- 50 6
50|--- 60 7
60|--- 70 8
70|--- 80 15
80|--- 90 11
90|--- 100 6
100|--- 110 2
Para esta Distribuição de Freqüências, teríamos o seguinte Histograma:

ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 5 de 10
Daí, se marcarmos os Pontos Médios de cada classe na parte superior dos
retângulos; se traçarmos retas unindo esses pontos e construirmos o Polígono de
Freqüências; se, enfim, aproximarmos as retas do Polígono de Frequencias para
uma Curva de Freqüências, ficaríamos aproximadamente com o seguinte:
O que temos que aprender agora é o seguinte: as duas Curvas de
Freqüências que traçamos acima, para as duas Distribuições de Freqüências
assimétricas, representam exatamente as duas situações de assimetria possíveis!
Para melhor distingüir essas duas situações, observaremos o seguinte:
haverá, em cada caso, um lado da curva que tende mais para a direção
horizontal, enquanto o outro lado tende mais para a vertical. O que faremos é
simples: colocaremos uma setinha no lado que tende para a horizontal, e daí
teremos o nome da nossa assimetria! Vejamos:
ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 6 de 10

O raciocínio é simples: o lado que tende para a horizontal (setinha
vermelha) aponta para a direita! Logo, estamos diante de uma Distribuição
Assimétrica à Direita, ou de Assimetria Positiva!
No outro caso, teremos:
Aqui, o lado que tende para a horizontal (setinha vermelha) aponta para a
esquerda! Concluímos: estamos diante de uma Distribuição Assimétrica à Esquerda
ou de Assimetria Negativa!
Estamos quase chegando aos “finalmentes”! Só nos resta agora memorizar
três frases curtas e simples (as Três Frases Mágicas), quais sejam:
1 o ) A seta puxa a Média!
2 o ) A Moda está no topo!
3 o ) A Mediana está no meio!
Ora, estas frases traduzem as características destas três Medidas de
Posição. Claro! A Média é sempre influenciada por valores extremos, os quais
são “atraídos pela seta”. A Moda é o elemento de maior freqüência, e a maior
freqüência está no topo (no ponto mais alto da curva!). A Mediana está sempre
no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais! Daí, transpondo as três
frases mágicas para nossos gráficos, teremos que:
ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 7 de 10

Moda< Mediana< Média
Ou seja: sempre que a Média for maior que a Mediana, e esta for maior que
a Moda, estaremos diante de uma Distribuição Assimétrica à Direita, ou de
Assimetria Positiva!
Teremos ainda que:
Média < Mediana < Moda
Traduzindo: quando tivermos a situação em que a Moda for maior que a
Mediana, e esta maior que a Média, estaremos diante de uma Distribuição
Assimétrica à Esquerda, ou de Assimetria Negativa!
Percebamos que, nesta aula, nosso objetivo não é o de aprendermos a
calcular os índices de Assimetria! Isso será objeto de uma aula futura (se Deus
quiser!). Por hora, nossa meta consiste simplesmente em conhecermos o
comportamento das Medidas de Tendência Central, nos casos de Distribuições de
Freqüências Assimétricas à Direita e à Esquerda!
Finalmente, quando a distribuição for simétrica, conforme já vimos no
início desta aula, teremos que Média, Moda e Mediana serão coincidentes,
conforme a Curva de Freqüências abaixo:
Média=Mediana=Moda
ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 8 de 10
Que outras observações podemos fazer acerca destes três gráficos
conclusivos?

1 o ) Quando a distribuição for assimétrica, a Mediana estará sempre
entre a Média e a Moda;
2 o ) Só será necessário conhecermos os valores de duas medidas de
tendência central para sabermos se a distribuição é assimétrica positiva ou
negativa.
Particularmente, eu prefiro encontrar Média e Moda. Daí:
Se a Média for maior que a Moda, a seta apontará para a direita
(lembremos que “a seta puxa a Média” e que o valor maior fica sempre na
direita!), logo o conjunto é de assimetria positiva (assimétrico à direita!);
Se a Média for menor que a Moda, a seta estará apontando para a
esquerda, logo teremos uma assimetria negativa (ou à esquerda!).
Confesso, com toda honestidade, que em todas as provas que fiz de
Estatística (sobretudo as de AFRF!) sempre desenhei os três gráficos que
aprendemos hoje! São rápidos de se fazer, e nos garantem uma questão!
E que questão é essa? É a do tipo que pergunta não o valor do índice de
assimetria, mas apenas se a distribuição é simétrica, se é assimétrica à
esquerda ou se é assimétrica á direita! Daí, só temos que calcular duas medidas
de tendência central, compará-las lembrando das três frases mágicas, e acertar
a questão! Facílimo!
# Relação Empírica de Pearson:
Aprenderemos agora uma nova fórmula, na verdade uma relação entre Média,
Moda e Mediana, desenvolvida pelo matemático Karl Pearson.
Esta relação tem algumas particularidades! A rigor, para efeito de prova,
não a utilizaremos para calcular as Medidas de Posição, a não ser,
naturalmente, que o enunciado da questão o exija!! Até hoje isso não aconteceu!
É a seguinte a Relação Empírica de Pearson:
X - Mo = 3( X - Md)
Por meio desta relação, se conhecermos duas das medidas (Média e Moda, ou
Média e Mediana, ou Moda e Mediana) teremos condições de calcular a terceira!
Ocorre que, como já foi dito, tal relação não será utilizada por nós na
prova, exceto se esta determinação estiver explícita no enunciado da questão!
Quais seriam as particularidades e condições para aplicação desta relação
empírica? São os seguintes:
1 o ) Só se aplicaria a distribuições de freqüência quase simétricas, ou
seja, de fraca assimetria;
2 o ) Só se aplicaria a conjuntos unimodais, ou seja, que apresentam
apenas uma Moda;
3 o ) Só se aplicaria se o conjunto tivesse um número de elementos n
bastante elevado.
ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 9 de 10
E o mais importante: todas essas condições acima elencadas para a
aplicação da relação empírica de Pearson ainda não lhe conferem uma
característica de exatidão dos resultados. Em outras palavras: mesmo que as
condições sejam atendidas, a relação de Pearson nos fornecerá apenas uma mera
aproximação do resultado real!

Talvez por isso nunca tenha sido objeto de prova até hoje! Por conta
deste “até hoje”, não podemos deixar de mencionar esta relação! Além do mais,
quando formos aprender como calcular o índice de Assimetria de um conjunto,
voltaremos a recordar esta relação empírica de Pearson!
De teoria é só isso! Passemos aos exercícios propostos para hoje, cujas
resoluções iniciarão nossa próxima aula!
EXERCÍCIOS DE HOJE
Enunciado Único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo,
diga se a distribuição de freqüências é simétrica, ou assimétrica à direita (de
assimetria positiva), ou assimétrica à esquerda (de assimetria negativa).
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
3
5
8
4
2
Xi fi
4
7
11
9
5
2
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
ESTATÍSTICA-Ponto dos concursos *** Ponto 18 - RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 10 de 10
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
7
11
15
9
3
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1

05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
O importante nestes exercícios será a memorização das três Curvas de
Freqüências, características das três situações possíveis de simetria de um
conjunto.
Essa simples teoria pode nos garantir uma questão a mais na prova!
Vou abrir aqui um novo parênteses, pedindo a licença de todos, para dizer que
AGORA É PRA VALER!! Próximo sábado, dia 05 de julho, estaremos iniciando em Fortaleza
nossa turma de Matemática Financeira, cumprindo o programa de Fiscal da Receita, que
por sinal é o mesmo do Fiscal de Fortaleza, cujo edital acabou de sair!! As aulas
acontecerão sempre aos sábados pela manhã, e o local é uma sala que eu próprio
organizei. Infelizmente a sala não é muito grande, de modo que as vagas são,
realmente, limitadas. Começaremos às 8:15h com um mínimo de cinco alunos, ou às 8:30h
com qualquer número de presentes! (Tá igual reunião de condomínio!). Contatos para
pré-inscrição, pelo número (85)91.11.92.21. Quem tiver interesse, por favor ligue com
antecedência para garantir sua vaga. O preço é inacreditavelmente promocional!! Só
vendo!
Nossos planos para as aulas vindouras são os seguintes: simulado estilo
ESAF (elaborado por este que vos escreve), para efeitos de uma revisão
sistemática de tudo o que vimos até aqui. Na seqüência, passaremos às Medidas
Separatrizes e daí às tão ansiosamente esperadas “Medidas de Dispersão”.
Devagar e sempre, a gente chega lá! Tenho pra mim que antes do próximo
AFRF a gente terá condição de cumprir todo o programa e ainda de fazer outros
simulados. Se Deus quiser!
Fico por aqui! Um forte abraço a todos e até a próxima!
1
3
7
11
14
11
7
3
1

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 1 de 14
EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA
Olá, amigos! Hoje nos deteremos com as resoluções dos exercícios que
ficaram da última aula.
E por falar em última aula, recebi um e-mail de uma aluna dizendo-me que
não conseguiu baixá-la, não conseguiu acessá-la! Como eu sei que a proporção de
“alunos que escrevem” para “alunos silenciosos” é de um para dez mil (isso nas
minhas contas!), então fiquei imediatamente preocupado! Será que outros alunos
também tiveram o mesmo problema e não puderam acessar o nosso Ponto 18? Peço,
encarecidamente, que me informem a respeito disto, para que possamos tomar
alguma providência! Obrigado!
E vamos às resoluções!
Enunciado Único para as Questões de 1 a 5: Para cada um dos conjuntos abaixo,
diga se a distribuição de freqüências é simétrica, ou assimétrica à direita (de
assimetria positiva), ou assimétrica à esquerda (de assimetria negativa).
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
3
10 !--- 20
5
20 !--- 30
8
30 !--- 40
4
40 !--- 50
2
Sol.: Vimos na última aula que nos bastará conhecer o valor de duas Medidas de
Tendência Central para responder a esta questão! Fica, portanto, à escolha do
candidato! Normalmente, eu prefiro calcular Média e Moda, mas já que estamos
aqui é para treinar e para fixar os passos todos, iremos determinar, em cada um
desses exercícios, os valores da Média, Moda e Mediana!
Cálculo da Média:
Vamos trabalhar com a Variável Transformada!!
Passo 01) Construir a coluna dos Pontos Médios e a Coluna de Transformação:
Xi fi PM (PM – 5) = Yi
10
0 !--- 10 3 5
0
10 !--- 20 5 15
1
20 !--- 30 8 25
2
30 !--- 40 4 35
3
40 !--- 50 2 45
4
Passo 02) Construir a coluna Yi.fi
Xi fi PM (PM – 5) = Yi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
5
15
25
35
45
10
0
1
2
3
4
Yi.fi
0
5
16
12
8
n=22 41

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 2 de 14
Passo 03) Aplicar a fórmula da Média para a Variável Transformada Yi:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Daí: Y = (41 / 22) E: Y = 1,86
n
Passo 04) Desenhar os Caminhos de Ida e de Volta e encontrar o X
Caminho de Ida
1º)(-5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 1,86
2º)(+5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
Fazendo as contas do Caminho de Volta, teremos:
1 o )(x10) 1,86x10=18,6 e 2º)(+5) 18,6+5=23,6 Daí: X = 23,6
Obs.: Este valor da Média ficará guardado para o final da questão!!
Cálculo da Moda:
Passo 01) Encontrar a Classe Modal (a de maior fi!):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
Classe Modal! (a de maior fi)
Passo 02) Identificar os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Passo 03) Aplicar a fórmula da Moda de Czuber:
3
5
8
4
2
Classe Anterior: Δa=8-5 Δa=3
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=8-4 Δp=4
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 3 ⎞
Daí: Mo = 20 + ⎜ ⎟⋅10
E: Mo=24,28
⎝ 3 + 4 ⎠
ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 3 de 14

Obs.: Também guardaremos este valor para a análise final!
Cálculo da Mediana:
Passo
01) Achar a Classe Mediana:
Logo, teremos: n=22 e (n/2)=11
Daí:
Daí:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
n=22
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
n=22
3
8
16
20
22
3
5
8
4
2
n=22
3
8
16
20
22
3 é ≥ 11? NÃO!
8 é ≥ 11? NÃO!
16 é ≥ 11? SIM!
E determinamos que nossa Classe Mediana é a terceira classe!
Passo 02) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡11− 8⎤
= inf +
⋅ h Md = 20 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 8 ⎥
Daí: Md=23,75
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Análise da Relação Média-Moda-Mediana:
Pois bem! Agora dispomos dos três valores: Média, Moda e Mediana! Só teremos
que compará-los! Encontramos que:
X = 23,6 Md=23,75 Mo=24,28

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 4 de 14
O procedimento é muito simples: colocamos os três valores na ordem
crescente, como fizemos acima. Depois raciocinaremos assim: quem vai nos dizer
a resposta é a Média ( X ), que estará ou à esquerda ou à direita dos valores!
Da seguinte forma:
Se a Média estiver à esquerda, a Distribuição é Assimétrica à Esquerda,
ou de Assimetria Negativa!
Se a Média estiver à direita, a Distribuição é Assimétrica à Direita,
ou de Assimetria Positiva!
Neste caso, temos Média à esquerda, logo concluímos: a Distribuição é de
Assimetria Negativa (Curva Assimétrica à Esquerda!).
Observemos que se houvéssemos determinado apenas Média e Moda, o
raciocínio seria o mesmo: colocaríamos ambos os valores em ordem crescente e a
resposta seria determinada pela posição da Média – à esquerda ou à direita! Só
isso!
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Sol.:
Cálculo da Média:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
Passo
01) Construir a coluna dos PM e a Coluna de Transformação:
Passo 02) Construir a coluna Yi.fi
4
7
11
9
5
2
Xi fi PM (PM-7,5)= Yi
15
0 !--- 15 4 7,5
0
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
7
11
9
5
2
22,5
37,5
52,5
67,5
82,5
1
2
3
4
5
Xi fi PM (PM-7,5)= Yi
15
Yi.fi
0 !--- 15 4 7,5
0
0
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
7
11
9
5
2
22,5
37,5
52,5
67,5
82,5
1
2
3
4
5
7
22
27
20
10
n=38 86

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 5 de 14
Passo 03) Aplicar a fórmula da Média para a Variável Transformada Yi:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Ficaremos com: Y = (86/38) E: Y =2,26
n
Passo 04) Desenhar os Caminhos de Ida e de Volta e encontrar o X
Daí, teremos:
Caminho de Ida
1º)(-7,5) e 2º)(÷15)
X =? Xi Yi Y = 2,26
2º)(+7,5) e 1º)(x15)
Caminho de Volta
1º)(x15) 2,26x15=33,9 e 2º)(+7,5) 33,9+7,5=41,4 Daí: X = 41,4
Cálculo da Moda:
Passo 01) Encontrar a Classe Modal (a de maior fi!):
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
Classe Modal! (a de maior fi)
Passo
02) Identificar os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
Passo 03) Aplicar a fórmula da Moda de Czuber:
Classe Anterior: Δa=11-7 Δa=4
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=11-9 Δp=2
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf
+ ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 6 de 14
⎛ 4 ⎞
Daí: Mo = 30 + ⎜ ⎟⋅15
E: Mo=40,0 Resposta!
⎝ 4 + 2 ⎠
Obs.: Somente até aqui, pela determinação da Média e da Moda, já somos capazes
de “matar a questão!”. Ou seja, já temos elementos suficientes para dizer se a
distribuição é assimétrica à esquerda ou à direita. Todavia, para não perder a
oportunidade, calculemos também o valor da Mediana!
Cálculo da Mediana:
Passo
01) Achar a Classe Mediana:
Logo: n=38 e (n/2)=19
Daí:
Daí:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
n=38
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
Xi fi fac↓
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
4
11
22
31
36
38
4
7
11
9
5
2
n=38
4
11
22
31
36
38
4 é ≥ 19? NÃO!
11 é ≥ 19? NÃO!
22 é ≥ 19? SIM!
n=38
Portanto, achamos a Classe Mediana, que é a terceira: (30 !-- 45)!
Passo 02) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡19 −11⎤
= inf +
⋅ h Md = 30 + ⋅15
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 11 ⎥
Daí: Md=40,9
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 7 de 14
Análise da Relação Média-Moda-Mediana:
Colocando os valores encontrados em ordem crescente, teremos:
Mo=40,0 Md=40,9 X = 41,4
Então perguntamos: A Média X está à esquerda ou à direita dos valores? Como a
resposta é “à direita”, concluímos: estamos diante de uma Distribuição de
Freqüências Assimétrica à Direita, ou de Assimetria Positiva!
03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Sol.:
Cálculo da Média:
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
Passo 01) Construir a coluna dos PM e a Coluna de Transformação:
Passo 02) Construir a coluna Yi.fi
7
11
15
9
3
Xi fi PM (PM-3,5)= Yi
7
0 !--- 7 7 3,5
0
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
11
15
9
3
10,5
17,5
24,5
31,5
1
2
3
4
Xi fi PM (PM-3,5)= Yi
7
Yi.fi
0 !--- 7 7 3,5
0
0
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
11
15
9
3
10,5
17,5
24,5
31,5
1
2
3
4
11
30
27
12
n=45 80
Passo 03) Aplicar a fórmula da Média para a Variável Transformada Yi:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(80/45) Y =1,77
n
Passo 04) Desenhar os Caminhos de Ida e de Volta e encontrar o X

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 8 de 14
Caminho de Ida
1º)(-3,5) e 2º)(÷7)
X =? Xi Yi Y = 1,77
2º)(+3,5) e 1º)(x7)
Caminho de Volta
Percorrendo o caminho de volta, partindo do Y = 1,77, teremos:
Cálculo da Moda:
1º)(x7) 1,77x7=12,4 e 2º)(+3,5) 12,4+3,5=15,9 X = 15,9
Passo
01) Encontrar a Classe Modal (a de maior fi!):
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
Para a qual teremos: linf=14 e h=7
Classe Modal! (a de maior fi)
Passo
02) Identificar os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
Passo 03) Aplicar a fórmula da Moda de Czuber:
Classe Anterior: Δa=15-11 Δa=4
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=15-9 Δp=6
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 4 ⎞
Daí: Mo = 14 + ⎜ ⎟⋅
7 E: Mo=16,8
⎝ 4 + 6 ⎠

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 9 de 14
Cálculo da Mediana:
Passo 01) Achar a Classe Mediana:
Teremos: n=45 e (n/2)=22,5
Daí:
Daí:
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
n=45
Xi fi fac↓
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
Xi fi fac↓
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
7
11
15
9
3
n=45
7
18
33
42
45
7
11
15
9
3
n=45
7
18
33
42
45
7 é ≥ 22,5? NÃO!
18 é ≥ 22,5? NÃO!
33 é ≥ 22,5? SIM!
Achamos, portanto, que nossa Classe Mediana é a terceira: (14!--21)!
Passo
02) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡22, 5 −18⎤
= inf +
⋅ h Md = 14 + ⋅ 7
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 15 ⎥
Daí: Md=16,1
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Análise da Relação Média-Moda-Mediana:
Colocando os valores encontrados em ordem crescente, teremos:
X = 15,9 Md=16,1 Mo=16,8

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 10 de 14
Novamente perguntamos: A Média X está à esquerda ou à direita dos valores?
Como a resposta é “à esquerda”, não nos restará nenhuma dúvida: estamos diante
de uma Distribuição de Freqüências Assimétrica à Esquerda, ou de Assimetria
Negativa!
Quero novamente frisar o seguinte: na hora da prova, só teremos que
conhecer duas medidas de tendência central (Média e Moda, ou Média e Mediana,
ou Moda e Mediana) para chegarmos a esta resposta!!
No caso em que conheçamos a Média e uma outra medida (Moda ou Mediana),
apenas lembraremos que a posição da Média é quem define a resposta: Média à
esquerda, Assimetria à esquerda; Média à direita, Assimetria à Direita!
No caso em que conheçamos os valores da Moda e da Mediana, lembraremos
apenas que a Mediana estará sempre entre a Moda e a Média. Daí, já saberemos
localizar a Média e definir a resposta da questão.
Por exemplo, se a Moda for maior que a Mediana, colocando-as na ordem
crescente, teremos: Md Mo.
Ora, se “a Mediana está no meio” (frase mágica da última aula!) então a
posição da Média não poderia ser outra: Média Md Mo. Daí, concluiríamos: o
conjunto seria assimétrico à esquerda!
Se a Mediana, por outro lado, for maior que a Moda, colocando-as em ordem
crescente, teríamos: Mo Md.
Uma vez que “a Mediana está no meio”, entre Média e Moda, a posição da
Média só poderia ser a seguinte: Mo Md Média. Daí, concluímos: é uma
distribuição assimétrica à direita (ou de assimetria positiva)!
Ficou claro?
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Sol.:
Cálculo da Média:
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Passo 01) Construir a coluna dos PM e a Coluna de Transformação:
Xi fi PM (PM-14,5)= Yi
10
9,5 !--- 19,5 4 14,5
0
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
6
7
2
1
24,5
34,5
44,5
54,5
1
2
3
4
4
6
7
2
1

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 11 de 14
Passo 02) Construir a coluna Yi.fi
Xi fi PM (PM-14,5)= Yi
10
Yi.fi
9,5 !--- 19,5 4 14,5
0
0
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
6
7
2
1
24,5
34,5
44,5
54,5
1
2
3
4
6
14
6
4
n=20 30
Passo 03) Aplicar a fórmula da Média para a Variável Transformada Yi:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(30/20) Y =1,5
n
Passo 04) Desenhar os Caminhos de Ida e de Volta e encontrar o X
Caminho de Ida
1º)(-14,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 1,5
2º)(+14,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
Daí, percorrendo o Caminho de Volta, teremos:
1º)(x10) 1,5x10=15,0 e 2º)(+14,5) 15,0+14,5=29,5 X = 29,5
Cálculo da Moda:
Passo 01) Encontrar a Classe Modal (a de maior fi!):
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1
Para a qual teremos: linf=29,5 e h=10
Classe Modal! (a de maior fi)
Passo 02) Identificar os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1
Classe Anterior: Δa=7-6 Δa=1
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=7-2 Δp=5

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 12 de 14
Passo 03) Aplicar a fórmula da Moda de Czuber:
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 1 ⎞
Daí: Mo = 29, 5 + ⎜ ⎟ ⋅10
E: Mo=31,17
⎝1
+ 5 ⎠
Cálculo da Mediana:
Passo 01) Achar a Classe Mediana:
Achamos que: n=20 e (n/2)=10
Daí:
Daí:
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1
n=20
Xi fi fac↓
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Xi fi Fac↓
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
4
6
7
2
1
4
10
17
19
20
4
6
7
2
1
n=20
4
10
17
19
20
4 é ≥ 10? NÃO!
10 é ≥ 10? SIM!
É o quê? É IGUAL!!
n=20
De acordo com a 2 a Regra de Ouro da Mediana que aprendemos, quando a
resposta às perguntas acima for “SIM” e o valor da fac for exatamente IGUAL ao
valor de (n/2), já afirmaremos que a Mediana será o limite superior da classe
correspondente! Estamos todos lembrados disso?
Daí: Md=29,5
Caso não nos lembremos desta Dica de Ouro (o que será uma lástima!), só
nos restará aplicar a fórmula da Mediana! E teremos:
Passo
02) Aplicar a fórmula da Mediana!

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 13 de 14
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡20 − 4⎤
= inf +
⋅ h Md = 19, 5 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 6 ⎥
Daí: Md=29,5
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Análise da Relação Média-Moda-Mediana:
Colocando os valores encontrados em ordem crescente, teremos:
X = 29,5 Md=29,5 Mo=31,17
Aqui surgiu um caso interessante! Vemos que a Média e a Mediana têm o
mesmo valor! Este é um caso extremo (e pouco comum!) e quando acontecer, no
momento desta análise, apenas colocaremos a Mediana no meio, entre a Média e a
Moda, exatamente como já vínhamos fazendo!
Daí, só nos restará fazer a pergunta de praxe: A Média X está à esquerda
ou à direita dos valores? Como a resposta é “à esquerda”, novamente concluímos:
estamos diante de uma Distribuição de Freqüências Assimétrica à Esquerda, ou de
Assimetria Negativa!
05. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
Sol.:
Na realidade esta questão está aqui apenas como “figurante”! É claro que
antes de começarmos a encontrar os valores das Medidas de Tendência Central,
nossa primeira preocupação será verificar – pela análise da coluna da fi – se a
distribuição é simétrica ou não!
E aí já matamos a charada! Estamos diante de uma distribuição de
freqüências simétrica! Concluímos, pois, que Média, Moda e Mediana terão o
mesmo valor. Como neste caso temos um número ímpar de classes, as três medidas
serão iguais ao Ponto Médio da classe intermediária.
Ou seja:
X = Md = Mo = 75
Por hoje é só! Na próxima aula (espero que amanhã!), faremos nosso
primeiro simulado, envolvendo questões que abrangem tudo o que foi visto até
aqui!
1
3
7
11
14
11
7
3
1

ESTATÍSTICA *** Ponto 19 - EXERCÍCIOS DA RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MODA E MEDIANA*** Pág. 14 de 14
Quero dizer a todos da imensa satisfação que senti ontem, ao abrir a
página do Site e encontrar a foto do novo colaborador do Ponto, o meu velho e
grande amigo Prof. João Antônio. (Já havia feito referência a ele, no final do
Ponto 11, quando mandei uma série de abraços!).
Quando eu ainda morava no Recife, o bom Deus me concedeu a alegria de
conhecer o João e de nos tornarmos próximos, como se fôssemos irmãos!
Amizades à parte, vocês todos terão a oportunidade de desfrutar do
profundo conhecimento de Informática que ele possui e, sobretudo, irão usufruir
do seu magnífico dom de transmitir a matéria, de forma a torná-la descomplicada
e agradável!
Joãozinho, meu irmão, um abraço imenso deste que sempre torceu e continua
torcendo pelo seu sucesso, mais que merecido! Que Deus o ilumine sempre mais!
Estamos todos de parabéns com sua chegada! Essa minha aula de hoje eu a dedico
a você. Seja bem-vindo!
Agora aos alunos silenciosos: por favor, não esqueçam de me escrever
avisando se houve problemas para acessar a aula passada (Ponto 18). É
importante que todos os que vêm acompanhando nosso curso não percam nenhuma
aula! Estou aguardando a resposta de vocês.
Quero ainda agradecer ao Prof. Vicente, pela referência que fez em seu
último Ponto, sobre a boa aceitação que têm tido minhas aulas por todo o País.
Fico sinceramente muito feliz e muito grato pelo retorno carinhoso que tenho
recebido de todos. Espero continuar ajudando da melhor forma possível!
Fico hoje por aqui! Um forte abraço a todos e até a próxima!

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 1 de 9
SIMULADO Nº01
IMPORTANTE: LEIA A PÁGINA 2 ANTES DE COMEÇAR A RESOLVER O SIMULADO!!
O enunciado abaixo aplica-se às questões 01 a 05:
Realizou-se uma pesquisa com os funcionários de uma determinada fábrica,
questionando-se acerca do peso dos operários, no intuito de se implementar um
certo “programa de orientação alimentar” naquela empresa. Os resultados obtidos
foram dispostos na tabela abaixo. Considere-se que a coluna S se refere a uma
freqüência acumulada.
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
S
200
185
125
53
10
2
01. Determine o valor correspondente ao peso médio deste conjunto:
a) 68,42 d) 71,13
b) 73,25 e) 69,05
c) 78,42
02. Determine o percentual de operários com peso acima de 60 e abaixo de 100
quilogramas:
a) 69,7% d) 72,4%
b) 75,8% e) 71,3%
c) 63,8%
03. Determine o valor correspondente à Moda do conjunto:
a) 64,32 b) 69,89 c) 84,25 d) 82,11 e) 63,69
04. Determine para o conjunto o peso que corresponde ao valor do segundo
quartil:
a) 67,38 b) 72,45 c) 70,71 d) 68,62 e) 73,24
05. Assinale a assertiva correta:
a) O conjunto apresenta assimetria negativa, ou curva assimétrica à
direita;
b) O conjunto apresenta assimetria positiva, ou curva assimétrica à
esquerda;
c) O conjunto é perfeitamente simétrico;
d) O conjunto apresenta curva assimétrica à esquerda, ou assimetria
negativa;
e) O conjunto apresenta curva assimétrica à direita, ou assimetria
positiva.

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 2 de 9
Obs.: LEIA AGORA, ANTES DE RESOLVER AS QUESTÕES!!
Olá, meus amigos! Desculpem a ausência nesses últimos dias! Também me
entristeço muito quando não consigo colocar as aulas aqui no Site com a
freqüência que desejaria! Mas, “devagar e sempre” a gente chega lá...
Conforme prometido na última aula, prosseguiremos hoje fazendo um pequeno
simulado – algumas questões que eu criei – e que abrangem os assuntos vistos até
aqui. Acredito na eficácia dos bons simulados, pois eles têm o condão de dar
confiança ao aluno.
O ideal é que cada um tire um tempinho para resolver essas questões, como
se estivesse mesmo fazendo a prova. Convém marcar o tempo de resolução, somente
para efeito de saber como anda nossa velocidade!! Não haverá limite de tempo para
esse primeiro simulado. Entenda-se: você irá marcar o tempo gasto para resolver
tudo, porém esse tempo é livre! Ao final das questões, direi algo sobre o tempo
ideal para a resolução desse teste.
Propositadamente, eu deixei as questões do simulado na página 01, para que
vocês possam imprimi-la e resolvê-la, sem ter a tentação de ficar olhando as
resoluções das questões, que seguirão abaixo!
Isso não é cinema, mas não esqueçam de desligar seus celulares antes de
começar a resolver o simulado! Podem começar a prova e boa sorte a todos!
Obs.: LEIA DEPOIS, QUANDO TERMINAR DE RESOLVER AS QUESTÕES!!
Pronto! Só isso. Muitos de vocês podem até pensar assim: “essa demora
toda para colocar o simulado, e quando coloca é só isso?” E eu respondo: se vocês
tiverem acertado as cinco questões acima, sem dificuldades, e sem maiores
problemas, então meu objetivo está sendo alcançado!
E eu explico a razão: normalmente, dentre as questões de uma prova de
Estatística da ESAF, pelo menos três das primeiras são extremamente parecidas com
estas apresentadas acima! Ora, concluímos pois que já conseguimos “matar” algo em
torno de 40% da prova!! E ainda estamos na aula 20! Quando virmos, nas próximas
aulas, as medidas separatrizes e as medidas de dispersão, este percentual subirá
para 80%!
Talvez muitos não estejam se dando conta, mas aos pouquinhos vamos
“fechar” toda a prova.
Seguem agora o gabarito do simulado e as resoluções detalhadas das
questões!
GABARITO) 01)D 02)A 03)B 04)C 05)E
RESOLUÇÃO DO SIMULADO
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
S
200
185
125
53
10
2

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 3 de 9
Questão 01) Sol.:
A questão pede que se determine a Média do conjunto! Sabemos, porém, que a
Média (bem como as outras medidas de posição) só poderá ser encontrada após
construirmos a coluna da freqüência absoluta simples, fi! O primeiro passo,
portanto, seria descobrir qual foi esta coluna S fornecida pelo enunciado e, a
partir desta, chegarmos à fi!
E o enunciado foi explícito, ao afirmar que “a coluna S se refere a uma
freqüência acumulada”. Primeira pergunta: será uma freqüência absoluta ou
relativa? Uma vez que inexiste qualquer “sinal” que nos indique se tratar de uma
freqüência relativa, concluímos que estamos diante de uma coluna de freqüência
absoluta!
Para saber se a freqüência é acumulada crescente ou decrescente, basta
olhar para os valores da coluna, e verificar se estão aumentando ou diminuindo.
Uma vez que os valores estão se reduzindo, concluímos: a coluna S é uma coluna de
freqüência absoluta acumulada decrescente – fad!
Com esta descoberta, já podemos tratar a coluna pela nomenclatura que
conhecemos. Teremos, então:
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
Partindo da fad e seguindo o caminho das pedras pelo sentido de volta,
encontraremos a coluna da fi, lembrando que ambas as colunas terão o mesmo valor
na última classe. Na seqüência, faremos sempre: “próxima fad menos fad anterior”,
e assim construiremos a nossa fi. Teremos, portanto:
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
Feito isso, usaremos o processo da Variável Transformada para determinar a
Média! Para tanto, encontraremos a coluna dos Pontos Médios dessa distribuição de
freqüências. Teremos:
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
fad↑
200
185
125
53
10
2
fad↑
200
185
125
53
10
2
fi
15
60
72
43
8
2
fad↑ fi PM
200
185
125
53
10
2
Observemos que para construir essa coluna dos Pontos Médios, só tivemos que
calcular o primeiro PM, fazendo: PM=(linf+lsup)/2. Daí, encontramos que:
PM=(35,5+50,5)/2 E: PM=86/2 E: PM=43.
15
60
72
43
8
2
43
58
73
88
103
118

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 4 de 9
Na seqüência, saímos apenas somando o PM com o valor do h (Amplitude da
Classe!). Neste caso, temos que h=15. Foi só sair somando!
Continuando a resolução, o próximo passo seria construir a Coluna de
Transformação! Todos lembrados? A sugestão para construir essa coluna é sempre a
mesma: 1 o ) Fazer (PM-1 o PM) 2 o )Dividir por h. Daí, teremos:
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
fad↑ fi PM (PM-43)=Yi
15
200 15 43
0
185 60 58
1
125 72 73
2
53 43 88
3
10 8 103
4
2 2 118
5
Prosseguindo, construiremos a coluna do (Yi.fi), para fim de determinarmos
a Média da Variável Transformada Yi. Teremos:
Peso dos
operários (Kg) fad↑ fi PM (PM-43)=Yi
15
Yi.fi
35,5 !--- 50,5 200 15 43
0
0
50,5 !--- 65,5 185 60 58
1
60
65,5 !--- 80,5 125 72 73
2
144
80,5 !--- 95,5 53 43 88
3
129
95,5 !--- 110,5 10 8 103 4
32
110,5 !--- 125,5 2 2 118 5
10
n=200 375
Agora restava aplicar a fórmula da Média para a Variável Transformada, para
encontrarmos que:
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
∑Yi. fi
Y
n
⎡375⎤
Y =
⎢
⎣200⎥
E: Y = 1,88
⎦
Neste momento, precisaríamos nos lembrar dos Caminhos de Ida e de Volta que
utilizamos para sair da variável original e chegar à variável transformada, e
desta retornar à primeira! Teremos que:
Caminho de Ida
1º)(-43) e 2º)(÷15)
X =? Xi Yi Y = 1,88
2º)(+43) e 1º)(x15)
Caminho de Volta
Daí, percorrendo o Caminho de Volta, sempre nos recordando das propriedades
da Média, que é influenciada pelas quatro operações matemáticas, teremos:
1º)(x15) 1,88x15=28,13 e 2º)(+43) 28,13+43=71,13 que é nosso X !
Daí: X = 71,13 Resposta da Questão! Opção D

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 5 de 9
Questão 02) Sol.:
A questão pede que se determine o percentual de operários com peso acima de
60 e abaixo de 100kg! Como se deseja um valor percentual, imediatamente
raciocinamos que teremos que trabalhar com a freqüência relativa, Fi! Daí, nosso
primeiro passo será esse: construir a coluna da freqüência relativa simples!
Teremos:
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
fi Fi
15
60
72
43
8
2
7,5%
30%
36%
21,5%
4%
1%
Observemos que para construir a coluna da Fi, usamos apenas a relação que
há entre as duas freqüências simples: a absoluta fi e a relativa Fi. E a relação
é a seguinte: Fi=fi/n
Ora, ao começarmos a fazer nossas contas, verificamos que o resultado seria
sempre a divisão do fi por 2, acrescido do sinal de porcentagem! Senão, vejamos:
Para a 1 a Classe Fi = 15 / 200 = 0,075 = 7,5%
Para a 2 a Classe Fi = 60 / 200 = 0,30 = 30%
... e assim por diante!
Feito isso, vamos descobrir quais as classes que participarão desta
resposta, seja integralmente, seja parcialmente! Teremos:
Peso dos
operários (Kg)
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
fi Fi
15
60
72
43
8
2
7,5%
30%
36%
21,5%
4%
1%
participa parcialmente da resposta!
participa integralmente da resposta!
participa integralmente da resposta!
participa parcialmente da resposta!
Teremos que nos preocupar com as duas classes que participarão apenas
parcialmente do resultado final! Como são duas, teremos que fazer duas regras-detrês,
para descobrir o percentual de participação de cada uma dessas classes!
Trabalho com a 2 a Classe (50,5 !-- 65,5):
O raciocínio é o seguinte: a classe toda tem amplitude h=15 e Fi=30%. A
amplitude desejada nesse caso envolverá apenas os valores maiores que 60. Ora,
maiores que 60, teremos os valores de 60 a 65,5. Ou seja, para a questão nos
interessará trabalhar nesta classe com uma amplitude “quebrada”, de 5,5. (Uma vez
que 65,5-60=5,5). Daí, nossa regra de três será a seguinte:
h Fi
15 --- 30%
5,5 --- X%

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 6 de 9
Assim, encontraremos que:
X = (5,5.30)/15 E: X=11%
Ou seja: a segunda classe participará da resposta com apenas 11% dos elementos do
conjunto!
Trabalhando com a 5ª Classe (95,5 !— 110,5):
O raciocínio é semelhante. Na primeira linha da regra de três, trabalhamos
com a classe inteira, ou seja, a amplitude “integral” e a freqüência relativa
“integral” da classe! Assim, nossa primeira linha sera:
15 --- 4%
A segunda linha da regra de três levará em conta a classe “quebrada”, de
acordo com o que pede o enunciado. E a questão pede percentual abaixo de 100 kg.
Abaixp de 100kg na quinta classe, teremos os valores de 95,5 a 100. Logo, a
amplitude desejada pela questão para esta classe neste momento será a diferença
(100 menos 95,5), ou seja: 4,5! Daí, nossa segunda linha será a seguinte:
4,5 --- Y%
Agora a regra de três completa:
15 --- 4%
4,5 --- Y%
Daí: Y=(4,5.4)/15 E: Y=1,2%
Ou seja: desta quinta classe, apenas 1,2% participará da resposta!
Finalmente, juntando as participações das quatro classes no resultado
pretendido, teremos que:
Segunda classe: (50,5|--- 65,5) 11% elementos (X=11%)
Terceira classe:(65,5|--- 80,5) 36% dos elementos (Fi=36%)
Quarta classe: (80,5|--- 95,5) 21,5% dos elementos (Fi=21,5%)
Quinta classe: (95,5|--- 110,5) 1,2% dos elementos (Y=1,2%)
-----------------------
Total do percentual de elementos: 69,7% elementos
Daí: Resposta da questão = 69,7% Opção A
Questão 03) Sol.:
A questão pede o cálculo da Moda! Como não foi especificada qual das duas
fórmulas deve ser empregada – Czuber ou King – utilizaremos o método de Czuber!
Isso o faremos sempre que o enunciado silenciar acerca da fórmula a ser
utilizada! Ou seja: a regra é Czuber; a exceção é King, quando vier explicitado
no enunciado!
Só tínhamos aqui que seguir aqueles passos já nossos conhecidos!

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 7 de 9
i) Determinação da Classe Modal:
Xi fi
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
15
60
72
43
8
2
Para a qual teremos: linf=65,5 e h=15
ii) Elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
15
60
72
43
8
2
iii) Cálculo da Moda de Czuber:
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
Classe Modal! (a de maior fi)
Classe Anterior: Δa=72-60 Δa=12
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=72-43 Δp=29
⎛ 12 ⎞
Daí: Mo = 65, 5 + ⎜ ⎟ ⋅15
E: Mo=69,89 Resposta! Opção B.
⎝12
+ 29 ⎠
Acontece, porém, que nada deste trabalho seria necessário!! Bastava colocar
o olho na coluna da fi, descobrir que a Classe Modal era a terceira (uma vez que
apresentava a maior fi) e observar o seguinte: a Classe Modal vai de 65,5 a 80,5,
logo a Moda tem, necessariamente, que estar incluída neste intervalo!! Olhando
rapidamente as opções de resposta, concluiríamos que a única resposta possível
seria a opção B (69,89), por ser o único valor inserido no intervalo da Classe
Modal! Traduzindo: essa questão se faz em 20 segundos! (Ou menos!).
Questão 04) Sol.:
A questão pede o cálculo do Segundo Quartil! Já aprendemos que a Mediana
tem “outros nomes”, e que será coincidente com algumas outras Medidas
Separatrizes. Só teríamos que recordar que:
Mediana = 2 o Quartil = 5 o Decil = 50 o Percentil
Em suma: o enunciado está pedindo o valor da Mediana! Daí, não tem segredo!
Basta seguirmos os passos já aprendidos! Teremos:

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 8 de 9
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Logo: n=200 e (n/2)=100
2 o Passo) Construir a fac!
Xi fi
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
15
60
72
43
8
2
n=200
Xi fi fac↓
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
15
60
72
43
8
2
n=200
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2), usando a
pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi fi fac↓
35,5 !--- 50,5
50,5 !--- 65,5
65,5 !--- 80,5
80,5 !--- 95,5
95,5 !--- 110,5
110,5 !--- 125,5
15
60
72
43
8
2
n=200
15
75
147
190
198
200
15
75
147
190
198
200
15 é ≥ 100? NÃO!
75 é ≥ 100? NÃO!
147 é ≥ 100? SIM!
Daí, achamos a Classe Mediana, que é a terceira: (60,5 !-- 80,5)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − facANT
⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡100 − 75⎤
= inf +
⋅ h Md = 65, 5 + ⋅15
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 72 ⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
Daí: Md=70,71 Resposta! Opção C.
Ocorre que, também nesta questão, se formos atentos, não precisaremos fazer
conta nenhuma!! Claro que não! Aprendemos, há bem pouco tempo, que existe uma
relação entre os valores das Medidas de Posição e o comportamento da assimetria
do conjunto! Estamos lembrados disso?

ESTATÍSTICA *** Ponto 20 – SIMULADO 01 *** Pág. 9 de 9
E vimos que existem três situações quanto à assimetria de uma distribuição:
1ª) Distribuição Simétrica: Média = Moda = Mediana
2ª) Distribuição Assimétrica Positiva: Moda < Mediana < Média
3ª) Distribuição Assimétrica Negativa: Média < Mediana < Moda.
Ora, aprendemos já há várias aulas (Ponto 10) que é muito fácil identificar
quando a distribuição é simétrica! Basta analisar a coluna da fi, usando a
Técnica do Elevador (subindo e descendo um andar e coisa e tal). Imediatamente
verificamos que nossa distribuição não é simétrica, restando pois as duas
situações de assimetria – positiva ou negativa.
Conforme acabamos de ver, nestas duas situações de assimetria, teremos que
o valor da Mediana é sempre intermediário, ou seja, estará entre os valores da
Média e da Moda! Ora, nas questões 01 e 03 deste simulado, já encontramos os
valores da Média e da Moda! São eles: Média = 71,13 e Moda=69,89.
Conclusão: o valor da Mediana só poderá estar entre estes limites, ou seja,
entre 69,89 e 71,13 (Moda e Média, respectivamente!). Analisando as opções de
resposta, matamos a charada: a única resposta com valor no intervalo acima será a
opção C, que é exatamente 70,71. Todas as demais respostas ou estavam abaixo de
69,89 ou acima de 71,13!
Em suma: levaríamos algo em torno de 40 segundos para acertar essa questão!
Questão 05) Sol.:
Esta questão já está praticamente resolvida, pela explicação que fizemos
acima (para a questão 04)!
Para identificarmos a situação de assimetria do conjunto, só teremos que
comparar os valores de duas medidas de posição! Neste caso, já dispomos das três
medidas, então as utilizaremos, colocando-as em ordem crescente. Ficamos assim:
Moda=69,89 Mediana=70,71 Média = 71,13
Daí, recordaremos que a Média é quem dita a resposta: Média na direita
implica curva assimétrica à direita; Média na esquerda implica curva assimétrica
à esquerda.
Concluímos, portanto, que nosso conjunto apresenta Assimetria Positiva, ou
Curva Assimétrica à Direita! Resposta! Opção E.
Ficamos hoje por aqui! Cada um fará sua análise, de como se saiu no
simulado, questionando-se se conseguiu se lembrar dos detalhes todos, das
fórmulas, dos passos, enfim, se os procedimentos das resoluções já estão viajando
pela corrente sangüínea. Caso isso ainda não tenha acontecido, minha recomendação
é de uma nova revisão! E das boas! Principalmente porque estaremos ingressando
nas Medidas de Dispersão, e o volume de informações que vamos receber aumentará
consideravelmente!
Desejo a todos, portanto, uma boa revisão! Um forte abraço e até a próxima!

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 1 de 15
MEDIDAS SEPARATRIZES
Olá, meus amigos! Todos bem? Como nos saímos no simulado? Até o momento
não tive nenhum retorno sobre isso...! Hoje, veremos com mais detalhes as
Medidas Separatrizes - último passo antes de adentrarmos no estudo das Medidas
de Dispersão.
Em uma aula passada (Ponto 15), quando iniciamos o estudo da Mediana, já
havíamos feito as primeiras considerações acerca das Medidas Separatrizes,
afirmando que são também Medidas de Posição (assim como as Medidas de Tendência
Central - Média, Moda e Mediana!). Vimos também que a Mediana classifica-se
tanto como medida de tendência central, quanto como medida separatriz, e que as
separatrizes - como o próprio nome sugere - são aquelas medidas que "separam"
ou que dividem o conjunto em um certo número de partes iguais.
No caso da Mediana, vimos que ela divide o conjunto em duas metades. Já o
Quartil, separa o conjunto em quatro partes iguais; o Decil, em dez partes e,
finalmente, o Centil (ou Percentil), em cem partes iguais!
Recordando disso, lembraremos também que aprendemos uma relação
importantíssima entre as quatro Medidas Separatrizes. Na verdade é uma relação
até visual, que não precisamos fazer esforço para "decorar", bastando traçar
uma reta (que representará o conjunto), e depois fazer as divisões, exatamente
como mostramos no Ponto 15 e transcrevemos abaixo:
!-------------------!-------------------!
Md
!---------!---------!---------!---------!
Q1 Q2 Q3
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90
Daí, concluímos sem maiores dificuldades que:
Md = Q2 = D5 = C50
A Mediana já sabemos como calcular! E as outras medidas separatrizes?
Aprenderemos agora!
# Determinação do Quartil
Já sabemos que para dividir um conjunto em quatro partes iguais,
precisamos marcar três pontos apenas (como vimos no desenho acima!). Portanto,
já sabemos que existem três quartis, os quais designaremos por Q1 (primeiro
quartil), Q2 (segundo quartil) e Q3 (terceiro quartil).

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 2 de 15
Quando estudamos a Mediana, vimos que as questões que exigiam o cálculo
desta medida costumavam dizer apenas algo como "determine o valor da Mediana
deste conjunto" (e só!). Isso porque existe somente uma Mediana! Porém, em se
tratando do Quartil, o enunciado jamais poderia dizer apenas "determine o valor
do Quartil". Se assim o fizesse, ficaria no ar a pergunta: "Qual deles?". Se
existem três quartis, uma questão de prova teria, logicamente, que explicitar
qual deles está exigindo.
Ocorre que, normalmente, as provas da ESAF não contemplam as Medidas
Separatrizes como uma questão exclusiva. Explicando melhor: não costuma cair
uma questão exigindo que se calcule este ou aquele quartil, este ou aquele
decil... O que se pede é que se determine, por exemplo, o coeficiente
percentílico de Assimetria, ou o coeficiente percentílico de Curtose. Ainda nem
estudamos esses assuntos - Assimetria e Curtose -, mas já posso adiantar que na
determinação desses referidos coeficientes, se fará necessário o conhecimento
das Medidas Separatrizes!
Em suma: os quartis, decis e percentis serão, normalmente, calculados como
um meio para se chegar ao fim desejado pelo enunciado. Este fim será,
provavelmente, um coeficiente de Assimetria ou de Curtose (assuntos que veremos
em breve!).
Outra coisa importante: quem sabe calcular a Mediana, fatalmente não terá
dificuldades em aprender a determinar as outras medidas separatrizes! Daremos
ênfase à determinação do Quartil, Decil e Percentil no âmbito das Distribuições
de Freqüências, que é a forma comumente exigida em prova.
Lembremos de como se acha a Mediana para uma Distribuição de Freqüências!
Por primeiro, temos que encontrar a Classe Mediana. Para isso, fazemos a conta
(n/2) - independentemente de n ser um valor par ou ímpar - e depois comparamos
este valor (n/2) com os valores da coluna de freqüência absoluta acumulada
crescente (fac), fazendo a pergunta de praxe que aprendemos: "esta fac é maior
ou igual a (n/2)?". Repetiremos a pergunta até que a resposta seja afirmativa.
Daí, a classe correspondente será a classe Mediana.
# Calculando o Primeiro Quartil - Q1:
Pois bem! Para calcular o primeiro quartil, temos antes que determinar
qual será a Classe do Primeiro Quartil!
Lembremos que no caso da Mediana, a primeira conta que fazíamos era (n/2)!
Dividíamos o n por 2, exatamente porque a Mediana divide o conjunto em duas
partes! Agora, sabemos que o Quartil divide o conjunto em quatro partes!
Portanto, a conta que faremos (para o primeiro quartil) é a seguinte:
(n/4)
Para fazer esta conta, também não nos preocuparemos se n é um valor par ou
ímpar (da mesma forma da Mediana!). Feita esta continha, passaremos a comparar
seu resultado com os valores da fac, exatamente da mesma forma que fizemos para
achar a Classe Mediana! A pergunta, agora adaptada ao Quartil, será a seguinte:
Esta fac é maior ou igual a (n/4)?
Enquanto a resposta for negativa, passaremos para a classe seguinte, e
repetiremos a pergunta, até o momento em que a resposta for SIM! Ao chegarmos à

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 3 de 15
resposta afirmativa, pararemos e procuraremos a classe correspondente. Esta
será a Classe do Primeiro Quartil! Ou seja, será desta classe que iremos
extrair os dados para usar na fórmula do Q1!
Vejamos que, até aqui, a única diferença observada nos passos para achar o
Quartil e a Mediana, foi que agora fazemos (n/4) - em vez de (n/2) - e
comparamos este (n/4) com a coluna da fac!
Uma vez constatada qual é a Classe do Primeiro Quartil, só nos restará
aplicar a fórmula! A facilidade em se memorizar a fórmula do Q1 é absoluta!
Vamos recordar a fórmula da Mediana:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
Agora é só pensar o seguinte: o que mudou até aqui para o Quartil foi que
(n/2) passou a ser (n/4). Então também será apenas isso que irá mudar na
fórmula. Daí, o primeiro quartil será determinado por:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Q l ⎢⎝
4
1 = inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
Ora, esta fórmula nos fala em limite inferior (linf), nos fala em
amplitude da classe (h), além de duas freqüências - fi e facANT. A única coisa
que teremos que lembrar é que todos esses dados serão retirados, tomando como
referência a Classe do Primeiro Quartil.
Em suma, os passos para determinação do Q1 de um conjunto serão os
seguintes:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (n/4) (independentemente de n ser par ou ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (n/4) com os valores da fac, iniciando da fac da
primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (n/4)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do Primeiro Quartil.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q1, extraindo os dados desta
classe do Q1, que acabamos de encontrar! Novamente a fórmula:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4
1 = inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Só isso! Vamos a um exemplo!
Exemplo: Para o conjunto abaixo, determine o valor do primeiro quartil!
ANT
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 4 de 15
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):
2
5
8
6
3
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/4)=6
2º Passo) Construímos a fac:
2
5
8
6
3
n=24
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta
de praxe, adaptada ao primeiro quartil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
2
7
15
21
24
2 é maior ou igual a 6? NÃO!
7 é maior ou igual a 6? SIM!
Como a resposta foi afirmativa na segunda fac, procuramos a classe
correspondente (10 !--- 20) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro
Quartil!
4º Passo) Só nos resta agora aplicar a fórmula do Primeiro Quartil, tomando
como referência a Classe do Q1, que acabamos de encontrar! Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡6 − 2⎤
1 = inf +
⋅ h Q 1 = 10 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 5 ⎥
E: Q1=18
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 5 de 15
Somente isso!
# Calculando o Segundo Quartil e o Terceiro Quartil:
A determinação do Q2 e do Q3 é semelhante à do Q1, com uma pequena
diferença! É preciso sabermos do seguinte:
O que irá ser alterado na determinação do cálculo destas medidas separatrizes é
exatamente aquela fração que aparece no numerador da fórmula!
No caso da Mediana, a fração é (n/2); No caso do primeiro quartil, é
(n/4). E nos demais quartis, como será?
Para o segundo quartil, repete-se o (n/4) do primeiro quartil e põe-se um
algarismo 2 (de Q2) no numerador, junto ao n! Assim, teremos:
Fração do Segundo Quartil: Q2 (2n/4) = (n/2)
Daí, a fórmula do Segundo Quartil - Q2 - é a seguinte:
⎡⎛
2n
⎞ ⎤
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
2 = inf +
⎠ ⎥ ⋅ h Ou seja: Q l ⎢⎝
2
2 = inf +
⎠ ⎥ ⋅ h = Mediana!
⎢ fi ⎥
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
E disso já sabíamos: o Segundo Quartil é a própria Mediana! Portanto, não
vacilaremos na prova! Se o enunciado da questão fornecer um conjunto, e
solicitar que determinemos o Q2, não nos restará qualquer dúvida: calcularemos
a Mediana!
Já no caso do terceiro quartil, repete-se o (n/4) do primeiro quartil e
põe-se um algarismo 3 (de Q3) no numerador, ao lado do n! Teremos, pois:
Fração do Terceiro Quartil: Q3 (3n/4)
Daí, a fórmula que empregaremos para determinar o Terceiro Quartil será a
seguinte:
⎡⎛
3n
⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Q l ⎢⎝
4
3 = inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
Ora, conhecer a fração que consta na fórmula da Medida Separatriz implica
conhecer também o primeiro passo para encontrá-la!
Senão vejamos: no cálculo da Mediana, calculávamos o valor de (n/2); no
cálculo do Primeiro Quartil, calculávamos o valor de (n/4).
Por mera dedução, o primeiro passo para encontrarmos o valor do Terceiro
Quartil será exatamente calcularmos o valor de (3n/4)!
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦

STATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 6 de 15
Os passos para determinação do Q3 serão, portanto, os seguintes:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (3n/4) (independentemente de n ser par ou
ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (3n/4) com os valores da fac, iniciando da fac da
primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (3n/4)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do Terceiro Quartil.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q3, extraindo os dados desta
classe do Q1, que acabamos de encontrar! Novamente a fórmula:
⎡⎛
3n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4
3 = inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Neste momento, vocês todos que são bons observadores já perceberam que a
única diferença verificada nos passos descritos para calcularmos o Primeiro e o
Terceiro Quartil consiste naquela fração presente no numerador da fórmula de
cada Medida Separatriz!
Já perceberam também que esta fração é quem define tudo! Claro! Ela será o
valor de referência, que utilizaremos para realizar a comparação com a coluna
da freqüência absoluta acumulada crescente (fac), para efeitos de encontrarmos
a Classe da Medida Separatriz, ou seja, a classe que usaremos para lançar os
dados na fórmula!!
Façamos um exemplo para cálculo do Q3!
Exemplo: Para o conjunto abaixo, determine o valor do terceiro quartil!
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):
2
5
8
6
3
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (3n/4)=18
2
5
8
6
3
n=24

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 7 de 15
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
2
7
15
21
24
2 é maior ou igual a 18? NÃO!
7 é maior ou igual a 18? NÃO!
15 é maior ou igual a 18? NÃO!
21 é maior ou igual a 18? SIM!
Como a resposta SIM surgiu na fac da quarta classe (30 !--- 40), diremos que
esta será nossa Classe do Terceiro Quartil!
4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do Q3, que
acabamos de identificar!
⎡⎛
3n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡18 − 15⎤
3 = inf +
⋅ h Q 3 = 30 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢ 6 ⎥
E: Q3=35
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Simplesmente isso!
# Calculando o Primeiro Decil - D1:
Vamos lá! Como já aprendemos aqui, o Decil dividirá o conjunto em dez
partes iguais! Daí, a fração que constará no numerador da fórmula do Primeiro
Decil será justamente (n/10)!
Daí, faremos o seguinte: independentemente de n ser um valor par ou ímpar,
calcularemos o valor de (n/10) e compararemos este valor com a coluna da fac! A
nossa pergunta de praxe, agora adaptada ao Primeiro Decil será: "esta fac é
maior ou igual a (n/10)?".
E por que faremos isso? Porque precisamos encontrar a Classe do Primeiro
Decil! Ou seja, precisamos identificar a classe da qual extrairemos os dados
para utilizarmos na fórmula do D1!

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 8 de 15
Quando encontrarmos a Classe do D1, só teremos que aplicar a fórmula do
D1. Creio que já estamos matando a charada! A fórmula do D1 será igual à da
Mediana, com uma única diferença! Qual? Em lugar de (n/2), aparecerá a fração
(n/10), uma vez que o Decil divide o conjunto em dez partes iguais!
Estamos percebendo que os passos todos se identificam, quando se trata de
determinarmos as Medidas Separatrizes!
Serão, portanto, os seguintes passos adotados para cálculo do Primeiro
Decil:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (n/10) (independentemente de n ser par ou ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (n/10) com os valores da fac, iniciando da fac da
primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (n/10)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do Terceiro Quartil.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q3, extraindo os dados desta
classe do Q1, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠
1 = inf +
⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Vamos a um exemplo!
Exemplo: Para o conjunto abaixo, determine o valor do primeiro decil!
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):
2
5
8
6
3
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/10)=2,4
2
5
8
6
3
n=24

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 9 de 15
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
2
7
15
21
24
2 é maior ou igual a 2,4? NÃO!
7 é maior ou igual a 2,4? SIM!
Achamos, portanto, que a classe correspondente (10 !--- 20) será nossa Classe
do Primeiro Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡2, 4 − 2⎤
1 = inf +
⋅ h D 1 = 10 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢ 5 ⎥
E: D1=10,8
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Somente isso!
# Calculando os Outros Decis - D2 a D9:
Creio que já estamos quase prontos para generalizar o nosso entendimento
sobre as Medidas Separatrizes! Vejamos apenas o que haverá de novo na
determinação dos demais Decis!
Já sabemos que o que diferencia uma Medida Separatriz de outra, para fins
de cáldulo, é aquela fração que aparece no numerador da fórmula! Para o
Primeiro Decil (D1), essa fração é (n/10), conforme vimos acima! E para os
demais Decis, qual será a fração de cada um deles?
Para o segundo Decil, repete-se o (n/10) do primeiro decil e põe-se um
algarismo 2 (de D2) no numerador, junto ao n! Assim, teremos:
Fração do Segundo Decil: D2 (2n/10)
Logo, para sabermos a fórmula do D2, basta repetir a fórmula da Mediana e,
em lugar do (n/2), usarmos o (2n/10)! Teremos:

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 10 de 15
⎡⎛
2n
⎞
⎢⎜
⎟ − fac
D l ⎢⎝
10 ⎠
2 = inf +
⎢ fi
⎢
⎣
Para o terceiro Decil, repete-se o (n/10) do primeiro decil e põe-se um
algarismo 3 (de D3) no numerador, junto ao n! Assim, teremos:
Fração do Terceiro Decil: D3 (3n/10)
Daí, concluímos que a fórmula do D3 será a fórmula da Mediana com a
seguinte alteração: em lugar do (n/2), usarmos o (3n/10)! Teremos:
⎡⎛
3n
⎞
⎢⎜
⎟ − fac
D l ⎢⎝
10 ⎠
3 = inf +
⎢ fi
⎢
⎣
E assim por diante! Ou seja, o que irá mudar nas fórmulas dos nove Decis
será apenas a fração do numerador! Seguindo o mesmo raciocínio, teremos que as
frações próprias dos próximos Decis serão as seguintes:
Fração do Quarto Decil: D4 à (4n/10)
Fração do Quinto Decil: D5 à (5n/10)
Fração do Sexto Decil: D6 à (6n/10)
Fração do Sétimo Decil: D7 à (7n/10)
Fração do Oitavo Decil: D8 à (8n/10)
Fração do Nono Decil: D9 à (9n/10)
Então, traçaremos os passos para determinação de qualquer um dos Decis!
Usaremos o artifício de substituir o número do Decil por X, de forma que
encontraremos o X-ésimo Decil, ok? Os passos são os seguintes:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (Xn/10) (independentemente de n ser par ou
ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/10) com os valores da fac, iniciando da fac
da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (Xn/10)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Decil, ou seja, a Classe do
DX.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do DX, extraindo os dados desta
classe do DX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
Xn ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
DX l ⎢⎝
10 ⎠
= inf
+
⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
ANT
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 11 de 15
Aproveitemos o ensejo para mais um exemplo!
Exemplo: Para o conjunto abaixo, determine o valor do nono decil!
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):
2
5
8
6
3
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/10)=21,6
2º Passo) Construímos a fac:
2
5
8
6
3
n=24
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
2
7
15
21
24
2 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
7 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
15 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
21 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
24 é maior ou igual a 21,6? SIM!
Achamos, portanto, que a classe correspondente (40 !--- 50) será nossa Classe
do Nono Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil:

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 12 de 15
⎡⎛
9n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡21, 6 − 21⎤
9 = inf +
⋅ h D 9 = 40 +
⋅10
⎢ fi ⎥
⎢ 3 ⎥
E: D9=42,0
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
E é só!
# Calculando os Percentis:
Restaram agora os Percentis! Lembraremos que o Percentil (ou Centil)
dividirá o conjunto em cem partes iguais! Por analogia, já podemos concluir que
a fração do numerador da fórmula para o Primeiro Centil será (n/100)! E para os
demais Percentis, teremos que:
Fração do Segundo Percentil: P2 (2n/100)
Fração do Terceiro Percentil: P3 (3n/100)
Fração do Quarto Percentil: P4 (4n/100)
.
Fração do Nonagésimo Percentil: P90 (90n/100)
.
Fração do Nonagésimo Oitavo Percentil: P98 (98n/100)
Fração do Nonagésimo Nono Percentil: P99 (99n/100)
Daí, a seqüência de passos que usaremos para determinar os Percentis,
usando o mesmo artifício para encontrarmos o X-ésimo Percentil - o PX, será a
seguinte:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (Xn/100) (independentemente de n ser par ou
ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/100) com os valores da fac, iniciando da fac
da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (Xn/100)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Centil, ou seja, a Classe
do PX.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do PX, extraindo os dados desta
classe do PX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
Xn ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
PX l ⎢⎝
100 ⎠
= inf +
⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
É isso!
Reparem que fizemos quatro exemplos nesta aula, nos quais determinamos os
valores do Q1 (Primeiro Quartil), Q3 (Terceiro Quartil), D1 (Primeiro Decil) e
⎦

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 13 de 15
D9 (Nono Decil)! Isso não foi feito por acaso! Quando chegarmos mais adiante na
matéria, e formos estudar os Coeficientes Percentílicos de Assimetria e de
Curtose, ou mesmo antes disso, já nas Medidas de Dispersão (quando veremos a
"Amplitude Semi-interquartílica"), constataremos que essas quatro Medidas
Separatrizes - Q1 e Q3, D1 e D9 - nos serão necessárias!
Para encerrar esta aula e tornar o entendimento mais fácil, repetiremos
nas páginas seguintes o resumo dos passos para determinação das Medidas
Separatrizes e, na seqüência, o "dever de casa" (aposto que estavam com
saudades, hein?).
RESUMO - MEDIDAS SEPARATRIZES
# Mediana:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (n/2) (independentemente de n ser par ou ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (n/2) com os valores da fac, iniciando da fac da
primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (n/2)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe Mediana.
Finalmente, aplicaremos a fórmula da Md, extraindo os dados desta
classe da Mediana, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − facANT
⎥
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎣
⎥
⎦
# Quartis: (Para Determinação do X-ésimo Quartil - QX)
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (Xn/4) (independentemente de n ser par ou
ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/4) com os valores da fac, iniciando da fac da
primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (Xn/4)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Quartil, ou seja, a Classe
do QX.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do QX, extraindo os dados desta
classe do QX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
Xn ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
QX l ⎢⎝
4 ⎠
= inf +
⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
# Decis: (Para Determinação do X-ésimo Decil - DX)
Determinamos o n (somando a coluna da fi);

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 14 de 15
Calculamos o valor de (Xn/10) (independentemente de n ser par ou
ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/10) com os valores da fac, iniciando da fac
da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (Xn/10)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Decil, ou seja, a Classe do
DX.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do DX, extraindo os dados desta
classe do DX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
Xn ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
DX l ⎢⎝
10 ⎠
= inf +
⎢ fi
⎢
⎣
# Percentis: (Para Determinação do X-ésimo Percentil - PX)
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (Xn/100) (independentemente de n ser par ou
ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/100) com os valores da fac, iniciando da fac
da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte pergunta: "esta fac é
maior ou igual a (Xn/100)?". Se a resposta for NÃO, passamos à fac da classe
seguinte. Quando a resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Centil, ou seja, a Classe
do PX.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do PX, extraindo os dados desta
classe do PX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
Xn ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
PX l ⎢⎝
100 ⎠
= inf +
⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
Ok! De teoria por hoje é só! Fiquemos agora com os...
...EXERCÍCIOS DE HOJE
01. Determine para o conjunto abaixo os valores do Primeiro Quartil, Terceiro
Quartil, Primeiro Decil e Nono Decil:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6

ESTATÍSTICA *** Ponto 21 – MEDIDAS SEPARATRIZES *** Pág. 15 de 15
02. Utilizando-se do enunciado abaixo, determine os valores do Primeiro
Quartil, Terceiro Quartil, Primeiro Decil e Nono Decil:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Ok, meus amigos! Hoje ficaremos mesmo por aqui!
Vocês me dão licença para duas palavrinhas? Como vocês puderam ver, estive
ausente por uns dias... Recebi vários e vários e-mails, de alunos de todos os
cantos, perguntando pelas aulas e se eu os havia abandonado... Mas é lógico que
isso sequer se passou pela minha cabeça! Ocorre que nesses dias eu estava de
mudança! Mudança de cidade, mudança de vida! E quem já mudou sabe o trabalho
que é isso...
Estive, realmente, sem condições de colocar as aulas como de praxe. E isso
me deixou aperreado (como se diz aqui no Nordeste!). Infelizmente, as coisas
não saem sempre como a gente planeja... Sábado passado, eu iniciei a elaboração
desta aula de hoje; já estava na última página, quando ocorreu um desses “erros
fatais” e eu simplesmente perdi tudo! Passei mais de hora tentando recuperar o
arquivo, mas em vão! O jeito foi recomeçar e refazer tudinho! Espero que valha
a pena esta mão-de-obra, e que vocês aproveitem bem esta teoria!
Um abraço forte a todos! E até a próxima!

ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 1 de 18
MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01
Olá, amigos! Como estão todos? Parece que, finalmente, é chegado o
momento de iniciarmos o estudo das tão esperadas Medidas de Dispersão! Antes
disso, como é de praxe, começaremos resolvendo as questões que ficaram da
aula passada! Vamos a elas!
01. Determine para o conjunto abaixo os valores do Primeiro Quartil, Terceiro
Quartil, Primeiro Decil e Nono Decil:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
Sol.:
Começando pelo Primeiro Quartil, teremos apenas que seguir aqueles
passos que já conhecemos!
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
Daí, achamos que n=48, portanto, (n/4)=12
2º Passo) Construímos a fac:
4
13
15
10
6
n=48
4
13
15
10
6
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
4
17
32
42
48
4
17
32
42
48
4 é maior ou igual a 12? NÃO!
17 é maior ou igual a 12? SIM!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 2 de 18
Como a resposta foi afirmativa na segunda fac, procuramos a classe
correspondente (15 !--- 30) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro
Quartil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como referência a
Classe do Q1! Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡12 − 4⎤
1 = inf +
⋅ h Q 1 = 15 + ⋅15
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 13 ⎥
E: Q1=24,2
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Cálculo do Terceiro Quartil: Q3!
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
Daí, achamos que n=48 e, portanto, (3n/4)=36
2º Passo) Construímos a fac:
4
13
15
10
6
n=48
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=24
4
17
32
42
48
4
17
32
42
48
4 é maior ou igual a 36? NÃO!
17 é maior ou igual a 36? NÃO!
32 é maior ou igual a 36? NÃO!
42 é maior ou igual a 36? SIM!
Como a resposta SIM surgiu na fac da quarta classe (45 !--- 60), diremos que
esta será nossa Classe do Terceiro Quartil!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 3 de 18
4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do Q3, que
acabamos de identificar!
⎡⎛
3n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡36 − 32⎤
3 = inf +
⋅ h Q 3 = 45 + ⋅15
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 10 ⎥
E: Q3=51
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Cálculo do Primeiro Decil: D1!
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
Daí, achamos que n=48 e, portanto, (n/10)=4,8
2º Passo) Construímos a fac:
4
13
15
10
6
n=48
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
4
17
32
42
48
4
17
32
42
48
4 é maior ou igual a 4,8? NÃO!
17 é maior ou igual a 4,8? SIM!
Achamos, portanto, que a classe correspondente (15 !--- 30) será nossa Classe
do Primeiro Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 4 de 18
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡4, 8 − 4⎤
1 = inf +
⋅ h D 1 = 15 + ⋅15
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 13 ⎥
E: D1=15,9
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9:
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
Daí, achamos que n=48 e, portanto, (9n/10)=43,2
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:
Xi fi fac
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
4
17
32
42
48
4
17
32
42
48
4 é maior ou igual a 43,2? NÃO!
17 é maior ou igual a 43,2? NÃO!
32 é maior ou igual a 43,2? NÃO!
42 é maior ou igual a 43,2? NÃO!
48 é maior ou igual a 43,2? SIM!
Achamos, portanto, que a classe correspondente (60 !--- 75) será nossa Classe
do Nono Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 5 de 18
⎡⎛
9n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡43, 2 − 42⎤
9 = inf +
⋅ h D 9 = 60 + ⋅15
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 6 ⎥
E: D9=63,0
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Segunda Questão) Utilizando-se do enunciado abaixo, determine os valores do
Primeiro Quartil, Terceiro Quartil, Primeiro Decil e Nono Decil:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X),
foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa.
Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a
freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os
extremos das classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Sol.:
Em relação a este enunciado, já estamos até cansados de saber que
teremos de fazer todo um trabalho preliminar, a fim de chegarmos à classe da
freqüência absoluta simples – a fi!
Estes passos preliminares já foram exaustivamente estudados em nossas
aulas iniciais (fizemos essa questão, inclusive!), de forma que já colocarei
aqui as colunas de freqüência as quais chegaremos, ok? Qualquer dúvida (ou
para refrescar a memória, basta dar uma olhada no Ponto xx)!
Ficaremos com:
Agora, mãos à obra!
Cálculo do Primeiro Quartil – Q1:
Classes Fac Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 6 de 18
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50
2º Passo) Construímos a fac:
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 50? NÃO!
30 é maior ou igual a 50? NÃO!
80 é maior ou igual a 50? SIM!
Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe
correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do
Primeiro Quartil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como referência a
Classe do Q1! Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡50 − 30⎤
1 = inf +
⋅ h Q 1 = 110 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 50 ⎥
E: Q1=118,0
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 7 de 18
Cálculo do Terceiro Quartil: Q3!
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
Xi fi
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150
2º Passo) Construímos a fac:
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 150? NÃO!
30 é maior ou igual a 150? NÃO!
80 é maior ou igual a 150? NÃO!
140 é maior ou igual a 150? NÃO!
170 é maior ou igual a 150? SIM!
Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos
que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil!
4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do Q3, que
acabamos de identificar!
⎡⎛
3n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡150 −140⎤
3 = inf +
⋅ h Q 3 = 150 +
⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 30 ⎥
E: Q3=156,6
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 8 de 18
Cálculo do Primeiro Decil: D1!
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=20
2º Passo) Construímos a fac:
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 20? NÃO!
30 é maior ou igual a 20? SIM!
Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa
Classe do Primeiro Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡20 −10⎤
1 = inf +
⋅ h D 1 = 90 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 20 ⎥
E: D1=100,0
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9:
ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 9 de 18
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Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180
2º Passo) Construímos a fac:
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10), fazendo a
pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:
Xi fi fac
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 180? NÃO!
30 é maior ou igual a 180? NÃO!
80 é maior ou igual a 180? NÃO!
140 é maior ou igual a 180? NÃO!
170 é maior ou igual a 180? NÃO!
190 é maior ou igual a 180? SIM!
Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa
Classe do Nono Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil:
⎡⎛
9n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡180 −170⎤
9 = inf +
⋅ h D 9 = 170 +
⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 20 ⎥
E: D9=180
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Obs.: Esta segunda questão foi extraída do AFRF-2002.1. Quando chegarmos ao
estudo da Medida de Curtose, verificaremos que todo este trabalho foi exigido
por um enunciado desta referida prova! Veremos isso a seu tempo!
ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 10 de 18
Página 9 de 18

Agora, daremos início de fato ao estudo das Medidas de Dispersão. Por
ser um assunto um tanto extenso, teremos que, à semelhança do que fizemos com
as Medidas de Posição, dividi-lo em várias aulas!
# Medidas de Dispersão:
Como professor de Estatística para concursos, constantemente tenho
observado que um dos maiores entraves sofridos por boa parte dos alunos diz
respeito a uma necessidade (normalmente não suprida) da compreensão do
significado das medidas estudadas.
Nosso cérebro assimila melhor aquilo que compreende. Inúmeras vezes me
fizeram perguntas do tipo: “Para que servem essas medidas de dispersão?” Ora:
”Para ganhar alguns pontinhos a mais na prova” seria uma resposta
possível..., mas creio que muito pouco convincente! Melhor mesmo é criar
alguns exemplos elucidativos! Vamos a eles.
O cálculo das Medidas de Dispersão serve, a rigor, para nos dar uma
informação mais completa acerca do conjunto que estamos estudando.
Para início de compreensão, “dispersão” pode ser entendida (a grosso
modo) como “afastamento” ou “distanciamento”! Quando estudamos a dispersão de
um conjunto, na verdade estamos querendo saber se seus elementos estão se
distribuindo de uma forma mais “próxima” ou mais “distante”! Ora, esses
parâmetros – proximidade e afastamento – obviamente só podem ser analisados
se tomarmos por base um ponto de referência. Este referencial, conforme
veremos adiante, será (quase sempre)a própria Média do conjunto!
Vamos a um exemplo prático!
Suponhamos que uma determinada empresa contratou dois estagiários de
engenharia mecânica (a minha área!), pré-concludentes, para avaliar o
desempenho de ambos, com vistas a uma futura efetivação no cargo de
engenheiro de projetos. O critério de avaliação é baseado no número de
projetos de novas peças apresentados por mês, por cada um deles, em um
período de seis meses. O resultado observado foi o seguinte:
FIRMINO = {3, 8, 12, 15, 3, 1}
RIVELINO = {6, 7, 8, 8, 7, 6}
Ora, se formos calcular a Média da produção dos dois estagiários,
observaremos que ambos tiveram o mesmo resultado. Senão, vejamos:
Média (Firmino)
Média (Rivelino)
( 3 + 8 + 12 + 15 + 3 + 1)
6
( 6 + 7 + 8 + 8 + 7 + 6)
6
42
= = 7
6
42
= = 7
6
Ou seja, de acordo com a Medida de Posição que analisamos, ambos tiveram
um desempenho semelhante, alcançando a Média de 7 projetos/mês!
Todavia, se lançarmos um olhar mais apurado sobre a produção de cada
estagiário, facilmente observaremos que o colega Firmino teve um desempenho
mais inconstante, de forma que seus resultados mensais sofreram uma variação
de 1 (um) projeto até 15 (quinze). Em outras palavras, seus resultados estão
mais “dispersos”, mais afastados em relação à Média!
Página 10 de 18

ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 11 de 18
Já no caso do colega Rivelino, este manteve um desempenho quase que
constante, de modo que sua produção mensal variou apenas entre 6 (seis) e 8
(oito) projetos! A dispersão verificada nos resultados deste último
estagiário foi bem menor, o que confere a esse funcionário, neste exemplo,
uma característica de maior constância, bastante desejável pela diretoria da
empresa!
Esta conclusão a que chegamos acima não nos seria possível pelo mero
cálculo das Medidas de Posição! Somente a análise das Medidas de Dispersão
nos poderia tê-la fornecido! Destarte, conforme já dissemos, as Medidas de
Dispersão complementam as informações a respeito do conjunto analisado, nos
dando uma visão mais completa deste!
Passemos às primeiras
Medidas de Dispersão!
# Amplitude Total: (AT)
A Amplitude Total, considerada uma Medida de Dispersão (a mais simples
de todas), já é nossa velha conhecida! Foi objeto de estudo em uma de nossas
primeiras aulas, quando vimos com detalhes os elementos de uma Distribuição
de Freqüências!
Se puxarmos pela memória, recordaremos que adotamos a palavra
“amplitude” como sinônimo de “tamanho”! (Lembram-se?). Daí, a Amplitude Total
representaria o tamanho do conjunto inteiro! Somente isso!
Em suma: a Amplitude Total será a diferença entre o maior e o menor
elemento do nosso conjunto!
Amplitude Total para um Rol:
Facílimo! (Dispensa até maiores comentários!).
Exemplo: Consideremos o conjunto seguinte:
{2, 3, 3, 5, 7, 11, 12, 12, 15, 18, 22}
Maior elemento = 22
Menor elemento = 2
Daí: AT = (22 – 2) AT=20
Amplitude Total para Dados Tabulados:
Também sem nenhum segredo!
Exemplo: Determine a Amplitude Total do conjunto abaixo:
Maior elemento = 8
Menor elemento = 1
Daí: AT = (8 – 1) AT=7
Xi fi
1
3
5
6
8
2
5
7
4
1
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 12 de 18
Amplitude Total para Distribuição de Freqüências:
Igualmente fácil! Vejamos o conjunto abaixo:
Maior elemento = 70
Menor elemento = 10
Daí: AT = (70 – 10) AT=60
Xi fi
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
A Amplitude Total não é uma boa forma para analisarmos a dispersão de um
conjunto, tendo em vista que só leva em consideração os seus valores
extremos, nada informando acerca dos demais elementos. Tem, portanto, este
forte inconveniente!
De fato, não me recordo de nenhuma questão de prova solicitando que se
determine a Amplitude Total de um conjunto... Quem sabe não será no próximo
concurso que você irá prestar? É torcer para cair e partir para o abraço!
# Desvio Quartílico (ou Amplitude Semi-interquartílica): Dq
Calma, amigos! Não nos deixemos assustar pelo nome!
O cálculo desta Medida de Dispersão será muito fácil para nós, que
acabamos de estudar (no Ponto 21) as Medidas Separatrizes! Só teremos que nos
lembrar da fórmula que define este Desvio. E é a seguinte:
Dq =
Onde: Q3 é o Terceiro Quartil; e
Q1 é o Primeiro Quartil.
( Q3
− Q1)
Para tentarmos memorizar com mais facilidade, traduziremos Amplitude
Interquartílica como “Amplitude entre os Quartis” e será calculada apenas
como (Q3-Q1). Uma vez que o prefixo “semi” indica “metade”, concluímos que a
“Amplitude Semi-Interquartílica” será determinada (como vimos acima) por
[(Q3-Q1)/2].
A forma de determinação dos Quartis – Q3 e Q1 – já foi bastante
explicitada na aula anterior (e no início desta aula, com a resolução dos
exercícios!).
A propriedade marcante desta Medida de Dispersão é o fato de que o
intervalo compreendido entre os dois valores seguintes – a Mediana subtraída
do Desvio Quartílico e a Mediana somada ao Desvio Quartílico – abrange
aproximadamente 50% (cinqüenta por cento) dos elementos do conjunto! Vamos
visualizar esta propriedade:
2
3
5
8
4
2
1
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 13 de 18
(Md-Dq) Md (Md+Dq)
50%
Ou seja, a área sob a curva e limitada por esses valores (Md-Dq) e (Md+Dq)
abrange, aproximadamente, 50% do total dos elementos do conjunto! Observemos
que esta se trata, em regra, de uma propriedade de aproximação, e não de
exatidão! Tanto mais se aproximará da precisão quanto mais próximo da
simetria for o nosso conjunto. Se o conjunto for perfeitamente simétrico,
então a propriedade deixará de ser aproximativa e passará a ser exata!
Temos, portanto, que o Desvio Quartílico é uma Medida de Dispersão que
toma como elemento de referência a Mediana do conjunto (e não a Média!).
Observamos ainda que a análise da Dispersão por meio deste Desvio não reflete
o comportamento dos elementos do conjunto que estejam aquém do primeiro
quartil (Q1) ou além do terceiro quartil (Q3). Em outras palavras, o valor do
Desvio Quartílico não é influenciado pelos valores extremos do conjunto!
# Desvio Médio Absoluto: DM
Também chamado apenas de Desvio Médio, ou Desvio Absoluto!
É uma Medida de Dispersão que toma como referência para determinação dos
desvios (“afastamentos”) o valor da Média do conjunto! E a característica
marcante desta Medida é que serão considerados os valores absolutos destes
desvios! Daí o nome “Desvio Absoluto”. Vejamos como se calcula o DM!
Desvio Absoluto para o Rol:
Será determinado da seguinte maneira:
Xi X
DM
n
∑ −
=
Exemplo: Determinemos o Desvio Absoluto do conjunto: {1, 3, 5, 7, 9}
1º Passo) Calculamos a Média do conjunto:
X
=
( 1+
3 + 5 + 7 + 9)
5
25
= = 5
5
2º Passo) Construímos o conjunto dos Desvios dos elementos Xi em relação à
Média:
Xi − X = − 4, −2,
0,
2,
4
{ }
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 14 de 18
3º Passo) Tomando os valores do conjunto acima, consideraremos agora apenas
os seus valores absolutos, ou seja, quem estiver negativo passará a ser
positivo:
Xi − X
=
{ 4,
2,
0,
2,
4}
4º Passo) Agora, somaremos os valores do conjunto acima para chegarmos ao
numerador da nossa fórmula! Teremos que:
∑
Xi − X = 12
5º Passo) Finalmente, considerando que nosso conjunto apresenta 5 elementos,
ou seja, n=5, aplicaremos a fórmula do Desvio Médio Absoluto, e encontraremos
que:
Xi X
DM
n
∑ −
12
= DM = = 2,
4 Resposta da Questão!
5
Desvio Absoluto para Dados Tabulados:
Será determinado por:
∑ Xi − X . fi
DM =
n
Observemos que, a transição que se verifica nas fórmulas do Desvio
Absoluto para as três formas de apresentação dos dados (rol, dados tabulados
e distribuição de freqüências) será exatamente a mesma transição que
aprendemos para as fórmulas da Média de um conjunto!
Desse modo, para chegarmos a esta fórmula do DM para Dados Tabulados só
precisamos repetir a fórmula do rol e multiplicarmos por fi o numerador!
Façamos um exemplo.
Exemplo: Calcular o Desvio Absoluto do conjunto abaixo:
Xi fi
1
2
3
4
5
1º Passo) Determinaremos o valor da Média do conjunto. Para tanto,
construiremos a coluna (Xi.fi). Teremos:
1
2
3
2
1
Xi fi Xi.fi
1
2
3
4
5
1
2
3
2
1
1
4
9
8
5
n=9 27
Ainda dentro do 1º passo, aplicaremos a fórmula da Média para Dados
Tabulados, e encontraremos:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 15 de 18
X ∑
=
Xi.
fi
Daí:
2º Passo) Construiremos a coluna Xi- X :
n
Xi fi Xi.fi
1
2
3
4
5
1
2
3
2
1
27
X = E: X = 3
9
1
4
9
8
5
n=9 27
Xi- X
-2
-1
0
1
2
3º Passo) Construiremos a coluna do módulo |Xi- X |. Quem era negativo ficará
positivo! Ficaremos com:
Xi fi Xi.fi
1
2
3
4
5
1
2
3
2
1
1
4
9
8
5
n=9 27
4º Passo) Construiremos a coluna |Xi- X |.fi
Teremos:
Xi- X |Xi- X |
-2
-1
0
1
2
Xi fi Xi.fi Xi- X |Xi- X | |Xi- X |.fi
1
2
3
4
5
1
2
3
2
1
1
4
9
8
5
-2
-1
0
1
2
2
1
0
1
2
n=9 27 8
5º Passo) Aplicaremos, finalmente, a fórmula do Desvio Absoluto! Teremos:
∑ Xi − X . fi
DM =
n
8
DM = E: DM = 0,
89 Resposta da Questão!
9
Desvio Absoluto para Distribuição de Freqüências:
Será determinado por:
∑ PM − X . fi
DM =
n
Mais uma vez se repetiu a mesma transição observada nas fórmulas da
Média! Ao passarmos à fórmula do DM para a Distribuição de Freqüências,
2
1
0
1
2
2
2
0
2
2
Página 15 de 18

ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 16 de 18
deixamos de trabalhar com valores individualizados (Xi) e passamos a
trabalhar com Classes, de modo que não há mais que se falar em Xi, mas em
Ponto Médio (PM), que é o legítimo representante de cada classe!
Exemplo: Determinemos o DM para o conjunto abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
1ºPasso) Determinaremos a Média do conjunto! Ora, propositadamente eu já
forneci um conjunto que não tomasse muito o nosso tempo. Todos enxergaram?
Estamos diante de uma Distribuição Simétrica! (Lembram-se da Técnica do
Elevador? Vide Ponto 10!).
Dessa forma, pela Dica de Ouro da Média e sem necessitar de nenhum
cálculo, sabemos que a Média será o Ponto Médio da Classe Intermediária!
Neste caso, teremos:
X = 25
2º Passo) Construiremos a coluna dos Pontos Médios:
2
3
5
3
2
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3º Passo) Construiremos a coluna PM- X :
2
3
5
3
2
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
3
5
3
2
5
15
25
35
45
5
15
25
35
45
PM- X
-20
-10
0
10
20
4º Passo) Agora, construiremos a coluna do módulo |PM- X |. O efeito, já
sabemos: valores antes negativos ficarão positivos! Teremos:
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
3
5
3
2
5
15
25
35
45
PM- X |PM- X |
-20
-10
0
10
20
20
10
0
10
20
Página 16 de 18

ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 17 de 18
5º Passo) Construiremos a coluna |PM- X |.fi :
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
3
5
3
2
5
15
25
35
45
PM- X |PM- X | |PM- X |.fi
-20
-10
0
10
20
20
10
0
10
20
40
30
0
30
40
n=15 140
6º Passo) Aplicaremos a fórmula do Desvio Absoluto. Teremos:
∑ PM − X . fi
DM = Daí:
n
140
DM = E: DM = 9,
33 Resposta!
15
De teoria por hoje já é o suficiente! Mesmo porque já são três e quinze
da “madruga”... Além do que, como já disse antes, esse assunto Medidas de
Dispersão não será estudado de uma só vez.
Posso dizer-lhes que as Medidas mais “interessantes” ainda estão por
vir, e são justamente o Desvio-Padrão e a Variância – ambas campeãs de
audiência nas provas de concurso!
Só para não perdermos o costume, seguem para vocês se divertirem um
pouco em casa, os nossos...
...EXERCÍCIOS DE HOJE
01. Para o conjunto abaixo, determine o valor do Desvio Quartílico e do
Desvio Médio Absoluto:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
02. Questão extraída do AFRF-2002.2 (A prova mais recente de AFRF!!).
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
4
13
15
10
6
Classes Freqüência (f)
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
4
8
14
20
26
18
10
Página 17 de 18

ESTATÍSTICA *** Ponto 22 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 01 *** Pág. 18 de 18
Assinale a opção que corresponde ao Desvio Absoluto Médio do atributo X:
a) 16,0
b) 17,0
c) 16,6
d) 18,1
e) 13,0
Vocês viram que na página 10 (dez) da aula de hoje, quando estava
explicando com um exemplo prático a idéia do que seriam as Medidas de
Dispersão, eu utilizei aqueles dois nomes: Firmino e Rivelino! E não foi
mero acaso! Firmino e Rivelino são dois dos meus melhores amigos!
Engenheiros Mecânicos como eu, e que durante alguns anos batalharam
comigo na boa e velha UFC (Universidade Federal do Ceará) com os Cálculos
e Físicas da vida... Velhos tempos aqueles!
Apesar dos nossos oito anos de formados, a amizade e o companheirismo
permaneceram! Um abraço fortíssimo a esses dois guerreiros e irmãos! Ao
Firmino, Alessandra e ao pequeno Felipe e ao Rivelino, Sandra e à pequena
Cecília é dedicada esta aula de hoje! Fiquem com Deus e até a próxima!
Página 18 de 18

ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 1 de 20
MEDIDAS DE DISPERSÃO – PARTE 02
Olá, amigos! Todos bem? Espero que sim! Hoje, continuaremos nosso estudo
acerca das Medidas de Dispersão. Como é nosso costume, iniciaremos esta aula com
a resolução dos exercícios que ficaram da última. Espero que tenham conseguido
fazê-los sem maiores dificuldades! Vamos a eles...
01. Para o conjunto abaixo, determine o valor do Desvio Quartílico e do Desvio
Médio Absoluto:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
Sol.:
a)Desvio Quartílico:
Coloquei este conjunto propositadamente, porque já o havíamos trabalhado na
aula de Medidas Separatrizes, e encontramos para ele os valores do Primeiro
Quartil (Q1), Terceiro Quartil (Q3), Primeiro Decil (D1) e Nono Decil (D9). Estes
valores foram encontrados logo no início da última aula (Ponto 22)! Quem quiser,
é só dar uma conferida!
Destarte, determinamos que, para o conjunto acima: Q1=24,2 e Q3=51,0. Daí,
para calcularmos o valor do Desvio Quartílico, só teremos então que aplicar a
fórmula seguinte:
E teremos que:
( Q3
− Q1)
Dq =
2
( 51− 24,
2)
Dq =
2
b)Desvio Médio Absoluto:
Dq =
( Q3
− Q1)
( 26,
5)
2
4
13
15
10
6
Dq = E: Dq=13,25
2
Para acharmos o DM, teremos apenas que percorrer aqueles passos que
aprendemos na aula passada. São os seguintes:
1º Passo) Determinaremos a Média do conjunto!
Para isso, só para não perdermos a oportunidade, vamos utiliz o Método da
Variável Transformada, cujo primeiro passo é construir a coluna dos Pontos
Médios. Teremos:
Xi fi PM
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
7,5
22,5
37,5
52,5
67,5
Página 1 de 20

ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 2 de 20
Daí, na seqüência, construiremos a Coluna de Transformação! Teremos:
Xi fi PM (PM-7,5)=Yi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
7,5
22,5
37,5
52,5
67,5
Agora, construiremos a coluna do (Yi.fi). Ficaremos com:
Xi fi PM (PM-7,5)=Yi
15
Yi.fi
0 !--- 15 4 7,5 0
0
15 !--- 30 13 22,5 1
13
30 !--- 45 15 37,5 2
30
45 !--- 60 10 52,5 3
30
60 !--- 75 6 67,5 4
24
n=48 97
Daí, aplicaremos a fórmula para determinarmos a Média da Variável
Transformada. Teremos:
Yi fi
Y
n
∑ .
=
Daí:
97
Y = E: Y = 2,
02
48
Agora, descreveremos os Caminhos de Ida e de Volta, que utilizamos para sair
da variável original Xi e chegarmos à variável transformada Yi. Teremos o
seguinte:
Caminho de Ida
1º)(-7,5) e 2º)(÷15)
X =? Xi Yi Y = 2,02
2º)(+7,5) e 1º)(x15)
Caminho de Volta
Finalmente, percorrendo o Caminho de Volta, a partir do valor da Variável
Transformada, recordando sempre a Média é influenciada pelas quatro operações,
chegaremos ao valor da Média da Variável Original. Teremos:
1º)(x15) 2,02x15=30,30 e 2º)(+7,5) 30,30+7,5=37,8
Daí: X = 37,8
2º Passo) Construiremos a coluna (PM- X ):
Xi fi PM
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
7,5
22,5
37,5
52,5
67,5
15
0
1
2
3
4
PM- X
-30,3
-15,3
-0,3
14,7
29,7
n=48
ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 3 de 20
Página 2 de 20

3º Passo) Construiremos a coluna |PM- X |:
Xi fi PM
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
n=48
7,5
22,5
37,5
52,5
67,5
4º Passo) Construímos a coluna {|PM- X |.fi}:
Xi fi PM
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
4
13
15
10
6
7,5
22,5
37,5
52,5
67,5
PM- X |PM- X |
-30,3
-15,3
-0,3
14,7
29,7
30,3
15,3
0,3
14,7
29,7
PM- X |PM- X | |PM- X |.fi
-30,3
-15,3
-0,3
14,7
29,7
30,3
15,3
0,3
14,7
29,7
121,20
198,90
4,50
147,0
178,20
n=48 90,3 649,80
5º Passo) Aplicamos a fórmula do DM para a Distribuição de Freqüências:
∑ PM − X . fi
DM = Daí:
n
649,
80
DM = E: DM = 13,
54 Resposta!
48
02. Questão extraída do AFRF-2002.2 (A prova mais recente de AFRF!!).
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
Assinale a opção que corresponde ao Desvio Absoluto Médio do atributo X:
a)16,0
b)17,0
c)16,6
d)18,1
e)13,0
Sol.: Não tem nem o que pensar: Basta seguirmos os passos já conhecidos!
1º Passo) Determinaremos a Média do conjunto!
Novamente, iremos aplicar o Método da Variável Transformada! Esclareço que o
valor da Média já havia sido solicitado em outra questão desta prova, de forma
que esta nossa resolução irá implicar, na verdade, na solução de duas questões da
prova! Por primeiro, construiremos a coluna dos Pontos Médios. Teremos, então:
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4
8
14
20
26
18
10
Classes fi PM
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
4
8
34,5
44,5
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49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
14
20
26
18
10
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
Na seqüência, construiremos a Coluna de Transformação! Ficaremos com:
Classes fi PM (PM-34,5)=Yi
10
29,5 !--- 39,5 4 34,5
0
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
8
14
20
26
18
10
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
1
2
3
4
5
6
Feito isto, construiremos a coluna do (Yi.fi). Teremos:
Classes fi PM (PM-34,5)=Yi
10
Yi.fi
29,5 !--- 39,5
4 34,5
0
0
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
8
14
20
26
18
10
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
1
2
3
4
5
6
8
28
60
104
90
60
n=100 350
Dando continuidade, aplicaremos a fórmula para determinação da Média da
Variável Transformada. Ficaremos com:
Yi fi
Y
n
∑ .
=
Daí:
350
Y = E: Y = 3,
50
100
Feito isto, descreveremos os Caminhos de Ida e de Volta, da Variável
Original para a Variável Transformada.Teremos:
Caminho de Ida
1º)(-34,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 3,50
2º)(+34,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 5 de 20
Daí, percorrendo o Caminho de Volta, a partir do valor da Variável
Transformada, e lembrando-nos das propriedades da Média, teremos:
Daí: X = 69,5
1º)(x10) 3,50x10=35,0 e 2º)(+34,5) 35+34,5=69,5
2º Passo) Construiremos a coluna (PM- X ):
Classes fi PM
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
3º Passo) Construiremos a coluna |PM- X |:
4
8
14
20
26
18
10
n=100
Classes fi PM
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
4
8
14
20
26
18
10
n=100
4º Passo) Construímos a coluna {|PM- X |.fi}:
Classes fi PM
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
59,5 !--- 69,5
69,5 !--- 79,5
79,5 !--- 89,5
89,5 !--- 99,5
4
8
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26
18
10
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
PM- X
-35
-25
-15
-5
5
15
25
PM- X |PM- X |
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
25
15
5
5
15
25
PM- X |PM- X | |PM- X |.fi
-35
-25
-15
-5
5
15
25
35
25
15
5
5
15
25
140
200
210
100
130
270
250
n=100 1300
5º Passo) Aplicamos a fórmula do DM para a Distribuição de Freqüências:
∑ PM − X . fi
1300
DM = Daí: DM = E: DM = 13,
00 Resposta!
n
100
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 6 de 20
E aí, meus amigos? Conseguiram fazer as questões acima, sem problemas?
Fáceis, não é verdade? Ok!
Agora, avançaremos no conhecimento das Medidas de Dispersão, com o estudo de
uma das mais importantes e mais exigidas em provas de concursos: o Desvio-Padrão.
Vamos a ele!
# DESVIO-PADRÃO: S
O Desvio Padrão será designado pela letra S (maiúscula). É uma Medida de
Dispersão que, da mesma forma que o Desvio Médio Absoluto, também toma como valor
de referência a Média Aritmética do conjunto.
Lembrar-nos-emos que, enquanto o Desvio Médio Absoluto (DM) é a “medida do
módulo”, o Desvio Padrão será a “medida da raiz quadrada”: a única fórmula do
nosso curso em que aparecerá a raiz quadrada!
Vejamos como calcularemos o S para as diferentes formas de apresentação de
um conjunto.
Desvio Padrão para o Rol:
No caso do rol, aplicaremos a seguinte fórmula:
( Xi X )
S
n
∑ −
=
Percebamos que nesta fórmula do Desvio Padrão – do mesmo modo que ocorre
para o Desvio Absoluto – surge a necessidade de conhecermos a Média do conjunto,
para calcularmos os desvios em torno desta. Este referido desvio é representado
por (Xi- X ).
Vamos a um exemplo:
Exemplo) Determinar o Desvio Padrão para o seguinte conjunto:
A = {1, 2, 2, 4, 6, 9}
Preliminarmente, observamos que nosso conjunto A dispõe de 6 elementos, ou seja,
teremos nesse caso que n=6.
1º Passo) Determinaremos a Média do conjunto:
X
=
( 1+
2 + 2 + 4 + 6 + 9)
6
2
24
= = 4
6
2º Passo) Construiremos o Conjunto dos Desvios em torno da Média calculada:
Xi- X ={(1-4), (2-4), (2-4), (4-4), (6-4), (9-4)}
Daí: Xi- X ={-3, -2, -2, 0, 2, 5}
3º Passo) Construiremos o conjunto do quadrado dos desvios em torno da Média, e
determinamos seu somatório:
(Xi- X ) 2 ={(-3) 2 , (-2) 2 , (-2) 2 , (0) 2 , (2) 2 , (5) 2 }
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Logo: (Xi- X ) 2 2
={9, 4, 4, 0, 4, 25} Daí: ( Xi X )
− = 46
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Desvio Padrão:
( Xi X )
S
n
∑ −
=
# Fator de Correção de Bessel:
2
∑
46
S = = 7,
67 Daí: S=2,77 Resposta!
6
Faremos aqui uma ressalva importantíssima: esta fórmula acima apresentada
para o Desvio Padrão de um rol somente será empregada no caso de estarmos
trabalhando, em nossa questão, com a população do conjunto.
Estamos todos recordados (espero!) que, em uma pesquisa estatística, podemos
trabalhar com dois tipos de estudo distintos: o estudo por censo e o por
amostragem. Vimos isso no Ponto 02 (Primeiros Conceitos). De forma que, no censo
trabalhamos considerando toda a população do conjunto; enquanto isso, na
amostragem, apenas um subconjunto do todo (com característica de
representatividade) será analisada.
Destarte, quando o enunciado solicitar que determinemos o Desvio Padrão de
um conjunto, teremos essa primeira preocupação: verificar se nele estará
representada toda a população ou apenas uma amostra!
A regra é simples: se a questão não falar em amostra, entenderemos que
estamos diante da população!
Vimos algumas questões cujo enunciado revela, às vezes até mesmo sem usar a
palavra amostra, que estamos diante de uma parte apenas do todo.
Vejamos um exemplo extraído de uma questão que foi trabalhada por nós no
início desta aula:
“Questão extraída do AFRF-2002.2
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho
100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:...”
Este enunciado explicitou a palavra amostra, mas devemos estar atentos (e
muito!) às entrelinhas da questão, quando as informações relevantes não nos forem
fornecidas de forma expressa!
Bem, para uma questão como esta acima, se o enunciado determinar o cálculo
do Desvio Padrão, a nossa fórmula convencional (para uso da população) sofrerá
uma ligeira modificação – o fator de correção de Bessel -, de modo que passaremos
a utilizar a seguinte fórmula:
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
Observemos que o denominador da fórmula convencional (para população) ganhou
um “menos 1” no denominador!
Então, para não deixar nenhum resquício de dúvida, resumimos novamente:
Desvio Padrão de um rol, considerando toda a população:
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2
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2
( Xi X )
S
n
∑ =
−
Desvio Padrão de um rol, considerando apenas uma amostra:
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
Vejamos agora uma questão muito simples, de um concurso passado, para
sentirmos a importância deste “fator de correção de Bessel” na determinação do
resultado:
(AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra
de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho
registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e
10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:
a) 3 b) 9 c) 10 d 30
Sol.: Observemos que o enunciado falou, expressamente, que os dados apresentados
fazem parte de uma amostra. Daí, foi solicitado que determinemos o valor do
Desvio Padrão!
Nesse caso, não nos resta qualquer dúvida! Aplicaremos a fórmula corrigida
pelo fator de Bessel (com “menos 1” no denominador!). Ou seja, usaremos o
seguinte:
2
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
1º Passo) Determinamos a Média do conjunto:
X
=
( 0 + 0 + 0 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 6 + 10)
2º Passo) Construímos o conjunto dos desvios (Xi- X ):
(Xi- X )={(0-3),(0-3),(0-3),(2-3),(2-3),(2-3),(4-3),(4-3),(6-3),(10-3)}
(Xi- X )={(-3),(-3),(-3),(-1),(-1),(-1),(1),(1),(3),(7)}
10
3º Passo) Construímos o conjunto do quadrado dos desvios (Xi- X ) 2 e determinamos
seu somatório:
(Xi- X ) 2 ={(-3) 2 ,(-3) 2 ,(-3) 2 ,(-1) 2 ,(-1) 2 ,(-1) 2 ,(1) 2 ,(1) 2 ,(3) 2 ,(7) 2 }
(Xi- X ) 2 ={9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49}
Daí: ∑ (Xi-
X ) 2 = 90
2
=
30
10
=
3,
0
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 9 de 20
4ºPasso) Verificando que este conjunto tem 10 elementos, ou seja, n=10,
aplicaremos a fórmula corrigida do Desvio Padrão:
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
2
90
S =
( 10 −1)
90
S = S = 10 Resposta da Questão!
9
Nossa resposta – correta - corresponde ao gabarito “C” das opções!
Agora observemos o seguinte: se, por acaso, não nos ativéssemos ao fato de
estarmos trabalhando com uma amostra, e não nos lembrássemos de que deveríamos
trabalhar, na fórmula, com o fator de correção de Bessel, encontraríamos a
seguinte solução:
( Xi X )
S
n
∑ −
=
2
90
S = S = 9 Resposta Errada! (gabarito “B”)
10
Fico pensando com meus botões, quanta gente errou essa questão pensando ter
acertado...! Conosco não há mais qualquer risco de isso vir a ocorrer!
Desvio Padrão para Dados Tabulados:
Neste caso, a fórmula adotada obedecerá àquela mesma transição observada
para as fórmulas da Média! Estamos lembrados? Repetiremos a fórmula do rol, e
multiplicaremos o numerador por fi. Apenas isso! Ficaremos com:
Vamos a um exemplo prático.
S =
( Xi X )
∑ −
n
Exemplo) Determine o Desvio Padrão do conjunto abaixo:
2
.
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
n=10
Como passo preliminar, já verificamos que o conjunto tem 10 elementos, ou seja,
n=10. Naturalmente, recordamos que para descobrir este n só precisamos somar a
coluna da freqüência absoluta simples – fi!
1º Passo) Calcularemos a Média do conjunto:
Para tanto, construiremos a coluna do (Xi.fi)!
fi
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 10 de 20
Xi fi Xi.fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
2
6
9
8
5
n=10 30
Daí, aplicaremos a fórmula da Média para Dados Tabulados. Teremos:
X ∑ =
( Xi.
fi)
n
Daí:
30
X = E: X = 3,
0
10
2ºPasso) Construiremos a coluna dos desvios (Xi- X ):
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
n=10
(Xi- X )
-2 (=1-3)
0 (=3-3)
0 (=3-3)
1 (=4-3)
2 (=5-3)
3ºPasso) Construiremos a coluna do quadrado dos desvios (Xi- X ) 2 :
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
n=10
(Xi- X ) (Xi- X ) 2
4ºPasso) Construímos a coluna {(Xi- X ) 2 .fi} e determinaremos seu somatório:
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
-2
0
0
1
2
4
0
0
1
4
(Xi- X ) (Xi- X ) 2 (Xi- X ) 2 .fi
-2
0
0
1
2
4
0
0
1
4
n=10 14
5ºPasso) Aplicamos a fórmula convencional do Desvio Padrão para Dados Tabulados:
( Xi X )
2
∑ − . fi
S =
n
14
S = S = 1,
4 S = 1,
4 S = 1,
18 Resposta!
10
8
0
0
2
4
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# Fator de Correção de Bessel para Dados Tabulados:
Tudo o que foi dito acerca do fator de correção de Bessel para o rol se
aplicará – analogamente – para os Dados Tabulados!
Ou seja, se o enunciado informar – expressa ou implicitamente – que o
conjunto apresentado consiste em uma amostra, o denominador da fórmula
convencional sofrerá a correção do fator de Bessel, qual seja, aparecerá um
“menos 1” no denominador!
Em suma:
Desvio Padrão para Dados Tabulados, considerando toda a população:
2
∑( Xi − X ) . fi
S =
n
Desvio Padrão para Dados Tabulados, considerando apenas uma amostra:
Façamos um exemplo:
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
Exemplo) Determine o Desvio Padrão amostral do conjunto abaixo:
2
.
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
n=10
Sol.: Eis aí uma outra maneira de o enunciado “revelar” que o conjunto
apresentado consiste um uma amostra! Claro: a palavra “amostral” refere-se à
“amostra”. Se a questão está pedindo o “Desvio Padrão Amostral” não nos resta
qualquer dúvida: utilizaremos a fórmula do Desvio Padrão, corrigida pelo fator de
Bessel!
Como estes dados são os mesmos que utilizamos no exemplo anterior, fica
entendido que seguiremos todos os passos já descritos na resolução apresentada, à
exceção do último, uma vez que aqui a nossa fórmula será outra!
Daí, utilizando-nos dos resultados já encontrados, passaremos ao passo
derradeiro, de aplicação da fórmula conveniente a este enunciado. Teremos:
( Xi − X )
2
.
=
−1
∑ fi
S
n
14
S =
10 −1
fi
14
S = S = 1,
55 S = 1,
25 Resposta!
9
Aproveitando o ensejo, explico que estas fórmulas todas que estamos apresentando
serão as que chamaremos de “fórmulas convencionais” do Desvio Padrão! Até o fim
desta aula (acredito), estaremos sendo apresentados a “fórmulas alternativas”
para a determinação do S. Veremos também as (importantíssimas) Propriedades do
Desvio Padrão, sem cujo conhecimento não
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 12 de 20
teremos condições de resolver as questões mais recentes elaboradas pela ESAF!
Vamos em frente!
Desvio Padrão para Distribuição de Freqüências:
Novamente observaremos aqui a transição que se dá nas fórmulas da Média. Ou
seja, quando trabalhamos com Distribuição de Freqüências, deixamos de lado os
elementos individuais Xi e passamos a considerar as Classes! Destarte, não mais
irá constar em nossa fórmula o Xi (elemento individual), mas, em seu lugar,
surgirá o PM (Ponto Médio), o qual é o legítimo representante de cada classe!
Em suma: para a Distribuição de Freqüências, repetiremos a fórmula dos Dados
Tabulados, e trocaremos Xi por PM. Teremos o seguinte:
S =
( PM X )
∑ −
n
# Fator de Correção de Bessel para Distribuição de Freqüências:
Da mesma forma que ocorreu com o conjunto apresentado sob a forma de rol e
de Dados Tabulados, na Distribuição de Freqüências também haverá a correção de
Bessel – com o acréscimo de “menos 1” no denominador – sempre que o enunciado
sugerir que estamos trabalhando com uma amostra!
Em suma, teremos:
Desvio Padrão para Distribuição de Freqüências, considerando toda a população:
S =
( PM X )
∑ −
n
Desvio Padrão para Distribuição de Freqüências, considerando apenas uma amostra:
Façamos um exemplo:
( PM − X )
=
−1
∑ S
n
Exemplo) Determinar o Desvio Padrão do conjunto abaixo:
2
.
2
.
2
.
fi
fi
fi
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
1ºPasso) Determinar a Média do conjunto:
Neste exemplo, propositadamente (para ganharmos tempo), usamos uma
Distribuição Simétrica (espero que todos tenham enxergado!), de modo que sem
necessitar nenhuma conta, já podemos afirmar – categoricamente – que:
X = 25
1
2
5
2
1
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 13 de 20
Que é o PM da classe intermediaria!
2ºPasso) Construiremos a coluna dos Pontos Médios:
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3ºPasso) Construiremos a coluna dos desvios (PM- X ):
1
2
5
2
1
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
1
2
5
2
1
5
15
25
35
45
5
15
25
35
45
(PM- X )
-20
-10
0
10
20
4ºPasso) Construiremos a coluna do quadrado dos desvios (PM- X ) 2 :
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
1
2
5
2
1
5
15
25
35
45
(PM- X ) (PM- X ) 2
5ºPasso) Construímos a coluna {(PM- X ) 2 .fi} e determinaremos seu somatório:
Xi fi PM
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
1
2
5
2
1
5
15
25
35
45
-20
-10
0
10
20
(PM- X ) (PM- X ) 2
-20
-10
0
10
20
400
100
0
100
400
400
100
0
100
400
(PM- X ) 2 .fi
400
200
0
200
400
n=11 1200
6ºPasso) Aplicamos a fórmula do Desvio Padrão:
( PM X )
2
∑ − . fi
S =
n
1200
S = S = 109,
09 E: S = 10,
44 Resposta!
11
Observemos que, caso este mesmo enunciado nos informasse que os dados deste
conjunto são representativos de uma amostra, não poderíamos nos esquecer de
alterar a fórmula padrão, usando o fator de correção de Bessel! Destarte,
considerando esta hipótese, ou seja, supondo que a questão indagou o valor do S,
afirmando tratar-se o nosso conjunto de uma amostra, teríamos como resultado o
seguinte:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 14 de 20
( PM − X )
2
.
=
−1
∑ fi
S
n
# Fórmulas Desenvolvidas do Desvio Padrão:
1200
S = S = 120,
00 E: S = 10,
95 Resposta!
10
Até esse momento, as fórmulas acima apresentadas – para rol, dados tabulados
e distribuição de freqüências – representam o que chamaremos de fórmulas
reduzidas do Desvio Padrão.
Observemos novamente nossas fórmulas reduzidas:
Para o rol:
P/ Dados Tabulados:
( Xi X )
S
n
∑ −
=
2
( Xi X )
ou
2
∑ − . fi
S = ou
n
( )
2
∑ PM − X . fi
P/ Dist. de Freqüências: S = ou
n
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
2
2
.
( PM − X )
=
−1
∑ S
n
O que facilmente observamos é que, no numerador de cada uma dessas fórmulas,
está presente um produto notável daquele tipo (a-b) 2 . Enxergaram? Pois bem!
Procedendo ao desenvolvimento algébrico deste produto notável, chegaremos no
final a novas apresentações dessas fórmulas originais, as quais chamaremos de
fórmulas desenvolvidas do Desvio Padrão! São elas as seguintes:
Fórmula Desenvolvida do S para o Rol:
No caso de estarmos trabalhando com os elementos de uma população:
1 ⎡
S = ⎢∑
Xi
n ⎢
⎣
2
−
( ∑ Xi)
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
ou
S =
⎛
⎜
⎝
∑
Xi
n
2
⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
∑
Xi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
No caso de estarmos trabalhando com elementos de uma amostra:
1 ⎡
S = ⎢∑
Xi
n −1
⎢
⎣
2
−
( ∑ Xi)
n
Estas fórmulas desenvolvidas do Desvio Padrão já foram chamadas, em
programas de estatística de alguns concursos passados, de Cálculo Simplificado!
Não é de se estranhar que essa nomenclatura por vezes provocasse certo
questionamento...! Comparemos novamente:
Fórmula Original:
( Xi X )
S
n
∑ −
=
2
e
2
⎤
⎥
⎥
⎦
2
fi
2
.
fi
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 15 de 20
( ∑ Xi)
n
2
1 ⎡
⎤
2
Fórmula Simplificada: S = ⎢∑
Xi − ⎥
n ⎢
⎣
⎥
⎦
Embora o resultado do S encontrado por ambas as fórmulas seja precisamente o
mesmo, a diferença maior entre as duas aplicações consiste no fato de que o
cálculo “simplificado” dispensa o conhecimento prévio da Média do conjunto! Todos
perceberam isso?
Daí a pergunta: quando saberemos se devemos utilizar uma fórmula ou outra?
Ora, já dissemos que o resultado é o mesmo. Portanto, decidiremos pela utilização
de uma ou outra fórmula de acordo com os dados apresentados no enunciado. Vamos a
um exemplo! Farei uma pequena adaptação de uma questão do Fiscal da Receita 1998:
Exemplo: Os dados seguintes foram obtidos de uma pequena amostra aleatória, de 50
preços (Xi) de ações, tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade
monetária é o dólar americano.
{4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9,
9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16,
16, 18, 23}
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
2 ( ∑ Xi)
2
∑ Xi = 490 e ∑ Xi − = 668
50
Assinale a opção que corresponde os Desvio Padrão amostral:
a) 12
b) 13
c) 13 , 6
d) 14
Sol.: Percebemos que o conjunto foi apresentado sob a forma de um rol. Como este
mesmo conjunto representa uma amostra, conforme dito expressamente no enunciado,
as duas fórmulas que poderíamos empregar para chegarmos à resposta seriam as
seguintes:
( Xi − X )
=
−1
∑ S ou
n
2
1 ⎡
S = ⎢∑
Xi
n −1
⎢
⎣
2
−
( ∑ Xi)
n
Ora, se fizermos uma pequena análise, facilmente constataremos que, se nos
decidíssemos pela fórmula reduzida (a primeira), gastaríamos o restante do tempo
da prova para construirmos o conjunto dos desvios ( Xi − X ) e depois ainda o
conjunto dos quadrados dos desvios ( ) 2
Xi − X , para, finalmente, calcularmos o
somatório deste último conjunto e chegarmos ao numerador da fórmula!
Ou seja, tornou-se praticamente inviável a resolução desta questão pela
utilização da fórmula reduzida!
2
⎤
⎥
⎥
⎦
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 16 de 20
Por outro lado, os dados adicionais fornecidos pelo enunciado nos indicam
claramente que poderemos chegar sem demoras ao resultado, caso utilizemos aquela
segunda informação que nos foi dada, qual seja:
( Xi)
2
∑ Xi − ∑
50
2
= 668
Comparemos esta informação com a nossa fórmula desenvolvida do S:
1 ⎡
S = ⎢∑
Xi
n −1
⎢
⎣
2
−
( ∑ Xi)
n
Pronto! Matamos a charada! Temos que nosso n (número de elementos da
amostra) é 50, daí, o restante da resolução reduziu-se a um mero “copiar-colar”.
Teremos:
1 ⎡
S = ⎢∑
Xi
n −1
⎢
⎣
2
−
( ∑ Xi)
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
E: S = 13,
6 Resposta!
1
S =
( )
( ) 668 ⋅
50 −1
S =
Fórmula Desenvolvida do S para Dados Tabulados:
2
⎤
⎥
⎥
⎦
668
49
Se estivermos trabalhando com uma população, teremos:
1 ⎡
2
S = ⎢∑
Xi . fi −
n ⎢
⎣
( ∑ Xi.
fi)
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
ou
S =
⎛
⎜
⎝
∑
2
Xi . fi ⎞ ⎛
⎟ − ⎜
n ⎟ ⎜
⎠ ⎝
∑
Xi.
fi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
No caso de estarmos trabalhando com elementos de uma amostra:
1 ⎡
2
S = ⎢∑
Xi . fi −
n −1
⎢
⎣
( ∑ Xi.
fi)
n
Da mesma forma que se dá com o Rol, também aqui os resultados obtidos pelas
fórmulas reduzidas e desenvolvidas do Desvio Padrão serão exatamente os mesmos!
Caberá a nós observarmos os dados fornecidos pela questão, para decidirmos
qual das duas fórmulas nos será mais conveniente!
Fórmula Desenvolvida do S para Distribuição de Freqüências:
Para elementos de uma população, teremos:
1 ⎡
S = ⎢∑
PM
n ⎢
⎣
2
. fi −
( ∑ PM . fi)
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
ou
S =
⎛
⎜
⎝
∑
2
⎤
⎥
⎥
⎦
PM
n
2
. fi ⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
∑
2
PM . fi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
2
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 17 de 20
No caso de estarmos trabalhando com elementos de uma amostra:
1 ⎡
S = ⎢∑
PM
n −1
⎢
⎣
2
. fi −
( ∑ PM.
fi)
n
Observação: Se formos atentos, verificaremos que também aqui nas fórmulas
desenvolvidas do Desvio Padrão, obedecemos àquelas mesmas transições observadas
nas fórmulas da Média, quando passamos de rol para dados tabulados, e destes para
a distribuição de freqüências! Vejamos:
( ∑ Xi)
n
Fórmula do S para o Rol: S =
1 ⎡
2
⎢∑
Xi −
n ⎢
⎣
2 ⎤
⎥
⎥
⎦
Na transição desta fórmula para a dos Dados Tabulados, o que ocorrerá? Qual
é a “novidade” que surge nos Dados Tabulados e que não havia no rol? É a
freqüências absoluta simples - fi -, a qual aparecerá na nova fórmula,
multiplicando no numerador. Teremos:
Fórmula do S para Dados Tabulados:
1 ⎡
2
S = ⎢∑
Xi . fi −
n ⎢
⎣
2
⎤
⎥
⎥
⎦
( ∑ Xi.
fi)
n
Na nova transição, agora para a fórmula do S da Distribuição de Freqüências,
lembraremos que deixamos de trabalhar com elementos individualizados (Xi) e
passamos a trabalhar com classes! Destarte, em substituição ao Xi (que representa
os elementos individualizados) colocaremos o Ponto Médio – PM -, que representará
cada classe do conjunto! Teremos, portanto:
Fórmula do S p/ Dist. de Freqüências:
1 ⎡
S = ⎢∑
PM
n ⎢
⎣
2
. fi −
2
⎤
⎥
⎥
⎦
( ∑ PM . fi)
n
Este raciocínio certamente nos auxiliará a memorização destas fórmulas
todas!
# Propriedades do Desvio Padrão:
Agora, sim! Vamos ao que interessa! Estamos à página 17 da nossa aula de
hoje, e somente agora chegamos ao Ponto principal! Convém ressaltar, portanto,
que as questões de prova atualmente elaboradas (pela ESAF, sobretudo) - e que
pedem a determinação do Desvio Padrão – têm explorado continuamente o
conhecimento de algumas das propriedades desta medida!
Veremos inicialmente duas propriedades, e sua aplicação prática em questões
de prova!
Propriedade do Desvio Padrão da Soma e Subtração:
Reza o seguinte: Se somarmos ou subtrairmos todos os elementos de um
conjunto original por uma constante, o Desvio Padrão deste mesmo conjunto não se
alterará, ou seja, permanecerá exatamente o mesmo.
2
⎤
⎥
⎥
⎦
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 18 de 20
Em outras palavras: o Desvio Padrão de um conjunto não é influenciado por operações
de soma ou subtração!
E isto é de fácil compreensão: imaginemos um conjunto simétrico, representado por
uma curva de freqüências – aquela em forma de sino. Pois bem: se somarmos todos os
elementos do nosso conjunto por uma mesma constante, o efeito disso será apenas que
estaremos deslocando aquela nossa curva original para a direita. Todavia, o formato da
curva permanecerá exatamente o mesmo!
Em outras palavras: estaremos modificando a Posição da nossa curva, mas não a sua
Dispersão! É por isso que as Medidas de Posição sofrem a influência das operações de soma
e subtração! Já o mesmo não ocorre com as Medidas de Dispersão, uma vez que ao efetuarmos
essas mesmas operações, o “afastamento” dos elementos do conjunto não se alterará!
Propriedade do Desvio Padrão do Produto e Divisão:
Semelhante à propriedade da Média: Se multiplicarmos ou dividirmos todos os
elementos de um conjunto original por uma constante, o Desvio Padrão do novo conjunto
será o Desvio Padrão do conjunto original multiplicado ou dividido por aquela mesma
constante.
Em outras palavras: o Desvio Padrão é uma medida que é influenciada por operações
de produto e divisão!
# O Desvio Padrão e a Variável Transformada:
Questões recentes de concurso têm explorado o Desvio Padrão, associando-o à (nossa
já conhecida) Variável Transformada! Estamos lembrados que para transformar uma variável
original em outra, somente precisamos realizar uma ou mais operações com os elementos do
conjunto. Essas operações, conforme já sabemos, podem ser de adição, subtração, produto
ou divisão.
Quando aprendemos a calcular a Média de um conjunto, trabalhando com a Variável
Transformada, vimos que, na maioria das vezes, nós mesmos precisávamos construir uma
Coluna de Transformação da variável original. Já nas questões que envolvem o Desvio
Padrão, o mais comum é que o enunciado apresente, ele mesmo, a transformação que deve ser
considerada!
Vamos a um exemplo!
Exemplo: Considere a transformação Z=(X-30)/3. Sabendo que o desvio padrão do atributo Z
é Sz=2,0, determine o desvio padrão da variável X.
Sol.: Este é um enunciado clássico! Caberá a nós apenas analisar a transformação descrita
pela questão para, a partir disso, “desenharmos” o Caminho de Ida e o Caminho de Volta,
utilizados para sair da variável original e chegar à transformada e vice-versa.
Ora, a variável original é a Xi. Para chegarmos à variável Zi, quais foram as
operações realizadas com Xi? Primeiramente, subtraímos o Xi da constante 30; e depois,
dividimos pela constante 3. Daí, teremos:
Caminho de Ida
1º)(-30) e 2º)(÷3)
Sx=? Xi Zi Sz=2,0
Variável Original Variável Transformada
2º)(+30) e 1º)(x3)
Caminho de Volta
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ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 19 de 20
Observemos que, como já era do nosso conhecimento, o Caminho de Volta será
exatamente o inverso do Caminho de Ida, de forma que operações (no caminho de
ida) de adição, transformam-se em subtração (no caminho de volta).
Analogamente, subtração vira adição, produto vira divisão, e divisão vira
produto!
Cabe ressaltar que o Caminho de Volta começa onde termina o Caminho de Ida!
Disso também já sabíamos!
Daí, se quisermos chegar ao valor do Desvio Padrão da variável original
(Sx), partiremos do valor do Desvio Padrão da variável Z – Sz – percorrendo o
Caminho de Volta – e nos lembrando das propriedades que estudamos há pouco! Daí
teremos:
1º)(x3) Pensaremos assim: operações de multiplicação influenciam o Desvio
Padrão? Sim! Logo, faremos: 2,0x3=6,0
2º)(+30) Perguntaremos o seguinte: operações de soma influenciam o Desvio
Padrão? A resposta é “não”! Logo, não faremos esta segunda conta! Destarte, já
chegamos ao final procurado, que será o resultado da primeira operação do
Caminho de Volta!
Vamos a mais um exemplo!
Ou seja: Sx=6,0 Resposta da Questão!
Exemplo: Sabendo que o desvio padrão da variável transformada Y=(X-200)/5 é
Sy=13, determine o valor do desvio padrão da variável original X.
Sol.: O procedimento é o mesmo! Construiremos o desenho dos Caminhos de ida e de
Volta, usado para irmos de uma variável à outra e, posteriormente, analisaremos
as propriedades do Desvio Padrão! Teremos que:
Caminho de Ida
1º)(-200) e 2º)(÷5)
Sx=? Xi Yi Sy=13,0
Variável Original Variável Transformada
2º)(+200) e 1º)(x5)
Caminho de Volta
Daí, percorrendo o Caminho de Volta e observando as propriedades do S,
teremos que:
1º)(x5) A pergunta: multiplicação altera o Desvio Padrão? Sim! Logo, faremos:
13x5=65,0
2º)(+200) Perguntaremos: soma altera o Desvio Padrão? Não! Logo, não faremos
essa segunda operação do Caminho de Volta. Destarte, já chegamos ao nosso
resultado!
Achamos, portanto: Sx=65,0 Resposta da Questão!
Página 19 de 20

ESTATÍSTICA *** Ponto 23 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 02 *** Pág. 20 de 20
Tudo claro? Tudo entendido? Espero que sim!
Acho eu que por hoje é só! Aliás, essa nossa aula de hoje foi quase um
tratado sobre o Desvio Padrão, não foi mesmo? Só não digo que foi um tratado
porque ainda não esgotamos o assunto! Pasmem! Próxima aula ainda começaremos com
o que faltou falar sobre essa medida!
Quero aproveitar o ensejo e, mais uma vez, agradecer sinceramente pelo
carinho que tenho constantemente recebido de vocês todos, meus alunos virtuais!
Ainda ontem recebi um e-mail vindo do Uruguai, agradecendo-me pelas nossas aulas!
Senti-me bastante lisonjeado. A cada dia que passa me surpreendo mais e mais com
o alcance e a repercussão do “Ponto dos Concursos”. Sinto-me cada vez mais
honrado em fazer parte desta equipe!
Domingo último comemorou-se o Dia dos Pais. Quero, portanto, dedicar esta
aula de hoje ao meu pai, o Sr. Sérgio de Carvalho, cujo nome eu carrego com
orgulho e alegria. Obrigado, meu pai, pelo seu inigualável exemplo de vida e de
dedicação aos seus. Deus o abençoe sempre mais! É também dedicada a nossa aula
aos meus alunos que são pais, e que têm que dividir o tempo entre o trabalho, os
estudos e a família. Força, meus amigos! A recompensa se aproxima a cada dia!
Um forte abraço a todos e até a próxima!
Página 20 de 20

ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 1 de 15
Olá, meus amigos! Tudo bem com vocês?
Começaremos nossa aula de hoje de uma forma diferente: com uma errata.
Recebi alguns e-mails, pelo que sou muito grato, alertando-me acerca de dois
"deslizes" cometidos na nossa última aula.
# ERRATA DO PONTO 23:
1) O primeiro engano foi um "erro de conta", que surgiu logo na página 1 do Ponto
23, quando estava resolvendo a primeira questão que havia ficado ainda do Ponto
22. Nesta questão, procurávamos calcular o valor do Desvio Quartílico, e já
tínhamos encontrado os valores do Primeiro e do Terceiro Quartil, que eram os
seguintes:
Q1=24,2 e Q3=51,0
Quando foi na hora de aplicar a fórmula do Desvio Quartílico, adivinhem!
Errei a subtração! O correto seria:
( Q3
− Q1)
Dq =
2
( 51− 24,
2)
Dq =
2
( 26,
8)
Dq = E: Dq=13,40
2
Quem me alertou acerca deste equívoco que cometi na subtração foi o amigo
paranaense Marcos Aurélio. Muito obrigado!
2) O segundo erro aconteceu na página 10 de nossa aula, quando estávamos no
segundo passo da resolução de um exemplo, a fim de encontrarmos o valor do Desvio
Padrão. Vou repetir a tabela em que se deu o equívoco, e destacá-lo em vermelho:
2ºPasso) Construiremos a coluna dos desvios (Xi- X ):
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
n=11
(Xi- X )
-2 (=1-3)
0 (=3-3)
0 (=3-3)
1 (=4-3)
2 (=5-3)
Viram aí? Na segunda linha da coluna (Xi- X ), na hora de colocar o Xi, eu
chamei de 3, quando o correto seria 2. Além do mais, na hora de somar a coluna do
fi, achei o valor 10, quando o correto seria 11. (Nossa! Como foi que eu consegui
passar no concurso?!) Daí, a tabela correta teria o seguinte formato:
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
(Xi- X )
-2 (=1-3)
-1 (=2-3)
0 (=3-3)
1 (=4-3)
2 (=5-3)
n=11
Obviamente que esse "pequeno deslize" influenciou todo o restante da questão
que, por fim, ficou com resultado prejudicado. Portanto, a seguir, apresentamos o
resultado já corrigido da questão: (as alterações vêm em destaque, em vermelho!)
Página 1 de 15

ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 2 de 15
3ºPasso) Construiremos a coluna do quadrado dos desvios (Xi- X ) 2 :
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
n=11
(Xi- X ) (Xi- X ) 2
4ºPasso) Construímos a coluna {(Xi- X ) 2 .fi} e determinaremos seu somatório:
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
3
2
1
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
(Xi- X ) (Xi- X ) 2 (Xi- X ) 2 .fi
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
n=11 17
5ºPasso) Aplicamos a fórmula convencional do Desvio Padrão para Dados Tabulados:
( Xi X )
2
∑ − . fi
S =
n
17
S = S = 1,
55 = 1,
24
11
8
3
0
2
4
S Resposta!
Quem colaborou conosco para indicar este segundo equívoco foram os amigos do
Amapá, a turma do Stélio, Rubenita e Cia., além do amigo Cícero Cláudio Falcão.
Valeu mesmo!
E já que hoje é o “dia da errata”, aproveito o ensejo para fazer uma
correção de uma palavra que usei já em diversas ocasiões, escrevendo-a sempre de
forma errada! A palavra é mnemônico (esse é o certo!), e eu estava usando
“mneumônico”. Essa letra “u” não existe! Desculpem-me! Não foi erro de digitação:
foi erro de fato!
Quem me advertiu acerca disso foi uma aluna do Espírito Santo que, por uso
do e-mail, se tornou uma grande e querida amiga: a Fátima! Depois dessa,
contratei-a como minha revisora de ortografia e gramática! Obrigado, Fafá, um
grande abraço!
Conforme dito na aula anterior, ainda nos faltou falar algo sobre o Desvio
Padrão! É o que faremos agora!
# Propriedade do Desvio Padrão:
Faltou-nos falar acerca de uma outra propriedade do Desvio-Padrão, que é de
muito fácil compreensão e que já foi objeto de questão de prova do AFRF!
Trata-se de uma propriedade “visual”, porque apenas olhando para o “desenho”
abaixo, já teremos como entendê-la. Vejamos:
Página 2 de 15

ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 3 de 15
1 a Parte da Propriedade:
Se estivermos trabalhando com uma distribuição simétrica, ou muito próxima
da simetria, teremos que, no intervalo compreendido sob a curva de freqüência,
limitada pelos valores de ( X -S) a ( X +S), haverá aí aproximadamente 68% dos
elementos do conjunto!
2 a Parte da Propriedade:
( X -S) X ( X +S)
68%
Se estivermos trabalhando com uma distribuição simétrica, ou muito próxima
da simetria, teremos que, no intervalo compreendido sob a curva de freqüência,
limitada pelos valores de ( X -2S) a ( X +2S), haverá aí aproximadamente 95% dos
elementos do conjunto!
3 a Parte da Propriedade:
( X -2S) X ( X +2S)
≈95%
Se estivermos trabalhando com uma distribuição simétrica, ou muito próxima
da simetria, teremos que, no intervalo compreendido sob a curva de freqüência,
limitada pelos valores de ( X -3S) a ( X +3S), haverá aí aproximadamente 99% dos
elementos do conjunto!
Página 3 de 15

ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 4 de 15
( X -3S) X ( X +3S)
≈99%
Como podemos ver, trata-se de uma propriedade cheia de limitações que,
exatamente por isso, não será aplicada por nós em uma questão numérica. Destarte,
restaria precisarmos dela diante de uma questão teórica. E é exatamente o que já
ocorreu!
O que temos, efetivamente, que ter em mente acerca desta propriedade?
1º) Só se aplica a distribuições simétricas ou “quase simétricas”. Este
“quase simétricas” já é um conceito subjetivo. Quando podemos dizer que a
distribuição é “quase simétrica”?? Fica esta pergunta no ar!
2º) Trata-se de uma propriedade de aproximação, e não de exatidão! Se o
enunciado da questão vier nos falar palavras como “exatamente”, “precisamente”
(ou análogas), já saberemos que é falsa!
Vejamos a questão abaixo, extraída do AFRF 2001:
Questão) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ..., Xn com média aritmética M e
variância S 2 , onde M=(X1+...+Xn)/n e S 2 =(1/n)∑(Xi-M) 2 . Seja θ a proporção dessas
mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a
opção correta:
a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente,
mas sabe-se que 0,25≥θ.
b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ=5%, para qualquer conjunto de dados X1,..., Xn.
c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ=95%, para qualquer conjunto de dados X1,..., Xn.
d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ=30%, para qualquer conjunto de dados X1,..., Xn.
e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na
realidade tem-se θ=15%, para qualquer conjunto de dados X1,..., Xn.
Sol.: O que é preciso aqui é, durante a leitura do enunciado, identificar que ele
se refere a uma diferença, em valor absoluto, entre a Média e duas vezes o Desvio
Padrão. A leitura desta questão, reconheço, não é das mais fáceis, mas seria o
suficiente para nos lembrarmos da propriedade visual do Desvio Padrão e, com
isso, recordarmos suas duas limitações! Quais sejam:
1) Apenas para conjuntos simétricos ou quase simétricos;
2) Fornece-nos apenas uma aproximação!
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Somente pela lembrança dessa segunda condição – da característica de
aproximação – já teríamos condições de acertar a questão! Claro!
Basta olharmos para as opções b, c, d e e. Todas elas vêm dizendo que o mero
conhecimento da Média e do Desvio Padrão “é suficiente para determinar θ
exatamente.”
A única opção que não cita essa característica mas, ao contrário, diz
expressamente que “não podemos determinar o θ exatamente” é a letra a, resposta da
questão!!
Agora, sim! Vamos falar em Variância!
# VARIÂNCIA: S 2
A Variância, conforme se depreende pelo símbolo que a designa, representa
nada mais que o quadrado do Desvio-Padrão!
Destarte, assim como o Desvio-Padrão, a Variância será também uma medida de
dispersão que toma como referência o valor da Média Aritmética do conjunto.
Ora, sabendo que a Variância é o quadrado do Desvio-Padrão, concluímos que
não haverá nenhuma dificuldade em memorizarmos as fórmulas desta medida. Senão,
vejamos:
Variância para o Rol:
O ponto de partida é a fórmula do Desvio-Padrão:
( Xi X )
S
n
∑ −
=
2
ou, no caso da amostra:
( Xi − X )
=
−1
∑ S
n
Daí, para chegarmos às fórmulas da Variância, elevaremos as do Desvio Padrão
ao quadrado, de forma que desaparecerão os sinais de radical, ou seja,
desaparecerá a raiz quadrada! Teremos, portanto:
( Xi X )
S
n
∑ −
2
=
2
ou, no caso da amostra:
S
2
( Xi − X )
=
−1
∑ n
Fazendo o mesmo para o caso das Fórmulas Desenvolvidas do Desvio Padrão, ou
seja, extraindo o radical daquelas fórmulas, chegaremos também a fórmulas
desenvolvidas da Variância! Para o rol, teremos:
S
2
1 ⎡
= ⎢∑
Xi
n ⎢
⎣
ou, no caso da amostra:
2
−
( ∑ Xi)
n
S
2
2
⎤
⎥
⎥
⎦
,ou
1 ⎡
= ⎢∑
Xi
n −1
⎢
⎣
2
−
S
2
⎛
= ⎜
⎝
( ∑ Xi)
n
∑
2
⎤
⎥
⎥
⎦
Xi
n
2
⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
∑
Xi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
2
2
2
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Observação: Como podemos ver acima, também no caso da Variância haverá o fator de
correção de Bessel para todas as fórmulas, quando o enunciado da questão disser
que o conjunto apresentado se trata de uma amostra (e não a população inteira!).
Variância para Dados Tabulados:
O procedimento será o mesmo: tomaremos as fórmulas do Desvio-Padrão,
excluiremos o sinal da raiz quadrada, e pronto! Somente isso! Teremos:
( Xi X )
2
.
fi
2 ∑ −
S = ou, no caso da amostra:
n
No caso das fórmulas desenvolvidas, teremos:
S
2
1 ⎡
2
= ⎢∑
Xi . fi −
n ⎢
⎣
( ∑ Xi.
fi)
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
ou
S
2
⎛
= ⎜
⎝
∑
S
2
2
Xi . fi ⎞ ⎛
⎟ − ⎜
n ⎟ ⎜
⎠ ⎝
( Xi − X )
=
−1
∑ n
∑
Xi.
fi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
No caso de estarmos trabalhando com elementos de uma amostra:
S
2
1 ⎡
2
= ⎢∑
Xi . fi −
n −1
⎢
⎣
( ∑ Xi.
fi)
n
Variância para Distribuição de Freqüências:
Finalmente, procederemos de forma análoga para determinarmos as fórmulas da
Variância – S 2 – de uma Distribuição de Freqüências. Teremos, portanto:
( PM X )
2
.
fi
2 ∑ −
S = ou, no caso de amostra:
n
Teremos, ainda, as seguintes fórmulas desenvolvidas:
S
2
1 ⎡
= ⎢∑
PM
n ⎢
⎣
2
. fi −
( ∑ PM.
fi)
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
ou
S
2
⎛
= ⎜
⎝
∑
2
⎤
⎥
⎥
⎦
PM
n
2
S
2
2
2
.
( PM − X )
=
−1
∑ n
. fi ⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
Ou, se estivermos trabalhando com elementos de uma amostra:
S
2
1 ⎡
= ⎢∑
PM
n −1
⎢
⎣
2
. fi −
( ∑ PM.
fi)
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
∑
PM.
fi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
Alguém pode estar pensando: “Puxa! São muitas fórmulas para memorizar!” Bem! Podemos
dizer isso de outra maneira: há, de fato, muito a ser memorizado, mas se raciocinarmos do
jeito certo, a coisa fica bem mais fácil!
Senão, vejamos: já sabemos que as fórmulas - tanto do Desvio Padrão, quanto da
Variância – obedecem àquela regra de transição que observamos nas fórmulas da Média
Aritmética. Qual seja: das fórmulas do rol para as dos dados tabulados, multiplicamos o
numerador por fi; dos dados tabulados para a distribuição de freqüências, trocamos Xi
(elemento individualizado) por PM (Ponto Médio).
2
.
2
fi
fi
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Sabemos, também, que a Variância é o quadrado do Desvio Padrão! Desse modo,
não teremos que perder tempo tentando “decorar” as fórmulas da S 2 ! Basta excluir o
sinal da raiz, presente nas fórmulas do Desvio Padrão, e pronto!
Em suma: se soubermos as fórmulas do Desvio Padrão, necessariamente também
conheceremos as da Variância!
Acontece que, ultimamente (leia-se: nos últimos concursos!), as elaboradoras
vêm exigindo algo além do mero conhecimento das fórmulas! Passamos a ter,
portanto, questões mais “inteligentes”, que também serão facilmente resolvidas,
caso conheçamos também as...
# ...PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA:
As principais propriedades da Variância, que aprenderemos, versam acerca do
efeito que as operações de soma, subtração, produto e divisão provocarão sobre o
valor desta medida!
Da mesma forma que já estudamos para a Média e para o Desvio Padrão, veremos
agora o que ocorrerá ao valor da Variância, quando cada elemento de um
determinado conjunto for somado a uma constante, ou subtraído, multiplicado ou
dividido por uma constante.
Propriedade da Soma e da Subtração:
Já vimos na aula passada a razão pela qual operações de soma e subtração não
influenciam o valor do Desvio Padrão! Ora, sendo também a Variância uma medida de
dispersão, continuará valendo para esta a mesma explicação.
Relembrando: quando, para todos os elementos de um conjunto, fazemos uma
mesma operação de soma ou subtração, o efeito disto será o mero “deslocamento” da
curva (para a direita ou esquerda, respectivamente), de modo que a “posição” do
conjunto será modificado, mas o “formato” da curva permanecerá exatamente o
mesmo!
Em outras palavras: operações de soma e subtração alteram a posição do
conjunto, mas não sua dispersão! Por conseguinte, as Medidas de Posição – Média,
Moda e Mediana – sofrerão influência destas operações (soma e subtração), o mesmo
não ocorrendo às Medidas de Dispersão!
Conclusão: A Variância não é influenciada por operações de soma e subtração!
Propriedade do Produto e da Divisão:
Aqui toda atenção é pouca! Para memorizarmos esta regra, pensaremos no que
aprendemos para o Desvio Padrão! Para este (S), vimos que se multiplicarmos ou
dividirmos os elementos do conjunto por uma constante, o novo Desvio Padrão
ficaria multiplicado ou dividido por esta mesma constante! Todos lembrados disso?
Pois bem! O raciocínio agora é o seguinte: a Variância é o quadrado do
Desvio Padrão, certo? Logo, se multiplicarmos ou dividirmos os elementos de um
conjunto por uma constante, a nova Variância ficará multiplicada ou dividida pelo
quadrado da constante!!
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Vejamos um exemplo:
Consideremos que, para o conjunto original W, o valor da Variância é S 2 =
3,0. Se tomarmos todos os elementos deste mesmo conjunto, e os multiplicarmos
pela constante k=2, qual será o valor da nova Variância?
Sol.: A situação é a seguinte:
Para o conjunto original: S 2 = 3,0
Aí vem a pergunta: qual foi a operação que fizemos para modificar o conjunto
original? Multiplicamos os elementos pela constante k=3
Logo, a Variância do novo conjunto será a Variância anterior, multiplicada
pelo quadrado da constante!!
Daí, teremos:
S 2 (Nova) = S 2 (original) x (k) 2
Logo: S 2 (Nova) = (3,0) x (2) 2 S 2 (Nova) = 12,0 Resposta!
# Resumo das Propriedades da Soma, Subtração, Produto e Divisão:
O quadro abaixo poderá auxiliar nossa memória, no tocante às propriedades
estudadas, e em relação às medidas já vistas:
Se tomarmos todos os elementos de um conjunto e os...
A nova
Média
estará:
O novo
Desvio
Padrão
estará:
A nova
Variância
estará:
...Somarmos
a uma
constante
Também
somada a
esta
constante
Inalterado
Inalterada
...Subtrairmos
de uma
constante
Também
subtraída
desta
constante
Inalterado
Inalterada
# A Variância e a Variável Transformada:
...Multiplicarmos
por uma constante
Também
multiplicada por
esta constante
Também
multiplicado
por esta
constante
Multiplicada pelo
quadrado desta
constante
...Dividirmos
por uma
constante
Também
dividida por
esta
constante
Também
dividido por
esta
constante
Dividida pelo
quadrado
desta
constante
Já era de se esperar que, da mesma forma que provas recentes têm explorado
as propriedades da Média Aritmética e do Desvio Padrão, o mesmo também ocorresse
com a Variância!
Teremos, portanto, que aprender a trabalhar a questão de Variância,
associada ao estudo da Variável Transformada!
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Vamos a um exemplo ilustrativo:
Exemplo: Consideremos a transformação Z=(X-30)/3. Sabendo que a Variância do
atributo Z é S 2 (z)=3,0, determine a Variância da variável X.
Sol.:
Tenho certeza que já sabemos como proceder, frente a uma questão como essa!
Naturalmente, teremos que “desenhar” o Caminho de Ida e o Caminho de Volta, que
consistem na “transformação” descrita pelo enunciado. Assim, teremos:
Caminho de Ida
1º)(-30) e 2º)(÷3)
S 2 (x)=? Xi Zi S 2 (z)=3,0
Variável Original Variável Transformada
2º)(+30) e 1º)(x3)
Caminho de Volta
Resta-nos agora apenas percorrermos as operações do Caminho de Volta,
lembrando-nos das propriedades da Variância! Assim, teremos:
1º)(x3) Pensaremos assim: operações de multiplicação influenciam a Variância?
Sim! De que forma? De forma que a nova Variância será a Variância original
multiplicada pelo quadrado da constante!! Logo, faremos: 3,0 x (3) 2 = 3,0 x 9,0
= 27,0
2º)(+30) Perguntaremos o seguinte: operações de soma influenciam a Variância?
A resposta é “não”! Logo, deixaremos de efetuar essa segunda conta! Portanto,
alcançamos a resposta desejada, que será o resultado da primeira operação do
Caminho de Volta!
Ou seja: S 2 (x)=27,0 Resposta da Questão!
Vamos aí a uma questão de prova!
Extraída do AFRF 2002.1:
Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se
2
∑ Z . fi =1680 , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de
classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X.
a) 720,00
b) 840,20
c) 900,00
d) 1200,15
e) 560,30
Obs.: Considerando informações da primeira questão desta prova, teremos que o
número de elemento deste conjunto é n=200.
Sol.: Vamos iniciar esta questão “desenhando” os Caminhos de Ida e de Volta,
percorridos para sairmos da variável original – Xi – e chegarmos à transformada –
Yi -, e vice-versa! Teremos:
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Caminho de Ida
1º)(-140) e 2º)(÷10)
S 2 (x)=? Xi Zi Z 2 .fi=1680,
Variável Original Variável Transformada
2º)(+140) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
Daí, procuraremos em nossas fórmulas da Variância, alguma delas com a qual
possamos trabalhar o dado fornecido pela questão! Ou seja, alguma fórmula na qual
apareça o PM 2 .fi.
Se tomarmos as fórmulas convencionais, veremos que todas trabalham com os
desvios (Xi- X ) 2 ou (PM- X ) 2 . Como não dispomos desta informação para a variável
transformada Zi, então já percebemos que iremos usar, de fato, a fórmula
desenvolvida da Variância!
Teremos, como vimos acima, as seguintes possibilidades:
(I)
(II)
(III)
S
S
2
S
2
1 ⎡
= ⎢∑
PM
n ⎢
⎣
2
⎛
= ⎜
⎝
∑
PM
n
1 ⎡
= ⎢∑
PM
n −1
⎢
⎣
2
2
. fi −
. fi ⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
2
. fi −
( ∑ PM.
fi)
n
∑
2
⎤
⎥
⎥
⎦
PM.
fi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
2
( ∑ PM.
fi)
n
Já sabemos que a fórmula (III) se aplicará aos casos em que o conjunto
apresentado for uma amostra! É o nosso caso? Sim! Uma vez que o enunciado
solicitou o cálculo da Variância Amostral!
De uma forma ou de outra, parece-me que o enunciado foi falho em apresentar
os dados, pois se observarmos qualquer destas três possibilidades, veremos que
nos foi fornecida apenas a primeira parte da fórmula, ou seja, a parte que trata
do (Σ PM 2 .fi). Não temos nada a respeito do que seria o valor de (Σ PM.fi) 2 !!
E outra: se o elaborador queria mesmo que trabalhássemos com uma resolução
rápida (quase imediata), também não deveria tratar o conjunto como uma amostra.
Senão vejamos:
Se nosso conjunto não se tratasse de uma amostra, utilizaríamos a fórmula
(II), e teríamos o seguinte:
2
⎤
⎥
⎥
⎦
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S
2
⎛
= ⎜
⎝
∑
PM
n
2
. fi ⎞ ⎛
⎟ − ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
∑
PM.
fi ⎞
⎟
n ⎟
⎠
Daí, faríamos ainda a seguinte consideração: a segunda parcela desta fórmula
tem como denominador o n 2 . Como n é igual a 200, teríamos, portanto que n 2 =40.000.
Ora, qualquer coisa dividida por 40.000 torna-se um valor muito pequeno, que
poderíamos “desprezar”.
Destarte, reduziríamos nossa fórmula (II) a apenas:
S
2
⎛
= ⎜
⎝
∑ PM
n
E, agora sim, usaríamos o dado fornecido pelo enunciado, pelo qual
chegaríamos ao seguinte:
S
2
⎛
= ⎜
⎝
∑ PM
n
2
.
fi ⎞
⎟
⎠
S
2
2
.
fi ⎞
⎟
⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ 2
Z . fi
2 ⎛1680
⎞
( Z)
S ( Z)
= ⎜ ⎟
n
⎝ 200 ⎠
2
2
( Z)
=
Na seqüência, retornaremos aos Caminhos, para enfim percorrermos o de Volta
e chegarmos ao valor da Variância da Variável original, lembrando-nos das
propriedades da Variância. Teremos:
Daí:
Caminho de Ida
S
8,
40
1º ) (-140 ) e 2º )( ÷ 10)
S 2 (x)=? Xi Zi S 2 (z)=8,4
Variável Original Variável Transformada
2º)(+140) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
1º)(x10) Multiplicaremos pelo quadrado da constante! (Lembrados?). Ou seja,
faremos: 8,4 x (10) 2 = 8,4 .100 = 840,00
2º)(+140) Se a operação agora é de soma, sabemos que não a efetuaremos com a
Variância, uma vez que esta medida não se altera diante de somas ou subtrações!
Portanto, chegamos onde queríamos, realizando apenas a primeira conta do
Caminho de Volta!
Ou seja: S 2 (x)=840,0 Resposta da Questão!
O problema é que, procurando no resultado, não achamos exatamente esta
resposta! O que encontramos é uma bem próxima, que é a letra (b): 840,20 que, por
sinal, é o gabarito oficial da questão! E esta é, de fato, a resposta a qual
chegaríamos, se tivéssemos usado o caminho mais demorado, e aplicado a fórmula
convencional da Variância. Querem ver?
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ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 12 de 15
Apresentarei o conjunto fornecido pela questão, já com a coluna da freqüência
absoluta simples! Foi o seguinte:
Classes fi
70 – 90
90 – 110
110 – 130
130 – 150
150 – 170
170 – 190
190 - 210
O valor da Média foi determinado na primeira questão desta prova, de forma
que, quando chegássemos a este presente enunciado, já disporíamos do seu valor!
Teremos, pois que: X =138,00.
Como dito acima, vamos encontrar para esse conjunto o valor da Variância
amostral, usando a fórmula convencional! Empregaremos, portanto:
2
( − ) .
2
=
−1
∑ PM X fi
S
n
Obs.: Não podemos esquecer da Correção de Bessel, ou seja, do “menos 1” no
denominador, uma vez que estamos trabalhando com uma amostra!
1 o Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios!
Classes fi PM
70 – 90 10 80
90 – 110 20 100
110 – 130 50 120
130 – 150 60 140
150 – 170 30 160
170 – 190 20 180
190 - 210 10 200
2 o Passo) Construir a coluna do (PM- X ):
Classes fi PM
70 – 90
90 – 110
110 – 130
130 – 150
150 – 170
170 – 190
190 - 210
10
20
50
60
30
20
10
3 o Passo) Construir a coluna do (PM- X ) 2 :
Classes fi PM
70 – 90
90 – 110
110 – 130
130 – 150
150 – 170
170 – 190
190 – 210
10
20
50
60
30
20
10
80
100
120
140
160
180
200
80
100
120
140
160
180
200
10
20
50
60
30
20
10
(PM- X )
-58
-38
-18
2
22
42
62
(PM- X ) (PM- X ) 2
-58
-38
-18
2
22
42
62
3.364,
1.444,
324,
4,
484,
1.764,
3.844,
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ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 13 de 15
4 o Passo) Construir a coluna do [(PM- X ) 2 .fi] e determinar seu somatório:
Classes fi PM
70 – 90
90 – 110
110 – 130
130 – 150
150 – 170
170 – 190
190 - 210
5 o Passo) Aplicar a fórmula.
Teremos:
10
20
50
60
30
20
10
80
100
120
140
160
180
200
(PM- X ) (PM- X ) 2
-58
-38
-18
2
22
42
62
3.364,
1.444,
324,
4,
484,
1.764,
3.844,
(PM- X ) 2 .fi
33.640,
28.880,
16.200,
240,
14.520,
35.280,
38.440,
n=200 167.200,
( PM − X )
2
.
2
=
−1
∑ fi
S
n
Essa sim, igual a do gabarito!
2 167.
200
S =
( 200 −1)
2 167.
200
S =
199
2
E: S = 840,
20 Resposta da Questão!
Agora comparemos as duas resoluções. Nem há como fazer isso...! Levaríamos
infinitamente mais tempo para resolver pela fórmula convencional (segunda
resolução), do que pela fórmula desenvolvida (primeira resolução), embora aqui
tivéssemos que fazer uma série de considerações e encontraríamos, ainda assim,
uma resposta aproximada.
Ufa!
E aí, meus amigos? Ultimamente este modelo de questão acima é o que tem sido
normalmente cobrado em provas de estatística dos concursos. Ou seja: questões que
trabalham com a variável transformada!
Veremos agora o Coeficiente de Variação, o qual praticamente encerrará
nossos estudos sobre as Medidas de Dispersão!
# Coeficiente de Variação de Pearson: CV
Falaremos rápido a respeito do Coeficiente de Variação!
A primeira consideração é que o CV é uma Medida de Dispersão Relativa! O que
é isso? É um tipo de medida que se utiliza de uma relação entre o valor do Desvio
Padrão e o valor de uma Medida de Tendência Central.
Existem, portanto, diferentes tipos de Coeficiente de Variação! Interessarnos-á
apenas um: o CV de Pearson! Este consiste no quociente entre o valor do
Desvio Padrão e o valor da Média Aritmética do conjunto. Ou seja:
S
CV =
X
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ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 14 de 15
Por isso chama-se Dispersão Relativa: é o valor do Desvio Padrão em relação
a alguém! E esse alguém é a Média!
Portanto, se conhecermos, para um determinado conjunto, o valor do Desvio
Padrão e o valor da Média Aritmética, então já poderemos calcular imediatamente o
Coeficiente de Variação!
Outra observação importante: o CV é uma medida adimensional. Ou seja, não
tem unidade! Por exemplo, se estivermos analisando um conjunto cujos elementos
representam a altura de um grupo de pessoas, medidas em quilogramas (kg). Dessa
forma, se calcularmos os valores do Desvio Padrão e da Média Aritmética desse
conjunto, ambos estarão representados igualmente em quilogramas. Daí, se
quisermos calcular o Coeficiente de Variação deste mesmo conjunto, teremos:
S(
kg)
CV = , de forma que as unidades se anularão, e o que restará será um
X ( kg)
resultado adimensional! Esta observação já foi exigida em uma prova antiga, em
uma questão teórica!
Atualmente, é outro o enfoque das questões de concurso a respeito do
Coeficiente de Variação! Vejamos o enunciado abaixo, extraído da prova do AFRF
2001:
Questão) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber,
representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M=100 e o
desvio-padrão S=13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o
coeficiente de variação amostral de X.
a) 3,0%
b) 9,3%
c) 17,0%
d) 17,3%
e) 10,0%
Sol.: Este enunciado é o “retrato” atual das questões que envolvem cálculo do CV!
Novamente aqui teremos que trabalhar com a variável transformada! Desenharemos,
pois, os Caminhos de Ida e Volta de transformação das variáveis, da forma
determinada pela questão! Teremos:
Caminho de Ida
1º)(-200) e 2º)(÷5)
X =? Xi Zi Z =100,
Sx=? Variável Original Variável Transformada Sz=13,
2º)(+200) e 1º)(x5)
Caminho de Volta
Tenho certeza que já sabemos qual será nosso procedimento! Estou certo?
Claro! Teremos que trabalhar, individualmente, com as duas medidas que
conhecemos: Média e Desvio-Padrão!
Daí, primeiro encontraremos o valor da Média da variável original,
percorrendo o Caminho de Volta e lembrando as propriedades da Média.
Depois, faremos o mesmo para o Desvio-Padrão, ou seja: percorreremos o
Caminho de Volta partindo do Sz, e lembrando-nos das propriedades do Desvio-
Padrão!
Página 14 de 15

ESTATÍSTICA *** Ponto 24 – MEDIDAS DE DIPERSÃO – PARTE 03 *** Pág. 15 de 15
Fazendo isso, chegaremos ao que nos interessa: os valores da Média e do
Desvio-Padrão da variável original. E aí, fica fácil! Só nos restará aplicar a
fórmula do CV.
Passemos ao passo de achar a Média X :
1º)(x5) Multiplicaremos pela constante!
Ou seja, faremos: 100 x 5 = 500
2º)(+200) Somaremos ao valor da constante!
Teremos, portanto: 500+200= 700
Encontraremos agora o Sx:
Ou seja: X =700
1º)(x5) Multiplicaremos pela constante!
Ou seja, faremos: 13 x 5 = 65
2º)(+140) A soma não influencia o valor do Desvio-Padrão!
S
CV =
X
Ou seja: Sx=65
Daí, aplicando agora a fórmula do Coeficiente de Variação, teremos que:
65
CV = E: CV = 0,
093 CV=9,3% Resposta da Questão!
700
É isso! Ficaremos hoje por aqui! E encerramos, com isso, o estudo das
Medidas de Dispersão!
Irei tentar selecionar algumas boas questões de prova, e as colocarei na
próxima aula, sob título de SIMULADO 02. Que tal?
Aos apressadinhos de plantão (e como tem gente “aperreada” com a expectativa
do edital...!), digo que estamos bem mais próximos que distantes de vermos toda a
teoria para a prova do AFRF.
O momento é de manter a calma, a tranqüilidade e a perseverança!
Após o simulado da próxima aula, veremos Assimetria e Curtose, que são dois
assuntos facílimos!! E rápidos! E ficará restando apenas Números Índices!
Nas minhas contas, vai dar tempo de sobra!
Quero mandar um abraço forte ao meu amigo Prof. João Antônio, com quem
estive essa semana passada no Recife (eu estava de férias!), dando aulas de
Matemática Financeira para várias turmas (cerca de 800 alunos!), culminando com
um “aulão”, ocorrido no Teatro Guararapes. O Prof. João Antônio registrou alguns
momentos deste aulão e os colocou no seu site pessoal, o .
Se alguém quiser conferir, é só acessar.
Dedico esta nossa aula a todos os que, assim como eu, estão aniversariando
hoje! (O Serginho aqui está fazendo 31...)
Um abraço forte a todos! Até a próxima!
Página 15 de 15

ESTATÍSTICA *** Ponto 25 – SIMULADO 02 *** Pág. 1 de 3
SIMULADO 02
Olá, amigos! Conforme combinado, apresentamos hoje nosso segundo
simulado, envolvendo apenas questões de concurso acerca dos assuntos já
estudados em nossas aulas!
Diferentemente do simulado anterior, estamos apresentando apenas os
enunciados, e deixamos as resoluções para o início do próximo Ponto.
Convém que ninguém deixe de tentar resolver esse simulado, e mais
agora que os concursos fiscais foram autorizados! O momento é de
intensificar os estudos, porém com tranqüilidade e, sobretudo, com
planejamento!
Vamos às questões...
1. (TTN-94) Marque a alternativa correta:
a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior freqüência
relativa acumulada (crescentemente).
b) A freqüência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das
freqüências simples em ordem decrescente.
c) Em uma distribuição de freqüências existe uma freqüência relativa
acumulada unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de
classe.
d) O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior freqüência
absoluta simples.
e) Os intervalos de classe de uma distribuição de freqüência têm o
ponto médio eqüidistante dos limites inferior e superior de cada
classe e sua amplitude ou é constante ou guarda uma relação de
multiplicidade com a freqüência absoluta simples da mesma classe.
(AFC-94) Para a solução das três próximas questões (2, 3 e 4) considere
os dados da tabela abaixo, que representa a distribuição de freqüências
das notas em uma prova de estatística aplicada em três turmas de 100
alunos cada.
Classes Freqüências das Notas na Prova de Estatística
de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03
0 !--- 2
20
10
5
2 !--- 4
40
15
10
4 !--- 6
30
50
70
6 !--- 8
6
15
10
8 !--- 10
4
10
5
Total 100 100 100
2. (AFC-94) Assinale a afirmação correta:
a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3)
b) Média (turma 1) > Média (turma 2)
c) Média (turma 2) < Média (turma 3)
d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2)
e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3)

ESTATÍSTICA *** Ponto 25 – SIMULADO 02 *** Pág. 2 de 3
3. (AFC-94) A única opção errada é:
a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3)
b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3)
c) média (turma 2) = média (turma 3)
d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3)
e) na turma 3: média = mediana = moda
4. (AFC-94) A distribuição de notas é simétrica em relação à média
aritmética:
a) Nas três turmas
b) Nas turmas 1 e 2
c) Nas turmas 1 e 3
d) Somente na turma 1
e) Nas turmas 2 e 3
5. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00
e o desvio-padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um
aumento de 10%. O salário médio passou a ser de:
a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00
b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00
c) $ 95.000,00
6. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão
positivo b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção
correta.
a) A média amostral de Z coincide com a de W.
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.
d) A média de Z é a/b.
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.
7. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades
apropriadas, tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a
opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra,
do atributo Y = 5 + 5W.
a) 16,7%
b) 20,0%
c) 55,0%
d) 50,8%
e) 70,2%
ESTATÍSTICA *** Ponto 25 – SIMULADO 02 *** Pág. 3 de 3

8. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda
de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25
revendedores, a tabela de freqüências seguinte:
Classe de
Preços
[ 5 – 9) 7 3
[ 9 – 13) 11 5
[13 – 17) 15 7
[17 – 21) 19 6
[21 – 25) 23 3
[25 – 29) 27 1
As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da
classe de preços i. Sabendo-se que:
∑(fi mi 2 ) – (∑ fi mi) 2 / 25 ≈ 694
assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.
a) 0,5 (347/3) 0.5
b) 6
c) 0,9 (345/3) 0.5
d) 28,91
e)
8
Boa sorte a todos! Resoluções na próxima aula. Até lá!
mi
fi

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 1 de 9
RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02
Olá, amigos! Sem perda de tempo, passemos às resoluções do Simulado
02! Vamos às questões!
1. (TTN-94) Marque a alternativa correta:
a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior freqüência
relativa acumulada (crescentemente).
Sol.: Falso! O intervalo que contém a Moda, sabemos bem disso, é o da
Classe Modal, a qual é aquela que possui maior freqüência absoluta
simples, ou seja, maior fi!
b) A freqüência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das
freqüências simples em ordem decrescente.
Sol.: Falso! A coluna “apelidada” de abaixo de, conforme já estamos
cansados de saber, é a coluna da freqüência absoluta acumulada
crescente – fac! E, portanto, é uma freqüência que se acumula pela soma
da freqüência simples, em ordem crescente!
c) Em uma distribuição de freqüências existe uma freqüência relativa
acumulada unitária, ou no primeiro, ou no último intervalo de
classe.
Sol.: Verdadeiro! Conforme estudamos, no tocante às freqüências
relativas acumuladas, a Fac(↓) termina com 100% e a Fad (↑) começa com
100%. E 100%=1, logo, este item está perfeito!
d) O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior freqüência
absoluta simples.
Sol.: Falso! Tornar-se-ia correto este item, se trocássemos a palavra
“mediana” pela palavra “moda”. Pois sabemos que a classe de maior fi é
justamente a Classe Modal!
e) Os intervalos de classe de uma distribuição de freqüência têm o
ponto médio eqüidistante dos limites inferior e superior de cada
classe e sua amplitude ou é constante ou guarda uma relação de
multiplicidade com a freqüência absoluta simples da mesma classe.
Sol.: Falso! Esta proposição está correta até a palavra “classe” no
começo da terceira linha! Daí em diante, a informação que passou a ser
fornecida está inteiramente equivocada, uma vez que inexiste qualquer
relação (de multiplicidade ou outra) entre a amplitude da classe – h –
e a freqüência absoluta simples – fi.

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 2 de 9
(AFC-94) Para a solução das três próximas questões (2, 3 e 4) considere
os dados da tabela abaixo, que representa a distribuição de freqüências
das notas em uma prova de estatística aplicada em três turmas de 100
alunos cada.
Classes Freqüências das Notas na Prova de Estatística
de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03
0 !--- 2
20
10
5
2 !--- 4
40
15
10
4 !--- 6
30
50
70
6 !--- 8
6
15
10
8 !--- 10
4
10
5
Total 100 100 100
2. (AFC-94) Assinale a afirmação correta:
a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3)
b) Média (turma 1) > Média (turma 2)
c) Média (turma 2) < Média (turma 3)
d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2)
e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3)
Sol.: Façamos uma análise preliminar acerca das três distribuições de
freqüências que nos foram fornecidas! Já disse em outras ocasiões e
repito aqui: nossa primeira preocupação ao nos depararmos com uma
distribuição em nossa prova será a de verificar se ela é simétrica ou
não!
Neste caso, facilmente constatamos que são simétricos os conjuntos
“Turma 02” e “Turma 03”. Como as três distribuições têm as mesmas
classes, já podemos, somente lembrando das dicas de ouro do nosso curso,
concluir que:
Média (turma 2) = Moda (turma 2) = Mediana (turma 2) = 5
Média (turma 3) = Moda (turma 3) = Mediana (turma 3) = 5
Uma vez que 5 é o Ponto Médio da classe intermediária!
Somente por esta constatação, já eliminamos das possibilidades de
resposta as opções a, c e e, as quais fazem comparativos entre medidas
das turmas 2 e 3.
Restam-nos, portanto, duas opções. Na letra b, o item compara a Média
das turmas 1 e 2. Na letra d, compara a Mediana destas mesmas turmas.
Daí, como já sabemos que Média e Mediana da turma 2 têm valor igual a 5,
bastaria que calculássemos ou Média, ou Mediana da turma 1 e chegaríamos
à resposta!
Todavia, podemos até poupar esse trabalho, se tivermos o seguinte
raciocínio: O que significa a Mediana de um conjunto? Significa aquele
elemento que o divide em duas partes iguais, ou seja, exatamente ao meio.

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 3 de 9
Se olharmos bem para a turma 1, veremos que a maior parte dos seus
elementos (90% deles) se encontra distribuído nas três primeiras classes.
Daí, podemos estar certos de que a Mediana deste conjunto será um valor
menor do que o valor que seria encontrado caso a distribuição fosse
simétrica.
Não é claro isso? Então, por mera dedução, concluímos que a resposta
da questão é a letra a. Caso, na hora da prova, não conseguíssemos
desenvolver esse raciocínio, calcularíamos a Média ou a Mediana da turma
1 (só é preciso uma delas!) e chegaríamos à mesma resposta correta!
3. (AFC-94) A única opção errada é:
a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3)
b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3)
c) média (turma 2) = média (turma 3)
d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3)
e) na turma 3: média = mediana = moda
Sol.: As opções c e e trazem assertivas verdadeiras, conforme já havíamos
concluído pela análise da questão anterior. Logo, uma vez que a questão
quer saber a opção errada, aquelas já estão excluídas das nossas
possibilidades de resposta!
Agora, observemos as letras b e d. Elas comparam Desvio-Padrão e
Coeficiente de Variação das turmas 2 e 3.
Acerca das turmas 2 e 3, já sabemos que ambas são simétricas e,
portanto, têm a mesma Média, Moda e Mediana.
Lembremos, então, de qual é a relação que há entre o Coeficiente de
Variação (CV) e o Desvio-Padrão (S) de um conjunto:
S
CV =
X
Ora, uma vez que, para as turmas 2 e 3, o valor da Média (que é o
denominador da fórmula) é o mesmo, então podemos concluir que, nesse
caso:
Se S(turma 2) > S(turma 3) ⇒ CV(turma 2) > CV(turma 3) e
Se S(turma 2) < S(turma 3) ⇒ CV(turma 2) < CV(turma 3)
Em suma: se a opção b estiver correta, necessariamente a opção d
também o estará! E se a opção b estiver errada, necessariamente o mesmo
valerá para a opção d. Como nesta questão só poderemos ter um único item
errado, a opção que nos restou foi a letra a, que é exatamente a nossa
resposta!
Daí: Opção a Resposta da Questão!

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 4 de 9
Obs.: A prova da ESAF de estatística geralmente é assim: ela é feita para
dar tempo de ser resolvida, desde que o aluno perceba os caminhos que o
levarão a economizar o tempo de resolução! São exatamente estes caminhos
que estou tentando mostrar aqui!
4. (AFC-94) A distribuição de notas é simétrica em relação à média
aritmética:
a) Nas três turmas
b) Nas turmas 1 e 2
c) Nas turmas 1 e 3
d) Somente na turma 1
e) Nas turmas 2 e 3
Sol.: Esta era a mais fácil desta seqüência! Aliás, já sabíamos sua
resposta desde o início: são simétricas as distribuições “turma 2” e
“turma 3”.
Portanto: Opção e Resposta da Questão!
5. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00
e o desvio-padrão era de $10.000,00. Todos os salários receberam um
aumento de 10%. O salário médio passou a ser de:
a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00
b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00
c) $ 95.000,00
Sol.: Uma questão bastante fácil, desde que saibamos ler as entrelinhas
do enunciado!
O que precisamos fazer aqui é apenas traduzir a informação fornecida
pela questão! E a informação foi a seguinte: todos os elementos do
conjunto sofreram um aumento de 10%.
Que operação é essa, aumentar 10%? É uma soma? É um produto? É uma
divisão? Qual?
Podemos fazer um teste. Usemos os elementos 100, 200 e 300.
100 aumentado de 10% vai para 110;
200 aumentado de 10% vai para 220;
300 aumentado de 10% vai para 330.
Daí, qual seria a mesma operação que aplicaríamos aos valores 100,
200 e 300, para que os resultados fossem exatamente aqueles (110, 220 e
330).
Todos enxergaram, agora? É um produto!
Aumentar um valor em 10% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,10.

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 5 de 9
Agora é só lembrar das propriedades da Média, e recordar que se
multiplicarmos todos os elementos do conjunto por uma constante, nossa
nova Média ficará também multiplicada por esta mesma constante!
Daí: Média original=90.000
E: 90.000 x 1,10 = 99.000,00 Opção d Resposta da Questão!
6. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠0 e desvio padrão
positivo b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção
correta.
a) A média amostral de Z coincide com a de W.
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.
d) A média de Z é a/b.
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.
Sol.: Também uma questão muito fácil! O que complica um pouco é a mistura
das letrinhas! Então, minha dica é que demos “nomes aos bois”, mas
aqueles nomes com os quais já estamos acostumados.
Por exemplo: a questão chamou média da variável W de a. Nós a
chamaremos de W ! A questão chamou Desvio-Padrão da variável W de b. Nós
o chamaremos de Sw.
Logo, a transformação proposta pelo enunciado, quando traduzido para
a nossa nomenclatura convencional, ficará a seguinte:
Z =
( W −W
)
Onde: W é nossa Variável Original e Z, nossa Variável Transformada!
Daí, desenhemos os Caminhos de Ida e Volta desta transformação:
Sw
Caminho de Ida
1º)(-W ) e 2º)(÷Sw)
Sw Wi Zi Sz
W Variável Original Variável Transformada Z
2º)(+W ) e 1º)(xSw)
Caminho de Volta
Agora, sim! Analisemos as opções!
a) A média amostral de Z coincide com a de W.

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 6 de 9
Sol.: Falso! Para sairmos de W e chegarmos a Z teremos que percorrer o
caminho de ida da transformação. Daí, faremos duas operações! Na primeira
delas, faremos (W -W )=0. Na segunda, dividiríamos o resultado por Sw.
Ora, zero dividido por qualquer coisa é zero, mesmo! Daí, concluímos que
o Z =0. Como o enunciado falou que o W é um valor diferente de zero,
então concluímos que W e Z não podem ser iguais!
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
Sol.: Teremos que nos lembrar da fórmula do Coeficiente de Variação! No
caso da variável transformada Z, será a seguinte:
Sz
CV =
Z
Como o item quer saber a respeito do CV da variável transformada Z,
teremos que conhecer os valores da sua média e do seu desvio-padrão! Para
isso, percorreremos o Caminho de Ida da transformação!
Primeiramente, com a Média W ! Teremos:
Caminho de Ida
1º)(-W ) e 2º)(÷Sw)
W Wi Zi Z
Variável Original Variável Transformada
Logo na primeira operação, quando fizermos W -W , chegaremos a zero!
E zero dividido por qualquer coisa (2 a operação) fica zero, mesmo!
Conclusão: a Média da Variável Transformada - Z - é igual a zero.
Sz
Voltemos à fórmula da CV: CV =
Z
Ora, se achamos que Z =0 e está no denominador, então “matamos” a
questão! Pode haver zero no denominador? Não!
Então, “o coeficiente de variação amostral de Z, o CVz, não está
definido”. É o que reza a opção c!
Portanto: Opção c Resposta da Questão!
7. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades
apropriadas, tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a
opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra,
do atributo Y = 5 + 5W.
a) 16,7%
b) 20,0%
c) 55,0%
d) 50,8%
e) 70,2%

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 7 de 9
Sol.: Facílima esta questão! Sobretudo se desenharmos os caminhos da
transformação da variável proposta pelo enunciado!
Aqui, uma observação importante: olhemos bem para essa transformação
trazida pela questão! Nossa variável original é W. Qual foi a primeira
operação realizada com o W? Foi somar mais 5 ou foi multiplicar por 5? O
produto foi a primeira! (Não é o produto que está acompanhando o nosso
W?). Daí, o desenho será o seguinte:
Caminho de Ida
1º ) (x5) e 2º)( +5)
Sw=1 Wi Yi Sy=?
W =5 Variável Original Variável Transformada Y =?
2º)(÷5) e 1º)(-5)
Caminho de Volta
A questão quer saber o valor do CV da variável Y. Nossa fórmula do CV
para esta variável será, portanto:
Sy
CV =
Y
Daí, conhecendo os valores da Média e do Desvio-Padrão da variável
original W, só precisaremos percorrer o Caminho de Ida da transformação
acima desenhada, recordando-nos das propriedades destas duas medidas.
Comecemos com a Média:
Temos: W =5, logo: 1 o ) 5x5=25 e 2 o )25+5=30. Daí: Y =30
Trabalhando com o Desvio –Padrão, teremos:
SW=1, logo: 1º) 1x5=5 e
2º)Soma não altera o S. Daí: Sy=5
Finalmente, aplicando a fórmula do Coeficiente de Variação, teremos:
Sy
5
CV = CV = E: CV=0,167=16,7% Opção a Resposta da Questão!
Y
30

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 8 de 9
8. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda
de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25
revendedores, a tabela de freqüências seguinte:
Classe de
Preços
mi fi
[ 5 – 9) 7 3
[ 9 – 13) 11 5
[13 – 17) 15 7
[17 – 21) 19 6
[21 – 25) 23 3
[25 – 29) 27 1
As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da
classe de preços i. Sabendo-se que:
∑(fi mi 2 ) – (∑ fi mi) 2 / 25 ≈ 694
assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.
a) 0,5 (347/3) 0.5
b) 6
c) 0,9 (345/3) 0.5
d) 28,91
e) 8
Sol.: Outra questão bastante fácil! Até parece mais uma questão de
Álgebra do que, propriamente, uma de Estatística!
O que precisaríamos, neste caso, era nos recordarmos da fórmula
desenvolvida do Desvio-Padrão, para o caso da Distribuição de
Freqüências, e para o caso da amostra, ou seja, incluindo o fator de
correção de Bessel! Estamos lembrados disso?
Nossa fórmula seria, portanto:
( PM.
fi)
2
1 ⎡
⎤
2
⎢ ∑ S = ∑ PM . fi −
⎥
n −1
⎢
n
⎣
⎥
⎦
Se fizermos o somatório da coluna do fi, descobriremos que o número
de elementos do nosso conjunto será n=25
Agora, observemos que o valor do colchete da fórmula acima já foi
fornecido pelo enunciado! E é igual a 694.
Daí, resta-nos concluir as nossas contas! Teremos que:
694
S = S
= 28,
91
24

ESTATÍSTICA *** Ponto 26 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 02 *** Pág. 9 de 9
Encontramos aí uma resposta parecida com a opção d. Mas, parecido não
é igual! A letra d não traz o sinal da raiz! Logo, percebemos que vamos
ter que desenvolver o nosso radical, até encontrarmos uma das outras
opções de resposta!
Dividindo numerador e denominador por 2, teremos:
S =
Agora, fatorando o 12, teremos:
694
=
24
( ) 5 , 0
694 347 347 1 347
S = = = = . = 0,
5.
347 / 3 Opção a Resposta da Questão!
24 12 4x3
2 3
É isso, meus amigos!
347
12
Como se saíram neste segundo simulado? Espero que bem!
Não demora muito agora, até termos visto o restante do programa do
AFRF!
Próxima aula, aprenderemos a calcular os Coeficientes de Assimetria.
Na seqüência, veremos o estudo da Curtose. E, para fechar a matéria,
Números Índices!
Estou certo que haverá tempo de sobra...
Tenho uma notícia em primeira mão! É a respeito do meu livro de
Estatística Básica Para Concursos. Agora é pra valer: estou apenas dando
o acabamento final, e logo, logo, se Deus quiser, estará à venda nas
livrarias desse “Brasilzão sem porteira”...
Fico hoje por aqui! Um abraço forte a todos! E até a próxima!

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 1 de 10
Olá, amigos! Tudo bem?
MOMENTOS ESTATÍSTICOS
Na última aula concluímos o estudo das Medidas de Dispersão. Anteriormente,
havíamos já encerrado também a análise das Medidas de Posição. Destarte, para
darmos termo à descrição de um conjunto, resta-nos apenas conhecer duas de suas
características, que dizem respeito ao “formato” da Curva de Freqüência!
Uma destas características é a Assimetria, cujas primeiras noções já foram
vistas em aula anterior. A segunda, chamada Curtose, trata acerca do achatamento
da curva!
São, portanto, estes dois assuntos – Assimetria e Curtose - que nos faltam
estudar, para compor todo o “time” da Estatística Descritiva! Todavia, para
passarmos a estes assuntos, teremos que conhecer um outro tipo de medida
estatística, o qual chamamos de Momentos!
Se verificarmos alguns editais de concursos anteriores, constataremos que
este assunto – Momentos – não consta como parte dos programas! Ora, se não são
exigidos expressamente, por que então teremos que estudá-los? Por um motivo muito
simples. Sem conhecer os Momentos Estatísticos, não teremos condições de chegar
aos resultados dos índices de Assimetria e de Curtose!
Destarte, pensaremos nos Momentos como um assunto intermediário (um “ator
coadjuvante”), para chegarmos às respostas principais, que virão nas nossas
provas, quais sejam: Assimetria e Curtose!
# Tipos de Momentos:
Teremos três tipos distintos de Momentos:
- Momento Natural;
- Momento Centrado numa Origem Qualquer; e
- Momento Centrado na Média Aritmética.
Para cada um destes tipos de Momento, aprenderemos como calculá-lo para o
rol, para os dados tabulados e para a distribuição de freqüências.
# Momento Natural de Ordem r :
Momento Natural para o Rol:
Será determinado pela seguinte fórmula:
( Xi)
Exemplo:
Consideremos o conjunto W = {1, 2, 3, 4, 5}
m
Determinemos
o valor do Momento Natural de Ordem 1 para o conjunto acima.
Sol.: Teremos que o “1” de “ordem 1” substituirá o r da fórmula. Daí:
r
=
∑
n
r

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 2 de 10
m
r
∑
( Xi)
=
n
r
1 1 1 1
( 1)
+ ( 2)
+ ( 3)
+ ( 4)
+ ( 5)
1
15
1 = = = 3
5
5
∑ m Resposta!
Pela mera observação, concluímos que o Momento Natural de Ordem 1 (ou
Primeiro Momento Natural) de um conjunto é a mesma coisa que a sua Média
Aritmética!
Determinemos para o mesmo conjunto W, o valor do Momento Natural de Ordem 2 (ou
Segundo Momento Natural).
Sol.: Neste caso, em lugar do r da fórmula, usaremos o 2 de “ordem 2”. Daí,
teremos:
m
r
∑
( Xi)
=
n
r
2 2 2 2
( 1)
+ ( 2)
+ ( 3)
+ ( 4)
+ ( 5)
2
55
2 = = = 11
5
5
∑ m Resposta!
E assim por diante! Se quiséssemos calcular, por exemplo, o Momento Natural
de Ordem 8, nossa contas seriam:
m
8
=
∑
8 8 8 8
( 1)
+ ( 2)
+ ( 3)
+ ( 4)
+ ( 5)
Não daremos este resultado acima para não perdermos mais tempo com as
contas. O que importa é saber como se calcula! E isso, acho que já conseguimos.
Momento Natural para Dados Tabulados:
Veremos aqui que as fórmulas dos Momentos seguem as mesmas regras de
transição das fórmulas da Média Aritmética! Portanto, neste caso, para o Dados
Tabulados, repetiremos a fórmula do rol, e multiplicaremos o numerador por fi!
Termemos:
Exemplo: Consideremos o conjunto abaixo:
m
r
=
∑
5
( Xi)
n
r
. fi
Xi fi
Determinemos o valor do Momento Natural de Ordem 2.
Sol.: Neste caso, a nossa fórmula teria o seguinte formato:
1
2
3
4
2
3
2
1
8

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 3 de 10
m
2
=
∑
( Xi)
Daí, como primeiro passo, construiremos a coluna do (Xi) 2 :
n
2
. fi
Xi fi Xi 2
1
2
3
4
2
3
2
1
Na seqüência, construiremos a coluna [(Xi) 2 .fi] e encontraremos o seu
somatório:
Finalmente, aplicamos a fórmula:
m
2
∑
1
4
9
16
Xi fi Xi 2
Xi 2 .fi
1 2 1 2
2 3 4 12
3 2 9 18
4 1 16 16
n=8 48
( Xi)
2
. fi
48
= m 2 = = 6 Resposta!
n
8
Somente isso! Caso tenhamos que determinar qualquer outro Momento Natural
para Dados Tabulados basta lembrar: o r da fórmula é a ordem daquele momento que
se deseja encontrar!
Como ficaria a fórmula, por exemplo, do Oitavo Momento Natural do conjunto
acima? Teríamos que:
m
8
=
∑
8 8 8
( 1)
. 2 + ( 2)
. 3 + ( 3)
. 2 + ( 4)
Não precisamos fazer essas contas agora! É só pra saber se entendemos a
fórmula! Ficou claro?
Momento Natural para Distribuição de Freqüências:
Prosseguindo aquela mesma seqüência de transições, chegaremos à fórmula
para a Distribuição de Freqüências se repetirmos a fórmula dos dados tabulados e,
em lugar do Xi (elemento individualizado) colocarmos o PM (Ponto Médio) da
classe! Teremos, pois, o seguinte:
m
r
=
∑
5
( PM )
n
r
. fi
8
. 1

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 4 de 10
Exemplo: Consideremos o conjunto abaixo.
Xi fi
0 - 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
Determinemos o valor do Momento Natural de Terceira Ordem!
Sol.: Nossa fórmula, adaptada ao Terceiro Momento Natural, será a seguinte:
m
3
=
∑
( PM )
Daí, como passo inicial, construiremos a coluna dos Pontos Médios:
n
1
2
2
1
3
. fi
Xi fi PM
0 - 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
Depois, faremos a coluna (PM) 3 :
1
2
2
1
2
6
10
14
Xi fi PM (PM) 3
0 - 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
1
2
2
1
2
6
10
14
8
216
1000
2744
Na seqüência, construiremos [(PM) 3 .fi], e acharemos seu somatório:
Xi Fi PM (PM) 3
(PM) 3. fi
0 – 4 1 2 8 8
4 – 8 2 6 216 432
8 – 12 2 10 1000 2000
12 – 16 1 14 2744 2744
N=6 5184
Daí, aplicaremos a fórmula:
m
3
∑
( PM )
# Momento Centrado Numa Origem Qualquer:
Para o rol:
3
. fi
5184
= m 3 = = 864 Resposta!
n
6
Aqui, neste segundo tipo de Momento, em lugar de usarmos no numerador
apenas o valor do elemento Xi, usaremos um desvio – uma diferença – entre o

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 5 de 10
elemento Xi e um elemento qualquer Yi. Por isso tem esse nome: “Centrado Numa
Origem Qualquer”.
Será calculado da seguinte maneira:
m
r
( Xi Y )
∑ −
=
n
Exemplo: Consideremos o conjunto V={1, 2, 3, 4}. Determinemos, para este
conjunto, o valor do “Momento de Ordem 3 Centrado na Origem 2”:
Neste caso, nossa fórmula adaptada ao que se está pedindo na questão seria
a seguinte:
( Xi 2 )
m
n
∑ −
3 =
Daí, a princípio, encontraremos o conjunto do (Xi-2):
Xi-2={(1-2), (2-2), (3-2), (4-2)} = {-1, 0, 1, 2}
Na seqüência, buscaremos o conjunto (Xi-2) 3 . Teremos:
Daí, tiramos que: ∑(Xi-2) 3 =8
Logo:
(Xi-2) 3 ={(-1) 3 , (0) 3 , (1) 3 , (2) 3 } = {-1, 0, 1, 8}
( Xi )
3
m
n
∑ − 2 8
3 =
m 3 = = 2 Resposta!
4
Para Dados Tabulados:
Obedecendo às regras de transição das fórmulas da Média, usaremos aqui a
seguinte fórmula:
Para a Distribuição de Freqüências:
Teremos que:
m
m
r
r
( Xi Y )
∑ −
=
n
r
( PM Y )
∑ −
=
n
Observação: Deixamos de colocar exemplos para as duas últimas fórmulas por um
motivo muito simples! Este segundo tipo de Momento – Centrado Numa Origem
Qualquer – não será usado por nós na nossa prova!
Destarte, apenas os citei para que saibamos que ele existe, mas não vale a
pena nos prolongarmos com exemplos que não nos serão úteis no concurso.
r
3
. fi
r
. fi

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 6 de 10
# Momento Centrado na Média Aritmética:
Esse sim, é o principal! É este que precisamos conhecer, e bem! Será
exatamente este tipo de Momento que encontraremos nas nossas fórmulas de
Assimetria e Curtose!!
Nossas fórmulas aqui serão as mesmas do Momento Centrado numa Origem
Qualquer, com uma diferença: em lugar da “origem qualquer (Y)”, colocaremos a
Média Aritmética do conjunto! Ou seja, a Média X será o valor de referência da
fórmula!
Para o rol:
Usaremos o seguinte:
m
r
( Xi X )
∑ −
=
n
Se durante nossa prova precisássemos determinar o Momento de Ordem 2
Centrado na Média, para um determinado conjunto, como ficaria nossa fórmula? Da
seguinte forma:
r
( Xi X )
m
n
∑ −
2 =
Agora olhemos bem para a fórmula acima!! É parecida com algo que já
conhecemos?
Acertou quem disse:”Sim! É igual à Variância”! Daqui, extraímos mais esta
conclusão: O Momento de Segunda Ordem Centrado na Média Aritmética de um conjunto
é o mesmo que a sua Variância!
Em 99% das questões de prova de estatística, quando eventualmente
precisarmos trabalhar com o cálculo do Momento, o faremos quando o conjunto vier
apresentado sob a forma de uma Distribuição de Freqüênicas. Então, vamos poupar
um pouco de tempo e apresentar as outras fórmulas, e deixar os exemplos para o
caso da Distribuição de Freqüências.
Para Dados Tabulados:
Teremos que:
Para Distribuição de Freqüências:
m
r
( Xi X )
∑ −
=
n
r
( PM X )
∑ −
mr
=
n
2
. fi
r
. fi

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 7 de 10
Obs.: Observemos que as fórmulas dos Momentos não sofrem a Correção de Bessel!
Estamos lembrados do Bessel? Para quem está esquecido, a correção de Bessel nada
mais é do que o “menos 1”, colocado nas fórmulas do Desvio-Padrão e da Variância,
quando o conjunto trazido pela questão representar uma amostra! Portanto, não
esqueçamos disso: Correção de Bessel é somente para Desvio Padrão (S) e para
Variância (S 2 )!
Exemplo: Consideremos o conjunto abaixo.
Xi fi
0 – 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
Determinemos o valor do Terceiro Momento Centrado na Média para o conjunto
acima.
Sol.: Para o que a questão solicitou, nossa fórmula será a seguinte:
m
3
1
2
2
1
( PM X )
∑ −
=
n
Ora, como o Momento será centrado na Média, o primeiro passo será,
necessariamente, calcular o X !
A pergunta: para essa distribuição de freqüências apresentada, precisaremos
fazer contas para determinar o valor da Média? Observaram bem? Então, perceberam
todos que se trata de uma distribuição simétrica (com um número par de classes!).
Daí, a Média (que será igual à Moda e à Mediana) será exatamente o limite
superior da primeira classe intermediária, que é também igual ao limite inferior
da segunda classe intermediária! Esta é uma das nossas Regras de Ouro!
Então, teremos que: X = 8
Como próximo passo, construiremos a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos,
portanto:
3
.
fi
Xi fi PM
0 - 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X ). Teremos:
1
2
2
1
ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 8 de 9
Xi fi PM
2
6
10
14
(PM- X )

0 - 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
1
2
2
1
Prosseguindo, encontraremos a coluna [(PM- X ) 3 ]. Ficaremos com:
Xi fi PM
0 – 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
1
2
2
1
2
6
10
14
2
6
10
14
-6
-2
2
6
(PM- X ) (PM- X ) 3
Observemos que não é preciso “decorar” esta seqüência de passos! Basta olharmos
para a fórmula – que será nossa guia! – e vermos o que dispomos e o que precisamos
encontrar. Daí, saberemos imediatamente qual será nosso passo seguinte! É assim sempre!!
O que nos falta agora é acharmos a coluna do [(PM- X ) 3 .fi] e determinarmos
seu somatório. Teremos, portanto:
Xi fi PM (PM- X ) (PM- X ) 3 (PM- X ) 3 .fi
0 – 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
1
2
2
1
2
6
10
14
-6
-2
2
6
-6
-2
2
6
-216
-8
8
216
-216
-8
8
216
-216
-16
16
216
n=6 0
Finalmente, aplicando a fórmula do Terceiro Momento, teremos:
3
∑( PM − X ) . fi
0
m3
= m 3 = = 0 Resposta!
n
6
Exemplo: Para o mesmo conjunto abaixo, determinemos o valor do Momento Centrado
na Média de Ordem 4. Eis o conjunto:
Xi fi
0 – 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
Nossa fórmula adaptada seria a seguinte:
4
∑( PM − X ) . fi
m4
=
n
Uma vez que se trata do mesmo conjunto do exemplo anterior, saltaremos aqui
os passos iniciais e apresentaremos já a coluna do (PM- X ). Teremos:
Xi fi PM
(PM- X )
0 - 4 1 2
-6
4 – 8 2 6
-2
8 – 12 2 10
2
12 – 16 1 14
6
1
2
2
1

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 9 de 10
Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X ) 4 :
Xi fi PM
0 - 4
4 – 8
8 – 12
12 – 16
1
2
2
1
E agora a coluna (PM- X ) 4 .fi:
2
6
10
14
(PM- X ) (PM- X ) 4
-6
-2
2
6
1296
16
16
1296
Xi fi PM (PM-
X )
(PM- X ) 4
0 - 4 1 2 -6 1296
1296
4 – 8 2 6 -2 16
32
8 – 12 2 10 2 16
32
12 – 16 1 14 6 1296
1296
n=6 2656
Daí, aplicando a fórmula, teremos o seguinte:
m
4
( PM X )
(PM- X ) 4 .fi
4
∑ − . fi
2656
= m 4 = = 442,
67 Resposta!
n
6
Fizemos questão de apresentar dois exemplos, com M3 e M4 (Terceiro e Quarto
Momentos), porque serão precisamente estes os que serão exigidos em cálculos de
Assimetria e Curtose, como veremos oportunamente!
Daí, conclusões finais:
- Usaremos esta teoria dos Momentos como “muletas” para chegarmos aos
valores de Assimetria e Curtose;
- O momento natural de primeira ordem é o mesmo que a Média;
- O momento centrado na Média de segunda ordem é o mesmo que a Variância;
- Daremos ênfase ao M3 e ao M4 para efeito de utilização das fórmulas (que
aprenderemos em breve!) de Assimetria e de Curtose!
# Resumo das Fórmulas de Momento:
Momento Natural:
m
r
∑
( Xi)
= ;
n
r
m
r
∑
( Xi)
r
. fi
= ou
n
Momento Centrado Numa Origem Qualquer (Y):
m
r
( Xi Y )
r
∑ −
= ;
n
m
r
( Xi Y )
r
∑ − . fi
= ou
n
m
r
=
∑
( PM )
n
r
. fi
( PM Y )
∑ −
mr
=
n
r
. fi

ESTATÍSTICA *** Ponto 27 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS *** Pág. 10 de 10
Momento Centrado na Média Aritmética:
m
r
( Xi X )
r
∑ −
= ;
n
m
r
( Xi X )
r
∑ − . fi
= ou
n
m
r
( PM X )
∑ −
=
n
Por hoje, ficaremos nisso!
O assunto foi rápido e necessário! Não havia como falarmos em Assimetria e
Curtose sem antes explicarmos esses Momentos...! Próxima aula, sim! Assimetria. E
depois, Curtose. E depois, para fechar esse primeiro momento meu aqui no Ponto,
Números Índices.
Quero desculpar-me por esta ausência dos últimos dias, sobretudo estando
assim tão perto do edital! E quero agradecer a Deus por ter restituído a saúde do
meu pai, que esteve abalada, a ponto de me deixar sem condição nenhuma de
elaborar nova aula. Agora, tudo bem!
Só quero dizer que vai dar tempo de vermos tudo! Estou convicto de que
vocês, meus alunos virtuais, no que depender da prova de estatística, serão todos
Auditores-Fiscais da Receita Federal! É essa a minha torcida!
Um abraço forte a todos e até a próxima!
r
. fi

ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 1 de 13
ASSIMETRIA
Olá, amigos! Todos bem? Hoje, avançaremos na matéria e aprenderemos a
calcular os índices de Assimetria de um conjunto!
A respeito deste assunto, já temos inclusive uma boa noção, uma vez que
aprendemos, em uma aula anterior, que existe uma relação estreita entre o
comportamento da curva no tocante à sua assimetria, e entre as Medidas de
Tendência Central.
Naquela ocasião, vimos que existem três situações distintas sob as quais
um conjunto pode apresentar-se, em termos de assimetria. E ainda, qual seria o
comportamento da Média, Moda e Mediana para cada uma daquelas situações.
Vamos dar uma relembrada rápida?
Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva):
Moda < Mediana < Média
Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa):
Média < Mediana < Moda
STATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 2 de 13
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Curva Simétrica:
Média=Mediana=Moda
Pois bem! Este conhecimento seria suficiente para acertarmos uma questão
que quisesse saber apenas se o conjunto é simétrico, ou assimétrico à esquerda
ou à direita!
Porém, se o enunciado vier solicitando o valor do índice (ou coeficiente)
de assimetria, então precisaríamos conhecer as fórmulas necessárias para
chegarmos a essa resposta!
Existem quatro formas distintas de determinarmos índices de Assimetria!
Na questão, nossa primeira preocupação será saber qual dos métodos está
sendo requerido! E a segunda, naturalmente, será conhecer a fórmula solicitada!
# Índice Quartílico de Assimetria:
Será calculado pela fórmula seguinte:
A =
Onde:
- Q1 é o primeiro Quartil;
- Q3 é o terceiro Quartil;
- Md é a Mediana.
( Q3
+ Q1−
2Md
)
( Q3
− Q1)
Gosto de memorizar esta fórmula usando as seguintes etapas:
1 o ) Ponho na fórmula apenas o Q3 e o Q1:
A = Q3 Q1
Q3 Q1
2 o Q3
+ Q1
) Depois, coloco o “mais e menos”: A =
Q3
− Q1
3 o ) Completo o numerador com o “menos duas Medianas”:
Q3
+ Q1
− 2Md
A =
Q3
− Q1
ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 3 de 13
E pronto! Claro que essa é apenas uma sugestão!
Página 2 de 13

Acerca desta fórmula, convém sabermos que seus resultados estarão sempre
no intervalo de –1 a +1. De forma que, se o índice der positivo, isso indica,
naturalmente, uma Curva de Assimetria Positiva (Curva Assimétrica à Direita).
Se o índice der negativo, teremos uma Curva de Assimetria Negativa (Curva
Assimétrica à Esquerda).
No mais, já sabemos como calcular as Medidas Separatrizes, de modo que
estamos mais que preparados para enfrentar uma questão de prova que exija a
determinação da Assimetria por esse método! Vamos a um exemplo!
Questão extraída do AFRF-2002.2 (a mais recente!):
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes Freqüência
(fi)
29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria:
a) 0,080
b) –0,206
c) 0,000
d) –0,095
e) 0,300
Sol.: Comecemos pela Mediana!
1 o Passo) Determinamos n pelo somatório da coluna do fi e calculamos (n/2):
Daí, teremos n=100 e (n/2)=50
Classes Freqüência
(fi)
29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
n=100
Página 3 de 13

ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 4 de 13
2 o Passo) Construiremos a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente
(fac):
Classes fi fac↓
29,5 – 39,5
39,5 – 49,5
49,5 – 59,5
59,5 – 69,5
69,5 – 79,5
79,5 – 89,5
89,5 – 99,5
4
8
14
20
26
18
10
n=100
3 o Passo) Passamos às perguntas comparativas dos valores da fac com o valor de
referência (n/2). Teremos:
Classes fi fac↓
29,5 – 39,5
39,5 – 49,5
49,5 – 59,5
59,5 – 69,5
69,5 – 79,5
79,5 – 89,5
89,5 – 99,5
4
8
14
20
26
18
10
n=100
4
12
26
46
72
90
100
4
12
26
46
72
90
100
4 é ≥ 50? Não!
12 é ≥ 50? Não!
26 é ≥ 50? Não!
46 é ≥ 50? Não!
72 é ≥ 50? SIM!
Daí, nossa Classe Mediana será a quinta classe (69,5 – 79,5). Agora é só
aplicarmos a fórmula:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − facANT
2
⎥
Md l inf ⎢⎝
⎠ ⎥
⎡50 − 46⎤
= +
. h Md = 69,
5 + . 10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 26 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Agora, partamos em busca do Primeiro Quartil – Q1:
1 o Passo) Determinemos o valor de (n/4):
Como n=100, teremos que (n/4)=25
Md = 71,
04
2 o Passo) Como já dispomos da coluna da fac, passamos às perguntas
comparativas:
Classes fi Fac↓
29,5 – 39,5
39,5 – 49,5
49,5 – 59,5
59,5 – 69,5
69,5 – 79,5
79,5 – 89,5
89,5 – 99,5
4
8
14
20
26
18
10
4
12
26
46
72
90
100
4 é ≥ 25? Não!
12 é ≥ 25? Não!
26 é ≥ 25? SIM!
n=100
ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 5 de 13
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Daí, a classe do Q1 é a terceira classe (49,5 – 59,5). Resta-nos aplicar a
fórmula do Primeiro Quartil. Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − facANT
4
⎥
Q1
l inf ⎢⎝
⎠ ⎥
⎡25 −12⎤
= +
. h Q 1 = 49,
5 + . 10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 14 ⎥ Q1
= 58,
78
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Finalmente, resta-nos encontrar o valor do Terceiro Quartil, Q3:
1 o Passo) Calculemos o valor de (3n/4)!
Como n=100, teremos: (3n/4)=75
2 o Passo) Uma vez que já temos a coluna da fac, passemos às perguntas de praxe:
Classes fi fac↓
29,5 – 39,5
39,5 – 49,5
49,5 – 59,5
59,5 – 69,5
69,5 – 79,5
79,5 – 89,5
89,5 – 99,5
4
8
14
20
26
18
10
n=100
4
12
26
46
72
90
100
4 é ≥ 75? Não!
12 é ≥ 75? Não!
26 é ≥ 75? Não!
46 é ≥ 75? Não!
72 é ≥ 75? Não!
90 é ≥ 75? SIM!
Achamos nossa Classe do Terceiro Quartil: é a penúltima classe (79,5 –
89,5). Daí, aplicaremos a fórmula do Q3:
⎡⎛
3n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − facANT
4
⎥
Q3
l inf ⎢⎝
⎠ ⎥
⎡75 − 72⎤
= +
. h Q 3 = 79,
5 + . 10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 18 ⎥ Q1
= 81,
17
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Agora, vamos relacionar os valores das medidas encontradas por nós:
Q1=58,78
Q3=81,17
Md=71,04
Daí, aplicando a fórmula do Índice Quartílico de Assimetria, teremos:
Q3
+ Q1
− 2Md
A =
Q3
− Q1
81,
17 + 58,
78 − 2x71,
04
A =
E: A = −0,
095 Resposta!
81,
17 − 58,
78
Acharam muito trabalhosa? Claro que, à primeira vista, parece ser bem mais
demorada do que fato é! Na hora da prova, com o candidato já bastante
“treinado”, realmente não se perde muito tempo nesta resolução! Mesmo porque é
um procedimento tão repetitivo...! Já vai estar, certamente, automatizado!
ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 6 de 13
Uma observação acerca desta questão: na prova do AFRF-2002.2, este enunciado
apareceu como a quinta questão. Na primeira, foi solicitado o valor da Mediana,
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que foi igual a 71,04. (Md=71,04). Na terceira, foi pedido o valor da Moda, que
seria igual a 73,78. (Mo=73,78).
Ora, somente dispondo destes dois valores, já tínhamos como extrair uma
conclusão importante acerca da Assimetria deste conjunto! Claro! Se a Moda foi
maior que a Mediana, então já sabemos que a Média será menor que as duas (Mo e
Md), e que estaremos diante de uma distribuição assimétrica à esquerda ou de
assimetria negativa!
Com isso, se na hora da prova você estiver em situação de desespero, com o
tempo já esgotado e o examinador pedindo que entregue o gabarito, então seu
“chute” já estaria bem melhor “encaminhado”, porque só há, entre as opções de
resposta, duas delas com valor de assimetria negativa. Sua chance de acerto
saltou para 50%!
Por amor a Deus, ninguém diga por aí que o professor Sérgio Carvalho é um
incentivador do “chute”. Absolutamente! Não sou! Apenas que, como bom
concurseiro, já enfrentei diversas situações adversas e sei o quão preciosa
pode vir a ser uma dica como essa!
# Coeficientes de Assimetria de Pearson:
Veremos agora duas outras maneiras de calcular o índice de assimetria de
um conjunto, as quais envolvem as Medidas de Tendência Central. São as
seguintes:
Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson:
Será dado pela fórmula que se segue:
( X − Mo)
A =
S
Onde:
- X é a Média Aritmética;
- Mo é a Moda; e
- S é o Desvio-Padrão do conjunto.
Observando bem esta fórmula que define o Primeiro Coeficiente de Pearson,
verificamos que o sinal da assimetria será definido pelo seu numerador. Assim,
apenas comparando os valores da Média Aritmética e da Moda, saberemos qual o
tipo de assimetria da distribuição.
Assim, de acordo com este coeficiente, teremos:
→ Se X = Mo → Assimetria Nula! Ou seja, distribuição Simétrica!
→ Se X > Mo → Assimetria Positiva! Curva Assimétrica à Direita!
→ Se X < Mo → Assimetria Negativa! Curva Assimétrica à Esquerda.
Naturalmente que já sabíamos disso!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 7 de 13
Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:
Será calculado da seguinte maneira:
A = 3
( X − Md )
Onde: - X é a Média Aritmética;
- Md é a Mediana; e
- S é o Desvio-Padrão do conjunto.
Aqui, para este Segundo Coeficiente de Pearson, observamos que o sinal da
assimetria será definido apenas comparando os valores da Média Aritmética e da
Mediana do conjunto. Teremos, portanto:
→ Se X = Md → Assimetria Nula. Ou seja, distribuição Simétrica.
→ Se X > Md → Assimetria Positiva. Curva Assimétrica à Direita.
→ Se X < Md → Assimetria Negativa. Curva Assimétrica à Esquerda.
Novamente aqui não há nenhuma novidade para nós!
Uma boa maneira para memorizarmos os Coeficientes de Assimetria de Pearson
é justamente recordarmos da Relação Empírica de Pearson, que aprendemos no
estudo das relações entre as Medidas de Tendência Central. Recordemos:
Relação Empírica de Pearson:
X - Mo = 3( X - Md)
Como podemos verificar, o numerador do Primeiro Coeficiente de Assimetria
de Pearson é igual à primeira parte da equação que define a Relação Empírica
( X - Mo); enquanto que o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson traz,
também em seu numerador, a segunda parte da equação acima: [3( X - Md)].
Estes dois Coeficientes de Assimetria de Pearson não costumavam ser muito
exigidos em provas de Estatística Básica dos concursos. Tal foi, portanto, a surpresa
dos candidatos que enfrentaram a prova do AFRF 2002.1! Vejamos a questão abaixo:
Questão Extraída do AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de
valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não
existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
S
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ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 8 de 13
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à
medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.
a) 3/S
b) 4/S
c) 5/S
d) 6/S
e) 0
Sol.: Para resolvermos esta questão, precisaríamos inicialmente trabalhar com
as colunas de freqüências, para chegarmos à freqüência absoluta simples – fi. O
resultado deste procedimento, já realizado para este enunciado em aulas
anteriores, é o seguinte:
Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
Agora o que nos resta é apenas recordarmos da fórmula do Primeiro
Coeficiente de Assimetria de Pearson:
( X − Mo)
A =
S
Se observarmos as opções de resposta, veremos que elas vêm com o Desvio-
Padrão – S – no denominador. Ou seja, só precisaremos nos preocupar com o
numerador da fórmula.
Na primeira questão desta prova, já havia sido exigido o cálculo da Média.
Inclusive já a fizemos, em oportunidade anterior. Vamos transcrever aquela
solução:
1º Passo) Construiremos a coluna do PM e coluna de transformação:
Classes fi PM (PM-80)= Yi
20
70 – 90 10 80 0
90 – 110 20 100 1
110 – 130 50 120 2
130 – 150 60 140 3
150 – 170 30 160 4
170 – 190 20 180 5
190 – 210 10 200 6
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ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 9 de 13
2º Passo) Construiremos a coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-80)= Yi
20
Yi.fi
70 – 90 10 80 0 0
90 – 110 20 100 1 20
110 – 130 50 120 2 100
130 – 150 60 140 3 180
150 – 170 30 160 4 120
170 – 190 20 180 5 100
190 – 210 10 200 6 60
n=200 580
3º Passo) Efetuaremos o cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(580/200) Y =2,9
n
4º Passo) Desenharemos os caminhos de ida e volta da transformação das
variáveis:
Caminho de Ida
1º)(-80) e 2º)(÷20)
X =? Xi Yi Y = 2,9
2º)(+80) e 1º)(x20)
Caminho de Volta
5º Passo) Efetuaremos os cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x20) 2,9x20=58,0 e 2º)(+80) 58+80=138
Daí: X = 138
Agora, tudo o que temos que fazer é descobrir o valor da Moda desta
distribuição de freqüências. Seguiremos os passos já nossos conhecidos para
isso:
Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10
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ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 10 de 13
1º Passo) Determinaremos da Classe Modal:
Xi fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60 Classe Modal! (a de maior fi)
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10
Para a qual teremos: linf=130 e h=10
2º Passo) Calcularemos os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp
Xi fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10
Classe Anterior: Δa=60-50 Δa=10
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=60-30 Δp=30
3º Passo) Aplicaremos a fórmula da Moda de Czuber:
⎛ Δa
⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
⎛ 10 ⎞
Daí: Mo = 130 + ⎜ ⎟⋅
20 E: Mo=135
⎝10
+ 30 ⎠
Finalmente, dispondo já de todos os elementos que procurávamos,
aplicaremos a fórmula do Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson.
Teremos:
( X − Mo)
( 138 −135)
A = A = A
S
S
S
3
= Resposta da Questão!
(Não ficaria surpreso se, na próxima prova do AFRF, uma questão de
Estatística cobrasse o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson...!)
# Índice Momento de Assimetria:
Esta é o quarto e último método pelo qual aprenderemos a determinar o
valor do grau de Assimetria de um conjunto.
Será dado pela seguinte fórmula:
m
A =
S
3
3
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ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 11 de 13
Onde: - m é o Terceiro Momento Centrado na Média Aritmética; e
3
- S 3 é o Desvio-Padrão, elevado à terceira potência.
Para efeitos mnemônicos, lembraremos deste cálculo como sendo a Fórmula do
3, uma vez que é o único algarismo que aparece nela.
Trata-se de um índice cuja aplicação não é das mais rápidas. Vamos
relembrar como se calculam os elementos deste índice.
No numerador, teremos m3, que é dado por:
( PM X )
m
n
∑ −
3 =
E, no denominador, o Desvio-Padrão ao cubo, que poderá ser encontrado da
seguinte maneira:
S
3
3
.
( PM − X )
⎛
⎜
= ⎜
⎝
∑ n
Daí, teremos que a fórmula completa do Índice Momento de Assimetria será:
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
∑
∑
( PM − X )
3
( PM − X )
Percebemos, portanto, que para encontrar o Índice Momento de Assimetria
teríamos que trabalhar o numerador e o denominador da fórmula isoladamente,
para em seguida chegar ao resultado. Exatamente como se fossem duas questões em
uma só.
O que pode acontecer, é de a prova já fornecer uma tabela de freqüências
bastante completa, de forma que já nos estivessem disponíveis todas as colunas
que precisaríamos para usar na fórmula. Por exemplo, suponhamos que o enunciado
da questão nos fornecesse uma distribuição nos moldes dessa abaixo:
n
n
2
2
fi
⎞
. fi ⎟
⎟
⎠
. fi
⎞
. fi ⎟
⎟
⎠
Classes Fi PM
PM- X (PM- X ) 2
(PM- X ) 2 .fi (PM- X ) 3
... ... ... ... ... ... ... ...
Σ N E F
3
3
(PM- X ) 3 .fi
Observemos que designamos algumas letras (E e F) para os somatórios das
colunas que nos interessarão, somente para efeitos de desenvolvermos o
raciocínio a seguir.
Página 11 de 13

ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 12 de 13
Nossa resolução, neste caso, se resumiria quase a uma transposição dos
dados da tabela para a fórmula. Teríamos, portanto:
# Resumo das Fórmulas de Assimetria:
A =
⎛
⎜
⎝
Segue, abaixo, um sumário das fórmulas dos índices e coeficientes de
Assimetria que aprendemos hoje, e que seguramente poderão ser cobrados nas
próximas provas de estatística dos concursos.
Índice Percentílico de Assimetria:
A =
F
n
3
E ⎞
⎟
n ⎟
⎠
( Q3
+ Q1
− 2Md
)
( Q3
− Q1)
Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson:
A =
( X − Mo)
Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:
Índice Momento de Assimetria:
m3
A =
3
S
A = 3
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
S
( X − Md )
S
∑
∑
( PM − X )
3
( PM − X )
Bem, meus caros alunos virtuais! Por hoje é só!
Espero que estudem essa aula com carinho, porque certamente haverá uma
questão deste assunto na próxima prova. É só esperar para conferir.
Tenho uma boa notícia: terminei, fi-nal-men-te, o livro de Estatística
Para Concursos! Eu sei que sou suspeito para dizer qualquer coisa, mas vou
dizer mesmo assim, e no estilo dos meus amigos recifenses: “o livro não tá ruim
não, visse?” Agora é só uma questão de esperar um pouquinho para encontrá-lo
nas livrarias.
n
n
. fi
2
⎞
. fi ⎟
⎟
⎠
3
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ESTATÍSTICA *** Ponto 28 – ASSIMETRIA *** Pág. 13 de 13
No mais, quero agradecer o carinho de várias pessoas que mandaram mensagens
desejando o restabelecimento da saúde do meu pai. Muito obrigado, de coração!
Dedico esta aula de hoje a todos vocês, meus batalhadores alunos virtuais, que
dedicam o melhor de seu tempo e o maior de seus esforços, no objetivo de crescer
profissionalmente. Que Deus abençoe a todos!
Um abraço especial a Adriana Franco, minha amiga curitibana, que “devagar e
sempre”, assim como tantos outros, vai certamente conquistar a sua vaga!
Na próxima aula, Curtose! E depois, Números Índices. E ainda teremos tempo pra
ficar resolvendo questões e mais questões, até chegar o dia da prova. Olha, e tem mais:
eu, na condição de professor exigente que sou, não quero ver ninguém acertando menos
que 90% dessa prova de Estatística. Falei? Tá falado!
Até a próxima!
Página 13 de 13

ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 1 de 14
CURTOSE
Olá, amigos! Hoje estudaremos um assunto rápido, fácil e
bastante cobrado em provas de estatística: a Curtose!
O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose?
Significa apenas verificar o “grau de achatamento da curva”. Ou
seja, saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é
mais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma Curva Padrão,
chamada de Curva Normal!
Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um
conjunto, as seguintes possibilidades:
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Curva Platicúrtica
Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá ser,
quanto à sua Curtose:
- Mesocúrtica: ou de curtose média! Será essa a nossa Curva
Normal. “Meso” lembra meio! Esta curva está no meio termo:
nem muito achatada, nem muito afilada;
- Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra o
de um prato emborcado, estão vendo? Então “prato” lembra
“plati” e “plati” lembra “platicúrtica”;
- Leptocúrtica: é a curva mais afilada!
Em aulas anteriores, vimos que existe uma relação estreita
entre o valor das Medidas de Tendência Central (Média, Moda e
Mediana) e o comportamento da Assimetria de um conjunto! Estamos
lembrados disso?
Todavia, quando se trata de Curtose, não há como extrairmos uma
conclusão sobre qual será a situação da distribuição – se
mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica – apenas conhecendo os
valores da Média, Moda e Mediana.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 2 de 14
Outra observação relevante, e que já foi bastante explorada em
questões teóricas de provas anteriores, é que não existe uma relação
entre as situações de Assimetria e as situações de Curtose de um
mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas
independentes e que não se influenciam mutuamente!
Aprenderemos duas distintas maneiras de calcular o Índice de
Curtose de um conjunto!
# Índice Percentílico de Curtose:
Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula:
Onde:
- Q3 é o terceiro quartil;
- Q1 é o primeiro quartil;
- D9 é o nono decil e
- D1 é o primeiro decil.
( Q3
− Q1
)
( D − )
C =
2 D
Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes – o
Quartil e o Decil!
Conforme vimos no Ponto 22, uma das primeiras Medidas de
Dispersão que estudamos foi a chamada Amplitude Semi-Interquartílica
- k. Estamos lembrados dela? É dada por:
k =
9
1
( Q − Q )
Daí, uma outra forma de apresentar o Índice Percentílico de
Curtose é o seguinte:
C =
3
2
1
( D − D )
Onde:
- K é a Amplitude Semi-interquartílica;
- D1 é o primeiro Decil e
- D9 é o nono Decil.
Aí vem a pergunta: não se tornaria muito demorada a resolução
de uma questão assim, que exigisse o cálculo de Q1, Q3, D1 e D9?
Sim! De fato, não é uma questão das mais rápidas...! Mas já foi
cobrada em prova e bem recentemente. Vejamos!
9
k
1
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 3 de 14
Questão extraída do AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro
(X), foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de
uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüência abaixo.
A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a
coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P(%)
70 – 90
90 – 110
110 – 130
130 – 150
150 – 170
170 – 190
190 - 210
5
15
40
70
85
95
100
Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de
achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma
medida de curtose é dada pelo quociente k = Q / (P90-P10), onde Q é
a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os
percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o
valor da curtose k para a distribuição de X.
a) 0,263
b) 0,250
c) 0,300
d) 0,242
e) 0,000
Sol.:
No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a
compreensão da fórmula do índice percentílico de Curtose. Além
disso, usou Percentis em lugar de Decis. Todavia, sabemos
perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o mesmo que Primeiro
Decil (D1), e que Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma coisa que
Nono Decil (D9).
Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta
resposta, o Índice Percentílico de Curtose, exatamente da forma como
o conhecemos:
( Q3
− Q1
)
( D − )
C =
2 D
Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis
(Q1 e Q3) e os Decis (D1 e D9) já foram feitos para este mesmo
enunciado, e reproduziremos aqui a resolução desta questão.
Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho
preliminar a ser realizado, que era exatamente o de chegarmos à
coluna da freqüência absoluta simples – fi.
9
1
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 4 de 14
Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho
das Pedras para chegar às freqüências desejadas, expomos a seguir o resultado
destas operações e, finalmente, a coluna da fi.
Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
Cálculo do Primeiro Quartil – Q1:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50
2º Passo) Construímos a fac:
Xi Fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo
a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 50? NÃO!
30 é maior ou igual a 50? NÃO!
80 é maior ou igual a 50? SIM!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 5 de 14
Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a
classe correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa
Classe do Primeiro Quartil.
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Quartil, tomando como
referência a Classe do Q1. Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡50 − 30⎤
1 = inf +
⋅ h Q 1 = 110 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 50 ⎥ E: Q1=118,0
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Cálculo do Terceiro Quartil: Q3
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
70 !--- 90 10 10
90 !--- 110 20 30
110 !--- 130 50 80
130 !--- 150 60 140
150 !--- 170 30 170
170 !--- 190 20 190
190 !--- 210 10
n=200
200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
Xi fi fac↓
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 150? NÃO!
30 é maior ou igual a 150? NÃO!
80 é maior ou igual a 150? NÃO!
140 é maior ou igual a 150? NÃO!
170 é maior ou igual a 150? SIM!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 6 de 14
Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170),
diremos que esta será nossa Classe do Terceiro Quartil.
4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da Classe do
Q3, que acabamos de identificar.
⎡⎛
3n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡150 −140⎤
3 = inf +
⋅ h Q 3 = 150 +
⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 30 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
E: Q3=156,6
Cálculo do Primeiro Decil: D1
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=20
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
70 !--- 90 10 10
90 !--- 110 20 30
110 !--- 130 50 80
130 !--- 150 60 140
150 !--- 170 30 170
170 !--- 190 20 190
190 !--- 210 10
n=200
200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 20? NÃO!
30 é maior ou igual a 20? SIM!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 7 de 14
Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será
nossa Classe do Primeiro Decil!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡20 −10⎤
1 = inf +
⋅ h D 1 = 90 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 20 ⎥
E: D1=100,0
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9:
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):
Xi fi
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
70 !--- 90 10 10
90 !--- 110 20 30
110 !--- 130 50 80
130 !--- 150 60 140
150 !--- 170 30 170
170 !--- 190 20 190
190 !--- 210 10
n=200
200
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:
Xi fi fac↓
70 !--- 90
90 !--- 110
110 !--- 130
130 !--- 150
150 !--- 170
170 !--- 190
190 !--- 210
10
20
50
60
30
20
10
n=200
10
30
80
140
170
190
200
10 é maior ou igual a 180? NÃO!
30 é maior ou igual a 180? NÃO!
80 é maior ou igual a 180? NÃO!
140 é maior ou igual a 180? NÃO!
170 é maior ou igual a 180? NÃO!
190 é maior ou igual a 180? SIM!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 8 de 14
Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será
nossa Classe do Nono Decil.
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil:
⎡⎛
9n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡180 −170⎤
9 = inf +
⋅ h D 9 = 170 +
⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 20 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
E: D9=180
Agora sim! Chegou o momento de reunirmos os valores
encontrados, para compormos a fórmula da Curtose! Teremos, portanto:
( Q3
− Q1
)
( D − )
C =
2 D
9
1
C =
( 156,
6 −118)
2(
180 −100)
C = 0,
242 Resposta!
2.1. Interpretação do Resultado do Índice Percentílico de Curtose:
A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do
índice percentílico. Todavia, questões haverá que solicitarão não
apenas o resultado do índice, mas questionarão a situação de curtose
em que se encontra aquele conjunto. Ou seja, desejarão saber se a
distribuição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.
Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de
Curtose.
No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do
resultado é a seguinte:
Se C0,263 A distribuição é PLATICÚRTICA.
Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tendo
encontrado C=0,242, concluiríamos que se tratava de uma distribuição
Leptocúrtica, caso isso estivesse sendo questionado pela questão.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 9 de 14
3. Índice Momento de Curtose:
Será dado pela seguinte fórmula:
m4
C = 4
S
Onde:
- m4 é o Momento de 4 a Ordem Centrado na Média Aritmética; e
- S 4 é o Desvio-Padrão do conjunto, elevado à quarta potência.
Como só aparece número “4” nesta fórmula, lembraremos dela como
sendo a fórmula do 4.
Esta nos parece tão trabalhosa quanto a primeira (a do índice
percentílico). Pois, na verdade, teríamos que encontrar isoladamente
o valor do numerador (que já é uma questão em si) e depois o valor
do denominador. As fórmulas seriam as seguintes:
O numerador (m4): Quarto Momento Centrado na Média:
( PM X )
m
n
∑ −
4 =
O denominador (S 4 ): Quarta potência Desvio-Padrão:
S
4
4
.
fi
( PM X )
⎡
2 2
( ) ⎢∑
−
= S =
⎢ n
⎣
Como vimos acima, a quarta potência do Desvio-Padrão é a
mesmíssima coisa que o quadrado da Variância.
Então, nossa fórmula completa do índice momento de Curtose
seria a seguinte:
∑
( PM − X )
C =
n
⎡
⎢∑
⎢
⎣
−
n
( PM X )
Questão de prova que venha a exigir o cálculo deste índice
Momento de Curtose deverá, naturalmente, fornecer uma tabela já
bastante completa, de modo que, apenas pelas colunas fornecidas na
distribuição, já tivéssemos condições chegar ao resultado.
2
2
4
. fi ⎤
⎥
⎥
⎦
. fi
. fi ⎤
⎥
⎥
⎦
2
2
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 10 de 14
Caso a prova nos dê na questão apenas uma tabela com a coluna
das classes e a coluna da freqüência absoluta simples, teríamos que
fazer um trabalho bastante demorado para chegarmos à resposta.
Vejamos um exemplo ilustrativo dos passos que precisaríamos
seguir.
A tabela abaixo representa os dados fornecidos pelo enunciado:
Classes fi
... ...
Daí, como primeiro passo, teríamos que encontrar o valor da
Média do conjunto. Provavelmente, seria mais rápido determinarmos o
X se utilizarmos o método da Variável Transformada. Então,
construiríamos a coluna dos Pontos Médios – PM:
Classes fi PM
... ... ...
Em seguida, a Coluna de Transformação da Variável:
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
... ... ... ...
Daí, faríamos a coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi
... ... ... ... ...
E aplicaríamos a fórmula da Média da Variável Transformada:
Yi fi
Y
n
∑ .
=
E, com este resultado, percorreríamos o Caminho de Volta da
transformação, fazendo:
(Y x h ) e {(Y x h)+ 1ºPM} = X
Neste ponto, construiríamos a coluna (PM- X ):
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi PM- X
... ... ... ... ... ...
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 11 de 14
E a coluna (PM- X ) 2 :
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi PM- X
2
(PM- X )
... ... ... ... ... ... ...
E a coluna [(PM- X ) 2 .fi]:
Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
Yi.fi PM- X
2
(PM- X )
2
(PM- X ) .fi
... ... ... ... ... ... ... ...
E a coluna (PM- X ) 4 : (Desaparecerão aqui a coluna de
transformação e a coluna do (Yi.fi) apenas por uma questão de
espaço).
Xi fi PM PM- X
2
(PM- X ) (PM- X ) 2 .fi (PM- X ) 4
... ... ... ... ... ... ...
E, finalmente, a coluna [(PM- X ) 4 .fi]:
Xi fi PM PM- X
2
(PM- X ) (PM- X ) 2 .fi (PM- X ) 4
... ... ... ... ... ... ... ...
(PM- X ) 4 .fi
Daí, vamos designar nomes aos somatórios das colunas que nos
interessam, só para enxergarmos melhor como será nossa conclusão:
Xi fi PM PM- X
2
(PM- X ) (PM- X ) 2 .fi (PM- X ) 4
... ... ... ... ... ... ... ...
n E F
Para concluir a questão, aplicaríamos a fórmula do 4:
∑
( PM − X )
C =
n
⎡
⎢∑
⎢
⎣
−
n
( PM X )
2
4
. fi
. fi ⎤
⎥
⎥
⎦
E encontraríamos que:
⎛ F ⎞
⎜ ⎟
⎝ n
C =
⎠
Resposta da Questão!
2
⎛ E ⎞
⎜ ⎟
⎝ n ⎠
2
(PM- X ) 4 .fi
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 12 de 14
Aprenderemos a seguir a forma de interpretar o resultado do
índice Momento de Assimetria e, na seqüência, faremos uma questão
extraída da prova do AFRF-2002.2, para termos uma noção mais precisa
de como este assunto tem sido cobrado.
3.1. Interpretação do Resultado do Índice Momento de Curtose:
Novamente aqui precisaremos conhecer como analisar o resultado
do índice de Curtose, a fim de podermos definir nossa distribuição
como Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.
Interpretaremos o Índice Momento de Curtose da seguinte maneira:
Se C > 3 A distribuição é LEPTOCÚRTICA;
Se C = 3 A distribuição é MESOCÚRTICA;
Se C < 3 A distribuição é PLATICÚRTICA.
É, portanto, de suma importância que tenhamos bem memorizados
estes valores de referência, a partir dos quais poderemos dizer em
qual das situações de Curtose se encontra determinado conjunto.
Passemos agora a uma questão de prova, bastante recente.
Questão Extraída do AFRF-2002-2:
EXERCÍCIO RESOLVIDO DE CURTOSE
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa
amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos,
produziu a tabela de freqüências seguinte:
Classes Freqüência
(fi)
29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Para a distribuição de freqüências do atributo X, sabe-se que:
∑
( X )
∑
2
4
Xi − . fi = 24.
500 e ( Xi − X ) . fi = 14.
682.
500
Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e
X a média amostral.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 13 de 14
Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da
curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de
curtose encontrado é populacional.
a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica.
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica.
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da
intensidade da curtose.
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de
assimetria com base nos momentos centrados de X.
e) A distribuição de X é normal.
Sol.: A questão foi bastante clara, ao definir que o índice de
curtose a ser empregado será o índice Momento. Daí, teremos que
relembrar a fórmula:
m4
C =
4
S
∑
( PM − X )
C =
n
⎡
⎢∑
⎢
⎣
−
n
( PM X )
Agora, reparemos nos dados fornecidos pelo enunciado.
Observemos que o que ele chamou de Xi é o nosso Ponto Médio, que
chamamos de PM. Daí, não resta dúvida: já nos foram fornecidos o
numerador do m e o numerador do S
4
4 .
Ora, o n – número de elementos do conjunto – será obtido
somando a coluna da fi. E chegaremos ao valor de n=100. Daí,
concluímos: já dispomos de todos os elementos da fórmula. Resta-nos
transpô-los.
Assim, teremos:
∑
( PM − X )
=
n
⎡ −
⎢∑
⎢ n
⎣
C =
2
2
2
( PM X )
4
. fi
. fi ⎤
⎥
⎥
⎦
2
4
. fi
. fi ⎤
⎥
⎥
⎦
C
14.
682.
500
100
⎡24.
500⎤
⎢
⎣ 100 ⎥
⎦
2
C = 2,
44
E agora passamos à interpretação do resultado. Se utilizamos o
índice Momento de Curtose, e encontramos que C=2,44 (portanto, um
valor menor que 3) concluímos que a distribuição é platicúrtica!
Logo: Opção b Resposta da Questão!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 29 – CURTOSE *** Pág. 14 de 14
Sobre a Curtose, é isso! A ESAF vem explorando esse assunto,
ora exigindo o cálculo por um índice (percentílico), ora por outro
(momento)! Vamos ver qual será o próximo!
Finalmente, saiu o edital! Acredito que a sensação de todos
vocês deve ser a mesma que vejo em meus alunos aqui em Fortaleza:
muita apreensão devido as mudanças do programa,e o sentimento de ter
que refazer a programação de estudos até o dia da prova, em
decorrência, sobretudo da matéria de Direito Administrativo, que
voltou a ser cobrado. O Vicente, inclusive, já havia “cantado” essa
novidade aqui no Site. Aliás, penso que no tocante a essa disciplina
há dois livros que seriam muitíssimo bem indicados. Ambos da Ed.
Impetus: o de autoria do Vicente Paulo e Marcelo Alexandrino, com
teoria e exercícios, e um editado mais recentemente, com provas
resolvidas e primorosamente comentadas pelo colega e Prof. Gustavo
Barchet. Tenho estes dois livros, e os indico aos meus alunos
constantemente.
Outra coisa: as matérias Matemática Financeira e Estatística
reduziram-se agora para apenas dez questões (antes eram quinze)! A
lógica nos diz que serão cinco questões para cada uma.
Já ouvi alguns comentários de alunos, dizendo que estas
matérias agora “perderam a importância”.
Pensamento dos mais infelizes...! Não é querendo “puxar a
sardinha pra minha lata”, mas não existe, neste concurso, matéria
sem importância. Vá dizer isso pra qualquer pessoa que tenha ficado
de fora das vagas por uma ou por duas questões...! (Como foi o meu
caso, em 2001!). Além do que, continua havendo o chamado “ponto de
corte”. Ou seja, das dez, quatro terão que ser acertadas! E quanto
mais pontos você fizer, melhor! Aumenta a contagem geral!
A prova será, como já é de conhecimento de todos, em 29 de
novembro. São quase dois meses até lá. Tempo suficiente para se
fazer as revisões necessárias, intensificar a resolução dos
exercícios. (E ainda aprender o que resta ser aprendido!) No nosso
caso, aqui, da Estatística, meu plano é encerrar o programa, com
mais uma aula – a de Números Índices – e, na seqüência, passar a
resolver as questões dos cinco últimos concursos: 1996, 1998, 2001,
2002/a e 2002/b. É certo que muitas destas questões, muitas mesmo,
já foram resolvidas em nossas aulas, mas não tem problema,
resolvemos novamente e fixamos melhor o que foi aprendido. E, além
disso, pretendo colocar novos simulados, com questões bem próximas
da linha da ESAF.
Espero que isso seja mais que suficiente pra nos deixar aptos a
acertar as cinco questões da nossa prova!
Fico por aqui! Um grande abraço a todos e até a próxima.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 1 de 14
SIMULADO 03
Leia agora!
Queridos amigos, VOLTAMOS!!
Não sei quanto a vocês, mas eu estava com saudades. E já que
voltamos, não temos mais um segundo a perder!
Como vocês sabem, falta ainda para encerrarmos a nossa teoria do
programa de Estatística do AFRF um assunto, que é o de Números
Índices.
Mas, como tivemos estas duas semanas de recesso, sem acompanhar
nenhuma aula, achei por bem retomarmos com um novo simulado,
abrangendo questões relativas aos assuntos já estudados por nós, e
que representam uns 90% ou mais do nosso programa!
Assim, nós aproveitamos para revisar tudo o que foi visto, e
reavivar nossa memória! Ok?
Aliás, não há muito mais o que ser feito, além de resolver
exercícios! Desse modo, faremos este simulado hoje, e mais alguns
outros, até chegar o dia da prova.
Estou adaptando esse nosso teste para apenas cinco questões, que
é exatamente o mesmo formato que virá em nossa prova. Como me parece
humanamente impossível abordar todos os tópicos do programa em cinco
enunciados, então teremos mesmo que fazer mais de um simulado.
Então ficamos assim: escolha um horário em que você possa ter
pelo menos uma hora livre. Daí, concentre-se e comece a resolver este
simulado, fazendo de conta que você está na prova! Tente não
consultar o material teórico. Isso vai servir para você verificar se
os assuntos estudados foram bem aprendidos, se estão bem memorizados,
ou se é o caso de uma nova e boa revisão!
Quando terminar as questões, então passe a comparar sua
resolução com a minha. Vou separar as resoluções em páginas distintas
das do enunciado, para que ninguém se sinta “tentado” a consultá-las
antes do tempo.
Se o seu resultado não for o mais satisfatório possível, não
desanime. Ainda, neste instante, podemos nos dar ao luxo de errar. E
errar em casa pode ser a melhor coisa do mundo, desde que você atente
para o seu erro, e aprenda, definitivamente, a resolver a questão da
forma correta!
Então, se acertar tudo, parabéns! Se errou alguma coisa,
parabéns também: doravante passará a acertar o que errou!
Chega de lero! E vamos ao teste.
Página 1 de 14

ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 2 de 14
Resolva agora!
Para resolver as questões que se seguem, considere a seguinte tabela
de freqüências abaixo, sabendo que foram feitas 300 observações da
variável Xi:
Classes (Xi) K(%)
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
1. Assinale a opção que corresponde, respectivamente, aos valores
mais aproximados da média e do segundo quartil do conjunto.
a) 58,5 e 55,72 c)63,09 e 60,5 e)58,5 e 61,39
b) 60,5 e 61,39 d)60,5 e 63,09
2. Assinale a opção que indica quantos elementos deste conjunto
apresentam valor menor ou igual a 55.
a)95,97 c)97,95 e)90,37
b)129,00 d)92,54
3. Sabendo que a variância da variável Xi é 156,0 e considerando
que Zi=(2Xi-3)/4, determine a opção que corresponde aos valores
mais aproximados, respectivamente, da variância e do
coeficiente de variação da variável Zi.
a) 78,0 e 0,442 c)6,24 e 0,325 e)31,2 e 0,340
b) 52,0 e 0,212 d)39,0 e 0,212
4. Assinale a opção que mais se aproxima do valor do primeiro
coeficiente de Assimetria de Pearson do conjunto.
a) -0,207 c)0,432 e)0,235
b) 0,325 d)-0,702
5. Assinale a opção correta:
a) Uma vez que a distribuição é assimétrica à esquerda, apresentará uma
curva leptocúrtica.
b) A distribuição é assimétrica à esquerda, ou de assimetria positiva.
c) A distribuição é assimétrica à direita, ou de assimetria positiva.
d) A distribuição é mesocúrtica, tendo em vista que é também simétrica.
e) A distribuição é assimétrica à esquerda, ou de assimetria negativa.
100
95
80
57
20
8
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Leia depois que resolver o simulado!
E aí, minha gente? Terminaram? Então, passemos agora às
resoluções!
Trabalhamos todo este simulado com a seguinte distribuição de
freqüências:
Classes (Xi) K(%)
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
Ora, já é do nosso inteiro conhecimento que não podemos iniciar
a resolução da prova antes de chegarmos à coluna da freqüência
absoluta simples – fi. Daí, nosso primeiro passo consiste em
descobrir qual foi a coluna de freqüência fornecida pelo enunciado,
para então nos lembrarmos do caminho das pedras, e percorrê-lo para
construirmos a fi.
Primeiro: a coluna fornecida é de freqüência absoluta ou
relativa? Ora, o sinal de percentagem (%) foi colocado no cabeçalho
da coluna, logo, não há dúvidas: estamos diante de uma freqüência
relativa.
Para sabermos se esta freqüência relativa é acumulada ou não, é
só nos lembrarmos do seguinte: a freqüência relativa acumulada ou
começa ou termina com 100%. No caso desta nossa coluna, o primeiro
valor é 100%, pelo que constatamos que se trata de uma freqüência
relativa acumulada.
Por fim, esta freqüência relativa acumulada será crescente ou
decrescente? Ora, aí fica fácil! Os valores da coluna estão
diminuindo! Conclusão: a prova forneceu uma coluna de freqüência
relativa acumulada decrescente – Fad.
Seguindo o caminho das pedras, teremos que fazer dois passos,
para chegarmos à fi. No primeiro passo, chegaremos à freqüência
relativa simples – Fi. Lembremos que o procedimento a ser realizado
neste passo será fazer “próxima Fac menos Fac anterior”. Teremos,
portanto:
Classes (Xi) Fad ↑ Fi
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
100%
95%
80%
57%
20%
8%
100
95
80
57
20
8
5%
15%
23%
37%
12%
8%
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No passo seguinte, chegaremos finalmente à fi, lembrando que a
relação que há entre as duas freqüências simples – a absoluta (fi) e
a acumulada (Fi) – é dada por: Fi=(fi/n), ou escrito de outra forma:
fi=Fi.n . O enunciado da prova nos disse que foram feitas 300
observações da variável Xi, ou seja, n=300. Daí, teremos:
fi da 1ª classe: fi=0,05x300=15
fi da 2ª classe: fi=0,15x300=45
Aqui você já percebeu que o efeito de multiplicar qualquer valor
percentual por 300 é o mesmo que tirar o sinal de percentagem e
multiplicar por 3. Claro: os dois zeros do trezentos irão sempre
cortar com os dois zeros do por cento. Daí, nossa coluna da
freqüência simples absoluta (fi) será a seguinte:
Classes (Xi) Fad ↑ Fi fi
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
100%
95%
80%
57%
20%
8%
5%
15%
23%
37%
12%
8%
15
45
69
111
36
24
n=300
Agora, sim, meus amigos, estamos prontos para começar a resolver
as questões! Antes disso, não!
1. Assinale a opção que corresponde, respectivamente, aos valores
mais aproximados da média e do segundo quartil do conjunto.
Sol.: Vamos encontrar a Média deste conjunto, trabalhando pelo método
da variável transformada. Como primeiro passo, construiremos a coluna
dos pontos médios:
Classes (Xi) Fad ↑ Fi fi PM
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
100%
95%
80%
57%
20%
8%
5%
15%
23%
37%
12%
8%
15
45
69
111
36
24
n=300
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
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Agora, construiremos a coluna de transformação da variável, adotando
aquela sugestão: “(PM menos o primeiro PM)/amplitude da classe”.
Teremos:
Classes (Xi) Fad ↑ Fi fi PM (PM-34,5)=Yi
10
29,5 ; 39,5 100% 5% 15 34,5 0
39,5 ; 49,5 95% 15% 45 44,5 1
49,5 ; 59,5 80% 23% 69 54,5 2
59,5 ; 69,5 57% 37% 111 64,5 3
69,5 ; 79,5 20% 12% 36 74,5 4
79,5 ; 89,5 8% 8% 24
n=300
84,5 5
Daí, construiremos a coluna Yi.fi:
Classes (Xi) Fad ↑ Fi fi PM (PM-34,5)=Yi
10
Yi.fi
29,5 ; 39,5 100% 5% 15 34,5 0
0
39,5 ; 49,5 95% 15% 45 44,5 1
45
49,5 ; 59,5 80% 23% 69 54,5 2 138
59,5 ; 69,5 57% 37% 111 64,5 3 333
69,5 ; 79,5 20% 12% 36 74,5 4 144
79,5 ; 89,5 8% 8% 24 84,5 5 120
n=300 780
Na seqüência, encontraremos o valor da Média da variável
transformada Yi. Teremos:
Yi fi
Y
n
∑ .
=
780
Y = E: Y = 2,
60
300
Ora, não nos interessa o valor da média da variável
transformada, e sim a média da variável original Xi. Daí,
desenharemos os caminhos de ida e de volta utilizados para migrar de
uma a outra variável. Teremos:
Caminho de Ida
1º) (-34,5) e 2º) (÷10)
X = ?
Xi Yi Y = 2,
60
(Variável Original) (Variável Transformada)
2º) (+34,5) e 1º) (x10)
Caminho de Volta
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Para chegarmos ao X , teremos que percorrer o Caminho de Volta,
recordando que a Média é influenciada pelas quatro operações
matemáticas. Ou seja, qualquer operação que surja no caminho de volta
será aqui efetuada. Teremos, portanto:
1º)(x10) 2,6x10=26,0 e 2º)(+34,5) 26+34,5=60,5
Daí: X = 60,5
A outra coisa que a questão está pedindo é exatamente o valor do
segundo quartil. Ora, já sabemos que segundo quartil – Q2 – é
sinônimo de Mediana! Todos lembrados? Da mesma forma que Quinto Decil
(D5) e Qüinquagésimo Centil (P50).
Para aplicarmos a fórmula da Mediana, teremos que saber qual
será a Classe Mediana. E para tanto, independentemente de n ser um
valor par ou ímpar, efetuaremos a seguinte conta:(n/2)
n 300
Daí, teremos que: = = 150
2 2
Então, 150 será nosso valor de referência, que será comparado
aos valores da coluna da freqüência absoluta acumulada crescente
(fac), por meio daquelas perguntas de praxe: “esta fac é maior ou
igual a (n/2)?”. Construindo a coluna da fac, teremos:
Classes (Xi) Fad ↑ Fi fi fac ↓
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
100%
95%
80%
57%
20%
8%
5%
15%
23%
37%
12%
8%
E passamos às perguntas:
Classes (Xi) Fad ↑ Fi fi fac ↓
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
100%
95%
80%
57%
20%
8%
5%
15%
23%
37%
12%
8%
15
45
69
111
36
24
n=300
15
60
129
240
276
300
15
45
69
111
36
24
n=300
15
60
129
240
276
300
15 é ≥ 150? Não!
60 é ≥ 150? Não!
129 é ≥ 150? Não!
240 é ≥ 150? SIM!
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Como a resposta afirmativa surge na fac da quarta classe, sabemos
imediatamente que esta é a nossa classe mediana: (59,5 ; 69,5).
Agora, resta aplicarmos a fórmula da Md. Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡150 −129⎤
= inf +
⋅ h Md = 59, 5 +
⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 111 ⎥
Daí: Md=61,39
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Portanto, a resposta da primeira questão será esta:
Média=60,5 e Mediana=61,39 OPÇÃO B.
Ora, imediatamente nos lembraremos que, quando conhecemos duas
medidas de tendência central de um mesmo conjunto, já somos capazes
de identificar qual será o comportamento da curva de freqüência que
representa este conjunto, no tocante à sua assimetria! Estamos
recordados disso?
Claro! Então já passaremos uma vista nas questões seguintes,
para ver se alguma delas questiona exatamente isso: se a distribuição
é simétrica ou assimétrica, e, caso seja assimétrica, se é
assimétrica positiva (à direita) ou negativa (à esquerda)!
Houve uma questão assim? HOUVE!! É a quinta questão! Saltaremos
logo para ela!
5. Assinale a opção correta:
a) Uma vez que a distribuição é assimétrica à esquerda, apresentará
uma curva leptocúrtica.
Várias questões teóricas já tentaram estabelecer uma relação entre o
comportamento da assimetria de um conjunto e seu comportamento quanto
à Curtose! E nós sabemos que essa relação não existe! Errado,
portanto, esse item.
b) A distribuição é assimétrica à esquerda, ou de assimetria
positiva.
Ora, sabemos que assimetria à esquerda é o mesmo que assimetria
negativa, e não positiva como afirma este item. Errado, portanto!
c) A distribuição é assimétrica à direita, ou de assimetria positiva.
Na questão anterior, verificamos que, para o nosso conjunto, a Média
é menor que a Mediana. Daí, lembraremos daquela pequena frase que diz
“a seta puxa a média”, e já enxergaremos aquela curva, com a setinha
apontando para o lado da esquerda, e puxando a média para o seu lado!
Ora, esta curva representa o quê? Uma distribuição assimétrica à
esquerda, ou de assimetria negativa! Errado este item.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 8 de 14
d) A distribuição é mesocúrtica, tendo em vista que é também
simétrica.
Novamente o enunciado tentou estabelecer uma relação entre assimetria
e curtose. Falso, portanto.
e) A distribuição é assimétrica à esquerda, ou de assimetria
negativa.
É a resposta CORRETA, conforme explicado no item “c”. Aproveitemos o
ensejo e relembremos o desenho de uma curva assimétrica à esquerda,
ou de assimetria negativa!
←
Média < Mediana < Moda
Portanto: Resposta) OPÇÃO E.
Passemos à questão dois!
2. Assinale a opção que indica quantos elementos deste conjunto
apresentam valor menor ou igual a 55.
Sol.:
Este enunciado, caso quisesse, poderia ter acrescentado o
seguinte: “...ou igual a 55, utilizando a interpolação linear da
ogiva.” Estamos lembrados disso?
Como primeiro passo, descobriremos quais são as classes que
participarão da composição da resposta, e de que forma o farão.
Vejamos. Abaixo de 55, teremos:
Classes (Xi) fi
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
15
45
69
111
36
24
n=300
1ªclasse: participa integralmente
2ªclasse: participa integralmente
3ªclasse: participa parcialmente
Trabalharemos, pois, com a terceira classe, fazendo uma regra de
três para calcularmos com quantos elementos esta classe participará
da resposta.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 9 de 14
Nossa classe é essa: (49,5 ; 59,5)
Na primeira linha da regra de três, trabalhamos com a classe
completa, fazendo “amplitude da classe está para freqüência simples”.
Ou seja:(h --- fi). Teremos:
10 --- 69
Na segunda linha da regra de três, trabalharemos com a classe
quebrada. Ora, nesta classe, valores até 55 são os seguintes: (49,5 -
-- 55). Daí, teremos:
5,5 --- X
Onde 5,5 é a amplitude quebrada, encontrada por (55-49,5). Daí,
nossa regra de três completa será a seguinte:
10 --- 69
5,5 --- X
Acharemos que X=37,95. Este valor corresponde exatamente à
participação da terceira classe na resposta. Agora passaremos a
compor nosso resultado, fazendo:
1ªclasse 15 elementos (fi=15)
2ªclasse 45 elementos (fi=45)
3ªclasse 37,95 elementos (X=37,95)
Total = 97,95 elementos Resposta: OPÇÃO C.
3. Sabendo que a variância da variável Xi é 156,0 e considerando que
Zi=(2Xi-3)/4, determine a opção que corresponde aos valores mais
aproximados, respectivamente, da variância e do coeficiente de
variação da variável Zi.
Sol.:
Neste enunciado a questão nos forneceu uma transformação da
variável original, em uma nova variável Zi! Construiremos de imediato
os caminhos de ida e volta de conversão de uma variável em outra.
Teremos:
Caminho de Ida
1º) (x2) 2º) (-3) 3º)(÷4)
2 2
S x = 156
Xi Zi
S z = ?
(Variável Original) (Variável Transformada)
3º)(÷2) ← 2º) (+3) ← 1º) (x4)
Caminho de Volta
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 10 de 14
Começaremos trabalhando com a Variância, recordando as suas
propriedades! Lembraremos que a variância não é influenciada por
operações de soma e subtração, contudo sofre o efeito de operações de
produto e divisão.
Além disso, temos que lembrar que quando multiplicamos ou
dividimos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova
variância ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado daquela
constante!
Assim, as operações que influenciarão a variância, em nosso
caminho de ida, são as seguintes:
1º) (x2) a variância ficará multiplicada por (2) 2 , ou seja,
por 4;
2º) (÷4) a variância ficará dividida por (4) 2 = 16.
Daí, multiplicar um valor qualquer por 4, e em seguida dividilo
por 16 é exatamente o mesmo que apenas dividi-lo por 4. Senão,
vejamos:
⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞ X
X . ⎜ ⎟ = X.
⎜ ⎟ =
⎝16
⎠ ⎝ 4 ⎠ 4
Portanto, nossa nova Variância será dada por:
2 156
2
S z = E: S z = 39 Resposta!
4
A questão pede agora o valor do Coeficiente de Variação da
variável Zi. Temos que o valor do CV é dado por:
S z
CVz
= , ou seja: desvio-padrão dividido pela média!
Z
A Média da variável original - X - já foi calculada na primeira
questão, na qual encontramos que: X =60,5. Só que agora nos interessa
conhecer o valor da média da variável transformada Zi. Para isso,
percorreremos o caminho de ida, lembrando-nos de que a média é
influenciada pelas quatro operações, de modo que para encontrar o Z ,
faremos:
1º) (x2) 60,5 x 2 = 121,00;
2º) (-3) 121,0-3=118,0
3º) (÷4) 118,0÷4=29,5
Determinamos, portanto, que: Z =29,5
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 11 de 14
Daí, resta-nos determinar o valor do desvio-padrão da variável
2
Z. Sabemos a relação que há entre desvio-padrão e variância: S = S .
Assim, tendo já calculado o valor da variância (S 2 ) da variável Zi,
teremos agora que calcular a raiz quadrada deste valor!
Ou seja:
2
z =
Se S 39 , então: S = 39 Daí: S = 6,
24
z
Finalmente, aplicaremos a fórmula do coeficiente de variação,
para calcular que:
S z
CVz
= E:
Z
6,
24
CV = Daí: CVz=0,212 Resposta!
29,
5
Os valores solicitados como resposta foram, portanto, os
seguintes:
2
S = 39 & CVz=0,212
Resposta: OPÇÃO D.
z
Obs.: Talvez alguns de vocês (ou muitos!) tenham se assustado um
pouco pelo fato de ter sido exigido nesta questão que se soubesse
calcular o valor de uma raiz quadrada. O fato é que a ESAF até hoje
evitou de exigir esse conhecimento! Mas a verdade é que não há nada,
absolutamente nada, que a impeça de fazê-lo quando bem entender!
Na prova, somente nos daremos ao trabalho de calcular uma raiz
quadrada quando isso for totalmente imprescindível! Ou seja, quando
não houver outra forma de se chegar ao resultado.
Imagine uma situação em que você fez todos os cálculos, e chegou
ao seguinte: S = 27 . Imagine ainda que esta mesma questão está
pedindo o valor que mais se aproxima do desvio-padrão S desta
variável. O que você vai fazer? Suponha que as opções de resposta são
as seguintes:
a)4,8; b)5,2; c)5,5; d)5,6; e)5,8
Ora, em vez de perder tempo tentando calcular o valor da raiz de
27, você irá fazer o seguinte: pegará cada opção de resposta e
multiplicará por ela mesma! Aquela resposta que ao quadrado der 27
será justamente a que estamos procurando!
A minha sugestão é que você comece pela opção “C”. Porque assim,
haverá dois valores menores e dois maiores que o valor desta opção.
Daí, faremos:
opção C: (5,5)x(5,5)=30,2
z
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 12 de 14
Ora, como o resultado foi um valor maior que 27, então nossa
resposta estará entre as opções A e B. Passamos à análise da opção B.
Teremos:
opção B: (5,2)x(5,2)=27,04 ≈ 27,0
Pronto! Achamos nossa resposta: opção B!
Agora, se tivermos realmente que calcular uma raiz quadrada,
existem vários diferentes métodos para se fazer isso! Conheço um que
gosto muito, e que me parece o mais fácil de todos. Com esse método,
calculamos a raiz quadrada trabalhando apenas com subtrações!
Não hoje, mas talvez já na próxima aula eu prometo apresentarlhes
este método. Ok?
Vamos à questão quatro!
4. Assinale a opção que mais se aproxima do valor do primeiro
coeficiente de Assimetria de Pearson do conjunto.
Sol.:
Aqui a coisa mais importante seria apenas conhecer a fórmula do
primeiro coeficiente de assimetria de Pearson. Todos lembrados? É a
seguinte:
( X − Mo)
A =
S
Como já havíamos calculado na primeira questão o valor da Média
da variável Xi – ( X =60,5) - teremos, destarte, que nos dedicar aos
cálculos da Moda e do Desvio-Padrão.
Vamos à Moda!
O primeiro passo é descobrir a Classe Modal, qual seja, aquela
que apresenta maior fi! Teremos:
Classes (Xi) fi
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
15
45
69
111
36
24
Classe Modal!
n=300
Descoberta a Classe Modal, resta-nos aplicar a fórmula da Moda
de Czuber! E é a seguinte:
⎛ Δa
⎞
Mo = l inf + ⎜ ⎟ ⋅ h
⎝ Δa
+ Δp
⎠
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 13 de 14
Vamos logo saber quem serão os deltas:
Classes (Xi) fi
29,5 ; 39,5
39,5 ; 49,5
49,5 ; 59,5
59,5 ; 69,5
69,5 ; 79,5
79,5 ; 89,5
15
45
69
111
36
24
n=300
Classe Anterior: Δa=111-69 Δa=42
Classe Modal!
Classe Posterior: Δp=111-36 Δp=75
⎛ 42 ⎞
Daí: Mo = 59, 5 + ⎜ ⎟ ⋅10
E: Mo=63,09
⎝ 42 + 75 ⎠
Feito isso, falta-nos conhecer o valor do desvio-padrão da
variável original Xi. Ora, já nos foi fornecido na questão anterior
que o valor da Variância de Xi é igual a 156. Ou seja:
2
S x = 156
Daí, teremos que: S = 156 Daí: S = 12,
49
x
Agora, aplicando a fórmula da assimetria pelo 1º coeficiente de
Pearson, teremos que:
( X − Mo)
A = E:
S
Resposta: OPÇÃO A.
( 60, 5 − 63,
09)
A =
Daí: A=-0,207
12,
49
Ora, como já sabíamos que este conjunto apresenta assimetria à
esquerda, já estávamos esperando como resultado do coeficiente de
assimetria um valor negativo! Nas opções de resposta, só havia duas
opções com valores negativos. Daí, se estivéssemos naquela situação
desesperadora, de o tempo da prova estar esgotado e o examinador já
se aproximando de você para tomá-la, obviamente que direcionaríamos o
nosso “chute” para uma daquelas opções (A ou D).
z
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ESTATÍSTICA *** Ponto 30 –SIMULADO 03 *** Pág. 14 de 14
Bem, amigos! Por hoje é só. Espero que este teste tenha servido
como uma pequena revisão. Nesta reta final, o mais importante de
tudo, além de manter a calma, é resolver o máximo de exercícios!
Estou ainda concluindo a aula de Números Índices. Enquanto isso,
se for o caso, apresentarei um novo simulado. O importante é que não
fiquemos muitos dias sem aula.
Estejam certos que farei de tudo para não me ausentar por longos
dias, até que chegue nossa prova.
Último aviso aos concursandos de Fortaleza. Na próxima semana,
estaremos iniciando novas turmas – as últimas antes do AFRF – de
Estatística e de Matemática Financeira! Vagas limitadas. Preço de fim
de feira! É ligar para conferir:(85)91.11.92.21.
Dedico este Ponto de hoje a um grupo de amigos do Recife, que
tive a oportunidade de rever há poucos dias: Eleonora, Vanice, Luís
Augusto e o casal Marcos Santa Clara e Sandra. Todos concurseiros de
primeira categoria! Que Deus os ilumine, e que o sucesso esteja mais
próximo a cada dia.
Forte abraço a todos, e até breve!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 1 de 21
SIMULADO 04
Olá, amigos! E aí, como se saíram no “simulado 03”? Espero que
estejam no caminho certo. Quem eventualmente não fez um bom teste,
espero que se recorde das minhas palavras e tire proveito dos erros
cometidos, para que não se repitam no futuro, especialmente na hora da
prova!
Enquanto a aula de números índices “não sai”, vamos passar hoje a
um novo simulado e, conforme prometido, vou tentar ensinar um método
bastante prático para calcularmos a raiz quadrada de um valor qualquer.
# Aprendendo a Calcular a Raiz Quadrada:
EXEMPLO 01) Quanto é 9 ?
Sol.: Façamos de conta que não sabemos o resultado. Este método se
baseia em subtrações sucessivas dos números ímpares!!
Quem é o primeiro número ímpar? É o número 1. Então, começaremos
subtraindo por ele!
Teremos:
9
1 –
8
A pergunta: podemos continuar subtraindo pelo próximo número ímpar? Quem
é o próximo número ímpar, depois de 1? É o número 3. Então, podemos
subtrair. Teremos:
8
3 –
5
Quem é o próximo número ímpar? É o 5. Podemos continuar subtraindo? Sim!
Teremos:
5
5 –
0
Quando nosso resultado der igual a zero (foi o caso!), diremos que a
nossa raiz é exata. Então, paramos, e contamos quantas subtrações foram
feitas! Quantas? Três! Logo, 3 é nossa resposta!
Daí: 9 = 3 Resposta!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 2 de 21
EXEMPLO 02) Quanto é 144 ?
Façamos de conta que não sabemos a resposta!
O primeiro passo será sempre esse: dividir nosso número de duas em duas
casas, da direita para a esquerda. E começamos a trabalhar com quem está
à nossa esquerda!
Teremos: 1´44 Ou seja, começaremos a trabalhar com o 1.
Iniciaremos nossas subtrações, a partir do primeiro número ímpar!
Teremos: 1´44
1 –
0
Quando não for possível prosseguir as subtrações, ou porque o resultado
foi zero (nosso caso), ou porque o resultado foi um valor menor que o
próximo número ímpar, faremos o seguinte: pararemos, e contaremos
quantas subtrações foram feitas! Quantas? Uma. Então, o número 1 é o
primeiro algarismo da nossa resposta!
Ou seja, por enquanto: 144 =1...
Prosseguindo, baixaremos as duas próximas casas. Lembrem-se que sempre
trabalharemos baixando duas casas! Teremos: 1´44
1
0 44
Agora, atenção! O segredo deste método vem agora! Se entendermos o que
vou explicar neste momento, então matamos a charada!
A grande questão é: a partir de qual número ímpar nós iremos reiniciar
nossas subtrações? A regra é a seguinte: no lugar das unidades, teremos
sempre o número 1. Vejamos:
1´44
1
0 44
1-
E, acompanhando a unidade, no lado esquerdo, teremos o valor do último
número ímpar que usamos para subtrair, somado a um! Quem foi o último
número ímpar usado para subtrair? Vejamos:
1´44
1 último número ímpar usado para subtrair!
0 44
1-
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 3 de 21
Foi o número “1”. Daí, somamos (1+1)=2. Logo, o número 2 irá acompanhar
a unidade na próxima subtração. Vejamos:
1´44
1
0 44
último número ímpar
21-
[(último número ímpar)+1]
usado para subtrair!
Ou seja: reiniciaremos nossas subtrações, a partir do número ímpar 21.
Teremos:
1´44
1
0 44
21-
23
Quem é o próximo número ímpar, depois de 21? Naturalmente que é o 23.
Teremos:
1´44
1
0 44
21-
23
23-
0
Quando a resposta for zero, estamos diante de uma raiz exata! Temos
agora que contar quantas subtrações foram realizadas após a descida das
duas últimas casas!! Ora, as duas últimas casas foram “44”, e depois que
descemos o “44”, fizemos duas subtrações. Então, o número 2 é o segundo
algarismo da nossa resposta! Teremos:
EXEMPLO 03) Quanto é 59049 ?
144 =12 Resposta!
Façamos de conta que não sabemos! (Alguém já sabe quanto é?)
Como primeiro passo, dividiremos o nosso número de duas em duas casas,
iniciando da direita para a esquerda! Teremos: 5´90´49
Já sabemos que vamos começar as subtrações pelo lado esquerdo, ou seja,
pelo 5. Teremos: 5´90´49
1 –
4
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 4 de 21
Podemos continuar subtraindo pelo próximo número ímpar? Sim! Teremos:
5´90´49
1 –
4
3 –
1
Podemos continuar subtraindo pelo próximo ímpar? Não! Quando a resposta
for “NÃO”, pararemos, e contaremos quantas subtrações foram feitas.
Quantas? Duas! Então, o número 2 é o primeiro na composição do resultado
desta raiz. Ou seja: 59049 = 2...
Na seqüência, já sabemos, têm que descer as duas próximas casas!
Teremos, portanto:
5´90´49
1
4
3
190
Aqui, novamente, a grande questão! A partir de qual número ímpar nós
reiniciaremos nossas subtrações? No lugar das unidades, é sempre ele: o
número 1. Teremos:
5´90´49
1
4
3
190
1-
E acompanhando a unidade, no lado esquerdo, tomaremos o último número
ímpar usado para subtrair, e somaremos a um. Quem foi este último ímpar
que utilizamos?
5´90´49
1
4
3 último número ímpar usado para subtrair!
190
1-
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 5 de 21
Daí, somaremos este número a um! Teremos: (3+1)=4 . Teremos, pois, o
número 4 acompanhando a unidade no lado esquerdo. Ou seja, nossas
subtrações reiniciarão a partir do número 41. Vejamos:
5´90´49
1
4
3 último número ímpar usado para subtrair!
190
41-
Teremos, portanto, que:
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
[(último número ímpar)+1]
Quem é o próximo ímpar? É o 43. Teremos:
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
Quem é o próximo ímpar depois de 43? É o 45! Dá para subtrair por ele?
Sim! Então, teremos:
5
´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
Página 5 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 6 de 21
Quem é o próximo ímpar? É o 47. É possível subtrair por ele? Sim! Em
frente:
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
47-
14
Quem é o próximo ímpar? É o 49. Dá pra subtrair? NÃO! Logo, como a
resposta é “NÃO”, nós pararemos, e contaremos quantas subtrações foram
feitas desde que desceram as duas últimas casas! Quem foram as duas
últimas casas que desceram? Foram os 90! E depois que desceram os 90,
foram feitas exatamente quatro subtrações! Portanto, o número 4 passa a
compor nosso resultado. Até aqui, temos o seguinte:
59049 = 24...
O que fazemos agora? Descemos as duas próximas casas! Teremos:
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
47-
1449
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 7 de 21
E agora? A partir de qual número ímpar retomaremos nossas subtrações? No
lugar das unidades, já sabemos, sempre ela: a própria unidade!
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
47-
1449
1-
E acompanhando a unidade, no seu lado esquerdo, pegaremos o último ímpar
usado para subtrair e o somaremos a um. Quem foi o último ímpar usado
para subtrair? Foi o 47. Somando (47+1), chegamos a 48. Este valor
ficará ao lado da unidade, de modo que reiniciaremos nossas subtrações,
a partir do número 481. Vejamos:
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
47- último ímpar
1449
481-
[(último ímpar)+1]
usado para subtrair!
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Teremos:
ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 8 de 21
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
47-
1449
481-
968
Quem é o próximo número ímpar? É o 483. Teremos:
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
47-
1449
481-
968
483-
485
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 9 de 21
Quem é o próximo ímpar? É o 485. Podemos ainda subtrair? Sim! Teremos:
5´90´49
1
4
3
190
41-
149
43-
106
45-
61
47-
1449
481-
968
483-
485
485-
0
Podemos continuar subtraindo? Não! Então paramos e contamos quantas
subtrações foram feitas, depois que desceram as duas últimas casas.
Neste caso, perguntamos: quantas subtrações fizemos depois que desceu o
49? A resposta é “três subtrações”! Logo, 3 passa a compor nosso
resultado. Como o último resto foi igual a zero, dizemos que nossa raiz
é exata!
Daí, concluímos: 59049 = 243 Resposta!
Exemplo 04) Quanto é 18 ?
Começaremos subtraindo pelo primeiro ímpar. Teremos:
18
1 –
17
Quem é o próximo ímpar? É o 3. Dá para subtrair? Sim. Teremos:
18
1 –
17
3 -
14
Página 9 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 10 de 21
Próximo ímpar: 5. Podemos subtrair? Sim. Em frente:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
Próximo ímpar? É o 7. Podemos? Sim, podemos! Então, teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
2
Próximo ímpar: 9. Dá para subtrair? NÃO! Então, paramos, e contamos as
subtrações realizadas. Quantas foram? Foram 4. Logo, 4 inicia nossa
resposta. Ou seja: 18 =4...
Acontece que, aqui, pela primeira vez, nosso resto foi diferente de
zero! De modo que a nossa raiz não é exata!! Para continuarmos nossas
contas, já sabemos que teríamos que descer duas casas (não é assim?).
Mas, não há mais ninguém para descer! E agora?
Agora, passamos uma vírgula no nosso 4, ou seja: 18 =4,... e descemos
duas novas casas. Vejamos quais:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
2 00
É isso! As duas casas que vamos criar “quando não houver mais ninguém
para descer” serão sempre “zero-zero”.
Daí, temos agora que descobrir o número ímpar, a partir do qual iremos
reiniciar nossas subtrações. No lugar das unidades, o número 1, sempre!
Página 10 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 11 de 21
E quem foi o último ímpar usado para subtrair? Foi o 7. Somado a um,
fica 8. Então, teremos o seguinte:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 - último ímpar usado para subtrair!
200
81
Daí, teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81-
119
[(último ímpar)+1]
Próximo ímpar? 83. Podemos? Sim! Teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81 -
119
83 -
36
É possível continuar subtraindo do próximo número ímpar? Não! Então,
paramos e contamos quantas subtrações foram efetuadas após a descida das
duas últimas casas, que foram o “zero-zero”. Quantas? Duas! Então, o
número 2 passa a compor nosso resultado! Teremos, por enquanto, que:
18 =4,2...
Página 11 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 12 de 21
Aqui, verificamos que o resto ainda foi diferente de zero. Isso
significa que, se quisermos, poderemos continuar nossas contas. Vai
depender de com quantas casas decimais nós queremos trabalhar. A meu
ver, duas casas decimais costumam nos fornecer uma aproximação já
razoavelmente segura. Então, sigamos em busca da segunda casa decimal!
A pergunta é: quem vai descer para continuarmos as subtrações? Ora, como
não há mais ninguém para descer, “escorregaremos” aqui um “zero-zero”.
Teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81 -
119
83 -
36 00
A velha pergunta: a partir de qual número ímpar reiniciaremos nossas
subtrações? No lugar da unidade, sempre o “1”. Ao lado esquerdo deste,
colocaremos o último ímpar utilizado para subtrair somado a 1. Teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81 -
119
83 - último ímpar usado para subtrair!
3600
841
[(último ímpar)+1]
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 13 de 21
Daí, teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81 -
119
83 -
3600
841 -
2759
Prosseguindo! Quem é o próximo ímpar? É o 843. Podemos usá-lo? Sim!
Teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81 -
119
83 -
3600
841 -
2759
843 –
1916
Página 13 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 14 de 21
O próximo ímpar é 845. Teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81 -
119
83 -
3600
841 -
2759
843 –
1916
845 –
1071
O próximo ímpar é o número 847. Podemos usá-lo? Sim! Então, teremos:
18
1 –
17
3 -
14
5 -
9
7 -
200
81 -
119
83 -
3600
841 -
2759
843 –
1916
845 –
1071
847 –
224
Página 14 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 15 de 21
E agora? Podemos prosseguir subtraindo do próximo número ímpar? A
resposta é NÃO! Então paramos, e contamos quantas subtrações foram
feitas desde a descida das últimas duas casas! Quantas foram? Foram
quatro subtrações! Daí, o número 4 passa a fazer parte do nosso
resultado! Chegamos, portanto, ao seguinte: 18 =4,24
Como ainda houve na nossa última subtração um resto diferente de zero,
sabemos que ainda não chegamos a uma resposta exata. Ou seja, se
quisermos, poderemos prosseguir com as subtrações, para conhecermos a
resposta com mais casas decimais! Fica a gosto do freguês!
Como disse, duas casas decimais já nos fornecem uma boa aproximação!
Vejamos que (4,24) 2 =17,98, o que já bem próximo de 18!
Alguém pode pensar que este método é demorado. Não é! Sobretudo quando
se pega a prática!
EXEMPLO 05)
Vamos fazer um último exemplo. No simulado da aula passada, precisamos
calcular 156 . Estão lembrados? Vamos fazer essa conta! Começaremos
trabalhando com o “1”. Teremos:
1´56
1 -
0
Fizemos apenas uma subtração e já paramos. Significa que o número 1 já
compõe nosso resultado. Por enquanto, temos que: 156 =1...
Descemos agora o 56 (duas próximas casas). E vamos reiniciar nossas
subtrações. Teremos:
Teremos, portanto:
1´56
1 - último ímpar usado para subtrair
0 56
21 -
1
´56
1 -
0 56
21 -
35
[(último ímpar)+1]
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 16 de 21
Próximo ímpar? 23. Teremos:
1´56
1 -
0 56
21 -
35
23 –
12
Aqui não dá prosseguir. Portanto, paramos, e contamos quantas subtrações
foram feitas após a descida do 56. Quantas? Duas. Teremos, por enquanto,
que: 156 =12...
Na seqüência, teremos que descer duas casas, tendo em vista que o último
resto foi diferente de zero, ou seja, não estamos com um raiz exata!
Quem desceremos? A dupla “zero-zero”. Não podemos esquecer que teremos
de colocar uma vírgula no nosso resultado! Daí, ficaremos que
156 =12,...
E reiniciaremos nossas subtrações a partir de quem? No lugar das
unidades, sempre ele: o “1”. Ao lado dele (na esquerda), poremos o
último ímpar usado para subtrair, somado a 1. Ficaremos, portanto,
assim:
Teremos:
1´56
1 -
0 56
21 -
35
23 – último ímpar
1200
241 –
1´56
1 -
0 56
21 -
35
23 –
1200
241 –
959
[(último ímpar)+1]
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 17 de 21
Próximo ímpar: 243. Teremos:
1´56
1 -
0 56
21 -
35
23 –
1200
241 –
959
243 –
716
Próximo ímpar: 245. Teremos:
1´56
1 -
0 56
21 -
35
23 –
1200
241 –
959
243 –
716
245 –
471
Próximo ímpar: 247. Teremos, agora:
1´56
1 -
0 56
21 -
35
23 –
1200
241 –
959
243 –
716
245 –
471
247 –
224
Será que é possível continuar subtraindo pelo próximo ímpar? NÃO. Então,
paramos e contamos quantas subtrações foram feitas depois que desceram
as duas últimas casas (o “zero-zero”). Quantas? Quatro! Logo, 4 vai para
o resultado! Daí, por enquanto, ficamos com: 156 =12,4...
Página 17 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 18 de 21
Se quisermos, podemos reiniciar as subtrações, a fim de encontrar novas
casas decimais no resultado. Particularmente, gosto de encontrar sempre
até a segunda casa decimal. Aqui vou deixar esse trabalho com vocês.
Acho que já temos elementos suficientes para aplicar o método!
Espero que tenham gostado. Aprendi este método com o Prof. Jonofon
Sérates, em entrevista ocorrida há muitos anos, no programa do Jô
Soares. Professor Jonofon é um matemático brasileiro dos mais renomados.
É autor de diversos livros de matemática, e criador do MCL – Método Cuca
Legal! Ele foi aluno do grande Malba Tahan (de “O Homem que Calculava”).
Se não estou muito enganado, o professor Jonofon participou (não sei se
continua) da banca elaboradora da ESAF. Eu, eterno insone, tive a sorte
de assistir àquela entrevista, (deve ter sido lá pelos idos de 1997) e
nunca esqueci essa aula.
Bem, passemos agora ao nosso SIMULADO Nº04. Neste Ponto de hoje,
apresentarei apenas as questões. As resoluções virão no seguinte!
As regras são as mesmas: tente reservar um tempo (uma hora, mais ou
menos) para fazer o exercício. Concentre-se. Faça de conta que está
fazendo a prova! As questões que estou apresentando neste simulado, em
sua maioria, são dúvidas que me foram apresentadas por vocês, meus
alunos virtuais! Então, aproveito o ensejo para dar mais uma
oportunidade a quem não conseguiu fazê-las de tentar novamente, e a quem
não as conhece, de tentar resolvê-las pela primeira vez!
Boa sorte a todos!
(Vide próxima página!)
Página 18 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 19 de 21
SIMULADO 04
A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X, para
uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes
de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes:
Classes (Xi) fi
4 - 9
9 - 14
14 - 19
19 - 24
24 - 29
29 - 34
34 - 39
39 - 44
44 - 49
1. Sabe-se que o desvio-padrão da distribuição de X é
aproximadamente 10. Assinale a opção que dá o valor do
coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na média, na
mediana e no desvio-padrão.
a) -0,600
b) 0,191
c) 0,709
d) 0,603
e) -0,610
2. Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de
assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem
3, μ3. Assinale a opção correta:
a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos
em relação à média.
b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos
desvios em relação à média.
c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos
em relação à média.
d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de
dados da média dos cubos das observações.
e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios
em relação à média.
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo
financeiro (X) foram examinados 400 itens de natureza contábil do
balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de
freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores
de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa
5
9
10
15
12
6
4
3
2
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ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 20 de 21
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes. A próxima questão se refere a esses ensaios.
Classes (Xi) P(%)
14,5 - 24,5
24,5 - 34,5
34,5 - 44,5
44,5 - 54,5
54,5 - 64,5
64,5 - 74,5
74,5 - 84,5
5
10
20
50
70
95
100
3. Seja S o desvio-padrão do atributo X. Assinale a opção que
corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo
segundo coeficiente de Pearson.
a) Negativo e maior que menos um;
b) Positivo e maior que um;
c) Positivo e menor que um;
d) Negativo e menor que menos um;
f) Zero.
4. Considere a seguinte transformação Z=(X-75)/20. Para o atributo Z
2
encontrou-se que ∑ Zi . fi = 15,
6250 , onde fi é a freqüência simples
da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a
opção que dá o desvio-padrão amostral do atributo X. Sabe-se que
a amostra possui 50 elementos e que a média desses elementos é
85.
a) 5,00
b) 5,05
c) 5,10
d) 25,00
e) 25,51
5. Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das
classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale
a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.
a) 6,20
b) 4,40
c) 5,00
d) 7,20
e) 3,90
É isso! As questões 3 e 4 foram extraídas de um simulado, vulgo
“nacional”, que houve recentemente. Foram diversos os e-mails que
recebi pedindo a resolução particularmente destas duas questões. As
Página 20 de 21

ESTATÍSTICA *** Ponto 31 –SIMULADO 04 *** Pág. 21 de 21
questões 1 e 2 caíram na prova do AFPS-2002, que foi realizada pela
ESAF, e a última questão foi do TJ-CE/2002, para o cargo de oficial
de justiça.
Boa sorte a todos! Um abraço forte e até a próxima, se Deus quiser!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 1 de 9
Olá, amigos! Hoje, começamos com as questões do “Simulado 4”, que
ficou da última aula. Sem tempo a perder, vamos às resoluções!
A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um atributo X, para
uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes
de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes:
Classes (Xi) fi
4 - 9
9 - 14
14 - 19
19 - 24
24 - 29
29 - 34
34 - 39
39 - 44
44 - 49
1. Sabe-se que o desvio-padrão da distribuição de X é aproximadamente
10. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria
de Pearson que é baseado na média, na mediana e no desvio-padrão.
a) -0,600
b) 0,191
c) 0,709
d) 0,603
e) -0,610
Sol.: Nesta questão, nossa primeira preocupação será a de descobrir o
que está sendo solicitado. Ora, temos dois coeficientes de assimetria de
Pearson! Aquele que se baseia nos valores da Média, Mediana e do Desvio-
Padrão é exatamente o Segundo Coeficiente de Pearson, que é dado pela
X − Md
A = 3
fórmula: ( )
S
Sabendo disso, teremos agora que fazer todo o trabalho para
calcular essas três medidas que compõem a nossa fórmula!
# Cálculo da Média:
Trabalharemos pelo método da variável transformada! Perfazendo os
passos já nossos conhecidos, teremos:
Classes (Xi) fi PM (PM-6,5)=Yi Yi.fi
4 - 9
9 - 14
14 - 19
19 - 24
24 - 29
29 - 34
34 - 39
39 - 44
44 - 49
5
9
10
15
12
6
4
3
2
6,5
11,5
16,5
21,5
26,5
31,5
36,5
41,5
46,5
5
9
10
15
12
6
4
3
2
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
9
20
45
48
30
24
21
16
n=66 213
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Agora, calcularemos o valor da Média da variável transformada Yi,
Yi fi
pela utilização da fórmula: Y
n
∑ .
=
Teremos que:
Yi fi
Y
n
∑ .
=
213
Y = Y = 3,
227
66
Construindo os caminhos de transformação da variável, teremos:
Caminho de Ida
1º) (-6,5) 2º)(÷5)
X = ?
Xi Yi Y = 3,
227
(Variável Original) (Variável Transformada)
3º)(+6,5) ← 1º)(x5)
Caminho de Volta
Daí, percorrendo o caminho de volta, e lembrando-nos das
propriedades
teremos que:
da média, que é influenciada pelas quatro operações,
1 o ) 3,227 x 5 = 16,14 e
2 o ) 16,14 + 6,5 = 22,64 Ou seja: X = 22,
64
# Cálculo da Mediana:
Para descobrirmos quem é a Classe Mediana, calcularemos o (n/2).
Teremos que: (n/2)=33 Nosso valor de referência!
Partimos para as perguntas de praxe, comparando o (n/2) com os
valores da fac! Teremos:
Classes (Xi) fi fac↓
4 - 9
9 - 14
14 - 19
19 - 24
24 - 29
29 - 34
34 - 39
39 - 44
44 - 49
5
9
10
15
12
6
4
3
2
n=66
5
14
24
39
51
57
61
64
66
5 é ≥ 33? NÃO!
14 é ≥ 33? NÃO!
24 é ≥ 33? NÃO!
39 é ≥ 33? SIM!
Daí, descobrimos que a Classe Mediana é a quarta classe: (19 –
24)! Agora, resta aplicarmos a fórmula da Mediana.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 3 de 9
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
2
⎥
Md l inf ⎢⎝
⎠ ⎥
⎡33 − 24⎤
= +
. h Md = 19 + . 5
⎢ fi ⎥
⎢ 15 ⎥
Md=22,0
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
# Cálculo do Desvio Padrão:
Este não precisaremos calcular, porque já foi fornecido pelo
enunciado!! Toda atenção é pouca, quando se trata de ler as questões!
Alguém mais desatento talvez fosse perder um tempo incomensuravelmente
valioso, calculando este Desvio Padrão, que já havia sido “dado de
bandeja”!
Segundo o enunciado, teremos: S=10,0
# Calculando o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:
A = 3
Aplicando a fórmula, teremos:
( X − Md )
S
( 22,
64 22)
3 −
A =
A=0,191 Resposta!!
10
2. Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de
assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem 3,
μ3. Assinale a opção correta:
a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos
em relação à média.
b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos
desvios em relação à média.
c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos
em relação à média.
d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de
dados da média dos cubos das observações.
e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios
em relação à média.
Sol.: Esta questão é meramente conceitual! Quer saber se o aluno
conhece a fórmula do Terceiro Momento ou Momento de Terceira Ordem
Centrado na Média Aritmética! Apenas isso!
A fórmula do m3 (chamado de μ3 pelo enunciado!) é a seguinte:
( Xi X )
m
n
∑ −
3 =
Traduzindo a fórmula acima, vemos que o seu numerador representa
“os desvios dos elementos Xi em relação à Média, elevados à terceira
3
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ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 4 de 91
potência”. Em outras palavras: o numerador é o cubo dos desvios em
relação à média!
O denominador é apenas o número de elementos do conjunto. Se
estamos dividindo o somatório de um conjunto de elementos pelo seu
número de elementos, estamos na verdade determinando a sua Média!
Daí, o entendimento completo da fórmula do M3, será a seguinte: ”a
média dos cubos dos desvios em relação à média”.
Portanto: Opção E Resposta!!
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo
financeiro (X) foram examinados 400 itens de natureza contábil do
balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências
abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais
e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem
observações coincidentes com os extremos das classes. A próxima questão
se refere a esses ensaios.
Classes (Xi) P(%)
14,5 - 24,5
24,5 - 34,5
34,5 - 44,5
44,5 - 54,5
54,5 - 64,5
64,5 - 74,5
74,5 - 84,5
5
10
20
50
70
95
100
3. Seja S o desvio-padrão do atributo X. Assinale a opção que
corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo segundo
coeficiente de Pearson.
a) Negativo e maior que menos um;
b) Positivo e maior que um;
c) Positivo e menor que um;
d) Negativo e menor que menos um;
e) Zero.
Sol.: Sabemos que antes de qualquer coisa, teremos que trabalhar as
colunas de freqüências, para chegarmos à fi! É o que faremos agora:
Classes (Xi) Fac Fi fi
14,5 - 24,5
24,5 - 34,5
34,5 - 44,5
44,5 - 54,5
54,5 - 64,5
64,5 - 74,5
74,5 - 84,5
5%
10%
20%
50%
70%
95%
100%
5%
5%
10%
30%
20%
25%
5%
20
20
40
120
80
100
20
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ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 5 de 91
O Segundo Coeficiente de Pearson é determinado pela fórmula
X − Md
A =
S
3
, conforme havíamos visto na primeira questão!
seguinte: ( )
Daí, calcularemos a Média e a Mediana deste conjunto!
# Cálculo da Média:
Usando o método da variável transformada, teremos:
Classes (Xi) fi PM (PM-19,5)=Yi
10
Yi.fi
14,5 - 24,5 20 19,5
0
0
24,5 - 34,5 20 29,5
1
20
34,5 - 44,5 40 39,5
2
80
44,5 - 54,5 120 49,5
3
360
54,5 - 64,5 80 59,5
4
320
64,5 - 74,5 100 69,5
5
500
74,5 - 84,5 20 79,5
6
120
n=400 1400
Após isso, acharemos o valor da média da variável transformada Yi.
Da seguinte forma:
Yi fi
Y
n
∑ .
=
1400
Y = Y = 3,
5
400
Desenhando os caminhos de transformação, teremos:
Caminho de Ida
1º) (-19,5) 2º)(÷10)
X = ?
Xi Yi Y = 3,
5
(Variável Original) (Variável Transformada)
3º)(+19,5) ← 1º)(x10)
Caminho de Volta
Daí, percorrendo o caminho de volta, e lembrando-nos das
propriedades
teremos que:
da média, que é influenciada pelas quatro operações,
1 o ) 3,5 x 10 = 35,0 e
2 o ) 35,0 + 19,5 = 54,5 Ou seja: X = 54,
5
# Cálculo da Mediana:
Vamos logo descobrir quem é a Classe Mediana!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 6 de 9
Fazemos (n/2)=200, e comparamos esse valor (200) com os valores da
fac! Teremos:
Classes (Xi) fi fac
14,5 - 24,5
24,5 - 34,5
34,5 - 44,5
44,5 - 54,5
54,5 - 64,5
64,5 - 74,5
74,5 - 84,5
20
20
40
120
80
100
20
n=400
20
40
80
200
280
380
400
20 é ≥ 200? NÃO!
40 é ≥ 200? NÃO!
80 é ≥ 200? NÃO!
200 é ≥ 200? SIM! É o quê?
É IGUAL!!! Logo: 2 a REGRA DE OURO
DA MEDIANA!!!
Olha que beleza!! Sem fazer mais nenhuma conta, já podemos afirmar
que: Md=54,5 (=limite superior da classe correspondente!)
Finalmente, aplicando a fórmula do Segundo Coeficiente de Pearson a este
conjunto, verificamos que o numerador irá se anular! Vejamos:
A = 3
( X − Md )
S
( 54,
5 54,
5)
3 −
A =
S
A
S
0
= A=0 (zero) Resposta!
4. Considere a seguinte transformação Z=(X-75)/20. Para o atributo Z
2
encontrou-se que ∑ Zi . fi = 15,
6250 , onde fi é a freqüência simples
da classe i e Zi o ponto médio de classe transformado. Assinale a
opção que dá o desvio-padrão amostral do atributo X. Sabe-se que a
amostra possui 50 elementos e que a média desses elementos é 85.
a) 5,00
b) 5,05
c) 5,10
d) 25,00
e) 25,51
Sol.: Uma questãozinha das boas! Aqui, temos que saber, e bem,
trabalhar com a variável transformada! Comecemos construindo os
caminhos de transformação das variáveis. Teremos:
Caminho de Ida
1º) (-75) 2º)(÷20)
X = 85
Xi Zi
(Variável Original) (Variável Transformada)
3º)(+75) ← 1º)(x20)
Caminho de Volta
2
∑ Zi . fi = 15,
65
O enunciado pede que encontremos o valor do Desvio-Padrão Amostral
da variável original Xi. Pelos dados fornecidos na questão,
percebemos facilmente que a fórmula a ser empregada é a seguinte:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 7 de 9
S X
=
1 ⎡
⎢
( n −1)
⎢
⎣
( )
( ) ∑ PM.
fi
2
∑ PM . fi −
n
Observando a presença do “menos 1” no denominador (fora dos
colchetes!) por conta do fator de correção de Bessel, presente no
cálculo do desvio-padrão (e variância) amostral.
Agora ficou fácil enxergar que teremos de calcular a Variância da
variável transformada Zi para, em seguida, percorrermos o caminho de
volta da transformação e chegarmos à resposta procurada!
O cálculo do Desvio-Padrão de Zi será dado por:
S Z
=
1 ⎡
⎢
( n −1)
⎢
⎣
( )
( ) ∑ Zi.
fi
2
∑ Zi . fi −
n
Ora, desta fórmula já conhecemos o valor do n (=50) e da parcela
2
∑ Zi . fi = 15,
6250 , ambos fornecidos pelo enunciado. Resta encontrarmos o
( ∑ Zi fi)
quê? Apenas o valor de . e só!
2
Aqui vale a atenção do aluno! O enunciado forneceu mais algum dado
adicional? SIM! Forneceu a Média da variável Xi! Ora, se quiséssemos
saber a Média da variável transformada Zi, como faríamos para
calculá-la?
Sabemos que a fórmula da Média é a seguinte:
2
2
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
Zi fi
Z
n
∑ .
=
Percebamos que, para chegarmos ao valor do numerador ∑ Zi. fi ,
teríamos que conhecer o n e o Z . Aquele já sabemos quem é; esse ainda
não! Mas podemos chegar ao valor do Z , trabalhando com a variável
transformada! Teremos apenas que percorrer o Caminho de Ida da
transformação, e teremos o seguinte:
Partindo do X =85,0 1 o ) 85-75=10 e 2 o ) 10:20=0,5 Z =0,5
Agora, podemos fazer o seguinte:
Zi fi
Z
n
∑ .
= ∑ Zi . fi = Z.
n ∑ Zi . fi = 0,
5x50
∑ Zi.
fi = 25,
00
Daí, retornaremos à fórmula do Sz, e chegaremos ao seguinte:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 8 de 9
S Z
=
1 ⎡
⎢
( n −1)
⎢
⎣
( )
( ) ∑ Zi.
fi
2
∑ Zi . fi −
n
2
⎤
⎥
⎥
⎦
= ( 15,
6250)
2 ( 25)
⎤
⎥⎦
1 ⎡
S Z ⎢ − Sz=0,2525
49 ⎣
50
Finalmente, agora só teremos que percorrer o caminho de volta da
transformação, para chegarmos ao Desvio-Padrão do X! Teremos:
Partindo do Sz=0,2525 1 o )0,2525x20=5,05 2 o )A soma não influencia
o valor do Desvio-Padrão! Logo: Sx=5,05 Resposta!
5. Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das
classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale
a opção que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados.
a) 6,20
b) 4,40
c) 5,00
d) 7,20
e) 3,90
Sol.: Essa aqui é bem mais simples! Basta construirmos os caminhos de
transformação e nos lembrarmos das propriedades do desvio padrão!
Teremos que:
Caminho de Ida
1º) (-14) 2º)(÷4)
Sx = ?
Xi Zi Sz = 1,
10
(Variável Original) (Variável Transformada)
3º)(+14) ← 1º)(x4)
Caminho de Volta
Daí, percorrendo o Caminho de Volta, faremos:
1 o )1,10x4=4,40 e 2 o )Soma não altera o desvio-padrão!
Chegamos, finalmente a: Sx=4,40 Resposta!!
Pronto, amigos! Lá se foi mais esse simulado. Espero que estejam se
saindo bem. Espero, mais ainda, que estejam aprendendo com eventuais
erros cometidos!
Na seqüência, deixo com vocês o “SIMULADO 5”. Este é bem diferente.
Apenas teórico! Contém assertivas extraídas de provas anteriores do
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AFRF, e nosso trabalho será apenas dizer se são verdadeiras (V) ou
falsas (F).
ESTATÍSTICA *** Ponto 32 – RESOLUÇÃO DO SIMULADO 04 *** Pág. 9 de 9
Na verdade, estou aproveitando um e-mail de um aluno virtual, o
Edson Luiz, um paraense que anda batalhando na capital maranhense. Ele
me mandou esta relação e achei-a apropriada a se tornar um pequeno
simulado! Obrigado ao Edson, um forte abraço!
Dedico esta aula de hoje aos meus muitos e bons amigos – os
Técnicos da Receita Federal de todo o País – dos quais recebo e-mails
quase que diariamente. É uma categoria da qual me orgulho
profundamente em dizer que já fiz parte, e que admiro sinceramente. Um
forte abraço aos colegas TRF!
Sem mais delongas, deixo-os com o nosso SIMULADO 05.
Até a próxima!
SIMULADO 05
1) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade
independe da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da
distribuição de freqüências.
2) Em qualquer distribuição de freqüências, a média aritmética é mais
representativa do que a média harmônica.
3) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é nula.
4) A moda, a mediana e a média aritmética são medidas de posição com
valores expressos em reais que pertencem ao domínio da variável a que se
referem.
5) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável
aleatória.
6) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é
menor do que o coeficiente de curtose.
7) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um
real no intervalo [-3,3].
8) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a
três vezes o quadrado da variância da distribuição.
9) O coeficiente de curtose é igual a três em uma
distribuição normal padrão.
10) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo.
Boa sorte!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 1 de 23
Números Índices – Parte 01
Olá, amigos! Começaremos esta aula de hoje comentando o “Simulado 05”,
que ficou da última aula. Depois, iniciaremos as explicações acerca dos
Números Índices – último tópico do programa do AFRF. Sem mais demora...
Resolução do Simulado 05
1) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade
independe da variação da variável, mas depende do grau de assimetria
da distribuição de freqüências.
Sol.: Falso! Esta assertiva já se torna falsa quando afirma que a média
aritmética não depende da variação da variável. Ora, sabemos
perfeitamente que se apenas um dos elementos do conjunto for alterado,
isso já irá – necessariamente – modificar a média.
2) Em qualquer distribuição de freqüências, a média
aritmética é mais representativa do que a média
harmônica.
Sol.: Falso! Quero desculpar-me com vocês por ter colocado –
indevidamente – este item no simulado. Por uma razão muito simples:
ainda não ensinei nada sobre média harmônica.
Mas, para não dar viagem totalmente perdida, vale ressaltar sobre o
cuidado extremo que devemos ter com assertivas que tragam palavras do
tipo: “qualquer”, “sempre”, “nunca”, “jamais”, “necessariamente”,
“obrigatoriamente”, e outras do gênero! São palavras perigosíssimas, uma
vez que excluem a possibilidade de haver exceções, na situação a ser
analisada.
Neste nosso caso, por exemplo: a palavra “qualquer” está amarrando o
enunciado. Se houver ao menos uma distribuição de freqüências para a
qual a média harmônica seja mais representativa que a média aritmética,
o item já se torna falso!
Aproveitando o ensejo, vamos aprender como se calcula a Média
Harmônica para um conjunto de elementos:
Média Harmônica para o rol! É dado por:
Xh
Exemplo: Para o conjunto {1,2,3,4}, calcular a média harmônica. Teremos:
Xh
=
∑
n
1
Xi
=
∑
X h
n
1
Xi
4
=
1 1 1 1
+ + +
1 2 3 4
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 2 de 23
Aí, é só tirar o mmc do denominador, e concluir as contas!
Média Harmônica para Dados Tabulados:
É dada por:
n
X h =
fi
∑ Xi
Observemos que aqui, mais uma vez, ocorre aquela transição com a qual
já estamos acostumados! Só que o fi vai surgir multiplicando no
“numerador do denominador”! Uma dica muito útil para memorizarmos o
local onde o fi surgirá na fórmula dos dados tabulados é essa:
lembraremos que o fi estará sempre onde também estiver o sinal do
somatório (Σ)! Senão, vejamos:
Xi
Média Aritmética para o rol: X
n
∑ =
Média Aritmética p/ dados tabulados:
Outro exemplo:
Variância para o rol:
( Xi X )
S
n
∑ −
2
=
2
X ∑
=
( Xi X )
Xi.
fi
n
Variância p/ dados tabulados: S
n
fi ∑ 2
=
−
Média Harmônica para Distribuição de Freqüências:
Essa é fácil! Repetiremos a fórmula dos dados tabulados,
lembrando-nos de trocar o Xi (elemento individualizado) por PM
(ponto médio)! Apenas isso. Teremos:
X h
=
∑
3) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à
média aritmética é nula.
Sol.: Falso! Este item versou sobre uma das propriedades da média
aritmética, só que maneira equivocada! Na verdade, há duas
propriedades da média que são muito parecidas, muito próximas uma
n
fi
PM
2
.
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 3 de 23
a outra, quase irmãs. Os enunciados destas propriedades são os
seguintes:
A soma dos desvios dos elementos de um conjunto em relação à
média aritmética é igual a zero!
Quer dizer o quê? Tomemos um exemplo:
Seja o conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}, cuja média é X = 3.
Se construirmos agora o conjunto dos desvios, ou seja, da
diferença entre cada elemento Xi e a média X , teremos o seguinte:
Xi- X ={(1-3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)}
Daí: Xi- X ={-2, -1, 0, 1, 2}
Fazendo o somatório deste conjunto, chegamos ao seguinte:
∑(Xi- X )= 0
E isto é exatamente a tradução da nossa primeira propriedade!
Vamos à segunda:
A soma dos quadrados dos desvios dos elementos de um conjunto em
relação à média aritmética é um valor mínimo!
O que quer dizer isso? Vejamos com um exemplo! Consideremos o
mesmo conjunto do exemplo anterior. Encontramos para ele que:
Xi- X ={-2, -1, 0, 1, 2} Este é o conjunto dos desvios em relação
à média!
Se construirmos agora o conjunto dos quadrados dos desvios,
teremos o seguinte:
(Xi- X ) 2 ={(-2) 2 , (-1) 2 , (0) 2 , (1) 2 , (2) 2 } = {4, 1, 0, 1, 4}
Fazendo o somatório deste último conjunto, acharemos que:
Σ(Xi- X ) 2 ={4+1+0+1+4}=10 Este “10” é um valor mínimo!
Isso significa dizer que, se construirmos, a partir do conjunto
original, um outro conjunto de desvios (ou diferenças), só que não
mais em relação à média, mas em relação a uma constante qualquer
e, após isso, concluirmos o mesmo procedimento feito acima,
acharemos um resultado final maior que 10! Senão, vejamos:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 4 de 23
Consideremos a constante k=2. Observemos que a média do conjunto é 3,
diferente da constante k, portanto!
Construamos o conjunto dos desvios dos elementos Xi do conjunto em
relação à constante k. Teremos:
Conjunto Original: {1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto dos desvios em relação a K:
(Xi-k)={(1-2),(2-2),(3-2),(4-2),(5-2)} = {-1, 0, 1, 2, 3}
Agora, elevemos este conjunto ao quadrado. Teremos:
(Xi-k) 2 = {(-1) 2 ,(0) 2 ,(1) 2 ,(2) 2 ,(3) 2 }={1, 0, 1, 4, 9}
Finalmente, somando este conjunto, teremos:
∑(Xi-k) 2 = 15 (>10!!) Ou seja, “10 é o mínimo!”
Voltando à nossa questão, percebamos que o enunciado misturou as duas
propriedades, tornando a assertiva falsa!
4) A moda, a mediana e a média aritmética são
medidas de posição com valores expressos em reais que
pertencem ao domínio da variável a que se referem.
Sol.: Falso! Aqui precisaríamos saber apenas que o domínio da variável
significa o grupo de todos os elementos do conjunto. Se temos o
conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}, então o domínio deste conjunto serão os
próprios elementos 1, 2, 3, 4 e 5.
Sabemos, perfeitamente, que é inteiramente possível encontrarmos, por
exemplo, uma mediana de um conjunto que não seja um de seus elementos.
Consideremos o conjunto {1, 2, 3, 4}. Quem é a mediana? Espero que
estejam todos bem lembrados de como se determina a mediana para um rol!
Estão? Ainda bem! Neste caso, nossa mediana é Md=2,5. E podemos ver que
2,5 não é elemento do conjunto, logo, não pertence ao seu domínio!
Com a média, sabemos que pode ocorrer o mesmo. Tomando o mesmo
conjunto acima, qual seria a média? Média=(1+2+3+4)/4=10/4=2,5 , que
também não pertence ao domínio!
5) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma
variável aleatória.
Sol.: Falso! Quando estudamos momentos estatísticos, vimos que há
dois tipos de momentos que se identificam com medidas outras
estudadas por nós! Estão lembrados de quais seriam essas medidas?
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 5 de 23
Bem! O momento simples de primeira ordem confunde-se com a média
de um conjunto; e o momento de segunda ordem, centrado na média
aritmética confunde-se com a variância de um conjunto! Vimos ainda
que há uma forma de se calcular a assimetria que se utiliza do
cálculo do terceiro momento centrado na média aritmética. Só isso!
Então, não será toda medida de posição ou de assimetria que será
um momento!
6) O coeficiente de assimetria, em qualquer
distribuição de freqüência, é menor do que o
coeficiente de curtose.
Sol.: Falso! Sabemos que não há qualquer relação entre os valores
dos coeficientes de assimetria e de curtose de um conjunto. São
medidas que expressam características distintas de uma curva de
freqüências. Vale ressaltar, ainda, a presença da palavra
“qualquer” nesta assertiva!
7) O coeficiente de assimetria, em uma
distribuição de freqüência, é um real no intervalo
[-3,3].
Sol.: Falso! Esta assertiva merece uma análise mais precisa. Como
sabemos, há quatro formas diferentes de se calcular a assimetria
de um conjunto, quais sejam:
primeiro coeficiente de assimetria de Pearson;
segundo coeficiente de assimetria de Pearson;
coeficiente quartílico de assimetria;
índice momento de assimetria.
O enunciado somente estaria correto se tivesse especificado esse
coeficiente de assimetria como sendo o segundo de Pearson! Ou
seja, para o segundo coeficiente de assimetria de Pearson, esta
medida poderia assumir valores variando entre -3 e +3.
Já no tocante aos demais índices de assimetria isso não ocorre!
Para o coeficiente quartílico, por exemplo, a assimetria varia no
intervalo entre -1 e +1.
Vamos aproveitar o ensejo, e relembrar as quatro fórmulas,
referentes às distintas maneiras de se calcular a assimetria:
primeiro coeficiente de assimetria de Pearson:
X − Mo
A =
S
segundo coeficiente de assimetria de Pearson:
( X − Md )
A =
S
3
coeficiente quartílico de assimetria:
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Q3
+ Q1
− 2Md
A = ou
Q3
− Q1
Q3
+ Q1
− 2Q2
A =
Q3
− Q1
(Lembremos que a Mediana é sinônimo de Segundo Quartil!)
índice momento de assimetria:
m
A =
S
8) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de
freqüência, é igual a três vezes o quadrado da
variância da distribuição.
Sol.: Falso! A questão está perguntando, na linguagem estatística
2
se:
C = 3.S ???
Ora, basta nos lembrarmos da fórmula de curtose que envolve a
variância! É o índice momento de curtose, ou, como conhecemos, a
“fórmula do 4”, dada por:
3
4
m
C =
S
Onde, m4 é o momento de quarta ordem centrado na média aritmética,
e S 4 é o quadrado da variância. Inteiramente diferente do que foi
proposto no enunciado!
9) O coeficiente de curtose é igual a três em uma
distribuição normal padrão.
Sol.: Verdadeiro! Aprendemos que há duas formas de se calcular a
curtose de um conjunto. E que, para cada uma dessas formas, há uma
maneira
diferente de se interpretar o resultado!
As duas formas de calcular curtose de um conjunto são: pelo
índice momento de curtose, e pelo índice percentílico.
Neste último, temos que:
C =
2
4
4
( Q3
− Q1)
( D9
− D1)
E o resultado é interpretado, tendo como padrão o valor
0,263! Vejamos:
Se C0,263 distribuição Platicúrtica.
Já o índice momento de curtose é dada por:
m4
C = 4
S
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E interpretado da seguinte forma:
Se C>3 distribuição leptocúrtica;
Se C=3 distribuição mesocúrtica;
Se C

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“Números Índices – A Aula”
Este assunto – Números Índices – é diferenciado de tudo o que
vimos até aqui. Deixaremos de trabalhar com elementos de um conjunto
dispostos em rol, dados tabulados ou distribuição de freqüências.
Trabalharemos sim com dados relativos a preços e quantidades,
normalmente apresentados em uma tabela, e referentes a bens ou
produtos, em diferentes épocas.
A princípio, saibamos que existem números índices simples e
compostos! O número índice simples analisa variações de preço e
quantidade, ao longo do tempo, para um único produto; enquanto isso,
o número índice composto o faz em relação a um grupo de bens.
Antes de mais nada, convém sabermos que quando tratamos de
preços e quantidades de um bem qualquer, estaremos sempre
relacionando estes preços ou quantidades a duas épocas distintas!
Normalmente, essas épocas são anos! Por exemplo, compararemos o preço
do produto A no ano de 1990 e no ano de 1995. Ou então, compararemos
a quantidade vendida do produto B no ano de 2002 e no ano de 2003. E
assim por diante!
Convencionou-se então chamar estas duas épocas, estes dois anos,
pela seguinte nomenclatura: ano base (que é o ano de referência!) e
ano dado. E mais: doravante, adotaremos que o ano base será designado
pelo símbolo (o) enquanto que o ano dado será designado pelo símbolo
(n).
Desta forma, se falarmos em preços e quantidades de um
determinado bem X, nos anos de 2000 e de 2002, tomando como
referência (ano base!!) o ano de 2000, teremos que:
po é o preço do bem no ano base (2000);
pn é o preço do bem no ano dado (2002);
qo é a quantidade do bem no ano base (2000);
qn é a quantidade do bem ano dado (2002).
# Número Índice Relativo de Preço:
O primeiro número índice simples que aprenderemos é o Índice
Relativo de Preço! É designado por po,n.
Definiremos o Relativo de Preço da seguinte maneira:
pn
p o,
n =
p
Onde, conforme já sabemos:
po é o preço do bem no ano base; e
pn é o preço do bem no ano dado.
o
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Vamos a um exemplo! Suponhamos que nos foi fornecida a seguinte
tabela abaixo, a qual expressa preços de determinados produtos em
duas épocas distintas – anos de 2000 e de 2002 – considerando como
ano de referência o de 2000. Teremos:
Preço (em R$1,00)
Produtos 2000 ( po ) 2002( pn
)
A
15
20
B
8
8
C
12
7
Agora, vejamos como calcular o Índice Relativo de Preço de 2002,
com base no ano 2000, para os produtos apresentados na tabela!
Faremos o seguinte cálculo:
Daí, teríamos que:
p
p 2000,
2002 =
p
Para o Produto A p2000,2002=(20/15)=1,33=133,33%
Para o Produto B p2000,2002=(8/8)=1,0=100,0%
Para o Produto C p2000,2002=(7/12)=0,583=58,3%
Feito isso, passamos à elaboração de uma nova tabela, agora
utilizando os resultados encontrados nos índices relativos de preços!
Teremos:
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
A
100
133,3
B
100
100
C
100
58,3
Observemos que os índices relativos dos produtos no ano base
serão sempre iguais a 100! Caso contrário, não poderíamos tomar estes
valores como base ou de referência! Confiramos novamente:
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
A
100
133,3
B
C
100
100
100
58,3
Agora vamos interpretar estes resultados! Os cálculos dos
índices relativos de preços nos informam que:
2002
2000
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Analisando o produto A, veremos o seguinte:
Índices Relativos de Preço (%)
Produto 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
A 100 133,3
O preço do bem A elevou-se 33,3% no ano de 2002, tomando por
base o ano de 2000! Basta fazer a subtração dos índices de preço!
Vejamos: 133,3-100=33,3.
Para o produto B, teremos:
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
B 100 100
O preço do produto B não sofreu qualquer variação no ano de
2002, tomando como referência o seu preço em 2000. Novamente, basta
subtrair: 100-100=0!
Para o produto C, finalmente, teremos:
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
C 100 58,3
Aqui, entenderemos que, no ano de 2002, houve uma redução no
preço do bem C, em relação ao preço do mesmo bem no ano de 2000. E de
quanto foi essa redução? Ora, é só subtrair:58,3-100=-41,7. O sinal
negativo no resultado da subtração nos indica que houve uma redução
no preço do produto no ano dado em relação ao ano base!
Observemos que estes três valores que encontramos, 33,3%, 0% e –
41,7%, correspondem ao que chamamos de variação de preço! Daí,
podemos ainda afirmar que:
Daí, chegamos também ao seguinte:
Variação de preço = p 100
o,
n −
po,n = 100 + variação de preço
Só isso! Não é fácil? Já sabemos o primeiro número índice!
# Número Índice Relativo de Quantidade:
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O próximo número índice simples que aprenderemos é o Índice
Relativo de Quantidade! Este é designado por qo,n.
É praticamente a mesma coisa que o índice relativo de preços,
com uma única diferença: em vez de tratarmos de preços, estaremos
lidando com quantidades dos produtos!
Calcularemos o relativo de quantidade da seguinte forma:
q
q o,
n =
q
Conforme já sabemos, qo é a quantidade do bem no ano base; e qn
quantidade do produto no ano dado!
Suponhamos um exemplo, em que uma determinada loja conseguiu
vender 300 aparelhos de DVD em 2002, enquanto apenas 120 no ano de
2000. Qual seria o índice relativo de quantidade em 2002, com base no
ano de 2000?
Teremos que:
Daí: q2000,2002=(300/120)=2,5=250%
n
o
q
q 2000,
2002 =
q
Se fôssemos colocar esse resultado em uma tabela, teríamos o
seguinte:
Índices Relativos de Quantidade (%)
Produto
DVD
2000 (qo)
100
2002 (q o,n)
250,0
Concluímos, portanto, que houve uma variação de quantidade de
150%. Ou seja, fazendo a diferença entre o índice relativo de
quantidade que calculamos e 100% (que é o índice do ano-base!),
chegamos à variação de quantidade! Ou seja: 250%-100%=150%.
Em outras palavras: em termos de quantidade, foram vendidos
nesta loja 150% aparelhos de DVD a mais em 2002, em relação à
quantidade vendida no ano de 2000.
# Número Índice Relativo de Valor:
De antemão, precisamos saber que o conceito de valor é um
produto! Teremos que: valor=(preço x quantidade). E isso é bem
intuitivo! Se eu comprar duas canetas, ao preço de R$10,00 cada, qual
o valor que estarei pagando? É só multiplicar!
2002
2000
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 12 de 23
Pois bem! O Índice Relativo de Valor será dado por:
v
v o,
n =
v
E, como dissemos acima, Valor=(Quantidade.Preço). Daí:
Daí, podemos concluir que:
Vo= po.qo e Vn=pn.qn
v
p
× q
n n n n n
v o,
n = = = × = po,
n × qo,
n
vo
po
× qo
po
qo
Ou seja, o Índice Relativo de Valor pode ser decomposto em um
relativo de preço e um relativo de quantidade.
Façamos um exemplo! Suponhamos que uma loja vendeu, no ano de
2000, uma quantia de 520 fogões, ao preço de R$350,00. Em 2002, essa
mesma loja conseguiu vender apenas 400 fogões, ao preço de R$600,00
cada. Qual seria o índice relativo de valor, tomando por base o ano
de 2000? Se quisermos, podemos colocar os dados deste enunciado numa
tabela, de forma que teremos o seguinte:
Preços (em R$1,00) Quantidades (unid.)
Produto 2000 ( po ) 2002( pn ) 2000 (qo) 2002(qn)
Fogão 350,00 600,00 520 400
Daí, faríamos:
v
2000 , 2002
v
=
v
2002
2000
=
p
p
n
o
⋅ q
⋅ q
n
o
p
n
o
q
600x400
240.
000
= = = 1,
3187 = 131,
87%
350x520
182.
000
Traduzindo: no ano de 2002, o faturamento desta loja foi 31,87%
(=131,87%-100%) maior que em 2000!
Apenas isso!
# Propriedades:
Passemos a algumas propriedades desses números índices já
aprendidos.
Propriedade da Identidade!
Esta nos diz que, se o ano base e o ano dado se confundem, ou
seja, se ano base e ano dado são um só, então o valor do índice é
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 13 de 23
100%! Já vimos isso antes, quando construímos a tabela dos relativos!
Verificamos que os índices no ano base são sempre iguais a 100%.
Lembrados? Quando construímos a tabela dos relativos de preço, no
topo da página 03, encontramos o seguinte:
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
A
100
133,3
B
C
100
100
100
58,3
E encontramos estes valores 100 nos preços relativos de 2000,
simplesmente pelo seguinte:
p
o,
o
Propriedade da Reversão do Tempo!
=
p
p
o
o
= 1 = 100%
Se trocarmos os anos x e y, no cálculo dos índices,
encontraremos a seguinte relação:
Ix,y = (1 / Iy,x)
Este “I” está substituindo o “p” (de preço), ou o “q” (de
quantidade), ou o “v” (de valor)!
Isso quer dizer que se tivermos, por exemplo:
p2000,2002=125%
Podemos afirmar imediatamente que:
p2002,2000= (1/p2000,2002)=(1/125%)=80%
A mesma coisa se aplica a índices relativos de quantidade e de
valor!
Propriedade Circular!
Essa é boa e já caiu em prova recente do AFRF!!
Será entendida da seguinte forma:
I 0 , 1 × I1,
2 × I 2,
3 × Κ × I n−1,
n = I 0,
n
Novamente aqui o “I” está em lugar de “p” (de preço), ou de “q”
(de quantidade), ou de “v” (de valor)!
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 14 de 23
Se tivermos na questão dados relativos a variações de índices
(de preço, quantidade ou valor) de um bem em diversos anos
consecutivos, poderemos trabalhar com o uso desta propriedade!
Vamos a uma questão do AFRF-2001:
(AFRF-2001) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado
anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1=3%, δ2=2% e δ3=2%,
medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano t0. Assinale a
opção que corresponde ao aumento de preço do período t0+2 em relação
ao período t 0-1.
a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11%
Sol.: Vamos anotar as variações apresentadas pelo enunciado!
Variações de preço: δ1=3% ; δ2=2% ; δ3=2%
Vimos agora há pouco, na página 8, que:
po,n = 100 + variação de preço
O segredo agora é ter atenção! O enunciado falou que os acréscimos
são medidos em relação ao ano anterior, a partir do ano t0. Logo, o
ano anterior a t0 é a ano t0-1! Daí, a primeira variação (o primeiro
δ) será exatamente a do ano t0 em relação ao ano t0-1!
Teremos, portanto, os seguintes relativos de preço:
pt
0 −1, t0
= 100%
+ 3%
= 103%
pt
0 , t0+
1 = 100%
+ 2%
= 102%
= 100%
+ 2%
= 102%
pt
0 + 1,
t0+
2
Daí, o relativo de preço em t0+2 com relação a t0-1 será o seguinte:
Pt0-1,t0+2=(1,03)x(1,02)x(1,02) = 1,0716 = 107,16%
Daí, restaria fazer: Variação de Preço = Pt0-1,t0+2 - 100%
Daí: Variação de Preço = 7,16% Resposta!
Uma outra forma de resolver esta questão, talvez até mais
simples, consistia apenas em adotar o valor 100 para o primeiro preço
(o preço em t0-1). Daí, faríamos as variações descritas no enunciado,
até chegarmos ao preço do ano desejado, que é o t0+2. Vejamos:
Pt0-1=100
A primeira variação será de 3%. Ora, 3% de 100 é 100x0,03=3.
Daí, passaríamos a:
Pt0=103
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 15 de 23
O próximo delta é 2%. Daí, calcularemos 2% de 103. Chegaremos a:
103x0,02=2,06. Somando este valor ao último preço, teremos:
103+2,06=105,06. Daí:
Pt0+1=105,06
Finalmente, a última variação foi de 2%. Calculando 2% de
105,06, teremos: 105,06x0,02=2,1012. Daí, somando este valor ao
último preço encontrado, chegaremos a:
Pt0+2=107,16
Pronto! Como a questão quer saber a variação do preço de Pt0+2 em
relação a Pt0-1, só teremos agora que subtrair!
Daí, teremos: 107,16-100=7,16 E poderemos colocar o sinal de
%, uma vez que a referência é 100.
Teremos, finalmente: 7,16% Resposta!!
# Índice Aritmético Simples:
Aqui inicia nosso estudo dos números índices compostos! O Índice
Aritmético Simples é o primeiro deles! Designado por Ia, representa
tão somente a Média Aritmética dos índices relativos!
Será calculado, portanto, da seguinte forma:
Índice Aritmético Simples de Preço:
Ia
= ∑ ,
po
n p A + pB
+ p
o n o n C o
=
n
n
,
,
,
Onde o numerador é a soma dos relativos de preço dos produtos
apresentados numa tabela, e n é o número de produtos! Vejamos um
exemplo! Consideremos a tabela de índices relativos de preços
extraída construída por nós na página 7:
n
+ Κ
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
A
100
133,3
B
100
100
C
100
58,3
Teríamos que o índice aritmético simples de preço neste caso
será igual a:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 16 de 23
, 133,
3 + 100 + 58,
3
= =
3
∑ po
n
Ia
Daí: Ia=97,2 Resposta!
n
Concluímos, por este cálculo, que houve uma redução de
2,8% (=100-97,2) nos preços dos três produtos – observados
conjuntamente – no ano de 2002, em relação ao ano de 2000.
Índice Aritmético Simples de Quantidade:
Ia
= ∑ ,
qo
n q A + qB
+ q
o n o n C o
=
n
n
,
,
,
Aqui, a única diferença em relação ao índice anterior é que, em
vez de trabalharmos com preços, estaremos trabalhando com
quantidades!
Observemos que estes índices aritméticos são ditos “simples”
justamente porque trabalham com um único elemento: ou preço ou
quantidade!
O próximo número índice será dito “ponderado”, uma vez que
levará em conta os dois elementos - preço e quantidade -, de modo que
a quantidade será o “fator de ponderação”. Funcionará como uma
espécie de “peso”. Vejamos!
# Índice Aritmético Ponderado:
n
+ Κ
Designado por Iap, e calculado da seguinte forma:
Iap =
∑ p
∑
q p
=
q
. q
+ pB
. q o,
n B + pC
. q o n
q + q + q + ...
o,
n.
Ao,
n A
,
A dica é simples: basta pensar no cálculo da média aritmética
para dados tabulados! Estamos todos lembrados? Recordemos que este
cálculo seria dado por:
X ∑
=
A
Xi.
fi
n
Pois bem! Aqui, nos números índices, o Xi daria lugar aos
preços, enquanto que o fi daria lugar às quantidades! Lembraremos
ainda que o n da fórmula acima é dado por Σfi. Vejamos um exemplo!
Consideremos a tabela abaixo, de preços e quantidades de uma
série de produtos. Observemos que os preços já estão expressos como
relativos de preços! Vejamos:
B
C
C
+ Κ
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 17 de 23
Produto
A
B
C
Relativos de Preços
2002( pn
) (em %)
125
95
110
Quantidades 2002(qn)
(unid.)
120
200
185
Daí, o Índice Aritmético Ponderado neste caso seria dado por:
Ia =
# Índice Harmônico Simples:
( 125x120)
+ ( 95x200)
+ ( 110x185)
( 120 + 200 + 185)
=
54350
505
=
107,
62
Será designado por Ih, e representa tão somente a média
harmônica dos índices relativos. No começo desta aula de hoje, nas
páginas 1 e 2, aprendemos a calcular a Média Harmônica! Pois é
exatamente o que vamos fazer aqui novamente, só que agora usando
preços e quantidades! Vejamos.
Índice Harmônico Simples de Preço:
Aqui, repetiremos a fórmula da Média Harmônica para o rol,
substituindo Xi pelos índices relativos de preços! Apenas isso!
Teremos:
n
n
Ih = =
1 1 1 1
∑
+ + + Κ
po,
n p Ao,
n pBo,
n pCo,
n
Vamos a um exemplo! Usando os dados da tabela da página 12,
abaixo transcrita, calculemos o índice harmônico simples de preço.
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
A
100
133,3
B
100
100
C
100
58,3
3
Ih ==
= 86,
57 Daí: Ih=86,57
1 1 1
+ +
133,
3 100 58,
3
Segundo este cálculo, houve uma redução de 13,43% (=100-86,57)
nos preços dos três produtos – observados conjuntamente – no ano de
2002, em relação ao ano de 2000.
Índice Harmônico Simples de Quantidade:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 18 de 23
Aqui, há única diferença em relação ao índice acima será que
agora trabalharemos com quantidades, em vez de preços! Teremos,
portanto, que:
Ih =
∑
# Índice Harmônico Ponderado:
n
1
q
o,
n
=
1
q
Ao,
n
n
1 1
+ +
q q
Bo,
n
Co,
n
+ Κ
Designado por Ihp, e calculado da seguinte forma:
Ihp =
∑
∑
⎛
⎜
⎝
q
q
p
o,
n
=
⎞
⎟
⎠
Novamente a dica se repete: basta lembrarmos da fórmula da Média
Harmônica para Dados Tabulados! Daí, trocaremos Xi pelos relativos de
preços e trocaremos fi pelas quantidades! Vamos a um exemplo!
Considerando os dados da tabela abaixo, calculemos o índice harmônico
ponderado:
Produto
A
B
C
q
p
A
Ao,
n
Relativos de Preços
2002( pn
) (em %)
125
95
110
+
q
p
∑
B
Bo,
n
q
+
p
q
C
Co,
n
+ Κ
Quantidades 2002(qn)
(unid.)
120
200
185
120 + 200 + 185
Ihp =
Daí, feitas as contas: Ihp=106,38 Resposta!
120 200 185
+ +
125 95 110
# Índice Geométrico Simples:
Será designado por Ig, e representa apenas a média geométrica
dos índices relativos.
Abriremos parêntese para aprender como se calcula a Média
Geométrica de um conjunto! E é muito simples. Designaremos por X g !
Teremos:
Média Geométrica para o Rol:
X g = ∏
n Xi
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O símbolo ∏ significa “produtório”. É o irmão do somatório ∑ , com
a diferença que o somatório soma, e o produtório multiplica!
Daí, produtório de um conjunto de elementos Xi nada mais é que o
produto destes elementos!
Exemplo: Calculemos a média geométrica do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.
X g ∏
n 5 = Xi g 1x2x3x 4x5
5 X = X g = 120 E: X g = 2,
61
Média Geométrica para Dados Tabulados:
Faremos a transição já nossa conhecida! Aqui, surgirá o fi. Teremos:
X g = n ∏
Observemos que neste caso, o fi ficará no expoente do Xi!
Média Geométrica para Distribuição de Freqüências:
Basta substituir Xi por Ponto Médio (PM). Teremos:
X g = n ∏
Índice Geométrico Simples de Preço:
Aqui, repetiremos a fórmula da Média Geométrica para o rol,
trocando apenas Xi pelos relativos de preço! Teremos:
Xi
PM
Ig = n
n ∏ p0
, n = p Ao,
n × pBo,
n × pCo,
n × Κ
Exemplo: calculemos o índice geométrico simples de preços dos
dados abaixo.
Ig n
Índices Relativos de Preço (%)
Produtos 2000 ( po ) 2002 ( p o,
n )
A
100
133,3
B
100
100
C
100
58,3
3
= p Ao, n × pBo,
n × pCo,
n × Κ = 133,
3x100x58,
3 =
Índice Geométrico Simples de Quantidade:
fi
fi
3
777.
139
=
91,
94
Usaremos a fórmula do índice anterior, apenas trocando os
relativos de preços por relativos de quantidades! Teremos:
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 20 de 23
# Índice Geométrico Ponderado:
Ig = n
n ∏ q0
, n = q Ao,
n × qBo,
n × qCo,
n × Κ
Designado por Igp, e calculado da seguinte forma:
∑ q q
= ∑ q qA qB qC
Igp = ∏ p0
, t p Ao,
t × pBo,
t × pCo,
t × Κ
Exemplo:
Calculemos o índice geométrico ponderado dos dados abaixo.
Índices Complexos de Quantidade e de Preço:
Observando o programa apresentado pela ESAF este ano para o
concurso do AFRF ocorrerá em alguns dias, vi que ela cometeu um
pequeno deslize, quando chamou “índices complexos de qualidade e de
preço”. Na verdade, não era “qualidade” que eles queriam dizer, mas
“quantidade”. Às vezes uma palavrinha à toa deixa muito aluno
preocupado...
Estes dois índices que vamos aprender – Laspeyres e Paasche – já
foram, outrora, muito exigidos em provas do AFRF! De um tempo pra cá,
desde 2001, deixaram de ser cobrados. O que não quer dizer,
absolutamente, que não possam voltar a qualquer momento!
São índices que envolvem preços e quantidades, simultaneamente,
referentes a duas épocas distintas: ano base e ano dado! Então, o que
poderia ser efetivamente mais complicado aqui seria apenas conhecer
as quatro fórmulas! Teremos duas fórmulas para Paasche e duas para
Laspeyres.
Um primeiro contato com as fórmulas:
Índice de Preço de Paasche:
Índice de Quantidade de Paasche:
Índice de Preço de Laspeyres:
Índice de Quantidade de Laspeyres:
Pa
Pa =
La
La =
∑ =
∑
∑
∑
∑ =
∑
∑
∑
pn
. q
p . q
o
o
n
n
qn
. p
q . p
o
n
n
pn
. qo
p . q
o
o
qn
. po
q . p
o
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 21 de 23
É...! A primeira impressão não é das melhores! Temos que
aprender um meio de memorizar estas quatro fórmulas! Vamos lá.
# Memorizando Laspeyres e Paasche:
1º Passo) As quatro fórmulas começam com somatório sobre somatório!
Preço de Paasche:
Quantidade de Paasche:
Preço de Laspeyres:
Quantidade de Laspeyres:
Pa =
Pa =
La =
La =
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
..........
..........
.......... .
.......... .
.......... .
.......... .
.......... .
.......... .
2º Passo) Índice de preço começa com preço, enquanto índice de
quantidade começa com quantidade! Teremos:
Preço de Paasche:
Quantidade de Paasche:
Preço de Laspeyres:
Quantidade de Laspeyres:
Pa
Pa =
La
La =
∑ =
∑
∑
∑
∑ =
∑
3ºPasso) Agora, “amarraremos” as quatro fórmulas, dando um “nó” (n,o)
na vertical!
Ficaremos com:
Preço de Paasche:
Pa
∑
∑
∑ =
∑
p.
q
p.
q
q.
p
q.
p
p.
q
p.
q
q.
p
q.
p
p . q
n
p . q
o
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 22 de 23
Quantidade de Paasche:
Preço de Laspeyres:
Quantidade de Laspeyres:
Pa =
La
La =
∑
∑
∑ =
∑
∑
∑
q . p
n
q . p
o
p . q
n
p . q
o
q . p
n
q . p
4º Passo) Agora só nos resta complementar os dois preços ou
quantidades que estão faltando em cada fórmula com os índices (o) ou
(n). Saibamos que, para cada uma destas fórmulas, os índices que
estão faltando são iguais, ou seja, estão faltando ou dois (o) ou
dois (n). Aí, iremos nos lembrar do “bizú do pão-de-ló”. (Essa
teoria, se é que podemos chamar assim, não existe em livro nenhum...é
mais uma das minhas invenções malucas!)
Do bizú do pão-de-ló, nós só vamos aproveitar o “ló”. O “ló”
traz o “L” de Laspeyres e o “o” do índice “o”. Daí, lembraremos da
frase: “Laspeyres é ló!” E se Laspeyres é ló, então os dois índices
que estão faltando para concluirmos a fórmula são ambos o próprio
“o”.
Teremos:
Preço de Laspeyres:
Quantidade de Laspeyres:
La
La =
∑ =
∑
∑
∑
o
pn
. qo
p . q
o
o
o
qn
. po
q . p
o
(“Laspeyres é ló”!)
(“Laspeyres é ló”!)
E quanto ao Paasche? Ora, Paasche não é ló! Então, concluímos
que “Paasche é n”! Teremos:
Preço de Paasche:
Pa
∑ =
∑
p q
p . q
n.
n
(“Paasche é n”!)
o
n
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ESTATÍSTICA *** Ponto 33 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 01 *** Pág. 23 de 23
Quantidade de Paasche:
Pa =
∑
∑
q . p
n
o
n
q . p
n
(“Paasche é n”!)
Queridos amigos, mudança nos planos! Essa aula está se tornando
muito grande. Se prosseguir, certamente vai haver gente que não vai
conseguir “baixar” toda ela. É sempre assim!
Então, vou deixar o complemento para depois, quando resolverei
algumas questões de Paasche e Laspeyres e comentarei as últimas
questões de números índices dos AFRF mais recentes.
Um abraço a todos e até a próxima!
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ESTATÍSTICA ** Ponto 34 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 02 ** Pág. 1 de 11
Números Índices – Parte 02
Olá, amigos! Vamos concluir o assunto dos Números Índices,
resolvendo questões de provas passadas! De quebra, veremos ainda a
teoria sobre o assunto mudança de base! Vamos às questões!
Questão do AFTN/94:
Considere a estrutura de preços e de quantidades relativa a um
conjunto de quatro bens, transcrita a seguir, para responder as três
próximas questões.
Anos ANO 0 (BASE) ANO 1 ANO 2 ANO 3
Bens Preços Quantidade Preços Quantidade Preços Quantidade Preços Quantidade
B1 5 5 8 5 10 10 12 10
B2 10 5 12 10 15 5 20 10
B3 15 10 18 10 20 5 20 5
B4 20 10 22 5 25 10 30 5
1. (AFTN/1994) Os índices de quantidade de Paasche, correspondentes aos
quatro anos, são iguais, respectivamente a:
a) 100,0; 90,8; 92,3; 86,4
b) 100,0; 90,0; 91,3; 86,4
c) 100,0; 90,0; 91,3; 83,4
d) 100,0; 90,8; 91,3; 82,2
e) 100,0; 90,6; 91,3; 86,4
Sol.: A primeira coisa que temos que recordar é a fórmula do índice de
quantidade de Paasche. Lembrando dos artifícios mnemônicos que
coloquei na aula passada, saberemos que a fórmula que nos interessa
aqui é a seguinte:
Pa =
∑
∑
qn.
pn
q . p
Agora, observemos as respostas! Todas elas começam com o valor
100! Isso por quê? Porque esse primeiro índice diz respeito ao cálculo
do ano zero (ano base) em relação a ele próprio! Logicamente, que
dispensaremos esse cálculo!
Nosso trabalho será fazer as contas restantes: Ano 1, em
relação ao ano zero; Ano 2 em relação ao ano zero; e Ano 3 em
relação ao ano zero! Observemos que estamos fazendo tudo “em relação
ao ano zero”, exatamente porque o ano zero é o ano de referência!
o
n
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Antes de iniciarmos as contas, olharemos para as respostas! Quais
são os segundos valores que vêm nas opções de resposta? Temos 90,8 ,
90,0 e 90,6. Ora, como temos valores diferentes, faremos esse primeiro
cálculo, do índice de quantidade de Paasche do ano 1 em relação ao ano
zero! Teremos:
Pa =
∑
∑
q . p
n
q . p
o
n
n
=
( 5x8)
+ ( 10x12)
+ ( 10x18)
+ ( 5x22)
( 5x8)
+ ( 5x12)
+ ( 10x18)
+ ( 10x22)
=
450
500
=
0,
900
Este resultado será multiplicado por 100! Teremos: Pa=0,90x100=90,0
Agora, analisemos as opções! Com este valor 90,0 reduzimos as
possibilidades de resposta às opções b e c. Quem for bom observador já
viu que após o 90,0, nestas duas opções, encontraremos o mesmo valor
91,3, que corresponde ao índice de Paasche do ano 2 em relação ao ano
zero! Como a resposta é a mesma, o “desempate” sairá mesmo com as
contas do índice do ano 3 em relação ao ano zero! É o que faremos
agora! Teremos:
Pa =
∑
∑
q . p
n
q . p
o
n
n
=
( 10x12)
+ ( 10x20)
+ ( 5x20)
+ ( 5x30)
( 5x12)
+ ( 5x20)
+ ( 10x20)
+ ( 10x30)
=
570
660
=
0,
864
Que multiplicado por 100, ficará: 0,864x100=86,4
Finalmente, chegamos à resposta! Opção B!
2. (AFTN/1994) Os índices de preços de Laspeyres correspondentes aos
quatro anos são iguais, respectivamente, a:
a) 100,0; 117,7; 135,3; 155,3
b) 100,0; 112,6; 128,7; 142,0
c) 100,0; 112,6; 132,5; 146,1
d) 100,0; 117,7; 132,5; 146,1
e) 100,0; 117,7; 133,3; 155,3
Sol.: O ponto de partida aqui será também a fórmula! Sem conhecermos a
fórmula, como poderemos querer acertar a questão? Não dá! Ei-la:
Índice de Preço de Laspeyres
La
∑ =
∑
pn.
qo
p . q
Observando as respostas, vimos que todas as opções começam com o
valor 100,0. Já sabemos o motivo disso: esse valor representa o índice
calculado para o ano zero (ano base), em relação a ele próprio! Antes
de passarmos às próximas contas, vamos escolher com qual “ano dado”
o
o
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ESTATÍSTICA ** Ponto 34 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 02 ** Pág. 3 de 11
iremos trabalhar! Como escolher isso? Olhando para as respostas, e
buscando aquela que, em todas as opções, há valores diferentes!
Vejamos: o segundo valor das cinco opções ou serão 117,7 ou serão
112,6. Isso não é bom! Não vai nos trazer conclusão nenhuma! Já, o
terceiro valor das opções – que se refere ao índice do ano dois em
relação ao ano zero – nos traz um leque maior: 135,3 ou 128,7 ou 132,5
ou 133,3. A única resposta que se repete é o 132,5. Ou seja, se der
qualquer uma das outras respostas, já teremos “matado” a questão!!
Passemos às contas:
La =
∑
∑
pn.
qo
p . q
o
o
=
( 10x5)
+ ( 15x5)
+ ( 20x10)
+ ( 25x10)
( 5x5)
+ ( 10x5)
+ ( 15x10)
+ ( 20x10)
=
575
425
=
1,
353
Esse valor, multiplicado por 100, resultará em: 135,3
Com isso, já chegamos à resposta! Opção A.
3. (AFTN/1994) Assinale a assertiva correta:
a) O índice de preços de Paasche referencia o valor da produção, em
cada período de tempo, ao valor que esta produção teria na base.
VERDADEIRO! Para chegarmos a essa conclusão, temos que conhecer a
fórmula deste índice. E é a seguinte:
Pa
∑ =
∑
pn
. q
p . q
Observamos que o numerador da fórmula significa a produção no ano
dado, ou seja, em um ano qualquer; enquanto que o denominador
significa o valor que aquela produção (aquela quantidade) teria, se
considerado o preço praticado no ano base! É exatamente isso o que a
assertiva acima está nos dizendo, com palavras parecidas!
Por uma economia de tempo (que já não mais existe!), pularei os
comentários dos próximos itens.
b) No índice de preços de Laspeyres, as quantidades dos bens, e os seus
respectivos preços, variam a cada período de tempo.
o
n
n
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ESTATÍSTICA ** Ponto 34 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 02 ** Pág. 4 de 11
c) Os índices de Paasche satisfazem à prova de reversão de fatores,
isto é, o produto dos índices de preços e de quantidades coincide com
os índices de valor, em cada período de tempo.
d) Os índices de preços e de quantidades de Laspeyres são índices
relativos ponderados, mas os de Paasche não o são.
e) Não se pode proceder à junção de duas séries de índices de base fixa
quando eles são referenciados a bases distintas.
(AFTN-1996) Para efeito das duas próximas questões, considere os
seguintes dados:
Artig Quantidades (1000t) Preços (R$/t)
os 1993 1994 1995 1993 1994 1995
A1 12 13 14 58 81 109
A2 20 25 27 84 120 164
4. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de
preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993.
a) 100,0; 141,2; 192,5
b) 100,0; 141,4; 192,8
c) 100,0; 141,8; 193,1
d) 100,0; 142,3; 193,3
e) 100,0; 142,8; 193,7
Sol.: Bem! Aqui, se você é bom observador, já viu que só aplicaremos a
fórmula uma única vez! Claro! Para o ano de 1995, em relação ao ano de
1993 (que é o base!). Por que isso? Porque os cinco valores, nas cinco
opções de resposta, são todos diferentes!
Teremos:
La =
∑
∑
pn.
qo
p . q
o
o
=
( 109x12)
+ ( 164x20)
( 58x12)
+ ( 84x20)
=
4588
2376
=
1,
931
Multiplicando esse resultado por 100, chegaremos à resposta! Portanto:
La=193,1 Resposta) Opção “C”!
5. (AFTN-1996) Marque a opção que representa os índices de Paasche de
preços, no período de 1993 a 1995, tomando por base o ano de 1993.
a) 100,0; 141,3; 192,3
b) 100,0; 141,6; 192,5
c) 100,0; 141,8; 192,7
d) 100,0; 142,0; 193,3
e) 100,0; 142,4; 193,6
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ESTATÍSTICA ** Ponto 34 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 02 ** Pág. 5 de 11
Sol.: Nesta questão, da mesma forma que na anterior, só precisaremos
aplicar a fórmula do índice uma única vez! Basta olharmos com cuidado
para as opções de resposta e veremos que os segundos valores de cada
opção são todos distintos. Os terceiros valores também! Daí, podemos
escolher, entre fazer o cálculo do ano 94 em relação a 93, ou do ano
95 em relação a 93. Fica a gosto do freguês!
Aplicaremos aqui o preço de Paasche de 1994 em relação a 1993.
Teremos:
Pa =
∑
∑
pn.
qn
p . q
o
n
=
( 81x13)
+ ( 120x25)
( 58x13)
+ ( 84x25)
=
4053
2854
=
1,
420
Multiplicando este valor por 100, chegaremos à resposta!
Daí: 1,42x100=142,0 Resposta)Opção “D”!
6. (AFTN-1998) A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e
quantidades de cinco produtos:
Ano 1960 (ano base) 1970 1979
Preço Quant. Preço Preço
(po) (qo) (p1)
(p2)
Produto A 6,5 53 11,2 29,3
Produto B 12,2 169 15,3 47,2
Produto C 7,9 27 22,7 42,6
Produto D 4,0 55 4,9 21,0
Produto E 15,7 393 26,2 64,7
Totais ∑po.qo=9009,7 ∑p1.qo=14358,3 ∑p2.qo=37262,0
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de
Laspeyres para 1979 com base em 1960.
a) 415,1
b) 413,6
c) 398,6
d) 414,4
e) 416,6
Sol.: Aqui temos uma questão mais fácil ainda! Observemos que o
enunciado nada dispôs acerca de qual dos índices de Laspeyres deveria
ser utilizado, se o de preços ou o de quantidades!
Porém, analisando os dados fornecidos na tabela acima, vemos que
a sua última linha apresenta alguns resultados já em forma de
somatórios! E todos eles estão iniciando com preço! Daí, concluímos:
vamos trabalhar buscando o índice de preços de Laspeyres, do ano de
1979 em relação a 1960! Teremos:
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ESTATÍSTICA ** Ponto 34 – NÚMEROS ÍNDICES – Parte 02 ** Pág. 6 de 11
La =
∑
∑
p . q
n
o
o
p . q
o
37262,
0
= =
9009,
7
4,
136
Multiplicando isto por 100, teremos nosso resultado final!
Daí: 4,136 x 100 = 413,6 Resposta) Opção B!
Mudança de Base
Esse sim, é o último tópico do programa do AFRF! E o mais fácil
de todos! Na questão de “mudança de base”, será fornecida uma tabela
muito simples, com duas linhas: na de cima, uma seqüência de épocas
distintas (normalmente anos!); na de baixo, índices que representam
geralmente preços de um determinado produto!
Em suma, teremos preços de um bem em diferentes anos!
Nesta tabela, apenas um dos valores da segunda linha será igual a
100. Este ano será, portanto, chamado ano base! Todos os demais
índices de preços podem ser imediatamente “comparados” de forma
percentual ao preço do ano base, uma vez que este último é igual a
100! Por exemplo, consideremos a tabela abaixo:
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Índice 75 88 92 100 110 122
Aqui, nosso ano base é 1984, pois é o único que traz o índice
igual a 100! Se quisermos comparar o que houve com o preço desse
produto no ano de 1985, diremos sem dificuldades que ocorreu um
aumento de 10%. Claro! (110-100=10).
Pois bem! O problema agora é o seguinte: queremos mudar a base
dessa tabela! Ou seja, queremos que o ano base deixe de ser 1984 e
passe a ser outro qualquer! Por exemplo, queremos que o ano base passe
a ser o de 1981. O que faremos?
Ora, se a nova base vai ser o ano de 1981, naturalmente que o
índice deste ano terá que assumir o valor de 100. A pergunta: qual é
seu valor atualmente? É 75! Então, teremos que fazer uma operação,
para que 75 transformem-se em 100!
Basta, para tanto, dividirmos por 0,75. Vejamos:
75
0,
75
75 ⎛100
⎞
= = 75x
⎜ ⎟ = 100
⎛ 75 ⎞ ⎝ 75 ⎠
⎜ ⎟
⎝100
⎠
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Pronto! Com isso, nosso índice que antes era 75, agora passou a
100! Era isso o que queríamos fazer!
O que nos resta agora é apenas saber que, a mesma operação que
foi realizada com o índice da nova base será também feita com todos os
outros índices da tabela! Ou seja, não vai mudar só o índice do anobase:
mudará toda a tabela! E a operação será a mesma: dividir por
0,75. Teremos, portanto:
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Índice 100 88
0,75
92
0,75
100
0,75
110
0,75
122
0,75
Chegaríamos a:
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Índice 100 117,3 122,7 133,3 146,7 162,7
Esta é nossa nova tabela, cuja nova base é o ano de 1981!
Naturalmente que, na prova, não iremos construir toda a nova
tabela! Iremos nos fixar apenas no que for solicitado pelo enunciado!
Uma questão versando sobre esse assunto caiu na prova do AFRF-98, e
pegou muita gente! Vejamos essa questão!
7. (AFTN-1998) A tabela seguinte dá a evolução de um índice de preço
calculado com base no ano de 1984.
8.
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Índice 75 88 92 100 110 122
No contexto da mudança de base do índice para 1981 assinale a opção
correta:
a) Basta dividir a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00
b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova
base
c) Basta multiplicar a série por 0,75 para se obter a série de preços
na nova base
d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da série
de preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação satisfatória.
e) Basta multiplicar a série de preços pela média entre 0,75 e 1,00
Sol.: Essa tabela fornecida na questão já é nossa conhecida: é
exatamente o exemplo que acabamos de trabalhar! Daí, já sabemos que
nossa operação, para passarmos o ano base de 1984 para 1981 será
aquela de dividir os índices por 0,75.
Agora, reparemos melhor as opções b e d:
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b) Basta a divisão por 0,75 para se obter a série de preços na nova
base.
d) O ajuste da base depende do método utilizado na construção da
série de preços, mas a divisão por 0,75 produz uma aproximação.
A mim, muito me parece que ambas estão corretas! Inclusive eu fiz
essa prova, na época, (meu primeiro AFRF!), e embora pensando que
estavam as duas opções perfeitamente escorreitas, já tinha
conhecimento das “malícias” da ESAF. Daí, pensando nisso, marquei a
letra D e acertei a questão!
Daí, faremos o caminho inverso: aprenderemos pela resposta!
Doravante, entenderemos que, no pensamento da ESAF, a divisão por 0,75
é um procedimento que conduz a uma aproximação. Li alguns livros sobre
o assunto, e nenhum deles falou dessa forma. Mas, como nosso objetivo
aqui é um ponto a mais na prova, eu, se fosse vocês, aceitaria esse
entendimento como se lei fosse! Nunca mais voltou a cair mudança de
base nas provas do AFRF. Quem sabe no próximo sábado?...
8. (AFRF-2000) Uma empresa produz e comercializa um determinado
bem X. A empresa quer aumentar em 60% seu faturamento com X. Pretende
atingir este objetivo aumentando o preço do produto e a quantidade
produzida em 20%. Supondo que o mercado absorva o aumento de oferta e
eventuais acréscimos de preço, qual seria o aumento de preço
necessário para que a firma obtenha o aumento de faturamento desejado?
a) 25,3 %
b) 20,5 %
c) 33,3 %
d) 40,0 %
e) 35,6 %
Sol.: Uma questãozinha que se resolve só pela álgebra! Só precisamos
saber que faturamento é quantidade vezes preço! Ou seja:
Faturamento = Quantidade x Preço
Como o enunciado vem falar em aumentos percentuais, um ótimo
artifício seria estabelecer os valores inicias de preço e quantidade
como sendo iguais a 100. Daí, teríamos:
10.000 (fat.) = 100 (q) x 100 (p)
Daí, a questão quer aumentar o faturamento em 60% e a quantidade
em 20%. Teríamos, portanto:
16.000 (fat.) = 120 (q) x preço
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Daí: preço = 16.000 / 120 E: preço=133,3
Ora, se partimos de um preço igual a 100, e passamos a 133,3 ,
concluímos que o aumento foi apenas dessa diferença. Ou seja:
Aumento do preço = 133,3 – 100 = 33,3
E como o valor de referência é igual a 100, podemos colocar o
sinal de % no resultado. Teremos:
Aumento do preço = 33,3% Resposta!
9. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular,
calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2
= 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente ao ano anterior, a partir do
ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do
período to + 2 em relação ao período to – 1.
a) 7,00 %
b) 6,08 %
c) 7,16 %
d) 9,00 %
e) 6,11 %
Obs.: Esta já resolvemos na última aula! É só dar uma conferida!
10. (AFRF-2002) A inflação de uma economia, em um período de tempo t,
medida por um índice geral de preços, foi de 30%. Assinale a opção que
dá a desvalorização da moeda dessa economia no mesmo período.
a) 30,00%
b) 23,08%
c) 40,10%
d) 35,30%
e) 25,00%
Sol.: Esta questão, que foi cobrada no primeiro concurso da ano
passado (bendito concurso!), exigiu o conhecimento de um índice que,
ao meu ver, não estava no programa. Trata-se do índice deflator, ou
índice de desvalorização da moeda! Seu cálculo é dado pelo seguinte:
desvaloriz ação
1
=
IP
Onde IPo,t significa exatamente o índice de preço, e será
calculado com base no valor da inflação do período, da seguinte forma:
IPo,t=INFLAÇÃO+100%
o,
t
−1
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Esta inflação foi fornecida pelo enunciado como sendo igual a 30%.
Daí, teremos:
IPo,t=30%+100%=130%=1,30
Agora, é só aplicar a fórmula do deflator. Teremos:
desvaloriz ação
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟ −1
= −0,
2308 = −23,
08%
⎝1,
30 ⎠
O sinal negativo apenas indica que o dinheiro se desvalorizou
naquele período. Daí, chegamos à nossa resposta:
É isso!
Desvalorização = 23,08% Resposta!
Sei que o ideal seria termos concluído esse programa com maior
antecedência. Só quero que saibam que fiz o meu possível!
Minha dica de última hora é a seguinte: por maiores que sejam o
estresse e a expectativa pela prova, não deixem o nervosismo tomar
conta da situação. Tentem, ao máximo, manter a calma. E a
concentração! Na hora da prova, esqueçam os problemas e deixem o mundo
de lado. Direcionem seus pensamentos para as questões e só!
Sempre que faço minhas provas, já chego na sala com um
“cronograma” definido. Ou seja, já sei qual a matéria que resolverei
primeiro e toda a seqüência, até o final. Se começo a perder muito
tempo em uma questão, costumo marcar um enorme asterisco ao lado, e
sigo em frente. Quando termino de resolver tudo, então passo de volta,
questão por questão, em busca de algum asterisco! Nunca me arrependi
de fazer isso.
Outra coisa: ninguém vai para uma prova de AFRF sem relógio! É
importante ter uma noção muito clara do tempo que se pode gastar em
cada prova. Se esse tempo for ultrapassado, deve-se ter total
consciência disso. Por exemplo, se perco muito tempo resolvendo a
prova de português, mais tempo que o previsto, então já sei que terei
que correr mais nas outras matérias.
Controlar o tempo é imprescindível!
No mais, meus caros amigos, quero dizer que foi um prazer imenso
para mim ter participado dessa preparação de vocês e tê-los ajudado de
alguma forma. Essas nossas aulas renderam um fruto, que é meu livro de
Estatística Básica, já em fase de editoração na Impetus. Infelizmente,
não foi possível publicá-lo antes dessa prova, mas certamente irá
auxiliar os estudos de futuros candidatos.
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Aqui encerro o que considero a primeira fase de minha
participação no Site. Há muitos e bons planos para um futuro breve.
Desejo a todos vocês excelentes provas! Muito sucesso e que Deus
os abençoe e ilumine! Um abraço forte do amigo,
Sérgio Carvalho
PS. Semana que vem, estarei de volta para comentar as questões da
prova!
PS 2: Vão desculpando as falhas cometidas!
PS Final: Dedico essa aula de hoje a todos vocês, meus amigos
virtuais!
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16/05/2003 - APRESENTAÇÃO
Caros Amigos,
É com alegria indizível que acolho o convite do Site, na
pessoa do Prof. Vicente, para fazer parte da equipe do
Ponto dos Concursos. Os que me conhecem, sobretudo
amigos do Recife e de Fortaleza, sabem do prazer
imensurável que sinto em ensinar. Prazer intrinsecamente
vinculado a uma imensa responsabilidade, da qual tenho
plena ciência.
Sou engenheiro mecânico por formação, e concurseiro por
vocação. No serviço público ingressei nos idos de 1995, no
Tribunal de Justiça do Ceará, tendo iniciado o exercício no
exato dia em que colava grau. Os anos seguintes foram de
descoberta deste “universo” dos concursos.
Naquele tempo (ainda no milênio passado), não se pode
dizer que já havia toda esta estrutura de apoio ao
concursando que hoje há. Por vezes, precisávamos ter um
olho clínico para saber em que material investir. Não havia
muitas indicações, nem livros voltados objetivamente para
a esfera dos concursos. Lembro-me que comprei a primeira
edição do Alexandre de Moraes. Hoje, quem não o
conhece?!! Mas, naquele dia (recordo-me perfeitamente!)
folheei o livro (a capa ainda era amarela), e pensei com
meus botões: “este livro deve ser muito bom...!”
O tempo deu razão àquele meu juízo solitário... Com o
passar dos anos, outros trabalhos foram surgindo, em
substituição aos livros universitários pelos quais tínhamos
que estudar. Não que estes fossem maus livros,
absolutamente! Apenas não traziam o enfoque tão
procurado (e tão sonhado) pelos candidatos. Penso até que
os autores tinham certo receio de adentrar nesta seara, e
de ser taxados de medíocres.
Graças a Deus, surgiram alguns bravos professores que
provaram, com suas obras, que exige maestria (e não
mediocridade) o ofício de escrever para este público dos

concursandos. E uma nova escola se criou, primando pela
objetividade e pela excelência, sem se deixar eivar pela
superficialidade.
Com o auxílio destes verdadeiros mestres e com a ajuda de
Deus, consegui aprovação em outros concursos:
Papiloscopista da Polícia Federal (em 1997), Técnico da
Receita Federal (em 1998), Escrivão da Polícia Federal (em
2002) e, por último, Auditor-Fiscal da Receita Federal (na
primeira prova do ano passado), cargo que hoje ocupo, no
Juazeiro do Norte (CE).
Paralelamente aos estudos, dediquei-me também a ensinar
(desde 1997) as matérias de Estatística e Matemática
Financeira, voltando-me sobretudo para o programa de
Fiscal da Receita. E é exatamente esta minha experiência
de sala de aula que pretendo estender aqui no Site,
procurando tornar estas nossas aulas quase que
presenciais. A princípio, daremos ênfase à Estatística, que
tem sido o calo de muita gente... e que, conforme veremos,
não é de fato nenhum bicho de sete cabeças!
Agradeço a todos os que me incentivaram nestes anos
todos: aos meus alunos, que tanto me ensinaram; ao Prof.
Vicente Paulo, por ser um daqueles bravos professores aos
quais me referi acima; à minha família, e à minha esposa,
pelo amor sempre dispensado; a Deus, a quem tudo devo,
por mais esta oportunidade!
E vamos ao Ponto...!
PROVA DE ESTATÍSTICA – AFRF 2003
01. As realizações anuais de Xi dos salários anuais de
uma firma com N empregados produziram as seguintes
estatísticas:
1
X =
N
N
∑ i=
1
Xi = R$
14.
300,
00
0,
5
⎡ 1 N
2 ⎤
e S =
⎢ ∑ ( Xi − X ) = R$
1.
200,
00
i=
1
⎣ N
⎥
⎦
Seja P a proporção de empregados com salários fora do
intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a
opção correta.

a) P é no máximo 1/2
b) P é no máximo 1/1,5
c) P é no mínimo 1/2
d) P é no máximo 1/2,25
e) P é no máximo 1/20
Sol.: A meu ver, a questão mais difícil da prova!
Existe uma fórmula que calcula a proporção máxima de
elementos que estarão fora de um intervalo de valores, em
uma distribuição qualquer. E é dada pelo seguinte:
1
P ( máxima)
=
⎛ h ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2S
⎠
Onde: h é a amplitude da classe; e
S é o desvio-padrão.
Existe ainda uma restrição ao uso desta fórmula: para
que seja utilizada, é preciso que a Média Aritmética da
distribuição seja igual ao Ponto Médio da classe fornecida,
ou seja, do intervalo que se está analisando!
Neste enunciado, temos que o intervalo de valores é
dado por [12.500 ; 16.100]. Daí, o Ponto Médio seria o
seguinte:
12.
500 + 16.
100
PM = = 14.
300 = X
2
Ou seja: a exigência da fórmula está cumprida! Os
dados adicionais foram os seguintes:
Amplitude da Classe: h=16.100-12.500 h=3.600
Desvio Padrão: S=1200
Daí, aplicando na fórmula, teremos:
1
1 1 1
P ( máxima)
=
P ( máxima)
=
= =
2
2
2
⎛ h ⎞
⎛ 3600 ⎞ ( 1,
5)
2,
25
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 2S
⎠
⎝ 2x1200
⎠
Resposta!
Vocês devem estar se perguntando por que razão seria
esta questão a mais difícil da prova, uma vez que é uma
aplicação direta de fórmula! O problema está aí: onde esta
fórmula seria encontrada? Por todos os livros e apostilas
que consultei, não vi nada parecido.
2

Quem chegou a esta fórmula, cuja dedução eu devo
apresentar numa das próximas aulas, foi o Professor Weber
Campos, meu ilustríssimo amigo do Recife, que saiu
desenvolvendo raciocínios algébricos até chegar a esta
conclusão!
O enunciado está perfeito, assim como o gabarito! Só o
nível da questão é que foi, penso eu, um despropósito!
As questões 2 e 3 dizem respeito ao enunciado seguinte:
Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a
uma amostra da variável X. Não existem observações
coincidentes com os extremos das classes.
Classes Freqüências Acumuladas
(%)
2.000 – 4.000 5
4.000 – 6.000 16
6.000 – 8.000 42
8.000 – 10.000 77
10.000 – 12.000 89
12.000 – 14.000 100
02. Assinale a opção que corresponde à estimativa do
valor X da distribuição amostral de X que não é
superado por cerca de 80% das observações.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
Sol.: Questão nos mesmos moldes da que resolvemos na aula
de interpolação linear da ogiva! Como primeiro passo,
encontraremos a coluna da Freqüência Relativa Simples.
Teremos:
Classes Fac Fi
2.000 – 4.000 5% 5%
4.000 – 6.000 16% 11%
6.000 – 8.000 42% 26%
8.000 – 10.000 77% 35%
10.000 – 12.000 89% 12%
12.000 – 14.000 100% 11%

Obviamente que, para construir a Fi, seguindo a volta
do caminho das pedras, teríamos que fazer a subtração:
“próxima Fac menos Fac anterior”.
Feito isto, vamos ver o que a questão está pedindo: o
X não superado por 80% das observações! Ora, olhando a
classe da Fac, vemos que até a quarta classe (8.000 –
10.000) já tínhamos 77% dos elementos do conjunto! Se
somarmos os 12% da classe seguinte, passaremos a 89% do
total. Daí, concluímos: o elemento X que procuramos
encontra-se exatamente na quinta classe, com a qual
trabalharemos!
E mais: se já temos, até a quarta classe, 77% dos
elementos, precisaremos “avançar” mais 3%, justamente na
quinta classe, para chegarmos aos 80% que a questão está
pedindo!
Daí, iremos fazer a regra de três, trabalhando com a
quinta classe. Teremos:
h --- Fi
2000 – 12% “Classe inteira!”
x --- 3% “Classe quebrada!”
Encontramos, portanto: X = 500,00
Este valor, já sabemos disso, será somado ao limite
inferior da nossa quinta classe, para chegarmos, enfim, ao
resultado! Teremos:
10.000 + 500 = 10.500 Resposta!
03. Assinale a opção que corresponde ao valor do
coeficiente de assimetria percentílico da amostra de
X, baseado no 1 o , 5 o e 9 o decis.
a) 0,024
b) 0,300
c) 0,010
d) –0,300
e) –0,028
Sol.: Aqui a ESAF foi buscar (no fundo do baú, diga-se de
passagem) uma outra maneira de se calcular a assimetria de
um conjunto. Trata-se de um outro índice de assimetria que
se utiliza das medidas separatrizes. Neste caso, as
separatrizes envolvidas são os decis!
A fórmula é a seguinte:

D9
+ D1−
2D5
A =
D9
− D1
Como sabemos que o quinto decil (D5) é sinônimo de
Mediana, poderíamos também escrever essa fórmula como:
D9
+ D1
− 2Md
A =
D9
− D1
Pois bem! Aí veio uma outra “pegadinha” da ESAF. Desta
vez, ela “esqueceu” de informar quantos elementos há neste
conjunto! Como essa informação não nos foi dada, poderíamos
trabalhar mesmo com as freqüências relativas simples (Fi),
lembrando os conceitos das separatrizes.
Sabemos que o decil divide o conjunto em quatro partes
iguais, logo o primeiro decil – D1 – ocupa a posição 25%!
Seguindo esse raciocínio, o nono decil ocupa a posição 90%;
e a mediana, a posição 50%. Daí, faríamos o trabalho que
usamos na questão anterior – a da ogiva – e encontraríamos
quem é o primeiro decil, o nono decil e a mediana!
Uma outra maneira mais simples de raciocinar seria
usando o seguinte artifício: se o enunciado não diz quantos
são os elementos do conjunto, consideramos que são 100. E
trabalhamos dessa forma! Vamos tentar:
Classes Fac↓ Fi fi
2.000 – 4.000 5% 5% 5
4.000 – 6.000 16% 11% 11
6.000 – 8.000 42% 26% 26
8.000 – 10.000 77% 35% 35
10.000 – 12.000 89% 12% 12
12.000 – 14.000 100% 11% 11
Acabamos de construir a coluna da fi, considerando que
n=100. Para encontrar os decis, teremos que dispor da
coluna da fac, para passarmos às perguntas de praxe!
Teremos:
Classes fi fac↓
2.000 – 4.000 5 5
4.000 – 6.000 11 16
6.000 – 8.000 26 42
8.000 – 10.000 35 77
10.000 – 12.000 12 89
12.000 – 14.000 11 100
Passemos ao cálculo do primeiro decil – D1:
A conta que faremos é (n/10)=10. Daí, passamos às
perguntas:

Classes fi fac↓
2.000 – 4.000 5 5 5 é ≥ 10? Não!
4.000 – 6.000 11 16 16 é ≥ 10? Sim!
6.000 – 8.000 26 42
8.000 – 10.000 35 77
10.000 – 12.000 12 89
12.000 – 14.000 11 100
Portanto, a classe do primeiro decil é a segunda!
Aplicamos agora a fórmula do D1. Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
10
⎥
D1
l inf ⎢⎝
⎠ ⎥
⎡10 − 5⎤
= +
. h D 1 = 4000 + . 2000
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 11 ⎥
E: D1=4.909,09
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Vamos ao D9! A conta a ser feita é a seguinte:
(9n/10)=90. As perguntas serão, pois, as seguintes:
Classes fi fac↓
2.000 – 4.000 5 5 5 é ≥ 90? Não!
4.000 – 6.000 11 16 16 é ≥ 90? Não!
6.000 – 8.000 26 42 42 é ≥ 90? Não!
8.000 – 10.000 35 77 77 é ≥ 90? Não!
10.000 – 12.000 12 89 89 é ≥ 90? Não!
12.000 – 14.000 11 100 100 é ≥ 90? SIM!
Achamos a classe do nono decil! Passemos à fórmula:
⎡⎛
9n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
10
⎥
D9
l inf ⎢⎝
⎠ ⎥
⎡90 − 89⎤
= +
. h D 9 = 12000 + . 2000
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 11 ⎥
E:
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
D9=12.181,81
Finalmente, passemos à Mediana! A conta é (n/2)=50. As
perguntas serão:
Classes fi fac↓
2.000 – 4.000 5 5 5 é ≥ 50? Não!
4.000 – 6.000 11 16 16 é ≥ 50? Não!
6.000 – 8.000 26 42 42 é ≥ 50? Não!
8.000 – 10.000 35 77 77 é ≥ 50? SIM!

10.000 – 12.000 12 89
12.000 – 14.000 11 100
Sabendo que a classe mediana é a quarta classe, restanos
aplicar a fórmula. Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
10
⎥
Md l inf ⎢⎝
⎠ ⎥
⎡50 − 42⎤
= +
. h Md = 8000 + . 2000
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 35 ⎥
E:
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Md=8.457,14
Daí, reunamos os dados encontrados nas contas acima:
D1=4.909,09
D9=12.181,81
Md=8.457,14
E apliquemos estes dados na nossa fórmula:
D9
+ D1−
2Md
A =
D9
− D1
Resposta!
12.
181,
81+
4.
909,
09 − 2x8.
457,
14
A =
A=0,024
12.
181,
81−
4.
909,
09
04. Dadas as três séries de índices de preços abaixo,
assinale a opção correta.
Ano S1 S2 S3
1999 50 75 100
2000 75 100 150
2001 100 125 200
2002 150 175 300
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços.
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S3.
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das
séries S1 e S2.
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das
séries S2 e S3.
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm
períodos-base distintos.
Sol.: Esta foi fácil! Observamos que nas três séries, S1,
S2 e S3, havia um ano base diferente para cada uma! Na
série S1, o ano base era 2001; na série S2, era 2000 e na

série S3, 1999. Bastava ver onde havia um índice 100.
Vejamos:
Ano S1 S2 S3
1999 50 75 100
2000 75 100 150
2001 100 125 200
2002 150 175 300
Daí, para que se pudesse estabelecer uma comparação
entre as três séries, uma saída seria colocá-las todas com
o mesmo ano-base!
Uma forma muito fácil de fazer isso era, por exemplo,
escolhendo o ano de 1999 para ser a base das três séries!
Para que a série S1 tivesse base no ano de 1999,
vejamos o que teríamos que fazer:
Ano S1
1999 50
2000 75
2001 100
2002 150
Esse índice 50 teria que se transformar em 100! Qual a
operação a ser feita, então? Multiplicar por 2,
naturalmente! E essa mesma operação teria que ser repetida
para todos os índices da série! Ficaríamos, assim, com:
Ano S1 S1 (nova base)
1999 50 100 (=50x2)
2000 75 150 (=75x2)
2001 100 200 (=100x2)
2002 150 300 (=150x2)
Agora, trabalhemos com a série S2, para que seu anobase
passe a ser também o de 1999. Teríamos:
Ano S2
1999 75
2000 100
2001 125
2002 175
Aqui, o índice 75 deve transformar-se em 100. A
operação será, portanto, multiplicar por 1,33 (uma vez que
100/75=1,33). E essa mesma operação (x1,33) teria que ser

feita com os demais índices da série! Chegaríamos, dessa
forma, ao seguinte:
Ano S2 S2 (nova base)
1999 75 100 (=75x1,33)
2000 100 133,33 (=100x1,33)
2001 125 166,67 (=125x1,33)
2002 175 233,33 (=175x1,33)
Feito isso, comparemos agora a nossa nova tabela, com
as três séries apresentando o mesmo ano base, de 1999.
Teremos:
Ano S1 S2 S3
1999 100 100 100
2000 150 133,33 150
2001 200 166,67 200
2002 300 233,33 300
Daí, ficou muito fácil concluir que “a série S2 mostra
evolução de preços distinta das séries S1 e S3”, exatamente
como afirma a opção B! Resposta da Questão!
05. O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e
variância amostral 2,56. Assinale a opção que
corresponde ao coeficiente de variação amostral de
X.
a) 12,9%
b) 50,1%
c) 7,7%
d) 31,2%
e) 10,0%
Sol.: Esta foi uma questão exaustivamente analisada em
nossas aulas! O enunciado fornece um caminho de
transformação da variável. Trabalharemos desenhando os
nossos velhos conhecidos: caminho de ida e caminho de volta
da transformação! Teremos:
Z = 20
Caminho de Ida
1º)(-2) e 2º)(÷3)
Xi Zi
(Variável Original) (Variável Transformada)
S 2 =2,56
2º)(+2) e 1º)(x3)
Caminho de Volta

A questão quer que encontremos o valor do Coeficiente
de Variação da variável original Xi! Sabemos que o CV é
dado por:
S
CV =
X
Daí, precisamos trabalhar com Média e com Desvio-
Padrão! O enunciado nos deu a Variância de Zi! E sabemos
que o desvio padrão nada mais é que a raiz quadrada da
variância. Faremos esse cálculo, da seguinte forma:
S = 2 , 56 =
256
=
100
256 16
= = 1,
6
100 10
Vemos aqui que a ESAF foi “camarada” e já colocou um
valor fácil de se encontrar a raiz!
Feito isso, só nos resta percorrer o caminho de volta
da transformação, primeiro analisando a Média, e depois o
Desvio-Padrão. Teremos:
Média: 1 o )20x3=60,0 e 2 o ) 60+2=62,0 X =62,0
Desvio-Padrão) 1 o )1,6x3=4,8 e 2 o )Não influencia o
S! Sx=4,8
Daí, finalmente, aplicamos a fórmula do Coeficiente de
Variação, e chegamos ao seguinte:
S 4,
8
CV = = = 0,
077 = 7,
7%
Resposta da Questão!
X 62
Por hoje, fico por aqui! Acho que, no geral, as provas
de Estatística e de Matemática Financeira não foram
dificílimas, mas também não foram, absolutamente, “dadas de
graça”! Era preciso uma boa base! Não é possível
negligenciar essas disciplinas! Como nenhuma outra!
Espero que tenham feito boas provas e retorno em breve
com outros comentários! Um forte abraço e até a próxima!
QUESTÃO 36 DE ESTATÍSTICA DO AFRF-2003
Olá, amigos! Este Ponto de hoje se destina,
unicamente, a um esclarecimento importantíssimo, referente
à resolução da questão 36 da prova de Estatística do AFRF-
2003.

Na aula anterior, resolvi as cinco questões dessa
prova, tendo dito que estavam todas perfeitas, em seu
enunciado e em seu gabarito oficial.
Mudanças houve!! Analisando mais minuciosamente ainda
as referidas questões, encontramos – eu e o professor Weber
Campos (do Recife) – o que consideramos um “erro fatal” no
enunciado da questão 36, de modo que, segundo a nossa
análise, não há nenhuma das opções disponíveis que a
responda corretamente, conforme vamos demonstrar abaixo!
Quero dizer ainda que preparamos um recurso, que foi
apresentado tempestivamente à ESAF!
A questão é a seguinte:
As realizações anuais de Xi dos salários anuais de uma
firma com N empregados produziram as seguintes
estatísticas:
1
X =
N
N
∑ i=
1
Xi = R$
14.
300,
00
0,
5
⎡ 1 N
2 ⎤
e S =
⎢ ∑ ( Xi − X ) = R$
1.
200,
00
i=
1
⎣ N
⎥
⎦
Seja P a proporção de empregados com salários fora do
intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}. Assinale a
opção correta.
f) P é no máximo 1/2
g) P é no máximo 1/1,5
h) P é no mínimo 1/2
i) P é no máximo 1/2,25
j) P é no máximo 1/20
Em nossa resolução, na aula passada, afirmamos que para se encontrar a proporção
de elementos que estariam excluídos, ou seja, fora de um determinado intervalo,
utilizaríamos a fórmula seguinte:
1
P ( máxima)
=
⎛ h ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2.
S ⎠
Isso que dissemos está parcialmente correto, uma vez
que esta fórmula nos fornece, na verdade, a proporção de
elementos que estão fora de um determinado intervalo, só
que contando com os limites (inferior e superior) deste
mesmo intervalo!!!
Ou seja, a proporção “P” que a resposta oficial está
expressando, corresponde à proporção de empregados com
salários menores ou iguais a R$12.500,00 e maiores ou
iguais a R$16.100,00!
No instante em que o enunciado define “P” meramente
como a proporção de empregados com salários fora do
2

intervalo {R$12.500,00 ; R$16.100,00}, não resta nenhuma
dúvida de que estes valores limítrofes – R$12.500,00 e
R$16.100,00 – estão excluídos desta proporção!
Vamos considerar o exemplo seguinte, que elaboramos no
intuito de demonstrar o nosso argumento:
Exemplo:
As realizações anuais dos salários de uma firma com
nove empregados (n=9) produziram as seguintes estatísticas:
X = 14.
300,
00 e S=1.200,00.
Os salários desses empregados estão representados na
tabela abaixo:
Salários Freqüência
12.500,00
14.300,00
16.100,00
Para esses dados fornecidos, calculemos a proporção
de empregados com salários fora do intervalo {12.500,00 ;
16.100,00}. Teremos:
0
P = =
9
Calculemos, agora, a proporção de empregados com
salários menores ou iguais a 12.500,00 e maiores ou iguais
a 16.
4
P = =
9
0
2
5
2
1
2,
25
Este exemplo é simples, mas demonstra que para se
obter a proporção máxima de (1/2,25) é necessário incluir
os limites inferior e superior do intervalo {12.500,00 ;
16.100,00}.
Vasculhando questões elaboradas pela própria ESAF,
lembramo-nos de uma questão do AFRF-2000, a qual,
igualmente, irá ratificar o argumento que apresentamos, e
que demonstra, inequivocamente, que o enunciado da questão
36 (AFRF-2003) está errado! Vejamos:
“(AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ...
, Xn com média aritmética M e variância S 2 , onde M = (X1
+ ... + Xn )/ n e S 2 = (1/ n) Σi
( Xi – M ) 2 . Seja θ a proporção dessas mensurações que
diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S.
Assinale a opção correta.”

A resposta oficial desta questão foi a seguinte:
“Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar
θ exatamente, mas sabe-se que 0,25≥θ.”
Neste enunciado, a proporção θ representa precisamente
os elementos que diferem da Média, em valor absoluto, por
pelo menos 2S (duas vezes o desvio-padrão).
Ou seja, θ é a proporção máxima de elementos que
estaria aquém da (Média menos 2S), e além de (Média mais
2S), de modo que estes limites(“M-2S” e “M+2S”) estão
igualmente incluídos na resposta.
A inclusão destes limites é explícita, uma vez que o
enunciado se referiu ao intervalo como as diferenças da
Média “em valor absoluto por pelo menos 2S”. As palavras
“pelo menos” deixam claro que os valores limites estão
inseridas na proporção θ.
Aplicando aquela nossa fórmula, teríamos:
1
θ ( máxima)
= 2
⎛ h ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2.
S ⎠
1
1
θ máxima)
=
= 2
⎛ ( X + 2S
) − ( X − 2S
) ⎞ ⎛ 4S
⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2.
⎟
⎝ S ⎠ ⎝ 2S
⎠
( 2
=
1
4
=
0,
25
De modo que, se θ máximo é igual a 0,25, concluímos
que 0,25≥θ.
Em outras palavras, encontramos uma questão, elaborada
pela mesma ESAF, e cuja solução e gabarito oficial
corroboram nossa “tese” de que a proporção “P”, tal como
definida pela questão 36 do AFRF 2003, não resulta em
nenhuma das opções de resposta apresentadas.
É isso!
Estamos convencidos, plenamente convictos, tanto eu
quanto o professor Weber Campos, de que a questão 36 de
Estatística do AFRF-2003 deve ser anulada, por não trazer
nenhuma resposta correta.
Resta-nos agora aguardar o resultado dos recursos, e
esperar que a Mesa que os analisará reconheça que o erro
existiu.

Espero, e sei, que esta anulação poderá ajudar muita
gente!
Fico hoje por aqui. Um forte abraço a todos e até a
próxima.
Fiscal de Tributos Estaduais do Mato Grosso - 2002
“Uma empresa do ramo de construção civil contratou 200 operários para executar uma
obra de 100.000 m 2 em 12 meses. A tabela abaixo apresenta a distribuição dos salários
semanais brutos – S – dos 200 operários.”
função Salário semanal bruto (S) Número de operários
F1 R$100,00 < S < R$140,00 50
F2 R$140,00 < S < R$160,00 80
F3 R$160,00 < S < R$240,00 40
F4 R$240,00 < S < R$360,00 30
Total 200
Para cada função, essa empresa apresenta ainda as seguintes estatísticas sobre o salário
semanal bruto por função.
função Média Mediana
F1 R$ 130,00 R$ 120,00
F2 R$ 150,00 R$ 145,00
F3 R$ 170,00 R$ 200,00
F4 R$ 290,00 R$ 280,00
Considerando os dados fornecidos acima, julgue os itens abaixo:
1) O salário médio semanal bruto dos operários dessa empresa é igual a R$175,00.
2) O primeiro quartil da distribuição dos salários é igual a R$140,00.
3) A mediana da distribuição dos salários é igual a R$152,50.
4) A moda da distribuição dos salários, segundo a fórmula de Czuber, é igual a
R$148,57.
5) 36,25% dos operários recebem salário semanal bruto entre R$130,00 e R$155,00.
6) Se a empresa pagar R$10,00 a mais para cada um dos seus 200 operários, a
variância do salário semanal bruto dos operários não sofrerá alteração.
7) Se a empresa der um aumento de 10% para cada um dos seus 200 operários, a
variância do salário semanal bruto dos operários aumentará em 21%.

8) 7,5% dos operários receberam salário semanal bruto maior ou igual a R$280,00.
9) Considere, por hipótese, que os operários, insatisfeitos com seu salário, ameaçam
fazer greve, e que a empresa prontamente lhes faça uma proposta de aumento
salarial de 20% sobre o valor bruto para todos os operários, descontando, porém,
as refeições fornecidas no valor de R$34,00/semana para cada um dos operários.
Nessa hipótese, a proposta apresentada pela empresa não alterará a média dos
salários semanais brutos dos operários.
GABARITO DEFINITIVO: 1)E 2)E 3)E 4)E 5)E 6)C 7)C 8)C
9)C
RESUMO DE MÉDIA ARITMÉTICA
01. A Média é a primeira e mais importante das Medidas de Posição.
Designada por X .
02. Cálculo da Média para o Rol:
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ Xi
X
n
03. Cálculo da Média para Dados Tabulados:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ Xi fi
X
n
04. Cálculo da Média para Distribuição de Freqüências:
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ PM.
fi
X
n
05. Propriedades da Média Aritmética:
Da Soma e Subtração) Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma
constante, a média ficará acrescida ou subtraída desta constante.
Do Produto e Divisão) Se cada elemento de um conjunto numérico
qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a média ficará
multiplicada ou dividida por esta constante.

06. Cálculo da Média pela Variável Transformada:
Passos:
1) Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Yi),
seguindo a sugestão que apresentamos;
2) Construir a coluna (Yi.fi) e calcular o seu somatório;
3) Encontrar o valor da Média da Variável Transformada, usando a
fórmula:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y
n
4) Descrever, a partir do Caminho de Ida, da variável original para a
transformada, o caminho inverso, ou seja, o Caminho de Volta, que
usaremos para achar a nossa resposta!
5) Seguindo, então, esse Caminho de Volta, calcularemos a Média da
Variável Original, seguindo as propriedades, e lembrando-nos que a
Média é influenciada pelas quatro operações (soma, subtração,
produto e divisão).
07. Dica de Ouro da Média Aritmética:
i) Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número ímpar
de classes, a Média será o Ponto Médio da classe intermediária.
ii) Se a distribuição de freqüências é simétrica, e tem um número par de
classes, a Média será o limite superior da primeira classe intermediária,
que é igual ao limite inferior da segunda classe intermediária.
EXERCÍCIOS de MÉDIA ARITMÉTICA
Enunciado Único: Para cada um dos conjuntos abaixo, determine o valor da Média
Aritmética, utilizando o método da Variável Transformada.
01. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
3
5

Sol.:
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Variável transformada = (PM – primeiro PM)
(amplitude da classe)
Chamaremos aqui nossa variável transformada de Yi.
Xi fi PM (PM-5)= Yi
10
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
5
15
25
35
45
Daí:
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y
n
Após, construiremos a coluna (Yi.fi):
Xi fi PM (PM-5)= Yi
10
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
3
5
8
4
2
5
15
25
35
45
8
4
2
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Yi.fi
0
5
16
12
8
n=22 41
Calculamos o valor da Média da Variável Transformada:
Y = (41/22) E: Y = 1,86
Transcreveremos o caminho utilizado para chegarmos do Xi à variável
transformada Yi:
Caminho de Ida: (Xi para Yi): 1º)(–5) e 2º)(÷10)

Logo, o Caminho de Volta (Yi para Xi), que é o que nos interessa agora,
será encontrado simplesmente invertendo as operações do Caminho de
Ida, de trás para frente! Teremos:
Caminho de Volta: (Yi para Xi): 1º)(x10) e 2º)(+5)
Para podermos enxergar melhor essas idas e vindas, podemos até
fazer um rápido desenho:
Caminho de Ida
1º)(-5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 1,86
2º)(+5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
Seguindo o caminho de volta, partindo do valor do Y = 1,86, teremos,
que:
1º)(x10) 1,86x10=18,6 e 2º)(+5) 18,6+5=23,6 = X Resposta
da Questão!
02. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
Sol.: Construir a coluna do Ponto Médio e a coluna de transformação
da variável original:
4
7
11
9
5
2
Xi fi PM (PM-7,5)= Yi
15
0 !--- 15 4 7,5 0

15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
Construiremos a coluna (Yi.fi):
7
11
9
5
2
22,5
37,5
52,5
67,5
82,5
Xi fi PM (PM-7,5)= Yi
15
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
9
5
2
7,5
22,5
37,5
52,5
67,5
82,5
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Yi.fi
0
7
22
27
20
10
n=38 86
Calcularemos o valor da Média da nossa variável transformada, Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Acharemos: Y = (86/38) E: Y =2,26
n
Faremos o “desenho” dos caminhos de ida e volta, que usamos para ir
da variável original Xi, para a transformada Yi, e o retorno:
Caminho de Ida
1º)(-7,5) e 2º)(÷15)
X =? Xi Yi Y = 2,26
2º)(+7,5) e 1º)(x15)
Caminho de Volta
Percorreremos o caminho de volta, partindo de Y = 2,26, e lembrandonos
que a Média é influenciada pelas quatro operações:
1º)(x15) 2,26x15=33,9 e 2º)(+7,5) 33,9+7,5=41,4 = X
Resposta da Questão!

03. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
Sol.:
i) Coluna do PM e coluna de transformação:
Xi fi PM (PM-14,5)= Yi
10
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
ii) Coluna do (Yi.fi):
4
6
7
5
3
14,5
24,5
34,5
44,5
54,5
Xi fi PM (PM-14,5)= Yi
10
9,5 !--- 19,5
19,5 !--- 29,5
29,5 !--- 39,5
39,5 !--- 49,5
49,5 !--- 59,5
iii) Cálculo do Y :
4
6
7
5
3
14,5
24,5
34,5
44,5
54,5
4
6
7
5
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Yi.fi
0
6
14
15
12
n=25 47
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(47/25) Y =1,88
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:

Caminho de Ida
1º)(-14,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 1,88
2º)(+14,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 1,88x10=18,8 e 2º)(+14,5) 18,8+14,5=33,3 que é nosso X !
Daí: X = 33,3 Resposta da Questão!
04. Trabalhe a Distribuição abaixo:
Xi fi
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
i) coluna do PM e coluna de transformação:
1
3
7
11
14
11
7
3
1
Xi fi PM (PM-35)= Yi
10
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
35
45
55
65
75
85
95
105
115
0
1
2
3
4
5
6
7
8

ii) Coluna do (Yi.fi):
Xi fi PM (PM-35)= Yi
10
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
80 !--- 90
90 !--- 100
100 !--- 110
110 !--- 120
1
3
7
11
14
11
7
3
1
35
45
55
65
75
85
95
105
115
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Yi.fi
n=58 232
iii) Cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(232/58) Y =4,0
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-35) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 4,0
2º)(+35) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 4,0x10=40,0 e 2º)(+35) 40+35=75 = X Resposta da
Questão!
05. Extraído do AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
0
3
14
33
56
55
42
21
8

110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Sol.: Faremos os “trabalhos preliminares”, para chegarmos à coluna da freqüência
absoluta simples! O caminho a seguir será o seguinte:
Fac Fi fi
Na primeira conversão, faremos “próxima Fac menos Fac anterior” e ficaremos
assim:
Classes Fac ↓ Fi
70 – 90 5% 5%
90 – 110 15% 10%
110 – 130 40% 25%
130 – 150 70% 30%
150 – 170 85% 15%
170 – 190 95% 10%
190 – 210 100% 5%
Na segunda conversão, observaremos que o enunciado nos disse que n=200.
Daí,usaremos a relação entre Fi e fi, qual seja: fi=Fi.n e ficaremos assim:
Classes Fac ↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
A partir deste ponto é que começaremos os passos necessários para chegarmos à
Média!
Para enxergarmos mais facilmente, vamos reduzir nossa tabela apenas às duas
colunas que nos interessarão agora: a das classes e a fi:
Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30

170 – 190 20
190 – 210 10
i) coluna do PM e coluna de transformação:
ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-80)= Yi
20
70 – 90 10 80 0
90 – 110 20 100 1
110 – 130 50 120 2
130 – 150 60 140 3
150 – 170 30 160 4
170 – 190 20 180 5
190 – 210 10 200 6
Classes fi PM (PM-80)= Yi
20
Yi.fi
70 – 90 10 80 0 0
90 – 110 20 100 1 20
110 – 130 50 120 2 100
130 – 150 60 140 3 180
150 – 170 30 160 4 120
170 – 190 20 180 5 100
190 – 210 10 200 6 60
iii) Cálculo do Y :
n=200 580
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(580/200) Y =2,9
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-80) e 2º)(÷20)
X =? Xi Yi Y = 2,9
2º)(+80) e 1º)(x20)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :

1º)(x20) 2,9x20=58,0 e 2º)(+80) 58+80=138 = X Resposta
da Questão!
06. Extraído do AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
freqüências seguinte:
Classes Freqüência (f)
29,4 --- 39,5 4
39,5 --- 49,5 8
49,5 --- 59,5 14
59,5 --- 69,5 20
69,5 --- 79,5 26
79,5 --- 89,5 18
89,5 --- 99,5 10
Sol.: Nesta questão, a coluna de freqüências fornecida já foi a
própria fi, de forma que podemos imediatamente passar aos passos do
cálculo da média:
i) coluna do PM e coluna de transformação:
ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
29,4 --- 39,5 4 34,5 0
39,5 --- 49,5 8 44,5 1
49,5 --- 59,5 14 54,5 2
59,5 --- 69,5 20 64,5 3
69,5 --- 79,5 26 74,5 4
79,5 --- 89,5 18 84,5 5
89,5 --- 99,5 10 94,5 6
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
Yi.fi
29,4 --- 39,5 4 34,5 0 0
39,5 --- 49,5 8 44,5 1 8
49,5 --- 59,5 14 54,5 2 28
59,5 --- 69,5 20 64,5 3 60
69,5 --- 79,5 26 74,5 4 104

79,5 --- 89,5 18 84,5 5 90
89,5 --- 99,5 10 94,5 6 60
n=100 350
iii) Cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(350/100) Y =3,5
n
iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-34,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 3,5
2º)(+34,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 3,5x10=35 e 2º)(+34,5) 35+34,5=69,5 = X Resposta
da Questão!
07. Extraído do Fiscal de Tributos Estaduais do PA – 2002:
A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas
(F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais
de economistas (Y)- em R$1.000,00, do departamento de fiscalização
da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as
extremidades das classes salariais.
Classes F
29,4 --- 39,5 2
39,5 --- 49,5 6
49,5 --- 59,5 13
59,5 --- 69,5 23
69,5 --- 79,5 36
79,5 --- 89,5 45
89,5 --- 99,5 50

Sol.: Teremos que passar da fac fornecida pelo enunciado para a
freqüência absoluta simples, fi:
Classes fac ↓ fi
29,4 --- 39,5 2 2
39,5 --- 49,5 6 4
49,5 --- 59,5 13 7
59,5 --- 69,5 23 10
69,5 --- 79,5 36 13
79,5 --- 89,5 45 9
89,5 --- 99,5 50 5
Feito isso, estamos prontos para realizarmos os cinco passos necessários para
determinarmos a Média, pelo método da variável transformada.
i) coluna do PM e coluna de transformação:
ii) Coluna do (Yi.fi):
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
29,4 --- 39,5 2 34,5 0
39,5 --- 49,5 4 44,5 1
49,5 --- 59,5 7 54,5 2
59,5 --- 69,5 10 64,5 3
69,5 --- 79,5 13 74,5 4
79,5 --- 89,5 9 84,5 5
89,5 --- 99,5 5 94,5 6
Classes fi PM (PM-34,5)= Yi
10
Yi.fi
29,4 --- 39,5 2 34,5 0 0
39,5 --- 49,5 4 44,5 1 4
49,5 --- 59,5 7 54,5 2 14
59,5 --- 69,5 10 64,5 3 30
69,5 --- 79,5 13 74,5 4 52
79,5 --- 89,5 9 84,5 5 45
89,5 --- 99,5 5 94,5 6 30
n=50 175
iii) Cálculo do Y :
⎛ ⋅ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑Yi fi
Y Y =(175/50) Y =3,5
n

iv) Desenho dos caminhos de ida e volta:
Caminho de Ida
1º)(-34,5) e 2º)(÷10)
X =? Xi Yi Y = 3,5
2º)(+34,5) e 1º)(x10)
Caminho de Volta
v) Cálculos do Caminho de Volta, partindo do Y :
1º)(x10) 3,5x10=35 e 2º)(+34,5) 35+34,5=69,5
Daí: X = 69,5 Resposta da Questão!
Aula-Resumo da Mediana
# Conceito:
Mediana é a medida de tendência central, e também uma medida separatriz, que
“separa”, que divide o conjunto em duas partes iguais.
# Relação entre a Mediana e as Demais Medidas Separatrizes:
Trata-se de uma relação visual. Considerando o conjunto como sendo uma reta, teremos:
!-------------------!-------------------!
Md
!---------!---------!---------!---------!
Q1 Q2 Q3
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Ou seja:
Md = Q2 = D5 = C50
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90
Onde: Q2 = segundo Quartil
D5 = quinto Decil
C50 (ou P50) = qüinquagésimo centil (ou percentil)
Mediana para Distribuição de Freqüências:
Seguiremos os seguintes passos:
1 o ) Descobrir quem é a Classe Mediana; e
2 o ) Aplicar a fórmula da Mediana para distribuição de freqüências!
# Determinação da Classe Mediana:
Para tanto, determinaremos o valor do n, ou seja, do número de
elementos do conjunto, somando a coluna da fi. Feito isso, independentemente
de encontrarmos um n par ou ímpar, faremos a seguinte conta:
n
2
Após isso, compararemos o valor de (n/2) com os valores da coluna da
freqüência absoluta acumulada crescente, a fac.
Logo, teremos que construir a fac.
A comparação entre o valor (n/2) e os valores da fac será feita por meio
da seguinte pergunta:
“O valor desta fac é maior ou igual ao valor de (n/2)?”
Esta pergunta será repetida, até o momento em que a resposta for
“SIM”, ou seja, quando a resposta for afirmativa, para-se, procura-se a classe
correspondente, e diz-se que esta é a Classe Mediana. Vejamos o exemplo
abaixo.
Encontremos a Classe Mediana do seguinte conjunto:
Xi fi
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20

O primeiro passo é determinar o n. Nesse caso, nosso n=20. Agora não
importa mais se n é par ou ímpar! Faremos a seguinte conta:
n
2
n
E teremos que: = 10 Este será nosso valor de referência, para
2
compararmos com os valores da coluna da freqüência absoluta acumulada
crescente, que vamos construir agora:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
O passo seguinte será o das perguntas! Da mesma forma como fizemos
nos Dados Tabulados, iremos agora comparar os valores da fac com o valor de
referência (n/2), que nesse caso será 10. Faremos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
3
8
15
19
20
3
8
15
19
20
3 é maior ou igual a 10? NÃO!
n=20
Enquanto a resposta for negativa, avançamos para a próxima fac! Teremos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
Se a resposta ainda é “NÃO”, prosseguimos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
3
5
3
8
8 é maior ou igual a 10? NÃO!

30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
7
4
1
n=20
15
19
20
15 é maior ou igual a 10? SIM!
Aqui paramos, pois nossa resposta foi afirmativa! E nesse momento,
procuramos qual a classe correspondente a esta fac em que nos encontramos!
Neste nosso caso, foi a terceira classe (30 !--- 40), que será a nossa Classe
Mediana!
# Fórmula da Mediana:
Uma vez descoberta qual a Classe Mediana da Distribuição de
Freqüências, restará apenas aplicar a Fórmula da Mediana:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
Onde: linf é o limite inferior da Classe Mediana;
facANT é a fac da classe anterior à classe mediana;
fi é a freqüência absoluta simples da classe mediana;
h é a amplitude da classe mediana.
Para o exemplo acima, temos que:
linf = 30 fi = 7
facANT= 8 h = 10
Logo:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡10 − 8⎤
= inf +
⋅ h Md = 30 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 7 ⎥
Md = 32,8
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
# Resumo dos Passos para Cálculo da Md de uma Distribuição:

1 o Passo) Determinar a Classe Mediana, fazendo o seguinte:
Calcula-se o n (pelo somatório da coluna do fi);
Calcula-se (n/2), independentemente de n ser par ou ímpar.
Este valor (n/2) será nosso “valor de referência”;
Constrói-se a coluna da fac;
Comparam-se os valores da fac (um a um, a começar da
primeira classe) com o valor de referência (n/2), fazendo-se a pergunta: “esta
fac é maior ou igual a (n/2)?”
Quando a resposta for afirmativa, procura-se a classe
correspondente, a qual será a nossa Classe Mediana!
2 o Passo) Aplica-se a fórmula da Mediana, abaixo transcrita, fazendo um
mero “copiar-colar” com os dados da distribuição:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
---x-x-x-x-x-x-x---
Exemplo: Calcular a Md do conjunto abaixo:
Xi fi
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
1 o Passo) Calculamos o n. Neste caso, temos que n=60.
2 o Passo) Calculamos (n/2), que será: (n/2)=30
3 o Passo) Construiremos a coluna da fac:
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦

Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
4 o Passo) Compararemos os valores da fac com nosso valor de referência (n/2),
que neste caso é 30.
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
2
9
20
40
51
58
60
Encontramos a Classe Mediana: (40!---50).
2
9
20
40
51
58
60
3 é maior ou igual a 30? NÃO!
9 é maior ou igual a 30? NÃO!
20 é maior ou igual a 30? NÃO!
40 é maior ou igual a 30? SIM!
5 o Passo) “Copiar-colar” os dados da distribuição para fórmula da Mediana, que
se segue:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Teremos então, que:
Xi Fi Fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
2
9
20
40
51
58
60
Classe Anterior!
Classe Mediana!
⎡30 − 20⎤
Fazendo as contas, teremos: Md = 40 +
⎢
⋅10
⎣ 20 ⎥
E: Md=45
⎦

# 1 a Dica de Ouro da Mediana:
Quando a Distribuição de Freqüências for simétrica, teremos que a
Mediana será igual à Média e à Moda:
Exemplo: a)
b)
X = Mo = Md
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
11
7
4
Resposta) Md=Média=Mo=45
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
4
10
15
10
4
Resposta) Md=Média=Mo=17,5
# 2 a Dica de Ouro da Mediana:
Quando estivermos na fase de compararmos os valores da fac com o
valor de referência (n/2) e, ao fazermos a pergunta de praxe, encontrarmos um
valor de fac exatamente igual ao (n/2), pararemos, e diremos que a Mediana
será o limite superior da classe correspondente!
Exemplo: calcular a Md do conjunto abaixo:
1 o Passo) Calculamos n=60.
Xi Fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60

2 o Passo) Calculamos (n/2)=30
3 o Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60
4 o Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de referência (n/2):
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60
8
20
30
50
60
8
20
30
50
60
8 é maior ou igual a 30? NÃO!
20 é maior ou igual a 30? NÃO!
30 é maior ou igual a 30? SIM!
É o quê? É IGUAL!
Imediatamente procuramos o limite superior da classe correspondente,
e encontramos que lsup=30! Daí, não resta dúvida:
Md=30
# Propriedades da Mediana:
A Mediana será, assim como a Média, influenciada por operações de
soma, subtração, produto e divisão.
Se somarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a
nova Mediana será (a Mediana anterior) também somada àquela mesma
constante;
Se subtrairmos todos os elementos de um conjunto de uma constante,
a nova Mediana será (a Mediana anterior) também subtraída daquela mesma
constante;
Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma
constante, a nova Mediana será (a Mediana anterior) também multiplicada
àquela mesma constante;
Se dividirmos todos os elementos de um conjunto por uma constante,
a nova Mediana será (a Mediana anterior) também dividida por aquela mesma
constante.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Extraída da prova de AFRF – 2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000
indivíduos, produziu a tabela de freqüência seguinte:
Xi Freqüência (f)
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa da Mediana amostral do
atributo X:
a) 71,04 b)65,02 c)75,03 d)68,08
e)70,02
Sol.:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Daí, achamos que: n=100 e (n/2)=50
2 o Passo) Construir a fac!
Xi fi
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
n=100
Xi fi fac↓

29,5 – 39,5 4 4
39,5 - 49,5 8 12
49,5 – 59,5 14 26
59,5 – 69,5 20 46
69,5 – 79,5 26 72
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 50? NÃO!
39,5 - 49,5 8 12 12 é ≥ 50? NÃO!
49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 50? NÃO!
59,5 – 69,5 20 46 46 é ≥ 50? NÃO!
69,5 – 79,5 26 72 72 é ≥ 50? SIM!
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100
Identificamos como sendo a Classe Mediana exatamente: (69,5 !-- 79,5)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡50 − 46⎤
= inf +
⋅ h Md = 69, 5 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 26 ⎥
E: Md=71,04
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
02. Extraída da prova AFRF – 1998:
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior,
foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações,
tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o
dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Assinale a opção que corresponde à mediana (com aproximação de uma casa
decimal):
a) 9,0 b)9,5 c)8,5 d) 8,0 e)10,0
Sol.:
Nesta questão dispomos de um rol, com número par de elementos: n=50.
Desse modo, teremos duas posições centrais no conjunto, as quais serão
determinadas da seguinte forma: (vide Ponto nº15, página 5)
n
1ª Posição Central =
2
e
2ª Posição Central = a que sucede a primeira!
Daí, encontraremos que:
n a
1ª Posição Central = = (50/2) = 25 posição!
2
2ª Posição Central = a posterior = 26 a posição!
De resto, só teremos que encontrar (usando o bom e velho dedo!) quais os
elementos do rol que ocupam respectivamente a 25 a e 26 a posições! Teremos o
seguinte:
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Uma vez identificados os elementos que ocupam as duas posições centrais,
restará apenas somá-los e dividir a soma por dois, ou seja, restará extrairmos a
Média dos dois elementos encontrados.
Teremos: Md=(9+9)/2 Md=9 Resposta!
03. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes P (%)
70 – 90 5

90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X:
a) 138,00 b)140,00 c)136,67 d) 139,01 e)140,66
Sol.:
Primeira preocupação: identificar a coluna P(%) fornecida pelo enunciado e,
partindo dela, construir a coluna da freqüência absoluta simples, fi!
Descobrimos que o P(%) é a freqüência relativa acumulada crescente (Fac),
e que para chegarmos à fi, teríamos que perfazer o caminho seguinte: Fac Fi
fi.
Feito isso, chegaremos ao seguinte:
Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
Agora sim, encontraremos a Mediana!
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Trabalharemos apenas com as colunas que interessam:
Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10
n=200

Teremos: n=200 e (n/2)=100
2 o Passo) Construir a fac!
Classes fi fac↓
70 – 90 10 10
90 – 110 20 30
110 – 130 50 80
130 – 150 60 140
150 – 170 30 170
170 – 190 20 190
190 – 210 10 200
n=200
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes fi fac↓
70 – 90 10 10 10 é ≥ 100? NÃO!
90 – 110 20 30 30 é ≥ 100? NÃO!
110 – 130 50 80 80 é ≥ 100? NÃO!
130 – 150 60 140 140 é ≥ 100? SIM!
150 – 170 30 170
170 – 190 20 190
190 – 210 10 200
n=200
Logo, identificamos nossa Classe Mediana: (130 !-- 150)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡100 − 80⎤
= inf +
⋅ h Md = 130 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 60 ⎥
E: Md=136,67
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
04 e 05. Extraídas da prova do AFRF – 1996:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA
ALFA, EM 01/01/90
Classes das
idades (anos)
Freq.
(fi)
Ptos. Médios
(Xi)
Xi-37 = di
5
di . fi di 2 . fi di 3 . fi di 4 . fi
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162

24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 – 39,5 29 37 - - - - -
39,5 – 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 – 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 – 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 100 16 206 154 1106
04. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em
01/01/90.
a) 35,49 b) 35,73 c) 35,91 d) 37,26 e)
38,01
Sol.: Neste enunciado, já temos calculado o valor do n (somatório da coluna do fi),
então já estamos com a conclusão do 1 o Passo. Vejamos:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Logo: n=100 e (n/2)=50
2 o Passo) Construir a fac!
Classes fi
19,5 – 24,5 2
24,5 – 29,5 9
29,5 – 34,5 23
34,5 – 39,5 29
39,5 – 44,5 18
44,5 – 49,5 12
49,5 – 54,5 7
Total n=100
Classes fi fac↓
19,5 – 24,5 2 2
24,5 – 29,5 9 11
29,5 – 34,5 23 34
34,5 – 39,5 29 63
39,5 – 44,5 18 81
44,5 – 49,5 12 93
49,5 – 54,5 7 100
Total 100

3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes fi fac↓
19,5 – 24,5 2 2 2 é ≥ 50? NÃO!
24,5 – 29,5 9 11 11 é ≥ 50? NÃO!
29,5 – 34,5 23 34 34 é ≥ 50? NÃO!
34,5 – 39,5 29 63 63 é ≥ 50? SIM!
39,5 – 44,5 18 81
44,5 – 49,5 12 93
49,5 – 54,5 7 100
Total 100
Identificamos, pois, nossa Classe Mediana: (34,5 !-- 39,5)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡50 − 34⎤
= inf +
⋅ h Md = 34, 5 + ⋅5
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 29 ⎥
E: Md=37,26
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa
continua o mesmo em 01/01/96.
05. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários, em
01/01/96.
a) 35,49 b) 36,44 c) 41,49 d) 41,91 e)
43,26
Sol.: Lembraremos aqui que a Mediana (assim como a Média e a Moda) está sujeita
à Propriedade da Soma e da Subtração, bem como à do Produto e da Divisão!
Daí, se na questão anterior estávamos trabalhando as idades de pessoas na
data de 01/01/90 e, passamos a analisar as idades daquele mesmo grupo de pessoas
seis anos depois, ou seja, em 01/01/96, isso significa que, a cada elemento do
conjunto adicionamos a constante 6.
Conseqüentemente, pela Propriedade da Soma e Subtração, a nova Mediana
será a Mediana anterior (do conjunto original) somada à mesma constante!

Ou seja: Md=(37,26+6) Md=43,26 Resposta!
06. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que
corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de
freqüências.
a) 12,50 b)9,60 c)9,00 d) 12,00 e)12,10
Sol.:
Este enunciado forneceu-nos a coluna da fac! Temos, como já é do nosso
conhecimento, que construir a fi! Feito isso, passaremos aos passos convencionais
para acharmos a Mediana. Em frente!
Teremos, assim:
Na seqüência, faremos:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Daí, teremos: n=68 e (n/2)=34
2 o Passo) Construir a fac!
Classes de
salários
fac↓ fi
3 ; 6 12 12
6 ; 9 30 18
9 ; 12 50 20
12 ; 15 60 10
15 ; 18 65 5
18 ; 21 68 3

Também não necessitaremos fazer este passo, porque ele já veio feito!
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes de salários fi fac↓
3 ; 6 12 12 12 é ≥ 34? NÃO!
6 ; 9 18 30 30 é ≥ 34? NÃO!
9 ; 12 20 50 50 é ≥ 34? SIM!
12 ; 15 10 60
15 ; 18 5 65
18 ; 21 3 68
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
⎡34 − 30⎤
Md = 9 +
⎢
⋅3
⎣ 20 ⎥
⎦
E: Md=9,60
Aula-Resumo da Mediana
# Conceito:
Mediana é a medida de tendência central, e também uma medida separatriz, que
“separa”, que divide o conjunto em duas partes iguais.
# Relação entre a Mediana e as Demais Medidas Separatrizes:
Trata-se de uma relação visual. Considerando o conjunto como sendo uma reta, teremos:
!-------------------!-------------------!
Md
!---------!---------!---------!---------!
Q1 Q2 Q3
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Ou seja:
Md = Q2 = D5 = C50
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90
Onde: Q2 = segundo Quartil
D5 = quinto Decil
C50 (ou P50) = qüinquagésimo centil (ou percentil)
Mediana para Distribuição de Freqüências:
Seguiremos os seguintes passos:
1 o ) Descobrir quem é a Classe Mediana; e
2 o ) Aplicar a fórmula da Mediana para distribuição de freqüências!
# Determinação da Classe Mediana:
Para tanto, determinaremos o valor do n, ou seja, do número de
elementos do conjunto, somando a coluna da fi. Feito isso, independentemente
de encontrarmos um n par ou ímpar, faremos a seguinte conta:
n
2
Após isso, compararemos o valor de (n/2) com os valores da coluna da
freqüência absoluta acumulada crescente, a fac.
Logo, teremos que construir a fac.
A comparação entre o valor (n/2) e os valores da fac será feita por meio
da seguinte pergunta:
“O valor desta fac é maior ou igual ao valor de (n/2)?”
Esta pergunta será repetida, até o momento em que a resposta for
“SIM”, ou seja, quando a resposta for afirmativa, para-se, procura-se a classe
correspondente, e diz-se que esta é a Classe Mediana. Vejamos o exemplo
abaixo.
Encontremos a Classe Mediana do seguinte conjunto:
Xi fi
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1

n=20
O primeiro passo é determinar o n. Nesse caso, nosso n=20. Agora não
importa mais se n é par ou ímpar! Faremos a seguinte conta:
n
2
n
E teremos que: = 10 Este será nosso valor de referência, para
2
compararmos com os valores da coluna da freqüência absoluta acumulada
crescente, que vamos construir agora:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
O passo seguinte será o das perguntas! Da mesma forma como fizemos
nos Dados Tabulados, iremos agora comparar os valores da fac com o valor de
referência (n/2), que nesse caso será 10. Faremos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
3
8
15
19
20
3
8
15
19
20
3 é maior ou igual a 10? NÃO!
n=20
Enquanto a resposta for negativa, avançamos para a próxima fac! Teremos:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
Se a resposta ainda é “NÃO”, prosseguimos:
Xi fi fac↓
8 é maior ou igual a 10? NÃO!

10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
3
5
7
4
1
n=20
3
8
15
19
20
15 é maior ou igual a 10? SIM!
Aqui paramos, pois nossa resposta foi afirmativa! E nesse momento,
procuramos qual a classe correspondente a esta fac em que nos encontramos!
Neste nosso caso, foi a terceira classe (30 !--- 40), que será a nossa Classe
Mediana!
# Fórmula da Mediana:
Uma vez descoberta qual a Classe Mediana da Distribuição de
Freqüências, restará apenas aplicar a Fórmula da Mediana:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
Onde: linf é o limite inferior da Classe Mediana;
facANT é a fac da classe anterior à classe mediana;
fi é a freqüência absoluta simples da classe mediana;
h é a amplitude da classe mediana.
Para o exemplo acima, temos que:
linf = 30 fi = 7
facANT= 8 h = 10
Logo:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡10 − 8⎤
= inf +
⋅ h Md = 30 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 7 ⎥
Md = 32,8
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
# Resumo dos Passos para Cálculo da Md de uma Distribuição:

1 o Passo) Determinar a Classe Mediana, fazendo o seguinte:
Calcula-se o n (pelo somatório da coluna do fi);
Calcula-se (n/2), independentemente de n ser par ou ímpar.
Este valor (n/2) será nosso “valor de referência”;
Constrói-se a coluna da fac;
Comparam-se os valores da fac (um a um, a começar da
primeira classe) com o valor de referência (n/2), fazendo-se a pergunta: “esta
fac é maior ou igual a (n/2)?”
Quando a resposta for afirmativa, procura-se a classe
correspondente, a qual será a nossa Classe Mediana!
2 o Passo) Aplica-se a fórmula da Mediana, abaixo transcrita, fazendo um
mero “copiar-colar” com os dados da distribuição:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
---x-x-x-x-x-x-x---
Exemplo: Calcular a Md do conjunto abaixo:
Xi fi
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
1 o Passo) Calculamos o n. Neste caso, temos que n=60.
2 o Passo) Calculamos (n/2), que será: (n/2)=30
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦

3 o Passo) Construiremos a coluna da fac:
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
4 o Passo) Compararemos os valores da fac com nosso valor de referência (n/2),
que neste caso é 30.
Xi fi fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
2
9
20
40
51
58
60
Encontramos a Classe Mediana: (40!---50).
2
9
20
40
51
58
60
3 é maior ou igual a 30? NÃO!
9 é maior ou igual a 30? NÃO!
20 é maior ou igual a 30? NÃO!
40 é maior ou igual a 30? SIM!
5 o Passo) “Copiar-colar” os dados da distribuição para fórmula da Mediana, que
se segue:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Teremos então, que:
Xi Fi Fac↓
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
50 !--- 60
60 !--- 70
70 !--- 80
2
7
11
20
11
7
2
n=60
2
9
20
40
51
58
60
Classe Anterior!
Classe Mediana!

⎡30 − 20⎤
Fazendo as contas, teremos: Md = 40 +
⎢
⋅10
⎣ 20 ⎥
E: Md=45
⎦
# 1 a Dica de Ouro da Mediana:
Quando a Distribuição de Freqüências for simétrica, teremos que a
Mediana será igual à Média e à Moda:
Exemplo: a)
b)
X = Mo = Md
Xi fi
0 !--- 15
15 !--- 30
30 !--- 45
45 !--- 60
60 !--- 75
75 !--- 90
4
7
11
11
7
4
Resposta) Md=Média=Mo=45
Xi fi
0 !--- 7
7 !--- 14
14 !--- 21
21 !--- 28
28 !--- 35
4
10
15
10
4
Resposta) Md=Média=Mo=17,5
# 2 a Dica de Ouro da Mediana:
Quando estivermos na fase de compararmos os valores da fac com o
valor de referência (n/2) e, ao fazermos a pergunta de praxe, encontrarmos um
valor de fac exatamente igual ao (n/2), pararemos, e diremos que a Mediana
será o limite superior da classe correspondente!
Exemplo: calcular a Md do conjunto abaixo:
Xi Fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60

1 o Passo) Calculamos n=60.
2 o Passo) Calculamos (n/2)=30
3 o Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60
4 o Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de referência (n/2):
Xi fi fac↓
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
8
12
10
20
10
n=60
8
20
30
50
60
8
20
30
50
60
8 é maior ou igual a 30? NÃO!
20 é maior ou igual a 30? NÃO!
30 é maior ou igual a 30? SIM!
É o quê? É IGUAL!
Imediatamente procuramos o limite superior da classe correspondente,
e encontramos que lsup=30! Daí, não resta dúvida:
Md=30
# Propriedades da Mediana:
A Mediana será, assim como a Média, influenciada por operações de
soma, subtração, produto e divisão.
Se somarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a
nova Mediana será (a Mediana anterior) também somada àquela mesma
constante;
Se subtrairmos todos os elementos de um conjunto de uma constante,
a nova Mediana será (a Mediana anterior) também subtraída daquela mesma
constante;
Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma
constante, a nova Mediana será (a Mediana anterior) também multiplicada
àquela mesma constante;

Se dividirmos todos os elementos de um conjunto por uma constante,
a nova Mediana será (a Mediana anterior) também dividida por aquela mesma
constante.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Extraída da prova de AFRF – 2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,
numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000
indivíduos, produziu a tabela de freqüência seguinte:
Xi Freqüência (f)
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa da Mediana amostral do
atributo X:
a) 71,04 b)65,02 c)75,03 d)68,08
e)70,02
Sol.:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Daí, achamos que: n=100 e (n/2)=50
Xi fi
29,5 – 39,5 4
39,5 - 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
n=100

2 o Passo) Construir a fac!
Xi fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4
39,5 - 49,5 8 12
49,5 – 59,5 14 26
59,5 – 69,5 20 46
69,5 – 79,5 26 72
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Xi fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 50? NÃO!
39,5 - 49,5 8 12 12 é ≥ 50? NÃO!
49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 50? NÃO!
59,5 – 69,5 20 46 46 é ≥ 50? NÃO!
69,5 – 79,5 26 72 72 é ≥ 50? SIM!
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100
Identificamos como sendo a Classe Mediana exatamente: (69,5 !-- 79,5)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡50 − 46⎤
= inf +
⋅ h Md = 69, 5 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 26 ⎥
E: Md=71,04
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
02. Extraída da prova AFRF – 1998:
Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior,
foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações,

tomadas numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o
dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Assinale a opção que corresponde à mediana (com aproximação de uma casa
decimal):
b) 9,0 b)9,5 c)8,5 d) 8,0 e)10,0
Sol.:
Nesta questão dispomos de um rol, com número par de elementos: n=50.
Desse modo, teremos duas posições centrais no conjunto, as quais serão
determinadas da seguinte forma: (vide Ponto nº15, página 5)
n
1ª Posição Central =
2
e
2ª Posição Central = a que sucede a primeira!
Daí, encontraremos que:
n a
1ª Posição Central = = (50/2) = 25 posição!
2
2ª Posição Central = a posterior = 26 a posição!
De resto, só teremos que encontrar (usando o bom e velho dedo!) quais os
elementos do rol que ocupam respectivamente a 25 a e 26 a posições! Teremos o
seguinte:
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Uma vez identificados os elementos que ocupam as duas posições centrais,
restará apenas somá-los e dividir a soma por dois, ou seja, restará extrairmos a
Média dos dois elementos encontrados.
Teremos: Md=(9+9)/2 Md=9 Resposta!
03. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse
exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X:
b) 138,00 b)140,00 c)136,67 d) 139,01 e)140,66
Sol.:
Primeira preocupação: identificar a coluna P(%) fornecida pelo enunciado e,
partindo dela, construir a coluna da freqüência absoluta simples, fi!
Descobrimos que o P(%) é a freqüência relativa acumulada crescente (Fac),
e que para chegarmos à fi, teríamos que perfazer o caminho seguinte: Fac Fi
fi.
Feito isso, chegaremos ao seguinte:
Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10
Agora sim, encontraremos a Mediana!
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Trabalharemos apenas com as colunas que interessam:
Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30

Teremos: n=200 e (n/2)=100
2 o Passo) Construir a fac!
170 – 190 20
190 – 210 10
n=200
Classes fi fac↓
70 – 90 10 10
90 – 110 20 30
110 – 130 50 80
130 – 150 60 140
150 – 170 30 170
170 – 190 20 190
190 – 210 10 200
n=200
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes fi fac↓
70 – 90 10 10 10 é ≥ 100? NÃO!
90 – 110 20 30 30 é ≥ 100? NÃO!
110 – 130 50 80 80 é ≥ 100? NÃO!
130 – 150 60 140 140 é ≥ 100? SIM!
150 – 170 30 170
170 – 190 20 190
190 – 210 10 200
n=200
Logo, identificamos nossa Classe Mediana: (130 !-- 150)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡100 − 80⎤
= inf +
⋅ h Md = 130 + ⋅ 20
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 60 ⎥
E: Md=136,67
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
04 e 05. Extraídas da prova do AFRF – 1996:
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA
ALFA, EM 01/01/90

Classes das
idades (anos)
Freq.
(fi)
Ptos. Médios
(Xi)
Xi-37 = di
5
di . fi di 2 . fi di 3 . fi di 4 . fi
19,5 – 24,5 2 22 -3 -6 18 -54 162
24,5 – 29,5 9 27 -2 -18 36 -72 144
29,5 – 34,5 23 32 -1 -23 23 -23 23
34,5 – 39,5 29 37 - - - - -
39,5 – 44,5 18 42 1 18 18 18 18
44,5 – 49,5 12 47 2 24 48 96 192
49,5 – 54,5 7 52 3 21 63 189 567
Total 100 16 206 154 1106
04. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em
01/01/90.
a) 35,49 b) 35,73 c) 35,91 d) 37,26 e)
38,01
Sol.: Neste enunciado, já temos calculado o valor do n (somatório da coluna do fi),
então já estamos com a conclusão do 1 o Passo. Vejamos:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Logo: n=100 e (n/2)=50
2 o Passo) Construir a fac!
Classes fi
19,5 – 24,5 2
24,5 – 29,5 9
29,5 – 34,5 23
34,5 – 39,5 29
39,5 – 44,5 18
44,5 – 49,5 12
49,5 – 54,5 7
Total n=100
Classes fi fac↓
19,5 – 24,5 2 2
24,5 – 29,5 9 11
29,5 – 34,5 23 34
34,5 – 39,5 29 63
39,5 – 44,5 18 81
44,5 – 49,5 12 93
49,5 – 54,5 7 100
Total 100

3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes fi fac↓
19,5 – 24,5 2 2 2 é ≥ 50? NÃO!
24,5 – 29,5 9 11 11 é ≥ 50? NÃO!
29,5 – 34,5 23 34 34 é ≥ 50? NÃO!
34,5 – 39,5 29 63 63 é ≥ 50? SIM!
39,5 – 44,5 18 81
44,5 – 49,5 12 93
49,5 – 54,5 7 100
Total 100
Identificamos, pois, nossa Classe Mediana: (34,5 !-- 39,5)!
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2 ⎠ ⎥
⎡50 − 34⎤
= inf +
⋅ h Md = 34, 5 + ⋅5
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 29 ⎥
E: Md=37,26
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa
continua o mesmo em 01/01/96.
05. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários, em
01/01/96.
a) 35,49 b) 36,44 c) 41,49 d) 41,91 e)
43,26
Sol.: Lembraremos aqui que a Mediana (assim como a Média e a Moda) está sujeita
à Propriedade da Soma e da Subtração, bem como à do Produto e da Divisão!
Daí, se na questão anterior estávamos trabalhando as idades de pessoas na
data de 01/01/90 e, passamos a analisar as idades daquele mesmo grupo de pessoas
seis anos depois, ou seja, em 01/01/96, isso significa que, a cada elemento do
conjunto adicionamos a constante 6.

Conseqüentemente, pela Propriedade da Soma e Subtração, a nova Mediana
será a Mediana anterior (do conjunto original) somada à mesma constante!
Ou seja: Md=(37,26+6) Md=43,26 Resposta!
06. Extraída da prova AFRF – 2002.1:
Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.
Classes de salários Freqüências
acumuladas
3 ; 6 12
6 ; 9 30
9 ; 12 50
12 ; 15 60
15 ; 18 65
18 ; 21 68
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que
corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de
freqüências.
b) 12,50 b)9,60 c)9,00 d) 12,00 e)12,10
Sol.:
Este enunciado forneceu-nos a coluna da fac! Temos, como já é do nosso
conhecimento, que construir a fi! Feito isso, passaremos aos passos convencionais
para acharmos a Mediana. Em frente!
Teremos, assim:
Na seqüência, faremos:
1 o Passo) Determinar o “n” e (n/2):
Daí, teremos: n=68 e (n/2)=34
Classes de
salários
fac↓ fi
3 ; 6 12 12
6 ; 9 30 18
9 ; 12 50 20
12 ; 15 60 10
15 ; 18 65 5
18 ; 21 68 3

2 o Passo) Construir a fac!
Também não necessitaremos fazer este passo, porque ele já veio feito!
3 o Passo) Comparar os valores da fac com o valor de referência (n/2),
usando a pergunta de praxe, e localizar a Classe Mediana!
Classes de salários fi fac↓
3 ; 6 12 12 12 é ≥ 34? NÃO!
6 ; 9 18 30 30 é ≥ 34? NÃO!
9 ; 12 20 50 50 é ≥ 34? SIM!
12 ; 15 10 60
15 ; 18 5 65
18 ; 21 3 68
4 o Passo) Aplicar a fórmula da Mediana!
Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Md l ⎢⎝
2
= inf +
⎠ ⎥ ⋅ h
⎢ fi ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Resposta!
⎡34 − 30⎤
Md = 9 +
⎢
⋅3
⎣ 20 ⎥
⎦
E: Md=9,60
PROVA DO CESPE – RESOLUÇÃO
Olá, amigos! Chegou a hora, finalmente, de resolvermos as questões
da prova do Fiscal do MT, elaborada pelo Cespe. São as questões “estilo
Cespe”, como as chamamos. Eu as lancei como desafio, no Ponto n.º6, para
que vocês vissem que o gabarito oficial iria destoar um pouco das respostas
que vocês encontrariam.
E não foi isso mesmo que aconteceu? Creio que sim. Passemos às
questões.
“Uma empresa do ramo de construção civil contratou 200 operários para
executar uma obra de 100.000 m 2 em 12 meses. A tabela abaixo apresenta a
distribuição de salários semanais brutos – S – dos 200 operários.”

função Salário semanal bruto (S) Número de operários
F1 R$100,00 < S < R$140,00 50
F2 R$140,00 < S < R$160,00 80
F3 R$160,00 < S < R$240,00 40
F4 R$240,00 < S < R$360,00 30
Total 200
Para cada função, essa empresa apresenta ainda as seguintes
estatísticas sobre o salário semanal bruto por função.
função Média Mediana
F1 R$ 130,00 R$ 120,00
F2 R$ 150,00 R$ 145,00
F3 R$ 170,00 R$ 200,00
F4 R$ 290,00 R$ 280,00
Sol.: Vejamos que a coisa já é diferente desde o início. Nas questões da
Esaf, estamos acostumados a ver os limites das classes separados por
símbolos como !--- ou mesmo como “ --- “ , ou até com “ ; “ . Em qualquer
caso, conforme aprendemos, o entendimento é de que estamos trabalhando
com o intervalo “clássico”, que inclui o limite inferior da classe e exclui o
superior.
O Cespe usa mais os sinais de “menor que” e “maior que”, o que, no
final das contas, é a mesma coisa! Daí, nossas classes, fornecidas pelo
enunciado, são as seguintes:
Salário semanal bruto (S)
100,00 !--- 140,00
140,00 !--- 160,00
160,00 !--- 240,00
240,00 !--- 360,00
Logo de pronto, somos tomados por duas surpresas: 1 o ) as classes
fornecidas apresentam amplitudes diferentes; e 2 o ) foi fornecida uma
segunda tabela, informando, para cada classe, a média e a mediana.
Ora, aprendemos que Média e Mediana são medidas de tendência
central, e que se referem ao conjunto inteiro! E aqui, diferentemente, a
Cespe tratou cada classe como se fosse um conjunto particular. Como
entenderemos isso?
Ora, as medidas estatísticas, da forma como aprendemos a calculálas,
resultam em valores apenas aproximados, uma vez que não conhecemos

os elementos de cada classe, mas somente seus limites. Portanto, se a
questão nos fornecer dados que nos permitam um cálculo mais preciso,
deveremos utilizá-los.
Como faremos isso?
Para calcular as Medidas de Posição e de Dispersão, em cujas
fórmulas aparece o Ponto Médio (PM), substituiremos esse último pela
Média de cada classe! Claro! Só usávamos o PM para representar uma classe
porque não dispúnhamos de um outro dado mais representativo. E a Média
de uma classe é, inegavelmente, mais representativa que o Ponto Médio.
Por sua vez, nas medidas cujas fórmulas não possuem o Ponto
Médio, quais sejam, a moda, as medidas separatrizes (mediana, quartis, decis e
percentis) e as questões relacionadas com a interpolação linear da ogiva,
utilizaremos a outra informação fornecida: as medianas de cada classe. Neste
caso, teremos que construir uma nova distribuição de freqüências, utilizando-nos
dessas medianas de classes.
Ora, sabemos que a mediana divide um conjunto em duas
partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos
que há à sua direita. Destarte, teremos a seguinte
distribuição de freqüências, partindo da original:
Salário semanal bruto (S) Número de
operários
R$100,00 !--- R$120,00 25
R$120,00 !--- R$140,00 25
R$140,00 !--- R$145,00 40
R$145,00 !--- R$160,00 40
R$160,00 !--- R$200,00 20
R$200,00 !--- R$240,00 20
R$240,00 !--- R$280,00 15
R$280,00 !--- R$360,00 15
200
Todos enxergaram o que nós fizemos aqui? Transformamos cada
classe (da distribuição original) em duas novas classes, utilizando-nos da
Mediana das classes originais, fornecidas pelo enunciado.
Assim, a primeira classe original, que era 100 !--- 140 e que tinha
como Mediana o valor 120, transformou-se nas seguintes classes: 100 !---
120 e 120 !--- 140.
E quanto ao número de elementos da classe? Ora, se a classe original
tinha 50 elementos, cada nova classe agora terá apenas metade disso, ou
seja, 25 elementos. Não poderia deixar de ser diferente, uma vez que a
mediana divide a classe em duas metades!

Feitas essas primeiras explicações, passemos à resolução em si.
10) O salário médio semanal bruto dos operários dessa empresa é igual a
R$175,00.
Aqui usaremos a distribuição original e as médias de cada classe!
A fórmula que aprendemos para cálculo da Média de uma
distribuição de freqüências era a seguinte:
X ∑ =
PM . fi
Agora, como dito, trataremos cada classe como um
“subconjunto”, cuja média é nossa conhecida, daí, onde
houver Ponto Médio, passará a haver Média da Classe! Nossa
fórmula agora será:
X ∑ =
n
Xc.
fi
n
Em que chamamos “ Xc ” de Média da Classe! Teremos,
portanto:
130 ⋅ 50 + 150 ⋅ 80 + 170 ⋅ 40 + 290 ⋅ 30
X =
= 170
200
A resposta está, portanto, ERRADA.
11) O primeiro quartil da distribuição dos salários é igual a R$140,00.
Usaremos a nova distribuição de freqüências!
E tem mais novidades: nós aprendemos que, no cálculo da mediana,
ou no cálculo das medidas separatrizes PARA A DISTRIBUIÇÃO DE
FREQÜÊNCIAS, não interessava se o número de elementos do conjunto era par
ou era ímpar. Fazíamos, em qualquer caso, uma única conta, e encontrávamos o
valor de referência, que seria comparado com os valores da freqüência absoluta
acumulada crescente – fac. MAS, entretanto, contudo, todavia e não obstante, o
Cespe pensa diferentemente!
Ou seja, para o Cespe, haverá sempre duas posições a serem
consideradas no cálculo das medidas separatrizes!

Vamos entender isso melhor, encontrando o primeiro quartil, como
nos pede a segunda questão.
Construamos logo a coluna da fac. Teremos:
Salário semanal bruto (S) Número de
operários
fac ↓
R$100,00 !--- R$120,00 25 25
R$120,00 !--- R$140,00 25 50
R$140,00 !--- R$145,00 40 90
R$145,00 !--- R$160,00 40 130
R$160,00 !--- R$200,00 20 150
R$200,00 !--- R$240,00 20 170
R$240,00 !--- R$280,00 15 185
R$280,00 !--- R$360,00 15
200
200
Conforme aprendemos, a fórmula do primeiro quartil é a seguinte:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
4
Q1
l inf
⎣⎝
⎠
= +
fi
Para a Esaf, o primeiro quartil é o elemento que ocupa a posição
(n/4). Já, para o Cespe, o Q1 ocupará a posição intermediária entre (n/4) e
[(n/4)+1].
Desse modo, teremos também que aplicar a seguinte fórmula:
ANT
⎤
⎥
⎦
. h
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ + 1 − fac
4
⎥
Q1'
' l inf
⎣⎝
⎠
= +
⎦
fi
Daí, teremos que fazer essas duas contas:
(n/4) = 200 / 4 = 50 e
(n/4)+1 = 51
E iremos comparar tais valores de referência – 50 e 51 – com os
valores da coluna da fac, fazendo aquelas perguntas de praxe (“Esta fac é
maior ou igual ao valor de referência?”).
Começando com o valor de referência “50”, a 50 a posição, teremos:
ANT
. h

Salário semanal bruto (S) fi fac ↓
R$100,00 !--- R$120,00 25 25 25 é ≥ 50? Não!
R$120,00 !--- R$140,00 25 50 50 é ≥ 50? Sim! É o quê? É
IGUAL! (2 a. Regra de Ouro das
Separatrizes)!
R$140,00 !--- R$145,00 40 90
R$145,00 !--- R$160,00 40 130
R$160,00 !--- R$200,00 20 150
R$200,00 !--- R$240,00 20 170
R$240,00 !--- R$280,00 15 185
R$280,00 !--- R$360,00 15 200
200
Pela “Segunda Regra de Ouro” das separatrizes, nem precisaremos
fazer conta, para podermos afirmar que o elemento que ocupa a 50 a posição
é o elemento 140.
Contudo, caso, na hora da prova, tenhamos esquecido essa “regra de
ouro”, as contas serão as seguintes:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
4
⎥
Q1'
l inf
⎣⎝
⎠
= +
⎦
. h
fi
[ 50 − 25]
. 20
Q 1'
= 120 +
Q1’ = 140
25
Fazendo agora o mesmo para o valor de referência 51, ou seja, para a
51 a posição, acharemos o Q1’’. Teremos:
Salário semanal bruto (S) fi fac ↓
R$100,00 !--- R$120,00 25 25 25 é ≥ 51? Não!
R$120,00 !--- R$140,00 25 50 50 é ≥ 51? Não!
R$140,00 !--- R$145,00 40 90 90 é ≥ 51? SIM!
R$145,00 !--- R$160,00 40 130
R$160,00 !--- R$200,00 20 150
R$200,00 !--- R$240,00 20 170
R$240,00 !--- R$280,00 15 185
R$280,00 !--- R$360,00 15 200
200
Daí, aplicando a fórmula do Q1’’, teremos:

⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ + 1 fac ANT
4
⎥ −
Q1'
' l inf
⎣⎝
⎠ ⎦
⎡51− 50⎤
= +
. h Q 1' '=
140 + . 20
fi
⎢
⎣ 25 ⎥
Q1’’ = 140,8
⎦
Finalmente, o cálculo do primeiro quartil será extraído da média dos
dois valores encontrados acima. Ou seja:
Q1 = (Q1’ + Q1’’) / 2
Teremos, portanto, que: Q1 = (140 + 140,8) / 2 Q1 = 140,4
Resposta!
Em suma, no cálculo das Medidas Separatrizes (Mediana, Quartil,
Decil, Centil) de uma Distribuição de Freqüências, para o Cespe, deveremos
agir da mesma forma como se estivéssemos trabalhando com um ROL. Ou
seja, estas medidas estarão sempre entre duas posições! A primeira delas é
dada pela fração da fórmula. E a segunda delas, é a posição “vizinha
posterior” à primeira!
Neste nosso caso, tivemos que a fração é a (n/4), que resultou na
posição 50. E a vizinha posterior, utilizada no segundo cálculo, foi a posição
51.
Tudo esclarecido, a resposta desta questão está, portanto, ERRADA!
12) A mediana da distribuição dos salários é igual a R$152,50.
Agora ficou fácil. Senão, vejamos. Usaremos também aqui a nova
distribuição de freqüências, e encontraremos os elementos intermediários do
conjunto, os quais ocupam, respectivamente, as posições {(n/2)} e {(n/2)+1}.
Esses dois valores serão nossos “valores de referência”, que usaremos para
comparar com os valores da fac. Daí, usaremos as duas fórmulas que se seguem:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
2
⎥
⎢⎜
⎟ + 1 fac ANT
Md'
l inf
⎣⎝
⎠
= +
⎦
2
⎥ −
. h e Md'
' l inf
⎣⎝
⎠
= +
⎦
. h
fi
fi
O primeiro passo seria construir a coluna da fac, o que já foi feito na
questão anterior. Apenas reproduzindo a tabela, teremos o seguinte:
Salário semanal bruto (S) fi fac ↓
R$100,00 !--- R$120,00 25 25
R$120,00 !--- R$140,00 25 50
R$140,00 !--- R$145,00 40 90

R$145,00 !--- R$160,00 40 130
R$160,00 !--- R$200,00 20 150
R$200,00 !--- R$240,00 20 170
R$240,00 !--- R$280,00 15 185
R$280,00 !--- R$360,00 15 200
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
2
⎥
A primeira fórmula nos diz: Md'
l inf
⎣⎝
⎠
= +
⎦
. h
fi
Logo, o valor de referência é a fração (n/2). Teremos que: (n/2)=1000
Comparando esse valor 100 com os valores da fac, acharemos que:
Salário semanal bruto (S) fi fac ↓
R$100,00 !--- R$120,00 25 25 25 é ≥ 100? Não!
R$120,00 !--- R$140,00 25 50 50 é ≥ 100? Não!
R$140,00 !--- R$145,00 40 90 90 é ≥ 100? Não!
R$145,00 !--- R$160,00 40 130 130 é ≥ 100? SIM!
R$160,00 !--- R$200,00 20 150
R$200,00 !--- R$240,00 20 170
R$240,00 !--- R$280,00 15 185
R$280,00 !--- R$360,00 15 200
200
Aplicando a fórmula usando os dados da classe encontrada, teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT
2
⎥
Md'
l inf
⎣⎝
⎠ ⎦
100 − 90
= +
. h Md '=
145 + . 15 Md’ = 148,75
fi
40
Agora, trabalharemos a segunda posição central, que é a “vizinha
posterior” à primeira. Se a primeira posição central foi a centésima
(n/2=100), então a vizinha posterior é 101 a posição. Nosso valor de
referência agora é o 101. Comparando-o com os valores da fac, teremos:
Salário semanal bruto (S) fi fac ↓
R$100,00 !--- R$120,00 25 25 25 é ≥ 101? Não!
R$120,00 !--- R$140,00 25 50 50 é ≥ 101? Não!
R$140,00 !--- R$145,00 40 90 90 é ≥ 101? Não!
R$145,00 !--- R$160,00 40 130 130 é ≥ 101? SIM!

R$160,00 !--- R$200,00 20 150
R$200,00 !--- R$240,00 20 170
R$240,00 !--- R$280,00 15 185
R$280,00 !--- R$360,00 15 200
200
Trabalharemos com a mesma classe da primeira fórmula.
Aplicando a fórmula Md’’, teremos agora:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ + 1 − fac ANT
2
⎥
Md'
' l inf
⎣⎝
⎠ ⎦
101−
90
= +
. h Md '=
145 + . 15 Md’’ = 149,125
fi
40
Daí, para acharmos o valor da Mediana, somaremos os resultados
obtidos em Md’ e Md’’ e dividiremos essa quantia por 2. Ou seja, faremos:
Md = (Md’ + Md’’) / 2 Md = (148,75 + 149,125) / 2 Md = 148,93
Resposta!
Este item está, portanto, INCORRETO, o que está perfeitamente de
acordo com o resultado do Cespe!
13) A moda da distribuição dos salários, segundo a fórmula de Czuber, é
igual a R$148,57.
Aqui tem mais novidade!
Para aplicarmos o cálculo da Moda de Czuber, é necessário que as
classes tenham mesma amplitude! Quando isso não ocorrer, e é o nosso caso,
teremos que usar um artifício, que chamaremos de “Normalização das
Freqüências”.
Obteremos novas freqüências, e as chamaremos de “freqüências
normalizadas”. Como se faz isso? A freqüência normalizada é a freqüência
absoluta simples (fi) dividida pela amplitude da classe respectiva (h).
Ou seja: fNORMALIZADA = (fi / h)
Esta freqüência normalizada será assumida como a nova fi, e será,
essa sim, utilizada no cálculo da Moda! Construindo a coluna das freqüências
normalizadas, teremos o seguinte:
h Salário semanal bruto (S) fi Freqüência
normalizada (fi/h)
20 R$100,00 !--- R$120,00 25 25/20 = ¼

20 R$120,00 !--- R$140,00 25 25/20 = ¼
5 R$140,00 !--- R$145,00 40 40/5 = 8
15 R$145,00 !--- R$160,00 40 40/15 = 8/3
40 R$160,00 !--- R$200,00 20 20/40 = ½
40 R$200,00 !--- R$240,00 20 20/40 = ½
40 R$240,00 !--- R$280,00 15 15/40 = 3/8
80 R$280,00 !--- R$360,00 15 15/80 = 3/16
Pronto! Agora é só seguir o procedimento normal. Qual será a classe
modal? Será aquela de maior freqüência, no nosso caso, a de maior
freqüência normalizada. Logo, a maior freqüência normalizada é 8, da
terceira classe. Ou seja:
Salário semanal bruto (S) fi Freqüência
normalizada
(fi/h)
R$100,00 !--- R$120,00 25 25/20 = ¼
R$120,00 !--- R$140,00 25 25/20 = ¼
R$140,00 !--- R$145,00 40 40/5 = 8 Classe Modal
R$145,00 !--- R$160,00 40 40/15 = 8/3
R$160,00 !--- R$200,00 20 20/40 = ½
R$200,00 !--- R$240,00 20 20/40 = ½
R$240,00 !--- R$280,00 15 15/40 = 3/8
R$280,00 !--- R$360,00 15 15/80 = 3/16
Se a classe modal é a terceira, já é fato cediço que a Moda deverá
estar, necessariamente, entre seus limites. Ou seja, será um valor entre
140 (inclusive) e 145 (exclusive).
A questão afirma que a Moda é igual a 148,57.
Nem será preciso fazer mais nada. ERRADO, portanto, este item.
Mas, como nós não somos de nadar e morrer na praia, já que estamos
na chuva mesmo, vamos logo encharcar tudo e calcular o valor da Moda.
Teremos:
Δa
Mo = l inf + . h
Δa
+ Δp
Da fórmula acima, extraímos que:
linf = 140
fi = 8
fi ant = 5/4, logo: Δa = 8 – 5/4 = 27/4

fi pos = 8/3, logo: Δp = 8 – 8/3 = 16/3
h = 5
( 27 / 4)
Daí: Mo = 140 +
. 5 E: Mo=142,8
( 27 / 4)
+ ( 16 / 3)
14) 36,25% dos operários recebem salário semanal bruto entre R$130,00
e R$155,00.
Trabalharemos com a nova distribuição de freqüências.
Calculemos logo de cara a quantos elementos do conjunto
correspondem 36,25% dos
36,25% dá um total de: 36,25% x 200 = 72,5 pessoas
1) Vamos calcular o número de pessoas que recebem abaixo de R$
130,00 .
Podemos usar a seguinte fórmula, derivativa das separatrizes:
elemento procurado = (posição do elemento – facant) . h
fi
130 está na 2ª classe.
130 = 120 + (“posição do 130” – 25) . 20
25
Daí: posição do 130 = 37,5
Ou seja, há 37,5 pessoas que recebem menos do que R$ 130,00.
2) Vamos calcular o número de pessoas que recebem abaixo de R$
155,00 .
elemento procurado = (“posição do elemento” – facant) . h
fi
155 está na 4ª classe.
155 = 145 + (posição do 155 – 90) . 15
40

Daí: posição do 155 = 116,7
Logo, há 116,7 pessoas que recebem menos do que R$ 155,00.
3) Vamos, finalmente, calcular o número de pessoas que recebem
entre R$ 130,00 e R$ 155,00 .
37,5 pessoas
116,7 pessoas
130,00 155,00
Como há 116,7 pessoas que recebem abaixo de 155,00 e
37,5 pessoas que recebem abaixo de 130,00 , então teremos
que o número de pessoas que recebem entre 130,00 e 155,00 é
de:
116,7 – 37,5 = 79,2 pessoas
Isto representa um porcentual de 79,2/200 = 39,6/100 = 39,6%
Resposta!
O item está, portanto, ERRADO, uma vez que informa um percentual
de 36,25%.
15) Se a empresa pagar R$10,00 a mais para cada um dos seus 200
operários, a variância do salário semanal bruto dos operários não
sofrerá alteração.
Essa é barbada! Teremos apenas que nos lembrar das propriedades da
variância! Ora, a Variância, conforme já é do nosso conhecimento, não
sofre influência de operações de soma e subtração! Não é isso mesmo?
Logo, pagar R$10,00 a mais para cada funcionário, nada mais é do que
somar a constante 10 a todos os elementos do conjunto!
Como conseqüência, a Variância do conjunto não se altera, de modo
que está CORRETO este item. (E nem precisamos fazer uma conta
sequer)!

16) Se a empresa der um aumento de 10% para cada um dos seus 200
operários, a variância do salário semanal bruto dos operários
aumentará em 21%.
Outra barbada! Novamente aqui apenas teríamos de nos lembrar das
propriedades da Variância. Aumentar em 10% os salários significa
apenas MULTIPLICAR os elementos por 1,10.
Daí, sabemos que a Variância sofre o efeito das operações de
produto e divisão, de modo que: “A nova Variância será a variância
original multiplicada pelo QUADRADO da constante”!
Logo, como a constante é 1,10, temos que o quadrado da
constante é (1,10) 2 =1,21.
E multiplicar um valor por 1,21 é aumentá-lo em 21%.
Certo? Certíssimo!
Está CORRETO este item!
17) 7,5% dos operários receberam salário semanal bruto maior ou igual a
R$280,00.
Essa também é quase de graça! Usaremos a nova distribuição de
freqüências.
Por primeiro, teremos que 7,5% dos elementos dá um total de:
7,5% x 200 = 15 pessoas
Portanto, se o item estiver correto deverá haver : 200 – 15 = 185
pessoas que recebem abaixo de 280,00. Vamos verificar se está correto.
Apenas pela mera observação da nossa distribuição de freqüências,
constatamos que é isso é verdadeiro. Senão vejamos:
Salário semanal bruto (S) fi
R$100,00 !--- R$120,00 25
R$120,00 !--- R$140,00 25
R$140,00 !--- R$145,00 40
R$145,00 !--- R$160,00 40
R$160,00 !--- R$200,00 20
R$200,00 !--- R$240,00 20
R$240,00 !--- R$280,00 15
R$280,00 !--- R$360,00 15

Logo, o item está CORRETO!
18) Considere, por hipótese, que os operários, insatisfeitos com seu
salário, ameaçam fazer greve, e que a empresa prontamente lhes faça
uma proposta de aumento salarial de 20% sobre o valor bruto para
todos os operários, descontando, porém, as refeições fornecidas no
valor de R$34,00/semana para cada um dos operários. Nessa
hipótese, a proposta apresentada pela empresa não alterará a média
dos salários semanais brutos dos operários.
Aqui, o que a questão fez foi “brincar” com as propriedades da Média. A proposta feita pela empresa trazia embutida as
seguintes operações:
1 o ) Aumentar os salários em 20%. Operação correspondente: multiplicar por
1,20;
2 o ) Subtrair os salários em R$34,00. Operação correspondente: subtrair de
34.
Aplicando-se essas duas operações a todos os elementos do conjunto,
o que ocorrerá ao valor da Média dos salários?
Ora, havíamos, na primeira questão da prova, calculado que a Média do
conjunto é igual a 170. O ponto de partida é, pois, esse valor: 170.
Sabemos também que a Média é influenciada pelas quatro operações
matemáticas (soma, subtração, produto e divisão). Logo, nossa média
sofrerá os seguintes efeitos:
1 o ) 170 x 1,20 = 204 e 2 o ) 204 – 34 = 170 Que é a própria Média!
Ou seja, a proposta da empresa resultaria em trocar seis por meia dúzia!
O item está perfeitamente CORRETO!
É isso, meus amigos!
Aproveito o ensejo para desculpar-me pela demora em veicular essa
resolução! O problema é o tempo, que é escasso. E agora ainda mais, que
comecei a faculdade de Direito, à noite.
Daqui a uns anos, se Deus permitir, serei também professor de
Direito.

Quero lembrar-lhes, nesta oportunidade, que o CURSO ELETRÔNICO
DE MATEMÁTICA FINANCEIRA está por começar! Sou suspeito pra dizer
qualquer coisa, mas quem acha esta matéria muito complicada, eu
recomendo, sinceramente, que faça esse curso, pois irei provar o contrário.
Muitos têm me perguntado sobre o livro de Estatística. Já está na
gráfica da Editora Impetus, e chegará às livrarias AINDA NESTE MÊS DE
MARÇO! Pra quem já esperou um bocado, não demora muito agora!
Mudando de assunto: o que vocês têm achado das aulas-resumo?
Tenho recebido alguns e-mails de alunos, bastante satisfeitos com as tais
aulas. Eles dizem, e eu já sabia disso, que os resumos são um “refresco” para
a memória! O ideal, naturalmente, é que você já tenha estudado a
estatística pelo meu curso eletrônico, que, infelizmente, teve de ser
indisponibilizado. Quem não teve oportunidade de estudar pelas minhas
aulas, terá sua chance de fazê-lo com o livro. É só uma questão de pouco
tempo!
No mais, estou ansioso por darmos início ao curso de Matemática
Financeira.
Aos alunos de Fortaleza, tem turma nova começando essa semana (na
sexta-feira próxima, dia 5/março). Interessados, liguem para 91.11.92.21.
Vagas limitadas e início imediato!
Um abraço forte e Deus abençoe a todos!
Aula-Resumo de MEDIDAS SEPARATRIZES
Olá, amigos! Todos bem? Espero que sim.
Hoje damos continuidade a nossas “aulas-resumo”, relembrando um
pouco as Medidas Separatrizes.
Pretendo, ao concluir toda esta revisão do programa do AFRF, por
meio destes resumos, e caso ainda não tenha saído o próximo edital
deste concurso, iniciar a resolução sistemática das últimas provas de
AFRF. De estatística, naturalmente.
Quanto à Matemática Financeira, continuo empenhado na
elaboração das aulas que compõem o “Curso à Distância”, que será

veiculado aqui no Site, e dirigido aos alunos interessados que efetuarem
matrícula. Conforme fui informado, este curso está realmente bem
próximo de ter seu início. A programação é de doze aulas – uma por
semana –, abrangendo todo o programa do AFRF. De uma ponta a outra.
Haverá ainda um fórum, também semanal, com minha participação, para
tirar alguma possível dúvida ou fazer qualquer esclarecimento.
Posso assegurar-lhes que o curso está bastante consistente.
Propício tanto a quem não conhece a matéria, quanto aos que pretendem
reforçar seu conhecimento. É grande o número de questões resolvidas e
de exercícios propostos. Penso que seja uma boa oportunidade,
sobretudo para quem não dispõe de muito tempo para sair de casa e
fazer cursos presenciais.
Um grande abraço a todos e segue a nossa aula!
1. Relação Visual entre Mediana e as Medidas Separatrizes:
Ou seja:
!-------------------!-------------------!
Md
!---------!---------!---------!---------!
Q1 Q2 Q3
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90
Md = Q2 = D5 = C50
2. Determinação do Primeiro Quartil (Q1):
Os passos para se chegar ao Q1 são os seguintes:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (n/4) (independentemente de n ser par
ou ímpar!);

Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (n/4) com os valores da fac, iniciando
da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte
pergunta: "esta fac é maior ou igual a (n/4)?". Se a resposta for
NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for
SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta
será a nossa Classe do Primeiro Quartil.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q1, extraindo os dados
desta classe do Q1, que acabamos de encontrar! Novamente a
fórmula:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
Q l ⎢⎝
4
1 = inf +
⎠
⎢ fi
⎢
⎣
3. Determinação dos Demais Quartis (Q2 e Q3):
Para Determinação do X-ésimo Quartil (QX) seguiremos os
seguintes passos:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (Xn/4) (independentemente de n ser par
ou ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/4) com os valores da fac, iniciando
da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte
pergunta: "esta fac é maior ou igual a (Xn/4)?". Se a resposta
for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta
for SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente!
Esta será a nossa Classe do X-ésimo Quartil, ou seja, a Classe do
QX.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do QX, extraindo os dados
desta classe do QX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
ANT
⎡⎛
Xn ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
QX l ⎢⎝
4 ⎠
= inf
+
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦

4. Determinação do Primeiro Decil (D1):
Os passos para se chegar ao D1 são os seguintes:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (n/10) (independentemente de n ser par
ou ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (n/10) com os valores da fac, iniciando
da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a seguinte
pergunta: "esta fac é maior ou igual a (n/10)?". Se a resposta for
NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a resposta for
SIM, pararemos e procuraremos a classe correspondente! Esta
será a nossa Classe do Terceiro Quartil.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do Q3, extraindo os dados
desta classe do Q1, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
n ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
D l ⎢⎝
10 ⎠
1 = inf +
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
5. Determinação dos Demais Decis (D1 a D9):
Para Determinação do X-ésimo Decil (DX) seguiremos os
seguintes passos:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (Xn/10) (independentemente de n ser
par ou ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/10) com os valores da fac,
iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a
seguinte pergunta: "esta fac é maior ou igual a (Xn/10)?". Se a
resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a
resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Decil, ou
seja, a Classe do DX.

Finalmente, aplicaremos a fórmula do DX, extraindo os dados
desta classe do DX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
⎡⎛
Xn ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
DX l ⎢⎝
10 ⎠
= inf +
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
6. Determinação dos Centis ou Percentis (C1):
Os passos para se chegar aos Centis ou Percentis são os
seguintes:
Determinamos o n (somando a coluna da fi);
Calculamos o valor de (Xn/100) (independentemente de n ser
par ou ímpar!);
Construímos a coluna da fac;
Comparamos o valor do (Xn/100) com os valores da fac,
iniciando da fac da primeira classe (a mais de cima!) e fazendo a
seguinte pergunta: "esta fac é maior ou igual a (Xn/100)?". Se a
resposta for NÃO, passamos à fac da classe seguinte. Quando a
resposta for SIM, pararemos e procuraremos a classe
correspondente! Esta será a nossa Classe do X-ésimo Centil, ou
seja, a Classe do PX.
Finalmente, aplicaremos a fórmula do PX, extraindo os dados
desta classe do PX, que acabamos de encontrar! Eis a fórmula:
7. Exemplos Resolvidos:
⎡⎛
Xn ⎞
⎢⎜
⎟ − fac
PX l ⎢⎝
100 ⎠
= inf +
⎢ fi
⎢
⎣
ANT
⎤
⎥
⎥ ⋅ h
⎥
⎥
⎦
Exemplo 1) Para o conjunto abaixo, determine o valor do
primeiro quartil (Q1):
Xi fi
0 !--- 10 2

10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/4)=6
5
8
6
3
2
5
8
6
3
n=24
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro quartil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
2
7
15
21
24
2 é maior ou igual a 6? NÃO!
7 é maior ou igual a 6? SIM!
Assim encontramos a Classe do Primeiro Quartil.

4º Passo) Só nos resta agora aplicar a fórmula do Primeiro
Quartil, tomando como referência a Classe do Q1, que acabamos
de encontrar. Teremos:
⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡6 − 2⎤
1 = inf +
⋅ h 1 = 10 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢
⎣ 5 ⎥
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Q E: Q1=18
Exemplo 02) Para o conjunto abaixo, ache o valor do terceiro
quartil (Q3):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (3n/4)=18
2º Passo) Construímos a fac:
2
5
8
6
3
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
2
5
8
2
7
15

30 !--- 40
40 !--- 50
6
3
n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !---40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
21
24
2 é maior ou igual a 18? NÃO!
7 é maior ou igual a 18? NÃO!
15 é maior ou igual a 18? NÃO!
21 é maior ou igual a 18? SIM!
Assim encontramos a Classe do Terceiro Quartil.
4º Passo) Aplicaremos a fórmula do Q3, usando os dados da
Classe do Q3, que acabamos de identificar!
⎡⎛
3n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
Q l ⎢⎝
4 ⎠ ⎥
⎡18 − 15⎤
3 = inf +
⋅ h 3 = 30 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢ 6 ⎥
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Q E: Q3=35
Exemplo 03) Para o conjunto abaixo, ache o valor do primeiro
decil (D1):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3

1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/10)=2,4
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/10),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
2
5
8
6
3
2
7
15
21
24
Assim encontramos a Classe do Primeiro Decil.
2 é maior ou igual a 2,4? NÃO!
7 é maior ou igual a 2,4? SIM!
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Primeiro Decil:

⎡⎛
n ⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡2, 4 − 2⎤
1 = inf +
⋅ h 1 = 10 + ⋅10
⎢ fi ⎥
⎢ 5 ⎥
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
D E: D1=10,8
Exemplo 04) Para o conjunto abaixo, ache o valor do nono decil
(D9):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):
Xi fi
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
2
5
8
6
3
n=24
Daí, achamos que n=24 e, portanto, (n/10)=21,6
2º Passo) Construímos a fac:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
2
7
15
21
24

n=24
3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (9n/10),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:
Xi fi fac
0 !--- 10
10 !--- 20
20 !--- 30
30 !--- 40
40 !--- 50
2
5
8
6
3
n=24
2
7
15
21
24
Assim encontramos a Classe do Nono Decil.
4º Passo) Aplicamos a fórmula do Nono Decil:
2 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
7 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
15 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
21 é maior ou igual a 21,6? NÃO!
24 é maior ou igual a 21,6? SIM!
⎡⎛
9n
⎞ ⎤
⎢⎜
⎟ − fac ANT ⎥
D l ⎢⎝
10 ⎠ ⎥
⎡21, 6 − 21⎤
9 = inf +
⋅ h 9 = 40 +
⋅10
⎢ fi ⎥
⎢ 3 ⎥
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
D9=42,0
D E: