Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de Confiança ... - Uem

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de 

Confiança Assintótico, p-Bootstrap e 

t-Bootstrap, Para Alguns Parâmetros da 

Distribuição Weibull 

Waldir Verissimo da Silva Junior 

Professor Dr. Josmar Mazucheli 

Orientador 

Maringá 

2005

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de 






Orientador 

Maringá 

2005 

Monografia de conclusão de 

curso apresentada junto ao De- 

partamento de Estatística do 

Centro de Ciências Exatas da 

Universidade Estadual de Mar- 

ingá, para a obtenção do título 

de Bacharel em Estatística.


Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de 




Banca Examinadora 


Orientador 

Esta monografia foi julgada 

adequada para a aprovação na 

disciplina Estatística Aplicada do 

curso de Graduação Bacharelado 

em Estatística da Universi- 

dade Estadual de Maringá, pela 

seguinte banca examinadora: 

Professor Ms. Carlos Aparecido dos Santos 

Membro 

Professor Ms. Vanderly Janeiro 

Membro

Resumo 

Neste trabalho são apresentadas as principais características da distribuição Weibull — a 

função densidade de probabilidade, a função de sobrevivência, a função de risco, a moda, a 

mediana e alguns outros parâmetros importantes que são utilizados na modelagem de dados 

que representam o tempo até a ocorrência de algum evento de interesse. Aborda-se também 

neste trabalho três métodos de construção de intervalos de confiança, para os estimadores de 

máxima verossimilhança dos parâmetros de escala, µ, forma, β, mediana (t0.50), 1 o quartil 

(t0.25) e 3 o quartil (t0.75), onde um deles é o o intervalo de confiança assintótico e os outros 

dois, p-Bootstrap e t-Bootstrap, são baseados no processo de reamostragem conhecido como 

Bootstrap (Efron, 1993). O objetivo desta monografia é avaliar a probabilidade de cobertura 

destas 3 formas de construção dos intervalos de confiança considerando-se vários tamanhos 

de amostra e diversas porcentagens de observações censuradas. Avalia-se a probabilidade de 

cobertura dos intervalos para os parâmetros µ, β, 1 o quartil (t0.25), 2 o quartil (t0.50) e 3 o quartil 

(t0.75). No cálculo das probabilidades utiliza-se o software SAS onde em particular é utilizada 

o procedimento nlmixed. 

Palavras Chave: Probabilidade de Cobertura, Bootstrap, intervalos de confiança, dis- 

tribuição Weibull.

Sumário 

1 Introdução 8 

1.1 Descrição dos Capítulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2 A Distribuição Weibull 10 

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.2 Caracterização da Distribuição Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.3 Função de Verossimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.4 Estimadores de Máxima Verossimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.5 Intervalos de Confiança Assintóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

3 Simulação Bootstrap 17 

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

3.2 O Processo de Reamostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

3.3 Intervalos de Confiança Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.3.1 Intervalos de Confiança p-Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.3.2 Intervalos de Confiança t-Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

4 Aplicação 21 

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

4.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

4.3 Análise Considerando a Distribuição Weibull com µ = 2 e β = 0.5 . . . . . . . . 23 

4.3.1 Análise do Parâmetro µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

4.3.2 Análise do Parâmetro β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

4.3.3 Análise do Parâmetro t0.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 


i


4.4 Análise Considerando a Distribuição Weibull com µ = 2 e β = 1.5 . . . . . . . . 43 






4.5 Análise Considerando a Distribuição Weibull com µ = 2 e β = 3 . . . . . . . . . 64 






4.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

Apêndice A.........................................................................................................................86 

Apêndice B.........................................................................................................................90 

Referências Bibliográficas...................................................................................................93 

ii

Índice de Tabelas 

Tabela 4.1: Probabilidade de cobertura dos intervalos Assintótico, p-Bootstrap e t-Bootstrap 

com 95% de confiança, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobre- 

vivência censurados, parâmetro µ.............................................................................................22 



vivência censurados, parâmetro β.............................................................................................26 



vivência censurados, parâmetro t0.25.........................................................................................29 

























iii













iv

Índice de Figuras 

Figura 2.1: Função densidade da distribuição Weibull para diferentes valores de µ e β...........09 

Figura 2.2: Função densidade da distribuição exponencial para fiferentes valores de µ...........10 

Figura 2.3: Função de risco considerando diferentes valores do parâmetro β e µ =2...............11 

Figura 3.1: O procedimento Bootstrap..................................................................................17 

Figura 4.1: Função densidade de probabilidade da Distribuição Weibull para µ = 2 e β = 

0.5, com a representação do 1 o , 2 o e 3 o quartil.............................................................................21 

Figura 4.2: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, res- 

pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro µ................................................24 

Figura 4.3: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando res- 

pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro µ...............................25 


pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro β.............................................27 


pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro β...........................28 


pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.25.......................................31 


pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.25.........................32 




pectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.50.........................36 



Figura 4.11: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando 

respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.75...................40 

Figura 4.12: Função densidade de probabilidade da Distribuição Weibull para µ = 2 e β = 

1.5, com a representação do 1 o , 2 o e 3 o quartil.........................................................................41 

Figura 4.13: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, 

respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro µ..........................................44 

v


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro µ..........................45 


pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro β...............................................48 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro β..........................49 


respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.25.....................................52 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.25.....................53 


respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.50....................................56 




respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.75...................................60 



Figura 4.23: Função densidade de probabilidade da Distribuição Weibull para µ = 2 e β = 3, 

com a representação do 1 o , 2 o e 3 o quartil................................................................................62 


pectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro µ............................................65 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro µ.........................66 


respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro β........................................69 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro β.........................70 




respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.25...................74 




vi

espectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.50..................78 


respectivamente 0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.75..................................81 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.75..................82 

vii

Capítulo 1 

Introdução 

O termo análise de sobrevivência é usado genericamente para designar um conjunto de 

procedimentos ou métodos estatísticos importantes na análise de dados que representam o 

tempo até a ocorrência de algum evento de interesse — morte de um paciente, falha de um 

equipamento etc. Umas das peculariedades intrínseca a este tipo de dados diz respeito à ob- 

servação parcial do tempo até a ocorrência deste(s) evento(s). Esta peculariedade caracteriza 

o termo “presença” de observações censuradas (Lawless, 1982). Tradicionalmente, inferências 

a respeito dos parâmetros que caracterizam a distribuição dos tempos de sobrevivência é con- 

duzida lançando-se mão de argumentos assintóticos. Estudos recentes tem mostrado que a 

qualidade das inferências estão associadas não somente ao tamanho da amostra disponível para 

à análise mas também na quantidade de observações censuradas. Meeker e outros em 2003 

conduziram um estudo de simulação com o intuito de avaliar as probabilidades de cobertura 

dos intervalos de confiança assintóticos e alguns baseados em simulação Bootstrap. Neste es- 

tudo os autores avaliam principalmente o impacto da quantidade de observações censuradas 

nas probabilidades de cobertura dos intervalos de confiança assintóticos. 

Este trabalho, considerando a distribuição Weibull, proposta originalmente por Weibull 

1951, tem por objetivo avaliar através de simulação o impacto que os seguintes fatores: 

1) o tamanho da amostra; 

2) a quantidade de observações censuras e 

3) a forma da função de risco 

exercem nas probabilidades de coberturas dos intervalos de confiança assintótico e (p,t)- 

Bootstrap. 

1.1 Descrição dos Capítulos 

O Capítulo 2 desta monografia apresenta uma caracterização completa da distribuição 

Weibull em termos dos parâmetros que são de máxima importância na modelagem de dados 

8

de sobrevivência. Como alternativa aos bem conhecidos intervalos de confiança assintóticos, no 

Capítulo 3 é introduzido o conceito de simulação Bootstrap assim como os dois principais pro- 

cedimentos de construção de intervalos de confiança — intervalos de confiança (p,t)-Bootstrap. 

Considerando várias instâncias — diferentes tamanhos de amostra, várias porcentagens de cen- 

sura e funções de riscos crescente e decrescentes — no Capítulo 4 são apresentados e discutidas 

as probabilidades de cobertura para os parâmetros de escala, forma e alguns percentis. Algu- 

mas propriedades matemáticas são deduzidas no Apêndice A. O Apêndice B apresenta a macro 

implementada em linguagem SAS utilizada na condução do estudo de simulação propriamente 

dito. 

9

Capítulo 2 

A Distribuição Weibull 

2.1 Introdução 

A distribuição Weibull foi proposta originalmente por Wallodi Weibull em (1951) e desde 

então, devido a sua simplicidade e flexibilidade em acomodar diferentes formas de função de 

risco, é uma das distribuições de probabilidade mais utilizadas na análise de dados que indicam 

o tempo até a ocorrência de algum evento de interesse, como por exemplo morte de um paciente, 

falha de um equipamento, etc. (Lawlees, 1982). 

Um outro fato importante relacionado a distribuição Weibull é que na presença de co- 

variáveis, tem-se um modelo de riscos proporcionais (Cox, 1972) e de falha acelerada (Lawless, 

1982). A distribuição Weibull é a única distribuição de probabilidade que pode ser escrita na 

forma de um modelo de riscos proporcionais. 

2.2 Caracterização da Distribuição Weibull 

A distribuição Weibull é caracterizada por dois parâmetros, µ e β ambos positivos. O 

parâmetro β determina a forma da curva da função densidade de probabilidade e µ é o parâmetro 

de escala. O parâmetro β é adimensional, enquanto que µ está na mesma escala dos dados e 

é aproximadamente igual ao 63 o percentil da distribuição dos tempos de sobrevivência. Sua 

função de densidade pode ser escrita na seguinte forma: 

em que t ≥ 0 e µ, β > 0. 

f(t|µ, β) = β 

µ β tβ−1 

β 

t 

exp − , (2.1) 

µ 

A Figura 2.1, apresenta a curva da função de densidade de probabilidade para diferentes 

valores dos parâmetros µ e β. 

10

f(t, μ, β) 

f(t, μ, β) 

f(t, μ, β) 

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 

0 2 4 t 6 8 10 

0 2 4 t 6 8 10 

(a) 

f(t, μ, β) 

0 2 4 t 6 8 10 

0 2 4 t 6 8 10 

(c) 

f(t, μ, β) 

0 2 4 t 6 8 10 

0 2 4 t 6 8 10 

(e) 

Figura 2.1: Função densidade da distribuição Weibull onde: (a): µ =2 e β = 0.5; (b): µ =2 e 

β = 1.5; (c): µ =2 e β = 3.0; (d): µ =3 e β = 0.5; (e): µ =3 e β = 1.5; (f): µ =3 e β =3.0. 

11 

f(t, μ, β) 

0.0 0.1 0.2 0.3 

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 

(b) 

(d) 

(f)

Uma extensão da distribuição Weibull é dada pela distribuição Weibull especificada a partir 

de 3 parâmetros, que é aplicada em situações em que supõem-se que o evento de interesse - 

morte ou falha - não ocorre antes de algum instante (t0 < t) (Johnson e Kotz 1995, Smith e 

Naylor, 1987). Generalizações de (1.1), para acomodar funções de riscos não monótonas, em 

forma de “U”, por exemplo, são dadas pela mistura de distribuições Weibull (Jiang e Murthy, 

1998; Ahmad et al., 1997; Sinha, 1987; Woodward e Gunst, 1987), distribuição Weibull-múltipla 

(Berger e Sun, 1996; Berger e Sun, 1993; Mazucheli, 2001) e a distribuição Weibull exponenciada 

(Mudholkar et al., 1996; Mudholkar e Kollia, 1994). 

Considerando β = 1 em (2.1), obtêm - se a distribuição exponencial como caso particular, 

onde a função de densidade é dada por: 

denotada por Exp(µ). 

f(t|µ) = 1 

µ exp 

 

− t 

 

, (2.2) 

µ 

A Figura 2.2 mostra a curva da função de densidade de probabilidade para diferentes valores 

do parâmetro µ com β = 1. 

f(t, μ) 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 

Exp(1) Exp(2) Exp(3) 

0 2 4 6 8 10 

Figura 2.2: Função densidade da distribuição exponencial para diferentes valores de µ. 

t 

A partir da equação (2.1) tem-se que a função de sobrevivência da distribuição Weibull é 

dada por: 

12

S(t) = exp 

 

− 

 

β 

t 

, (2.3) 

µ 

onde S(t), indica a probabilidade de um certo indivíduo ou equipamento sobreviver mais que 

um determinado tempo t, consequentemente 0 ≤ S(t) ≤ 1. 

A função de risco da distribuição Weibull é dada por: 

h(t) = β 

µ β tβ−1 . (2.4) 

Para o parâmetro de forma β < 1 tem-se funções de risco monótonas decrescentes, para β > 

1 as funções de risco são monótonas crescentes e para β = 1 tem-se a distribuição exponencial 

com função de risco constante, como mostra a Figura 2.3. 

Figura 2.3: Função de risco (2.4) considerando diferentes valores do parâmetro β e µ = 2. 

A partir da função densidade da distribuição Weibull, (2.1), tem-se que o k-ésimo momento, 

E(T k ), é dado por µ kΓ(1 + k ), (ver, apêndice) onde Γ(·), denota a função gama. Desta forma, 

β 

a média e a variância da variável aleatória T são dadas respectivamente por: 

E(T ) = µΓ(1 + 1 

 

) e V ar(T ) = µ2 Γ 1 + 

β 2 

 

− Γ 

β 

2 

 

1 + 1 

 

. (2.5) 

β 

O p-ésimo percentil da distribuição Weibull é dado por: 

13

tp = µ [− log(1 − p)] 1 

β . (2.6) 

Para p = 0.50 obtêm-se o parâmetro que caracteriza a mediana da distribuição Weibull 

dado por: 

t0.50 = µ [log(2)] 1 

β . (2.7) 

A moda (tm) da distribuição Weibull, pode ser obtida calculando o ponto de máximo da 

função densidade, f(t), ou seja, 

obtendo-se 

d(f(t)) 

dt 

= 0, 

⎧ 1 

⎪⎨ 

β−1 β 

µ se β > 1 

β 

tm = 

⎪⎩ 

0 se β ≤ 1. 

(2.8) 

O parâmetro que caracteriza a moda indica o tempo mais provável do acontecimento de 

mortes ou falhas. 

A partir da equação (2.3) a função de distribuição acumulada, F (t), é dada por: 

F (t) = 1 − exp 

2.3 Função de Verossimilhança 

 

− 

 

β 

t 

. (2.9) 

µ 

Para a distribuição Weibull, com parâmetros µ e β, considerando uma amostra aleatória 

(t1, ..., tn) e a variável indicadora de censura δi, δi = 1 se ti é exatamente observado ou δi = 0 

se ti é censurado à direita, a função de verossimilhança pode ser escrita na forma: 

L(µ, β|t) = 

n 

i=1 

 

β 

µ 

δi 

β−1 

ti 

exp − 

µ 

n 

i=1 

 

β 

ti 

. (2.10) 

µ 

Aplicando o logaritmo em (2.10) obtêm-se a função log-verossimilhança escrita na forma: 

l(µ, β|t) = 

n 

δi [log(β) + (β − 1) log(ti) − β log(µ)] − 

i=1 

14 

n 

i=1 

β ti 

. (2.11) 

µ

2.4 Estimadores de Máxima Verossimilhança 

Os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) de µ e β, são obtidos resolvendo itera- 

tivamente o seguinte sistema de equações não lineares 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

∂l(µ,β) 

∂µ 

∂l(µ,β) 

∂β 

β n = − µ i=1 δi + β n µ i=1 

β ti = 0 

µ 

1 n 

= β i=1 δi + n i=1 δi log( ti 

µ ) − n i=1 

β ti log µ 

 

ti = 0. µ 

(2.12) 

No software SAS, as estimativas de máxima verossimilhança podem ser facilmente obti- 

das por meio dos procedimentos nlmixed, nlp ou iml uma vez especificada a função log- 

verossimilhança. O mesmo fato é válido, para qualquer função densidade de probabilidade 

que não permita a obtenção dos estimadores de máxima verossimilhança analiticamente. 

2.5 Intervalos de Confiança Assintóticos 

Intervalos de confiança com coeficientes de confiança 100 × (1 − α)% para os parâmetros 

µ e β, podem ser obtidos diretamente a partir da normalidade assintótica dos estimadores de 

máxima verossimilhança (Guitany and Maller, 1992). 

 

IC(µ; 100 × (1 − α)%) = ˆµ ± zα/2 V ar(ˆµ), 

IC(β; 100 × (1 − α)%) = ˆ 

β ± zα/2 V ar( ˆ β), 

em que zα/2 é o α 

2 - ésimo percentil da distribuição normal padrão, e V ar(ˆµ) e V ar(ˆ β) são 

obtidos na diagonal principal do inverso da matriz de informação de Fisher (Ghitany amd 

Maller, 1992). 

Na prática, ao invés de se trabalhar com o inverso da informação de Fisher, trabalha-se com 

o inverso da matriz de informação observada. A matriz de informação observada localmente 

nos estimadores de máxima verossimilhança, pode ser escrita como: 

I(ˆµ, ˆ β|t) = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

∂ 2 l(µ,β) 

∂µ∂µ | µ=ˆµ,β= ˆ β 

∂ 2 l(µ,β) 

∂µ∂β | µ=ˆµ,β= ˆ β 

∂ 2 l(µ,β) 

∂µ∂β | µ=ˆµ,β= ˆ β 

∂ 2 l(µ,β) 

∂β∂β | µ=ˆµ,β= ˆ β 

A inversa da matriz de informação observada é definida como: 

I −1 (ˆµ, ˆ β) = 

 

V ar(ˆµ) Cov(ˆµ, ˆ β) 

Cov(ˆµ, ˆ β) V ar( ˆ β) 

15 

 

⎤ 

⎥ 

⎦ . 

. (2.13)

Os intervalos de confiança com coeficiente de confiança 100 × (1 − α)% para funções de µ e 

β, g(µ, β), são dados por: 

IC [g(µ, β); 100 × (1 − α)%] = g(ˆµ, ˆ β) ± zα/2 

 

V ar 

 

g(ˆµ, ˆ 

β) , 

onde g(ˆµ, ˆ β) pode ser, por exemplo, o p-ésimo percentil da distribuição Weibull. A variância 

estimada de g(ˆµ, ˆ β) pode ser obtida através do método Delta (Rao and Toutenburg, 1999) a 

partir da equação: 

 

V ar g ˆµ, ˆ 

β 

= 

 

∂ 

∂µ g 

 

ˆµ, ˆ 

β 

2 

∂ 

V ar(ˆµ) + 

∂β g 

 

ˆµ, ˆ 

β 

2 V ar( ˆ β) + (2.14) 

 

∂ 

2 

∂µ g 

 

ˆµ, ˆ 

β 

∂ 

∂β g 

 

ˆµ, ˆ 

β 

 

Cov(ˆµ, ˆ β), 

em que os valores de V ar(ˆµ), V ar( ˆ β) e Cov(ˆµ, ˆ β) são obtidos da inversa da matriz de informação 

observada definida em (1.13). 

Vale lembrar que é possível estimar V ar 

 

g ˆµ, ˆ 

β , diretamente pela matriz inversa da 

matriz de informação, utilizando a propriedade da invariância dos estimadores de máxima 

verossimilhança, ou seja, reparametrizando a função verossimilhança, ou a log-verossimilhança. 

Por exemplo, considere o p-ésimo percentil da distribuição, definido em (2.7). Isolando o 

parâmetro µ obtêm-se: 

1 

− 

µ = tp [− log (1 − p)] β . (2.15) 

Logo, reparametrizando a função de verossimilhança ou a log-verossimilhança, a partir da 

equação (2.14) a variância estimada do p-ésimo percentil da distribuição é obtida diretamente 

pela inversa da matriz de informação observada. 

16

Capítulo 3 

Simulação Bootstrap 


A idéia da reamostragem surgiu em meados de 1935, entretanto a aplicação de tais técnicas 

teve que esperar até a chegada de computadores mais rápidos, uma vez que procedimentos de 

reamostragem utilizam intensivamente o computador. 

A técnica Bootstrap foi introduzida por Bradley Efron em 1979, como abordagem alterna- 

tiva ao cálculo de intervalos de confiança, em circunstâncias em que outras técnicas não são 

aplicáveis, em particular, no caso em que o tamanho da amostra é pequeno. 

Esta técnica, baseada na hipótese de um elevado número de amostras, foi extrapolada 

para a resolução de muitos outros problemas de difícil resolução através de técnicas de análise 

estatística tradicionais, como por exemplo a obtenção da distribuição empírica de um estimador, 

onde sua distribuição de probabilidade é desconhecida ou de difícil acesso, ou ainda determinar 

intervalos de confiança para o máximo da função de risco. 

Os procedimentos Bootstrap levam as amostras combinadas como uma representação da 

população da qual os dados são provenientes, e gera várias amostras Bootstrap retiradas, com 

reposição, da pseudo - população, a amostra disponível. 

Inferências a respeito de um parâmetro são baseadas na distribuição amostral de seu es- 

timador. A técnica Bootstrap é em primeiro lugar, uma maneira de encontrar a distribuição 

amostral, pelo menos aproximadamente, a partir de uma única amostra disponível. 

Uma distribuição amostral está baseada em muitas amostras aleatórias da população. Entre- 

tanto, ao invés de retirar-se muitas amostras da população, cria-se reamostras, com reposição, a 

partir de uma única amostra da população. Cada reamostra tem o mesmo tamanho da amostra 

aleatória original. 

A simulação Bootstrap também pode ser vista como um procedimento para tirar conclusões 

sobre os dados, quando não se tem suposições sobre a distribuição dos parâmetros de interesse. 

A única suposição feita é que a amostra original represente bem a população da qual os dados 

17

são provenientes. 

O termo Bootstrap paramétrico é utilizado quando se tem alguma suposição da distribuição, 

por exemplo, a suposição de que a população segue uma distribuição Weibull, ou ainda tem-se 

o conhecimento da distribuição amostral de algum estimador e deseja-se obter a distribuição 

amostral de um outro estimador que depende do primeiro, por exemplo, sabe-se que se uma 

variável aleatória X tem distribuição normal ou o tamanho da amostra é suficientemente grande 

(n → ∞) , então ¯ X tem distribuição Normal com média µ e variância σ2 (n−1)S2 

, e n σ2 tribuição χ 2 n−1. Logo, o coeficiente de variação, definido como, C.V. = s 

¯x 

amostral ? 

tem dis- 

, terá qual distribuição 

Já o termo Bootstrap não - paramétrico é utilizado quando não se tem nenhuma suposição 

da distribuição do conjunto de dados, ou seja, a distribuição amostral da qual os dados vieram 

é desconhecida. 

Embora a técnica Bootstrap seja teoricamente simples, deve-se ter disponível um software 

para fazer reamostragem. Os softwares como SPSS, SAS e MINITAB, não têm um procedi- 

mento disponível para fazer a reamostragem, entretanto pode-se programar procedimentos de 

reamostragem. 

3.2 O Processo de Reamostragem 

O processo de reamostragem conhecido como Bootstrap tenta realizar o que seria desejável 

realizar na prática, se fosse possível, que é repetir a experiência de amostragem B vezes. Além 

disso, o procedimento trata a amostra observada como se esta representasse exatamente toda 

a população. 

Seja t = (t1, t2, ..., tn) uma amostra aleatória contendo n tempos de sobrevivência disponíveis 

para análise, com δi = 1 para os tempos exatamente observados e δi = 0 , para tempos censura- 

dos a direita, (i = 1, 2, ..., n). Logo, o conjunto de dados disponíveis é dado por T = (t, δ). O 

processo de reamostragem Bootstrap consiste em reamostrar B amostras T ∗(1) , T ∗(2) , ..., T ∗(B) , 

independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), cada uma de tamanho n. 

Na terminologia do procedimento Bootstrap, as B amostras (i.i.d.) construídas a partir da 

população finita T = (t, δ) corresponde em reamostrar com reposição a partir do conjunto T. 

Após a obtenção das B amostras Bootstrap, pode-se obter as estimativas de máxima ve- 

rossimilhança do parâmetro de interesse, para cada amostra Bootstrap, chegando ao vetor 

∗ 

ˆθ = ( ˆ θ ∗ 

(1), ˆ θ ∗ 

(2), ..., ˆ θ ∗ 

(B)). A partir do vetor ˆ θ ∗ 

, pode-se obter a distribuição Bootstrap do es- 

timador ˆ θ, que permite construir intervalos de confiança e também testar hipóteses a respeito 

do parâmetro θ. A Figura a seguir ilustra a idéia do procedimento Bootstrap. 

18

Figura 3.1: O Procedimento Bootstrap. 

3.3 Intervalos de Confiança Bootstrap 

Uma vez que obtida a distribuição empírica do estimador ˆ θ pode-se obter intervalos de 

confiança Bootstrap para o parâmetro de interesse. 

O intervalo de confiança Bootstrap, baseado nos percentis da distribuição Bootstrap de θ, 

proposto for Efrom (1993) é conhecido como intervalo de confiança p-Bootstrap. Hall (1988) 

sugeriu o intervalo de confiança t-Bootstrap, que sob o ponto de vista assintótico, sua probabi- 

lidade de cobertura é aproximadamente igual ao coeficiente de confiança nominal (Efron and 

Tibshirani, 1993). 

3.3.1 Intervalos de Confiança p-Bootstrap 

Considere t = (t1, t2, ..., tn) um vetor com o conjunto de tempos de sobrevivência disponíveis 

para análise, com δi = 1 para os tempos de sobrevivência exatamente observados e δi = 0 

para tempos de sobrevivência censurados à direita, (i = 1, ..., n). Logo, o conjunto de dados 

disponíveis é dado por T = (t, δ). 

Contudo, a seguir são apresentados os passos para construção do intervalo de confiança 

p-Bootstrap. 

Passo 1: Retirar, com reposição, de T uma amostra Bootstrap (t ∗ 1, δ ∗ 

1), ..., (t ∗ n, δ ∗ 

n). 

19

Passo 2: Da amostra Bootstrap (t∗ 1, δ ∗ 

1), ..., (t∗ n, δ ∗ 

lhança do parâmetro θ, representado por ˆθ ∗ 

. 

n) obter o estimador de máxima verossimi- 

Passo 3: Repetir os passos 1 e 2 B vezes. 

Passo 4: A partir do vetor ˆθ ∗ 

 

∗ 

= ˆθ 

(1) ≤ ˆθ ∗ 

(2) ≤ · · · ≤ ˆθ ∗ 

 

(B) , para algum nível de significância 

α (0 < α < 1), o intervalo p-Bootstrap com coeficiente de confiança 100 × (1 − α)% é dado por: 

 

∗ 

ˆθ 

(Q1); ˆθ ∗ 

 

(Q2) , (3.1) 

onde Q1 = B × 

α e Q2 = B − Q1 e [ ] indica o menor número inteiro maior ou igual ao 

2 

argumento. Como exemplo, considere um coeficiente de confiança de 95% (α = 0.05) e 1000 

amostras Bootstrap (B = 1000), logo Q1 = 25 e Q2 = 975. Consequentemente, o intervalo 

∗ 

p-Bootstrap com 95% de confiança é dado por ˆθ 

(25); ˆθ ∗ 

 

(975) . 

3.3.2 Intervalos de Confiança t-Bootstrap 

Para construção do intervalo de confiança t - Bootstrap redefinir, a partir do Passo 4 na 

forma: 

Passo 4’: A partir de ˆθ ∗ 

 

∗ 

= ˆθ 

(1) ≤ ˆθ ∗ 

(2) ≤ · · · ≤ ˆθ ∗ 

 

(B) 

para (i, j = 1, 2, ..., B, i = j) em que: 

T ∗ (i) ≤ T ∗ (j) 

T ∗ 

i = 

 

∗ 

ˆθ 

i − ˆ 

θ 

ˆσ ∗ 

i 

obter T ∗ = 

 

T ∗ (1) , T ∗ (2) , · · · , T ∗ 

(B) , 

, (3.2) 

onde ˆ θ é o estimador de máxima verossimilhança de θ e ˆσ ∗ 

i (i = 1, ..., B) é o erro padrão de 

ˆ θ ∗ 

i , que é dado pela raiz quadrada da diagonal principal da inversa da matriz de informação 

observada. 

Passo 5’: Usando T ∗ , o intervalo t-Bootstrap com coeficiente de confiança 100 × (1 − α)% é 

dado por: ˆθ − ˆσT ∗ (Q2); ˆ θ − ˆσT ∗ (Q1) 

em que Q1 = B × 

α , Q2 = B − Q1 ( [ ] indica o menor número inteiro maior ou igual ao 

2 

 

argumento) e ˆσ = V ar ˆθ , onde ˆθ e ˆσ são calculados a partir dos tempos de sobrevivência 

originais. Outras formas de construção de intervalos de confiança Bootstrap são discutidos em 

Efron e Tibshirani, 1993. 

20 

 

(3.3)

Capítulo 4 

Aplicação 


Nos capítulos anteriores, foram definidos três intervalos de confiança, o primeiro obtido 

a partir da normalidade assintótica dos estimadores de máxima verossimilhança (Intervalo 

Assintótico) e os outros dois a partir do processo de reamostragem Bootstrap (Intervalo p- 

Bootstrap e t-Bootstrap). 

Neste capítulo tem-se o interesse em avaliar qual dos três intervalos possui uma maior pro- 

babilidade de cobertura, ou seja, sob determinadas situações, como tamanho da amostra e 

porcentagem de dados censurados, deseja-se estabelecer qual dos três intervalos estudados pos- 

sui a maior probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro. Em outras palavras, o 

objetivo é avaliar as três formas de construção dos intervalos de confiança, levando em con- 

sideração a presença de dados censurados e o tamanho da amostra, utilizando os tempos de 

sobrevivência gerados a partir da distribuição Weibull. São avaliadas as probabilidades de 

cobertura para os parâmetros µ, β, t0.25, t0.50 e t0.75. 

4.2 Metodologia 

No intuito de verificar qual dos três intervalos possui uma maior probabilidade de cober- 

tura, primeiramente gerou-se tempos de sobrevivência a partir da distribuição Weibull com 

parâmetros µ = 2 e β = 0.5, 1.5 e 3, ou seja, manteve-se o parâmetro de escala fixo, para uma 

variação no parâmetro de forma, para tal feito foi utilizado o software SAS. 

O tamanho da amostra nj ( j = 1, 2, 3, 4, 5), também foi levado em consideração, sendo 

n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100, assim como a porcentagem de dados censurados 

qj ( j = 1, 2, 3, 4, 5) , em que q1 = 0%, q2 = 5%, q3 = 10%, q4 = 15%, q5 = 20%. Para cada com- 

binação dos valores dos parâmetros µ e β, dos tamanhos da amostra nj ( j = 1, 2, 3, 4, 5) e das 

porcentagens de censura qj ( j = 1, 2, 3, 4, 5), foram simuladas 200 amostras (m1, m2, ..., m200) 

a partir da distribuição Weibull, onde os tempos de sobrevivência, para cada amostra, são 

21

facilmente gerados a partir da expressão 

t = −µ [log (1 − U)] 1 

β , (4.1) 

onde U é a distribuição uniforme defnida no intervalo (0, 1) (Ripley, 1987, Devroye, 1986). 

Para cada tempo de sobrevivência ti , foi gerado também um valor para a variável indicadora 

de censura δi, simulado através da distribuição de Bernoulli, com a probabilidade de fracasso 

variando de 0% a 20% , dependendo da porcentagem de censura qj ( j = 1, 2, 3, 4, 5) atribuída. 

Como exemplo, considere µ = 2, β = 0.5, n1 = 10 e q1 = 0%, para esta combinação foram 

geradas 200 amostras, (m1, m2, ..., m200) sendo que para cada uma das amostras geradas mi 

(i = 1, 2, ..., 200), foram retiradas B = 1000 amostras Bootstrap. 

Generalizando, tem-se um total de 3 (variação dos valores de β)× 5 (variação dos tamanhos 

de amostra) × 5 (variação das porcentagens de dados censurados) = 75 combinações diferentes, 

onde para cada combinação foram geradas 200 amostras, (m1, m2, ..., m200) sendo que para cada 

uma das amostras geradas mi (i = 1, 2, ..., 200), foram retiradas B = 1000 amostras Bootstrap. 

A partir dos tempos de sobrevivência simulados, para cada uma das 200 amostras geradas 

dentro de cada uma das 75 combinações, foram obtidos os estimadores de máxima verossimi- 

lhança para µ, β e também para tempo mediano (t0.50), primeiro quartil (t0.25) e terceiro quartil 

(t0.75), bem como os respectivos erros-padrão, para construção dos intervalos de confiança. 

Para implementação do Bootstrap não-paramétrico, para cada uma das 200 amostras si- 

muladas dentro de cada uma das 75 combinações, foram retiradas B = 1000 reamostras, e a 

partir de cada reamostra foram calculados os estimadores de máxima verossimilhança para µ, 

β e também para tempo mediano (t0.50), primeiro quartil (t0.25) e terceiro quartil (t0.75), bem 

como os respectivos erros-padrão, para construção dos intervalos de confiança p-Bootstrap e 

t-Bootstrap. 

Considere que todos os intervalos foram contruídos com 95% de confiança, ou seja, a cada 

100 amostras retiradas da população e construídos seus respectivos intervalos de confiança para 

o parâmetro de interesse, espera-se que 95 desses intervalos contenham o verdadeiro valor do 

parâmetro, ou em outras palavras, cada intervalo tem 95% de probabilidade de conter o valor 

do parâmetro. 

Contudo, após obtidos os intervalos de confiança Assintóticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap a 

idéia é verificar quantos intervalos contém o verdadeiro valor do parâmetro µ, β, t0.25, t0.50 e 

t0.75 na qual os dados foram gerados. 

Enfim, a probabilidade de cobertura pode ser expressa pela seguinte razão: 

pc = no de intervalos que contém o verdadeiro valor do parâmetro 

n o total de intervalos construídos 

22 

(4.2)

4.3 Análise Considerando a Distribuição Weibull com µ = 2 e β = 0.5 

Considerando a Distribuição Weibull com parâmetros µ = 2 e β = 0.5, o valor do primeiro 

quartil, terceiro quartil e da mediana dos tempos de sobrevivência são dados respectivamente, 

por t0.25 = 0.1655, t0.75 = 3.8436 e t0.50 = 0.9609. 

A Figura 4.1 ilustra a função densidade de probabilidade considerando µ = 2 e β = 0.5, e 

a disposição dos três percentis calculados, onde o ponto em vermelho representa o 1 o quartil 

(t0.25) o ponto em azul representa a mediana (t0.50) e o ponto em verde representa o 3 o quartil 

(t0.75) 

f(t, μ, β) 

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 

● 

● 

● 

0 2 4 6 8 10 

Figura 4.1: Função densidade de probabilidade da Distribuição Weibull para µ = 2 e β = 0.5, 

com a representação do 1 o , 2 o e 3 o quartil. 

t 

Vale lembrar que os intervalos para cada amostra foram construídos com 95% de confiança, 

ou seja, teoricamente a probabilidade de cobertura de cada um dos três tipos de intervalo 

deveria ser 0.95, entretanto tem-se dois fatores importantes a serem levados em consideração, 

que são o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos de sobrevivência censurados. 

23

4.3.1 Análise do Parâmetro µ 

Tabela 4.1: Probabilidade de cobertura dos intervalos assintóticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap 


vivência censurados, parâmetro µ. 

% Censura Intervalo n1 = 10 n2 = 20 n3 = 30 n4 = 50 n5 = 100 

q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.840 

0.885 

0.965 

0.880 

0.895 

0.970 

0.900 

0.900 

0.960 

0.905 

0.915 

0.945 

0.915 

0.900 

0.935 

0.925 

0.940 

0.965 

0.955 

0.960 

0.980 

0.965 

0.940 

0.955 

0.975 

0.920 

0.930 

0.980 

0.885 

0.890 

0.900 

0.960 

0.970 

0.940 

0.955 

0.965 

0.980 

0.945 

0.945 

0.980 

0.930 

0.925 

0.980 

0.880 

0.890 

0.920 

0.945 

0.970 

0.950 

0.970 

0.980 

0.980 

0.955 

0.950 

0.965 

0.865 

0.855 

0.940 

0.770 

0.785 

0.940 

0.965 

0.975 

0.975 

0.965 

0.965 

0.955 

0.870 

0.865 

0.875 

0.770 

0.785 

0.750 

0.575 

0.580 

Pode-se observar, com base na Tabela 4.1, que a probabilidade de cobertura do intervalo 

de confiança assintótico aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando 

até 10% dos tempos de sobrevivência censurados. Entretanto para 15% e 20% de tempos de 

sobrevivência censurados, para tamanho de amostras n5 = 100, a probabilidade de cobertura 

é bem abaixo do esperado (0.95), devido a grande quantidade de dados censurados, uma vez 

que, considerando a porcentagem de censura sendo 20%, para tamanho de amostra n1 = 10, 

tem-se aproximadamente 2 tempos de sobrevivência censurados, e para tamanho de amostra 

n5 = 100 , tem-se aproximadamente 20 tempos censurados. 

A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, também aumenta a medida que o 

tamanho da amostra aumenta, considerando até 5% de dados de sobrevivência censurados. 

Contudo pode-se notar que para 10%, 15% e 20% de censura, e tamanho de amostra n5 = 100, 

a probabilidade de cobertura, fica bem abaixo do esperado (0.95). 

Para o intervalo de confiança t-Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de amostras 

pequenos n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30 com até 15% de censura, ou tamanho de amostras grandes 

n4 = 50, n5 = 100 e porcentagem de dados censurados até 10%, obtêm-se uma probabilidade 

de cobertura elevada, entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e 

considerando 15% e 20% de censura a probabilidade de cobertura é abaixo do esperado. 

24

Comparando os três tipos de intervalos de confiança, pode-se notar que para tamanho de 

amostra n1 = 10 ou até 5% de censura, o intervalo t-Bootstrap é o mais apropriado. 

Porém, considerando tamanho de amostra n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 ou n5 = 100, e 

porcentagem de censura de 10%, 15% ou 20%, o intervalo de confiança assintótico é “melhor”, 

ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior em relação aos intervalos p-Bootstrap e 

t-Bootstrap, como mostra as Figuras 4.2 e 4.3. 

25

ProbCobertura 


0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

TamanhoAmostra 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

● 


Figura 4.2: Probabilidade de cobertura variando o tamanho da amostra e considerando, respectivamente, 

0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro µ. 

26 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

PorcentagemCensura 

● 

● 

● 

● ● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 



0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 


Figura 4.3: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando, respectivamente, 

n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro µ. 

27 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●

4.3.2 Análise do Parâmetro β 



vivência censurados, parâmetro β. 


q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.935 

0.770 

0.930 

0.935 

0.785 

0.935 

0.940 

0.765 

0.925 

0.940 

0.800 

0.915 

0.930 

0.820 

0.920 

0.945 

0.840 

0.920 

0.955 

0.840 

0.925 

0.940 

0.835 

0.925 

0.925 

0.835 

0.920 

0.945 

0.830 

0.940 

0.950 

0.845 

0.935 

0.955 

0.840 

0.930 

0.950 

0.850 

0.930 

0.955 

0.870 

0.930 

0.955 

0.860 

0.940 

0.950 

0.860 

0.935 

0.950 

0.865 

0.950 

0.935 

0.870 

0.935 

0.945 

0.855 

0.945 

0.940 

0.870 

0.945 

0.965 

0.920 

0.920 

0.970 

0.905 

0.910 

0.965 

0.920 

0.930 

0.960 

0.915 

0.935 

0.960 

0.915 

0.925 

Para o parâmetro β, a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança assintótico 

aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de 

censura. Considerando um tamanho de amostra fixo, e variando a porcentagem de censura, 

pode-se notar que a probabilidade de cobertura é basicamente a mesma. 


tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de censura. Contudo sua pro- 

babilidade de cobertura está bem abaixo da esperada (0.95), excluso quando o tamanho da 

amostra é de 100 observações. 

Para o intervalo de confiança t - Bootstrap, pode-se notar que em geral, independente do 

tamanho da amostra e da porcentagem de censura, a probabilidade de cobertura esta próxima 

da probabilidade de cobertura esperada. 

Comparando os três tipos de intervalos de confiança, pode-se notar que os intervalos de 

confiança assintóticos e t - Bootstrap se destacam, ou seja, têm uma probabilidade de cobertura 

próxima da esperada (0.95), o que não acontece com o intervalo de confiança p - Bootstrap, 

exceto quando o tamanho da amostra é igual a 100, como pode-se observar nas Figuras 4.4 e 

4.5. 

28



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● 

● 

● 

● ● 

● ● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

● 



0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro β. 

29 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● ● 

● 

● ● ● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● ● 

● 

0 5 10 15 20 

● ● 

0 5 10 15 20 


● 

● 

● 


● 

● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● ● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 


● 

● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro β. 

30 

● 

● 

●

4.3.3 Análise do Parâmetro t0.25 

Tabela 4.3 : Probabilidade de cobertura dos intervalos assintóticos, p-Bootstrap e t-Bootstrap 


vivência censurados, parâmetro t0.25. 


q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.895 

0.865 

0.950 

0.885 

0.840 

0.960 

0.860 

0.845 

0.955 

0.835 

0.825 

0.950 

0.825 

0.860 

0.915 

0.925 

0.905 

0.955 

0.900 

0.895 

0.955 

0.885 

0.860 

0.935 

0.865 

0.835 

0.925 

0.820 

0.795 

0.915 

0.945 

0.920 

0.945 

0.925 

0.910 

0.940 

0.895 

0.875 

0.940 

0.865 

0.855 

0.920 

0.795 

0.805 

0.895 

0.920 

0.940 

0.930 

0.925 

0.930 

0.930 

0.875 

0.890 

0.920 

0.850 

0.850 

0.900 

0.795 

0.785 

0.855 

0.955 

0.955 

0.935 

0.900 

0.920 

0.935 

0.865 

0.875 

0.885 

0.800 

0.800 

0.830 

0.670 

0.665 

0.745 

Pode-se observar, da Tabela 4.3, que a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança 

assintótico para o parâmetro t0.25, aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, 

considerando até 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20%, para os tamanhos de 

amostras estudas, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da esperada. 

A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap também aumenta a medida que 

o tamanho da amostra aumenta, considerando até 5% de censura. Contudo pode-se notar 

que para 10%, 15% e 20% de censura, e considerando os tamanhos de amostras estudados, a 

probabilidade de cobertura, fica bem abaixo da esperada. 

Para o intervalo de confiança t - Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de amostras 

pequenos n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, ou tamanho de amostras grandes n4 = 50, n5 = 100 e 

porcentagem de censura até 10%, obtêm-se uma probabilidade de cobertura próxima a esperada 

(0.95), entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e considerando 15% 

e 20% de censura a probabilidade de cobertura é abaixo da esperada. 

Comparando os três tipos de intervalos de confiança, pode-se notar que para qualquer um dos 

tamanhos de amostra estudados (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer 

porcentagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap é “melhor” que 

31

os outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que o intervalo p-Bootstrap 

e o intervalo de confiança assintótico, como indicam as Figuras 4.6 e 4.7. 

32



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.65 0.75 0.85 0.95 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 


● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.25. 

33 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● ● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 


● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.65 0.75 0.85 0.95 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● ● 

● 

0 5 10 15 20 



● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.25. 

34 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.915 

0.900 

0.955 

0.895 

0.900 

0.955 

0.890 

0.895 

0.945 

0.875 

0.895 

0.930 

0.860 

0.930 

0.935 

0.935 

0.950 

0.955 

0.935 

0.940 

0.965 

0.905 

0.915 

0.935 

0.885 

0.910 

0.930 

0.840 

0.865 

0.895 

0.950 

0.960 

0.965 

0.940 

0.940 

0.965 

0.920 

0.925 

0.935 

0.885 

0.900 

0.915 

0.805 

0.850 

0.870 

0.950 

0.940 

0.945 

0.940 

0.955 

0.945 

0.880 

0.925 

0.940 

0.840 

0.860 

0.875 

0.750 

0.755 

0.795 

0.960 

0.965 

0.955 

0.935 

0.960 

0.950 

0.840 

0.855 

0.875 

0.705 

0.740 

0.755 

0.540 

0.555 

0.580 


assintótico para o parâmetro t0.50 aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, 

considerando até 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, considerando os 

tamanhos de amostras estudas, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da esperada (0.95). 

A probabilidade de cobertura do intervalo p-Bootstrap, também aumenta a medida que 



probabilidade de cobertura, fica abaixo da esperada. 



porcentagem de censura até 10%, obtêm-se uma probabilidade de cobertura próxima a esperada, 

entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e considerando 15% e 20% 

de censura, a probabilidade de cobertura é abaixo da esperada. 

Comparando os três tipos de intervalos de confiança, pode-se notar que para qualquer 

tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer por- 

centagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap é “melhor” que os 

35

outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que os intervalos p-Bootstrap 

e assintótico. 

36



0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 


● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

20 40 60 80 100 


● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



37 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

● 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● ● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.50. 

38 

● 

● 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.895 

0.820 

0.940 

0.910 

0.860 

0.930 

0.895 

0.885 

0.905 

0.905 

0.885 

0.885 

0.905 

0.950 

0.860 

0.940 

0.910 

0.955 

0.950 

0.945 

0.950 

0.945 

0.945 

0.915 

0.910 

0.940 

0.880 

0.885 

0.905 

0.820 

0.935 

0.925 

0.970 

0.965 

0.960 

0.975 

0.935 

0.965 

0.910 

0.920 

0.930 

0.860 

0.870 

0.885 

0.780 

0.970 

0.950 

0.970 

0.975 

0.965 

0.980 

0.970 

0.970 

0.950 

0.865 

0.895 

0.825 

0.790 

0.820 

0.710 

0.965 

0.965 

0.970 

0.970 

0.975 

0.955 

0.880 

0.895 

0.825 

0.750 

0.780 

0.700 

0.565 

0.595 

0.525 

Para o parâmetro t0.75 a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança assintótico 

aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando até 5% de censura. 

Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, considerando os tamanhos de amostras estudas, 

em geral, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da esperada. 


tamanho da amostra aumenta, considerando até 10% de censura. Contudo pode-se notar que 

para 15% e 20% de censura, e considerando tamanhos de amostra, n4 = 50 e n5 = 100, a 

probabilidade de cobertura fica abaixo da esperada. 


estudados (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100) e porcentagem de censura até 

10%, obtêm-se uma probabilidade de cobertura próxima a esperada (0.95), entretanto con- 

siderando uma porcentagem de censura de 15% ou 20% para qualquer tamanho de amostra, a 

probabilidade de cobertura do intervalo de confiança t-Bootstrap fica abaixo da esperada. 


tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para uma porcenta- 

gem de censura até 5% o intervalo t - Bootstrap é ”melhor”que os outros dois, ou seja, tem 

39

uma probabilidade de cobertura maior que o intervalo p-Bootstrap e o intervalo de confiança 

assintótico. 

Entretanto, para uma porcentagem de censura acima de 10% o intervalo de p-Bootstrap é 

“melhor” que os outros dois intervalos estudados, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura 

maior do que o intervalo assintótico e o intervalo t-Bootstrap, como mostra as Figuras 4.10 e 

4.11. 

40



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

20 40 60 80 100 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



41 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

Figura 4.11: Probabilidade de cobertura variando a porcentagem de censura considerando, 

respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.75. 

42 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●

4.4 Análise Considerando a Distribuição Weibull com µ = 2 e β = 1.5 

Mudando o parâmetro de forma da Distribuição Weibull para β = 1.5 e mantendo µ = 2, 

o valor do primeiro quartil, terceiro quartil e da mediana dos tempos de sobrevivência são 

dados, respectivamente por t0.25 = 0.8716, t0.75 = 2.4866 e t0.50 = 1.5664. A Figura 4.12 ilustra 

a função densidade de probabilidade considerando µ = 2 e β = 1.5, e a disposição dos três 

percentis calculados, onde o ponto em vermelho representa o 1 o quartil (t0.25) o ponto em azul 

representa a mediana (t0.50) e o ponto em verde representa o 3 o quartil (t0.75). 

f(t, μ, β) 

0.0 0.1 0.2 0.3 

● 

● 

● 

0 2 4 6 8 10 

Figura 4.12: Função densidade de probabilidade da Distribuição Weibull para µ = 2 e β = 1.5, 


43 

t






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.870 

0.885 

0.945 

0.885 

0.895 

0.955 

0.895 

0.900 

0.940 

0.910 

0.915 

0.910 

0.920 

0.900 

0.895 

0.945 

0.940 

0.95 

0.970 

0.960 

0.965 

0.945 

0.940 

0.945 

0.940 

0.920 

0.925 

0.915 

0.885 

0.870 

0.950 

0.960 

0.965 

0.955 

0.955 

0.960 

0.945 

0.945 

0.940 

0.940 

0.930 

0.925 

0.910 

0.880 

0.860 

0.945 

0.945 

0.965 

0.965 

0.970 

0.975 

0.960 

0.955 

0.955 

0.875 

0.865 

0.840 

0.810 

0.770 

0.745 

0.970 

0.965 

0.975 

0.975 

0.965 

0.965 

0.885 

0.870 

0.865 

0.780 

0.770 

0.730 

0.570 

0.575 

0.540 

Pode-se observar, com base na Tabela 4.6, que a probabilidade de cobertura do intervalo de 

confiança assintótico, aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando até 

10% de censura. Entretanto para 15% e 20% de censura, para tamanho de amostra n5 = 100, 

a probabilidade de cobertura é bem abaixo do esperado (0.95), devido a grande quantidade 

de dados censurados, uma vez que, considerando a porcentagem de censura sendo 20%, para 

tamanho de amostra n1 = 10 , tem-se aproximadamente 2 tempos censurados, e para tamanho 

de amostra n5 = 100 , tem-se aproximadamente 20 tempos censurados. 


tamanho da amostra aumenta, considerando até 5% de censura. Contudo, pode-se notar que 

para 10%, 15% e 20% de censura, e considerando um tamanho de amostra n4 = 50 e n5 = 100, 

a probabilidade de cobertura, fica bem abaixo da esperada. 






44


amostra n1 = 10 ou até 5% de censura o intervalo t - Bootstrap é “melhor” que os outros dois. 


porcentagem de censura em 10%, 15% ou 20%, o intervalo de confiança assintótico é ”melhor”, 

ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior em relação aos intervalos p-Bootstrap e 

t-Bootstrap. As Figuras 4.13 e 4.14 apresentam a probabilidade de cobertura de cada um dos 

três intervalos, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de censura. 

45



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● ● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● ● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

● 




46 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● ● 

0 5 10 15 20 


● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 



respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro µ. 

47 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.935 

0.770 

0.930 

0.935 

0.785 

0.935 

0.940 

0.765 

0.925 

0.940 

0.800 

0.915 

0.930 

0.820 

0.920 

0.945 

0.840 

0.920 

0.955 

0.840 

0.925 

0.950 

0.835 

0.925 

0.925 

0.835 

0.920 

0.945 

0.830 

0.940 

0.950 

0.845 

0.935 

0.955 

0.835 

0.930 

0.950 

0.850 

0.930 

0.955 

0.870 

0.930 

0.955 

0.860 

0.940 

0.950 

0.860 

0.935 

0.950 

0.865 

0.950 

0.935 

0.870 

0.935 

0.945 

0.855 

0.945 

0.940 

0.870 

0.945 

0.965 

0.920 

0.920 

0.970 

0.905 

0.910 

0.965 

0.920 

0.930 

0.960 

0.915 

0.935 

0.960 

0.915 

0.925 

Para o parâmetro β, a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança assintótico 

aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de 

censura. Entretanto considerando um tamanho de amostra fixo, e variando a porcentagem de 

censura, pode-se notar que a probabilidade de cobertura é basicamente a mesma e próxima a 

probabilidade esperada (0.95). 


tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de censura. Contudo sua proba- 

bilidade de cobertura está bem abaixo da esperada, excluso quando o tamanho da amostra é 

igual a 100. 

Considerando o intervalo de confiança t - Bootstrap, pode-se notar que, em geral, indepen- 

dente do tamanho da amostra e da porcentagem de censura, a probabilidade de cobertura esta 

perto da probabilidade esperada. 


confiança assintótico e t - Bootstrap se destacam, ou seja, têm uma probabilidade de cobertura 

perto da esperada, o que não acontece com o intervalo de confiança p - Bootstrap, exceto 

quando o tamanho da amostra é de 100 observações. As Figuras 4.15 e 4.16 apresentam a 

48

probabilidade de cobertura de cada um dos três intervalos, considerando o tamanho da amostra 

e a porcentagem de censura. 

49



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● 

● 

● 

● ● 

● ● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

● 




50 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● ● 

● 

● ● ● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● ● 

● 

0 5 10 15 20 

● ● 

0 5 10 15 20 


● 

● 

● 


● 

● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● ● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 


● 

● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro β. 

51 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.895 

0.865 

0.950 

0.885 

0.840 

0.960 

0.860 

0.840 

0.955 

0.835 

0.830 

0.950 

0.825 

0.835 

0.950 

0.925 

0.905 

0.955 

0.900 

0.895 

0.955 

0.885 

0.860 

0.935 

0.865 

0.835 

0.925 

0.820 

0.795 

0.915 

0.945 

0.920 

0.945 

0.925 

0.910 

0.940 

0.895 

0.875 

0.940 

0.865 

0.855 

0.920 

0.795 

0.805 

0.895 

0.920 

0.940 

0.930 

0.925 

0.930 

0.930 

0.875 

0.890 

0.920 

0.850 

0.850 

0.900 

0.795 

0.785 

0.860 

0.955 

0.945 

0.940 

0.900 

0.915 

0.935 

0.865 

0.855 

0.890 

0.800 

0.800 

0.830 

0.670 

0.665 

0.745 

Pode-se observar que a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança assintótico 

para o parâmetro t0.25 aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando 

até 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, considerando os tamanhos de 

amostras estudas, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da esperada. 




probabilidade de cobertura, fica bem abaixo da esperada. 






Comparando os três tipos de intervalos de confiança, pode-se notar que, em geral, para 

qualquer tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer 

porcentagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap é “melhor” do que 

52

os outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que os intervalos p-Bootstrap 


53



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.65 0.75 0.85 0.95 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 


● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.25 

54 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● ● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 


● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.65 0.75 0.85 0.95 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● ● 

● 

0 5 10 15 20 



● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.25 

55 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.915 

0.900 

0.955 

0.895 

0.900 

0.955 

0.890 

0.895 

0.945 

0.875 

0.895 

0.930 

0.860 

0.910 

0.935 

0.935 

0.950 

0.955 

0.935 

0.940 

0.965 

0.905 

0.915 

0.935 

0.885 

0.910 

0.930 

0.840 

0.865 

0.895 

0.950 

0.960 

0.965 

0.940 

0.940 

0.965 

0.920 

0.925 

0.935 

0.885 

0.900 

0.915 

0.805 

0.850 

0.870 

0.950 

0.940 

0.945 

0.940 

0.955 

0.945 

0.880 

0.925 

0.940 

0.840 

0.860 

0.875 

0.750 

0.755 

0.795 

0.960 

0.960 

0.960 

0.935 

0.950 

0.955 

0.840 

0.855 

0.880 

0.705 

0.740 

0.760 

0.540 

0.555 

0.580 

Pode-se observar, pela Tabela 4.9, que a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança 


considerando até 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, considerando 

os tamanhos de amostras estudas, em geral, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da 

esperada (0.95). 







porcentagem de censura até 10%, em geral, obtêm-se uma probabilidade de cobertura próxima 

a esperada, entretanto para tamanho de amostras grandes, n4 = 50, n5 = 100 e considerando 

15% e 20% de censura a probabilidade de cobertura é abaixo da esperada. 


tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer por- 

56

centagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap é “melhor” que os 

outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que os intervalos p-Bootstrap 


57



0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 


● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

20 40 60 80 100 


● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



58 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

● 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● ● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



59 

● 

● 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.895 

0.820 

0.940 

0.910 

0.860 

0.930 

0.895 

0.885 

0.905 

0.905 

0.885 

0.890 

0.905 

0.920 

0.865 

0.940 

0.910 

0.955 

0.950 

0.945 

0.950 

0.945 

0.945 

0.905 

0.905 

0.940 

0.875 

0.880 

0.905 

0.820 

0.935 

0.925 

0.970 

0.965 

0.960 

0.975 

0.935 

0.965 

0.910 

0.920 

0.930 

0.860 

0.870 

0.885 

0.780 

0.970 

0.950 

0.970 

0.975 

0.965 

0.980 

0.970 

0.970 

0.950 

0.865 

0.895 

0.825 

0.790 

0.82 

0.710 

0.965 

0.965 

0.975 

0.970 

0.970 

0.960 

0.880 

0.890 

0.830 

0.750 

0.775 

0.705 

0.565 

0.595 

0.495 

Para o parâmetro t0.75 a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança assintótico 

aumenta a medida que o tamanho da amostra aumenta, considerando até 5% de censura. 

Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, considerando os tamanhos de amostras estudas, 

a probabilidade de cobertura, em geral é abaixo da esperada. 





Considerando o intervalo de confiança t - Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de 

amostras estudados (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100) e porcentagem de censura 

até 10%, em geral, obtêm-se uma probabilidade de cobertura próxima a esperada, entretanto 

considerando uma porcentagem de censura de 15% ou 20% para qualquer tamanho de amostra, 

a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança t-Bootstrap fica abaixo da esperada. 


tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para uma porcenta- 

gem de censura até 5% o intervalo t - Bootstrap é ”melhor”que os outros dois, ou seja, tem 

60


assintótico. 

Entretanto, para uma porcentagem de censura acima de 10% o intervalo de p-Bootstrap 

fica “melhor” do que os outros dois intervalos estudados, ou seja, tem uma probabilidade de 

cobertura maior do que o intervalo assintótico e o intervalo t-Bootstrap, como mostra as Figuras 

4.21 e 4.22. 

61



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

20 40 60 80 100 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



62 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



63 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●

4.5 Análise Considerando a Distribuição Weibull com µ = 2 e β = 3 

Mudando o parâmetro de forma da distribuição Weibull para β = 3 e mantendo o parâmetro 

de escala µ = 2, o valor do primeiro quartil, terceiro quartil e da mediana dos tempos de 

sobrevivência são dados respectivamente por t0.25 = 1.3202, t0.75 = 2.2300 e t0.50 = 1.7699. 

A Figura 4.23 ilustra a função densidade de probabilidade considerando µ = 2 e β = 3, e 

a disposição dos três percentis calculados, onde o ponto em vermelho representa o 1 o quartil 

(t0.25) o ponto em azul representa a mediana (t0.50) e o ponto em verde representa o 3 o quartil 

(t0.75) 

f(t, μ, β) 

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 

● 

● 

● 

0 2 4 6 8 10 

Figura 4.23: Função densidade de probabilidade da Distribuição Weibull para µ = 2 e β = 3, 


64 

t






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.885 

0.885 

0.945 

0.905 

0.895 

0.955 

0.895 

0.900 

0.935 

0.895 

0.915 

0.905 

0.890 

0.900 

0.890 

0.945 

0.940 

0.970 

0.960 

0.960 

0.965 

0.930 

0.940 

0.945 

0.925 

0.920 

0.920 

0.895 

0.885 

0.865 

0.950 

0.960 

0.965 

0.950 

0.955 

0.960 

0.940 

0.945 

0.940 

0.935 

0.930 

0.920 

0.890 

0.880 

0.850 

0.945 

0.945 

0.965 

0.970 

0.970 

0.975 

0.950 

0.955 

0.950 

0.860 

0.865 

0.840 

0.770 

0.770 

0.745 

0.965 

0.965 

0.975 

0.970 

0.965 

0.965 

0.870 

0.870 

0.865 

0.760 

0.770 

0.735 

0.555 

0.575 

0.540 

Através da Tabela 4.11, pode-se observar que a probabilidade de cobertura do intervalo 

de confiança assintótico, para o parâmetro µ aumenta a medida que o tamanho da amostra 

aumenta, considerando até 10% de censura. Entretanto para 15% e 20% de censura, para 

tamanho de amostras n5 = 100, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da esperada, 

devido a grande quantidade de dados censurados, uma vez que, considerando a porcentagem 

de censura sendo 20%, para tamanho de amostra n1 = 10, tem-se aproximadamente 2 tempos 

de sobrevivência censurados, e para tamanho de amostra n5 = 100 , tem-se aproximadamente 

20 tempos de sobrevivência censurados. 



para 10%, 15% e 20% de censura, e considerando um tamanho de amostra n4 = 50 e n5 = 100, 

a probabilidade de cobertura, fica bem abaixo da esperada. 





de censura a probabilidade de cobertura é abaixo da esperada. 

65


amostra n1 = 10 ou até 5% de censura o intervalo t - Bootstrap é “melhor” do que os outros dois, 

ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que os intervalos p-Bootstrap e assintótico. 


porcentagem de censura em 10%, 15% ou 20%, em geral, o intervalo de confiança assintótico 

é “melhor”, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior em relação aos intervalos 

p-Bootstrap e t-Bootstrap. 

Através da Figuras 4.24 e 4.25 pode-se ver o comportamento da probabilidade de cobertura, 

para os três intervalos de confiança, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de censura. 

66



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● ● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● ● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 




67 

● 

● 

● 

●



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● ● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

0 5 10 15 20 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 



respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro µ. 

68 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.935 

0.770 

0.930 

0.935 

0.785 

0.935 

0.940 

0.765 

0.925 

0.940 

0.800 

0.915 

0.930 

0.820 

0.900 

0.945 

0.840 

0.920 

0.955 

0.840 

0.925 

0.940 

0.835 

0.925 

0.925 

0.835 

0.920 

0.945 

0.830 

0.940 

0.950 

0.860 

0.935 

0.955 

0.835 

0.930 

0.950 

0.850 

0.930 

0.955 

0.870 

0.930 

0.955 

0.860 

0.940 

0.950 

0.860 

0.935 

0.950 

0.865 

0.950 

0.935 

0.870 

0.935 

0.945 

0.870 

0.945 

0.940 

0.870 

0.945 

0.965 

0.920 

0.920 

0.970 

0.905 

0.910 

0.965 

0.920 

0.930 

0.960 

0.910 

0.935 

0.960 

0.915 

0.925 

Para parâmetro β, a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança assintótico au- 

menta a medida que o tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de censura. 

Entretanto considerando um tamanho de amostra fixo, e variando a porcentagem de censura, 

pode-se notar que a probabilidade de cobertura é basicamente a mesma. 


tamanho da amostra aumenta, independente da porcentagem de censura. Contudo sua proba- 

bilidade de cobertura está bem abaixo da esperada, excluso quando o tamanho da amostra é 

igual a 100. 

Para o intervalo de confiança t - Bootstrap, pode-se notar que em geral independente do 

tamanho da amostra e da porcentagem de censura, a probabilidade de cobertura esta perto da 

probabilidade esperada. 


confiança assintótico e t - Bootstrap se destacam, ou seja, têm uma probabilidade de cobertura 

perto da esperada, o que não acontece com o intervalo de confiança p - Bootstrap, exceto 

quando o tamanho da amostra é de n5 = 100. As Figuras 4.26 e 4.27, a seguir ilustram bem 

a probabilidade de cobertura dos três intervalos de confiança em questão, variando o tamanho 

69

da amostra e a porcentagem de censura. 

70



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● 

● 

● 

● ● 

● ● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

● 




71 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● ● 

● 

● ● ● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● ● 

● 

0 5 10 15 20 

● ● 

0 5 10 15 20 


● 

● 

● 


● 

● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● ● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 


● 

● ● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro β. 

72 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.895 

0.865 

0.950 

0.885 

0.845 

0.960 

0.860 

0.840 

0.955 

0.835 

0.825 

0.950 

0.825 

0.845 

0.950 

0.925 

0.905 

0.955 

0.900 

0.895 

0.955 

0.885 

0.860 

0.935 

0.865 

0.835 

0.925 

0.820 

0.795 

0.915 

0.945 

0.920 

0.945 

0.925 

0.910 

0.940 

0.895 

0.875 

0.940 

0.865 

0.855 

0.920 

0.795 

0.805 

0.895 

0.920 

0.940 

0.930 

0.925 

0.930 

0.930 

0.875 

0.890 

0.920 

0.850 

0.850 

0.900 

0.795 

0.785 

0.860 

0.955 

0.945 

0.940 

0.900 

0.915 

0.935 

0.865 

0.855 

0.885 

0.795 

0.800 

0.830 

0.670 

0.665 

0.745 

Pode-se observar, com base na Tabela 4.13, que a probabilidade de cobertura do intervalo 

de confiança assintótico para o parâmetro t0.25 aumenta a medida que o tamanho da amostra 

aumenta, considerando até 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, para 

tamanho de amostras estudas, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da esperada. 











tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer porcen- 

tagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap é “melhor” do que os 

73

outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que o intervalos p-Bootstrap e 

assintótico. 

74



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.65 0.75 0.85 0.95 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 


● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



75 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● ● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 


● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.65 0.75 0.85 0.95 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● ● 

● 

0 5 10 15 20 



● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



76 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●






q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.915 

0.900 

0.955 

0.895 

0.900 

0.955 

0.890 

0.895 

0.945 

0.875 

0.895 

0.930 

0.860 

0.910 

0.935 

0.935 

0.950 

0.955 

0.935 

0.940 

0.965 

0.905 

0.915 

0.935 

0.885 

0.910 

0.930 

0.840 

0.865 

0.895 

0.950 

0.960 

0.965 

0.940 

0.940 

0.965 

0.920 

0.930 

0.935 

0.885 

0.900 

0.915 

0.805 

0.850 

0.870 

0.950 

0.940 

0.945 

0.940 

0.955 

0.945 

0.880 

0.925 

0.940 

0.840 

0.860 

0.875 

0.750 

0.755 

0.795 

0.960 

0.960 

0.960 

0.935 

0.950 

0.955 

0.840 

0.860 

0.880 

0.705 

0.740 

0.760 

0.540 

0.555 

0.580 



considerando até 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, para tamanho 

de amostras estudas, a probabilidade de cobertura é bem abaixo da esperada. 











tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para qualquer porcen- 

tagem de censura (0%, 5%, 10%, 15% ou 20%) o intervalo t - Bootstrap é “melhor” do que os 

77

outros dois, ou seja, tem uma probabilidade de cobertura maior que o intervalo p-Bootstrap e 

o intervalo de confiança assintótico. 

78



0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● ● 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 


● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

20 40 60 80 100 


● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



79 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● ● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● ● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

● 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● ● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● ● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 



80 

● 

● 

● 

● 

●


Tabela 4.15: Probabilidade de cobertura dos intervalos assintóticos, p-Bootstrap e t- 

Bootstrap com 95% de confiança, variando o tamanho da amostra e a porcentagem de tempos 

de sobrevivência censurados, parâmetro t0.75. 


q1 = 0% 

q2 = 5% 

q3 = 10% 

q4 = 15% 

q5 = 20% 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

Assintótico 

p-Bootstrap 

t-Bootstrap 

0.895 

0.820 

0.940 

0.910 

0.860 

0.930 

0.895 

0.885 

0.905 

0.905 

0.885 

0.890 

0.905 

0.920 

0.865 

0.940 

0.910 

0.955 

0.950 

0.945 

0.950 

0.945 

0.945 

0.905 

0.905 

0.940 

0.875 

0.880 

0.905 

0.820 

0.935 

0.925 

0.970 

0.965 

0.960 

0.975 

0.935 

0.960 

0.910 

0.920 

0.930 

0.860 

0.870 

0.885 

0.780 

0.970 

0.950 

0.970 

0.975 

0.965 

0.980 

0.970 

0.970 

0.950 

0.865 

0.895 

0.825 

0.790 

0.820 

0.710 

0.965 

0.965 

0.975 

0.970 

0.970 

0.960 

0.880 

0.890 

0.830 

0.750 

0.775 

0.705 

0.565 

0.595 

0.495 



considerando até 5% de censura. Entretanto para 10%, 15% e 20% de censura, para tamanho 

de amostras estudas, a probabilidade de cobertura, em geral é abaixo da esperada. 





Considerando o intervalo de confiança t - Bootstrap, pode-se notar que para tamanho de 

amostras estudados (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100) e porcentagem de 

censura até 10%, obtêm-se uma probabilidade de cobertura próxima a esperada, entretanto 

considerando uma porcentagem de censura de 15% ou 20% para qualquer tamanho de amostra, 

a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança t-Bootstrap fica abaixo da esperada. 


tamanho de amostra (n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50, n5 = 100) e para uma porcentagem 

de censura até 5% o intervalo t - Bootstrap é “melhor” do que os outros dois, ou seja, tem 

81


assintótico. 

Entretanto, para uma porcentagem de censura acima de 10% o intervalo de p-Bootstrap 

fica “melhor” do que os outros dois intervalos estudados, ou seja, tem uma probabilidade de 

cobertura maior do que os intervalos assintóticos e t-Bootstrap. 

82



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● ● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● 


● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

20 40 60 80 100 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

20 40 60 80 100 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

20 40 60 80 100 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 


Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


0%, 5%, 10%, 15% e 20% de censura, parâmetro t0.75 . 

83 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●



0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● ● 

● ● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 



0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 



● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 


● 

● 

● 

● 

● 

● 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 


● 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

0 5 10 15 20 

● 

● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 

● 

● 


● 

● 

● 

Assintotico 

p−Bootstrap 

t−Bootstrap 


respectivamente, n1 = 10, n2 = 20, n3 = 30, n4 = 50 e n5 = 100, parâmetro t0.75 . 

84 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

● 

●

4.6 Conclusões 

Neste trabalho foi apresentado, primeiramente a caracterização da distribuição Weibull e 

com base na mesma foi apresentado também o procedimento para a construção dos intervalos 

de confiança assintótico, p - Bootstrap e t-Bootstrap, para os parâmetros µ, β, t0.25, t0.50, t0.75. 

Através da aplicação apresentada neste capítulo, observou-se as probabilidades de cober- 

tura de cada um dos três intervalos estudados onde, em geral, para o parâmetro de escala µ 

considerando até 10% de censura, para qualquer tamanho de amostra, tem-se que o intervalo de 

confiança t-Bootstrap tem uma probabilidade de cobertura próxima da esperada, 0.95, uma vez 

que os intervalos foram construídos com um nível de 95% de confiança. Contudo considerando 

até 10% de censura, a medida que o tamanho da amostra aumenta, os intervalos p - Bootstrap 

e o intervalo assintótico, aproximam-se da probabilidade de cobertura do intervalo t-Bootstrap. 

Ainda, para o parâmetro de escala µ, ao considerar 15% ou mais de censura, os três intervalos 

citados tiveram uma probabilidade de cobertura abaixo da esperada, principalmente quando o 

tamanho da amostra é grande (n4 = 50, n5 = 100). 

Para o parâmetro de forma β, em geral, independente do tamanho da amostra e da por- 

centagem de censura, o intervalo de confiança t - Bootstrap e o intervalo assintótico, possuem 

uma probabilidade de cobertura muito próxima a esperada. Já o intervalo p-Bootstrap, foi 

aumentando sua probabilidade de cobertura a medida que o tamanho da amostra aumenta, 

independente da porcentagem de censura. 

Para os parâmetros t0.25 (1 o quartil), t0.50 (Mediana) e t0.75 (3 o Quartil), em geral, con- 

siderando até 10% de censura, a probabilidade de cobertura do intervalo de confiança t-Bootstrap 

é muito próxima da probabilidade esperada, entretanto para porcentagem de censura acima de 

15%, a probabilidade de cobertura para o intervalo t - Bootstrap fica abaixo da esperada. 

Contudo o intervalo de confiança assintótico, a medida que o tamanho da amostra aumenta, 

sua probabilidade de cobertura aproxima-se da probabilidade de cobertura do intervalo t - 

Bootstrap. 

Foi calculado também a probabilidade de cobertura de cada parâmetro, alternando o parâmetro 

de forma (β) , onde este assumiu os valores β = 0.5 (Função de risco Decrescente) e β = 1.5, β = 

3 (Função de risco Crescente), onde observou-se que a probabilidade de cobertura é basicamente 

a mesma para os parâmetros em questão, ou seja, a forma da curva da função densidade de 

probabilidade não altera a probabilidade de cobertura dos intervalos de confiança estudados, ex- 

ceto para o parâmetro µ, onde quando β = 0.5, a probabilidade de cobertura para o parâmetro 

de escala é menor do que quando β = 1.5 ou β = 3, considerando o intervalo assintótico, pos- 

sivelmente indicando um erro padrão menor para o parâmetro de escala µ, quando a função de 

risco é decrescente. 

85

Apêndice 

A - Demonstração de Algumas Características da Distribuição Weibull 

A função de sobrevivência da Distribuição Weibull pode ser obtida através da relação: 

Logo: 

 

− 

f(t) = −S ′ 

(t). 

 

f(t) = S(t) e S(t) = − 

 

β 


β 

t 

exp − dt. 

µ 

Utilizando integração por substiuição tem-se: 

Portanto: 

β t 

x = − ⇒ 

µ 

dx 

dt 

−βtβ−1 

= 

µ β ⇒ dt = µβdx . 

−βtβ−1 S(t) = − β 

µ β 

 

t β−1 

exp [x] 

µ β 

dx 

= {exp [x]} dx 

= 

 

β 

t 

exp − . 

µ 

−βt β−1 

A função de risco da distribuição Weibull pode ser obtida através da seguinte relação: 

Logo: 

h(t) = 

β 


exp 

exp 

h(t) = f(t) 

S(t) . 

 

− 

− 

t 

µ 

 

β 

t 

µ 

β = β 

µ β tβ−1 , 

onde, através do teste da derivada primeira pode-se provar que, para β < 1 a função é decres- 

cente, para β > 1 a função é crescente e para β = 1 a função é constante. 

O p-ésimo percentil de uma variável aleatória T ≥ 0, com distribuiçãoWeibull pode ser 

obtido considerando 

tp 

0 

f(t; µ, β)dt = p ⇒ 

tp 

0 

 

β 


β 

t 

exp − dt = p. 

µ 

86

Logo, utilizando integral por substituição obtêm-se: 

Portanto 

Isolando tp tem-se: 

β t 

x = − ⇒ 

µ 

dx 

dt 

β 

µ β 

tp 

0 

−βtβ−1 

= 


−βtβ−1 t β−1 exp [x] µ β dx 

tp 

− 

0 

t 

− 

= p 

−βtβ−1 {exp [x]} dx 

 

β 

= p 

− exp 

| 

µ 

t=tp 

t=0 

 

β 

β 

tp 

0 

− exp − + exp − 

µ 

µ 

= 

= 

p 

p . 

− exp 

 

− 

 

β 

tp 

+ 1 = p 

µ 

tp = µ [− log(1 − p)] 1 

β . 

Para p = 0.25, 0.50 e 0.75 obtêm-se o primeiro quartil, mediana e o terceiro quartil, respec- 

tivamente. 

A moda da função densidade da distribuição Weibull coincide com o ponto máximo da 

densidade portanto, para obter a moda da densidade basta considerar: 

df(t) 

dt 

= 0, 

 

β 

d µ β tβ−1 

β 

t exp − µ 

dt 

= 0. 

Como f(t) é concava pode-se derivar o logaritmo de f(t), ou seja 

Logo: 

d log [f(t)] 

dt 

= 0. 

 

d log(β) − β log(µ) + (β − 1) log(t) − 

dt 

87 

 

β 

t 

µ 

= 0.

Portanto 

Isolando tm tem-se: 

(β − 1) 

tm 

− βtβ−1 m 

µ β 

µ β (β − 1) − tmβt β−1 

m 

tmµ β = 0 

= 0. 

t β m = µββ − µ β 

β 

 

(β − 1) 

tm = µ 

β 

A função Acumulada, F (t) pode ser obtida considerando: 

Logo: 

F (t) = 

t 

F (t) = 

0 

t 

utilizando integral por substituição, obtêm-se: 

Portanto: 

β t 

x = − ⇒ 

µ 

dx 

dt 

F (t) = β 

µ β 

0 

f(t; µ, β)dt. 

1 

β 

. 

 

β 


β 

t 

exp − dt, 

µ 

t 

0 

t 

−βtβ−1 

= 


−βtβ−1 t β−1 exp [x] µ β dx 

−βt β−1 

= − {exp [x]} dx 

= 

0 

β 

t 

− exp − | 

µ 

t=t 

= 

= 

t=0 

 

β 

β 

t 

0 

− exp − + exp − 

µ 

µ 

 

β 

t 

1 − exp − . 

µ 

O k-ésimo momento de uma variável aleatória T ≥ 0, com distribuição Weibull é dada por: 

E(T k ) = 

∞ 

0 

t k f(t; µ, β)dt = 

∞ 

0 

88 

t k 

 

β 


β 

t 

exp − dt. 

µ

Utilizando o método da substituição tem-se: 

Logo: 

x = 

sabe-se que pela substituição 

Portanto 

E(T k ) = 

β t 

⇒ 

µ 

dx 

dt 

E(T k ) = 

∞ 

onde Γ(·) , denota a função gama. 

0 

= βtβ−1 

µ β 

∞ 

0 

t = µx 1 

β . 

⇒ dt = µβdx . 

βtβ−1 t k exp(−x)dt, 

µ k x k 

β exp(−x)dt = µ k 

Γ 1 + k 

 

, 

β 

Contudo a média da variável aleatória T ≥ 0 com distribuição Weibull, é definida como o 

primeiro momento, logo para k = 1 tem-se: 

 

E(T ) = µΓ 1 + 1 

 

. 

β 

A variância da variável aleatória T ≥ 0 com distribuição Weibull, é definida como a diferença 

entre o segundo momento e o quadrado do primeiro momento, logo: 

V ar(T ) = E(T 2 ) − [E(T )] 2 = µ 2 

 

Γ 1 + 2 

 

− Γ 

β 

2 

 

1 + 1 

 

. 

β 

89

B - Programa 

Para a geração dos dados, processo de reamostragem e determinação os estimadores de 

máxima varossimilhança utilizou-se a macro apresentada a seguir. 

1 o p t i o n s nonotes n o d e t a i l s ; 

2 

3 %macro d e l e t a (n=,p=); 

4 data n u l l ; 

5 options NOXWAIT; 

Listagem 4.1: Programa SAS - Macro. 

6 c a l l system (” d e l c : \ emv o &n&p . . dat ” ) ; 

7 c a l l system (” d e l c : \ emv b &n&p . . dat ” ) ; 

8 c a l l system (” d e l c : \ a d i c o &n&p . . dat ” ) ; 

9 c a l l system (” d e l c : \ a d i c b &n&p . . dat ” ) ; 

10 run ; 

11 %mend d e l e t a ; 

12 %macro estimacao dados ( dados=,mu=, beta =, i n d i c e =,n=,p=); 

13 proc d a t a s e t s l i b r a r y=work ; d e l e t e emvs adic ; run ; 

14 proc p r i n t t o 

15 f i l e =”c : \ nda . dat ” new ; 

16 run ; 

17 

18 proc nlmixed data=&dados vardef=n cov tech=t r ; 

19 ods output ParameterEstimates = emvs ; 

20 ods output AdditionalEstimates = adic ; 

21 parms mu = &mu, beta = &beta ; 

22 bounds mu>0, beta >0; 

23 lnh = l o g ( beta)−beta ∗ l o g (mu)+( beta −1)∗ l o g ( time ) ; 

24 l n s = −(time /mu)∗∗ beta ; 

25 L = d e l t a ∗ lnh+l n s ; 

26 model L ˜ g e n e r a l (L ) ; 

27 estimate ” logmediana ” l o g (mu)+(1/ beta ) ∗ ( l o g (− l o g ( 1 − 0 . 5 0 ) ) ) ; 

28 estimate ”logQ1” l o g (mu)+(1/ beta )∗( l o g (− l o g ( 1 − 0 . 2 5 ) ) ) ; 


30 run ; 

31 

32 proc p r i n t t o ; run ; 

33 


35 s e t emvs ( keep=parameter estimate s t a n d a r d e r r o r ) ; 

90

36 nda = &i n d i c e ; 

37 f i l e ” c : \ emv o &n&p . . dat ” mod ; 

38 put nda ” ; ” parameter ” ; ” estimate ” ; ” s t a n d a r d e r r o r ; 

39 run ; 

40 


42 s e t adic ( keep=l a b e l estimate s t a n d a r d e r r o r ) ; 

43 nda = &i n d i c e ; 

44 f i l e ” c : \ a d i c o &n&p . . dat ” mod ; 

45 put nda ” ; ” l a b e l ” ; ” estimate ” ; ” s t a n d a r d e r r o r ; 

46 run ; 

47 %mend estimacao dados ; 

48 %macro bootstrap ( inpt =, seed =, s a m p l e s i z e =, r e p l i c a c a o =,mu=, beta =, i n d i c e= 

49 , n=,p=); 

50 proc d a t a s e t s l i b r a r y=work ; d e l e t e sample boot emvs adic ; run ; 

51 

52 proc s u r v e y s e l e c t data = &inpt 

53 out = sample boot ( keep=time d e l t a NumberHits r e p l i c a t e ) 

54 seed = &seed 

55 rep = &r e p l i c a c a o 

56 method= urs n = &s a m p l e s i z e noprint ; 

57 run ; 

58 

59 proc p r i n t t o f i l e =”c : \ nda . dat ” new ; 

60 run ; 

61 

62 proc nlmixed data=sample boot vardef=n cov tech=t r ; 

63 ods output ParameterEstimates = emvs ; 

64 ods output AdditionalEstimates = adic ; 

65 parms mu = &mu, beta = &beta ; 

66 bounds mu>0, beta >0; 

67 lnh = l o g ( beta)−beta ∗ l o g (mu)+( beta −1)∗ l o g ( time ) ; 

68 l n s = −(time /mu)∗∗ beta ; 

69 L = numberhits ∗( d e l t a ∗ lnh+l n s ) ; 

70 model L ˜ g e n e r a l (L ) ; 

71 estimate ” logmediana ” l o g (mu)+(1/ beta ) ∗ ( l o g (− l o g ( 1 − 0 . 5 0 ) ) ) ; 



74 by r e p l i c a t e ; 

75 run ; 

91

76 

77 proc p r i n t t o ; run ; 

78 


80 s e t emvs ( keep=parameter estimate s t a n d a r d e r r o r ) ; 

81 nda = &i n d i c e ; 

82 f i l e ” c : \ emv b &n&p . . dat ” mod ; 

83 put nda ” ; ” parameter ” ; ” estimate ” ; ” s t a n d a r d e r r o r ; 

84 run ; 

85 


87 s e t adic ( keep=l a b e l estimate s t a n d a r d e r r o r ) ; 

88 nda = &i n d i c e ; 

89 f i l e ” c : \ a d i c b &n&p . . dat ” mod ; 

90 put nda ” ; ” l a b e l ” ; ” estimate ” ; ” s t a n d a r d e r r o r ; 

91 run ; 

92 %mend bootstrap ; 

93 %macro geracao (mu=, beta =,n=, seed =,p=); 

94 data o r i g i n a l ( drop=i U) ; 

95 do i = 1 to &n ; 

96 U = uniform(&seed ) ; 

97 time = &mu∗(− l o g (1−U))∗∗(1/& beta ) ; 

98 d e l t a = ranbin(&seed ,1 ,&p ) ; 

99 output ; 

100 end ; 

101 %mend geracao ; 

102 %macro cobertura (mu=, beta =,p=,n=,nboot1=,nboot2 =); 

103 %d e l e t a (n=&n , p=&p ) ; 

104 %do j = 1 %to &nboot1 ; 

105 %geracao (mu=&mu, beta=&beta , n=&n , seed=&j ∗1000 ,p=&p ) ; 

106 %estimacao dados ( dados=o r i g i n a l ,mu=&mu, beta=&beta , i n d i c e=&j , n=&n , p=&p ) ; 

107 %bootstrap ( inpt=o r i g i n a l , seed=&j , s a m p l e s i z e=&n , r e p l i c a c a o=&nboot2 ,mu=&mu, 

108 beta=&beta , i n d i c e=&j , n=&n , p=&p ) ; 

109 %end ; 

110 %mend cobertura ; 

Para a contagem dos intervalos de confiança que continham o verdadeiro valor do parâmetro 

de interesse, foi utilizado a proc iml do SAS. 

92

Referências Bibliográficas 

AHMAD, K.E., MOUSTAFA, H.M., e ABD-ELRAHMAN, A.M. (1997). Approximate 

Bayes estimation fo mixtures of two Weibull distributions under type-2 censoring. Journal of 

Statistical Computation and Simulation, 58(3): 269-285. 

BERGER, J.M. e SUN, D.O. (1993). Bayesian analysis for the poly-Weibull distribution. 

Journal of the American Statistical Association, 88(424):1412-1418. 

BERGER, J.O.; SUN, D. Bayesian inference for a class of poly-Weibull distribuition. In: 

Bayesian analysis in statisticas and econometrics, essys in Honor of Arnold Zellner. Wiley: 

New York: Berri, D. A., Chaloner, K. M. and Geweke, J. K.,1996. 

1994. 

COLLET, D. Modelling survival data in medical research. New York: Chapman and Hall, 

COX, D. R. (1972). Regression models and life-tables (with discussion) Journal of the Royal 

Statistical Society, B, 34: 187-220. 

DEVROYE, L Non-uniform random variate generation. New York: Springer-Verlag, 1986. 

EFRON, Bradley e TIBSHIRANI, Robert J. (1993), An introduction to the Bootstrap, vol. 

57 of Monographs on Statistics and Applied Probability, Chapman and Hall, New York. 

GELMAN, A.; RUBIN, D. B. Inference from iterative simulation using multiple sequences. 

Statistical Science, 1992. 

GUITANY, M. E.; MALLER, R. A. Asymptotic results for exponencial mixture models 

with long term survivors. Statistics, 1992. 

GILKS, W. R. Full conditional distributions. In: Markov chain monte carlo in practice. 

London: Chapman and Hall, 1996. 

HALL, P. Theorical comparison of Bootstrap confidence intervals, Ann. Stat. 16(3) (1988) 

927-985. 

JENG, Shuen-Lin; MEEKER, Willian Q. Asymptotic Properties of Bootstrap Likelihood 

Ratio Statistics for Time Censored Data, 2003. 

JIANG, R.; MURTHY, D. N. P. Mixture of Weibull distributions parametric characteriza- 

tion of failure rate function. Applied Stochastic Models and Data Analysis, 1998. 

JOHNSON, L. N. e Kotz, S. (1995). Continuous Univariate Distributions. John Wiley and 

Sons, New York. 

LARSON, H. Introduction to Probability Theory and Statistical Inference, 2 o ed. John 

Wiley, 1974. 

93

LAWLESS, J. F. Statistical models and methods for lifetime data. New York: John Wiley 

and Sons, 1982. 

MAZUCHELI, J.; LOUZADA-NETO, F.; ACHCAR, J. A. Bayesian inference for polyhaz- 

ard models in the presence of covariates. Computational Statistics and Data Analysis, 2001. 

MEEKER, WILLIAN. Asymptotic Properties of Bootstrap Likelihood Ratio Statistics for 

Time Censored Data, 2003. 

MUDHOLKAR, G. S.; KOLLIA, G. D. Generalized Weibull family: a structural analysis. 

Communications in Statistics. Theory and Methods, 1994. 

MUDHOLKAR, G. S., Srivastava, D.K., e Kollia, G.D. (1996). A generalization of the 

Weibull distribution with application to the analysis of survival data. Journal of the American 

Statistical Association, 91(436):1575-1583. 

RAO and TOUTENBURG, Linear models. Springer Series in Statistics. Springer-Verlag, 

New York, second edition. Least squares and alternatives, With contributions by Andreas 

Fieger, 1999. 

RIPLEY, B. D. Modelling spatial patterns (with discussion). Journal of the Royal Statistical 

Society, B, V.39 p. 172-212, 1977. 

SINHA, S. K. Bayesian estimation of the parameters and reliability function of a mixture 

of Weibull life distributions. Journal of Statistical Planning and Inference, 1987. 

SMITH, R.L. e NAYLOR, J. C. (1987). A comparison of maximum likelihood and Bayesian 

estimators for the three-parameter Weibull distribution. Journal of the Royal Statistical Society, 

C, 36(3):358-369. 

WEIBULL, W.A. A statistical distribution of wide applicability, Journal of Applied Me- 

chanics, 1951. 

WOODWARD, W.A. e GUNST, R.F.(1987). Using mixtures of Weibull distributions of 

estimate mixing proportions. Computational Statistics and Data Analysis, 5(3):163-176. 

94

Probabilidade de Cobertura dos Intervalos de Confiança ... - Uem

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