Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano Wilson Hugo C. Freire

As Equações de Hamilton
Retomemos a hamiltoniana de um sistema
onde
H =
pj ˙qj − L, (4-9)
j
pj = ∂L
∂ ˙qj
≡ fj(q, ˙q, t).
Se admitirmos que as funções fj podem ser invertidas para fornecer os ˙qj como funções
de (q, p, t) então a hamiltoniana passa a ter q, p e t como variáveis independentes ao
invés de q, ˙q e t:
H(p, q, t) =
pj ˙qj(q, p, t) − L(q, ˙q(q, p, t), t).
j
Isto pode ser verificado também tomando diretamente a diferencial de H na expressão
(4-9):
dH =
( ˙qjdpj + pjd ˙qj) − dL =
j
=
˙qjdpj + pjd ˙qj −
j
∂L
dqj −
∂qj
∂L
d ˙qj −
∂ ˙qj
∂L
dt =
∂t
=
˙qjdpj + pj − ∂L
d ˙qj −
∂ ˙qj
∂L
dqj −
∂qj
∂L
∂t dt
j
e com a definição de momento canônico (4-7) obtemos
o que nos indica que H = H(p, q, t).
dH =
˙qjdpj − ∂L
j
j
∂qj
dq j − ∂L
∂t dt
Vale salientar que para se chegar a este resultado não se usou as equações de movi-
mento (3-6) mas apenas a definição de momento pj de modo que H é função de (p, q, t)
independentemente do princípio de Hamilton e, portanto, está definida como função
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