Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano Wilson Hugo C. Freire

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até em pontos que não constituem a trajetória seguida pelo sistema. Mas se consider- armos somente os pontos da trajetória seguida pelo sistema então, pelas equações de Euler-Lagrange (3-6), temos dH = ˙qjdpj − d ∂L dqj − dt ∂ ˙qj ∂L dt ∴ ∂t j ∴ dH = ˙qjdpj − Por outro lado, sendo H(p, q, t), temos j dH = ∂H dpj + ∂pj ∂H ∂qj Comparando estas duas últimas equações j j j j ˙pjdq j − ∂L ∂t dt. dq j + ∂H ∂t dt. ˙qj = ∂H , (4-10) ∂pj ˙pj = ∂H , (4-11) ∂qj − ∂L ∂t ∂H = . (4-12) ∂t A terceira destas equações é uma consequência da definição de H: ∂H ∂t ∂ = pj ˙qj(q, ˙q, t) − L(q, ˙q(p, q, t), t) = ∂t j = j pj ∂ ˙q ∂t − ∂L ∂ ˙qj ∂ ˙qj − ∂t ∂L ∂t ; tendo em vista a definição de momento canônico (4-7), obtemos portanto ∂H ∂t As duas outras equações, (4-10) e (4-11), = −∂L ∂t . ˙qj = ∂H , ∂pj 16
˙pj = ∂H , j = 1, ..., n, ∂qj são as equações de Hamilton que correspondem as equações de movimento no formalismo hamiltoniano para o sistema em consideração. Neste formalismo os estados do sistema são representados por pontos (p, q) no chamado espaço de fases deste sistema. Note que as equações hamiltonianas formam um sistema de 2n equações diferenciais de primeira ordem em (p, q) de modo que sua solução geral, digamos pj = pj(t; C1, ..., Cn), qj = qj(t; D1, ..., Dn), envolve 2n constantes de integração, as quais podem ser determinadas univocamente mediante condições iniciais, como p(t0) = P e q(t0) = Q. O quadro abaixo compara paralelamente os formalismos lagrangiano e hamiltoniano: (figura) 17
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