Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano Wilson Hugo C. Freire

onde ˙q = dq/dt é a derivada de q. Note que para cada q no espaço F temos que A[q]
é um número real bem definido e, então, A é de fato um funcional. Note que o valor
do funcional A no “ponto”(função ou curva de R n ) q, denotado por A[q], depende em
geral não apenas de um valor específico q(t) (de q em um certo t) mas de todos os
valores da função q.
Especificamente os funcionais que descrevem os sistemas mecânicos são da forma
A[q] =
t2
t1
L(q(t), ˙q(t), t) · dt (2-1)
onde L(q, ˙q, t) ≡ L(q1, ...qn, ˙q1, ... ˙qn, t) é uma função diferenciável a valores numéricos
(em R). No contexto da mecânica, como veremos mais adiante, L é a lagrangiana do
sistema em consideração.
Derivada Funcional
O conceito chave no Cálculo Diferencial de funções é o de derivada; no contexto das
funções de várias variáveis surgem as derivadas parciais e, em geral, as derivadas dire-
cionais ou derivadas de Gateaux (as derivadas parciais são derivadas direcionais par-
ticulares) além do conceito mais forte de diferenciabilidade (de Frechet). No Cálculo
Variacional há o conceito de derivada de um funcional (derivada funcional), o qual
desempenha para os funcionais o mesmo papel que as derivadas direcionais desempen-
ham para funções de várias variáveis (Gelfand-Fomin, Calculus of Variations, Dover
inic., 2000, pg. 27). Vejamos o conceito de derivada funcional e a noção de ponto
crítico (ou estacionário) de um funcional.
Lembremos que no caso de uma função g : D ⊂ R m −→ R a derivada direcional de g
no ponto x = (x1, ..., xm) ∈ D relativamente ao vetor v = (v1, ..., vm) ∈ R m , é denotada
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