Modelagem de Sistemas Dinâmicos Determin´ısticos

Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Elétrica
ENG04020-Tópicos Especiais em Automação e Controle I
Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Determinísticos
I Introdução
Prof. Walter Fetter Lages
17 de junho de 2002
Nesta aula será feita uma breve revisão de vários modelos para sistemas
dinâmicos determinísticos. Por determinístico entende-se modelos que descrevem
completamente a resposta do sistema, ao contrário de modelos estocásticos,
cuja resposta contém componentes aleatórios definidos em algum
espaço de probabilidade.
Em particular, serão abordados modelos no espaço de estados, representações
utilizando operadores diferença, modelos DARMA e funções de
transferência.
II Modelos no Espaço de Estados
Será utilizada a seguinte notação para modelos no espaço de estados 1 :
x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) x(0) = x0
y(t) = Cx(t)
onde u(t) é a entrada (r × 1), y(t) é a saída (m × 1), x(t) é o estado (n × 1)
e xo é o estado inicial.
1 Note-se que, embora seja utilizada a variável t, trata-se de um modelo discreto no
tempo
1

III Representações Utilizando Operador Diferença
Modelos no espaço de estados são representados por uma equação a diferenças
de primeira ordem. Outras representações podem ser obtidas utilizando-se
equações a diferenças de ordem superior.
De forma a poder representar estes modelos de forma conveniênte, definese
o operador q, denominado deslocamento em avanço. Ou seja:
e conseqüentemente:
qy(t) △ = y(t + 1) para t ≥ 0
q −1 y(t) △ = y(t − 1) para t ≥ 1 q −1 y(0) △ = 0
q i y(t) △ = y(t + i) para t ≥ 0
q −i y(t) △ = y(t − i) para t ≥ i q −i y(0) △ = 0 para 0 ≤ t < i
Conidere agora a equação a diferenças de primeira ordem:
que pode ser escrita na forma:
y(t + 1) + ay(t) = u(t) t ≥ 0
(q + a)y(t) = u(t) t ≥ 0
Analogamente, utilizando-se o operador diferença, um sistema dinâmico
linear genérico pode ser escrito na forma
P (q)z(t) = Q(q)u(t) t ≥ 0
y(t) = R(q)z(t)
com condições iniciais adequadas para z(t) e onde P (q), Q(q) e R(q) são
matrizes polinomiais.
A representação utilizando-se o operador diferença inclui o modelo no
espaço de estados como um caso especial quando
P (q) = qI − A
Q(q) = B
R(q) = C
Z(t) = x(t)
Por outro lado, a representação utilizando o operador diferença apresenta
duas formas particularmente interessantes: representação com operador
diferença à direita e representação com operador diferença à esquerda.
2

Na representação com operador diferença à direita, o modelo assume a
seguite forma:
Dr(q)z(t) = u(t) t ≥ 0
y(t) = Nr(q)z(t)
Já na representação com operador diferença à esquerda, o modelo assume
a seguite forma:
ou equivalentemente
Dl(q)z(t) = Nl(q)u(t) t ≥ 0
y(t) = z(t)
Dl(q)y(t) = Nl(q)u(t) t ≥ 0
III.1 Representação com Operador Diferença à Direita
Esta forma de modelo (1) também pode ser escrita como:
Dr(q)
Nr(q)
z(t) =
u(t)
y(t)
t ≥ 0
No caso SISO, Dr(q) e Nr(q) são polinômios escalares na forma:
Dr(q) = a0q n + a1q n−1 + · · · + an
Nr(q) = b1q n−1 + · · · + bn
O grau de Nr(q) é (n − 1) ou menor para garantir que a função de transferência
associada seja estritamente própria, ou seja,
H(z) =
b1z n−1 + · · · + zn
a0z n + a1z n−1 + · · · + zn
Com as suposições acima, a representação com operador diferença à direita
é controlável e pode-se obter a partir dela um modelo no espaço de
estados controlável.
O modelo (1) pode ser escrito na forma
onde
[a0q n + L(q)] z(t) = u(t) t ≥ 0
3
(1)
(2)

L(q) = LΨ(q)
Ψ(q) T =
q n−1 q n−2 · · · 1
L =
Similarmente, N(q) pode ser expresso na como
N(q) = NΨ(q)
N =
b1 · · · bn
e portanto, o sistema (1) pode ser descrito por
a1 · · · an
qnz(t) = − 1
1
LΨ(q)z(t) + u(t) t ≥ 0
a0 a0
y(t) = NΨ(q)z(t)
Definido-se o vetor de estados
x(t) = Ψ(q)z(t) =
pode-se escrever o modelo no espaço de estados
⎡
⎢
x(t + 1) = ⎢
⎣
y(t) = Nx(t)
− a1
a0
1
. ..
z(t + n − 1) · · · z(t) T
· · · − an
a0
1 0
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ x(t) + ⎢
⎦ ⎣
1
a0
0.
0
⎤
⎥
⎦ u(t)
Esta expressão é denominda forma controlador e é completamente controável.
Note-se que existe uma relação de um-para-um entre os coeficientes
da forma controlador, os coeficientes da representaçã com operador diferença
à direita e os coeficientes da função de transferência.
III.2 Representação com Operador Diferença à Esquerda
Esta forma de modelo (2) também pode ser escrita como:
Dl(q)y(t) = Nl(q)u(t) t ≥ 0 (3)
No caso SISO, Dl(q) e Nl(q) são polinômios escalares na forma:
Dl(q) = a0q n + a1q n−1 + · · · + an
Nl(q) = b1q n−1 + · · · + bn
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Tal como no representação com operador diferença à direita, aqui também
o grau de Nl(q) é (n−1) ou menor para garantir que a função de transferência
associada seja estritamente própria.
Com as suposições acima, a representação com operador diferença à esquerda
é observável e pode-se obter a partir dela um modelo no espaço de
estados observável.
O modelo (3) pode ser escrito na forma
y(t) = − a1
y(t − 1) · · · − an
y(t − n) + b1
u(t − 1) · · · + bn
u(t − n)
a0
a0
que pode, para t ≥ n, ser expresso como
y(t) = − a1
y(t − 1) + b1
u(t − 1) + r1(t − 1)
a0
r1(t) = − a2
y(t − 1) + b2
u(t − 1) + r2(t − 1)
a0
Definindo-se o vetor de estados 2
a0
a0
a0
rn−1(t) = − an
y(t − 1) + bn
u(t − 1)
x(t) =
a0
a0
y(t) r1(t) · · · rn−1(t) T
que é denominada forma observador e é completamente observável. Obviamente,
este resultado é o dual do resultado obtido para a representação com
operador diferença à direita.
IV Modelo DARMA
Neste modelo, o vetor de saídas atual é expresso como uma combinação linear
das saídas anteriores e das entradas anteriores:
A0y(t) = − n1
j=1 Ajy(t − j) + m1
j=1 Bju(t − j − d) t ≥ 0 (4)
onde A0 é quadrada e não singular e d representa um atraso. As dimensões
de y(t) e u(t) são respectivamente m e r.
2 Notar o erro na definição em [1]. Lá, x(t) está definido como x(t) T =
y(t) r1(t) · · · rn−1(t) T
5
.
a0

O termo dependente dos valores anteriores de y é denominado autoregressivo
e o termo dependente de u é denomindado componente de média móvel,
daí o nome do modelo (Deterministic AutoRegressive with Moving Average).
Utilizando q −1 , o modelo (4) pode ser expresso como
onde
A(q −1 )y(t) = B(q −1 )u(t) t ≥ 0 (5)
A(q −1 ) = A0 + A1q −1 + · · · + An1q −n1
B(q −1 ) =
B0 + B1q −1 + · · · + Bm1q −m1
q −d
Comparando-se as expressões (3) e (5) percebe-se que o modelo DARMA
é uma representação com operador diferença à esquerda em termos de q −1 .
Portanto, as mesmas propriedades são válidas, em especial a equivalência
com um modelo no espaço de estados observável. Note-se ainda que o modelo
DARMA pode representar as propriedades de entrada-saída de um modelo
no espaço estados genérico (não necessariamente controlável e observável).
A expressão (5) pode ser normalizada de forma que A0 = I, multiplicando-
se ambos os lados por A −1
0 . Neste caso, o modelo DARMA pode ser expresso
como
y(t) = θ T φ(t − 1) t ≥ 0
onde θ T é uma matriz m×p de parâmetros dependentes de A(q −1 ) e de B(q −1 )
e φ(t) é um vetor contendo os valores passados das saídas e das entradas.
Referências
[1] G. C. Goodwin and K. S. Sin. Adaptive Filtering, Prediction and Control.
Prentice-Hall Information and System Sciences Series. Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, NJ, 1984.
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