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Escola Secundária Dr. Júlio Martins I Ano lectivo: 2005/2006 I 12º Ano I Turmas: B e C
Resumo do Tema Sucessões
1. Definição: Uma sucessão de números reais, ( a n ) , é uma função real de variável
natural em que o domínio é o conjunto dos números naturais IN .
n é a urdem do termo ( n∈ IN ) ;
sucessão.
2. Sucessões monótonas:
a n é o termo de ordem n ( an∈ IR)
; ( a n ) é a
Uma sucessão ( a n ) é crescente se e só se ∀n∈IN, an+ 1 −an≥ 0.
Uma sucessão ( a n ) é estritamente crescente se e só se ∀n∈IN, an+ 1 − an>
0.
Uma sucessão ( a n ) é decrescente se e só se ∀n∈IN, an+ 1 −an≤ 0.
Uma sucessão ( a n ) é estritamente decrescente se e só se
∀n∈IN, a − a < 0.
n+
1
n
3. Sucessões limitadas.
Definição: Uma sucessão ( a n ) é limitada se existirem dois números reais m e
M t ais que m≤an≤M, ∀n∈ IN .
O número m é minorante do conjunto dos termos da sucessão ( an ) se e só se m
é menor ou igual que qualquer termo de ( a n ) .
O número M é majorante do conjunto dos termos da sucessão ( an ) se e só se M
é maior ou igual que qualquer termo de ( a n ) .
4. Progressões aritméticas.
Definição: Uma sucessão ( a n ) é uma progressão aritmética se existe um
número real r , tal que an+ 1 anr, n IN
− = ∀ ∈ .
Ao número r chama-se razão da progressão aritmética,
Propriedade: O termo geral a n de uma progressão aritmética é dado por
n
1
( 1)
( )
a = a + n− × r .
an = ap+ n− p × r,
sendo a p um termo qualquer.
Monotonia: Se r > 0 , ( an ) é estritamente crescente.
Se r < 0 , ( an ) é estritamente decrescente.
Se r = 0 , ( an ) é constante.
Soma dos termos de uma progressão aritmética.
Propriedade: Em n termos consecutivos de uma progressão aritmética, a soma
dos termos igualmente distanciados dos extremos é igual à soma dos
extremos.
Propriedade: A soma, Sn = a1+ a2+ ... + an−1+ an,
dos n primeiros termos de uma
a1+ an
progressão aritmética ( a n ) é dada por Sn= × n.
2
ap+ an
ap+ ap+ 1+ ... + an−1+ an = Sn− p+ 1= × ( n− p+ 1)
= Sn− Sp−1.
2
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
1

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5. Progressões geométricas.
Definição: Uma sucessão ( a n ) de termos não nulos é uma progressão
an+
1 geométrica se existe um número real r , tal que = r, ∀n∈ IN .
an
Ao número r chama-se razão da progressão geométrica.
Propriedade: O termo geral
n 1 ana1r a n de uma progressão geométrica é dado por
− = × .
n p
an ap r −
Monotonia:
= × , sendo a p um termo qualquer.
Se r < 0 , ( a n ) não é monótona.
Se 0< r < 1 e a 1 < 0 , ( a n ) é monótona crescente.
Se 0< r < 1 e a 1 > 0,
( a n ) é monótona decrescente.
Se r = 1,
( a n ) é constante.
Se r > 1 e a 1 < 0 , ( a n ) é monótona decrescente.
Se r > 1 e a 1 > 0,
( a n ) é monótona crescente.
Soma dos termos de uma progressão geométrica.
S = a + a + ... + a + a , dos n primeiros termos de uma
Propriedade: A soma, n 1 2 n−1
n
6. Limites de Sucessões.
n 1−
r
S = a × , r ≠1
1−
r
n− p+
1 1−
r
ap + ap+ 1+ ... + an−1+ an = Sn− p+ 1= ap× = Sn−Sp−1. 1−
r
progressão geométrica ( a n ) é dada por n 1
Definição: Diz-se que uma sucessão ( a n ) converge para um número real L se,
qualquer que seja o número real positivo δ , existe uma ordem p tal
que, a partir dessa ordem, an− L < δ .
lim a = L ⇔∀δ > ∃ p∈IN : n> p⇒ a − L < δ .
Simbolicamente: ( ) 0
Infinitamente grandes:
n n
( ) 0
lim a = L ⇔∀δ > ∃ p∈IN : n> p⇒L− δ < a < L+
δ .
Definição: Diz-se que uma sucessão ( )
n
n n
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
a é infinitamente grande positivo e
escreve-se lim( a n ) =+∞ ou an →+∞ se e só se, qualquer que seja o
número positivo L , existe uma ordem a partir da qual os termos de ( a n )
são maiores que L .
Simbolicamente: a →+∞ ⇔∀L> 0 ∃ p∈IN : n> p⇒ a > L.
n n
.
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Definição: Diz-se que uma sucessão ( a n ) é infinitamente grande negativo e
escreve-se lim( a n ) =−∞ ou an →−∞ se e só se,( − an
) é um
infinitamente grande positivo
Definição: Diz-se que uma sucessão ( a n ) é infinitamente grande em módulo e
escreve-se lim( a n ) =∞ ou an →∞ se e só se,( a n
grande positivo
) é um infinitamente
Classificação das sucessões quanto à existência e natureza do limite:
⎧
⎪
Convergentes: a →L,
em que Léum n.º real
n
⎪
⎧Pr
opriamente divergentes:
⎪
⎪
Sucessões ⎨
⎪an→+∞;
an
→−∞
⎪Divergentes
( nãoconvergentes) ⎨
Oscilantes :
⎪
⎪
n
⎪ ⎪a
→∞ ou a = ( −1)
⎩
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
⎩
n
n
por exemplo
Definição: Subsucessão de uma sucessão dada é uma sucessão que se obtém da
primeira suprimindo alguns termos.
Propriedade: Todas as sucessões que tendem para +∞ ou são crescentes ou têm
subsucessões crescentes.
Propriedade: Se uma sucessão é um infinitamente grande não é limitada.
Se uma sucessão é não limitada e não é um infinitamente grande,
então:
• admite pelo menos uma subsucessão que é um infinitamente
grande;
• admite pelo menos uma subsucessão limitada.
Teoremas sobre infinitésimos e infinitamente grandes:
Teorema: Se ( a n ) é um infinitamente grande e an ≠0, ∀ n∈IN , então 1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟
a ⎟
⎝ n ⎠
infinitésimo.
Teorema: Se ( a n ) é um infinitésimo e an ≠0, ∀ n∈IN , então
infinitamente grande.
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
a ⎟
⎝ n ⎠
é um
é um
Teoremas sobre sucessões convergentes:
Teorema da unicidade do limite: O limite de uma sucessão convergente é único.
Teorema: O limite de uma sucessão constante é a própria constante.
Teorema: Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Teorema: Se uma sucessão ( )
n
a é convergente para L , qualquer subsucessão de
( )
n
a é convergente para L .
Propriedade: Se duas ou mais subsucessões de uma sucessãosão convergentes
para o mesmo limite L e englobam entre si todos os termos da
sucessão então o limite da sucessão é L .
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Operações com sucessões convergentes.
Teorema: Se ( u n ) e ( vn ) são duas sucessões convergentes com limites,
respectivamente, a e b , então ( u + v ) é convergente e tem por limite
a+ b.
Teorema: Se ( )
n
n n
u e ( v ) são duas sucessões convergentes com limites,
respectivamente, a e b :
• a sucessão ( u v )
n
× é convergente para a b
n n
⎛u⎞ n
• a sucessão ⎜ ⎟
v ⎟
⎝ n ⎠
e b ≠ 0 .
Consequências do Teorema:
1. Se ( )
n
u é convergente e k IR
é convergente para a
b
× .
, desde que vn ≠0, ∀ n∈IN ∈ (constante), então lim( k u ) k lim(
u )
× = × .
n n
2. Se ( u n ) e ( v n ) são sucessões convergentes, então
( u v ) ( u ) ( v )
lim − = lim − lim .
n n n n
3. Se ( u n ) é convergente e p IN
Teorema: Se ( u n ) é convergente e p IN
( )
∈ p , então ( n )
p
∈ , então lim( un) lim(
un)
p
= .
u é convergente (supondo
p que un≥0, ∀n∈ IN se p é par) e tem-se: lim un p = lim(
un)
.
Teorema das sucessões enquadradas: Se ( u n ) e ( vn ) são duas sucessões
convergentes com o mesmo limite a e se, a partir de certa ordem, a
sucessão ( w n ) é tal que un ≤wn ≤ vn,
então, lim( wn) = a.
Teoremas:
• limun = limun
.
• Se na sucessão convergente ( un ) é, a partir de certa ordem, un ≥ 0 , então
( )
lim u ≥ 0.
n
• Se ( un ) e ( v n ) são sucessões convergentes, e, a partir de certa ordem se tem
u v lim u ≥ lim v .
≥ , então ( ) ( )
n n
n n
Operações com limites infinitos.
Teorema: Se ( u n ) tende para a ≠ 0 (finito ou infinito) e ( v n ) é um infinitamente
u × v é um infinitamente grande.
grande, então ( )
n n
Nota: ( +∞ ) ×+∞ ( ) =+∞ ( +∞ ) ×−∞ ( ) =−∞ ( −∞ ) ×+∞ ( ) =−∞ ( −∞ ) ×−∞ ( ) =+∞
Se a > 0 : a× ( +∞ ) =+∞ a× ( −∞ ) =−∞
Se a < 0 : a× ( +∞ ) =−∞ a× ( −∞ ) =+∞
a
= 0 , a∈ IR (a é finito)
∞
a
=∞, a ≠ 0 (a é finito ou infinito)
0
Teorema: Se un→ a,
com a∈ IR , e ( v n ) é um infinitamente grande, então ( un+ vn)
é um infinitamente grande.
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
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Se a∈ IR : a ++∞ ( ) =+∞ a +−∞ ( ) =−∞
Nota: ( +∞ ) ++∞ ( ) =+∞ ( ) ( )
−∞ +−∞ =−∞
Teorema: Se un →+∞ , então ( un ) →+∞, ∀ p∈IN .
p
p
+∞ =+∞ ∀ p∈IN ∞ =∞ ( p∈ IN )
Nota: ( ) ,
p
Se p é par, ( ) p
−∞ =+∞ Se p é ímpar, ( ) p
−∞ =−∞
p
Teorema: Se un →+∞ e un ≥0, ∀ n∈IN , então un , p∈IN p
∞=∞ p∈ IN
Nota: ( )
Indeterminações: 0×∞
n
Sucessão ( a ), a∈ IR .
∞
∞
Professor: António Alfredo Duarte Lopes
→+∞ ∀ .
0
0 ∞−∞
• Se a ≤− 1 ou a > 1 a sucessão é divergente.
• Se − 1< a < 1 a sucessão é convergente para zero.
n
• Se a = 1,
a = 1 é constante e convergente para um.
Soma de todos os termos de uma progressão geométrica:
⎛ n 1−r⎞
u1
Se r < 1,
então S = lim⎜u1×
⎟=
⎝ 1−r ⎠ 1−
r
.
O número de Neper e .
Definição: O número e é um número irracional, isto é, corresponde a uma dízima
infinita mão periódica.
n
un
n
⎛ 1 ⎞
= ⎜1+ ⎟ ; ( u n ) é uma sucessão monótona crescente e
⎝ n ⎠
⎛ 1 ⎞
limitada 2≤ ⎜1 + ⎟
⎝ n ⎠
< e, ∀n∈ IN
⎛ 1⎞
lim⎜1+ ⎟
⎝ n ⎠
= e ; 2,718281828459...
Cálculo de limites de sucessões envolvendo o número de Neper.
Propriedade: Se x∈ IR e u n é um infinitamente grande, então lim 1
n
⎛ x ⎞ x
⎛ x ⎞ x
lim⎜1+ ⎟ = e e lim⎜1+ ⎟ = e , com x∈ IR .
⎝ n ⎠
⎜ u ⎟
⎝ n ⎠
un
n
un
x x + = e .
un
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
O número de Neper na matemática financeira.
nt ×
⎛ i ⎞
M = C×
⎜1+ ⎟ ; C é o capital inicial; i é a taxa de juro nominal; n é o n.º de
⎝ n⎠
capitalizações por ano; t é o número de anos de duração da capitalização e M é o
capital acumulado,
Para capitalizações contínuas:
nt ×
n
⎛ i ⎞ ⎡ ⎛ i ⎞ ⎤
n →+∞ logo M = limC× ⎜1+ C ⎢lim 1 ⎥ C e
n
⎟ = × ⎜ +
n
⎟ = ×
⎝ ⎠ ⎢
⎣ ⎝ ⎠ ⎥
⎦
t
i× t
5