Respostas no Domínio da Frequência (Aula 01) - UFSM

Sinais e Sistemas 

Unidade 5 – Representação em domínio da 

frequência para sinais contínuos: 

Transformada de Laplace 

Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. 

rech.cassiano@gmail.com 

Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. 

rcbeltrame@gmail.com

Conteúdo da unidade 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Introdução 

Definição da Transformada de Laplace 

Solução de equações diferenciais lineares 

e invariante no tempo 

Função de Transferência 

Conceito de pólos e zeros 

Estabilidade de sistemas 

Sistemas com atraso de transporte 

Análise da resposta transitória 

Análise da resposta em regime permanente 

Resposta em frequência e Diagrama de Bode 

Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. 

Aulas 

Aula 03 


01 e 02 

Aulas 05 e 06 

1/5 

2


• 

Resposta em frequência e Diagrama de Bode 

– 

– 

– 

– 

– 

Introdução 

Definição de módulo de fase 

Representação na forma de Bode 

Digramas de Bode 

• Ganho K 

• Fatores integral e derivativo (s) ±1 

• Fatores de primeira ordem (s + 1) ±1 

• Fatores quadráticos (s² + 2ζs/ωn + 1) 

Procedimento geral para construção 


±1 

1/5 

3

Introdução 

• 

Hendrik 

– 

– 

– 

– 

– 

– 

Wade 

Bode 

Americano (1905‐1982) 

Engenheiro, pesquisador e inventor 

Pioneiro em 

• Teoria de controle (aplicada à aviação) 

• Telecomunicações 

Em 1929 entra para o Bell Labs 

Em 1938 desenvolve o método gráfico 

conhecido como Diagrama de Bode 

• Análise gráfica de ganho e fase de sistemas 

Ganhou diversos prêmios por suas contribuições científicas 


1/5 

4

Introdução 

• 

Resposta em frequência 

– 

– 

– 

Resposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinal 

de entrada senoidal 

Varia‐se a frequência do sinal de entrada ao longo de uma faixa de 

interesse e estuda‐se a resposta resultante 

A resposta em frequência pode ser obtida experimentalmente 

empregando geradores de sinal senoidal e equipamentos de medida 

de precisão 


1/5 

5

Resposta em regime para sinal senoidal 

• 

Seja um sistema LTI definido por 

– 

– 

– 

 

G s 

Onde o sinal de entrada x(t) ésenoidal e dado por 

Se o sistema for estável, o sinal de saída y(t), em regime estacionário, 

será dado por 

Onde 

 

 

 

Y s 

X s 

xtXsenωt ytYsenωtφ Y X Gjω e 


 

 

ImG jω 

φ G jωarctg 

 

 

 

ReG jω 

 

1/5 

6


• 

Observações 

– 

– 

Um sistema LTI submetido a uma excitação senoidal, terá como 

resposta, em regime estacionário, um sinal também senoidal de 

mesma frequência 

A amplitude e o ângulo (fase) do sinal de saída são, em geral, 

diferentes do sinal de entrada 


1/5 

7


• 

Função de transferência senoidal 

– 

– 

– 

– 

A função de transferência senoidal de qualquer sistema éobtida 

substituindo‐se s por jω 

 

G jω 

Éuma grandeza complexa e pode ser representada por magnitude e 

fase, tendo como parâmetro a frequência 

Fase negativa Atraso de fase 

Fase positiva Avanço de fase 

 

 


 

Y jω 

X jω 

1/5 

8

Diagrama de Bode 

• 

• 

• 

Função de transferência na forma de Bode 

Representação de uma função de transferência senoidal 

– 

– 

Gráfico do módulo (magnitude) x frequência 

Gráfico da fase x frequência 

Representação padrão do módulo 

– 

– 

 

G s 

z1 s 

1 

2 

sz 

1 

1 n z 

 

p ω 1 

 

 

2 2 

2 

s p1 s 2ξωnsωn s s 2ξ 

 

1 s 1 

p 

 

1 ωn ωn 

 

 

Logaritmo Multiplicação dos módulos éconvertida em adição 

Unidade Decibel [dB] 

20 log 

G jω G jω 


db 

10 

1/5 

9

Fatores Básicos 

• 

• 

• 

Ganho K 

20 log 

 

G jω K 

O ganho éuma curva horizontal 

O ângulo de fase do ganho K é nulo 

Possui o efeito de deslocar a curva do logaritmo da função de 

transferência para cima e para baixo 


db 

0 

Gjωarctg 0 

K 1/5 

10


• 

• 

Fator integral e derivativo 

(s) ±1 

Fator 1/s 

G jω 

db 

1 

jω 

ω 

20 log 20 

log 

 

1/ω 

 

Gjωarctg 90 

0 

Fator s 

20 log 20 

log 

 

G jω jω ω 

db 

ω 

G jω arctg 

0 

90 


o 

o 

1/5 

11


• 

Diagrama de Bode 

– 

– 

– 

– 

Uma oitava Intervalo de frequência entre 

Uma década Intervalo de frequência entre 

Para ω = 1, tem‐se 

Gjω db 

1 

20 log 

j1 

0 

Para ω 

 

Gjω 20 log j1 

0 

db 

 

qualquer, tem‐se 

1 

G jω ω 

db jω 

20 log 20 

log 

 

20 log 20 

log 

 

G jω jω ω 

db 


ω1 ω1 e 2ω1 e 10ω1 G jω 

1 

arctg 90 

0 

 

 

 

G jω 

1 o 

arctg 90 

0 1/ 

ω 

Gjω arctg 90 

0 

 

 

 

ω 

G jω arctg 

0 

90 

o 

o 

1/5 

o 

12



1/5 

13


• 

Fator de primeira ordem 

(s + 1) ±1 

Fator 1/(s+1) 

1 

G jω ωT 

db 1 

jωT 

ωT 

ωT 

Gjωarctg 

arctg 

 

 

1 1 

– 

20 log 20 log 1 

 

Para ω 


– 

– 

Para ω 

Para ω 

>> 

1/T 

=1/T 

(altas frequências) 

20 

log 

 

G jω ωT 

db 

G jω arctg 

1 

 

 

 

90 

(frequência de canto) 

 

G jω 20 log 11 3 

db 

db 

1 Gjωarctg 45 

1 Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. 

o 

o 

Aproximação assintótica 

1/5 

15



1/5 

16


• 

Fator (s+1) 

– 

No diagrama de Bode, para fatores recíprocos, as curvas de módulo em 

dB e fase apenas trocam de sinal. Logo: 

20 log 1 20 log 1 

 

db 


2 

G jω jωT ωT 

ωT 

Gjωarctg 

1 

1/5 

17



1/5 

18


• 

Fator de segunda ordem 

(s² + 2ζs/ωn + 1) ±1 

Fator 1/(s²/ω n 2 

 

+ 2ζs/ω n 

+ 1) 

1 

G jω 20 log jω jω 

db 

2ξ1 ω 

 

n ω 

 

n 


2 

2 

2 2 

ω ω 

Gjω 20 log 

1 2ξ 

 

db 

2 

ωn 

ω n 

 

1/5 

19


– 

ω 

 

2ξ 

ω 

n 

Gjωarctg 2 

ω 

1 ω 

n 

Para ω 


– 

– 

Para ω 

 

G jω 

Para ω 

>> 

= 

db 

ω n 

ω n 

(altas frequências) 

2 

ω ω 

2 

ωn 

ωn 

20 log 40 

log 

 

2 

0 180 o 

ξ 

G jωarctg arctg 

 

 

 

G jω 

db 

(frequência de canto) 

1 

20 log 

2ξ 

 

 

2ξ Gjωarctg 90 

0 


o 

Aproximação assintótica 

1/5 

21



1/5 

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Procedimento de construção 

1) 

2) 

Reescrever a função de transferência na forma de Bode 

Verificar se os termos de ordem superior (quadráticos) podem 

ser reescritos como termos de 1º 

3) Fazer s 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

= jω 

Separar cada um dos termos 

Identificar as frequência de canto 

Desenhar as curvas assintóticas 

– 

– 

Módulo em db 

Fase em graus 

Somar graficamente as curvas assintóticas 


ordem com raízes reais 

associadas a cada termo 

Realizar correções para o traçado da curva real 

1/5 

23

Bibliografia 

[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª 

Hall, 2000. 


ed. Rio de Janeiro: Prentice‐ 

[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011. 

1/5 

24

Respostas no Domínio da Frequência (Aula 01) - UFSM

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