resolução

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA – 2 os anos
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA
Questão 1
Dado abaixo o gráfico da função
f(x) = A + B ⋅sen(C
⋅ x) , encontre os
valores de A, B e C.
Visualizando o gráfico verificamos que o
2π
período é de π rad. Como P = ,
coef. de x
2π
temos π = ⇒ C = 2 . Vemos que o valor de
C
f(x) quando x= 0 é 1; ou seja, f(0)= A+ B
sen (0)= 1 ⇒ A=1.
π
O valor de f(x) quando x= é – 0,5; ou
4
π π
seja, f( )= A+ Bsen ( )= -0,5 ⇒ B=-1,5.
4
4
Questão 2
Sobre matriz inversa, responda:
(A) Dada qualquer matriz A, sempre
1
existe a matriz A − ?
Não, pois para uma matriz
deve-se cumprir a equação matricial:
A ⋅ A
−1
=
I
1
A − existir,
Mas quando escolhemos de modo
particular, uma matriz quadrada de ordem
2 e queremos descobrir a sua inversa,
recaímos em um sistema linear de quatro
variáveis e 4 equações, cujo próprio
sistema pode ser impossível. Logo não
encontraremos valores para as variáveis
e portanto não há a matriz inversa,
exemplo:
⎡1
1⎤
⎡a
b⎤
A = ⎢ ⎥ , A = ⎢ ⎥
⎣2
2⎦
⎣c
d⎦
1 -
⎡1
0⎤
, I = ⎢ ⎥ então:
⎣0
1⎦
⎪⎧
× 2
a + b = 1 ⎯⎯→
2a + 2b = 2
⎨
⎪⎩ 2a + 2b = 0
Logo descobrimos que este sistema é
impossível (pois quando multiplicamos a 1ª
equação por 2, vemos que o resultado é 2 e
não 0). Logo A não é matriz inversível.
(B) Determine o conjunto dos números
reais x que tornam inversível a matriz
⎡sen
x
A = ⎢
⎣cos
x
Usa-se aqui o teorema:
- cos x
sen x
“Uma matriz quadrada é inversível se e
somente se o seu determinante é diferente
de zero”
Det(A) =
sen x
cos x
2
2
( sen x)
+ ( cos x)
= 1 ≠ 0
Licenciandos Fernando Rodrigues, Leonardo Guerini, Marcelo Antunes, Marilise Oliveira e Saul Coimbra.
⎤
⎥
⎦
- cos x
sen x
Percebemos que o determinante é 1
(diferente de zero), logo podemos garantir
que para todos reais x, a matriz A é
inversível.
Questão 3
⎡2
A inversa da matriz ⎢
⎣1
3⎤
⎥ é a matriz
5⎦
1 ⎡ 5
⋅ ⎢
7 ⎣−1
− 3⎤
⎥ . Encontre o valor de x.
x ⎦
Sabemos que a matriz multiplicada pela
sua inversa é igual a matriz identidade.
Então
⎡2
⎢
⎣1
⎡ 5
3⎤
⎢
× 7
⎥ ⎢
5⎦
−1
⎢
⎣ 7
− 3⎤
7
⎥ ⎡1
⎥ =
x ⎢
⎥ ⎣0
7 ⎦
=
0⎤
1
⎥
⎦
Como queremos descobrir apenas o
valor de x, basta apenas escolher uma

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OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA – 2 os anos
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linha da matriz dada para calcular com
a última coluna da matriz inversa.
Escolhendo a 1ª linha temos:
−3
x
2 ⋅ + 3 ⋅ = 0 ⇔ - 6 + 3x = 0 ⇔
7 7
3x = 6 ⇔ x = 2
Questão 4
⎡2
m⎤
⎡n⎤
Dadas as matrizes T = ⎢ ⎥ , A = ⎢ ⎥ e
⎣1
4 ⎦ ⎣1⎦
⎡4⎤
L = ⎢ ⎥ ,
⎣0⎦
e sabendo que T ⋅ A = L ,
podemos concluir que:
Devemos descobrir através da equação
matricial os valores de m e n:
2ª linha de T com a coluna de A
1 ⋅ n + 4 ⋅1
= 0 ⇔ n = -4
1ª linha de T com a coluna de A
( - 4)
+ m = 4 ⇔ m = 4 8
2n + m = 4 ⇔ 2⋅
+
Logo, vemos que:
m = 12
( - 4)
= 48
m ⋅ n = 12 ⋅ −
Logo a opção correta é (C).
Se
a
1
Questão 5
b
2
1=
, encontre o valor de
3
3 1 3
3 1
a
a
+
2 b
b
+
2 .
Desenvolvendo o determinante temos:
a
1
b
= 2 ⇔
1
a - b
= 2
Mas,
3a + 1
3b + 1
=
2
( 3a + 1)
⋅ 2 − ( 3b + 1)
⋅ 2 =
Licenciandos Fernando Rodrigues, Leonardo Guerini, Marcelo Antunes, Marilise Oliveira e Saul Coimbra.
2
( a - b)
= 6 ⋅ 2 12
6a + 2 − 6b − 2 = 6a - 6b
= 6
=
Questão 6
Determine x na equação
- 5
x
2
1
sec 840°
3
4
− 2
3
4
2 sen 675°
− 49 = 0
Para resolver a questão devemos
calcular:
1
sec 840°
= sec 120°
= = −2
cos 120°
sen 675°
= sen 315°
= −sen
45°
= −
Após isso aplicamos a regra de
Kraemer:
- 5
x
2
1
− 2
Diagonal Principal
3
4
3 - 5
4 x
2
2
1
− 2
- 5 ⋅ 3 ⋅2
- 2⋅
4 ⋅1+
3x ⋅ 4 = 12x − 38
Diagonal Secundária
2
2
3
4
2
2
( − 5)
− 2⋅
2⋅
x = -71 4x
3 ⋅ 3 ⋅1+
4 ⋅ 4 ⋅
−
Então:
12x
2
− 38 −
2 2
( - 71−
4x ) = 16x + 33
Logo a equação ficará:
16x
x 2
2
+ 33 - 49 = 0 ⇔ 16x = 16 ⇔
16
= = 1 ⇔ x = ± 1 = ± 1.
16
2
=
2
2