Lista 10 – Análise Combinatória e Probabilidade

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Responsáveis:
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein
Lista 10 – Análise Combinatória e Probabilidade
1) Dada a palavra AMORECO, responda as seguintes questões:
a) Quantos são seus anagramas?
= 2520
b) Quantas são os anagramas que começam e terminam por consoante?
(
) .
c) Quantos são os anagramas que começam por consoante e terminam por vogal?
(
) .
d) Quantos são os anagramas que tem RECO nesta ordem? Considere RECO como uma
só letra e sobrará apenas 4 espaços para permutar todas as letras, portanto teremos
.
e) Quantos são os anagramas que tem as letras M e O juntas? Mesmo raciocínio da letra
d: considere M e O como uma só letra e permute o total de letras, ou seja, 6!. Mas como
temos mais que uma possibilidade de formar palavras com as letras M e O, multiplicamos a
permutação das letras pelo número de permutações que podemos formar com as letras M e O
juntas, no caso, 2! (MO ou OM). Então teremos .
2) Informe para quais valores as igualdades a seguir são válidas:
a) An,2=6
( )
( )( )
( )
( )
A igualdade é válida para quando .
O valor faz sentido nesse caso?
b) C5,2= n
( )

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A igualdade é válida para quando n=10.
c) An,n-1 = Cn,n-1
( ( ))
( ) ( ( ))
(
(
)
)
A igualdade é válida para quando n=1, pois 1! = 1 e para n=2, pois 2! = 2.1= 2.
3) Calcule o Binômio nas seguintes alternativas:
a) (x² + 7)² = resposta
b)( ) = resposta
c)(
)
= resposta
Utilize este exemplo para o cálculo dos binômios acima: dado um n, potência que eleva a
equação, o binômio será escrito da seguinte forma:
4) Construa o Triângulo de Pascal, calcule a combinação e veja se a igualdade é válida:
Construção:

‘
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a) (
b) (
(
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) (
) (
) (
).
) a igualdade é válida.
) a igualdade não é valida. (No triângulo de pascal acima, foi marcado
5) Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de ocorrer
um número maior que 3 e o número 2?
Perceba que a ocorrência do primeiro evento não influencia na probabilidade do outro ocorrer,
portanto são dois eventos independentes e teremos que calculá-los de forma independente.
Seja o evento “A” “sair um número maior que 3”: Para este, temos como possíveis resultados
os números 4, 5 ou 6 e, portanto e = {4,5,6}. No lançamento de um dado, temos 6 valores
possíveis, portanto e.a. = {1,2,3,4,5,6}. Portanto, a probabilidade do evento ocorrer é p(A) =
½.
Seja o evento “B” “sair o número 2”. Para este, só temos um possível resultado, portanto e =
{2}. Novamente temos seis valores possíveis para o lançamento do dado, e portanto portanto,
e = {4,5,6}. Logo, a probabilidade do evento ocorrer é p(B) =
Seja p(AB) a probabilidade do evento A e do evento B ocorrer. Portanto, pelo principio
multiplicativo, teremos ( )
,
6) Em uma cartola de mágico há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dela
duas bolinhas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de
10 na primeira e um número ímpar na segunda?
Solução: Como as bolinhas são retiradas sem reposição, o primeiro evento interefere na
probabilidade do segundo evento ocorrer. Portanto, esses eventos não são independentes e não
podem ser calculados de forma independente.
Seja o evento “A” “sair um múltiplo de 10”. Portando, e ={10, 20, 30}. Como temos 30
bolinhas, p(A) =
.
Seja o evento “B” “sair um número ímpar”. Portanto e ={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,
23, 25, 27, 29}. Como já foi retirada uma bolinha, teremos 29 restantes, logo p(B) =
Seja ( ) a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, logo, pelo principio multiplicativo,
teremos que ( )
.
.

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7) Um professor de física gostaria de fazer um experimento com nitrogênio líquido para
mostrar aos alunos que quando se põe nitrogênio liquido em um lugar comprimido, e em
contato com o ar atmosférico, ao passar do estado liquido para o gasoso, ele explode. Para
fazer isso ele utilizou uma garrafa pet e colocou a garrafa com o nitrogênio dentro de uma
lixeira opaca e fechou ela com 10 bolinhas, distribuídas metade a metade entre as cores azul e
branca, mas percebeu que 10 bolinhas eram demais para a lixeira, e teve que retirar duas. Qual
a probabilidade de ele retirar 2 bolinhas brancas ao acaso, uma após a outra?
Solução: Como as bolinhas são retiradas ao acaso uma após a outra, o primeiro evento
interfere na probabilidade do segundo evento ocorrer. Portanto, esses eventos não são
independentes e não podem ser calculados de forma independente.
Seja o evento “A” “tirar a primeira bolinha branca”. No total temos 10 bolinhas, portanto a
cardinalidade do espaço amostral é 10. Dentre essas 10, temos 5 brancas, portanto a
cardinalidade do evento é 5. Portanto p(A) = .
Seja o evento “B” “tirar a segunda bolinha branca”. Como já foi retirada uma bolinha, temos
que a cardinalidade do espaço amostral é 9. A bolinha retirada foi uma branca, portanto a
cardinalidade do evento é 4. Portanto p(B) = .
Seja ( ) a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, logo, pelo principio multiplicativo,
teremos que ( ) .
8) (PUC-RIO 2010) Quatro moedas distintas são lançadas simultaneamente. Qual é a
probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda?
Solução: Lembre-se que temos probabilidade de cair coroa para as 4 moedas, portanto ao
fazer os cálculos temos que levar isso em conta. Para cada moeda temos duas possibilidades,
cara ou coroa. Portanto, pelo raciocínio da combinatória e pelo principio multiplicativo, para
as 4 moedas teremos possibilidades e, portanto a cardinalidade do espaço
amostral é 16.
Para a primeira moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(A) = 1/16. Para a
segunda moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(B) = 1/16. Para a terceira
moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(C) = 1/16. Para a quarta moeda
temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(D) = 1/16.
Seja ( ) a probabilidade de cair coroa em uma só moeda. Como o evento é cair
cara em somente uma das moedas, temos a probabilidade do evento ocorrer para a primeira
moeda ou para a segunda moeda ou para a terceira moeda ou para a quarta moeda, portanto
pelo principio aditivo ( )
9) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem
com a mesma face para cima?

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Solução: Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total
de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados
distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8
resultados distintos e este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço
amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas
2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa e, portanto, a probabilidade das três moedas
caírem com a mesma face para cima é igual a ¼.
10) Em uma caixa há 2 correntes amarelas, 5 correntes azuis e 7 correntes verdes. Se retirarmos
uma única corrente, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?
Solução: A cardinalidade do espaço amostral é 14. Como a ocorrência de um evento não
interfere no outro, pois são eventos distintos, podemos calcular as probabilidades
separadamente.
Seja o evento “A” o evento de se “obter uma corrente verde”. A cardinalidade do evento é 7,
portanto a probabilidade do evento ocorrer é igual a 7/ 14:
Seja o evento “B” ...qual evento?. A cardinalidade do evento é 2, portanto a probabilidade do
evento ocorrer é igual a 2/ 14:
Seja ( ) probabilidade de um ou outro evento ocorrer, portanto pelo principio aditivo
( )
.
11) Uma turma de amigos está em um bar. Sobre a mesa há duas travessas, e em uma delas há 3
pastéis e 5 coxinhas, na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se José quiser pegar um pastel, qual a
probabilidade dele pegar um pastel e qualquer uma das travessas?
Solução: a cardinalidade do espaço amostral é 14, a cardinalidade do evento é 7, portanto p(A)=
.
12) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o
meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 pratos à base de
proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?
Solução: Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C10, 5.,
mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém
carboidratos, que é igual a C6, 5. Não podemos nos esquecer de que também podemos montar
pratos contendo apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes
pratos são o produto de C6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4, 1, referentes ao
único item de proteína:
Multiplicando as combinações:

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Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com somente
um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações possíveis sem a
restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186.
13) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só
existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas,
sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?
Solução: Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda temse
11, para a terceira tem-se 10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3
possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800 maneiras distintas, em outras palavras fizemos
= 12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800
A12, 10 =
( )
Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por 10! para anular
a permutação das 10 aves no poleiro, mas a ordem das aves empoleiradas distingue um
agrupamento do outro.