Álgebra Linear - Exercícios (Transformações Lineares)

1 Transformações Lineares
⎡
A −1 w = ⎣
⎤ ⎡
⎦ ⎣
0 1 0
0
⎤ ⎡
3 ⎦ = ⎣
0
−3
0
⎤
⎦
3
1
2 −1 1
2
− 1 1
2 0 2
Assim, v T = £ −3 0 3 ¤ T são as coordenadas na base escolhida para
P2, a base canónica, da imagem inversa do vector w ∈ R 3 . O vector v será
portanto v =(−3) · e1 +0· e2 +3· e3 = −3 · x 2 +0· x +3· 1=−3x 2 +3.
Exercício 8 Seja T uma transformação linear do espaço dos polinómios reais
de grau menor ou igual a 2, P2, na variável x, emsipróprio,definida por:
T (1) = 1 + x; T (x) =3− x 2 ; T ¡ x 2¢ =4+2x − 3x 2
a) Calcule T ¡ 2 − 2x +3x 2¢ .
b) A transformação T tem inversa? Justifique.
Solução
a) Seja p (x) =2− 2x +3x 2 . Teremos:
T (p (x)) = T ¡ 2 − 2x +3x 2¢ =
=
(porque T é transformação linear)
T (2) + T (−2x)+T ¡ 3x 2¢ =
=
(porque T é transformação linear)
2· T (1) + (−2) · T (1) + 3 · T ¡ x 2¢
= 2· (1 + x)+(−2) · ¡ 3 − x 2¢ +3· ¡ 4+2x− 3x 2¢
= 8+8x−7x 2
b) A transformação inversa, T −1 , existirá se a matriz da transformação T
for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos
a base canónica para P2, © e1 = x 2 ,e2 = x, e3 =1 ª .
⎧
⎨
⎩
T (e1) =T ¡ x 2¢ =4+2x − 3x 2 =(−3) · e1 +2· e2 +4· e3
T (e2) =T (x) =3− x 2 =(−1) · e1 +0· e2 +3· e3
T (e3) =T (1) = 1 + x =0· e1 +1· e2 +1· e3
A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas
são as coordenadas de T (ei) na base {fi}:
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