Álgebra Linear - Exercícios (Transformações Lineares)

1 Transformações Lineares
¡
3 O contradomínio, ou imagem, de T1, denotado por Im (T1) ou T1 R ¢ é
dado pelo conjunto Im (T1) = © w ∈ R3 : T1 (v) =w, ∀v∈R3 ª
. Temos assim
que analisar a forma dos vectores A1v. Note-se que A1v consiste na
combinação linear das colunas de A1:
⎡
A1v = v1 ⎣ 0
0
0
É evidente que apenas
⎡
⎣ 0
1
0
⎤ ⎡
⎦ + v2 ⎣ 0
1
0
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 0
0
1
⎤ ⎡
⎦ + v2 ⎣ 0
0
1
⎤
⎦
⎤
⎦ são linearmente independentes,
pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se
terá com vector genérico de Im (T1):
⎡
• Tranformação T2
⎣ w1
w2
w3
Consideremos a base canónica de R 3 :
⎤ ⎡
⎦ = v2 ⎣ 0
⎤ ⎡
1 ⎦ + v3 ⎣
0
0
⎤
0 ⎦ ,v2,v3 ∈ R
1
{e1 =(1, 0, 0) ,e2 =(0, 1, 0) ,e3 =(0, 0, 1)}
Determinemos a matriz da transformação:
⎧
⎨ T2 (e1) =T2 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) = 0 · e1 +0· e2 +0· e3
T2 (e2) =T2 (0, 1, 0) = (0, 1, 2) = 0 · e1 +1· e2 +2· e3
⎩
T2 (e3) =T2 (0, 0, 1) = (0, 1, 1) = 0 · e1 +1· e2 +1· e3
A matriz da transformação, A1, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas
são as coordenadas de T2 (ei) na base {ei}:
A2 =
⎡
⎣
0 0 0
0 1 2
0 1 1
O núcleo da transformação é dado pelo conjunto:
⎤
⎦
Nuc(T2) = © v ∈ R 3 : T2 (v) =0 ª
4