Álgebra Linear - Exercícios (Transformações Lineares)

1 Transformações Lineares
Poderemos escrever esta matriz como a seguinte combinação linear de
matrizes:
⎡
a ⎣
1
0
0
0
0
0
0 0 0
⎡
d ⎣
⎤ ⎡
⎦ + b ⎣
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0
1
1
0
0
0
0 0 0
⎤ ⎡
⎦ + e ⎣
⎤ ⎡
⎦ + c ⎣
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0
0
0
0
1
0
1 0 0
⎤ ⎡
⎦ + f ⎣
⎤
⎦ +
0 0 0
0 0 0
0 0 1
⎤
⎦ , ∀a,b,c,d,e,f∈R
Concluímos assim, que no caso n =3,anulidadeé6eabaseéconstituída
pelos vectores:
⎧⎡
⎨
⎣
⎩
1
0
0
0
0
0
0 0 0
⎡
, ⎣
⎤ ⎡
⎦ , ⎣
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0
1
1
0
0
0
0 0 0
⎤ ⎡
⎦ , ⎣
⎤ ⎡
⎦ , ⎣
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0
0
0
0
1
0
1 0 0
⎤ ⎡
⎦ , ⎣
⎤
⎦ ,
0 0 0
0 0 0
0 0 1
⎤⎫
⎬
⎦ , ∀a,b,c,d,e,f∈R
⎭
Poderemos facilmente inferir que, no caso geral, a nulidade será 1+2+
···+ n = n n+1
2 e a base será constituída pelos matrizes com os seguintes
elementos:
½ aij =1, i ≥ j =1, ··· ,n
aij = aji i