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Análise Clássica da Resposta Forçada Senoidal e Impedância<br />
Os fenômenos elétricos ocorrem no domínio do tempo, daí as soluções envolverem equações complexas<br />
que reproduzem os eventos temporalmente.<br />
Um exemplo po<strong>de</strong> ser visto ao se buscar resolver o circuito simples a seguir:<br />
Domínio do tempo<br />
di<br />
L + Ri = Vm . cos ( w.t + φ )<br />
dt<br />
R cosφ<br />
+ wLsenφ<br />
i = -Vm<br />
e<br />
2 2 2<br />
R + w L<br />
w.<br />
L<br />
+ 2 2 2<br />
R + w L<br />
+<br />
-<br />
vg = Vm .cos ( w.t +φ )<br />
Vm . sen ( w.t + φ )<br />
R<br />
−(<br />
). t<br />
L + Vm . cos ( w.t + φ ) +<br />
2 2 2<br />
R<br />
i<br />
vR<br />
vL L<br />
R<br />
+ w<br />
L<br />
R
Forma fatorial – Domínio da freqüência<br />
A equação anterior representa a solução do circuito no domínio do tempo, e se mostra complexa. Uma<br />
outra forma <strong>de</strong> se resolver os circuitos po<strong>de</strong> ser adotando um outro domínio, que neste caso é o domínio<br />
da freqüência, on<strong>de</strong> por meio <strong>de</strong> fasores as soluções ficam mais imediatas.<br />
Abaixo, se vê o símbolo da corrente fasorial que po<strong>de</strong> ser representada pela relação <strong>de</strong> tensão e<br />
impedância elétrica, ambas fasoriais.<br />
İ =<br />
jφ<br />
Vm.<br />
e<br />
=<br />
j.<br />
w.<br />
L + R<br />
Vm<br />
( φ)<br />
Z •<br />
Uma forma simplificada no domínio <strong>de</strong> tempo po<strong>de</strong> ser vista a seguir<br />
i =<br />
V m<br />
. cos( w.<br />
t + φ −ϕ<br />
)<br />
R<br />
2<br />
+ w<br />
2<br />
L<br />
w.<br />
L<br />
ϕ = arctg<br />
R<br />
2
Impedância<br />
dil vL = L VL = j.w.L.IL<br />
dt<br />
dvc ic = c Ic = j.w.c.Vc<br />
dt<br />
vR = R . iR VR = R . IR<br />
ZL =<br />
V g = V me jφ<br />
v l<br />
= j.w.l<br />
i<br />
V c<br />
Zc = =<br />
I<br />
l<br />
c<br />
V<br />
R<br />
ZR = =<br />
I R<br />
1 − j<br />
=<br />
j . w.<br />
c w.<br />
c<br />
R<br />
Exemplo anterior, agora no domínio da frequência<br />
i<br />
Vg = RI + j.w.L.I<br />
I =<br />
V g<br />
+<br />
-<br />
R + j.<br />
w.<br />
L<br />
vL<br />
vR<br />
R<br />
j.w.L
Potência<br />
p = v . i v = Vm . sen (w.t + θ )<br />
i = Im . sen (w.t )<br />
p = Vm . Im . sen ( w.t + θ ) . sen ( w.t )<br />
p =<br />
p =<br />
vm.<br />
im<br />
2<br />
v<br />
m m I<br />
2<br />
( cosθ - cos ( 2wt + θ )<br />
2<br />
1<br />
senA . senB = (cos (A – B ) – cos (A + B ))<br />
2<br />
( cosθ - cos ( 2wt + θ )<br />
p = V.I.cosθ - V.I.cos ( 2wt + θ )<br />
potência média<br />
potência instantânea<br />
P = V.I.cosθ potência ativa (w )<br />
Q = V.I.senθ potência reativa (VAr )<br />
cos ( x + y ) = cosx . cosy – senx . seny<br />
cos (2.w.t + θ ) = cos2wt . cosθ - sen2wt . senθ<br />
V.I . (cosθ - cos2wt . cosθ - sen2wt . senθ )<br />
V.I . ( cosθ ( 1 – cos2wt ) - senθ . sen2wt )<br />
p/<br />
P = V.I.cosθ<br />
e <strong>de</strong>finido<br />
∆<br />
Q = V.I.senθ<br />
pa ( t ) = P (1 – cos2.w.t ) – Q.sen2.w.t<br />
sen2wt =<br />
S<br />
θ<br />
P<br />
− j(<br />
e<br />
− e<br />
2<br />
Q<br />
j2<br />
wt − j 2wt<br />
)
S =<br />
S = V.I<br />
2 2<br />
P + Q<br />
potência aparente (VA )<br />
S = P + j.Q
Exemplo<br />
Encontre vs para o circuito :<br />
V s = v r + v c + v l<br />
Vr = ( 0,234.sen (3000t – 10 0 ) ) . 270 = 63,2.sen ( 3000.t – 10 0 ).V<br />
Vl : wl = 3000.(120 – 10 -3 ) = 360 Ω<br />
Vl = ( 0,234.sen ( 3000.t –10 0 + 90 o ) ).360 = 84,2.sen ( 3000.t + 80 o ).V<br />
Vc :<br />
vs<br />
+<br />
-<br />
1<br />
=<br />
w. c<br />
1<br />
3000.<br />
6x10<br />
−6<br />
= 55,6 Ω<br />
Vc = ( 0,234.sen ( 3000.t –10 o – 90 o ) ) .55,6 = 13.sen . ( 3000.t –100 o ).V<br />
Vs = Vr + Vl + Vc = 63 -10 o + 84,2 80 o<br />
62,04 – j10,94 + 14,62 + j82,92 + ( - 2,25 ) + j ( -12,80 )<br />
74,41 + j59,17<br />
Vs = 95 38 o<br />
270 Ω<br />
+ -<br />
v r<br />
Vs = 95.sen ( 3000.t + 38 o ).V<br />
0,234.sen(3000t – 10 0 )<br />
120mH<br />
+ -<br />
v l<br />
+ 13 -100 o<br />
vc<br />
+<br />
-<br />
6 µ F
Exemplos para o cálculo <strong>de</strong> potência<br />
R<br />
V i<br />
v = V.sen w.t<br />
v<br />
i=<br />
R + jxl<br />
P =V.I<br />
S = V.I<br />
P = V.I.cosϕ<br />
127V 0 o<br />
127V 0 o<br />
z = R + j X L<br />
S = V . I<br />
I =<br />
v<br />
=<br />
R + jxl<br />
R<br />
R<br />
L<br />
v<br />
z<br />
L<br />
1H<br />
Lâmpada ou / e chuveiro<br />
S = P =<br />
V<br />
I = =<br />
z<br />
2<br />
127<br />
= V.I<br />
R<br />
o<br />
v(<br />
0 )<br />
2πfl<br />
z(<br />
arctg )<br />
R
Exercício : Ache I t<br />
It<br />
V =150 . sen ( 2500.t –34 0 ) V<br />
10 Ω<br />
Fim – Análise Clássica da Resposta Senoidal; Impedãncia<br />
i r<br />
i l<br />
6mH<br />
i c<br />
20 µ F