GNE114 - Nota de Aula 04.1

Análise Clássica da Resposta Forçada Senoidal e Impedância
Os fenômenos elétricos ocorrem no domínio do tempo, daí as soluções envolverem equações complexas
que reproduzem os eventos temporalmente.
Um exemplo pode ser visto ao se buscar resolver o circuito simples a seguir:
Domínio do tempo
di
L + Ri = Vm . cos ( w.t + φ )
dt
R cosφ
+ wLsenφ
i = -Vm
e
2 2 2
R + w L
w.
L
+ 2 2 2
R + w L
+
-
vg = Vm .cos ( w.t +φ )
Vm . sen ( w.t + φ )
R
−(
). t
L + Vm . cos ( w.t + φ ) +
2 2 2
R
i
vR
vL L
R
+ w
L
R

Forma fatorial – Domínio da freqüência
A equação anterior representa a solução do circuito no domínio do tempo, e se mostra complexa. Uma
outra forma de se resolver os circuitos pode ser adotando um outro domínio, que neste caso é o domínio
da freqüência, onde por meio de fasores as soluções ficam mais imediatas.
Abaixo, se vê o símbolo da corrente fasorial que pode ser representada pela relação de tensão e
impedância elétrica, ambas fasoriais.
İ =
jφ
Vm.
e
=
j.
w.
L + R
Vm
( φ)
Z •
Uma forma simplificada no domínio de tempo pode ser vista a seguir
i =
V m
. cos( w.
t + φ −ϕ
)
R
2
+ w
2
L
w.
L
ϕ = arctg
R
2

Impedância
dil vL = L VL = j.w.L.IL
dt
dvc ic = c Ic = j.w.c.Vc
dt
vR = R . iR VR = R . IR
ZL =
V g = V me jφ
v l
= j.w.l
i
V c
Zc = =
I
l
c
V
R
ZR = =
I R
1 − j
=
j . w.
c w.
c
R
Exemplo anterior, agora no domínio da frequência
i
Vg = RI + j.w.L.I
I =
V g
+
-
R + j.
w.
L
vL
vR
R
j.w.L

Potência
p = v . i v = Vm . sen (w.t + θ )
i = Im . sen (w.t )
p = Vm . Im . sen ( w.t + θ ) . sen ( w.t )
p =
p =
vm.
im
2
v
m m I
2
( cosθ - cos ( 2wt + θ )
2
1
senA . senB = (cos (A – B ) – cos (A + B ))
2
( cosθ - cos ( 2wt + θ )
p = V.I.cosθ - V.I.cos ( 2wt + θ )
potência média
potência instantânea
P = V.I.cosθ potência ativa (w )
Q = V.I.senθ potência reativa (VAr )
cos ( x + y ) = cosx . cosy – senx . seny
cos (2.w.t + θ ) = cos2wt . cosθ - sen2wt . senθ
V.I . (cosθ - cos2wt . cosθ - sen2wt . senθ )
V.I . ( cosθ ( 1 – cos2wt ) - senθ . sen2wt )
p/
P = V.I.cosθ
e definido
∆
Q = V.I.senθ
pa ( t ) = P (1 – cos2.w.t ) – Q.sen2.w.t
sen2wt =
S
θ
P
− j(
e
− e
2
Q
j2
wt − j 2wt
)

S =
S = V.I
2 2
P + Q
potência aparente (VA )
S = P + j.Q

Exemplo
Encontre vs para o circuito :
V s = v r + v c + v l
Vr = ( 0,234.sen (3000t – 10 0 ) ) . 270 = 63,2.sen ( 3000.t – 10 0 ).V
Vl : wl = 3000.(120 – 10 -3 ) = 360 Ω
Vl = ( 0,234.sen ( 3000.t –10 0 + 90 o ) ).360 = 84,2.sen ( 3000.t + 80 o ).V
Vc :
vs
+
-
1
=
w. c
1
3000.
6x10
−6
= 55,6 Ω
Vc = ( 0,234.sen ( 3000.t –10 o – 90 o ) ) .55,6 = 13.sen . ( 3000.t –100 o ).V
Vs = Vr + Vl + Vc = 63 -10 o + 84,2 80 o
62,04 – j10,94 + 14,62 + j82,92 + ( - 2,25 ) + j ( -12,80 )
74,41 + j59,17
Vs = 95 38 o
270 Ω
+ -
v r
Vs = 95.sen ( 3000.t + 38 o ).V
0,234.sen(3000t – 10 0 )
120mH
+ -
v l
+ 13 -100 o
vc
+
-
6 µ F

Exemplos para o cálculo de potência
R
V i
v = V.sen w.t
v
i=
R + jxl
P =V.I
S = V.I
P = V.I.cosϕ
127V 0 o
127V 0 o
z = R + j X L
S = V . I
I =
v
=
R + jxl
R
R
L
v
z
L
1H
Lâmpada ou / e chuveiro
S = P =
V
I = =
z
2
127
= V.I
R
o
v(
0 )
2πfl
z(
arctg )
R

Exercício : Ache I t
It
V =150 . sen ( 2500.t –34 0 ) V
10 Ω
Fim – Análise Clássica da Resposta Senoidal; Impedãncia
i r
i l
6mH
i c
20 µ F