aula 16 - geometria plana i - 6 slides por - Unemat

1. Primeiros conceitos
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Geometria Plana I
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Conceitos Primitivos: São conceitos aceitos sem
uma definição no campo da Geometria. De cada um
destes termos temos um conhecimento intuitivo
decorrente da experiência e observação.
Enquadram-se nessa categoria os conceitos
de ponto, reta e plano.
1.2. Postulados ou axiomas
Além dos conceitos primitivos, aceitos sem
definição, há propriedades geométricas aceitas
sem demonstração. Tais propriedades são
chamadas postulados ou axiomas. Por exemplo, um
dos postulados da Geometria afirma que:
“Por dois pontos distintos A e B passa uma única
reta”.
Essa reta é denotada pelo símbolo , AB que
se lê “reta AB”.
3
5
1.Primeiros conceitos
2.Ângulos
3.Triângulos
4.Quadriláteros
5.Polígonos
Geometria Plana I
6.Ângulos na circunferência
7.Congruência de triângulos
8.Teorema de Tales
9.Semelhança de triângulos
10.Relações métricas no triângulo retângulo
1.1. Ponto, reta e plano
Letras minúsculas do
alfabeto grego: α, β, π, …
1.3. Posições de duas retas
distintas num plano
Letras maiúsculas do
nosso alfabeto: A, B, C, …
Letras minúsculas do
nosso alfabeto: a, b, c, …
4
6
1

1.4. Subconjuntos da reta
1.5. Subconjuntos da reta
2. Ângulos
Dois segmentos que possuem medidas iguais
são chamados congruentes. Se AB e CD são
segmentos congruentes, escrevemos AB ≡ CD .
Lê-se AB é congruente a CD .
Dois ângulos de medidas iguais são
denominados congruentes.
⌢ ⌢
∢ABC ≡ ∢DEF
⇔ ABC ≡ DEF
7
9
11
1.5. Subconjuntos da reta
2. Ângulos
A medida de AB será denotada por AB.
Desse modo, se AB é um segmento de reta de 3
cm, escrevemos AB = 3cm.
A medida de um ângulo AOB será denotada
por . Assim , se AOB é um ângulo de 60o AOB (60 graus), escrevemos:
⌢

2.2. Ângulos notáveis
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
360 o
⌢
AOB ≡
180 o
⌢
AOB ≡
90 o
⌢
AOB ≡
Dois ângulos são chamados complementares
se a soma de suas medidas é igual a 90 o . Cada um é
chamado complemento do outro.
Dois ângulos são chamados suplementares se
a soma de suas medidas é igual a 180 o . Cada um é
chamado suplemento do outro.
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 2: Na figura, sabe-se que é o dobro
de . Calcule as medidas desses ângulos, sabendo
que = 81o ABC
.
⌢
CBD
⌢
ABD
⌢
13
15
17
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Duas retas concorrentes determinam dois
pares de ângulos chamados opostos pelo vértice
(o.p.v.).
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 1: Calcule x, em graus, na figura abaixo:
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 3: Na figura seguinte, é bissetriz
⌢ ⌢
OX
⌢
de ∢AOB e OY é bissetriz de ∢BOC
. Calcule XOY .
Observação: AOC é um ângulo de meia-volta.
14
16
18
3

2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 4: Dois ângulos são chamados
complementares se a soma de suas medidas é igual
a 90 o . Cada um é chamado complemento de outro.
Calcule a medida de dois ângulos complementares,
sabendo que:
a) elas são expressas por 3x e 7x;
b) uma delas é o quádruplo da outra;
c) a diferença entre elas é 18 o .
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 6: Calcule a medida de um ângulo,
sabendo que o seu suplemento é o triplo de seu
complemento.
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 7: Calcular x e y na figura.
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21
23
2.3. Ângulos opostos pelo
vértice
Exercício 5: Dois ângulos são chamados
suplementares se a soma de suas medidas é igual a
180 o . Cada um é chamado suplemento do outro.
Calcule a medida de dois ângulos suplementares,
sabendo que:
a) eles são congruentes;
b) uma delas é o quíntuplo da outra;
c) a diferença entre elas é 36 o .
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Nomenclatura
Correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h
Colaterais internos: c e f; d e e
Colaterais externos: a e h; b e g
Alternos internos: c e e; d e f
Alternos externos: a e g; b e h
Propriedade
Congruentes
Suplementares
Suplementares
Congruentes
Congruentes
Resolução: Inicialmente vamos imaginar a reta r
deslocando-se até coincidir com s.
20
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24
4

2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Fica claro que os ângulos de medidas 2x e 3x são
suplementares.
3x + 2x = 180 ⇒ x = 36
o o
Por outro lado, temos y = 2x (ângulos o.p.v.). Logo,
y = 72 o .
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 9: Sabendo que a // b // c, calcule as
medidas dos ângulos indicados na figura.
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 11: Qual é o valor de a + b + c?
25
27
29
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
Exercício 8: Calcule x e y nas figuras, sabendo que
r // s.
2.4. Ângulos de duas paralelas
cortadas por uma transversal
3. Triângulos
Exercício 10: Calcule x na figura, sabendo que
r // s.
A soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo qualquer é igual a 180 o .
Se A, B e C são as medidas dos ângulos
internos de um triângulo ABC, vamos provar que:
⌢ ⌢ ⌢
180 o
⌢ ⌢
⌢
A + B + C =
26
28
30
5

3. Triângulos
3. Triângulos
Para isso, traçamos pelo vértice A a reta r
paralela ao lado BC,
determinando os ângulos de
medidas X e .
⌢ Y ⌢
Então temos:
⌢ ⌢ ⌢
A + X + Y =
o
180 (1)
Substituindo X por e por na igualdade
(1) obtemos:
⌢
Y ⌢
B ⌢
C ⌢
3.1. Classificação em função
dos ângulos
180 o
⌢ ⌢ ⌢
A + B + C =
Um de seus ângulos é reto. O lado oposto ao
ângulo reto é a hipotenusa AC . Os lados adjacentes
ao ângulo reto são os catetos AB e BC.
31
33
35
3. Triângulos
3.1. Classificação em função
dos ângulos
Por outro lado, sabemos que:
⌢ ⌢
⎧ ⎪X
= B ( ângulos alternos int ernos)
⎨ ⌢ ⌢
⎪⎩ Y = C ( ângulos alternos int ernos)
Seus três ângulos são agudos, isto é,
menores do que 90 o .
3.1. Classificação em função
dos ângulos
⌢ ⌢
⌢
A < 90 , B < 90 e C < 90
o o o
Um de seus ângulos é obtuso, isto é, maior
do que 90 o .
90 o ⌢
B >
32
34
36
6

3.2. Classificação em função
dos lados
Seus três lados têm medidas diferentes.
AB ≠ AC, AB ≠ BC, BC ≠ AC
Os três ângulos internos têm medidas
diferentes.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C
3.2. Classificação em função
dos lados
Seus três lados são congruentes (AB = BC =
AC).
Os três lados internos são congruentes.
A = B = C
39
⌢ ⌢ ⌢
E, uma vez que a soma dos três ângulos é
igual a 180o , conclui-se que cada um deles mede
60o .
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 13: Calcule x, sabendo que ABC é um
triângulo equilátero e que AC = AD.
37
41
3.2. Classificação em função
dos lados
Possui dois lados congruentes (AB = AC).
O ângulo formado pelos lados congruentes é
denominado ângulo do vértice ( ∢ A)
.
O lado oposto ao ângulo do vértice é
denominado base .
Os ângulos da base são congruentes, isto é,
38
B = C
⌢ ⌢
BC
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 12: Calcule as medidas dos ângulos de
um triângulo isósceles em que o ângulo do vértice é
o triplo de um ângulo da base.
3.2. Classificação em função
dos lados
Exercício 14: Se AB = AC = CD, calcule x e y.
40
42
7

3.3. Teorema do ângulo
externo
Num triângulo, o prolongamento de um lado
qualquer determina com um outro lado um ângulo
denominado externo.
3.3. Teorema do ângulo
externo
3.3. Teorema do ângulo
externo
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
o o
Como e + C = 180 e A + B + C = 180 , temos :
e + C
⌢
= A + B + C
⌢ ⌢ ⌢
⌢ ⌢
e = A + B
Exercício 16: Calcule m – n, sabendo que a // b.
43
45
47
3.3. Teorema do ângulo
externo
Em todo triângulo, a medida de um ângulo
externo qualquer é igual à soma das medidas dos
dois ângulos internos não adjacentes a ele.
3.3. Teorema do ângulo
externo
Vamos provar que:
⌢ ⌢
e = A + B
Exercício 15: Calcule x.
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 17: Na figura, calcule x em função de α.
44
46
48
8

3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 18: Se na figura seguinte AB = AF,
calcule x em função de a, b e c.
3.4. Cevianas do triângulo
Ceviana é qualquer segmento de reta que
tem uma extremidade num vértice de um triângulo
e a outra num ponto qualquer da reta suporte do
lado oposto a esse vértice.
Na figura, AA1, AA2 e BB1
são cevianas do triângulo
ABC.
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana que divide um ângulo
interno em dois ângulos congruentes.
49
51
53
3.3. Teorema do ângulo
externo
Exercício 19: Na figura a seguir, qual é o valor de
a + b + c + d + e?
3.4. Cevianas do triângulo
Os pontos A 1 , A 2 e B 1 são os pés das
cevianas.
As cevianas AA1 e AA2
são relativas ao vértice
A, ou relativas ao lado BC. A ceviana BB é re-
1
lativa ao vértice B ou relativa ao lado AC.
3.5. Cevianas notáveis
É qualquer ceviana que tem como pé o ponto
médio de um lado.
50
52
54
9

3.5. Cevianas notáveis
3.5. Cevianas notáveis
AM
neamente.
É qualquer ceviana perpendicular a um lado.
Porém, as três coincidem num único
segmento se forem relativas à base de um
triângulo isósceles.
3.5. Cevianas notáveis
é bissetriz, mediana e altura simulta-
Exercício 21: Num triângulo escaleno ABC, em
que = 36o ⌢
C , as bissetrizes internas relativas aos
vértices A e B interceptam-se no ponto I.
Calcule AIB .
⌢
55
57
59
3.5. Cevianas notáveis
De um modo geral, bissetriz interna,
mediana e altura são cevianas distintas.
3.5. Cevianas notáveis
AH é altura
AS é bissetriz
AM é mediana
Exercício 20: Na figura, AS e AH são a bissetriz e
a altura relativas ao vértice A do triângulo ABC.
Calcule α.
3.5. Cevianas notáveis
Exercício 22: Na figura, BB′ e CC′
são alturas do
triângulo. Calcule x.
56
58
60
10

3.6. Mediatriz de um segmento
de reta
Mediatriz de um segmento AB é a reta
perpendicular a AB conduzida pelo seu ponto
médio.
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das medianas.
O baricentro divide cada mediana em dois
segmentos que estão na razão de 2 para 1.
3.7. Pontos notáveis do triângulo
AG BG CG 2
= = =
GM GN GL 1
É o ponto de encontro das mediatrizes dos
lados.
O circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
61
63
65
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das bissetrizes
internas.
O incentro é o centro da circunferência
inscrita no triângulo.
3.7. Pontos notáveis do triângulo
3.7. Pontos notáveis do triângulo
É o ponto de encontro das alturas.
No triângulo eqüilátero, o incentro, o
baricentro, o ortocentro e o circuncentro
coincidem num único ponto O, chamado centro do
triângulo eqüilátero.
62
64
66
11

3.7. Pontos notáveis do triângulo
Como O é também o baricentro do triângulo,
esse ponto divide a altura AH em segmentos
proporcionais a 2 e 1. Assim, se r e R são os raios
das circunferências inscrita e circunscrita, e h é a
altura, é imediato que: 1
r = h
3
e
2
R = h
3
67
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 24: Na figura, G é o baricentro do
triângulo. Calcule x, y e z, sabendo que AM = 12
cm, BN = 15 cm e CL = 18 cm.
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 26: O ponto I da figura é o centro da
circunferência inscrita no triângulo ABC e a reta r,
conduzida por I, é paralela a BC . a) Mostre que o
triângulo PIB é isósceles e b) se AB = 7 e AC = 9,
qual é o perímetro do triângulo APQ?
69
71
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 23: Se I é o incentro de um triângulo
ABC e = 116o BIC , calcule .
⌢ ⌢ A
3.7. Pontos notáveis do triângulo
Exercício 25: Na figura seguinte, ABC é um
triângulo equilátero de lado igual a 6 cm, M é o
ponto médio de AB e CD = BC. Calcule AN.
4. Quadriláteros
A soma das medidas dos quatro ângulos
internos de um quadrilátero é igual a 360 o .
68
70
72
12

4. Quadriláteros
4. Quadriláteros
Seja ABCD um quadrilátero qualquer.
Traçando a diagonal , decompomos o quadrilátero
em dois triângulos. Como em cada triângulo
a soma das medidas dos ângulos é igual a 180o AC
,
deduz-se que:
360 o
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
A + B + C + D =
Exercício 28: ABC é um triângulo no qual = 52o e = 72o ⌢
⌢
A
C . Calcule a medida do ângulo obtuso formado
pelas mediatrizes dos lados AB e BC .
4.2. Classificação dos trapézios
Trapézio escaleno: os lados transversos têm
medidas diferentes.
AD ≠ BC
O trapézio escaleno não possui ângulos
73
75
4. Quadriláteros
4.1. Trapézios
Exercício 27: Calcule x e y.
Trapézio é todo quadrilátero que possui um
par, e somente um par, de lados opostos paralelos.
AB // CD
4.2. Classificação dos trapézios
⎧⎪ AB e CD são as bases do trapézio
⎨
⎪⎩ AC e BD são os lados transversais
Trapézio isósceles: os lados transversos têm
medidas iguais.
AD = BC
Os ângulos de uma mesma base de um
trapézio isósceles são congruentes.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
A = B e C = D
congruentes. 77
78
74
76
13

4.2. Classificação dos trapézios
Trapézio retângulo: um dos lados
transversos é perpendicular às bases.
4.2. Classificação dos trapézios
90 o ⌢ ⌢
A = D =
Exercício 30: Num trapézio ABCD isósceles, de
bases e (AB M CD), sabe-se que = 10x + 7o e = 4x + 5o ⌢
AB CD
A
⌢
C . Calcule as medidas dos quatro ângulos
desse trapézio.
4.3. Paralelogramos
Paralelogramo é todo quadrilátero que
possui os lados opostos respectivamente paralelos.
79
81
83
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 29: Calcule as medidas dos ângulos do
trapézio da figura.
4.2. Classificação dos trapézios
Exercício 31: ABCD é um trapézio retângulo em A
e em D. Se = 100o ⌢
B , calcule a medida do ângulo
obtuso formado pelas bissetrizes de ∢C
e ∢D.
4.4. Propriedades válidas para
todos os paralelogramos
Os ângulos opostos são congruentes.
Quaisquer dois ângulos adjacentes a um
mesmo lado são suplementares.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
A = C e B = D
180 o
α + β =
80
82
84
14

4.4. Propriedades válidas para
todos os paralelogramos
Os lados opostos são congruentes.
As diagonais dividem-se ao meio pelo seu
ponto de intersecção.
AB = CD e BC = AD AM = MC e BM = MD
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que possui quatro
lados congruentes.
As diagonais são perpendiculares e são
bissetrizes dos ângulos internos.
4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 32: Uma diagonal de um retângulo forma
com um dos lados um ângulo de 35 o . Calcule a
medida do ângulo agudo formado pelas duas
diagonais.
85
87
89
4.5. Paralelogramos notáveis
É todo paralelogramo que possui seus quatro
ângulos retos.
4.5. Paralelogramos notáveis
As diagonais são congruentes.
É todo paralelogramo que é retângulo e
losango simultaneamente, isto é, seus ângulos são
retos e seus lados são congruentes.
As diagonais são congruentes, são perpendiculares
e são bissetrizes dos ângulos internos.
4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 33: Uma diagonal de um losango forma
com um dos lados um ângulo de 25 o . Calcule as
medidas dos ângulos desse losango.
86
88
90
15

4.5. Paralelogramos notáveis
Exercício 34: Na figura seguinte, ABDE e ACMN
são quadrados ⌢ e ABC é um triângulo equilátero.
Calcule CBN e BNE .
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Sejam i 1, i 2, i 3, …, i n as medidas dos ângulos
internos de um polígono de n lados.
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Então, a soma das medidas dos ângulos dos n
triângulos é igual a: 180 o
n ⋅
Subtraindo os ângulos do vértice I dessa
soma, o que resta é a soma dos ângulos do polígono.
Assim,
91
93
95
5. Polígonos
Polígono
convexo
Polígono
côncavo
Um polígono é convexo se, quaisquer que
sejam os pontos X e Y do seu interior, o segmento
de reta XY está inteiramente contido em seu
interior.
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Tomando um ponto I qualquer no interior do
polígono e unindo esse ponto a cada vértice, o
polígono fica decomposto em n triângulos (cada
lado do polígono dá origem a um triângulo).
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
S = n ⋅180 − 360
i
o o
o
S = 180 ( n −
2)
i
92
94
96
16

5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Exercício 35: A soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono é igual a 2340 o . Quantos
lados tem esse polígono?
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Em todo polígono convexo, a soma das
medidas dos ângulos externos é constante e igual
a 360 o .
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
360 o
S =
e
o
⎧ e1 + i1
= 180
⎪
o
⎪e2
+ i2
= 180
⎪
o
⎨e3
+ i3
= 180
⎪
⋮ ⋮
⎪
o
⎪ en + in
= 180
⎩
o
Se + Si = n ⋅180
↓
S + 180 ( n − 2) = n ⋅180
e
S + n ⋅180
e
360 o
S =
e
o o
o
− 360 = n ⋅180
o o
97
99
101
5.1. Soma dos ângulos internos
de um polígono
Exercício 36: Na figura, calcule x e y.
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Sejam e 1, e 2, e 3 … e n as medidas dos ângulos
externos de um polígono de n lados.
5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Exercício 37: Calcule x.
98
100
102
17

5.2. Soma dos ângulos externos
de um polígono
Exercício 38: Qual é o polígono em que a soma dos
ângulos internos é o dobro da soma dos ângulos
externos?
5.3. Polígonos regulares
Da definição decorre que os ângulos
externos de um polígono regular também são
congruentes.
5.3. Polígonos regulares
Exercício 39: Num polígono regular, um ângulo
interno é o quádruplo de um ângulo externo. Qual é
esse polígono?
103
105
107
5.3. Polígonos regulares
5.3. Polígonos regulares
Um polígono é regular se, e somente se:
1 o ) todos os seus lados são congruentes;
Hexágono regular
2 o ) todos os seus ângulos internos são congruentes.
360 o
e =
n
Desse modo, como a soma das medidas dos
ângulos externos de um polígono é igual a 360o , a
medida de um ângulo externo de um polígono
regular de n lados é igual a 360 .
o
n
5.3. Polígonos regulares
Exercício 40: Na figura ABCDE é um pentágono
regular. Calcule as medidas dos ângulos do
triângulo ACD.
104
106
108
18

6. Ângulos na circunferência
⎧⎪ AB é uma corda
⎨
⎪⎩ CD é um diâmetro
Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer
de uma circunferência.
Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma
circunferência.
Arco: Qualquer uma das partes em que uma
circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus
pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos 109
arcos.
6. Ângulos na circunferência
6.1. Ângulo central
AB = medida do arco AB
Quando necessário, para diferenciar os dois
arcos determinados pelos pontos A e B de uma
circunferência, marcamos um ponto C qualquer
pertencente a um deles (de um modo geral ao
111
maior deles) e o denominamos arco ACB.
⌢
AOB = AB
⌢
EOF = EF
A medida de um ângulo central é igual à
medida do arco correspondente a ele.
113
6. Ângulos na circunferência
6.1. Ângulo central
6.1. Ângulo central
.A própria circunferência é chamada arco de
volta inteira e sua medida é 360 o .
Um arco de extremidades A e B é chamado
arco AB. A medida de um arco AB será denotada
pelo símbolo .
110
AB
Um ângulo é central em relação a uma
circunferência se o seu vértice coincide com o
centro da mesma.
O arco interceptado por um ângulo central é
denominado arco correspondente ao ângulo.
Exercício 41: Calcule x, nas figuras abaixo.
112
114
19

6.1. Ângulo central
Exercício 42: Calcule as medidas dos ângulos
internos do pentágono ABCDE.
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
Na figura, em vez de dizer que o ângulo está
inscrito na circunferência, pode-se dizer que ele
está inscrito no arco ACB.
O arco interceptado por um ângulo inscrito
também é chamado arco correspondente ao ângulo.
1 o Caso:
Traçando o raio OA, ⌢ obtemos o triângulo ⌢
isósceles OAC. Então, se C = α teremos OAC = α .
Como ∢AOB
⌢ é ângulo externo desse triângulo,
temos AOB = 2α
. E, como ∢AOB
é um ângulo
central, temos:
115
117
119
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
Um ângulo é inscrito numa circunferência se
o seu vértice é um ponto da circunferência e cada
um de seus lados contém uma corda dessa
circunferência.
A medida de um ângulo inscrito é igual à
metade da medida do arco correspondente a ele.
A demonstração completa abrange os casos
em que o centro pertence a um lado, está no
interior ou está no exterior do ângulo.
1 o Caso:
⌢
AOB = 2α ⇒ AB = 2α
AB
α =
2
116
118
120
20

6.2. Ângulo inscrito
2 o Caso:
6.2. Ângulo inscrito
∢ACB
Traçando o diâmetro CD, fica dividido
em dois ângulos inscritos de medidas α1 e α2 .
Como esses dois ângulos têm um dos lados
passando pelo centro, pelo 1o caso temos:
3 o Caso:
6.2. Ângulo inscrito
Traçando o diâmetro CD, os ângulos
inscritos ACD e BCD, de medidas α 1 e α 2 , têm
ambos um dos lados passando pelo centro. Então,
novamente pelo 1 o caso, teremos:
Dois ou mais ângulos inscritos num mesmo
arco são congruentes.
α = β = γ =
AB
2
121
123
125
6.2. Ângulo inscrito
2 o Caso:
6.2. Ângulo inscrito
3 o Caso:
6.2. Ângulo inscrito
AD DB
α1 ⇒ e α2
⇒
2 2
AD + DB
α1 + α2
⇒
2
AB
∴ α =
2
AD DB
α1 ⇒ e α2
⇒
2 2
AD − DB
α1 − α2
⇒
2
AB
∴ α =
2
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência
é reto.
⌢
AB = 180 ⇒ ACB = 90
o o
122
124
126
21

6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
É possível demonstrar também que: todo
ângulo reto e, portanto, todo triângulo retângulo é
inscritível numa semicircunferência.
Exercício 43: No triângulo ABC da figura, o lado
BC e o raio ⌢ da circunferência são congruentes.
Calcular BAC .
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 44: ABC é um triângulo retângulo em A.
Calcular o ângulo formado pela altura e a mediana
relativas à hipotenusa, sabendo que = 20o ⌢
C .
127
129
131
6.2. Ângulo inscrito
6.2. Ângulo inscrito
Note que a hipotenusa é o diâmetro da
semicircunferência.
Resolução:
Unindo-se o centro O aos vértices B e C obtém-se
o triângulo equilátero OBC. Como ∢OBC
é um ângulo
central, temos:
⌢
BOC = 60 ⇒ BC = 60
o o
Então, como ∢BAC
é um ângulo inscrito,
6.2. Ângulo inscrito
⌢ BC ⌢
BAC = ⇒ BAC = 30
2
Resolução: Inicialmente, note que o triângulo ABC
é inscritível numa semicircunferência de centro M
e diâmetro BC . Então, o triângulo AMC é isósceles,
pois MA =
MC (por serem raios da semicircunferência).
Logo, conclui-se que:
⌢ ⌢
C = 20 ⇒ M AC = 20
o o
o
128
130
132
22

6.2. Ângulo inscrito
Por outro lado, ∢AMH
é um ângulo externo do triângulo
AMC. Logo,
6.2. Ângulo inscrito
o o o
AMH = 20 + 20 = 40
Exercício 45: Na figura seguinte, BC é um
diâmetro da circunferência. Calcule , sabendo
que = 70o ⌢
⌢
APB
ABC .
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 47: Num triângulo ABC, retângulo em A,
sabe-se que = 26o ⌢
C . Calcule a medida do ângulo
formado pela bissetriz e a mediana relativas ao
vértice A.
133
135
137
6.2. Ângulo inscrito
Por fim, no triângulo AMH temos:
6.2. Ângulo inscrito
x + + =
o 0 o
90 40 180
x = 50
Exercício 46: Na figura seguinte, ABCD é um
quadrilátero qualquer inscrito numa circunferência.
Prove que α + γ = 180 o .
6.2. Ângulo inscrito
Exercício 48: Um dos catetos de um triângulo
retângulo é a metade da hipotenusa. Qual é a
medida do ângulo oposto a esse cateto?
o
134
136
138
23

7. Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se os seus
lados e ângulos forem ordenadamente congruentes.
⎧AB ≡ DE ⎧∢A
≡ ∢D
⎪ ⎪
ΔABC ≡ ΔDEF ⇔ ⎨BC ≡ EF e ⎨∢B
≡ ∢E
⎪ ⎪
AC ≡ DF ⎩ C ≡ F
⎪⎩
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Dois triângulos são congruentes se os lados de um são
respectivamente congruentes aos lados do outro.
⌢ ⌢
⎧AB
= DE
⎧ A = D
⎪ ⎪ ⌢ ⌢
⎨BC = EF ⇔ ΔABC ≡ ΔDEF ⇒ ⎨B
= E
⎪AC = DF ⎪ ⌢ ⌢
⎩ ⎪⎩
C = F
141
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Embora a definição de triângulos
congruentes exija seis conruências, três entre
lados e mais três entre ângulos, há situações em
que a congruência de dois triângulos fica garantida
com apenas três determinadas congruências. Tais
situações constituem os critérios de congruência
∢ ∢ 139
de triângulos.
140
Critério L.L.L.
Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de um
são congruentes a dois ângulos do outro e os lados
adjacentes a esses ângulos são também congruentes.
⌢ ⌢
⎧B = E
⎧AB
= DE
⎪ ⎪ ⌢ ⌢
⎨BC = EF ⇔ ΔABC ≡ ΔDEF ⇒ ⎨A
= D
⎪ ⌢ ⌢
⎪
⎩C = F
⎩
AC = DF
Critério A.L.A.
143
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Dois triângulos são congruentes se dois lados de um
são congruentes a dois lados do outro e os ângulos
compeendidos entre esses lados são também congruentes.
⌢ ⌢
⎧AB = DE ⎧ A = D
⎪ ⌢ ⌢
⎪
⎨B = E ⇔ ΔABC ≡ ΔDEF ⇒ ⎨AC
= DF
⎪BC = EF ⎪ ⌢ ⌢
⎩ ⎩C
= F
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.A.L.
Dois triângulos são congruentes se um lado e um
ângulo adjacente são congruentes a um lado e um ângulo
adjacente do outro e os ângulos opostos a esses lados são
também congruentes.
⎧BC = EF ⎧AB
= DE
⎪ ⌢ ⌢ ⎪ ⌢ ⌢
⎨C = F ⇔ ΔABC ≡ ΔDEF ⇒ ⎨B
= E
⎪ ⌢ ⌢
⎪
⎩A
= D
⎩
AC = DF
142
Critério L.A.A o
144
24

7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Critério L.L.A r
Dois triângulos retângulos são congruentes se a
hipotenusa e um cateto de um deles são respectivamente
congruentes à hipotenusa e a um cateto do outro.
90 145
o
⎧ BC = EF
⎪
⎨AC = DF
⎪ ⌢ ⌢
⎩A = D =
⇒ ΔABC ≡ ΔDEF ⇒
⌢ ⌢
⎧ B = E
⎪ ⌢ ⌢
⎨F
= C
⎪
⎪⎩
AB = DE
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Com isso, a linguagem escrita já informa quais lados e
quais ângulos são congruentes, isto é, escrevendo
ΔPXQ ≡ ΔLTU
já sabemos que
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
P = L, X = T, Q = U e
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
PX LT, PQ LU, XQ TU
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Quando escrevemos, por exemplo, ΔPXQ ≡ ΔLTU, a
ordem das letras (P, X, Q e L, T, U) indica que, se
pudéssemos deslocar um desses triângulos até fazê-lo
coincidir perfeitamente com o outro, os vértices que
ficariam sobrepostos seriam P e L, X e T, Q e U.
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Exercício 49: A figura seguinte apresenta um par
de triângulos em que elementos congruentes são
identificados por marcas iguais.
= = = 147
148
A partir das informações contidas na figura é
possível concluir que os triângulos são congruentes
e deduzir congruências que não constam nos dados.
Tudo isso pode ser feito de forma resumida neste
esquema:
⌢
M = K
MN = KO
⌢
A. L. A.
MT = KR ⎯⎯⎯⎯→ ΔMTN ≡ ΔKOR ⎯⎯→ N = O
( Critério )
⌢ ⌢
( Conclusão )
T = R
NT = OR
( Dados )
( Consequências )
149
7.1. Critérios de congruência
de triângulos
Estabeleça esquemas semelhantes para cada um
dos pares seguintes de triângulos.
146
150
25

8. Teorema de Tales
8. Teorema de Tales
8. Teorema de Tales
Se um feixe de paralelas determina
segmentos congruentes sobre uma transversal,
então esse feixe determina segmentos
congruentes sobre qualquer outra transversal.
E já que AB = BC (por hipótese), conclui-se
que DD ’ = EE ’ ⌢ ⌢
. Além disso, temos: D
⌢
(ângulos
1 = E
⌢1
' '
correspondentes em DD // EE ) e E (ângulos
2 = F2
correspondentes em s // t ).
Um feixe de paralelas separa, sobre duas
transversais quaisquer, segmentos de uma proporcionais
aos segmentos correspondentes na outra.
AB DE
Se r // s // t, então =
BC EF
151
153
155
8. Teorema de Tales
Por D e E traçamos e paralelos à
reta AC. Então os quadriláteros ABD ’ D e BCE’E são
paralelogramos e, consequentemente, DD ’ EE
= AB e
’ '
DD
'
EE
= BC.
8. Teorema de Tales
8. Teorema de Tales
Assim, pelo critério L.A.A o, conclui-se que
' '
ΔDED ≡ ΔEFE
Logo, DE = EF.
Seja u um segmento que divide AB
em m partes
iguais e BC em n partes iguais. Logo,
AB m ⋅u
AB m
= ⇒ =
BC n ⋅u
BC n
(1)
152
154
156
26

8. Teorema de Tales
Tracemos, agora, as retas que passam por esses
pontos de divisão e são paralelas a r, s e t. Pelo teorema
anterior, as retas traçadas dividem em m partes
iguais a u
157
’ e em n partes iguais a u ’ DE
EF
. Então,
'
DE m ⋅u
DE m
= ⇒ =
'
EF n ⋅u
EF n
(2)
8. Teorema de Tales
Exercício 50: Nas figuras, sabe-se que r // s // t.
Calcule x.
8. Teorema de Tales
Exercício 52: Calcule x e y, sabendo que r // s // t.
159
161
8. Teorema de Tales
8. Teorema de Tales
Então, de (1) e (2),
AB DE
=
BC EF
Exercício 51: Na figura, a reta r é paralela a BC .
Calcule AD, sabendo que AB = 18, AC = 27 e
EC = 12.
8. Teorema de Tales
Exercício 53: Se r // s // t, calcule a, b e c.
158
160
162
27

9. Semelhança de polígonos
Dois polígonos ABCDE … e A ’ B ’ C ’ D ’ E ’ … com o
mesmo número de vértices, são semelhantes se, e
somente se,
1
163
o ) seus ângulos correspondentes (ou homólogos) são
congruentes, isto é:
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢
' ' '
A = A , B = B , C = C , …
9. Semelhança de polígonos
A constante k, de proporcionalidade entre os
lados, é chamada razão de semelhança dos polígonos.
9. Semelhança de polígonos
Resolução:
a) Para calcular a razão de semelhança, basta obter
a razão de semelhança entre dois lados homólogos
quaisquer de medidas conhecidas. No caso,
entre os lados AB e LM.
AB 28 7
k = ⇒ k = ⇒ k =
LM 20 5
165
167
9. Semelhança de polígonos
Dois polígonos ABCDE … e A ’ B ’ C ’ D ’ E ’ … com o
mesmo número de vértices, são semelhantes se, e
somente se,
2 o ) seus lados homólogos são proporcionais, isto é:
9. Semelhança de polígonos
AB BC CD
= = = … = K
' ' ' ' ' '
A B B C C D
Exercício 54: Na figura, sabe-se que ABCD ∼ LMNP.
Calcular: a) a razão de semelhança entre ABCD e
LMNP e, b) x, y e u.
9. Semelhança de polígonos
Resolução:
b) Já que a razão entre quaisquer dois lados
homólogos é igual à razão de semelhança, temos:
x 7
= ⇒ x = 49
35 5
y 7
= ⇒ y = 56
40 5
35 7
= ⇒ u =
25
u 5
164
166
168
28

9. Semelhança de polígonos
Exercício 55: Sabendo que os pentágonos ABCDE e
KLMNO são semelhantes, calcule: a) a razão de
semelhança e b) u, v, x e y.
10. Semelhança de triângulos
Conforme visto anteriormente, para que dois
polígonos sejam semelhantes são necessárias duas
condições: 1 o ) os ângulos correspondentes têm de ser
congruentes; 2 o ) os lados homólogos têm de ser
proporcionais.
10. Semelhança de triângulos
Porém, exclusivamente no caso dos triângulos, a
semelhança fica garantida com um menor número de
informações sobre eles. Tais informações constituem os
critérios de semelhança de triângulos.
169
171
173
9. Semelhança de polígonos
Exercício 56: Na figura, os retângulos ABCD e
BCFE são semelhantes. Se AEFD é um quadrado,
calcule o valor de m/n.
10. Semelhança de triângulos
Apenas uma dessas duas condições não garante
que dois polígonos sejam semelhantes. Por exemplo, os
quadriláteros da figura acima possuem seus ângulos
respectivamente congruentes, mas não são semelhantes,
pois seus lados não são proporcionais.
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Critério A.A. (Ângulo, Ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos
de um são congruentes a dois ângulos do outro.
⌢ ⌢ ' ⎧ ⎪B
= B
' ' '
⎨ ⌢ ⌢ A. A. ΔABC ∼ ΔA
BC
'
C = C
174
⎪⎩
‘
‘
‘
‘ ‘ ‘
170
172
29

10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
‘ ‘ ‘
Critério L.L.L. (Lado, Lado, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se os lados de
um são proporcionais aos lados do outro.
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
a b c
' ' '
= = L. L. L. ABC A BC
' ' ' Δ ∼ Δ
a b c
No reconhecimento dos lados homólogos em
triângulos semelhantes, deve-se identificar os pares de
ângulos congruentes por meio de marcas iguais, ou com
letras do alfebeto grego. Esse procedimento visa
facilitar o reconhecimento dos lados homólogos.
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 57: Calcule x e y nas figuras abaixo.
r / / BC r / / AB
‘
‘
‘
175
177
179
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
‘ ‘ ‘
Critério L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado)
Dois triângulos são semelhantes se possuem um
par de ângulos congruentes compreendidos entre lados
⌢ ⌢ '
proporcionais. ⎧ A = A
⎪
' ' '
⎨ b c L . A. L. ΔABC ∼ ΔA
B C
=
176
⎪ ' '
⎩b
c
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
BC AC AB
= =
LM LN MN
Exercício 58: Na figura seguinte, observe os dados
com atenção e calcule x e y.
‘
‘
‘
178
180
30

10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 59: Qual é a medida do lado do quadrado
ABCD da figura?
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 61: Na figura, sabe-se que AD = BD e que
AB = AC = CD = 2. Calcule os valores de α e x.
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Por exemplo, para dois triângulos semelhantes, se
a razão de semelhança é igual a k, então: (a) a razão
entre lados homólogos é k; (b) a razão entre alturas
homólogas é k; (c) a razão entre medianas homólogas é
k; (d) a razão entre os perímetros é k; etc …
a h m a + b + c
= = = = … = k
185
' ' ' ' ' '
a h m a + b + c
‘
181
183
10.1. Critérios de semelhança
de triângulos
Exercício 60: Calcule x nas figuras abaixo:
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Até agora trabalhamos com a proporcionalidade
dos lados de polígonos semelhantes. Porém, essa
proporcionalidade não ocorre apenas entre os lados e
sim entre quaisquer dois elementos lineares homólogos
de figuras semelhantes.
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 62: Na figura, LMNP é um quadrado
inscrito no triângulo ABC. Calcular x em função de
a e h.
‘
182
184
186
31

10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Resolução: Como
LM / / BC ⇒ ΔALM ∼ ΔABC
Então, como a razão entre alturas homólogas é igual
à razão entre lados homólogos, temos:
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
Exercício 63: Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ da
figura são semelhantes. Se o perímetro do segundo
é igual a 32, calcule as medidas de seus lados e de
sua diagonal B’D’.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Pelo teorema de Tales, verifica-se de imediato
que: “A reta que passa pelo ponto médio de um lado de
um triângulo e é paralela a um outro lado intercepta o
terceiro lado em seu ponto médio.”
187
189
191
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
10.2. Razão entre elementos
lineares de figuras semelhantes
x h − x
= ⇒ hx = ah − ax ⇒ ax + hx = ah
a h
ah
( a + h) x = ah ⇒ x =
a + h
Exercício 64: A figura seguinte mostra um
retângulo inscrito no triângulo ABC. Calcule as
medidas dos lados do retângulo, sabendo que sua
base é o dobro de sua altura.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Se r // BC e M é ponto médio de AB,
então N é o
ponto médio de AC.
Note então que a reta que passa pelos pontos
médios de dois lados de um triângulo é paralela ao
terceiro lado.
188
190
192
32

10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Observando ainda que ΔAMN RΔABC, pois r // BC,
podemos escrever:
MN AM
=
BC AB
E como AM é a metade de AB, conclui-se que MN
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Resumindo, o segmento que une os pontos médios
de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado
e sua medida é a metade da medida do terceiro lado.
é a metade de BC. 193
194
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Se M e N são pontos médios de AB e AC.
⎧1)
MN // BC
⎪
então ⎨ BC
⎪2)
MN =
2
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 65: Na figura dada, ABC é um triângulo
equilátero de lado l = 6 e M é o ponto médio de AB.
Calcular NC, sabendo que CD = 8.
⎩ 195
196
Resolução: Unindo M ao ponto P, médio de BC,
temos:
AC
MP / / AC e MP =
2
isto é, MP = 3.
Mas, se
MP / / AC, então ΔNCD ∼ ΔMPD
197
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
NC CD x 8
= ⇒ =
MP PD 3 11
24
x =
11
198
33

10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 66: Os lados de um triângulo retângulo
medem 10, 12 e 16. Os pontos médios dos lados
desse triângulo são vértices de um novo triângulo.
Calcule as medidas dos lados do segundo triângulo.
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
Se ABC é um triângulo retângulo em A, traçandose
a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os
seguintes elementos: a → hipotenusa; b e c → catetos;
h → altura relativa à hipotenusa; m → projeção de c
sobre a hipotenusa; n → projeção de b sobre a
199
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 67: Na figura, L, M e N dividem AB em
quatro partes iguais e as retas r, s e t são paralelas
a BC . Calcule o valor de a + b + c.
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
hipotenusa. 201
202
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
Note que a altura AH divide o triângulo ABC nos
triângulos HBA e HAC.
Então, ΔABC R ΔHBA, pois e é
ângulo comum.
Além disso ΔABC R ΔHAC, pois 90 e
é ângulo comum. Logo,
o
90 ∢B
⌢ ⌢
A = H =
o ⌢ ⌢
A = H =
∢C
ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC
203
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
ΔABC ∼ ΔHBA
a b
= ⇒ b ⋅ c = a ⋅ h
c h
a c 2
= ⇒ c = a ⋅
m
c m
(1)
(2)
200
204
34

11. Relações métricas no triângulo
retângulo
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
Resumindo:
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
ΔABC ∼ ΔHAC
a b
= ⇒ = ⋅
b n
2
b a n
ΔHBA ∼ ΔHAC
h m 2
= ⇒ h = m ⋅ n
n h
(3)
(4)
a = b + c
2 2 2
2
b = a ⋅ n
= ⋅
2
c a m
= ⋅
2
h m n
b ⋅ c = a ⋅ h
Cada cateto é média geométrica entre a
hipotenusa e a sua projeção sobre ela.
2 2
b = a ⋅ n e c = a ⋅ m
A altura é média geométrica entre as projeções
dos catetos sobre a hipotenusa.
2
h = m ⋅ n
205
207
209
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
11. Relações métricas no triângulo
retângulo
Teorema de Pitágoras
2 ⎧ ⎪b
= a ⋅ n
+ ⎨ 2
⎪⎩ c = a ⋅ m
(2) + (3)
+ = ⋅ (
+ )
2 2
b c a m n
b + c = a
2 2 2
a
(5)
Se x, p e q são números ou segmentos que
satisfazem a equação
2
x = p ⋅ q
dizemos que x é a média geométrica entre p e q. Desse
modo, há três médias geométricas entre as relações
métricas no triângulo retângulo.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 68: Os catetos de um triângulo retângulo
medem 5 e 2 5.
Calcular: a) a hipotenusa, b) as projeções
dos catetos e c) a altura relativa à
hipotenusa.
206
208
210
35

10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Resolução:
a) Calculamos a hipotenusa pelo teorema de
Pitágoras.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
( 5 ) ( 2 5 )
2 2 2 2
a = b + c ⇒ a = +
2 2
a = 5 + 4 ⋅5 ⇒ a = 25
a = 5
2 2
Por outro lado, como m + n = a, temos:
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
m + n = a ⇒ 1+ n = 5 ⇒ n = 4
Exercício 69: Os catetos de um triângulo retângulo
medem 2 13 e 3 13 . Calcule: a) a hipotenusa; b) as
projeções dos catetos; e c) a altura relativa à
hipotenusa.
211
213
215
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
b) Podemos determinar m pela fórmula c 2 = a ⋅ m,
pois já calculamos a hipotenusa.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
( ) 2
2
c = a ⋅ m ⇒ 5 = 5 ⋅ m
5 = 5 ⋅ m
m = 1
c) Finalmente, podemos calcular h por meio de
qualquer uma das relações h 2 = m ⋅ n ou b ⋅ c = a ⋅ h.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
2 2
h = m ⋅ n ⇒ h = 1⋅ 4 ⇒ h = 2
Exercício 70: Na figura, AB é o diâmetro da
semicircunferência. Calcule AP e PB.
212
214
216
36

10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 71: O perímetro de um losango é igual a
40 e sua diagonal mede 16. Calcule o raio da
circunferência inscrita nesse losango.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 73: No plano cartesiano são dados os
pontos A(2; 1) e B(6;4). Calcule a distância de A e B.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 75: Na figura seguinte, ABCD é um
trapézio retângulo de bases AB e CD. A
semicircunferência de diâmetro AD tangencia o
lado BC em T. Calcule o raio da semicircunferência.
217
219
221
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 72: O triângulo ABC da figura é retângulo
em A. AH e AM são a mediana e a altura relativas à
hipotenusa. Calcule b e c.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 74: Na figura, as circunferências de
centros O e O’ têm raios R e r, são tangentes entre
si e tangenciam a reta t nos pontos A e B. Calcule
AB em função de R e r.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 76: Vista de trás, a carroceria de um
certo caminhão tem forma retangular. Sua altura,
medida desde o solo, é de 3,6 m. O caminhão se
dirige a um clube, cuja entrada é um arco
semicircular de 3,9 m de raio. Para que ele possa
passar pelo arco, é necessário que sua largura seja
menor que um certo valor l. Calcule l.
218
220
222
37

10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 78: Qual é o comprimento da diagonal de
um quadrado de lado l?
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 80: Calcule a área de um triângulo
equilátero de lado l.
223
225
227
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 77: Na figura seguinte, O é o centro da
circunferência, AB = 30 e MP = 9. Calcule o raio da
circunferência.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 79: Calcule os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num quadrado de lado l = 4.
10.3. Propriedade decorrente
do Teorema de Tales
Exercício 81: Calcule os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num triângulo equilátero de
lado l = 6.
224
226
228
38