Cálculo do VaR para Títulos de Renda Fixa

Cálculo do VaR para Títulos de Renda Fixa Indexados
Mostramos um procedimento inédito na literatura para calculo do VaR de títulos indexados. Esse é
um problema particularmente importante no mercado financeiro brasileiro que tem a maior parte dos
títulos com rentabilidade vinculada a algum índice. Também compatibilizamos esse procedimento com o
modelo padrão adotado pelo Banco Central do Brasil para títulos prefixados.
This article developed a new procedure to calculate Value at Risk of index bonds. This is an
important issue for Brazilian financial markets where the majority of financial instruments are
index bonds. We also made this model compatible with the current Brazilian Central Bank’s
standard model for fixed income instruments.
Gyorgy Varga
Varga@fgvsp.br

A gerência de risco vem ocupando grande espaço entre os praticantes do mercado financeiro
especialmente devido as demandas das autoridades financeiras. Desde 1993, vários problemas no
mercado de derivativos geraram preocupação entre as autoridades monetárias norte-americanas. Houve
pressão para uma regulamentação mais rigorosa sobre os derivativos, mas o próprio mercado respondeu
com a liberação gratuita do sistema riskmetrics do banco JPMorgan. Daí também o surgimento dentro das
instituições financeiras, da área de gerência de riscos, conhecido entre praticantes como middle office,
que cuida de avaliar o risco da variação de valor dos investimentos financeiros.
O risco costuma ser separado em risco de mercado, de crédito, operacional e de liquidez. E uma
medida de risco de mercado que ficou muito popular entre os gestores de risco é o Valor ao Risco- VaR.
Mostramos nesse trabalho um modelo geral para o cálculo do VaR de instrumentos de renda fixa
prefixados e indexados.
1 Calculo do VaR
O VaR tenta resumir em um único número a perda esperada máxima dentro de certo prazo e com
certo grau de confiança estatística. Ele avalia a variação esperada do PL (Profit & Loss ou lucro/prejuízo
em português) sendo função da distribuição do PL. Torna-se um número de fácil leitura e entendimento
que depende do prazo e do grau de confiança desejado. Por ser um instrumento quantitativo, o VaR
permite que se avalie sem preconceito todas as possibilidades para o valor de uma carteira, pois mesmo
certos cenários considerados quase impossíveis eventualmente acontecem.
Além de uma medida de risco, o VaR pode ser um instrumento para limitar o risco de investimentos
e traz várias vantagens em relação a simples limitação do tipo de ativo que certo trader pode adquirir. Por
exemplo, é muito comum a proibição de uso de derivativos para impedir a assunção de riscos maiores
com a alavancagem proporcionada por esses ativos, mas isso impede que eventualmente se diminua o
risco de uma carteira através de uma operação hedge. O VaR permite que se avalie imediatamente se o
derivativo esta aumentando ou diminuindo o risco da carteira, logo, com a limitação do risco por VaR
pode ser dar liberdade para o gestor de investimento usar derivativos sem o risco dele tomar posições
com risco além do limite estabelecido.
VaR paramétrico
O VaR paramétrico parte de uma distribuição de probabilidade suposta válida para o retorno da
carteira de investimento em análise. Uma vez definida a distribuição correta, estimamos seus parâmetros
(no caso da normal apenas a média e o desvio-padrão), definimos o horizonte de investimento e o nível
de confiança (x%). Com esses dados calculamos com x% de probabilidade qual o pior retorno que essa
carteira pode gerar. Esse pior retorno para o valor da carteira é o Valor ao Risco - VaR.
É conveniente (e comum) usar a distribuição normal para descrever a distribuição do retorno,
devido a facilidade operacional e teórica em se obter seus parâmetros e manipular essa distribuíção.
Apesar disso, em alguns casos, como em carteiras que contém opções, a suposição de distribuição normal
pode gerar uma enorme distorção no calculo de VaR, sendo necessário o uso de outra distribuição de
probabilidade.
O PL de uma carteira nada mais é do que a variação do seu valor da carteira (∆C). Supondo que
essa variação é normalmente distribuída, podemos simplesmente tomar a aproximação de uma normal
pela normal padrão para calcular o valor de corte com (1-x%) de área à esquerda.
VaR ∆
1 − x%
= −α
x%
σ ∆C
+ µ C
(1)
onde:
αx% é o valor de corte numa distribuição normal-padrão com (1-x%) de probabilidade à esquerda,
σ∆C é volatilidade da variação do valor carteira e,
µ ∆C é a média da variação do valor da carteira.
Por simplicidade é comum fazer µ∆C igual a zero.
VaR para títulos indexados 2

No caso de títulos de renda fixa, aproximamos a distribuição da variação do valor da carteira pela
distribuição da variação das taxas de juros e da duração da carteira. Isso irá facilitar enormemente todas
as contas a serem feitas.
Também para facilitar as contas, usaremos taxas de juros contínuas ao invés de taxas discretas na
modelagem financeira. O próprio BCB utilizou esse formato de taxa na criação do modelo padrão de
risco de juros prefixado publicado na circular 2972. Com esse procedimento a aproximação da
volatilidade do preço pela volatilidade da taxa fica mais simples. Nesse caso o preço de um título
prefixado com valor final 1, é dado por
onde r é a taxa de juros no formato contínuo.
VaR para títulos indexados 3
−rt
A volatilidade da variação do preço pode ser aproximada i por
P = e
(2)
dP = t P dr ⇒ σ = t Pσ
(3)
Tendo a volatilidade da variação das taxas contínuas, pode-se por (3) obter a volatilidade corrente
do preço multiplicando-se esta pelo seu prazo. Como a volatilidade é relativamente estável com o prazo
dos títulos, o trabalho de avaliação da volatilidade de uma carteira pode ser reduzido à preocupação com
a volatilidade da taxa (onde basta uma) e não a volatilidade do retorno de cada título.
Para se aplicar (1) e calcular o VaR de um título de renda fixa, basta calcularmos a volatilidade da
taxa de juros contínua e a duração do título. Para se estimar a volatilidade vários métodos estão
disponíveis na literatura. Métodos estatísticos tais como máxima verossimilhança, suavização
exponencial ou X-GARCH, que se baseiam no retorno passado ou métodos baseados na volatilidade
implícita em opções. Um ótimo resumo com aplicação para o mercado brasileiro esta em Duarte (1996).
Uma questão prática importante no trato da volatilidade, é a transformação do seu prazo. Supondo
que os retornos (no nosso caso é a variação da taxa de juros contínua) são independentes e identicamente
distribuídos (iid), pode-se passar da volatilidade de um prazo maior para prazo menor dividindo-se pelo
número períodos menores contidos no período maior (np).
σ =
prazo _ menor
σ
prazo _ maior
np
Por exemplo, para transformar uma volatilidade anual em diária basta fazer a seguinte conta:
σ
dia
=
σ ano
252
VaR de uma carteira de renda fixa
Vimos acima o calculo do VaR de um título de renda fixa e agora estendemos esse resultado para
uma carteira de títulos prefixados. Novamente a dificuldade esta no cálculo da volatilidade da carteira,
superado isso o VaR é obtido pela simples aplicação de (1).
Representamos abaixo uma carteira com m títulos de diferentes vencimentos:
P n P n C + + + = L
1
1
2
2
m m P n
dP
dr

Cada componente niPi dá o valor presente investido no título com prazo ti. Supondo que todos os
títulos são do tipo zero cupom e usando taxa de juros no formato contínuo, diferenciamos essa equação e
obtemos
dC = − n t P dr − n t P dr L − n
1 1
1
1
2
2
2
2
VaR para títulos indexados 4
m
t
m
A variação do valor da carteira é uma função da soma de várias variáveis aleatórias dri. Fixando o
preço Pi de cada título e permitindo apenas a variação da taxa de juros calculamos uma aproximação para
a variância da variação do valor da carteira. De um teorema de estatística temos que a variância da soma
de variáveis aleatórias é
onde:
T =
dr
Cov
( − n1t1P1
− n2t
2P2
L − nmt
mPm
)
= ( dr dr L dr )
( dr )
1
2
2 ⎡σ
1
⎢
⎢ρ
2,
1 σ 2σ
1
= ⎢
⎢
M
⎢
⎣ρ
m,
1σ
mσ
1
m
ρ
ρ
P
m
dr
m
( dC)
T Cov(
dr)T
.
Variancia = '
(4)
1,
2
σ
2
2
m,
2
σ σ
1
σ
m
2
σ
2
L
L
L
ρ
ρ
1,
m
2,
m
σ ⎤ 1σ
m
⎥
σ 2σ
m ⎥
⎥
⎥
2
σ ⎥
m ⎦
onde σ i é a volatilidade da i-ésima taxa (a volatilidade deve ter a mesma periodicidade do prazo
dos títulos)
Feito isso, tem-se a volatilidade da variação do valor da carteira (dC) e aplicando (1) chega-se ao
seu VaR por
= −α
σ = −α
T'Cov( dr)T
. (5)
VaR x%
dC x%
Esse é o procedimento conhecido como portfolio VaR porque leva em conta a correlação corrente
entre os diferentes títulos. Um procedimento mais simples conhecido como duration VaR, supõe que a
correlação entre a variação das taxas é igual a 1 e a volatilidade de todas as taxas é a mesma. Essa
simplificação se justifica se os movimentos da Estrutura a Termo (ET) das taxas de juros forem
paralelos ii . Nesse caso a variância do valor da carteira é igual a
( ) ( ) 2
2
dC = t n P + t n P + L + t n P
variancia 1 1 1 2 2 2
m m m
σ .
E a volatilidade da carteira é igual a soma da volatilidade da taxa de cada título que compõe a
carteira, ponderada pela respectiva duração.
σ
dC
( t n P + t n P + + t n P )
= σ
L
1
1
1
2
2
2
Aplicando a fórmula (1) chegamos ao VaR dessa carteira:
m
m
m
C
VaR = −α
x%
σ ( t1n1P
1 + t2n
2 P2
+ L + tmn
m Pm
) = −α
x%
σ D C (6)
C
n1P1
onde D é duração da carteira D = t1
+ t2
C
n2
P2
C
nm
Pm
+ L + tm
C
.

O cálculo do VaR de título com vários pagamentos intermediários equivale ao de uma carteira de
títulos tipo zero cupom. Assim sendo, é muito prático aplicar o duration VaR de acordo com (6)
2. Modelo Padrão de Brasileiro para Títulos Prefixados - Circular 2972
O Banco Central do Brasil (BCB) colocou em prática em 23/3/2000 através da circular 2972 um
modelo de cálculo de risco de mercado para taxas de juros prefixadas para fins de calculo da exigência de
capital das instituições financeiras. O modelo tem sua origem nos desenvolvimentos do comitê da
Basiléia, riskmetrics e dos desenvolvimentos da Câmara de Assuntos de Administração de Risco -
CAAR iii , detalhes sobre sua aplicação podem ser vistos na Nota Técnica do BCB e sobre seu
desenvolvimento veja Arcoverde (2000).
Esse modelo estabelece que a exigência de capital é função do VaR da carteira de renda fixa
prefixada calculado como se segue. Primeiramente, os diversos títulos da carteira têm seus fluxos
mapeados linearmente por um conjunto de sete vértices definidos por prazos de investimento (21, 42, 63,
126, 252, 504 e 756 dias úteis).
O calculo do VaR de cada dia é dado por:
padrão
VaR = VaR' ρ VaR
(7)
A matriz de correlação das taxas é fixada de acordo com
⎛ Pi
⎞
⎜ ( ) P
⎟
1−
ρ ⎝ j ⎠ se Pi
> Pj
VaR para títulos indexados 5
K
t
t
ρi
, j = ρ +
(8)
onde o ρ e k padrão podem ser divulgados no último dia útil de cada mês ou a qualquer momento, a
critério do BCB.
O VaRt é o VaR associado a cada vértice, e é dado por:
Pi
= 2,
33 Sig t VMTM i D
(9)
252
VaRi , t
, t
onde Pi é o prazo em dias úteis do vértice i,
Sigt é a volatilidade-padrão divulgada diariamente pelo BCB,
VMTMi,t é a soma do valor de presente dos fluxos de pagamento alocados no vértice i,
D=10 (dias úteis necessários para liquidação da posição).
O VMTM é o valor presente dos fluxos de pagamento em cada vértice. Para se obter esse valor
presente a instituição financeira precisa de uma estrutura a termo com taxas definidas para todos os
prazos. Segundo a 2972, as taxas utilizadas são de responsabilidade da instituição financeira e devem ser
"estabelecidas com base em critérios consistentes e passíveis de verificação que levem em consideração a
independência na coleta de dados em relação às taxas praticadas em suas mesas de operação". Assim,
cada instituição deve calcular sua própria curva de juros podendo para este fim escolher qualquer método
de interpolação iv praticado no mercado, mas com taxas vindas do mercado e não taxas praticadas
exclusivamente pela instituição.
O modelo da 2972 pode ser resumido na mesma fórmula simples de cálculo de VaR dada pela
fórmula (1). De (7) temos
VaR
padrão
t
=
[ VaR LVaR
]
1,
t
n,
t
⎡ρ11
L ρ1n
⎤ ⎡VaR1,
t ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢M
⎥ ⎢M
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣
ρ n1
L ρ nn ⎦ ⎣VaRn,
t ⎦

Combinando com (9), com mais algumas transformações e, por simplicidade, retirando o subscrito
de tempo t, temos:
⎡
⎡ ⎤
⎢VMTM
⎡SigL0
⎤ ρ11
L ρ1n
⎡SigL0
⎤
padrão
⎡ P
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
1
Pn
⎤ ⎢
VaR = 2,
33 10 ⎢VMTM
1 LVMTM
n ⎥ ⎢M
⎥ ⎢M
⎥ ⎢M
⎥ ⎢M
⎣ 252 252⎦
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎣0
LSig⎦
⎣
ρ n1
Lρ
nn ⎦ ⎣0
LSig⎦
⎢VMTM
⎣
Reescremos a equação acima como:
⎡
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎢VMTM
⎡
⎤ 10 Sig L0
ρ11
L ρ1n
10 Sig L0
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
padrão ⎢ P
⎢
1
Pn
⎥
VaR = 2,
33
⎢
VMTM1
LVMTM
n ⎥ ⎢M
⎥ ⎢M
⎥ ⎢M
⎥ ⎢M
252 252
⎢1444442444443⎥⎢⎥⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎣
'
⎦ ⎢⎣
0 L 10 Sig⎥⎦
⎣
ρn1
L ρ
T
nn ⎦ ⎢⎣
0 L 10 Sig⎥
14444444442444444444
4 3⎦⎢VMTM
⎣
Cov(
dr)
Com um pouco mais de álgebra, simplificamos a equação acima e voltamos à fórmula para cálculo
de risco (1) agora para um VaR(99%, 10 dias úteis):
VaR padrão
t
= 2
{
, 33 T' Cov(
dr)T
α ( 1%
)
−
O VaR da 2972 é calculado levando-se em conta a correlação (em geral, menor do que um) entre
seus vértices, portanto, trata-se de um quase portfólio VaR. Se os fluxos de pagamentos coincidirem com
os vértices usados no mapeamento, esse modelo fica igual ao portfólio VaR descrito na seção 1.
3. VaR de Títulos Indexados
Seguindo o mesmo arcabouço anterior vamos tratar uma carteira de títulos indexados e calcular seu
VaR. Na agregação de uma carteira de ativos com indexadores diferentes, pode-se tratar cada indexador
como se fosse uma outra moeda, e em seguida obter a matriz de covariância dessas diferentes moedas e
usar o VaR segundo (1). Não se deve esquecer de tratar separadamente os juros sobre cada uma dessas
moedas.
Outra possibilidade é converter todos os títulos indexados em papéis prefixados e tratar toda a
carteira como se fosse prefixada. Esse é um procedimento que permite um hedge imediato, mas tem o
inconveniente de precisar de taxas de conversão entre os diferentes ativos que dificilmente estarão
disponíveis.
Devido a escassez de dados, a primeira alternativa é a mais indicada, e precisamos apenas da taxa de
conversão de cada moeda para a moeda local e da estrutura a termo da taxa de juros das diferentes
moedas, ambas informações disponíveis no mercado.
O preço em moeda local (no caso do Brasil é o real) de um título negociado em uma moeda
qualquer é
−rd
t
P = S e
onde S é a taxa de câmbio da outra moeda e rd e a taxa de juros dessa outra moeda.
Decompondo a variação do preço desse título temos uma aproximação para a variação do seu preço
em moeda local calculada por
VaR para títulos indexados 6
1
n
P1
⎤
252 ⎥
⎥
⎥
P ⎥
n
⎥
252⎦
1
n
P1
⎤
252
⎥
⎥
⎥
P ⎥
n ⎥
252⎦

dP = e
−rd
t ( − t)
S e drd
= P + ( t)
P drd
−rd
t
dS +
−
A variação do preço do título em moeda local depende de duas componentes: a variação contínua da
taxa de câmbio e a taxa de juros sobre a moeda (não local). Novamente usando o teorema de soma de
variáveis aleatórias e supondo P constante, temos a volatilidade desse título em moeda local:
variancia
volatilida de =
⎛ dS ⎞
2
2
2
( dP ) = P variancia⎜
⎟ + ( − tP)
variancia(
drd
) + 2(
− t)
P Cov⎜
, drd
⎟
⎝ S ⎠
⎝ S ⎠
( dP) variancia ( dP)
VaR para títulos indexados 7
dS
S
No caso de uma carteira com títulos de k diferentes moedas, seu valor é
C = n P + n P + L +
1
1
2
2
nk
Pk
Diferenciando essa equação temos:
dC = n dP + n dP + L +
1
1
2
2
nk
dPk
(10)
⎛ dS
Substituindo (10) na equação acima, temos uma aproximação para a variação do valor da carteira
com k diferentes moedas:
⎛ dS1
⎞
dC n ⎜ P1
+ 1 1 1 ⎟ L
⎝ S1
⎠
⎛
⎜
⎝
( ) ( ) ⎟ k
− t P dr ⎟ + + n ⎜ P + − t P dr
= 1 k k
k k k
(11)
S k
Essa equação dá a variação do valor da carteira como função da taxa contínua de retorno de cada
moeda e da variação da taxa contínua de juros sobre essas moedas. Se existir em carteira mais de um
título da primeira moeda, por exemplo, com m prazos diferentes, então temos
dC =
1
( n P + L + n P ) + ( n P ( − t ) dr + L + n P ( − t ) dr )
1,
1 1,
1
1,
m 1,
m
dS
S
⎛ dS 2
+ n P ⎜ 2 2
⎝ S 2
1
+
1,
1 1,
1
⎞
⎟
⎠
dS
⎛ dS
⎜
⎝ S k
( ) ( ) ⎟ k
− t dr ⎟ + L + n P ⎜ + − t dr
2
2
1,
1
1,
1
k
k
1,
m 1,
m
Para calcular a variância da variação do valor dessa carteira, tomamos como fixo o valor investido
em cada título e como aleatório a taxa de câmbio e a taxa de juros de cada moeda. Temos então a
variação do valor da carteira como função da soma das variáveis aleatórias Si e ri. Da soma de variáveis
aleatórias chegamos a
( dC)
V Cov(
F)V
1,
m
k
⎞
⎠
1,
m
k
⎞
⎠
+
(12)
Variancia = '
(13)
onde:
( )
( )
( ) ⎟ ⎛ 1,
1 1,
1
V ⎜
1+
m+
k x1
=
⎜
⎝L
nk
Pk
1,
m 1,
m
− tk
nk
Pk
1,
1 1,
1 1,
1
1,
m 1,
m
⎛ dS1
F = ⎜
1+
m+
k x1
⎝ S1
dr1
L drm
dS 2
S 2
dr2
L
dS k
S k
drk
⎞
⎠
( n P + L + n P ) ( −t
) n P L ( −t
) n P n P ( − t )
1,
m
2
2
2
n2P2
⎞
⎟
⎠
Feito isso, tem-se a volatilidade da carteira e aplicando (1) chega-se ao portfolio VaR que leva em
conta a correlação corrente entre as diferentes moedas e suas taxas de juros.
⎞

Dado o desenvolvimento da seção 2 fica fácil construir um modelo padrão semelhante, mas que trata
todos os títulos indexados (aqui simplesmente tratados como títulos em outra moeda) simultaneamente.
Tomando (13), o grau de confiança e o prazo do VaR da circular 2972 temos
( V Cov(
F)
V )
VaR = 2,
33 10 '
. (14)
Com um pouco de engenharia reversa e tomando apenas um prazo para cada moeda (para
simplificar as contas) decompomos (14) em
Cov
⎛
P1
V = ⎜VMTM
1 VMTM 1 L
⎝
252
( F)
⎡Sig1
⎢
⎢ 0 Sig
= ⎢ M
⎢
⎢ 0 L
⎢
⎢⎣
0 L
1,
1
L
L
Sig
0
m
0 ⎤ ⎡1
⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢ρ11,
1
⎥ ⎢
⎥ ⎢M
0 ⎥ ⎢ρmk
−1
⎥ ⎢
Sigm,
1⎥⎦
⎢ρ
⎣ mk,
1
, 1
VMTM
mk −1,
11
Pn
⎞
⎟
252 ⎠
VaR para títulos indexados 8
ρ
ρ
ρ
1,
11
1
mk , 11
L
L
L
L
m
ρ
ρ
VMTM
mk −1,
1
mk −1,
11
ρ
1
mk,
mk −1
ρ
n
ρ
ρ
mk,
1
mk , 11
mk , mk −1
1
⎤ ⎡Sig1
⎥ ⎢
⎥ ⎢ 0 Sig
⎥ ⎢
⎥ M
⎢
⎥ ⎢ 0 L
⎥ ⎢
⎥
⎦
⎢⎣
0 L
1,
1
L
L
Sig
0
m
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
Sigm,
1⎥⎦
P
onde t i
i = e VMTM i = ni
P
252
i .
ρi, j é a correlação da i-ésima ou taxa de juros nessa moeda com a j-ésima moeda ou taxa de juros
dessa moeda. Sigi,j é a volatilidade da moeda i e da taxa de juros j.
Algumas simplificações podem ser feitas para tornar (14) mais tratável do ponto de vista
computacional. Por exemplo, supondo que a correlação entre as taxas de diferentes moedas é zero e entre
o retorno de uma moeda e as taxas de outras moedas também é zero podemos escrever:
( m r
mr Vm
r ) + Vm
Cov(
Fm
) m
( F)
V V ' Cov(
F )
V Cov = ∑ ' V
(15)
' ,
,
m
O primeiro termo a direita é o VaR do risco de taxa de juros em cada moeda e o segundo é o VaR
que vem do risco entre as moedas. Esse modelo pode ser ajustado para um formato semelhante ao modelo
da circular 2972. Com a matriz de correlação das taxas de cada moeda e sua volatilidade tem-se o
primeiro termo à direita. Com a volatilidade de cada moeda tem-se o segundo termo a direita, e, assim
chegamos a uma aproximação parcimoniosa do VaR para todas as moedas (ou todos os títulos
indexados).
Essa simplificação torna diversas componentes da matriz de correlação iguais a zero e o efeito sobre
o VaR exato da carteira varia conforme o sinal dessas correlações e dos fluxos que constituem a carteira.
Se essas correlações são positivas e a carteira tem apenas posições compradas (como um fundo de
investimento) o VaR fica menor do que no caso da matriz de correlação completa. Se a carteira tem
posições compradas e vendidas o impacto dessa simplificação é indefinido.
Com esse modelo temos um arcabouço geral e semelhante ao da 2972 para calcular conjuntamente o
VaR de títulos indexados (aqui tratados como se fossem em outra moeda) e prefixados. O exemplo da
seção seguinte ilustra a aplicabilidade desse modelo no mercado financeiro brasileiro.
Conforme destaca Arcoverde(2000), para que esse seja um modelo padrão é necessário que a
demanda de capital gerada por esse modelo de calculo de risco de mercado seja, pelo menos em um
sentido probabilístico, maior do que o obtido por um modelo interno. Pois bem, o modelo acima calcula o
VaR conjunto de títulos prefixados e indexados, e a simplificação sugerida torna esse número menos
acurado, assim, é conveniente que o modelo padrão seja simplificado para facilitar sua aplicação, mas que
essa simplificação também aumente a exigência de capital. Desta feita, a instituição que calcular o VaR
sem qualquer simplificação terá o benefício de uma exigência de capital menor, o que no final das contas
incentiva o desenvolvimento de modelos melhores e mais precisos.
4. Aplicação ao Mercado Brasileiro

Tomamos uma amostra com dados de quatro moedas: CDI, prefixado, dólar e IGPM. No caso dos
títulos vinculados à “moeda” CDI, são poucos os negócios com juros sobre o CDI, portanto, trata-se de
uma moeda sem estrutura a termo de juros (ET) e uma taxa de câmbio dada pela própria taxa do CDI; a
moeda das taxas prefixadas é a própria moeda local, logo, existe apenas a ET e nenhuma taxa de câmbio;
o dólar tem sua taxa de câmbio para a moeda local e também uma ET; por fim, o IGPM também tem taxa
de câmbio para a moeda local, além de uma ET, dada pelo próprio índice.
Com dados vindos das taxas de SWAPs da BM&F construímos as ETs taxas de juros das moedas
acima com apenas três vértices para simplificar as contas. Também construímos as séries com o retorno
contínuo das taxas de câmbio de cada uma dessas moedas e obtivemos a seguinte matriz de correlação e
volatilidades.
Prefixado Retorno em dólar Retorno em IGPM
CDI 126 252 504 Dólar 126 252 504 IGPm 126 252 504
CDI 100%
126 -42% 100%
252 -45% 82% 100%
504 -41% 73% 95% 100%
Dólar -17% 38% 57% 67% 100%
126 -31% 37% 36% 30% 43% 100%
252 -37% 45% 49% 42% 48% 96% 100%
504 -37% 52% 52% 44% 47% 87% 94% 100%
IGPm 31% -9% -19% -25% -13% -9% -16% -9% 100%
126 -22% 67% 52% 51% 20% 9% 16% 13% -39% 100%
252 -36% 61% 65% 68% 29% 6% 17% 12% -40% 85% 100%
504 -37% 59% 70% 78% 44% 12% 21% 16% -43% 75% 94% 100%
Nessa tabela verifica-se uma forte correlação positiva entre as taxas de juros de uma mesma moeda
(1), correlação positiva baixa entre as taxas de juros em dólar e as taxas de juros em IGPM e prefixada
(2), e correlação positiva média entre as taxas prefixadas e do retorno em IGPM (3). Quanto as diferentes
moedas, verifica-se uma correlação negativa entre os retornos do CDI e IGPM e as taxas de juros nas
outras moedas (4), correlação positiva entre retorno do dólar e as taxas de juros nas diversas moedas (5).
Entre as moedas, tem-se correlação negativa entre o retorno do dólar e das outras moedas (6) e uma baixa
correlação positiva entre o retorno do CDI e do IGPM (7).
A simplificação proposta em (15) consiste em tornar igual a zero os componentes (2) - (5) acima, e,
nossa matriz de correlação fica igual a
Prefixado Retorno em dólar Retorno em IGPM
CDI 126 252 504 Dólar 126 252 504 IGPm 126 252 504
CDI 100%
126 0% 100%
252 0% 82% 100%
504 0% 73% 95% 100%
Dólar -17% 0% 0% 0% 100%
126 0% 0% 0% 0% 0% 100%
252 0% 0% 0% 0% 0% 96% 100%
504 0% 0% 0% 0% 0% 87% 94% 100%
IGPm 31% 0% 0% 0% -13% 0% 0% 0% 100%
126 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 100%
252 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 85% 100%
504 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 75% 94% 100%
A volatilidade anual dos fatores acima é de
CDI
Volatilidade - %aa
0,46%
126 4,84%
252 4,55%
504 5,22%
VaR para títulos indexados 9

Dólar 13,50%
126 6,00%
252 3,98%
504 3,22%
IGPm 2,16%
126 8,82%
252 5,96%
504 6,33%
Esses dados sugerem que as volatilidades das taxas de juros de uma mesma moeda são bem
próximas. Isso justifica a volatilidade única que o BCB fornece para as taxas prefixadas de diferentes
prazos. Aqui o mesmo pode ser feito para as taxas de diferentes moedas.
Se o invés de toda a matriz de covariância quisermos usar o modelo simplificado é importante
investigar o impacto da simplificação sobre o VaR. Também devemos investigar a estabilidade das
correlações e volatilidades. Os dados acima são apenas a fotografia de um período de 27 meses, de
novembro de 1999 a janeiro de 2002 e não tem a pretensão de explicar o comportamento de todas essas
taxas.
De qualquer forma, a implementação do modelo simplificado acima combina bem com o modelo da
circular 2972, e demanda apenas um pequeno conjunto de parâmetros para ser colocado em prática. São
necessárias: matriz de correlação das taxas de juros de cada moeda, a volatilidade de cada uma dessas
taxas, a correlação entre as moedas e suas volatilidade. Com esses dados podemos calcular o modelo
simplificado de (15). Para o modelo completo precisamos de toda a matriz de correlação.
Exemplo. Seja uma carteira que tem uma captação de R$ 3.000.000 em CDI por seis meses. E tem as
seguintes aplicações: prefixados no valor de R$ 1.000.000 por seis meses, cambiais de R$ 1.500.000 por
um ano a 12% mais variação cambial e outra aplicação em IGPM + 10% de R$ 500.000. Suas fontes de
risco são: taxa do CDI, taxa prefixada por seis meses, taxa de câmbio do dólar e taxa de juros em US$
por 1 ano, taxa da IGPM e retorno sobre a IGPM por um ano.
Como uma das moedas é a própria moeda local o vetor dr é igual a
dr
⎛ dS
⎜
⎝
dr
dS
CDI
dólar
IGPM
= pré 6 meses
dólar1
ano
IGPM _1
ano
SCDI
S dólar
S IGPM
e
V =
dr
( − 3Q ( − 1 ) Q 1,
5Q
( −1)
1,
5Q
0,
5Q
( −1)
0,
5Q)
Q = 1.000.000
A matriz de correlação completa é:
2
CDI
Prefixado
126 Dólar 252 IGPm 252
CDI 100%
126 -42% 100%
Dólar -17% 38% 100%
252 -37% 45% 48% 100%
IGPm 31% -9% -13% -16% 100%
252 -36% 61% 29% 17% -40% 100%
A matriz de correlação simplificada é:
VaR para títulos indexados 10
dS
dr
⎞
⎟
⎠

CDI
Prefixado
126 Dólar 252 IGPm 252
CDI 100%
126 0% 100%
Dólar -17% 0% 100%
252 0% 0% 0% 100%
IGPm 31% 0% -13% 0% 100%
252 0% 0% 0% 0% 0% 100%
Com base em (14) temos que a volatilidade exata é igual a 17.465 e o VaR (99%,10 d) de 128.682
Se tomarmos o modelo simplificado (15) a volatilidade é igual a 13.864 e o VaR (99%,10 d) de 102.148.
Se eliminarmos apenas a correlação entre as diferentes taxas de juros o VaR cai para 124.433. O modelo
simplificado é muito conveniente para os praticantes do mercado financeiro mas como contrapartida gera
um número precisão menor. Para ser um modelo padrão é necessária uma calibragem que torne o VaR
resultante maior do que o do modelo completo de modo a criar incentivo para as instituições financeiras a
desenvolverem o modelo completo.
Referências
Arcoverde, G. (2000) “Alocação de Capital para Cobertura de Risco de Mercado de Taxa de Juros
Natureza Prefixada” Dissertação de Mestrado apresentada na EPGE/FGV.
Duarte, A., T. Heil e M. Pinheiro (1996) “Estimação da Volatilidade de Ativos e Índices
Brasileiros”, Resenha da BM&F 111.
Litterman, Robert and José Scheinkman (1991) Common Factors Affecting Bond Returns, Journal
of Fixed Income, vol. 1, 54-61.
Nota Técnica do BCB sobre a circular 2.972 de 23 de março de 2000.
Varga, Gyorgy (2000) " Interpolação por Cubic Spline para a Estrutura a Termo Brasileira "
revista da BM&F, maio.
Varga, Gyorgy e M. Valli (2001) "Movimentos da estrutura a termo da taxa de juros brasileira e
imunização" Revista de Economia Aplicada da USP, vol. 5.
i
Supondo que a variação da taxa contínua segue um processo Browniano simples dr = µ dt + σ drdz
onde dz é um processo de Wiener. Aplicando o Lema de Itô calculamos
( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
∂P
1 ∂ P
1
dP = dr + dr = P − t dr + t P dr . Substituindo o processo dr temos
2
∂r
2 ∂r
2
( )( ) ( ) 2
2 1
dP = P − t µ dt + σ dr dz + t P µ dt + σ dr dz . Com um pouco de conta chegamos a
2
2 ⎡ ⎛ t
⎤
2 ⎞
dP = P ⎢ ⎜
⎜−
tµ
+ σ ⎟ dr dt + − t σ dr dz . Fixando P temos ( dP) t P σ dr
⎣ ⎝ 2 ⎠
2 2
variancia = .
( ) ⎥ ⎦
ii De fato diversos trabalhos empíricos, tais como, Litterman e Scheinkman (1991) para os EUA e Varga e
Valli (2000) para o Brasil mostram que a maior parte dos movimentos da ET são paralelos.
iii Um grupo de estudos constituído por especialistas de vários bancos e entidades governamentais que
desenvolveu um modelo geral para cálculo de VaR de uma carteira de títulos prefixados para o mercado
brasileiro, seus resultados podem encontrados em www.andima.com.br.
iv Sobre métodos de interpolação veja Varga(2000) e também o sistema FinancialTools da FCE (em
www.fce.com.br) que provêm funções que interpolam as taxas.
VaR para títulos indexados 11