Vunesp 2001 - Exatas

Questão 1 Questão 3
Para ladrilhar uma sala são necessárias exatamente
400 peças iguais de cerâmica na forma
de um quadrado. Sabendo-se que a área
da sala é 36 m 2 , determine
a) a área de cada peça, em metros quadrados;
b) o perímetro de cada peça, em metros.
Resposta
a) A área de cada peça é igual a 36
400
= 0,09 m 2 .
b) Como as peças são quadradas, seus lados
medem 0,09 = 0,3 m e, portanto, seu perímetro
é igual a 0,3 ⋅ 4 = 1,2 m.
Questão 2
Uma grande firma oferecerá aos seus funcionários
10 minicursos diferentes, dos quais só
4 serão de informática. Para obter um certificado
de participação, o funcionário deverá
cursar 4 minicursos diferentes, sendo que
exatamente 2 deles deverão ser de informática.
Determine de quantas maneiras distintas
um funcionário terá a liberdade de escolher
a) os minicursos que não são de informática;
b) os 4 minicursos, de modo a obter um certificado.
Resposta
a) Como existem 10 − 4 = 6 minicursos que não
são de informática e para obter certificado o funcionário
deverá cursar 2 minicursos de informática
e4− 2 = 2 que não são de informática, o número
de maneiras de ele escolher os minicursos que
não são de informática é 6 ⎛ ⎞ 6 ⋅ 5
⎜ ⎟ = = 15.
⎝2
⎠ 2!
b) Para obter um certificado o funcionário deverá
escolher 2 minicursos de informática dentre os 4
disponíveis e 2 minicursos que não são de informática
dentre os 6 disponíveis. Assim, o funcionário
terá a liberdade de escolher de 4 ⎛ ⎞ 6
⎜ ⎟ ⋅
⎝2
⎠ 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟ =
⎝ ⎠
4 ⋅ 3 6 ⋅ 5
= ⋅ = 90 maneiras distintas os 4 mi-
2! 2!
nicursos.
Durante um evento, o organizador pretende
distribuir, como brindes, a alguns dos participantes,
caixas (kits), com o mesmo conteúdo,
formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se
que ele possui exatamente 200 camisetas e
120 chaveiros.
a) Decomponha os números 200 e 120 em fatores
primos.
b) Determine o número máximo de caixas,
com o mesmo conteúdo, que o organizador
conseguirá formar utilizando todos os chaveiros
e camisetas disponíveis.
Resposta
a) Decompondo os números 200 e 120 em fatores
primos, temos 200 = 2 3 ⋅5 2 e 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5.
b) Todas as n caixas devem ter o mesmo conteúdo,
isto é, o mesmo número x de camisetas e o
mesmo número y de chaveiros. Logo 200 = nx,
120 = ny e, portanto, n é um divisor comum de
200 e 120.
Assim, o número máximo de caixas é
mdc (200, 120) = 2 3 ⋅ 5 = 40.
Questão 4
Considere os números complexos
z1 = ( 2 + i) e z2 = ( x + 2i ) , onde i é a unidade
imaginária e x é um número real. Determine:
a) o número complexo z1 ⋅ z2
em função de x;
b) os valores de x tais que Re (z1 ⋅ z2)
≤
≤ Im (z1 ⋅ z2),
onde Re denota a parte real e
Im denota a parte imaginária do número
complexo.
Resposta
a) Temos, para x ∈R:
z1 ⋅ z 2 = (2 + i) ⋅ (x + 2i) =
= (2x − 2) + (4 + x) ⋅ i
b) Re(z1 ⋅ z 2) ≤ Im(z1 ⋅ z 2)
⇔
⇔ 2x − 2 ≤ 4 + x ⇔ x ≤ 6

Questão 5
Duas raízes x1 e x2
de um polinômio p(x) de
grau 3, cujo coeficiente do termo de maior grau
é 1, são tais que x1 + x2 = 3ex1
⋅ x2 = 2.
a) Dê as raízes x1 e x2
de p(x).
b) Sabendo-se que x3 = 0éaterceiraraizde
p(x), dê o polinômio p(x) e o coeficiente do termo
de grau 2.
Resposta
a) Como x1 + x2 = 3 e x1 ⋅ x2 = 2,
x1 e x2 são
2
as soluções da equação x − 3x + 2 = 0 ⇔
⇔ x = 1oux = 2.
Logo as raízes x1 e x2 são
iguais a1e2.
b) Como x3 = 0 e o coeficiente do termo de maior
grau de p(x) é 1, temos
p(x) = 1(x − 0)(x − 1)(x − 2) ⇔
3 2
⇔ p(x) = x − 3x + 2x e o coeficiente do termo
de grau 2 é −3.
Questão 6
Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0eo
ponto P = (2, −1), determine
a) o coeficiente angular de r;
b) a equação da reta s que é perpendicular a r
e passa pelo ponto P.
Resposta
a) 4x + 2y + 5 = 0 ⇔ y = −2x− 5
. Logo o
2
coeficiente angular de r é ar =−2.
b) Temos que r e s são perpendiculares. Assim, o
coeficiente angular de s é −
= − 1 1
ar
−2
=
1
. Como
2
a reta s passa pelo ponto P(2; −1), uma equação
dessa reta é y − ( − 1) =
⇔ x − 2y − 4 = 0.
1
⋅ (x − 2) ⇔
2
Questão 7
Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente
turistas de um determinado hotel para
um passeio ecológico pela cidade. Se todos os
lugares estão ocupados, o preço de cada passagem
é R$ 20,00. Caso contrário, para cada
lugar vago será acrescida a importância de
R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o
matemática 2
faturamento da empresa de ônibus, em cada
viagem, é dado pela função f(x) = (40 − x)(20 +
+ x), onde x indica o número de lugares vagos
(0 ≤ x ≤ 40). Determine
a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus,
em cada viagem, para que a empresa obtenha
faturamento máximo;
b) qual é o faturamento máximo obtido em
cada viagem.
Resposta
Temos
2
f(x) = (40 − x)(20 + x) = − x + 20x + 800,
0 ≤ x ≤ 40.
a) O número de lugares vagos para que a
empresa obtenha faturamento máximo é igual a
20
− = 10.
2 ⋅ ( −1)
b) O faturamento máximo é
f(10) = (40 − 10)(20 + 10) =900 reais.
Questão 8
Os átomos de um elemento químico radioativo
possuem uma tendência natural a se desintegrar
(emitindo partículas e se transformando
em outro elemento). Assim sendo, com
o passar do tempo, a quantidade original desse
elemento diminui. Suponhamos que certa
quantidade de um elemento radioativo com
inicialmente m0 gramas de massa se decomponha
segundo a equação matemática:
m(t) = m0 ⋅10 t/70 −
,
onde m(t) é a quantidade de massa radioativa
no tempo t (em anos). Usando a aproximação
log 2 = 0,3, determine
a) log 8;
b) quantos anos demorará para que esse elemento
se decomponha até atingir um oitavo
da massa inicial.
Resposta
3
a) log 8 = log 2 = 3 ⋅ log 2 ≅ 3 ⋅ 0,3 = 0,9.
b) Para m(t) = m0
, temos
8
t
m0
−t/70 = m10 0 ⇔ 8 = 10 70 t
⇔ = log 8 ⇔
8
70
⇔ t = 70 ⋅ log 8.
Como log 8 ≅ 0,9, então t ≅ 70 ⋅ 0,9 = 63 anos.

Questão 9
Uma equipe de mergulhadores, dentre eles
um estudante de ciências exatas, observou o
fenômeno das marés em determinado ponto
da costa brasileira e concluiu que o mesmo
era periódico e podia ser aproximado pela expressão:
21
5
P(t) 2 cos ( t
2 6 4 )
π π
= + + ,
onde téotempo(emhoras)decorrido após o
início da observação (t = 0) e P(t) é a profundidade
da água (em metros) no instante t.
π 5π
a) Resolva a equação cos ( t + ) = 1,
6 4
parat>0.
b) Determine quantas horas após o início da
observação ocorreu a primeira maré alta.
Resposta
5
a) cos 1
6 4
6 t
⎛ π π ⎞ π 5 π
⎜ t + ⎟ = ⇔ + = 2kπ
⇔
⎝ ⎠
4
⇔ t = 12k −
15
2 ,k∈Z.
15
Como t > 0, 12k − >0⇔ k >
2
5
8
⇔ k > 0.
⎧
⎫
Logo V = ⎨ = − ∈ + ⎬
⎩
⎭
∗
15
t| t 12k , k Z .
2
matemática 3
b) A maré alta ocorre quando P(t) é máximo, isto
⎛ π 5 π ⎞
é, cos ⎜ t + ⎟ = 1.
Logo a primeira maré alta
⎝ 6 4 ⎠
15
ocorre quando t = 12 ⋅1 − = 4,5 h após o iní-
2
cio da observação.
Questão 10
Considere uma lata cilíndrica de raio r e altura
h completamente cheia de um determinado
líquido. Este líquido deve ser distribuído
totalmente em copos também cilíndricos, cuja
altura é um quarto da altura da lata e cujo
raio é dois terços do raio da lata. Determine:
a) os volumes da lata e do copo, em função de
r e h;
b) o número de copos necessários, considerando
que os copos serão totalmente cheios com o
líquido.
Resposta
a) O volume da lata cilíndrica de raio r e altura h é
πr 2 h e o volume do copo cilíndrico de raio 2
3 re
altura 1
2
⎛ 2 ⎞
héπ⋅⎜ r ⎟ ⋅
4 ⎝ 3 ⎠
1
2
πr h
h = .
4 9
b) Como o volume da lata é 9 vezes o volume do
copo, serão necessários 9 copos.