Simulação Numérica do Escoamento de um ... - PPGEM - UTFPR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 

CAMPUS CURITIBA 

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA 

ENGENHARIA INDUSTRIAL MECÂNICA 

PROJETO FINAL DE CURSO II 

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO DE UM 

FLUIDO VISCOELÁSTICO ATRAVÉS DE UMA 

CONTRAÇÃO BRUSCA 

CURITIBA 

JULHO - 2007

HENRIQUE TONIOLO CORADIN 

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO DE UM 

FLUIDO VISCOELÁSTICO ATRAVÉS DE UMA 

CONTRAÇÃO BRUSCA 

Monografia apresentada à disciplina de Projeto de 

Final de Curso II, como requisito parcial para 

aprovação. 

Orientador: Prof. Admilson T. Franco, Dr. 

Co-Orientador: Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. 

CURITIBA 

JULHO - 2007

TERMO DE APROVAÇÃO 

Por meio deste termo, aprovamos a monografia de Projeto Final intitulada 

“SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO DE UM FLUIDO VISCOELÁSTICO 

ATRAVÉS DE UMA CONTRAÇÃO BRUSCA”, realizada pelo aluno Henrique Toniolo 

Coradin como requisito parcial para aprovação na disciplina Projeto Final II. 

Orientador: Prof. Admilson T. Franco, Dr. 

DAMEC, UTFPR 

Co-orientador: Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. 


Banca: Prof. Luciano F. dos Santos Rossi, Dr. 


Prof. Raul Henrique Erthal, M.Sc. 


Curitiba, 02 de julho de 2007. 

i

AGRADECIMENTOS 

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer a Deus por estar comigo em todos os 

momentos de minha vida. 

Aos meus orientadores, Admilson e Rigoberto, pela orientação e dedicação. 

A meus pais, Paulo e Dorly, pelo amor, carinho, educação, exemplo, apoio e 

dedicação durante toda minha vida. 

A minha querida irmã, Caroline, por todo seu amor, carinho e amizade 

dedicados a mim. 

A minha amada, Anna Carolina, pelo amor, carinho, dedicação, apoio e 

compreensão durante todo o tempo. 

Aos meus amigos, que me apoiaram nesta jornada. 

As demais pessoas, que de alguma forma estiveram comigo neste projeto. 

A Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – pelas instalações e 

estrutura fornecida. 

Ao Laboratório de Ciências Térmicas – LACIT – pela oportunidade do 

desenvolvimento deste projeto. 

Ao apoio financeiro da Petrobras. 

ii

Os autores agradecem ao apoio financeiro da Agência Nacional do Petróleo – ANP – e 

da Financiadora de Estudos e Projetos – FINEP – por meio do Programa de Recursos 

Humanos para o Setor Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (PRH10 – UTFPR). 

iii

RESUMO 

O escoamento de fluidos não-newtonianos através de uma contração brusca 

está presente em inúmeras aplicações industriais. Por exemplo, podem-se destacar 

as indústrias de processamento de polímeros e a petrolífera. Nesta última, durante o 

processo de perfuração de poços para a produção de petróleo e gás, o fluido de 

perfuração escoa através de espaços que apresentam reduções bruscas em suas 

seções. O comportamento reológico dos fluidos de perfuração é descrito por 

modelos de fluidos não-newtonianos, estando disponíveis em diversos modelos 

matemáticos. Entre os modelos constitutivos disponíveis, os modelos viscoelásticos 

são aqueles que podem representar de maneira mais precisa e completa as 

características do fluido de perfuração. O presente trabalho tem por objetivo elaborar 

uma metodologia numérica para avaliar o escoamento de um fluido não-newtoniano 

viscoelástico de Phan-Thien e Tanner – PTT – através de uma contração brusca 

axissimétrica. Uma revisão bibliográfica do assunto é apresentada. O problema é 

formulado matematicamente, sendo governado pelas equações de conservação da 

massa, quantidade de movimento e as relações e equações constitutivas provindas 

da modelagem do fluido viscoelástico. Devido à sua complexidade, a solução das 

equações governantes será feita através de métodos numéricos. Para tanto, será 

utilizado o programa de dinâmica de fluidos computacional PHOENICS CFD, o qual 

é baseado no Método dos Volumes Finitos. 

Palavras-chave: Contração brusca, fluido não-newtoniano, fluido viscoelástico, 

Método dos Volumes Finitos, simulação numérica, DFC. 

Simulação Numérica do Escoamento de um Fluido Viscoelástico através de uma Contração Brusca 

iv

LISTA DE FIGURAS 

Figura 1.1 – Contrações encontradas durante o processo de perfuração de poços de 

petróleo e gás. ..................................................................................................... 2 

Figura 2.1 – Componentes escalares do tensor de tensões em coordenadas 

cilíndricas. .......................................................................................................... 10 

Figura 2.2 - Esquema da formação de vórtices no escoamento ao longo de uma 

contração abrupta. ............................................................................................. 20 

Figura 3.1 – Geometria da contração brusca axissimétrica. ..................................... 26 

Figura 3.2 – Geometria e condições de contorno para a geometria da contração 

abrupta axissimétrica. ........................................................................................ 33 

Figura 6.1 – Perfil adimensional da componente axial da velocidade para o fluido 

newtoniano no tubo reto em regime de escoamento laminar. ............................ 47 

Figura 6.2 – Perfis para a componente axial da velocidade antes da contração para 

um fluido newtoniano em regime laminar de escoamento. ................................ 48 

Figura 6.3 - Perfis para a componente axial da velocidade após a contração para um 

fluido newtoniano em regime laminar de escoamento. ...................................... 49 

Figura 6.4 – Componente axial da velocidade ao longo da linha de centro para um 

fluido de Bingham a Re = 100. ........................................................................... 50 

Figura 6.5– Componente axial da velocidade ao longo da linha de centro para um 

fluido de Bingham a Y = 10. ............................................................................... 51 

Figura 6.6 – Perfil adimensional da componente axial da velocidade para o fluido 

newtoniano no tubo reto em regime de escoamento laminar – teste do termo 

fonte. .................................................................................................................. 52 

Figura 6.7 - Perfil adimensional da componente axial da velocidade em um tubo reto 

( ε = 0, 25 ). ............................................................................................................ 54 

Figura 6.8 - Perfil adimensional de tensão cisalhante em um tubo reto ( ε = 0, 25 ). .... 54 

Figura 6.9 - Perfil adimensional de tensão normal em um tubo de reto ( ε = 0, 25 ). ..... 55 


v

Figura 6.10 – Comparação entre os três níveis de malhas numéricas utilizados. ..... 57 

Figura 6.11 - Perfis de velocidade axial adimensional nas posições: a) z =− 1, 047 D, 

b) z =− 0,183D, 

c) z =− 0,052 D, 

d) z = 0,196D, 

e) z = 0,392D 

e f) z = − 0,980D. 

.................. 58 

Figura 6.12 - Perfis de velocidade axial adimensional para um fluido viscoelástico na 

contração brusca ( β = 4 , De = 1 e Re = 100 ) nas posições: a) z =− 0,5D, 

b) z = 0,5D 

( De = 1, 

Re = 100 e β = 4 ). ...................................................................................... 61 

Figura 6.13 – Pressão adimensional ao longo da linha de centro ( De = 1, 

Re = 100 , 

ε = 0, 25 e β = 4 ). .................................................................................................. 62 

Figura 6.14 – Velocidade axial adimensional ao longo da linha de centro ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). .................................................................................... 63 

Figura 6.15 – Linhas de corrente ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). ........................... 63 

Figura 6.16 – Campo de tensão cisalhante, τ rz ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). ..... 64 

Figura 6.17 – Campo de tensão normal θθ , τ θ θ ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). .... 65 

Figura 6.18 – Campo de tensão normal rr , τ rr ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). ...... 65 

Figura 6.19 – Campo de tensão normal zz , τ z z ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). ..... 65 

Figura 6.20 – Campo da primeira diferença de tensões normais, N 1 ( De = 1, 

Re = 100 , 

ε = 0, 25 e β = 4 ). .................................................................................................. 66 

Figura 6.21 – Campo da segunda diferença de tensões normais, N 2 ( De = 1, 

Re = 100 , 

ε = 0, 25 e β = 4 ). .................................................................................................. 67 

Figura 6.22 – Campo da viscosidade extensional, η ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 

........................................................................................................................... 67 

Figura 6.23 – Linhas de corrente. a) Re → 0 . b) Re = 10 ( De = 0 , ε = 0 e β = 4 ). ............. 69 

Figura A.1 – Malha computacional utilizada pelo PHOENICS CFD. ......................... 81 

Figura A.2 – Malha deslocada. .................................................................................. 82 

Figura A.3 – Fluxograma do algoritmo SIMPLEST. ................................................... 88 


vi

LISTA DE TABELAS 

Tabela 4.1 – Comparação entre as técnicas comuns na solução de problemas de 

engenharia. (Fonte: Fortuna, 2000) .................................................................. 37 

Tabela 5.1 – Equações escritas na forma generalizada. ........................................... 41 

Tabela 6.1 - Malhas numéricas para a contração. .................................................... 60 

Tabela F.1 – Artigos publicados ao longo do projeto. ............................................. 114 


vii

LISTA DE SÍMBOLOS 

a Coeficientes da equação discretizada 

A Área [m²] 

A( P ) 

Função de interpolação 

b Parâmetro que define o tipo de escoamento 

C Coeficiente do termo fonte 

d Tensor taxa de deformação [1/s] 

D Difusão na face do volume de controle 

De Número de Deborah 

F Força [N] ou fluxo de massa na face 

g Aceleração da gravidade [m/s²] 

G Módulo de relaxação [Pa] 

h ,l , n e s Faces do volume de controle principal 

H , L , N e S Pontos vizinhos ao ponto P 

i Vetor unitário 

IY e IZ Indexador de volume de controle nas direções r e z 

l Comprimento característico [m] 

L Tensor do gradiente de velocidade macroscópica [1/s] 

L 1 

Comprimento do tubo de maior diâmetro [m] 

L 2 

Comprimento do tubo de menor diâmetro [m] 

max { x, y } Máximo entre dois valores quaisquer x e y 

N 1 

Primeira diferença de tensões normais [Pa] 

N 2 

Segunda diferença de tensões normais [Pa] 

NY e NZ Último volume de controle na direção r e z 

p Pressão termodinâmica [Pa] 

P Ponto nodal principal 

Pe Número de Peclet da malha 

r ,θ , z Coordenadas cilíndricas [m, -, m] 

R Raio do tubo maior [m] 

* 

r 1 

Posição adimensional radial no tubo de maior diâmetro 

* 

r 2 

Posição adimensional radial no tubo de menor diâmetro 

Re Número de Reynolds 

S Termo fonte 


viii

S C 

Termo fonte independente de φ 

S P 

Termo fonte dependente de φ 

t Tempo [s] 

T Tipo do termo fonte 

tr Traço de um tensor 

U Velocidade média na entrada do tubo [m/s] 

v Velocidade [m/s] 

v Vetor velocidade [m/s] 

V Valor do termo fonte 

x , y , z Coordenadas retangulares [m] 

Tensão adimensional do escoamento de fluido de Bingham [Pa] ou 

Y 

Função extensional do modelo PTT 

+ Componente simétrico 

Símbolos gregos 

β Razão da contração 

δ Matriz identidade 

δ rs e δ rn 

Distância em r entre pontos da malha [m] 

δ zl e δ zh 

Distância em z entre pontos da malha [m] 

∆ r 

Tamanho em r do volume de controle principal [m] 

∆ z 

Tamanho em z do volume de controle principal [m] 

∆ V 

Volume da célula [m³] 

ε Parâmetro extensional do modelo PTT 

ε& Taxa de extensão [1/s] 

φ Variável genérica 

γ Deformação cisalhante 

γ& Taxa de deformação cisalhante [1/s] 

γ& Tensor taxa de deformação cisalhante [1/s] 

Γ Coeficiente de difusão 

η Viscosidade não-newtoniana [Pa.s] 

η 1 

Função viscosidade para 1 

η 2 

Função viscosidade para 2 

N [Pa.s] 

η Viscosidade extensional [Pa.s] 

N [Pa.s] 

η 0 

Viscosidade à taxa de cisalhamento nula [Pa.s] 


ix

λ Tempo característico de relaxação [s] 

µ Viscosidade newtoniana [Pa.s] 

π Tensor de tensões total [Pa] 

ρ Massa específica [kg/m³] 

τ Tensão [Pa] 

τ Tensor de tensões [Pa] 

υ Viscosidade cinemática [m²/s] 

ω& Tensor de vorticidade 

ξ 

Parâmetro que controla o deslizamento entra as cadeias poliméricas 

no modelo PTT 

Ψ 1 

Primeiro coeficiente de diferença de tensões normais [Pa.s²] 

Ψ 2 

Segundo coeficiente de diferença de tensões normais [Pa.s²] 

l Tensor efetivo do gradiente de velocidade [1/s] 

∇ Operador vetorial nabla 

Subscritos 

h ,l , n e s Posição das faces do volume de controle principal 

i, j Indexadores de direção 

méd Valor médio 

nb Pontos vizinhos ao ponto P 

P , H , L , N e S Posição central do volume de controle 

r ,θ , z Sistema cilíndrico de coordenadas 

ref Referência 

x , y , z Sistema cartesiano de coordenadas 

Sobrescritos 

T Tensor transposto 

* Variável adimensional 

+ Valores estipulados 

' Valor corrigido 


x

AGRADECIMENTOS 

RESUMO 

LISTA DE FIGURAS 

LISTA DE TABELAS 

LISTA DE SÍMBOLOS 

SUMÁRIO 

SUMÁRIO 

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1 

1.1 Contexto .................................................................................................................................. 1 

1.2 Objetivos .................................................................................................................................. 3 

1.2.1 Objetivo geral .................................................................................................................. 3 

1.2.2 Objetivos específicos ....................................................................................................... 3 

1.3 Justificativa .............................................................................................................................. 4 

1.4 Conteúdo do trabalho .............................................................................................................. 4 

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 6 

2.1 Conceitos gerais de mecânica dos fluidos e reologia ............................................................. 6 

2.1.1 Número de Reynolds ....................................................................................................... 7 

2.1.2 Número de Deborah ........................................................................................................ 8 

2.1.3 Tensões ........................................................................................................................... 9 

2.1.4 Deformação e taxa de deformação ............................................................................... 10 

2.1.5 Conservação da massa ................................................................................................. 13 

2.1.6 Segunda Lei de Newton para o movimento .................................................................. 13 

2.1.7 Módulo de relaxação ..................................................................................................... 14 

2.1.8 Primeira e segunda diferença de tensões e a viscosidade extensional ....................... 15 

2.2 Estudo do escoamento em contrações bruscas ................................................................... 19 

2.3 Estudo do escoamento viscoelástico .................................................................................... 22 

2.4 Estudo do escoamento viscoelástico em contrações bruscas .............................................. 23 

2.5 Modelo de Phan-Thien e Tanner - PTT................................................................................. 25 

3 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................ 26 

3.1 Hipóteses simplificadoras ...................................................................................................... 27 

3.2 Equação da conservação da massa ..................................................................................... 28 

3.3 Equação da conservação da quantidade de movimento ...................................................... 29 

3.4 Modelo de Phan-Thien e Tanner – PTT ................................................................................ 29 

3.5 Equações constitutivas .......................................................................................................... 31 

3.6 Condições de contorno ......................................................................................................... 32 


xi

3.7 Adimensionalização............................................................................................................... 34 

4 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO ......................................................................... 36 

4.1 Sistema de equações ............................................................................................................ 36 

4.2 Solução do problema............................................................................................................. 36 

4.3 Dinâmica dos Fluidos Computacional - DFC ........................................................................ 38 

5 MODELAGEM E IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ............................................. 40 

5.1 Sistema de equações do problema ....................................................................................... 40 

5.2 Condições de contorno ......................................................................................................... 42 

6 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS E RESULTADOS ................................................. 45 

6.1 Escoamento newtoniano através de um tubo reto ................................................................ 46 

6.2 Escoamento newtoniano através de uma contração ............................................................ 47 

6.3 Escoamento viscoplástico através de uma contração .......................................................... 49 

6.4 Escoamento newtoniano através de um tubo reto – teste do termo fonte ............................ 51 

6.5 Escoamento viscoelástico através de um tubo reto .............................................................. 53 

6.6 Escoamento newtoniano através de uma contração brusca – teste das condições de 

contorno ............................................................................................................................................. 56 

6.7 Escoamento viscoelástico através de uma contração brusca .............................................. 59 

6.7.1 Teste de malha .............................................................................................................. 59 

6.7.2 Avaliação dos resultados do escoamento viscoelástico ............................................... 61 

6.8 Escoamento a baixos números de Reynolds ........................................................................ 68 

6.9 Consolidação geral dos resultados do projeto ...................................................................... 69 

7 CONCLUSÕES ................................................................................................... 71 

7.1 Sugestões para trabalhos futuros ......................................................................................... 72 

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 73 

APÊNDICE A – PHOENICS CFD ........................................................................... 78 

APÊNDICE B – ARQUIVO Q1 ................................................................................ 97 

APÊNDICE C – SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO LAMINAR 

ATRAVÉS DE UMA CONTRAÇÃO BRUSCA AXISSIMÉTRICA ............................ 105 

APÊNDICE D – ARTIGOS PUBLICADOS ............................................................ 112 


xii

Capítulo 1 - Introdução 

1 INTRODUÇÃO 

1.1 Contexto 

Escoamentos de fluidos não-newtonianos através de contrações bruscas 

representam situações industriais comuns, sendo foco de pesquisas e estudos 

principalmente pelas indústrias químicas, alimentícias e petrolíferas. Tais 

escoamentos podem ser aplicados, por exemplo, na injeção de plásticos, processos 

de extrusão de forma geral e na extração de petróleo. Como exemplo desses fluidos, 

pode-se citar tintas, graxas, plásticos, alimentos líquidos, fluido para perfuração e 

completação de poços de petróleo, e até mesmo o próprio petróleo. 

Dentre as aplicações citadas anteriormente, a indústria petrolífera vem 

apresentando grande interesse no assunto. Devido às condições adversas, como o 

cenário de águas profundas e óleos pesados, o desenvolvimento de processos mais 

eficientes no setor tem se tornado motivo de investimentos e pesquisas em todas as 

etapas da exploração do petróleo. 

Durante a perfuração de poços para a produção de petróleo e gás, fluidos são 

empregados para auxiliar no processo. O fluido de perfuração tem por principais 

funções o controle da pressão, a remoção de cascalhos, a refrigeração e a 

lubrificação da broca (Machado, 2002). Os modelos de fluido não-newtoniano podem 

representar o comportamento dos fluidos de perfuração. 

Modelos de fluidos não-newtonianos estão disponíveis na literatura em 

diversas formulações, podendo apresentar inúmeras características (Bird, 1987). 

Entre as características dos fluidos não-newtonianos, encontra-se a variação da 

viscosidade com a taxa de deformação. O fluido também pode apresentar 

características elásticas e variações da viscosidade com o tempo de deformação. 

Entre os fluidos não-newtonianos com essas características citadas, os modelos 

viscoelásticos são aqueles que melhor representam o comportamento real do fluido 

(Tanner, 2000). 


1


Durante o processo de perfuração de poços, o fluido de perfuração é 

bombeado através da coluna de perfuração até o fundo do poço, passando pela 

broca e retornando pelo espaço anular formado pela coluna e a formação rochosa 

do poço. A Figura 1.1 ilustra alguns dos casos mais comuns em que o escoamento 

do fluido passa por contrações presenciadas durante o processo de perfuração de 

poços de petróleo e gás. O entendimento dos fenômenos envolvendo a contração 

permite direcionar os projetos de fluido de perfuração, garantindo, por exemplo, o 

controle dos parâmetros do fluido para exercer suas funções principais e, que ao 

mesmo tempo, não ocasione desmoronamento ou infiltrações na formação rochosa. 

As contrações podem descaracterizar as propriedades do fluido de perfuração 

devido à forte extensão que é gerada no escoamento. 

Figura 1.1 – Contrações encontradas durante o processo de perfuração de poços de petróleo e gás. 


2


O escoamento através de uma contração brusca, apesar de se tratar de um 

problema geometricamente simples, apresenta grande complexidade hidrodinâmica 

e não permite solução analítica em nenhuma situação. Desta forma, a solução do 

problema por métodos numéricos torna-se de grande importância, pois permite a 

caracterização do escoamento sob praticamente quaisquer condições de contorno e 

regime de escoamento. 

O presente trabalho propõe a elaboração de uma metodologia numérica para a 

realização do estudo do escoamento de um modelo de fluido não-newtoniano 

viscoelástico através de uma contração brusca usando um programa comercial. 

Desta forma, será possível realizar o estudo numérico do escoamento dos fluidos de 

perfuração, descrevendo seus comportamentos ao longo da contração. 

1.2 Objetivos 

1.2.1 Objetivo geral 

Como objetivo geral, neste trabalho pretende-se desenvolver, implementar e 

validar uma estrutura para suporte de equações constitutivas diferenciais 

viscoelásticas no programa comercial PHOENICS CFD. 

1.2.2 Objetivos específicos 

Os objetivos específicos deste trabalho são: 

1. Formular matematicamente o problema do escoamento de um fluido 

viscoelástico para o escoamento bi-dimensional em geometrias cilíndricas. 

2. Validar a estrutura implementada para o escoamento laminar de um fluido 

newtoniano e não-newtoniano através de uma contração abrupta. 

3. Investigar o comportamento das propriedades materiais de um fluido 

viscoelástico ao longo de uma contração brusca. 


3


1.3 Justificativa 

O incentivo à pesquisa e desenvolvimento de tecnologia torna-se cada vez 

mais um diferencial positivo no sucesso de uma empresa dentro do cenário atual. 

Com fundamentos nesse conceito, a PETROBRAS, que é uma das maiores 

fomentadoras nacionais em pesquisa, apresenta grande interesse no 

desenvolvimento de projetos no ramo petrolífero. Desta forma, o estudo do 

escoamento de fluidos viscoelásticos através de uma contração brusca, o qual 

ocorre em processos de perfuração de poços de petróleo, torna-se alvo de interesse 

econômico e tecnológico. 

O estudo do escoamento de fluido não-newtoniano viscoelástico necessita de 

conhecimento vasto em engenharia. Para o sucesso do presente trabalho serão 

necessários bons conhecimentos prévios de mecânica dos fluidos, termodinâmica, 

materiais poliméricos, linguagem de programação, métodos numéricos de dinâmica 

dos fluidos computacional – DFC (ou CFD – Computational Fluid Dynamics), assim 

como conceitos relativos à física e matemática. Para a caracterização reológica do 

fluido viscoelástico, é preciso estar bem fundamentado com a modelagem das 

equações diferenciais que regem o comportamento não-newtoniano destes fluidos, 

assuntos pertencentes à reologia de materiais. 

Academicamente o trabalho é muito interessante, pois, além de relacionar 

disciplinas e áreas da engenharia que são consideradas complexas, pode viabilizar 

a publicação de artigos científicos e servir como base para uma posterior pósgraduação. 

Também, a aplicabilidade e o conhecimento no ramo industrial 

petrolífero tornam o estudo atrativo. 

1.4 Conteúdo do trabalho 

O primeiro capítulo apresenta uma introdução do tema deste trabalho, 

inserindo-o dentro do contexto em que se encontra o problema proposto. Também, 

os principais objetivos e a justificativa para a escolha do tema são expostos. 


4


A revisão bibliográfica é realizada no segundo capítulo. Conceitos básicos de 

mecânica dos fluidos e reologia, necessários para a execução do trabalho, são 

abordados. Através da revisão de trabalhos precedentes, busca-se obter 

informações sobre características e metodologias de resolução para os 

escoamentos envolvendo contrações bruscas e fluidos viscoelásticos. 

A abordagem matemática do problema é feita no terceiro capítulo. O 

equacionamento do problema é realizado com base nas leis físicas que governam o 

escoamento e nas hipóteses simplificadoras, as quais têm por objetivo simplificar o 

problema sem perder informações que o caracterizem. 

Um escopo da metodologia aplicada neste trabalho é apresentado no quarto 

capítulo. Busca-se com isso mostrar os principais passos a serem seguidos quando 

é utilizada a técnica de DFC. 

O quinto capítulo descreve a metodologia numérica utilizada para a 

implementação do problema no PHOENICS CFD. 

No sexto capítulo são apresentadas simulações numéricas realizadas, 

apontando-se os resultados alcançados e discussões que se tornem necessárias. 

Uma conclusão geral sobre o trabalho é realizada no sétimo capítulo, no qual a 

metodologia utilizada será avaliada juntamente com os principais resultados. Ainda 

nesse capítulo, sugestões e recomendações para trabalhos futuros serão feitas. 

Na seqüência, as referências bibliográficas são apresentadas. O APÊNDICE A 

apresenta o programa PHOENICS CFD. O APÊNDICE B contém o arquivo Q1 

utilizado para representar um determinado escoamento de fluido viscoelástico 

através de uma contração brusca no PHOENICS CFD. No APÊNDICE C é 

apresentado o artigo intitulado “simulação numérica do escoamento laminar através 

de uma contração brusca axissimétrica”, publicado no ENAHPE 2006. Os artigos 

gerados com o desenvolvimento deste projeto são mostrados no APÊNDICE D. 


5

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 

Neste capítulo serão apresentados conceitos gerais de mecânica dos fluidos e 

reologia dos materiais, necessários para o desenvolvimento do projeto. Através da 

revisão de estudos disponíveis na literatura, são apresentadas informações e 

características sobre os escoamentos através de contrações bruscas. Ao final do 

capítulo, tomando como referência os trabalhos revisados, será definido qual o 

modelo de fluido viscoelástico mais adequado para o projeto proposto. 

2.1 Conceitos gerais de mecânica dos fluidos e reologia 

A mecânica dos fluidos estuda o comportamento dos fluidos em repouso e em 

movimento. Fox e McDonald (2001) definem o fluido como uma substância que se 

deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento de qualquer 

intensidade. Assim, o fluido compreende as fases líquida e gasosa das formas 

físicas nas quais a matéria pode existir. 

Para a análise de problemas envolvendo a mecânica dos fluidos é necessária a 

aplicação das leis básicas que governam o comportamento dos fluidos. Fox e 

McDonald (2001) listam como sendo cinco as leis básicas, as quais são: 

• Conservação da massa; 

• Segunda Lei de Newton para o movimento; 

• Princípio da quantidade de movimento angular; 

• Primeira Lei da termodinâmica; 

• Segunda Lei da termodinâmica. 

Adicionalmente a estas leis básicas, em determinados casos pode haver a 

necessidade da utilização de relações adicionais para descrever propriedades físicas 

apresentadas pelo fluido. Essas relações podem possuir a forma de equações de 

estado ou equações constitutivas. 


6


Existem duas formas de formular as leis básicas para a análise do escoamento 

de fluidos. A primeira diz respeito a uma análise integral do problema, na qual é 

utilizado um sistema, ou volumes de controles finitos, para a caracterização do 

comportamento genérico do escoamento. A segunda forma realiza uma análise 

diferencial através da utilização de volumes de controle infinitesimais, na qual uma 

análise detalhada e pontual do comportamento do escoamento é desenvolvida. Em 

muitos problemas reais de engenharia, a análise diferencial apresenta equações 

complexas e impossíveis de serem resolvidas na forma analítica. Assim, nesses 

casos, é necessária a utilização de métodos numéricos, os quais constituem a base 

para a mecânica dos fluidos computacionais (DFC). 

Para a definição do fluido sob condições normais é necessário, dentro da 

mecânica clássica dos fluidos, introduzir a hipótese do fluido contínuo, a qual trata o 

fluido como uma substância infinitamente divisível. Como resultado dessa hipótese 

tem-se que as propriedades do escoamento são definidas em qualquer ponto do 

espaço. Desta forma, a representação completa de uma propriedade no escoamento 

é dita como sendo o campo dessa propriedade. Uma forma usual de representar o 

campo de escoamento do fluido é através das linhas de correntes, que podem ser 

definidas como linhas tangentes à direção do escoamento em cada ponto para um 

determinado instante (Fox e McDonald, 2001). 

2.1.1 Número de Reynolds 

Usualmente é necessária a utilização do parâmetro adimensional denominado 

de número de Reynolds, Re , para a caracterização do escoamento. O número de 

Reynolds, dado pela equação (2.1), relaciona as forças de inércia com as forças 

viscosas do escoamento (Fox e McDonald, 1998). 

vméd l 

Re = (2.1) 

υ 

onde méd 

v é a velocidade média, l o comprimento característico e υ a viscosidade 

cinemática. 


7


Segundo Bird (1987), nos escoamentos através de contrações bruscas, 

usualmente costuma-se usar o diâmetro do tubo menor como comprimento 

característico e a velocidade média neste tubo para definir o número de Reynolds. 

2.1.2 Número de Deborah 

O número de Deborah é um parâmetro adimensional comumente utilizado nos 

escoamentos de fluidos viscoelásticos. Este parâmetro relaciona as forças elásticas 

com as forças viscosas do escoamento através da razão entre o tempo natural ou 

característico de relaxação do material e o intervalo de tempo no qual é aplicada a 

deformação ou tensão (Bird,1987). A relação do número de Deborah, De , é dada 

por: 


De 

λ 

= (2.2) 

t 

O tempo característico de relaxação do material, λ , está relacionado com o 

tempo necessário para o material escoar, enquanto que o intervalo de tempo pode 

ser entendido como o tempo t de duração do escoamento. Assim, para um sólido 

elástico De →∞, enquanto que para fluidos viscosos De → 0 . Para fluidos 

viscoelásticos 0 < De


2.1.3 Tensões 

Nos escoamentos de fluidos, existem forças atuantes que provocam o 

movimento. Estas forças podem ocorrer devido à convecção (forças do movimento), 

à interação com campos externos (forças como a gravitacional ou a 

eletromagnética), aos gradientes de pressão e às interações entre as moléculas do 

fluido (forças de superfície). 

As forças atuando em um volume infinitesimal do meio são definidas como 

tensões. Assim, a tensão é definida da seguinte forma: 

δ Fj 

τ ij = lim 

(2.4) 

δ Ai 

→0 

δ A 

onde τ ij é a tensão no plano i e direção j , j F a força na direção j e A i a área no 

plano j . 

O tensor de tensões em coordenadas cilíndricas, definido em (2.5), é composto 

por nove componentes escalares resultantes da equação (2.4). Cada componente 

escalar do tensor é ilustrada no elemento diferencial mostrado na Figura 2.1. 

ij θrθθ θz 

⎢⎣ τ zr τzθτ ⎥ zz ⎦ 


i 

⎡τ rr τrθτrz ⎤ 

τ = 

⎢ 

τ τ τ 

⎥ 

⎢ ⎥ 

(2.5) 

9


r 

θ 

τθθ 

z 


τ rr 

τ 

τ rθ 

θ r 

τθ 

z 

Figura 2.1 – Componentes escalares do tensor de tensões em coordenadas cilíndricas. 

As componentes escalares observadas na Figura 2.1 que apresentam índices 

iguais são chamadas de tensões normais, sendo as de índice diferentes chamadas 

de tensões cisalhantes. Uma propriedade do tensor de tensões mostrado na 

definição (2.5) é sua natureza simétrica, em que τ ij = τ ji . Assim, bastam apenas seis 

componentes para se determinar o tensor. 

2.1.4 Deformação e taxa de deformação 

Quando ocorre o deslocamento relativo entre duas camadas adjacentes de 

fluido, pode-se dizer que há uma deformação cisalhante entre estas camadas. 

Assim, para um deslocamento relativo dx de duas camadas paralelas separadas 

pela distância dy , a medida quantitativa da deformação de cisalhamento é: 

τrz 

τ zθ 

τ zr 

τ zz 

δ x 

γ xy = (2.6) 

δ y 

10


Desta forma, a taxa de deformação ou taxa de cisalhamento é definida por: 

dγ dv 

γ = = 

dt dy 

xy x 

& xy 

(2.7) 

Através da equação (2.7) pode-se observar que a taxa de cisalhamento está 

associada ao gradiente de velocidade, ∇v . Assim, através da definição do operador 

gradiente em coordenadas cilíndricas, equação (2.8), o tensor do gradiente da 

velocidade é escrito conforme a equação (2.9). 

( ) 1 ( ) ( ) 

∂ ∂ ∂ 

∇ = ir + iθ+ iz 

(2.8) 

∂r r ∂θ∂z onde i r , i θ e i z são os vetores unitário nas direções r , θ e z , respectivamente. 

⎡ ∂vr ∂vθ 

∂vz 

⎤ 

⎢ ∂r ∂r ∂r 

⎥ 

⎢ ⎥ 

1 ∂vr vθ vr 1 ∂vθ 

1 ∂vz 

∇ v = ⎢ − + 

⎥ 

(2.9) 

⎢r ∂θ r r r ∂θ r ∂θ 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

∂vr ∂vθ 

∂vz 

⎥ 

⎢⎣ ∂z ∂z ∂z 

⎥⎦ 

onde v é o vetor velocidade e r v , vθ e v z suas componentes. 

Reescrevendo o gradiente de velocidades na forma da equação (2.10), podese 

obter dois tensores: o tensor taxa de deformação e o tensor de vorticidade, dados 

pelas equações (2.11) e (2.12), respectivamente. 


11


1 

T T 

∇ v= ⎡( + ) + ( − ) ⎤ 

2 ⎣ 

∇v ∇v ∇v ∇ v 

⎦ 

(2.10) 

T 

& ∇ ∇ (2.11) 

γ = v+ v 

T 

& ∇ ∇ (2.12) 

ω = v− v 

onde γ& é o tensor taxa de deformação e ω& o tensor de vorticidade. 

O tensor taxa de deformação, em coordenadas cilíndricas, pode ser 

decomposto e escrito na forma simétrica a seguir: 

⎡ ∂vr ∂vθ 

1 ∂vr vθ 

∂vz ∂vr 

⎤ 

⎢2+ − + 

∂r ∂r r ∂θr ∂r ∂z 

⎥ 

⎢ ⎥ 

⎛vr 1 ∂vθ ⎞ 1 ∂vz 

∂vθ 

γ& = 

⎢ 

2 

⎥ 

⎢ 

+ ⎜ + 

r r θ 

⎟ + 

r θ z ⎥ 

(2.13) 

⎝ ∂ ⎠ ∂ ∂ 

⎢ ⎥ 

⎢ ∂vz 

+ + 

2 

⎥ 

⎢⎣ ∂z 

⎥⎦ 

onde o símbolo (+) indica a simetria do tensor. 

Por definição, a taxa de cisalhamento é dada através da seguinte relação: 

1 

& γ = γγ & & ij ji 

(2.14) 

2 


12


2.1.5 Conservação da massa 

Aplicando a lei da conservação da massa a um volume de controle diferencial, 

ou seja, fazendo com que a variação da massa nesse volume seja igual ao balanço 

da massa que entra e que sai do volume, a equação da conservação da massa para 

coordenadas cilíndricas, segundo Bird et al. (1987) assume a seguinte forma: 

onde ρ é a massa específica do fluido. 

∂ 

ρ =−( 

∇ . ρv 

) 

(2.15) 

∂t 

Desenvolvendo o operador gradiente na equação (2.15), a equação da 

conservação da massa torna-se: 

∂ρ ⎛∂vr vr 1 ∂vθ 

∂vz 

⎞ 

+ ⎜ + + + ⎟= 

0 

∂t ⎝ ∂r r r ∂θ∂z ⎠ 

2.1.6 Segunda Lei de Newton para o movimento 


13 

(2.16) 

A segunda lei de Newton enuncia que a força resultante em um sistema é igual 

à taxa da variação da quantidade de movimento no tempo. Aplicando essa lei a um 

volume de controle diferencial, pode-se determinar a equação da conservação da 

quantidade de movimento conforme a equação (2.17) (Bird et al., 1987). 

∂ 

ρv=−( ∇. ρvv) −( ∇ . π) + ρg 

(2.17) 

∂t


Para o sistema de coordenadas cilíndricas, a equação (2.17) pode ser 

decomposta em três componentes, uma para cada direção. Desta forma, obtêm-se 

as equações (2.18), (2.19) e (2.20) nas direções r ,θ e z , respectivamente. 

2 

⎛∂vr ∂vr vθ ∂vr vθ 

∂v ⎞ r ∂p 

ρ⎜ + vr + − + vz ⎟+ 

− ρgr 

= 

⎝ ∂t ∂r r ∂θr ∂z ⎠ ∂r 

⎡1 ∂ 1 ∂ ∂ τθθ 

⎤ 

⎢ ( rτrr 

) + τθr+ τzr− 

r ∂r r ∂θ∂z r ⎥ 

⎣ ⎦ 

⎛∂vθ ρ⎜ + vr ⎝ ∂t ∂vθ vθ ∂vθ vrvθ ∂vθ ⎞ 1 ∂p 

+ + + vz + − ρgθ= 

∂r r ∂θ r ∂z ⎟ 

⎠ r ∂θ 

⎡ 1 

⎢ 2 

⎣r ∂ 2 1 ∂ ∂ τθr −τ 

rθ 

⎤ 

( r τrθ) + τθθ + τzθ 

+ 

∂r r ∂θ∂z r ⎥ 

⎦ 

⎛∂vz ∂vz vθ 

∂vz ∂vz ⎞ ∂p 

ρ⎜ + vr + + vz ⎟+ 

− ρgz 

= 

⎝ ∂t ∂r r ∂θ∂z ⎠ ∂z 

⎡1 ∂ 1 ∂ ∂ ⎤ 

⎢ ( rτ 

rz ) + τθz+ τzz 

⎣r ∂r r ∂θ∂z ⎥ 

⎦ 

onde p representa a pressão termodinâmica e g a aceleração da gravidade. 

2.1.7 Módulo de relaxação 


14 

(2.18) 

(2.19) 

(2.20) 

O módulo de relaxação G é uma propriedade reológica dependente da 

natureza do fluido. Este parâmetro relaciona a viscosidade à taxa de cisalhamento 

nula com o tempo de relaxação do material (Bird et al., 1987).


G η 

λ 

0 = (2.21) 

onde G é o modulo de relaxação, η 0 a viscosidade à taxa nula de cisalhamento e λ 

o tempo de relaxação do material. 

2.1.8 Primeira e segunda diferença de tensões e a viscosidade extensional 

O escoamento de fluido newtoniano pode ser caracterizado por duas 

propriedades materiais: a massa específica ρ e a viscosidade dinâmica µ . O 

conhecimento dessas propriedades permite a solução dos campos de velocidade e 

de tensão, através da equação do movimento e das equações constitutivas para o 

tensor de tensões. Atualmente na engenharia, a determinação das propriedades ρ 

e µ é uma atividade bem consolidada e de fácil execução. 

Por outro lado, a descrição experimental de fluidos não-newtonianos, mesmo 

no caso incompressível, é muito mais complexa que a dos fluidos newtonianos. Os 

escoamentos de fluidos não-newtonianos dependem de várias funções materiais, 

que por sua vez dependem da taxa de cisalhamento, da freqüência e do tempo. 

Alguns exemplos dessas funções são: a viscosidade cisalhante η( γ& ) , a primeira, N 1, 

e a segunda, 2 N , diferença de tensões normais e as viscosidades extensionais η 1 e 

η 2 . O conhecimento dessas funções é fundamental para a completa descrição do 

campo de velocidade e de tensão para escoamento de fluidos não-newtonianos 

(Bird et al., 1987). 

Como o movimento relativo das partículas materiais evidencia diferentes 

propriedades do escoamento, costuma-se caracterizar os fluidos poliméricos através 

de dois tipos de escoamento: escoamento cisalhante e escoamento livre de 

cisalhamento. 


15


2.1.8.1 Escoamentos cisalhantes 

Os escoamentos cisalhantes são aqueles que em geral a velocidade varia na 

direção perpendicular ao movimento. A forma mais geral que o tensor de tensões 

total, π , pode ter para um escoamento cisalhante simples é: 

⎛− p + τxx τ yx 0 ⎞ 

⎜ ⎟ 

π=− pδ+ τ = 

⎜ 

τ yx − p+ 

τ yy 0 

⎟ 

(2.22) 

⎜ 0 0 − p + τ ⎟ 

⎝ zz ⎠ 

As tensões que são usualmente utilizadas em conjunção com o escoamento 

cisalhante são: 

1. Tensão cisalhante, τ yx . 

2. Primeira diferença de tensão normal: 

3. Segunda diferença de tensão normal: 

N1 = τ xx − τ yy 

(2.23) 

N2 = τ yy − τ zz 

(2.24) 

Dessa maneira, há somente três quantidades independentes e 

experimentalmente acessíveis no escoamento cisalhante simples. 

As funções materiais para o escoamento cisalhante permanente são definidas 

como: 


16


1. A viscosidade η (também chamada de viscosidade não-newtoniana ou 

viscosidade dependente da taxa de cisalhamento) é: 

τ 

η( & γ) 

= 

& γ 

2. Os coeficientes de tensões normais 1 Ψ e Ψ 2 são definidos como: 


yx 

yx 

( ) 2 

1 xx yy 1 yx 

17 

(2.25) 

N = τ − τ =Ψ & γ & γ 

(2.26) 

( ) 2 

N = τ − τ =Ψ & γ & γ 

(2.27) 

2 yy zz 2 yx 

As funções 1 Ψ e Ψ 2 são conhecidas como primeiro e segundo coeficientes de 

diferenças de tensões normais, respectivamente. As funções η ( γ& ) , 1 

algumas vezes coletivamente chamadas de funções viscosimétricas. 

Em geral, as funções η( γ& ) , 1 

taxa de cisalhamento. 

2.1.8.2 Escoamentos livres de cisalhamento 

Ψ e Ψ 2 são 

Ψ e Ψ 2 são decrescentes com o aumento da 

Os escoamentos livres de cisalhamento são em geral aqueles em que a 

velocidade varia na direção do escoamento. 

A simetria acoplada com a isotropia do fluido reduz a forma mais geral do 

tensor de tensões para o caso de escoamento livre de cisalhamento para:


⎛− p + τ xx 0 0 ⎞ 

⎜ ⎟ 

π=− pδ+ τ = 

⎜ 

0 − p+ 

τ yy 0 

⎟ 

(2.28) 

⎜ 0 0 − p + τ ⎟ 

⎝ zz ⎠ 

Quando considera-se fluidos incompressíveis, há somente duas diferenças de 

tensões normais de interesse experimental: 

N1 = τ zz − τ xx 

(2.29) 

N2 = τ yy − τ xx 

(2.30) 

A taxa extensional ε& é presumida ser independente do tempo para o 

escoamento permanente. 

As funções materiais para o escoamento livre de cisalhamento transitório 

dependem de ε& () t e do parâmetro b que define o tipo de escoamento. Para 

escoamentos permanentes simples livres de cisalhamento definimos duas funções 

viscosidade, η 1 e η 2 , para descrever as duas diferenças de tensões normais, 

conforme: 

η & ε b 

τ −τ 

= 

& ε 

1 ( , ) zz xx 

τ −τ 

η2 ( & ε, 

b) 

= 

& ε 

yy xx 


18 

(2.31) 

(2.32)


Para o caso especial de escoamento livre de cisalhamento no estado 

permanente onde b = 0 , η 2 = 0 e η 1 é igual à viscosidade extensional η : 

η ( & ε) = η ( & ε,0); η ( & ε,0) 

= 0 

(2.33) 

1 2 

Para & ε > 0 , η descreve um escoamento extensional, e para & ε < 0 , η descreve 

um estiramento biaxial. A viscosidade extensional é algumas vezes chamada de 

“viscosidade de Trouton” ou “viscosidade elongacional”. 

A viscosidade extensional η possui um valor constante à baixas taxas de 

extensão, conhecida como viscosidade elongacional à taxa de cisalhamento nula η 0 , 

a qual é três vezes a viscosidade a taxa de cisalhamento nula. Lembrando que 

η = 3η 

para fluidos newtonianos. 

Devido à dificuldade de atingir o regime permanente em muitos escoamentos 

de líquidos poliméricos livres de cisalhamento, os estudos de escoamentos 

transitórios livres de cisalhamento são muito importantes. 

2.2 Estudo do escoamento em contrações bruscas 

Estudos do escoamento através de contrações bruscas têm sido reportados 

extensivamente na literatura. Além das diversas aplicações industriais que motivam 

esses estudos, a adoção desses escoamentos como soluções de referência na 

prática de métodos numéricos contribui com o grande número de trabalhos 

realizados. A exemplo, o escoamento de fluidos viscoelásticos através de contrações 

bruscas foi sugerido como um problema de referência durante o 5 th International 

Workshop on Numerical Methods in Non-Newtonian Flows (Hassager, 1988). 

Durst e Loy (1985) avaliam de forma experimental e numérica o escoamento 

laminar através de um duto que apresenta redução brusca na área da seção 

transversal. Uma característica desses escoamentos é o aumento da queda de 


19


pressão causada pela geração de vórtices nas regiões próximas da contração. A 

Figura 2.2 ilustra a forma básica dos vórtices gerados pelo escoamento através de 

contrações bruscas, sendo notória a concentração dos vórtices próximos à região da 

contração. Os resultados obtidos avaliam perfis de velocidade axial, a pressão ao 

longo do duto e associam o tamanho dos vórtices gerados com o número de 

Reynolds do escoamento. 


r 

Figura 2.2 - Esquema da formação de vórtices no escoamento ao longo de uma contração abrupta. 

Boger (1987) sumariza trabalhos realizados sobre o escoamento através de 

contrações. São avaliadas as soluções disponíveis para o escoamento de fluido 

newtoniano e não-newtoniano inelástico através de uma contração. Também, 

considera-se o progresso que tivera a solução de fluidos viscoelásticos, sendo 

enfatizada a interação que existe entre observações experimentais e simulações 

numéricas para esses fluidos. 

Dekam e Calvert (1988) determinaram a perda de carga para o escoamento 

através de uma transição entre dutos de seções transversais quadradas e 

retangulares de mesma área. Os resultados obtidos são comparados com os 

resultados teóricos considerando um escoamento através de uma contração ou 

expansão. 

Hammad e Vradis (1996), analisaram o escoamento com baixo número de 

Reynolds, incompressível e permanente, de um fluido viscoplástico, tipo plástico de 

Bingham, através de uma contração brusca axissimétrica. Os termos da dissipação 

z 

20


viscosa foram considerados. Foi investigado o efeito do aquecimento do fluido, 

gerado apenas pela dissipação viscosa, na alteração da tensão limite de 

escoamento e o efeito do número de Peclet no campo de temperaturas ao longo do 

escoamento. 

Sisavath et. al. (2002) realizaram um estudo do escoamento através de uma 

contração ou expansão para números de Reynolds baixos (Creeping flow). O 

objetivo do trabalho é correlacionar a solução analítica do escoamento de fluido 

newtoniano através de um pequeno orifício (Sampson, 1891) com o escoamento 

através de uma contração ou expansão. 

Iudicello (2003) realizou um estudo numérico do escoamento laminar através 

de uma contração brusca. Os resultados obtidos foram comparados com dados 

experimentais obtidos da literatura. Para as simulações, foi utilizado o programa 

computacional comercial CFX-5. 

Coradin et. al. (2006) apresentaram a simulação numérica do escoamento 

laminar, incompressível, isotérmico e estacionário através de uma contração brusca 

axissimétrica. Na primeira parte do estudo é simulado o escoamento laminar 

newtoniano, sendo os resultados obtidos validados com dados experimentais 

reportados na literatura. São analisados os perfis de velocidade na direção axial 

para posições próximas da contração. Na segunda parte é simulado o escoamento 

de fluido não-newtoniano de comportamento viscoplástico, fluido de Bingham. Nesta 

etapa, foi avaliada a influência da variação dos parâmetros adimensionais do 

escoamento no comportamento da velocidade axial ao longo da linha de centro. As 

simulações numéricas foram realizadas com o programa computacional comercial 

PHOENICS CFD. O trabalho apresentado por Coradin et. al. (2006) encontra-se no 

APÊNDICE C. Esse trabalho é parte do estudo precedente realizado para a 

execução do tema proposto neste projeto, servindo como fonte de crescimento 

acadêmico e aquisição de experiência na utilização da ferramenta computacional 

PHOENICS CFD. 


21


2.3 Estudo do escoamento viscoelástico 

Os trabalhos apresentados no tópico anterior referem-se, em sua maioria, a 

fluidos newtonianos e não-newtonianos inelásticos. Entretanto, em muitos casos 

estes modelos de fluido não representam de forma precisa o comportamento real do 

fluido. Assim, torna-se necessária uma abordagem com modelos reológicos mais 

complexos e completos. Neste trabalho, é focada a utilização de modelos de fluido 

viscoelásticos que sejam capazes de reproduzir os efeitos presenciados no 

escoamento através de contrações bruscas, tais como o comportamento da 

viscosidade extensional e a primeira e segunda diferença de tensões normais. 

As equações a resolver em um problema de escoamento viscoelástico são, 

geralmente, as equações de conservação da massa e da quantidade de movimento 

mais as relações e equações constitutivas provindas da modelagem do fluido. Na 

maioria dos problemas práticos encontrados, o sistema formado pelas equações se 

apresenta de forma não-linear e não pode ser resolvido analiticamente, sendo 

necessário o auxílio de métodos de solução numérica. Segundo Alves et. al. (2002), 

quando comparado ao caso newtoniano, o cálculo de escoamentos de fluidos 

viscoelásticos vai introduzir uma série de dificuldades, as quais podem ser: 

• Acoplamento de três campos de variáveis: velocidade, pressão e tensão; 

• Equações independentes para o transporte do campo de tensões (um tensor 

de segunda ordem) que necessitam serem resolvidas conjuntamente com as 

equações do escoamento; 

• Necessidade de utilizar malhas computacionais muito finas para que se torne 

possível resolver, com precisão suficiente, as camadas limites de tensões 

junto a paredes e em regiões próximas de pontos singulares (onde as tensões 

tendem para infinito); 

• Necessidade de utilizar esquemas de diferenças de ordem superior, sobretudo 

para a representação dos termos em derivada de primeira ordem nas 


22


equações hiperbólicas que regem o transporte das tensões, equações estas 

que não contém qualquer termo difusivo. 

Para a modelagem do fluido viscoelástico, a seleção de uma equação 

constitutiva que represente adequadamente o comportamento reológico do fluido é 

um passo de fundamental importância na resolução do problema. Muniz et. al. 

(2005) afirmam que em simulações numéricas de fluidos viscoelásticos tem-se dado 

preferência ao uso de modelos de fluidos newtonianos generalizados, modelos 

diferenciais e integrais não-lineares. Os modelos de fluido newtoniano generalizados 

levam em conta apenas a dependência da viscosidade com a taxa de deformação, 

deixando de lado os efeitos decorrentes da elasticidade do fluido. Já os modelos 

diferenciais e integrais permitem contemplar uma grande variedade das 

características reológicas apresentadas pelos fluidos de comportamento 

viscoelástico. Em relação aos modelos integrais, os modelos diferenciais são os 

mais usados em simulações numéricas, pois são mais fáceis de serem 

implementados e resolvidos, apresentando resultados consistentes (Bird et. al., 

1987). 

2.4 Estudo do escoamento viscoelástico em contrações bruscas 

Os modelos constitutivos que vêm sendo utilizados para a resolução do 

escoamento viscoelástico em uma contração brusca são muitos. Entre os trabalhos 

realizados, os principais modelos empregados são: Phan-Thien e Tanner (PTT), 

Oldroyd-B, FENE-P, POM-POM, Upper Convected Maxwell (UCM), Giesekus, K- 

BKZ. Entre os modelos citados, o de maior destaque é o PTT. A seguir, serão 

comentados alguns trabalhos realizados sobre escoamentos viscoelásticos através 

de contrações bruscas. 

Azaiez (1996) realiza a simulação numérica do escoamento viscoelástico 

através de uma contração plana. Os modelos de fluido utilizados são os de 

Giesekus, o FENE-P e o PTT. Ambos os campos de tensão e velocidade são 

examinados em diferentes seções do escoamento, sendo os resultados numéricos 

comparados com dados experimentais. Os resultados apresentaram boa 


23


concordância qualitativa, porém, principalmente para a primeira diferença de 

tensões, há discrepâncias nos resultados quantitativos. 

Phillips e Williams (2002) estudaram a diferença no desenvolvimento das 

estruturas dos vórtices gerados pelo escoamento de um fluido viscoelástico, 

Oldroyd-B, quando comparadas às geometrias de contração plana e axissimétrica. 

Os resultados numéricos alcançados demonstram que há grande diferença entre os 

escoamentos através das duas geometrias. No caso de escoamento axissimétrico, 

os vórtices gerados são maiores tanto em tamanho quanto em intensidade. 

Mompean (2002) realizou a simulação numérica do escoamento através de 

uma contração plana para baixo número de Reynolds com fluidos newtonianos e 

viscoelásticos. Um modelo com tensões extras algébricas derivadas do modelo 

diferencial do Oldroyd-B e aplicado ao modelo de Phan-Thien e Tanner é utilizado. 

Esse modelo apresentou excelentes resultados. 

Aboubacar et. al. (2002) examinam o escoamento viscoelástico através de 

contrações axissimétricas e planares. O escoamento apresenta condições de 

creeping flow ( Re = 0 ) e a razão entre os diâmetros da contração é igual a quatro 

para todos os escoamentos. Os modelos de fluidos viscoelásticos são o Oldroyd-B e 

o modelo PTT com coeficiente linear e exponencial para as tensões. Os resultados 

são mostrados através de comparação das linhas de corrente, sendo dada atenção 

especial ao tamanho dos vórtices em função das propriedades do fluido. 

Alves et. al. (2002) apresentaram uma solução de referência no escoamento de 

fluidos viscoelásticos através de contrações bruscas planas bidimensionais. Para a 

modelagem do fluido é utilizado o modelo não-linear de Phan-Thien e Tanner. Um 

esquema de diferenças de ordem superior, especialmente concebido para fluidos 

viscoelásticos, é aplicado conjuntamente com a utilização de malhas muito 

refinadas, contendo um número superior a um milhão de graus de liberdade, de 

forma a se obter resultados passíveis de serem utilizados como referência. Em outro 

trabalho feito pelos mesmos autores (Alves et. al, 2003), foi proposta a solução de 

referência para o escoamento viscoelástico através de uma contração, porém, 


24


utilizando os modelos Oldroyd-B e PTT com a função linear e exponencial. Nesse 

estudo, pode-se constatar que o modelo Oldroyd-B não apresenta resultados 

confiáveis para valores do número de Deborah maiores que 3. Para o modelo PTT, 

utilizando a forma linear para a função extensional, um limite de aproximadamente 

200 foi encontrado no número de Deborah, enquanto que para a forma exponencial 

nenhum limite superior foi encontrado. Alves et. al. (2004) ainda realizaram um 

trabalho que aborda o efeito da razão da contração (razão entre os diâmetros) no 

escoamento viscoelástico através de contrações axissimétricas. Foi utilizado o 

modelo de fluido de Phan-Thien e Tanner com coeficiente linear para as tensões, 

sendo desprezados os efeitos inerciais no escoamento (creeping flow). Os autores 

concluem que, ao contrário do escoamento de fluido newtoniano, em que a razão de 

contração não apresenta influência para valores maiores do que quatro, para 

escoamentos viscoelásticos o comportamento dos vórtices são alterados tanto com 

a variação da razão da contração quanto com a variação da elasticidade do fluido. 

2.5 Modelo de Phan-Thien e Tanner - PTT 

Entre as propriedades de interesse no escoamento viscoelástico através de 

uma contração, a viscosidade extensional apresenta grande importância. Portanto, é 

necessário utilizar um modelo que permita bons resultados para essa propriedade. 

Porém, resultados para outras propriedades do fluido, tais como a primeira e 

segunda diferença de tensões normais, devem apresentar resultados satisfatórios. 

Após a revisão dos trabalhos realizados para o escoamento de fluidos 

viscoelásticos através de contrações bruscas pode-se notar que o modelo de fluido 

apresentado por Phan-Thien e Tanner (1977) representa de forma eficaz as 

características deste escoamento. Em seu trabalho, Quinzani et al. (1995) 

apresentaram os resultados de um estudo experimental para avaliar a capacidade 

de diversos modelos constitutivos diferenciais. Os autores concluem que o modelo 

de Phan-Thien e Tanner é o que melhor caracteriza a viscosidade extensional, 

podendo representar satisfatoriamente, além do comportamento extensional, outras 

propriedades do escoamento. 


25

Capítulo 3 – Modelagem Matemática 

3 MODELAGEM MATEMÁTICA 

Ao longo deste capítulo serão apresentadas as equações governantes e as 

condições de contorno utilizadas para definir o problema. As equações a resolver em 

um problema de escoamento com fluido viscoelástico são habitualmente as 

equações de conservação da massa e da quantidade de movimento, acrescidas de 

um conjunto de equações constitutivas que representam o transporte das 

componentes do tensor das tensões (Alves et. al., 2002). Hipóteses simplificadoras 

serão feitas, permitindo desconsiderar termos irrelevantes nas equações. Desta 

forma, a complexidade pode ser reduzida sem que o problema seja 

descaracterizado. 

O primeiro passo a ser considerado é o sistema de coordenadas utilizado. 

Como a principal aplicação deste trabalho está voltada para a perfuração de poços 

para a produção de petróleo e gás, será considerada a simulação do escoamento de 

fluido viscoelástico através de uma contração brusca axissimétrica. Assim, o sistema 

de coordenadas a ser utilizado é o cilíndrico, o qual apresenta as direções r ,θ e z 

nos eixos coordenados. A componente r está relacionada com a posição ao longo 

do raio do cilindro, θ com a posição angular e z indica a posição ao longo da linha 

axial. Na Figura 3.1, pode-se visualizar o sistema de coordenadas para a contração 

brusca, o qual possui origem na interseção da linha de centro do tubo com a linha 

radial em que ocorre a contração. 

Figura 3.1 – Geometria da contração brusca axissimétrica. 


26


Os modelos viscoelásticos são complexos e não estão disponíveis na maior 

parte dos programas comerciais, por isso, é necessário implementar o modelo de 

fluido viscoelástico no PHOENICS CFD. Desta forma, o modelo de Phan-Thien e 

Tanner será adotado, conforme relatado na revisão bibliográfica. Assim, a 

verificação da implementação realizada torna-se necessária. Durante a verificação, 

serão adotadas simulações de escoamentos mais simples, alguns possuindo até 

mesmo solução analítica. 

3.1 Hipóteses simplificadoras 

As hipóteses a serem utilizadas neste trabalho serão enumeradas e 

comentadas a seguir: 

Hip 1) Escoamento isotérmico: a temperatura é uniforme ao longo de todo o 

domínio. Será desprezada qualquer troca de calor possível devido às 

interações do fluido com as paredes do tubo, não sendo necessária a 

resolução da equação da conservação da energia. 

Hip 2) Escoamento permanente: o problema será tratado como independente 

do tempo, ou seja, as propriedades não variam com o tempo, equação 

(3.1). 

∂() 

= 0 

∂t 


27 

(3.1) 

Hip 3) Escoamento axissimétrico: devido à geometria do problema, a 

consideração de escoamento axissimétrico será realizada em relação à 

linha de centro dos tubos. Através desta hipótese, além da simplificação 

das equações, busca-se a redução do tempo e esforço computacional na 

resolução do problema, uma vez que a malha gerada possui apenas 

duas direções ao invés de três. Desta forma, as relações da equação 

(3.2) são válidas.


∂ 

= vθ = τθr = τrθ = τθz = τzθ 

= 0 

∂θ 


28 

(3.2) 

Hip 4) Escoamento laminar: apesar dos escoamentos reais serem, em sua 

maioria, turbulentos, a hipótese de escoamento laminar será adotada 

para reduzir a complexidade do problema, evitando a resolução de 

equações adicionais para os modelos de turbulência. 

Hip 5) Escoamento incompressível: os efeitos da compressão do fluido serão 

desprezados. Desta forma, assume-se que a massa específica do fluido 

é constante em todo o domínio. 

Hip 6) Gravidade nula: os efeitos devido à força gravitacional serão 

desconsiderados. Contudo, as componentes da aceleração da gravidade 

são nulas para todas as direções, conforme: 

g = g = g = 0 

(3.3) 

r θ z 

3.2 Equação da conservação da massa 

Aplicando as hipóteses simplificadoras na equação (2.16), tem-se que a 

equação da conservação da massa para o problema proposto é dada por: 

∂vr vr ∂vz 

+ + = 0 

∂r r ∂z 

(3.4)


3.3 Equação da conservação da quantidade de movimento 

Após considerar as hipóteses simplificadoras, as equações (2.18), (2.19) e 

(2.20) podem se reduzir as equações (3.5) e (3.6) nas direções r e z , 

respectivamente. A equação (2.19) é anulada após a aplicação das hipóteses. 

⎛ ∂vr ∂vr ⎞ ∂p ⎡1 ∂ ∂ τθθ 

⎤ 

ρ⎜vr+ vz⎟+ = ( rτrr 

) + τzr 

− 

⎝ ∂r ∂z ⎠ ∂r ⎢r ∂r ∂z 

r ⎥ 

⎣ ⎦ (3.5) 

⎛ ∂vz ∂vz ⎞ ∂p ⎡1 ∂ ∂ ⎤ 

ρ ⎜vr + vz ⎟+ = ( rτrz) 

+ τzz 

⎝ ∂r ∂z ⎠ ∂z ⎢ 

⎣r ∂r ∂z 

⎥ 

⎦ 

3.4 Modelo de Phan-Thien e Tanner – PTT 


29 

(3.6) 

Como já comentado, o modelo de fluido viscoelástico a ser utilizado é o modelo 

PTT (Phan-Thien e Tanner, 1977). A equação (3.7), apresentada por Tanner (2000), 

pode ser utilizada para a definição do tensor de tensões τ de um material com 

tempo de relaxação λ singular. 

⎡ D 

T ⎤ 

λ⎢ τ−lτ− τl + Y = 2λG 

⎣Dt ⎥ 

τ d 

(3.7) 

⎦ 

Na equação (3.7) o termo l é o tensor efetivo do gradiente de velocidade, o 

qual leva em consideração o tensor do gradiente da velocidade macroscópica e a 

velocidade relativa do fluido, conforme segue: 

l = L−ξd (3.8) 

onde ξ é o parâmetro que controla o deslizamento entre as cadeias poliméricas.


Os tensores L e d são dados pelas equações (3.9) e (3.10), respectivamente. 

L= v 

T 

∇ (3.9) 

1 

d = γ& (3.10) 

2 

Na equação (3.7), Y é uma função do traço do tensor de tensões, Y (tr τ ) . Há 

duas formas para expressar Y , as quais são: 

ε 

Y = 1+ trτ 

(forma linear) (3.11) 

G 

⎛ ε ⎞ 

Y = exp⎜ tr τ ⎟ (forma exponencial) (3.12) 

⎝G⎠ O parâmetro ε governa a resposta ao fluxo extensional. Para ε = 0 , o fluido 

apresenta viscosidade extensional infinita. Desta maneira, o modelo PTT torna-se 

equivalente ao modelo Oldroyd-B. 

Neste trabalho, será considerado o modelo PTT affine, pois na equação (3.8) 

é feito ξ = 0 . A implicação desta consideração fornece um deslizamento relativo nulo 

entre moléculas do fluido, simplificando o modelo empregado nas simulações. Para 

Y , será utilizada a forma linear. A adoção da forma linear para Y deve-se ao fluido 

de perfuração apresentar comportamento próximo de um fluido viscoso (baixos 

valores de De ). Segundo Alves et. al. (2003), a forma linear apresenta resultados 

aceitáveis para De < 200 , sendo aplicável a este projeto. 


30


Contudo, o modelo PTT a ser utilizado para a determinação das seis 

componentes do tensor de tensões será: 

3.5 Equações constitutivas 

T ⎛ ε ⎞ τ 

( v. ∇) τ −Lτ− τL+ ⎜1+ trτ⎟ = 2Gd 

(3.13) 

⎝ G ⎠λ 

Juntamente com as equações da conservação da massa e da quantidade de 

movimento nas direções r e z , equações (3.4), (3.5) e (3.6), respectivamente, as 

seis equações constitutivas escalares do fluido, provindas da equação (3.13), 

completam o sistema de equações a ser resolvido. 

Considerando as hipóteses simplificadoras, a equação (3.13) pode ser 

decomposta em quatro equações escalares, as quais são dadas pelas equações 

(3.14), (3.15), (3.16) e (3.17), nas componentes rr , θθ , zz e rz = zr , 

respectivamente. Devido à hipótese de escoamento axissimétrico, apenas estas 

quatro equações são necessárias para completar o sistema juntamente com as 

equações de conservação da massa e da quantidade de movimento (Tanner, 2000). 

⎧ ∂τrr ∂τrr⎫ ⎧ ∂vr∂vr⎫ ⎨vr+ vz⎬− 

2⎨τrr 

+ τrz 

⎬+ 

⎩ ∂r ∂z ⎭ ⎩ ∂r ∂z 

⎭ 

⎧ ε ⎫ ⎧ ∂vr 

⎫ 

⎨1 + ( τrr + τθθ + τzz ) ⎬τrr / λ = G ⎨2 ⎬ 

⎩ G ⎭ ⎩ ∂r 

⎭ 

⎧ ∂τθθ ∂τθθ ⎫ ⎧ ⎛vr⎞⎫ ⎨vr + vz 

⎬− 2 ⎨τθθ ⎜ ⎟⎬+ 

⎩ ∂r ∂z ⎭ ⎩ ⎝ r ⎠⎭ 

⎧ ε ⎫ ⎧ ⎛vr⎞⎫ ⎨1 + ( τrr + τθθ + τzz ) ⎬τθθ / λ = G ⎨2⎜ ⎟⎬ 

⎩ G ⎭ ⎩ ⎝ r ⎠⎭ 


31 

(3.14) 

(3.15)


⎧ ∂τzz ∂τzz⎫ ⎧ ∂vz∂vz⎫ ⎨vr + vz 

⎬− 2⎨τzr 

+ τzz 

⎬+ 

⎩ ∂r ∂z ⎭ ⎩ ∂r ∂z 

⎭ 

⎧ ε ⎫ ⎧ ∂vz 

⎫ 

⎨1 + ( τrr + τθθ + τzz ) ⎬τzz / λ = G ⎨2 ⎬ 

⎩ G ⎭ ⎩ ∂z 

⎭ 

⎧ ∂τrz ∂τrz⎫ ⎧ ∂vr∂vz⎛vr⎞⎫ ⎨vr+ vz⎬− 

⎨τzz+ τrr − τrz 

⎜ ⎟⎬+ 

⎩ ∂r ∂z ⎭ ⎩ ∂z ∂r 

⎝ r ⎠⎭ 

⎧ ε ⎫ ⎧∂vz ∂vr 

⎫ 

⎨1 + ( τrr+ τθθ + τzz ) ⎬τrz / λ = G ⎨ + ⎬ 

⎩ G ⎭ ⎩ ∂r ∂z 

⎭ 

3.6 Condições de contorno 


32 

(3.16) 

(3.17) 

As condições de contorno estabelecidas para a resolução do problema são 

enumeradas abaixo: 

COND 1. Condição de entrada: perfil de velocidade desenvolvido na entrada. 

z z 

( ) 

v = v r 

(3.18) 

COND 2. Condição de saída: pressão de referência nula na saída. 

p = 0 

(3.19) 

COND 3. Condição de parede: velocidades nulas nas paredes. 

ref 

vr = vz 

= 0 

(3.20)


COND 4. Condição de simetria: derivadas em relação à r e a componente da 

velocidade v r são feitas nulas. 

∂() 

= vr 

= 0 

∂r 


33 

(3.21) 

As condições de contorno aplicadas ao problema podem ser visualizadas 

através da Figura 3.2. 

Figura 3.2 – Geometria e condições de contorno para a geometria da contração abrupta 

axissimétrica. 

Na Figura 3.2, R é o raio do tubo de maior diâmetro, β é a razão entre o maior 

e o menor diâmetro da contração, L 1 o comprimento do tubo de maior seção e L 2 o 

comprimento do tubo de menor seção.


3.7 Adimensionalização 

Durante o decorrer deste trabalho, algumas variáveis serão tratadas na sua 

forma adimensional, permitindo que os resultados possam ser melhor visualizados e 

compreendidos. Ainda, com a adimensionalização, busca-se generalizar os casos 

em que a solução seja aplicada. As variáveis adimensionais utilizadas são descritas 

a seguir: 


r 

z 

* 

r 

* 

2 

v 

v 

* 

1 

z 

= (3.22) 

2R 

r 

= (3.23) 

R 

r 

= (3.24) 

R / β 

v 

= (3.25) 

U 

* r 

r 

v 

= (3.26) 

U 

* z 

z 

* P 

P = (3.27) 

ηU 

/ r 

34


τ 

* ( = 1) 


* 

ij 

= 

τ 

τ 

ij 

ij r 

35 

(3.28) 

onde o sobrescrito * representa a variável adimensional e U a velocidade média no 

tubo de entrada.

Capítulo 4 – Metodologia Numérica 

4 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO 

O problema proposto representa uma situação que pode ser encontrada em 

casos reais de engenharia. Para sua solução é necessário um equacionamento 

matemático que descreva a realidade física da maneira mais fiel possível. Após, é 

necessário resolver as equações governantes do problema. 

4.1 Sistema de equações 

É necessário de antemão realizar uma revisão bibliográfica do tema, buscando 

adquirir o conhecimento acerca dos fenômenos envolvidos, observar o grau de 

desenvolvimento tecnológico em que o problema se encontra e, deste modo, 

analisar as respostas apresentadas em trabalhos já realizados, os quais possam 

fornecer informações de fundamental importância para a realização do projeto. 

Uma vez conhecendo o problema, é necessário realizar seu equacionamento. 

Nesta fase são utilizadas as leis físicas governantes e, juntamente com 

considerações e hipóteses, obtém-se o sistema de equações a ser resolvido. 

4.2 Solução do problema 

Uma vez obtido o sistema de equações que definem o problema, pode-se 

realizar sua solução de duas formas diferentes: teórica ou experimental. 

Uma solução teórica normalmente envolve a solução de equações diferenciais, 

as quais podem ser resolvidas tanto na forma analítica como através da utilização de 

métodos numéricos. O método analítico envolve, geralmente, simplificações e 

condições de contorno que diminuem a complexidade do problema e permitem, 

desta maneira, apresentar solução ao problema. Obviamente, quando possível, uma 

solução analítica não deve ser descartada. Se um sistema de equações formado 

pelas equações diferenciais que compõem o problema não pode ser resolvido 

analiticamente, é possível a utilização de métodos numéricos. 


36


Métodos experimentais apresentam a vantagem da representação mais 

realística do problema, porém, algumas vezes podem ser custosos financeiramente, 

apresentar dificuldades nas medições, não oferecer condições seguras ou requerer 

tempo elevado para a realização dos experimentos. 

Na Tabela 4.1 é apresentada uma simples comparação entre as três técnicas 

utilizadas para a resolução de problemas de engenharia. Nota-se que todas as 

técnicas apresentam vantagens e desvantagens uma em relação às outras. 

Tabela 4.1 – Comparação entre as técnicas comuns na solução de problemas de engenharia. 

(Fonte: Fortuna, 2000) 

Método Vantagem Desvantagem 

Experimental • Mais realístico • Equipamentos requeridos 

Analítico • Mais geral 

• Equações Fechadas 

Numérico • Nenhuma restrição à 

linearidade 

• Geometria e processos 

complexos 

• Cálculo transiente dos 

processos 

• Problemas em escala 

• Dificuldades de medidas 

• Custo de operação 

• Segurança 

• Restrito a geometrias e 

processos simples 

• Normalmente restrito a 

problemas lineares 

• Erros de truncamento 

• Dificuldades nas definições de 

condições de contorno 

apropriadas 


37


4.3 Dinâmica dos Fluidos Computacional - DFC 

Devido a não-linearidade apresentada pelo conjunto de equações do problema 

proposto neste trabalho, é necessária a utilização de métodos numéricos para a 

resolução do sistema de equações formulado. Assim, será utilizada a técnica de 

dinâmica de fluidos computacional (DFC), a qual lineariza o sistema não-linear 

através da discretização das equações. Segundo Versteeg e Malalasekera (1995), a 

prática de DFC consiste em três etapas principais: pré-processamento, 

processamento e pós-processamento. 

A fase de pré-processamento consiste nos dados de entrada do problema no 

programa computacional DFC. As principais tarefas a serem realizadas são: 

• Definição da geometria e regiões de interesse, ou seja, determinação do 

domínio computacional; 

• Geração da malha numérica, a qual divide o domínio em células (volumes de 

controle); 

• Seleção dos fenômenos físicos e químicos; 

• Definição das propriedades do fluido; 

• Especificação das condições de contorno; 

• Especificações para a resolução do sistema de equações. 

A segunda etapa é onde o sistema de equações formulado é propriamente 

resolvido. Através das especificações feitas na fase anterior, o programa resolve o 

sistema, gerando um arquivo de saída a ser interpretado no pós-processamento. É 

nesta fase que o controle da convergência da solução é avaliado através de gráficos 

que mostram a variação de variáveis de interesse no escoamento e seus respectivos 

erros numéricos entre as iterações. 

O pós-processamento consiste na última fase de um programa computacional 

de DFC. Nesta fase os resultados são visualizados conforme o desejado. Os 


38


resultados podem ser apresentados na forma de valores discretos, campos coloridos 

e legendados, vetores, linhas de corrente, entre outros. 

Entre as formulações utilizadas em DFC para a discretização das equações, o 

Método dos Volumes Finitos (Patankar, 1980) tem aparecido como uma técnica de 

fácil compreensão e interpretação física. 

Segundo Morales (1999), os principais passos a serem seguidos para o 

desenvolvimento e implementação de esquemas numéricos para solução de 

problemas envolvendo DFC são: 

• Escolha adequada da localização das variáveis dependentes na malha; 

• Tratamento do acoplamento entre a pressão e a velocidade; 

• A obtenção da função de interpolação entre os pontos discretos; 

• A escolha da seqüência de solução das equações diferenciais; 

• A escolha do método de solução do sistema de equações lineares. 

No presente trabalho as equações governantes modeladas no capítulo 3 serão 

resolvidas através do programa computacional comercial PHOENICS CFD. Detalhes 

da metodologia numérica utilizada pelo PHOENICS CFD são apresentados no 

APÊNDICE A. 


39

Capítulo 5 – Modelagem e Implementação Numérica 

5 MODELAGEM E IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA 

No presente capítulo, serão descritas a solução numérica com o programa 

comercial PHOENICS CFD e a forma de implementação do modelo de fluido 

viscoelástico PTT para a geometria da contração brusca axissimétrica. 

5.1 Sistema de equações do problema 

O sistema de equações a ser resolvido é formado pelas equações (3.4), (3.5), 

(3.6), (3.14), (3.15), (3.16) e (3.17) que, respectivamente, representam a equação da 

conservação da massa, conservação da quantidade de movimento nas direções r e 

z , e as equações constitutivas provindas do modelo PTT para as componentes rr , 

θθ , zz e rz = zr . As incógnitas do sistema são: p , r v , z v , τ rr , τ θθ , zz 


τ e τ rz τ zr 

= . 

No programa PHOENICS CFD, as equações são implementadas conforme a 

equação generalizada dada pela equação (5.1), a qual é melhor descrita no 

APÊNDICE A. Na Tabela 5.1 as sete equações a serem resolvidas no escoamento 

de um fluido viscoelástico PTT escritas na forma da equação generalizada podem 

ser visualizadas. 

∂ρφ 

+ ∇( ρv φ) −∇( Γ∇ φ) 

= S 

(5.1) 

∂t 

onde S representa os termos fontes adicionais na equação. 

A equação da conservação da massa implementada no código padrão do 

PHOENICS CFD apresenta forma idêntica à equação (3.4) quando consideradas as 

hipóteses simplificadoras. Assim, não é necessária qualquer implementação 

adicional para esta equação. 

40


Tabela 5.1 – Equações escritas na forma generalizada. 

Equação φ Γ S 

Continuidade 1 0 0 

Quantidade de 

movimento em r 

Quantidade de 

movimento em z 

Constitutiva em rr 

Constitutiva em θθ 

Constitutiva em zz 

Constitutiva em rz = zr 

⎡1∂∂ τθθ 

⎤ ∂p 

v r 0 ⎢ ( rτrr 

) + τzr 

− − 

r r z r ⎥ 

⎣ ∂ ∂ ⎦ ∂r 

⎡1∂∂ ⎤ ∂p 

v z 0 ( rτrz 

) + τzz 

− 

⎣ 

⎢r ∂r ∂z ⎦ 

⎥ ∂z 

τ rr 

ρ 

τθθ 

ρ 

τ zz 

ρ 

τ rz 

ρ 

0 

0 

0 

0 

⎧ ∂vr ⎫ ⎧ ∂vr ∂vr 

⎫ 

G ⎨2 ⎬+ 2⎨τrr 

+ τrz 

⎬− 

⎩ ∂r ⎭ ⎩ ∂r ∂z 

⎭ 

⎧ ε ⎫ 

⎨1 + ( τ rr + τθθ + τzz ) ⎬τrr 

/ λ 

⎩ G 

⎭ 

⎧ ⎛vr ⎞⎫ ⎧ ⎛vr ⎞⎫ 

G ⎨2⎜ ⎟⎬+ 2⎨τθθ 

⎜ ⎟⎬− 

⎩ ⎝ r ⎠⎭ ⎩ ⎝ r ⎠⎭ 

⎧ ε ⎫ 

⎨1 + ( τ rr + τθθ + τzz ) ⎬τθθ 

/ λ 

⎩ G 

⎭ 

⎧ ∂vz ⎫ ⎧ ∂vz ∂vz 

⎫ 

G ⎨2 ⎬+ 2⎨τzr 

+ τzz 

⎬− 

⎩ ∂z ⎭ ⎩ ∂r ∂z 

⎭ 

⎧ ε ⎫ 

⎨1 + ( τ rr + τθθ + τzz) ⎬τzz 

/ λ 

⎩ G 

⎭ 

⎧∂vz ∂vr ⎫ ⎧ ∂vr ∂vz ⎛vr ⎞⎫ 

G ⎨ + ⎬+ ⎨τzz + τrr−τrz ⎜ ⎟⎬− 

⎩ ∂r ∂z ⎭ ⎩ ∂z ∂r 

⎝ r ⎠⎭ 

⎧ ε ⎫ 

⎨1 + ( τ rr + τθθ + τzz ) ⎬τrz 

/ λ 

⎩ G 

⎭ 

As equações de conservação da quantidade de movimento originalmente 

implementadas no PHOENICS CFD são escritas na forma dos modelos de fluidos 

newtonianos generalizados (Bird, 1987). Deste modo, para reproduzir as equações 

(3.5) e (3.6) é necessário anular o termo responsável pela difusão na equação da 


41


quantidade de movimento (fazendo Γ = 0 ) e implementá-lo de forma a se obter as 

equações desejadas conforme mostradas na Tabela 5.1. Para anular o termo 

difusivo das equações da quantidade de movimento nas direções r e z utiliza-se o 

comando TERMS. Os termos difusivos a serem acrescidos nas equações são 

implementados como termos fontes através dos comandos PATCH e COVAL. Os 

comandos TERMS, PATCH e COVAL são descritos no APÊNDICE A. 

Para definir as demais equações, resultantes do modelo PTT, utiliza-se a 

Tabela 5.1. Para tanto, os passos a serem seguidos são: 

1. Criar as variáveis τ rr , τ θθ , τ zz e τ rz ; 

2. Ativar a resolução das equações para cada direção. A variável τ rr representa a 

equação constitutiva na direção rr , sendo as demais direções representadas 

de forma análoga. O comando utilizado neste passo é o SOLUTN, descrido 

no APÊNDICE A. 

3. Implementar as equações constitutivas da Tabela 5.1 através dos comandos 

PATCH e COVAL. 

Durante a implementação dos termos fontes, S, nas equações mostradas na 

Tabela 5.1, é imprescindível explicitar as derivadas para as velocidades e também 

para as tensões. As derivadas das velocidades já possuem sua implementação no 

PHOENICS CFD e são mostradas no APÊNDICE A. Entretanto, para as tensões, 

deve-se implementá-las. A maneira pela qual esta implementação será feita segue a 

mesma formulação utilizada para as velocidades, uma vez que as tensões também 

estão localizadas nas faces do volume de controle principal. 

5.2 Condições de contorno 

Para aplicar as condições de contorno de saída e de simetria, apresentadas no 

Capítulo 3, foi utilizada a ferramenta disponível dentro do próprio programa 

PHOENICS CFD. 


42


Como condição de contorno para a parede foi utilizado um valor nulo para as 

componentes da velocidade. Ou seja, fez-se o volume de controle adjacente à 

parede possuir velocidade axial e radial nulas. Esta forma de implementar a 

condição de contorno foi utilizada visto que, se fosse imposta a condição de parede 

padrão do programa PHOENICS CFD, quando os termos difusivos fossem 

cancelados a parede deixaria de efetuar seu papel, implicando em uma condição de 

contorno diferente da desejada. 

Para a condição de perfil de velocidade desenvolvido na entrada, também foi 

necessário gerar um código de programa dentro do PHOENICS CFD. Dois casos 

podem ocorrer para o perfil de velocidade desenvolvido a ser imposto como 

condição de entrada: quando este é conhecido e possui uma equação analítica ou 

quando este é desconhecido. 

Para os casos no qual é conhecido o perfil de velocidade desenvolvido, os dois 

passos a serem seguidos para implementar a condição de entrada desenvolvida 

são: 

• Determinar a componente da velocidade na direção axial de acordo com a 

equação analítica do perfil desenvolvido; 

• Determinar a componente radial da velocidade com valor nulo. 

No entanto, quando o perfil de velocidade desenvolvido não é conhecido, os 

seguintes passos devem ser seguidos: 

• Simular o escoamento através de um tubo reto utilizando o modelo de fluido a 

ser utilizado. O diâmetro deste tubo é o mesmo da geometria em que se 

pretende aplicar a condição de perfil desenvolvido na entrada. O comprimento 

do tubo é suficiente para que ocorra o desenvolvimento do escoamento. A 

condição de contorno na entrada deste escoamento é posta como uniforme, 

assim, pode-se utilizar a ferramenta disponível no programa PHOENICS CFD 

para impor esta condição. 


43


• Obter a curva que representa o perfil de velocidade desenvolvido próximo à 

saída do tubo; 

• Com o auxílio de um programa de visualização gráfica, obter a equação que 

melhor se ajuste a curva obtida no passo anterior; 

• Na condição de entrada do problema, restringir a velocidade na direção axial, 

conforme a equação obtida, e fazer a componente radial da velocidade 

assumir valor nulo. 


44

Capítulo 6 – Simulações Numéricas e Resultados 

6 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS E RESULTADOS 

Na prática da mecânica dos fluidos computacional é comum realizar o 

desenvolvimento gradual na implementação do problema. Ou seja, primeiramente 

verifica-se o desempenho na solução de um caso já consolidado e, de maneira 

gradativa, aumenta-se o nível de complexidade até se alcançar o problema definitivo 

a ser resolvido. Desta forma, adquiri-se maior confiabilidade na metodologia 

utilizada, além de possibilitar a identificação das eventuais fontes de erro que 

possam surgir durante o desenvolvimento do projeto. 

Desta forma, para simular o escoamento de um fluido não-newtoniano 

viscoelástico (fluido de Phan-Thien e Tanner) através de uma contração brusca 

axissimétrica, simulações envolvendo escoamentos mais simples foram realizadas 

previamente. Primeiramente buscou-se a familiarização com o PHOENICS CFD 

através da simulação do escoamento de um fluido newtoniano ao longo de um tubo 

reto, seção 6.1. Em seguida, foi avaliada a capacidade do programa em resolver 

escoamentos envolvendo a geometria da contração, seção 6.2. Visando avaliar a 

capacidade do PHOENICS CFD em resolver escoamentos não-newtonianos, foi 

simulado o escoamento de um fluido viscoplástico, plástico de Bingham, através da 

contração, como pode ser observado na seção 6.3. Estas três etapas de simulações 

utilizaram as ferramentas padrões disponíveis no PHOENICS CFD. 

Na seqüência, iniciaram-se as etapas em que as alterações no código padrão 

do PHOENICS CFD foram feitas. Em primeiro lugar, buscou-se testar a aplicação 

dos termos fonte nas equações da conservação da quantidade do movimento 

através da simulação do escoamento de um fluido newtoniano em um tubo reto, 

seção 6.4. Uma vez validade esta etapa, partiu-se para a implementação das 

equações constitutivas do modelo PTT, na qual as equações foram acrescentadas 

no código numérico e acopladas ao sistema de equações a ser resolvido. Para 

validar a implementação do modelo PTT, resultados numéricos obtidos da simulação 


45


do escoamento do fluido viscoelástico através de um tubo reto foram comparados 

com uma solução analítica, seção 6.5. 

Devido à utilização do modelo viscoelástico, as condições de contorno 

disponíveis no PHOENICS CFD para descrever as paredes da geometria da 

contração não podem ser utilizadas. Desta forma, foi necessário testar uma nova 

forma de implementar estas condições de contorno. Para tanto, os resultados 

numéricos do escoamento de um fluido newtoniano através de uma contração 

brusca foram comparados com resultados experimentais obtidos na literatura, seção 

6.6. 

Uma vez que as etapas anteriores foram validadas, foi possível implementar e 

simular numericamente o escoamento viscoelástico através da geometria da 

contração brusca. Nesta etapa, observada na seção 6.7, buscou-se conferir o 

desempenho da metodologia desenvolvida para avaliar este tipo de escoamento. 

6.1 Escoamento newtoniano através de um tubo reto 

O primeiro e mais simples dos testes realizados diz respeito ao escoamento 

laminar, isotérmico, permanente, axissimétrico e incompressível de um fluido 

newtoniano através de um tubo reto. 

Para uma dada velocidade média na entrada e um comprimento mínimo 

necessário para que ocorra o desenvolvimento hidrodinâmico do escoamento, 

segundo Fox e McDonald (2001), o perfil analítico da velocidade axial é uma função 

do raio do tubo, sendo dado por: 

2 

⎡ ⎤ 

⎛ r ⎞ 

vz() r = 2vméd ⎢1−⎜ ⎟ ⎥ 

⎢⎣ ⎝R⎠ ⎥⎦ 


46 

(6.1) 

A Figura 6.1 apresenta a comparação entre o perfil adimensional de velocidade 

obtido numericamente e a equação (6.1). A componente axial da velocidade, v Z , é


máxima no centro do tubo, r = 0 , e possui valor igual a duas vezes a velocidade 

média U . Na parede, r = R, 

a velocidade v Z é nula. Pode-se notar que os 

resultados são coerentes com a equação analítica, validando a simulação realizada. 

Foi utilizado o esquema Híbrido de interpolação (APÊNDICE A) e adotada uma 

malha numérica não-uniforme, com refinamento próximo à parede do tubo, 

possuindo no total 30 elementos na direção radial e 100 elementos uniformemente 

distribuídos na direção axial. 

v 

z 

* 

2 

1,8 

1,6 

1,4 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

Analítico 

Numérico - PHOENICS CFD 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 


r * 

Figura 6.1 – Perfil adimensional da componente axial da velocidade para o fluido newtoniano no tubo 

reto em regime de escoamento laminar. 

Durante as tentativas de resolução desta etapa, buscou-se a familiarização na 

utilização do programa computacional PHOENICS CFD. Verificou-se a estrutura que 

o programa oferece, identificando as ferramentas disponíveis para a resolução de 

problemas envolvendo a técnica de Dinâmica de Fluidos Computacional. 

6.2 Escoamento newtoniano através de uma contração 

Nesta seção são apresentados os resultados da simulação numérica do 

escoamento de um fluido newtoniano através de uma contração brusca 

axissimétrica. A geometria e as condições de contorno utilizadas podem ser 

47


visualizadas na Figura 3.2. Foram adotadas as hipóteses simplificadoras descritas 

na seção 3.1. Os resultados obtidos foram comparados com dados experimentais 

reportados na literatura por Durst e Loy (1985). 

A Figura 6.2 e a Figura 6.3 apresentam os resultados numéricos obtidos para 

perfis adimensionais da componente axial da velocidade localizados antes e após a 

contração, respectivamente. Para as simulações, foi adotado o esquema QUICK de 

interpolação (APÊNDICE A). A adoção deste esquema permite uma melhor 

representação, quando comparado com o esquema Híbrido, do escoamento próximo 

à contração, onde os gradientes das variáveis são maiores. A malha numérica 

adotada apresenta 100 elementos na direção radial e 85 na axial. Observa-se que 

os resultados são satisfatórios, apresentando pequena discrepância com os dados 

experimentais encontrados na literatura. Tais discrepâncias podem ser ocasionadas 

por parâmetros numéricos (convergência numérica, malha computacional, esquema 

de interpolação, entre outros), ou por uma eventual falta de precisão na medição 

experimental, a qual pode ser de até 4 ou 5% segundo Durst e Loy (1985). Detalhes 

e análises maiores sobre este escoamento encontram-se no APÊNDICE C. 

v 

z 

* 

3,5 

3 

2,5 

2 

1,5 

1 

0,5 

0 

z * = -1,047 - Numérico - PHOENICS CFD 

z* = -1,047 - Experimental - Durst e Loy (1985) 

z*= -0,183 - Numérico - PHOENICS CFD 

z* = -0,183 - Experimental - Durst e Loy (1985) 

z * = -0,052 - Numérico - PHOENICS CFD 

z* = -0,052 -- Experimental - Durst e Loy (1985) 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 


1 * r 

Figura 6.2 – Perfis para a componente axial da velocidade antes da contração para um fluido 

newtoniano em regime laminar de escoamento. 

48


v 

z 

* 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

z* = 0,196 - Numérico - PHOENICS CFD 

z* = 0,196 - Experimental - Durst e Loy (1985) 

z * =0,392 - Numérico - PHOENICS CFD 

z * =0,392 - Experimental - Durst e Loy (1985) 

z* = 0,980 - Numérico - PHOENICS CFD 

z * = 0,980 - Experimental - Durst e Loy (1985) 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 


2 * r 

Figura 6.3 - Perfis para a componente axial da velocidade após a contração para um fluido 

newtoniano em regime laminar de escoamento. 

As principais dificuldades encontradas nesta fase dizem respeito à 

convergência do problema quando o esquema QUICK de interpolação é utilizado. 

Para alcançar a convergência da solução, foi necessário utilizar um parâmetro de 

relaxação para as velocidades. Desta forma, os valores calculados em uma iteração 

seriam mais dependentes do valor calculado na iteração anterior, resultando em 

maior estabilidade na solução. 

6.3 Escoamento viscoplástico através de uma contração 

O artigo científico encontrado no APÊNDICE C também apresenta o 

escoamento de um fluido não-newtoniano, o fluido viscoplástico de Bingham, ao 

longo de uma contração brusca axissimétrica. Comparados com o modelo de fluido 

newtoniano, os modelos de fluidos não-newtonianos viscoplásticos são mais 

complexos, pois consideram a variação da viscosidade em função da taxa de 

cisalhamento presente no escoamento. Porém, não são tão complexos quanto os 

modelos viscoelásticos, já que os modelos viscoplásticos desconsideram os efeitos 

elásticos do fluido, sendo por isso denominados de inelásticos. O comportamento 

viscoplástico representa que o fluido necessita de uma tensão mínima para escoar. 

49


Assim, se a tensão for menor do que a tensão mínima, o fluido apresenta uma 

viscosidade infinita. A tensão mínima de escoamento pode ser representada pelo 

parâmetro Y . 

A Figura 6.4 e a Figura 6.5 mostram o comportamento da componente axial da 

velocidade, v z , ao longo da linha de centro. Na Figura 6.4, adota-se um valor fixo 

para o número de Reynolds, Re , enquanto o valor da tensão adimensional de 

escoamento, Y , varia na faixa de 0 a 640. Na Figura 6.5 é fixado o valor de Y , 

enquanto Re é variado entre 1 e 250. Foi utilizado o esquema QUICK de 

interpolação. A malha numérica apresentava 60 elementos na direção radial e 150 

na axial. Os resultados obtidos numericamente representam satisfatoriamente os 

fenômenos físicos descritos na literatura. 

v 

z 

* 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

Y=0 (newtoniano) 

Y=10 

Y=64 

Y=128 

Y=640 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 


z * 

Figura 6.4 – Componente axial da velocidade ao longo da linha de centro para um fluido de Bingham 

a Re = 100. 

50


v 

z 

* 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

Re=1 

Re=10 

Re=100 

Re=250 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 


z * 

Figura 6.5– Componente axial da velocidade ao longo da linha de centro para um fluido de Bingham 

a Y = 10. 

A descrição do comportamento do fluido não-newtoniano nesta seção foi feita 

através das ferramentas padrões encontradas no programa computacional 

PHOENICS CFD. Entretanto, a utilização deste fluido acarreta em maiores 

instabilidades na solução, uma vez que a viscosidade deixa de ser uma constante no 

escoamento e passa a variar conforme a tensão aplicada no fluido. 

6.4 Escoamento newtoniano através de um tubo reto – teste do termo fonte 

Com o intuito de testar a metodologia de implementação numérica a ser 

utilizada no escoamento viscoelástico, foi simulado o escoamento de um fluido 

newtoniano através de um tubo reto, o qual apresenta as mesmas condições do 

escoamento e malha numérica utilizada na seção 6.1. 

Entretanto, as equações da conservação da quantidade de movimento foram 

implementadas conforme a Tabela 5.1. Assim, os termos difusivos foram anulados, 

desprezando a formulação convencional aplicada no PHOENICS CFD, e 

implementados na forma de termos fontes. Este procedimento se faz necessário, 

51


uma vez que o modelo de fluido viscoelástico relaciona campos de pressão e 

velocidade com campos de tensão. 

Foi utilizado o esquema Híbrido de interpolação e uma malha numérica nãouniforme, 

com refinamento próximo à parede do tubo, possuindo no total 30 

elementos na direção radial e 100 elementos uniformemente distribuídos na direção 

axial. 

Para verificar os resultados, foi obtido o perfil desenvolvido da componente 

axial da velocidade, Figura 6.6, o qual apresenta concordância com a solução 

analítica. Como era de se esperar, os resultados foram semelhantes aos 

apresentados na Figura 6.1 da seção 6.1. 

v 

z 

* 

2 

1,8 

1,6 

1,4 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

Analítico 

Numérico - PHOENICS CFD 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 


r * 

Figura 6.6 – Perfil adimensional da componente axial da velocidade para o fluido newtoniano no tubo 

reto em regime de escoamento laminar – teste do termo fonte. 

A validação desta etapa comprova que a metodologia usada para implementar 

as equações da conservação da quantidade de movimento é coerente e válida. A 

utilização dos termos fontes para representar a parte difusiva da equação não 

acarreta em maiores dificuldades de convergência da solução ou a necessidade de 

utilizar malhas numéricas mais refinadas. Entretanto, diversas simulações foram 

52


necessárias até se atingir um resultado aceitável, pois há uma grande complexidade 

em escrever e adicionar novos termos nas equações. 

6.5 Escoamento viscoelástico através de um tubo reto 

Com os testes da implementação das equações da conservação da quantidade 

de movimento validados, partiu-se para implementação das equações constitutivas 

que caracterizam o fluido não-newtoniano viscoelástico de Phan-Thien e Tanner. 

Assim, as quatro equações escalares não-nulas do modelo PTT foram adicionadas 

ao programa PHOENICS CFD conforme a metodologia apresentada anteriormente 

no capítulo 5. 

Os resultados obtidos para os perfis desenvolvidos de velocidade, de tensão 

cisalhante τ rz e de tensão normal τ zz foram comparados com uma solução analítica 

apresentada por Pinho (2000), conforme pode ser observado na Figura 6.7, Figura 

6.8 e Figura 6.9, respectivamente. Observa-se que há uma boa concordância entre 

os resultados numéricos e a solução analítica. Para as simulações, foi utilizado o 

esquema Híbrido de interpolação. A malha numérica possui 30 elementos na direção 

radial e 100 elementos na direção axial. Devido à forma que as derivadas são 

implementadas, torna-se necessário utilizar apenas malhas numéricas uniformes. A 

utilização de malhas não-uniformes pode acarretar em erros durante a solução do 

sistema de equações. 


53


v 

z 

2,00 

1,75 

1,50 

1,25 

1,00 

0,75 

0,50 

0,25 

0,00 

De=0 (Newtoniano) 

De=0.1 -Analitico -Pinho(2000) 

De=0.1 -Numérico - PHOENICS CFD 

De=1 - Analitico - Pinho(2000) 

De=1 - Numérico - PHOENICS CFD 

De=3.33 -Analitico -Pinho(2000) 

De=3.33 -Numérico - PHOENICS CFD 

De=5 - Analítico - Pinho(2000) 


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 


r * 

Figura 6.7 - Perfil adimensional da componente axial da velocidade em um tubo reto ( ε = 0, 25 ). 

τ rz 

* 

* 

0,0 

-1,0 

-2,0 

-3,0 

-4,0 

-5,0 

r * 

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 

De=0.1 - Analitico - Pinho(2000) 

De=0.1 - Numérico - PHOENICS CFD 





De=5 - Analítico - Pinho(2000) 


Figura 6.8 - Perfil adimensional de tensão cisalhante em um tubo reto ( ε = 0, 25 ). 

54


τ 

zz 

* 

10,0 

8,0 

6,0 

4,0 

2,0 

0,0 







De=5 -Analítico -Pinho(2000) 


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 


r * 

Figura 6.9 - Perfil adimensional de tensão normal em um tubo de reto ( ε = 0, 25 ). 

Os resultados alcançados nesta seção validam, de forma satisfatória, a 

implementação numérica do modelo de fluido viscoelástico diferencial, modelo de 

Phan-Thien e Tanner, no programa comercial PHOENICS CFD. 

Nas simulações realizadas para testar a implementação das quatro equações 

escalares que definem o comportamento viscoelástico do fluido PTT, foi verificado 

que é necessário utilizar parâmetros de relaxação para auxiliar a convergência do 

problema, o qual se apresenta numericamente instável. Sem a utilização destes 

parâmetros é praticamente impossível alcançar uma solução fisicamente coerente. A 

relaxação utilizada restringe a variação das variáveis durante as iterações, 

permitindo melhorar a estabilidade da solução numérica. Como efeito direto, tem-se 

um acréscimo considerável no tempo necessário para alcançar a convergência. 

As instabilidades numéricas geradas devem-se, principalmente, ao 

acoplamento das quatro equações constitutivas adicionais ao sistema a ser resolvido 

e à não-linearidade destas equações. 

55


6.6 Escoamento newtoniano através de uma contração brusca – teste das 

condições de contorno 

Quando o termo difusivo da equação da conservação da quantidade do 

movimento é anulado, as condições de contorno padrões do PHOENICS CFD 

(utilizadas para caracterizar o escoamento de um fluido newtoniano através de uma 

contração brusca, seção 6.2) não podem ser utilizadas, pois levam em consideração 

o termo difusivo dependente de um valor para uma viscosidade. Desta forma, foi 

necessário implementar a condição de contorno de velocidade nula nas paredes da 

contração. 

Para aplicar a condição de velocidades nulas nas paredes, foi adotado definir o 

valor zero para a componente radial e axial da velocidade no primeiro volume de 

controle próximo a região onde a condição de contorno é aplicada. Para evitar a 

influência da perda do primeiro volume de controle, necessário para definir a 

condição de parede, recomenda-se utilizar uma malha numérica com maior número 

de elementos, o que representa em uma redução no tamanho dos volumes de 

controle. 

Para validar a implementação das “novas” condições de contorno, perfis de 

velocidade obtidos das simulações foram comparados com os dados experimentais 

obtidos por Durst e Loy (1985), semelhante à validação utilizada na seção 6.2. 

Com a intenção de adquirir um conhecimento mais apurado do efeito da malha 

numérica nos resultados quando se utiliza a metodologia em questão, objetivo 

principal deste trabalho, um teste de malha foi realizado simultaneamente à 

validação das condições de contorno. 

O teste se caracterizou na utilização de três malhas diferentes. A primeira (M1) 

apresentava uma malha de 25 elementos na direção y e 40 na direção z , sendo 

que em uma região compreendida entre dois diâmetros antes e depois da contração, 

apresentava maior concentração de volumes de controle. A segunda malha (M2) 

manteve a mesma forma, porém possuía um refinamento em relação ao número de 


56


elementos da primeira, apresentando 50 elementos na direção y e 70 na direção z . 

E por fim, a terceira malha (M3) apresentava, além do refino utilizado nas duas 

primeiras malhas, um refino maior em uma região que varia desde um diâmetro 

antes da contração até um diâmetro após a contração, apresentando o mesmo 

número de elementos que M2 na direção y e 110 elementos na direção z . A 

utilização dos blocos de refino, ao invés de utilizar uma expansão progressiva dos 

elementos, se deve ao fato da metodologia implementada não prever a utilização de 

malhas não-uniformes. Assim, apesar da presença de uma malha não-uniforme na 

região de transição entre os blocos de refino, todo o resto do domínio apresenta 

malha uniforme. As três malhas citadas podem ser observadas na Figura 6.10, na 

qual foi identificada a região de transição entre os blocos. Em todas as simulações, o 

esquema QUICK de interpolação foi utilizado. 


M1 

M2 

M3 

Região de Transição 

Figura 6.10 – Comparação entre os três níveis de malhas numéricas utilizados. 

57


v z 

* 

(a) 

(c) 

2 

1,8 

1,6 

1,4 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

3 

2 

1 

0 

0 

3,5 

2,5 

1,5 

0,5 

Analítico 

Experimental - Durst e Loy (1985) 

M1 -Numérico -PHOENICS CFD 

M2 - Numérico - PHOENICS CFD 


0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

v * 

v * 

z 

(e) 

5 

4,5 

4 

3,5 

3 

1,5 

1 

0,5 

0 





0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

2,5 

2,5 

v z * 

v 

z * 

2 

2 





0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 


(b) 

(d) 

(f) 

3 

2,5 

2 

1,5 

1 

0,5 

0 

5 

4,5 

4 

3,5 

3 

2,5 

2 

1,5 

1 

0,5 

5 

4 

3 

1 

0 

0 

4,5 

3,5 

1,5 

0,5 





0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 





0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 





0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

Figura 6.11 - Perfis de velocidade axial adimensional nas posições: a) z = − 1, 047 D, 

b) z =− 0,183D 

, 

c) z =− 0,052 D, 

d) z = 0,196D, 

e) z = 0,392D 

e f) z = − 0,980D 

. 

v z 

z 

* 

58


A Figura 6.11 mostra os resultados obtidos na validação da implementação das 

condições de contorno e o teste de malha citado anteriormente. É importante 

observar que, principalmente para os perfis mais próximos da contração (Figura 

6.11c e Figura 6.11d), a malha mais refinada, M3, foi a que teve menor discrepância 

dos resultados quando comparados com os dados experimentais apresentados por 

Durst e Loy (1985). Com os resultados obtidos, pode-se concluir que as condições 

de contorno utilizadas podem representar adequadamente a contração brusca no 

programa PHOENICS CFD. 

6.7 Escoamento viscoelástico através de uma contração brusca 

Tendo-se realizado todas as etapas de avaliação da metodologia numérica 

empregada, pode-se adquirir segurança na resolução de escoamentos de fluidos 

não-newtonianos viscoelásticos através de contrações bruscas. Desta forma, como 

termo de aplicação da metodologia desenvolvida, foi simulado o escoamento do 

fluido de Phan-Thien e Tanner (PTT) nas condições de: De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e 

β = 4 . 

6.7.1 Teste de malha 

Em uma primeira análise do escoamento viscoelástico através de uma 

contração brusca, um teste de malha foi realizado para garantir que os resultados 

obtidos são independentes da malha computacional. As condições do escoamento 

foram: Re = 100 , De = 1, 

ε = 0, 25 e β = 4 . Foi utilizado o esquema QUICK de 

interpolação. 

Para comparar a influência da malha, optou-se por adotar como referência dois 

perfis de velocidades axiais em função do raio: o primeiro posicionado em uma cota 

z =− 0,5D 

e o segundo em z = 0,5D. 

A Tabela 6.1 descreve as malhas utilizadas 

para o teste em questão, as quais foram compostas de acordo com o teste de malha 

realizado na seção anterior. 


59


Malha Elementos 

em y 

Tabela 6.1 - Malhas numéricas para a contração. 

Elementos 

em z 

Descrição 

M1 20 50 Malha uniforme. 



M4 60 40 Malha refinada em uma região que vai desde − 2D até 2D . 

M5 60 60 Malha refinada em uma região que vai desde − 2D até 2D . 

M6 60 80 

M7 60 110 

Malha com dois níveis de refinamento: 

1° - Refinamento em uma região que vai desde − 2D até 2D . 

2° - Refinamento ainda maior em uma região que vai desde 

− 1D até 1D . 

Malha com dois níveis de refinamento: 

1° - Refinamento em uma região que vai desde − 2D até 2D . 

2° - Refinamento ainda maior em uma região que vai desde 

− 1D até 1D . Semelhante a malha M3 utilizada na seção 

anterior. 

Conforme pode ser observado na Figura 6.12, os perfis da componente axial 

da velocidade coincidem para as malhas M6 e M7. Assim, como a malha M7 não 

apresenta um tempo computacional significantemente maior do que M6, optou-se 

por utilizar a malha M7 nas simulações. 


60


v 

z 

v z 

* 

* 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

20 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

0 








0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 


(a) 








0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

(b) 

Figura 6.12 - Perfis de velocidade axial adimensional para um fluido viscoelástico na contração 

brusca ( β = 4 , De = 1 e Re = 100 ) nas posições: a) z = − 0,5D 

, b) z = 0,5D 

( De = 1, 

Re = 100 e β = 4 ). 

6.7.2 Avaliação dos resultados do escoamento viscoelástico 

A variação da pressão ao longo do eixo central, para uma região próxima a 

contração, pode ser observada na Figura 6.13. Nota-se que há uma redução de 

pressão na direção z , a qual acaba por promover o escoamento do fluido. Uma 

61


queda brusca na pressão pode ser observada na região da contração, a qual é 

ocasionada pela passagem do escoamento de uma seção para outra com diâmetro 

quatro vezes menor. Como conseqüência desta redução de seção e da queda 

abrupta na pressão, o fluido acelera, passando a escoar com velocidade média 

maior, como pode ser observado na Figura 6.14. Para o escoamento em questão, 

nota-se, através da análise da Figura 6.14, que para posições menores do que 

z * =− 1 o escoamento não sofre influência da contração, mantendo o mesmo perfil 

desenvolvido aplicado na entrada do tubo. A partir de z * = 2, 

o escoamento já 

desenvolveu-se ao longo do tubo de menor diâmetro. 

p 

* 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

-3 -2 -1 0 1 2 3 


z * 

Figura 6.13 – Pressão adimensional ao longo da linha de centro ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 

62


v 

z 

* 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-3 -2 -1 0 1 2 3 

z * 

Figura 6.14 – Velocidade axial adimensional ao longo da linha de centro ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e 

β = 4 ). 

As linhas de corrente que descrevem o escoamento do fluido viscoelástico PTT 

através da contração brusca são mostradas na Figura 6.15. Pode-se observar a 

forte aceleração experimentada pelo escoamento na região de entrada da 

contração, evidenciada pela compactação das linhas de corrente. 

Figura 6.15 – Linhas de corrente ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 

A Figura 6.16 ilustra o campo de tensão cisalhante. Pode-se notar que τ rz 

apresenta maiores valores absolutos no tubo de menor diâmetro do que no tubo de 

maior diâmetro. Esta mudança no valor da tensão é resultado não só devido à 


63


redução no diâmetro do tubo, mas também à mudança das propriedades que o 

fluido sofre quando escoa através da contração brusca. O valor de τ rz =− 0,006418 , 

mostrado na Figura 6.16 abaixo da indicação “Probe value” se refere ao valor de τ rz 

na parede, em uma região que o escoamento se encontra desenvolvido e ainda não 

foi afetado pela contração. 

Figura 6.16 – Campo de tensão cisalhante, τ rz ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 

Na Figura 6.17, Figura 6.18 e Figura 6.19 pode-se observar os campos de 

tensões normais θθ , rr e zz , respectivamente, resultantes do escoamento 

viscoelástico PTT. A presença das tensões normais deve-se ao comportamento 

viscoelástico apresentado pelo fluido. Nota-se que há um aumento no valor absoluto 

das tensões nas regiões próximas à contração. Isto ocorre porque o escoamento 

viscoelástico escoa através da contração brusca, acarretando na compactação do 

fluido na direção radial e, conseqüentemente, em um estiramento na direção axial. 

Este comportamento é conseqüência da lei de conservação da massa, uma vez que 

se trata de um fluido incompressível. 


64


Figura 6.17 – Campo de tensão normal θθ , τ θ θ ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 

Figura 6.18 – Campo de tensão normal rr , τ rr ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 

Figura 6.19 – Campo de tensão normal zz , τ z z ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 


65


Os campos para as duas diferenças de tensões normais, N 1 e N 2 , e a 

viscosidade extensional para o escoamento em questão são mostrados, 

respectivamente, na Figura 6.20, Figura 6.21 e na Figura 6.22. Nota-se que os 

valores de N 1, 

N 2 e da viscosidade extensional são próximos de zero em quase 

todo o tubo de maior diâmetro. Entretanto, para regiões próximas a contração e ao 

longo do tubo de menor diâmetro, os valores de 1 N , N 2 e da viscosidade extensional 

assumem valores significativos. Estes resultados representam a influência elástica 

do fluido no escoamento. Para o escoamento em questão, no tubo anterior a 

contração as condições de escoamento são próximas da condição de escoamento 

newtoniano, passando para a condição de escoamento viscoelástico ( De = 1, 

Re = 100 e ε = 0, 25 ) no tubo após a contração. 

Figura 6.20 – Campo da primeira diferença de tensões normais, N 1 ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e 

β = 4 ). 


66


Figura 6.21 – Campo da segunda diferença de tensões normais, N 2 ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e 

β = 4 ). 

Figura 6.22 – Campo da viscosidade extensional, η ( De = 1, 

Re = 100 , ε = 0, 25 e β = 4 ). 

Através da simulação apresentada nesta seção, observou-se a complexidade 

na simulação do escoamento viscoelástico através de uma contração brusca 

axissimétrica. Devido ao acoplamento de quatro equações adicionais ao sistema a 

ser resolvido, provindas do modelo constitutivo do fluido PTT, e também da nãolinearidade 

apresentada por estas equações, a solução numérica do problema é 

bastante instável. 

Em paralelo, outro problema de instabilidade da solução é causado pela 

presença da contração abrupta no escoamento. Os gradientes de velocidade e de 

tensões são mais pronunciados nas regiões próximas à entrada da contração, 


67


gerando maiores dificuldades na convergência da solução e requerendo malhas 

espaciais mais refinadas para que sejam corretamente identificados. 

Desta forma, é necessário aplicar um controle muito rígido nos parâmetros de 

convergência. Caso isso não ocorra, a solução apresentará variações muito grandes 

para as variáveis do escoamento durante as iterações, não apresentando uma 

convergência aceitável. Porém, a utilização dos parâmetros de convergência, 

necessários nos escoamentos viscoelásticos, acarretam em tempos computacionais 

elevados, pois há um sub-relaxamento nas variações dos valores das variáveis 

durante cada iteração. 

Uma forma de auxiliar a convergência da solução de escoamentos de fluidos 

viscoelásticos que usem equações constitutivas diferenciais é utilizar o esquema 

EVSS (Elastic-Viscous Split Stress). A técnica EVSS consiste, resumidamente, em 

introduzir uma nova variável que elimina a tensão das equações governantes 

(Rajagopalan et. al.,1990). 

6.8 Escoamento a baixos números de Reynolds 

O estudo do escoamento a baixos números de Reynolds através de uma 

contração brusca também apresenta grande aplicação industrial. Por exemplo, podese 

destacar os processos de injeção e extrusão de polímeros, nos quais o polímero 

fundido escoa a velocidades muito lentas.O comportamento dos polímeros fundidos 

pode ser representado por modelos de fluidos viscoelásticos. 

Considerando ainda o escoamento através de uma contração com razão de 

diâmetros igual a quatro ( β = 4 ), buscou-se observar a geração de vórtices na 

situação de baixos números de Reynolds ( Re → 0 e Re = 10 ) quando De = 0 e ε = 0 , 

Figura 6.23. A utilização de um valor zero para onúmero de Deborh deve-se a 

dificuldade de simulação que valores não-nulos para De apresentam. 

Na Figura 6.23, pode-se notar que o aumento do valor de Re implica na 

redução no tamanho de vórtice gerado. Este fato é explicado pela influência do 

termo inercial no escoamento a baixos valores de Re . No caso de Re → 0 , tem-se 


68


um escoamento exclusivamente dominado pelas forças viscosas. Entretanto, para 

Re = 10 , as forças inerciais são mais fortes, e passam a influenciar no escoamento. 


a) 

Figura 6.23 – Linhas de corrente. a) Re → 0 . b) Re = 10 ( De = 0 , ε = 0 e β = 4 ). 

6.9 Consolidação geral dos resultados do projeto 

Os passos adotados para a condução da metodologia apresentada na proposta 

não foram seguidos metodicamente. O intuito desta mudança foi melhorar o 

desenvolvimento do projeto, o qual apresentou um nível de complexidade maior do 

que o esperado. 

A primeira modificação pode ser observada na revisão bibliográfica. Além de 

revisar trabalhos encontrados na literatura, adquirindo informações e detalhamento 

do tema, optou-se por acrescentar uma revisão sobre conceitos gerais de mecânica 

dos fluidos e de reologia, necessários para um melhor acompanhamento do projeto. 

69


Outra mudança significativa foi feita na fase de validação da metodologia 

numérica e da formulação matemática aplicada. Antes de realizar a simulação do 

escoamento viscoelástico em uma contração brusca, problemas de menor 

complexidade foram simulados. Assim, com o gradual aumento da complexidade, 

pode-se adquirir maior confiança na utilização do programa, da formulação 

matemática e da metodologia numérica. 

A modificação dos passos seguidos não alterou a essência da metodologia do 

projeto, mantendo as principais fases: revisão bibliográfica, abordagem matemática 

e sua verificação através da implementação numérica em escoamentos de menor 

complexidade, resolução do problema e consolidação dos resultados alcançados. 

O cronograma inicial do projeto teve de ser revisto em função das modificações 

descritas anteriormente e de imprevistos ocorridos durante o desenvolver do projeto. 

Os imprevistos de maior significância foram as dificuldades de convergência das 

simulações, que acarretaram em uma alta demanda de tentativas, e também o 

tempo elevado de algumas simulações. Entre os motivos dos altos tempos de 

simulação encontram-se a utilização de malhas refinadas para representar os efeitos 

ocorridos na contração, cuidados extras com a convergência e a solução de quatro 

equações adicionais (equações constitutivas do modelo PTT). 

Contudo, o projeto apresentou um desenvolvimento dentro do esperado pelo 

aluno e pelos orientadores, tendo-se concluído o que havia sido proposto. 


70

Capítulo 7 – Conclusões 

7 CONCLUSÕES 

O presente trabalho apresentou uma metodologia numérica para realizar o 

estudo do escoamento de um fluido não-newtoniano viscoelástico através de uma 

contração brusca. Durante a fase de revisão bibliográfica, foram revisados conceitos 

fundamentais para o entendimento do trabalho. Através do estudo de trabalhos 

precedentes, as informações e características relevantes foram levantadas. Foi 

nesta fase que se escolheu o modelo de fluido viscoelástico de Phan-Thien e Tanner 

(PTT). Foi realizada a formulação matemática necessária para resolver o 

escoamento viscoelástico através de contrações bruscas axissimétricas. Métodos 

numéricos foram utilizados como metodologia de solução numérica do problema. 

Para a aplicação da metodologia numérica foi utilizado o programa comercial 

PHOENICS CFD, baseado no Método de Volumes Finitos. O programa foi escolhido 

por permitir que o usuário implemente suas próprias rotinas, como as equações 

constitutivas do modelo PTT, no código padrão utilizado na solução do problema. 

As simulações numéricas foram desenvolvidas com o objetivo de avaliar a 

metodologia que vem sendo empregada. No geral, os resultados foram satisfatórios, 

assinalando que as diretrizes seguidas estão coerentes. Durante a realização das 

simulações, observou-se que é necessário utilizar um controle de convergência 

apurado quando se tem o escoamento viscoelástico através de uma contração 

brusca. O controle de convergência da solução numérica é dificultado devido ao 

acoplamento de quatro equações não-lineares ao sistema a ser resolvido. A 

utilização do esquema EVSS pode aprimorar o controle de convergência da solução. 

O efeito da malha numérica na descrição do problema da contração brusca é de 

grande importância. Devido aos altos valores dos gradientes nos campos de 

velocidade e tensões nas regiões próximas à contração, é necessário utilizar malhas 

numéricas muito refinadas nestas regiões, fato este que aumenta o tempo de 

simulação e também dificulta a convergência da solução. 


71

Capítulo 7 – Conclusões 

A metodologia numérica desenvolvida é considerada válida e permite realizar a 

simulação do escoamento de um fluido não-newtoniano viscoelástico através de 

uma contração brusca. Devido à utilização de um programa comercial, o PHOENICS 

CFD, simular geometrias diferentes é possível, bastando apenas adequar as 

condições de contorno na estrutura implementada. Também, outros modelos de 

fluidos viscoelásticos diferenciais podem ser facilmente adequados nesta estrutura. 

Entretanto, a estrutura numérica apresenta a restrição de apenas utilizar malhas 

numéricas uniformes. Na atual implementação, a utilização de malhas não-uniformes 

pode causar divergências na solução conforme o grau de não-uniformidade usado. 

7.1 Sugestões para trabalhos futuros 

Como sugestões para a continuidade do trabalho apresentado, tem-se: 

1) Implementação do esquema EVSS para aprimoramento da estabilidade 

numérica da solução; 

2) Implementação de esquemas de interpolação de alta ordem, como exemplo 

o esquema CUBISTA; 

3) Além de validar a estrutura numérica na contração, também validar no 

escoamento viscoelástico sobre um cilindro entre placas planas; 

4) Investigação do comportamento do modelo PTT para fluidos com alta 

elasticidade, altos De e ε , e também para altos valores de Re ; 

5) Utilização de outros modelos constitutivos diferenciais de fluidos 

viscoelásticos, tais como UCM e Oldroyd-B; 

6) Extensão do algoritmo para malhas não-uniformes e também para malhas 

não-estruturadas; 

7) Extensão do algoritmo para tratamentos de problemas tridimensionais. 


72

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77

Apêndice A – PHOENICS CFD 

APÊNDICE A – PHOENICS CFD 


78


Neste apêndice é apresentada a descrição da metodologia numérica 

empregada no programa comercial PHOENICS CFD, a qual apresenta sucintamente 

o método de discretização e resolução das equações governantes do problema. Na 

seqüência, serão detalhados alguns comandos particulares do PHOENICS CFD e os 

procedimentos utilizados para realizar o cálculo das derivadas de valores vetoriais. 

A.1 Método dos volumes finitos 

Para a obtenção das equações discretizadas é necessária a adoção de um 

método de discretização das equações diferenciais. O PHOENICS CFD utiliza o 

Método de Volumes Finitos desenvolvido por Patankar (1980). 

O domínio do problema é dividido em um número finito de volumes de controle. 

Cada volume de controle é representado por um ponto nodal, ou nó, localizado em 

seu centro. As equações de conservação são aplicadas a cada um desses volumes, 

resultando em uma equação discretizada para cada nó, o qual interage com seus 

nós vizinhos. Desta forma, a solução resultante satisfaz as equações de 

conservação de massa, quantidade de movimento e energia nos volumes de 

controle em todo o domínio. 

As equações de conservação a serem resolvidas no PHOENICS CFD 

apresentam a forma geral mostrada pela equação (A.1). O primeiro termo do lado 

esquerdo da equação é o termo temporal, o segundo representa a parcela 

convectiva, o terceiro é o termo difusivo e o último o termo fonte, o qual representa 

as parcelas adicionais na equação correspondente. 

∂ρφ 

+ ∇( ρvφ) −∇( Γ ∇ φ) 

= S 

(A.1) 

∂t 

onde ρ é a massa específica, φ a variável em questão, t o tempo, v o vetor 

velocidade, Γ o coeficiente de difusão e S o termo fonte. 


79


Durante o processo de discretização da equação (A.1), é necessário identificar 

os termos que são dependentes da variável φ . Desta forma, é necessário decompor 

o termo fonte S em duas componentes distintas: uma componente S C , 

independente da variável φ , e outra S P , dependente da variável φ . Desta forma, o 

termo fonte S é escrito como: 

A.2 Formação da malha computacional 

S = SC + SPφ (A.2) 

A malha computacional utilizada pelo PHOENICS CFD pode ser visualizada na 

Figura A.1. As letras maiúsculas H (frente), L (anterior), N (norte) e S (sul) 

representam os nós vizinhos ao ponto nodal P . As letras minúsculas h , l , n e s 

representam as faces entre os nós. 


80


r 

Z 

NL 

L 

SL 

I 

P H 

h 


N 

n 

s 

S 

∆ z 

δ δ 

zl 

zh 

NH 

SH 

∆ r 

Figura A.1 – Malha computacional utilizada pelo PHOENICS CFD. 

É necessário escolher onde as componentes da velocidade serão alocadas. A 

primeira vista parece óbvia a escolha por armazená-las juntamente com a pressão, 

no ponto P . Porém, se a pressão e a velocidade são definidas no mesmo nó, um 

campo oscilatório pode ser erroneamente calculado como um campo uniforme 

(Versteeg e Malalasekera, 1995). Para contornar este problema, é utilizada uma 

malha deslocada para as componentes da velocidade (Harlow e Welch, 1965). 

Assim, valores escalares são armazenados nos pontos centrais do volume de 

controle enquanto que valores vetoriais nas faces, gerando, desta forma, uma malha 

deslocada centrada na face em que estes valores são alocados. 

δ rn 

δ rs 

81


A malha deslocada utilizada pelo PHOENICS CFD pode ser visualizada na 

Figura A.2. Nota-se que a velocidade na direção z é armazenada na face h e a 

velocidade em r na face n do volume de controle elementar. 

L 

Z 

A.3 Discretização das equações 

r 

l 


n 

P 

N 

s 

S 

Vr 

h Vz 

Figura A.2 – Malha deslocada. 

Para a discretização das equações governantes, considerou-se um volume de 

controle bidimensional com dimensões ∆ r e ∆ z , centrado no ponto nodal P como 

observado na Figura A.1. 

Realizando a integração da equação (A.1) sobre o volume de controle, obtémse 

a seguinte equação algébrica linear: 

a φ = a φ + a φ + a φ + a φ + S ∆ V 

(A.3) 

P P N N S S H H L L C 

onde os coeficientes a representam as contribuições da convecção e da difusão em 

cada nó e ∆ V é o volume do volume de controle. 

H 

82


O coeficiente a P do ponto central P pode ser decomposto como: 

aP = aN + aS + aL + aH −SP∆ V 

(A.4) 

Os coeficientes a N , S a , H a e a L são descritos a seguir: 

( ) max{ 0, } 

a = D A Pe + − F 

(A.5) 

N n n n 

( ) max{ 0, } 

a = D A Pe + + F 

(A.6) 

S s s s 

( ) max{ 0, } 

a = D A Pe + − F 

(A.7) 

H h h h 

( ) max{ 0, } 

a = D A Pe + + F 

(A.8) 

L l l l 

onde a função A( Pe ) é definida de acordo com a escolha da função de interpolação 

para a variável φ , o símbolo max{ 0, F } representa o maior valor entre 0 e F , sendo 

F o fluxo de massa na face e D representa a difusão na face. O parâmetro Pe é o 

número de Peclet da malha, definido por F/ D. 

As equações para o fluxo de massa e para a condutância de difusão na face 

serão mostradas, respectivamente, nas equações (A.9) e (A.10) somente para a face 

a frente. Para as demais faces, as equações são análogas. 


83


A.4 Esquema de interpolação 

F = ρ v ∆ r 

(A.9) 

H z h 

Γ 

= ∆ (A.10) 

h DHr δ zh 

No âmbito do Método dos Volumes Finitos (Marchi, 1993), o tipo de função de 

interpolação que se adota pode ser considerado como uma das principais 

características de um modelo numérico, senão a principal, responsável pela 

qualidade da solução obtida. Entende-se por função de interpolação, ou esquema 

numérico, o meio utilizado para se expressar o valor da variável φ do problema e de 

suas derivadas normais, nas faces dos volumes de controle que são usados para 

discretizar o domínio de cálculo. 

Neste sentido, muitos esquemas de interpolação são utilizados para a solução 

das equações de transporte, visando a estabilidade e diminuição da difusão e 

dispersão numéricas. Com base em constatações práticas, pode-se dizer que se o 

tipo da função de interpolação for diferente do tipo da solução exata, a difusão 

numérica manifesta-se na solução numérica. O caso ideal ocorre quando o tipo da 

função de interpolação é idêntico àquele da solução exata e, assim, a solução 

numérica concordará melhor com a solução exata do problema, já que a difusão 

numérica estará minimizada. A difusão numérica geralmente é menor quando a 

função de interpolação é de alta ordem, mas em contrapartida, geralmente 

apresenta oscilações que podem comprometer totalmente o significado físico da 

solução obtida. 

O termo responsável pela interpolação da variável φ é identificado pela função 

A( Pe ) presente nos coeficientes da equação discretizada (A.3). Entre os esquemas 


84


de interpolações padrões no PHOENICS CFD, pode-se destacar os esquemas de 

diferenças centradas, Upwind, Híbrido e o QUICK. 

A.4.1 Diferenças centradas 

Uma abordagem clássica é a realizada por diferenças centradas. Neste caso, o 

termo convectivo é tomado como a média entre os valores de dois pontos nodais 

adjacentes. Desta forma, tem-se que: 

Pe 

A( Pe ) = 1- (A.11) 

2 

Este esquema pode levar a resultados fisicamente incorretos para Peclet 

maiores que 2.0, isto é, se a convecção for predominante. 

A.4.2 Esquema Upwind 

Considera apenas a contribuição do ponto nodal a montante do escoamento na 

determinação do valor da variável na face. Este esquema é bastante utilizado. 

Embora este método evite os resultados fisicamente incorretos quando a convecção 

predomina, distorce os mesmos quando a difusão é a parcela dominante. A equação 

para o esquema Upwind é dada por: 

A.4.3 Esquema Híbrido 

A( Pe ) = 1 

(A.12) 

O esquema Híbrido (Spalding, 1972) é uma combinação entre o método de 

diferenças centradas e o Upwind. Sua função de interpolação assume a forma da 

equação (A.13). 


85


A.4.4 Esquema QUICK 

⎧ Pe ⎫ 

= ⎨ − ⎬ 

⎩ 2 ⎭ 

( ) max 0,1 

A Pe 


86 

(A.13) 

O esquema de interpolação QUICK (Hayase, 1992) é da família de esquemas 

que utilizam mais de três pontos nodais na obtenção do fluxo na face, ou seja, é um 

esquema de segunda ordem. Reduz significativamente a falsa difusão, porém pode 

apresentar oscilações numéricas e, conseqüentemente, maior tempo computacional 

e dificuldade na convergência. 

A.5 Acoplamento pressão velocidade 

Após a discretização das equações da quantidade de movimento, o termo fonte 

independente de φ pode ser resultado da soma de duas parcelas: uma devida ao 

diferencial de pressão e outra a termos fontes diversos. O termo devido à pressão, 

além de ser muito importante no escoamento, também é uma incógnita do problema. 

Esta situação requer um tratamento especial, que na formulação adotada pelo 

PHOENICS CFD, se caracteriza pela separação do diferencial de pressão do termo 

fonte genérico e pela utilização da malha deslocada mostrada na Figura A.2 para o 

calculo do campo de velocidade. 

A separação do termo da pressão do termo fonte é feita por não haver 

nenhuma equação direta para a resolução do campo de pressão. A pressão é então 

obtida por acumulação das correções de pressão através da equação da 

conservação da massa que, em conjunto com os ajustes de velocidade, elimina os 

resíduos da equação de continuidade. O algoritmo utilizado pelo PHOENICS CFD 

para desenvolver esta metodologia é o SIMPLEST. 

O algoritmo SIMPLEST (SIMPLEShorTened) é derivado do algoritmo SIMPLE 

(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations), desenvolvido por Patankar e 

Spalding (1972).


A Figura A.3 ilustra na forma de fluxograma os principais passos seguidos pelo 

método SIMPLEST para o acoplamento da pressão-velocidade, os quais são 

descritos a seguir: 

• Estipula-se um campo inicial para a pressão, velocidade e demais variáveis φ , 

baseando-se no campo obtido da iteração anterior. Caso seja a primeira 

iteração, é utilizado o campo inicial definido para o problema. Assim, obtém- 

se os valores estipulados p + , r v + , z v + e demais φ + ; 

• Resolvem-se as equações discretizadas da quantidade de movimento, 

obtendo-se novos valores para as velocidades, as quais satisfazem as 

equações da quantidade de movimento mas não satisfazem necessariamente 

a equação da continuidade; Obtêm-se novos valores para r v + e z v + ; 

• Resolve-se uma equação para a correção da pressão, obtendo-se a pressão 

corrigida p ' ; 

• Calcula-se v r ' e v z ' , correções para as velocidades. Desta forma, através da 

correção da pressão e das velocidades, se obtém os valores corrigidos para 

p , r v e v z ; 

• Resolvem-se as outras variáveis φ ; 

• Se a resposta convergiu numericamente, as iterações são finalizadas. Caso 

não seja alcançada a convergência, volta-se ao primeiro passo. 


87


Atualiza os campos 

p = p, v = v 

φ φ 

* * 

r r 

* 

= , 

* 

vz = vz 

INÍCIO 

Resolve as equações discretizadas do momento 

Resolve a equação de correção para a pressão 

Calcula as correções para as velocidades 

Não 

Resolve as outras variáveis 

Convergencia? 


Fim 

+ + + + 

Campoinicial p , v , v , φ 

v , v 

+ + 

r z 

p ' 

vr ', vz' 

Corrige a pressão e as velocidades 

= + 

p 

* 

p p' 

vr * 

= vr + vr 

vz * 

= vz + vz 

p, vr, vz 

φ 

Sim 

Figura A.3 – Fluxograma do algoritmo SIMPLEST. 

' 

' 

r z 

88


A.6 Condições de contorno e termos fonte 

Todos os problemas em Mecânica de Fluidos Computacional (DFC) são 

definidos em termos das condições iniciais e de contorno. É importante que estes 

sejam especificados corretamente, pois caso contrário podem se tornar fontes de 

erros e apresentar uma solução errada para o problema. 

Após ser feita a discretização, as equações de conservação passam a ser 

representadas por equações algébricas para cada volume de controle P . Contudo a 

equação (A.3) pode ser reescrita isolando-se a variável φ P , conforme a equação 

(A.14). 

∑ anbφnb + SC∆V φP 

= 

∑a −S ∆V 

nb P 

onde o subscrito nb indica os pontos vizinhos ao ponto P . 


89 

(A.14) 

A equação (A.14) determina φ p por meio das contribuições de seus vizinhos. 

Ela é válida para todo o domínio interno falhando, porém, quando há a ausência de 

um vizinho, como é o caso das condições de contorno. As informações no contorno 

e as fontes no interior do domínio são representadas pelo PHOENICS CFD na forma 

generalizada (Spalding, 1994) de acordo com: 

( ) 

S = T. C. V − φ 

(A.15) 

onde T é uma área (da face onde atua) ou um volume, C é um coeficiente (positivo 

para maior estabilidade na convergência) e V é o valor (que se deseja atribuir). 

Dependendo dos valores que T , C e V assumem, é possível definir todos os 

termos fontes e condições de contorno, para um dado problema.


Substituindo a equação (A.15) na equação (A.14) tem-se que: 

φ = 

P 

∑ nbφnb + ∑ 

∑ nb + ∑ 

a TCV 

a TC 

A.6.1 Tipos de condições de contorno e termo fonte 


90 

(A.16) 

Para ajustar o termo fonte (ou a condição de contorno desejada) à forma geral 

dada pela equação (A.15), usa-se artifícios matemáticos, os quais podem acarretar 

em condições de valor ou fluxo fixo. 

A.6.1.1 Valor Fixo – FIXVAL 

Quando é necessário especificar o valor da variável em uma célula ou região 

do domínio, deve-se ajustar o valor do coeficiente C como um número muito grande, 

e V como sendo o valor requerido. Fazendo isto, tem-se que TC é muito maior do 

que ∑ aiφi , e a equação (A.16) pode ser simplificada como: 

A.6.1.2 Fluxo Fixo – FIXFLU 

TCV 

φP ≅ = V 

(A.17) 

TC 

Quando é necessário especificar um fluxo em uma célula ou numa região do 

domínio ou contorno, deve-se ajustar o valor do coeficiente C como sendo um 

número muito pequeno e o valor do fluxo como sendo V . Desta forma, tem-se: 

C 

φ 

P 

= ∑ ∑ 

nbφnb + 

a TV 

a 

∑ 

nb 

(A.18)


A.7 Solução do sistema de equações discretizadas 

Há duas técnicas de solução para sistemas lineares algébricos: método direto e 

método indireto ou iterativo (Versteeg e Malalasekera, 1995). Através de métodos 

diretos, por exemplo a regra da inversão de matriz de Cramer, muitas iterações e um 

alto número de variáveis armazenadas são requeridas, inviabilizando o processo. 

Métodos iterativos, por serem baseados na aplicação repetida de um algoritmo, 

apresentam uma simplicidade maior na resolução dos sistemas. Nestes métodos, o 

armazenamento das variáveis é realizado apenas para aquelas que apresentem 

valor não nulo, não exigindo que muitas variáveis sejam alocadas. Por isso, os 

métodos iterativos são preferidos para a solução dos sistemas lineares obtidos. 

No PHOENICS CFD três modos de resolução estão disponíveis para resolver 

os sistemas lineares formados pelas equações algébricas discretizadas: Point-by- 

Point, Slabwhise e Whole-field. 

No método Point-by-Point, o valor de φ na célula é derivado explicitamente 

utilizando os valores de φ nas células vizinhas. Usualmente esta técnica apresenta 

convergência lenta por reduzir o acoplamento entre as células e a propagação das 

mudanças. Entretanto, o método Point-by-Point pode ser útil quando φ apresenta 

uma acoplamento mais forte com outras variáveis do que com valores de φ nas 

células vizinhas. 

Slabwise consiste em resolver plano a plano do domínio. A variável φ é 

resolvida na célula juntamente com as células vizinhas, porém, para planos 

diferentes são utilizados valores das iterações precedentes. O método Slabwise é 

comumente utilizado em escoamentos parabólicos, nos quais tem-se uma direção 

predominante do escoamento. 

O método Whole-field resolve em um único sistema todas os valores de φ nos 

volumes do domínio. Este método é uma extensão do método TDMA (Versteeg e 

Malalasekera, 1995). A solução pelo método Whole-field permite que as condições 


91


de contorno se difundam mais rapidamente pelo domínio, uma vez que a 

metodologia considera a interação entre todas as variáveis φ do domínio. 

A.8 Comandos utilizados 

A.8.1 TERMS 

Aplicado no grupo 8 do arquivo Q1 é o comando que determina qual termo será 

ativado na equação de balanço para a variável a ser resolvida. Desta forma: 

TERMS(índice da variável, Y ou N, Y ou N, ... seis vezes) 

As seis questões a serem respondidas por Y ou N são: 

1. Ativar Built-in source? 

2. Ativar convecção? 

3. Ativar difusão? 

4. Ativar o termo transiente? 

5. A variável pertence à primeira fase, quando há mais de uma fase? 

6. Ativar transporte entre as fases, quando há mais de uma fase? 

A.8.2 PATCH 

É o comando utilizado para identificar o local e o tipo em que uma condição 

será aplicada. Por exemplo, identificar que um termo fonte será aplicado em todo o 

domínio. 

O comando possui 10 argumentos, nomeados como: 

PATCH(NOME,TIPO,IXF,IXL,IYF,IYL,IZF,IZL,ITF,ITL) 

1. Nome: nome designado ao PATCH criado; 

2. Tipo: tipo de aplicação da condição. Representa o valor T da equação (A.15); 

3. IXF, IYF, IZF e ITF: referem-se à posição inicial do PATCH nas coordenadas X, Y 

e Z e no tempo, respectivamente; 


92


4. IXL, IYL, IZL e ITL: referem-se à posição final do PATCH nas coordenadas X, Y e 

Z e no tempo, respectivamente. 

A.8.3 COVAL 

Aplicado ao grupo 13 do arquivo Q1, é o comando utilizado para introduzir 

termos fontes e condições de contorno para o problema expressado. 

O comando possui 4 argumentos, nomeados como: 

COVAL(NOME,índice da variável,Coeficiente,Valor) 

1. Nome: nome designado ao PATCH associado; 

2. Índice da variável: identifica qual a variável; 

3. Coeficiente: associado ao valor do coeficiente C da equação (A.15); 

4. Valor: associado ao valor de V na equação (A.15). 

A.8.4 SOLUTN 

Aplicado ao grupo 7 do arquivo Q1, é o comando utilizado para indicar que a 

variável precisa ser armazenada, resolvida, etc. O formato para este comando é: 

SOLUTN( índice da variável, Y ou N, Y ou N, ... seis vezes) 

As seis questões a serem respondidas por Y ou N são: 

1. Armazenar variável? 

2. Resolver a variável? 

3. Resolver pelo método Whole-field? 

4. Resolver pelo método Point-by-Point? 

5. Usar formulação explícita se transiente? 

6. Usar média harmônica para a mudança dos coeficientes? 


93


A.9 Derivadas 

Este tópico retrata a maneira pela qual as derivadas de vetores são calculadas. 

Para exemplificar, foi utilizado o vetor velocidade. A notação utilizada segue a 

mesma da Figura A.1. 

A.9.1 DVDY 

É a derivada da componente r da velocidade na direção r , dada por: 

Se IY = 1, 

r 

IY = NY , v ∂ 

∂ r 

A.9.2 DWDZ 

r v ∂ 

∂ r 

( − ) 

∂ v v v 

r = 

∂r ∆r 

rn rs 


94 

(A.19) 

assume o mesmo valor do que o calculado para IY = 2 . Se 

assume o mesmo valor que é calculado para IY = NY − 1. 

É a derivada da componente z da velocidade na direção z , dada por: 

Se IZ = 1, 

z 

IZ = NZ , v ∂ 

∂ z 

z v ∂ 

∂ z 

( − ) 

∂v 

v v 

z = 

∂z ∆z 

zh zl 

(A.20) 

assume o mesmo valor do que o calculado para IZ = 2 . Se 

assume o mesmo valor do que o calculado para IZ = NZ − 1.


A.9.3 DVDZ 

É a derivada da componente r da velocidade na direção z , dada por: 

∂vr 1 ⎛∂vr ∂vr ∂vr ∂v 

⎞ r 

= ⎜ + + + ⎟ 

∂z 4 ⎝ ∂z nh ∂z nl ∂z sl ∂z 

sh ⎠ 

Os termos do lado direito da equação (A.21) são dados por: 

Se IZ = 1, 

∂vr 

IZ = NZ , 

∂z 

nh 

∂vr 

∂z 

nl 

( vrnH − vrn) 

∂vr 

= 

∂z 

δ 

nh zh 

( vrn − vrLn) 

∂vr 

= 

∂z 

δ 

nl zl 

( vrs − vrsL) 

∂vr 

= 

∂z 

δ 

sl zl 

( vrsH − vrs) 

∂vr 

= 

∂z 

δ 

sh zh 

assume o valor de 

∂vr 


∂z 


nl 

∂vr 

e 

∂z 

r ∂v 

∂z 

sh 

nh 

e 

r ∂v 

∂z 

sl 

∂vr 

o valor de 

∂z 


sl 

. 

r ∂v 

∂z 

95 

(A.21) 

(A.22) 

(A.23) 

(A.24) 

(A.25) 

sh 

. Se


A.9.4 DWDY 

É a derivada da componente z da velocidade na direção r , dada por: 

∂vz 1 ⎛∂vz ∂vz ∂vz ∂v 

⎞ z 

= ⎜ + + + ⎟ 

∂r 4 ⎝ ∂r nh ∂r sh ∂r sl ∂r 

nl ⎠ 

Os termos do lado direito da equação (A.26) são dados por: 

Se IZ = 1, 

∂vr 

IZ = NZ , 

∂z 

nh 

∂vr 

∂z 

nl 

( vzhN − vzh) 

∂vz 

= 

∂r 

δ 

nh rn 

( vzh − vzSh) 

∂vz 

= 

∂r 

δ 

sh rs 

( vzl − vzSl) 

∂vz 

= 

∂r 

δ 

sl rs 

( vzNl − vzl) 

∂vz 

= 

∂r 

δ 

nl rn 


∂vr 


∂z 


nl 

∂vr 

e 

∂z 

r ∂v 

∂z 

sh 

nh 

e 

r ∂v 

∂z 

sl 

∂vr 


∂z 


sl 

. 

r ∂v 

∂z 

96 

(A.26) 

(A.27) 

(A.28) 

(A.29) 

(A.30) 

sh 

. Se

Apêndice B – Arquivo Q1 

APÊNDICE B – ARQUIVO Q1 


97


O arquivo gerado no pré-processamento do PHOENICS CFD chama-se “Q1”. 

Este arquivo armazena as condições do problema, tais como condições de contorno, 

condições iniciais, geometria do problema, malha numérica, controle de 

convergência, entre outros. 

A seguir, o arquivo Q1 se refere à simulação do escoamento de um fluido 

não-newtoniano viscoelástico, modelo de Phan-Thien e Tanner (PTT), através de 

uma contração brusca axissimétrica. Este arquivo está sendo mostrado com o 

intuído de apenas ilustrar como é feita a implementação numérica no programa 

PHOENICS CFD e também servir de referência para eventuais futuros trabalhos. 

TALK=T;RUN( 1, 1) 

************************************************************ 

Q1 created by VDI menu, Version 3.6, Date 01/12/05 

CPVNAM=VDI;SPPNAM=Core 

************************************************************ 

Echo DISPLAY / USE settings 

************************************************************ 

IRUNN = 1 ;LIBREF = 0 

************************************************************ 

Group 1. Run Title 

TEXT(PTT – De=1 Re=100) 

************************************************************ 

Group 2. Transience 

STEADY = T 

************************************************************ 

Groups 3, 4, 5 Grid Information 

* Overall number of cells, RSET(M,NX,NY,NZ,tolerance) 

RSET(M,1,60,110,1.000000E-08) 

* Cylindrical-polar grid 

CARTES=F 

************************************************************ 

Group 6. Body-Fitted coordinates 

************************************************************ 

Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd 

ONEPHS = T 

* Non-default variable names 

NAME(125) =YYY ; NAME(126) =TYZ 

NAME(127) =TTT ; NAME(128) =TYY 

NAME(129) =TZZ ; NAME(130) =DVDY 

NAME(131) =DVDZ ; NAME(132) =DWDY 

NAME(133) =DWDZ ; NAME(134) =DTTZ 

NAME(135) =DTTY ; NAME(136) =DYZZ 

NAME(137) =DYZY ; NAME(138) =DYYZ 

NAME(139) =DYYY ; NAME(140) =DZZZ 


98


NAME(141) =DZZY ; NAME(142) =ZGNZ 

NAME(143) =ZGZ1 ; NAME(144) =YGNY 

NAME(145) =YGY1 ; NAME(146) =DEN1 

NAME(147) =ATYZ ; NAME(148) =ATTT 

NAME(149) =ATYY ; NAME(150) =ATZZ 

* Solved variables list 

SOLVE(P1 ,V1 ,W1 ,ATYZ,ATTT,ATYY,ATZZ) 

* Stored variables list 

STORE(DEN1,YGY1,YGNY,ZGZ1,ZGNZ,DZZY,DZZZ,DYYY) 

STORE(DYYZ,DYZY,DYZZ,DTTY,DTTZ,DWDZ,DWDY,DVDZ) 

STORE(DVDY,TZZ ,TYY ,TTT ,TYZ ,YYY ) 

* Additional solver options 

SOLUTN(P1 ,Y,Y,Y,N,N,Y) 

SOLUTN(ATYZ,Y,Y,Y,N,N,Y) 

SOLUTN(ATTT,Y,Y,Y,N,N,Y) 

SOLUTN(ATYY,Y,Y,Y,N,N,Y) 

SOLUTN(ATZZ,Y,Y,Y,N,N,Y) 

************************************************************ 

Group 8. Terms & Devices 

TERMS (P1 ,Y,Y,N,N,Y,N) 

TERMS (V1 ,Y,Y,N,N,Y,N) 

TERMS (W1 ,Y,Y,N,N,Y,N) 

TERMS (ATYZ,N,Y,N,N,Y,N) 

TERMS (ATTT,N,Y,N,N,Y,N) 

TERMS (ATYY,N,Y,N,N,Y,N) 

TERMS (ATZZ,N,Y,N,N,Y,N) 

DIFCUT = 0.000000E+00 

SCHEME(QUICK ,ALL) 

************************************************************ 

Group 9. Properties 

PRESS0 = 1.000000E+05 ;TEMP0 = 2.730000E+02 

RHO1 = 1.000000E+03 

ENUL = 0.000000E+00 

CP1 = 1.005000E+03 

ENUT = 0.000000E+00 

DVO1DT = 3.410000E-03 

************************************************************ 

Group 10.Inter-Phase Transfer Processes 

************************************************************ 

Group 11.Initialise Var/Porosity Fields 

FIINIT(W1 ) = 1.000000E-02 

No PATCHes used for this Group 

INIADD = F 

************************************************************ 

Group 12. Convection and diffusion adjustments 


************************************************************ 

Group 13. Boundary & Special Sources 


EGWF = T 


99


************************************************************ 

Echo InForm settings for Group 13 

inform13begin 

================================ 

===================== 

CONDICOES DE CONTORNO 

===================== 

>>> PAREDE 

PATCH (PARN ,NORTH,1,NX,NY,NY,1,NZ,1,1) 

(source of W1 at PARN is coval(FIXVAL,0.000000E+00)) 

(source of V1 at PARN is coval(FIXVAL,0.000000E+00)) 

=============================== 

>>> ENTRADA DESENVOLVIDA 

CHAR(EQN) 

EQN=(-1)*384.5*YG^2+0.024*YG+.005 

PATCH(ENT,CELL,1,NX,1,NY-1,1,1,1,LSTEP) 

(source of P1 at ENT is RHO1*:EQN: with fixval) 

(source of W1 at ENT is :EQN: with fixval) 

(source of V1 at ENT is 0 with fixval) 

================================= 

>>> CONTRACAO 

>>> ELEMENTOS Y E Z QUE INICIAM A CONTRACAO 

REAL(YCON);YCON=16 

REAL(ZCON);ZCON=56 

PATCH(CONT,VOLUME,1,NX,YCON,NY,ZCON,NZ,1,LSTEP) 

(source of v1 at cont is 0 with fixval) 

(source of w1 at cont is 0 with fixval) 

================================ 

(stored RRR is YG+RINNER+1e-8) 

>>> Identificacao do primeiro e ultimo VC 

(stored YGY1 is YG[&1&]) 

(stored YGNY is YG[&NY&]) 

(stored ZGZ1 is ZG[&&1]) 

(stored ZGNZ is ZG[&&NZ]) 

================================ 

>>> TENSOES 

(STORED TZZ IS ATZZ*RHO1) 


100


(STORED TYY IS ATYY*RHO1) 

(STORED TTT IS ATTT*RHO1) 

(STORED TYZ IS ATYZ*RHO1) 

=============================== 

>>> DIFERENCAS DE TENSOES 

(STORED NN1 IS TZZ-TYY) 

(STORED NN2 IS TYY-TTT) 

(STORED PS1 IS NN1/((abs(DWDY))^2)) 

(STORED PS2 IS NN2/((abs(DWDY))^2)) 

(STORED ETA IS (abs(TYZ))/(abs(DWDY))) 

=============================== 

>>> DERIVADAS DAS TENSOES 

(stored DZZY is (TZZ[&+1]-TZZ[&-1])/(2*DYV) with if(YG.NE.YGY1.and.$ 

YG.NE.YGNY)) 

(stored DZZY is (TZZ[&+2]-TZZ)/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGY1)) 

(stored DZZY is (TZZ-TZZ[&-2])/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGNY)) 

(stored DZZZ is (TZZ[&&+1]-TZZ[&&-1])/(2*DZW) with if(ZG.NE.ZGZ1.an$ 

d.ZG.NE.ZGNZ)) 

(stored DZZZ is (TZZ[&&+2]-TZZ)/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGZ1)) 

(stored DZZZ is (TZZ-TZZ[&&-2])/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGNZ)) 

(stored DYYY is (TYY[&+1]-TYY[&-1])/(2*DYV) with if(YG.NE.YGY1.and.$ 

YG.NE.YGNY)) 

(stored DYYY is (TYY[&+2]-TYY)/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGY1)) 

(stored DYYY is (TYY-TYY[&-2])/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGNY)) 

(stored DYYZ is (TYY[&&+1]-TYY[&&-1])/(2*DZW) with if(ZG.NE.ZGZ1.an$ 


(stored DYYZ is (TYY[&&+2]-TYY)/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGZ1)) 

(stored DYYZ is (TYY-TYY[&&-2])/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGNZ)) 

(stored DYZY is (TYZ[&+1]-TYZ[&-1])/(2*DYV) with if(YG.NE.YGY1.and.$ 

YG.NE.YGNY)) 

(stored DYZY is (TYZ[&+2]-TYZ)/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGY1)) 

(stored DYZY is (TYZ-TYZ[&-2])/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGNY)) 

(stored DYZZ is (TYZ[&&+1]-TYZ[&&-1])/(2*DZW) with if(ZG.NE.ZGZ1.an$ 


(stored DYZZ is (TYZ[&&+2]-TYZ)/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGZ1)) 

(stored DYZZ is (TYZ-TYZ[&&-2])/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGNZ)) 

(stored DTTY is (TTT[&+1]-TTT[&-1])/(2*DYV) with if(YG.NE.YGY1.and.$ 

YG.NE.YGNY)) 

(stored DTTY is (TTT[&+2]-TTT)/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGY1)) 


101


(stored DTTY is (TTT-TTT[&-2])/(2*DYV) with if(YG.EQ.YGNY)) 

(stored DTTZ is (TTT[&&+1]-TTT[&&-1])/(2*DZW) with if(ZG.NE.ZGZ1.an$ 


(stored DTTZ is (TTT[&&+2]-TTT)/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGZ1)) 

(stored DTTZ is (TTT-TTT[&&-2])/(2*DZW) with if(ZG.EQ.ZGNZ)) 

=============================== 

>>> TERMOS FONTES DA EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 

PATCH (ALL ,VOLUME,1,NX,1,NY,1,NZ,1,1) 

(SOURCE of V1 at ALL is (DYYY+TYY/(RRR)+DYZZ-TTT/(RRR)) with FIXFLU) 

(SOURCE of W1 at ALL is (DYZY+TYZ/(RRR)+DZZZ) with FIXFLU) 

=============================== 

>>> PROPRIEDADES DO PTT 

REAL(GGG);GGG=0.05 

REAL(LLL);LLL=0.02 

REAL(EEE);EEE=.25 

(stored YYY is (1+(EEE/GGG)*(TTT+TZZ+TYY)) ) 

=============================== 

>>> TERMOS FONTES - PTT 

(SOURCE of ATZZ at ALL is ( GGG*(2*DWDZ)+2*(TYZ*DWDY+TZZ*DWDZ)-YYY*$ 

TZZ/LLL ) with FIXFLU) 

(SOURCE of ATYY at ALL is ( GGG*(2*DVDY)+2*(TYY*DVDY+TYZ*DVDZ)-YYY*$ 

TYY/LLL ) with FIXFLU) 

(SOURCE of ATTT at ALL is ( GGG*(2*V1/(RRR))+2*(TTT*V1/(RRR))-YYY*T$ 

TT/LLL ) with FIXFLU) 

(SOURCE of ATYZ at ALL is ( GGG*(DWDY+DVDZ)+(TZZ*DVDZ+TYY*DWDY-TYZ*$ 

V1/(RRR))-YYY*TYZ/LLL ) with FIXFLU) 

inform13end 

************************************************************ 

Group 14. Downstream Pressure For PARAB 

************************************************************ 

Group 15. Terminate Sweeps 

LSWEEP = 100000 

RESREF(P1 ) = 1.000000E-06 ;RESREF(V1 ) = 1.000000E-06 

RESREF(W1 ) = 1.000000E-06 ;RESREF(ATYZ) = 0.000000E+00 

RESREF(ATTT) = 0.000000E+00 ;RESREF(ATYY) = 0.000000E+00 

RESREF(ATZZ) = 0.000000E+00 

SELREF = F 

************************************************************ 

Group 16. Terminate Iterations 

LITER (P1 ) = 200 

************************************************************ 


102


Group 17. Relaxation 

RELAX(P1 ,LINRLX, 1.000000E-02) 

RELAX(V1 ,FALSDT, 1.000000E-05) 

RELAX(W1 ,FALSDT, 1.000000E-05) 

RELAX(ATYZ,FALSDT, 1.000000E-04) 

RELAX(ATTT,FALSDT, 1.000000E-04) 

RELAX(ATYY,FALSDT, 1.000000E-04) 

RELAX(ATZZ,FALSDT, 1.000000E-04) 

************************************************************ 

Group 18. Limits 

VARMAX(V1 ) = 1.000000E+01 ;VARMIN(V1 ) =-1.000000E+01 

VARMAX(W1 ) = 1.000000E+01 ;VARMIN(W1 ) =-1.000000E+01 

VARMAX(ATYZ) = 1.000000E+00 ;VARMIN(ATYZ) =-1.000000E+00 

VARMAX(ATTT) = 1.000000E+00 ;VARMIN(ATTT) =-1.000000E+00 

VARMAX(ATYY) = 1.000000E+00 ;VARMIN(ATYY) =-1.000000E+00 

VARMAX(ATZZ) = 1.000000E+00 ;VARMIN(ATZZ) =-1.000000E+00 

************************************************************ 

Group 19. EARTH Calls To GROUND Station 

USEGRD = T ;USEGRX = T 

DVDY = T ;DWDY = T 

DVDZ = T ;DWDZ = T 

ASAP = T 

PARSOL = T 

ISG21 = 99999 

************************************************************ 

Group 20. Preliminary Printout 

ECHO = T 

************************************************************ 

Group 21. Print-out of Variables 

************************************************************ 

Group 22. Monitor Print-Out 

IXMON = 1 ;IYMON = 1 ;IZMON = 13 

NPRMON = 100000 

NPRMNT = 1 

TSTSWP = -1 

************************************************************ 

Group 23.Field Print-Out & Plot Control 

NPRINT = 100000 

ISWPRF = 1 ;ISWPRL = 100000 


************************************************************ 

Group 24. Dumps For Restarts 

GVIEW(P,-1.000000E+00,0.000000E+00,0.000000E+00) 

GVIEW(UP,0.000000E+00,1.000000E+00,0.000000E+00) 

> DOM, SIZE, 1.000000E+00, 4.000000E-03, 8.000000E-02 

> DOM, MONIT, 5.000000E-01, 3.333330E-05, 3.266670E-02 

> DOM, SCALE, 1.000000E+00, 1.000000E+00, 1.000000E+00 

> DOM, SNAPSIZE, 1.000000E-02 

> GRID, RSET_Z_1, 10, 1.000000E+00 

> GRID, RSET_Z_2, 15, 1.000000E+00 

> GRID, RSET_Z_3, 30, 1.000000E+00 

> GRID, RSET_Z_4, 30, 1.000000E+00 


103


> GRID, RSET_Z_5, 15, 1.000000E+00 

> GRID, RSET_Z_6, 10, 1.000000E+00 

> OBJ, NAME, CONTRACA 

> OBJ, POSITION, 0.000000E+00, 0.000000E+00, 4.000002E-02 

> OBJ, SIZE, 1.000000E+00, 1.000000E-03, 4.000001E-02 

> OBJ, GEOMETRY, polwire 

> OBJ, ROTATION24, 1 

> OBJ, TYPE, NULL 

> OBJ, NAME, REF1 


> OBJ, SIZE, 1.000000E+00, 4.000000E-03, 8.000000E-03 




> OBJ, NAME, SAIDA 


> OBJ, SIZE, 1.000000E+00, 4.000000E-03, 0.000000E+00 

> OBJ, GEOMETRY, polcubet 


> OBJ, TYPE, OUTLET 

> OBJ, PRESSURE, 0.000000E+00 

> OBJ, TEMPERATURE, SAME 

> OBJ, COEFFICIENT, 1.000000E+03 

> OBJ, NAME, REF2 


> OBJ, SIZE, 1.000000E+00, 4.000000E-03, 1.600000E-02 




STOP 


104

Apêndice C – Simulação Numérica do Escoamento Laminar através de uma Contração Brusca Axissimétrica 

APÊNDICE C – SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO 

LAMINAR ATRAVÉS DE UMA CONTRAÇÃO 

BRUSCA AXISSIMÉTRICA 


105



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108



109



110



111

Apêndice D – Artigos Publicados 

APÊNDICE D – ARTIGOS PUBLICADOS 


112


A realização deste trabalho possibilitou a publicação de artigos científicos em 

congressos nacionais e internacionais. Os artigos gerados foram elaborados ao 

decorrer do projeto. Os temas abordam, além da metodologia desenvolvida, os 

passos intermediários que foram necessários para sua validação. Também, além da 

contração brusca, outras geometrias de interesse na aplicação de perfuração de 

poços de petróleo foram estudadas, como o tubo anular concêntrico e o tubo 

elíptico. 

Na Tabela F.1 segue a relação dos artigos publicados ao longo do 

desenvolvimento deste projeto, indicando o local de publicação e a respectiva 

referência. Na seqüência, a primeira página de cada artigo é mostrada. 


113


Local de 

Publicação 

ENAHPE 2006 

ENAHPE 2006 

CONEM 2006 

RAA 2006 

CMNE/CILAMCE 

2007 

IVPDPETRO 

2007 

IVPDPETRO 

2007 

IVPDPETRO 

2007 

COBEM 2007 

Tabela F.1 – Artigos publicados ao longo do projeto. 


114 

Referência Página 

CORADIN, H. T.; BRONDANI, W. M.; MATTIUSI, E. M.; FRANCO, A. T. 

e MORALES, R. E. M. Simulação numérica do escoa’mento laminar 

através de uma contração brusca axissimétrica. Encontro Nacional 

de Hidráulica de Perfuração e Completação de Poços de Petróleo e 

Gás, Brasil, 2006. 

BRONDANI, W. M.; CORADIN, H. T.; MATTIUSI, E. M.; FRANCO, A. T. 

e MORALES, R. E. M. Simulação numérica do escoamento laminar 

de fluidos não-newtonianos em um duto de seção elíptica. Encontro 

Nacional de Hidráulica de Perfuração e Completação de Poços de 

Petróleo e Gás, Brasil, 2006. 

BRONDANI, W. M.; MATTIUSI, E. M.; CORADIN, H. T.; FRANCO, A. T. 

e MORALES, R. E. M. Simulação numérica do escoamento laminar 

de fluido viscoelástico através de um anular concêntrico. 

Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, Brasil, 2006. 

CORADIN, H. T.; MORALES, R. E. M. e FRANCO, A. T. Simulação 

numérica do escoamento laminar através de uma contração brusca 

axissimétrica. Encontro de PRHs Região Sul, Brasil, 2006. 

BRONDANI, W. M.; CORADIN, H. T.; FRANCO, A. T. e MORALES, R. 

E. M. Implementação numérica de modelo viscoelástico PTT para 

análise do escoamento através de um tubo anular concêntrico. 

Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia, Portugal, 2007. 

CORADIN, H. T.; BRONDANI, W. M.; MATTIUSI, E. M.; FRANCO, A. T.; 

MORALES, R. E. M. e MARTINS, A. L. Simulação numérica do 

escoamento de um fluido de perfuração viscoelástico através de 

uma contração brusca. Congresso Brasileiro de P&D em Petróleo e 


BRONDANI, W. M.; CORADIN, H. T.; MATTIUSI, E. M.; FRANCO, A. T.; 

MORALES, R. E. M. e MARTINS, A. L. Estudo numérico do 

escoamento de um fluido de perfuração viscoelástico através de 

um anular concêntrico. Congresso Brasileiro de P&D em Petróleo e 


MATTIUSI, E. M.; CORADIN, H. T.; BRONDANI, W. M.; FRANCO, A. T.; 

MORALES, R. E. M. e MARTINS, A. L. Escoamento laminar de 

fluidos não-newtonianos em tubos de seção transversal elíptica. 

Congresso Brasileiro de P&D em Petróleo e Gás, Brasil, 2007. 

BRONDANI, W. M.; CORADIN, H. T.; FRANCO, A. T.; MORALES, R. E. 

M. and MARTINS, A. L. Numerical study of a PTT viscoelastic fluid 

flow through a concentric annular. International Congresso f 

Mechanical Engineering, Brazil, 2007. 

133 

134 

135 

136 

137 

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140 

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Simulação Numérica do Escoamento de um ... - PPGEM - UTFPR

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