3ª fase - Unesp

2008
Terceira fase - Nível 1
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Olimpíada de Matemática 2008
02/08
01.
a) Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características:
(I) x delas são vermelhas numeradas com os números naturais de 1 até x;
(II) x + 1 delas são azuis numeradas com os números naturais de 1 a x + 1;
(III) x + 2 delas são brancas numeradas com os números naturais de 1 até x + 2;
(IV) x + 3 delas são verdes numeradas com os números naturais de 1 a x + 3.
Determine quantas bolas são verdes.
b) Em julho, a família Algébrica, pagou R$ 250,00 de energia elétrica. Ao saber, no início do
mês de agosto, que haveria um acréscimo de 20% na tarifa de energia elétrica, a família
reduziu de 15% seu consumo de energia.
(i) Quanto a família teria pago, em agosto, se mantivesse o mesmo consumo de energia de
julho?
(ii) Quanto a família pagou, em agosto, pela energia elétrica?
02.
Um cubo de madeira é pintado de verde. Serrando o cubo com n cortes planos,
podemos subdividi-lo em 27 cubinhos menores, de mesmo tamanho.
a) Qual é o valor de n?
b) Quantos cubinhos terão exatamente duas faces verdes?
c) Quantos terão três faces verdes?
d) Quantos terão quatro faces verdes?
e) Quantos não terão faces verdes?
03.
O retângulo a seguir, de dimensões a e b, está decomposto em quadrados.
a
a) Qual o valor da razão
a
?
b
b) Qual é a área do retângulo em função de b?
b
c) Quantos quadriláteros distintos é possível observar na figura acima?

2008
B
B
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β α
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D
Olimpíada de Matemática 2008
β
C
C
D
02/08
04.
a) Na figura, o triângulo ABC é eqüilátero e o triângulo CDA é isósceles. Calcule o valor
de 2α + β.
A
CAD = α e BCD = β
α
b) Na figura, calcule o a medida do ângulo x, sendo α o triplo de β e γ o sêxtuplo de β.
A
B
α
c) Na figura abaixo, AD é bissetriz do ângulo BAC do triângulo ABC. Determine o valor
de α - β, sabendo que B - C = 50
A
o .
β
80 o
E
x
C
γ
D

2008
Terceira fase - Nível 1
05.
a) Zé da Álgebra encontrou na internet o texto abaixo:
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Olimpíada de Matemática 2008
02/08
Utilizando o método acima até obter um número de dois algarimos, verifique se o
número 316.876 é divisível por 13.
b) Chico das Contas foi passar as férias numa cidade chamada Matrizlândia. Nessa cidade,
ele teve contato com os números M e I, que se comportam da seguinte maneira:
M . I = I . M = M e M 2 = M - I
Para obtermos M 3 utilizamos o “método da balança”. Partimos de M 2 = M - I e pela
“balança” multiplicamos ambos os lados por M, como segue abaixo:
M 2 = M - I
M . M 2 = M . (M - I)
M 3 = M 2 . - M. I (*)
sabemos que M . I = M e M 2 = M - I, substituindo em (*) obtemos:
Então, temos que: M = M
M 2 = M - I
M 3 = - I
Calcule M 7 e M 2008 .
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último
algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um
número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande,
repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13.
M 3 = (M - I) - M
M 3 = M - I - M
M 3 = - I
(Lembre-se de que você poderá fazer a substituição de M 2 por M - I, sempre que necessário).