História da Matemática - Unesp

HERMES ANTONIO PEDROSO
Setembro/2009

Prefácio
Prefácio
Este livro originou-se como notas de aula da disciplina História
da Matemática, de 60 horas/aula, ministrada nos cursos de
Licenciatura e Bacharelado em Matemática do IBILCE – UNESP de
São José de Rio Preto, desde 1991. Na época de sua publicação, em
forma de apostila em 1992, só existiam dois textos em português,
traduções de obras famosas, escritos originalmente em inglês.
Essas obras, clássicas, ainda hoje são incluídas em qualquer
bibliografia sobre o assunto, mas nunca se adequaram como guia
didático para sala de aula. São muito detalhadas para uma disciplina
semestral, e de difícil acesso para a maior parte dos estudantes. Isso
me motivou a elaborar um texto que preservasse o essencial das
referidas obras, mas pensando nos tópicos que mais contribuiriam
para o futuro professor ou mesmo futuro pesquisador.
Atualmente temos outros bons livros, traduções ou mesmo de
autores brasileiros, mas que também não se adéquam às prioridades
dos referidos cursos, devido à grande quantidade de informações a
serem assimiladas em tão pouco tempo.
A apostila foi indicada e bem aceita pelos alunos de graduação,
inclusive de outras instituições de nível superior, e por professores
da rede oficial de ensino, quando ministrei Tópicos de História da
Matemática em projetos como Teia do Saber e até mesmo em curso
de pós-graduação Lato Sensu, em que tive oportunidade de orientar
algumas monografias com temas que utilizavam história da
matemática.
Após todos esses anos, somente agora foi possível fazer uma
revisão e complementar com novas informações importantes,
provenientes de pesquisas realizadas através de vários projetos
desenvolvidos durante esse período na universidade.
Quanto à estrutura do texto, não há muita uniformidade. Alguns
assuntos são mais desenvolvidos que outros, tendo em vista a
importância que considero na formação dos graduandos, que
poderão utilizar a história da matemática como recurso didático no
ensino fundamental e médio.
1
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Apresento ao final de cada sessão, uma lista de exercícios que
servirão como revisão, despertando oportunidade de debates e
apresentação de trabalhos em forma de seminários.
O autor

SUMÁRIO
SUMÁRIO
Introdução ......................................................................... 07
Por que História da Matemática? ................................ 08
Origens Primitivas ........................................................... 13
Egito .................................................................................... 15
A matemática egípcia ........................................................... 18
Mesopotâmia .................................................................... 37
A matemática mesopotâmia .................................................. 39
Grécia .................................................................................. 47
Homero ................................................................................. 48
Hesíodo ................................................................................. 50
A matemática grega .............................................................. 51
O racionalismo jônico e os pitagóricos .................... 59
Tales ..................................................................................... 59
Anaximandro, Anaxímenes ................................................. 62
Pitágoras ............................................................................... 63
Parmênides, Zenon ............................................................... 70
Melisso, Heráclito ................................................................. 73
Demócrito ............................................................................. 75
Os ideais platônicos e a lógica aristotélica ............. 77
Anaxágoras ........................................................................... 78
Hipócrates ............................................................................. 79
Hípias .................................................................................... 81
Sócrates ................................................................................ 82
Platão .................................................................................... 83
Arquitas, Teaetecto, Menaecmo .......................................... 90
Dinóstrato ............................................................................. 91
Eudoxo .................................................................................. 92
Aristóteles ............................................................................. 94
Epicuro ................................................................................. 98
3
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A ciência helenística ....................................................... 103
Euclides ............................................................................... 104
Aristarco .............................................................................. 118
Arquimedes .......................................................................... 119
Arquimedes e Euclides ........................................................ 134
Eratóstenes ........................................................................... 134
Apolônio .............................................................................. 136
Hiparco ................................................................................ 140
Período Grecoromano ................................................. 145
Roma .................................................................................... 145
Lucrécio, Ptolomeu .............................................................. 149
Heron ................................................................................... 154
Diofanto .............................................................................. 157
Papus ................................................................................... 159
Hipatia, Proclo, Boécio ........................................................ 163
Europa na Idade Média, China, Índia e Arábia ..... 167
Alcuim ................................................................................. 171
Gerbert ................................................................................. 172
China .................................................................................... 172
Índia ..................................................................................... 178
Aryabhata ............................................................................. 179
Brahmagupta ........................................................................ 180
Bhaskara ............................................................................. 183
Arábia .................................................................................. 185
Al-Khowarizmi .................................................................... 187
Abu’l-wefa, Omar Khayyam .............................................. 189
Al-Tusi, Al-Kashi ................................................................ 191
Aurora do Renascimento .............................................. 195
Fibonacci ............................................................................. 196
Nemorarius, Sacrobosco, Bacon .......................................... 198
Bacon ................................................................................... 199
Dante, Oresme ..................................................................... 200
Oresme ................................................................................. 201

O Renascimento ............................................................... 209
Nicolau de Cusa .................................................................... 211
Peurbach, Regiomontanus .................................................... 212
Copérnico ............................................................................. 214
Giordano Bruno .................................................................... 218
Tycho Brahe ......................................................................... 220
Kepler ................................................................................... 223
Galileu .................................................................................. 226
Pacioli ................................................................................... 230
Leonardo da Vinci ................................................................ 232
Rafael .................................................................................... 233
Stifel ..................................................................................... 234
Recorde ................................................................................. 235
Tartaglia, Cardano ................................................................ 236
Cardano................................................................................. 237
Bombelli ............................................................................... 240
Viète ..................................................................................... 241
Mercator ............................................................................... 244
Napier ................................................................................... 245
Briggs ................................................................................... 246
Stevin .................................................................................... 248
Inícios da matemática moderna ................................. 251
Descartes ............................................................................... 252
Cavalieri ............................................................................... 257
Fermat ................................................................................... 260
Pascal .................................................................................... 264
Wallis .................................................................................... 267
Barrow .................................................................................. 269
Newton ................................................................................. 270
Leibniz .................................................................................. 277
O século das luzes .......................................................... 283
Euler ..................................................................................... 286
D’Alembert ........................................................................... 289
Lagrange ............................................................................... 290
Laplace ................................................................................. 292
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A matemática se estruturou ........................................ 297
Gauss ................................................................................... 299
Riemann ............................................................................... 304
Bolzano ................................................................................ 305
Cauchy ................................................................................. 307
Weierstrass ........................................................................... 310
Os problemas de Hilbert ...................................................... 311
A matemática propiciou maravilhas ......................... 317
Einstein ................................................................................ 320
Referências bilbliográficas........................................... 327
Sobre o autor ................................................................... 332

Por Por que que história?
história?
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
O objetivo da história não é apenas o de narrar e constatar fatos
do passado, mas buscar as suas origens e as suas conseqüências.
Quando nos propomos estudar a história de um país ou de um
povo, ou simplesmente um determinado episódio histórico, não nos
deve mover somente um interesse anedótico ou mera curiosidade.
Também não se pode resumi-la a uma exaltação de heróis para
incentivo da juventude, ou mera recordação de nossas glórias
passadas.
O que queremos da história é muito mais do que isso. Ela não se
pode limitar a uma simples enumeração cronológica dos fatos, mas
deve buscar as relações entre eles, aprofundar, descer às suas raízes,
até encontrar as causas desses fatos, numa espécie de anamnese
social, assim como o médico que, ao examinar um doente, para
maior firmeza do diagnóstico, desce a todos os seus antecedentes
pessoais e familiares.
Encarada a história como ciência, com suas características de
método e relação com a realidade, um mundo novo surge aos nossos
olhos, por trás de cada fato ou acontecimento. Desse modo ela nos
permite não só explicar o presente, e compreender o passado, mas
também prever o futuro, ou pelo menos, antever as perspectivas do
desenvolvimento de cada fato estudado, na medida do nosso
conhecimento das causas e das leis que as governam.
A história não se desenvolve como força espiritual absoluta
independente da existência dos homens, como queria Hegel. Ela
nasce, ao contrário, da atividade do homem sobre a Terra e é
condicionada e delimitada por leis objetivas, independentes da
vontade humana. Karl Marx (1818 – 1883) enfatizava em A
Ideologia Alemã que a história é a mais alta, a mais nobre e a mais
importante das ciências.
Assim sendo, se é verdade que os homens fazem a história
condicionados por leis indestrutíveis, não é menos verdade que,
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conhecendo as leis que a regem, eles podem traçar, dentro de dados
limites, o seu próprio destino. E se o objetivo do homem sobre a
Terra é buscar a felicidade, dentro de uma comunidade harmônica,
só o estudo da história, e o conhecimento das leis que regem o
desenvolvimento das sociedades, poderão ajudá-lo.
É possível que o mesmo aconteça com a Matemática ou com a
Ciência em geral. Torna-se difícil, senão impossível, compreender o
seu estágio atual sem o estudo concomitante da história das idéias
científicas. Talvez por isso é que Göethe (1749-1832) afirmava que
a história da Ciência é a própria Ciência. Sem o conhecimento da
evolução das idéias, do choque das hipóteses e das teorias, podemos
criar bons técnicos, mas não cientistas verdadeiros. Muito maior
interesse educativo apresenta o conhecimento da maneira pela qual o
cientista trabalha, das suas fontes de inspiração, da árvore
filogenética de seus pensamentos, do que a pura e simples massa de
fatos por ele descobertos. O estudo da História da Ciência poderá ser
o guia da luta do homem contra o mistério.
Por Por que que História História História da da Matemática?
Matemática?
Por vários motivos, mas o principal seria dar subsídios para o
futuro professor no tratamento de um programa no ensino
fundamental e médio ou na universidade.
Pode-se destacar alguns exemplos de dificuldades encontradas
pelo homem, no desenvolvimento da matemática, que serão motivos
de reflexão para o futuro educador.
• Os números negativos, introduzidos pelos hindus de espírito
prático, por volta de 600 d.c. não tiveram aceitação durante um
milênio. A razão: faltava-lhes apoio intuitivo. Alguns dos maiores
matemáticos tais como Cardano, Viète, Descartes e Fermat,
recusaram-se a operar com números negativos. Assim é razoável
que para ensinar números negativos devemos ter cuidado. Para o
aluno das séries iniciais o conceito e as operações podem não ser tão
naturais.
• O uso de uma letra para representar um número fixo, porém
desconhecido, data dos tempos gregos. Contudo, o uso de uma letra

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ou letras para representar toda uma classe de números só foi
concebido em fins do século XVI. Nesse tempo François Viète
introduziu expressões como ax + b em que a e b podem ser qualquer
número (real positivo). Hoje está claro que ao resolver a equação
quadrática ax² + bx + c = 0, pode-se solucionar todas as equações
quadráticas porque a, b e c representam quaisquer números.
Durante todos os séculos em que os babilônicos, egípcios, gregos,
hindus e árabes operaram com álgebra não ocorrera a idéia de
empregar as letras para uma classe de números. Aqueles povos
faziam suas operações de álgebra empregando expressões concretas
tais como 3x² + 5x + 6 = 0, ou seja, usavam sempre coeficientes
numéricos e, na verdade, a maioria não usava sequer um símbolo tal
como x para a incógnita. Usavam palavras.
Por que demorou tanto tempo para o uso de letras para coeficientes
gerais? Ao que parece, a resposta é que esse processo constitui um
nível superior de abstração em matemática, um nível bastante
afastado da intuição.
• A teoria de limites com épsilons e deltas é do final do século XIX
e com ela colocou-se um ponto final nas controvérsias sobre a
questão do rigor no cálculo. No entanto o cálculo existe desde a
Grécia antiga com Eudoxo e Arquimedes. O que acontece hoje?
Apresentamos a teoria de limites aos alunos como algo muito
“natural”. “Natural” mas incoerente com o desenvolvimento
histórico do Cálculo.
Parece claro que os conceitos que têm o sentido mais intuitivo,
como os geométricos, os de números inteiros positivos e os de
frações foram aceitos e utilizados primeiramente. Os menos
intuitivos tais como os de números irracionais, números negativos, o
uso de letras para coeficientes gerais e os do cálculo exigiram
muitos séculos, quer para serem criados, quer para serem aceitos.
Além disso, quando foram aceitos não foi apenas a lógica que
induziu os matemáticos a adotá-los, porém os argumentos por
analogia, o sentido físico de alguns conceitos e a obtenção dos
resultados científicos exatos.
Não há muita dúvida de que as dificuldades que os grandes
matemáticos encontraram, são precisamente os tropeços que os
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estudantes experimentam. Assim, através da história da
matemática o ensino da matemática poderá alcançar objetivos que
vão além do fortemente marcado “desenvolver o raciocínio lógico”;
porque ela mostra a matemática como expressão de cultura, a
matemática como uma forma de comunicação humana.
Refletindo um pouco mais sobre a questão “Por que História da
Matemática?” deve-se lembrar que o conhecimento é um todo e a
matemática faz parte desse todo. Ela não se desenvolveu à parte de
outras atividades e interesses. Talvez uma grande falha no ensino da
matemática é tentar abordá-la como disciplina isolada. E esse
processo, sem dúvida, é uma distorção do verdadeiro conhecimento.
Provavelmente por isso, muitos jovens se sintam humilhados
por não compreenderem muitos símbolos e regras, longe da intuição.
Generaliza-se, então, uma certa aversão pela disciplina e a
Matemática torna-se para muitos como algo inatingível. Cria-se o
mito do gênio ou que a Matemática é somente para loucos e gênios.
Essa aversão tende também a desvalorizar um ramo do
conhecimento dos mais importantes.
É sempre bom lembrar que além da aritmética das necessidades
cotidianas, a matemática tem muito a oferecer. Ela é a chave para
nossa compreensão do mundo físico, dá-nos o poder sobre a
natureza; e deu ao homem a convicção de que ele pode continuar a
sondar os seus segredos.
A matemática tem possibilitado aos pintores a pintar
realisticamente e fornecido não só a compreensão dos sons musicais
como também uma análise desses sons, indispensável na
planificação do telefone, do rádio e de outros instrumentos de
registro e reprodução de sons. Ela está se tornando cada vez mais
valiosa na pesquisa biológica e médica. A pergunta “Que é
verdade?” não pode ser discutida sem envolver o papel que a
matemática tem exercido ao convencer o homem de que ele pode ou
não obter verdades. Muito de nossa literatura está permeado de
temas que tratam de realizações matemáticas. Finalmente, a
matemática é indispensável em nossa tecnologia.
Portanto, o curso de História da Matemática pode ser a
oportunidade para se discutir tudo isso, e, como disse Plutarco, “a
mente não é uma vasilha para ser enchida, porém, um fogo para se
atear” e, segundo Henri Poincaré (1854-1912), “Os zoólogos

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afirmam que num breve período, o desenvolvimento do embrião
de um animal recapitula a história de seus antepassados de todas as
épocas geológicas. Parece que o mesmo se dá no desenvolvimento
da mente. A tarefa do educador é fazer a mente da criança passar
pelo que seus pais passaram, atravessar rapidamente certos
estágios, mas sem omitir um. Para esse fim a história da Ciência
deve ser nosso guia.”
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ORIGENS ORIGENS PRIMITIVAS
PRIMITIVAS
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Se quisermos pesquisar a origem histórica das primeiras noções
matemáticas, seremos levados a fontes da chamada pré-história. É
provável que a percepção de que certos grupos podem ser colocados
em correspondência um a um, tenha surgido há uns 300.000 anos. O
homem primitivo não sabia contar e nem precisava, pois conseguia
com certa facilidade caça, pesca e frutas. Quando essas começaram
a se tornar escassas, ele teve necessidade de se sedentarizar, por isso
passou a criar animais e praticar a agricultura. Da necessidade, por
exemplo, de preservação do rebanho, aprendeu a contar as ovelhas,
mesmo sem conhecer os números. As primeiras contagens eram
feitas com os dedos (que pode ter dado origem ao sistema decimal),
quando estes eram inadequados, passaram a usar montes de pedras
(calculus em latim) e como tais métodos não eram muito seguros
para conservar informação, o homem primitivo registrava um
número com marcas num bastão, pedaço de osso ou no barro.
Descobertas arqueológicas fornecem provas de que a idéia de
número é muito mais antiga do que progressos tecnológicos como o
uso de metais ou de veículos com rodas.
Supõe-se usualmente que a matemática surgiu em resposta a
necessidades práticas, mas estudos antropológicos sugerem a
possibilidade de uma outra origem. Foi sugerido que a arte de contar
surgiu em conexão com rituais religiosos primitivos e que o aspecto
ordinal precedeu o conceito quantitativo.
Em ritos cerimoniais, representando mitos da criação, era
necessário chamar os participantes à cena segundo uma ordem
específica, e talvez a contagem tenha sido inventada para resolver tal
problema.
Esse ponto de vista, embora esteja longe de ser provado, estaria
em harmonia com a divisão ritual dos inteiros em ímpares e pares,
os primeiros considerados como masculinos e os últimos, como
femininos.
Sábios gregos não quiseram se arriscar a propor origens mais
antigas da matemática do que a egípcia. Heródoto afirmava que
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a geometria se originou no Egito, pois acreditava que tinha
surgido da necessidade prática de fazer novas medidas de terras após
cada inundação anual no vale do Nilo. Aristóteles achava que a
existência no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres é que tinha
conduzido ao estudo da geometria.
Que os primórdios da matemática são mais antigos que as mais
antigas civilizações está claro. As teses apresentadas acima são até
discutíveis mas não podemos desprezar os conhecimentos
matemáticos envolvidos nas diversas atividades humanas. A seguir
apresentamos exemplos de algumas atividades em que podemos
identificar imediatamente elementos matemáticos no trabalho
humano: ornamentação (vasos, armas); produção de rodas (sem ou
com raios); plantações (irrigação, divisão de terras); edificações
(monumentos); pastoreio (contagem); comércio (trocas, moedas);
orientação no tempo e no espaço (calendários, mapas). Nesse
sentido é interessante observar que muitas vezes o pensamento
matemático desenvolveu-se de maneira semelhante em sociedades
totalmente independentes. Foi o que aconteceu, por exemplo, com o
Egito e a Mesopotâmia por volta do ano 2000 a.C.

EGITO
EGITO
“O Egito é um presente do Nilo” (Heródoto)
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Entre 4000 e 3000 a.C., na idade Neolítica (ou da Pedra Polida)
tivemos culturas bem estabelecidas na Mesopotâmia e no Egito. Ali
se formaram as primeiras cidades e estados organizados, mas as
duas regiões deram origem a civilizações um tanto diferentes.
O Egito era uma região centrada no Nilo, com ambiente hostil
no sul e nas fronteiras leste e oeste. Na verdade, era como uma ilha,
limitado ao norte pelo mar Mediterrâneo e em suas outras fronteiras,
pelo deserto. De várias maneiras, a civilização egípcia mostrou-se
isolada, era conservadora e voltada para si mesma; e, de um modo
geral, não estava interessada na expansão e na conquista de outras
terras. Para um egípcio antigo, o Egito era um universo autosuficiente:
tinha seus deuses independentes e seu modo de vida
especial. A língua egípcia e a escrita hieroglífica desenvolveram-se
de mãos dadas; o próprio sistema de hieróglifos era insular,
impróprio para expressar qualquer outra língua, e, na
correspondência diplomática com outros países, usava-se um
sistema de escrita diferente. Efetivamente, os antigos egípcios
viviam em isolamento cultural.
Mas, se o isolamento era a característica fundamental do antigo
Egito, sua civilização foi, contudo, magnífica; era olhada com inveja
pelos que circundavam suas fronteiras, e somente os desertos a sua
volta, impediram que se tornassem vítima de vizinhos ciumentos. Na
realidade, alguns nômades se estabeleceram na área esparsamente
povoada do delta do Nilo, mas não perturbaram a natureza,
basicamente pacífica, do país, que era essencialmente uma terra de
agricultores e escribas.
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A inundação anual do Nilo, que ocorria regulamente em julho,
era o alicerce da vida egípcia. Havia um sistema bem organizado de
irrigação e tomava-se um cuidado especial com as águas disponíveis
por ocasião da cheia anual. Boas colheitas eram a regra geral –
muitas vezes três por ano – e havia belos rebanhos de gado, a
maioria em pastagens na área do delta. Nenhum egípcio se
sacrificava trabalhando uma terra hostil e árida para a sua
sobrevivência, embora os métodos agrícolas fossem primitivos e
conservadores.
A história do Egito começa com o primeiro faraó, chamado
Menes, que uniu num só, o Alto e Baixo Egito por volta de 3360
a.C. e, exceto por dois períodos de instabilidade, manteve-se unido
por mais de 2000 anos.
Os principais períodos de domínio unificado são: o Antigo
Império, ou Época das Pirâmides, de 3000 a 2475 a.C. Esse período
assinala um progresso rápido no domínio das forças mecânicas (das
pirâmides, apenas 80 de conservaram de modo completo). O
segundo, o Império Médio ou Época Feudal, de 2160 a 1788 a.C.,
caracteriza-se pelo desenvolvimento intelectual e pelo comércio
exterior. Formaram-se bibliotecas de rolos de papiro e os navios
cruzavam os mares Egeu e Vermelho. O terceiro período, o do Novo
Império, estende-se de 1580 a 1150 a.C., sendo a época das grandes
construções.

17
Os soberanos eram os faraós, cujo despotismo era temperado
por ideais de responsabilidade em relação ao povo comum;
considerando-se os tempos primitivos em que viveram, eles
realmente procuraram fazer com que seus súditos tivessem vida feliz
e razoavelmente confortável (apesar da escravidão); governava pela
lei, que parece ter sido geralmente justa. Além do faraó e da família
real, os sacerdotes, os nobres e os guerreiros pertenciam às classes
privilegiadas. Na classe média encontravam-se os escribas, os
comerciantes, os artesãos e os camponeses e, os servos ocupavam as
classes inferiores.
O Egito tinha uma grande e eficiente administração. A maior
parte dela parece ter sido centrada nas grandes construções de
templos, embora, periodicamente, os próprios faraós demonstrassem
grande capacidade administrativa. A administração padronizou
pesos e medidas, enquanto seus funcionários, os escribas, em grande
parte clérigos, escreviam em hieróglifos ou na escrita hierática ou
sacerdotal, mais correntemente usada. Os egípcios escreviam em
papiros, produzidos no país desde épocas primitivas; parecem ter
sido usados antes de 3500 a.C. Eram feitos com o cerne de uma alta
ciperácea (Cyperus papyrus) que se encontrava em abundância nos
pântanos ao redor do delta e sua manufatura em folhas era simples.
Tratava-se do material ideal para ser usado nas secas condições do
Oriente Médio e foi empregado em grande quantidade em Roma. No
clima mais úmido da Europa, o papiro era menos estável, mas, no
Egito, era superior a qualquer outro material para escrita.
Permaneceu em uso até o nono século depois de Cristo. O papiro era
também usado como alimento(os brotos), como combustível(as
raízes), e ainda, para se fazer cestos, cordas, esteiras, sandálias e até
pequenos barcos. A propósito, é interessante notar que os gregos,
que consideravam os egípcios um povo de imensa sabedoria,
chamavam uma folha de papiro de “biblion”, da qual deriva a
palavra “bíblia”; a palavra “papel” é derivada de “papiro”, embora
na verdade, o papel seja um material bem diferente e tenha sido
inventado pelos chineses e não pelos egípcios.
O fato de os gregos terem superestimado a sabedoria egípcia
pode ter resultado, pelo menos em parte, da impressão causada
naqueles que visitaram o Egito e ficaram maravilhados com as
magníficas construções que lá encontraram e, na verdade, a
18
construção era uma das maiores formas de expressão desse povo. O
vale do Nilo é uma vasta pedreira e, embora tivessem de importar
toda a madeira de que precisava, da Líbia ou da Síria, logo
aprenderam a manusear os materiais locais. Eram peritos cortadores
de pedras, soberbos escultores, pintavam bem e eram mestres
artífices em metais, especialmente o ouro.
A habilidade dos egípcios na construção de grandes edifícios e
estátuas, não é, por si mesma, uma ciência: havia o que hoje
chamaríamos de princípios de mecânica, mas parece que inexistia
um conjunto básico de conhecimentos científicos ou uma teoria em
que os construtores pudessem se basear. Seu valor como
construtores era alicerçado em sólida experiência pratica e num
instinto para a engenharia estrutural. Realmente, os egípcios
parecem ter sido essencialmente um povo muito prático, mais
voltado para resultados efetivos do que para a filosofia dos
princípios básicos concernentes. A curto prazo, essa atitude traz
sucesso, mas, a longo prazo, não encoraja nem a especulação e nem
idéias novas. Isso significa, por exemplo, que quando Akhenaton
construiu seu grande templo em Carnac, no ano de 1370 a.C., as
técnicas usadas não foram substancialmente diferentes das utilizadas
por Quéops cerca de treze séculos antes.
A falta de interesse dos egípcios pela reflexão filosófica e a
tendência para o aspecto prático podem ser observadas mesmo na
astronomia. Para eles, a astronomia era a base utilitária necessária
para a marcação do tempo. Os astrônomos egípcios não estavam
preocupados com teorias a respeito do Sol e da Lua., nem com
quaisquer idéias a respeito do movimento dos planetas, embora
soubessem que os planetas se moviam entre as estrela fixas.
O calendário nos dá um exemplo de êxito brilhante obtido pela
ciência egípcia. O ano egípcio, por volta de 2.500 a.C., contém 365
dias como o nosso. Os meses repartem-se em três estações de quatro
meses cada uma: inundação, inverno e verão.
A A MATEMÁTICA MATEMÁTICA EGÍPCIA EGÍPCIA
EGÍPCIA
A matemática no Egito, a exemplo da astronomia, não era em
si mesma, considerada uma forma de conhecimento independente
de sua aplicação, como aconteceria na Grécia. Assim, a pesquisa dos

princípios matemáticos era desprezível e não havia uma teoria
básica de aritmética ou geometria e sim procedimentos práticos.
As As As fontes
fontes
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Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu
aos desgastes do tempo por mais de três e meio milênios. Os
principais de natureza matemática são o Papiro Rhind, o Papiro de
Moscou e o Papiro de Berlim, copiados em escrita hierática.
● O Papiro Rhind, o mais extenso, mede 0,30 m de largura por 5 m
de comprimento, e também
o mais importante,
encontra-se no Museu
Britânico. Foi adquirido em
1858 numa cidade à beira
do Nilo, pelo antiquário
escocês, Alexander Henry
Rhind (1833-1866), daí a
origem do seu nome, muito
embora seja conhecido
também, como Papiro
Ahmes em honra ao escriba
que o copiou por volta de
1650 a.C de outro mais
antigo, provavelmente de
1800 a,C. Trata-se de um texto na forma de manual prático que
contém 85 problemas, enunciados e resolvidos, e logo no início
apresenta uma interessante proposta: “Guia para conhecimento de
todas as coisas obscuras”. Quando chegou ao Museu Britânico esse
Papiro não estava completo, formado de duas partes, e faltava-lhe a
porção central. Cerca de quatro anos depois de Rhind ter adquirido
seu papiro, o egiptólogo norte americano Edwin Smith comprou no
Egito o que pensou que fosse um papiro médico. A aquisição de
Smith foi doada à Sociedade Histórica de Nova York em 1932,
quando os especialistasdescobriram por sob uma camada fraudulenta
a parte que faltava do Papiro Ahmes. A sociedade, então, doou
o rolo ao Museu Britânico, completando-se assim a obra original.
20
● O Papiro de Moscou ou Golenischev é de 1850 a,C. e encontrase
no Museu de Belas Artes de Moscou. Foi adquirido no Egito em
1893 pelo colecionador russo Golenischev, mede 0,07m de largura
por 5m de comprimento e contém 25 problemas.
● Quanto ao Papiro de Berlim não dispomos das informações
seguras dos anteriores, apenas que está muito deteriorado.
A seguir, o mais importante da matemática contida nesses três
papiros.
Aritmética
Aritmética
Sistema de numeração
O sistema de numeração dos egípcios era decimal aditivo (não
posicional).
Ressalta-se que não eram conhecidos os números negativos e
nem o zero.
Quadro de hieróglifos
Símbolo egípcio descrição nosso número
bastão 1
calcanhar 10
rolo de corda 100
flor de lótus 1000
dedo apontando 10000
peixe 100000
homem 1000000

21
Por exemplo, o número 12345, se escrevia como
As quatro operações
Adição: 24 + 97
e é igual a
Subtração: 12 – 7
O raciocínio era: quanto se deve somar a 7 para formar 12?
Multiplicação:
Enquanto hoje aprende-se as tabuadas de somar e de multiplicar
até 10, o que permite efetuar todas as operações simples, os egípcios
usavam apenas a tabuada do 2. Para multiplicar um número dado,
por um multiplicador maior que 2, realizavam uma série de
“duplicações”, o que lhes permitia fazer todas as multiplicações,
sem na realidade, recorrerem à memória.
Por exemplo, para multiplicar 13 por 7. o escriba opera da
seguinte maneira:
- 1 7
2 14
- 4 28
- 8 56
Escreve, na coluna da direita o fator 7 e na da esquerda 1; dobra,
em seguida, os números das duas colunas, até obter, por adição de
números da coluna da esquerda, o valor do outro fator. No exemplo
dado, 13 é obtido pela adição de 1, 4 e 8. Chegando a esse ponto da
operação, marca-se com um traço os números que tomou e soma, em
seguida, os números correspondentes da coluna da direita, ou seja,
7 + 28 + 56 = 91. Portanto a adição desses números lhe dá o
resultado da multiplicação. Como se verificou, o escriba só operou
com adições e é nisso que reside o caráter “aditivo” da aritmética
egípcia.
22
Outros exemplos: resolução de 4 x 3 e 12 x 16
1 3 1 16
2 6 2 32
- 4 12 - 4 64
- 8 128
4 x 3 = 12 12 x 16 = (4 + 8) x 16 = 64 + 128 = 192
Divisão:
Na divisão usava-se o mesmo processo da multiplicação, mas
em sentido inverso. Assim, para dividir 168 por 8, o escriba
dispunha os cálculos, como no caso de uma multiplicação:
1 8 –
2 16
4 32 –
8 64
16 128 –
Feito isso, procura-se na coluna da direita (e não na da esquerda
como na multiplicação) os números que, somados, darão o
dividendo 168. No nosso exemplo, toma-se os números 8, 32 e 128
e marca-se com um traço os correspondentes da coluna da esquerda,
a saber: 1, 4 e 16, que somados perfazem 21, que é o quociente da
divisão.
Facilmente depara-se com divisões não exatas, como por
exemplo, 168 dividido por 9:
1 9
2 18 –
4 36
8 72
16 144 –
Não se conseguindo a soma do dividendo na coluna da direita,
assinala-se os números cuja soma mais se aproxima do dividendo,
no caso 144 + 18 = 162. Portanto tem-se o quociente 16 + 2 = 18 e o
resto 168 – 162 = 6.

Frações
Notações especiais:
23
O estudo de frações surgiu por necessidade prática, quando as
divisões não eram exatas, como vimos no exemplo anterior.
2
Com exceção de que era representado por os egípcios
3
usavam apenas frações unitárias, ou seja, com numerador igual a 1.
Na escrita a fração era expressa por meio do signo , que
significa parte ou porção, sendo que o denominador é escrito abaixo
ou ao seu lado.
Exemplos:
1
1
1
276
5
43
1
2
Outras frações de denominador
potência de 2, encontram-se
representadas no olho do deus Horo, que
combina o udjat (olho humano) com as manchas coloridas que
envolvem o olho de um falcão.
Operações com frações:
Recusando-se a priori a conceber uma fração que não tivesse
numerador 1, boa parte do seu trabalho era dedicado a escrever uma
2
certa fração como soma de frações de numerador 1. Por exemplo,
5
1 1
escrevia-se como + . É possível que para essas transformações
3 15
2 1 1
fossem utilizadas fórmulas do tipo: = + ou
n n + 1 n(
n + 1)
2 2
2 1 1
= + . Por isso, os cálculos que utilizavam
pq p(
p + q ) q(
p + q )
2 2
frações ocupam a maior parte do Papiro Rhind.
1
4
24
O princípio dessas operações é idêntico ao utilizado para os
números inteiros: a “duplicação” sistemática. Quando o
denominador da fração a duplicar era um número par, não havia
qualquer dificuldade: bastava dividi-lo por 2. Por exemplo, para a
1
operação simples 7 x , o escriba egípcio colocaria como
8
habitualmente.
1
- 1
8
1
- 2
4
1
- 4
2
Sendo a soma dos números da primeira coluna igual ao
multiplicador 7, transcreveria diretamente o resultado:
1 1 1 1
7 x = + +
8 2 4 8
Mas, no caso de uma operação com denominadores ímpares, o
sistema adotado torna-se inoperantes e é necessário encontrar um
meio de superar a dificuldade.
2
Qualquer fração da forma , em que n é um número ímpar,
n
pode ser decomposta numa soma de duas ou mais frações, cujo
2 1 1
numerador é 1. Assim, como vimos pode escrever-se + . Os
5
3 15
egípcios conheciam bem esse fato e, como a decomposição de
frações implica cálculos longos e delicados, estabeleceram uma
2
tábua modelo de decomposição, começando em e chegando em
5
101
2 . Essa tábua, que desempenhava um papel considerável no
ensino, constitui a parte mais importante do Papiro Rhind. Eis um
exemplo de como ela se apresenta:

Dividir 2 por 41:
1
8
a
* 1
328
Modo de realizar a operação:
1
2
3
1
3
1
6
1
12
1
24
41
2 1
1 + corresponde a
3 24
1
27
3
2
13
3
2 1
6 +
3 6
1 1
3 +
3 12
17 2 1
1 = 1 +
24 3 24
1 1
resto +
6 8
Total 1 41
/2 82
/4 164
/6 246
/8 328
1
6
1
8
* 1
,
24
1
6
a
* 1
246
e
25
Segundo os nossos métodos habituais, exporíamos assim a
2 1 1 1
resposta do problema: = + +
41 24 246 328
A técnica dos escribas para chegar ao resultado é difícil de ser
acompanhada e os próprios matemáticos não estão totalmente de
acordo quanto ao método utilizado. É possível, aliás, que não
26
houvesse de início, um método bem definido e que os escribas
chegassem ao resultado por meio de tentativas sucessivas. Nem por
isso deixa de ser assombrosa a facilidade e a segurança com que os
egípcios manejavam suas frações; posteriormente os gregos e os
romanos adotaram esse método.
Partições proporcionais
É possível que os egípcios tenham adquirido uma grande
habilidade no manejo das frações devido ao sistema econômico e
social da realeza faraônica. Conheceram tardiamente a moeda,
somente por ocasião da conquista persa. Todo o comércio, até o
mais indispensável à vida, realizava-se através da troca.
Além disso, a propriedade privada era, ao que parece, das mais
limitadas; a terra, na maioria dos casos, pertencia ao rei ou aos
templos. Um sistema social dessa natureza, em que o indivíduo em
tudo depende necessariamente de seu empregador, no caso do faraó
ou dos sacerdotes, implica, dada a ausência de qualquer padrão
monetário, em enorme contabilidade material. De um lado, para o
controle da produção no fornecimento de sementes, instrumentos,
matérias primas, etc.; e, de outro, para a divisão dos bens de
consumo tais como alimento, roupa, etc., entre os diversos membros
das comunidades artesanais ou agrícolas. Competia ao escriba
repartir os recursos acumulados nos celeiros do estado ou dos
templos e daí a importância dos problemas de partições
proporcionais na aritmética. Esse fato também explica o motivo pelo
qual os escribas permaneceram fiéis ao sistema das frações de
numerador 1, que facilitava a divisão dos objetos e gêneros
alimentícios.
2 1
Dividir 7 pães entre 10 homens: deve-se multiplicar + por
3 30
10. Resultado 7.

Modo de realizar a operação:
2 1
1
+
3 30
1 1
− 2 1 +
3 15
2 1 1
4 2 + +
3 10 30
1 1 1
− 8 5 + +
3 15 5
1 1 1 1 1
5 + + + 1 + = 7
3 15 5 3 15
Total: 7 pães; é exatamente isso. (Papiro Rhind, problema 4)
Outros processos aritméticos
27
Para poder resolver todos os problemas da vida cotidiana, os
egípcios tiveram de realizar diversas operações aritméticas, tais
como elevar um número ao quadrado e extrair raízes quadradas. À
raiz quadrada concedem o nome de “canto”. Esse termo deriva
claramente da representação de um quadrado cortado em diagonal e
mostra até que ponto os egípcios mantiveram-se ao nível concreto,
onde outros povos teriam recorrido à abstração. No Papiro de
1
Berlim, há o cálculo correto das raízes quadradas de 6 e de
4
1 1
1 + , mas não sabemos se essas extrações foram obtidas
2 16
segundo um processo determinado ou se o escriba chegou ao
resultado por meras tentativas.
As proporções desempenharam um papel essencial na
aritmética egípcia.
28
Progressões Aritmética e Geométrica
Ora, sabe-se que a hierarquia era fortemente acentuada na
sociedade. A diferença de posição na escala social era marcada pelo
direito a uma parte considerável em todas as partilhas, daí porque o
escriba se defronta, frequentemente, com problemas do seguinte
tipo:
1
(da parte) dos 3 primeiros para os 2
100 pães para 5 homens, 7
últimos homens. Qual será a diferença entre as partes? (Papiro
Rhind, problema 40).
Parece que de acordo com a maneira pela qual o escriba o
resolve, o problema consiste em dividir 100 pães entre 5 homens de
tal modo que as partes estejam em progressão aritmética e que a
1
soma das duas menores seja da soma das maiores.
7
O método empregado não é claro, talvez porque os cálculos
indicados sejam tentativas sucessivas; entretanto a solução é correta:
1 1 5 2
as partes deverão ser de 38 , 29 , 20,
10 e 1 , números que
3
6
satisfazem as condições do problema.
Os matemáticos egípcios tinham, portanto, uma idéia confusa,
sem dúvida, da progressão aritmética. Outro problema
mostra que conheciam também a progressão geométrica; o seu
enunciado apresenta-se de maneira algo misteriosa.
Inventário de um patrimônio:
7 casas Modo de realizar a operação:
49 gatos -1 2801
343 camundongos -2 5602
2401 espigas de trigo -4 11204
16807 alqueires
Total: 19607 (Papiro Rhind, problema 79)
6
3

29
Parece razoável supor que havia um patrimônio composto de 7
casas, cada casa possuía 7 gatos, cada gato matava 7 camundongos,
cada camundongo comia 7 espigas de trigo, cada espiga de trigo
teria produzido 7 alqueires. Quanto se obteria no conjunto?
O total contém a soma de tudo o que é mencionado e nada significa
no nosso entender. Devemos notar que não se chega a esse total pela
soma dos números da enumeração, mas pela multiplicação de 2801
por 7; o que nos conduz à soma dos termos da seqüência (7, 49, 343,
2401, 16807), que é uma progressão geométrica de razão 7.
Álgebra
Álgebra
Uma série de problemas cuja finalidade é tão utilitária como a
daqueles que vimos até agora, indica um conhecimento razoável, por
parte dos egípcios, de laboriosas técnicas de resolução de equações
algébricas.
Nesses problemas são pedidos o que equivale a soluções de
equações lineares da forma x + ax = b ou x + ax + bx = c onde a, b e
c são números racionais positivos conhecidos e x é desconhecido. A
incógnita é chamada de “aha” (palavra egípcia que significa “pilha”,
“monte”).
Exemplo 1:
O problema 24 do Papiro Rhind, pede o valor de aha sabendo-se
que aha mais um sétimo de aha dá 19. Nas nossas notações seria
x
resolver a equação x + 19 . A solução é característica de um
7 =
processo conhecido como “método de falsa posição” ou “regra do
falso”. Um valor específico, provavelmente falso, é atribuído para
aha, e as operações indicadas à esquerda do sinal de igualdade são
efetuadas sobre esse número suposto. O resultado é então
comparado com o resultado que se pretende, e, usando regra de três,
chega-se à resposta correta.
Nesse exemplo o valor tentado para a incógnita é 7, de
1
modo que 7 + 7 = 8 em vez de 19.
7
30
1 1
Como 8 ( 2 + + ) = 19 deve-se multiplicar 7 por
4 8
1 1
obter a resposta 16 + + , isto é, 7 8
2 8
x 19
x 19 1
= = 2 + +
7 8 4
1
8
1 1
⇒ x = 7 ( 2 + + )
4 8
Pode-se conferir a resposta verificando que se a
1 1
2 + + para
4 8
1
2
x = 16 + +
1 1 1
somarmos de x (que é 2 + + ) de fato obteremos 19.
7
4 8
Aqui notamos outro passo significativo do desenvolvimento da
matemática, pois a verificação é um exemplo simples de prova.
Exemplo 2:
2 1
Instrução para dividir 700 pães entre 4 pessoas, para uma,
3 2
1 1
para a segunda, para a terceira e para a quarta.
3
4
Modo de realizar a operação:
2 1 1 1
1 1
Some , , , , o que dá 1 + + .
3 2 3 4
2 4
1 1 1 1
Divida 1 por 1 + + o que dá + .
2 4 2 14
1 1
Agora ache + de 700, que é 400.
2 14
Tudo se passa então, como se estivéssemos resolvendo a equação:
2 1 1 1
x + x + x + x = 700 pela mesma técnica usada hoje, porém
3 2 3 4
de forma retórica. (Papiro Rhind, problema 63)
1
8

31
O estudo dos “problemas aha” levantou a questão de saber se os
egípcios conheceram a álgebra. Com efeito, esses problemas
exprimem as nossas equações de primeiro grau, e alguns deles se
prendem até mesmo a equações do segundo grau. Alguns autores
não hesitaram em reconhecer o fato. No entanto, é preciso admitir
que subsistem dúvidas a respeito.
Há um exemplo, pelo menos, no Papiro de Berlim que não
deixa dúvidas. Trata-se de um problema de partilha que não se
refere a pão ou cerveja ou a qualquer outra coisa do cotidiano. Esse
problema tem o seguinte enunciado:
A soma das áreas de dois quadrados é 100 unidades, sendo que
3
a medida de um lado é da medida do outro. Quais são os lados?
4
Em notação atual escreveríamos:
2 2
3
2 9 2
x + y = 100,
onde y = x,
ou seja, x + x = 100
4
16
Na solução que propõe, o escriba não emprega símbolos como x
ou y. Parte de um número arbitrário 1, por exemplo e, em
3
conseqüência, também de . Eleva esses números ao quadrado e
4
1 1 9
soma os resultados, ou seja, 1 + ( = 1 ); extrai a raiz quadrada
2 16 16
1
do total, isto é, 1 . Procede em seguida à extração da raiz quadrada
4
1
de 100, ou seja, 10, número que representa 1 x8.
Admite-se então
4
que o número base, arbitrário, deve ser multiplicado por 8, para se
3
obter a solução: 8 x 1 e 8 x , ou 8 e 6, o que é exato. (Papiro de
4
Berlim).
Geometria
Geometria
No campo da geometria, são propostos problemas dependentes
do uso de fórmulas numéricas, não abstratas, que não são deduzidas
32
no texto. Tais problemas incluem o cálculo de área de campos
limitados por linhas retas ou por arcos de circunferência,
considerando-se no primeiro caso apenas triângulos, retângulos e
trapézios. Também se estuda o volume do tronco de pirâmide
quadrática.
O clássico problema da “quadratura do círculo” é abordado,
256
obtendo-se para o número π a aproximação de = 3,1604...
que,
comparada com a verdadeira, 3,1415..., representa um resultado
excelente para a época.
Os autores gregos fazem particular menção dos métodos de
agrimensura usados pelos egípcios, devido às cheias do Nilo que
destruíam as demarcações. Segundo conta Heródoto, Sesóstris tinha
dividido as terras em retângulos iguais entre todos os egípcios, de
modo que todos pagavam o mesmo tributo. Quem perdesse parte de
sua terra em conseqüência da cheia devia comunicar ao rei, que
mandava então um inspetor calcular a perda e fazer um desconto
proporcional no imposto. Foi assim que nasceu a geometria
(literalmente: medição de terras).
Área do triângulo isósceles
Calcular a superfície de um campo triangular de 10 côvados de
altura e 4 côvados de base.
B’ A
C’
B C
81
Modo de realizar a operação:
1 400
1
2
200
1 1000
2 2000
Resposta: sua superfície é de 2000
côvados (Papiro Rhind, problema 51)

Área do círculo (Considerado o maior êxito dos egípcios).
Calcular uma porção de terra circular, cujo diâmetro é de 9
varas. Qual a sua superfície?
Subtrair 1 da nona parte dela. Resta 8; então, multiplicar oito
vezes oito, resultando 64. A superfície é de 6 kha e 4 setat.
33
Modo de realizar a operação:
1 9
1
9
daquilo 1
Subtrai daquilo, resta 8
1 8
2 16
4 32
8 64
Resposta: a superfície da terra é de 6kha (escrito 60) e 4 setat
(Papiro Rhind, problema 50)
Na verdade, na engenhosa resolução anterior há indícios de que
⎛ 8 ⎞
para calcular a área do círculo, era usada a fórmula: A = ⎜ d ⎟⎠ ,
⎝ 9
sendo d o diâmetro. Assim,
π = 3, 1604 .
⎛ 8 ⎞
A = ⎜ 2r
⎟
⎝ 9 ⎠
256 2
= r . Logo,
81
Essa aproximação de π , obtido empiricamente era muito mais
exata que o valor 3 utilizado pela maioria dos povos antigos do
Oriente.
Área de um quadrilátero
No templo de Horo, em Edfu, foi encontrado inscrições de uma
fórmula para o cálculo de áreas de quadriláteros, que em notação
atual é:
2
2
34
⎛ a + c ⎞⎛
b + d ⎞
S = ⎜ ⎟⎜
⎟ , sendo a, b, c, d, os lados do quadrilátero.
⎝ 2 ⎠⎝
2 ⎠
Essa fórmula é muito prática, porém conduz a erros sempre
que o quadrilátero não tiver a regularidade do quadrado ou do
retângulo. Para trapézios e losangos, por exemplo, os resultados
encontrados são bem maiores que os verdadeiros.
Portanto, os egípcios sabiam calcular a área do triângulo, de
quadriláteros e do círculo, bem como o volume de alguns sólidos
elementares, inclusive o tronco de pirâmide de altura h e bases
quadradas, com os lados a e b, respectivamente.
h 2
2
V = ( a + ab + b ) (Papiro de Moscou)
3
Finalizando, pode-se dizer que a matemática dos egípcios
apresenta as seguintes características por volta de 2000 a.C.:
conhecimentos bastante desenvolvidos sobre as operações com
números inteiros e frações, um método para resolver equações do
primeiro grau com uma incógnita, diversas fórmulas, tanto exatas
como aproximadas, para a área de figuras planas e sólidos
elementares e, ainda, um método aproximado para calcular a área de
um círculo de raio determinado.
Exercícios
Exercícios
a
1. Quais são as três mais importantes contribuições do Egito ao
desenvolvimento da matemática? Explique porque as considera
importantes.
2. Explique quais são as três mais importantes deficiências da
matemática egípcia.
3. Escreva o número 7654 em forma hieroglífica egípcia.

35
4. Resolva pelo método da falsa posição a equação 16
2 =
x
x +
(Problema 25 do Papiro Rhind).
5. Encontre 101 : 16, exprimindo o resultado em hieróglifos
egípcios.
6. Até que ponto é correto dizer que os egípcios conheciam a área do
círculo?
2
7. Exprima como soma de duas frações unitárias diferentes e
103
escreva-as em notação hieroglífica.
8. Por que você acha que os egípcios preferiam a decomposição
2 1 1
2 1 1
= + à alternativa = + ?
15 10 30
15 12 20
2
9. Mostre que se n é um múltiplo de três, pode ser decomposto na
n
1
soma de duas frações unitárias, uma sendo a metade de .
n
2
10. Mostre que se n é um múltiplo de 5, pode ser decomposto na
n
1
soma de duas frações unitárias, uma sendo um terço de .
n
36

MESOPOTÂMIA
MESOPOTÂMIA
Admira, meu filho, a sabedoria divina que fez o rio passar bem perto da
cidade! (autor desconhecido)
37
A Mesopotâmia, a terra “Entre os Rios”, ocupa a área aluvial
plana entre o Tigre e o Eufrates, onde hoje se situa o Iraque. Entre a
atual Bagdá e o golfo Pérsico, a terra se inclina suavemente,
originando uma diferença de altura total de apenas dez metros;
assim os rios correm vagarosamente, depositando grandes
quantidades de sedimentos, inundando suas margens e mudando
ligeiramente de curso, de tempos em tempos. No extremo sul, há
pântanos e brejos de juncos. O suprimento de água é irregular e a
precipitação pluvial, pequena. Desse modo o cultivo deve ser feito
próximo aos rios ou apoiado pela irrigação. Ao norte o solo das
planícies é compacto e impróprio para as culturas durante oito meses
do ano.
Embora não tivesse uma área própria para a cultura, como o
Egito, possuía um enorme suprimento de matérias primas, produtos
38
agrícolas, incluindo animais, peixes e tamareiras, e desde cedo
surgiu a indústria de juncos, que fornecia produtos de fibra da
planta, assim como os próprios juncos. Além disso, há fontes de
betume e pedra calcária a oeste, mas não há madeira, exceto o tipo
inferior obtido das tamareiras, apropriado apenas para confecção de
vigas toscas, do mesmo modo não existem pedras duras, havendo
ainda pouco metal.
Durante toda a sua história, a Mesopotâmia vivia praticamente
do comércio; particularmente, a parte sul se tornou um vasto
mercado e um centro de troca e disseminação de idéias.
A civilização mesopotâmia, bem antes dos árabes atuais, se
formou literalmente de uma mistura de povos. Sumérios, acádios,
amoritas, assírios, hititas, caldeus, medos e babilônios. A
Mesopotâmia é tida como vale turbulento e isso pode ser
confirmado quer pelos grandes degelos imprevisíveis (nas
montanhas da Síria e Turquia) que provocam cheias nos rios, quer
pelas lutas constantes pelo poder entre esses povos.
Temos assim, a Mesopotâmia como uma região
economicamente próspera e militarmente organizada, que possuía
uma agricultura avançada, bem como um sistema de captação de
impostos que financiava a expansão de uma cultura sofisticada para
os padrões da época. Foi nessa região, que por volta de 3500 a.C.
nasceu a escrita, invenção dos sumérios, caracterizada por marcas
cuneiformes em placas de argila (mais ou menos 30 x 50 cm)
cozidas ao sol. Milhares dessas placas, hoje conservadas em museus
norte americanos e europeus, traduzidas, revelaram a existência de
uma matemática original e de medidas sistemáticas do tempo.
O conhecimento das estações do ano foi fundamental para o
desenvolvimento da agricultura. O ano mesopotâmio, em 2000 a.C.,
tinha 360 dias, divididos em doze meses. Relógios solares
assinalavam a passagem do tempo e o dia já era dividido em horas,
minutos e segundos. Com a observação do movimento aparente do
Sol e dos planetas entre as estrelas fixas foram nomeados os sete
dias da semana com os nomes do Sol, da Lua e dos outros cinco
planetas conhecidos (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno).
Foi traçada, também, a trajetória percorrida pelo Sol, dividindo-a em
doze partes associadas a animais míticos e denominadas de signos
do zodíaco.

39
O Universo era representado como uma caixa fechada, cujo
fundo era a Terra. Observações de muitos fenômenos astronômicos,
como eclipses do Sol e da Lua e as posições de Vênus, estão
registradas em placas de argila. Com essas observações os
astrólogos mesopotâmios tiveram muito sucesso na interpretação de
sonhos e na prática de realizar previsões.
Devemos destacar que os povos que viveram na “terra entre
dois rios” deixaram uma ciência prática, sem a preocupação de
fundamentar metafísica ou teologicamente os fatos.
A MATEMÁTICA MESOPOTÂMIA
O que se sabe sobre a matemática mesopotâmia é relativamente
recente. Data, na realidade, dos trabalhos de Otto Neugebauer (1899
– 1990) que por volta de 1930 liderou as pesquisas em Princeton,
realizando um estudo exaustivo em cerca de dez mil placas de
argila, buscando reconstruir os conceitos aritméticos e geométricos
daquela civilização, por volta de 2000 a.C.
De um modo geral, os textos matemáticos mesopotâmios
(grande parte de matemática financeira) podem ser classificados em
duas categorias: as tábuas numéricas e as de problemas. As
primeiras quase não diferem das tábuas modernas e as outras são
coletâneas didáticas de exercícios.
Nos textos de caráter geométrico é freqüente a presença de
figuras, muitas vezes acompanhadas de uma legenda numérica. São
figuras simples que servem apenas para ilustrar o enunciado, nunca
interferem na solução, e, geralmente, não eram respeitadas as
proporções. Dessa forma podemos dizer que os mesopotâmios
souberam calcular “corretamente” com figuras falsas.
Aritmética
Por volta do ano 2000 a. C. era usado pelos mesopotâmios uma
combinação de dois sistemas de numeração, um de base dez e o
outro posicional de base sessenta e, sem dúvidas, essas
características originais não foram encontradas em qualquer outro
40
sistema de numeração da antiguidade. Como exemplo escrevemos o
número:
3904 = 4 + 9.10² + 3.10³ na base 10 e 3904 = 1.60² + 5.60 + 4 na
base 60.
Os números inteiros positivos eram expressos, em geral,
mediante o emprego de dois sinais básicos: = 1 e = 10.
De 1 a 59, os números são expressos pela repetição dos sinais
correspondentes a 1 e 10, sendo as unidades precedidas pelas
dezenas.
Exemplos:
2 11
= 520 = 8.60 + 40
= 2 + 2. 60 + 2.60² ou 1 + 1.60 + 1.60² +
+1.60³ + 2.60 4 ou 2.60 -1 + 2 + 2.60.
Muitas vezes o contexto eliminava a ambigüidade e, a falta de
um símbolo para o zero, deve ter sido muito inconveniente. Tanto
que no período selêucida, ao tempo de Alexandre, melhoraram a
notação adotando duas cunhas inclinadas para sua representação.
Atualmente para escrevermos números na base 60 com os
nossos numerais, utilizamos a seguinte notação:
2,31,8 = 8 + 31.60 + 2.60²
0;4,6 = 0 + 4.60 -1 + 6.60 -2
2,14;5,7 = 14 + 2.60 + 5.60 -1 + 7.60 -2
Operações
59
As operações eram realizadas da mesma maneira que fazemos
hoje.
20
60

41
Na subtração usavam a idéia de “chegar”: 16 para chegar no 40
é 24.
Na multiplicação e divisão utilizavam tabelas auxiliares. Por
8
exemplo, para se calcular , multiplicava-se por 8 o valor que
15
1
constava na tabela para .
15
Havia tabelas também para recíprocos, quadrados, cubos, raízes
quadradas e cúbicas.
Exemplo de uma tabela de recíprocos:
2 30
3 20
4 15
5 12
6 10
8 7;30
9 6;40
10 6
12 5
Nessa tabela, notamos a ausência dos recíprocos de 7 e 11,
porque são sexagesimais infinitos, que chamavam de irregulares.
Juros compostos
Tabelas de potências sucessivas de um dado número,
semelhantes as nossas de logaritmos, eram utilizadas para resolver
questões específicas, como por exemplo, temos o problema a seguir,
resolvido por interpolação.
Quanto tempo levaria uma quantia em dinheiro para dobrar, a
20% ao ano? A resposta dada é 3;47,13,20.
Parece que o escriba aplicou interpolação linear entre os valores
(1;12)³ e (1;12) 4 , usando a fórmula para juros compostos
42
n
0 ( r ) em que r = 20% ou 12.60 -1 , e C0 é a quantia
C = C 1 +
inicial colocada a juros, usando valores de uma tabela exponencial
com potências de 1;12.
Raiz quadrada
Os matemáticos mesopotâmios foram hábeis no
desenvolvimento de processos algorítmicos, entre os quais um para
extrair raiz quadrada, que descreveremos a seguir.
Algoritmo para a , sendo a um número inteiro positivo.
a
Sejam a1 uma primeira aproximação dessa raiz e b =
a
(se
1
1
a1 é por falta, b1 é por excesso e vice-versa). Logo a média
1 1 a
aritmética a2 = (a1 + b1) = ( a1
+ ) é uma nova aproximação
2
2 a
plausível. A seguir, avaliamos
1
a
b 2 = e a média aritmética
a
1
1 a
a3
= ( a2
+ b2
) = ( a2
+
2
2 a2
) para obtermos um resultado
melhor. O processo pode ser continuado indefinidamente.
Exemplo: calcular 17
Modo de realizar a operação:
a = 17, a1 = 4, 4² = 16
17 1 17
Logo b1 = e a2 = ( 4 + ) = 4,
125.
4 2 4
17
1 17
A seguir, b2 = = 4,1212 e a3 = ( 4,
125 + ) = 4,1231
4,
125
2 4,
125
Assim 17 ≅ a3
2

43
Com esse método, os mesopotâmios encontraram 2 como
1,414222 que é uma ótima aproximação. Aliás tinham facilidade em
aproximações, talvez pela notação posicional para frações que foi a
melhor até a Renascença.
Álgebra
De uma forma discursiva, com poucos símbolos para as
incógnitas, os mesopotâmios sabiam resolver, sem o uso de
fórmulas, a equação do primeiro grau, sistemas lineares com duas
incógnitas, equação do segundo grau, sistemas do segundo grau com
duas incógnitas e equações biquadradas.
Sistemas lineares
⎧ 1
⎪x
+ y = 7
⎨ 4
⎪
⎩x
+ y = 10
Equação do 2º grau
Solução :
4.7 = 28
28 −10
= 18
18 : 3 = 6 → x
10 − 6 = 4 → y
Para o egípcios era muito difícil resolver equações do tipo x² -
px = q, mas os mesopotâmios resolviam seguindo uma receita.
Problema: Qual o lado de um quadrado tal que a área menos o
lado perfaz 14,30?
A solução desse problema equivale a resolver x² - x = 870 (base
10) ou x² - x = 14,30 (base 60).
Solução: x² = 1.x + 14,30
Tome a metade de 1, que é 0;30 e multiplique 0;30 por 0;30, o
que dá 0;15. Some isto a 14,30, o que dá 10,30;15 que é o quadrado
de 29;30. Agora some 0;30 a 29;30 e o resultado é 30, o lado do
quadrado.
p 2 p
A solução equivale exatamente à fórmula x = ( ) + q +
para uma raiz da equação x² - px = q.
No final de cada solução, escreviam “este é o procedimento”.
2
2
44
Transformações algébricas
Muitas vezes usavam transformações algébricas, algo avançado
para a época. Assim dada a equação 11x² + 7x = 6;15, procurava-se
chegar no tipo padrão x² - px = q e para isso, multiplicando por 11
ambos os membros de 11x² + 7x = 6;15 temos:
(11x)² + 11.7x = 11.6;15 = 1;18;45
Fazendo y = 11x, temos y² + 7y = 1;18;45 que pode ser
p 2 p
resolvida pela fórmula y = ( ) + q + e depois se calcula o
2
valor de x.
Sabiam também passar da equação ax 4 + bx² = c para ay² + by
= c.
Resolviam uma equação do 2º grau com duas incógnitas, como
2 2 ⎧x
+ y = 21,
15
⎪
por exemplo ⎨ 1
⎪x
= y
⎩ 7
Equações cúbicas
Não há registro no Egito de resolução de uma equação cúbica,
mas entre os mesopotâmios há muitos exemplos. Cúbicas puras
como x³ = 0;7,30 eram resolvidas por tabelas de cubos e raízes
cúbicas, e a solução era 0;30. Para melhor aproximar resultados
usavam frequentemente interpolação linear.
Com a tabela de inteiros n³ + n² resolviam cúbicas como x³ + x²
= a. Por exemplo verifica-se que x³ + x² = 4,12 tem solução 6.
Resolviam também, cúbicas do tipo 144x³ + 12x² = 21.
Multiplicavam por 12, os dois membros e, fazendo y = 12x a
equação tornava-se y³ + y² = 4,12, da qual se encontrava y = 6, e
finalmente x = 1/2 ou 0;30.
É possível até que tenham resolvido cúbicas completas: ax³ + bx² +
cx = d.
2

Teoria Teoria dos dos Números
Números
45
O desenvolvimento da matemática mesopotâmia teve o seu
apogeu por volta de 1800 a.C. Ao contrário de outros povos, deramse
ao luxo de formular problemas matemáticos de características
eminentemente especulativas. Na placa de argila 322 da Coleção
Plimpton da Universidade de Columbia, Nova York, estudada por
Neugebauer em 1945, temos uma tabela com 15 linhas por 4
colunas, sendo que 3 delas, após um ajuste nos cálculos, estão
relacionadas entre si como as conhecidas ternas pitagóricas. Na
linha 4, por exemplo, encontramos a = 3,31,49; b = 3,45,0 e
c = 5,9,1 que satisfazem a relação a² + b² = c², em que a, b, c são
lados de um triângulo retângulo. Assim, aproximadamente, mil anos
antes de Pitágoras nascer, já era conhecido entre os rios Tigre e
Eufrates o famoso teorema atribuído ao sábio grego.
Outro documento, provavelmente do tempo dos Caldeus,
apresenta identidades interessantes: 1 + 2 + 2² +...+ 2 9 = 2 10 – 1 e
1 20
1² + 2² + ... + 10² = = ( + )( 1+
2 + ... + 10 ) .
3 3
Geometria
Geometria
A geometria mesopotâmia, como a dos egípcios, é
extremamente pobre quando comparada a dos gregos. Não havia
definições e teoremas; era essencialmente uma álgebra aplicada e
figuras. Limitava-se ao cálculo da diagonal do quadrado, altura do
triângulo eqüilátero, áreas de triângulos, retângulos e trapézios, bem
como aproximação da área do círculo, que conheciam como sendo o
quadrado do comprimento da circunferência dividido por 12.
Conheciam, portanto, o valor de π como sendo 3.
46
Na placa Plimpton 355 destacam-se números que muito se
aproximam da tangente e secante de alguns ângulos, embora, sabese
hoje, não conhecessem a trigonometria. Analisando a Plimpton
470, destaca-se o cálculo aproximado do volume do tronco de cone,
cilindro e pirâmide, quando esses resultados eram aplicados às suas
construções, bem como ao comércio de ouro e prata. Curioso é que
não sabiam calcular o volume da esfera, ou melhor, as aproximações
que fizeram foram extremamente grosseiras.
Exercícios Exercícios
Exercícios
1. Quais são as mais importantes contribuições da Mesopotâmia ao
desenvolvimento da matemática? Explique porque as considera
importantes.
2. Quais são as deficiências da matemática mesopotâmia? Explique.
3. Descreva as vantagens e desvantagens relativas as notações dos
mesopotâmios para os números,
4. Escreva os números 10000 e 0,0862 em notação mesopotâmia.
5. Use o algoritmo mesopotâmio para raiz quadrada para encontrar a
raiz quadrada de 2, com seis casas decimais e compare com o valor
mesopotâmio 1;24,51,10.
6. Mostre que a representação sexagesimal de 1/7 tem periodicidade
de três casas. Quantas casas há na periodicidade em representação
decimal?

GRÉCIA
GRÉCIA
“Em matemática todos os caminhos levam à Grécia” (Thomas Heath)
47
A chegada dos dórios, no século XII a.C., às circunvizinhanças
do mar Egeu, constitui momento decisivo na formação do povo e da
cultura grega. Na península e nas ilhas – cenário natural da Grécia
em gestação – está então instalada a civilização micênica ou
aqueana, que se desenvolvera em estreita ligação com a civilização
cretense e em contato com povos orientais.
A sociedade micênica apresenta-se composta por grande
número de famílias principescas, que reinam sobre pequenas
comunidades. Essa pluralidade, decorrente da originária divisão em
clãs, é fortalecida pelas próprias características físicas da região: o
relevo, compartimentando o território, torna alguns locais mais
facilmente interligáveis através do mar.
Assim, muito antes que as condições geográficas contribuam
para que as cidades-estados venham a se desenvolver como unidades
autônomas, já são motivo para que, desde suas raízes micênicas, a
cultura grega se constitua voltada para o mar: via de comunicação e
de comércio com outros povos, de intercâmbio e de confronto com
outras civilizações.
48
Chegando em bandos sucessivos, vindos do norte, os dórios
dominam a região. Embora da mesma raiz étnica dos aqueus,
apresentam índice civilizatório mais baixo. Possuem, porém, uma
incontestável superioridade: o uso de utensílios e armas de ferro,
fator decisivo para a vitória sobre os micênicos que permaneciam na
Idade do Bronze.
As invasões dóricas acarretam migrações de grupos de aqueus,
que se transferem para as ilhas e as costas da Ásia Menor (Turquia)
e ali fundam colônias, tentando preservar suas tradições, suas
instituições e sua organização social de cunho patriarcal e gentílico.
As novas condições de vida das colônias e a nova mentalidade
delas decorrentes encontram sua primeira expressão através das
epopéias: em poesia o homem grego canta o declínio das arcaicas
formas de viver ou pensar, enquanto prepara o futuro advento da era
científica e filosófica que a Grécia conhecerá a partir do século VI
a.C.
Resultantes da fusão de lendas eólias e jônicas, as epopéias
incorporaram relatos mais ou menos fabulosos sobre expedições
marítimas e elementos provenientes do contato do mundo helênico,
em sua fase de formação, com culturas orientais. A língua desses
primeiros poemas da literatura ocidental é uma mistura dos dialetos
eólio e jônico, com predominância do último. Entremeando lendas e
ocorrências históricas – relatando particularmente os acontecimentos
referentes à derrocada da sociedade micênica – surgem então cantos
e sagas que os aedos (poetas e declamadores ambulantes)
continuamente foram enriquecendo. Constituídos por seqüências de
episódios relativos a um mesmo evento ou a um mesmo herói,
surgem, assim, “ciclos” que cantam principalmente as duas guerras
de Tebas e a Guerra de Tróia. Desses numerosos poemas, apenas
dois se conservaram: a Ilíada e a Odisséia de Homero, escritos entre
os séculos X e VIII a.C.
HOMERO HOMERO (século X a.C.)
Da vida de Homero praticamente nada se sabe com segurança,
embora dados semilendários sobre ele fossem transmitidos desde a
antiguidade. Sete cidades gregas reivindicam a honra de ter sido sua
terra natal. Homero é frequentemente descrito como velho e cego,

49
perambulando de cidade em cidade, a declamar seus versos.
Chegou-se mesmo a duvidar de sua existência e de que a Ilíada e a
Odisséia fossem obra de uma só pessoa. Poderiam ser coletâneas de
contos populares de antigos aedos e, ainda que tenha existido um
poeta chamado Homero que realizou a compilação desse material e
enriqueceu com contribuições próprias, o certo é que essas obras
contêm passagens procedentes de épocas diversas.
Além de informar sobre a organização da polis arcaica, as
epopéias homéricas são a primeira expressão documentada da visão
mitopoética dos gregos. A intervenção benéfica ou maléfica dos
deuses está no âmago da psicologia dos heróis de Homero e
comanda suas ações. Com efeito, a Ilíada e a Odisséia apresentamse
marcadas pela presença constante de poderes superiores que
interferem na luta entre gregos e troianos (tema da Ilíada) e nas
aventuras de Ulisses ou Odisseu (tema da Odisséia).
Nas epopéias homéricas, mesmo quando representam forças da
natureza, os deuses revestem-se de forma humana; esse
antropomorfismo atribui-lhes aspecto familiar e até certo ponto
inteligível, afastando os terrores relativos a forças obscuras e
incontroláveis. Sobrepondo-se a arcaicas formas de religiosidade,
Homero exclui do Olimpo, mundo dos deuses, as formas
monstruosas da mesma maneira que exclui do culto as práticas
mágicas.
A racionalização do divino conduz a uma religiosidade
“exterior”, que mais convém ao público a que se dirigem as
epopéias: à polis aristocrática.
Essa religiosidade “apolínea” permanecerá como uma das
linhas fundamentais da religião grega: a do sentido político que
servirá para justificar as tradições e instituições da cidade-estado.
É por oposição aos homens que os deuses homéricos se
definem: ao contrário dos humanos, seres terrenos, os deuses são
princípios celestes; à diferença dos mortais, escapam à velhice e à
morte. Escapam à morte, mas não são eternos nem estão fora do
tempo: em princípio pode-se saber de quem cada divindade é filho
ou filha. A imortalidade, esta sim, está indissoluvelmente ligada aos
deuses que, por oposição aos humanos mortais, são frequentemente
designados de “os imortais” e constituem, na sua organização e em
seu comportamento, uma sociedade imortal de nobres celestes.
50
Em Homero, a noção de virtude (areté) significava o mais alto
ideal cavalheiresco aliado a uma conduta cortesã e ao heroísmo
guerreiro. Identificada a atributos da nobreza, a areté, em seu mais
amplo sentido, designava não apenas a excelência humana, como
também a superioridade de seres não-humanos, como a força dos
deuses ou a rapidez dos cavalos nobres. Em geral, a virtude
significava força e destreza dos guerreiros ou dos lutadores, valor
heróico intimamente vinculado à força física. A virtude em Homero
é, portanto, atributo dos nobres, os aristoi; uma minoria que se eleva
acima da multidão de homens comuns.
HESÍODO HESÍODO (século VIII a.C.)
O complexo processo de formação do povo e da cultura grega
determinou o aparecimento dentro do mundo helênico, de áreas
bastante diferenciadas, não só quanto às atividades econômicas e às
instituições políticas, mas também quanto à própria mentalidade e
suas manifestações nos campos da arte, da religião, do pensamento.
À Grécia Continental, mais presa às tradições da polis arcaica,
contrapunham-se as colônias da Ásia Menor, situadas em regiões
mais distantes pelo intercâmbio comercial e cultural com outros
povos. Da Jônia surgem as epopéias homéricas e, a partir do século
VI a.C., as primeiras formulações filosóficas e científicas dos
pensadores de Mileto, de Samos, de Éfeso. Entre esses dois
momentos de manifestação do processo de racionalização da cultura
grega, situa-se a obra poética de Hesíodo – voz que se eleva da
Grécia Continental – conjugando as conquistas da nova mentalidade
surgida nas colônias da Ásia Menor com os temas extraídos de sua
gente e de sua terra.
Hesíodo foi um mestre da poesia instrutiva; viveu em Ascra, na
Beócia, e é exaltado agora por seus dois poemas, A Teogonia e Os
trabalhos e os dias. O primeiro pode ser chamado de genealogia dos
deuses. Os trabalhos e os dias referem-se, basicamente, a regras de
agricultura e navegação, embora também forneça um calendário de
dias felizes e infelizes e ofereça uma homilia moral.
Com Hesíodo dá-se a aparição do subjetivo na literatura. Na
épica mais antiga, o poeta era o simples veículo anônimo das Musas;
já Hesíodo “assina” sua obra para fazer história pessoal.

51
Tomando como ponto de partida velhos mitos, que coordena e
enriquece, Hesíodo traça uma genealogia sistemática das divindades.
O drama teogônico tem início, com a apresentação das entidades
primordiais. Adotando implicitamente o postulado de que tudo tem
origem, Hesíodo mostra que primeiro teve origem o Caos – abismo
sem fundo – e, em seguida, a Terra e o Amor (Eros), “criador de
toda a vida”.
As duras condições de trabalho de sua gente sugerem assim a
Hesíodo uma visão pessimista da humanidade, perseguida pela
animosidade dos deuses. E a mulher deixa de ser exaltada, como na
visão aristocrática de Homero, para ser caracterizada, por esse
camponês, como mais uma boca a alimentar e a exigir sacrifícios;
“Raça maldita de mulheres, terrível flagelo instalado no meio dos
homens mortais”.
Do mesmo modo que o mito de Prometeu ilustra a idéia de
trabalho, o mito das Idades (de ouro, prata, bronze e ferro) ilustra a
idéia de justiça; nenhum homem pode furtar-se à lei do trabalho,
assim como evitar a justiça. Com Hesíodo surge a noção de que a
virtude (areté) é filha do esforço e a de que o trabalho é o
fundamento e a salvaguarda da justiça.
A A A MATEMÁTICA MATEMÁTICA GREGA
GREGA
Hoje nos referimos à matemática grega, de forma inadequada,
como um corpo de doutrina homogêneo e bem definido. Na verdade
com essa visão simplista adotamos que a geometria sofisticada do
tipo Euclides – Arquimedes – Apolônio, era a única espécie que os
gregos conheciam. Devemos lembrar que a matemática no mundo
grego cobriu um intervalo de tempo indo pelo menos de 600 a.C. a
600 d,C. e que viajou da Jônia à ponta da Itália, de Atenas a
Alexandria, e a outras partes do mundo civilizado. Bastam os
intervalos de tempo e espaço para produzir modificações na
profundidade e extensão da atividade matemática e, a ciência grega
não tinha a uniformidade, século após século, encontrada nos
egípcios e mesopotâmios. Além disso, mesmo num dado tempo e
lugar (como hoje em nossa civilização) havia marcadas diferenças
no nível de interesse e realização matemática. Veremos como até na
52
obra de um único indivíduo, como Ptolomeu, poderia haver dois
tipos de estudos – O Almajesto para os racionalistas e o Tetrabiblos
para os místicos. É provável que sempre houvesse pelo menos dois
níveis de percepção matemática, mas que a escassez de obras
preservadas, especialmente do nível inferior, tenda a obscurecer esse
fato.
Períodos Períodos da da da História História História da da Matemática Matemática Grega
Grega
Não houve, é claro, uma quebra brusca marcando a transição da
liderança intelectual dos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates para as
margens do Mediterrâneo, pois o tempo e a história fluem
continuamente. Os estudiosos egípcios e mesopotâmios continuaram
sua produção durante muitos séculos, após 800 a.C., mas enquanto
isso, uma nova civilização se preparava rapidamente para assumir a
hegemonia cultural, não só na região mediterrânea, mas também nos
principais vales fluviais.
A primeira fase da “idade do mar” é chamada de Helênica e,
conseqüentemente, as culturas mais antigas são ditas pré-helênicas.
A seguir, uma subdivisão da matemática grega que, a exemplo
de muitas que existem, é arbitrária e convencional.
Período Helênico: vai até a morte de Alexandre (323 a.C.)
Nesse período destacamos duas fases principais: a primeira présocrática
desenvolvida nas Ilhas Jônicas, Ásia Menor, Sul da Itália e
Sicília, ligadas às escolas filosóficas de Mileto, Samos, Èfeso e Eléia
e a segunda, nos séculos V e IV a.C., tendo Atenas como centro
principal.
Período Helenístico: vai de 323 a.C. até o início de nossa era.
É o período de consolidação e também o mais rico do ponto de
vista matemático. Surge um novo tipo de intelectual inexistente no
período anterior: o especialista, o erudito.
Os expoentes desse período são Euclides, Arquimedes e
Apolônio. Os principais centros são Alexandria, Rodes e Pérgamo.

53
Período Greco-Romano: vai até 300 d.C.
Nesse período a matemática sofreu influência de outras
culturas: egípcias, mesopotâmias e romanas.
O principal centro ainda é Alexandria e os nomes de destaque
são Ptolomeu, Heron, Diofanto e Papus.
Período da Decadência: Greco-Romano – vai até 640 d.C.
Os romanos, talvez preocupados com aspectos práticos de uma
forma exagerada, desprezavam a filosofia e a ciência pela ciência.
Isso não é suficiente para explicar a decadência, mas não havendo
especulações não haverá inovações. Nesse período era mal usado
tudo o que já conheciam de períodos anteriores.
As As As fontes
fontes
São escassas as fontes de informações sobre as idéias científicas
dos gregos. Alguns dos mais importantes tratados só são conhecidos
pelo titulo, por citações esparsas, ou indiretamente, através de
traduções árabes.
A seguir apresentamos algumas obras que tornaram-se
importantes referências sobre o desenvolvimento da matemática
grega.
● História da Geometria, escrito em 330 a.C., por Eudemo de
Rodes, um discípulo de Aristóteles. Trata-se de uma obra que se
perdeu e que é considerada o primeiro livro de História da
Matemática.
● Arranjo das matemáticas de Gêmino de Rodes escrito em 70 a.C.
contém dados históricos. Essa obra perdeu-se, mas alguns de seus
trechos são citados por autores de época posterior.
● Regras matemáticas necessárias para o estudo de Platão de Téon
de Esmirna escrito em 140 d,C.
● Coleção Matemática de Papus (século III d.C), em oito volumes,
contém muitos informes relativos ao anterior desenvolvimento da
geometria.
54
● Comentário ao Livro I de Euclides acrescido do Sumário
Eudemiano de Proclo (410-485), um filósofo neoplatônico. Uma
obra que ainda existe que contém grandes evidências de o autor ter
usado o livro de Eudemo que nos referimos anteriormente. De tal
modo que acrescentou ao seu Comentário um Sumário ou Extrato
denominado de Sumário Eudemiano. Trata-se de um breve resumo
do desenvolvimento da geometria grega, apresentando uma lista dos
primeiros matemáticos, de Tales até Euclides. Um fato interessante é
que Proclo deixou fora da lista os filósofos atomistas. Demócrito,
por exemplo, foi um grande matemático não relacionado.
Esses exemplos mostram que as fontes relativas à matemática
grega são: cópias e compilações de obras, às vezes, realizadas vários
séculos antes; traduções de obras gregas para o árabe ou para o
latim, e, finalmente temos ainda as referências indiretas..
Faltam para a matemática grega fontes originais como as que
tivemos para o Egito e a Mesopotâmia. Parece contraditório que
uma matemática tão rica, sofisticada não seja documentada. O
campo é fértil e é um convite à discussão, mas o que não podemos
esquecer é a grande tradição oral, presente em todos os ramos de
conhecimento na Grécia, além, é claro, dos grandes incêndios que
destruíram, várias vezes, as principais bibliotecas.
Sistemas de Numeração
Para os gregos, números eram os inteiros positivos. As frações
eram muito usadas mas como a razão entre dois inteiros.
O curioso é que nem mesmo os grandes nomes da matemática
operaram com os números negativos e o zero.
A crise inicial causada pelo aparecimento dos irracionais foi
superada, considerando esses incomensuráveis como grandezas,
como medida de um segmento. Assim 2 não era, como hoje, um
número irracional, mas a medida da diagonal de um quadrado de
lado 1.
Uma matemática essencialmente geométrica apresentava dois
sistemas de numeração muito distantes da praticidade do nosso
posicional de base 10.

• Período mais antigo (sistema ático) – sistema de base 10.
| = 1| | = 2 | | | = 3 | | | | = 4
Γ = 5 (penta) Γ | = 6 ∆ = 10 (deka)
Η = 100 (hekaton) Χ = 1000 (khilioi)
Μ = 10000 (myrioi)
Eram usados os princípios aditivo e multiplicativo:
∆ = 5⋅10 = 50
Exemplo:
45678 = MMMM X H H ∆ ∆∆
• Sistema Jônico ou Alfabético ( usado a partir de 500 a.C.)
Α
Β
Γ
∆
Ε
F
Ζ
Η
Θ
H
X
M
Tabela de associação de letras e números:
α
β
γ
δ
ε
ς
ζ
= 500
= 5000
= 50000
η
θ
alfa
beta
gama
delta
epsilon
stigma
dzeta
eta
theta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
55
56
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
q
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
S
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
ο
π
Q
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
s
iota
capa
lambda
mi
ni
csi
ómicron
pi
koppa
ró
sigma
tau
upsilon
fi
khi
psi
omega
sampi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
300
400
500
600
700
800
900
A partir daí, uma linha antes da letra multiplica-a por 1000 e
essa letra como expoente de Μ , fica multiplicada por 10000.
Exemplos:
/
/
/
α
β
γ
1000
2000
3000
/
/
/
δ
ε
ς
4000
5000
6000
/
/
/
ζ
η
θ
7000
8000
9000
/ ηϖ π η 8888 / α σ ν δ 11254
Μ α
Μ
Μ
Μ
α
β
γ
10000
20000
30000

Exemplo de multiplicação:
Μ
Μ
δ
σξε
σξε
Μ
α
/
/
α
/
β
/
β
/
γ χ τ
α τ κ ε
Μ σ κ ε
ζ
α
265
265
40000,
12000, 1000
12000,
1000,
70225
3600,
300,
300
25
57
Para efetuar cálculos eram utilizados seixos ou alguma espécie
de ábaco. A divisão era um processo extremamente laborioso que
consistia em repetidas subtrações. Extraíam raízes quadradas
aproximadas e, em geral, usavam frações unitárias. Para denotá-las,
usava-se uma linha como expoente da letra correspondente ao
denominador.
Exemplos:
/ 1
β
2
/ 1
µα
41
/ 2
βγ
3
Para os gregos, havia uma nítida distinção entre a arte de
calcular (logística) e a ciência dos números (aritmética). A primeira
era considerada indigna da atenção dos filósofos.
58

O O RACIONALISMO RACIONALISMO RACIONALISMO JÔNICO JÔNICO E E OS
OS
PITAGÓRICOS
PITAGÓRICOS
PITAGÓRICOS
Primeira Primeira fase fase do do Período Período Período Helênico Helênico
Helênico
“Para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas sim, como o
sabemos” (Aristóteles)
TALES TALES (625 – 558 a.C.)
59
De origem fenícia, Tales de Mileto é considerado o primeiro
filósofo, e o primeiro matemático da história, segundo o Sumário de
Proclo, já eferido. Mileto, na Ásia Menor (estaria hoje na Turquia)
foi a primeira cidade a despontar culturalmente na Grécia Antiga,
que já era composta por cidades-estados independentes.
Sobre a vida de Tales, é difícil saber o que é verdadeiro e o que
é lenda. Como engenheiro, foi encarregado de construir uma represa
no rio Halys. Como comerciante, negociou com sal e azeite e,
visitando o Egito, assimilou um pouco da ciência dos sacerdotes.
Dedicou-se aos estudos das estrelas não menos que ao da geometria,
e conseguiu prever para 585 a.C. um eclipse do Sol.
Essa previsão valeu a Tales uma grande reputação entre os seus
contemporâneos, tanto que foi considerado um dos sete sábios da
Grécia, se bem que essa escolha, parece ter tido mormente política.
Nenhum dos outros seis, pelo menos, possuía autoridade científica.
Tales ensinou que o ano contava 365 dias, que a Lua é
iluminada pelo Sol e que o eclipse, até então, castigo dos deuses,
poderia ser explicado.
Sua filosofia consistia em procurar uma essência (unidade) para
todas as coisas. Para ele esse princípio unificador seria a água e essa
seria a primeira explicação do mundo de forma material. Para Tales,
a Terra era um disco circular a flutuar num oceano de água e
juntamente com seu discípulo Anaximandro foi o primeiro a afirmar
que a Terra era redonda, ou melhor, esférica.
60
A água seria, portanto, o elemento fundamental do Cosmos. O
gelo, a neve e a geada convertem-se facilmente em água, e as
próprias rochas se desfazem e desaparecem na água. Também o
homem parece ser capaz de converter-se em água, enquanto que as
águas do mar e da terra se condensam em resíduos sólidos. Pela
evaporação da água forma-se o ar e é a agitação do elemento
universal que causa os terremotos. Entre o seu ocaso e o seu
nascimento, as Estrelas passam por trás da Terra.
Segundo Aristóteles, quando Tales foi criticado por seu pouco
senso prático e por despender tempo demasiado com a filosofia, em
vez de fazer dinheiro, ele decidiu confundir seus críticos. Prevendo
uma fartura de azeitonas durante o verão seguinte, fez depósitos em
todas as prensas de azeitonas de Mileto e da vizinha Quios,
alugando-as por baixo preço, pois não se apresentou qualquer
concorrente. Quando chegou a época da colheita de azeitonas,
necessitaram de todas as prensas e Tales as alugou pelo preço que
quis. Assim, mostrou ao mundo que os filósofos podem ser ricos, se
o quiserem, mas que a sua ambição é de outra espécie. Entretanto,
há outra história a respeito de Tales, segundo a qual ele caiu num
poço, enquanto olhava as estrelas, sendo ridicularizado por uma bela
senhorita, por estar tentando descobrir o que estava acontecendo no
céu e que era incapaz de ver o que havia a seus pés. Assim, temos
duas tradições opostas, uma que mostra como um filósofo pode ser
prático, outra como pode não sê-lo.
Tales e a matemática
Em matemática é considerado o criador do método dedutivo e,
assim, teria provado algumas proposições importantes. Como
exemplos temos as cinco seguintes:
1. Num triângulo isósceles os ângulos da base são iguais.

2. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se
cortam são iguais.
3. O triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo.
4. Todo diâmetro de uma circunferência divide-a ao meio.
61
5. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são
iguais, respectivamente, a dois ângulos e um lado de outro, então os
triângulos são congruentes.
Como aplicação da geometria que estava desenvolvendo
destacam-se dois resultados famosos atribuídos a Tales:
- medida da altura da pirâmide de Quéops no Egito por semelhança
de triângulos.
- cálculo da distância de um navio à praia, por congruência de
triângulos.
62
Navio
.
A
ANAXIMANDRO ANAXIMANDRO (611 – 544 a.C.)
Discípulo de Tales, introduziu na Grécia e aperfeiçoou o relógio
de sol, de origem mesopotâmia, e foi também o primeiro a traçar um
mapa geográfico.
No único fragmento que restou de sua obra, Anaximandro
afirma que, ao longo do tempo, os opostos pagam entre si as
injustiças reciprocamente cometidas; lei do equilíbrio universal. Por
exemplo, no inverno o frio seria compensado dos excessos
cometidos pelo calor durante o verão.
ANAXÍMENES ANAXÍMENES (século VI a.C.)
M
.
B
Para o último representante da escola de mileto, o Universo
resultaria das transformações de um ar infinito.
O ar seria assim, o princípio unificador, causa primeira de todas
as coisas. O calor do sol seria devido ao rápido movimento do ar,
por exemplo.
À escola de Tales e seus continuadores, sucederam-se
desenvolvimentos importantes nas colônias gregas da Itália, na
chamada Magna Grécia, cuja distância da metrópole era ainda
maior.
C

PITÁGORAS PITÁGORAS (578 – 496 a.C.)
63
Pitágoras de Samos viveu meio século
depois de Tales e é pouco provável que
tenham se encontrado. Alguma
semelhança entre seus interesses sempre
se detecta, inclusive por suas viagens
pelo Oriente em busca de conhecimento.
Pitágoras visitou a Mesopotâmia, tendo
mais tarde chegado até a Índia. Durante
suas peregrinações evidentemente
absorveu não só informações
matemáticas e astronômicas como
também muitas idéias religiosas.
Pitágoras: A escola de Atenas Foi contemporâneo de Buda, Confúcio e
Lao-Tse, de modo que esse século foi
importante no desenvolvimento da religião e da matemática.
Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em
Crotona, sudeste da Itália, onde fundou uma escola, ou melhor, uma
sociedade secreta que se assemelhava um pouco a um culto órfico
(ou o culto de Dionísio), exceto por suas bases matemáticas e
filosóficas.
Os órficos acreditavam na imortalidade da alma e na
metempsicose, ou seja, a transmigração da alma através de vários
corpos, a fim de efetivar sua purificação. A alma aspiraria, por sua
própria natureza, a retornar a sua pátria celeste, às estrelas; mas para
se libertar do ciclo de reencarnações, o homem necessitava da ajuda
de Dionísio, que completava a libertação preparada pelas práticas
catárticas.
Pitágoras, que se tornou figura legendária já na própria
antiguidade, realizou uma modificação fundamental na religiosidade
órfica, transformando o sentido da via da salvação. No lugar de
Dionísio colocou a matemática e por isso temos a referência
conhecida como “a salvação pela matemática”.
Assim, a grande novidade introduzida na religiosidade órfica foi
a transformação do processo de libertação da alma num esforço
inteiramente subjetivo e puramente humano. A purificação resultaria
do trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas
e torna a alma semelhante ao cosmo, em harmonia, proporção e
64
beleza. Pitágoras teria chegado à concepção de que todas as coisas
são números através, inclusive, de uma observação no campo
musical. Verificou no monocórdio, que o som produzido varia de
acordo com a extensão da corda sonora. Ou seja, descobre que há
dependência do som em relação à extensão, da música em relação à
matemática.
Pitágoras concebe a extensão como descontínua, constituídas
por unidades indivisíveis e separadas por um “intervalo”. Segundo
sua cosmologia esse “intervalo” seria resultante da respiração do
universo, que vivo, inalaria o ar infinito em que estaria imerso.
Mínimo de extensão e mínimo de corpo, as unidades comporiam os
números que não eram, portanto, como virão a ser mais tarde, meros
símbolos a exprimir o valor das grandezas. Para Pitágoras e seus
seguidores, chamados de pitagóricos, os números eram reais, a
própria “alma das coisas”, eram entidades corpóreas constituídas
pelas unidades cotíguas.
A concepção pitagórica de números, que só admitia os inteiros
positivos e razões entre eles, apresentava limitações que logo
exigiriam tentativas de reformulações. O principal impasse
enfrentado por essa aritmo-geometria foi relativo aos irracionais.
Tanto na relação entre certos valores musicais, expressos
matematicamente, quanto na base mesma da matemática surgem
grandezas inexprimíveis naquela concepção de número. Assim, a
relação entre o lado e a diagonal do quadrado, que é a hipotenusa do
triângulo retângulo isósceles, tornava-se incomensurável, ou seja,
eram linhas que não tinham razão comum. O “escândalo” dos
irracionais, manifestava-se no próprio Teorema de Pitágoras. Ao se
atribuir o valor 1 ao cateto de um triângulo retângulo isósceles, a
hipotenusa torna-se igual a 2 . Ou então, quando se pressupunha
que os valores correspondentes à hipotenusa e aos catetos eram
números primos entre si, concluía-se por absurdo que um deles
deveria ser par e ímpar.
Apesar desses impasses – e em grande parte por causa deles – o
pensamento pitagórico evoluiu e expandiu-se, influenciando
praticamente todo o desenvolvimento da ciência e da filosofia
gregas. Após a dissolução do núcleo primitivo de Crotona (talvez
por razões políticas) os pitagóricos se dispersaram e passaram a

65
atuar amplamente no mundo helênico, levando a todos os setores
da cultura o ideal de salvação do homem e da polis, através da
proporção e da medida.
Se procurarmos a origem de termos ou expressões como
matemática, filosofia, matemática pura, matemática pela
matemática, sem dúvida teremos que visitar a escola pitagórica.
Escola que adotou inicialmente ensinamentos orais, mas que depois,
com expoentes como Filolau e Arquitas, proporcionou à posteridade
alguns preciosos fragmentos.
Aritmética
Os pitagóricos adotaram uma representação figurada dos
números, que permitia explicitar sua lei de composição. Os
primeiros números, representados dessa forma, bastavam para
justificar o que há de essencial no universo:
- o um é o ponto, mínimo de corpo, unidade de extensão •
- o dois determina a linha • — •
- o três gera a superfície
- o quatro produz o volume
Como já se destacou anteriormente os números eram dotados de
significados especiais e alguns foram identificados com atributos
humanos. Para exemplificar temos que o número um era o gerador
de todos os números e assim considerado o número da razão; o dois
era o da opinião; o três da harmonia; o quatro da justiça; o cinco do
casamento e o seis era o número da criação, era perfeito (o mundo
foi criado em seis dias). Vale ressaltar que o dez, chamado tetraktys
era o número mais adorado pelos pitagóricos. A adoração era
abstrata, nada relacionado com dez dedos e, ainda, 10 = 1 + 2 + +3 +
4, significando a soma dos quatro elementos básicos do universo:
ponto, linha, superfície e volume.
66
Temas principais estudados pelos pitagóricos:
Alguns conceitos sobre os números inteiros positivos, muitas
vezes relacionados à geometria foram introduzidos na matemática
por Pitágoras e seus seguidores, denominados genericamente de
pitagóricos.
Segue uma relação desses conceitos, hoje considerados
elementares:
Números pares e ímpares (o número um estava excluído de
classificação, os números pares eram considerados femininos e
os ímpares masculinos); números primos; números perfeitos,
deficientes e abundantes; números amigos; médias (aritmética,
geométrica e harmônica); progressões(aritmética e geométrica);
proporções e números figurados.
Dos conceitos acima destacam-se os mais curiosos:
• Números perfeitos:
Número perfeito é aquele igual à soma de seus divisores
próprios.
Exemplos: 6, 28, 496, 8128, 33550336
6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14
• Números deficientes
Número deficiente é aquele que é maior do que a soma de
seus divisores próprios. . Exemplo: 8
• Números abundantes
Número abundante é aquele que é menor que a soma de seus
divisores próprios. . Exemplo: 12
• Números amigos:
Pitágoras, quando lhe perguntavam o que era um amigo,
respondia: “é um que é outro eu, como 220 e 284”. Os
divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, que somados são 220;
enquanto os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22,
44, 55 e 110, que somados dão 284.

67
• Números figurados
Os números figurados ilustram a interação que havia entre a
aritmética e a geometria.
- números triangulares
•
•
•
• •
•
• • • • • • • •
1 3 6 10
•
n(
n + 1)
1+
2 + 3 + 4 + ... + n =
2
- números quadrados
• •
• • • •
• • • • • •
• • • • • • • • • •
1 4 9 16
1+ 3 + 5 + ... + ( 2n
−1)
= n
- números retangulares
• • • •
• • • • • • •
• • • • • • • •
2 6 12
•
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n
= n(
n + 1)
2
•
68
- números pentagonais
•
• •
•
•
• •
• • • •
• • •
• • •
•
• • •
• • •
• • •
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
1 5 12
1+
4 + 7 + 10 + 13 + ... +
Geometria
( 3n
− 2)
=
( 3n
+ 2)(
n + 1)
Os pitagóricos investigaram a geometria teoricamente. Sabiam,
por exemplo, que com polígonos regulares só há três maneiras de
pavimentar um solo: com quadrado, triângulo e hexágono.
Conheciam três poliedros regulares: o tetraedro, o cubo e o
dodecaedro (observados em cristais). Há dúvidas se conheciam o
octaedro e icosaedro.
É possível que tenham demonstrado, por áreas, o teorema que
hoje é chamado de Pitágoras. Não se sabe, porém, qual poderia ser
essa demonstração e como vimos anteriormente esse resultado já era
conhecido na Mesopotâmia muito antes de Pitágoras.
2
2
2
a = b + c
Merecem destaque, ainda, os clássicos problemas da divisão
áurea e aplicações de áreas.
2

69
A divisão áurea
Dado um segmento AC o ponto B é marcado de forma que
A B C
AC AB AB + BC AB BC
= ⇒ = ⇒1
+
AB BC AB BC AB
1 AB AB AB 2
⇒1
+ = ⇒ + 1 = ( ) ⇒
AB BC BC BC
BC
⇒ (
AB
BC
)
2
−
AB
−1
=
BC
1+
5
2
0 ⇒
AB
BC
=
1 + 5
= .
2
AB
BC
O número = 1,618033...
é conhecido como áureo.
Aplicações de áreas
Dados uma área K e um segmento AB, o objetivo era
construir um retângulo de área K sobre AB.
1º) Parábola: usado exatamente o segmento AB
A a B
a.x = K
2º) Hipérbole: usado mais do que o segmento AB
K
K
A a B
⇒
(a + x)x = K
3º) Elipse: usado menos do que o segmento AB
K
x
x
x
A a x B
x
(a – x)x = K
70
Cosmologia pitagórica:
Trata-se de uma das primeiras tentativas de explicar os
movimentos dos planetas. O Universo era formado por esferas
concêntricas numa ordem provável: Terra (no centro), Lua,
Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno e as Estrelas fixas. A
lua, o Sol e os cinco planetas giravam em torno da Terra.
Uma escola filosófica importante e aparentemente rival da
pitagórica é a chamada eleática, com sede em Vélia ou Eléia, na
Itália. Os principais componentes dessa escola foram Parmênides,
Zenon e Melisso.
PARMÊNIDES PARMÊNIDES (530 – 460 a.C.)
Fundador da escola eleática considerada muito importante na
história da filosofia e da matemática. Com ele inicia-se as
especulações sobre o ser e sobre o conhecer. Para Parmênides o
homem adquire conhecimento por duas vias: razão e observação.
Essência da filosofia de Parmênides
O ser teria que ser eterno, imóvel, finito, imutável, pleno,
contínuo, homogêneo e indivisível. O movimento não existia, era
fruto da via enganosa da opinião, através da observação. Enquanto
os pitagóricos e outros filósofos da época acreditavam na
multiplicidade e na mudança, Parmênides defendia a filosofia da
permanência. A existência do movimento significaria atribuir
existência ao “não-ser”.
ZENON ZENON (488 – 430 a.C.)
Discípulo e defensor de Parmênides, Zenon de Eléia
sistematizou o método da demonstração por absurdo e foi
considerado por Aristóteles como o inventor da dialética. Partindo
das premissas de seus oponentes, ele as reduzia ao absurdo.
Zenon deixou quarenta argumentos dos quais apenas nove
foram conservados. Os argumentos são sobre certos problemas

71
fundamentais que envolvem noções de grandezas, multiplicidade,
espaço, movimento, tempo e percepção sensível.
Dos argumentos de Zenon, tornaram-se mais famosos os que
visam diretamente ao problema do movimento. A Dicotomia e o
Aquilies garantem que o movimento é impossível sob a hipótese de
subdivisibilidade indefinida do espaço e do tempo; a Flecha e o
Estádio, de outro lado, garantem o mesmo, sob a hipótese contrária,
ou seja, de que a subdivisibilidade do tempo e do espaço
terminariam em indivisíveis.
Dicotomia (divisão em dois)
É o argumento que diz que antes que um objeto possa percorrer
uma distância dada, deve percorrer a primeira metade dessa
distância; mas antes disso, deve percorrer o primeiro quarto; e antes
disso, o primeiro oitavo e assim por diante, através de uma
infinidade de subdivisões. O indivíduo interessado em se colocar em
movimento precisa fazer infinitos contatos num tempo finito; mas é
impossível exaurir uma coleção infinita. Portanto é impossível
iniciar o movimento.
0 1 /8 1 /4 1 /2 1
Aquiles e a tartaruga
Este paradoxo é semelhante ao primeiro, apenas a subdivisão
infinita é progressiva em vez de regressiva. Aqui Aquiles aposta
corrida com uma tartaruga que sai com vantagem e por mais
depressa que corra, não pode alcançar a tartaruga, por mais devagar
que ela caminhe. Pois, quando Aquiles chegar à posição inicial da
tartaruga, ela já terá avançado um pouco; e quando cobrir essa
distância, a tartaruga terá avançado um pouco mais. E o processo
continua indefinidamente, com o resultado que Aquiles nunca pode
alcançar a lenta tartaruga.
A B C D E
72
A Flecha
Zenon considera uma flecha e razoavelmente assegura que esta
deve estar em certo ponto num dado instante: como ela não pode
estar em dois lugares no mesmo instante, não pode se mover naquele
instante; se por outro lado, está em repouso naquele instante, então,
como o mesmo argumento se aplica para outros instantes, ela não
pode se mover de jeito nenhum.
O Estádio
Sejam A1, A2, A3, A4 corpos de igual tamanho, estacionários;
sejam B1, B2, B3, B4 corpos de mesmo tamanho que os A, que se
movem para a direita, de modo que cada B passa por um A num
instante, ou seja, no menor intervalo de tempo possível.
Sejam C1, C2, C3, C4 também do mesmo tamanho que os A e os
B, movendo-se uniformemente para a esquerda com relação aos A
de modo que cada C passa por um A num instante de tempo.
Suponhamos que num dado momento os corpos ocupem as
seguintes posições relativas:
A1 A2 A3 A4
B1 B2 B3 B4
← C1 C2 C3 C4
Então passando um único instante, isto é, após uma subdivisão
indivisível do tempo, as posições serão:
A1 A2 A3 A4
B1 B2 B3 B4
C1 C2 C3 C4
Notamos então que C1 terá passado por dois dos B; logo o
instante considerado não pode ser o intervalo de tempo mínimo,
→

pois podemos tomar, como uma unidade nova e menor, o tempo
que C1 leva para passar por um B.
73
Os argumentos de Zenon influenciaram profundamente o
desenvolvimento da matemática grega, influência comparável à da
descoberta dos incomensuráveis, com a qual talvez se relacione.
As idéias de tempo e espaço não eram claras naquela época,
podendo facilmente gerar contradições.
MELISSO MELISSO
MELISSO
Pouco se sabe sobre Melisso e sua obra, apenas que foi um
polemista e defensor das idéias de Parmênides.
HERÁCLITO
HERÁCLITO HERÁCLITO (540 – 470 a.C.)
À filosofia da permanência de Parmênides e os outros eleatas
opõe-se à de Heráclito de Éfeso que é a do fogo eternamente vivo,
ou movimento contínuo.
“Este mundo, que é o mesmo para todos, nenhum dos deuses ou
dos homens o fez; mas foi sempre, é e será um fogo eternamente
vivo, que se acende com media e se apaga com medida” Nessa frase
muitos vêem uma das chaves para decifrar o pensamento de
Heráclito, que já na antiguidade tornou-se conhecido como o
“obscuro”.
De sua vida pouco se sabe com certeza, apenas que pertencia à
família real de sua cidade e que teria renunciado à dignidade de se
tornar rei em favor de seu irmão.
Heráclito foi um crítico severo de muitas pessoas famosas,
dentre elas Hesíodo e Pitágoras. Dizia que “o fato de aprender
muitas coisas não instrui a inteligência; do contrário teria instruído
Hesíodo e Pitágoras, do mesmo modo que Xenófanes e Hecateu”.
A unidade dos opostos
A grande descoberta de Heráclito foi perceber que existe uma
harmonia oculta das forças opostas. Não se trata de opor o um ao
múltiplo, como os eleatas, uma vez que o um penetra o múltiplo e a
74
multiplicidade é apenas uma forma de unidade, ou melhor, a própria
unidade.
São muitas as citações ou aforismos atribuídos a Heráclito e que
ilustram a essência de seu pensamento. A seguir colocamos alguns
que convidam para uma reflexão: “Deus é dia-noite, inverno-verão,
guerra-paz, superabundância-fome, vida-morte, etc.”
A justiça não significa apaziguamento, pelo contrário, “o
conflito é o pai de todas as coisas; de alguns faz homens; de alguns,
escravos e de alguns, homens livres”. Mas ver a realidade como
fundamentalmente uma tensão de opostos não significa
necessariamente optar pela guerra, no plano político.
“Tu não podes se banhar duas vezes no mesmo rio, porque
novas águas correm sempre sobre ti”. “Todas as coisas são trocadas
em fogo e o fogo se troca em todas as coisas, como as mercadorias
se trocam por ouro e o ouro é trocado por mercadorias”. “O caminho
para o alto e o caminho para baixo são um e o mesmo”. “O homem é
acendido e apagado como uma luz no meio da noite”.
OS OS ATOMISTAS
ATOMISTAS
O Sumário eudemiano de Proclo, como já foi visto, sugere uma
ordem para os primeiros matemáticos, tendo iniciado com Tales.
Porém, por preferências ou problemas políticos, não incluiu os
atomistas.
Segundo a tradição a escola teve início com Leucipo (de Mileto
ou de Eléia), mas conheceu a plena aplicação de seus postulados
com Demócrito de Abdera. Mais tarde, as teses atomistas iriam
ressurgir com Epicuro e Lucrécio, no período helenístico.
A reformulação da noção de espaço foi, por certo, a principal
contribuição da escola atomista ao desenvolvimento do pensamento
científico e filosófico.
As concepções cosmológica e matemática do pitagorismo
primitivo baseavam-se na noção de número entendido como
sucessão de unidades descontínuas, discretas. Mas permanecia uma
questão que comprometia a coerência da visão pitagórica e que
Zenon assinalou, ou seja, a do “intervalo” que separaria as unidades.
Esse intervalo só poderia ter, no mínimo, o tamanho de uma unidade

75
(mínimo de extensão e de corpo); assim, o número das unidades de
extensão “crescia” e cada coisa tendia a tornar-se infinita.
Partindo de colocações do eleatismo, particularmente, de que a
existência do movimento pressupõe o “não ser”, Leucipo e
Demócrito teriam concluído que, exatamente porque o movimento
existe (como mostram os sentidos), o “não ser” (corpóreo) existe.
Afirma-se, assim, pela primeira vez, a existência do vazio. E nesse
vazio é que se moveriam os átomos, partículas corpóreas insecáveis
(indivisíveis fisicamente, embora divisíveis matematicamente).
Os átomos apresentam ainda outras características: seriam
plenos (sem vazio interno); em número infinito, invisíveis (devido a
pequenez); móveis por si mesmos; sem qualquer distinção
qualitativa; apenas distintos por atributos geométricos (de forma,
tamanho, posição) e, quando agrupados, distintos pelo arranjo.
Todo o universo seria, portanto, constituído por dois princípios:
o contínuo incorpóreo e infinito (o vazio), e o descontínuo corpóreo
(os átomos).
Parece certo que Leucipo e Demócrito admitiam que o
movimento primário dos átomos seria em todas as direções, como o
da poeira que se vê flutuar no ar, se uma réstia penetra num
ambiente escuro.
DEMÓCRITO DEMÓCRITO (470 – 370 a.C.)
Muito pouco se sabe sobre a vida de Demócrito de Abdera, mas
ainda vivia quando Platão fundou a Academia em 387 a.C. Sabe-se
porém, que além de contribuir para a formulação do atomismo
físico, aplicou-se principalmente à solução de dois problemas
filosóficos importantes de sua época: o do conhecimento e o da
ética.
Quanto à ética, Demócrito, do mesmo modo que Sócrates,
considera a “ignorância do melhor” como a causa do erro. Afirma
ainda, que guiado pelo prazer, o homem deveria saber distinguir o
valor dos diferentes prazeres, buscando em sua conduta a harmonia
capaz de lhe conceder a calma do corpo, que seria a saúde, e a da
alma, que seria a felicidade.
76
Para Demócrito não havia dúvidas: “Por convenção existe o
doce, por convenção há o quente e o frio. Mas na verdade há
somente átomos e vazio”.
Exercícios
Exercícios
1. Prove dois teoremas atribuídos a Tales e diga, justificando, se
acha ou não que ele usou raciocínio semelhante.
2. Prove o teorema de Pitágoras e diga se acredita ou não que ele
usou seu método? Explique.
3. Quais são os quatro primeiros números heptagonais
(correspondendo a polígonos regulares de sete lados)?
4. Escreva os números 3456 e 4567 e sua soma na notação ática
primitiva e no sistema jônico ou alfabético.
5. Mostre que 1184 e 1210 são números amigos.
6. Usando régua e compasso apenas, construa um pentágono regular,
sendo dado: a) o seu lado b) uma diagonal.
7. Num círculo dado inscreva um pentágono regular usando apenas
régua e compasso.
8. Qual você acredita ter sido descoberta antes, a irracionalidade de
2 ou de 5 ? Justifique sua resposta em termos de evidência
histórica.
9. As diagonais de um hexágono regular são incomensuráveis com o
lado? Explique.

OS OS IDEAIS IDEAIS PLATÔNICOS PLATÔNICOS PLATÔNICOS E E A A LÓGICA
LÓGICA
ARISTOTÉLICA
ARISTOTÉLICA
ARISTOTÉLICA
Segunda Segunda fase fase do do do Período Período Helênico
Helênico
“Ninguém que ignore a geometria poderá entrar em minha casa”
(Platão)
77
Durante os séculos V e IV a.C. Atenas foi o centro cultural mais
importante da Grécia e sua prosperidade e atmosfera intelectual
atraíram estudiosos de todas as partes do mundo grego. Uma síntese
das diversas áreas do conhecimento foi conseguida e, no caso
específico da matemática, várias questões de nível superior foram
consideradas.
Nessa época são propostos vários problemas famosos e dentre
eles os chamados três problemas clássicos de construção: o da
quadratura do círculo, ou seja, encontrar um quadrado cuja área seja
igual à de um círculo dado; o da duplicação do cubo, ou seja,
encontrar o lado do cubo cujo volume é o dobro do volume do cubo
dado e o da trissecção do ângulo, ou seja, dividir um ângulo dado
em três partes iguais.
A solução desses problemas iria fascinar matemáticos por mais
de 2000 anos e vários ramos da matemática surgiram como corolário
desses estudos.
Devemos lembrar que esses problemas foram resolvidos por
muitos matemáticos e amadores do passado. Porém, a partir de
Euclides – adepto das concepções platônicas – surge uma hipótese
complicadora, a de que os três problemas deveriam ser resolvidos
apenas com régua (sem marcas) e compasso.
A seguir um pouco da vida e obra dos principais matemáticos e
filósofos dessa época, conhecida como idade heróica da cultura
grega.
78
ANAXÁGORAS ANAXÁGORAS (499 – 428 a.C.)
Anaxágoras de Clazômena levou para Atenas as idéias novas
que estavam sendo produzidas na Jônia. Em Atenas tornou-se amigo
do grande líder político Péricles, mas nem essa amizade livrou-o do
processo que acabou por forçá-lo a abandonar a cidade. Na
democrática Atenas são famosos dois processos contra a filosofia, o
primeiro com Anaxágoras e mais tarde, o da condenação à morte de
Sócrates.
Anaxágoras introduz a noção do infinitamente pequeno: “todas
as coisas estavam juntas, infinitas ao mesmo tempo em número e
pequenez, porque o pequeno era também infinito”. Essa idéia,
contrária à concepção da extensão no pitagorismo primitivo – que
admitia a extensão como composta de unidades indivisíveis – tornase
fundamental para suas cosmogonia e cosmologia. A tese de que
“em cada coisa existe uma porção de cada coisa” sustenta-se na
divisibilidade infinita.
Segundo o depoimento de Aristóteles, Anaxágoras teria
afirmado que “o homem pensa porque tem mãos”, tese que mais
tarde será combatida inclusive pelo próprio Aristóteles, quando se
intensificar na sociedade grega o preconceito contra o trabalho
manual, geralmente atribuído a escravos.
Vemos assim, que os cidadãos atenienses zelosos de suas
crenças e tradições, cuidaram de fazer leis para protegê-los das
idéias “subversivas” dos forasteiros. E, devido a uma dessas leis,
Anaxágoras acabou sendo condenado à prisão por impiedade. Seu
“crime” fora afirmar que o Sol é uma bola de fogo, maior que o
Peloponeso, que a Lua é feita de terra, que empresta do Sol a sua
luz. Lembremos que o Sol para os atenienses ainda era uma
divindade.
Para se entreter na cadeia, Anaxágoras dedicou-se à tarefa de
tentar resolver o problema da quadratura do círculo. Ao que consta
não conseguiu seu intento. Mas sua frustração seria bem menor se
pudesse saber que o problema atravessou mais de dois milênios sem
solução completa.
Com muito respeito parodiamos Manuel Bandeira no caso de
Anaxágoras em Atenas, não muito distante de Pasárgada na Pérsia.

Lá, foi amigo do rei e mesmo assim morreu no exílio.
Evidentemente a culpa não é do poema.
HIPÓCRATES
HIPÓCRATES HIPÓCRATES (460 – 370 a.C.)
79
Hipócrates de Chios, um pouco mais jovem que Anaxágoras e
proveniente da mesma região da Grécia, trocou sua terra natal por
Atenas, na qualidade de mercador. Consta que ludibriado por piratas
tentou recuperar suas finanças trabalhando como professor de
geometria. Ele não deve ser confundido com seu contemporâneo
mais famoso, o médico Hipócrates de Cos.
Segundo Proclo, Hipócrates compôs uma obra – Elementos da
Geometria – antecipando-se por mais de um século à mais
conhecida Os Elementos de Euclides. Organizou de modo lógico a
geometria da época e demonstrou, por dupla redução ao absurdo, um
teorema importante para a quadratura do círculo.
Teorema: As áreas de círculos estão para si assim como os
2
A 1 d1
quadrados de seus diâmetros, ou seja, = em que A1 e A2
2
A2
d 2
representam as áreas de dois círculos com diâmetros, d1 e d2,
respectivamente.
Esse teorema é importante para a quadratura de lunas. Uma luna
é uma figura delimitada por dois arcos circulares de raios diferentes;
o problema de sua quadratura certamente se originou da quadratura
do círculo. Hipócrates foi o primeiro matemático a deduzir uma
quadratura rigorosa de uma região delimitada por linhas curvas ( que
não são retas, é claro).
Exemplo de uma quadratura de luna por Hipócrates:
Considerou um semicírculo
circunscrito a um triângulo
retângulo, inicialmente
isósceles e depois qualquer,
e sobre a base (hipotenusa)
construiu um segmento
80
semelhante aos segmentos circulares construídos sobre os catetos. A
soma das áreas das lunas sobre os catetos é igual a área do triângulo
dado.
Prova: ABC é um triângulo retângulo isósceles, ou seja, AB= BC.
2 2 2
Pelo teorema de Pitágoras temos que AB + BC = AC e assim,
2
2
AC = 2AB . Pelo teorema anterior ou de Hipócrates, vem que
2
2
S + L AB AB 1
= = = ⇒ 2 S + 2L
= 2S
+ 2T
⇒ L = T .
2
2
2S
+ 2L
AC 2AB
2
As quadraturas de Hipócrates são significativas não tanto como
tentativas de quadrar o círculo, mas como indicações do nível da
matemática da época. Mostram que os matemáticos atenienses eram
hábeis ao tratar transformações de áreas e proporções. Em particular,
não havia dificuldade em converter um retângulo de lados a e b num
quadrado. Isso exige achar a média proporcional, ou geométrica,
a x
entre a e b, ou seja, se = , então facilmente se construía x.
x b
b
x
a
x
2
2
2
2
( r − s)(
r + s)
ba
x + s = r , então, x = r − s =
=
Assim, x = ab é o lado do quadrado de área igual à do retângulo
de lados a e b.
Era natural, pois, que tentassem generalizar a questão inserindo
dois meios entre duas grandezas dadas a e b. Isto é, dados dois
segmentos a e b, esperavam construir dois outros x e y tais que
a x y
= = . Diz-se que Hipócrates percebeu que esse problema
x y b
contém o da duplicação do cubo; pois se b = 2a, as proporções, por
eliminação de y, levam à conclusão que x³ = 2a³.
r
a
2
2
r
s
x
b

Hipócrates pode não ter quadrado o círculo, mas sentiu
profundamente o problema.
HÍPIAS HÍPIAS HÍPIAS (460 – 390 a.C.)
81
Hípias de Elis era um dos chamados filósofos sofistas, que
ganhavam seu sustento ensinando nas ruas e praças, o que não era
bem visto por componentes de outras escolas. Os discípulos de
Pitágoras e de Platão, por exemplo, eram proibidos de aceitar
pagamento para partilhar seus conhecimentos com seus
concidadãos. Os sofistas foram acusados, dentre outras coisas de
superficiais, mas isso não deve ocultar o fato de serem muito bem
informados em muitos assuntos e de terem contribuído para o
desenvolvimento da matemática, especialmente
Hípias, talvez preocupado em resolver os problemas clássicos,
introduziu na matemática uma curva não construtível com régua e
compasso, apenas, conhecida por trissectriz ou quadratriz.
Essa curva é traçada mecanicamente pela intersecção de duas
retas em movimento. No quadrado ABCD seja o lado AB deslocado
para baixo uniformemente a partir de sua posição presente até
coincidir com DC, e suponhamos que esse movimento leve
exatamente o mesmo tempo que o lado DA leva para girar em
sentido horário de sua posição presente até coincidir com DC. Se as
posições dos dois segmentos são dadas em um instante fixado
qualquer por A’B’ e DA” ,respectivamente, e se P é o ponto de
intersecção de A’B’ e DA”, o lugar descrito por P durante esses
movimentos será a trissectriz de Hípias – a curva APQ na figura.
A
A’
T
U
P
V
W
B
B’
R
S
Dada essa curva, faz-se a trissecção de
um ângulo com facilidade. Por exemplo,
se PDC é o ângulo a ser trissectado – ou
dividido em um número qualquer de
partes iguais – simplesmente trissectamos
os segmentos B’C e A’D, com os pontos
D Q
C R, S, T e U. Se as retas TR e US cortam a
trissectriz em V e W, respectivamente, as
retas VD e WD, pela propriedade da trissectriz dividirão o ângulo
PDC em três partes iguais.
A’’
P
V
W
A’’
82
A curva de Hípias é também chamada de quadratriz, pois pode
ser usada para quadrar o círculo. Foi conjecturado que Hípias sabia
desse método de quadratura mas não conseguiu prova-lo. A
quadratura por meio da curva de Hípias foi dada mais tarde por
Dinóstrato.
Usando notações e métodos atuais podemos encontrar a
equação da curva de Hípias em coordenadas polares:
A B
A’
P
B’
D
r
θ
U Q
C
O
π/2
Considerando as equações das retas DP : y = tgθ
x e
2aθ
A'
B'
: y = t = , e que P é a intersecção dessas retas vem que
π
y
P = ( x,
y ) = ( , y ) .
tgθ
π
2aθ
Seja L : [ 0, ] → [ 0,
a]
definida por L(
θ ) = t = . Assim,
2
π
t 2aθ
2aθ
2aθ
1
P = ( , t ) = ( tgθ,
) = ( , 1)
. Logo,
tgθ
π π π tgθ
2 1
1
2 +
2
aθ
2aθ
sec θ 2aθ
secθ
2aθ
1
r = P =
=
= = .
2
π tg θ π tg θ π tgθ
π senθ
Portanto, π r senθ
= 2aθ
é a equação polar da curva de Hípias
e, desse modo, .
a
2aθ
2a
θ 2
limr
= lim senθ
= lim =
θ→0
θ→0
π π θ→0
senθ
π
SÓCRATES SÓCRATES (469 – 399 a.C.)
No ano 399 a.C., o tribunal dos heliastas, constituído por
cidadãos escolhidos por sorteio, reuniu-se com 500 ou 501
a
(π/2, a)

83
membros. Difícil tarefa aguardava esses juízes: julgar Sócrates,
conhecida mas controvertida figura. Cidadão admirado e enaltecido
por alguns – particularmente pelos jovens – era entretanto, criticado
e combatido por outros, que nele viam uma ameaça para as tradições
da polis e um elemento pernicioso à juventude.
A acusação era grave: não reconhecer os deuses do Estado,
introduzir novas divindades e corromper a juventude.
Defesa de Sócrates: “não tenho outra ocupação senão de vos
persuadir a todos, tanto velhos como novos, de que cuideis menos
dos vossos corpos e dos vossos bens do que da perfeição de vossas
almas, e a de vos dizer que a virtude não provém da riqueza, mas
sim que é a virtude que traz a riqueza ou qualquer outra coisa útil
aos homens, quer na vida pública, quer na vida privada. Se, dizendo
isso, eu estou a corromper a juventude, tanto pior; mas se alguém
afirmar que digo outra coisa, mente”.
Sobre a vida de Sócrates, pouca coisa se sabe e chegou-se a
afirmar que ele seria uma criação literária do nacionalismo
ateniense. Ele, que se dizia estéril – pois só sabia que nada sabia –
procurava auxiliar as pessoas noutra forma de concepção, a das
idéias próprias: forma de se ir ao encontro de si mesmo e de fazer de
si mesmo o seu próprio ponto de partida.
Mas, para aquela democracia, que recusava o direito de
cidadania às mulheres, aos estrangeiros e aos escravos, portanto, à
maioria da população de Atenas, o Sócrates pedagogo e médico de
almas constituía uma denúncia de suas limitações, e
conseqüentemente, um perigo.
Após recusar o exílio que dissimuladamente lhe ofereceram foi
condenado a morrer, bebendo cicuta, o filósofo que garantia que o
reencontro consigo mesmo só pode partir da consciência da própria
ignorância.
A “democracia” ateniense matou aquele que até pegou em
armas para defendê-la. Que ironia!
PLATÃO PLATÃO PLATÃO (428 – 348 a.C.)
“Outrora, na minha juventude, experimentei o que tantos jovens
experimentam. Tinha o projeto de, no dia em que pudesse dispor de
mim próprio, imediatamente intervir na política” (Platão, 354 a.C.).
84
A vida de Platão transcorreu entre a fase áurea da democracia
ateniense e o final do período helênico: sua obra filosófica
representará em vários aspectos, a expansão de um pensamento
alimentado pelo clima de liberdade e de apogeu político.
Platão, de tradicionais famílias de Atenas, tenta estabelecer a
síntese entre a tradição eleática (que negava a racionalidade de
qualquer mudança) e a heraclítica (que afirmava o fluxo contínuo de
todas as coisas).
O grande acontecimento da juventude de Platão foi o encontro
com Sócrates e diante da injustiça sofrida pelo mestre, aprofunda-se
o desencanto de Platão com a política e com aquela democracia.
Com Sócrates, o jovem Platão pudera sentir a necessidade de
fundamentar qualquer atividade em conceitos claros e seguros. O
primado da política torna-se para Platão, o primado da verdade, da
ciência.
Depois da morte de Sócrates, disperso o núcleo que se
congregara em torno dele, Platão viaja ao sul da Itália (magna
Grécia), onde convive com Arquitas de Tarento. O famoso
matemático e político pitagórico dá-lhe um exemplo vivo de sábiogovernante,
que ele depois apontará em a República, como solução
ideal para os problemas políticos.
Da visita de Platão ao Egito quase nada se sabe com segurança.
Certo é que em Cirene, inteirou-se das pesquisas matemáticas
desenvolvidas por Teodoro, particularmente as referentes aos
irracionais.
Os irracionais matemáticos inspirarão várias doutrinas
platônicas, pois representam uma justa medida, que nenhuma
linguagem consegue exaurir.
Nessa época Platão compõe seus primeiros Diálogos. Entre
esses está a Apologia de Sócrates. Os outros diálogos desta fase
manifesta duas preocupações que permanecerão constantes na obra
platônica: o problema político e o papel que a retórica pode
desempenhar na ética e na educação.

A Academia
85
Em 387 a.C. Platão fundou em Atenas a
Academia, sua própria escola de
investigação científica e filosófica (a
Academia durou até 529 d.C.). O
acontecimento foi da máxima importância
para a história do pensamento ocidental.
Platão tornou-se o primeiro dirigente de
uma instituição permanente, voltada para a
pesquisa original e concebida como
conjugação de esforços de um grupo que vê
no conhecimento algo vivo e dinâmico e
não um corpo de doutrinas a serem
Platão e Aristóteles – simplesmente resguardadas e transmitidas.
A Escola de Atenas
Depois de suas viagens, quando freqüentou centros pitagóricos
de pesquisa científica, Platão via na matemática a promessa de um
caminho que conduzisse à certeza. A educação deveria, em última
instância, basear-se numa episteme (ciência) e ultrapassar o
plano instável da opinião (doxa). E a política poderia se transformar
numa ação iluminada pela verdade e um gesto criador de harmonia,
de justiça e de beleza.
Durante cerca de vinte anos, Platão dedicou-se ao magistério e à
composição de suas obras. Sob a influência do pitagorismo, Platão
desligou-se um pouco de Sócrates e formulou uma filosofia própria.
Ele sempre retomava a tese de que o ideal para a polis seria a
existência de um rei filósofo, que inclusive pudesse governar sem
necessidade de leis.
Para Platão, as idéias perfeitas e imutáveis constituiriam os
modelos ou paradigmas dos quais as coisas materiais seriam apenas
cópias imperfeitas e transitórias. Seriam, pois, tipos ideais a
transcender o plano mutável dos objetos físicos.
A mimesis, no pitagorismo, apresentara um caráter de
imanência: o modelo e a cópia estão ambos no plano concreto; são
as duas faces (interna e externa, razão e sentidos) da mesma
realidade. Com Platão, a noção de imitação (mimesis) adquiriu
acepção metafísica, como lógica decorrência do distanciamento
86
entre o plano sensível e o inteligível. Os objetos físicos múltiplos,
concretos e perecíveis – aparecem como cópias imperfeitas dos
arquétipos ideais, incorpóreos e perenes.
Modelo de Estado
Em a República, a organização de uma cidade ideal apóia-se
numa divisão racional do trabalho. Como reformador social, Platão
considera que a justiça depende dessa diversidade de funções
exercidas por três classes distintas: a dos artesãos, dedicados à
produção de bens materiais; a dos soldados, encarregados de
defender a cidade; a dos guardiães, incumbidos de zelar pela
observância das leis.
Produção, defesa, administração interna – essas as três
funções essenciais da cidade. E o importante não é que uma classe
usufrua de uma felicidade superior, mas que toda a cidade seja feliz.
O indivíduo faria parte da cidade para poder cumprir sua função
social e nisto consiste ser justo: em cumprir a própria função.
A reorganização da cidade para transformá-la em reino de
justiça exige, naturalmente, reformas radicais. A família, por
exemplo, deveria desaparecer para que as mulheres fossem comuns
a todos os guardiães e as crianças seriam educadas pela cidade e a
procriação deveria ser regulada de modo a preservar a eugenia; para
evitar os laços familiares egoístas, nenhuma criança conheceria seu
pai e nenhum pai seu verdadeiro filho; a execução dos trabalhos não
levaria em conta distinção de sexo, mas tão somente a diversidade
das aptidões naturais.
Mas a cidade ideal só poderia surgir se o governo supremo
fosse confiado a reis-filósofos.
Da sombra à luz
O processo de conhecimento representava, para Platão, uma
progressiva passagem das sombras e imagens turvas ao luminoso
universo das idéias, atravessando etapas intermediárias. Cada fase
encontraria sua fundamentação e resolução na fase seguinte. O que
não era visto claramente no plano sensível (e só poderia ser objeto
de uma conjetura) transformava-se em objeto de crença. Seguia-se
assim (ver quadro abaixo) até chegar no Bem, cujo análogo seria o
Sol, no caso material.

87
Aquele que se libertou das ilusões e se elevou à visão da
realidade poderia, ou melhor, deveria governar para libertar os
outros prisioneiros das sombras: seria o filósofo-político, que coloca
sua sabedoria como um instrumento de libertação de consciências e
de justiça social, aquele que faz da procura da verdade uma arte de
desilusionismo.
Eros, que desempenhava em relação aos sentimentos e às
emoções o mesmo papel de intermediário que as entidades
matemáticas representavam para a vida intelectual, comandava a
subida por via da atração que a beleza dos corpos exercia sobre os
sentidos e remetendo afinal à contemplação do Belo supremo, o
Belo em si.
A construção do conhecimento constituiu, assim no platonismo,
uma conjugação de intelecto e emoção, de razão e vontade: a
episteme seria fruto de inteligência e de amor. É precisamente esse o
tema de O Banquete nos diálogos de Sócrates, Agatão, Alcibíades e
outros. A visão platônica do conhecimento pode, assim, ser
resumida no seguinte quadro: da sombra (A) à luz (C).
C
↑
Idéias → ↑ ← Dialética
↑ Ciência
Mundo inteligível E (episteme)
↑
Objetos ↑ Conhecimentos
matemáticos → ↑ ← matemáticos
B
↑
Objetos → ↑ ← Crença
sensíveis ↑
D
Mundo Sensível ↑ Opinião
Sombras → ↑ ← Ilusão, conjectura
↑
A
88
Platão e a matemática
Platão, segundo Proclo, proporcionou grandes progressos na
matemática em geral e na geometria em particular, devido ao seu
conhecido zelo pelo estudo. Seus livros eram ricos em discursos
matemáticos e aproveitava-se de todas as ocasiões para mostrar a
notável conexão que existe entre a matemática e a filosofia.
“Ninguém que ignore a geometria poderá entrar em minha casa” –
eis a condição que impunha aos que queriam estudar com ele.
Em as Leis, Platão aconselha o estudo da música ou a prática da
lira dos 13 até os 16 anos, seguindo-se então as matemáticas, os
pesos e medidas, bem como o calendário astronômico, até os 17. Em
a República, por outro lado, recomenda a alguns jovens
selecionados, antes dos 18 anos, o estudo da matemática abstrata ou
teórica, ou seja, da aritmética, da geometria plana e espacial, da
cinemática e da harmonia. A respeito da aritmética diz: “aqueles que
nasceram com aptidão para ela aprendem depressa, ao passo que,
mesmo nos que são lentos em assimilá-la, a capacidade geral de
compreensão aproveita muito com o seu estudo”. “Nenhum ramo da
educação constitui tão valioso preparo para a administração da casa,
para todas as artes e ofícios, ciências e profissões, como a
aritmética. Acima de tudo, graças a alguma influência divina, ela
desperta o cérebro moroso e sonolento, tornando-o estudioso, atento
e arguto”.
Segundo Platão os conceitos matemáticos independem da
experiência e, ainda mais, para ele a matemática não se constrói,
mas se descobre.
A matemática nessa fase começa a atingir os ideais propostos
por Tales, e se torna dedutiva. São formuladas definições precisas,
os métodos de demonstração são avaliados e sistematizados, e deuse
especial importância ao rigor da lógica. São desse período
axiomas como: “quantidades iguais subtraídas de diminuendos
iguais dão restos iguais”.
Para Platão o ponto seria o limite da linha; a linha o limite da
superfície e a superfície o limite do corpo sólido.
O método analítico, que relaciona a tese a se provar com o que
já se conhece, é uma importante contribuição platônica à
matemática. Em essência esse método, que parte do desconhecido
para o conhecido, depende da reversibilidade do processo.

89
Exemplo: Provar que 1
1 <
a
para a > 0.
a +
a
Temos: < 1 ⇔ a < a + 1 ⇔ 0 < 1.
Como 0 < 1 é verdadeiro,
a + 1
está provada a proposição, devido às equivalências envolvidas.
Embora seu interesse principal fosse a geometria, as conquistas
de Platão no campo da aritmética foram consideráveis para a sua
época. Determinou de maneira correta, por exemplo, os 59 divisores
de 5040, entre os quais se incluem todos os números inteiros de 1 a
10. O número 5040 aparece, nas Leis, como o número ideal de
cidadãos na Cidade ideal, ou seja, 7.6.5.4.3.2.1
Cosmologia platônica
A forma esférica da Terra já se tornara geralmente aceita na
Grécia e as cosmologias mais antigas foram desaparecendo pouco a
pouco.
Para Platão, que tinha pelas ciências físicas um interesse apenas
secundário, a Terra era uma esfera situada no centro do Universo e
não necessitava de apoio. Supôs que as distâncias dos corpos
celestes a esse centro fossem proporcionais aos números 1 (Lua), 2
(Sol), 3 (Vênus), 4 (Mercúrio), 8 (Marte), 9(Júpiter), 27 (Saturno).
Esses números eram obtidos pela combinação de duas progressões
geométricas, respectivamente, 1, 2, 4, 8 e 1, 3, 9, 27.
Platão admite, em princípio, que os astros são dotados de um
movimento circular uniforme, em torno da Terra, e propõe aos
matemáticos o seguinte problema: “quais são os movimentos
circulares uniformes que poderemos admitir como hipótese para
explicar os movimentos aparentes dos planetas?”
Provavelmente, Platão não tinha uma noção clara das
irregularidades dos planetas que depois iriam absorver a atenção de
filósofos e astrônomos. Seu sistema era um geocentrismo coerente e
apoiava-se na idéia da imobilidade da Terra.
Embora tenham trazido poucos subsídios permanentes para as
ciências físicas, as teorias de Platão tiveram grande influência sobre
as idéias antigas e medievais e sobre a evolução da alquimia.
90
ARQUITAS ARQUITAS (428 – 347 a.C.)
Arquitas de Tarento, na Itália Meridional, estadista que por
diversas vezes exerceu o comando das forças militares de sua
cidade, foi um filósofo pitagórico e grande amigo de Platão e,
talvez, o que mais influenciou no matematismo do filósofo da
Academia.
Aplicou a matemática aos problemas mecânicos e é considerado
o fundador da mecânica teórica, sendo que muitas obras perdidas
sobre mecânica e geometria lhe são atribuídas. Diz-se, ainda, que
ele inventou o parafuso e a roldana e era um exímio construtor de
máquinas. Deu uma notável – mas complicada – solução ao
problema de duplicação do cubo.
Restam-nos fragmentos de sua Harmonia e das Diatribes ou
Conversas, referentes a problemas de matemática e música.
TEAETECTO
TEAETECTO TEAETECTO ( século IV a.C.)
Discípulo de Platão a quem é atribuído a demonstração de que
só existem cinco poliedros regulares, chamados poliedros de Platão:
tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.
MENAECMO MENAECMO (século IV a.C.)
Menaecmo, astrônomo e geômetra da Academia, conseguiu
resolver o problema da duplicação do cubo. Em sua solução usava
duas curvas especialmente inventadas por ele para essa finalidade: a
parábola e a hipérbole. A elipse apareceu como corolário dessa
invenção. Essas três curvas são chamadas até hoje de secções
cônicas, porque Menaecmo as concebeu cortando três tipos de
superfícies cônicas de uma folha, a de ângulo agudo (oxytome –
elipse), a de ângulo reto (orthotome – parábola) e a de ângulo obtuso
(amblytome – hipérbole), respectivamente, por um plano
perpendicular à geratriz.

Oxytome Orthotome Amblytome
91
A hipérbole de dois ramos só surgiria algum tempo depois, com
Apolônio. Menaecmo ainda não dispunha de sistemas de
coordenadas, o que o obrigava a ser muito mais engenhoso. Mas,
usando a linguagem atual, não é difícil perceber que a intersecção da
parábola x² = 2y com a hipérbole xy = 1 é solução de x³ = 2. A
solução de Menaecmo não se vale apenas de régua e compasso, é
claro, mas o importante mesmo foi que introduziu na matemática as
secções cônicas
DINÓSTRATO DINÓSTRATO ( século IV a. C.)
Irmão de Menaecmo, Dinóstrato era também um matemático, e
se um resolveu o problema da duplicação do cubo, o outro resolveu
o da quadratura do círculo, com uma curva não construtível com
régua e compasso.
A quadratura deixou de ser uma questão impossível quando foi
observada por Dinóstrato uma notável propriedade da extremidade
Q da trissectriz de Hípias.
A
T
D
r
θ
a
S
B
Q H C
Equação polar da trissectriz: πrsenθ = 2 aθ
O Teorema de Dinóstrato diz que o lado a
é a média proporcional entre o segmento
DQ e o arco do quarto de círculo AC, isto é,
∩
AC
=
AB
AB
.
DQ
Conforme visto anteriormente,
92
∩
2a
AC a
DQ = lim r = . Assim, = , ou seja, .
θ→0
π a 2 a
π
a ∩ π
AC =
2
Dado o ponto Q de intersecção da trissectriz com DC, temos,
pois, uma proporção envolvendo três segmentos retilíneos e arco
circular AC. Por uma construção geométrica simples do quarto
termo numa proporção podemos facilmente traçar um segmento de
reta b de comprimento igual a AC.
O retângulo que tem lado 2b e a como o outro lado, tem área
exatamente igual à do círculo com raio a. Agora construímos o
quadrado de área igual a do retângulo, tomando como lado a média
geométrica dos lados do retângulo. Como Dinóstrato provou que a
trissectriz de Hípias serve para quadrar o círculo, a curva veio a ser
chamada mais comumente de quadratriz.
EUDOXO EUDOXO EUDOXO (408 – 355 a.C.)
Eudoxo de Cnido, aluno de Arquitas e, por algum tempo, de
Platão, é considerado o maior matemático do período helênico.
Além disso ficou famoso por defender uma ética baseada na noção
de prazer.
Não foi apenas matemático e astrônomo, mas também físico.
Em matemática pode-se dizer que recriou essa ciência,
desenvolvendo a teoria das proporções, fazendo um estudo especial
da divisão áurea e alcançando importantes resultados na geometria
dos sólidos.
Eudoxo resolveu o problema da proporcionalidade de uma
maneira geral após introduzir a noção de grandezas de mesma
espécie, tais como, comprimento, área, volume, tempo, etc. Desse
modo, suponha que A e B sejam grandezas de mesma espécie e que
C e D também sejam grandezas de mesma espécie (não
necessariamente do tipo de A e B).
A C
Pergunta-se: quando se tem = ?
B D

A C
Eudoxo postulou que: = sempre que, dados m e n
B D
inteiros positivos quaisquer, mA > nB ⇒ mC > nD ;
mA = nB ⇒ mC = nD ; mA < nB ⇒ mC < nD .
Método de Exaustão
93
Axioma: Dadas duas grandezas diferentes A e B , de mesma espécie,
e que têm uma razão, isto é, nenhuma delas sendo zero, pode-se
encontrar um múltiplo de qualquer delas que seja maior que a outra,
ou seja, existem números inteiros positivos m e n tais que
nA > B ou mB > A .
Com esse axioma Eudoxo provou, por uma redução ao
absurdo, uma proposição fundamental para o cálculo de áreas e
volumes e que foi denominada de método de exaustão:
Proposição: Se de uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte não
menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos
que a metade, e se esse processo de subtração é continuado,
finalmente restará uma grandeza menor do que qualquer grandeza de
mesma espécie.
Exemplo:
Na figura, pretende-se encontrar a área do
círculo por exaustão. Nota-se que a área
do quadrado é maior que a metade da área
do círculo. Os quatro triângulos têm área
maior do que a metade do que tinha
sobrado. Continuando o processo, a área
que ainda restar será menor do que uma
grandeza de mesma espécie, fixada
arbitrariamente. Assim a área do círculo será encontrada somando-se
o quadrado, com os quatro triângulos, etc.
Essa proposição, equivale à seguinte formulação atual:
Considere M uma grandeza qualquer,ε outra grandeza, prefixada de
1
mesma espécie, e r uma razão tal que ≤ r < 1.
Então pode-se
2
94
encontrar um inteiro positivo N, tal que M( 1 − r ) < ε para todo
inteiro n > N . Assim, a propriedade de exaustão equivale a dizer
que lim M(
1 − r ) = 0.
n→∞
n
Esse método foi muito utilizado para se provar teoremas sobre
áreas e volumes de figuras curvilíneas. Com Euclides e Arquimedes
ele se torna clássico e até a introdução da integral não havia outro
método mais eficaz. Desse modo, Eudoxo pode ser considerado o
criador do Cálculo Integral.
ARISTÓTELES ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.)
Aristóteles de Estagira, com dezoito anos, chegou a Atenas, o
grande centro intelectual e artístico da Grécia do século IV a.C.,
proveniente da Macedônia. Como muitos outros jovens, foi atraído
pela intensa vida cultural da cidade que lhe acenava com
oportunidades para prosseguir seus estudos.
Não era belo e para os padrões vigentes no mundo grego,
principalmente na Atenas daquele tempo, apresentava características
que poderiam dificultar-lhe a carreira e a projeção social. Em
particular, uma certa dificuldade em pronunciar corretamente as
palavras poderia criar-lhe embaraços e mesmo complexos numa
sociedade que, além de valorizar a beleza física e enaltecer os
atletas, admirava a eloqüência e deixava-se conduzir por oradores.
O jovem ingressa na Academia de Platão, na qual a figura
principal como mestre e diretor era, naquele momento, o matemático
Eudoxo de Cnido. Somente um ano depois é que Platão retornou,
fatigado por mais uma frustrada experiência política na Sicília. Foi o
próprio Eudoxo quem lhe apresentou o novo aluno da Academia, o
jovem da Macedônia de olhos pequenos, porém reveladores de
excepcional vivacidade.
O preceptor de Alexandre
De pura raiz jônica, a família de Aristóteles fora
tradicionalmente ligada à medicina e à família real da Macedônia.
Seu pai, Nicômaco, era médico e amigo do rei Amintas II, pai de
n

95
Filipe. Estagira, apesar de situada distante de Atenas e em território
sob a dependência da Macedônia, era na verdade uma cidade grega.
A vida de Aristóteles – e até certo ponto sua obra – estará
marcada por essa dupla vinculação, à cultura helênica e à aventura
política da Macedônia. A condição de meteco – estrangeiro
domiciliado numa cidade grega - talvez explique porque não se
tornou, como Platão, um pensador político, preocupado com os
destinos da polis e com a reforma das instituições.
Ao ingressar na Academia, que viria a freqüentar durante 20
anos, Aristóteles já trazia, como herança de seus antepassados,
acentuado interesse pelas pesquisas biológicas. Ao matematismo
predominante, ele irá contrapor o espírito de observação e a índole
classificatória, típicas da investigação naturalista, e que constituirão
traços fundamentais de seu pensamento.
Em 347 a.C., com a morte de Platão, Aristóteles deixa Atenas e
vai para Assos, na Ásia Menor, onde Hérmias, ex-integrante da
Academia, havia se tornado governante. Filipe, em 343 a.C., chama
Aristóteles à corte de Pela e confia-lhe importante missão: a de
educar seu filho, Alexandre.
Durante anos o filósofo encarrega-se dessa missão. É ainda
preceptor de Alexandre quando em 338 a.C., os macedônios
derrotam os gregos em Queronéia. Chega ao fim a autonomia das
cidades-Estados que caracterizara a Grécia no período helênico. A
partir de então – dominada pela Macedônia, mais tarde por Roma –
a Grécia integrará amplos organismos políticos que diluirão suas
fronteiras e atenuarão as distinções culturais que tradicionalmente
separavam os gregos de outros povos, sobretudo os bárbaros
orientais.
Com o assassinato de Filipe, Alexandre assume o poder e em
seguida prepara uma expedição ao oriente, iniciando a construção de
seu grande império. Aristóteles voltou a Atenas e, próximo ao
templo dedicado a Apolo Liceano, abriu uma escola – o Liceu – que
passou a rivalizar com a Academia, então dirigida por Xénocrates.
Os discípulos de Aristóteles eram chamados de peripatéticos (os que
passeiam) devido ao hábito – aliás comum nas escolas da época –
que tinham os estudantes de realizar seus debates enquanto
passeavam pelos pátios arborizados da escola.
96
Enquanto a Academia se voltava basicamente para as
investigações matemáticas, o Liceu transformou-se num centro de
estudos dedicados principalmente às ciências naturais. De terras
distantes, conquistadas em suas expedições, Alexandre enviava ao
seu ex-preceptor exemplares da fauna e da flora que viriam
enriquecer as coleções do Liceu.
O biologismo tornou-se, assim, marca central da própria visão
científica e filosófica de Aristóteles, que transpôs para toda a
natureza categorias explicativas pertencentes originariamente ao
domínio da vida. Em particular, a noção de espécies fixas –
sugeridas pela observação do mundo vegetal e animal – exercerá
decisiva influência sobre a física e a metafísica aristotélicas, na
medida em que se reflete em sua doutrina do movimento.
Apesar da estima que Alexandre sempre devotou a seu antigo
mestre, uma barreira os distanciava. Aristóteles não concordava com
a fusão da civilização grega com a oriental. Segundo ele, gregos e
orientais eram de naturezas distintas, com distintas potencialidades
e não deveriam coexistir sob o mesmo regime político.
Depois da morte de Alexandre e 323 a.C., Aristóteles passou a
ser hostilizado pela facção antimacedônica que o considerava
politicamente suspeito. Acusado de impiedade, deixou Atenas e
refugiou-se em Cálcis, na Eubéia onde morreu em 322 a.C.
O que restou da grande obra
Com base em suas próprias declarações, sabe-se que Aristóteles
realizou dois tipos de composições, as endereçadas ao grande
público, redigidas em forma mais dialética do que demonstrativa, e
os escritos ditos filosóficos ou científicos, que eram lições
destinadas aos alunos do Liceu.
Depois que deixou a Academia e durante o período em que
esteve e Assos, Aristóteles escreveu o diálogo Sobre a Filosofia, no
qual combate a teoria platônica das idéias, particularmente a teoria
dos números ideais, que caracterizava a última fase do platonismo.
Como o Timeu de Platão, o Sobre a Filosofia apresenta uma
concepção cosmológica de cunho finalista e teológico; mas, ao
contrário do que propunha Platão, o universo é explicado não à
semelhança de uma obra de arte, resultado da ação de um divino
artesão, o demiurgo, e sim como um organismo que se desenvolve

97
graças a um dinamismo interior, um princípio imanente que
Aristóteles denomina physis (natureza).
Os tratados de lógica, receberam em seu conjunto a
denominação de Organon, uma vez que para Aristóteles a logica não
seria parte integrante da ciência e da filosofia, mas apenas um
instrumento (organon) que elas utilizariam em sua construção.
Ao examinar um problema, Aristóteles parte das soluções
propostas por seus antecessores, vincula suas idéias à história e por
isso é considerado o primeiro historiador da Filosofia.
Para se atingir a verdade científica e construir um conjunto de
conhecimentos seguros, torna-se necessário, segundo Aristóteles,
possuir normas de pensamento que permitam demonstrações
corretas e, portanto, irretorquíveis. O estabelecimento dessas normas
lhe confere o título de criador da lógica formal, entendida como a
parte da lógica que prescreve regras de raciocínio independentes do
conteúdo dos pensamentos que esses raciocínios conjugam.
Exemplo: partindo-se das premissas “Todos os homens são mortais”
e “Sócrates é homem” – conclui-se fatalmente que “Sócrates é
mortal”. A conclusão resulta da simples colocação das premissas,
não deixando margem a qualquer opção, mas impondo-se com
absoluta necessidade.
Poderia ser considerado, por outro lado, o raciocínio: ”Todos os
homens são imortais”; “Sócrates é homem”; logo, “Sócrates é
imortal”.
Mas a ciência não pretende, segundo Aristóteles, ser dotada
apenas de coerência interna: ela precisa ser construída pelo perfeito
encadeamento lógico de verdades. Assim, o silogismo que equivale
à demonstração científica deverá ser um raciocínio formalmente
rigoroso, mas que parta de premissas verdadeiras.
Aristóteles e a matemática
O papel principal de Aristóteles na matemática foi o da sua
estruturação lógica. Não realizou trabalhos específicos de
matemática. Introduziu os Postulados e Axiomas ou Noções
Comuns. Postulados são proposições específicas de uma ciência,
aceitas como verdadeiras sem prova. Axiomas ou Noções Comuns
são proposições gerais que se aceitam como verdadeiras sem provas
(não são específicas).
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Exemplos de Noções Comuns:
- princípio da não contradição: uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
- princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou
é falsa e não há outra alternativa.
Pode-se dizer, assim, que Aristóteles – sobretudo pela análise
que fez do papel das definições e hipóteses – contribuiu de modo
decisivo para o desenvolvimento da matemática.
EPICURO EPICURO (341 – 270 a.C.)
Epicuro de Atenas teria acompanhado, dos quatorze aos dezoito
anos, os ensinamentos do acadêmico Pânfilo. E, através de
Nausífanes de Teo, discípulo de Demócrito, teria conhecido as
doutrinas do grande atomista. Durante algum tempo ganhou a vida
como professor de gramática e de filosofia até que, por volta de 306
a.C., adquire uma pequena casa e abre uma escola de filosofia, que
ficará conhecida como o Jardim de Epicuro.
Os alunos não têm em Epicuro um mestre no estilho tradicional:
na verdade, formam um grupo de amigos para discutir filosofia.
Epicuro exerce influência não só pelo ensino direto como pela
extraordinária personalidade. É um homem bondoso, de natureza
terna e amável, que apesar dos sofrimentos físicos impostos pela
doença que o tortura e aos poucos o paralisa, cultiva as amizades,
auxilia os irmãos e trata delicadamente os escravos. Por essa razão
todos que o conhecem dificilmente deixam seu convívio.
A morada tão calma e tão luminosa seria a meta proposta pelo
epicurismo: a morada da serenidade e do prazer. A filosofia, para
Epicuro, deveria servir ao homem como instrumento de libertação e
como via de acesso à verdadeira felicidade. Esta consistiria na
serenidade de espírito que advém da consciência de que é ao homem
que compete conseguir o domínio de si mesmo.
A teoria do conhecimento dos epicuristas (que eles chamavam
de canônica) é empirista, isto é, reduz toda a origem do
conhecimento à experiência sensível. As repetidas experiências os
sentidos, preservadas pela memória, dariam nascimento à
antecipação equivalente à noção geral ou conceito.

99
Segundo a doutrina atomista, adotada por Epicuro, “todos os
corpos, por mais compactos que sejam, possuem interstícios vazios
dentro deles”. Esse juízo não é atestado diretamente pelos sentidos;
mas, se não for admitido como verdadeiro, também não seria
verdade que “a água destila através das rochas”, ou que “o calor e o
frio passam através das paredes”.
Com efeito, se os sentidos atestam o movimento como uma
evidência, seria verdadeira, graças ao critério da não-infirmaçao, a
teoria atomista, que apresenta uma explicação racional para o
movimento, afirmando que tudo é constituído de átomos (invisíveis)
que se movem no vazio.
Como os atomistas anteriores, Epicuro considera os átomos
como infinitos em número, indivisíveis fisicamente e imensamente
pequenos; além disso, seriam móveis por si mesmos, pois o vazio
não ofereceria qualquer resistência à locomoção.
E devido ao peso é que os átomos, num momento inicial, são
imaginados por Epicuro como “caindo”; mas, situados dentro do
vazio, teriam que desenvolver nessa “queda” trajetórias
necessariamente paralelas. Isso significa que os átomos jamais se
chocariam dando origem aos engates e aos torvelinhos
indispensáveis à constituição das coisas e dos mundos, se algum
fator não viesse interferir naquele paralelismo das trajetórias.
Afastando o rígido mecanicismo da física dos primeiros
atomistas, Epicuro introduziu, então, a noção de “desvio”: sem
nenhuma razão mecânica, os átomos, em qualquer momento de suas
trajetórias verticais, poderiam se desviar e se chocar.
O “desvio” apareceria, assim, como a introdução do arbítrio e
do imponderável num jogo de forças estritamente mecânico: é a
ruptura da necessidade, no plano da física, para acolher a
contingência.
Com sua concepção materialista da realidade, Epicuro pretendia
libertar o homem dos dois temores que o impediriam de encontrar a
felicidade: o medo dos deuses e o temor da morte. Os deuses
existem, dizia Epicuro, mas seriam seres perfeitos que não se
misturam às imperfeições e às vicissitudes da vida humana. Quanto
à morte, não há também porque temê-la. Ela não seria mais que a
dissolução do aglomerado de átomos que constitui o corpo e a alma.
A dor presente, ensinava Epicuro, pode se escapar por meio da
100
lembrança dos prazeres passados ou pela expectativa de prazeres
futuros.
Epicuro – ele próprio um homem doente e vítima de terríveis
sofrimentos físicos, um grego sem liberdade política – teria dado a
demonstração dessa técnica interior, de evasão, capaz de permitir ao
homem enfrentar serenamente as mais adversas circunstâncias. Seu
hedonismo altamente espiritualizado, que fazia da contemplação
intelectual e das delícias da amizade os mais elevados prazeres,
legou às éticas posteriores uma lição que nunca mais será esquecida:
a de que o homem pode se sustentar de recordações e de esperanças.
Na mudança do período helênico para o helenístico – após a
morte de Alexandre – pode-se observar alguns detalhes nas obras
monumentais dos vultos, Platão e Aristóteles, que foram as
predominantes na formação do pensamento ocidental.
Predominaram, talvez, porque em linhas gerais, iam ao encontro dos
interesses das classes dominantes.
Essas obras influentes por séculos e séculos, no fundo têm a
preocupação de justificar cientificamente a sociedade grega com
grandes desníveis sociais, uma sociedade onde a maior parte da
população não tinha os direitos dos cidadãos na famosa democracia.
Platão procurava um rei-filósofo para governar sua cidade ideal,
mas nunca pensou em abolir a escravidão; o Estado-ideal era
formado por cidadãos e escravos. Muito mais escravos que cidadãos.
Aristóteles justifica e defende, por exemplo, a escravidão. Do
mesmo modo que o universo físico estaria constituído por uma
hierarquia inalterável, segundo a qual cada ser ocupa,
definitivamente um lugar que lhe seria destinado pela natureza (e do
qual ele só se afasta provisoriamente através de movimentos
violentos), assim também o escravo teria seu lugar natural na
condição de “ferramenta animada”. Aristóteles chega mesmo a
afirmar que o escravo é escravo porque tem alma de escravo, é
essencialmente escravo, sendo destituído por completo de alma
noética, a parte da alma capaz de fazer ciência e filosofia e que
desvenda o sentido e a finalidade última das coisas.

Exercícios Exercícios
Exercícios
101
1. Trace um ângulo de 60° e use a trissectriz de Hípias para dividi-lo
em sete partes iguais.
2. Usando apenas régua e compasso, construa o segmento x tal que
ax = b², sendo que a e b são quaisquer segmentos dados.
3. Dados os segmentos a e b e usando régua e compasso apenas,
construa x e y, tais que x + y = a e xy = b².
4. Dados os segmentos a, b e c, construa x e y, tai que x – y = a e
xy = bc.
5. Resolva a equação x² + ax = b², construindo um segmento que
satisfaça à condição dada.
102

A A CIÊNCIA CIÊNCIA HELENÍSTICA
HELENÍSTICA
“Nem mesmo para os reis existe uma estrada mais curta para a
geometria” (Euclides)
O O O MUSEU MUSEU DE DE DE ALEXANDRIA
ALEXANDRIA
ALEXANDRIA
103
Com a morte de Alexandre seu império foi retalhado e coube o
Egito a um membro da sua corte, Ptolomeu. Fundador da dinastia
ptolomaica (que reinou até 30 a.C., com quinze reis Ptolomeu), fez
de Alexandria a capital, onde estabeleceu um museu e uma
biblioteca.
A cidade tornou-se uma grande metrópole comercial, por ser
um entreposto de localização privilegiada entre o Ocidente e o
Oriente, e, principalmente a capital intelectual e artística do mundo
helenístico, por ter se tornado ponto de confluência de diferentes
culturas e ter atraído sábios de diferentes lugares.
O Museu ou Casa das Musas de Alexandria, que viria a ser mais
tarde o maior centro de estudos da antiguidade, foi fundado em 294
a.C. por Demétrio de Falero, um discípulo de Aristóteles, eminente
cidadão e sábio de Atenas. Acompanharam-no alguns membros da
escola peripatética, interessados sobretudo nas ciências.
Modelado pelas escolas atenienses e bem subsidiado pelo
tesouro real, o Museu foi uma verdadeira universidade de ciências
gregas. Possuía como anexo, uma grande biblioteca, um refeitório e
salões de conferencia para os professores. Foi ali que, durante 700
anos, a ciência grega teve a sua principal morada.
Com tal rapidez aumentou a biblioteca que, por volta de 250
a.C., continha mais de 400000 rolos, tanto mais valiosos pela razão
de serem os textos clássicos fixados por sábios idôneos, com o
aditamento de notas lingüísticas e históricas. O poeta e erudito
Calímaco (cerca de 250 a.C.) organizou um catálogo de autores em
120 volumes, com a relação completa das obras e uma breve
biografia de cada autor. Dispondo dessas facilidades e de papiro a
preço módico, tornou-se Alexandria o maior centro editorial que
passou a exportar obras para todas as partes do mundo grego.
104
Sua fama não tardou a superar a de Atenas e, inclusive, os
romanos para ali se dirigiam, a fim de estudar a arte terapêutica, a
anatomia, a matemática, a geografia e a astronomia.
EUCLIDES EUCLIDES (360 – 295 a.C.)
Euclides de Alexandria floresceu por
volta de 300 a.C. Ignora-se qual tenha
sido a sua terra natal e até a sua etnia.
Diz-se que era de natural pacífico e
benévolo e que sabia avaliar devidamente
o mérito científico de seus predecessores.
Conquanto não se saiba quase nada de
sua vida e personalidade, as obras de
Euclides tiveram uma influência e uma
vitalidade quase, senão inteiramente, sem
paralelo. Prosseguindo a sua história dos
matemáticos, escreve Proclo: “não muito
depois destes (os da Academia) viveu
Euclides - A Escola de Euclides, que escreveu os Elementos,
Atenas sistematizou grande parte dos trabalhos
de Eudoxo e demonstrou de maneira
irrefutável certas proposições que os seus antecessores, tinham
dado provas menos rigorosas”.
Conta-se que o rei Ptolomeu lhe perguntou certa vez se não
havia um caminho mais curto do que os Elementos para aprender
geometria. Respondeu-lhe Euclides que em geometria não havia
caminho aplainado para os reis.
Os Elementos
Euclides foi visivelmente influenciado pelos ideais da escola
platônica e há fortes indícios de que tenha estudado na Academia.
Por esse motivo, os seus Elementos (Stoichia) têm por objetivo a
construção dos chamados “corpos platônicos”, isto é, dos cinco
poliedros regulares.
Esse tratado, que durante 2000 anos serviu de base a quase todo
ensino dito elementar, é a mais conhecida de suas obras e foi

105
considerada no mundo grego como obra definitiva, realizada após
muitas tentativas e não podemos esquecer a de Hipócrates de Quios.
Compreendia treze livros ou rolos dos quais apenas seis
costumavam ser incluídos nas edições escolares, durante vários
séculos passados. Em essência, a obra é uma introdução metódica à
matemática grega e consiste, principalmente, num estudo
comparativo das propriedades e relações das figuras planas e dos
sólidos geométricos que se podem construir e representar, mediante
o uso de régua e compasso, apenas. A comparação de figuras levou
a considerações aritméticas, inclusive a dos números irracionais
correspondentes à linhas incomensuráveis.
Os treze livros de Os Elementos estão assim distribuídos:
Livro I: Construções elementares, teoremas de congruência, área de
polígonos, teorema de Pitágoras;
Livro II: Álgebra geométrica;
Livro III: Geometria do círculo;
Livro IV: Construção de certos polígonos regulares;
Livro V: A teoria das proporções de Eudoxo;
Livro VI: Figuras semelhantes;
Livros VII – IX: Teoria dos números;
Livro X: Classificação de certos irracionais;
Livro XI: Geometria no espaço, volumes simples;
Livro XII: Áreas e volumes encontrados pelo “método da exaustão”
de Eudoxo;
Livro XIII: Construção dos cinco sólidos regulares.
O procedimento de Euclides
Quais são os traços característicos das técnicas adotadas por
Euclides? Em primeiro lugar, ele sempre enuncia as suas leis em
forma universal. Não examina as propriedades de uma determinada
linha ou figura realmente existente; examina, ao contrário, as
propriedades que todas as linhas ou figuras de uma certa espécie
devem ter. Não apenas isso, formula as leis de modo a torná-las
rigorosas e absolutas – nunca são dadas como simples
aproximações. Diz, por exemplo, que a soma dos ângulos internos
106
de qualquer triângulo é sempre igual a dois ângulos retos; não diz
tratar-se de um resultado aproximado ou usualmente verdadeiro –
põe a asserção como algo rigoroso e absolutamente verdadeiro. E o
que é mais importante, Euclides não se limita a enunciar um grande
número de leis geométricas: demonstra-as.
Na verdade, o seu livro consiste em demonstrações colocadas
de maneira sistemática de acordo com as idéias de Aristóteles. As
demonstrações não são de caráter indutivo, ao contrário dos antigos
egípcios e mesopotâmios, que obtiveram vários princípios por
intermédio da observação e da experimentação. Euclides não nos
pede, jamais, que efetuemos medidas de ângulos de triângulos reais
a fim de verificar que a soma é igual a dois retos. Não se preocupa
em momento algum, com experimentos ou observações desse
gênero.
Em vez disso, apresenta-nos demonstrações, de caráter
dedutivo, por meio das quais chegou as suas conclusões com o rigor
da absoluta necessidade lógica.
A seguir, uma síntese dos treze livros de Os Elementos.
Livro I
Com 48 proposições, inicia-se com uma lista de 23 definições,
dentre as quais destaca-se:
Definições:
1. Um ponto é aquilo que não tem partes;
2. Uma linha é um comprimento sem largura;
15. Um círculo é a figura plana fechada por uma linha tal que todos
os segmentos que sobre ela estejam e que passem por um ponto
determinado do interior da figura sejam iguais entre si;
23. Retas paralelas são linhas retas que, estando no mesmo plano,
prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, não se cruzam.
Após a lista de definições seguem-se cinco postulados e cinco
axiomas; que conjuntamente, formam as hipóteses sobre as quais
repousa a teoria.
Postulados:
1. Uma linha reta pode ser traçada de um para outro ponto qualquer;
2. É possível prolongar arbitrariamente um segmento de reta;
3. É possível traçar um círculo com qualquer centro e raio;
4. Dois ângulos retos quaisquer são iguais entre si;

107
5. Se uma reta, interceptando duas outras retas forma ângulos
interiores do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, então
as duas retas,
caso prolongadas
indefinidamente, se
encontram do
mesmo lado em que
os ângulos são
menores do que
dois ângulos retos.
Axiomas:
1. Grandezas iguais a uma mesma grandeza são iguais entre si;
2. Se a grandezas iguais forem adicionadas grandezas iguais, as
somas serão iguais;
3. Se grandezas iguais forem subtraídas de grandezas iguais, os
resultados serão iguais;
4. Grandezas que coincidem entre si são iguais;
5. O todo é maior do que suas partes.
Observação: os postulados são as hipóteses básicas relativas a um
ramo específico do conhecimento, nesse caso a geometria, enquanto
que os axiomas tratam da comparação de grandezas e são aceitos em
todas as áreas. Atualmente não se faz mais tal distinção e
afirmações, que são aceitas sem demonstração, são chamadas
indistintamente de axiomas ou postulados. As leis demonstráveis
são os teoremas, ou, segundo a terminologia antiga, as proposições.
Para termos uma idéia do método empregado por Euclides,
examinemos o tratamento dado a algumas proposições:
Proposição 1: Construir um triângulo eqüilátero, dado o seu lado.
Dado o segmento AB, pedese
um triângulo eqüilátero
construído sobre AB. Traçase
uma circunferência de
centro A e distância (raio)
AB; seja BCD essa
circunferência (postulado 3)
a
b
c
108
Repita-se o processo, tomando-se o centro B e a distância BA;
obtém-se a circunferência ACE (postulado 3). Traça-se as retas CA e
BC, unindo o ponto C, em que as circunferências se cortam, aos
pontos A e B (postulado 1). Ora, sendo A o centro do círculo CDB,
segue-se que AC é igual a AB (definição 15). De modo análogo,
sendo B o centro de CAE, BC é igual a BA (definição 15). Mas já se
mostrou que CA era igual a AB; logo, os segmentos CA e CB são
também iguais a AB. Mas (axioma 1) CA é igual a CB. Em
conseqüência, as linhas retilíneas CA, AB e BC são iguais entre si.
Segue-se que o triângulo ABC é eqüilátero e foi construído sobre um
segmento dado, AB.
Proposição 2: Dois paralelogramos de bases e alturas
respectivamente iguais, têm a mesma área.
Proposição 47 (Teorema de Pitágoras): Em triângulos retângulos, o
quadrado construído sobre o lado que subtende a ângulo reto (isto é,
a hipotenusa) é igual à soma dos quadrados sobre os lados que
contêm o ângulo reto.
Sobre os três lados de
um triângulo retângulo
ABC (C = 90 °) são
construídos quadrados.
A altura CH a partir de
C é traçada e
prolongada até F. São
traçados os segmentos
DB e CE. Observa-se,
em primeiro lugar, que
o triângulo DAB é
congruente ao
triângulo CAE. Para
ver isso basta girar um
deles de 90° em torno
de A; um cobrirá
exatamente o outro.
Ora, o quadrado sobre
AC é duas vezes o

109
triângulo DAB, pois tem a mesma base, AD, e estão situados entre as
mesmas retas paralelas. Esse é um caso particular da Proposição 2.
“Se um paralelogramo e um triângulo têm a mesma base e estão
situados entre duas paralelas dadas, então o paralelogramo tem duas
vezes a área do triângulo.”
Do mesmo modo, vemos que o retângulo AEFH é duas vezes o
triângulo CAE, pois tem também a mesma base, AE, e estão situados
entre as mesmas retas paralelas. Como os dois triângulos são
congruentes, o quadrado sobre AC é igual ao retângulo AEFH.
Segue-se, exatamente da mesma maneira, que o quadrado sobre
BC é igual ao retângulo sobre HB, e desta maneira a soma dos
quadrados sobre AC e BC é igual à soma dos dois retângulos; que é
exatamente o quadrado sobre AB.
Além dessa demonstração elegante do Teorema de Pitágoras,
Euclides demonstrou que em um triângulo retângulo o quadrado de
um lado é igual ao produto das projeções da hipotenusa sobre toda a
hipotenusa.
Proposição 48 (Recíproca do Teorema de Pitágoras): Se em um
triângulo o quadrado de um dos lados é igual a soma dos quadrados
dos outros dois, então o triângulo é retângulo.
Livro II
Com 14 proposições, quase todas sobre álgebra geométrica,
indica uma grande influência das idéias de Eudoxo.
Exemplos:
• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à
adição:
a ( b + c ) = ab + ac
110
• Produtos notáveis
• Equação do primeiro grau
ax = b
2
( a + b ) = a + 2ab + b
2
2
b a
Proposição 11 (Segmento Áureo)
Dividir uma linha reta em duas partes tais que o retângulo
contido pelo todo e uma das partes tenha área igual à do quadrado
sobre a outra parte.
Se o segmento dado é AB, deve-se determinar o ponto X desse
segmento tal que o retângulo de lados AB = BC e XB tenha a mesma
área do quadrado de lado AX.
Indiquemos as medidas de AB e AX por a e x respectivamente.
Nessas condições a e x devem satisfazer a seguinte condição:
2
a ( a − x ) = x .
b
ab
b 2
a 1
a 2
ab
b
x
a
b

111
Numa forma simplificada, e em notação atual, a solução de
Euclides compõe-se dos seguintes passos:
• Construir o quadrado ABCD sobre o
segmento dado AB;
• Tomar o ponto médio, E, de DA;
• Tomar F sobre o prolongamento de
DA de maneira que EF=EB;
• Construir o quadrado sobre o lado AF
no mesmo semi-plano de BC.
• O vértice X desse quadrado,
pertencente ao segmento AB, é a
solução do problema. De fato:
1 1
AE = AD = a . Assim no triângulo
2 2
2 2
ABE tem-se
2 )
a a 5
EB = a + ( = .
2
a 5 a a(
−1
+ 5)
Daí, AX = AF = EF − EA = EB − EA = − =
que,
2 2 2
como se pode verificar facilmente, é a raiz positiva de
2
a ( a − x ) = x .
Livro III
Com 39 proposições, provavelmente descobertas por
Hipócrates, é dedicado à geometria do círculo, da circunferência e
correlatos como arcos, segmentos, tangentes e cordas.
Livro IV
Com 16 proposições, é dedicado à construção com régua e
compasso de alguns polígonos regulares: triângulos, quadrados,
pentágonos e hexágonos, inscritos e circunscritos em
circunferências. Na última proposição, com base no triângulo e no
pentágono regulares, constrói-se o polígono regular de 15 lados
(pentadecágono).
Livro V
Com 25 proposições, é inteiramente aritmético, embora use
segmentos de retas para representar números. É nele que Euclides
112
apresenta a teoria das proporções de Eudoxo. Como exemplo temos
a proposição 5: “Se um número divide dois outros, ele também
divide a diferença entre ambos”.
Livro VI
Com 33 proposições, é a aplicação da Teoria das Proporções às
figuras semelhantes.
Como exemplo, encontramos dois casos de construção, que,
devidamente interpretados, recaem na solução da equação do
segundo grau.
Proposição 28: Dividir um segmento de reta de modo que o
retângulo contido por suas partes seja igual a um quadrado dado,
não excedendo este o quadrado sobre metade do segmento de reta
2
2
dada. Em linguagem atual, x − px + q = 0 , em que p e q são
segmentos dados.
q
E
AB
Sejam q e AB dois segmentos de reta, q < .
2
2
Divide-se AB com o ponto Q tal que ( AB )( QB ) = q .
Para isso coloca-se PE = q, em que P é o ponto médio de AB.
Com centro em E e PB como raio, marca-se em AB o ponto Q.
2
2
2
Nota-se que: q = ( PB ) − ( PQ ) = ( PB − PQ )( PB + PQ ) =
= ( QB )( AQ ). Denotando agora o segmento AB por p conclui-se
que a construção dá a solução da equação x − px + q = 0.
De fato,
se r e s são raízes dessa equação, tem-se p = r + s e q = rs.
Mas isso acontece, pois, p = AQ + QB e q = ( AQ )( QB ) .
Assim, AQ e QB representam as raízes r e s.
q
A P
2
2
2
2
Q B

113
Se for considerado os segmentos simétricos de AQ e QB tem-se
2
2
as soluções da equação x + px + q = 0 .
2
Exemplo: x − 3x
+ 1 = 0 .
Na demonstração anterior, fazendo p = 3 e q = 1, tem-se:
3 5
3 + 5
r = AQ = AP + PQ = + e s = QB = AB − AQ = 3 − .
2 2
2
Proposição 29: Prolongue um dado segmento de reta de modo que o
retângulo contido pelo segmento estendido e a extensão seja igual a
2
2
um quadrado dado. Em linguagem atual, x − px − q = 0 .
Toma-se novamente os segmentos q e AB. Encontra-se, assim, o
2
ponto Q tal que q = ( AQ )( QB ) . Por construção tem-se BE = q e
PE = PQ, em que P é o ponto médio de AB.
2 2
2
2
Assim ( PB ) + q = ( PE ) = ( PQ ) , ou seja,
2 2
2
,
q = ( PQ ) − ( PB ) = ( PQ − PB )( PQ + PB ) = ( QB )( PQ + PA ) = ( QB )( AQ )
em que AQ = r, QB = s e AB = p. Logo, r − s = p e
2
r( − s ) = −rs
= −(
AQ )( QB ) = −q
. Portanto r e − s são raízes de
2
x − px − q = 0 .
2
q
2
Finalmente r = −r
x + px − q = 0 .
2
2
1 e s
Exemplo: x −13x − 9 = 0 .
A P
r 2 = são as raízes da equação
Na demonstração anterior, fazendo p =13 e q = 3, tem-se:
q
E
B
114
13 + 205
r = AQ = AB + BQ = AB − QB = 13 −
2
e
13
s = QB = PB − PE = +
2
205
.
2
Livro VII
Com 39 proposições, estuda as propriedades dos números
naturais e suas relações. Mesmo na teoria dos números o enfoque
era geométrico. Pode-se observar isso, por exemplo, nas definições:
Divisibilidade: um número é parte de outro, o menor do maior,
quando ele mede o maior.
Número primo: um número é primo quando é mensurável apenas
pela unidade.
Proposição 2 (Algoritmo de Euclides): dados a, b ∈ N ( b ≠ 0 ) ,
existem q, r ∈ N tais que a = bq + r ( 0 ≤ r < b ) .
Lema de Euclides: considere p, a,
b ∈ N , p primo. Se p divide ab,
então p divide a ou p divide b.
Livro VIII
Com 27 proposições, trata de propriedades dos números em
proporção continuada, hoje denominada de progressão geométrica.
Proposição 22: Se três números estão em proporção continuada e se
o primeiro deles é um quadrado, então o terceiro também será um
quadrado.
Livro IX
Com 36 proposições, apresenta resultados significativos para o
desenvolvimento da atual teoria dos números.
Proposição 20: Números primos são mais do que qualquer
quantidade fixada de números primos.

115
Na linguagem atual: ”o conjunto dos números primos é
infinito”.
A prova é indireta, pois mostra-se que a hipótese de haver só
um número finito de primos leva a uma contradição.
Seja P o produto de todos os primos, n p ... p , p1 2 , supostos em
número finito, e consideremos o número = + 1 = 1 2 n + 1 p ... p p P N .
N não pode ser primo, pois isso contradiria a hipótese de P ser o
produto de todos os primos. Logo N é composto e deve ser medido
por algum número p. Mas p não pode ser nenhum dos fatores primos
que entram em P, senão seria um fator de 1. Logo p deve ser um
primo diferente de todos os fatores de P; portanto, a hipótese de P
ser o produto de todos os primos é falsa.
Proposição 35 (soma da progressão geométrica): Se tantos números
quantos se queira estão em proporção continuada, e se subtrair do
segundo e último números iguais ao primeiro, então assim como o
excesso do segundo está para o primeiro, o excesso do último estará
para todos os que o procedem.
Em outras palavras, temos:
Se a 1 , a2
,..., an+
1 com 1 < 2 < < n+
1 a ... a a estão em proporção
a1
a2
an−
1 an
continuada, temos: = = ... = = .
a a a a
an+ 1 − an
an
− a
Logo, =
a a
a
n
n
an+
1 − a1
+ a + ... + a
n−1
2
2
+ a
1
n−1
=
3
n−1
a
n
a3
− a
= ... =
a
2 −
No caso a 1 = a,
a2
= ar ..., tem-se
r −1
seja, Sn
= a .
r −1
n
a
1
a
1
.
2
2
n+
1
=
a2 − a
a
n
1
1
e assim
ar − a ar − a
= , ou
S a
Proposição 36 (números perfeitos): Se tantos números quanto se
queira, começando com uma unidade, forem colocados
continuamente em proporção dupla até que a soma de todos se torne
n
116
um número primo, e se a soma for multiplicada pelo último, o
produto será perfeito.
2
n−1
n
Em notações atuais: se 1+
2 + 2 + ... + 2 = 2 −1
é primo,
então 2 ( 2 1)
1 n−
n
− é perfeito.
Exemplos:
Para n = 2 tem-se 2 1 3
2
2
− = , primo. Logo 2(
2 − 1)
= 6 é
perfeito.
Para n = 3 tem-se 2 1 7
3
3
− = , primo. Logo 2(
2 − 1)
= 28 é
perfeito.
Vale lembrar que um número é perfeito se é igual à soma de
seus divisores próprios.
Livro X
Com 115 proposições, o mais longo dos treze, classifica
diversos tipos de grandezas incomensuráveis, produzidas pela
extração de raízes quadradas.
Dentre os incomensuráveis estudados, estão os dos tipos
a ± b , a + b , a ± b , a + b , sendo que a e b são
grandezas comensuráveis.
Embora acredite-se que esse livro tenha sido quase todo
produzido por Teetecto, sua primeira proposição é o famoso método
de exaustão de Eudoxo, que já nos referimos anteriormente.
A proposição 28 mostra como podem ser encontradas as
ternas pitagóricas, ou seja, os ternos de números inteiros positivos
em que o quadrado de um é igual a soma dos quadrados dos outros
dois.
Livro XI
Com 39 proposições, corresponde à passagem de Euclides do
plano para o espaço. Pela primeira vez são tratadas as figuras
sólidas, definidas como as que têm comprimento, largura e
espessura. São definidas figuras como ângulo sólido, pirâmide,
prisma, paralelepípedo, cone, esfera e os cinco poliedros regulares.

117
Livro XII
Com 18 proposições, é dedicado ao estudo de áreas e volumes
de figuras como círculos, cones, esferas e pirâmides.
Proposição 1: Áreas de polígonos semelhantes inscritos em círculos
estão entre si como os quadrados dos respectivos diâmetros.
Proposição 2: As áreas dos círculos estão entre si como os
quadrados dos respectivos diâmetros.
Proposição 7: Qualquer prisma de base triangular pode ser dividido
em três pirâmides de bases triangulares de iguais volumes.
Proposição 10: O volume de qualquer cone é a terça parte do
volume do cilindro de mesma base e mesma altura.
Livro XIII
Com 18 proposições, trata da construção, com régua e
compasso, dos cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro,
dodecaedro e icosaedro.
Outras Obras de Euclides
Euclides e os Elementos são freqüentemente considerados
sinônimos, mas a realidade é que escreveu cerca de uma dúzia de
tratados, cobrindo tópicos variados, desde óptica, astronomia,
música e mecânica e até um livro sobre secções cônicas.
Do que Euclides escreveu mais da metade se perdeu, inclusive o
tratado sobre cônicas.
Cinco obras de Euclides sobreviveram até hoje: Os Elementos,
Os Dados, Divisão de figuras, Os fenômenos e óptica.
118
ARISTARCO ARISTARCO (310 – 230 a.C.)
Aristarco de Samos defendeu uma interessantíssima e
significativa teoria astronômica, o heliocentrismo, contrariando
todas as teorias até então apresentadas, desde os mesopotâmios.
Autor de um tratado Das Dimensões e Distâncias do Sol e da
Lua, procurou determinar essas distâncias relativamente uma à
outra, calculando a distância angular entre os dois astros quando a
Lua
87º
Terra
Lua estivesse no quarto crescente, isto é, quando as retas que unem
o Sol à Lua e esta à Terra formam um ângulo reto na Lua.
Aristarco desse modo deduziu que:
1. A distância da Terra ao Sol é maior que 18 vezes e menor
que 20 vezes a distância da Terra à Lua.
2. Os diâmetros do Sol e da Lua têm a mesma razão que suas
distâncias da Terra.
3. A razão do diâmetro do Sol pelo diâmetro da Terra é maior
do que 19/3 e menor do que 43/6.
Os erros cometidos devem-se aos dados usados, pois o
raciocínio estava correto.
São tão grandes as dificuldades desse processo, que foi
impossível alcançar um alto grau de exatidão, e o resultado obtido
por Aristarco (29/30 do ângulo reto, enquanto o verdadeiro é
expresso pela fração 539/540) correspondia à razão de 1 para 19
entre as duas distâncias. O resultado não era ruim considerando que
Aristarco não dispunha de bons processos trigonométricos ou
qualquer outro método para aplicar no problema.
Não se pode afirmar com certeza se essa notável antecipação da
teoria de Copérnico era fruto de uma convicção ou simples
3º
Sol

119
especulação feliz, mas de qualquer modo ela não foi aceita, e por
isso não teve vida longa. Arquimedes, por exemplo, comentou a
teoria de Aristarco discordando da essência do trabalho.
É verdade que no século seguinte, Seleuco, um astrônomo de
origem Babilônia, ensinou que havia a rotação da Terra sobre o seu
eixo e a revolução em torno do Sol, no entanto, essas ousadas teorias
não tornaram a ser formuladas senão 1700 anos depois. Seleuco teria
observado também as marés, dizendo que “a revolução da Lua é
oposta à rotação da Terra, mas o ar que se acha entre os dois astros,
sendo arrastado para a frente, vem a cair no oceano e isso causa a
perturbação do mar”.
ARQUIMEDES ARQUIMEDES (287 – 212 a.C.)
Arquimedes de Siracusa,
considerado o maior sábio da
Antiguidade e um dos mais
famosos de toda a história da
ciência é outro grande nome
da escola alexandrina. Foi
matemático,físico, astrônomo
e engenheiro. Enriqueceu a
geometria euclidiana, já
altamente desenvolvida,
A morte de Arquimedes – Courtois introduziu importantes
progressos na álgebra, lançou
os fundamentos da mecânica e até prenunciou o cálculo diferencial e
integral. Ao dar continuidade, e grande avanço, aos trabalhos de
Eudoxo, aperfeiçoou o método de exaustão que seria durante dois
mil anos o único instrumento seguro para o cálculo de áreas e
volumes.
Passou a maior parte de sua vida na cidade natal, tendo, em
certas conjunturas, prestado valiosos serviços como engenheiro
militar. Tinha talento especial para inventar instrumentos práticos –
catapultas para lançar pedras, cordas, polias, ganchos para levantar
navios e espelhos para causar incêndios.
120
Nessa época, Roma já estava em expansão, com muitas guerras
de conquistas, dentre as quais são bem conhecidas as chamadas
“guerras púnicas” contra Cartago. Esta cidade ficava onde hoje é um
subúrbio de Tunis, a capital da Tunísia.
Cartago controlava uma extensa região que se estendia até a
Espanha, constituindo-se numa incômoda rival de Roma. Na
segunda das guerras púnicas, Siracusa se aliara a Cartago, daí ter
sofrido uma investida fatal de Roma. Há indícios de que Siracusa
resistiu bravamente aos ataques do general Marcelo, graças às
máquinas de guerra idealizadas por Arquimedes. Finalmente, depois
de um longo cerco, acabou por sucumbir à superioridade das tropas
romanas. Há várias versões sobre a morte de Arquimedes; segundo
uma delas, durante o saque da cidade, em 212 a.C., ele foi morto por
um soldado romano, quando absorto, se ocupava com problemas
matemáticos.
Os trabalhos de Arquimedes (em ordem cronológica provável)
Sobre o equilíbrio de figuras planas, I; A quadratura da parábola;
Sobre o equilíbrio de figuras planas, II; Sobre a esfera e o cilindro,
I, II; Sobre as espirais; Sobre os conóides e esferóides; Sobre os
corpos flutuantes I, II; A medida do círculo; O Contador de grãos
de areia e A carta a Eratóstenes sobre o Método.
Segue alguns comentários que consideramos importantes sobre
algumas obras de Arquimedes.
A Medida do Círculo
Neste trabalho, Arquimedes prova três proposições:
1- Todo círculo é equivalente a um triângulo retângulo em que os
catetos são iguais, respectivamente, ao raio e ao comprimento
da circunferência do círculo.
Prova:
Sejam r o raio do círculo, c o comprimento da circunferência, C a
área do círculo e T a área do triângulo retângulo.
Temos que provar que C = T.

C
r
r
121
Suponha C > T. Seja A = C – T, A > 0. Considere um polígono
regular inscrito de apótema m’, perímetro p’ e de área P’, tal que C –
P’ < A.
Assim, C – P’ < A = C – T, ou seja, P’>T
Mas p'⋅m'
P'
= e
c ⋅ r
T ' = , logo, p’⋅m’> >c⋅r, o
•
m'
2
que é um absurdo, pois p’< c e m’

123
ABC + 1 ABC + 1 ABC +...+ 1
4 42
4n ABC, (1)
a qual, à medida que n cresce, aproxima-se cada vez mais de
4
ABC.
3
1
A prova de que ADC = ABC faz-se como se segue, com a
4
notação e os segmentos construídos da figura. Da definição de
parábola, AF = k(FD) 2 e AB = k(BC) 2 . Como FD = BM = 2 1 BC,
1
deduz-se que AF = HD = AB. Por semelhança de triângulos,
4
MC 1
= =
AB BC 2
EM , de modo que EM = 2 1 AB. Daí
1
DE = AB – HD – EM = AB – AB – 1 1
AB = AB.
4 2 4
1
Assim, ADE e AEM têm a mesma altura AH e bases DE = AB
4
e EM = 1 AB, respectivamente. Logo, ADE = 1 AEM. Do
2 2
mesmo modo, DEC = 2 1 EMC; de maneira que, por adição, ADC =
1 ACM. Além disso, ACM e AMB têm bases iguais (MC e BM) e
2
1
mesma altura (AB), e assim ADC = ABC.
4
Analogamente, com o uso dos segmentos construídos
1
apresentados na figura, podemos provar que DD’C = DCE e
4
1 1
AD”D = ADE, de forma que AD”D + DD’C = ADC =
4
4
=
1 ABC, completando assim a segunda etapa da prova.
2
4
124
Como decorrência da Quadratura da Parábola, realizada por
Arquimedes, surge provavelmente a primeira série infinita na
Matemática, uma progressão geométrica de razão 1 .
4
Mostraremos a seguir o processo utilizado por Arquimedes para
encontrar a soma dessa série, evitando fazer n→∞.
Problema: Mostrar que 1 1 1 4 .
Segundo Arquimedes,
Isso segue do seguinte fato:
1 + + + ... + + ... =
2 n
4 4 4 3
1 1 1 1 1
1+ + + ... + + ⋅
2 n n
4 4 4 3 4
4
= .
3
1
k
4
1 1
+ ⋅ k 3 4
4
= k
3⋅
4
1 1
= ⋅ k−
3 4
1 1
Portanto, 1+ + 2 4 4
⎛ 1
+ ... + ⎜ n
⎝ 4
1 1 ⎞
+ ⋅ ⎟ = n 3 4 ⎠
1 1
= 1+
+
2 4 4
⎛ 1
+ ... + ⎜ n−1
⎝ 4
1 1 ⎞
+ ⋅ ⎟ = .. . . .=
n−1
3 4 ⎠
⎛ 1 1 1 ⎞ 1 4
1 + ⎜ + ⋅ ⎟ = 1+
=
⎝ 4 3 4 ⎠ 3 3
A quadratura da parábola pelo Método da Alavanca
O método que Arquimedes visualizou corretamente e que
habilitaria seus contemporâneos e sucessores a fazer novas
descobertas, consistia num esquema para equilibrar entre si os
“elementos” de figuras geométricas.
Foi na quadratura da parábola que aplicou, pela primeira vez o
chamado método da alavanca, tendo equilibrando entre si os
segmentos de reta que formam o triângulo com os correspondentes
segmentos que formam o setor parabólico.
Após ter descoberto uma certa propriedade, por método da
alavanca, ele aplicava o método de exaustão para prová-las,
ajustando-se assim aos padrões de rigor da época.
1

125
Seja s a região limitada por uma parábola p e uma corda AB de
ponto médio M. Seja t a tangente a p em A. Dos pontos B e M
traçam se retas paralelas ao eixo, as quais interceptam t em D e E,
respectivamente; suponha que ME intercepte p em C, ponto este
chamado de vértice de s. Temos que C é o ponto médio de ME. Seja
l a reta que contém AC e indiquemos por F sua intersecção com BD.
Nessa altura Arquimedes compara o segmento parabólico s com
o triângulo ABD. Seja O um ponto qualquer de AB. Suponha que a
reta por O, paralela ao eixo de p intercepte p, t e l nos pontos P, Q e
OP OB RF
R, respectivamente. Assim, = = .Nesse ponto dá um
OQ AB AF
passo engenhoso: considera l como uma alavanca, com fulcro em F,
e toma o ponto T em l de maneira que F seja o ponto médio de AT.
Em T ele “pendura” um segmento UV, congruente a OP. Então, da
UV RF RF
igualdade acima = = , ou UV⋅TF = OQ⋅RF.
OQ AF TF
Assim o segmento UV, suspenso pelo seu ponto médio T, está
em equilíbrio com o segmento OQ, suspenso pelo seu ponto médio
R.
Arquimedes imagina agora o triângulo ABD como a união de
todos os segmentos de reta como OQ, paralelos ao eixo. Cada um
deles tem um segmento correspondente OP congruente a um
segmento UV, que se “pendura” em T. Dessa forma concebe o
triângulo em equilíbrio com o segmento parabólico s, que se
imagina suspenso em T. Além do mais, como se sabia previamente,
pode-se considerar o triângulo suspenso pelo seu baricentro, que é o
126
1 1
ponto G de l tal que FG = FA = FT. Portanto, s e o triângulo
3 3
ABD têm áreas cuja razão é 1:3. Finalmente, a área do triângulo
ABD é o quádruplo de área do triângulo ABC, e temos a descoberta
4
de Arquimedes: a área do segmento parabólico é da área do
3
triângulo com a mesma base e mesmo vértice.
O contador de grãos de areia
Trata-se de uma contribuição de Arquimedes à logística
(aritmética aplicada), em que mostrava, de maneira engenhosa,
como escrever um número maior do que o número de grãos de areia
necessários para encher o universo.
Como quase todos os astrônomos da antiguidade, Arquimedes,
concebia o universo na forma de uma enorme esfera, com centro na
Terra (imóvel) e raio igual à distância da Terra ao Sol.
Subestimando o tamanho de um grão de areia, Arquimedes
admitiu que 10.000 desses grãos preenchessem o espaço ocupado
por uma semente de papoula; e que 40 dessas sementes, justapostas
lado a lado, excederiam a largura de um dedo. Daí concluiu (usando
3
π ⋅ d 3
a relação V = < d , em que d seria o diâmetro e V o volume
6
de uma esfera) que uma esfera de diâmetro igual à largura de um
dedo não conteria mais que 40 3 = 64.000 sementes de papoula e,
portanto, nela não caberiam mais que 10.000×64.000 = 640 milhões
de grãos de areia, seguramente, então, essa esfera comportaria
menos de 1 bilhão, isto é, 10 9 de grãos de areia. A seguir
Arquimedes introduziu em seu raciocínio o estádio (unidade de
medida de comprimento equivalente a cerca de 160 m) que estimou
em menos de 10 4 larguras de dedos. Como os volumes de duas
esferas estão entre si na razão dos cubos de seus diâmetros, o
número de grãos de areia necessário para preencher uma esfera de
diâmetro igual a um estádio seria menor que ( ) 3 4
9 21
10 ⋅ 10 =10 .
Por outro lado, usando dados de medidas astronômicas
conhecidas em sua época, não lhe foi difícil estabelecer que o
diâmetro do universo era inferior a 10 10 estádios. Então repetindo a

127
argumentação anterior, concluiu que para preencher totalmente esse
universo bastaria um número de grãos inferior a ( ) 3 10
21 51
10 ⋅ 10 =10 .
Contar grãos de areia pode ter sido para Arquimedes apenas um
exercício para por em prática um sistema de numeração, que criou,
de base 10 8 , para exprimir números muito grandes, já que o sistema
alfabético em uso na Grécia era deficiente quanto a este aspecto.
Sobre as espirais
Arquimedes, como seus predecessores, foi atraído pelos três
problemas famosos de geometria, e a espiral por ele introduzida
forneceu soluções para dois deles – driblando a exigência “apenas
com régua e compasso”.
A espiral é definida como o lugar geométrico no plano de um
ponto que se move, partindo da extremidade de um raio ou semireta,
uniformemente ao longo do raio enquanto esse, por sua vez,
gira uniformemente em torno de sua origem. Em coordenadas
polares a equação, em notação atual, é r = aθ
.
Dada uma tal espiral, a trissecção de um ângulo é possível. O
ângulo é colocado de modo que seu vértice e primeiro lado
coincidam com o ponto inicial O da espiral e a posição inicial AO da
semi-reta. O segmento OP, sendo P o ponto em que o segundo lado
do ângulo corta a espiral, é então dividido em três partes iguais pelos
pontos R e S. Traça-se dois círculos com centro O e raios OR e OS
que interceptam a espiral nos pontos U e V. Desse modo as retas OU
e OV trissectam o ângulo AOP.
R
S
P
V
U
O A
R
O
θ
P
ψ
S
Q
128
Arquimedes mostrou que a espiral também pode usada para
resolver o problema da quadratura do círculo. Fez isso por uma
típica dupla reductio ad absurdum.
Pensando num ponto sobre a espiral como sujeito a um duplo
movimento – um movimento radial uniforme, afastando-se da
origem do sistema de coordenadas e um movimento circular
uniforme em torno da origem – Arquimedes encontrou a direção do
movimento, ou seja, da tangente à curva, determinando a resultante
dos dois movimentos componentes. Parece ser esse o primeiro caso
em que se determinou a tangente a uma curva que não era a
circunferência.
Entre as 28 proposições de Sobre espirais há várias que dizem
respeito a áreas. Por exemplo, na proposição 24 mostrou que a área
varrida pelo raio vetor em sua primeira rotação completa é um terço
da área do primeiro círculo.
A esfera e o cilindro
Em seu importante tratado Da esfera e do cilindro, Arquimedes
deduz três novas proposições:
• A superfície da esfera é igual a quatro vezes a área do seu
2
círculo máximo, ou seja, A = 4π r .
• A área convexa de uma calota esférica é igual à área do círculo
que tem como raio a reta traçada do vértice a um ponto qualquer
do perímetro da base.
• O volume do cilindro que tem por base um círculo máximo e
3
por altura o diâmetro de uma mesma esfera, é igual a do
2
volume dessa esfera.
Ao tentar resolver o problema de seccionar uma esfera por um
plano de maneira que os volumes ou as superfícies das duas calotas
formadas guardassem entre si determinada relação, Arquimedes
obteve uma equação de terceiro grau. Parece ter dado a solução,
indicando ao mesmo tempo as condições de existência de uma raiz
positiva, mas a obra perdeu-se.
Em Conóides e Esferóides, por meio de secções planas

129
transversais, estuda os sólidos formados pela revolução da elipse, da
parábola e da hipérbole, e determina o volume desses corpos
comparando com os cilindros inscrito e circunscrito à porção,
compreendida entre dois planos.
A mecânica de Arquimedes
Arquimedes foi o pioneiro em mecânica e deu as primeiras
demonstrações matemáticas que se conhecem. Em seus dois livros
sobre o Equilíbrio dos planos propõe-se determinar o centro de
gravidade de diversas figuras planas, inclusive do segmento
parabólico. Escreveu um tratado sobre as alavancas e,
provavelmente sobre máquinas em geral, mas esse livro perdeu-se,
bem como outra obra sobre a construção de um globo celeste. Uma
esfera estelar e um planetário construídos por ele foram conservados
durante muito tempo em Roma.
A alavanca e a cunha eram conhecidas desde remota
antiguidade e Aristóteles mencionara a prática desonesta dos
mercadores que desviavam o fulcro das balanças, mas antes de
Arquimedes não se conhece qualquer tentativa de estudo
matemático do assunto.
Admite ele como evidentes os princípios seguintes:
• Grandezas de igual peso agindo a distâncias iguais do seu
ponto de apoio equilibram-se.
• Grandezas de igual peso agindo a distâncias desiguais de
seu ponto de apoio não se equilibram, e aquela que age a
maior distância supera a outra.
• Grandezas comensuráveis ou incomensuráveis equilibramse
quando são inversamente proporcionais às suas distâncias
do ponto de apoio.
Princípio de Arquimedes:
Na obra sobre os Corpos flutuantes Arquimedes exprime entre
vários resultados o seu conhecido princípio hidrostático: todo sólido
mais leve que um fluido, se colocado nele ficará imerso o suficiente
para que o seu peso seja igual ao do fluido deslocado. Por outro lado
um sólido mais pesado que um fluido, se colocado nele, descerá até
130
o fundo do fluido, e o sólido, se pesado dentro do fluido, pesará
menos do que seu peso real de um tanto igual ao peso do fluido
deslocado.
Arquimedes no banho, Gaultherus Rivius, Nuremberg, - 1574
Sobre os Corpos Flutuantes (A Coroa do Rei)
Arquimedes era bem relacionado com rei Hierão de Siracusa e
talvez fosse seu parente. Conta-se que Hierão mandou fazer uma
coroa de ouro e, desconfiado quanto a “pureza” do ouro da coroa,
consultou o sábio para dirimir suas dúvidas. Diz a lenda que
Arquimedes descobriu como resolver o problema enquanto tomava
banho e refletia sobre o fato de que os corpos imersos na água –
como seu próprio corpo – se tornam mais leves, exatamente pelo
peso da água que deslocam. Esse fato lhe teria permitido idealizar
um modo de resolver o problema da coroa, e de tão eufórico que
ficou com a descoberta, saiu nu pelas ruas de Siracusa gritando
“Eureka! Eureka”, ou seja, “Descobri! Descobri!”.
Para resolver o problema da coroa utiliza-se, então, o princípio
de Arquimedes e um pouco de proporções. Seja P o peso da coroa,
que supõe-se composta de um peso x de ouro e um peso y de prata.
Logo P = x + y .

131
Suponha que a porção de ouro de peso x tenha peso x’ quando
pesada dentro d’água, e seja X’ o peso, dentro d’água, de uma
porção de ouro de peso igual ao peso P da coroa. Ora, o peso do
ouro dentro d’água é proporcional ao seu peso fora d’água (porque o
volume é proporcional ao peso, devido à homogeneidade do
x ' X'
xX'
material). Assim, = , ou seja, x ' = .
x
P
De modo análogo, o peso da prata, quando pesada dentro
d’água, é proporcional ao seu peso fora d’água. Se y’ designa o
peso, dentro d’água, da porção de prata de peso y, e Y’ o peso,
dentro d’água, de uma porção de prata de peso igual ao peso P da
coroa, então tem-se, exatamente como no raciocínio anterior,
yY'
y ' = .
P
Seja P’ o peso da coroa quando pesada dentro d’água.
Como P’ = x’ + y’, analogamente chega-se a P’ = x’ + y’
xX '+
yY'
x P'
−Y'
= , portanto, PP '= xX '+
yY ' , ou ainda, = .
P
y X'
−P'
Faltam dados específicos sobre a coroa verdadeira que o rei
Hierão entregou a Arquimedes para ser investigada mas pode-se
muito bem imaginar uma situação concreta. Suponha que a coroa
pesasse P = 894 g fora d’água e 834 g dentro d’água e também que
X’ = 847,7 g e Y’ = 809 g. Substituindo esses valores nas respectivas
x 834 − 809 25
equações, encontramos = = ≅ 1,
82 .
y 847,
7 − 834 13,
7
Então chega-se ao sistema de equações seguinte, para
determinar x e y,
x + y = 894, x = 1,82y, cuja solução é x ≅ 577 g e y ≅ 317 g.
Portanto a coroa imaginária contém 577 g de ouro e 317 g de prata.
Tendo em conta que o peso específico do ouro é 19,3 g/cm 3 e o
da prata é 10,5 g/cm 3 , pode-se calcular as quantidades volumétricas
de ouro e prata usados na coroa. Trata-se, novamente, de um cálculo
simples usando proporções. Sejam V0 e Vp, respectivamente, os
volumes de ouro e prata empregados para fazer a coroa. Então,
P
132
x 19,
3 y 10, 5
= e = , e substituindo x = 577 e y = 317 e
V0
1 V p 1
resolvendo as equações resultantes encontramos
577
V0 = ≅ 29,
9 cm
19,
3
3 317
e V p = ≅ 30,
2 cm
10,
5
3
Nota-se, portanto, que o ourives usou praticamente as mesmas
quantidades volumétricas de ouro e prata, aproximadamente 30 cm 3
de ouro e 30 cm 3 de prata.
Outras Obras
No chamado Livro de Lemas encontra-se – na proposição 8 – a
bem conhecida trissecção do ângulo de Arquimedes. Seja ABC o
ângulo a ser trissectado.
T
S R B Q C
Então com B como centro, traçar uma circunferência de qualquer
raio, que cortará AB em P, e a reta r, por BC, em Q e R. A seguir
traçar uma reta STP tal que S esteja em r e T sobre a circunferência
tal que ST = BQ = BP = BT. Verifica-se sem dificuldade, uma vez
que os triângulos STB e TBP são isósceles, que o ângulo BST é
precisamente um terço do ângulo QBP, o ângulo a ser trissectado.
Arquimedes e seus contemporâneos sabiam, é claro, que essa não
era uma trissecção canônica no sentido platônico, pois envolve o que
chamavam de neusis, isto é, a inserção de um comprimento dado, no
caso ST = BQ, entre duas figuras, aqui a reta r e a circunferência.
A Carta a Eratóstenes sobre o Método
Foi descoberto em 1906, em Constantinopla, pelo filólogo
dinamarquês J. L. Heiberg (1854–1928), uma importante obra de
P
A

133
Arquimedes, conhecida como “O Método”, justamente porque
nele o geômetra grego descreve um “método mecânico” para
investigar questões matemáticas.
Arquimedes freqüentemente enviava suas obras aos sábios de
Alexandria, prefaciando-as com cartas esclarecedoras. Seu livro, “O
Método”, contém como prefácio uma carta a Eratóstenes de
Alexandria, a qual começava assim:
Arquimedes a Eratóstenes,
Saudações
Enviei-lhe em outra ocasião alguns teoremas descobertos por mim,
meramente os enunciados, deixando-lhe a tarefa de descobrir as
demonstrações então omitidas... Vendo em você um dedicado
estudioso, de considerável iminência em Filosofia e um admirador
da pesquisa matemática, julguei conveniente escrever-lhe para
explicar as peculiaridades de um certo método pelo qual é possível
investigar alguns problemas de Matemática por meios mecânicos...
Certas coisas primeiro se tornaram claras para mim pelo método
mecânico, embora depois tivessem de ser demonstradas pela
Geometria, já que sua investigação pelo referido método não
conduzisse a provas aceitáveis. Certamente é mais fácil fazer as
demonstrações quando temos previamente adquirido, pelo método,
algum conhecimento das questões do que sem esse conhecimento...
Estou convencido de que será valioso para a Matemática, pois
pressinto que outros investigadores da atualidade ou do futuro
descobrirão, pelo método aqui descrito, outras proposições que não
me ocorreram.
É oportuno observar, a propósito das palavras finais da citação
acima, que o chamado “método dos indivisíveis”, inventado no
século XVII, e que impulsionou o Cálculo Diferencial e Integral, é
muito parecido com o “método mecânico” de Arquimedes. Está
certo que tanto um, quanto outro carecia de fundamentação, mas
possuíam ingredientes decisivos para grandes avanços da
matemática.
134
Arquimedes e Euclides
Confrontando algumas limitações de Euclides com o vasto
alcance da matemática grega, Félix Klein (1849-1925) caracterizou
mais ou menos como segue a obra de Arquimedes:
• Em perfeito contraste com o espírito dos Elementos de Euclides,
Arquimedes possui um senso altamente desenvolvido do cálculo
numérico. Um de seus grandes feitos foi o cômputo de π , pelo
método aproximativo dos polígonos regulares. Em Euclides não há
sinais de interesse por semelhantes resultados numéricos. O
geômetra de Alexandria limitou-se a mencionar que as áreas de dois
círculos são proporcionais aos quadrados dos raios e que duas
circunferências são proporcionais aos raios respectivos, sem tomar
em consideração o fator de proporcionalidade.
• É característico de Arquimedes o amplo interesse por toda sorte de
aplicações práticas, inclusive os mais variados problemas físicos e
técnicos. Foi assim que descobriu os princípios hidrostáticos e
construiu engenhos bélicos. Euclides, pelo contrário, compartilhou a
opinião de certas escolas filosóficas antigas, ou seja, a de que as
aplicações práticas das ciências constituíam uma ocupação mecânica
e inferior.
• Finalmente, Arquimedes foi um grande investigador e precursor,
e, cada uma de suas obras representou um progresso para a ciência.
ERATÓSTENES ERATÓSTENES (276 – 194 a.C.)
Eratóstenes de Cirene, diretor da grande biblioteca de
Alexandria por volta de 235 a.C., introduziu os fundamentos da
geografia matemática, que permaneceu por longo tempo como uma
das principais obras de consulta na área. Após um estudo histórico,
apresentou dados numéricos sobre a terra habitada, que, segundo a
sua estimativa, media 78.000 estádios de comprimento e 38.000 de
largura (o estádio correspondia a cerca de 150 metros).
Eratóstenes foi o primeiro geógrafo a traçar o seu mapa com
linhas entrecruzadas que indicavam a latitude e a longitude. Em
conexão com esse trabalho, procedeu a um cálculo notavelmente
feliz da circunferência da Terra. Baseou-se na seguinte observação,
encontrada num dos incontáveis papiros da Biblioteca: em Siene

135
(atual Assuã), a 5.000 estádios (800 km) ao Sul de Alexandria,
ao meio dia do solstício de verão (o mais longo dia do ano, 21 de
junho no Hemisfério Norte), os raios solares incidiam no fundo de
um comprido poço, ou seja, o Sol situava-se a prumo. Por outro lado
isso não se verificava em Alexandria e havia, inclusive, uma
estimativa para a distância zenital do Sol, ao meio dia que era de
1/50 da circunferência terrestre.
Considerando que as duas
cidades se situam,
aproximadamente, no
mesmo meridiano,
Eratóstenes concluiu que a
circunferência terrestre
devia medir 250.000
estádios. Mais tarde
corrigiu esta cifra para
252.000, provavelmente
para obter um número
redondo, 700 estádios,
para o comprimento do arco de um grau.
Na figura, C é o centro da Terra; AS, distância de Alexandria a
Siene (5,000 estádios); DS, eixo do poço; EA, vara vertical plantada
em Alexandria. Logo, por uma regra de três simples, temos:
1°
7
5 360°
1°
= ⇒ x.
7 = 360°
. 5.
000 ⇒ x = 250. 000
5.
000 x 5
Esse resultado, um tanto incerto para nós em razão de não
conhecermos o valor exato do estádio, foi uma excelente estimativa
da circunferência terrestre com erro de 50 milhas, apenas. Também
se atribui a Eratóstenes a medida da obliqüidade da eclíptica, com
um erro de sete minutos aproximadamente.
Versado que foi no estudo dos filósofos platônicos atenienses e
dotado de extraordinária riqueza de aptidões, tais como, filólogo,
matemático, filósofo e atleta, Eratóstenes escreveu sobre muitos
assuntos.
A chamada “peneira” (ou crivo) de Eratóstenes é um método
para separar sistematicamente os números primos. Dispondo-se em
C
A
S
E
D
136
ordem crescente a série dos números inteiros positivos e riscando-se
em primeiro lugar todos os múltiplos de 2, maiores do que 2, depois
os múltiplos de 3, maiores do que 3, os múltiplos de 5, maiores do
que 5, etc. Finalmente restarão apenas os números primos 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, etc.
Grande amigo de Arquimedes e a quem o gênio de Siracusa
enviava trabalhos sobre suas descobertas, em especial a famosa carta
que ficou conhecida como O Método, porque divulgava os segredos
de descobertas matemáticas através da mecânica.
APOLÔNIO APOLÔNIO (262 – 200 a.C.)
Apolônio de Perga, estudou em Alexandria e lá permaneceu por
um bom tempo. A seguir foi para Pérgamo, onde foi criada uma
instituição mais ou menos como o Museu que, inclusive, foi
considerada a segunda mais importante desse período.
O grande geômetra – como é conhecido Apolônio – foi, ao lado
de Euclides e Arquimedes, reconhecidamente um dos maiores
matemáticos de todos os tempos. Tendo lançado os germes da
geometria analítica, deve sua reputação a uma importante obra sobre
as secções cônicas.
Assim como os Elementos de Euclides substituíram textos
anteriores com proposta semelhante, o tratado sobre Cônicas de
Apolônio superou todos os rivais nesse campo, inclusive as Cônicas
de Euclides. Se a sobrevivência é uma medida de qualidade, os
Elementos de Euclides e as Cônicas de Apolônio foram claramente
as melhores obras em seus campos.
Quando Apolônio estava em Alexandria, foi procurado por um
geômetra chamado Naucrates, e a seu pedido escreveu uma versão
apressada de as Cônicas em oito livros. Mais tarde, em Pérgamo
reelaborou a obra e os livros IV e VII iniciam com saudações a
Atalus, rei de Pérgamo.
Apolônio inicia o Livro I de as Cônicas com uma exposição dos
motivos que o levaram a escrever a obra e, a seguir, descreveu os
quatro primeiros livros como se formassem uma introdução
elementar ao assunto, com exceção de alguns teoremas de sua
autoria no Livro III. Os quatro últimos livros ele descreveu como

137
extensões além do fundamental, e pode-se constatar que, de fato,
nesses a teoria se expande em direções mais especializadas.
Antes de Apolônio, a elipse, a parábola e a hipérbole eram
obtidas como secções de três tipos bem diferentes de cones (circular
reto de uma folha), conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto
ou obtuso. Apolônio mostrou sistematicamente que não era
necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e
que de um único cone (de duas folhas) poderiam ser obtidas as três
curvas, simplesmente variando a inclinação do plano de secção.
Outra generalização realizada por Apolônio foi sua prova de que o
cone não precisaria ser reto, isto é, um cone com eixo perpendicular
à base circular, mas poderia também ser oblíquo ou escaleno.
Ao considerar, no estudo, um
cone com duas folhas,
Apolônio introduziu as três
curvas do modo como as
conhecemos atualmente,
inclusive os três nomes
(elipse, parábola e hipérbole)
e a hipérbole com dois ramos.
No Livro II, por exemplo,
abordou as propriedades
assimptóticas e provou
algumas proposições relativas
às hipérboles conjugadas. O
Livro III contém inúmeros teoremas sobre tangentes e secantes e
introduziu os focos com esta definição: “foco é um ponto que divide
138
o eixo maior em duas partes cujo retângulo (produto) equivale à
quarta parte do retângulo formado pelo latus rectum e pelo eixo
maior” – ou ao quadrado que tem por lado o eixo menor. Apolônio,
todavia, não considerou o foco da parábola e a diretriz de cada
secção cônica – elementos esses que só seriam considerados por
Papus no século III d.C.
Um resultado importante provado por Apolônio é que a
tangente às cônicas forma ângulos com os raios focais, no ponto de
tangência, tais que a soma é constante para a elipse e a diferença é
constante para a hipérbole.
d2
Apolônio, com outras notações é claro, chegou à classificação
das cônicas por y² = px + qx², sendo que para q = 0, teríamos uma
parábola, para q < 0, uma elipse e para q > 0, uma hipérbole.
O estudo de diâmetros conjugados, tangentes e o emprego de
linhas paralelas aos eixos principais, foram primordiais para a
introdução dos sistemas de coordenadas em geometria.
Com as extensões introduzidas por Apolônio e por ter provado
mais de 400 proposições é que foi considerado, por muitos
estudiosos do assunto, como o criador da geometria analítica. Se
usou coordenadas, ou não, ainda não está claro, mas, o certo é que o
seu trabalho(as Cônicas) está muito próximo dos cursos atuais dessa
importante disciplina. Prova disso é que foi o ponto de partida para
os matemáticos do século XVII.
É digno de nota que Fermat (1601-1665), um dos criadores da
geometria analítica, tenha sido levado a essa invenção pela tentativa
de reconstituir certas demonstrações perdidas de Apolônio sobre os
lugares geométricos.
d1
d1 + d2 = c

Outras Obras
Problema de Apolônio
139
Num tratado sobre Tangências, descrito por Papus, encontra-se
o problema conhecido hoje como “Problema de Apolônio”: dados
três elementos, cada um dos quais podendo ser um ponto, uma reta
ou uma circunferência, traçar uma circunferência que é tangente,
simultaneamente, aos três elementos (sendo que circunferência
tangente a um ponto significa passar pelo ponto).
Esse problema envolve dez casos, desde os dois mais fáceis, em
que são considerados três pontos ou três retas, até o mais difícil
quando são dadas três circunferências. Os dois primeiros já
apareceram em Os Elementos de Euclides em conexão com círculos
inscrito e circunscrito a um triângulo; os outros seis foram tratados
no Livro I de Tangências e os casos de duas retas e uma
circunferência, e o de três
circunferências ocupavam o Livro II.
Como o trabalho de Apolônio se
perdeu os estudiosos dos séculos XVI
e XVII, em geral, chegaram a duvidar
de que Apolônio tivesse resolvido o
último caso e por isso o consideravam
como um desafio às suas capacidades.
Newton, por exemplo, o resolveu
usando apenas régua e compasso.
No campo da aritmética, diz-se que Apolônio obteve uma
aproximação melhor do que a de Arquimedes para o valor de π ,
talvez 3,1416 e que teria inventado um método abreviado de
multiplicação e que empregou números grandes à maneira de
Arquimedes.
Havia, ainda, algumas outras obras das quais só os títulos são
conhecidos. Entre elas uma sobre os espelhos ustórios, outra sobre
os estacionamentos e retrogradações dos planetas e uma terceira
sobre a teoria e o emprego do parafuso. Em astronomia, ao que se
supõe, sugeriu que os movimentos planetários fossem expressos por
meio de combinações de movimentos circulares, uma idéia que seria
desenvolvida mais tarde por Hiparco e Ptolomeu.
140
Não se pode determinar, com exatidão, até que ponto eram
inéditos os resultados obtidos por Apolônio e que partes, de sua
obra, representam uma simples compilação de trabalhos alheios. O
que se pode afirmar, no entanto, é que a proporção de trabalhos
originais é considerável.
HIPARCO HIPARCO HIPARCO (180 – 125 a.C.)
Hiparco de Nicéia foi o maior astrônomo da antiguidade e é
considerado o inventor da trigonometria. Construiu, especialmente
para uso dos astrônomos, uma tabela de cordas equivalente às atuais
de senos. Forneceu também um método para resolver triângulos
esféricos e foi o primeiro a indicar posições na superfície da Terra
por meio da latitude e da longitude, o que constituiu o germe da
geometria analítica. Nas cartas celestes, empregava a projeção
estereográfica e, no traçado de mapas, a ortográfica. Eratóstenes,
como vimos anteriormente, limitara-se a dar a latitude por meio da
altura da estrela polar.
Quase todas as obras de Hiparco se perderam, não obstante,
Ptolomeu, o seu grande sucessor, baseou-se fortemente em seus
trabalhos para elaborar o Almajesto, uma obra que se tornou
semelhante aos Elementos, no caso da astronomia.
Tendo à sua disposição o primitivo catálogo estelar de Aristilo e
Timocáride, Hiparco ficou profundamente impressionado – como
sucederia a Tycho Brahe séculos mais tarde – pelo aparecimento
súbito no ano 134 a.C., de uma nova estrela de primeira grandeza no
firmamento celeste, que se supunha imutável. Em conseqüência,
impôs a si mesmo a dura tarefa de organizar, para a parte do céu que
lhe era visível, um novo catálogo que, uma vez completo, abrangia
mais de 1000 estrelas e, é importante que se diga, que esse catálogo
permaneceu, com pequenas alterações, como modelo no gênero
durante quase dezesseis séculos. Sua lista de constelações e sua
classificação das estrelas em seis “grandezas”, de acordo com o
brilho, formam a base das que existem atualmente.

A precessão dos equinócios
141
Comparando as posições de certas estrelas com as observadas
150 anos antes, Hiparco notou uma diferença na distância dessas ao
ponto equinocial – o ponto de intersecção entre o equador celeste e a
eclíptica (curva descrita aparentemente pelo Sol em torno da Terra)
– diferença essa que, num dos casos observados alcançava 2 graus.
Graças a uma inspiração genial, interpretou corretamente tal fato,
atribuindo-o a um leve deslocamento dos pontos equinociais para
frente, o qual correspondia a uma lenta rotação do eixo da Terra. Em
virtude dessa rotação, o pólo celeste descreveria um círculo
completo em muitos milhares de anos.
Teoria planetária
Atribui-se a Hiparco a melhoria de cálculos referentes a duração
do dia, tamanho da Lua, duração do mês e ângulo da eclíptica.
eclíptica
equador celeste
23º aproximadamente
A distância da Terra à Lua foi estimada por Hiparco em
402.500 Km. O valor aceito atualmente é de 390.000 Km. Para
efetuar esse cálculo procede-se da seguinte maneira: suponha a Lua
no zênite de um observador num ponto Z. No mesmo instante um
outro observador em H, na mesma longitude de Z, vê a Lua nascer.
142
O ângulo α é a diferença de latitude entre os dois observadores.
Dessa forma, temos que:
da Terra 6 400
90 0 0163
distância à Lua
à Lua
0 raio
.
sen ( − α ) =
=
= , ,
distância
0
1
sendo que α = 89 . Logo a distância à Lua é 392.638,04
16
Após esses estudos, a ordem aceita para os astros, de acordo
com as distâncias à Terra passou a ser a seguinte: Lua, Mercúrio,
Vênus, Sol, Marte, Júpiter, Saturno. Essa ordem, que já fora adotada
na Mesopotâmia alguns séculos antes de Hiparco, sofreria poucas
modificações até os tempos de Copérnico.
Principais conquistas de Hiparco
Aproveitou eficazmente os conhecimentos obtidos por
astrônomos mais antigos, submetendo-os a uma apreciação crítica;
realizou uma longa e sistemática série de observações, servindo-se
dos melhores instrumentos então disponíveis; elaborou uma teoria
matemática dos movimentos dos corpos celestes, tão coerente
quanto lhe permitiam os dados que possuía; organizou um novo
catálogo de 1080 estrelas, adotando a classificação por grandezas,
ainda em uso; descobriu a precessão dos equinócios; estabeleceu as
bases da trigonometria.
Finalizando, deve-se lembrar que após Hiparco a astronomia, de
certa forma, estacionou pelo espaço de dezesseis séculos. É
interessante conjecturar sobre as conseqüências que teriam advindo
se o gênio de Hiparco tivesse adotado as ousadas teorias
heliocêntricas de Aristarco, ao invés de se apegar às idéias
geocêntricas tradicionais.
Exercícios
Exercícios
1. Descreva as fontes que Euclides provavelmente usou ao escrever
Os Elementos; justifique suas conjecturas.

143
2. Quais dos treze livros de Os Elementos você considera os mais
importantes e quais você julga mais dispensáveis? Justifique sua
resposta.
3. Use o algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor
comum de:
a) 456 e 759 b) 567, 839 e 432
4. O número 2 13 – 1 é primo. Use esse fato para achar o quinto
número perfeito em ordem de grandeza.
5. Prove a fórmula de Euclides para números perfeitos.
6. Prove que os volumes de duas esferas estão entre si como os
cubos dos diâmetros.
7. Arquimedes é às vezes considerado o inventor do cálculo integral.
Até que ponto você concorda ou discorda dessa opinião?
8. Euclides se apoiou em várias obras de seus predecessores. Até
que ponto o mesmo vale para Arquimedes e Apolônio?
9. Em que sentido o tratado de Arquimedes, O Método, difere dos
seus outros tratados?
10. Encontre a área entre as porções da espiral r = aθ
formadas para
0 ≤ θ ≤ 2π
e para 2 π ≤ θ ≤ 4π
.
11. Você diria que Apolônio usou geometria analítica? Justifique
sua resposta.
12. Resolva o “problema de Apolônio” para:
a) o caso de dois pontos e uma reta;
b) o caso de duas retas e um ponto.
13. Apolônio afirmava que a tangente a uma elipse ou hipérbole
num ponto P sobre a curva faz ângulos iguais com os raios focais
por P. Prove esse teorema.
144

PERÍODO PERÍODO PERÍODO GRECO GRECOROMANO
GRECO GRECO ROMANO
“Em matemática os caminhos não levam a Roma”. ( o autor)
ROMA
ROMA
145
Desde o século III a.C., que Roma já governava a península
itálica. Duzentos anos depois tornou-se uma potência e, de 147 a 30
a.C., controlou quase todo o Mediterrâneo, inclusive o mundo grego.
Estabeleceu um império que deveria prover um grau sem
precedentes de paz, coesão e lei a uma região que se estendia do
Egito à Bretanha.
A unidade cultural imposta por esse império, foi responsável
pela transmissão de conhecimento do Mediterrâneo para as áreas
anteriormente atrasadas da Europa. Essa unidade foi ameaçada no
século III d.C. e o império dividido em dois, o oriental, com base
em Bizâncio (que sobreviveria até o século XV) e ocidental, ainda
com base em Roma. O Ocidental ficou cada vez mais sujeito a
invasões bárbaras, mas a dominação cultural de Roma se manteve
nas instituições da Igreja Cristã.
Roma Roma e e a a ciência
ciência
Comparar o desenvolvimento científico e filosófico de
civilizações distintas não é uma tarefa simples. No caso de Roma
que é comparada com a Grécia há algumas ponderações
interessantes. A verdade, segundo parece, é que os romanos, embora
altamente dotados na oratória, literatura e história, muito eficientes
como advogados, soldados e administradores, não se interessavam
pelos trabalhos científicos e filosóficos e, em conseqüência, não
foram bem sucedidos nesses campos.
Esse fato chega a intrigar quando se considera as complexas
formulações do direito romano, o arrojo de sua arquitetura nos
grandes aquedutos e basílicas, o seu gênio militar no domínio de
146
outros povos e na influência que exerceram. Mas é em vão que se
procura um cientista ou filósofo romano da originalidade ou
vastidão de conhecimentos de um Aristóteles ou Platão; um
astrônomo comparável a Aristarco, Hiparco ou Ptolomeu; um
filósofo naturalista da categoria de Demócrito ou Epicuro; um
pioneiro da medicina como Hipócrates de Cos.
Parece certo, então, que os romanos se apoderaram dos
conhecimentos acumulados pelos gregos, sem enriquecê-los e devese
ressaltar, ainda, o respeito e a profunda admiração que este povo
tinha pelos gregos. Há uma máxima que diz que no primeiro século
a.C. os romanos conquistaram os gregos e a cultura grega
conquistou os romanos.
Engenharia e arquitetura
Há um traço característico da civilização romana, em que
revelou extraordinária habilidade e alcançou grande primazia,
mostrando-se superior a todos os seus predecessores. É o seu gênio
para a engenharia, tanto militar como civil. Basta mencionar o que
resta das muralhas, fortalezas, estradas, aquedutos, teatros,
estabelecimento de banhos e pontes por eles construídos.
Nunca, quer antes quer depois dos romanos, um império erigiu
tantos e tão perduráveis monumentos para utilidade de seus povos
na paz e na guerra. Os territórios da Europa Meridional, da Ásia
Ocidental e do norte da África ainda se acham cobertos, após vinte
séculos, de relíquias romanas que prometem resistir por outros dois
mil anos à destruição e à ruína. A engenharia dos romanos é quase
tão admirável quanto as suas leis.
Os agrimensores formavam uma corporação bem organizada,
mas eram apenas os práticos de uma arte tradicional, perpetuando os
erros de seus antigos predecessores egípcios, sem sonhar com novos
descobrimentos e nem sequer comunicando os conhecimentos que
possuíam, fora do âmbito da corporação.
A mais famosa obra sobre construção e assuntos correlatos,
inclusive os materiais de construção, é a De Architectura de
Vitrúvio, arquiteto e engenheiro romano que a escreveu por volta do
ano 14 a.C. Esse livro célebre era o único importante que se

147
conhecia na Idade Média e no Renascimento sobre tal matéria,
sendo o guia e manual dos construtores daqueles períodos.
A obra é, em parte, uma compilação de autores anteriores
(gregos principalmente) e, em parte, original. Nos cálculos usava-se
1
3 , menos exato do que o de Arquimedes. Da vida
para π o valor 8
e demais trabalhos de Vitrúvio quase nada se sabe, mas nenhum
outro tratado antigo, de caráter técnico como esse, exerceu em seu
campo tão grande influência sobre a posteridade.
O Calendário Juliano
Júlio César empreendeu pessoalmente a solução de dois grandes
problemas de matemática prática: a reforma do calendário e o
levantamento geográfico de todo o Império.
A exemplo dos mesopotâmios e dos gregos, os romanos
também dividiam o ano em doze meses lunares, ou seja, 355 dias,
começando em março, com a intercalação de um mês adicional
sempre que isso se tornasse necessário para o reajustamento das
estações.
Como o senado, por motivos políticos, recusasse decretar meses
intercalares, a diferença entre as datas oficiais e as solares elevavase
a cerca de 85 dias no ano 47 a.C. No Egito César obteve o auxílio
de Sosígenes para a organização de um calendário que fosse
independente da política. É provável que lhe tenham falado do ano
egípcio de 365 dias e um quarto Resultou assim o decreto de 45
a.C., prolongando esse ano com três meses a mais e estabelecendo o
início de uma nova era, a primeiro de janeiro de 45 a.C.
Esse calendário, chamado Juliano, fixava um ano de 365 dias
dividido em doze meses, mais ou menos iguais, devendo o primeiro
começar oito dias depois do solstício do inverno. Após quatro anos,
um dia adicional (chamado bissextus) era interpolado antes de 24 de
fevereiro (sexto dia antes do primeiro de março). O nascimento
helíaco de Sírio correspondia ao dia 20 de julho, e era a partir dessa
que se computavam todas as datas.
148
O levantamento geográfico, cujos resultados deveriam ser
incorporados num grande mapa, mostrando as rotas de marcha dos
exércitos romanos, só foi levado a efeito no reinado de Augusto.
Matemática Matemática Matemática Greco Grecoromana
Greco romana
O declínio gradual da matemática grega nesse período, em
geral, é atribuído ao pragmatismo dos romanos, interessados,
apenas, nos assuntos de natureza prática, como a engenharia e o
direito. O gosto grego pelas questões teóricas jamais o fascinaram e,
na matemática, somente a aritmética elementar recebeu alguma
atenção, por seu uso nas transações comerciais, na guerra, nas
construções e na tributação.
A aritmética comercial desdenhada pelos matemáticos gregos,
passou a ocupar um lugar de honra. O sistema de numeração romano
superou o alfabético dos gregos e era usado também um útil sistema
de contagem pelos dedos, que complementava o hábil emprego do
ábaco. Não havendo ábaco à mão, as linhas correspondentes eram
rapidamente traçadas na terra ou na areia e pedrinhas ou calculi
serviam de unidades.
Alexandria, no período chamado greco-romano, continuaria
sendo o centro da matemática e fonte de trabalhos originais, embora
as compilações e os comentários se tornassem, cada vez mais, a
forma de ciência predominante.
A influência de outras culturas seria observada com freqüência
nas obras dos principais matemáticos dessa época e a matemática de
Alexandria, desse modo, não seria apenas a tradicional euclidianoplatônico.
A aritmética computacional e mesmo a álgebra prática
dos egípcios e mesopotâmios foram amplamente desenvolvidas,
lado a lado, com demonstrações geométricas abstratas.
A despeito da decadência que se deu na matemática e filosofia
com a expansão do Império Romano, alguns eruditos alimentaram a
débil chama da sabedoria antiga. A seguir um pouco da vida e obra
dos matemáticos mais importantes dessa época considerada “último
suspiro” da matemática grega. Há o acréscimo de Lucrécio e Boécio
que eram romanos, mas se inspiravam muito nos gregos.

LUCRÉCIO LUCRÉCIO (98 – 55 a.C.)
149
Foi praticamente no final do período helenístico que floresceu o
maior filósofo romano, Tito Lucrécio Caro. Pouco se sabe sobre sua
vida, apenas que nasceu em Roma, onde foi educado e que era
alguns anos mais moço do que os contemporâneos Cícero e Júlio
César.
Lucrécio é hoje considerado não só um grande poeta romano,
mas também o mais perfeito expoente da escola atomista de grande
importância para a filosofia. Foi continuador de Epicuro e estava
familiarizado com as obras de Demócrito, Anaxágoras e muitos
outros sábios gregos.
Os dois primeiros e o quinto livro de sua obra De Rerum Natura
(Da natureza das coisas) apresentam interesse para o cientista da
atualidade, por tratarem de problemas de permanente importância
para a humanidade. O titulo desse famoso poema revela o interesse
que votava à filosofia natural, e há indícios de ter sido também um
mestre e um reformador. Combateu a superstição e propôs
vigorosamente o racionalismo, sem ser contudo, irreverente.
PTOLOMEU PTOLOMEU (85 – 165 d.C.)
A obra mais importante de Cláudio
Ptolomeu – Syntaxis mathematica
(Coleção Matemática) – chamada mais
tarde pelos árabes de Almagesto (o maior)
em essência era um trabalho de
trigonometria e astronomia que tinha por
objetivo descrever matematicamente o
movimento do sistema solar, usando a
teoria geocêntrica.
De forma resumida tem-se, a seguir, o
conteúdo dos treze livros que compõem a obra:
- Livros I e II: Incluem preliminares ao sistema Ptolomaico, com
explicações gerais sobre os diferentes corpos celestes em relação à
Terra como centro, proposições sobre geometria esférica, assim
como uma tábua de cordas e seus métodos de cálculo.
- Livro III: Traz informações sobre a duração do ano e o movimento
do Sol.
150
- Livro IV: São focalizadas as durações dos meses e uma teoria
sobre a Lua.
- Livro V: Contém a construção do astrolábio e mais materiais sobre
a teoria da Lua.
- Livro VI: Revela informações sobre conjunção e oposições do Sol
e da Lua, eclipses solares e lunares e seus períodos.
- Livros VII e VIII: catálogos de 1028 estrelas fixas.
- Livros IX a XIII: São dedicados ao estudo do movimento dos
cinco planetas.
Trigonometria
Ptolomeu construiu uma tabela ou tábua de cordas, em notação
sexagesimal dos mesopotâmios, variando o ângulo α de 0,5º em
0,5º, de 0 a 180º. Dividiu a circunferência em 360 partes, o diâmetro
em 120 partes e cada uma dessas partes era dividida em 60 partes
chamadas partes minutae primae e cada umas dessas era dividida em
60 partes chamadas partes minutae secundae. Daí os nomes minutos
e segundos ainda usados atualmente.
Segue um roteiro de como Ptolomeu construiu a tabela de
cordas, porém com as notações atuais. Essa construção encontra-se
no Livro I do Almagesto.
Considera-se C n a corda de
°
α =
n
360 , do círculo com raio 60, ou
360 °
seja, Cn = crd .
n
Teorema de Ptolomeu
B
A
E
C
D
Se ABCD é um quadrilátero inscrito numa
circunferência de raio 60, então a soma dos
produtos dos lados opostos é igual ao
produto das diagonais, ou seja,
AB . CD + BC.
AD = AC.
BD .

151
Para demonstrar esse fato, considera-se um ponto E sobre a diagonal
AC de modo que o ângulo A BE
)
seja igual ao ângulo D BC
)
.
Desse modo os triângulos BCE e BDA são semelhantes, pois os
ângulosC BE
)
e A BD
)
são iguais (por construção) e os ângulos
B CA
) e B DA
) são iguais (referem-se ao mesmo arco). Logo
BC CE
= ou AD . BC = CE.
BD (i). De modo análogo os
BD AD
triângulos BAE e BDC são semelhantes, pois os ângulos assinalados
em B são iguais e ainda os ângulos B AC
)
e B DC
)
também são
iguais( referem-se ao mesmo arco).
AB AE
Logo = ⇒ AB . CD = AE.
BD (ii).
BD CD
Somando (i) e (ii), tem-se: AD . BC + AB.
CD = CE.
BD + AE.
BD =
= ( CE + AE ). BD = AC.
BD . Logo; AB . CD + BC.
AD = AC.
BD .
Corda da diferença
Ptolomeu demonstrou a seguir que, dados dois arcos e suas
cordas, pode-se encontrar a corda do arco diferença em termos das
cordas dos arcos dados.
Na figura são dadas as cordas DB e
AC, e procura-se BC. Traçando o
diâmetro AD, pode-se encontrar as
cordas suplementares pelo teorema de
Pitágoras, e, o teorema de Ptolomeu
garante que AB.CD + BC.AD = AC.BD.
Como AD = 120, temos 120BC =
AC.BD – AB.CD, que fornece BC pois,
o segundo membro é conhecido.
Chamando os arcos AB de α e AC de β tem-se BC = β - α .
Assim 120 ( β − α)
= crdβ.
crd(
180°
− α)
− crdα.
crd ( 180°
− β)
crdβ.
crd
seja, ( )
( 180° − α)
crdα.
crd(
180°
− β)
crd β − α =
−
.
crd , ou
120
120
Como aplicação tem-se, por exemplo: crd72° = 70; 32 ,3 e
crd60° = 60, logo crd12° = crd(72° – 60°) .
152
Analogamente, Ptolomeu deduziu as fórmulas para o cálculo de
cordas para o arco metade de um arco dado e da soma de dois arcos
2 α
dados, ou seja, crd = 60.
( 120 − crd(
180 − α)
) e
2
120 . crd 180°
− α + β = crd 180 − α . crd 180 − β − crdα.
crdβ
( ( ) ) ( ) ( ) .
Com os resultados anteriores, Ptolomeu construiu sua tábua de
cordas com bastante precisão, conforme cálculos relacionados
abaixo:
• corda de 120º, usando os teoremas de Tales e de Pitágoras;
• corda de 60º, usando o raio do círculo;
• cordas de 72º e 36º, a partir da construção do pentágono e do
decágono regulares, inscritos numa circunferência;
• cordas dos suplementares de 72º e 36º, usando os teoremas de
Tales e de Pitágoras;
• corda de 12º = (72º-60º), utilizando-se da corda da diferença;
• cordas de 6º, 3º, 1º30’ e 45º usando a fórmula do arco metade;
• corda de 1º, por interpolação linear.
Sistema geocêntrico
O sistema de
Ptolomeu era uma
representação
geométrica dos
movimentos
celestes que não
se preocupava em
dar uma imagem
exata do
verdadeiro
universo. Adotou
o modelo geocêntrico e precisou conceber os chamados epiciclos
para explicar o movimento aparente dos planetas entre as estrelas
fixas.
Tal modelo produzia resultados práticos, razoavelmente
concordantes com as observações e isso ajudou a fazer do

153
geocentrismo, até o trabalho de Copérnico, uma doutrina acima de
qualquer contestação. Durante 1400 anos foi o guia da astronomia
teórica e não importava quais fossem as opiniões de cada um sobre a
constituição do universo, o sistema de Ptolomeu era quase
universalmente aceito.
Ptolomeu aperfeiçoou muitos cálculos que fora destaque na
obra de Hiparco: distâncias do Sol e da Lua, catálogo de 1028
estrelas e um estudo sobre a precessão dos equinócios. As
contribuições originais referem-se aos planetas e à construção de
instrumentos de observações, tais como o astrolábio.
Outros trabalhos de Ptolomeu
Além de suas realizações científicas, Ptolomeu escreveu sobre
vários outros assuntos, inclusive um minucioso tratado sobre
astrologia. Numa obra perdida, sobre geometria, realizou a primeira
de uma interminável série de tentativas para provar o postulado
154
euclidiano das paralelas, tentativa essa que, naturalmente estava
predestinada ao fracasso.
Num grande tratado de geografia, quase tão importante como o
Almagesto, descreveu as regiões conhecidas da Terra indicando a
latitude e a longitude de nada menos de 5.000 localidades. Além da
posição, deu também a duração máxima do dia para 39 pontos da
Índia. Vários métodos de projeção, a estereográfica, por exemplo,
foram por ele estudados ao resolver questões sobre o traçado de
mapas.
Escreveu também sobre acústica e óptica e nesse campo, tratou
especialmente da refração, realizando o que foi chamado “o
primeiro exemplo de uma série de experimentos fora do âmbito da
astronomia”, em que descobriu a lei do desvio dos raios luminosos
em direção à perpendicular, ao passarem de um meio transparente
menos denso para outro de maior densidade.
Inventou, ainda, um aparelho simples para medir os ângulos de
incidência e de reflexão. Aceitou a idéia de Platão, de que a visão se
deve ao encontro dos raios que partem do olho com os que
procedem do objeto.
HERON HERON HERON (75 – 150 d.C.)
Heron de Alexandria é conhecido, sobretudo, pela fórmula
K = p p − a p − b p − c que tem o seu nome e é usada para
( )( )( )
encontrar a área de triângulos de lados a, b, c e perímetro
2p = a + b + c.
A demonstração dessa fórmula encontra-se em A Métrica, uma
de suas obras mais importantes que, a exemplo de O Método de
Arquimedes ficou perdida durante muito tempo, até ser redescoberta
em Constantinopla em 1896 num manuscrito de 1100.
Embora atualmente seja, em geral, demonstrada por
trigonometria, a fórmula de Heron é convencionalmente geométrica.
Os trabalhos de Heron atestam que nem toda a matemática na
Grécia era do tipo “clássico” como Os Elementos de Euclides ou As
Cônicas de Apolônio. Influências de outras culturas são observadas
em vários aspectos, por exemplo, o uso de frações unitárias
(egípcias) e a tabulação (mesopotâmia) das áreas An dos polígonos

155
regulares de n lados em termos do quadrado de um lado sn,
13 2
45 2
começando com A 3 = s3
e indo até A12
= s12
.
30
4
Em A Geométrica Heron resolve alguns problemas sobre
mensuração, inclusive envolvendo grandezas de naturezas
diferentes, algo já discutido e suprimido por Eudoxo. Um problema,
por exemplo, pede o diâmetro, o perímetro e a área de um círculo,
dada a soma dessas três grandezas. De um ponto de vista numérico
não crítico, o problema faz sentido. Além disso, Heron não resolveu
o problema em termos gerais; sua solução foi como as receitas
antigas, em que só os passos, sem razoes, são dados.
Lei da Reflexão
Heron se interessava por todo tipo de mensuração, em especial
na óptica, na mecânica ou na geodésia. A lei de reflexão da luz já
era conhecida por Euclides e Aristóteles (possivelmente também por
Platão), mas foi Heron quem mostrou por um argumento geométrico
simples, numa obra chamada Catóptrica (ou reflexão), que a
igualdade dos ângulos de incidência e reflexão é uma conseqüência
do princípio aristotélico que diz que a natureza nada faz do modo
mais difícil. Isto é, se a luz deve ir de uma fonte S a um espelho
MM’ e, então ao olho E de um observador, o caminho mais curto
possível SPE é aquele em que os ângulos SPM e EPM’ são iguais.
156
A prova de que nenhum outro caminho SP’E pode ser mais
curto que SPE fica claro, traçando-se a reta SQS’, perpendicular a
MM’, com SQ = QS’, e comparando o caminho SPE com o caminho
SP’E. Como os caminhos SPE e SP’E são de comprimentos iguais
aos caminhos S’PE e S’P’E respectivamente, e como S’PE é uma
reta (porque o ângulo M’PE é igual ao ângulo MPS), resulta que
S’PE é o caminho mais curto.
Heron é lembrado também como inventor de um tipo primitivo
de máquina a vapor, descrita em Pneumática; de um precursor do
termômetro e de vários brinquedos e engenhos mecânicos baseados
nas propriedades dos fluidos e em leis das máquinas simples. Seu
nome está ligado, ainda, ao “algoritmo de Heron” para encontrar
raízes quadradas, mas esse método de iteração era na verdade devido
aos mesopotâmios.
Embora com claras influências dos mesopotâmios, Heron não
adotou o sistema de base 60 e nem avaliou a importância do
princípio posicional das frações. As frações sexagesimais tinham se
tornado o instrumento usual dos astrônomos e físicos, mas
continuavam pouco familiares para o homem comum. Heron,
escrevendo para o homem prático, parece ter preferido as frações
unitárias egípcias. Ao dividir 25 por 13, deu a resposta como
1 1 1
1 + + + . Essa preferência por frações unitárias continuaria na
2
3
78
Europa pelo menos mil anos depois de Heron.
Alguns métodos de Heron confirmam o seu conhecimento da
trigonometria de Hiparco e do princípio das coordenadas. Calculava
áreas de regiões irregulares somando as áreas de retângulos
inscritos, processo esse, que correspondia ao atual emprego do papel
quadriculado
Problemas de torneiras.
Encontra-se em Heron problemas veneráveis como os dos canos
ou de torneiras. “Um recipiente é enchido por um cano no tempo t1
e por outro no tempo t2. Quanto tempo será preciso para enchê-lo,
estando os dois canos abertos?”

157
Heron definiu, ainda, os triângulos esféricos e demonstrou
teoremas simples a seu respeito: por exemplo, que a soma dos
ângulos está compreendida entre 180° e 540°. Determinou o volume
de sólidos irregulares medindo a quantidade de água por esses
deslocada.
Finalmente ficaria conhecido como o primeiro a usar números
imaginários ao ter, por equívoco, introduzido num cálculo a
quantidade 63
− e que habilmente trocou por 63 .
DIOFANTO DIOFANTO (século III d.C.)
Diofanto de Alexandria é freqüentemente chamado de o pai da
álgebra, mas veremos que tal designação não deve ser tomada
literalmente. Sua obra não é de modo algum o tipo de material que
forma a base da álgebra elementar moderna; nem se assemelha à
álgebra geométrica de Euclides.
Pouco se sabe sobre a vida de Diofanto e a sua principal obra é
A Arithmética, tratado originalmente composto de treze livros, dos
quais somente os seis primeiros se preservaram.
A Arithmética era caracterizada por um alto grau de habilidade e
engenhosidade matemáticas, que poderia ser equiparada aos grandes
clássicos da Idade Alexandrina anterior. No entanto, quase nada tem
em comum com esses ou, na verdade, com qualquer matemática
grega tradicional. Representou essencialmente um novo ramo e usou
um método diferente.
Como Diofanto se dedicou, em A Arithmética, à resolução de
equações, tanto determinadas quanto indeterminadas e devido à
ênfase dada à solução de problemas indeterminados, o assunto, às
vezes chamado análise indeterminada, tornou-se conhecido como
análise diofantina.
Como esse tipo de trabalho atualmente é parte integrante de
disciplinas sobre teoria dos números e não de álgebra, faltam
argumentos para considerar Diofanto como pai da álgebra.
Considera-se em geral, que podem ser reconhecidos três
estágios no desenvolvimento histórico da álgebra: o primitivo ou
retórico, em que tudo é completamente escrito em palavras; um
estágio intermediário, sincopado, em que são adotadas algumas
158
abreviações; e um estágio simbólico ou final. A Arithmética deve ser
colocada na segunda categoria.
Nos seis livros preservados faz-se uso sistemático de
abreviações para potências de números e para relações e operações.
Um número desconhecido é representado por um símbolo parecido
ν
com a letra grega δ , o quadrado disso aparece como ∆ , o cubo
ν
como Κ , a quarta potência dita quadrado-quadrado como ∆ ∆
ν
, a
ν
quinta potência ou quadrado-cubo como ∆Κ e a sexta potência ou
ν
cubo-cubo como ΚΚ .
Diofanto naturalmente conhecia regras de combinação
equivalentes a nossas leis sobre expoentes e tinha nomes especiais
para os recíprocos das seis primeiras potências das incógnitas,
quantidades equivalentes às potências negativas. Coeficientes
numéricos eram escritos depois dos símbolos para as potências a que
estavam associados: a adição era indicada por justaposição adequada
dos símbolos para cada termo e a subtração representada por uma
abreviação de uma só letra colocada antes dos termos a serem
subtraídos ou ainda o símbolo ↑ . Com essa notação Diofanto podia
escrever polinômios numa incógnita quase concisamente quanto
atualmente.
4 3 2
Exemplo: 3x
+ 2x
− 3x
+ 4x
−1
se escrevia
∆ ∆γ
ν
o
ν ν
K β ↑ ∆ γδδ ↑ M α sendo o
M a unidade.
A Arithmética não fazia uma exposição sistemática sobre as
operações algébricas ou funções algébricas, em vez disso,
apresentava uma coleção de 150 problemas, todos enunciados em
termos de exemplos numéricos específicos, embora, talvez,
pretendendo conseguir generalidade de método.
Nos problemas que requerem duas incógnitas, admitiu-se
apenas uma de cada vez e para equações do segundo grau, só
encontrou uma raiz, mesmo quando as duas eram positivas. No seu
modo de ver, os números negativos eram destituídos de realidade.
Evitou as quantidades irracionais e admitiu, entretanto, os resultados
fracionários e, com efeito, Diofanto foi o primeiro matemático na
Grécia a considerar as frações como números e não uma razão entre
duas grandezas.

159
Exemplo de problema apresentado e resolvido por Diofanto:
“Encontrar dois números tais que um deles somado ao quadrado do
outro resultará um quadrado”.
2 2
Solução de Diofanto com notações atuais: x + y = z
2
2 3
19
x + ( 2x
+ 1)
= ( 2x
− 2)
⇒ x = , o outro número 2 x + 1 = .
13
13
Quanto aos procedimentos empregados por Diofanto com
relação às equações pode-se afirmar que:
• Resolvia completamente as equações do primeiro grau com
raízes positivas, mostrando notável habilidade na redução de
equações simultâneas a uma única e de uma só incógnita;
• Possuía um método geral para a solução das equações do
segundo grau, mas só o empregava para a obtenção de uma
única raiz positiva;
• Mais notáveis ainda que as próprias soluções foram os
engenhosos métodos pelos quais evitou equações que sabia ser
incapaz de resolver.
Até onde vai a originalidade dos seus trabalhos não se pode
determinar com exatidão, o certo é que Diofanto conseguiu separar a
geometria da álgebra e merece o título de grande matemático. Um
fato notável é que Fermat, no século XVII, foi levado ao seu célebre
“grande” ou “último” teorema quando procurou generalizar um
problema de A Arithmética de Diofanto: dividir um dado quadrado
em dois quadrados.
PAPUS PAPUS (século IV d.C.)
Papus de Alexandria compôs uma obra chamada Synagoge
(Coleção), por volta de 320 d.C., que tornou-se muito importante
por várias razões. Em primeiro lugar fornece um registro histórico
muito valioso de parte da matemática grega que, de outro modo, não
seria conhecida. Por exemplo, é pelo Livro V da Coleção que se
sabe da descoberta por Arquimedes dos treze poliedros semiregulares
ou “sólidos arquimedianos”. Além disso, a Coleção
contém novas provas e lemas suplementares para proposições das
160
obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio e Ptolomeu. Finalmente, o
tratado contém descobertas e generalizações próprias.
A Coleção era composta por oito livros, porém o primeiro livro
e a primeira parte do segundo se perderam. O Livro III mostra que
Papus compartilhava totalmente da clássica apreciação grega pelas
sutilezas da precisão lógica em geometria. Fazia distinção clara
entre problemas planos, sólidos e lineares – os primeiros sendo
construtíveis com retas e círculos apenas, os segundos resolúveis por
uso de secções cônicas e os terceiros exigindo outras curvas que não
retas, círculos ou cônicas.
A seguir, Papus descreveu algumas soluções dos três famosos
problemas de construção, sendo que a duplicação do cubo e a
trissecção do ângulo seriam problemas da segunda categoria, isto é,
sólidos, e a quadratura do círculo um problema linear. Afirmou ser
impossível resolver os problemas clássicos sob as condições
platônicas, ou seja, com régua e compasso apenas, pois não estão
entre os problemas planos. Papus não provou essa afirmação, mas
percebeu a dificuldade dos problemas que só teriam provas rigorosas
no século XIX.
Trissecções propostas por Papus
1. Seja AOB um ângulo, num círculo com centro O, cuja
bissetriz é OC.
O
B
.
C
T
A
Traça-se a hipérbole tendo A como um foco, OC como a diretriz
correspondente e com excentricidade igual a 2. Então um ramo
dessa hipérbole cortará a circunferência do círculo num ponto T tal
que o ângulo AOT é um terço do ângulo AOB.

161
2. Seja o ângulo AOB cujo lado OB é uma diagonal do retângulo
ABCO. Por A traça-se a hipérbole eqüilátera tendo BC e OC
(prolongados) como assíntotas.
Sendo A o centro e o
raio duas vezes OB
C B T
traça-se um círculo que
corta a hipérbole em P e
Q
P
de P baixa-se a
perpendicular PT a CB
prolongado.
O
A
Então, usando as
propriedades da
hipérbole, mostra-se
que a reta que passa por
O e T é paralela a AP e
que o ângulo AOT é um
terço do ângulo AOB.
Extensão do teorema de Pitágoras
Uma contribuição importante de Papus encontra-se no Livro IV da
Coleção. Trata-se da seguinte extensão do teorema de Pitágoras: Se
ABC é um triângulo qualquer e se ABDE e CBGF são quaisquer
paralelogramos construídos sobre dois dos lados, então pode-se
E
L
D
B
A J
H
G
K
F
162
construir sobre o lado AC um terceiro paralelogramo ACKL com
área igual a soma das áreas dos dois anteriores.
Isso se faz prolongando os lados FG e ED até se encontrarem em H,
depois traçando HB e prolongando até encontrar o lado AC em J, e
finalmente traçando AL e CK paralelos a HBJ.
O Livro V da Coleção foi o favorito dos comentadores, porque
levantava a questão da sagacidade das abelhas. Tendo Papus
mostrado que, de dois polígonos regulares de mesmo perímetro, o
que tem maior número de lados tem maior área, ele concluiu que as
abelhas provavam algum entendimento matemático, ao construir
suas células como prismas hexagonais, em vez de quadrados ou
triangulares. O livro examina outros problemas de isoperimetria,
inclusive uma prova de que, para um perímetro dado, o círculo tem
maior área que qualquer polígono regular.
O livro VII contém o primeiro enunciado conhecido da
propriedade foco-diretriz das três secções cônicas. Apolônio
conhecia as propriedades focais para as cônicas, mas é possível que
a propriedade foco-diretriz não fosse conhecida antes de Papus.
Outro teorema do livro VII que merece destaque, curiosamente
recebe o nome de Paul Guldin, um matemático do século XVII: “se
uma curva plana fechada gira em torno de uma reta que não a corta,
o volume do sólido gerado é obtido tomando o produto da área
limitada, pela distância percorrida durante a revolução, pelo centro
de gravidade da área”. Papus, com razão, se orgulhava desse
teorema geral, que envolvia, simultaneamente, muitos tipos de
curvas, superfícies e sólidos. E de fato esse foi o teorema mais geral,
envolvendo o cálculo, encontrado na antiguidade.
Papus provou também o teorema análogo ao anterior que diz
que “a área da superfície gerada pela revolução de uma curva em
torno de uma reta que não a corta é igual ao produto do
comprimento da curva pela distância percorrida pelo centróide da
curva durante a revolução”.
A Coleção de Papus foi o último tratado matemático antigo,
realmente significativo. Obras matemáticas continuariam a ser
escritas em grego por mais de mil anos, dando continuidade a uma
influência iniciada há quase um milênio. Porém os autores que
vieram depois de Papus jamais chegaram ao seu nível.

HIPATIA HIPATIA (370 – 415)
163
Hipatia de Alexandria, a primeira mulher matemática, era filha
de Teon de Alexandria, autor de uma importante edição de os
Elementos de Euclides e um Comentário, em onze livros, com a
colaboração de Hipatia no segundo, sobre o Almagesto de Ptolomeu.
Exímia professora, Hipatia lecionava matemática e filosofia.
Suas aulas eram elogiadas e muito freqüentadas. Os seus estudos
incluíam, além de filosofia e matemática, astronomia, astrologia,
geometria e medicina.
Escreveu Comentários sobre seis dos trezes livros de A
Arithmética de Diofanto, que só não se perderam por esse motivo. O
mesmo se deu com As Cônicas de Apolônio, onde quatro dos oito
livros tiveram seus Comentários. Teve uma morte trágica, envolvida
em muito mistério. Consta que, por ser pagã, foi assassinada por
cristãos.
PROCLO PROCLO (410 – 485)
Proclo de Alexandria, jovem estudioso de matemática e
filosofia, foi para Atenas onde se tornou chefe da escola
neoplatônica. Já destacamos a importância, como fonte histórica, de
seu Comentário sobre o livro I de Os Elementos de Euclides.
Enquanto o escrevia, Proclo certamente tinha à mão um exemplar da
História da Geometria de Eudemo, agora perdida. A inclusão em
seu Comentário de um sumário ou extrato substancial da História de
Eudemo, chamado sumário eudemiano, foi considerada a sua
principal contribuição à matemática.
BOÉCIO BOÉCIO (475 – 524 d.C.)
Boécio de Roma foi autor das famosas Consolações da
Filosofia, a última obra da literatura romana. Escreveu também os
livros Da Música e Da Aritmética, que por muito tempo foram os
representantes da matemática grega no mundo medieval. Da Música
foi usado como manual até o século XVIII e Da Aritmética
considerado o padrão do ensino matemático.
164
Durante sua carreira de homem público, Boécio interessou-se
pela reforma da moeda e pela introdução dos relógios de água e dos
quadrantes solares. Sua geometria constava apenas de algumas das
proposições mais simples dos quatro primeiros livros de Euclides,
com algumas demonstrações, e aplicações aos processos de
medição.
Assim começava Da Aritmética de Boécio: por todos os
homens de reputação antiga que, emulando a fama de Pitágoras, se
distinguiram pelo intelecto puro, foi sempre considerado coisa
assente que ninguém poderá alcançar a suprema perfeição das
doutrinas filosóficas, se não buscar os píncaros do saber numa
certa encruzilhada – o quadrívium.
Para Boécio as coisas do universo seriam descontínuas (grupos)
ou contínuas (grandezas). Os grupos são representados por números,
e por suas relações com a música; as grandezas em repouso são
estudadas pela geometria e as em movimento pela astronomia.
Desse modo, as sete artes liberais seriam constituídas por
quadrívium (aritmética, música, geometria e astronomia) e trivium
(gramática, dialética e retórica).
Boécio traduziu para o latim obras de Ptolomeu, Nicômaco,
Euclides, Arquimedes e Aristóteles, contribuindo assim com a
divulgação da cultura grega na Europa Ocidental. Cristão pela fé e
pagão pela cultura, Boécio tem sido chamado “a parte que une a
antiguidade aos tempos modernos”, “o último dos romanos e o
primeiro dos escolásticos”.
Exercícios
Exercícios
1. Explique o fato de ser o período do desenvolvimento da
trigonometria grega um período de declínio da geometria grega?
2. Por que os antigos preferiam um sistema astronômico geocêntrico
a um heliocêntrico?
3. Prove a fórmula de Heron para a área de um triângulo.
4. Escreva em notação grega a corda de 45°.

165
5. Encontre, sem tabelas, o sen15° e usando isso, escreva em
notação alfabética grega o valor de Ptolomeu para a corda de 30°.
6. Se você fosse um matemático vivendo em 500 d.C., escolheria
Alexandria, Roma, Atenas ou Constantinopla para viver? Dê razões
para sua escolha.
7. Prove a extensão de Papus do teorema de Pitágoras.
166

EUROPA EUROPA NA NA IDADE IDADE IDADE MÉDIA, MÉDIA,
MÉDIA,
CHINA, CHINA, CHINA, ÍNDIA ÍNDIA ÍNDIA E E E ARÁBIA ARÁBIA
ARÁBIA
“Durante a Idade Média o brilho estava no Oriente” (o autor)
167
Apesar dos que procuram reabilitar a Idade Média, quando o
foco é a Europa Ocidental, ela continua sendo a idade obscura, a
idade da ignorância e das trevas, principalmente no período entre os
séculos V e XII.
Pelo fato de encontrarmos, de cem em cem anos, um Sto.
Agostinho, um Sto. Anselmo, um Duns Scoto ou um Fibonacci, nem
por isso deixa de ser a Idade Média um longo período de verdadeira
passividade intelectual e absoluta ausência de qualquer idéia
criadora.
O cristianismo impregnara de sua essência mística e irreal todos
os espíritos. A cultura universal desaparecera praticamente. Deus e a
essência divina do Cristo eram o único objetivo digno de estudo.
Nele sintetizaram toda a ciência e toda a filosofia.
A natureza e o mundo haviam-se tornado irreais. Os homens
viraram os olhos para dentro procurando Deus. O mundo era apenas
um castigo, uma provação com que o homem se conformava e que
devia durar o menos possível para mais depressa penetrar no céu.
Nada poderia alterá-lo ou modificar sua marcha.
Para compreender as razoes dessa ausência de espírito criador,
quer na ciência, quer na filosofia e mesmo na literatura, será preciso
penetrar no espírito desses longos séculos e, indo mais além, nas
próprias raízes da Idade Média, que se encontram nos escombros do
Império Romano.
Confundindo-se com as ruínas do Império, encontra-se também,
as raízes do cristianismo que, nascendo no seio de um pequeno povo
da Ásia Menor quase sem papel na história, chegou a ter influência
primordial quase absoluta no caráter econômico, político e espiritual
da Europa inteira, durante cerca de mil anos.
168
A destruição do Império
Não importa muito aqui analisar as causas da decadência e
esfacelamento do Império, assunto tão polêmico. Destaca-se apenas,
de passagem, que a invasão dos bárbaros, ou melhor, a vitória dos
bárbaros sobre Roma com a vitória do cristianismo sobre o
paganismo, a que se atribui freqüentemente a dissolução do Império,
não foram senão suas causas imediatas.
As verdadeiras causas encontravam-se dentro do próprio
Império, e estavam, sem dúvida, nas contradições econômicas e
políticas características dos últimos três séculos de sua história.
Entre essas contradições destacava-se a escravidão e as suas
conseqüências. Os escravos romanos em nada se pareciam com os
escravos negros da América. Eram, em geral, eram cultos e tinham
consciência de sua condição e, por isso mesmo, não se
conformavam com ela. Daí uma série de rebeliões (a de Espartacus,
por exemplo) que tornavam inseguros e pouco produtivos os
trabalhos do campo e da produção em geral.
A existência da escravidão, por outro lado, tornava o trabalho
indigno do homem livre. Lá, onde a escravidão é a forma
dominante da produção, afirmava Engels, o trabalho torna-se
atividade própria do escravo, desonroso para o homem livre.
Graças a esse fato, fica excluída qualquer possibilidade de
abandonar tal modo de produção, enquanto que, por outro lado,
sua supressão torna-se necessária a fim de que a escravidão deixe
de ser um obstáculo no desenvolvimento da produção.
Outra causa foi, sem dúvida, a expansão demasiado rápida do
Império e das dificuldades da administração e da manutenção de
uma burocracia complicada e exigente. Com as dificuldades do
trabalho escravo, os grandes proprietários abandonavam suas terras,
na Itália, para viver da exploração dos países conquistados.
Quando os germanos invadiram Roma, encontraram um povo
empobrecido, escravos fugidos desocupados pelas cidades,
pequenos lavradores sobrecarregados de dívidas e arruinados, um
proletariado esfarrapado e faminto, todos ansiosos por uma nova
ordem social, e que, por isso mesmo, não deviam estar muito
interessados em repelir os bárbaros.

169
O cristianismo
Segundo Guingnebert, uma religião, qualquer que ela seja, não
cai prontinha do céu, nasce de uma iniciativa particular ou de uma
necessidade geral. E quando deixa de corresponder aos interesses e
às necessidade de um povo, ele busca outra.
O cristianismo levou alguns séculos para conquistar a Europa, e
isso só se tornou possível quando o ambiente se tornou favorável.
Os soldados, fartos de lutar, o povo, cansado de passar fome,
buscaram uma saída e encontraram consolo no cristianismo.
Por outro lado, essa religião, pregando a submissão e a
humildade, serenando os ânimos do povo aflito e exaltado, viria do
mesmo modo servir aos interesses dos novos senhores feudais. Eis
porque o cristianismo pode finalmente vencer as resistências que lhe
opunha anteriormente um império em pleno florescimento.
Espírito da Idade Média
Esse misticismo a que se atirou o povo foi, ao mesmo tempo, a
base e o conteúdo da filosofia medieval. O cristianismo foi, antes de
tudo, um protesto contra um estado moral e social intolerável, mas
um protesto, ao mesmo tempo, radical e ignorante.
Em nome dos oprimidos, dos pobres, da massa sofredora, ele
lançou seu desafio, não a esta ou àquela concepção filosófica, mas a
toda a filosofia, não a uma sociedade mal organizada, mas a toda
sociedade. Seria a negação absoluta da razão como da experiência e,
de tal modo, envolveu os espíritos que se tornou a filosofia não só
de um povo, mas de uma época.
Esse espírito místico de abandono da realidade e desprezo pelo
mundo, evidencia-se muito bem nas palavras com que Sto.
Agostinho procura justificar a castidade. Respondendo à objeção,
que alega ser a abstinência o fim do gênero humano, ele diz:
Prouvera a Deus que todos estivessem de acordo: o mundo se
acabaria mais depressa, e com a destruição da cidade terrestre,
mais depressa teríamos a cidade celeste.
Tem-se atribuído freqüentemente a Aristóteles a culpa da
ausência de qualquer progresso da ciência e da filosofia, desde que
suas obras, traduzidas por Boécio, foram sendo conhecidas,
sobretudo a partir do século VII.
170
Mas a verdade é que o grande filósofo não teve culpa de ter se
tornado a Bíblia Cultural dos filósofos medievais. A causa real foi a
estagnação completa da história, o estado das relações sociais e
econômicas, numa palavra, o feudalismo, e o espírito místico que
envolvera os homens.
Não havia qualquer produção social e três classes principais
vegetavam lentamente: os nobres, os camponeses e o clero. Os
nobres, sem nenhuma aspiração social ou política, vivendo da sua
propriedade e para sua propriedade, comiam embebedavam-se e
brigavam entre si. Apenas os camponeses trabalhavam e sua
produção era individual, para sua família e para a família do senhor
feudal. Nenhum ideal, nenhum objetivo para além das suas
necessidades imediatas, enquanto não chegava a hora de se juntar
aos anjos do paraíso.
Não havia preocupação com o saber, tanto que nobres e
camponeses eram classes completamente incultas, pela
desnecessidade absoluta de qualquer instrução para o gênero de vida
que levavam, nem mesmo do conhecimento da leitura. Os próprios
reis (Carlos Magno, por exemplo) eram analfabetos. As cidades,
centros de vida, de agitação, de cultura, haviam praticamente
desaparecido.
Somente o clero, sobretudo nos claustros e em particular os
franciscanos e os dominicanos, estudavam Aristóteles, Ptolomeu,
Orígenes, Sto. Agostinho e Sto. Anselmo. Fora do terreno
puramente metafísico e espiritual e da preocupação em torno de
questões excessivamente transcendentais, o pouco que se sabia da
natureza vinha de Aristóteles ou dos árabes.
A escolástica, que posteriormente se consolidou numa filosofia
particular, oficial ou oficiosa da igreja, limitava-se então, ao ensino
sistematizado, nas escolas, da teologia e das chamadas sete artes
liberais (ver Boécio).
Carlos Magno (uma curiosa exceção)
Embora o rei dos lombardos e dos francos fosse um homem de
ação e de comportamento rude, dava muita importância ao
desenvolvimento intelectual e ao enriquecimento da alma.
Interessava-se pela música, pelas línguas e pela teologia, e seu

171
interesse cresceu ainda mais quando ele se instalou em
Aquisgrano, onde tinha mais tempo para se dedicar às atividades
culturais.
Com a ajuda dos mestres, Carlos estudou retórica, dialética e
astronomia. Tentou até mesmo aprender a escrever, mas, segundo
diz seu biógrafo Eginardo, havia começado demasiado tarde e por
isso obteve escassos resultados.
Ansioso por difundir o conhecimento, fundou uma escola no
palácio para a qual convidou os sábios de todo o reino. Embora a
escola fosse freqüentada principalmente pelos filhos dos nobres, as
crianças de origem humilde também podiam se beneficiar, e muitas
vezes até apresentavam os melhores resultados. Carlos, que sonhava
poder um dia oferecer educação a todos em seu reino, aprovava a
educação das mulheres, atitude rara naquela época.
A reputação da escola do palácio logo se espalhou, atraindo
professores de toda a Europa. Entre eles, havia um que chamou a
atenção do rei: era um monge inglês chamado Alcuin, de
inteligência extraordinária. Carlos fez-lhe uma proposta irrecusável
para morar no palácio e coordenar seu programa educacional.
ALCUIN ALCUIN (735 – 804)
Além de coordenar o programa de educação de Carlos Magno,
Alcuin de York ensinava retórica, lógica, matemática e teologia. Em
sua aritmética, por exemplo, havia problemas do tipo: se cem
alqueires de trigo são distribuídos entre cem pessoas, de modo que
cada homem receba três alqueires, cada mulher dois e cada criança
meio alqueire, quantos são os homens, as mulheres e as crianças?
Das seis soluções possíveis, encontrou apenas uma.
Alcuin escreveu livros escolares, em substituição aos usados
anteriormente pelos francos, repletos de erros. Usou a própria escola
do palácio para treinar professores, que iriam se estabelecer nas
escolas fundadas nas muitas abadias que havia no reino.
Essas abadias, residência e lugar de oração dos monges, eram
também centros de cultura e conhecimento. A matemática ensinada
nessas escolas incluía naturalmente o uso do ábaco, a tábua de
multiplicação, e a geometria de Boécio.
Desse modo, o importante foi que sob a direção do monge
erudito, o sonho do rei, de elevar o padrão educacional dos francos,
172
começou a se tornar realidade. Quinze anos depois já havia
educação acessível para todos os súditos.
Esse foi um magnífico marco na história, ocorrido em plena
Idade Média e, como já se sabe, o conhecimento intelectual era um
privilégio dos religiosos. Para confirmar ainda mais esse fato, eis um
matemático que se tornou Papa.
GERBERT GERBERT GERBERT ( 940 – 1003)
Gerbert de Aurillac na França foi outro sábio do chamado
renascimento carolingiano e que consagrou à matemática uma parte
de suas variadas aptidões. Viveu alguns anos na Espanha, ensinou
na escola monástica de Reims, na Alemanha e, de 999 até sua morte,
foi o Papa Sivestre II.
Construiu ábacos, globos terrestres e celestes, e reuniu uma
valiosa biblioteca. Também lhe são atribuídos um relógio e um
órgão acionado por vapor. Escreveu livros sobre o emprego do
ábaco, sobre aritmética e sobre geometria. Esse ultimo contém a
solução de um problema relativamente difícil: encontrar os catetos
de um triângulo retângulo, dadas a área e a hipotenusa.
Foi o primeiro a expor os chamados “números de ghubar”
(algarismos hispano-arábicos), que constituíam uma transição para
os algarismos hindo-arábicos, introduzidos na Europa alguns séculos
depois.
Enquanto a Europa seguia o passo lento da Idade das Trevas,
sob o domínio dos reis-papas, esperando o fim do mundo que,
segundo crenças, ocorreria no ano 1000, no Oriente, livre da
repressão da Igreja, a ciência encontrou espaço para se desenvolver,
principalmente na China, Índia e Arábia.
CHINA CHINA
CHINA
Embora a civilização chinesa seja mais antiga que a grega, sua
contribuição para a modernidade não a superou. Vários fatores
contribuíram para isso, inclusive as arbitrariedades dos imperadores

173
chineses, que pareciam deuses, e o isolamento cultual da China em
relação à cultura ocidental.
Consta que por volta do século II a.C., sob a dinastia Han, o
imperador ordenou a destruição de todos os livros do país, bem
como a execução, em praça pública, daqueles que se diziam
intelectuais. Isso por acreditar que se o gosto pela leitura se
expandisse, em breve, não se teria mais ninguém para plantar arroz
nas margens do rio Amarelo.
O comércio da seda entre chineses e árabes só se tornaria
freqüente no século VII da nossa era, enquanto o comércio de
especiarias com os europeus só aconteceria no fim do século XIV.
O primeiro documento matemático dos chineses é do século XII
a.C.: Chow Pei Suang Ching (calendário das horas solares), um
pergaminho de dois metros e trinta que aborda diversos assuntos
científicos sob a forma de diálogos entre o imperador e um de seus
ministros. O autor, desconhecido, inicia sua obra afirmando ser o
quadrado um símbolo da Terra e o círculo do Céu. Percebe-se dos
escritos, que já nessa época conheciam as quatro operações, bem
como as propriedades dos triângulos eqüiláteros e retângulos. Pela
igualdade obtida com os números 3, 4 e 5, isto é, 3 x 3 + 4 x 4 = 5 x
5, notamos que já haviam descoberto o Teorema de Pitágoras.
Desse documento conclui-se, também, que o conhecimento da
época era tutelado pelo imperador. É flagrante a preocupação do
autor em agradá-lo, o que se depreende especialmente do método de
somar duas frações, em que os exemplos são todos tirados das
medidas dos corpos dos familiares do imperador. Outro fato curioso
do livro são os temas aos quais aplicavam a matemática: idades,
censo populacional, colheitas, astrologia, medidas de áreas e
volumes, impostos e construção civil.
Sistemas de numeração
Na China, desde os tempos primitivos, dois sistemas de
numeração estiveram em uso. Num predominava o princípio
multiplicativo, no outro era usada uma forma de notação posicional.
No primeiro havia símbolos diferentes para os dígitos de um a dez e
símbolos adicionais para as potências de dez, e nas formas escritas
os dígitos em posições ímpares (da esquerda para a direita ou de
174
baixo para cima) eram multiplicados pelo seu sucessor. Assim o
número 678 seria escrito como um seis seguido do símbolo para
100, depois um sete seguido do símbolo para dez e, finalmente, o
símbolo para oito.
No sistema de “numerais em barras” os dígitos de um a nove
apareciam como | || ||| |||| ||||| | || ||| ||||
, e os nove primeiros
múltiplos de dez como
Usando esses dezoito símbolos alternadamente em posições
contadas da direita para a esquerda, podiam ser escritos números tão
grandes quanto se desejasse. Como na Mesopotâmia, só
relativamente mais tarde é que apareceu um símbolo para uma
posição vazia.
A matemática em nove capítulos
A obra mais importante da ciência chinesa é, sem dúvida, o
famoso Chui Chang Suan Shu (a matemática em nove capítulos) de
Chuan Tsanom (200 a.C.), que traz 246 problemas resolvidos.
Ao contrário da matemática grega, a chinesa, assim como a
egípcia e mesopotâmia, também é caracterizada pela ausência
completa de teorias. O Chuí Chang Suan Shu mais parece um
receituário para resolução de problemas específicos.
Outra peculiaridade da obra são os estilos de apresentação dos
exercícios, indicando que essa foi modificada por vários escritores
ao longo do tempo. Na apresentação verifica-se uma separação dos
nove capítulos destinados a usuários específicos: aparentemente
ministros e homens de confiança do imperador – cobradores de
impostos, engenheiros, agrimensores e astrólogos.
A seguir, um resumo dos nove capítulos.
1º – Medidas de Terras
A preocupação fundamental seria ensinar a medir terras,
baseando a divisão da propriedade rural em retângulos e triângulos.
A forma de calcular a área do círculo indica a característica de
receituário da obra, bem como o valor de π , que conheciam como

175
sendo 3: “multiplique o diâmetro pelo diâmetro do círculo e tome
três quartos do valor encontrado...”
2º – Cereais
São comuns nessa segunda parte, problemas do tipo: “para vinte
sacos de arroz, o imposto a ser pago é de dois sacos, enquanto para
oitenta sacos são oito...”
Tais problemas articulam regra de três simples, bem como
proporções volumétricas.
3º – População
Foi com base nesse capítulo que muitos historiadores da
matemática afirmaram ser de autoria dos chineses o estudo de
matrizes.
4 9 2
Exemplo: O quadrado
3
8
5
1
7
6
foi supostamente trazido para os
homens por uma tartaruga do Rio Lo nos dias do lendário imperador
Yii, considerado um engenheiro hidráulico. A preocupação com tais
diagramas levou o autor dos Nove Capítulos a resolver o sistema de
3x
+ 2y
+ z = 39
equações lineares simultâneas 2x
+ 3y
+ z = 34 efetuando operações
sobre as colunas na matriz
0
0
36
99
0
5
1
24
3
2
1
39
x + 2y
+ 3z
= 26
1 2 3
2
3
26
3
1
34
2
1
39
para reduzi-la a
176
A segunda forma representava as equações 36 z = 99,
5 y + z = 24 e 3 x + 2y
+ z = 39,
das quais facilmente são calculados
sucessivamente os valores de z, y e x.
Além das matrizes, dos sistemas de equações lineares, do
método da soma de progressões aritméticas de n termos, destacamse,
ainda, os quadrados mágicos.
4º – Natureza
Aparecem as raízes quadrada e cúbica, como sendo,
respectivamente, o lado do quadrado e do cubo, a primeira usada na
medição de áreas de plantio e a segunda no cálculo de volumes de
cereais, especificamente o arroz.
5º – Trabalho
São receitas de construção de casas, diques, canais, bem como
de cálculo da quantidade de homens necessários à execução do
projeto. Verifica-se aqui o uso de tabelas que relacionavam tamanho
e estilo arquitetônico com horas de trabalho.
6º – Impostos
Certamente o capítulo mais importante para o imperador, pois
contém cálculos de proporcionalidade acompanhados de regra de
três composta: “aquele que tem 10 áreas de plantio, 2 filhos e colheu
20 sacos de arroz pagará um de imposto, enquanto aquele que tem
20 áreas de plantio, 4 filhos e colheu 30 sacos de arroz, pagará?”
7º – Ligas Metálicas
Dos problemas aqui apresentados conclui-se, mais uma vez, que
sabiam resolver sistemas de equações: “duas barras de ouro mais
três de prata pesam 18 unidades. Quanto pesará cada uma se duas,
uma de ouro e outra de prata, pesam 7?”
Apesar da imprecisão do enunciado, o texto acima reflete uma
matemática bastante evoluída.

177
8º – Tabelas
Um capítulo destinado a registrar tabelas de números que
aparentemente expressavam as unidades de medida daquele tempo,
bem como dados sobre meteorologia e astrologia.
9º – Problemas de quadrados
Um capítulo inteiro sobre o teorema de Pitágoras.
2 2 2
Aplica-se x + y = z a problemas relacionados com
profundidade de lagos, bambus quebrados, sombra de árvores,
enfim, exercícios de triângulos e retângulos.
“Um bambu de comprimento 10 é
colocado em pé e quebrado a 6
unidades de altura. Sua ponta
10
6
tocará o chão a que distância?”
O capítulo 9 é concluído com
soluções de equações do segundo
?
grau, através de uma receita
conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara, deduzida
empiricamente.
Depois do Chuí Chang Suan Shu, duas outras obras destacariam
o desenvolvimento da matemática chinesa: Suan hsüeh ch’i meng
(Estudos iniciais sobre matemática) e Ssu Yüan Yüchien (Magnífico
espelho de quatro imagens) escritos pelo lendário Chu Shih Chieh
de Pequim e publicados por volta de 1300 da nossa era.
No Suan Meng, a novidade seria a descoberta da soma dos n
2 2
2
primeiros números naturais quadrados, 1 + 2 + ...+ n :
“multiplique o último número (n) por dois e some um (2n + 1); esse
resultado deverá ser multiplicado por n(n + 1). Divida tudo por
seis”. Essa receita de Chu Shih Chieh, se escreve
2 2
2 n(
n + 1)(
2n
+ 1)
1 + 2 + ... + n =
6
A obra de Chu Chieh tornou-se um clássico da matemática
oriental e pela primeira vez misturam-se filosofia, religião,
matemática e física. O autor relaciona as raízes de uma equação do
quarto grau com terra, céu, homem e tempo, buscando, a seu modo,
interpretar a natureza.
178
Destaca-se nessa obra o triângulo atribuído a Pascal, conhecido
dos chineses muitos anos antes, pois Chu Chieh o descreve com
naturalidade, mostrando-o como mecanismo de construção dos
coeficientes dos polinômios formados por ( ) n
x + 1 em que
n = 0,
1,
2,
3,...
Encontra-se também uma pesquisa extremamente curiosa sobre
a descoberta de raízes positivas em equações que vão do grau dois
ao quatorze. À técnica, embora semi-empírica, assemelha-se muito
aos processos de Ruffini, descobertos no século XIX.
2
Exemplo: x − 2x
− 3 = 0
Arbitra-se um valor qualquer como solução; x = 2, por exemplo.
Verifica-se, porém, que esse número não é solução, ou seja,
2
2
x = 2 + d . Então ( 2 + d ) − 2(
2 + d ) − 3 = 0 ou d + 2d
= 3 e Chu
3
Chieh conclui que a solução é x = 2 + = 3 .
1+
2
ÍNDIA
ÍNDIA
As extensas conquistas de Alexandre, o Grande, estimularam
imensamente o intercâmbio de idéias entre o mundo mediterrâneo e
a Ásia. O Oriente pôde, assim, fazer contribuições para a
matemática, e isso no ponto em que os gregos eram relativamente
mais fracos, ou seja, na aritmética (sistema de numeração), álgebra
(resolução de equações) e trigonometria (tabelas de semi-cordas
bem próximas das dos senos atuais).
Alguns séculos antes da nossa era, o teorema de Pitágoras e o
cálculo de raízes quadradas com ótimas aproximações eram
conhecidos na Índia em conexão com Sülvasütras, ou seja, as regras
para construção de altares ou regras de cordas.
A mais importante contribuição da matemática hindu é,
provavelmente, o nosso moderno sistema decimal de posição para os
números, o qual implica na introdução de um sinal para o zero. Já
séculos antes da era cristã, estavam os autores hindus acostumados a
fazer cálculos com grandes números na notação decimal. Para cada

179
potência de dez usava-se um nome diferente, mas, uma vez
conhecida a série completa, o valor de cada unidade era dado pela
sua posição na ordem.
Um sinal especial para os lugares vagos foi ocasionalmente
usado na Grécia e na Mesopotâmia, mas foram os hindus que deram
pleno desenvolvimento lógico a essa idéia e suas formas numéricas
já adquiriam, então, grande semelhança com os algarismos atuais.
A primeira menção positiva feita fora da Índia aos numerais
hindus acha-se no livro de um bispo da Síria Ocidental de 662. No
início do século IX os algarismos tornaram-se conhecidos pelos
intelectuais árabes.
A matemática hindu produziu, até o renascimento, grandes
personagens, que muito a enriqueceram. Dentre os quais se
destacaram Aryabhata, Brahamagupta, Sridhara e Bhaskara.
ARYABHATA ARYABHATA (século VI d.C.)
Aryabhata escreveu, em 499 d.C., um livro em quatro partes,
tratando de astronomia, dos elementos da trigonometria esférica e
enunciando várias regras de aritmética, álgebra e trigonometria
plana.
Alguns resultados dessa obra merecem destaque: Calculou a
2 2
2
soma de cada uma das séries 1 + 2 + ... + n,
1 + 2 + ... + n ,
3
3
3
1 + 2 + ... + n , resolveu equações do segundo grau, apresentou
3
uma tábua de semi-cordas (senos) dos múltiplos sucessivos de 3
4
graus (isto é, dos vinte e quatro avos do ângulo reto) e usou para π ,
177
o bom resultado 3 = 3,
1416 .
1250
O livro de Aryabhata, composto de 123 estrofes metrificadas,
era uma obra descritiva, sem nenhum espírito lógico ou de
metodologia dedutiva. O que tinha de original e o que era apenas
compilação é difícil decidir.
Original, sem dúvida alguma, é a presença pela primeira vez em
livro do sistema decimal posicional. Não se sabe exatamente como
Aryabhata efetuava seus cálculos, mas sua frase de lugar para lugar
180
cada um vale dez vezes o precedente é uma indicação de que tinha
em mente o princípio posicional. Com a introdução, na notação
hindu, do décimo numeral, um ovo de ganso para o zero, o moderno
sistema de numeração (chamado hindu) para os inteiros positivos
estava completo.
Essa numeração, na verdade, combinou três princípios básicos
de origem bem antiga: base decimal; uma notação posicional e uma
forma cifrada para cada um dos dez numerais. Nenhum desses
princípios se deveu originalmente aos hindus, mas foi devido a eles
que os três foram ligados, pela primeira vez, para formar o moderno
sistema de numeração.
BR BRAHMAGUPTA
BR AHMAGUPTA (século VII d.C.)
A matemática hindu ressentiu mais do que a grega a escassez de
fontes históricas, pois os matemáticos raramente se referiam a seus
predecessores e exibiam surpreendente independência em seus
trabalhos. Assim é que Brahmagupta que viveu por volta de 628
d.C. na Índia Central, um pouco mais de cem anos depois de
Aryabhata, tem pouco em comum com seu predecessor, que tinha
vivido no leste da Índia.
Brahmagupta mencionou dois valores para π – o “valor
prático” 3 e o “valor bom”
preciso de Aryabhata.
10 = 3,
16 – mas não o valor mais
Talvez o resultado mais significante na obra de Brahmagupta
seja a generalização da “fórmula de Heron”, dada por
K = s − a s − . b s − c s − d , para encontrar a área de um
( )( )( )( )
quadrilátero, sendo a, b, c, d os lados e s o semi-perímetro. Há uma
restrição, não observada por Brahmagupta, de que a fórmula só é
correta no caso de um quadrilátero inscrito num círculo.
A fórmula correta para um quadrilátero arbitrário é
2
( s − a)(
s − b)(
s − c)
− abcd cos ,
K =
α sendo que α é a metade da
soma de dois ângulos opostos.
As contribuições de Brahmagupta à álgebra são superiores às
suas regras de mensuração, pois são encontradas soluções gerais de

181
equações quadráticas, inclusive duas raízes, mesmo quando uma
delas era negativa.
A aritmética sistematizada dos números negativos e do zero, na
verdade, apareceria pela primeira vez em sua obra. Regras sobre
grandezas negativas já eram conhecidas através dos teoremas
geométricos dos gregos, como por exemplo
( a − b)(
c − d ) = ac + bd − ad − bc , mas os hindus as converteram em
regras numéricas sobre números negativos e positivos.
Analogamente, foram os hindus os primeiros a interpretar o zero
como número, assim como, as raízes irracionais como números e
não como grandezas incomensuráveis.
Brahmagupta afirmou que positivo dividido por positivo, ou
negativo por negativo, é afirmativo; cifra dividida por cifra é nada
(0 : 0 = 0); positivo dividido por negativo é negativo; negativo
dividido por afirmativo é negativo e positivo ou negativo dividido
por cifra é uma fração com esse denominador (a : 0 para a ≠ 0 ele
não se comprometeu).
Como muitos de seus conterrâneos, Brahmagupta, também se
dedicava à matemática por ela mesma. Esse fato seria confirmado
quando se soube que foi o primeiro a encontrar uma solução geral da
equação linear diofantina ax + by = c , em que a, b, c são inteiros.
Para que essa equação tenha soluções inteiras, o máximo divisor
comum de a e b deve dividir c; e Brahmagupta sabia que se a e b
são primos entre si, todas as soluções da equação são dadas por
x = p + mb,
y = q − ma , sendo m um inteiro arbitrário. Deve-se
lembrar que Diofanto só encontrou uma solução particular desse tipo
de equação indeterminada.
Brahmagupta sugeriu também uma equação diofantina
2
2
quadrática x = 1+ py que erradamente recebe o nome de John
Pell (1611 – 1685) e que apareceu pela primeira vez no problema do
gado de Arquimedes.
Os exemplos a seguir ilustram as notações hindus para as
equações:
182
Exemplo 1:
.
ya v 1 ya 10
.
ru 9
2
significa que x −10x = −9
Passos da solução de Brahamagupta, em notação atual:
•
•
− 9
( − 9) . 4 = −36
2 =
• − 36 + ( −10)
64
• 64 = 8
8 − −10
=
• ( ) 18
• 18 : ( 2×
1)
= 9
• A raiz é 9.
Exemplo 2:
.
ya ka 7 bha k(
a ) 12 ru 8
significa que
ya v 3 ya 10
7xy
+
= 3x
2 +
12 − 8
10x
Nomenclatura:
• ya (abreviação de yavattavat) é a primeira incógnita;
• ka representa kalaka (“negro”) é a segunda incógnita;
• v representa varga, que significa “quadrado”;
• O ponto sobre um número indica que ele é negativo;
• bha representa bhavita (“produto”);
• k(a) representa karana (“irracional” ou “raiz”);
• ru representa rupa (número “puro” ou “comum”).
• O primeiro membro da equação é escrito em uma linha
e o segundo membro abaixo;
• Incógnitas adicionais seriam expressas mediante o uso
de abreviações para cores adicionais, assim: ni para
nilaca (“azul”), pi para pitaca (“amarelo”), pa para
pandu (“branco”) e lo para lohita (“vermelho”).

BHASKARA BHASKARA (1114 – 1185)
183
Cinco séculos depois de Brahmagupta floresceu Bhaskara,
conhecido como “o sábio”. Foi matemático, professor, astrólogo e
astrônomo que preencheria lacunas deixadas por seus antecessores,
2
2
inclusive, dando a solução geral da equação x = 1+ py e de
muitas outras equações diofantinas.
Dos seus seis trabalhos conhecidos os mais importantes são
Lilavati (nome de sua filha e que contém 278 versos) e Vija-Ganita,
ambos com muitos problemas sobre os tópicos favoritos dos hindus:
equações lineares e quadráticas (determinadas ou indeterminadas),
mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, ternas
pitagóricas, regra de três, etc.
Bhaskara fez notáveis progressos na notação algébrica
abreviada, isso pode ser confirmado na solução do problema 2, a
seguir. Segundo suas próprias palavras, ao resolver uma equação
quadrática, aplicava o método de um conterrâneo, Sridhara, que
viveu uns dois séculos antes. Isso vem contrariar o hábito, parece
que só do Brasil, de chamar de “Bhaskara” a fórmula clássica de
resolver equações de grau dois.
Exemplos de problemas do Lilavati:
Problema 1: O quadrado da quinta parte do número de macacos de
um bando, subtraída de 3 macacos, entra numa caverna; e um
macaco fica fora pendurado numa árvore. Diga quantos são os
macacos.
1 2
Em notação atual tem-se: ( x − 3 ) + 1 = x ou x − 55x
= −250
.
5
Problema 2: A raiz quadrada do número de abelhas de um enxame
voou rumo a um jasmineiro, enquanto 8/9 do enxame permaneceu
atrás; e uma abelha fêmea ficou voando em torno de um macho que
se encontrava preso numa flor de lótus para a qual foi atraído à noite
por seu doce odor. Diga-me adorável mulher, qual é o número de
abelhas.
Na coluna da esquerda a solução de Bhaskara e na da direita a
tradução atual.
2
184
Seja ya v 2 o número de Seja
abelhas do enxame
enxame
A raiz quadrada da metade
desse número é ya 1
2x 2
= x
2
Oito nonos de todo o enxame Oito nonos de todo o enxame é
é
16
ya v
9
16 2
( ) x
9
A soma da raiz quadrada com
a fração e o casal de abelhas é
igual à quantidade de abelhas
do enxame, isto é ya v 2
Reduzindo-se ao mesmo
16 2
2
x + ( ) x + 2 = 2x
9
denominador os dois
membros da equação e
eliminado o denominador, a
equação transforma-se em
ya v 18 ya 0 ru 0
2
2
9x
+ 16x
+ 18 18x
= ⇔
9 9
2 2
18x
= 16x
+ 9x
+ 18
2
2 x o número de abelhas do
ya v 16 ya 9 ru 18
Após a subtração a equação
torna-se
ya v 2 ya 9 ru 0
2 2
18x
−16x
− 9x
=
2
16x
+ 9x
+ 18 −16x
ya v 0 ya 0 ru 18
2
2x
− 9x
= 18
Portanto ya é 6 Portanto x = 6
Donde ya v 2 é 72 2
Donde 2x
2
= 2.
6 = 72 .
2
− 9x
Bhaskara apresentou uma demonstração do teorema de
Pitágoras de um modo curioso: desenhou a figura abaixo e escreveu
simplesmente “Veja”.

185
A matemática hindu, em comparação grega, ganhou em força e
liberdade, à custa de certo sacrifício do rigor lógico. Entre os gregos,
somente os maiores avaliaram a possibilidade e a importância de
uma série infinita de números. Um feito notável dos hindus foi a
introdução da idéia dos números negativos e a exemplificação das
quantidades positivas e negativas por meio de débito e crédito, etc.
Em conjunto, os hindus, que haviam recebido originalmente dos
gregos uma parte da sua matemática, fizeram grandes contribuições
nos campos da aritmética e da álgebra e sua influência na ciência
européia, com a qual tiveram pouco ou nenhum contato direto,
exerceu-se principalmente por intermédio dos árabes.
ARÁBIA
ARÁBIA
Do outro lado do Mediterrâneo, um povo nômade e
aparentemente inculto, que até meados do século VII vivera
praticamente afastado da civilização, surgiu subitamente na história
e, qual um cometa, quase em seguida desapareceu deixando,
todavia, atrás de si, um rastro luminoso que iria resplandecer ainda
durante muitos séculos.
Fenômeno ainda inexplicável, até hoje, de um pequeno povo de
pastores e comerciantes, os árabes transformaram-se, a despeito das
lutas internas, numa nação organizada e forte que em cem anos
apenas, conquistaria metade do mundo conhecido, estendendo seu
domínio pela Síria, Mesopotâmia, Pérsia e toda a Ásia Menor e, de
outro lado, pelo Egito, toda a costa africana do Mediterrâneo,
atravessando Gibraltar e atingindo a Espanha.
E, fenômeno ainda mais surpreendente e contraditório, um povo
dominado por uma idéia mística, que enveredou através da ciência e
da filosofia, pelo caminho do materialismo, influindo
poderosamente no desenvolvimento da cultura de toda a Europa com
um formidável quadro de filósofos e pesquisadores. Não se
consegue, facilmente, explicar um predomínio tão rápido e
avassalador. A história dos árabes dá-nos a idéia de um homem que
passasse longos anos dormindo e que, de repente, como que
despertado por um sonho, se levantasse de um salto, largando a
186
correr pelo mundo até que, exausto, se deixasse cair novamente
em seu antigo canto para prosseguir o seu sono tranqüilo.
Os desertos da Arábia, secos e áridos, nunca foram muito
propícios para o desenvolvimento de grandes civilizações e culturas.
O espírito, ao mesmo tempo místico e combativo, de que se viram
subitamente possuídos pelas revelações de Maomé, atiraram-nos a
uma luta de conquista não só de almas e crentes, mas também de
novos mundos e novos mercados.
As cidades da Arábia, por si mesmas improdutivas, só poderiam
florescer como entrepostos, mercados, pontos de passagem de
viajantes. Foi nesse sentido que se desenvolveu sua luta: os árabes
transformaram cada nova região conquistada num novo mercado,
num novo entreposto.
Hábeis comerciantes, traquejados no ambiente do deserto,
capazes de vencer longas caminhadas para colocar sua mercadoria,
de que, a princípio, eram apenas intermediários, não tardaram em
enriquecer. Os califas tornaram-se poderosos e ricos, dominando um
povo possuído de fé cega e sem limites.
As riquezas, as viagens, o contato com outros povos, outras
línguas e outros costumes, permitiram aos árabes novos
conhecimentos. A necessidade de desenvolver o comércio e,
ulteriormente, a agricultura e a indústria, que haviam criado nos
países conquistados, exigiram a penetração da ciência, da
matemática.
Foram os árabes os verdadeiros continuadores da cultura grega,
embora não tivessem caracteres helenísticos e sim atributos
particulares, derivados da grande diferença existente entre os dois
povos e as duas épocas.
Os árabes limitavam-se, a principio, a traduzir e reeditar as
obras dos grandes pensadores e matemáticos gregos. Ao período de
traduções seguiu-se a idade áurea da ciência árabe,
aproximadamente de 900 a 1100. Era, todavia, “árabe” sobretudo na
língua, pois relativamente poucos cientistas dessa época foram
árabes, ou mesmo maometanos. Eram, na maior parte, sírios, persas
e judeus com nomes árabes. Excetuando-se alguns notáveis
progressos na matemática e na física, suas contribuições positivas
para a ciência não foram grandes, mas prestaram enorme serviço
conservando e coordenando a antiga cultura da Grécia, Pérsia e
Índia e mantendo vivo o espírito das ciências e das artes civilizadas,

187
enquanto a Europa cristã se empenhava numa desesperada luta conta
a barbárie.
A A Matemática Matemática Matemática Árabe
Árabe
Pode-se aceitar como característica da primeira fase do Islã as
palavras atribuídas, pela tradição, ao califa Omar (634-644),
segundo o qual tudo aquilo que, na biblioteca de Alexandria
concordava com o Alcorão, era supérfluo e, o que dele discordava
era inferior, e por conseguinte devia se destruir tudo.
Se, por um lado, os árabes foram responsáveis pelo
desaparecimento de parte do conhecimento ocidental, por outro lado
contribuíram para sua preservação. O extermínio se deu, segundo
consta, em 641 d.C. ao se cumprir as ordens de Omar. E a
preservação foi devida à atuação de três califas, considerados os
grandes patronos da cultura: al-Mansur, Harum al-Rachid e al-
Mamum, que durante seus reinados foram responsáveis pela
tradução, do grego para o árabe, dos mais importantes escritos
científicos e filosóficos conhecidos. Al-Rachid, a propósito, foi o
célebre califa imortalizado na literatura pelos “contos das mil e uma
noites”.
AL ALKHOWARIZMI
AL KHOWARIZMI
KHOWARIZMI ( século IX d. C.)
Foi durante o califado de al-Mamum (809 – 833) que os árabes
se entregaram totalmente à sua paixão por tradução. Diz-se que o
califa teve um sonho em que apareceu Aristóteles, e em
conseqüência decidiu que deveria fazer versões árabes de todas as
obras gregas em que conseguisse ter às mãos. Não poderiam faltar,
evidentemente, o Almajesto de Ptolomeu e uma versão completa de
Os Elementos de Euclides.
Al-Mamum estabeleceu em Bagdá uma “Casa da Sabedoria”
comparável ao antigo Museu de Alexandria. Entre os mestres havia
um matemático e astrônomo persa, Mohammed ibn-Musa alkhowarizmi
(Maomé, filho de Moisés, de Khowarizmi), que, como
Euclides, iria se tornar muito conhecido na Europa Ocidental.
Esse sábio, que morreu algum tempo antes de 850, escreveu
mais de meia dúzia de obras de astronomia e matemática, das quais
188
as mais antigas provavelmente se baseavam em trabalhos da Índia.
Além de tabelas astronômicas e tratados sobre o astrolábio e relógio
de sol, al-Khowarizmi escreveu dois livros sobre aritmética e
álgebra que tiveram papéis decisivos no desenvolvimento da
matemática.
A monumental Hisab al-jabr w’al muqãbalah (ciência da
restauração e de redução ou ciência das equações) escrita por volta
de 825, baseava-se em fontes muito mais antigas, talvez hindus ou
mesopotâmias. Essa obra tornou-se básica para muitos tratados
posteriores, sendo que do seu título derivou-se a palavra álgebra, e
do nome do autor os vocábulos algoritmo e algarismo.
A obra era composta de 79 páginas sobre casos de herança; 16
páginas de problemas de medidas e 70 páginas de álgebra. No início
o autor faz uma breve recapitulação de valor relativo na base 10.
A seguir um exemplo do procedimento de al-Khowarizmi para
os casos al-jabr e muqãbalah. Dada a equação
2
3
2
3
x + 5x
+ 4 = 5x
− 2x
+ 4 , por al-jabr tem-se x + 7x
+ 4 = 5x
+ 4
2
e por muqãbalah tem-se x + 7x = 5x
.
A álgebra de al-Khowarizmi, era retórica e, na verdade, uma
espécie de cálculo aplicado, em que os conceitos eram seguidos de
numerosos exemplos. O primeiro livro contém uma discussão de
cinco tipos de equações do 2º grau:
2
2
ax = bx,
ax = c,
2
2
2
ax + bx = c,
ax + c = bx,
ax = bx + c . Somente as raízes
positivas foram consideradas, apesar de ter admitido a existência de
duas raízes. Apresentou também para essas equações uma
comprovação geométrica denominada “método de completar
quadrados”.
Exemplo: Resolver a equação:
2
x + 12x
= 64 .
Solução geométrica de al-
Khowarizmi: na figura acima
considera-se que AB = BC = x e
que AH = CF = 6 . Logo a área do
quadrado ABCD é dada por: Aq = x 2
e a área dos retângulos HKBA e
BGFC é dada por: Ar = 6x. A soma
3

189
dessas áreas é x 2 + 12x. Completando-se o quadrado HEFD,
pelo acréscimo aos dois retângulos anteriores do quadrado KEGB,
cuja área é 36, tem-se que a área do quadrado HEFD é dada por:
2 2
( x + 6)
= x + 12x
+ 36 = 64 + 36 = 100 , ou seja, x + 6 = 10 ,o que
resulta x = 4.
A aritmética de al-Khowarizmi teve uma tradução latina De
número hindorum, no século XII, muito importante para a
introdução na Europa do sistema hindu de numeração.
ABU’L ABU’LWEFA
ABU’L WEFA (940 – 988)
Abu’l-Wefa foi um competente algebrista, no entanto, suas
contribuições mais importantes foram na trigonometria. Comentou a
álgebra de al-Khowarizmi e traduziu do grego um dos últimos
grandes clássicos – a Arithmética de Diofanto.
Nos cálculos astronômicos houve, a princípio, entre os árabes
dois tipos de trigonometria – a geométrica grega das cordas, como é
encontrada no Almajesto, e as tabelas hindus de semi-cordas (senos).
Talvez pela praticidade do sistema hindu não demorou muito para
que quase toda a trigonometria árabe se baseasse na função seno. Na
verdade, foi também através dos árabes, e não diretamente dos
hindus, que essa trigonometria chegou à Europa.
Abu’l-Wefa produziu tabelas de senos para arcos, variando de
dez em dez minutos, introduziu o conceito de tangente de um ângulo
e, provavelmente, os de secante e co-secante.
Essas novas funções, ao contrário da função seno hindu, em
geral, eram consideradas em círculos unitários. Com Abu’l-Wefa a
trigonometria assumiu uma forma mais sistemática em que são
provados teoremas tais como as fórmulas para ângulos duplo e
metade.
OMAR OMAR KHAYYAM KHAYYAM (1043 – 1131)
O persa Omar Khayyam, de Naishapur, conhecido no Ocidente
como o grande poeta, autor dos Rubáiyát, foi o mais ousado dos
matemáticos “árabes”, por se dedicar a problemas fundamentais para
no desenvolvimento da matemática.
190
Considerado o descobridor do teorema do binômio, resolveu
equações cúbicas de forma geométrica e também tentou, em vão,
provar o postulado das paralelas de Euclides. Acreditava na
possibilidade de se aplicar a razão ao mundo real para refazê-lo mais
de acordo com os desejos do coração.
Em sua álgebra, Omar Khayyam escreveu que, em outra obra,
tinha descoberto uma regra, para encontrar as potências quarta,
quinta, sexta e mais altas de um binômio. Essa obra se perdeu, mas
presume-se que ele se referia ao arranjo do triângulo de Pascal, que
teria surgido, ao mesmo tempo, também na China. Não é fácil
explicar tal coincidência, mas enquanto não for encontrada nova
evidência, deve-se presumir a independência das descobertas.
É nessa obra sobre álgebra, que se encontra uma discussão das
equações cúbicas, resolvidas mediante construções geométricas.
Khayyam obteve uma raiz fazendo a intersecção de duas secções
cônicas. Rejeitava as raízes negativas e não encontrava todas as
positivas. Essa obra, no entanto, foi uma notável realização, pois foi
o primeiro a propor a si mesmo o seguinte problema: como pode ser
resolvida uma equação cúbica com coeficientes numéricos?
Os árabes claramente se sentiam mais atraídos pela álgebra e
pela trigonometria do que pela geometria, mas um aspecto da
geometria tinha um fascínio especial para eles – a prova do quinto
postulado de Euclides. Mesmo entre os gregos a tentativa de provar
o postulado tinha-se transformado virtualmente num “quarto
problema de geometria” e vários matemáticos muçulmanos
continuaram o esforço.
Omar Khayyam partiu de um quadrilátero com dois lados
iguais, ambos perpendiculares à base (usualmente chamado de
quadrilátero de Saccheri) e perguntou como seriam os outros
ângulos (os superiores) do quadrilátero, que são necessariamente
iguais um ao outro. Novamente chegou a um enunciado equivalente
ao postulado das paralelas de Euclides.
Finalmente, confirmando a ousadia, Khayyam afirmou a
impossibilidade de se encontrarem dois cubos cuja soma fosse um
cubo. Esse problema foi generalizado muitos anos depois por
Fermat, tornou-se famoso como “o último teorema” e a sua prova,
que desafiou a mente humana, só foi conseguida em 1993, após 358
anos, pelo matemático inglês Andrew Willes.

AL ALTUSI AL TUSI (1201 – 1274)
191
Astrônomo de Hulagu Khan, neto do conquistador Gengis Khan
continuou os esforços para provar o postulado das paralelas,
partindo das hipóteses usuais sobre um quadrilátero de Saccheri. Os
escritos de Nasir Eddin Al-Tusi foram traduzidos e publicados por
Wallis no século XVII e pode ter sido essa obra o ponto de partida
para os estudos de Saccheri no início de século XVIII.
Nasir Eddin tinha os interesses característicos dos árabes; por
isso fez contribuições também à trigonometria e à astronomia.
Dando continuidade à obra de Abu’l-Wefa, foi responsável pelo
primeiro tratado sistemático sobre trigonometria plana e esférica,
tornando o assunto independente da astronomia.
Já operando, normalmente, com as seis funções trigonométricas
usadas atualmente, Nasir Eddin desenvolveu regras para resolver os
vários casos de triângulos planos e esféricos. Trata-se de uma obra
rica com influência limitada, talvez, por não ter sido bem conhecida
na Europa. Em astronomia, no entanto, suas contribuições foram
importantes para o trabalho de Copérnico.
AL ALKASHI AL KASHI (1369 -1436)
Com numerosas obras, escritas em persa e em árabe, al-Kashi
contribuiu para a matemática e a astronomia. Talvez na China tenha
aprendido a usar frações decimais e, sentindo a importância de sua
contribuição ao assunto, passou a se considerar o inventor das
frações decimais.
Al-Kashi era aficionado por cálculos longos e se orgulhava,
com razão, de sua aproximação para π , que era a melhor de
quaisquer das aproximações fornecidas por seus predecessores; 2π
era dado por 6,2831853071795865.
Nenhum outro matemático, até o final do século XVI, se
aproximou da precisão dessa “garra” computacional. Com al-Kashi
o teorema binomial sob a forma do triângulo de Pascal, apareceria
novamente, quase um século depois de sua publicação na China e
cerca de um século antes de ser impresso em livros europeus.
192
Com a morte de al-Kashi encerrou-se a contribuição da
matemática árabe na Idade Média, pois o colapso cultural do mundo
muçulmano acompanhou a desintegração política do Império.
Sistema de numeração indo-arábico
Exercícios
Exercícios
1. Que contribuição matemática teve maior influência no
pensamento moderno, a chinesa ou a hindu?
2. Há alguma evidência de influência grega na matemática hindu? E
a recíproca, é verdadeira?
3. Descreva alguns pontos em que a álgebra hindu diferia
marcadamente da grega.
4. Escreva o número 7.384.679 em numerais chineses em barra.
5. Use um esquema em gelosia para achar o produto de 345 por 256.

6. Divida 56.789 por 273 usando o método do “galeão”.
193
7. Da fórmula de Brahmagupta para a área deduza a de Heron como
caso especial.
8. Mostre que 21x +14y = 3 não tem solução em inteiros.
9. Comparar, quanto ao seu efeito sobre a cultura, a conquista árabe
nas terras vizinhas com as conquistas anteriores de Alexandre, O
Grande, e com as conquistas dos romanos.
10. Mencione algumas partes da matemática grega que se teriam
perdido sem a ajuda árabe.
11. Compare a matemática árabe e a hindu quanto a forma,
conteúdo, nível e influência.
12. Usando um diagrama geométrico como o de al-Khowarizmi,
2
resolva a equação x + 10x
= 39
194

AURORA AURORA DO DO RENASCIMENTO
RENASCIMENTO
“O homem não passa de um caniço, o mais fraco da natureza, mas é um
caniço pensante.” (Pascal)
195
Depois de algumas páginas pelo Oriente (China, Índia e
Arábia), volta-se o foco para a Europa, que viveu uma época
sombria, onde a vida se resumia aos feudos e a cultura aos claustros
e conventos.
Houve um oásis incrível nas escolas de Carlos Magno, mas o
predomínio foi da escuridão e do silêncio. Apesar disso, o mundo
não se acabou no ano 1000, contrariando a previsão e, o saber que
passou por uma certa agonia, não morreu. Prova disso foi que na
Europa dos séculos XII e XIII pairaram algumas novidades:
1. Foram fundadas as primeiras universidades – Bolonha
(1088), Paris (1200), Oxford (1214) e Cambridge (1231) – pela
evolução gradual das escolas dos mosteiros e catedrais. E não há
dúvidas de que as universidades sempre desempenharam um papel
primordial no desenvolvimento da cultura e da ciência;
2. O pequeno regato da ciência clássica derivada diretamente
das fontes gregas e romanas misturou-se às águas da torrente que
abriu caminho através do norte da África e da Espanha, sob os
mouros. A obra rudimentar de Boécio foi superada e antes de 1400
os primeiros cinco livros de Euclides já eram ensinados em muitas
universidades. A linguagem corrente da ciência ainda era o árabe,
mas as principais obras gregas como o Almagesto de Ptolomeu, por
exemplo, foram traduzidas para o latim na segunda metade do
século XII, provavelmente com o uso dos algarismos indo-arábicos;
3. Com a formação e crescimento das cidades – inexistentes na
Idade Média – o poder dos nobres feudais viu-se terrivelmente
ameaçado, com o fortalecimento acentuado do poder dos reis.
Nessas cidades, intensificou-se o comércio, foram fundadas algumas
indústrias e uma nova classe começou a germinar: a burguesia. Uma
classe em ascensão é sempre progressista, quer se beneficiar dos
bens materiais, explorar os bens naturais e se interessa pelo
196
progresso da ciência. Enfim, faz tudo que for possível para criar
condições de assumir o poder.
A A matemática matemática nos nos séculos séculos séculos XII, XII, XIII XIII e e XIV
XIV
Nesse período a crescente atividade no campo da ciência,
deveu-se em grande parte a Fibonacci na Itália, a Jordanus
Nemorarius na Saxônia, a Roger Bacon na Inglaterra e a Nicole
Oresme na França.
FIBONACCI FIBONACCI (1175 – 1250)
Leonardo de Pisa, ou Fibonacci foi educado no
norte da África, onde seu pai era agente
comercial, e desse modo se familiarizou com a
álgebra de al-Khowarizmi e com o sistema
numérico dos árabes (que era hindu). Soube
avaliar as vantagens de ambos e, ao voltar para
a Itália, publicou o seu Líber Abaci em 1202
(revisto em 1228), o qual se propunha divulgálos
na Europa “a fim de que a raça latina já não
se mostre deficiente desse gênero de conhecimentos”. Como obraprima
da matemática medieval, esse livro foi considerado um
modelo durante mais de dois séculos. A álgebra de Fibonacci era
retórica, mas empregava muitos métodos geométricos.
Tratava das operações fundamentais com números inteiros e
frações, usando o traço de divisão tal como o empregamos
atualmente. As frações são decompostas em somas de frações
unitárias, como no antigo Egito. Por intermédio dos árabes,
Leonardo recebeu em herança as tradições egípcias não menos que
as gregas, como por exemplo esse tipo de frações, as raízes
quadradas e cúbicas, as progressões e o método de falsa posição. O
livro compreendia também as regras de três e de sociedade, as
potências e raízes e solução de equações.
As palavras iniciais do Líber Abaci indicavam muito do
conteúdo de uma obra que, aparentemente, se propunha abordar a
prática do ábaco: Estes são os nove símbolos dos hindus 9, 8, 7, 6, 5,
4, 3, 2, 1. Com esses símbolos e com o sinal 0, que os árabes

197
chamam de zéfiro, qualquer número pode ser escrito. Importante
registrar que a palavra zero vem de hindu sunya que significa vazio
ou vácuo. Em árabe se transformou em sifr que Fibonacci latinizou
para zéfiro.
No Líber Abaci encontramos também a chamada sequência de
Fibonacdi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... u n...
em que cada termo é a
soma dos dois precedentes (isto é − 1 −2
+ = u n un
un
). Essa seqüência
pode ter sido inspirada na observação da ramificação de certas
árvores (filotaxia) ou mais provavelmente como resposta ao
problema: quantos casais de coelhos se originarão de um único
casal, supondo-se que cada casal procria um novo casal todos os
meses, que cada novo casal começa a multiplicar-se a partir do
segundo mês e que nenhum dos animais morre?
Verificou-se que essa seqüência tem muitas propriedades
significativas. Por exemplo, pode-se provar que dois termos
un−1
consecutivos quaisquer são primos entre si e que lim é o
número áureo φ =
5 − 1
.
2
n→∞ un
Leonardo escreveu ainda dois outros livros, um Liber
Quadratorum (1220) e uma Practica Geométrica (1225). O
primeiro era uma obra original sobre análise indeterminada que lhe
conferiu um lugar entre Diofanto, Brahmagupta, Bhaskara e Fermat.
O segundo livro contém vasto material de trigonometria e
geometria, talvez derivado, em parte, de fontes gregas atualmente
perdidas.
Em 1225, o imperador da Sicília Frederico II, impressionado
pelo que se contava dos talentos de Leonardo, organizou um torneio
de matemática cujas questões foram conservadas, e que em
linguagem atual são:
1. Encontrar um número cujo quadrado, quer acrescido, quer
diminuído de 5, permanece um quadrado;
2. Encontrar, pelos métodos empregados no décimo livro de
Euclides, uma linha cujo comprimento satisfaça a equação
2 10 20
2 3
x + x + x = ; 3. Três homens, A, B e C possuem uma
198
quantia u, guardando suas partes entre si as relações de 3:2:1. A tira
x, guarda metade e deposita o restante com D; B tira y, guarda dois
terços e deposita o restante com D; C tira tudo que resta, a saber z,
guarda cinco sextos e deposita o restante com D. Comparados os
três depósitos, verifica-se que são iguais. Encontrar u, x, y e z.
Leonardo deu a solução correta do primeiro e do terceiro
problemas, bem como uma raiz da equação cúbica,
x = 1, 3688081075 , com a aproximação de nove casas decimais.
NEMORARIUS NEMORARIUS (1178 – 1237)
Jordanus Nemorarius escreveu importantes obras em latim
sobre a aritmética, geometria e astronomia. De Triangulis, a mais
importante de todas, consta de quatro livros que não só tratam dos
triângulos, mas também dos polígonos e dos círculos. Em geral faz
uso dos algarismos arábicos, indicando por meio de letras, as
quantidades conhecidas e desconhecidas.
Resolveu o problema de encontrar dois números cuja soma e
produtos são dados, recorrendo a um método equivalente ao da
álgebra atual. Foi essa, praticamente, a primeira álgebra de notação
sincopada que se publicou na Europa, mas parece ter sido tão pouco
conhecida que não lhe seria possível alcançar grandes resultados,
numa época ainda não preparada para tais invenções.
Há também de Nemorarius o livro Dos Pesos, contendo
elementos de mecânica.
SACROBOSCO SACROBOSCO (1200 – 1256)
John de Halifax também conhecido por Sacrobosco lecionava
aritmética e álgebra em Oxford, tendo ensinado também em Paris.
Sua obra algorismus vulgaris era uma exposição prática de
cálculo, em que dava as regras mas não as provas, contribuiu muito
para divulgar os numerais indo-arábicos, sendo inclusive, a mais
popular fonte de informações no assunto.
O seu Sphaera, uma obra sobre astronomia, foi usado para o
ensino durante todo o final da Idade Média. Sua apresentação fez

199
desse tratado da esfera uma obra que, posteriormente, mereceu mais
de sessenta edições.
BACON BACON (1214 – 1294)
Roger Bacon, membro da ordem franciscana, nascido em
Ilchester, na Inglaterra, foi seguramente o mais importante homem
de ciência de sua época. Foi aluno de Robert Grosseteste, que se
dedicava especialmente à matemática e à ciência experimental,
tendo estudado as obras dos autores árabes.
Bacon estudou também na Universidade de Paris, centro da
cultura européia, onde se doutorou em teologia e também,
provavelmente, se fez frade franciscano.
Lecionou em Oxford, onde tinha uma espécie de laboratório
para experimentos de alquimia. Foi, sem dúvida, por isso que ele se
tornou célebre como cultor da “magia” e das “artes negras”, pois em
1257 foi proibido de ensinar pelo superior da sua ordem e mandado
para Paris, onde passou grandes privações.
Em 1266 o Papa Clemente IV convidou-o a preparar e enviarlhe
um tratado sobre as ciências. No espaço de dezoito meses, Bacon
escreveu e enviou três importantes obras – o Opus Majus, o Opus
Minus e o Opus Tertium. Em 1268 voltou para Oxford, onde
compôs vários outros livros, mas suas obras foram condenadas por
um papa posterior e o autor lançado à prisão, onde permaneceu até
um ano antes de sua morte.
Em Paris, Bacon dedicou-se em particular à física e à
matemática. O Opus Majus (1267) nada mais é que uma súmula da
física e uma filosofia das ciências baseada nos autores gregos,
romanos e árabes. Acentuava que as ciências naturais, necessitavam
de um fundamento experimental e que a astronomia e as ciências
físicas deviam basear-se na matemática, “o abecê de toda filosofia”.
No que diz respeito à mágica, Bacon observou que o ímã, por
exemplo, deve parecer mágico ao ignorante: Como se explica o
maravilhoso poder das palavras? Desde o começo do mundo, por
assim dizer, todos os milagres têm sido realizados por palavras... A
questão das ciências mágicas devia ser profundamente investigada
por homens competentes, providos de uma licença especial do
Papa....
200
Bacon enunciou os princípios essenciais da reforma do
calendário, reconhecendo que o ano adotado de 365 dias e um
quarto criava um erro de um dia em 130 anos. Submeteu a uma
crítica penetrante as hipóteses arbitrárias e a complexidade artificial
da astronomia ptolomaica; discutiu a reflexão e a refração, a
aberração esférica, o arco-íris, os vidros de aumento e as estrelas
cadentes. Atribuiu às marés a ação dos raios lunares. Num capítulo
sobre geografia, pressupondo a forma redonda da Terra, chegou à
conclusão de que o oceano situado entre a Europa e a costa oriental
da Ásia não era muito largo. Isso foi citado por Colombo em 1498:
É grato notar que o perseguido monge inglês, morto havia já dois
séculos, pode prestar um poderoso auxílio na ampliação dos
horizontes humanos.
A maior parte dessa notável obra – que só foi impressa quase
500 anos mais tarde – levava tal adiantamento sobre a sua época
que, além de não ser compreendida, expôs o autor a acusações de
magia e até à prisão. A despeito de suas numerosas conquistas
intelectuais acreditava na astrologia, na doutrina das “signaturas”,
segundo o qual a forma e a cor das folhas e flores correspondiam à
finalidade especial a que cada uma delas era destinada pelo Criador.
Acreditava também na pedra filosofal e que a quadratura do círculo
já fora conseguida. Profetizou a invenção de navios movidos por
meios mecânicos e de carruagens sem cavalos.
Segundo Roger Bacon, nenhum conhecimento poderia ser
adquirido fora da experiência e havia quatro grandes obstáculos para
se conhecer a verdade: a autoridade frágil e indigna; o costume; a
opinião do vulgo não instruído e o ocultamento da própria
ignorância, com uma vã ostentação da sabedoria aparente. Roger
Bacon pode ser considerado o fundador do método experimental.
DANTE DANTE (1265 – 1321)
Dante Alighieri, o maior gênio poético da Idade Média, merece
atenção não só por causa da sua influência, despertando e
estimulando as inteligências da sua época e de tempos posteriores,
mas também como autor de um trabalho Da Água e da Terra (De
Aqua Et Terra) que, como ele próprio o diz, foi apresentado em
Mântua no ano de 1320, como contribuição ao problema, então

201
muito discutido, de “se em alguma parte da superfície da Terra a
água é mais alta do que o solo”.
Em a Divina Comédia, o maior dos poemas medievais, Dante
incorpora a astronomia geocêntrica e a astrologia do seu tempo. Em
todo o mundo físico ou espiritual quase não há assunto importante
que ele não tenha aprofundado e em que suas opiniões não sejam as
mais autorizadas da época.
ORESME ORESME (1323 – 1382)
As séries infinitas eram
conhecidas desde a antigüidade,
e a primeira a ocorrer, como já
vimos, foi uma série
geométrica de razão ¼, que
apareceu em a quadratura da
parábola de Arquimedes.
Depois dessa ocorrência as
séries infinitas só apareceriam,
cerca de 1500 anos mais tarde,
no estudo de cinemática
realizado por um grupo de
matemáticos da universidade de Oxford e de outros centros.
Na universidade de Paris, em particular, havia o professor Nicole
Oresme, um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento
tais como filosofia, matemática, astronomia, ciências físicas e
naturais. Além de professor, Oresme era conselheiro do rei,
principalmente na área de finanças públicas; e nessa função revelouse
um homem de larga visão, recomendando medidas monetárias
que tiveram grande sucesso na prática.
Foi ainda, deão da Catedral de Rouen e mais tarde, bispo de
Lisieux, na Normandia. Traduziu Aristóteles, denunciou a astrologia
como pseudo-ciência e seu ardente discurso sobre a reforma da
Igreja foi útil aos protestantes 200 anos depois.
202
Oresme mantinha contato com o grupo de pesquisadores de
Oxford e contribuiu no estudo de várias séries infinitas estudadas
nessa época. Uma dessas, ∑ ∞
n
S = , foi considerada, por volta de
n
n=
1 2
1350, por Richard Suiseth, mais conhecido em Oxford como
Calculator.
A série surge a propósito de um movimento que se desenvolve
durante o intervalo de tempo [0,1], da seguinte maneira: a
velocidade permanece constante e igual a 1 durante a primeira
metade do intervalo; dobra de valor no segundo subintervalo (de
duração 1/4); triplica no terceiro subintervalo (de duração 1/8);
quadruplica no quarto subintervalo (de duração 1/16), etc. Como se
vê, a soma da série assim construída é a soma dos produtos da
velocidade pelo tempo em cada um dos sucessivos subintervalos de
tempo e representa o espaço total percorrido pelo móvel.
v
4 4
3 3
2 2
1 1
½ ¾ 1 t 1
Calculator encontrou o valor 2 para a soma através de um longo
e complicado argumento verbal. Oresme, por outro lado, deu uma
explicação geométrica bastante interessante ao observar que essa
soma é igual a área formada com uma infinidade de retângulos
verticais (ver figuras acima).
O raciocínio de Calculator combinado com a interpretação
geométrica de Oresme, traduz-se no seguinte: a soma das áreas dos

203
retângulos verticais é igual a soma das áreas dos retângulos
horizontais. Isso é o mesmo que substituir o movimento original por
uma sucessão infinita de movimentos, todos com velocidade igual a
1: o primeiro no intervalo de tempo [0,1]; o segundo em [1/2,1]; o
terceiro em [3/4,1], etc. Vê-se assim que o espaço percorrido (soma
das áreas dos retângulos) é dado pela série geométrica ∑ ∞
1
S = ,
cuja soma é 2.
A seguir alguns resultados inéditos de Oresme:
n
n=
0 2
• expoente racional
Em De proportionibus proportionum, escrito por volta de 1360,
Oresme generalizou as notações de Bradwardine incluindo qualquer
potência de expoente racional e regras para combinar proporções
que são equivalentes às leis sobre expoentes, atualmente expressas
m n m+n
m
como . x = x e ( x )
n
mn
x = x . Sugeriu, ainda, a
possibilidade de proporções irracionais e
2
x (que ele se esforçou
para definir) pode ser a primeira sugestão de uma função
transcendente.
• gráfico de funções
Um pouco antes de 1361, ocorre a Oresme a seguinte questão:
por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual
variam as coisas? Trata-se de uma sugestão antiga do que viria ser
representação gráfica de funções. Tudo que é mensurável, escreveu
ele, é imaginável na forma de quantidade contínua; por isso traçou
um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com
aceleração constante. Chamou o eixo horizontal (do tempo) de
longitude e o vertical (das velocidades) de latitude.
C
A M B
204
Como a área do triângulo ABC representa a distância percorrida
por um móvel, Oresme forneceu, assim, uma verificação geométrica
para a regra: velocidade média é a média aritmética entre as
velocidades inicial e final. Do diagrama resulta, claramente, que a
área na primeira metade do intervalo de tempo está para a área na
segunda metade na razão de 1 para 3. Se subdividirmos o tempo em
três partes iguais as distâncias cobertas (dadas pelas áreas) estão na
razão 1:3:5. De modo geral, como Galileu mais tarde observou, as
distâncias estão entre si como os números ímpares; e como a soma
dos n primeiros números ímpares consecutivos é o quadrado de lado
n, a distância total percorrida varia como o quadrado do tempo e
essa é a lei de Galileu para os corpos que caem.
• geometria analítica
Os termos latitude e longitude que Oresme usou, são equivalentes,
num sentido amplo, às atuais ordenada e abscissa, e sua
representação gráfica assemelha-se à geometria analítica, tendo se
antecipado, portanto, a Descartes e Fermat na criação dessa
disciplina. Parece que ele percebeu o princípio fundamental de se
representar uma função de uma variável como uma curva, mas não
soube usar, eficazmente, essa observação, a não ser no caso de
função linear.
• teorema fundamental do cálculo
Oresme se interessava pelos seguintes aspectos do cálculo:
o modo pelo qual a função varia (isto é, a equação diferencial da
curva) e o modo pelo qual varia a área sob a curva (isto é, a integral
da função).
Desse modo antecipa-se também ao famoso teorema fundamental do
cálculo, atribuído a Newton e Leibniz.
• A série harmônica
Entre outras contribuições de Oresme às séries infinitas encontra-se
a sua prova de que a série harmônica é divergente. Tratava-se de um
feito inédito e definitivo. Atualmente ainda é usado exatamente o
seu método. Em síntese, Oresme observou que:

1 1 1 1 2 1
+ > + = =
3 4 4 4 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 4 1
+ + + > + + + = =
5 6 7 8 8 8 8 8 8 2
1 1 1 1 1 8 1
+ + ... + > + ... + = =
9 10 16 16 16 16 2
∑ ∞
n=
1
205
1 1 1 1 1 1
Desse modo, = 1+
+ + + ... > 1+
+ + ...
n 2 3 4 2 2
Como a soma de um número infinito de parcelas iguais a
1
cresce indefinidamente, a série harmônica diverge.
2
Essa prova mostrou como é decisivo o papel do raciocínio
lógico para se estabelecer uma verdade que jamais seria descoberta
de outra maneira.
Na obra Tractatus de figuratione potentiarum et mensuararum,
Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de sua
“latitude de formas” em que uma função de duas variáveis
independentes era representada como um volume formado de todas
as ordenadas erigidas segundo uma regra, dada em pontos numa
parte do plano de referência. Encontra-se até uma insinuação de uma
geometria de quatro dimensões.
Os matemáticos durante o século XIV tinham imaginação e
precisão de pensamento, porém, faltava-lhes técnicas algébrica e
geométrica. Ao contrário dos gregos que tinham horror infiniti, os
filósofos escolásticos do fim da Idade Média se referiam
freqüentemente ao infinito, tanto como potencialidade, quanto como
uma realidade.
Situação Situação da da da matemática matemática matemática no no final final do do século século XIV
XIV
As expectativas de progresso no século XIV foram frustradas
por duas calamidades: a guerra dos cem anos (1337 – 1453), entre
França e Inglaterra, e a peste negra, que começou em 1334 e, em 20
anos, ceifou quase a metade da população da Europa. Assim, a
produção matemática foi pequena e só se salvou devido à produção
de alguns sábios, dentre os quais o grande destaque ficou com
Nicole Oresme, como foi visto anteriormente.
206
Durante o século XIV verificou-se uma disseminação gradual e
ininterrupta da erudição árabe, em grande parte por meio de
almanaques e calendários, de maneira que se tornaram amplamente
conhecidos o cômputo árabe, a geometria euclidiana e a astronomia
ptolomaica. Alguns desses calendários tinham caráter
predominantemente religioso, dando a incidência das festas da Igreja
para uma série de anos; outros se especializavam em astrologia,
medicina ou astronomia.
As principais aplicações da matemática relacionavam-se,
portanto, com as necessidades bastante simples do comércio, da
contabilidade e do calendário e para isso eram comuns as
construções gráficas do arquiteto e do engenheiro militar ou, ainda,
os senos e tangentes do astrônomo e do navegador.
Para fins eclesiásticos os numerais romanos eram preferidos,
mas, em geral, essas publicações incluíam pelo menos uma
explicação dos novos algarismos árabes e do seu uso. A aritmética
árabe, ou algoritmo, baseada no Liber Abaci de Fibonacci,
empregando a escala decimal e incluindo os elementos da álgebra,
entrou em uso generalizado entre os mercadores italianos nos
séculos XIII e XIV, embora encontrasse séria oposição.
Fora da Itália, entretanto, a contabilidade continuou ainda por
muito tempo – até o século XVI – a ser feita em números romanos, e
nas instituições religiosas e educacionais mais conservadoras, por
mais cem anos depois disso. Em tais casos o cálculo propriamente
dito era feito com o ábaco e o resultado expresso em numerais
romanos. Os numerais indo-arábicos permitiam dispensar o ábaco.
O estagio da matemática nas universidades nessa época pode
ser deduzido nos estudos que se exigiam para o grau de bacharel em
Praga (1384) e Viena (1389), por exemplo. Com poucas diferenças,
em ambas eram estudados a Esfera de Sacrobosco, os livros de I a
VI de os Elementos de Euclides, aritmética, óptica, hidrostática,
teoria de alavancas, perspectiva, divisão em partes proporcionais,
astrologia, medições e uma versão atualizada do Almajesto.de
Ptolomeu.

Exercícios Exercícios
Exercícios
207
1. De que maneiras é provável que as cruzadas tenham ajudado
ou prejudicado a transmissão da matemática do Islã para o
mundo cristão?
2. A Europa Ocidental em 1150 tinha contatos mais fortes com
o mundo árabe ou grego? Qual tinha relativamente mais a
oferecer em matemática? Dê razões para suas respostas.
3. Considere os matemáticos: Euclides, Arquimedes,
Apolônio, Diofanto, Boécio e al-Khowarizmi. Quais os três
mais influentes na Europa de 1250? Dê razões.
4. Prove que a cúbica de Fibonacci x
tem raiz racional.
+ x + 10x
= 20 não
3
2 2
5. Prove que a equação do exercício 4 não tem raiz da forma
a + b em que a e b são racionais.
6. Prove para uma subdivisão do intervalo de tempo em três
partes iguais que a razão 1:3:5 de Oresme, para as distâncias
percorridas está correta.
7. Verifique os processos de Calculator e Oresme para
∞ ∞
n 3n
encontrar a soma de cada uma das séries: ∑ e∑
.
n n
2 4
n=
1 n=
1
8. Prove, usando o método de Oresme, que a série
1 1 1 1
1+
+ + + ⋅⋅
⋅ + + ⋅⋅
⋅ é divergente.
3 5 7 2n
−1
208

O O RENASCIMENTO
RENASCIMENTO
“Foi uma época que exigia gigantes e forjou gigantes pela força do
pensamento, pela paixão e caráter, pela universalidade e erudição.”
(Engels)
209
O renascimento foi caracterizado por profundas transformações
ocorridas na vida e na visão de mundo do homem europeu. Os
horizontes geográficos alargaram-se com o desenvolvimento da arte
da navegação e as conseqüentes descobertas do caminho marítimo
para as Índias, do continente americano e do circuito para uma volta
completa pelo mundo.
A burguesia floresceu, as cidades dedicadas ao comércio
internacional enriqueceram e a economia européia deixou de
gravitar dentro das limitações dos feudos medievais. A
personalidade individual despertou e os artistas encontraram novos
meios de expressão. Os pintores não mais representavam as
principais personagens do drama humano, descarnadas e inseridas
dentro de um mesmo pano de fundo dourado como no estilo
bizantino da Idade Média. Os grandes da época passaram a ser
retratados com feições de homens de carne e osso e integrados em
paisagens naturais, cheias de montanhas, rios, árvores e flores.
A natureza, revalorizada, era mostrada como fonte de vida e
beleza e não mais como o perigoso mundo material, ocasião de
pecado. Os músicos substituíam os sons monocórdicos do cantochão
religioso pelas novas tonalidades do madrigal amoroso e cortesão,
prenunciando a polifonia barroca
Paralelamente, as regas da vida cristã estavam enfraquecidas e
os rigores da moral agostiniana não eram mais obedecidos com tanta
severidade. A verdade é que os homens estavam se relacionando
dentro de novas coordenadas e a visão do mundo não mais poderia
seguir a orientação teocêntrica, que prevalecera durante séculos na
Idade Média. Como conseqüência, engendraram-se transformações
significativas no pensamento científico e filosófico. Maquiavel
(1469 – 1527) fundou uma nova ciência dos assuntos políticos,
desvinculando-a de preocupações morais e religiosas. Erasmo
(1465 – 1536), Thomas More (1478 – 1535) e outros humanistas
210
renovaram o estudo dos textos antigos e defenderam o homem como
ser capaz de criar seu próprio projeto de vida.
Montaigne (1533 – 1592) expressou o advento do
individualismo do homem moderno e desenvolveu uma atitude
cética diante do mundo. O retorno à antiguidade faz ressurgir
filosofias esquecidas, quando não condenadas, como o estoicismo, o
materialismo e o neoplatonismo. Uma nova orientação foi dada ao
estudo de Aristóteles.
A religião sofreu abalos profundos e cada vez mais se
questionava a possibilidade de fundamentá-la racionalmente através
da estrutura conceitual aristotélica. Surgiram as filosofias místicoreligiosas
de Agrippa Von Nettesheim (1468 – 1535), Paracelso
(1493 – 1541) e Jakob Bohme (1575 – 1624) e eclodiu a reforma de
Lutero (1483 – 1546) e Calvino (1509 – 1564).
A revalorização do humano e da vida natural e presente incluía
o interesse pela natureza: o que antes era visto como mero local de
tentações para uma alma que aspirasse a recompensas noutro
mundo, torna-se objeto de conhecimento científico. Em
conseqüência, desenvolveram-se tentativas de estudo experimental
dos fenômenos – esboçadas desde o século XIII nas Universidades
de Paris e Oxford (ver Roger Bacon). Esse tipo de investigação
ganharia contornos definidos com os trabalhos científicos de
Leonardo da Vinci e de outros pensadores, a prenunciar a física de
Galileu e Newton, desenvolvidas no século XVII. Copérnico
formulou a célebre teoria heliocêntrica, Tycho Brahe fez
observações precisas sobre o movimento dos astros e Kepler
preparou o caminho para a descoberta da lei da gravitação universal
de Newton.
Todas essas transformações não se fizeram sem conflitos
profundos, pois significavam, de maneiras diversas, a derrocada de
uma ordem espiritual, social e econômica, que há séculos constituía
o cerne da vida européia. Os setores tradicionais ameaçados, a Igreja
por exemplo, reagiram e enfrentaram as inovações, às vezes com
violência, condenando e levando até à morte alguns representantes
da nova mentalidade. Foi o que aconteceu, só para citar os mais
famosos, com Roger Bacon, Giordano Bruno e Galileu.

O O renascimento renascimento científico
científico
211
Como já foi visto anteriormente o desenvolvimento de uma
classe social em ascensão – no caso a burguesia – gera necessidades
materiais e espirituais, que somente podem ser satisfeitos pela
atividade prática e não apenas pela especulação abstrata ou pelas
divagações epistemológicas. O prodigioso desenvolvimento das
ciências foi a característica dos séculos do renascimento.
Essa atividade prática manifestou-se em particular, no domínio
das invenções e descobertas científicas, na física, na química, na
astronomia e no estudo da anatomia e fisiologia humanas. No
terreno das invenções da época, tem-se o astrolábio, a bússola, os
relógios, o aperfeiçoamento das cartas geográficas, a pólvora e,
finalmente, o microscópio.
Na astronomia, não encontramos apenas um progresso, mas
uma verdadeira revolução de extraordinário alcance científico e
filosófico.
NICOLAU NICOLAU DE DE CUSA CUSA (1401 – 1464)
Nicolau de Cusa, bispo de Brixen, escreveu De docta
ignorantia, em que afirmava que sendo o Universo, infinito em
extensão, não poderia possuir centro e que a Terra seria animada de
um movimento de rotação diurna: É hoje evidente que a Terra na
verdade se move, embora não o notemos imediatamente, pois só
podemos perceber o movimento pela comparação com algo que
permanece imóvel.
Na matemática seguia a orientação de Euclides e Arquimedes,
colaborando na tradução desse último do grego para o latim e
tratando da quadratura do círculo. Tentou construir com régua e
compasso um círculo de área igual a um quadrado dado,
encontrando para π diversos valores pouco exatos.
Nicolau organizou um mapa do mundo então conhecido,
empregando a projeção central. Diz-se que ele determinava áreas de
perímetro irregular pelo método, então novo, de recortá-las num
mapa de cartão para depois pesá-las.
Foi um dos primeiros a salientar a importância da
experimentação em todas as investigações. Revelava um
212
pensamento independente, mas suas teorias astronômicas eram
tão pouco desenvolvidas – e tão especulativas – que não podiam
constituir verdadeiro progresso numa época ainda não preparada
para recebê-las.
PEURBACH PEURBACH (1423 – 1461)
George Von Peurbach ou Purbach, que em sua mocidade
conhecera Nicolau de Cusa em Roma, tornou-se professor de
astronomia e matemática em Viena e tem sido chamado “o
fundador, no Ocidente, da astronomia matemática baseada na
observação”.
Reconhecendo a imperfeição das “tabelas” em uso, publicou
uma nova edição do Almajesto com tábuas de senos naturais ao
invés de corda, calculados com diferenças de dez minutos. Suas
principais fontes eram, no entanto, imperfeitas traduções árabes.
REGIOMONTANUS
REGIOMONTANUS REGIOMONTANUS (1436 – 1476)
O mais eminente discípulo e sucessor de Purbach, Johann
Müller de Königsberg, na Baviera, conhecido como Regiomontanus,
foi o mais ilustre homem de ciência da sua época. Quanto ao seu
nome, basta observar que a tradução latina de Königsberg é
Regiomontanus, ou seja, montanha do rei.
Após a queda de Constantinopla, foi o primeiro a valer-se da
oportunidade para buscar conhecimento, mais diretamente, nas obras
de Arquimedes, Apolônio e Diofanto. Suas tábuas, publicadas em
1475, revestiram-se de importância não só para a astronomia, mas
para as viagens de descobrimentos de Vasco da Gama, Vespúcio e
Colombo.
Essas tábuas abrangiam o período de 1473 a 1560, dando os
senos de cada minuto de arco, as longitudes do sol e da lua, as
latitudes da lua e uma lista de eclipses previstos para o período 1475
– 1530. Uma outra obra, que tratava de astrologia, possuía uma
tábua de tangentes naturais para cada grau.
O seu De Triangulis foi o primeiro tratado moderno de
trigonometria. Dos cinco livros que o constituíam, quatro são
consagrados à trigonometria plana e o restante à esférica. Resolveu

213
triângulos mediante três dados, fazendo uso de senos e cossenos
e empregando com êxito as equações do segundo grau e algumas de
suas soluções. Um dos problemas colocados por Regiomontanus foi
o seguinte: determinar um triângulo sendo dadas a diferença entre
dois lados, a perpendicular à base e a diferença dos dois segmentos
em que essa é dividida; isto é: sendo conhecidos
a − b,
asenB e acos
B − bcos
A encontrar a, b, c, A, B, C. Outro
problema pede para construir, partindo de quatro retas dadas, um
quadrilátero que possa ser inscrito num círculo. Sua notação,
todavia, deixava um pouco a desejar.
Um rico mercador de Nuremberg construiu para
Regiomontanus, um observatório muito bem aparelhado e com o
prelo que ali se fundara há pouco tempo, tornou-se o mais
importante da Alemanha. No entanto, tendo aceito um convite para
ir a Roma, tratar da reforma do calendário, acabou morrendo na
cidade eterna aos quarenta anos.
Condições Condições necessárias necessárias ao ao progresso
progresso
Os gênios de Hiparco e de Ptolomeu levaram ao apogeu a
astronomia grega. Embora aqui e além, a hipótese heliocêntrica
tenha sido adotada, não havia mais condições de progresso enquanto
não se cumprissem três importantes requisitos.
Em primeiro lugar, dependia-se de melhores instrumentos
astronômicos e de observações mais exatas, abrangendo longos
períodos. Segundo, necessitava-se aperfeiçoar os métodos de cálculo
para corrigir e interpretar essas observações. Terceiro, cumpria que
as idéias sobre os fatos fundamentais e as leis do movimento se
tornassem muito mais claras.
Essas condições foram preenchidas uma após outra durante os
séculos XVI e XVII, por uma extraordinária plêiade de homens de
gênio, entre os quais sobressaíram Copérnico,Tycho Brahe, Kepler,
Galileu e Newton.
Copérnico e Kepler interessaram-se mais pelo aspecto
matemático e teórico, Tycho Brahe foi um grande observador e
Galileu uniu a habilidade de observador e experimentador e fez uma
nova apreciação das leis físicas.
214
Newton, edificando sobre os alicerces lançados pelos
outros, realizou uma síntese magnífica dos resultados por eles
alcançados, criando uma teoria matemática racional e coerente do
sistema solar.
COPÉRNICO COPÉRNICO (1473 – 1543)
Nicolau Copérnico nasceu em Thorn na
Polônia, às margens do Vístula, e, como
tivesse parentes na Igreja, preparou-se para
seguir a carreira eclesiástica. Isso o
conduziu, após estudos de medicina feitos
em Cracóvia, à universidade de Viena e
posteriormente às principais universidades
italianas, Bolonha, Pádua, Ferrara e Roma,
onde teve ocasião de cultivar o seu talento
para a matemática e de assimilar tudo o que
então se sabia de astronomia Em 1497
tornou-se cônego em Frauenburg, no seu país natal e de 1512 até a
sua morte, ali viveu desempenhando vários cargos públicos e
exercendo gratuitamente, quando necessário, a arte médica que
também aprendera.
Apesar disso tudo, ainda encontrava tempo para se dedicar aos
estudos astronômicos.
Estudando os autores clássicos, soube que certos filósofos
pitagóricos explicavam o fenômeno do dia e da noite, bem como os
movimentos anuais dos corpos celestes, supondo que a Terra girava
em torno do seu eixo ao mesmo tempo que possuía um movimento
de translação.
Na apresentação de sua grande obra, De Revolutionibus Orbium
Coelestium (As revoluções dos corpos celestes), dedicada ao Papa,
diz ele: empreendi a tarefa de reler todos os livros de grandes
filósofos a que pudesse deitar a mão para ver se alguém sustentara
a opinião de que os movimentos dos corpos celestes fossem outros
que não os postulados por aqueles que ensinavam matemática nas
escolas. E, com efeito, descobri primeiro, em Cícero, que Hicetas
acreditara no movimento da Terra; e mais tarde, em Plutarco,
verifiquei que alguns outros eram dessa mesma opinião...

215
Partindo daí, comecei a considerar a mobilidade da Terra; e,
embora a idéia parecesse absurda, como eu soubesse que antes de
mim fora concedida a liberdade de imaginarem toda sorte de
pequenos círculos para explicar os fenômenos das estrelas,
pareceu-me que talvez me fosse permitido, pela suposição de que a
Terra fosse dotada de algum movimento, tentar alcançar conclusões
mais fundamentadas que as de meus antecessores com respeito às
revoluções dos corpos celestes.
Copérnico não foi um grande observador astronômico. Seus
instrumentos eram medíocres, não tinha bons olhos e na região onde
trabalhava não eram comuns as noites de céu claro. Foram poucas as
observações que registrou, dizendo respeito, sobretudo, a eclipses e
oposições de planetas, sem acusarem um grau elevado de exatidão.
Seus interesses e seu gênio dirigiam-se antes à análise profunda
e à cuidadosa revisão matemática da teoria geocêntrica corrente, que
permanecera praticamente inalterada desde a sua formulação por
Ptolomeu, treze séculos antes.
As condições da época não permitiam que se desse publicidade
a uma inovação tão radical como a teoria heliocêntrica do sistema
planetário; nem estava Copérnico muito interessado em publicar os
resultados a que chegara, pois era ao mesmo tempo indiferente à
fama e inimigo de controvérsias. Na mesma dedicatória diz ele: o
desdém que eu tinha a recear, devido à novidade e a aparente
absurdidade das minhas idéias, quase me levou a abandonar de
todo a obra iniciada.
Sentia, além disso, a inutilidade de publicar as suas teorias
revolucionárias enquanto não tivesse um modelo de sistema
planetário, tão perfeitamente organizado, que se tornasse evidente
sua superioridade em relação ao sistema ptolomaico, entrincheirado
na tradição milenar.
Um trabalho hercúleo, conquanto agradável, e foi assim que
elaborou, pouco a pouco, o sistema em manuscrito, e em 1529
publicou um Commentariolus em que dava um esboço da sua teoria,
que assim foi gradualmente tornando-se conhecida pelos homens de
ciência, embora de forma bastante vaga.
Dez anos depois, George Joachim Rheticus (1514 – 1573), jovem
professor de matemática da universidade luterana de Wittenberg,
visitou Copérnico, ávido de conhecer melhor a nova doutrina. A
216
igreja luterana não era mais tolerante do que a católica para com as
novidades científicas, e o próprio Lutero qualificava Copérnico de
imbecil.
De Revolutionibus foi publicada em 1543, sendo que antes, em
1540, apareceu a Narratio Prima de Rheticus, com muita mistura de
astrologia. Segundo se diz, um exemplar foi ter às mãos de
Copérnico quando se achava em seu leito de morte.
Copérnico iniciou o livro com alguns postulados; primeiro que
o Universo era esférico; segundo que a Terra também era esférica;
terceiro, que os movimentos dos corpos celestes são movimentos
circulares uniformes ou compostos de tais movimentos. Deu
fundamental importância ao caráter relativo dos movimentos
implicados.
Assim, a revolução diária do Sol, da Lua e das estrelas em torno
de uma Terra fixa, teria o mesmo efeito aparente que a rotação da
Terra no sentido oposto, em volta do seu eixo, e o movimento anual

217
aparente do Sol em redor da Terra equivale a um movimento de
translação dessa, segundo uma órbita determinada.
Não teve receio, pois, de afirmar que a Terra, com a Lua a
rodeá-la, percorria um grande círculo em seu movimento anual entre
os planetas, em torno do Sol. O Universo, contudo, seria tão vasto
que as distâncias dos planetas ao Sol se tornariam insignificantes
quando comparadas à esfera das estrelas. Copérnico afirmou ser isso
muito mais fácil de compreender do que da outra forma, com a Terra
no centro do Universo.
Sua adesão à hipótese grega do movimento circular uniforme o
fez conservar um complexo sistema de epiciclos, chegando a 34,
contra os 79 de Ptolomeu, que foi suficiente para explicar toda a
arquitetura do Universo e a dança dos planetas.
Copérnico fez da trigonometria todo o uso que sua obra requer,
procedendo também a uma revisão do catálogo estelar de Ptolomeu.
Fez um cálculo bastante exato da precessão dos equinócios e a
interpretou corretamente, como devida a um lento movimento
cônico do eixo da Terra, como o de um pião quando começa a parar.
Estimou, ainda, os tamanhos relativos da Lua, da Terra e do Sol
como de 1 : 43 : 6937, e a distância da Terra ao Sol (segundo o
método de Aristarco) em 1200 raios terrestres, isto é, mais ou menos
1/20 da verdadeira distância.
Por mais revolucionárias que fossem as teorias de Copérnico,
não surgiam revestidas de uma forma suficientemente popular, para
provocarem controvérsias imediatas ou generalizadas. Dedicando
sua obra ao Papa, diz Copérnico: a matemática é escrita para os
matemáticos, a quem, se minha opinião não me ilude, nossos
trabalhos parecerão contribuir de certo modo para o ministério
eclesiástico, cujo posto supremo Vossa Santidade ocupa
atualmente; pois não há muito, sob Leão X, a questão de rever o
calendário eclesiástico foi discutida e continuou sem solução,
simplesmente porque se considerava que a duração dos anos e dos
meses e os movimentos do Sol e da Lua ainda não se achavam
suficientemente determinados... Mas, quanto ao que eu possa ter
realizado aqui, deixo-o ao julgamento de Vossa Santidade em
particular, assim como ao de todos os outros sábios matemáticos...
218
Influência de Copérnico
A publicação da De Revolutionibus era, naturalmente, um
poderoso estímulo para os estudos matemáticos e astronômicos.
Assim Rheticus, cujas relações com Copérnico tinha sido tão
fecundas, organizou uma nova e rica coleção de tábuas matemáticas,
enquanto Erasmo Reinhold (1511 – 1553), que saudara Copérnico
como um novo Ptolomeu, publicou em 1551, baseando-se na obra
de Copérnico, algumas tábuas astronômicas – as chamadas
“prutênicas” ou “prussianas” – superiores às que estavam em vigor.
Antes que a nova doutrina pudesse ser completamente
demonstrada ou refutada seria necessário esclarecer certos conceitos
de mecânica e reunir sistematicamente dados de observação mais
exatos.
GIORDANO GIORDANO BRUNO BRUNO (1548 – 1600)
Giordano Bruno, nascido em Nola perto de
Nápoles, não foi certamente um astrônomo,
nem tampouco um físico ou um matemático.
Mas, nessa época, a astronomia apresentavase
solidária com a física e ambas vinculavamse
estreitamente à cosmologia. Por uma
intuição genial, antecipando-se às descobertas
telescópicas de Galileu, Bruno apreende o
infinitismo essencial da nova astronomia e
opõe-se à visão medieval de um cosmo
ordenado e finito, visão essa que, embora
modificada, domina ainda o pensamento de um Copérnico e mesmo
de um Kepler. Em suas obras De l’infinito universo e mondi
(universo infinito) de 1584 e De innumerabili, immenso e
infigurabili (imenso e não inumerável) de 1591, expõe as famosas
teses de que o cosmo estaria povoado de uma infinidade de
“mundos” semelhantes ao nosso.
Foi essa visão, acompanhada de uma violenta critica ao
aristotelismo, que ele pregou através da Europa com o ardor de um
apóstolo e foi por ela que pagou com a própria vida.

219
Em 1584, Bruno já apresentou uma exposição e uma defesa da
astronomia copernicana, onde enriqueceu e transformou as idéias de
seu mestre, aplicando de forma notavelmente inteligente as noções
elaboradas pela nova física.
No mundo de Bruno ou, mais exatamente, no seu universo, não
podem existir lugares privilegiados nem direção determinada em si
própria. O alto e o baixo são apenas noções relativas; e quanto ao
“centro do mundo”, esse carecia de algum sentido: o centro está em
toda parte, e não está em parte alguma. Por isso os habitantes dos
outros astros têm tanto direito quanto nós de se considerarem no
centro.
O próprio Sol perdeu seu lugar e seu papel privilegiado, não
passando, o centro de nossa “máquina”, de uma estrela entre outras
inumeráveis estrelas que são sóis análogos ao nosso. Bruno via o
universo como um sistema em permanente transformação, no qual,
como já afirmava Heráclito de Éfeso, todas as coisas são e não são
ao mesmo tempo.
O mundo não era, como pretendia o aristotelismo, uma estrutura
hierarquizada na qual o movimento seria comandado, em última
instância, pelo estático. Ao contrário, o universo seria um todo no
qual nada é imóvel, nem mesmo a Terra e Copérnico confirmara
com o seu heliocentrismo.
O movimento de todas as coisas, contudo, não seria de natureza
puramente mecânica, como se o mundo fosse um jogo de partículas
móveis, cujo deslocamento e cujos entrechoques resultariam de um
movimento inicial comunicado por um ser superior. O movimento,
para Bruno, seria da natureza dos seres vivos e todas as coisas
possuiriam um princípio anímico, que as colocariam em permanente
transformação.
Giordano Bruno, doutor em teologia, clérigo dominicano,
passou por várias universidades européias – Oxford, Sorbone, etc –
divulgando suas várias obras e ensinando astronomia, técnicas de
memorização, filosofia, magia e metafísica. Nunca permanecia
muito tempo num lugar, devido à grande disputa que travava com os
doutores dessas instituições.
A perseguição de Bruno pela Igreja começou muito cedo, já no
convento de Nápoles. Viveu um longo exílio até que regressou à
220
Itália com esperança de reintegrar-se à igreja, mas em maio de 1592,
foi preso e entregue ao tribunal do santo ofício em Veneza.
Iniciado o processo, em 03 de julho de 1592, Bruno declarou
estar arrependido de todos os erros que porventura tivesse cometido
e pronto para reorientar toda sua vida. Nesse ponto o processo
poderia ter-se encerrado com a absolvição, mas o papa não o
permitiu e fez com que o processo passasse ao tribunal do santo
ofício em Roma.
Em janeiro de 1593, Bruno foi entregue às autoridades romanas
e encarcerado durante sete anos, ao fim dos quais foi condenado à
morte na fogueira, juntamente com suas obras consideradas
heréticas. No dia 17 de fevereiro de 1600, Giordano Bruno foi
executado no campo das flores. Desse modo, o final do século XVI
foi iluminado pelas chamas do martírio.
Ainda hoje fica-se perplexo em face da ousadia e do
radicalismo do pensamento de Bruno que, em toda a parte, opõe o
infinitismo do intelecto ao finitismo da razão aristotélica e que
operou uma transformação revolucionária na imagem tradicional do
mundo e da realidade física.
Infinidade do universo, unidade da natureza, geometrização do
espaço, levariam em seu séquito à relatividade do movimento; o
cosmo medieval não mais existia, explodiu e sumiu no vazio,
arrastando consigo a física de Aristóteles e deixando o lugar livre
para a nova ciência de Galileu, Descartes e Newton.
TYCHO TYCHO BRAHE BRAHE (1546 – 1601)
Tycho Brahe, de uma família de nobres
dinamarqueses, dedicou-se à primeira grande
necessidade da nova astronomia copernicana,
ou seja, obter dados adequados e exatos.
Enquanto estudava na universidade de
Copenhague o interesse pela astronomia foilhe
despertado por um eclipse e mais tarde,
em Leipzig, deu continuidade à sua nova
vocação o tempo que, segundo as idéias da
época, deveria consagrar a outros assuntos

221
mais dignos de um homem rico e bem-nascido.
Ali também iniciou o trabalho de toda a sua vida, que consistiu
em obter e aperfeiçoar os melhores instrumentos para observações
astronômicas, ao mesmo tempo que lhes verificava e corrigia os
erros.
Regressando à Dinamarca de suas viagens pela Alemanha, a
predileção que nutria pela astronomia, foi poderosamente estimulada
pelo aparecimento, na constelação de Cassiopéia, em novembro de
1572, de uma brilhante estrela nova que se manteve visível durante
16 meses. A grande importância atribuída a esse fenômeno por
Tycho e seus contemporâneos deveu-se ao fato de construir ele uma
prova contra a doutrina aristotélica da imutabilidade dos céus, pois
suas meticulosas observações demonstravam de maneira cabal que a
estrela estava mais distante do que a Lua e não participava dos
movimentos planetários.
Em 1575, durante uma viagem, Tycho obteve um exemplar do
Commentariolus de Copérnico e no ano seguinte recebeu do rei
Frederico II a ilha de Hveen, com recursos para a manutenção de um
observatório. Quanto àquele pequeno livro, sua opinião era que o
sistema de Ptolomeu é complicado demais e o novo sistema
proposto por Copérnico, seguindo as pegadas de Aristarco de
Samos, embora nada houvesse de contrário aos princípios
matemáticos, achava-se em oposição aos físicos, pois a Terra pesada
e lenta seria incapaz de mover-se e o sistema desmentia até a
autoridade da Escritura”.
Uraniborg
O observatório de Uraniborg em Hveen – o castelo dos céus –
era um estabelecimento extraordinário. Num amplo recinto de forma
quadrada, orientado segundo os pontos cardeais, foram reunidos
vários observatórios, uma biblioteca, um laboratório, salas de
repouso e, mais tarde, oficinas, uma fábrica de papel, um prelo e até
observatórios subterrâneos. Tudo isso era administrado com pródiga
extravagância, não sendo Tycho nem muito zeloso das suas
obrigações nem isento de certa arrogância arbitrária em suas
relações pessoais ou de serviço.
A despeito dessas dificuldades, durante nada menos de 21 anos
levou avante uma série magnífica de observações, que muito
222
transcendia em extensão e exatidão tudo quanto fora realizado pelos
seus antecessores.
Empenhado como estava em alcançar a maior exatidão possível,
Tycho construiu instrumentos de grandes dimensões como, por
exemplo, um quadrante de madeira para uso ao ar livre com uma
escala de bronze de cerca de três metros de raios, permitindo a
leitura de frações de minuto.
Um quadrante azimutal de bronze, menor, porém mais
prestimoso, dava os ângulos com aproximação de um minuto.
Possuía também um globo de cobre, construído com grande
dispêndio, que tinha cuidadosamente marcadas na sua superfície as
posições de cerca de um milhar de estrelas.
Em 1577, Tycho Brahe pode observar um brilhante cometa,
fazendo importantes deduções teóricas, isto é, que ao invés de ser
um fenômeno atmosférico, o cometa se encontrava pelo menos três
vezes mais afastado que a Lua e girava em torno do Sol. Foi até
levado, na discussão das aparentes irregularidades do seu
movimento, a insinuar que ele poderia mover-se numa órbita oval –
prenunciando assim um dos grandes descobrimentos de Kepler.
De acordo com a opinião corrente da época, os cometas eram
formados pelos pecados e pela maldade humana que subiam da
Terra, se condensavam sob a forma de uma espécie de gás que a
cólera divina inflamava. Essa matéria venenosa torna a cair sobre as
cabeças dos homens, causando toda a sorte de malefícios, como a
peste, os franceses (!?), a morte súbita, o mau tempo, etc.
Onze anos depois, Tycho publicou um volume sobre o cometa,
como parte de um extenso tratado astronômico que, entretanto,
jamais se completou. Em 1599 aceitou o convite do Imperador
Rodolfo para que se estabelecesse em Praga. Ali tornou a organizar
um corpo de auxiliares, incluindo, com grande vantagem para ele e
para a sua ciência, o jovem Kepler – mas o progresso dos trabalhos
foi prematuramente cerceado pela sua morte aos 55 anos.
Os principais serviços prestados por Tycho ao avanço da
astronomia consistiram, em primeiro lugar, na superior exatidão dos
seus instrumentos e observações, repetidas várias vezes, acrescida
da correção sistemática dos erros; segundo, pelo prolongamento
dessas observações durante muitos anos.

KEPLER KEPLER (1571 – 1630)
223
Johannes Kepler nasceu em Weilderstadt de
pais protestantes cuja situação econômica era
aflitiva, aliás, toda a sua existência foi uma
luta com a pobreza, a má saúde e a
adversidade. Em 1594, abandonou o estudo
de teologia, embora com certa hesitação,
pois sua aceitação da nova hipótese de
Copérnico o desqualificava para isso, e foi
nomeado livre-docente de matemática em
Gratz. Eram poucos os alunos e entre seus
deveres estava incluída a confecção de um
almanaque que deveria conter, além da matéria comum dos
almanaques, previsão do tempo e informações astrológicas. A mãe
astronomia, dizia ele, passaria fome fatalmente se a filha astrologia
não ganhasse o sustento de ambas.
Tendo tomado grande interesse pela astronomia, houve três
coisas em particular que submeteu a diligentes pesquisas, a saber, o
número, o tamanho e o movimento dos corpos celestes, procurando
as razões de serem elas como eram e não de outro modo.
O primeiro resultado que lhe pareceu importante, foi uma
espécie de tosca correspondência entre as órbitas planetárias e os
cinco sólidos regulares, publicada em 1596 sob um título que pode
ser abreviado em Mistério Cosmográfico.
Kepler, devido à sua difícil situação como protestante em Gratz,
aceitou o cargo de assistente de Tycho Brahe, em Praga, e quando
esse morreu, em 1601, herdou a grande massa de dados brutos, por
eles obtidos, sobre as posições dos planetas em vários intervalos de
tempo. Kepler trabalhou incessantemente sobre esse material por 20
anos, e finalmente conseguiu com brilho ímpar tirar deles suas três
leis do movimento planetário. Essas leis constituem o clímax de
milhares de anos de astronomia puramente empírica:
• A órbita de cada planeta é uma elipse, sendo que o Sol está num
dos focos.
• A linha que une um planeta ao Sol
varre áreas iguais em tempos iguais.
Sol
224
• O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional
ao cubo do semi-eixo maior da órbita elíptica do planeta. Isto é, se T
é o tempo que um planeta gasta para completar uma revolução ao
redor do Sol, a é o semi-eixo maior mostrado na figura, a razão
2
T
é a mesma para todos os planetas do sistema solar.
a
3
Esses resultados foram publicados em 1609, como parte dos
Comentários sobre os movimentos de Marte. O que deve ser
observado é que essas leis são conseqüências dos estudos de Kepler
referentes à Terra e Marte e que depois generalizou para os outros
planetas.
As leis de Kepler eram empíricas que se ajustavam aos dados de
observações reais; porém ele não tinha idéia se eram
matematicamente verdadeiras e se poderiam estar relacionadas entre
si. Em poucas palavras, não havia uma teoria, a priori, para fornecer
um contexto em que essas leis pudessem ser compreendidas.
O grande passo que restava dar seria mostrar que as três leis não
são independentes e empíricas, e sim, conseqüências matemáticas de
uma só lei mecânica, mas esse passo estava reservado ao gênio de
Newton.
As idéias de Kepler com respeito à força e ao movimento eram
ainda bastante simples. Reconhecia a necessidade de uma força
exercida pelo Sol, mas supunha-a inversamente proporcional, não ao
quadrado, mas à própria distância do Sol ao outro astro considerado.
Retomando mais tarde a orientação do seu Mistério
Cosmográfico, publicou em 1619 a harmonia do mundo, em que se
encontrava a terceira lei vista anteriormente.
A última obra importante publicada por Kepler em 1627, as
suas Tábuas Rodolfinas, trazia as suas próprias conclusões e as
alcançadas, um pouco antes, por Tycho Brahe. Esse livro foi um
clássico por mais de cem anos. É digno de nota que durante os seus
trabalhos, na confecção dessas tábuas, estava ocorrendo uma
revolução nos métodos de cálculo graças à introdução dos
logaritmos por Napier e Bürgi.
Foi um dos mais diligentes incentivadores da novel arte de
calcular por meio de logaritmos. Causou-lhe profunda impressão a
obra de Napier, que veio a ter às suas mãos em 1619. Outra

225
contribuição para a matemática foram os seus trabalhos sobre as
grandezas harmônicas consideradas em relação com a geometria
plana e espacial, o que conduziu ao estudo de polígonos e poliedros
estrelados.
Kepler deve ser lembrado também, por seu Dioptrice (1611),
contendo um estudo matemático da refração e das diferentes formas
do recém-inventado telescópio. Em seu conjunto, esse livro formou
a base da óptica moderna. Desenvolveu o autor a primeira teoria
correta da visão: ver significa sentir a estimulação da retina, que é
tingida com raios coloridos do mundo visível. O quadro deve ser,
pois transmitido ao cérebro por uma corrente mental e deposto na
sede da faculdade visual. Supôs que a cor dependia da densidade e
da transparência e que a refração se devia à maior resistência dos
meios densos. Admitiu também que a velocidade da luz era infinita.
Procurando resolver as dificuldades com a hipótese das órbitas
elípticas, Kepler viu-se logo às voltas com o problema de determinar
o comprimento de uma elipse. Deu a aproximação π ( a + b ) , em
que a e b são os semi-eixos. Isso é certo para o círculo, em que
a = b, e bastante aproximado quando a e b são quase iguais, o que
sucedia com a maioria das órbitas planetárias.
Interessando-se pelos métodos em uso para medir a capacidade
dos tonéis de vinho, publicou em 1615 a sua nova Stereometria
Doliorum Vinariorum (medidas de volumes de barris de vinho) em
que determinava o volume de muitos sólidos limitados por
superfícies de revolução. Distinguiu 93 diferentes sólidos de
revolução, dando nomes de frutas a alguns deles: maçã, pera, limão,
etc.
Kepler, rompeu com o rigor arquimediano, não utilizando o
método de exaustão. Dividia a sua figura plana ou o seu sólido em
secções indivisíveis, determinava a área de cada secção e depois
encontrava a soma. O círculo, por exemplo, compunha-se de uma
infinidade de triângulos com um vértice no centro e os outros dois
sobre a circunferência; analogamente, a esfera consistia numa
infinidade de pirâmides.
Foram encontrados nos seus livros vários exemplos de
integração e somas de séries infinitas, no entanto carecia de um
sistema adequado de coordenadas, de um conceito bem definido de
limite e de um método eficaz de somar os termos de uma série. Em
226
face, porém, das dificuldades intrínsecas dos problemas que tentou
resolver foi notável o êxito por ele alcançado.
Em 1628, após várias tentativas de receber seus honorários
atrasados de matemático imperial, chegou a ponto de unir-se a
Wallestein na qualidade de astrólogo, mas veio a morrer um pouco
depois em Regensburg.
GALILEU GALILEU GALILEU (1564 – 1642)
Galileu Galilei nasceu em Pisa três dias
após a morte de Miguel Ângelo e no
mesmo ano em que Shakespeare veio ao
mundo. Exerceu poderosa influência
sobre o desenvolvimento científico em
muitos campos, em especial assentou as
bases da dinâmica moderna. É um fato
notável que a astronomia tenha sido
cultivada, ao mesmo tempo, por três
homens tão ilustres quanto Tycho, Kepler
e Galileu. Enquanto Tycho, com 54 anos,
observava o céu em Praga, Kepler, com apenas 30 anos, aplicava o
seu gênio impulsivo à determinação da órbita de Marte, e Galileu,
com 36, dispunha-se a assentar o telescópio para as regiões
inexploradas do espaço.
Tendo nascido numa Europa ainda dominada pela tradição
aristotélica, Galileu sente-se perplexo diante do conflito entre as
suas próprias observações e as teorias aceitas, mas, firme e
destemido nas suas convicções, investe ardentemente contra as
velhas idéias, ganhando com isso inimigos e também mais
discípulos.
Em todas as suas atitudes e hábitos mentais, Galileu encarnava
o espírito da ciência moderna. Era vivo e arguto no observar, no
analisar e no raciocinar sobre os fenômenos naturais. Ardoroso e
convincente nas suas exposições (principalmente nas suas aulas da
universidade), céptico e intolerante em face da mera autoridade,
quer na ciência, quer na filosofia ou na teologia.
Ainda jovem, descobriu a regularidade dos movimentos
pendulares ao observar lentas oscilações da lâmpada da catedral

227
de Pisa em. Não atingira ainda os 25 anos quando publicou, em
1586, um trabalho sobre a balança hidrostática e sobre o centro de
gravidade dos sólidos.
Muitos anos depois em 1638 mostrou que a hipótese da
aceleração uniforme explicava devidamente as relações observadas
entre o espaço, o tempo e a velocidade, e que a trajetória descrita
pelos projéteis era uma parábola.
Comportando-se como um sábio típico de renascimento, Galileu
aliou à teoria a solução de vários problemas técnicos. Inventou uma
bomba para fazer subir água, um compasso geométrico militar que
produziu em larga escala, escreveu um tratado sobre fortificações de
cidades além de manter uma oficina para a construção de aparelhos
especiais (bússolas, compassos simples, quadrantes, etc.).
Sabendo da invenção do telescópio na Holanda, procurou saber
detalhes e logo pode construir para si um desses instrumentos,
graças ao qual descobriu manchas no Sol, montanhas na Lua, os
satélites de Júpiter, os anéis de Saturno e as fases de Vênus. As
descobertas de Galileu no tocante à superfície da Lua, foram
naturalmente desagradáveis aos aristotélicos da época, para quem
esse astro possuía uma forma perfeitamente esférica e lisa, com
adornos que a tornavam tão variada e tão bela.
Era inevitável que um homem como Galileu aceitasse a
hipótese de Copérnico. Em 1597 escreveu a Kepler: considero-me
feliz por ter encontrado tão grande aliado na busca da verdade. É
realmente lamentável que haja tão poucos que pugnem pela verdade
e estejam prontos a abandonar as falsas filosofias. Mas esse não é o
lugar para lamentar as misérias do nosso tempo, ao invés de
desejar-vos êxito em vossas esplêndidas investigações. Faço-o de
tanto melhor grado por ser, desde muitos anos, um adepto da teoria
de Copérnico. Ela me aponta a causa de muitos fenômenos que são
completamente ininteligíveis sob a teoria geralmente aceita. Reuni
muitos argumentos para refutar essa última, mas não me atrevo a
publicá-los...”
Conquanto nenhum dos descobrimentos astronômicos de
Galileu fosse necessário ou suficiente para confirmar a teoria
copernicana, o apoio que a essa prestavam, era de extrema
importância.
228
Em 1632 publicou o famoso Diálogo sobre os dois principais
sistemas do mundo, o de Ptolomeu e o de Copérnico, obra
comparável em grandeza e importância às Revoluções de Copérnico.
Na primeira das quatro conversações em que se divide a obra, a
teoria aristotélica do caráter especial dos corpos celestes é submetida
a uma crítica demolidora, dando-se relevo a fenômenos tais como o
aparecimento de estrelas novas, os cometas, as manchas solares, as
irregularidades da superfície da Lua, as fases de Vênus, os satélites
de Júpiter, etc.
Argumentando não só com as próprias manchas solares, mas
com a própria variação. Insiste ele que o universo não é rígido e
imutável, mas se modifica constantemente, ou então, passa por fases
consecutivas e relacionadas entre si, isto é, evoluciona. É com maior
repugnância que me resigno a escutar quando o atributo da
imutabilidade é defendido como algo de preeminente importância e
em completo contraste com a variabilidade. Considero a Terra
sobretudo notável justamente pelas transformações que nela
ocorrem.
Repentinamente, em agosto de 1632, cinco meses após a
publicação do Diálogo, chegou uma ordem da inquisição romana
para suspender todas as vendas do livro e, Galileu foi intimado a
comparecer diante do tribunal em Roma. Doente, quase cego, com
70 anos, em pleno inverno, Galileu foi conduzido de Florença a
Roma por estradas difíceis e regiões inteiras isoladas por
quarentenas de peste. Foi a Roma para ser humilhado.
O julgamento do tribunal, em quatro sessões, era em síntese o
seguinte: a proposição de que o Sol se acha no centro do mundo e
não pode ser movido do seu lugar é absurda, filosoficamente falsa e
formalmente herética, pois é extremamente contrária às santas
escrituras...
No dia 22 de junho de 1633 foi pronunciada a sentença e
Galileu obrigado a recitar publicamente e assinar a abjuração, com
vestes de penitente, no convento de Santa Maria sobre Minerva: Eu,
Galileu Galilei, abjuro, maldigo e renuncio a todos os erros e
heresias mencionados (...) contra a santa igreja.
A lenda Eppur si muove!...(no entanto a Terra se move!) foi
uma dedução dos estudiosos com base na postura e personalidade de
Galileu. Ele pode ter pensado, mas não disse. Um pouco antes do

229
julgamento, teria também confidenciado a alguns amigos: Se é uma
confissão o que eles querem, confessarei até que sou uma lagartixa.
Mesmo após ter sido condenado pela inquisição, enfermo e
cego como estava, não esmoreceu o ardor científico de Galileu. Em
1638, publicou em Leyden uma obra sobre mecânica com o título
Conversações e Demonstrações Matemáticas sobre dois novos
ramos da ciência. Esse livro representava o mais notável progresso
realizado na mecânica desde os tempos de Arquimedes.
Em toda a extensão da obra, Galileu baseia-se mais em
resultados de experimentos do que na simples especulação, e em
medidas tão exatas quanto lho permitiam os seus instrumentos.
Galileu fez contribuições notáveis a quase todos os ramos da física:
dinâmica, estática, hidrostática, termometria, acústica, etc. Presume
que a luz possua uma velocidade finita, mas não consegue medi-la.
Embora o principal objeto do seu interesse não fosse a
matemática, acentua Galileu a dependência das outras ciências em
relação a essa. Fez um estudo sutil das quantidades infinitas,
infinitesimais e contínuas.
Foi o primeiro a propor uma correspondência biunívoca entre
quantidades infinitas e para ele tratava-se de um paradoxo,
considerando o axioma euclidiano: o todo é sempre maior que
qualquer de suas partes. Galileu afirmou categoricamente que o
conjunto dos números inteiros positivos e o conjunto dos números
quadrados perfeitos estão em correspondência um a um. Desse
modo enfrentou a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos,
ou seja, uma parte poderia ser equivalente ao conjunto todo.
Pode-se garantir, sem dúvida, que a grande contribuição de
Galileu para a revolução científica que viria após os seus trabalhos
foi o seu moderno método: observação, experimentação e
formalização matemática.
A filosofia está escrita neste livro enorme que continuamente se
acha aberto diante dos nossos olhos (eu digo o universo); mas não
se pode entendê-lo se, antes, não se aprender a língua e conhecer os
caracteres com os quais ele está escrito. O universo está escrito em
linguagem matemática; seus caracteres são triângulos, círculos e
outras figuras geométricas; sem estes meios, é impossível entender
sequer uma palavra, sem eles, equivale a vagar inutilmente, por um
escuro labirinto.
230
A A A matemática matemática matemática no no Renascimento
Renascimento
O período compreendido entre a invenção da imprensa, por
volta de 1450, e o início do século XVII foi de grande importância
para a matemática e a mecânica, bem como para a astronomia. No
seu começo, embora os números “arábicos” já fossem conhecidos, a
matemática das universidades quase não ia além dos primeiros livros
de Euclides e da solução de equações simples do segundo grau sob a
forma retórica. No fim do período, os fundamentos da matemática e
da mecânica modernas tinham sido solidamente lançados.
Nesse período os matemáticos se tornaram uma classe de sábios
especializada, os compêndios tomaram forma e a matemática ia
sendo cada vez mais cultivada por si mesma.
As maiores realizações e tendências foram as seguintes: na
aritmética, foram introduzidas as frações decimais e os logaritmos,
simplificando imensamente os cálculos e desenvolveu-se uma teoria
geral dos números; na álgebra, criou-se um sistema compacto e
adequado de símbolos, incluindo o uso de sinais + , ÷ , × , -, =, ( ),
e dos expoentes; equações do terceiro e do quarto graus foram
resolvidas, aceitando-se as raízes negativas e imaginárias, e muitos
teoremas da nossa moderna teoria das equações foram descobertos.
Na geometria, o cálculo do π foi feito com aproximação de
muitas decimais, deu-se início à geometria descritiva e desenvolveuse
o chamado método dos indivisíveis. Na trigonometria plana e
esférica deduziram-se teoremas e processos atualmente em uso além
de extensas tábuas.
Na mecânica, pouco a pouco foram adquirindo clareza os
conceitos de força e movimento, de equilíbrio e centro de gravidade.
Na base de alguns desses novos desenvolvimentos encontramse
os conceitos fundamentais que começam a se formar: função,
continuidade, limite, derivada, quantidade infinitesimal, sobre os
quais se construiu a matemática moderna.
PAC PACIOLI PAC IOLI (1445 – 1514 )
Luca Pacioli, monge franciscano natural de Toscana, foi o
primeiro matemático a ter um livro impresso sobre a aritmética,

231
publicado em Veneza em 1494. Nele são dadas regras para as quatro
operações fundamentais e para a extração de raízes quadradas. A
aritmética comercial é tratada com bastante detalhe pelos novos
métodos algorítmicos ou arábicos. O método das suposições
arbitrárias corrigidas pela proporção (da falsa posição), era usado
com bons resultados, por exemplo: “Achar o primitivo capital de um
negociante que gastou a quarta parte do mesmo em Pisa e um quinto
em Veneza, havendo recebido nessas transações 180 ducados e
tendo atualmente em mão 224 ducados. Supondo-se que o capital
primitivo fosse de 100 ducados, o restante seria 100 – 25 – 20 = 55.
Isso, porém, são os 5/4 do verdadeiro resto (224 – 180); logo, o
capital primitivo equivale aos 4/5 de 100 = 80 ducados”.
Alguns desses problemas comerciais de Pacioli eram
extremamente complicados. Resolvia equações numéricas do
primeiro e do segundo graus, mas só admitia raízes positivas e
considerava impossível a solução das equações do terceiro grau,
bem como a quadratura do círculo. A adição era indicada por p ou
p , abreviação do latim plus, a igualdade algumas vezes por ae .
Iniciava-se a álgebra sincopada que teria também a introdução dos
radicais com índices, 2 , 3 , bem como dos sinais + e -.
Pacioli em 1509 fez duas tentativas no campo da geometria,
publicando uma edição de Euclides e a De Divina Proportione. Essa
diz respeito a polígonos regulares, a sólidos e à razão mais tarde
chamada de “secção áurea”. O trabalho é destacado pela excelência
das figuras que por isso têm sido atribuídas a Leonardo da Vinci.
A A geometria geometria da da arte
arte
Considerado o mais notável movimento artístico e literário da
cultura ocidental, o renascimento produziu verdadeiros gênios na
pintura, na Itália por exemplo, pode-se citar: Leonardo da Vinci,
Michelangelo Buonarroti (1475 – 1564) e Rafael Sanzio.
Leonardo rompeu com as limitações da arte tradicional e
introduziu o conceito de claro-escuro no espaço pictórico.
Michelangelo reviveu admiravelmente a concepção helênica de luta
do homem com o universo. Rafael, por sua vez, promoveu uma doce
232
revolução, muito mais compatível com seu caráter sereno:
introduziu na arte a tendência à beleza ideal, inspirada nos conceitos
artísticos da Antiguidade clássica.
Os três artistas citados além de outros da mesma época,
notadamente Albrecht Dürer (1471–1528), de Nuremberg,
desenvolveram a teoria geométrica da perspectiva. A fim de
representar exatamente a cabeça humana, Dürer fazia uso tanto dos
planos como da projeção vertical.
LEONARDO LEONARDO DA DA VINCI VINCI (1452 – 1519)
Leonardo da Vinci, um dos gigantes
intelectuais do renascimento, igualmente
grande na arte, na ciência e na engenharia,
foi o primeiro a dar explicação correta da
iluminação parcial da parte escura do disco
lunar, como sendo devida à luz da Terra.
Seus cadernos de notas revelavam
observações muito exatas sobre fenômenos
ópticos causados por um estreito feixe de luz
numa câmara escura. Chamou a mecânica de
paraíso das ciências matemáticas, porque
nela se colhem pela primeira vez os frutos dessas ciências. Negou a
possibilidade do movimento perpétuo, dizendo: a força é a causa do
movimento e o movimento é a causa da força. Discutiu a alavanca, a
roda e o eixo, os corpos que caem livremente ou sobre planos
inclinados. Antecipou-se assim a Galileu.
Todo aquele que apela para a autoridade, dizia ele, não aplica
o intelecto e sim a memória. Ao passo que a natureza começa pela
causa e termina pela experiência, nós devemos seguir o plano
contrário, começando pelo experimento e por meio deste investigar
a causa. Nenhuma pesquisa humana pode aspirar ao nome de
verdadeira ciência se não passar pela demonstração matemática e
aquele que desdenha a certeza da matemática não conseguirá impor
silêncio a teorias sofísticas que só podem terminar em guerras de
palavras.
Dizia, ainda, Leonardo que A felicidade está na atividade e,
convenhamos, ele foi muito feliz. Artista, físico, geômetra, músico,

233
engenheiro, biólogo, atleta e filósofo. Certa vez, ao passar diante de
um açougue, Leonardo apontou, desgostoso, a carcaças de vitelas,
carneiros, bois e suínos, e disse a um dos seus discípulos: - Sim, não
há dúvida, o homem é o rei dos animais, ou para dizê-lo de outra
maneira, é o rei das feras, pois a sua ferocidade é, positivamente,
das maiores. E, após breve silêncio, acrescentou, com tristeza: -
Criamos a nossa vida da morte dos outros seres. Os homens e as
feras não são mais do que eternos cemitérios ambulantes, túmulos
uns para os outros...
Leonardo da Vinci é um caso que segundo suas próprias
palavras quanto mais se conhece, mais se aprecia.
RAFAEL RAFAEL (1483 – 1520)
Rafael Sanzio nasceu em Urbino num ambiente artisticamente
receptivo e estimulante. Seu pai era um pintor muito estimado pela
corte local. Não era, efetivamente, um pintor dotado de qualidades
incomuns; mas foi suficiente para incentivar na escolha da profissão
do filho.
Depois de viver algum tempo em Florença e em outras cidades,
foi em Roma que Rafael, juntamente com outros artistas, teve
oportunidade de participar da decoração da nova residência do papa
Júlio II. Em 1509 foi nomeado pintor oficial da corte papal. Chegou
a ser arquiteto-chefe na decoração do Vaticano, especialmente da
Basílica de São Pedro. Tornou-se, então, a principal figura da
arquitetura romana.
Aceitou também o desafio de pintar um enorme afresco para a
Stanza della Segnatura (sala utilizada pela Igreja para a assinatura de
documentos importantes). E realizou a Disputa do Sacramento, A
Escola de Atenas e O Parnaso. Tal empreendimento, que constituiu
um marco em sua carreira, colocou-o como rival direto de
Michelangelo, que havia pintado os maravilhosos afrescos da Capela
Sistina.A Escola de Atenas constitui-se um sumário da história da
matemática grega além de ser um precioso documento para se saber
como os italianos da renascença concebiam a vida intelectual da
Grécia Antiga.
Os filósofos e matemáticos, cada um com as características que
marcaram suas vidas e obras, estão espalhados, com muita simetria,
234
pela sala. Platão e Aristóteles, por exemplo, são as figuras centrais,
com Platão indicando o céu para expressar que sua filosofia situava
a verdadeira realidade num plano supra-sensível: o mundo das
idéias, modelos eternos e imutáveis das coisas concretas e
perecíveis. Aristóteles, por sua vez, aponta para baixo, exprimindo
seu pensamento realista, que afirma ser real o mundo concreto e
sensível, a partir do qual o intelecto humano realiza abstrações.
Rafael colocou nos integrantes da obra rostos de pessoas
conhecidas do seu tempo. Por exemplo, Platão aparece com o rosto
de Leonardo da Vinci, Euclides com o de Bramonte, outro grande
arquiteto do Vaticano. O próprio autor se inclui, talvez, como uma
espécie de assinatura.
Sem ser tão inovador como Leonardo ou revolucionário como
Michelangelo, pode-se dizer que Rafael superou a ambos no que se
refere à perfeição das linhas, beleza do colorido e harmonia das
composições.
STIFEL STIFEL STIFEL (1487 – 1567)
Michael Stifel, ministro luterano alemão, ex-monge
agostiniano, publicou em 1544, importante tratado com o título de
Arithmetica Integra. Esse livro, que apareceu com um prefácio de
Melanchton, contém muitos acréscimos originais. Apresentou Stifel
um amplo estudo dos coeficientes binomiais (já sem o caráter

235
místico dos números triangulares neopitagóricos, etc.), trazendo
também o chamado “triângulo de Pascal”. Está muito próximo de
conceber a idéia de logaritmo e foi um dos primeiros a introduzir os
números negativos em seus trabalhos. Também introduziu alguns
melhoramentos na notação em uso.
RECORDE RECORDE (1510 – 1558)
Robert Recorde, “a estrela matutina da literatura matemática
inglesa”, estudou em Oxford e graduou-se em medicina por
Cambridge em 1545, tornando-se mais tarde “físico régio”.
Sua obra The Grounde of Artes, ou Aritmética, de 1540, foi um
dos primeiros livros sobre matemática publicados em inglês e que
teve mais de 27 edições exercendo grande influência sobre a
educação na Inglaterra.
Recorde empregou o símbolo +, que indica demasiado, assim
como essa linha -, simples e sem ser cruzada por outra, indica
demasiado pouco.
Em 1557 publicou uma álgebra sob o título sedutor de
Whetstone of Witte (pedra de afiar o espírito), usando para a
igualdade o sinal =, que diz ter escolhido porque não pode haver
duas coisas mais iguais do que duas retas paralelas.
Equações Equações algébricas algébricas algébricas de de de grau grau superior superior
superior
O maior feito dos matemáticos italianos do século XVI foi
resolver equações do terceiro e, mais tarde, do quarto grau. Grande
parte dos trabalhos iniciais foi realizada na Universidade de Bolonha
onde Scipione del Ferro resolveu, por volta de 1515, a equação
3
x + mx = n , sem publicar o resultado. Por volta de 1535, Tartaglia
descobriu a solução de Ferro, bem como a da equação x + px = n .
Havia grande interesse por essas especulações matemáticas e foram
realizados até concursos em público para a solução das equações do
terceiro grau.
3
2
236
TARTAGLIA TARTAGLIA (1500 – 1557)
Niccolò Fontana (Tartaglia), cuja origem era das mais humildes,
lecionou em Verona e Veneza e começou a ganhar fama por ter
respondido com êxito ao desafio de resolver certos problemas
matemáticos que envolviam equações cúbicas.
Na sua obra Nova Scienza, de1537, Tartaglia discutiu a queda
dos corpos e muitos problemas de engenharia militar e fortificação
tais com o alcance dos projéteis, os meios de pôr a nado galeras
afundadas, etc.. A página de rosto era ocupada por uma grande
estampa que representava a corte da filosofia. Euclides era o porteiro
e Aristóteles e Platão os mestres de uma corte interna, na qual está
entronizada a filosofia, sendo que Platão declara, por meio de um
dístico, que não permitirá a entrada de ninguém que não compreenda
geometria...
A sua solução da equação cúbica encontrava-se no livro
Invenzioni enquanto que no Tratado dos Números e das Medidas, de
1556, aparecia um método para encontrar os coeficientes no
desenvolvimento de ( ) n
1 + x , para n de 2 até 6.
Apresentava, também, grande variedade de problemas de
aritmética comercial e uma coleção de enigmas matemáticos. Um
exemplo de tais enigmas tornou-se famoso: “Três belas jovens são
casadas com três moços simpáticos e galantes, mas ciumentos.
Andam os seis em viagem e vão ter à margem de um rio. Para
atravessar o qual só dispõem de um botezinho com lugar para duas
pessoas no máximo. Como passarão o rio, ficando entendido que, a
fim de evitar um escândalo, nenhuma das mulheres poderá
permanecer em companhia de um homem a não ser que o seu
marido esteja também presente?”.
Não há outro tratado que contenha tantas informações sobre a
aritmética do século XVI, tanto no que diz respeito à teoria como às
aplicações práticas. A vida do povo, os costumes dos mercadores, as
lutas pelo aperfeiçoamento da aritmética, tudo isso foi exposto por
Tartaglia de maneira prolixa, mas interessante.
Antecipando-se a Galileu, ensinou Tartaglia que os corpos de
pesos diferentes percorrem, ao cair, distâncias iguais em intervalos

237
de tempos iguais e que um corpo a que se imprime um movimento
circular, uma vez solto tomará a direção da tangente.
CARDANO CARDANO (1501 – 1576)
Girolamo Cardano teve uma vida de aventuras, mais ou menos
indecorosas, em estranha combinação com várias formas de
atividades científicas ou semi-científicas, em especial o exercício da
medicina e da astrologia. Estudou em Pavia e Pádua, viajou pela
França, pela Inglaterra e foi professor em Milão e Pavia.
Sua obra prima Ars Magna, publicada em 1545, contém a
solução da equação cúbica, fraudulentamente obtida do seu rival
Tartaglia. Após a publicação do livro, o afrontado Tartaglia desafiou
Cardano para um duelo matemático que acabou se realizando em
Milão a 10 de agosto de 1548. Cardano, entretanto, não compareceu
tendo enviado seu discípulo Ludovico Ferrari (1522–1565) para
substituí-lo.
Nesse confronto tumultuado Tartaglia não se saiu bem e Ferrari,
demonstrando superioridade conseguiu apresentar, inclusive, uma
fórmula geral para resolver a equação do quarto grau.
Duelos à parte, o importante foi o avanço do estudo das
equações algébricas. Para as de quinto grau ou maiores, somente no
século XIX se demonstrou que a solução, em geral, não pode ser
expressa do modo que se faz para os graus de 1 a 4.
Como jogador inveterado Cardano forjou, talvez com o baralho,
uma das contribuições mais importantes para as ciências ao dar
início ao estudo da teoria das probabilidades.
Equações Equações de de 3º 3º e e 4º 4º graus
graus
Cardano procedia como um verdadeiro discípulo de al-
Khowarizmi, e pensava em suas equações, com coeficientes
numéricos específicos, como sendo representantes de categorias
gerais. Por exemplo, quando escrevia, cubus p 6 rebus aequalis 20
3
(seja o cubo e seis vezes o lado igual a 20), ou seja, x + 6x
= 20 ,
ele pensava nessa equação como típica de todas as que têm um cubo
3
e coisa igual a um número, isto é, da forma x + px = q .
238
A solução dessa equação ocupava algumas páginas de retórica
que em notação atual se traduz por: substitua-se x por u − v e
suponha-se u e v relacionados de modo que seu produto (pensado
como área) seja um terço do coeficiente de x , isto é, uv = 2 .
Substituindo na equação dada, chega-se a u − v = 20 ; e eliminado
6
v , tem-se u = u + 8,
uma equação quadrática em
20 3
3
3
3
u . Logo
3
u ,
como é sabido, vale 108 + 10 . Da relação u − v = 20 tem-se que
3
v = 108 −10
; e assim, de x = u − v , conclui-se que
3
3
x = 108 + 10 − 108 −10
.
Tendo efetuado todos os cálculos para esse caso específico,
Cardano, de forma verbal, dava uma regra equivalente à atual
3
solução de x + px = q , ou seja, a fórmula
3 2
3 2
p q q p q
x 3 + + − 3 + −
q
= , que é chamada de
27 4 2 27 2 2
Cardano-Tartaglia.
A seguir, Cardano passava então a outros casos, tais como cubo
igual a coisa e número. Nesse caso usa-se a substituição x = u + v
em vez de x = u − v , e procede-se de modo análogo ao anterior.
Nesse caso, porém, há uma dificuldade. Quando se aplicava a regra
3
a x = 15x
+ 4 , por exemplo, o resultado seria
3
3
x = 2 + −121
+ 2 − −121
.
Cardano, acreditando não existir raiz quadrada de número
negativo, e, no entanto, sabendo que x = 4 era uma raiz da equação
proposta, não conseguiu entender como sua regra faria sentido em
tal situação. Noutra ocasião já ocorrera situação semelhante ao
resolver o problema de dividir 10 em duas partes tais que o produto
fosse 40. As regras usuais levaram às respostas 5 + −15
e
5 − −15
para as partes ou, em sua notação, 5p:Rm:15 e
5m:Rm:15). Cardano se referia a essas raízes quadradas de números
negativos como “sofísticas” e concluía que o resultado nesse caso
era “tão sutil quanto inútil”.
3
3

239
Estudiosos posteriores mostrariam que tais manipulações eram
de fato sutis mas nada inúteis. Foi um mérito de Cardano que, ao
menos, refletiu quanto a essa intrigante situação.
Sobre a regra para resolver equações de grau 4, Cardano
escreveu na Ars Magna que era devida a Ferrari, que a inventou a
seu pedido. Novamente, as equações foram resolvidas em casos
separados, num total de vinte.
Como ilustração tem-se o caso: Seja quadrado-quadrado e
quadrado e número igual ao lado, ou seja, x 6x 36 60x
2 4
+ + = .
Cardano (ou Ferrari) sabia eliminar o termo cúbico de uma
equação do quarto grau, somando ou subtraindo das raízes um
quarto do coeficiente do termo cúbico. Então os passos para a
resolução desse exemplo são descritos como segue:
1. Somar suficientes quadrados e números a ambos os membros da
equação para que o primeiro fique um quadrado perfeito, nesse caso
4
2
2 2 ( x 6)
.
x + 12 x + 36 ou +
2. Somar a ambos os membros termos envolvendo uma nova
incógnita y de modo que o primeiro membro permaneça quadrado
2
2
perfeito, como ( x + 6 + y)
= 6x
+ 60x
+ y + 12y
+ 2yx
=
2
2
= ( 2y
+ 6)
x + 60x
+ ( y + 12y
) .
3. Escolher y de modo que o trinômio no segundo membro fique um
quadrado perfeito. Isso se faz igualando a zero o discriminante –
uma regra antiga e bem conhecida que nesse caso leva a
2
2
60 − 4(
2y
+ 6)(
y + 12y
) = 0.
4. Do passo 3 resulta uma equação cúbica em y,
15 36 450
2
3
y + y + y = , chamada a “cúbica resolvente” da equação
quártica dada. Essa é resolvida em relação a y pelas regras
previamente dadas para resolução de equações cúbicas, sendo o
resultado
1 1 1 1
y = 3 287 + 80449 + 3 287 − 80449 − 5 .
2 4 2 4
5. Substituir o valor de y obtido em 4 na equação para x do passo 2 e
extrair a raiz quadrada de ambos os membros.
2
2
2
240
6. O resultado do passo 5 é uma equação quadrática, que deve agora
ser resolvida para se encontrar o valor de x desejado.
O mais importante resultado das descobertas publicadas na Ars
Magna foi o enorme impulso dado à pesquisa em álgebra em várias
direções. Era natural que o estudo fosse generalizado de modo a
incluir equações polinomiais de qualquer ordem e que, em
particular, se procurasse resolver a de quinto grau. Porém, os
matemáticos dos dois séculos seguintes enfrentariam um problema
algébrico insolúvel, comparável aos problemas geométricos
clássicos da antiguidade. Resultou muito boa matemática, mas
somente uma conclusão negativa.
Outro resultado imediato da resolução da cúbica, foi a primeira
observação significativa dos números negativos. Os números
irracionais já tinham sido aceitos nessa época, pois eram
aproximáveis por números racionais. Os números negativos
causavam dificuldades maiores porque não são aproximáveis por
números positivos e só se tornaram mais plausíveis com a noção de
sentido sobre uma reta.
Um fato interessante foi que no momento em que os números
negativos passaram a ser aceitos, houve necessidade, com a solução
da cúbica, de se considerar os números imaginários ou impossíveis.
BOMBELLI BOMBELLI (1526 – 1573)
Rafael Bombelli teve o que chamou “idéia louca”, pois toda a
questão dos números imaginários parecia apoiar-se em sofismas. Os
dois radicandos das raízes cúbicas que resultavam na fórmula de
Cardano-Tartaglia, diferiam apenas por um sinal. Como já foi visto,
3
a solução de x = 15x
+ 4 , pela fórmula, leva a
3
3
x = 2 + −121
+ 2 − −121
, embora se saiba, por substituição
direta, que x = 4 é a única raiz positiva dessa equação.
Bombelli teve a feliz idéia de que os próprios radicais (as duas
raízes cúbicas) poderiam ser relacionados de modo análogo aos
radicandos que, como se diz atualmente, seriam complexos
conjugados cuja soma é 4.
Para que a soma das partes reais fosse 4, então, raciocinou
Bombelli, a parte real de cada uma seria 2; e para que um número da

241
forma 2 + b −1
fosse uma raiz cúbica de 2 + 11 −1
, então b teria
que ser 1. Logo x = 2 + −1
+ 2 − −1
= 4.
Com seu engenhoso raciocínio Bombelli mostrou o papel
importante que os números complexos conjugados viriam
desempenhar; mas na época, a observação não ajudou na operação
efetiva de resolver equações cúbicas, pois ele precisava saber
antecipadamente o valor de uma das raízes. Mas então a equação já
estaria resolvida, e não haveria necessidade da fórmula. Sem tal
conhecimento prévio, seu método falhava e o caso era considerado
irredutível.
Bombelli escreveu sua Álgebra por volta de 1560, mas essa só
foi impressa, em parte, em 1572, cerca de um ano antes de sua
morte. Um dos aspectos significativos desse livro é que contém um
interessante simbolismo. Bombelli escrevia às vezes, 1Zp.5Rm.4 –
2
isto é, 1 zenus plus 5 res minus 4 – para x + 5x
− 4.
Mas usava
também outra forma em que a potência da incógnita é representada
simplesmente como um número arábico acima de um pequeno arco
2 3
de círculo, de modo que, por exemplo, x , x , x apareciam
respectivamente como 1 2 3 . A álgebra de Bombelli,
naturalmente, usava os símbolos italianos p e m para adição e
subtração, mas ele ainda não tinha um símbolo para a igualdade. O
sinal de igualdade atual, como já foi visto, fora publicado em 1557,
na Inglaterra, por Robert Recorde.
VIÈ VIÈTE VIÈ TE (1540 – 1603)
François Viète não foi matemático profissional,
tendo na sua juventude estudado e praticado
direito, tornando-se membro do parlamento da
Bretanha. Mais tarde tornou-se membro do
conselho do rei, servindo primeiro sob Henrique
III depois sob Henrique IV ou de Navarra. Foi
na ocasião em que servia a Navarra, que teve
grande sucesso ao decifrar as mensagens em
código dos espanhóis que o acusaram de ter um
pacto com o demônio.
242
Só o tempo de lazer de Viète era dedicado à matemática, no
entanto, fez contribuições à aritmética, álgebra, trigonometria e
geometria. Na aritmética ele deve ser lembrado por seu apelo em
favor do uso de frações decimais em vez de sexagesimais.
Viète conquistou a simpatia de Henrique IV ao resolver um
complicado problema proposto e 1593, pelo matemático belga
Adriaen van Roomen, segundo o costume da época de desafiar o
mundo científico. Esse problema envolvia a equação de grau 45,
45 43 41
39
3
x − 45x
+ 945x
−12300x
+ ... − 3795x
+ 45x
= A,
cuja
solução Viète conseguiu encontrar por um método trigonométrico,
observando que a equação resulta de exprimir A = sen45θ
em
termos de x = 2 senθ
. Com o uso de tabelas que dispunha, encontrou
as soluções positivas.
A sua obra In Artem Analyticam Isagoge (introdução a arte
analítica) de 1571, é a mais antiga sobre a álgebra simbólica. Nela,
as quantidades conhecidas eram indicadas por consoantes e as
incógnitas por vogais, fazendo clara distinção entre incógnita e
parâmetro; recomendava-se o uso de equações homogêneas,
encontrava-se as seis primeiras potências do binômio, além de
introduzir uma notação exponencial especial.
Viète já usava os símbolos + e -, com o sentido atual; as
2 3
potências x, x e x indicava, por A, A quadratum, A cubum, e
posteriormente por A, Aq, Ac,, respectivamente. Assim, nessa
3 3 2 2 3
notação a identidade ( a + b ) = a + 3a b + 3ab
+ b apareceria
como a cubus+ b in a quadratum 3+ a in b quadratum 3+ b cubus
aequalis a + b cubus, em que in era multiplicação e o traço sobre
a + b tinha o significado dos parênteses atuais.
Viète mostrou que os famosos problemas clássicos da trissecção
de um ângulo dado e da duplicação do cubo envolviam a solução de
uma equação cúbica e com isso fez importantes descobertas na
teoria geral das equações, como por exemplo, decompor polinômios
em fatores do primeiro grau e derivar de uma dada equação outras
equações cujas raízes difiram das da primeira por uma constante ou
por um fator dado.
Resolveu o famoso problema de Apolônio, que consistia em
determinar um círculo tangente a três círculos dados. Seguindo o

243
método de Arquimedes dos polígonos inscritos e circunscritos, Viète
expressou π por uma série infinita. Criou métodos sistemáticos para
a solução de triângulos esféricos.
Ao aplicar a trigonometria a problemas algébricos e aritméticos,
Viète ampliava o alcance do assunto. Foi provavelmente sua
reticência quanto aos números negativos que o impediu – como
impediu seus contemporâneos – de progredir ainda mais. O
aperfeiçoamento da notação feito por Viète foi seguido, um pouco
mais tarde, pelas aplicações da álgebra à geometria, feitas por
Descartes.
2
Para resolver a equação x + 2ax
= b , Viète propõe uma
substituição de variáveis, o que implica na transformação da
equação inicial em uma equação incompleta. Os passos por ele
utilizados, em nossa linguagem atual, são: seja x + a = u , então
2
2
2
u = x + 2ax + a ; pela equação dada x + 2ax
= b , temos
2
2
2 2 2
= b a . Logo ( x a)
= u = b + a
u +
+ e x = b + a − a .
Para uma equação geral da forma ax
Viète seria:
+ bx + c = 0 , o método de
Seja x = u + z . Substituindo em
2
ax + bx + c = 0 , resulta
2 ( u + z)
+ b(
u + z)
+ c = 0
a , ou ( 2az
b)
u ( az bz ) 0
2
2
2
au + + + + + c = .
− b
− b
Considerando 2 az + b = 0 , tem-se z = . Substituindo z = em
2a
2a
2
2
2
2 b − 4ac
au + ( 2az
+ b)
u + ( az + bz + c)
= 0 , resulta au = , ou
4a
2 −
b 4ac
u = ± . Finalmente, substituindo os valores
4a
2 −
b 4ac
u = ± em x = u + z , tem-se
4a
− b ± b 4ac
x = .
2a
2
2
2 −
− b
z = e
2a
Desenvolvimento da trigonometria
Muitas circunstâncias se combinaram para promover o
desenvolvimento da trigonometria nesse período. Necessitavam dela
244
o engenheiro militar, o construtor de estradas o astrônomo, o
navegador e o cartógrafo, cujo trabalho dependia de todos os outros.
Rethicus, conhecido como colaborador de Copérnico, organizou
uma tábua de senos naturais de 10 em 10 segundos com quinze
casas decimais. A ele devemos nossas fórmulas usuais para sen2 x e
sen3 x.
A notação sen, tg, etc., bem como a determinação da área do
triângulo esférico são desse período.
MERCATOR
MERCATOR MERCATOR (1512 -1594)
Gerhard Kremer, conhecido como Mercator dedicou-se à
geografia matemática, primeiro em Lovaina e posteriormente em
Duisburg, fazendo mapas, globos e instrumentos astronômicos como
meio de vida. Mais tarde, acrescentou o ensino a essas ocupações.
Seu grande mapa-mundi, completado em 1569, marcou uma
época na cartografia. Mercator submeteu a uma análise matemática
os princípios que serviram de base à projeção de uma superfície
esférica num plano, por meio da qual os meridianos e os paralelos
são transformados, em duas séries de retas paralelas que se cortam
em ângulos retos.
Os ângulos se conservam inalterados, mas as áreas afastadas do
equador expandem-se desmedidamente. Essa projeção de Mercator
constituiu, junto com a projeção estereográfica conhecida de
Ptolomeu, um dos mais importantes métodos cartográficos.
O calendário Gregoriano
Até 1582 vigorou o calendário Juliano com o ano de 365 dias e
um quarto e um erro que crescia gradualmente, e por essa época já
estava próximo de 10 dias.
Sob a tutela do papa Gregório XIII, foram suprimidos os dias,
entre 4 e 15 de outubro de 1852 e, o número de anos bissextos em
cada período de 4 séculos, foi diminuído de 100 para 97.
A rivalidade religiosa impediu durante um século que essa
reforma fosse adotada na Alemanha protestante, enquanto que a
Inglaterra adiou a adoção até o ano de 1752.

NAPIER NAPIER (1550 – 1617)
Os Os Os Logaritmos ogaritmos
245
Muitos matemáticos do século XVI tentaram coordenar
progressões aritméticas e geométricas, principalmente no que diz
respeito a facilitar o trabalho com as complicadas tabelas
trigonométricas.
Uma importante contribuição
para esse objetivo foi
empreendida por um
matemático e proprietário de
terras escocês, John Napier (ou
Neper), que em 1614 publicou
em Edimburgo, a Merifici
logarithmorum canonis
descriptio (uma descrição da
maravilhosa regra dos
logaritmos). A sua idéia
principal foi construir duas
seqüências de números, de tal
modo relacionadas, que o
crescimento de uma em
progressão aritmética implicaria
no decrescimento da outra em
progressão geométrica. Como o
produto de dois números na segunda tem uma relação simples com a
soma dos números correspondentes na primeira, a multiplicação
poderia ser reduzida à adição.
Napier, segundo consta, dedicou-se por vinte anos antes da
publicação desse sistema que viria facilitar consideravelmente os
cálculos com senos na astronomia.
Sua definição do logaritmo (logos que é razão e arithmos que é
número) repousa sobre a seguinte base cinemática:
Sejam dados um
segmento de reta AB e
uma semi-reta CDE.
Suponha que um ponto
246
P parta de A e se mova ao longo de AB com velocidade variável,
decrescendo em proporção com sua distância a B; durante o mesmo
tempo, suponha que um ponto Q parta de C e se mova ao longo de
CDE com velocidade uniforme, igual à velocidade inicial de P.
Napier chamava a distância CQ de logaritmo da distância PB.
Usando notações atuais sejam PB = x e CQ = y. Napier
considerou AB= 7 1
10 , b = 1 − (um número bem próximo de 1), as
7
10
7 1 L
potências inteiras de b e a expressão N = 10 ( 1−
) . Foi então
7
10
7
que chamou L de logaritmo de N. Assim, seu logaritmo de 10 era
7 1
0, de 10 ( 1 − ) era 1, etc.
7
10
Deve-se lembrar que Napier não tinha o conceito de base de um
sistema de logaritmos, mas pode-se verificar que os seus dados
−1
levariam a um sistema de base e e, para isso, bastaria dividir as
distâncias PB e CQ por
7
10 .
De fato, com uma velocidade inicial de
7
10 , ou seja,
dx
= −x
e
dt
dy 7
= 10 , x0
dt
7
= 10 , y0
= 0 tem-se
dy −10
=
dx x
ou
7
7
y = −10
lncx
e das condições iniciais encontra-se c = 10 . Logo,
7 x y x
y = −10
ln ( ) ou = log ( ).
7
7
7
10 10
−1
e 10
Outras tábuas análogas foram calculadas independentemente
pelo astrônomo e relojoeiro suíço Jobst Bürgi e publicadas em Praga
em 1620. Os métodos de Bürgi são essencialmente os mesmos de
Napier.
BRIGGS BRIGGS (1561 – 1631)
Henry Briggs, professor de geometria em Oxford, foi um dos
admiradores mais entusiásticos de Napier, tanto que o visitou na
Escócia em 1615 pouco depois de ter escrito: espero vê-lo neste
7

247
verão, se Deus quiser, porque nunca encontrei um livro que mais
me agradasse ou me despertasse maior admiração.
Durante a visita discutiram possíveis modificações no método
dos logaritmos, Briggs propôs o uso de potências de dez, e Napier
disse que tinha pensado nisso e concordava. Perceberam também
que uma grande simplificação resultaria de se fazer
log 1 = 0 , log10
= 1 e abandonando a restrição dos logaritmos às
quantidades inteiras e fazendo assim com que a parte decimal de
todos os logaritmos dependesse unicamente da seqüência dos
algarismos que formam cada número.
Com a morte de Napier, em 1617, coube a Briggs a tarefa de
construir a primeira tabela de logaritmos decimais ou comuns.
Iniciando com log 10 = 1 , encontrou outros logaritmos tomando
raízes quadradas sucessivas. Uma vez que 10 = 3,
162277 , Briggs
encontrou log 3 , 162277 = 0,
5 ; como10 3162277
5 623413
4 = , = , ,
então log 5 , 623413 = 0,
75 . Continuando assim calculou os
logaritmos de 1 a 1000, com 14 casas decimais, tendo publicado os
resultados nesse mesmo ano.
Napier, devido ao interesse pelas aplicações trigonométricas,
construiu sua tábua, com logaritmos das funções trigonométricas
para cada minuto, com 7 decimais e não com logaritmos de números
abstratos. Em conexão com essa mudança para a base 10,
desenvolveu Briggs interessantes métodos de interpolação, bem
como verificou a exatidão dos logaritmos.
Em 1624, em Arithmetica logarithmica, Briggs ampliou sua
tabela incluindo logaritmos comuns dos números de 1 a 20.000 e de
90.000 a 100.000, com 14 decimais. Organizou também tábuas
trigonométricas com 10 decimais e um intervalo angular de 10
segundos.
Pode-se observar que a revolução causada pelo aparecimento
dos logaritmos estava no fato de que suas propriedades
b
log a bc = log a b + log a c,
log a = log a b − log a c e
c
c
log a b = clog
a b transformavam, com auxílio de tabelas, produto
3
248
em soma, quociente em diferença e potência em produto. Foi por
isso que astrônomos como Kepler, por exemplo, reconheceram
imediatamente a enorme importância do novo método logaritmo.
As tábuas que causaram revolução no cálculo atualmente são
artigos curiosos de museus, mas os logaritmos ou, então, as funções
logarítmicas fazem parte do dia a dia da matemática, pura ou
aplicada, e de muitos outros ramos da ciência.
STEVIN STEVIN STEVIN (1548 – 1620)
Simon Stevin de Bruges, Países Baixos tornou-se engenheiro no
exército do príncipe Maurício de Nassau no qual serviu como
comissário de obras públicas e, durante algum tempo, ensinou
matemática ao príncipe.
O livro de Stevin com o título flamengo De Thiende (O
décimo), publicado e Leyden em 1585, teve uma versão francesa,
bem mais divulgada, como La Disme, publicada no mesmo ano.
Com ele Stevin introduziu as frações decimais, como parte de um
projeto para unificar o sistema de medições numa base decimal. Seu
empenho nesse sentido foi maior, ainda, do que o de Viète.
É claro que Stevin não foi em nenhum sentido o inventor das
frações decimais, nem o primeiro a usá-las sistematicamente. Na
China antiga encontrava-se um uso mais do que incidental dessas
frações, como também na Arábia. Quando Viète as recomendou
diretamente em 1579, elas já eram geralmente aceitas pelos
matemáticos na Europa.
Entre o povo em geral, no entanto, e mesmo entre praticantes de
matemática, as frações decimais só se tornaram amplamente
conhecidas quando Stevin se dispôs a explicar o sistema de modo
elementar e completo. Ele queria ensinar a todos como efetuar, com
facilidade nunca vista, todas as computações necessárias entre os
homens por meio de inteiros e frações.
Embora Stevin fosse um grande admirador dos tratados teóricos
de Arquimedes, em sua obra notou-se um veio prático que é mais
característico do renascimento do que da antiguidade clássica. Prova
disso que foi o maior responsável pela introdução no seu país do
sistema de contabilidade inspirado no de Pacioli, introduzido na
Itália quase um século antes.

249
De influência muito mais ampla do que outros sábios de sua
época, na prática comercial, na engenharia e na notação matemática,
Stevin recomendou também a adoção de um sistema decimal de
pesos e medidas.
Não escrevia suas expressões decimais com um denominador,
como o fazia Viète; em vez disso, num círculo acima ou depois de
cada dígito, ele escrevia a potência de dez assumida como divisor.
Assim o valor aproximado de π aparecia como 3 0 1 1 4 2 1
3 6 4 ou
3 1 4 1 6.
Homem de idéias independentes, no que dizia respeito aos
problemas da mecânica, foi um pioneiro nessa ciência. Realizou
importantes discussões do plano inclinado mediante uma cadeia sem
fim, a pender livremente de um triângulo de lados desiguais.
Realizou também experiências sobre queda livre, mas o seu relato
publicado em flamengo e 1586 recebeu muito menor atenção que
uma experiência semelhante, mas posterior, atribuídas a Galileu.
Simon Stevin foi um matemático típico de seu tempo no fato de
gostar das aplicações elementares de cada assunto.
Exercícios
Exercícios
0 1 2 3 4
1. Quais dos fatores seguintes foram importantes para o
desenvolvimento da matemática no renascimento. Explique.
a) a queda de Constantinopla;
b) a reforma protestante;
c) o surgimento do humanismo;
d) a invenção da imprensa;
e) a emergência da classe mercantil.
2. Como você explica o fato de a álgebra e a trigonometria terem se
desenvolvido mais rapidamente que a geometria durante o
renascimento?
3. Por que a resolução da equação cúbica foi tão importante para o
desenvolvimento dos números complexos?
250
4. Que países lideraram, durante o renascimento, o desenvolvimento
da álgebra, trigonometria e geometria? Mencione contribuições
específicas em cada caso.
5. Obtenha uma solução da equação de Bombelli x = 15x
+ 4 como
uma soma ou diferença de raízes cúbicas de números complexos.
6. Reduza a resolução da quártica de Ferrari x
resolução de uma equação cúbica.
+ x + 36 = 60x
à
4
3
6 2
7. Resolva o problema de Cardano de dividir 10 em duas partes cujo
produto seja 40.
8. Usando o sistema de logaritmos de Napier, qual é a relação entre
x
log x,
log y , log( xy ) e log ? Justifique.
y
9. Que vantagens têm as frações decimais sobre as sexagesimais?
Que razões pode dar para o seu tardio aparecimento na Europa?

INÍCIOS INÍCIOS DA DA MATEMÁTICA MATEMÁTICA MODERNA
MODERNA
(Século (Século (Século XVII)
XVII)
251
“Há algum ramo do conhecimento que realmente oferece segurança?”
(Descartes)
O O progresso progresso da da ciência ciência no no no século século século XVII
XVII
O século XVII de grandes realizações, de verdadeiras
revoluções na matemática, foi um século de crises profundas na
Europa. Foi a última fase da transição geral da economia feudal para
a capitalista.
Com a destruição dos feudos onde os trabalhadores eram
servos, houve um deslocamento desses para as cidades à procura de
emprego nas indústrias que surgiam. Tais indústrias exigiam um
grau mínimo de instrução e não havia lugar para todos. O
capitalismo surgiu como um sistema moderno, eficiente, de
produção, mas trazia consigo uma contradição – o desemprego nas
cidades.
Foi nesse século que se verificou a maior parte das conquistas,
senão todas, que marcam a transição do renascimento para a era da
ciência moderna. Tiveram importância primordial a formulação das
leis matemáticas da gravitação, a criação da geometria analítica e o
desenvolvimento do cálculo infinitesimal, o descobrimento das leis
do movimento, das leis do pêndulo e da pressão atmosférica.
A demonstração da circulação do sangue marcou o início da
fisiologia moderna. Não foi menos importante para a química e a
biologia a descoberta de que a combustão e a vida dependiam de
uma mesma substância, encontrada no ar. Foi fundamental, na
biologia, o descobrimento de unidades estruturais, as células, nos
tecidos das plantas e animais, a prova experimental da função sexual
das plantas, tal qual nos animais, e a demonstração de que a antiga
crença na geração espontânea de certas espécies de animais era
falsa. O alicerce da classificação sistemática dos animais e das
plantas foi lançado pela definição de “espécie”.
252
O progresso da ciência baseada na observação e na experiêcia
foi acelerado pela invenção de instrumentos tais como a bomba
aspirante, o telescópio de reflexão, os microscópios – simples e
composto – o barômetro, o termômetro e o relógio de pêndulo.
A época, portanto, foi de profundas transformações científicas e
tecnológicas, razão pela qual impunha-se uma matemática mais
integrada e operacional. As invenções da geometria analítica e do
cálculo diferencial e integral responderam, muito bem, a essa
exigência, tanto que podem ser consideradas como o verdadeiro
início da matemática moderna.
DESCARTES DESCARTES (1596 – 1650)
René Descartes, nasceu em La Haye,
atual Descartes, pequena cidade
situada a 300 km de Paris na
província de Touraine na França.
Matriculou-se aos 8 anos no Colégio
jesuíta de La Flèche, na época
considerado o melhor da Europa. Lá
eram ministrados dois tipos de
conhecimentos: as ciências “práticas”,
úteis a um oficial (matemática,
geografia, noções de máquinas e
fortificações, hidrografia, etc.); e as
“letras”, ou conhecimentos humanísticos (gramática, história,
poesia, retórica, filosofia e moral).
Como sempre teve saúde frágil não lhe era cobrada no colégio a
regularidade da freqüência às aulas e foi nessa época que adquiriu o
hábito de permanecer na cama de manhã, para leituras e meditações.
Às vezes chegava a sonhar e tomava decisões a partir dos sonhos.
Anos mais tarde, diria que seus melhores pensamentos filosóficos e
matemáticos surgiram pela manhã, deitado e em estado de
meditação.
Aos 20 anos graduou-se em Direito pela Universidade de
Poitiers e estabeleceu-se em Paris a fim de iniciar-se na vida
mundana, como convinha a alguém da sua posição. Mas
reencontrou-se com Marin Mersenne (1588-1648) que conhecera em

253
La Flèche e por dois anos dedicaram-se à matemática com todas as
suas forças.
Integrando-se, curiosamente, ao exército holandês em Breda,
esteve sob o comando do príncipe Maurício de Nassau. O príncipe
logo percebeu que o jovem Descartes não tinha hábitos de um
soldado comum: lia livros complicados, falava de uma forma erudita
e, principalmente, não queria nada com as batalhas. Adoecia no
início de cada combate, melhorava depois e, nas raras vezes em que
pegava uma arma (chegou a espadachim), limitava-se a aborrecer os
outros soldados com perguntas sobre as razões que os levariam a
matar seus semelhantes.
Depois de viver vinte anos na Holanda, Descartes foi convidado
pela jovem rainha Cristina da Suécia para fazer parte de sua Corte.
A rainha decidiu tomar lições de matemática e filosofia, às cinco
horas das manhãs gélidas de Estocolmo. Devido à sua saúde sempre
muito frágil, não resistiu ao frio excessivo, vindo a falecer de
pneumonia aos 54 anos de idade.
A rainha ordenou que lhe decepassem a cabeça, para conservála
no mel. O corpo foi enviado à França, onde o enterraram. A
cabeça de Descartes só voltaria à sua terra natal em março de 1809,
quando os suecos homenagearam o filósofo.
O Discurso do Método
Em 1637 Descartes publicou na Holanda, em francês, seu
grandioso Discours de la Méthode pour bien conduire la raison e
chercher la vérité dans les sciences (Discurso sobre o método para
bem conduzir a própria razão e procurar a verdade nas ciências),
conhecido como O Discurso do Método.
O bom senso é a coisa do mundo mais bem distribuída, porque
cada qual pensa ser tão bem provido dele que mesmo os mais
difíceis de contentar noutras coisas não costumam desejar mais do
que o que têm. E não é verossímil que todos se enganem a tal
respeito; antes isso mostra que o poder de bem julgar e distinguir o
verdadeiro do falso, que é propriamente que se chama bom senso ou
razão, é naturalmente igual em todos os homens; e que assim a
diversidade das opiniões não resulta de serem uns mais racionais
do que os outros, mas somente de que conduzimos os nossos
254
pensamentos por caminhos diversos e não consideramos as mesmas
coisas.
Descartes iniciou essa obra com uma nota prefacial: se este
discurso parecer longo demais para ser lido de uma só vez, poderse-á
dividi-lo em seis partes: considerações sobre as ciências; as
principais regras do seu método; algumas regras de moral que
deduziu do método; os raciocínios com que prova a existência de
Deus e da alma humana; questões de física, movimento do coração
e a diferença entre a alma humana e a dos brutos; e, o que é
necessário para que sejam feitos, na investigação da natureza,
progressos ainda maiores do que os realizados até então.
As quatro regras básicas de o método:
• clareza e distinção: só se deve acolher como verdadeiro o que se
apresente ao espírito de forma tão clara e distinta que não tenha
como duvidar;
• análise: em presença de dificuldades no conhecimento, deve-se
dividi-las em tantas parcelas quantas forem necessárias para se
chegar a partes claras e distintas e, assim, solucionar o
problema;
• ordem: deve-se conduzir os pensamentos por ordem, começando
pelos mais simples e prosseguindo na direção dos mais
complexos ou compostos;
• enumeração: proceder a revisões e enumerações completas, para
ter a certeza de que todos os elementos foram considerados, ou
seja, verificar o resultado final.
O Discurso do Método trazia também, três importantes
apêndices: Les Météores (Os Meteoros), estudo dos corpos celestes;
La dioptrique (A Dióptrica), estudo da refração da luz e La
Géométrie (A Geometria), primeiros ensaios da geometria analítica,
em que mostrou como a geometria poderia ser estudada por meio da
álgebra.
Os objetivos de La Géométrie ficam claros logo na primeira
frase do trabalho: todo problema de geometria pode ser facilmente
reduzido a termos tais que o conhecimento dos comprimentos de
certos segmentos basta para construir a solução.
Ao realizar um estudo criterioso sobre equações algébricas,
Descartes apresentou algumas inovações importantes com respeito

255
às notações e que ainda são usadas atualmente. Introduziu o uso
sistemático das letras a, b, e c para as quantidades conhecidas e de x,
y e z para incógnitas. Apresentou uma regra de sinais para estudar o
número de raízes positivas e negativas (que chamava de falsas) de
uma dada equação. Imaginou até ter encontrado um método para
resolver equações de qualquer grau, mas isso não se concretizou.
2
2
Resolveu equações do tipo: x = bx + c , x = c − bx
2 2
e
2
2
x = bx − c , sempre com b e c positivos.
Por exemplo, para resolver a equação x = bx + c , usou o
seguinte método: Traça-se um segmento LM, de comprimento c, e,
b
em L, levanta-se um segmento NL igual a e perpendicular a LM.
2
Com centro em N, constrói-se
b
um círculo de raio e traça-
2
se a reta por M e N que corta
o círculo em O e P. Então a
raiz procurada é o segmento
OM.
Com efeito, no triângulo
MLN, e se OM = x , tem-se:
b 2 b 2 2
2
2
( x − ) = ( ) + c e daí: x − bx = c .
2 2
Para encontrar a reta tangente a uma curva, Descartes
desenvolveu um método de construção que era algebricamente
melhor do que os métodos infinitesimais, utilizados até então.
P
f(x) r
x v
y = f(x)
Para encontrar a tangente à curva y = f ( x ) no ponto
P = ( x,
f ( x )) era preciso primeiro localizar o ponto C = ( v,
0 ) de
2
2
256
intersecção da reta normal à curva em P, com o eixo x. A tangente
pode então ser tomada como a perpendicular à reta normal em P.
Em geral, uma circunferência com centro C = ( v,
0 ) e raio
r = CP intercepta a curva y = f ( x ) em um segundo ponto próximo
de P. Logo
2
2
y + ( x − v)
2
= r . Supondo que [ ( ) ] 2
x
2
polinômio tem-se que a equação: [ f ( x)
] 2 ( v − x)
2
= r
f seja um
+ (com v e r
fixados) terá a coordenada x de P como raiz dupla, uma imposição
+ − − = − c e x r x v x f
2
2 2
2
. Essa
de Descartes. ou seja, [ ( ) ] ( ) ( ) ∑
equação em potência de x foi resolvida para v em termos da raiz
( v − x)
x = e . A inclinação da reta tangente em P seria então e a
f ( x)
recíproca negativa da inclinação da tangente seria
inclinação da normal CP.
f ( x )
− ,
v − x
Por exemplo, considere a parábola
2
y = kx . Então,
2 2 ( v − x)
− = 0
kx + r . Como essa equação é de grau 2, o lado direito
será um polinômio de grau 2. Assim, ( ) ( ) 2
2 2
kx v − x − r = x − e
seja, ( k 2v
+ 2e)
x + v − r − e = 0.
2
2
2
i
i x
+ , ou
− Finalmente, por igualdade
1
de polinômios, temos v = e + k , e para e = x, a subnormal
2
1
, e a inclinação da reta tangente à parábola ( , kx )
v − x = k
x é
2
k
v − x 1 k
=
2
= .
f ( x ) kx 2 x
Considerado o primeiro filósofo moderno, Descartes tentou
explicar em suas obras, todo o Universo material como uma
máquina. Todos os fenômenos naturais seriam causados por simples
movimentos internos da matéria que compõe os corpos, tudo seria
extensão e movimento, o resto aparência. A primeira coisa a fazer,
portanto, seria estudar o movimento.

257
Essa explicação incluía os fenômenos da vida corpórea, que
acreditava ocorrer de acordo com uma necessidade matemática, sem
a intervenção de qualquer espécie de força espiritual, conquanto a
idéia de Deus ocupasse um lugar central na sua filosofia e afirmasse
a imortalidade da alma humana, evitando ofender a Igreja.
A propósito apresentou o seguinte teorema: Deus existe. Para
Descartes a idéia de Deus é uma idéia perfeita. Ora, o ser humano
sendo imperfeito, não tem idéias perfeitas. Se o homem é um ser
imperfeito e tem uma idéia perfeita, que é a idéia de Deus, esta idéia
só pode existir no homem dada a ele por Deus. Então, Deus existe.
Sua posição racionalista, numa época em que o espírito
dominante era o do conhecimento pela fé foi, para o seu tempo,
quase revolucionária. Quando alguns contemporâneos diziam que a
verdade estava na fé, na crença cega, pura e simples, seu método era
submeter todos os dados dos sentidos – os fenômenos – ao exame da
razão.
Outras obras de destaque de Descartes são: Regras para direção
do espírito; Meditações metafísicas; Princípios de filosofia; O
tratado das paixões da alma.
O matemático holandês Frans van Schooten (1615-1660)
publicou uma versão para o latim de La Géométrie, em homenagem
a Descartes em 1649. Posteriormente em novas edições, acrescentou
comentários importantes. Assim, pode-se dizer, que Descartes
introduziu a geometria analítica e Schooten a tornou conhecida.
Leibniz, por sua vez, foi o primeiro a usar o termo cartesiano de
Cartesius ( Descartes em Latim).
CAVALIERI
CAVALIERI CAVALIERI (1598 – 1647)
Enquanto Descartes lançava, por assim
dizer, os fundamentos da moderna
geometria analítica, seu contemporâneo
italiano, Bonaventura Cavalieri prestava
um serviço semelhante ao cálculo integral
com a sua teoria dos indivisíveis. O
argumento em que se baseava o livro
Geometria indivisibilibus continuorum,
publicado em 1635 era essencialmente o
258
sugerido por Kepler e Galileu – que uma área poderia ser pensada
como sendo formada de segmentos ou indivisíveis e que um volume
poderia ser considerado como composto de áreas que são volumes
indivisíveis ou quase-atômicos.
Embora Cavalieri na época não tenha percebido, estava
seguindo pegadas realmente muito respeitáveis, pois esse é
exatamente o tipo de raciocínio que Arquimedes usou em O método.
Não havia no método de Cavalieri qualquer processo de
aproximação contínua, nem omissão de termos, pois ele usava uma
estrita correspondência um a um dos elementos em duas
configurações. Nenhum elemento era descartado, qualquer que fosse
a dimensão.
Princípio de Cavalieri
“Se dois sólidos têm alturas iguais, e se secções feitas por
planos paralelos às bases e a distâncias iguais dessas estão sempre
numa dada razão, então os volumes dos sólidos estão também nessa
razão”.
Cavalieri se concentrou num teorema geométrico extremamente
a
n+
1
n a
útil, equivalente à afirmação atual ∫ x dx = . O enunciado e a
0 n + 1
prova do teorema são muito diferentes das usadas atualmente, pois
Cavalieri comparava potências dos segmentos, num paralelogramo,
paralelos à base com as potências correspondentes de segmentos em
qualquer dos dois triângulos em que uma diagonal divide o
paralelogramo.
Seja o paralelogramo
A
F
AFDC, dividido em dois
triângulos pela diagonal
H E CF e seja HE um
B
indivisível do triângulo
M
CDF que é paralelo à
C
D
base CD. Então tomando
BC = FE e traçando BM
paralelo a CD é fácil mostrar que o indivisível BM no triângulo ACF
será igual a HE. Assim podemos estabelecer uma correspondência

259
entre todos os indivisíveis do triângulo CDF e os indivisíveis iguais
do triângulo ACF e, portanto, os triângulos são iguais.
Como o paralelogramo é a soma dos indivisíveis nos dois
triângulos, é claro que a soma das primeiras potências dos
segmentos em um dos triângulos é metade da soma das primeiras
a
2
a
potências dos segmentos no paralelogramo; ou seja, ∫ xdx =
0 2 .
Com argumentos semelhantes mas consideravelmente mais
elaborado, Cavalieri mostrava que a soma dos quadrados dos
segmentos no triângulo era um terço da soma dos quadrados dos
segmentos no paralelogramo. Para os cubos dos segmentos ele
1
encontrou a razão . Mais tarde estudou a demonstração a
4
potências superiores e a importante generalização diz que para
1
potências enésimas a razão é .
n + 1
Outra contribuição importante de Cavalieri se refere à
2
comparação de uma parábola, x = ay e a espiral
de Arquimedes, r = aθ
, na verdade pensou em
comparar indivisíveis segmentos de reta com
indivisíveis curvilíneos. Se, por exemplo, se
2
enrolar a parábola x = ay como uma mola de
relógio de modo que o vértice O permaneça fixo,
enquanto que o ponto P vai sobre o ponto P’,
então as coordenadas da parábola podem ser pensadas como
transformando-se em raios vetores através das relações x = r e
y = rθ
. Os pontos sobre a parábola vão então cair sobre a espiral.
Cavalieri observou ainda que se PP’ for tomado igual à
circunferência do círculo de raio OP’, a área dentro da primeira
volta da espiral é exatamente igual a área entre o arco parabólico OP
e o raio vetor OP. Tem-se assim um típico problema de geometria
analítica e cálculo, que Cavalieri resolveu com o seu método, às
vezes criticado.
Os indivisíveis careciam de rigor, mas anunciavam um dos
processos mais interessantes e importantes da matemática moderna
– a integração como soma.
260
FERMAT FERMAT (1601 – 1665)
Pierre de Fermat não era de nenhum modo um
matemático profissional e a exemplo de
Descartes nunca teve problemas financeiros.
Estudou direito em Toulouse, onde serviu no
parlamento local, primeiro como advogado,
mais tarde como conselheiro. Era um homem
ocupado, no entanto, teve tempo para dedicarse
à literatura clássica, inclusive à ciência e à
matemática, por prazer. O resultado foi que em
1629 começou a fazer descobertas de
importância capital em matemática,
especialmente na restauração de obras perdidas
da antiguidade, com base em informações
encontradas nos tratados clássicos preservados.
Fermat se propôs a reconstruir a obra Lugares Planos de Apolônio,
com base em alusões contidas na Coleção matemática de Papus.
Foi nessa atividade que Fermat descobriu o princípio
fundamental da geometria analítica: “sempre que numa equação
final encontram-se duas quantidades incógnitas, tem-se um lugar
geométrico, a extremidade de uma delas descrevendo uma linha, reta
ou curva”.
É possível que Fermat desde 1629 tivesse concluído sua
geometria analítica, pois por essa época, fez duas descobertas
significativas que se relacionam com o seu trabalho Sobre Lugares,
publicado somente em 1679.
A mais importante dessas descobertas foi descrita alguns anos
depois em um tratado chamado Método para achar máximos e
mínimos, basicamente de curvas polinomiais, que hoje são chamadas
parábolas e hipérboles de Fermat.
A seguir os passos importantes para se aplicar o método, que
atualmente se chama diferenciação, também abordado por Descartes
e Barrow.
Fermat considerava a diferença f ( A + E ) - f ( A ) em que
f ( A ) e f ( A + E ) são as imagens dos pontos vizinhos A e A+E
pela função f. Após, dividir essa diferença pelo acréscimo E,

261
tornava-o igual a zero e finalmente igualava o resultado final
também a zero. Com a resolução dessa igualdade obtinha-se o ponto
de máximo ou de mínimo. Resumidamente tem-se:
y
f (
A + E ) −
E
f ( A )
E=
0
= 0
Exemplo: Dividir um número n > 0 em duas partes, A e B, de modo
que o produto seja máximo.
2
Solução: A + B = n e P = AB = A(
n − A ) = nA − A . Seja f a
2
função dada por f ( A ) = nA − A
Assim,
.
2
f ( A + E ) = n(
A + E ) − ( A + E )
2
2
= nA + nE − A − 2AE − E ⇒
f ( A + E ) − f ( A ) = nE − 2AE − E ⇒
f ( A + E ) − f ( A )
= n − 2A
− E ⇒
E
f ( A + E ) − f ( A )
⇒
= n − 2A
=
E
E=
0
2
f(A+E)
n
0 ⇒ A = e
2
A A+E
n n
B = n − A = n − = .
2 2
Desse modo tem-se o produto máximo quando as duas partes
são iguais à metade do número n.
Por volta de 1636, Fermat descobriu um método para
n
determinar a área sob a curva y = x , de 0 até a >0, que tanto vale
para expoentes inteiros como fracionários. Esse método seria o
germe da idéia atualmente usada no cálculo integral para esse tipo
de problema.
f(A)
x
262
Fermat dividiu o intervalo [0,a] por meio dos pontos
2
a,
ar,
ar ,... , em que 0 < r < 1. Tomando como bases os
subintervalos assim formados, construiu então a sequência de
n n n n 2n
retângulos de alturas a , a r , a r ,..., e portanto de áreas
a
n+
1
n+
1 n+
1
n+
1 2(
n+
1 )
( 1−
r)
, a r ( 1−
r)
, a r ( 1−
r),...
n+
1
, respectivamente.
a
A soma dessas áreas é , cujo limite, quando
2 n
1+
r + r + ... + r
a n+
1
h →1
, é a área pretendida. Esse limite é . esse resultado em
n + 1
a
n+
1
n a
notação atual, se traduz na igualdade ∫ x dx = .
0 n + 1
Os exemplos anteriores colocaram Fermat em condições de ser
considerado um dos criadores do cálculo diferencial e integral.

263
Porém, a exemplo de outros contemporâneos não percebeu a
relação fundamental entre a diferenciação e a integração.
Passando aos fenômenos físicos de máximos e mínimos, Fermat
enunciou o princípio: a Natureza, a grande obreira que não
necessita de nossos instrumentos e máquinas, faz tudo acontecer
com um mínimo de dispêndio – idéia essa que não era estranha a
alguns pensadores gregos. As leis de reflexão e refração dos raios
luminosos são por ele consideradas, com razão, como casos
particulares do princípio de economia.
O trabalho de Fermat sobre a teoria das probabilidades foi
fundamental. Examinou o caso de dois jogadores, A e B, em que A
precisa de dois pontos para ganhar e B precisa de três. Chegou à
conclusão de que o jogo se decidirá necessariamente no máximo em
quatro lances.
Considerando-se as letras a e b tem-se um total de 16 arranjos
que podem ser formados com quatro letras, a saber: aaaa, aaab,
aaba, aabb, abaa, abab, abba, abbb, baaa, baab, baba, babb, bbaa,
bbab, bbba, bbbb. Pois bem, cada arranjo em que a aparece duas ou
mais vezes representa uma probabilidade favorável a A, e todo
arranjo em que b aparece três vezes ou mais, representa uma
probabilidade favorável a B. Contando-os, verifica-se que há onze
favoráveis a A e cinco a B, e visto como todos esses casos são
igualmente prováveis, a possibilidade de A ganhar o jogo está para a
de B, como onze está para cinco.
Além de suas investigações em geometria, óptica e
probabilidade, Fermat produziu uma extraordinária obra sobre teoria
dos números, sendo considerado o fundador desta disciplina, que
atualmente ainda é um campo super-ativo de pesquisas.
Como Fermat se dedicava à matemática em suas horas vagas,
tinha o costume de anotar nas margens dos livros que lia, os
teoremas e demonstrações que ia descobrindo. O chamado “último
n n n
teorema de Fermat” diz o seguinte: a equação x + y = z não tem
solução com x, y, z e n, números inteiros positivos, para n ≥ 3.
Fermat enunciou esse teorema com a seguinte observação: tenho
uma prova verdadeiramente notável, mas a margem aqui é
demasiado pequena para contê-la.
264
Essa conjectura, aparentemente simples, ao menos o enunciado,
ocupou as melhores mentes matemáticas do mundo durante três
séculos e meio, até que, finalmente foi demonstrada, em 1993, pelo
matemático inglês Andrew Wiles.
Acredita-se que a “prova” que Fermat dizia possuir não era
correta, pois a de Wiles é de tal forma complexa e envolve técnicas
tão avançadas que é pouco provável que um matemático do século
XVII pudesse ter solucionado a questão. Mas a dúvida sempre
permanecerá...
Fermat foi verdadeiramente “o príncipe dos matemáticos
amadores”. Nenhum profissional de seu tempo fez maiores
descobertas ou contribuiu mais para o assunto; no entanto, era tão
modesto que quase nada publicou. Cópias manuscritas de seus
trabalhos circulavam nas mãos de seus seguidores e amigos.
Entretanto, seu filho Clement reuniu algumas de suas brilhantes
descobertas e as publicou em 1679 num livro chamado Varia Opera
Mathematica.
PASCAL PASCAL PASCAL (1623 – 1662)
Blaise Pascal, filósofo, matemático e físico,
nasceu em Clermont Ferrand, França. Seu
pai, Étienne era advogado e um talentoso
matemático amador, integrante do círculo
de correspondentes do padre Marin
Mersenne. Sua vida, curta e turbulenta, foi
marcada pela genialidade nas ciências
exatas, pelo misticismo religioso, pela
profundidade filosófica, pela doença e por
intensos sofrimentos físicos. Como
Descartes e Fermat, Pascal não dedicou à
matemática mais do que uma fração do seu
grande talento. Tendo aprendido geometria às escondidas, com 12
anos, aos 16 escreveu um ensaio sobre as Secções Cônicas e aos 19
construiu a primeira máquina de calcular.
Embora a segunda parte da sua vida fosse dedicada
principalmente à religião, teologia e literatura, realizou uma grande

265
variedade de experimentos de física e fez importantes
contribuições para a teoria dos números e das probabilidades –
teoria então nova – além de uma discussão da ciclóide.
O ensaio juvenil sobre
Cônicas contém o belo
teorema, que traz o seu
nome, e que diz: as três
intersecções dos lados
opostos de um hexágono,
inscrito numa secção
cônica, estão em linha
reta.
Sobre a geometria e a
lógica diz Pascal: a lógica
tomou de empréstimo as regras da geometria sem lhes compreender
o poder... Estou longe de colocar os lógicos ao lado dos geômetras
que ensinam o verdadeiro modo de orientar a razão ... O método de
evitar o erro é buscado por todos. Os lógicos pretendem guiar os
demais nessa procura, mas só os geômetras alcançam a meta, e fora
da sua ciência não há verdadeira demonstração.
O seu trabalho sobre as probabilidades relacionava-se com o
problema dos dois jogadores, ambos igualmente hábeis, que
desejavam encerrar a sua partida – problema que Fermat deu uma
solução, e que foi vista anteriormente. Por um raciocínio
semelhante, Pascal mostrou que, se o primeiro jogador ganhar dois
pontos e o segundo nenhum, as partes de cada um seriam 56 e 8; e,
se o primeiro jogador tiver ganho um ponto e o segundo nenhum,
caberiam àquele 44 e a este 20.
Relacionando ao estudo das probabilidades, Pascal criou seu
“triângulo aritmético” em 1654, em que as diagonais sucessivas
contêm os coeficientes do desenvolvimento do binômio cujo
teorema Newton, brevemente, iria generalizar:
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
266
Esse triângulo, que tem o nome de Pascal, não era entretanto,
nenhuma novidade. Encontramo-lo já em Stifel em 1543 e a idéia
remonta a Pitágoras. Foi nessas pesquisas que utilizou e popularizou
o método da indução finita, ferramenta às vezes indispensável na
demonstração de certos teoremas.
É interessante lembrar que em 1645 Pascal deu publicidade à
sua idéia de uma máquina de calcular, escrevendo a um chanceler:
meu senhor: se alguma vantagem advier ao público do invento que
acabo de fazer para realizar toda sorte de operações aritméticas de
uma forma tão nova quanto vantajosa, ficará ele devendo ainda
mais a Vossa Alteza do que aos meus modestos esforços, pois eu só
poderei ufanar-me de o ter concebido, ao passo que ele deve o se
nascimento exclusivamente à vossa honrosa determinação. A
demora e a dificuldade dos meios geralmente em uso, levaram-me a
pensar num auxiliar mais rápido para facilitar-me os grandes
cálculos com que estive ocupado durante vários anos, em certos
assuntos que dependem dos encargos com que vos aprove honrar
meu pai, no serviço de Sua Majestade na Normandia. Nessa
investigação empreguei todos os conhecimentos que tinha
inclinação e meus laboriosos estudos iniciais de matemática me
permitiram adquirir, e depois de profundas reflexões verifiquei que
não era impossível encontrar esse meio auxiliar.
Pascal foi autor de algumas obras literárias, especialmente os
Pensées (Pensamentos), muito divulgadas e que traz alguns
exemplos quase que incorporados à linguagem comum: Nossa
natureza está no movimento, o inteiro repouso é a morte; O coração
tem suas razões que a razão não conhece; O homem não passa de
um caniço, o mais fraco da natureza, mas é um caniço pensante.
Não é preciso que o universo inteiro se arme para esmagá-lo: um
vapor, uma gota de água, bastam para matá-lo. Mas, mesmo que o
universo o esmagasse, o homem seria ainda mais nobre do que
quem o mata, porque sabe que morre e sabe da vantagem que o
universo tem sobre ele, o universo no entanto, desconhece tudo isso.

WALLIS WALLIS (1616 – 1703)
267
Professor em Oxford, John Wallis desenvolveu
com proficiência as idéias de Cavalieri sobre a
integração, empregando na sua Aritmética dos
infinitos de 1655 a nova geometria cartesiana e
um processo equivalente à integração, em casos
algébricos simples. Em especial, explicou os
expoentes negativos e fracionários, passando
depois a procurar a área delimitada por OX, a
m
curva y = ax e
qualquer abscissa y
x = h, ou seja, integrar a função
m
y = ax . Desenvolveu engenhosos
métodos de interpolação e conseguiu
expressar π sob a forma de um produto
π 2 2 4 4 6 6 8 O
infinito:
h x
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅
2 1 3 3 5 5 7 7
Isso assinalou um momento importante na história da
quadratura do círculo. Antes de se conhecer a obra de Wallis, a
única maneira de determinar π era por meio de perímetros
poligonais.
No seu Tratado de álgebra, disse: é para mim indiscutível que
os antigos possuíam qualquer coisa de natureza semelhante à nossa
álgebra; daí derivam muitas de suas prolixas e complicadas
demonstrações... Mas essa arte de invenção dos antigos, parecem
tê-la ocultado cuidadosamente, contentando-se com demonstrações
apagógicas (isto é, reduzindo ao absurdo a negação) sem nos
mostrarem o método com a ajuda do qual conseguiram formular
essas proposições, que eles assim provam de outras maneiras...”
Wallis formulou as idéias do espaço e do tempo absolutos, mais
tarde adotadas por Newton. Acreditava que o espaço e o tempo eram
absolutos e eternos. Também escreveu uma Exposição Sumária...das
Leis Gerais do Movimento, enunciando as fórmulas da velocidade
após o choque recíproco das massas m1 e m 2 , animadas,
v1m1
+ v2m2
respectivamente, com velocidades v1 e v 2 : v =
.
m + m
1
2
268
Em sua obra analítica Secções Cônicas de1655, tornou muito
mais inteligíveis as idéias geométricas de Descartes e a sua Álgebra
de 1685, marcou um importante passo à frente no uso sistemático
das fórmulas.
Wallis concebeu a análise, não mais baseada na geometria,
utilizou os produtos infinitos e as séries num momento que não
havia qualquer estudo de convergência. Ficou claro, pelos resultados
que chegou, que era dotado de intuição e imaginação
extraordinárias.
A seguir um exemplo que esclarece, muito bem, o
procedimento de Wallis no cálculo de integrais em sua Arithmetica
Infinitorum de 1655. O resultado fora provado pela geometria dos
indivisíveis de Cavalieri, mas o autor introduziu uma aritmetização
que tornou o cálculo mais operacional.
Por exemplo, Wallis mostrou que
1
2 1
∫ x dx = . Para isso
3
formulou a razão entre as somas dos quadrados de ordenadas
2
igualmente espaçadas sob a curva y = x e a soma dos quadrados
das ordenadas correspondentes sob y = 1. Considerando-se só as
2 2
0 + 1 1 1 1
ordenadas em x = 0 e x = 1, a razão é = = + .
2 2
1 + 1 2 3 6
Subdividindo-se o intervalo entre x = 0 e x = 1 em duas partes iguais
e imaginando cada parte como um intervalo unitário, a razão entre
2 2 2
0 + 1 + 2 5 1 1
as somas dos quadrados torna-se
= = + .
2 2 2
2 + 2 + 2 12 3 12
Analogamente, dividindo-se o intervalo de x =0 a x =1 em três
subintervalos iguais e considerando-se cada um deles como um
segmento unitário, a razão torna-se
2 2 2 2
0 + 1 + 2 + 3 7 1 1
= = + .
2 2 2 2
3 + 3 + 3 + 3 18 3 18
Para Wallis ficou claro, através de indução, que a razão
2 2 2 2
2
0 + 1 + 2 + 3 + ... + n 1 1
chegaria a
= + e, que se
2 2 2 2
2
n + n + n + n + ... + n 3 6 ⋅ n
0

1
aproximava cada vez mais de , com o crescimento indefinido
3
269
1
de n, de modo que para n = ∞ a razão seria , o valor da integral
3
proposta.
BARROW BARROW (1630 – 1677)
Isaac Barrow, foi por algum tempo
professor em Cambridge e um grande
admirador dos sábios da antiguidade, tendo
editado as obras de Euclides, Apolônio e
Arquimedes. Publicou as suas próprias
Lectiones: ópticas de 1669 e geometriae de
1670, já com a colaboração de Newton.
Essas Lectiones sobre óptica e geometria
continham uma notável discussão do
problema das tangentes e do que ele
denominou triângulo diferencial, tão
importante na maneira atual de tratar o cálculo diferencial.
O método era semelhante ao de Fermat, mas usava duas
quantidades, em vez da letra E única de Fermat, quantidades
equivalentes aos atuais x e y. Barrow explicou sua regra de tangentes
essencialmente do seguinte modo: considere uma curva dada por
uma equação polinomial f ( x,
y ) = 0 e a seguir troque as variáveis x
e y, respectivamente, por x + e e y + a em f ( x,
y ) = 0 . Depois na
equação resultante despreze todos os termos não contendo a ou e e
todos os termos de grau maior do
que um em a e em e. Finalmente
encontre a razão de a por e, que é a
inclinação da reta tangente à curva
dada.
Dessa maneira Barrow
impregava o conceito de triângulo
característico, essencialmente a
idéia de reta tangente como a
posição limite da reta secante com
a e e, aproximadamente nulos.
y
M
m
N
e R
a
A T t P Q x
270
2
2
Exemplo1: y = x ⇔ f ( x,
y ) = y − x = 0 ⇒
2
⇒ f ( x + e,
y + a ) = ( y + a ) − ( x + e ) = 0 ⇒
2
2
2 a
⇒ y + a − x − 2xe
− e = 0 ⇒ a - 2xe
− e = 0 ⇒ = 2x
e
2 2 2
Exemplo2: f ( x,
y ) = x + y − r = 0 ⇒
2
2 2
⇒ f ( x + e,
y + a ) = ( x + e ) + ( y + a ) − r = 0 ⇒
2
2 2
2 2
⇒ x + 2xe
+ e + y + 2ya
+ a − r = 0 ⇒
2
2
a - x
⇒ 2xe
+ e + 2ya
+ a = 0 ⇒ 2ya
= −2xe
⇒ = .
e y
De todos os matemáticos que anteciparam partes do cálculo
diferencial e integral, nenhum chegou tão perto quanto Barrow, que
reconheceu claramente a relação inversa entre os problemas de
tangentes e de quadraturas.
Mas sua conservadora adesão a métodos geométricos impediu-o
de usar, de forma eficaz, essa relação e, assim, por não apresentar
um senso de universalidade nas regras, seus trabalhos tornaram-se
difíceis para se entender.
Barrow em 1669 foi chamado a Londres para ser capelão de
Charles II e assim seu ex-aluno Newton, por sugestão do próprio
Barrow, sucedeu-o na cadeira Lucasiana em Cambridge. Sucessão
essa considerada como um acontecimento muito feliz.
NEWTON NEWTON (1642 – 1727)
Isaac Newton nasceu menos de um ano
após a morte de Galileu, em 24 de
dezembro de 1642, pelo calendário
Juliano, ou então, 04 de janeiro de 1643,
pelo calendário gregoriano, em
Woolsthorpe, Lincolnshire, numa
propriedade rural. Com uma infância
melancólica, divertia-se construindo seus
próprios brinquedos - lanternas, rodas
d’água, alavancas, pipas, relógios de sol –

271
corria no temporal a favor ou contra o vento. Na escola da vila (que
entrou aos 12 anos) era muito tímido e nada indicava sua
genialidade. O tio William o incentivou a estudar em Cambridge.
Newton matriculou-se no Trinity College em 1661, aos 18 anos
como “aluno-servente”.
Em 1665 tornou-se Bacharel em Artes; em l668 doutorou-se e,
um ano depois assumia a cátedra de matemática, com apenas 26
anos, substituindo Isaac Barrow (mestre, amigo e protetor). Foi
Barrow que, como professor de matemática, reconheceu que
Newton estava além da normalidade e estimulou-o a desenvolver
suas aptidões.
No período de 1665-1666, com a universidade fechada em
virtude da peste bubônica que matou 1/10 da população da Europa,
Newton refugiou-se em sua casa no campo. Nesse período
desenvolveu o teorema do binômio; o método das fluxões; uma
teoria sobre a natureza da luz e as primeiras idéias sobre atração
gravitacional.
Newton esteve sempre ligado à universidade de Cambridge,
deixando a cátedra somente em 1701, aos 58 anos, quando passou a
exercer funções públicas de alto nível.
Primeiro foi representante da universidade no Parlamento, a
seguir, em 1699, foi nomeado master of mint (diretor da casa da
moeda). Nesse cargo demonstrou brilhante capacidade
administrativa, tendo coordenado a fabricação de moedas à prova de
falsificação. Em 1703 foi eleito presidente da royal society
(sociedade real) tendo ficado até a morte.
Principais Obras:
• De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas (Sobre
a análise de equações com um número ilimitado de termos).
Nesse trabalho Newton estudou o método das “séries infinitas”, o
qual foi indispensável para a quadratura das curvas e a retificação
dos arcos; mediante a expansão em séries, foi capaz de resolver a
integral de expressões que envolviam raízes, integrando-as termo a
272
m
termo. Por exemplo, se a área sob uma curva é dada por z = ax , m
1
racional, então a equação da curva é max − m
y = .
Newton usou basicamente o procedimento de Barrow que ao
considerar uma curva nas variáveis x e z, dada pela equção
f ( x,
z ) = 0 , trocou x por x + o e z por
z + vo. A seguir, na nova equação
considerou o fato que f ( x,
z ) = 0 e
desprezou potências de o maior do
que um. Finalmente fez v = y para se
chegar ao resultado.
2
x
Exemplo 1: Para z = tem-se y = x.
2
x o
y
v
y
z
x
2
x
De fato, z =
2
e
( x + o )
z + vo =
2
x
=
+ 2xo
+ o
2
, logo
2
2
x o
z + vo = + xo + ou
2 2
o
v = x + . Portanto, y = x.
2
seja,
2
o
vo = xo +
2
e finalmente,
Exemplo2:Para a curva z = 1 + x , primeiro escrevia
2 3
x x x
1+
x = 1+
− + + ... e a seguir adotava o procedimento
2 8 16
do exemplo anterior.
• Methodus fluxionum et serierum infinitorum (O método de
fluxões e séries infinitas
Escrito em 1671, porém publicado apenas em 1742. Newton
representou por v, x, y, z as quantidades fluentes (que aumentam ou
diminuem); por v& , x&
, y&
, z&
as fluxões ou fluxos; por v& & , &x
&,
&y
&,
&z
& os
fluxos dos fluxos; e x + x&
o representando o momento de um fluente
com variação infinitamente pequena “o” do tempo.
2
2
2

273
Problema: Dada uma relação entre dois fluentes, encontrar a relação
entre seus fluxos e vice-versa.
2
Exemplo: Dada a equação x − axy = 0 , Newton substituía x por
x + x&
o e y por y + y&
o , obtendo-se
2
2
( x + x&
o ) − ( x + x&
o ) − a(
x + x&
o )( y + y&
o ) = o , então
2
2
x + 2xx&
o + ( x&
o ) − axy − axy&
o − ax&
oy − ax&
oy&
o = 0 , ou seja
2
axx& + x&
o − axy&
− ax&
y − ax&
y&
o = 0 e, finalmente
2 xx& − a(
xy&
+ x&
y ) = 0.
A descoberta da “fluxões” por Newton estava intimamente
ligada aos seus estudos sobre séries infinitas através da Arithmetica
de Wallis. Isso levou--o a estender o teorema do binômio a
expoentes fracionários e negativos e, assim, à descoberta das séries
binomiais. Esse fato ajudou-o a estabelecer a sua teoria para todas as
funções algébricas ou transcendetes.
• Tractus de Quadratura Curvarum (Um tratado sobre a
quadratura de curvas).
Escrito em 1676, foi a 3ª abordagem da derivada denominada
primeiras e últimas razões.
“Por razão última das quantidades evanescentes deve-se
entender a razão das quantidades, nem antes nem depois de elas
desaparecerem, mas a razão com a qual elas desapareceram”.
2
Exemplo: y = x
Newton encontrou a derivada de
( x
x + o − x
+ o )
2
− x
2
o
=
2xo
+ o
2
2
y = x do seguinte modo:
1 1
= = . Para ele 2x era o resultado
2x
+ o 2x
1
procurado e era chamada de a última razão dos incrementos
2x
evanescentes.
• Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Princípios
matemáticos da filosofia natural, ou os Principia).
274
Publicado em 1687.
Por insistência do amigo Edmond Halley (1656 -1742), Newton
reuniu numa só obra seus tratados sobre a gravitação e as leis da
mecânica. O compêndio era formado por 3 livros: 1. Princípios da
mecânica e lei da gravitação; 2. Mecânica dos fluidos; 3. Órbitas dos
planetas, movimento das marés e cálculo das massas da Lua e do
Sol. Inspirado em os Elementos de Euclides, Newton iniciou o
trabalho com uma série de definições, como por exemplo:
Definição I: a quantidade de matéria é a sua medida, obtida
conjuntamente a partir de sua densidade e volume.
Definição II: a quantidade de movimento é a sua medida, obtida
conjuntamente a partir da velocidade e quantidade de matéria.
A seguir introduziu os axiomas ou leis do movimento:
Lei I: todo corpo continua em seu estado de repouso ou de
movimento uniforme, em uma linha reta, a menos que seja forçado a
mudar aquele estado por forças a ele aplicadas.
Lei II: a mudança de movimento é proporcional à força motora
aplicada e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é
aplicada.
Lei III: a toda ação há sempre oposta uma reação igual, ou, as ações
mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e
dirigidas em sentidos opostos.
A partir dessas definições e dessas leis, as verdades da
mecânica foram deduzidas como teoremas encadeados entre si. São
192 proposições, quase sempre de difícil compreensão porque
Newton procurou demonstrá-las utilizando a geometria de Euclides
e isso resultou soluções sofisticadas, concebidas, caso a caso.
Curioso foi que Newton, com suspeitas de não ser
compreendido, não utilizou as “derivadas” nos Principia; apenas a
noção intuitiva de limite foi empregada.
• Opticks (Óptica ou tratado das reflexões, refrações, inflexões e
cores da luz).

275
Publicada em 1704.
Aplicando-se ao aperfeiçoamento do telescópio, Newton
conseguiu eliminar a incômoda aberração cromática, devida à
refração desigual das diferentes cores, construindo um telescópio
refletor munido de um espelho côncavo em vez de uma lente
convexa.
Negando qualquer intenção de formular hipóteses especulativas,
Newton discutiu os fenômenos observados da luz refratada,
mencionando a sua descoberta da diferente refrangilibilidade de
raios luminosos o que foi, talvez, a mais importante até então, sobre
as maneiras por que opera a natureza. Embora não insistisse nesse
ponto, parece sempre partir da suposição de que a luz consistia em
minúsculas partículas, cujo grau de pequenez correspondia à cor.
Graças à grande autoridade que exercia sobre os seus adeptos,
essa teoria corpuscular persistiu, em oposição à teoria ondulatória de
Christiaan Huygens (1629 – 1695), até o século XIX. Nos
experimentos em que se baseava essa obra, Newton não só
decompôs a luz por meio de um prisma ou série de prismas
refratores, mas também conseguiu reunir as cores componentes,
reproduzindo o branco primitivo e, assim, resolvendo finalmente o
problema do arco-íris.
• Enumeratio linearum tertii ordinis.
Publicada em 1704.
Newton classificou as cúbicas em vinte e duas espécies,
baseando-se no seu teorema que afirma que qualquer cúbica pode
2 3 2
ser obtida de uma parábola divergente y = ax + bx + cx + d
através de uma projeção central de um plano sobre o outro. Esse foi
o primeiro resultado novo importante pela aplicação da álgebra à
geometria. Todos os trabalhos anteriores, de outros autores, eram
simplesmente traduções de Apolônio para uma linguagem algébrica.
Outra contribuição de Newton foi o método para encontrar
aproximações de raízes de equações numéricas, que ele explicou
com o exemplo 2 5 0
2 3
x − x − = , econtrando x = 2,09455147. O
método de Newton consiste em encontrar as raízes de uma equação
f ( an
)
f ( x ) = 0 pela fórmula recorrente an+1
= an
− Esse
f ' a
( ) .
n
276
processo pode ser aplicado iterativamente para obter uma
aproximação a n tão precisa quanto se queira.
A demora de Newton para publicar as suas teorias mais
revolucionárias foi, em grande parte, atribuída à sua aversão por
controvérsias. Apesar disso foi envolvido em algumas,
especialmente quanto a questões de prioridade de descobertas, a do
cálculo talvez seja a mais famosa.
No campo filosófico recebeu alguns ataques, mas o de maior
repercução foi após a sua morte e que, assim, foram dirigidos aos
seus correligionários. A índole de alguns desses ataques pode ser
ilustrada pelas seguintes passagens de um eminente crítico, o bispo
George Berkeley em 1734: quem é capaz de digerir uma segunda ou
terceira fluxão, uma segunda ou terceira diferença, não tem,
segundo me parece, o direito de se mostrar exigente sobre qualquer
ponto de teologia. E que vem a ser essas fluxões? As velocidades de
acréscimos evanescentes? E que são esses tais acréscimos
evanecentes? Não são nem quantidades finitas, nem quantidades
infinitamente pequenas e tampouco são o nada. Não poderíamos
chamá-los os fantasmas de quantidades defuntas?”
Com referência à controvérsia entre os amigos de Newton e os
de Leibniz, sobre a prioridade na invenção do cálculo, disse o
próprio Newton num escólio famoso: a troca de correspondência
que se verificou cerca de dez anos atrás entre esse habilíssimo
geômetra, G. W. Leibniz, e a minha pessoa, quando lhe anunciei que
possuía um método para determinar máximos e mínimos, traçar
tangentes e realizar operações semelhantes, método que era
igualmente aplicável às quantidades surdas e às racionais, e ocultei
o mesmo por meio de letras transpostas, formando esta frase – data
aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones
invenire, et vice versaI – esse homem ilustre respondeu que também
havia deparado com um método da mesma espécie e comunicou-me
o seu método, que muito pouco diferia do meu, a não ser nas formas
das palavras e na notação (também na concepção de como se
geravam as quantidades).
O fenômeno Isaac Newton foi sempre alvo de elogios,
badalações, algumas críticas e até ciúmes. Nota-se isso nas palavras
de Voltaire (François-Marie Arouet) (1694 – 1778) que assistiu aos

277
seus funerais: eu vi um professor de matemática, só porque era
grande em sua vocação, ser enterrado como um rei que tivesse feito
bem a seus súditos.
Voltaire não estava errado em sua afirmação; de fato Newton
foi festejadíssimo durante a sua existência, tanto na Inglaterra como
no estrangeiro. Foi decretado luto oficial por ocasião de sua morte e
o sepultamento deu-se na Abadia de Westminster, onde se sepultam
os reis.
Quanto à sua atitude pessoal, essa foi suficientemente
idealizada e resumida pelas palavras: ignoro o que eu possa
aparentar para o mundo, mas aos meus próprios olhos pareço ter
sido apenas um menino a brincar na praia e a entreter-se de tempos
a tempos com o encontro de um seixo mais liso ou uma concha mais
bonita do que os outros, enquanto o grande oceano da verdade jazia
inexplorado diante de mim. Se vi mais longe que Descartes, foi
porque estava colocado sobre ombros de gigantes.
LEIBNIZ LEIBNIZ (1646 – 1716)
Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em
Leipzig e passou a maior parte da sua vida
na corte de Hanôver, foi diplomata por 40
anos a serviço dos duques, um dos quais se
tornou rei da Inglaterra. Desde muito
jovem ficou marcante o seu interesse por
história, teologia, lingüística, biologia,
geologia, matemática, diplomacia e a arte
de inventar. Em Londres conheceu
Ondenburg, através do qual manteve
contato com Newton numa série de cartas, e tornou-se sócio da
Royal Society numa reunião que teve ocasião de exibir sua máquina
de calcular. Foi um dos primeiros, depois de Pascal, a inventar uma
máquina de calcular. Imaginou máquinas a vapor, estudou filosofia
chinesa e tentou promover a unidade da Alemanha.
O principal objetivo da sua vida foi a procura de um método
universal, através do qual pudesse obter conhecimentos, fazer
invenções e compreender a unidade essencial do universo.
A scientia generalis, que pretendia construir, levou Leibniz a
descobertas em várias áreas, enquanto que a procura por uma
278
characteristica generalis levou-o às permutações, combinações e à
lógica simbólica. De arte combinatória, sua tese de doutorado de
1666, propunha a criar uma espécie de método geral do raciocínio.
O sonho de uma língua universalis, na qual todos os erros de
raciocínio pudessem aparecer como erros computacionais, levou-o
não só à lógica, mas também a muitas inovações na notação
matemática. Leibniz foi um dos maiores inventores de símbolos
matemáticos.
Poucos entenderam tão bem a unidade da forma e do conteúdo,
tanto que sua invenção do cálculo deve ser entendida com base
filosófica, ou seja, foi o resultado da procura de uma língua
universalis da mudança e do movimento em particular.
Leibniz elaborou o seu cálculo entre 1673 e 1676, em Paris, sob
a influência pessoal de Huygens e pelo estudo de Descartes e Pascal.
Foi estimulado a isso, ao saber por rumores que Newton possuía tal
método.
Enquanto a abordagem de Newton foi basicamente cinemática,
a de Leibniz foi geométrica. Raciocinou em termos do triângulo
característico (dx, dy, ds), que já aparecera noutros escritos,
especialmente em Pascal e nas Geometrical Lectures de Barrow.
Newton foi mais hesitante em suas publicações, escreveu várias
descrições substanciais de seus métodos do cálculo e publicou-as
bem mais tarde. Leibniz, ao contrário, escreveu pouco, mas publicou
quase que de imediato.
Nos primeiros artigos que publicou na Acta eruditorum, um
jornal matemático fundado em 1682, Leibniz mostrou que seu novo
método não apresentava restrições para funções irracionais ou
transcendentes. Deu muita atenção à questão das notações
apropriadas e a medida de seu sucesso nessa área foi a
sobrevivência, até os dias atuais, de sua linguagem e de seus
símbolos.
Embora esses artigos tenham sido prejudicados por erros de
impressão e exposição insatisfatória, sua grande importância foi
evidente para os matemáticos suíços Jakob Bernoulli (1654-1705) e
seu irmão Johann (1667-1748). Mais tarde, Leonhard Euler, um exaluno
de Johann e descendente intelectual de Leibniz, daria
continuidade de forma decisiva para tornar o cálculo mais acessível
e aceitável.

279
No primeiro artigo de Leibniz, de apenas seis páginas, são
apresentadas as regras simples de diferenciação, com aplicações (de
maneira rude, sem provas) e numa linguagem que lembrava as
quantidades infinitamente pequenas de Newton.
As regras eram as seguintes:
• da = 0 , se a é constante.
Justificativa: Leibniz considerou a + da = a , e assim da = 0 .
• d ( u + v ) = du + dv
Justificativa: d( u + v ) = ( u + du ) + ( v + dv ) - ( u + v ) =
= ( u + v ) + du + dv - ( u + v ) = du + dv.
• d ( uv ) = udv + vdu
Justificativa: d( uv ) = ( u + du )( v + dv ) - uv =
= uv + udv + vdu − uv = udv + vdu.
u vdu - udv
• d ( ) =
2 v v
u u + du u v(
u + du ) - u(
v + dv )
Justificativa: d ( ) = − =
=
v v + dv v v(
v + dv )
uv + vdu - uv - udv vdu - udv
=
= .
2
2
v + vdv v
n n-1
• du = nu du .
Para a soma de
todas as áreas,
Leibniz usou o
símbolo ∫ . Assim, a
área total sob a
curva seria ∫ ydx e
como, área (OCD) – área (OAB) = ydx, a diferencial da
280
área, era dada por d ( ydx ) = ydx .
∫
Leibniz enfatizou o aspecto somatório da “integral”, e também
colaborou para fazer com que a própria palavra tivesse aceitação.
Porém, enquanto atualmente se pensa em termos de limites de uma
soma característica de grandezas finitas, Leibniz considerou uma
soma, de fato, de quantidades infinitamente pequenas ou
infinitésimas e isso explica o fato de ter usado como símbolo de
integração uma forma alongada de um tipo antigo da letra S, inicial
de summa (soma).
Associado ao nome de Leibniz tem-se ainda algumas outras
notações, como o “X” para multiplicação; além de alguns nomes
usados atualmente como, por exemplo, cálculo diferencial, cálculo
integral, função, coordenadas cartesianas e o curioso termo
osculação.
Os Os inventores inventores do do Cálculo
Cálculo
Newton e Leibniz são ou não são os inventores ou criadores do
cálculo?
Para responder essa questão alguns pontos precisam ser
ponderados. Afirma-se que Eudoxo inventou o cálculo integral com
o seu método de exaustão e que Arquimedes aprofundou-o
consideravelmente. Fermat foi considerado o verdadeiro inventor do
cálculo diferencial, mas Descartes, Pascal, Cavalieri, Barrow, Wallis
e outros contribuíram muito, tanto para o cálculo integral
(quadraturas) como para o cálculo diferencial (encontrar tangentes a
curvas).
E então por que Newton e Leibniz são os criadores do cálculo
diferencial e integral?
A defesa baseia-se em três considerações:
1. Os vários métodos infinitesimais dos predecessores de Newton e
Leibniz eram muito restritos (eles muitas vezes foram aplicáveis
somente para classes especiais de curvas) e não foram reconhecidos
como inter-relacionados. Leibniz e Newton criaram um sistema
coerente de métodos para resolver problemas sobre curvas e o
importante é que esses métodos não dependeram da natureza
particular das curvas tratadas. Portanto, o alcance de tais métodos

281
foi mais amplo do que o dos métodos anteriores e pode-se dizer que
através deles os métodos infinitesimais chegaram a formar uma
teoria coerente e poderosa. Em resumo, foram as suas obras que
permitiram falar em cálculo pela primeira vez.
2. A coerência dos sistemas de Leibniz e Newton foi atingida devido
ao reconhecimento do teorema fundamental do cálculo: a relação
inversa entre a diferenciação e a integração. Através dele
reconheceu-se o relacionamento recíproco entre os problemas de
quadraturas e tangentes, que foram considerados anteriormente
como problemas separados.
3. Newton e Leibniz criaram um sistema de notações pelo qual
podiam aplicar analiticamente seus novos métodos que, assim,
foram explicitados na forma de algoritmo mais claro e por um
aparato de fórmulas para as regras do cálculo.
Exercícios Exercícios
Exercícios
1. A dúvida sistemática, como a de Descartes, ajuda ou não no
desenvolvimento da matemática? Explique.
2. Compare a influência de Descartes com a de Fermat no
desenvolvimento da matemática.
3. Usando o método de Descartes, encontre a normal a y² = 4x no
ponto (1,2).
2 = no
4. Usando o método de Fermat, encontre a tangente a x 4y
ponto (2,1).
5. Use o método de Fermat para encontrar os valores máximo e
2
mínimo de f (x) = ( x + 1)(
2x
+ 5x
− 7).
6. Encontre 2 1
2 n
+
7. Escreva 3 como fração contínua.
para n = 0, 1, 2, 3 e verifique que são primos.
282
8. Escreva a raiz positiva da equação x + 3x
= 4 como fração
contínua.
9. Use o método de Barrow para achar a subtangente à curva
2 3
y = x + 2x no ponto (2,20).
0 + 1 + 2 + ⋅⋅
⋅ + n 1 1
10. Verifique a fórmula de Wallis = + ,
3 3 3
3
n + n + n + ⋅⋅
⋅ + n 4 4n
para n = 1, 2, 3, 4.
1
2 n
11. Verifique a fórmula de Wallis ( ) ( n!
)
x − x dx =
n = 1, 2, 3, 4.
3
3
2
3
∫ , para
0
( 2 n + 1)!
12. Compare as contribuições de Newton e Leibniz à notação
matemática.
3
2

O O SÉCULO SÉCULO DAS DAS LUZES
LUZES
(Século (Século XVIII)
XVIII)
“Senhor, não precisei dessa hipótese.” (Laplace)
283
Trata-se de um século interessante se for considerado que a
geometria analítica e o cálculo foram inventados no século XVII e o
surgimento do rigor matemático e o florescimento da geometria, da
álgebra, da análise, etc., estão associados ao XIX. Nunca é para o
século XVIII que se olha para destacar as tendências significativas
na matemática e isso está em contraste marcante com o que ocorre
em outros campos.
Para os americanos (do norte) a data 1776 foi decisiva para a
sua independência; na França o ano de 1789 foi crucial para a
chegada da burguesia ao poder. E a era de revoluções não se
restringiu à política. A revolução Industrial, causada pela utilização
de máquinas modernas, mudou toda a estrutura social do ocidente.
O século XVIII foi o do Iluminismo, movimento surgido na
Europa, em oposição ao Absolutismo. Teve origem nas idéias de
Descartes e Newton, herdando delas o racionalismo, a dúvida, o
formalismo e o mecanicismo. Representou a busca da razão e a
predominância da lógica. De forma genérica, a razão seria o
supremo guia do indivíduo. Vem dessa época também, a crença na
liberdade econômica, na liberdade individual e, na igualdade de
todos os homens perante a lei.
Esse contexto forçou a imagem de um Deus destituído de
poderes; um ser que teria criado tudo de modo lógico e
conseqüentemente matemático. Assim, dispensaram-se os ritos e as
orações para louvar o Senhor, pois a nova ordem era alimentada
apenas pela observação da natureza. O homem descobriu que o
universo era regido por leis físicas eternas e imutáveis; portanto, o
Criador, se existisse um, estaria refletido na própria natureza.
Com esse novo pensamento, sérias críticas foram feitas à Igreja,
que se preocupava com as suas missas artificiais e distanciava-se
cada vez mais dos ideais iluministas. Em suma, o Iluminismo
284
opunha-se à superstição, à autoridade despótica e à tradição.
Prescrevia a razão cartesiana, como única maneira para se construir
um mundo melhor.
A atividade científica dessa época, centrava-se geralmente nas
academias, das quais se destacavam as de Paris, Berlim e São
Petersburgo. O ensino universitário desempenhava um papel menor
ou mesmo nulo. Alguns dos principais estados europeus eram
governados por aqueles que têm sido chamados de déspotas
iluminados.
Frederico-o-grande, Catarina-a-grande, aos quais se
acrescentam Luís XV, Luís XVI e o Marquês de Pombal são alguns
desses déspotas que aspiravam à glória e, para seu prazer,
rodeavam-se de homens cultos. Esse prazer era uma espécie de
esnobismo intelectual, temperado por uma certa compreensão do
papel importante que as ciências naturais e a matemática aplicada
desempenhavam na modernização das manufaturas e no aumento de
eficácia da força militar.
Diz-se, por exemplo, que a perfeição da armada francesa se
devia ao fato de, na construção de fragatas e barcos de linha, os
mestres de construção naval terem sido guiados, em parte, pela
teoria matemática. Os trabalhos de Euler eram ricos em aplicações a
questões importantes para o exército e a marinha. A astronomia
continuou a desempenhar um papel de destaque como mãe adotiva
da investigação matemática sob a proteção real e imperial.
A matemática no século das luzes começou com os métodos
infinitesimais. Foi nele que se desenvolveram os cálculos,
diferencial, integral e das variações e também as teorias analíticas e
infinitesimais de curvas e superfícies.
Nesse período pode-se dizer que a matemática era escrava da
física, sendo sua característica principal a falta de rigor absoluto. O
objetivo maior dos matemáticos seria estudar as ciências da natureza
e, assim, preocupados com as aplicações usavam mais a intuição que
a perfeição lógica.
A grande expansão do volume de conhecimentos científicos,
adquiridos nesse período, gerou a crescente especialização. Tornavase
cada vez mais dificil a um único sábio abarcar, simultaneamente,
o âmbito da filosofia, da matemática, da física, da química e das
ciências naturais.

A A Matemática Matemática e e a a Mecânica
Mecânica
285
Dentre os matemáticos importantes do século XVIII, Euler e os
Bernoulli, no continente, e MacLaurin, na Escócia, desempenharam
os primeiros papéis no sentido de sistematização do cálculo,
enquanto Lagrange e Laplace tiveram proeminência no
desenvolvimento da mecânica analítica e da mecânica celeste,
respectivamente.
Colin MacLaurin (1698 – 1746), foi professor de matemática
em Edimburgo e o seu Tratado das Fluxões de 1742 representou a
primeira exposição lógica e sistemática do método das fluxões de
Newton. As aplicações do método a certos problemas, nele contidas,
foram qualificadas por Lagrange como a obra-prima da geometria,
comparável aos mais belos e engenhosos trabalhos de Arquimedes.
Nesse livro encontrava-se o chamado desenvolvimento em série
de MacLaurin, que constituiu um dos capítulos mais importantes do
cálculo atual. No entanto, o próprio MacLaurin reconheceu que a
autoria desse método era devida ao matemático inglês, Brook Taylor
(1685 – 1731). E, de fato, Taylor havia publicado em 1715 a série,
atuamente chamada de Taylor, que se escreve,
f ''
( x ) 2
f ( x + h ) = f ( x ) + f ' ( x ) h + h + ... , para uma função f
2
num ponto x.
Bernoulli trata-se de um dos mais notáveis exemplos de uma
família de matemáticos famosos que se sucederam durante varias
gerações. Os irmãos Johann (1667 -1748), professor em Groninga, e
Jakob (1645 – 1708), professor em Basiléia, foram os mais celebres
discípulos de Leibniz.
Irmãos e rivais ferozes que descobriram muitos teoremas de
cálculo a respeito de catenárias, linhas geodésicas, braquistócronas,
etc. A obra póstuma de Jakob, Ars conjectandi de 1713 assinalou
uma época na teoria das probabilidades.
Um filho de Johann, Daniel (1700 – 1782), também professor
em Basiléia, depois de permanecer por um certo tempo em São
Petersburgo, usou muito bem os métodos matemáticos em
problemas de mecânica, até então sem solução. Por isso foi
considerado o fundador da física matemática, tendo reconhecido a
286
importância do princípio da conservação da força, antevisto em
parte por Huygens.
EULER EULER EULER (1707 – 1783)
Leonhard Euler nasceu na Basiléia, Suiça,
e iniciou seus estudos com a intenção de
se tornar ministro religioso, como seu pai.
Adquiriu gosto pela matemática e fez dela
sua principal ocupação após as aulas que
freqüentou como estudante de Johann
Bernoulli na universidade local. Passou a
maior parte de sua vida nas cortes de São
Petersburgo (1727 – 1741 e de 1766 até
sua morte) e de Berlim (1741 – 1766). A
produção científica de Euler é extensa e
variada, superando a de qualquer outro matemático e distribuindo-se
por todos os ramos – matemática, física, astronomia, engenharia e
construção naval. Em decorrência de uma produção de alta
qualidade, ganhava muitos prêmios, que constituíam numa
complementação regular de seu salário.
Um dos mais ambiciosos empreendimentos foi a publicação de
suas obras completas em 45 volumes, mediante a cooperação
internacional. Disciplinas básicas como álgebra, geometria analítica
e cálculo, devem sua forma atual em grande parte aos trabalhos de
Euler.
Muitas notações por ele introduzidas ainda estão em uso, como
por exemplo: f(x) para funções; e para a base dos logaritmos
naturais; a, b, c para os lados de um triângulo ABC; s para o
semiperímetro do triângulo ABC; r para o inraio do triângulo ABC;
R para o circunraio do triângulo ABC; Σ para somatórios; i para a
unidade imaginárian − 1 . Também deve-se a Euler a fórmula
= cos x + isenx , que, para x = π torna-se e + 1 = 0 .
Sua Introcutio in analysin infinitorum, de 1748, contém
discussões algébricas e um pouco de cálculo, inclusive, os
desenvolvimentos de e , senx cos x
x
e em séries e, a fórmula
e ix
fundamental = cos x + isenx , com as funções trigonométricas já
e ix
iπ

287
com as notações usadas atualmente. As obras fundamentais de Euler
sobre o cálculo são as Institutiones calculi differentialis, de 1755, e
as Institutiones calculi integralis de 1768.
A Introdução completa à álgebra de Euler data de 1770. Essa
Introdução foi um dos livros que maior influência exerceu sobre a
álgebra do século dezoito e uma das razões, dentre várias, foi o fato
de ser apresentado numa linguagem clara e sob uma forma
facilmente compreensível. Foi esse livro que, completando o
desenvolvimento iniciado por Viète, fez da álgebra uma espécie de
taquigrafia matemática internacional.
Euler formulou a idéia de função, que tem desempenhado papel
tão fundamental na matemática atual, tanto pura como aplicada.
Entre os seus trabalhos inclui-se o primeiro tratado sistemático das
variações, de1744.
Em outros campos, Euler foi o primeiro a tratar analiticamente
as vibrações da luz e a deduzir a equação da curva vibratória em
função da elasticidade e da densidade. Deduziu analiticamente a lei
de refração e explicou que os raios de maior comprimento de onda
devem sofrer o menor desvio.
Estudou a dispersão em busca de um corretivo para a aberração
cromática das lentes, que Newton declarara irremediável. Foram
essas pesquisas que levaram Dolland a fabricar as suas lentes
acromáticas. Euler foi, assim, o único físico do século XVIII que fez
progredir a teoria ondulatória.
Na sua Mechanica de1736, fez uma exposição coerente da
mecânica de Newton desenvolvendo, em 1744, suas idéias sobre
astronomia teórica.
A seguir, alguns exemplos do procedimento formal de Euler,
especialmente no tratamento com séries infinitas.
O primeiro volume de Introductio apresentava, do princípio ao
fim, os processos infinitos - produtos infinitos e frações contínuas
infinitas, bem como inúmeras séries infinitas. Quanto a isso, a obra é
generalização natural das idéias de Newton, Leibniz e Bernoulli, que
muito contribuíram no estudo de séries infinitas.
Embora, ocasionalmente, Euler prevenisse quanto ao riso de
trabalhar com séries divergentes, ele próprio usou a série de
288
1
2
potências, = 1+
x + x + ⋅⋅
⋅ para x ≥ 1.
Na verdade, combinou
1−
x
x
2 3
as duas séries = x + x + x + ⋅⋅
⋅ e
1−
x
x 1 1
= 1+
+ 2
x −1
x x
+ ⋅⋅
⋅ e
1
concluiu que ... + 2
x
1
2 3
+ + 1+
x + x + x + ⋅⋅
⋅ = 0.
x
Apesar de sua audácia, por manipulações de séries infinitas,
Euler obteve resultados que tinha fugido a seus predecessores. Entre
esses está a soma de recíprocos dos quadrados perfeitos,
1 1
+ 2 2
1 2
1
+ + ⋅⋅
⋅ . Oldenburg, numa carta a Leibniz de 1673,
2
3
perguntara qual a soma dessa série, mas Leibniz não deu resposta.
Em 1689, Jakob Bernoulli confessou sua incapacidade para
encontrar a soma, embora provasse a sua convergência. Sabe-se
da teoria de equações algébricas que a soma dos recíprocos das
raízes , i = 1, 2,
⋅⋅⋅,
n , de um polinômio do tipo
x i
2
n
n x
a x a x a ) x ( p + ⋅ ⋅ ⋅ + + + = 1 é o oposto do coeficiente de x, ou
1
n
2
seja, − = ∑
i= i x
1
a1
.
1
Euler, por descuido ou genialidade, usou esse resultado típico
de polinômios para as séries infinitas. Começou com a já conhecida,
3
5
z z z
na época, senz = z − + − + ⋅⋅
⋅ e, então, considerou
3!
5!
7!
senz = 0 , como uma equação polinomial infinita, cujas raízes são
0, ± π,
± 2π,...
Dividindo-se, a seguir, senz por z, tem-se a equação
2
4
6
z z z
0 = 1−
+ − + ⋅⋅
⋅ , cujas raízes são ± π,
± 2π,
± 3π,
⋅⋅
⋅
3!
5!
7!
2
Considerou depois z = w e a equação anterior tornou-se
w w w
0 = 1−
+ −
3!
5!
7!
2
3
+ ⋅⋅
⋅
7
, cujas raízes são π , 4π
, 9π
, ⋅⋅
⋅
Finalmente, aplicando o resultado para polinômios − a1
= ∑
=
2
2
2
n
x
1
,
i 1 i

289
1 1
obtém-se +
2 2
π 4π
1
+
2
9π
1
+ ⋅ ⋅ ⋅ =
3!
e,
finalmente,
1
1 +
2
2
1
+
2
3
1
+ ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ 2
n 1 n
2
π
= .
6
∞
=
Usando a série do cosseno em vez do seno, Euler encontrou, de
modo análogo, o resultado ∑ ∞ 2
π
8
1
=
2
n ( 2n
−1
)
e, como corolário,
∞
( −1)
n+
1
= 1
tem-se ∑ = ∑ −
2
2 ∑
∑ ∞
n=
1
n+
1
n
∞
( 2n
−1
)
n= 1 n= 1 n=
1
2
2
2
1
∞
1
( 2n
)
2
, ou seja,
( −1)
π 1 π π
= − ⋅ = .
2
n 8 4 6 12
O interesse de Euler por essas séries sempre foi muito grande, e
mais tarde publicou no Introductio, a soma de recíprocos de
potências pares de n= 2 até n = 26.
D´ALEMBERT D´ALEMBERT (1717 – 1783)
Jean Le Rond d’Alembert, filho natural de
uma marquesa com um Chevalier, foi
abandonado como criança enjeitada,
próximo da igreja de Saint Jean Le Rond,
em Paris, e levado a um orfanato para ser
dado em adoção.
Seu pai biológico, entretanto, providenciou
uma dotação aos pais adotivos para que
d’Alembert recebesse a melhor educação
possível. Os resultados foram excelentes e
não demorou muito para que fosse
reconhecido como grande matemático, cientista e filósofo francês.
Dotado de vasta cultura foi editor, juntamente com Denis Diderot
(1713-1784), da famosa Encyclopédie, de 1751 (Enciclopédia, ou
dicionário explicativo das ciências, das artes e dos ofícios) com 28
volumes, da qual escreveu muitos tópicos que corporificavam a
crença iluminista no conhecimento racional e na ciência.
D’Alembert correspondeu-se por vários anos com Euler e as
discussões foram de tal modo produtivas que contribuíram para
290
avanços em áreas como equações diferenciais ordinárias ou parciais,
dinâmica, fundamentos do cálculo, convergência de séries, etc.
Reconhecendo que a idéia de grandezas infinitesimais era muito
frágil, como fundamento para o cálculo, d’Alembert foi o primeiro a
defender o uso do conceito de limite nos artigos Différential, de
1754, e Limite, de1765, publicados na Encyclopédie.
No artigo Sur les principles métaphysiques du calcul
infinitesimal (Sobre os princípios metafísicos do cálculo
infinitesimal), de 1768, d’Alembert argumentou que o cálculo
operava com os limites das razões de diferenças finitas, de
quantidades variáveis inter-relacionadas. A seguir formalizou a
seguinte definição: Limite substantivo (matemática). Diz-se que uma
grandeza é o limite de outra grandeza quando a segunda pode
aproximar-se da primeira tanto quanto se queira, embora a
primeira grandeza nunca possa exceder a grandeza da qual ela se
aproxima; de modo que a diferença entre tal quantidade e seu limite
é absolutamente indeterminável.
D’Alembert escrevia facilmente sobre vários assuntos,
incluindo questões fundamentais em matemática, como essa
tentativa de definir limites. O teorema fundamental da álgebra é
chamado, ao menos na França, de teorema de d’Alembert, devido a
sua tentativa de prová-lo em 1746. Escreveu também sobre
probabilidades, embora nem sempre com grande êxito.
Progressos Progressos da da mecânica mecânica teórica teórica e e celeste celeste
celeste
LAGRANGE LAGRANGE (1736 – 1813)
Joseph-Louis Lagrange nasceu em Torino,
Itália, onde tornou-se professor de
matemática da Escola Real de Artilharia aos
19 anos. Aos 25 anos já era reconhecido
como um dos maiores matemáticos e, em
1776, aceitou o convite para substituir Euler
em Berlim, já que este voltaria para São
Petersburgo. Viria satisfazer assim o
expresso desejo de Frederico II, segundo o
qual era preciso que o maior geômetra da

291
Europa vivesse junto ao maior dos reis. Com a morte de Frederico
em 1787, Lagrange transferiu-se para Paris, onde permaneceu pelo
resto de sua vida. É claro que Lagrange escreveu muito menos que
Euler, mas a perfeição e o grande alcance de seus trabalhos deramlhe
fama, podendo até ser equiparado a Euler.
Sua obra mais famosa, a Mécanique Analytique, concebida em
sua juventude, mas só publicada em 1788, foi um estudo magistral e
completo sobre o assunto. Nela, com o auxílio dos novos métodos
matemáticos, mostrou a sua dependência de alguns princípios
fundamentais e, com isso, a mecânica se estabelecia como um ramo
da análise matemática. A significação e a importância desse trabalho
são, dentro do seu campo, comparáveis às dos Princípia de Newton.
Em 1797, Lagrange publicou um livro intitulado Théorie des
fonctions analytiques, no qual procurava resolver o problema da
fundamentação do cálculo em bases puramente algébricas, sem a
necessidade de considerar grandezas infinitesimais.
Partindo da série de Taylor de uma dada função, ele introduziu
as sucessivas derivadas dessa função, em termos dos coeficientes de
sua série. Em outras palavras, para cada função f, e para cada ponto
x, f(x + h) poderia ser desenvolvida como uma série de potências em
'
h: f(x + h) = f(x) + Ah + Bh²+ + Ch³ + etc. em que, A = f ( x ) ,
''
'''
f ( x ) f ( x )
B = , C = , etc. Importante observar que a notação f’,
2!
3!
'''
f’’, f , etc., usada atualmente, foi introduzida por Lagrange nesse
trabalho.
Essa construção se assentava na premissa de que toda função
possui desenvolvimento em série de Taylor, o que em geral é falso.
Ao fazê-lo, Lagrange pensava ter eliminado a inexatidão inerente
aos infinitesimais e aos limites, e pensava ter reduzido os conceitos
do cálculo a simples álgebra.
Mas sua tentativa esbarrou nessa questão; não é verdade que
f(x + h) possa sempre ser desenvolvida como uma série de potências
em h, e, para as que podem, há ainda o problema da convergência
das séries, que pode ser discutido somente em termos de limites.
Entretanto, o enfoque de Lagrange foi importante, pois
apresentou uma concepção diferente da derivada. Os matemáticos
292
dy
antes dele consideravam como a razão de duas diferenciais,
dx
correspondendo a duas variáveis independentes x e y. Lagrange
especificou a relação entre x e y considerando y como uma função
de x e as derivadas sucessivas de f também como funções de x. Seu
trabalho, portanto, contém um passo importante para a
transformação do cálculo, de uma teoria de variáveis e suas
diferenciais para uma teoria de funções e suas derivadas.
Vale lembrar que, embora, não tenha tomado parte significativa
no desenrolar dos acontecimentos políticos, Lagrange foi um dos
matemáticos que participaram da revolução francesa, chegando a ser
chefe da comissão de pesos e medidas. Na disputa para se escolher a
base do sistema métrico, se dez ou doze, Lagrange argumentou que
a base deveria ser um número primo, onze, por exemplo. Em 1799 o
trabalho da comissão estava pronto e o sistema métrico decimal, em
uso atualmente, se tornou uma realidade.
Os trabalhos de Lagrange incluem importantíssimas
contribuições para a solução das equações diferenciais e para o
cálculo das variações. A sua grande capacidade de análise foi
aplicada com êxito também a problemas de astronomia e cartografia.
LAPLACE LAPLACE (1749 – 1827)
Pierre-Simon, marquês de Laplace, de
procedência normanda, desempenhou papel de
grande destaque nas atividades cientificas do
período napoleônico. Os cinco volumes da sua
Mécanique Celeste não deixou dúvidas quanto a
sua importância para a continuidade dos
trabalhos de mecânica, desde os tempos de
Newton.
Laplace alimentava a eleva ambição de oferecer
uma solução completa do grande problema de mecânica apresentado
pelo sistema solar e fazer com que a teoria coincidisse de modo tão
exato com a observação, que já não houvesse equações empíricas
nas tábuas astronômicas.

293
Via no cálculo apenas um meio necessário para resolver
problemas físicos, embora tivesse mostrado uma habilidade quase
fenomenal com os métodos utilizados. Contanto que os resultados
obtidos fossem verdadeiros, dava-se pouco trabalho para explicar os
meios por que chegara até eles.
Nunca buscou a elegância ou a simetria nos seus métodos e
estava satisfeito quando podia, por qualquer meio, resolver a questão
particular em exame. Nathaniel Bowditch, o tradutor americano da
sua grande obra, fez a respeito uma observação significativa: sempre
que encontro um dos “assim se torna evidente” de Laplace, adquiro
a certeza de que terei de despender horas de trabalho aturado para
preencher a lacuna, descobrindo e demonstrando o porquê de tal
evidência.
Empreendeu Laplace um estudo completo do grande problema
dos três corpos, ou seja, “dadas, em qualquer instante, as posições e
os movimentos de três corpos que gravitam uns para os outros,
determinar suas posições e movimentos em qualquer outro instante”.
Sem o resolver inteiramente, conseguiu explicar, em grande parte as
discrepâncias em questão.
Na sua Exposition du système du monde, Laplace nunca usou
uma fórmula algébrica ou um diagrama geométrico, e apresentou os
argumentos em favor da sua hipótese nebular, dentro das seguintes
linhas gerais: a despeito da separação dos planetas, mantêm eles
entre si certas relações dignas de nota – todos os planetas revolvem
em redor do Sol, na mesma direção e quase no mesmo plano; os
satélites também revolvem em torno dos seus planetas, nessa mesma
direção e quase no mesmo plano; finalmente, Sol, planetas e
satélites revolvem no mesmo sentido em torno dos seus eixos, e essa
rotação se verifica aproximadamente no plano orbital.
Essas concordâncias não podem ser acidentais. Laplace
procura-lhes a causa na existência de uma vasta massa nebulosa
primitiva, formando uma espécie de atmosfera em volta do Sol e
estendendo-se até além do planeta mais exterior. Em especial,
Laplace sustentou a estabilidade do sistema solar. Sua Mecânica
Celeste foi qualificada como edição “infinitamente” ampliada e
enriquecida dos Princípia de Newton.
294
Laplace fez também importantes avanços na teoria das
probabilidades e seus trabalhos sobre equações diferenciais ainda
são úteis na engenharia e no eletromagnetismo.
O O conhecimento conhecimento matematizado
matematizado
matematizado
A partir do século XVIII a matemática passou a ser considerada
por muitos sábios como o ideal, cujos métodos exatos e completos
deviam ser igualados por outros ramos de conhecimento menos
desenvolvidos. Desse modo, a versão popular da Mecânica Celeste
de Laplace, por ele mesmo apresentada, foi recebida com avidez, e o
próprio Voltaire se encarregou de defender a filosofia newtoniana.
A lógica e a própria moral foram atraídas para o séquito da
matemática. Para alguns, o Bem seria uma quantidade positiva e o
Mal, uma quantidade negativa. Para outros, as alegrias e os
desgostos comporiam a vida humana de acordo com as leis da
adição e competiria aos estadistas tornar o saldo positivo tão grande
quanto possível. Buffon acrescenta à sua história natural, um
suplemento relativo à aritmética moral. A matemática aspira ao
papel de dirigente, tanto na ciência natural como nos assuntos
humanos.
A propósito, é bem divulgada uma anedota sobre Napoleão, que
teria provocado Laplace com a observação de que Deus não fora
mencionado no seu livro. Ao que Laplace respondeu: senhor, não
precisei dessa hipótese.
A despeito dessa predileção da sociedade culta e polida, os
programas oficiais de ensino permaneciam fracos e se mantinham
fiéis à orientação conservadora. Entretanto, poderosas tendências
progressistas, nascidas da revolução francesa, concretizaram-se na
fundação da Escola Politécnica, a qual ainda tem sido um importante
centro de atividade matemática. O seu programa incluía, no primeiro
ano, a geometria analítica a três dimensões e a geometria descritiva;
no segundo, a mecânica dos sólidos e dos líquidos; no terceiro, a
mecânica teórica.
O diretor da Escola Politécnica, Gaspar Monge (1746 – 1818),
não só era um grande administrador, mas também um eminente
geômetra e professor. A sua Geometria Descritiva, resultado de
preleções feitas na Escola, tornou-se um manual clássico no assunto,

295
sobretudo no capítulo de projeções ortográficas. As suas Aplicações
da análise à geometria representaram uma importante contribuição
para a geometria diferencial. Muitos manuais do século XIX
originaram-se de cursos ministrados na Escola Politécnica.
Exercícios
Exercícios
1. Quais ramos da matemática foram mais ativamente desenvolvidos
durante os meados do século XVIII?
2. Cite quatro revistas que publicavam artigos de matemática
durante o século XVIII.
3.No século XVIII muitos matemáticos conhecidos mudaram de um
país para outro. Mencione alguns deles, indicando as circunstâncias
que cercaram a mudança.
4. Descreva as mais importantes contribuições feitas por Euler às
notações matemáticas.
5. Obtenha, a maneira de Euler, a soma da série
1 1
+ 2 2
1 3
1
+ 2
5
+ ⋅⋅
⋅ +
1
2
2n
−1
⋅⋅
⋅.
( )
6. Mencione três matemáticos de renome na França que apoiaram a
Revolução e descreva suas atividades nessa direção.
296

A A MATEMÁTICA MATEMÁTICA MATEMÁTICA SE SE ESTRUTUROU
ESTRUTUROU
(Século (Século XIX)
XIX)
297
“Os filósofos limitaram-se a interpretar o mundo de diversas maneiras; o
que importa é trasformá-lo.” (Karl Marx)
No século XIX muitos são os ramos da ciência, da técnica, das
artes, etc. que reivindicam a fama de “a mais revolucionária”. A
partir do renascimento a astronomia foi o que mais influiu no
espírito dos filósofos e do cidadão comum.
Copérnico destronou a Terra de sua posição central no universo,
ao passo que Galileu e Newton provaram que os corpos celestes, não
mais divinos e incorruptíveis, também se moviam de acordo com a
dinâmica. Revolucionou-se a concepção que o homem tinha do
Cosmos.
Essa alteração, já assimilada no século XIX, não mais causava
preocupação. Os físicos baniram a filosofia de seus laboratórios e
trabalhavam à luz de um realismo apoiado no bom senso, jamais
duvidando de que suas descobertas revelassem a estrutura real do
mundo.
A revolução seguinte no pensamento científico viria da
biologia, sendo Charles Darwin (1809 – 1882) com A origem das
espécies, de 1859, a sua principal figura. A velha teoria da evolução
tornou-se digna de crédito mercê de seu conceito de seleção natural,
tendo o homem de reconhecer o seu verdadeiro lugar no reino
animal. Então as idéias evolucionistas se espalharam da biologia
para outros ramos do conhecimento.
Nas ciências sociais, filosofia, história, economia política, etc.
teria a revolução chamada Karl Marx (1818 -1883). O seu livro mais
famoso O Capital, pouco lido e muito temido, ocupou um lugar de
destaque entre os mais editados no mundo. O ponto fundamental da
doutrina econômica de Marx era que o capitalismo se baseia na
exploração do trabalho.
No plano filosófico, Marx, como um renascentista, se voltou
para a Grécia retomando as teorias de Demócrito e Epicuro,
esquecidas e deturpadas por séculos. Apoiado nos progressos da
298
ciência, formulou a sua concepção dialética e materialista dos
fenômenos da natureza e da sociedade.
No mundo das artes brilhou Beethoven, que dizia que o objetivo
de sua música era exprimir a essência das coisas, penetrar
profundamente no âmago da vida, até extrair um raio de luz, no qual
poderiam ser vistas as maravilhas da natureza humana.
O conhecimento da eletricidade levou ao telégrafo elétrico, as
experiências de Faraday sobre o eletromagnetismo conduziram ao
dínamo e à grande indústria da engenharia elétrica, e as equações
eletromagnéticas de Maxwell, após experiência de cinqüenta anos,
deram origem à telefonia sem fio, ao radar e à transmissão pelo
rádio.
Esses fatos mencionados acima são apenas alguns exemplos que
poderiam ser multiplicados quase indefinidamente. O século XIX
marcou o início da era verdadeiramente científica.
E na matemática, houve alguma revolução?
Na matemática prevaleceu o espírito do século; foram várias
revoluções na geometria, álgebra e análise.
A revolução francesa e o período napoleônico criaram
condições favoráveis para o desenvolvimento continuado da
matemática e demais ciências. O caminho estava aberto para a
revolução industrial no continente europeu e isso criou novas classes
sociais com uma nova visão da vida, interessadas na ciência e na
educação técnica.
As idéias democráticas invadiram a vida acadêmica; o
criticismo ergueu-se contra as formas antiquadas de pensamento; as
escolas e as universidades tiveram de ser reformadas e
rejuvenescidas.
A matemática progrediu com mais fulgor na França e um pouco
mais tarde na Alemanha, países nos quais o corte ideológico com o
passado foi sentido mais profundamente e onde foram feitas
transformações mais radicais, ou tiveram de ser feitas, para preparar
terreno para a nova estrutura econômica e política capitalista. A
nova pesquisa matemática emancipou-se gradualmente da antiga
tendência de ver na mecânica e na astronomia a meta final das
ciências exatas.

299
Multiplicaram-se os especialistas interessados na matemática
pela matemática. A ligação com a prática nunca se quebrou
inteiramente, mas tornou-se muitas vezes obscura. Uma divisão
mais acentuada que no passado, entre matemáticos “puros” e
“aplicados”, acompanhou o crescimento da especialização.
Os matemáticos do século XIX não se encontravam mais nas
cortes reais ou nos salões da aristocracia como no século anterior. A
sua principal ocupação não consistia mais em ser membro de uma
academia culta; eram freqüentemente empregados por universidades
ou escolas técnicas e eram professores, assim como pesquisadores.
Lagrange, Bernoulli e Laplace tinham ensinado apenas
ocasionalmente; quanto a Euler houve apenas uma ocorrência, a de
ter ensinado uma jovem princesa quando morou em Berlim. Porém,
agora, aumentava a responsabilidade de ensinar e os matemáticos
tornaram-se educadores ou, então, examinadores da juventude.
O latim científico foi gradualmente substituído pelas línguas
nacionais e, os matemáticos passaram a ser rotulados segundo sua
especialização. Leibniz, Euler e d’Alembert foram descritos como
matemáticos (ou géomètres), Cauchy por sua vez seria um analista,
Cayley um algebrista e Cantor um pioneiro da teoria dos conjuntos.
A época se mostrava favorável aos físicos matemáticos e
também aos estudiosos de estatística matemática ou lógica
matemática. A especialização seria somente quebrada por grandes
gênios; e foi dos trabalhos de um Gauss, de um Riemann, de um
Klein ou de um Poincaré que a matemática do século XIX recebeu o
seu maior impulso.
GAUSS GAUSS (1777 – 1855)
Na linha divisória entre a matemática dos
séculos XVIII e XIX dominou a figura
majestosa de Carl Friedrich Gauss – o plebeu
que se tornou príncipe através da matemática.
Gauss teve uma existência mais ou menos
solitária como diretor do observatório
astronômico de Göttingen, enriqueceu a
matemática de muitas maneiras e de certa
forma estabeleceu o ritmo da expansão dessa
300
ciência. Suas mais profundas descobertas foram realizadas durante a
juventude. Com 18 anos descobriu o método dos mínimos
quadrados, com 19 a possibilidade de construir um polígono regular
de 17 lados, com régua e compasso e, com 20, alcançou resultados
de fundamental importância sobre as funções elípticas, assim como,
a primeira prova do teorema fundamental da álgebra (ou teorema de
Girard).
Pouco tempo depois publicou a sua obra clássica sobre a teoria
dos números, Disquisitiones arithmeticae (Pesquisas aritméticas),
contribuindo para que essa teoria, como ele mesmo dizia,
continuasse sendo a rainha da matemática que, por sua vez, era a
rainha das ciências.
Gauss atuou em muitas outras áreas; em astronomia, por
exemplo, calculou as órbitas dos planetóides, tendo publicado os
resultados em 1809. Trabalhou com geometria diferencial, dando
grande avanço nessa disciplina introduzida por Euler. Usou funções
complexas em resultados famosos como na demonstração do
teorema fundamental da álgebra e na construção do polígono de 17
lados. Contribuiu, ainda, na termodinâmica, em geometrias não
euclidianas e foi, com Weber, um dos inventores do telégrafo em
1833.
Probabilidades: Probabilidades: a a curva curva de de de er erro er ro
Os matemáticos do século XVIII haviam mostrado grande
interesse pela teoria das probabilidades. Foi, porém, George-Louis
Leclerc (1707 – 1783), conde de Buffon, um naturalista famoso, que
em 1777 introduziu o primeiro exemplo de uma probabilidade
geométrica, conhecida como “o problema da agulha”: tome-se uma
agulha de comprimento 2L e, de pequena altura, deixe-se cair numa
mesa onde se tenham traçado linhas paralelas separadas uma das
outras por uma distância D, maior que 2L. Desse modo, ao cair, a
agulha poderá ou não cruzar uma dessas linhas. Suponhamos que a
experiência seja feita N vezes e que a agulha cruze C vezes uma
dessas linhas. Então π poderá ser computado dentro de certos
NL
limites prováveis de erro, mediante a fórmula: π
= 4 .
CD

301
O tratamento matemático dado por Laplace às probabilidades
não só deu precisão às conclusões de astronomia, mas encontrou
aplicação semelhante em muitos campos. Sua Teoria Analítica das
Probabilidades marcou época do assunto.
Diz ele no preâmbulo: as questões mais importantes da vida
giram quase sempre em torno de problemas de probabilidade. A
rigor, podemos mesmo dizer que quase toda a nossa ciência é
problemática; e entre o pequeno número de coisas que podemos
conhecer com certeza, mesmo nas próprias ciências matemáticas, a
indução e a analogia, os principais meios de descobrir a verdade,
baseiam-se em probabilidades, de modo que todo o sistema dos
conhecimentos humanos está relacionado com essa teoria. É
notável que uma ciência que começou pela consideração dos jogos
de azar, se tenha tornado o mais importante objeto de conhecimento
humano. No fundo, a teoria das probabilidades nada mais é do que
o senso comum reduzido ao cálculo; ela nos permite avaliar com
exatidão aquilo que os espíritos argutos sentem por uma espécie de
instinto que eles próprios são amiúde incapazes de explicar.
Da teoria das probabilidades, Gauss deduziu a chamada lei dos
erros, representada por uma curva de distribuição normal e
posteriormente aplicada
à representação gráfica
de grande número de
fenômenos não só de
física e biologia, mas
também de sociologia e
higiene.
Curva de Gauss
Por mais que a ação dos indivíduos moleculares ou humanos
possa parecer inteiramente arbitrária, esse método estatístico
fundamental permite prever o comportamento médio de uma
população.
Trabalhos inaugurais foram realizados neste campo pelo
astrônomo belga Adolphe Quetelet (1796 – 1874). Profundamente
influenciado por Laplace, publicou em 1828, as suas Instructions
populaires sur le calcul des probabilitès, uma das primeiras obras
de divulgação do assunto. Sua obra principal, sobre O homem e o
desenvolvimento de suas faculdades, ou Ensaio de física social, de
302
1835, um dos livros mais importantes do século XIX, foi a primeira
tentativa de aplicar a análise matemática ao estudo do homem, e não
só do seu corpo, mas do seu comportamento e da sua moralidade.
Quetelet mostrou que o método estatístico constitui o único
ponto de vista científico sobre a sociologia e pode ser considerado
como o fundador desse ramo da ciência. Além de outras obras
escreveu também sobre a história da ciência na Bélgica.
Depois de Quetelet o método estatístico, deixando de limitar-se
à astronomia e à sociologia, revelou-se o melhor instrumento para
abordar numerosos problemas de biologia, química e física.
Geometrias Geometrias não não euclidianas
euclidianas
A exemplo dos três problemas clássicos de construção, foi
resolvido também no século XIX o intrincado “problema das
paralelas”.
A questão de saber se o postulado das paralelas de Euclides era
independente ou poderia ser derivado dos outros, tinha confundido
os matemáticos por 2000 anos. Ptolomeu tentara encontrar uma
resposta na antiguidade, Omar Kayyan e Nasir Eddin na Idade
Média e Lambert e Legendre, no século XVIII. Todos esses homens
tinham tentado provar o postulado e haviam falhado, embora
tivessem encontrado alguns resultados interessantes no decurso das
suas investigações.
Gauss foi o primeiro a acreditar na independência do postulado
das paralelas, o que implicava que outras geometrias, baseadas numa
outra escolha de axiomas, fossem logicamente possíveis. Gauss
nunca publicou os seus pensamentos sobre esse assunto.
Os primeiros a desafiarem abertamente a autoridade de dois
milênios e a construírem uma geometria não euclidiana foram um
russo, Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793 – 1856) e um húngaro,
János Bolyai (1802 -1860).
Lobachevski, professor da universidade de Kazan, foi o
primeiro a publicar suas idéias. O seu primeiro livro apareceu em
1829 e foi escrito em russo. Poucas pessoas tiveram conhecimento
dele e mesmo uma edição alemã, posterior, recebeu pouca atenção,
embora Gauss tivesse mostrado algum interesse.

303
Bolyai era filho de um professor de matemática de uma cidade
de província da Hungria. Esse professor, Farkas Bolyai, estudou em
Göttingen ao mesmo tempo que Gauss e ambos mantiveram uma
correspondência ocasional. Farkas passou muito tempo tentando
provar o quinto postulado de Euclides, mas não chegou a qualquer
conclusão. O seu filho herdou essa paixão e, ao perceber a
impossibilidade propôs um novo tipo de geometria, publicada quase
na mesma época de Lobachevski.
As teorias de Gauss, de Bolyai e de Lobachevski eram
semelhantes em princípios, embora os seus artigos fossem muito
diferentes. É notável como as novas idéias surgiram
independentemente em Göttingen, Budapeste e Kazan, e no mesmo
período.
Os princípios dessa nova geometria eram estranhos e bem
diversos dos euclidianos. Era possível traçar mais de uma paralela a
uma reta dada por um ponto que esteja fora dessa; a soma dos
ângulos internos de um triângulo era sempre menor que dois retos e
a diferença, em relação a dois retos, era determinada em proporção à
área do triângulo. Além disso, a razão entre o comprimento de uma
circunferência e o seu diâmetro seria sempre maior do que π .
Estranhos princípios, mas perfeitamente coerentes; nenhum deles
contradiz os demais.
A geometria não euclidiana – o nome é devido a Gauss –
permaneceu durante várias décadas como um campo obscuro da
matemática. A maior parte dos matemáticos ignorou-a, a filosofia
kantiana, predominante, recusava tomá-la a sério.
O primeiro grande cientista a compreender plenamente a sua
importância foi Riemann, cuja teoria geral das variedades de 1854,
legitimava de maneira clara não só os tipos existentes de geometrias
não euclidianas, como também outras, chamadas depois de
riemannianas. Porém, a aceitação total dessas teorias só chegou
quando a geração posterior a Riemann começou a entender o seu
significado depois de 1870.
304
RIEMANN RIEMANN (1826 – 1866)
George Friedrich Bernhard Riemann, filho de
um pastor luterano, foi educado em condições
modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamente
frágil. Teve boa instrução em Berlim e depois
em Göttingen onde obteve seu doutoramento
com uma tese sobre teoria das funções de
variáveis complexas, em que aparecem as
equações denominadas de Cauchy-Riemann,
embora essas já fossem conhecidas por Euler e
D'Alembert. Nesse trabalho já estabeleceu o
conceito de superfície de Riemann que desempenharia papel
fundamental em análise.
Nomeado professor na Universidade de Göttingen em 1854,
apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou numa
célebre conferência. Nele estava uma ampla e profunda visão da
geometria e seus fundamentos que até então permanecia
marginalizada.
Ao contrário de Euclides e em sentido mais amplo do que
Lobachevsky, observou que seria necessário tratar-se de pontos, ou
retas, ou do espaço não no sentido comumk, mas como uma coleção
de n-uplas que são combinadas segundo certas regras, uma das quais
era a de achar distância entre dois pontos infinitamente próximos.
Para Riemann, o plano era a superfície de uma esfera e uma reta
era um círculo máximo sobre a esfera. De sua sugestão de estudar
espaços métricos em geral com curvatura, tornou-se possível a teoria
da relatividade, contribuindo-se assim para o desenvolvimento da
física.
Riemann provou muitos resultados importantes em teoria dos
números, relacionando-os com a análise, através de uma concepção
intuitiva e geométrica, em contraste com a aritmetização de
Weierstrass.
Um de seus brilhantes resultados foi perceber que a integral
exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy e baseado
em seus conceitos geométricos, concluiu que as funções limitadas
são sempre integráveis.

Teoria Teoria Teoria dos dos grupos
grupos
305
A álgebra até o início do século XIX era constituída apenas de
técnicas de resoluções de equações algébricas, sendo que há três
séculos não conseguia um progresso significativo. No final do
século XVIII foram vários os fracassos na tentativa de resolver a
equação geral de quinto grau, por meio de radicais.
Os trabalhos de Niels Henrik Abel (1802 - 1829) e Évariste
Galois (1811 - 1832), que revolucionaram a álgebra, colocariam um
ponto final nessas tentativas ao mostrar que uma equação algébrica
de grau maior do que 4, em que os coeficientes são reais ou
complexos, não são resolúveis por radicais.
Galois nesses estudos lançou os fundamentos iniciais da teoria
dos grupos que serviria como elemento unificador das diversas áreas
da matemática. A partir da segunda metade do século XIX a álgebra
passaria a tratar do estudo das estruturas algébricas.
Épsilons Épsilons e e Deltas
Deltas
O primeiro matemático a tratar com mais rigor as idéias do
cálculo foi d’Alembert em seu artigo Limite, publicado em 1784 na
Encyclopédie. Os próximos passos, após as críticas severas sofridas
por Newton e Leibniz devido à falta de rigor e fundamentação,
seriam realizados, principalmente, por Bolzano e Cauchy, a
princípio, e posteriormente por Weierstrass e Heine. Foi de Cauchy
o primeiro tratamento detalhado a ser baseado em uma definição
razoavelmente clara do conceito de limite.
BOLZANO (1781-1848)
Bernhard Bolzano viveu sempre em Praga,
Tchecoslováquia, e embora fosse padre, tinha
idéias contrárias às da Igreja. Suas descobertas
matemáticas foram muito pouco reconhecidas por
seus contemporâneos. Em 1817 publicou o livro
Rein Analytisches Beweis (Prova puramente
analítica), em que prova através de métodos
aritméticos o teorema do anulamento em álgebra,
306
exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de
uma curva ou função.
Bolzano, a essa época, a exemplo de outros matemáticos, já havia
percebido a necessidade de rigor no cálculo.
Mostrou que a prova geométrica intuitiva – uma curva contínua
deve em algum lugar cruzar a reta que separa seus pontos extremos
– era baseada em uma inadequada concepção de continuidade.
Entender corretamente o conceito de continuidade, disse ele, seria
compreender o significado da frase: A função f varia de acordo com
a lei da continuidade para todos os valores de x, que estão dentro
de determinados limites, se x for um valor tal que a diferença
f ( x + ω ) - f(x) possa se tornar menor do que qualquer quantidade
dada, ao se fazer ω tão pequeno quanto se queira. Em outras
palavras, f é contínua em um intervalo contanto que
lim f ( x + ω ) = f ( x ) , para cada x do intervalo.
ω→∞
Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar
propriedades importantes dos conjuntos infinitos e, apoiando-se nas
teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre 0
e 1, quanto entre 0 e 2, ou tantos em um segmento de reta de um
centímetro quanto em um segmento de reta de dois centímetros.
Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo
diferente da infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis,
estando mais próximo da matemática atual do que qualquer um de
seus contemporâneos.
Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num
intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo,
mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos
os méritos dados a Weierstrass que se ocupou em redescobrir esses
resultados, cinqüenta anos mais tarde.
Embora o tratamento de Bolzano fosse aritmético ao contrário
do geométrico de Cauchy e, embora os dois nunca tivessem se
encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e
convergência eram semelhantes. Como tinha menos influência que
Cauchy e sua linguagem era mais sofisticada, os resultados
passariam a ser conhecidos com o nome de Cauchy. Há quem diga
que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".

CAUCHY CAUCHY (1789 – 1857)
307
Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, logo
após a queda da Bastilha. Cursou a Escola
Politécnica, onde mais tarde seria um ótimo
professor. Ainda como estudante contou com o
apoio de Laplace e Lagrange que se
interessaram muito por seu trabalho. Cauchy,
que chegou a ser um dos engenheiros militares
de Napoleão era católico devoto e reacionário
convicto que defendia vigorosamente a Ordem
dos Jesuítas. Quando o rei Carlos X foi exilado,
Cauchy também deixou Paris, recebendo mais tarde o título de barão
como recompensa por sua fidelidade.
Cauchy produziu grande quantidade de livros e memórias
(artigos), a maioria dedicada à matemática pura e sempre dando
ênfase às demonstrações rigorosas. Uma de suas características
marcantes era que, obtendo um resultado novo, logo tratava de
publicá-lo, ao contrário do que fazia Gauss, que só publicava
quando tivesse atingido a perfeição.
Provavelmente, graças a esse “defeito” de Gauss, cujos padrões
pessoais do rigor eram igualmente elevados é que Cauchy foi
considerado o fundador do rigor no cálculo, que nessa época passou
a ser denominado, com mais freqüência, de análise matemática.
Não obstante, foram de Cauchy as exposições que marcaram
primeiramente o cálculo com o caráter geral que mantém
atualmente. Continuando a tradição pedagógica da École
Polytechnique de Paris, escreveu quatro grandes trabalhos – o Cours
d’analyse de 1821; Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal de
1823; Mémoire sur les intégrales definies de 1825 e Leçons sur le
calcul différentiel de 1829 – que foram os primeiros a determinar,
como um objetivo principal, o estabelecimento do rigor completo na
análise matemática.
No início de seu livro Résumé, Cauchy escreveu: Os métodos
que eu segui diferem de muitos modos daqueles que foram
explicados em outros trabalhos do mesmo tipo. Meu alvo principal
foi reconciliar o rigor com a simplicidade com que a consideração
direta de quantidades infinitamente pequenas produz. Por esta
308
razão eu acredito que é meu dever rejeitar o desenvolvimento das
funções em séries infinitas, quando a série obtida não for
convergente... no cálculo integral isso ocorre, necessariamente,
para se demonstrar a existência de integrais ou funções primitivas,
antes de tornar conhecidas suas diversas propriedades. A fim de
realizar esse objetivo, foi preciso estabelecer inicialmente a noção
de integrais entre dois valores, ou, integrais definidas.
O dispositivo que permitiu “reconciliar o rigor com
infinitesimais” foi uma definição nova dos infinitesimais que evitava
os números fixos infinitamente pequenos de matemáticos anteriores
a ele. Cauchy definiu infinitesimal (un infiniment petit) ou
quantidades infinitamente pequenas (quantite infiniment petite)
como sendo, simplesmente, uma variável cujo limite é zero, ou seja,
diz-se que uma quantidade variável pode ser infinitamente pequena
quando seu valor numérico diminui indefinidamente de tal maneira
que ela converge para o valor zero.
Cauchy, em seu Résumé proporcionou um grande avanço em
direção ao rigor. Inicialmente caracterizou um número real através
de classes de seqüências de números racionais, equivalentes entre si,
considerando equivalentes aquelas, cuja diferença tende a zero.
Dispensando a geometria e os infinitésimos ou velocidades,
Cauchy apresentou as seguintes definições:
• Limite: quando valores sucessivos atribuídos a uma variável se
aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a finalmente
diferir deste de tão pouco quanto se queira, esse ultimo chama-se o
limite de todos os outros;
• Derivada: ao definir a derivada de y = f(x) com relação a x, Cauchy
deu à variável x um incremento ∆ x = i e formou a razão
∆y
f ( x + i ) − f ( x )
=
. O limite desse quociente de diferenças
∆x
i
quando i se aproxima de zero foi definido como derivada de y com
relação a x.
• Integral: durante o século XVIII a integração tinha sido tratada
como a inversa da derivação. Cauchy definiu a integral em termos
de limites de somas, tomando o valor da função sempre na
extremidade esquerda dos subintervalos.

309
Se S ( x − x ) f ( x ) + ( x − x ) f ( x ) + ... + ( x − x ) f ( x )
n = 1 0 0 2 1 1
n n−1
n−1
então o limite S dessa
soma, quando os tamanhos
dos intervalos x i − xi−1
,
i = 1, 2 ... n, decresce
indefinidamente é a integral
da função f no intervalo
x a xn
b.
=
= até
Com a definição de número complexo por classes de
equivalência e, posteriormente com o teorema da fórmula integral
e o cálculo de resíduos, Cauchy lançou as bases da teoria das
funções de variável complexa. Introduziu várias idéias que fariam
desse ramo uma área de estudos extremamente interessante e fértil
em aplicações.
Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com
84 páginas, passando a aplicá-los nas mais diversas situações como,
por exemplo, na propagação de ondas, sendo inclusive o primeiro a
usar o termo “determinante”. Juntamente com Navier, Cauchy foi
fundador da teoria matemática da elasticidade e também auxiliou no
desenvolvimento da mecânica celeste.
Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu
para quase todas as áreas da matemática e sua grande quantidade de
obras publicadas só foi superada por Euler. Foram 789 publicações
entre livros e memórias, algumas muito longas, e é por esse motivo
que a revista Comptes Rendus adotou a norma, ainda em vigor, de
limitar a quatro páginas os seus artigos.
0
310
WEIERSTRASS WEIERSTRASS (1815 – 1897)
Durante as suas conferências, Karl Theodor
Wilhelm Weierstrass dava ênfase ao que às
vezes se chamou a “teoria estática da
variável”. Como parte de um programa de
aritmetização, não só contribuiu para uma
definição satisfatória de número real, como
também para uma definição melhorada do
conceito de limite. Em 1872, Heinrich Eduard
Heine (1821 – 1881) em seu Elemente
apresentou as principais idéias de seu mestre Weierstrass. Observou
η tal que para 0 < η < η , a
que: Se, dado qualquer ε , existir um 0
diferença f ( x0
± η ) − L é menor em valor absoluto queε ,, então L
é o limite de f(x) para x = x0
.
Nessa definição não há sugestão de entidades fluindo e gerando
magnitudes de dimensão superior, nenhum recurso a pontos ou retas
móveis, nenhum abandono de quantidades infinitamente pequenas.
Só restam os números reais, a operação de adição ( e sua inversa) e a
relação “menor que”.
A linguagem sem ambiguidades e o novo simbolismo
expulsaram do cálculo a noção de variabilidade e tornaram
desnecessário o persistente apelo a infinitesimais fixos. A “idade do
rigor” chegara verdadeiramente, substituindo os antigos artifícios
heurísticos e os antigos conceitos intuitivos por precisão lógica
crítica.
Hoje o η de Weierstrass foi substituído por outra letra grega,
δ , mas as definições de limite, continuidade e derivada de uma
função, usadas atualmente, são essencialmente as mesmas
introduzidas por Weierstrass e Heine. As chamadas provas por
épsilons e deltas são agora parte do instrumental comum dos
matemáticos.
E o que se faz para ensinar esses conceitos difíceis para alunos
iniciantes? Em geral, tenta-se uma conciliação entre o simbolismo
rigoroso de Heine e o apelo geométrico de Cauchy.
0

Números úmeros Reais
Reais
311
No século XIX ocorreu, assim, a chamada aritmetização da
análise, em que, como foi visto, os conceitos de função, limite e
continuidade foram melhor definidos. O problema da continuidade
da reta – do conjunto dos números reais – foi solucionado quase
simultaneamente, por George Cantor (1845 – 1918) e Richard
Dedekind (1831 – 1916) em trabalhos independentes, sendo que
para analisar o infinito numérico, Cantor criou a “teoria dos
conjuntos”.
Os Os problemas problemas de de Hilbert
Hilbert
Pode-se constatar também que no século XIX foram construídos
os pilares da matemática atual, ou seja, as teorias de conjunto, grupo
e função, além das geometrias não euclidianas.
Apesar desses grandes progressos, o século terminou com uma
série de problemas a serem resolvidos, sendo famoso o discurso de
Hilbert num congresso internacional de matemáticos, realizado em
Paris em 1900, no qual mencionou 23 problemas que aguardavam
solução.
David Hilbert (1862 – 1943), professor em
Göttingen, já havia recebido nessa época o
reconhecimento pelos seus trabalhos sobre
formas algébricas e pelo seu famoso livro,
denominado Grundlagen der geometrie
(Fundamentos da Geometria). Esse era, em
muitos aspectos, inspirado no trabalho
pioneiro de Moritz Pasch que estendeu aos
fundamentos da geometria o modo de
raciocínio axiomático que, ao mesmo
tempo, levou Frege ao seu trabalho sobre os
fundamentos da aritmética.
Hilbert, no seu livro, fez uma análise dos axiomas em que a
geometria euclidiana se baseava e explicou como a pesquisa
axiomática moderna seria capaz de melhorar as realizações dos
gregos antigos.
312
Nessa alocução de 1900, Hilbert tentou captar a direção da
pesquisa matemática de algumas décadas passadas e esboçar as
linhas gerais do trabalho produtivo futuro.
A seguir tem-se um resumo dos 23 projetos de investigação
pronunciados por Hilbert:
1. O problema da cardinalidade do contínuo de Cantor. Haverá
algum cardinal entre o contínuo e o enumerável? E o contínuo pode
ser considerado bem ordenado?
2. A consistência dos axiomas aritméticos. Se essa consistência
existe, então a dos axiomas geométricos poderia ser estabelecida.
3. A igualdade do volume de dois tetraedros, se a base, a área e a
altura forem iguais. Prová-lo só com a ajuda da divisão e da
combinação (portanto, sem infinitesimais).
4. O problema da linha reta como a ligação mais curta entre dois
pontos. Essa questão foi colocada, por exemplo, pela geometria de
Minkowski e por certos problemas do cálculo das variações.
5. O conceito de Lie de grupo de transformações contínuas sem
postular a diferenciabilidade das funções que definem o grupo. A
questão pode levar a equações funcionais.
6. O tratamento matemático dos axiomas da física. Dos axiomas da
geometria podemos passar aos da mecânica racional (tal como, por
exemplo, fez Boltzmann em 1897) e a campos tais como a mecânica
estatística, probabilidades, etc.
7. A irracionalidade e transcendência de certos números. São
β
exemplos os números da forma α para α ≠ 0 algébrico e β
2
algébrico irracional, tal como 2 . Esses números são algébricos ou
transcendentes?
8. Problemas na teoria dos números primos. Referimo-nos à função
zeta de Riemann e à conjectura de Goldbach, segundo a qual

313
qualquer número par é, pelo menos de uma maneira, a soma de dois
primos (Goldbach em 1742 numa carta a Euler).
9. Prova da lei mais geral de reciprocidade em corpos arbitrários de
números. Isso referia-se a alguns trabalhos mais recentes de Hilbert
sobre corpos de números relativos quadráticos.
10. Decidir se uma equação diofantina com números inteiros é
resolúvel com os tais números relativos quadráticos. Este era um
antigo problema resolvido para certas equações de grau maior que
dois e que se relacionava com o último “teorema” de Fermat.
11. A teoria das formas quadráticas com coeficientes algébricos.
Mais uma vez esse assunto se relaciona com o trabalho de Hilbert
sobre corpos de números.
12. Generalização do teorema de Kronecker sobre corpos abelianos
para um domínio de racionalidade arbitrário. Essa questão leva-nos
a um domínio em que as funções algébricas, a teoria dos números e
a álgebra abstrata se encontram.
13. A impossibilidade de resolver a equação geral de grau sete
através de funções com duas variáveis apenas. Foi um problema
sugerido pela nomografia, tal como Maurice d’Ocagne o tinha
explicado.
14. A prova do caráter finito de certos sistemas de funções inteiras
relativas. Alargando a noção de funções inteiras a relativganz, esse
problema pede a generalização dos teoremas de finitude da teoria
clássica dos invariantes, devida a Hilbert e a Gordan.
15. A fundamentação rigorosa da geometria enumerativa de Shubert.
Para isso será necessária uma firme fundamentação algébrica.
16. O problema da topologia das curvas e superfícies algébricas. A
resolução desse problema encontra-se apenas no início, embora
tenhamos alguns conhecimentos, especialmente no caso de curvas.
314
17. A representação de funções definidas através de quocientes de
somas de quadrados de funções.
18. Construção (preenchimento) do espaço por poliedros
congruentes. Esse problema relaciona-se com uma questão de teoria
dos grupos e cristalografia e com o trabalho de E. S. Fedorov e A.
Schoenfliesz.
19. As soluções dos problemas variacionais regulares são sempre
analíticas? O termo “regular” está especificamente definido. Hilbert
observou que todas as superfícies de curvatura constante positiva
têm de ser analíticas, não sendo isso válido para as superfícies de
curvatura constante negativa.
20. Os problemas de fronteiras em geral, demonstrando em
particular a existência de soluções de equações diferenciais a
derivadas parciais com valores de fronteira dados e generalizações
de problemas variacionais regulares.
21. Prova da existência de equações diferenciais lineares com grupo
de monodromia dado. Esse problema foi sugerido pela teoria das
funções fuchsianas de Poincaré.
22. Uniformização de relações analíticas através de funções
automórficas. Foi também sugerido pela prova de Hilbert que a
uniformização de qualquer relação algébrica entre duas variáveis
pode ser obtida através de funções automórficas de uma variável.
23. Extensão dos métodos do cálculo das variações. Hilbert
acrescentou esta sugestão de “propaganda”, porque achava que,
apesar das contribuições de Weierstrass, esse domínio ainda
continha muitos pontos insuficientemente investigados e que eram
potencialmente úteis para vários campos da matemática e da
mecânica (tal como o problema dos três corpos).
Hilbert terminou o seu discurso com palavras de encorajamento
e otimismo perante o crescimento praticamente exponencial da
matemática.

Exercícios
Exercícios
315
1. Descreva algumas diferenças na origem familiar, temperamento e
interesse, entre Gauss e Cauchy.
2. O papel da École Polytechnique, uma escola de engenharia,
ajudou ou prejudicou o desenvolvimento da geometria no século
XIX? Explique.
3. Dê os nomes de três matemáticos importantes da França e três da
Alemanha durante o século XIX, citando algumas de suas
contribuições principais.
4. Descreva vários aspectos em que a geometria de coordenadas no
século XIX diferia da de Fermat e Descartes.
5. Considere a proposição:” dados um ponto A e uma reta a, A∉ a ,
no plano determinado por A e a não existe mais do que uma reta que
passa por A e não corta a”. Prove que essa proposição equivale ao V
Postulado de Euclides.
6. Considere o seguinte modelo de geometria não euclidiana (devido
a Felix Klein): chamamos de plano ∑ o interior de um círculo dado.
Um ponto de ∑ é um ponto euclidiano nesse plano e uma reta de
∑ é a intersecção de uma reta euclidiana, do plano desse círculo,
com ∑ . Prove que: “dada uma reta a e um ponto P não em a, há
uma infinidade de retas por P, paralelas a a.”
7. Defina precisamente as expressões “número real” e “número
Irracional”. Quando e como foi pela primeira vez reconhecida a
necessidade de admitir números irracionais e quando e como surgiu
a necessidade de ter uma definição precisa? Explique.
8. Compare a definição de limite de uma função dada por
Weierstrass-Heine com a formulada antes por Cauchy, indicando as
vantagens ou desvantagens relativas.
316
9. Faça um resumo sobre a vida e a obra de Galois e Abel. Você
considera também que eles foram gênios ingênuos?
10. Faça um resumo sobre a vida e a obra de Hilbert, principalmente
sobre os 23 projetos conhecidos como “Os Problemas de Hilbert”.
Procure investigar sobre a situação atual de tais problemas indicando
aqueles que ainda persistem sem solução.

A A MATEMÁTICA MATEMÁTICA PROPICIOU PROPICIOU MARAVILHAS
MARAVILHAS
(Séculos (Séculos XX XX e e XXI)
XXI)
317
“Enquanto um ramo da ciência oferece uma abundância de problemas, ele
está vivo”. ( Hilbert )
Os “problemas de Hilbert”, pronunciados em sua famosa
conferência, estimularam profundamente boa parte da pesquisa em
matemática no século XX. Alguns problemas logo foram resolvidos:
o número 3 por Max Dehn em 1904, tendo demonstrado que a prova
nem sempre é possível; o número 17, por Emil Artin (1898 – 1962)
em 1920.
Outros só foram resolvidos em parte, tal como o número 7, por
Alexander Gelfond (1906 – 1968) em 1934. Essa situação é
compreensível, visto que esses problemas, são mais propriamente
programas. É o caso do número 16, que abriu o caminho a um
domínio inteiramente novo. A vasta utilização do cálculo das
variações, não só na matemática pura, mas também em campos tais
como a relatividade, revelou que havia boas razões para a inclusão
do problema 23.
A matemática no mesmo período em que era utilizada por
outras ciências, dando base a novas teorias (a da relatividade, por
exemplo), também era marcada pela chamada “crise dos
fundamentos”.
As três principais correntes envolvendo os princípios básicos
dessa ciência foram o logicismo, o intuicionismo e o formalismo.
Além de matemáticos, lógicos e lingüistas também se envolveram
nessas discussões.
O logicismo tinha como expoentes Bertrand Russel (1872 –
1970) e Alfred North Whitehead (1861 – 1947). Em sua obra
fundamental, o Principia Mathematica, escrita em 3 volumes entre
1910 e 1913, propuseram-se a reconstruir, sob a influência de Frege,
Cantor e Giuseppe Peano (1858 – 1932), toda a base da matemática
moderna, começando com hipóteses precisas, fundamentais e
prosseguindo com princípios de lógica estrita. O uso de um
318
simbolismo preciso não deixaria lugar para as ambigüidades da
linguagem humana.
O Principia permanecerá por muito tempo como um
monumento de trabalho árduo e excelentes intenções. Mas seus
autores conseguiram erigir uma estrutura baseada na razão pura, não
maculada pela intuição humana? Difícil responder esse tipo de
pergunta e folheando os três volumes constata-se que sua leitura não
é uma tarefa comum. Para consolo há, inclusive, uma anedota
corrente nos meios matemáticos de que apenas duas pessoas leram o
Principia do começo ao fim. Só não é certo se os próprios autores
estão incluídos nessa estimativa.
Essa tentativa de tornar a matemática uma parte da lógica não
perturbou muito o ambiente matemático, pois além de não estarem
dispostos a destruir nada do conhecimento acumulado, era um
movimento constituído, em sua maioria, por filósofos da ciência e
não de matemáticos conceituados.
O intuicionismo foi uma doutrina que teve origem entre os
próprios matemáticos. Segundo ela “só possuem existência real e
significado aqueles objetos matemáticos que podem ser construídos
a partir de certos objetos primitivos, de maneira finita”. Destacam-se
como precursores dessa tendência os matemáticos Leopold
Kronecker (1823 – 1891) e Jan Brouwer (1881 – 1966). Por volta de
1905, Emile Borel (1871 – 1956), René Baire (1874 – 1932) e Henri
Lebesgue (1875 – 1941) também se aproximaram das idéias de
Kronecker, ao criticarem o axioma da escolha e os trabalhos de
Ernst Zermelo (1871 – 1953).
Entre outras coisas os intuicionistas não aceitavam as
demonstrações indiretas de tão largo uso desde os gregos. Isso
abalou a matemática tradicional obrigando os especialistas em
fundamentos, a desenvolverem novos métodos para manter as
teorias clássicas.
O formalismo, por sua vez, tentou mostrar que a matemática
consistia num jogo de símbolos com regras definidas, ou seja,
axiomas, definições e teoremas. Seu principal expoente foi Hilbert,
sendo que, mais recentemente, na França, o grupo “Bourbaki” se
aproximou bastante de suas idéias.
Quando em 1931, Hilbert parecia ter atingindo a perfeição com
sua matemática formalista, um lógico-matemático, Kurt Gödel

319
(1906 - 1978) publicou resultados, demonstrando que tal projeto era
irrealizável. No entanto, o formalismo tornou-se a corrente
predominante nos textos matemáticos, ficando as outras correntes
com poucos adeptos.
Relatividade: Relatividade: nova nova forma forma de de de pensar pensar espaço espaço espaço e e tempo tempo
tempo
Em primeiro lugar, deve-se lembrar que a teoria da relatividade
tem um suporte matemático incrível. Entendê-la um dia talvez seja a
meta de muitos estudantes e professores e, plagiando Euclides, não
há caminho mais curto do que aquele de aprender cálculo, física,
álgebra linear e principalmente geometria diferencial.
Mas será mesmo que tudo é relativo?
A propósito, pesquisas realizadas por Ernest Rutherford (1831 –
1937) e outros levaram à conclusão de que o átomo, a unidade
básica de qualquer elemento químico e anteriormente visto como um
corpo sólido, na verdade compreendia unidades ainda bem menores.
Max Planck (1858 – 1947), Albert Einstein e outros
demonstraram que o fluxo, aparentemente contínuo, de energia do
Sol, das estrelas e de outras fontes chega em unidades discretas,
finitas, denominadas quantum de energia. Assim, a energia total
passava a ser entendida como formada por um grande número
dessas pequenas quantidades.
Na física clássica entraram em cena um grande número de
partículas transitórias e um elemento de indeterminação, fazendo
com que seus fundamentos fossem revolvidos, nas duas primeiras
décadas do século XX, pela teoria da relatividade.
Como todas as teorias revolucionárias, a relatividade teve um
ancestral venerável. Em 1632, em seu Diálogo referente aos dois
principais sistemas de mundo, Galileu escrevera a respeito do
movimento relativo, mostrando que as experiências físicas sobre
corpos em movimento, feitas a bordo de um navio em uma cabina
abaixo dos tombadilhos, não indicariam ao observador se o navio
estava parado ou navegando a velocidade constante. O argumento de
Galileu tinha a finalidade de responder a seus críticos sobre as leis
da física e da Terra em movimento, mas não importava – o princípio
estava lá.
320
Descartes também analisou a questão, e Newton declarou
que o movimento relativo de dois corpos em determinado espaço,
seria o mesmo, quer o espaço estivesse em repouso ou em
movimento uniforme em linha reta, embora, infelizmente, ele tenha
obscurecido o assunto com suas concepções de movimento absoluto
e tempo absoluto.
Em certo sentido, naturalmente, parece que existem padrões
absolutos; julga-se que alguma coisa está estacionária ou se move
apenas por observação. No entanto, não se pode fazer uma
determinação absoluta; se um corpo está parado em relação à Terra,
não o está, certamente, em relação ao Sol. E o Sol não pode ser
considerado como um corpo absolutamente fixo, pois como Willian
Herschel (1792 – 1871) provou, o Sol está se movimentando no
espaço em relação às estrelas, e essas estão todas em movimento.
Parece, portanto, não haver lugar que possamos considerar
como absolutamente em repouso, conclusão confirmada em 1889,
depois de um estudo muito cuidadoso feito por Henri Poincaré.
A análise de Poincaré teve profundas implicações porque, em
sua época, as leis da física eram todas baseadas em observações
feitas na Terra, que, por conveniência era tacitamente considerada
em repouso. Entretanto, se em nenhum lugar se estivesse em
repouso, essas leis precisariam ser reexaminadas; seriam elas válidas
em um universo onde tudo estivesse em movimento relativo?
Questões como essa foram motivo de dedicação, por muitos anos, de
físicos e matemáticos.
EINSTEIN EINSTEIN (1879 - 1955)
Albert Einstein, nascido em Ulm, na
Alemanha e com formação em física,
trabalhava como examinador no
departamento de patentes, em Berna, na
Suíça, quando publicou seu primeiro artigo
sobre relatividade. O texto apareceu em
1905 nos anais da física, sob o título Sobre
a eletrodinâmica dos corpos em
movimento, e era um modelo de clareza,
mostrando que tinha examinado a fundo o
problema e repensado a física básica nele envolvida.

321
Isso levou Einstein a rejeitar qualquer espaço estacionário
absoluto e a existência de um éter; levou-o também a formular novas
equações, a partir das quais resultados de outros estudiosos se
tornam uma conseqüência esperada; também concluiu que a
velocidade da luz era a maior existente na natureza; nada poderia
viajar mais depressa que ela.
Conhecida mais tarde como a teoria da relatividade restrita
(limitava-se a corpos em movimento relativo entre si, em
velocidades uniformes), foi reconhecida imediatamente como de
imensa importância, embora alguns físicos não a tenham aceito.
Com isso Einstein conseguiu um cargo acadêmico em Berna e,
depois, a cadeira de física em Zurique; em 1910 ele se transferiu
para a cátedra de física em Praga.
Einstein não se satisfez com sua teoria especial; começou a
tratar da situação muito mais difícil em que os corpos estão em
movimento relativo entre si, mas acelerado, isto é, nas condições
gerais encontradas no mundo natural. Além disso, ainda em 1905,
publicou outro texto nos anais da física – A inércia de um corpo
depende de seu conteúdo de energia?
2
Foi nele que propôs sua famosa equação E = mc , fórmula
que expressava a relação entre a energia (E) e a massa (m). A letra c
representava a velocidade da luz; a fórmula significa que, se
eliminarmos determinada massa, a energia emitida será enorme. A
equação da energia que está na base da geração da força nuclear e,
naturalmente, da bomba atômica; também tem importantes
implicações em astronomia.
O desenvolvimento da teoria geral da relatividade, que
incorporaria o movimento acelerado, precisou de tempo; requeria
uma matemática especial, o cálculo tensorial, e só em 1915 é que
Einstein se viu em condições de publicá-la. Quando ela apareceu,
ficou claro que ali estava outro grande passo no entendimento da
natureza. Como a teoria lidava com movimento acelerado e a
gravidade fazia os corpos caírem a uma velocidade acelerada, a
relatividade geral era também uma teoria da gravidade.
Provava que, embora a gravidade seja associada à massa do
corpo, ela acontece porque o espaço fica distorcido pela presença de
uma grande massa. Na verdade, pode-se dizer que é a distorção do
espaço que ocasiona o que se chama de gravidade.
322
A teoria de Newton estabelecia que a força de atração entre
os corpos depende da distância entre eles, mas, na relatividade geral,
essa distância é afetada pela presença da matéria. A distância não é a
simples linha reta que normalmente se imagina, mas uma curva, pois
em relatividade as equações atingem sua forma mais elegante e
certamente a mais simples, quando o espaço considerado é não
euclidiano e sim curvo, tal como sugerido no fim da década de 1850
por Riemann.
A diferença é desprezível quando se trata de distâncias
terrestres, mas é significativa para as distâncias astronômicas, como
por exemplo, quando se considera as órbitas planetárias. Na
verdade, uma das primeiras provas da validade da relatividade geral
foi o fato de ela poder determinar com grande precisão a órbita do
planeta Mercúrio, para a qual a gravitação de Newton deu um valor
demasiadamente pequeno.
A relatividade geral teve muitas outras conseqüências que
foram verificadas através dos anos e confirmadas pela observação,
por mais estranhas que algumas possam parecer. Assim verificou-se
que o tempo não é absoluto; ele parece andar mais depressa para um
observador que está olhando um corpo que viaja muito depressa em
relação a ele, observador.
Isso foi constatado no tempo de vida observado dos mésons e,
sob outras maneiras, usando-se os modernos relógios atômicos de
grande precisão. Corpos que se movem muito depressa em relação a
um observador também parecem crescer em massa, como foi
confirmado por medidas feitas em aceleradores de partículas, onde
as partículas nucleares são aceleradas até velocidades que são uma
fração apreciável da velocidade da luz. Pois aqui, como em todos os
casos esses efeitos da relatividade só são notados quando as
velocidades relativas envolvidas são realmente muito grandes.
Talvez a mais espetacular, e certamente a mais significativa, das
novidades da relatividade geral tenha sido a curvatura da luz das
estrelas. Normalmente pensa-se na luz viajando em linha reta, mas,
se o espaço é curvo, sua trajetória será uma curva – uma geodésia;
mais particularmente, se a luz passa perto de um corpo maciço como
o Sol, então o espaço será mais curvo e a luz irá viajar em um
percurso que se vai desviar ainda mais da reta.

323
Um eclipse total do Sol é uma ocasião ideal para se
observar tal efeito, já que, quando a Lua passa em frente ao Sol e o
obscurece completamente, as estrelas perto do Sol podem ser
observadas. De acordo com a relatividade geral, tais feixes de luz
estelar deviam ser defletidos pela presença do Sol. Em 1919 ocorreu
um eclipse total em que esse aspecto da teoria pôde ser comprovado.
E a teoria de Newton?
A mecânica newtoniana continuou a existir após a teoria da
relatividade porque é muito mais simples e desempenha
perfeitamente o papel que lhe cabe em um domínio limitado. A idéia
nova fixou talvez definitivamente, as fronteiras desse domínio.
Uma das lições a ser aprendida com a história das realizações
científicas é que nenhuma teoria sobrevive para sempre e que,
muitas vezes, quando parecem solidificadas, novas observações e
novas idéias a substituem por conceitos atualizados. Mas isso é parte
da aventura que é a Ciência, parte da lenta conquista do enigma que
é o mundo natural.
O O computador computador mudou mudou tudo
tudo
A grande era dos computadores eletrônicos só começou depois
da segunda guerra mundial; no entanto, os computadores tiveram a
sua interessante pré-história, que remonta a Wilhelm Schickard,
amigo de Kepler, Pascal e Leibniz.
Em 1808, o tecelão Joseph-marie Jacquard, inventou um
método para programar um tear mecânico com cartões perfurados.
Essa idéia foi desenvolvida por Charles Babbage (1792 – 1871)
através da sua máquina analítica em 1833. Babbage foi ajudado por
Lady Ann Lovelace, filha de Byron.
Essa máquina, que não chegou a ser concluída, continha muitas
idéias básicas usadas em qualquer computador automático: podia
acumular, fazer cálculos, dar à manivela e controlar. Mas, visto que
as operações tinham de ser totalmente mecânicas, somente a
eletrônica atual as pôde tornar práticas.
Entre 1884 e 1890, Herman Hollerith, um estatístico norte
americano que colaborou no recenseamento de 1890, desenvolveu
um sistema de mecanismos que operavam sobre cartões perfurados,
um para cada pessoa; cada posição dos furos representava uma
324
condição – profissão, idade, etc. Em 1934, Konrad Zuse, da
Alemanha, melhorou esse sistema, estudando as idéias de Leibniz
sobre o uso do sistema binário.
De forma independente, Vannevar Bush, no MIT
(Massachusetts Institute of Technology), em colaboração com
Norbert Wiener, construiu em 1939, um computador analógico para
calcular certas integrais e para resolver alguns tipos de equações
diferenciais.
Em 1936, em Princeton, Alan M. Turing (1913 – 1954), um
jovem inglês, definiu a máquina de Turing, um modelo abstrato de
uma máquina lógica possível, construída mentalmente para resolver
questões tais como o problema da decisão de Hilbert. Mais tarde,
depois de 1945, em Manchester, na Inglaterra, Turing desenvolveu
as idéias para construir computadores práticos. Claude E. Shannon,
então no MIT, deu mais alguns passos em projetos em lógica a
propósito da sua teoria da informação.
A nova fase dos computadores operacionais começou com o
Mark I, iniciado em 1937, em Harvard, por Howard H. Aiken, com
o apoio da IBM (International Business Machines Corporation). A
grande indústria começava a interessar-se, o Mark I tinha todos os
benefícios, financeiros e da tecnologia, mas, embora tivesse
dispositivos magnéticos, ainda era essencialmente mecânico. Os
aperfeiçoamentos surgiram rapidamente; o Mark I (1945-47)
realizava todas as operações aritméticas e de transferência através de
relais eletromagnéticos.
O primeiro computador eletrônico, o ENIAC, foi concluído na
universidade de Pensilvânia, em Filadélfia, em 1946. Tudo isso era
ainda trabalho de universidade, mas pouco tempo depois os
computadores já foram utilizados com objetivos comerciais: a era
dos computadores tinha começado.
Ensino Ensino e e pesquisa pesquisa em em matemática
matemática
O computador entrou na vida das pessoas sem pedir licença e é
difícil encontrar um setor que não esteja informatizado por questão
de comodidade ou pela concorrência. As escolas foram equipadas
com micros e ficou cada vez mais comum a pesquisa, a apresentação
de trabalhos e até aulas completas com a utilização da multimídia.

325
A matemática que propiciou a grande revolução digital
também mudou e deverá usufruir das facilidades conseguidas por
todas as áreas. O ensino da matemática ganhou recursos que poderão
facilitar bastante a vida do professor e dos alunos, principalmente.
Resultados positivos se encontram a todo momento em todas os
ramos do conhecimento.
Com bilhões de bits de informação sendo processados cada
segundo por computadores, e com mais de 200.000 teoremas de
matemática do tipo tradicional e artesanal sendo demonstrados a
cada ano, está claro que o mundo se encontra em uma idade do ouro
da produção matemática.
Essa produção que é grande tem crescido de forma exponencial
mas, apesar dos progressos, há muitos problemas em aberto,
inclusive da lista de Hilbert.
Sempre que se procura a solução de um problema, surgem
problemas novos e até novas áreas de pesquisa. A solução
normalmente, é resultado cumulativo de muitos pesquisadores e,
como regra geral, encontram-na mais de uma pessoa ao mesmo
tempo, trabalhando de forma independente.
Como foi mencionado no início deste texto a história da
matemática poderá ser um guia importante para docentes ou
pesquisadores da matemática e até de algumas áreas afins.
Exercícios
Exercícios
1. Descreva as idéias das três principais escolas de pensamento do
século dezenove e início do século XX, quanto aos fundamentos da
matemática, mencionando uma ou duas figuras importantes de cada
uma.
2. Os matemáticos gregos antigos seriam classificados como
formalistas, intuicionistas ou logicistas? Explique.
3. Quais dos números seguintes, são ao que se sabe, transcendentes:
e π e π
π , e , e , π , ( e
2 ) , π
3
, ( 3 π i
2 ) , ln1,
tg , i , log3. Explique.
3
326
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SOBRE O AUTOR
Hermes Antonio Pedroso nasceu em
Aramina, São Paulo, em 26 de fevereiro
de 1953. Licenciou-se em Matemática
pela Faculdade de Filosofia Ciências e
Letras de Araraquara em 1975. Concluiu
o mestrado em Matemática, em Teoria
das Singularidades, no Instituto de
Ciências Matemáticas de São Carlos –
USP, em 1980. É professor junto ao Departamento de Matemática
da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho –
UNESP, Campus de São José do Rio Preto, desde 1978. Sua área de
atuação em pesquisa, atualmente, é História da Matemática.