História da Matemática - Unesp

Teoria Teoria dos dos Números
Números
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O desenvolvimento da matemática mesopotâmia teve o seu
apogeu por volta de 1800 a.C. Ao contrário de outros povos, deramse
ao luxo de formular problemas matemáticos de características
eminentemente especulativas. Na placa de argila 322 da Coleção
Plimpton da Universidade de Columbia, Nova York, estudada por
Neugebauer em 1945, temos uma tabela com 15 linhas por 4
colunas, sendo que 3 delas, após um ajuste nos cálculos, estão
relacionadas entre si como as conhecidas ternas pitagóricas. Na
linha 4, por exemplo, encontramos a = 3,31,49; b = 3,45,0 e
c = 5,9,1 que satisfazem a relação a² + b² = c², em que a, b, c são
lados de um triângulo retângulo. Assim, aproximadamente, mil anos
antes de Pitágoras nascer, já era conhecido entre os rios Tigre e
Eufrates o famoso teorema atribuído ao sábio grego.
Outro documento, provavelmente do tempo dos Caldeus,
apresenta identidades interessantes: 1 + 2 + 2² +...+ 2 9 = 2 10 – 1 e
1 20
1² + 2² + ... + 10² = = ( + )( 1+
2 + ... + 10 ) .
3 3
Geometria
Geometria
A geometria mesopotâmia, como a dos egípcios, é
extremamente pobre quando comparada a dos gregos. Não havia
definições e teoremas; era essencialmente uma álgebra aplicada e
figuras. Limitava-se ao cálculo da diagonal do quadrado, altura do
triângulo eqüilátero, áreas de triângulos, retângulos e trapézios, bem
como aproximação da área do círculo, que conheciam como sendo o
quadrado do comprimento da circunferência dividido por 12.
Conheciam, portanto, o valor de π como sendo 3.
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Na placa Plimpton 355 destacam-se números que muito se
aproximam da tangente e secante de alguns ângulos, embora, sabese
hoje, não conhecessem a trigonometria. Analisando a Plimpton
470, destaca-se o cálculo aproximado do volume do tronco de cone,
cilindro e pirâmide, quando esses resultados eram aplicados às suas
construções, bem como ao comércio de ouro e prata. Curioso é que
não sabiam calcular o volume da esfera, ou melhor, as aproximações
que fizeram foram extremamente grosseiras.
Exercícios Exercícios
Exercícios
1. Quais são as mais importantes contribuições da Mesopotâmia ao
desenvolvimento da matemática? Explique porque as considera
importantes.
2. Quais são as deficiências da matemática mesopotâmia? Explique.
3. Descreva as vantagens e desvantagens relativas as notações dos
mesopotâmios para os números,
4. Escreva os números 10000 e 0,0862 em notação mesopotâmia.
5. Use o algoritmo mesopotâmio para raiz quadrada para encontrar a
raiz quadrada de 2, com seis casas decimais e compare com o valor
mesopotâmio 1;24,51,10.
6. Mostre que a representação sexagesimal de 1/7 tem periodicidade
de três casas. Quantas casas há na periodicidade em representação
decimal?