História da Matemática - Unesp

A C
Eudoxo postulou que: = sempre que, dados m e n
B D
inteiros positivos quaisquer, mA > nB ⇒ mC > nD ;
mA = nB ⇒ mC = nD ; mA < nB ⇒ mC < nD .
Método de Exaustão
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Axioma: Dadas duas grandezas diferentes A e B , de mesma espécie,
e que têm uma razão, isto é, nenhuma delas sendo zero, pode-se
encontrar um múltiplo de qualquer delas que seja maior que a outra,
ou seja, existem números inteiros positivos m e n tais que
nA > B ou mB > A .
Com esse axioma Eudoxo provou, por uma redução ao
absurdo, uma proposição fundamental para o cálculo de áreas e
volumes e que foi denominada de método de exaustão:
Proposição: Se de uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte não
menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos
que a metade, e se esse processo de subtração é continuado,
finalmente restará uma grandeza menor do que qualquer grandeza de
mesma espécie.
Exemplo:
Na figura, pretende-se encontrar a área do
círculo por exaustão. Nota-se que a área
do quadrado é maior que a metade da área
do círculo. Os quatro triângulos têm área
maior do que a metade do que tinha
sobrado. Continuando o processo, a área
que ainda restar será menor do que uma
grandeza de mesma espécie, fixada
arbitrariamente. Assim a área do círculo será encontrada somando-se
o quadrado, com os quatro triângulos, etc.
Essa proposição, equivale à seguinte formulação atual:
Considere M uma grandeza qualquer,ε outra grandeza, prefixada de
1
mesma espécie, e r uma razão tal que ≤ r < 1.
Então pode-se
2
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encontrar um inteiro positivo N, tal que M( 1 − r ) < ε para todo
inteiro n > N . Assim, a propriedade de exaustão equivale a dizer
que lim M(
1 − r ) = 0.
n→∞
n
Esse método foi muito utilizado para se provar teoremas sobre
áreas e volumes de figuras curvilíneas. Com Euclides e Arquimedes
ele se torna clássico e até a introdução da integral não havia outro
método mais eficaz. Desse modo, Eudoxo pode ser considerado o
criador do Cálculo Integral.
ARISTÓTELES ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.)
Aristóteles de Estagira, com dezoito anos, chegou a Atenas, o
grande centro intelectual e artístico da Grécia do século IV a.C.,
proveniente da Macedônia. Como muitos outros jovens, foi atraído
pela intensa vida cultural da cidade que lhe acenava com
oportunidades para prosseguir seus estudos.
Não era belo e para os padrões vigentes no mundo grego,
principalmente na Atenas daquele tempo, apresentava características
que poderiam dificultar-lhe a carreira e a projeção social. Em
particular, uma certa dificuldade em pronunciar corretamente as
palavras poderia criar-lhe embaraços e mesmo complexos numa
sociedade que, além de valorizar a beleza física e enaltecer os
atletas, admirava a eloqüência e deixava-se conduzir por oradores.
O jovem ingressa na Academia de Platão, na qual a figura
principal como mestre e diretor era, naquele momento, o matemático
Eudoxo de Cnido. Somente um ano depois é que Platão retornou,
fatigado por mais uma frustrada experiência política na Sicília. Foi o
próprio Eudoxo quem lhe apresentou o novo aluno da Academia, o
jovem da Macedônia de olhos pequenos, porém reveladores de
excepcional vivacidade.
O preceptor de Alexandre
De pura raiz jônica, a família de Aristóteles fora
tradicionalmente ligada à medicina e à família real da Macedônia.
Seu pai, Nicômaco, era médico e amigo do rei Amintas II, pai de
n