História da Matemática - Unesp

Hipócrates pode não ter quadrado o círculo, mas sentiu
profundamente o problema.
HÍPIAS HÍPIAS HÍPIAS (460 – 390 a.C.)
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Hípias de Elis era um dos chamados filósofos sofistas, que
ganhavam seu sustento ensinando nas ruas e praças, o que não era
bem visto por componentes de outras escolas. Os discípulos de
Pitágoras e de Platão, por exemplo, eram proibidos de aceitar
pagamento para partilhar seus conhecimentos com seus
concidadãos. Os sofistas foram acusados, dentre outras coisas de
superficiais, mas isso não deve ocultar o fato de serem muito bem
informados em muitos assuntos e de terem contribuído para o
desenvolvimento da matemática, especialmente
Hípias, talvez preocupado em resolver os problemas clássicos,
introduziu na matemática uma curva não construtível com régua e
compasso, apenas, conhecida por trissectriz ou quadratriz.
Essa curva é traçada mecanicamente pela intersecção de duas
retas em movimento. No quadrado ABCD seja o lado AB deslocado
para baixo uniformemente a partir de sua posição presente até
coincidir com DC, e suponhamos que esse movimento leve
exatamente o mesmo tempo que o lado DA leva para girar em
sentido horário de sua posição presente até coincidir com DC. Se as
posições dos dois segmentos são dadas em um instante fixado
qualquer por A’B’ e DA” ,respectivamente, e se P é o ponto de
intersecção de A’B’ e DA”, o lugar descrito por P durante esses
movimentos será a trissectriz de Hípias – a curva APQ na figura.
A
A’
T
U
P
V
W
B
B’
R
S
Dada essa curva, faz-se a trissecção de
um ângulo com facilidade. Por exemplo,
se PDC é o ângulo a ser trissectado – ou
dividido em um número qualquer de
partes iguais – simplesmente trissectamos
os segmentos B’C e A’D, com os pontos
D Q
C R, S, T e U. Se as retas TR e US cortam a
trissectriz em V e W, respectivamente, as
retas VD e WD, pela propriedade da trissectriz dividirão o ângulo
PDC em três partes iguais.
A’’
P
V
W
A’’
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A curva de Hípias é também chamada de quadratriz, pois pode
ser usada para quadrar o círculo. Foi conjecturado que Hípias sabia
desse método de quadratura mas não conseguiu prova-lo. A
quadratura por meio da curva de Hípias foi dada mais tarde por
Dinóstrato.
Usando notações e métodos atuais podemos encontrar a
equação da curva de Hípias em coordenadas polares:
A B
A’
P
B’
D
r
θ
U Q
C
O
π/2
Considerando as equações das retas DP : y = tgθ
x e
2aθ
A'
B'
: y = t = , e que P é a intersecção dessas retas vem que
π
y
P = ( x,
y ) = ( , y ) .
tgθ
π
2aθ
Seja L : [ 0, ] → [ 0,
a]
definida por L(
θ ) = t = . Assim,
2
π
t 2aθ
2aθ
2aθ
1
P = ( , t ) = ( tgθ,
) = ( , 1)
. Logo,
tgθ
π π π tgθ
2 1
1
2 +
2
aθ
2aθ
sec θ 2aθ
secθ
2aθ
1
r = P =
=
= = .
2
π tg θ π tg θ π tgθ
π senθ
Portanto, π r senθ
= 2aθ
é a equação polar da curva de Hípias
e, desse modo, .
a
2aθ
2a
θ 2
limr
= lim senθ
= lim =
θ→0
θ→0
π π θ→0
senθ
π
SÓCRATES SÓCRATES (469 – 399 a.C.)
No ano 399 a.C., o tribunal dos heliastas, constituído por
cidadãos escolhidos por sorteio, reuniu-se com 500 ou 501
a
(π/2, a)