1 Congruęncias e aritmética modular Consideremos primeiro o ...

Mas quando não há perigo de confusão usamos um número para representar
a sua classe de congruência; é no entanto crucial que esteja sempre claro
quando é que isso acontece; por exemplo, é verdade que
7 14 ≡ 2 14 mod 5
e portanto podemos usar qualquer dos dois números para representar a
respectiva classe. No entanto o expoente 14 não representa uma classe de
congruência módulo 5; ele indica que estamos a multiplicar a classe de 2 por
si mesma 14 vezes e embora 14 ≡ 4 mod 5, não é verdade que 2 14 seja
congruente com 2 4 módulo 5.
Uma equação sobre classes de congruência módulo m chama-se também
uma equação modular. Uma solução de uma tal equação pode ser vista como
um elemento de Z /m ou como um conjunto de números inteiros.
Como já vimos no exemplo inicial, uma das aplicações principais do conceito
de congruência consiste precisamente em, dado um problema definido
no conjunto dos inteiros, passar a um problema no conjunto das classes de
congruência mod m, e deduzir da solução deste problema informações sobre
o problema original. Um outro exemplo muito simples:
Exemplo 1.6 : Será que 2349674927 é um quadrado perfeito em Z?
Pela proposição anterior, se existir x ∈ Z tal que x 2 = 2349674927 então
também será, para qualquer escolha de m,
x 2 ≡ 2349674927 mod m
Notamos no entanto que, de acordo com as tabelas acima, os quadrados
perfeitos estão nas classes de congruência 0 e 1 módulo 4, enquanto que
2349674927 = 2349674900 + 27 ≡ 3 mod 4, pelo que este número não é de
certeza um quadrado perfeito.
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