EXERCÍCIOS – MAT 2219

EXERCÍCIOS – MAT 2219
Observação: alguns exercícios foram extraídos da apostila do Prof. Lori Viali
Estatística Descritiva
1. Identifique os tipos de escalas utilizadas para cada uma das seguintes características das
unidades de observação, retiradas de uma tabela do Guia do Usuário do aplicativo
Microsoft Excel:
(1.1) mês (1.2) tipo de produto (1.3) vendedor (1.4) região do país (1.5)unidades vendidas
(1.6) total de vendas.
2. Determinar média, mediana e moda dos seguintes conjuntos:
(2.1) 1, 6, 9, 3, 2, 7, 4 e 11
(2.2) 6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 4 e 5
(2.3) 8, 4, 4, 4, 4, 6, 9, 10, 10, 15, 10, 16 e 10
(2.4) 23, 28, 35, 17, 28, 35, 18, 18, 17, 18, 18, 18, 28, 28 e 18
3. Para os conjuntos abaixo, determinar com aproximação centesimal, as seguintes
medidas:
(a) A amplitude (b) A variância (c) O desvio padrão (d) O coeficiente de variação.
(3.1) 0,04 0,18 0,45 1,29 2.35
(3.2) -7/4 -1/3 3/5 7/20 1 4/3
4. Dados os seguintes conjuntos de valores:
(a) 1 3 7 9 10 (b) 20 60 140 180 200 (c) 10 50 130 170 190.
Calculando a média e o desvio padrão do conjunto em (a), determinar, através das
propriedades, a média e o desvio padrão dos conjuntos em (b) e (c).
5. O conjunto de dados abaixo representa uma amostra de 40 elementos:
3,67 1,82 3,73 4,10 4,30 1,28 8,14 2,43 4,17 2,88
5,36 3,96 6,54 5,84 7,35 3,63 2,93 2,82 8,45 4,15
5,28 5,41 7,77 4,65 1,88 2,12 4,26 2,78 5,54 6,00
0,90 5,09 4,07 8,67 0,90 6,67 8,96 4,00 2,00 2,01
(5.1) Agrupe os dados em uma distribuição de freqüências, considerando o limite inferior
igual a zero, o superior igual a 10 e utilizando cinco classes de mesma amplitude.
(5.2) Construa o histograma de freqüências relativas.
(5.3) Obtenha média, mediana e moda
(5.4) Obtenha desvio padrão e coeficiente de variação
1

6. Um livro com 50 páginas apresentou um número de erros de impressão por página
conforme tabela:
(6.1) Qual o número médio de erros por página?
(6.2) Qual o número mediano de erros por página?
(6.3) Qual o número modal de erros por página?
(6.4) Qual o desvio padrão do número de erros por página?
7. Durante certo período de tempo o rendimento de 10 ações foram os seguintes:
2,59 2,64 2,69 2,62 2,57 2,55 2,61 2,50 2,63 2,64
(7.1) Calcule o rendimento médio.
(7.2) Calcule o rendimento mediano.
(7.3) Calcule o rendimento modal.
(7.4) Calcule o desvio padrão do rendimento.
(7.5) Calcule o coeficiente de variação do rendimento
8. O departamento de pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 120
funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados da tabela:
(8.1) Determine o salário médio dos funcionários
(8.2) Determinar a variância, desvio padrão dos salários e coeficiente de variação
(8.3) Determinar o salário mediano.
(8.4) Determinar o salário modal .
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Fundamentos da Probabilidade
(9) Placas de automóveis contêm 3 letras seguidas de 4 números. Quantas placas diferentes
podem ser formadas com esta combinação se for:
(9.1) sem números ou letras repetidas (9.2) com repetição
(10) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas obtida. Qual o
espaço amostral do experimento.
(11) Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral Ω , expresse em
termos de operações entre eventos:
(11.1) A ocorre, mas B não ocorre;
(11.2) Exatamente um dos eventos ocorre;
(11.3) Nenhum dos eventos ocorre.
(12) sejam P(A) = 0,3, P(B) = 0,8 e P(AIB ) = 0,15.
(12.1) A e B são mutuamente exclusivos? Justifique.
c
c
(12.2) Qual a P( B ) e P( A )?
(12.3) Quais os valores de P(A/B) e P(B/A)
(12.4) Determine (a) P(AUB) (b) P( A I B
c
) (c) P( I c
A B ) (d) P( I c c
A B )
(13) Uma turma é composta de 9 alunos de Economia, 14 de Administração e 21 de
Contábeis. Deseja-se eleger ao acaso uma comissão de dois alunos dessa turma. Calcule a
probabilidade de que esta comissão (desconsidere a ordenação dos membros) seja formada
por:
(13.1) Alunos só da Economia.
(13.2) Um aluno da Economia e outro de outro curso.
(13.3) Um aluno da Economia e outro da Contábeis.
(13.4) Dois alunos da Administração ou dois da Contábeis.
(14) Suponha-se que são retiradas duas bolas de uma caixa contendo 3 bolas pretas e 5
bolas vermelhas. Determine todos os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades
supondo extração:
(14.1) com reposição (14.2) sem reposição.
(15) Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um
prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das
mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:
H: o freguês é homem A: O freguês prefere salada
M: O freguês é mulher B: O freguês prefere carne
Calcular:
(15.1) P(H) (15.2) P(B/H) (15.3) P(B/M) (15.4) P(A ∩H)
(15.5) P(AUH ) (15.6) P(M/A)
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(16) Duas lâmpadas queimadas foram misturadas acidentalmente com 6 lâmpadas boas. Se
as lâmpadas forem sendo testadas uma a uma, até encontrar as duas queimadas, qual a
probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste?
(17) Três máquinas A, B e C apresentam respectivamente: 10%, 20% e 30% de defeituosos
na sua produção. As três máquinas produzem igual quantidade de peças. Retiramos uma ao
acaso da produção global e verificamos que é defeituosa. Qual a probabilidade de:
(17.1) ter sido produzida pela máquina A?
(17.2) ter sido produzida pela máquina B?
(17.3) ter sido produzida pela máquina C?
(18) Cada objeto manufaturado é examinado com probabilidade 0,55 por um fiscal e com
probabilidade 0,45 por outro fiscal. A probabilidade de passar no exame de acordo com os
fiscais é de 0,90 e de 0,98 respectivamente. Achar a probabilidade de que um objeto aceito
tenha sido examinado:
(18.1) pelo primeiro fiscal?
(18.2) pelo segundo?
Variáveis aleatórias discretas
(19) Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retira-se 3 bolas, sem
reposição, e é definida a variável aleatória X = número de bolas pretas retiradas. Determine
a fmp de X.
(20) O tempo T, em minutos, para que um operário processe certa peça é uma v.a. discreta
com massa dada na tabela abaixo.
(20.1) Calcule o tempo médio de processamento, a mediana e a moda.
(20.2) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se processa a
peça em menos de 6 minutos, ganha R$ 0,50 para cada minuto poupado. Por exemplo, se
ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia de R$ 1,00. Obtenha a fmp da v.a.
G ≡”quantia ganha por peça”
(20.3) Obtenha média, variância e desvio padrão de G
(21) Seja f(x) = 0,1x a função de probabilidade da variável aleatória com conjunto de
resultados { 1, 2, 3, 4 }.
(21.1) Faça uma tabela para a fmp
(21.2) Obtenha EX, Md e Moda
(21.3) Obtenha Var(X), DP(X) e CV
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(22) Em 8 lançamentos de uma moeda equilibrada, qual a probabilidade:
(22.1) exatamente duas caras ?
(22.2) no máximo 2 caras ?
(22.3) no mínimo 6 caras ?
(22.4) entre 3 (incluso) e 7(incluso) caras?
(23) A probabilidade de um parafuso produzido por uma empresa ser defeituoso é 0,03.
Seja X a variável: “número de parafusos defeituosos em envelopes de 500 parafusos”.
(23.1) Calcule E(X) e V(X).
(23.2) Suponha que se compre 100 destes envelopes. Quantos defeituosos devem-se
esperar?
(24) Uma distribuição binomial tem média igual a 3 e variância igual a 2. Calcule P(X = 2).
(25) Se X tiver uma distribuição de Poisson com parâmetro λ , e se P(X = 0) = 0,20,
calcular P(X > 2).
(26) As chegadas de petroleiros a uma refinaria a cada dia ocorrem segundo uma
distribuição de Poisson com parâmetro λ = 2 . As atuais instalações podem atender, no
máximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem por dia o excesso é enviado para
outro porto.
(26.1) Qual o número médio e qual o desvio padrão do número de petroleiros que chegam
por dia?
(26.2) Qual a mediana e a moda?
(26.3) Qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
(26.4) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os
navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?
Variáveis aleatórias contínuas
(27) Uma variável aleatória contínua tem a seguinte fda:
⎧0,
x < 0
⎪ 3
F ( x)
= ⎨Kx
, 0 ≤ x ≤ 1
⎪
⎩
1,
x > 1
(27.1) encontre K .
(27.2) obtenha a fdp.
(27.3) Calcular P ( X ≤ 2 / 5)
, P ( X > 1/
3)
e P ( 1/
4 < X ≤ 3/
4)
.
(27.4) Obtenha E(X), Var(X), DP(X) e CV.
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(28) Uma variável aleatória contínua tem a seguinte fdp:
⎧2Kx;
0 ≤ x ≤ 3
⎪
f ( x)
= ⎨Kx,
3 < x ≤ 5
⎪
⎩0,
c.
c.
Obtenha:
(28.1) K
(28.2) Fda.
(28.3) média, mediana e moda.
(28.4) variância, desvio padrão e coeficiente de variação .
(29) Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [10, 20]. Determine:
(29.1) E(X), Md e Moda, se houver.
(29.2) Var(X), DP(X) e CV.
(29.3) P(12,31 < X < 16,50).
(30) Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida T (em unidades de
1000 horas) que é considerado uma variável aleatória com fdp dada por:
⎧0,
t ≤ 0
f ( t)
= ⎨
⎩exp
{ − t}
,
t > 0
(30.1) Identifique o modelo
(30.2) Suponha ainda que o custo de fabricação de um item seja 2,00 u.m. e o preço de
venda seja 5,00 u.m. O fabricante garante total devolução se T < 0,8. Qual o lucro esperado
por item?
(30.3) Em (30.2), qual deverá ser t tal que [ T < t]
terá lucro esperado igual a 0,5 u.m.
(31) Uma lâmpada tem duração de acordo com a seguinte densidade de probabilidade:
⎧0,
t ≤ 0
⎪
f ( t)
= ⎨ 1 ⎧
⎪ × exp⎨−
⎩1000
⎩
1
1000
⎫
× t⎬,
t > 0
⎭
(31.1) Identifique o modelo
(31.2) Determine E(T), Md
Determine a probabilidade de que uma lâmpada dure:
(31.3) mais do que 1200 horas.
(31.4) menos do que sua duração média.
(32) Se X ~ N( µ = 10, σ = 2). Calcular:
(32.1) P(8 < X < 10) (32.2) P(8 ≤ X ≤ 12) (32.3) P(X > 13) (32.4) P(X < 8 ou X > 11)
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(33) Para uma distribuição N( µ; σ ), encontre:
(33.1) P(X < µ + 2σ
) (33.2) P(|X - µ | ≤ σ )
(33.3) O número a , tal que P( µ − a σ < X < µ + aσ
) = 0,90
(33.4) O número a , tal que P(X > a ) = 0,95
(34) O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma variável aleatória com distribuição
normal de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro do anel diferir da média,
em módulo, mais do que 0,03 cm, ele é vendido por R$ 5,00, caso contrário, é vendido por
R$ 10,00. Qual o preço médio de venda de cada anel?
Amostragem e estimação
(35) Utilize os valores da amostra tabelada abaixo, extraída aleatoriamente de uma
população com N = 2000 elementos, para estimar:
(35.1) A média da população.
(35.2) A variância, desvio padrão e CV da população.
(35.3) O percentual de elementos maiores ou iguais a 4
(35.4) O percentual de elementos menores que 6.
(36) De uma população com N = 4000 pessoas de uma região foi obtida uma amostra
aleatória, sem reposição, de 400 pessoas que revelou 60 analfabetos. Estime:
(36.1) A proporção de analfabetos da região.
(36.2) O erro padrão do estimador da proporção.
(37) Uma população tem distribuição normal de média 800 e desvio padrão 60.
(37.1) Determine a probabilidade de que uma aas de tamanho 9 apresentar média menor
que 780.
(37.2) Calcule a probabilidade de que uma aas de tamanho n = 16 tenha média entre os
valores 781,4 e 818,6.
(37.3) Que percentual de médias amostrais de uma amostra de tamanho n = 25 estarão no
intervalo [776; 824]?
(38) Um fabricante de vacinas contra gripe imuniza em 80% dos casos. Uma amostra de 25
indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a
imunização. Se o fabricante estiver correto qual é a probabilidade da proporção amostral:
(38.1) ser inferior a 0,70 (38.2) estar entre 0,65 e 0,75 (38.3) ser superior a 0,85
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Intervalos de Confiança
2
(39) De uma distribuição normal com σ = 2,
25 , obteve-se a seguinte amostra:
27,5; 25,6; 28,2; 26,1 e 25,0. Determinar intervalos de confiança para a média desta
população quando o grau de confiança for: (38.1) 95% (38.2) 99%
2
(40) Uma população de N=1000 tem variância σ = 150.
Deseja-se obter um intervalo de
confiança para a média da população com uma confiabilidade de 95% e um erro absoluto
máximo de 2. Quantos elementos desta população devem ser retirados aleatoriamente?
(41) Uma amostra preliminar de uma determinada comunidade com N=100000 habitantes
apresentou 18% de analfabetos. Com este resultado quer-se estimar a proporção de
analfabetos da população com uma confiabilidade de 95% e com um erro relativo de
estimação máximo de 2,5%. Qual o tamanho da amostra a ser utilizada?
(42) De uma população foi extraída uma aas de n = 10 que apresentou os valores:
{ 4 8 12 5 7 9 10 11 6 8}. Determine:
(42.1) Estimativas por ponto para a média e variância populacionais.
(42.2) Estimativa por intervalo para a média populacional com grau de confiança de 95%.
(42.3) Estimativa por intervalo para a variância populacional com grau de confiança de
95%.
(43) A tabela apresenta os valores de uma amostra retirada de uma população. Determine:
(43.1) Um intervalo de confiança de 95% para a média desta população.
(43.2) Um intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão desta população.
(44) Num grupo de pacientes, o nível de colesterol é uma variável aleatória. Para uma
amostra de 95 indivíduos obteve-se média de 120 mg/ml e desvio padrão de 8 mg/ml.
Obtenha intervalos de confiança para µ quando:
(44.1) grau de confiança for de 90%
(44.2) grau de confiança for de 95%
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(45) O consumo de combustível é uma variável aleatória cujo desvio padrão é conhecido e
igual a 2 km/l, porém precisamos informações sobre o consumo médio. Para tal foi
observada uma amostra de 40 automóveis.
(45.1) Se a média amostral foi de 9,3 km/l, construa um I.C. de 94% .
(45.2) Se a semi-amplitude de um I.C. é de 1,5, qual o grau de confiança utilizado?
(46) O Intervalo [35,21; 35,99] é o intervalo com confiança de 95%, construído a partir de
uma amostra de tamanho 100, para a média µ de uma população, cujo desvio padrão é
σ = 2 .
(46.1) Qual o valor encontrado para a média amostral?
(46.2) Se utilizássemos essa mesma amostra, mas com um grau de confiança de 90%, qual
seria o novo intervalo?
(47) Antes de uma eleição, um certo partido está interessado em estimar a probabilidade
θ de eleitores favoráveis ao seu candidato. Para tal, foi observada uma amostra de
tamanho 100, a qual revelou que 60% dos entrevistados eram favoráveis ao candidato.
(47.1) Construa um I.C para θ com grau de confiança de 97%.
(47.2) Após a eleição foi apurado que θ = 0,
48 . Qual o erro de estimação cometido pela
pesquisa?
Testes de Hipóteses
(48) Sabe-se que o consumo mensal per capita de determinado produto tem distribuição
normal, com desvio padrão de σ = 2 kg. A diretoria da empresa que fabrica esse produto
resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita
fosse menor do que 8 kg, caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma
pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra aleatória de 25 pessoas e verificou-se um
consumo total de 180 kg do produto.
(48.1) Construa um teste de hipótese adequado para verificar a hipótese acima a um nível
de significância de 5% e diga qual deve ser a decisão a ser adotada pela empresa?
(48.2) Se a diretoria tivesse fixado uma significância de 1%, a decisão seria a mesma?
(48.3) Se o desvio padrão populacional fosse de 4 kg, qual seria a decisão a ser tomada com
base na amostra mencionada acima?
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(49) A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada com o
tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem sido da
ordem de 60 homens/hora por ano, com desvio padrão σ = 20 homens/hora. Tentou-se um
programa de prevenção de acidentes e, após o mesmo, tomou-se uma amostra aleatória de
16 indústrias e verificou-se que o tempo médio perdido baixou para 50 homens /hora ano.
Você diria que, ao nível de 5% de significância, o programa surtiu efeito?
(50) Medidos os diâmetros de 31 eixos de um lote aleatório, produzidos pela empresa “Sofaz-redondo
S.A.”, obteve-se a distribuição abaixo:
Diâmetros (em mm) 56,5 56,6 56,7 56,8 56,9 57,0 57,1 57,2 57,3
Número de eixos 1 2 2 4 10 5 4 2 1
Ao nível de significância de 5%, há evidência de que o diâmetro médio dos eixos esteja
fora da especificação de uma média de 57 mm?
(51) Um fabricante garante que 90% das peças que fornece a um cliente estão de acordo
com as especificações exigidas. O exame de uma amostra aleatória de 200 destas peças
revelou 25 fora das especificações. Verifique se, aos níveis de 5% e 1% de significância, há
um exagero na afirmativa do fabricante.
(52) Uma fábrica de parafusos afirma que a percentagem de itens com defeitos é de 1,5%.
Foi feita uma inspeção por amostragem de 1000 peças, resultando 16 com defeito. Teste se
a percentagem de defeituosos é superior a 1,5%, com:
(a) α = 0,
10 (b) α = 0,
05 (b) α = 0,
01
(53) Diversas políticas, em relação às filiais de uma rede de supermercados, estão
associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar estes
parâmetros de duas novas filiais, através de duas amostras de 50 clientes, selecionados ao
acaso, de cada uma das novas filiais. As médias obtidas foram 62 e 71 unidades monetárias
e os desvios padrões iguais a 20 u.m.. Teste a hipótese de que o gasto médio dos clientes
não é o mesmo nas duas filiais. Utilize uma significância de 4%?
(54) Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por dois fabricantes. Esta
qualidade está sendo medida pela uniformidade com que é produzido em cada fábrica (por
exemplo uniformidade no comprimento de cigarros embalados). Tomaram-se duas
amostras, uma de cada fábrica, medindo-se o comprimento dos produtos. A qualidade da
produção das duas fábricas é a mesma a um nível de 5%?
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Estatísticas Fábrica A Fábrica B
Amostra 21 17
Média 21,15 21,12
Variância 0,0412 0,0435
(55) O departamento de psicologia fez um estudo comparativo do tempo médio de
adaptação de uma amostra de 50 homens e outra de 50 mulheres, tomados ao acaso, de um
grande complexo industrial que mostrou os seguintes resultados da tabela. É possível
afirmar, ao nível de 5% de significância, que as mulheres desta empresa levam mais tempo
para se adaptarem?
(56) Calculadoras eletrônicas utilizam dois métodos diferentes de entrada e processamento
numérico. Vamos denominar um dos métodos de “método algébrico” (MA) e o outro de
“método polonês” (MP). Para comparar qual deles é mais eficaz realizou-se um teste com
10 usuários sem experiência prévia com calculadoras, onde em dois momentos distintos
utilizaram os dois tipos. A tabela mostra o tempo em segundos que cada operador gastou
para realizar um conjunto padrão de cálculos para cada tipo de calculadora. Testar a
hipótese de que não existe diferença entre os dois métodos no que se refere ao tempo de
operação, utilizando uma significância de 5%.
(57) Num laboratório são usados dois voltímetros de marcas diferentes. Para verificar se os
voltímetros estão igualmente calibrados, mediu-se a mesma força constante dez vezes com
cada um. Teste se as médias dos voltímetros são iguais ou não.
(57.1) Qual α leva à rejeição de H 0 ?
(57.2) Qual α leva à aceitação H 0 ?
Voltím. A 117 120 114 119 115 116 121 114 120 115
Voltím. B 115 110 116 115 114 110 111 115 112 114
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Correlação e Regressão linear
(58) Suponha que uma cadeia de supermercados tenha financiado um estudo sobres gastos
com mercadorias para famílias de classe média. O estudo se limitou a famílias com renda
líquida entre 8 e 20 salários mínimos. Obteve-se a seguinte equação:
Y = -1,20 + 0,40X, onde Y = despesa mensal estimada com mercadorias e X = renda líquida
mensal.
(58.1) Interpretar a função ajustada.
(58.2) Estimar a despesa de uma família com renda mensal líquida de 15 s.m.
(59) Para cada uma das amostras faça o diagrama de dispersão e, se uma equação linear
parecer apropriada, determine os seus parâmetros e calcule o coeficiente de correlação.
(59.1)
(59.2)
(60) Os dados abaixo forma colhidos de cinco fábricas diferentes de uma determinada
indústria:
(60.1) Calcule o coeficiente de correlação e o de determinação.
(60.2) Ajuste uma função linear da forma Y = a + bX para o custo total dessa indústria.
(60.3) Qual o significado econômico das estimativas “a” e “b”?
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