Guia do livro-texto - Instituto de Matemática - UFRGS

Guia do livro
Passaremos a detalhar uma sugestão de curso que usa como texto o livro
Números Racionais, Reais e Complexos (2 a ed., revisada e ampliada,
UFRGS Editora, 2011), de Jaime Bruck Ripoll, Cydara Cavedon Ripoll
e J. Francisco Porto da Silveira.
Este curso destina-se a calouros de Licenciatura em Matemática, tem duração de
um semestre, 4 horas-aula semanais, e é baseado na seguinte súmula:
– Números racionais
– Noções básicas da reta euclidiana
– Postulado do Contínuo
– Construção dos números reais absolutos via medição de segmentos de reta
– Teorema Fundamental da Geometria Analítica
– O corpo ordenado completo dos números reais
– Introdução aos números algébricos e transcendentes
– Números complexos.
O curso é centrado numa construção dos números reais que, diferentemente das tradicionais
(cortes de Dedekind, sequências de Cauchy, etc.), parte de uma ideia bem intuitiva
e simples –capaz de ser entendida até por um aluno do Ensino Fundamental–,
qual seja: a construção de uma régua numérica que estende a régua decimal escolar,
e sua aplicação na medida dos segmentos da reta euclidiana.
Os objetivos maiores do curso, além da citada construção, são um estudo inicial
da complexidade aritmética e algébrica dos números irracionais, e o esclarecimento
& correção de vários erros & vícios que os alunos trazem sobre números da
Escola Básica.
A proposta que aqui apresentamos não cobre integralmente o conteúdo do livro–
texto. Em particular, embora a construção dos números reais abordada possibilite
uma prova rigorosa de que os reais têm uma estrutura de corpo ordenado completo,
esta prova não é apresentada no curso.
✞
☎
Sugestões: Capítulo 1 – Introdução ao pensamento matemático
✝
✆
Sendo este um curso para calouros, não podemos deixar passar a oportunidade de

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
abordar os tópicos básicos deste capítulo, tais como:
• Uma introdução ao método matemático, já tentando corrigir o vício de achar
que o simples teste de alguns –ou mesmo muitos, mas não todos– casos particulares
de uma afirmação matemática é bastante para demonstrar sua vera-
cidade.
É bem educativo ilustrar isto com três exemplos de conjecturas (pag.
16, 17 e 18) onde a primeira afinal tenha se revelado verdadeira, a segunda
afinal tenha se revelado falsa e a terceira seja ainda uma conjectura em aberto.
• Uma introdução à lógica da matemática: definição de proposição, sentença
aberta, quantificadores ∀, ∃, ∄, ∃!, implicação e equivalência entre proposições
e entre sentenças abertas para, a seguir, falar um pouco em demonstrações
matemáticas, explicando e exemplificando prova direta, por absurdo e por
contraposição.
Por outro lado, enfatizamos que:
• Neste curso (pelo menos até o Capítulo 8) são muito raros os usos do Princípio
da Indução Matemática (por exemplo, o primeiro momento é nos exercícios
96 e 97, que tratam de resultados que são evidentes para os alunos). Assim,
esta técnica de demonstração pode ser deixada para um curso de Aritmética,
mesmo que este não seja concomitante com o curso aqui proposto.
• Sugerimos que maiores detalhes sobre sentenças quantificadas e outros tipos
de demonstrações sejam apresentados na medida em que aparecerem no desenvolvimento
do conteúdo principal.
–Exercícios recomendados: 1,2,3,4.
–Aulas sugeridas para o Capítulo 1: 6 horas-aula
✞
☎
Sugestões: Capítulo 2 – Números (naturais e) Inteiros
✝
✆
Fundamental para tratar com números reais são os conceitos de erro e de estimativa
do erro. Esses conceitos já aparecem desde as séries iniciais (quando lidamos com
grandes números naturais, como a população de um país, por exemplo). Assim,
sugerimos que, numa primeira etapa, seja já feita uma rápida abordagem desse
assunto, ainda no universo numérico N. Também devem ser relembradas as ideias
de fatoração e de número primo, pois serão indispensáveis na prova da insuficiência
geométrica e algébrica dos racionais (motivação para a construção dos números
reais).
⋆ Parte I: no universo numérico N
2

Esta parte não consta no livro-texto, mas sugerimos que se comece a discutir conceitos
familiares aos alunos, relembrando-os dentro do universo numérico no qual eles
foram tratados no Ensino Básico, a saber dos naturais.
• Definição de aproximação, de erro e de estimativa do erro.
• Propriedade arquimediana em N e sua visualização na reta numérica.
• Idéia de fatoração, definição de número primo e o enunciado do Teorema Fundamental
da Aritmética em N, salientando a unicidade envolvida no enunciado.
Em N, tais ideias são precisamente as que os alunos devem trazer da Escola
Básica, ocasião em que a unicidade fica apenas intuitiva.
Salientamos que o Teorema Fundamental da Aritmética é provado em cursos de
Aritmética; aqui só será necessária a menção e discussão do seu enunciado sobre a
fatoração em primos e, principalmente, a unicidade de tal fatoração.
Teorema 0.1 (Teorema Fundamental da Aritmética em N (TFA) ) -
Todo número natural não nulo e diferente de 1 possui uma fatoração em fatores
primos. Além disso, tal fatoração é única se exigirmos que ela seja escrita com os
primos listados em ordem crescente.
Escrevendo em linguagem simbólica:
seja a um número natural não nulo e diferente de 1, então:
i). (existência) existem números naturais primos distintos p1, . . . , pn, e naturais
não nulos j1, . . . , jn tais que
ii). (unicidade) se
a = p j1
1
× · · · × pjn
n ; (1)
p1 < p2 < . . . < pn ,
então a fatoração (??) é única, no seguinte sentido: se q1, . . . , qm são números
naturais primos distintos verificando q1 < q2 < . . . < qm , e k1, . . . , km são
naturais não nulos tais que
então
a = q k1
1
× · · · × qkm
m ,
n = m, p1 = q1, . . . , pn = qn e j1 = k1, . . . , jn = kn.
–Aulas sugeridas para a Parte 1: 2 horas-aula.
3

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
⋆ Parte II: no universo numérico Z
No capítulo 2, apresentamos alguns conceitos e resultados relativos aos números
inteiros (a grande maioria sem demonstração), resultados estes que serão usados nos
próximos capítulos. Não estamos aqui preocupados com a ordem lógica (como está
escrito no livro), mas sim preocupados em facilitar a memorização de tais resultados.
Salientamos que tomamos essa liberdade (não usual e perigosa em Matemática)
porque um estudo sistemático de números inteiros é feito na disciplina de Aritmética.
Consideramos conhecidas as operações de adição, subtração e multiplicação de inteiros,
bem como suas usuais propriedades. Estas estão listadas no Teorema 2.1 e
Proposição 2.4; recomendamos que os alunos leiam e observem a terminolgia associada
a cada uma delas, pois ela facilita a comunicação.
Também estamos supondo que o aluno tenha um razoável domínio da relação de
ordem entre números inteiros, comentada na pág 67, e em particular conheça a
Proposição 2.5, que relaciona a ordem com as operações aritméticas. No Exercício
21 (pag 69) também encontramos algumas outras propriedades não tão conhecidas
de todos, e por isso este exercício, bem como o Exercício 22, são interessantes.
Cabe aqui discutir a adaptação & generalização do conceito de número primo para o
universo numérico Z e o enunciado (apenas!) do Teorema Fundamental da Aritmética
em Z.
Além dos conceitos de fatoração e número primo, outro conceito que será útil posteriormente
é a relação de divisibilidade em Z. Por isso, recomendamos cuidado na
leitura da Definição 2.12, e seus exemplos, bem como da Observação 2.15, que chama
a atenção para a definição de inteiro primo: aquele inteiro que possui exatamente
quatro divisores.
As Definições 2.19, 2.20 e 2.23 serão bem úteis, e a Convenção da pag 74 será
adotada. Também as Definições 2.25 e 2.27.
De máximo divisor comum, só usaremos a notação para números relativamente primos,
isto é: se dois números inteiros a, b são relativamente primos, denotaremos
esta propriedade escrevendo simbolicamente mdc (a, b) = 1
Sobre fatoração: Definição 2.36, Exemplo 2.37 e o grande resultado que será muito
utilizado adiante, que é o chamado Teorema Fundamental da Aritmética para os
Inteiros, Teorema 2.59. (Reiteramos que sua demonstração não será utilizada neste
curso, mas será feita com todos os detalhes na disciplina de Aritmética.)
Daí, os Exercícios 40, 41, 45, 47, 48, 52, o Corolário 2.61, bem como os Teoremas
4

2.51, 2.54 e 2.55, as Proposições 2.52, 2.53, os Corolários 2.57, 2.58 e 2.61, e o
Exercício 47 (que recomenda-se ser comentado em aula), que versam todos sobre
divisibilidade e fatoração, e que podem ser facilmente “visualizados” a partir do
Teorema Fundamental da Aritmética. (Assim, nesta ordem, talvez algumas das
sugestões para os exercícios no final do livro não sejam úteis).
O Exercício 54 tem conexão com o que foi discutido sobre o pensamento matemático
(Capítulo 1), mais especificamente sobre conjecturas.
A divisão em Z: nas páginas 79 a 81 são introduzidas as ideias de divisão exata e de
divisão inexata em Z. Na Definição 2.38 e Teorema 2.41 trata-se da divisão inexata
chamada de divisão euclidiana. Novamente salientamos que esta divisão será muito
estudada em Aritmética, de modo que, de momento, basta que o aluno aceite o
enunciado desse teorema, mas preste atenção na unicidade ali mencionada.
–Deste capítulo, são desnecessários para o curso:
Observação 2.2, Exemplo 2.3, Exercício 18, Exercício 19, a demonstração da Proposição
2.5, Exercício 20, Definição 2.16, Exemplo 2.17, Proposição 2.18, Exercício
26, Exercício 27, Exercício 28, Exercício 29, Definição 2.32, Exemplo 2.33, Exemplo
2.34, Observação 2.35, a demonstração do Teorema 2.41, Teorema 2.43, Exemplo
2.44, Exercícios 31 e 32, Teorema 2.45, Exemplo 2.46, Exercícios 33, Teorema 2.46,
Exercícios 34 e 35, Observações 2.48 e 2.49, Teorema 2.50, Exercícios 36, 37, 38, 39,
42, 43, 44,46, 49, 50, 51, 53,
–Exercícios recomendados: 17, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 41, 45, 47, 48, 52, 54.
–Aulas sugeridas para a Parte 2: 4 horas-aula
✞
☎
Sugestões: Capítulo 3 – Números racionais
✝
✆
Este capítulo trata de noções bastante familiares aos alunos: a definição de número
racional, as operações aritméticas e ordem entre racionais, bem como as propriedades
das operações e da ordem que fazem de Q um corpo ordenado.
Aproveita-se a oportunidade para se chamar a atenção do aluno para vários pontos
delicados que ocasionam alguns vícios e receitas decoradas sem que tenham a menor
ideia de sua justificativa:
• a diferença entre fração e número racional;
• a definição de frações equivalentes e o significado da igualdade a
b
• (a explicação d)o critério para duas frações serem equivalentes;
5
= c
d ;

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
• a diferença entre número e representação de número;
• o significado da igualdade
a
Q = | a, b ∈ Z, b > 0 ,
b
bem como a comprovação de que Z ⊂ Q;
• a definição de fração irredutível e sua relação com números racionais: Lema
3.13, Teorema 3.14 com suas demonstrações e (importante para nós no curso!)
a convenção feita na pág 109;
• as justificativas para as regras de adição, subtração, multiplicação e divisão de
frações, a boa definição das operações com racionais e a comprovação de que
elas estendem as operações com inteiros;
• as propriedades das operações (elencadas nos Teorema 3.26, Proposição 3.28
e Exercício 73, cujas argumentações recaem muitas vezes nas propriedades
dos números inteiros vistas no Capítulo 2); especial atenção para a primeira
propriedade diferenciadora entre Z e Q, a saber, a existência de inversos multiplicativos;
• a relação de ordem entre números racionais e a sua boa definição (Teorema
3.32);
• a relação (ou compatibilidade) entre a ordem e as operações aritméticas (Teorema
3.33, Proposição 3.34 e Exercícios 77 e 78).
Entre as novidades para os alunos calouros, ressaltamos
• a propriedade arquimediana (generalizando a propriedade arquimediana dos
naturais) e a busca pelo múltiplo “mais econômico” (Teoremas 3.35 e Proposição
3.38) (essa busca será muito útil no processo de medição que abordaremos
adiante);
• a segunda propriedade que muito diferencia Q de Z: entre dois racionais distintos
sempre existem infinitos racionais.
–Deste capítulo, são desnecessários para o curso:
Obs 3.5 e Proposição 3.6;
a prova do Teorema 3.10;
o texto com letras pequenas na pág 121;
a definição de densidade (Def. 3.40, Exemplo 3.41, bem como os Exercício 83, 84,
85, 86, 88, 89).
–Exercícios recomendados: 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 73
(a ser feito em aula), 74, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 87.
–Aulas sugeridas para o Capítulo 3: 6 horas-aula.
6

✞
☎
Sugestões: Capítulo 4 – Números Racionais: sua expansão decimal
✝
✆
Neste capítulo, bem como em todo o resto do curso, ainda se mantém a convenção
estabelecida na pág 109. A definição de fração ordinária apenas reitera esta convenção,
de modo que toda vez que aparece neste capítulo o termo “fração ordinária”
pode-se pensar apenas em fração (mediante a Convenção da pag 109)
É a expansão decimal que (apesar de defeituosa quando se trata de representar os
números racionais) vai nos permitir representar qualquer número real. Assim, nada
mais natural do que estudá-la com detalhe ainda quando o universo numérico é Q.
• Nesta linha, crucial importância tem o subconjunto das frações decimais, precisamente
representantes dos racionais que vão admitir expansão decimal finita.
Assim, sugere-se começar expansão decimal pelo estudo das mesmas (Def. 4.3)
e pela questão Será que todo número racional pode ser representado por uma
fração decimal? (Exemplo 4.4, Exercício 91, que sugerimos ser resolvido em
aula), que, depois de respondida, é seguida naturalmente pela questão Quais
são precisamente os racionais que podem ser representados por uma fração decimal?,
respondida no Teorema 4.5 e Exercício 93 (que também recomendamos
seja resolvido em aula).
• Uma importante propriedade do subconjunto D ={racionais representáveis por
frações decimais}⊂ Q é que ele sozinho, além de conter Z, tem propriedade
semelhante ao do conjunto Q, a saber, não só entre dois quaisquer elementos de
D existem infinitos elementos de D (propriedade simples de ser provada) como,
mais até: entre dois quaisquer números racionais existem infinitos elementos
de D (Exercício 95, um tanto menos simples de ser provado e cuja ideia para
resolução sugerimos seja discutida em aula). Recomendamos salientar-se a
visualização, a partir desta propriedade, do conjunto D na reta numérica,
acompanhada da questão natural (mas de resposta evidente, a partir do que
já foi discutido até aqui): será que, ao etiquetarmos pontos da reta numérica
com todos os números racionais representáveis por frações decimais, vai sobrar
algum ponto da mesma que não foi etiquetado?
•
É útil começar a discussão pela expansão decimal de um número natural (revisando
as ideias que os alunos trazem do Ensino Fundamental) e pela Convenção
feita na página 140 para este capítulo. Os Exercícios 96 e 97 são de enunciados
necessários para as últimas seções do Capítulo, e evidentes para os alunos, mas
sua demonstração faz uso de indução, por isso recomendamos que não sejam
propostos para os alunos e a menção a eles pode ser deixada para a ocasião
em que eles se mostram neessários (Seção 4.5) .
• A definição de expansão decimal de um inteiro negativo (pag 141) nos permite
7

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
restringir a discussão a racionais positivos, e a Proposição 4.7 nos permite
restringí-la ainda a racionais (positivos e) menores do que 1.
• A ideia inicial a ser perseguida para definir a expansão decimal de um número
racional positivo e menor do que 1 está explicitada na pag 143.
A partir deste ponto, sugerimos, por questões de tempo, que seja alterada a
ordem que está no livro, abordando o conteúdo da seguinte forma:
• Com esta ideia em mente, sem saber-se se um tal processo será ou não finito,
sugerimos que se comece a discutir o que podemos concluir sobre um racional
para o qual tal processo é finito, concluindo que neste caso teremos em mãos a
representação decimal de um racional que, afinal, pode ser expresso por uma
fração decimal. Assim, usando a contrapositiva, já é possível deduzir que para
racionais que não podem ser expressos por fração decimal o processo de torna
bem mais complexo (infito). Por isso, é razoável dividir-se a discussão em duas
partes e começar pelo encerrarmento da mais simples:
• Os Exemplos 4.8 e 4.10 e o Teorema 4.9 (de enunciado reformulado - veja
Errata) tratam da recíproca de uma frase anterior: Se um racional (positivo
e menor do que 1) pode ser expresso por uma fração decimal, será que sua
expansão decimal é finita?, e sugerimos que sua demonstração (que não consta
no livro-texto) seja apresentada aos alunos:
Teorema 4.9 -
Toda fração decimal da forma 0 < m/10 n < 1 pode ser decomposta em uma soma
de fraçõoes decimais especiais, associadas à expansão decimal do inteiro m. Mais
precisamente, sendo uma representação de m dada por
m = an−1 × 10 n−1 + an−2 × 10 n−2 + · · · + a1 × 10 + a0 ,
onde os ai são dígitos, e onde an−1 e alguns outros ai podem ser nulos, tem-se
m an−1
=
10n 10
+ an−2
10
10
10
a1 a0
+ · · · + + .
2 n−1 n
Ou seja: a fração m/10 n é a soma de n frações decimais (algumas das quais podem
ser nulas) cujos numeradores são os dígitos usados na representação dada acima
para o numerador m. Em particular, a fração decimal m/10 n tem uma expansão
decimal finita que tem no máximo n dígitos não nulos:
Exemplos:
m/10 n = 0, an−1an−2...a1a0 .
7 0 × 10 + 7
= =
100 100
0 7
+ = 0, 07 ;
10 100
8

70 7 × 10 + 0
= =
100 100
7 0
+
10 100
Prova: Inicialmente, ressaltamos que
7
= 0, 70 , ou simplesmente = 0, 7 .
10
m
10 n < 1 ⇔ m < 10n ,
e como 10 n é o menor natural com n + 1 algarismos, temos que m tem no máximo n
algarismos; portanto, a decomposição de m no sistema decimal envolve no máximo
n parcelas:
m = an−1 × 10 n−1 + an−2 × 10 n−2 + ... + a1 × 10 + a0,
no máximo n parcelas
(com talvez an−1 e outros ai nulos). Então
m
10n = an−1 × 10n−1 + an−2 × 10n−2 + ... + a1 × 10 + a0
10n = an−1 × 10 n−1
10 n
= an−1 × 10 n−1
10 n
+ an−2 × 10 n−2
10 n
+ an−2 × 10 n−2
10 n
= an−1 an−2 a1 a0
+ + ... + +
10 102 10n−1 10n
no máximo n parcelas
+ ... + a1 × 10
10 n
+ ... + a1 × 10
10 n
a0
+
10n a0
+
10n = 0, an−1an−2...a1a0 (no máximo n casas decimais).
CQD.
• O Corolário 4.11 dá o fechamento para o caso geral de um racional que pode
ser expresso por uma fração decimal.
• Antes de abordar o caso de racionais que não podem ser expressos por uma
fração decimal, é muito oportuno apresentar-se uma outra interpretação importante
para a igualdade
r = 0, an−1an−2...a1a0
e que é consequência do seguinte resultado (que não consta no livro-texto):
9

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
Teorema 2 –
Se bj, bj+1, ..., bn−1, bn denotam n − j + 1 algarismos, então:
- na soma
b1 b2 bn−1
+ + ... +
10 102 10
não cabem mais do que b1 décimos;
- na soma
bn−1
+ ... +
102 10
não cabem mais do que b2 centésimos;
b2
- em geral, se j, n ∈ N e j ≤ n então
ou seja, na soma
bj
10
10
bj bj+1
≤ + j j
bj
10
10 n
n−1 + bn
10 n
n−1 + bn
bn−1
+ ... +
10j+1 10
j + bj+1
n−1 + bn
bn−1
+ ... +
10j+1 10
10n < bj + 1
10j ,
10 n
n−1 + bn
não cabem mais do que bj vezes a quantidade 1/10 j .
Prova: De fato, é claro que
bj
10
10
bj bj+1
≤ + j j
bn−1
+ ... +
10j+1 10
;
10n n−1 + bn
ainda, como 10 s é o menor número de s + 1 algarismos, temos:
bj+1
bn−1 bn
+ ... + +
10j+1 10n−1 10n
n−j parcelas
de modo que
bj
10
bn−1
+ ... +
10j+1 10
j + bj+1
= bj+1 × 10 n−j−1
10 n
+ ... + bn−1 × 10
10 n
+ bn
10 n
= 1
10n
bj+1 × 10 n−j−1
+ ... + bn−1 × 10 + bn
= 1
× bj+1...bn−1bn
10n
número de n−j algarismos
< 1
10n × 10n−j−1 = 1
,
10j+1 10
bn bj
+ < n−1 n
10
1
+
10j 10 j = bj + 1
10 j .

Corolário 1 –
Se 0, an−1an−2...a1a0 é a expansão decimal do racional r, então:
- em r cabem an−1 décimos e não mais do que isto;
- em r − an−1/10 cabem an−2 centésimos e não mais do que isto;
...
CQD.
- em r − an−1/10 − an−2/10 2 − ... − a1/10 n−1 cabem a0vezes a quantidade 1/10 n e
não mais do que isto.
Em particular, é única a expansão decimal de um racional que pode ser expresso por
uma fração decimal.
• A inspiração para obter uma expansão decimal no caso geral (isto é, para
racionais quasquer, incluindo aqueles que não podem ser representados por
uma fração decimal) vem do fato que acabamos de ressaltar no Corolário:
dado um racional positivo r < 1 expresso por uma fração a/b qualquer, vamos
procurar calcular o máximo de décimos que cabem em r e, uma vez constatado,
digamos, que
a1
10 ≤ r < a1 + 1 a1 1
= +
10 10 10 ;
uma vez garantido que a1 é um algarismo, já podemos garantir que a expansão
deciamal de r é da forma
r = 0, a1...,
onde as reticências significam apenas que nada concluímos sobre o resto da
expansão decimal de r, podendo inclusive ocorrer que r = a1
10 , ou seja, que
r = 0, a1.
No caso em que chegamos a constatar que r = a1
10 , podemos calcular o máximo de
centésimos que cabem na diferença r − a1
10 , determinando a2 tal que
ou equivalentemente,
a1
10
a2 a1
≤ r −
102 10 < a2 + 1
102 ,
a2 a1
+ ≤ r <
102 10
11
+ a2
10
1
+ ,
2 102

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
e, a partir do momento em que conseguimos garantir que a2 é um algarismo, já
podemos afirmar que a expansão decimal de r é da forma
r = 0, a1a2...,
onde as reticências significam apenas que nada concluímos sobre o resto da expansão
decimal de r, podendo inclusive ocorrer r = a1
10
E assim sucessivamente: à medida que concluímos que
a1
10
+ a2
10
aj a1
+ ... + ≤ r < 2 10j 10
+ a2
10 2 , ou seja, r = 0, a1a2.
a2 aj 1
+ + ... + +
102 10j 10
onde a1, a2, ..., aj são algarismos, podemos garantir que a expansão decimal de r é
da forma
r = 0, a1a2a3...aj...,
onde as últimas reticências denotam que ainda nada sabemos dizer sobre o resto da
expansão decimal de r, podendo inclusive acontecer a igualdade
r = 0, a1a2a3...aj.
E, se sabemos que não ocorre a igualdade na expressão
a1
10
+ a2
10
aj a1
+ ... + ≤ r < 2 10j 10
a2 aj 1
+ + ... + +
102 10j 10
podemos seguir procurando o máximo de vezes que a quantidade 1/10 j+1 cabe em
para continuar o processo.
a1
r −
10
a2 aj
+ + ... +
102 10j
Cabe aqui salientar aos alunos que, com esta maneira de pensar, ficam evidentes
- a unicidade da expansão decimal também para racionais que não admitem representação
na forma de fração decimal;
- a independência do representante tomado inicialmente para o racional r;
- a independência do método a ser utilizado para se determinar os algarismos que
compõem a expansão decimal do racional r (confirmada na resolução do Exemplo
4.13 que sugerimos logo abaixo).
12
j ,
j ,

• O processo de determinação dos algarismos que vão compor a expansão decimal
do racional r = a/b (positivo e menor do que 1) mencionado acima é o
método das divisões (apresentado em “Formalização do método das divisões
nas pag 152 e 153 - veja também a Errata); é importante mostrar aos alunos
a estreita relação entre este método e o algoritmo usual que aprendemos na
escola (Observação 4.19). Sugerimos abordar o Exemplo 4.13 (ou o Exemplo
4.14, 4.16, 4.17 ou 4.18) resolvendo-o de duas formas: transformando a fração
em fração decimal e trabalhando direto com a fração dada.
•
É importante que seja bem discutido o caso em que o racional não pode ser
expresso por uma fração decimal, pois é a primeira oportunidade que se tem
de discutir com o aluno um processo infinito (um processo infinito já apareceu
para os alunos quando, no Ensino Médio, determinou-se a soma dos infinitos
termos de uma PG no Ensino Médio, mas em geral, nessa ocasião, nunca lhe
é dada suficiente ênfase e significado). Ele está detalhado no Teorema 4.20 e
ilustrado no Exemplo 4.21.
• Sugerimos como parte deste detalhamento não só a demonstração da periodicidade
como também a discussão sobre:
- a definição de período e consequentemente o cuidado que se deve ter com as
calculadoras (Observação 4.22)
- o tamanho do período (demonstração do Teorema 4.20)
- a necessidade de uma notação precisa para as dízimas periódicas (pag 158 e
159)
- a questão (importante!) Será que ára qualquer período que imaginemos sempre
existirá um racional cuja expansão decimal (pelo método das divisões) tem
tal período? e sua resposta (Teorema 4.28). Este é o primeiro de muitos resultados
sobre dízimas cuja demonstração é um tanto carregada. No livro elas
são apresentadas para alguns casos particulares apenas (por exemplo , para
período de tamanho 3), para que não se tornem demasiado pesadas para o
leitor. Sugerimos que esta prática seja mantida com os alunos calouros.
• A recuperação da fração geratriz (pois não vamos aqui nos debruçar na discussão
sobre como operar com expansões decimais infinitas, uma vez que,
recuperando a fração geratriz, podemos operar com um número finito de algarismos).
São aqui importantes a Proposição 4.30, o Teorema 4.31 (veja Errata)
e o Teorema 4.33 (que pode ser demonstrado também fazendo uso das ideias
do Corolário acima, de uma forma mais curta)
• Na Seção 4.6 é salientado o que resta a ser discutido, tal como dar um singinificado
para as dízimas de período 9 (que não apareceram pelo método das
13

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
divisões) e da insuficiência aritmética dos racionais, fato que vai acabar aparecendo
no motivação para a necessidade de se aumentar o universo numérico
para sermos capazes de expressar a medida exata de qualquer segmento de
reta.
É interessante também se retomar a ideia de aproximação e erro ainda no
universo dos racionais, proporcionada pelo Corolário que foi incluído acima.
• Por falta de tempo, recomenda-se que os alunos sejam estimulados a pelo
menos tomarem conhecimento dos resultados da Seção 4.7 (Proposições 4.35,
4.36, 4.37 e Teoremas 4.38, 4.39 e 4.40).
–Deste capítulo, são desnecessários para o curso:
toda menção a fração ordinária (onde se lê fração ordinária pode-se simplesmente
ler fração, desde que levada em conta a convenção estabelecida na pág 109). Em
particular, a Def. 4.1, a Proposição 4.2 e a Convenção da pag 134;
Teorema 4.12, os quadros das páginas 146 e 147 e a Observação 4.15;
Exercícios 96, 97, 98, 99, 102, 105, 107 (i) e (ii), 110, 114, 117(este último refere-se ao
enunciado usualmente errado da regra de recuperação da fração geratriz), 119,120,
121, 122.
–Exercícios recomendados: 90, 91, 92, 93, 94, 95, 100, 101, 103, 104, 106, 107(iii),
108, 109, 112, 113, 115, 116,118.
–Número de horas-aula sugeridas para o Capítulo 4: 12 horas-aula.
✞
☎
Sugestões: Capítulo 5 – Noções básicas sobre a reta euclidiana
✝
✆
Apenas a Seção 5.5 não é de abordagem imprescindível para o que vem a seguir. O
primeiro parágrafo explica a razão de ser deste capítulo e sua indispensável abordagem.
–Número de horas-aula sugeridas para o Capítulo 5: 2 horas–aula.
✞
☎
Sugestões: Capítulo 6 – Números reais absolutos
✝
✆
A motivação para a linha que queremos seguir é a insuficiência do campo dos racionais.
Esta se manifesta sob vários aspectos: aritmético (não existe racional cujo
quadrado é 2 - veja pag. 175), algébrico (enquanto que qualquer equação polinomial
de grau 1 com coeficientes racionais admite uma solução racional, o mesmo
14

não ocorre para as equações polinomiais de grau 2, como por exemplo x 2 − 2 = 0) e
geométrico (não existe racional que expresse a medida exata da diagonal do quadrado
de lado 1 u.c.- veja pág. 196 e 197), sendo este último o que vai nos servir
como motivação para a criação de novos números e consequente ampliação do universo
numérico, passando-se a considerá-lo, num primeiro momento, como sendo o
conjunto
Q ∪ {quantidades não racionais que expressam a medida exata de algum segmento de reta}
Aqui cabe mencionar um pouco de história, traduzindo-se esta insuficiência geométrica
dos racionais para a incomensurabilidade de segmentos descoberta pelos gregos
da Antiguidade (veja pág. 199). Salientamos, no entanto, que esta menção não é
imprescindível para atingirmos nosso objetivo.
Com o objetivo de se expressar a medida exata de qualquer segmento de reta, sugerimos:
• iniciar-se com uma revisão dos princípios de medição (que são utilizados de
maneira informal pelos alunos desde as séries iniciais, portanto a novidade aqui
passa a ser sistematizá-los). A lista dos mesmos, bem como algumas de suas
conhecidas consequências se encontra nas pág. 194 e 195.
• refletir-se também sobre como fazem os alunos na Escola Básica para medir
segmentos: utilizam-se do instrumento que aqui chamaremos régua escolar: em
quê consiste a régua escolar, como a utilizamos e quais são suas insuficiências?
Cabe aqui salientar-se que, além de “finita” (o que a torna incapaz de medir
segmentos grandes), entre duas marcações quaisquer desta régua existem
apenas um número finito de marcações, o que a torna incapaz de medir (de
maneira exata) também alguns segmentos de reta pequenos:
INCLUIR AQUI UM DESENHO
Assim, para expressar a medida exata de qualquer segmento vamos necessitar de
um outro instrumento, mas que simplesmente corrige os defeitos da régua escolar:
idealizamos uma semi-reta com infinitas redes de graduação, e que chamamos de
régua decimal infinita (veja a Seção 6.3 para tal construção). As marcações desta
régua/semi-reta vamos aqui chamar de pontos graduados.
De posse deste instrumento, afirmamos que conseguimos expressar a medida exata
de qualquer segmento de reta. Para tal, a fim de medirmos um segmento AB, dividimos
o processo de medição com a régua decimal infinita em três tipos:
15

Números racionais, reais e complexos – Ripoll, Ripoll, Porto da Silveira
• o método direto (que é o mesmo utilizado na Escola Básica): se, ao fazermos o
ponto A coincidir 1 com o ponto graduado P (0) e o ponto B coincidir também
com um ponto graduado, então é possível expressarmos facilmente (por leitura
direta) a medida exata deste segmento (veja quadro na pág 207). Este método,
apesar de produzir medidas exatas, tem o inconveniente de não poder ser
aplicado a qualquer segmento de reta.
• o método aproximado: se, ao fazermos A coincidir com o ponto graduado
P (0), não acontecer de B coincidir com um ponto graduado, então conseguimos
apenas expressar uma medida aproximada para o segmento AB, mas é possível
controlar o erro de tal aproximação: por exemplo, ao escolhermos a rede de
graduação 1/10 n para expressar tal medida, determinamos, nesta rede, os dois
pontos consecutivos que cercam o ponto B, e assim é possível determinar uma
medida aproximada, tanto por falta quanto por excesso, do segmento AB, e
com um erro menor ou igual a 1/10 n (veja quadro na pág.211). Este método,
apesar de poder ser aplicado a qualquer segmento de reta, tem o inconveniente
de não produzir, em geral, medidas exatas.
• o método iterativo: este faz uso iteradas vezes (mais precisamente, infinitas
vezes) do método aproximado, baseado na seguinte idéia: quanto mais fina
considerarmos a rede de graduação, menor será o erro cometido com a medida
aproximada; assim, ao considerarmos as infinitas redes de graduação e as
infinitas medidas aproximadas por falta, estaremos gerando uma lista infinita
que expressar/representar a medida exata do segmento AB, mesmo no caso
em que, ao fazermos A coincidir com o ponto graduado P (0), não acontecer
de B coincidir com um ponto graduado (veja quadro na pág. 215):
|AB| = m, a1a2a3...
Está assim não só atingido o objetivo de se expressar a medida exata de qualquer
segmento de reta como também está sendo sugerido um significado numérico para
uma lista do tipo m, a1a2a3... . No entanto, antes de chamarmos uma tal lista de
número, precisamos nos certificar que:
i) a medida de qualquer segmento pode ser representada por uma tal lista - disto
trata o Teorema 6.17 (pág.216) ;
ii) uma tal lista nunca está associada (ou nunca está representando) as medidas
de dois segmentos distintos, (pois senão teríamos um número representando duas
quantidades diferentes) - disto trata o Teorema 6.18 (pág.217);
1 na verdade estamos aqui rigorosamente falando de translação de segmentos, conforme ilustrado
na pág. 207
16

iii) qualquer lista do tipo m, a1a2a3... (com m ∈ N e an dígito, para todo n) expressa/representa
a medida exata de algum segmento.
Agora sim qualquer lista do tipo m, a1a2a3... pode ser chamada de número (que
definimos como número real absoluto - veja Definição 6.30, pág227). No entanto
- deve ser enfatizado! - existem listas distintas representando a medida de um
mesmo segmento, e que portanto representam o mesmo número. Isto ocorre com
qualquer segmento OP com P um ponto graduado diferente de O - e só com ele:
neste caso, |OP | pode ser representado por uma lista 9−terminante ou por uma lista
0−terminante (veja Definição 6.23). O Exemplo 6.19 ilustra este fato e os Teoremas
6.25 (pag.221) e 6.28 (pag.222) tratam de sua demonstração. Com isto estamos
mostrando que
0, 999... = 1, 000... = 1
Os números reais absolutos são as medidas de segmentos de retas, medidas estas
que podem ser representadas por listas infinítas de dígitos. Qualquer lista infinita
m, a1a2a3... representa um número real absoluto, mas listas 9-terminantes representam
o mesmo real absoluto que uma lista 0-terminante.
Finalmente, cabe salientar que a lista não 9-terminante obtida pelo processo de
medição via régua decimal infinita nada mais é do que a expansão decimal do real
absoluto que ela representa, no sentido de que, se |OP | = m, a1a2a3... (com m ∈ N
e an dígito, para todo n) não é 9-terminante, então o processo de geração desta
lista contemplou precisamente o raciocínio de determinar quantas unidades cabem
em |OP |, quantas décimas partes da unidade cabem na parte restante (isto é, no
segmento P (m)P ), quantas centésimas partes da unidadecabem na parte restante
|P (m, a1)P |, etc.
–Exercícios recomendados das seis primeiras seções do Capítulo 6: 123, 124, 125, 126,
127, 128, 129, 130, 131, 134, 135, 136, 137, 138, 139i, 140, 141, 142, 143, 145, 146,
147, 148, 149,
–Número de horas-aula sugeridas para as seis primeiras seções do Capítulo 6: 8 horasaula.
✞
☎
Sugestões para os demais Capítulos: aguarde
✝
✆
17