Master-FGV-2 fase-11-11-01-Matematica-in

Raciocínio Matemático
01. a) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha
é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na
urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem
observado seu número. Qual a probabilidade de que a soma
dos números sorteados seja superior a 7 ?
b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteandose
duas bolinhas sucessivamente com reposição, e observandose
os números do 1o e do 2o sorteios, quantos resultados são
possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse reposição ?
Resolução:
a) Os casos em que a soma é superior a 7 são:
1a bola 2a bola Probabilidade
3 5
1 1 1
. =
5 5 25
4 4 ou 5
1 2 2
. =
5 5 25
5 3 ou 4 ou 5
1 3 3
. =
5 5 25
1 2 3 6
Assim, temos: + + =
25 25 25 25
A probabilidade pedida é 6
25 .
b) 1o ) Com reposição: n . n = n2 2o ) Sem reposição: n . (n – 1) = n2 – n
02. Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa
ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte
distribuição de freqüências:
FGV2 a FASE2001
Salários Freqüência
R$ 50,00 30
R$ 100,00 60
R$ 150,00 10
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas ?
b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos salários?
Resolução:
30 . 50 + 60 . 100 + 10 . 150
a) Média = ⇒ x = 90,00
30 + 60 + 10
A média é de R$ 90,00.
b) Variância = σ 2 ⇒ σ 2 n
2
∑ ( x
i
–x)
i = 1
=
n
σ2 2 2 2
30 ( 50 – 90) + 60 ( 100 – 90) + 10 ( 150 – 90)
=
= 900
100
2 σ = σ ⇒ σ = 30
Desvio padrão =
A variância é 900 e o desvio padrão é R$ 30,00
FGV
11 de Novembro / 2001
03. Um banco capta dinheiro de aplicadores, pagando a eles uma taxa
anual de juros igual a i. O prazo das aplicações é de 1 ano.
O dinheiro captado é emprestado a empresas, por 1 ano, à taxa de
20% ao ano. Sabe-se que o dinheiro captado é dado por
C = 5 000 . i unidades monetárias. Desprezando-se outros custos:
a) qual o lucro do banco, se a taxa i for igual a 5% ao ano ?
b) qual a taxa i que dá ao banco o máximo lucro ?
Resolução: Após um ano.
Montante captado: C = 5000 i (1 + i)
Montante emprestado: V = 5000 i . 1,2 = 6000 i
Lucro = V – C
Lucro = 6000 i – 5000 i (1 + i) = 1000 i – 5000 i 2
a) Se i = 5% a.a. ⇒ Lucro = 1000 . 0,05 – 5000 . (0,05) 2
Lucro = 50 – 12,5 = 37,5 unidades monetárias
b) iV = 0,1 (por simetria) ou
xV = – b
Lmáximo = 0,1
2a
Lucro máximo
para i = 10% a.a.
L
V
04. a) Esboce o gráfico da função f(x) = x2 – 3 | x | + 2.
x–1
b) Qual o domínio da função f(x) = 2
2x – 3x + 1 .
Resolução:
a) Temos que se x ≥ 0 então f(x) = x2 – 3x + 2 e
se x < 0 então f(x) = x2 + 3x + 2
–2
–1
x–1
b) f (x) = 2
2x – 3x + 1
2
e CE:
x–1
2x
2
– 3x + 1
N = x – 1 D = 2x2 – 3x + 1
1
2 1
+ + 0 – – – 0 + + x
1
– – – 0 + +
x
1
x 2 1
N – – – – – 0 + +
D + + 0 – – 0 + +
F – ∃/ + ∃/ +
y
1
0
2
x
i V
0,2
≥ 0
D = {x ∈ IR | x > 1/2 e x ≠ 1}
i
1

2
05. a) Represente os pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfa-
zem a relação | 3x – 2y | = 6
b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x, y) do
FGV2 a FASE2001
FGV NOVEMBRO / 2001 – 2 a FASE
plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as relações:
⎧⎪ x
2
+ y
2
≤ 9
⎨
⎪⎩x
+ y ≥ 3
Resolução:
a) | 3x – 2y | = 6 ⇒
⎧3x
– 2y = 6 (r)
⇒ ⎨
⎩3x
– 2y = – 6 (s)
ou
b)
⎧⎪
2 2
x + y ≤ 9
⎨
⇒ S = Ssetor – SΔ ⎪⎩x
+ y ≥ 3
2
π.3
3.3 9( ð–2)
S = – =
4 2 4
06. a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 2
b) Quais as raízes da equação xlog x = 100 x ?
Resolução:
a)
⎧x
> 2
log (x – 2) + log (x + 2) = 2 CE ⎨ ⇒ x > 2
⎩x
> –2
log [ (x – 2) . (x + 2) ] = 2 ⇒ (x – 2) (x + 2) = 100 ⇒
⇒ x2 – 4 = 100 ⇒ x2 ⎧ ⎪x
=+ 2
= 104 ⇒ ⎨
⎪⎩x
= –2
26
26 (não convém)
S = { 2 26 }
b) xlog x = 100 x CE: x > 0
log xlog x = log 100 x ⇒ log x . log x = log 100 + log x
(log x) 2 07. a)
⎧log
x = –1 ou
– log x – 2 = 0 ⇒ ⎨
⎩log
x = 2
Então, x = 1/10 ou x = 100 ∴ S = { 1/10; 100 }
No plano cartesiano, qual o gráfico dos pontos (x, y) que
satisfazem a relação x2 – y2 = 0 ?
b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de raio
3, com centro pertencente à reta x – y = 0 e tangente à reta
3x + 4y = 0 ?
Resolução:
a) x2 – y2 y s
r
3
–2 2
x
–3
y
–3
3
–3
3
x
y
= 0 ⇒
⎧y
= x (biss. quadr. ímpares) ou
⎨
⎩y
= – x (biss. quadr. pares)
O gráfico é a união
das bissetrizes dos
quadrantes pares e ímpares.
45º
x
b) Como o centro pertence à reta x – y = 0 então C (α, α).
| | = 3 ⇒ | 7α | = 15 ⇒ α = ± 15
Temos: dCr = 3 ⇒
3( α ) + 4( α)
2 2
3 + 4
S:
⎧ 2 2
⎛ 15
⎪
⎞ ⎛ 15 ⎞
⎜x– ⎟ + ⎜y– ⎟ =9
⎪⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠
⎨
⎪⎛
2 2
15 ⎞ ⎛ 15 ⎞
⎪⎜x+ ⎟ + ⎜y+ ⎟ =9
⎪⎝ ⎩
7 ⎠ ⎝ 7 ⎠
3
3x + 4y = 0 (r)
7
x – y = 0 (s)
C (α, α)
08. Um investidor aplicou R$ 5 000,00 a juros simples, à taxa de 40% a.a.
a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de 5 meses?
b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n da aplicação,
expresso em trimestres ?
Resolução:
⎧C
= 5000; t= 5 meses
a) M = C + j e j = C . i . t ⇒
⎪
⎨ 40
⎪i=
40% a.a. = % a.m.
⎩
12
j = 5000 .
40
. 5 = 833,33
12 . 100
M = 5000 + 833,33 ⇒ M = 5 833,33 ⇒ R$ 5 833,33
b) i = 40% a.a. = 40
% = 10% ao trimestre
4
M = C + j = 5000 + 5000 . 0,1 . n ⇒ M = 5000 + 500 n
Supondo que a variação do montante é uma função contínua na
variável n, então o gráfico é a semi-reta indicada. Caso o montante
somente se realize ao final de cada trimestre, o gráfico será constituído
por pontos isolados.
09. No conjunto dos números complexos:
a) Resolva a equação z 4 = 1
b) Obtenha o número z, tal que z . (1+ i) = 3 – i, onde i é a
unidade imaginária.
Resolução:
a) z 4 = 1 ⇔ z 4 – 1 = 0 ⇔ (z 2 + 1) (z 2 – 1) = 0 ⇔
∴
⎧ 2
⎪z
= 1 ⇒ z = 1 ou z = –1
⎨
∴ S = { 1, –1, i, –i }
⎪
2
⎩z
= –1 ⇒ z = i ou z = –i
b) z . (1 + i) = 3 – i ⇒ z = 3–i
1+ i
⇒
⇒ z =
10 000
5 000
M
(3 – i) (1 – i)
(1 + i) (1 – i)
⇒ z = 2–4i
2
⇒ z = 1 – 2i
10. a) Para que valores de m, a equação na incógnita x,
2 sen x – 1 = 3m admite solução ?
b) Dois lados de um triângulo medem 10 cm cada um. Qual a
medida do ângulo formado por esses lados, de modo que
resulte em um triângulo de área máxima ?
Resolução:
a) De 2 sen x – 1 = 3m, obtemos:
3m + 1
sen x =
2
Como –1 ≤ sen x ≤ 1, devemos ter:
3m + 1
–1 ≤ ≤ 1
2
Daí: –2 ≤ 3m + 1 ≤ 2 ⇒ –3 ≤ 3m ≤ 1 ⇒ –1 ≤ m ≤ 1/3
S = {m ∈ IR | –1 ≤ m ≤ 1/3 }
10
b) A área do triângulo é dada por:
S = 1
. 10 . 10 . sen α = 50 sen α
2
Temos S máx para sen α = 1 ∴ α = 90º
n (trimestre)
10
α
10