mecânica das estruturas i relações constitutivas ... - FEC - Unicamp

DES-FEC-UNICAMP
IC301- MECÂNICA DAS ESTRUTURAS I
RELAÇÕES CONSTITUTIVAS(TENSÃO-DEFORMAÇÃO)
PROF. DR. NILSON TADEU MASCIA
2005
1

RELAÇÕES CONSTITUTIVAS(TENSÃO-DEFORMAÇÃO)
INTRODUÇÃO
Condições a serem satisfeitas na resolução de problemas de elasticidade
1- Equações de equilíbrio ou de movimento;
= σ n
+ F = 0
2- Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;
ij,
kl
3- Relações tensões-deformações.
T
i
σ
ij , j
ij
kl,
ij
i
j;
ε
ij = 1 ( u
2 i,
j + u
ε + ε − ε
j,
i
ik,
jl
= 0
FIGURA 01 - Inter-relações das variáveis na mecânica dos sólidos
);
− ε
jl,
ik
2

Hípoteses Básicas
Incognitas x Equações
6 3 equações de equilíbrio
6 6 equações desloc/deform.
3 6 equações constitutivas
1- Comportamento do material é independente do tempo;
2- Condições isotérmicas são consideradas;
3- Pequenos deslocamentos.
ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO
FIGURA 02 - Componentes de um vetor tensão .
σ
ij
1 ⎡ ⎤
⎢T
⎥ ⎡σ
2
= ⎢T
⎥ =
⎢
σ
⎢ 3 ⎥ ⎢
⎢T
⎥ ⎢⎣
σ
⎣ ⎦
11
21
31
σ
σ
σ
12
22
32
ESTADO DE DEFORMAÇÃO EM UM PONTO
ε ij
⎡ε
=
⎢
ε
⎢
⎢⎣
ε
11
21
31
ε
ε
ε
12
22
32
ε
ε
ε
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
σ
σ
σ
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
3

ELASTICIDADE
Todo sólido quando submetido a ações externas apresenta, como resposta a
nível interno, tensões e deformações. Se essas ações cessarem e se o sólido
voltar as suas condições iniciais, ou seja, tamanho e forma idênticos àqueles
antes das ações atuarem sobre ele, não guardando deformações residuais, o
sólido é chamado elástico.
A função resposta do material pode ser linear ou não linear como é
mostrada pelos gráficos tensão-deformação:
FIGURA 03 - Gráficos função resposta do material.
(a) resposta não linear (b) resposta linear
Pode-se concluir, então, que as tensões e as deformações nestes sólidos
são totalmente reversíveis. Além disto, baseando-se em hipóteses que as ações
são independentes de tempo e estes sólidos estão sob condições adiabáticas e
isotérmicas, (Love ) , é possível defini-los matematicamente como:
σ ij = Fij ( ε kl
onde F ij é uma função resposta do material.
)
4

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Considerando este sólido elástico sob ação de forças, conforme mostra a figura
09, e impondo ao mesmo deslocamentos virtuais infinitesimais δUi , compatíveis
com as condições.de equilíbrio, é possível, através do princípio dos trabalhos
virtuais (P.T.V.) inter-relacionar uma série de equilíbrios Fi , Ti
, δui
com uma série
de compatibilidade virtual δ ui , δε ij .
FIGURA 04 - Sólido elástico em equilíbrio.
Assim,
∫
A
Tiδu idA
+ ∫V
Fiδu
idV
= ∫V
σ ijδε
ij dV
onde o conjunto de termos, à esquerda na equação , exprime o trabalho externo
δW , e o conjunto de termos, à direita, o trabalho interno δU . Então:
δ W = δU
e
δ ∫
U =
V σ ij ij
δε dV
5

Mas, simplificando:
δ = ∫ δU
dV ,
U V 0
deste modo tem-se:
δ U = σ δε
0
ij
ij
Como U 0 é função somente das componentes de deformação:
∂U
0
δU
0 δε ij
∂ε
=
substituindo-se δU 0 , tem-se:
σ
ij
∂U
=
∂ε
0
ij
ij
Esta equação é conhecida como Modelo Elástico de Green ou lei
constitutiva hiperelástica. (Desai)
Em contrapartida, pode-se relacionar σij , εij
, U0
por variações de
δσ , δF , δT
. Assim a equação do P.T.V. torna-se:
ou:
ij i i
∫
A
δTiu idA
+ ∫V
δFiu
idV
= ∫V
δσ ijε
ij dV
δ U = δW
Assim:
∫
V
δU codV
= ∫V
δσ ijε
ijdV
então:
δ U =
ε δσ
co
ij
ij
6

Sendo U co função das componentes de tensão σ ij e conhecida como
energia complementar de deformação tem-se:
∂U
co
δ U co = δσ ij
∂σ
Portanto:
ij
ij
∂U
co
ε ij = .
∂σ
A figura mostra as quantidades U co e U 0 .
FIGURA 05 - Energia de deformação e energia complementar de
deformação no gráfico tensão - deformação .
Por outro lado, é possível observar que em um modelo linear, a energia
de deformação U 0 é igual à energia complementar de deformação U co.
7

RELAÇÕES TENSÃO DEFORMAÇÃO OU LEIS
CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS ELASTICAMENTE
ANISOTRÓPICOS
Sendo assim, com o uso de uma série polinomial:
U = C0δ
+ α ε + β ε ε
0 ij ij ij ijkl ij kl ,
onde C0, αij , β ijkl são constantes. Aplicando-se a equação relativa à do modelo
elástico de Green, e considerando que a energia de deformação tenha um valor
estacionário em relação ao tensor de deformação, tem-se:
σ α + ( β + β ) ε
ij
= .
ij
ijkl
klij
Da expressão anterior, designando ( βijkl βklij
)
kl
+ de C ijkl e, além disto,
supondo que as tensões estão associadas e atuando em todo sólido, ou seja,
α ij = 0, tem-se:
e também
σ =
ij Cijklε kl
Desta expressão, sendo C ijkl uma matriz não singular, pode-se escrever:
ε =
ij Sijklσ kl
Caracterizando-se que C = S
−1
,
1
Cijkl S klrs = δ ijrs = ( δ irδ
js + δ isδ
2
S = δ
ijklC klrs
ijrs
onde: δ ij é o delta de Kroneker, e δ ijkl é um tensor unitário.
jr
)
8

Com os índices i, j, k, l,
variando de 1 a 3, pode-se discretizar um dos
termos. Por exemplo σ13: σ
13
= C
+ C
1311
1322
ε
ε
11
22
+ C
+ C
1312
1323
ε
ε
12
23
+ C
+ C
1313
1331
ε
ε
13
31
+ C
+ C
1321
ε
1332
ε
21
32
+
+ C
Como os tensores C ijkl e S ijkl são tensores de 4ª ordem, é de se prever
que sejam constituídos de 81 (oitenta e um) elementos (coeficientes elásticos).
Mas este número de elementos pode ser reduzido pela seguinte análise:
Derivando a equação :
σ =
ij Cijklε kl
tem-se:
∂σ 2
ij ∂ 0
∂ε
kl
U
= = C
∂ε ∂ε
kl
ij
ijkl
e alterando a ordem de derivação:
2
∂ U ∂ U 0
=
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε
ij
kl
2
kl
Pode-se concluir, portanto,que:
C = C
ijkl
klij
ij
demonstrando-se, assim, a existência da simetria nos pares de índices ( i, j)( k, l)
do tensor Cijkl .Semelhante análise pode ser feita para os termos Sijkl :
S = S
ijkl
klij
• Em primeiro lugar,a simetria de tensores de deformação ε ij , ou
1333
ε
33
9

ε = ε
ij
desta maneira obtém-se:
ij
resultando em:
ji
σ = C ε = C ε
ijkl
ijkl
C = C
ijlk
lk
ijkl
kl
Ou seja, dos 81 (oitenta e um) elementos em C ijkl sobraram 54
(cinquenta e quatro) diferentes (independentes).
ou:
• Em segundo lugar, devido a simetria dos tensores de tensão σ ij ,
σ = σ
ij
desta maneira obtém-se:
ij
resultando em:
ji
σ = C ε = σ = C ε
ijkl
C = C
ijkl
jikl
kl
ji
jikl
kl
Ou seja, dos 54 (cinquenta e quatro) elementos em C ijkl passa-se a ter
36 (trinta e seis) elementos diferentes.
• Em terceiro lugar,como foi mencionado, o tensor C ijkl é simétrico
em relação aos pares de índices,(i, j)
e (k , l ).
10

Então, em lugar dos 36 (trinta e seis) elementos existem apenas 21
(vinte e um) elementos diferentes no tensor C ijkl , e também no tensor S ijkl .
Na forma matricial, tem-se:
⎧σ
⎪
σ
⎪
⎪σ
⎨
⎪σ
⎪σ
⎪
⎩σ
11
22
33
12
23
31
⎫ ⎡C
⎪ ⎢
C
⎪ ⎢
⎪ ⎢C
⎬ = ⎢
⎪ ⎢
C
⎪ ⎢C
⎪ ⎢
⎭ ⎣C
1111
2211
3311
1211
2311
3111
De modo análogo:
⎧ ε
⎪
ε
⎪
⎪ ε
⎨
⎪2ε
⎪2ε
⎪
⎩2ε
11
22
33
12
23
31
⎫ ⎡ S
⎪ ⎢
S
⎪ ⎢
⎪ ⎢ S
⎬ = ⎢
⎪ ⎢
2S
⎪ ⎢2S
⎪ ⎢
⎭ ⎣2S
1111
2211
3311
1211
2311
3111
C
C
C
C
C
C
1122
2222
3322
1222
2322
3122
S
S
S
2S
2S
2S
1122
2222
3322
1222
2322
3122
C
C
C
C
C
C
1133
2233
3333
1233
2333
3133
S
S
S
2S
2S
2S
1133
2233
3333
C
C
C
C
C
C
1233
2333
3133
1112
2212
3312
1212
2312
3112
2S
2S
2S
4S
4S
4S
C
C
C
C
C
C
1112
2212
3312
1212
2312
3112
1123
2223
3323
1223
2323
3123
2S
2S
2S
4S
4S
4S
C
C
C
C
C
C
1123
2223
3323
1223
2323
3123
1131
2231
3331
1231
2331
3131
⎤⎧
ε11
⎫
⎥⎪
ε
⎪
⎥⎪
22 ⎪
⎥⎪
ε 33 ⎪
⎥⎨
⎬
⎥⎪2ε
12 ⎪
⎥⎪2ε
⎪
23
⎥⎪
⎪
⎦⎩2ε
31 ⎭
2S
2S
2S
4S
4S
4S
1131
2231
3331
1231
2331
3131
⎤⎧σ
⎥⎪
σ
⎥⎪
⎥⎪σ
⎥⎨
⎥⎪σ
⎥⎪σ
⎥⎪
⎦⎩σ
Com o objetivo de simplificar as operações com os elementos dos
tensores aqui mencionados, pode-se utilizar uma notação indicial reduzida,
apresentada por Lekhnitskii, onde a simetria dos tensores ε , σ e C permite
ij kl ijkl
a redução dos seus índices, os quais podem ser contraídos da seguinte maneira:
σij = σm
→ para quaisquer índices
ε = ε → se = 1,2,3
ij m m
2ε = ε → se = 4,5,6
C
ij m m
= C → para quaisquer índices
ijkl mn
11
22
33
12
23
31
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
11

6.
e assim:
S = S → se m, n=
1,2,3
ijkl mn
2S = S → se m, n=
4,5,6
ijkl mn
4S = S → se m, n=
4,5,6.
ijkl mn
A partir do que demonstrou-se, observa-se que os índices variam de 1 a
Assim:
σ =
1
1
, σ
,
, σ
C = C , C = C , C = C , C = C , C = C , C = C
11
σ
11
11
ε = ε , ε = ε
1111
2
2
= σ
12
22
22
, σ = σ
3
1112
3
33
13
33
4
4
1133
= σ
Com esta convenção, pode-se escrever:
σ =
m Cmnε n
ε = ,
m S mnσ
n
resultando, matricialmente:
⎧σ
1 ⎫
⎪
σ
⎪
⎪ 2 ⎪
⎪σ
3 ⎪
⎨ ⎬
⎪σ
4 ⎪
⎪σ
⎪
5
⎪ ⎪
⎩σ
6 ⎭
=
⎡C
⎢
C
⎢
⎢C
⎢
⎢
C
⎢C
⎢
⎣C
11
21
31
41
51
61
C
C
C
C
C
C
12
22
32
42
52
62
12
14
12
, σ = σ
5
5
1112
23
23
, σ = σ
ε = ε , ε = 2ε
, ε = 2ε
, ε = 2ε
C
C
C
C
C
C
13
23
33
43
53
63
C
C
C
C
C
C
14
24
34
44
54
64
C
C
C
C
C
C
15
25
35
45
55
65
C
C
C
C
C
C
16
26
36
46
56
66
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
15
⎧ε
1 ⎫
⎪
ε
⎪
⎪ 2 ⎪
⎪ε
⎪
3
⎨ ⎬
⎪ε
4
⎪ε
5
⎪
⎩ε
6
⎪
⎪
⎪
⎭
6
6
31
1123
31
16
1131
12

SOBRE O NÚMERO DE CONSTANTES INDEPENDENTES NO
TENSOR
S ij
Lekhnitskii cita que o número de termos independentes no tensor
compliance Sil, para materiais elásticos anisotrópicos, não é 21 (vinte e um) mas
sim 18 (dezoito).
Esta afirmação pode ser comprovada através das seguintes considerações
(Se o tensor εij for diagonalizado, ou seja, referido às novas direções principais,
por meio de uma conveniente mudança de base, ele passa a ter 3 (três)
elementos nulos, ou seja:
ε = ε = ε = 0
4
Nestas condições tem-se:
5
⎧ε1
⎫ ⎡S
⎪
ε
⎪ ⎢
⎪ 2 S
⎪ ⎢
⎪ε
3 ⎪ ⎢S
⎨ ⎬ = ⎢
⎪ 0 ⎪ ⎢
S
⎪ 0 ⎪ ⎢S
⎪ ⎪ ⎢
⎩ 0 ⎭ ⎣S
11
6
21
31
41
51
61
S
S
S
S
S
S
12
22
32
42
52
62
S
S
S
S
S
S
SIMETRIA ELÁSTICA NOS MATERIAIS
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
13
23
33
43
53
53
S
S
S
S
S
S
14
24
34
44
54
64
S
S
S
S
S
S
15
25
35
45
55
65
S
S
S
S
S
S
16
26
36
46
56
66
⎤⎧σ
1 ⎫
⎥⎪
σ
⎪
⎥⎪
2 ⎪
⎥⎪σ
3 ⎪
⎥⎨
⎬
⎥⎪σ
4 ⎪
⎥⎪σ
⎪
5
⎥⎪
⎪
⎦⎩σ
6 ⎭
É fato que os tensores constitutivos Cijkl e Sijkl
são tensores de 4 a ordem,
estando assim sujeitos à seguinte lei de transformação de coordenadas,
S ′
= l
ijkl
im
l
jm
l
ko
l
ep
S
mnop
13

onde Sijkl ′ são os coeficientes do tensor compliance no novo sistema da
coordenadas, S ijkl são os coeficientes do tensor compliance no antigo
sistema da coordenadas e l ij os cossenos diretores
Os cossenos diretores l ij em uma rotação de eixos coordenados, em um
sentido anti-horário, em torno do eixo x 3 ,tornam-se:
⎡ cosθ senθ
0⎤
lij =
⎢
−senθ
cosθ
0
⎥
⎢
⎥
⎣⎢
0 0 1⎦⎥
FIGURA 06 - Rotação dos eixos x1 e x2
de um sistema de eixos ortogonais
Deste modo, pode-se apresentar, por exemplo, o coeficiente S11 ′ :
S ′
1111
+
+
+
4
4
S1111l11
+ S 2222l12
4
+ S 3333l13
+ ( 2S
2233 + S1212
)
2 2
2 2
( 2S1133
+ S 2323 ) l11l12
+ ( 2S1122
+ S 3131 ) l11l12
+
2
5
2
2l12l13
[ ( S1112
+ S 2331 ) l11
+ S 2211l12
+ S 3311l13
] +
2
2
2
2l13l11[
S1123l11
+ ( S 2223 + S1231
) l12
+ S 3333l13
] +
+ 2l
l S
2
l + S
2
l + ( S + S
2 ) l
=
11 12
[ ]
1131 11
2231 12
3311
1223
13
2 2
12l13
l
+
14

Como alternativa, pode-se utilizar os coeficientes com os índices
S e C ,para os quais Lekhnitskii apresenta os termos escritos por qij ,
reduzidos ( ij ij )
para se efetuar a transformação do tensor constitutivo.
Assim, a lei de transformação torna-se:
S ′ = q
ij
im
q
in
S
mn
onde os termos q ij estão apresentados na tabela 01, sendo que o primeiro
subscrito indica a linha e, o segundo a coluna na tabela.
Tabela 01 - Relação dos termos q ij e os cossenos diretores l ij para
transformação de coordenadas com subscrito reduzido
Fonte: Lekhnitskii
1 2 3 4 5 6
1
2
l11 2
l12
2
l13 l11l12 2
2
l21 2
l22
2
l23 l22l21 3
2
l31 2
l32
2
l33 l32l31 l12l13 l l
23 22
l l
33 32
l31l11 4 2l21l 11 2l12l 22 2l13l 23 l11l22 + l12l21 l13l22 + l12l23 l l + l l
5 2l31l 21 2l32l 22 2l33l 23 l31l22 + l32l21 l33l22 + l32l23 l l + l l
6 2l31l 11 2l32l 12 2l33l 13 l l + l l l33l12 + l32l13 l l + l l
31 12 32 11
l l
23 21
l l
33 31
13 21 11 23
33 21 31 23
33 11 31 13
Com o exposto é possível apresentar os novos termos do tensor
constitutivo Sij, ′ após transformação de coordenadas.
Observa-se que as parcelas que contribuem para cada termo de Sij ′ estão
relacionadas às funções trigonométricas do ângulo de rotação θ :
S ′
11
S
′
12
= S
+ 2
=
11
cos
θ +
( 2S
+ S )
sen
θ cos
2
2
( S cos θ + S sen θ ) senθ
cosθ
16
4
12
26
( S + S − 2S
− S )
+
11
66
sen
2
θ cos
2
θ + S
θ + S
2
2
( S − S )( cos θ − sen θ ) senθ
cosθ
16
22
26
12
66
2
2
12
22
+
sen
4
θ +
15

S ′
22
= S
− 2
11
sen
θ +
( 2S
+ S )
sen
θ cos
2
2
( S sen θ + S cos θ ) senθ
cosθ
16
4
12
26
66
2
2
θ + S
22
cos
4
θ +
CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS SEGUNDO O NÚMERO DE
PLANOS DE SIMETRIA ELÁSTICA
Voigt, apud Cowin, sintetizou os estudos desenvolvidos por Voigt, Love e Gurtin,
os quais apresentaram 9 (nove) quantidades distintas de coeficientes do tensor
C ijkl para 32 classes de cristais, enquanto que para os não cristais, ele
mencionou a existência de somente 3 (três) tipos tradicionais conhecidos como
isotrópico, monotrópico e ortotrópico.
A seguir, será desenvolvido um estudo mais aprofundado da simetria elástica
para os 3 (três) tradicionais tipos de não cristais.
A nomenclatura aqui utilizada pode sofrer alterações em função dos diversos
autores que abordaram este assunto.
MATERIAL COM SIMETRIA ELÁSTICA EM UM PLANO
Admitindo um sólido referido a um sistema de coordenadas x i
FIGURA 07 - Simetria elástica em um plano
16

O plano x1 − x2
é de simetria elástica, ou seja, duas direções quaisquer
passando por um ponto neste plano são equivalentes no que concerne às
propriedades de elasticidade. Além disto, a direção normal a este plano é
chamada de direção principal de elasticidade.
da figura :
Promovendo rotações de 180 o em torno do eixo x 3 , conforme esquema
FIGURA 08 - Rotação de 180 o em torno do eixo x 3
têm-se os seguintes cossenos diretores:
l ij =
⎡−1
0 0⎤
⎢
0 −1
0
⎥
⎢ ⎥
⎣⎢
0 0 1⎦⎥
Com o uso da transformação tensorial de S 11 tem-se:
′
resultando:
S11 = q1mq1n
S ′ = l
11
4
11
S
11
S
mn
devido às demais parcelas que contribuem para S11 ′ serem nulas. Assim:
17

S ′ = S
11
11
De semelhante análise para os outros termos do tensor, conclui-se que:
S
15
= S = S = S = S = S = S = S
16
25
Então, o tensor S ij terá a seguinte configuração:
S ij
⎡S
⎢
S
⎢
⎢S
= ⎢
⎢
S
⎢ 0
⎢
⎣ 0
11
21
31
41
S
S
S
S
12
22
32
42
0
0
S
S
S
S
26
13
23
33
43
0
0
S
S
S
S
35
14
24
34
44
0
0
S
S
36
0
0
0
0
55
65
S
S
45
0
0
0
0
56
66
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
46
= 0
O tensor S ij passa a ter 13 elementos diferentes, sendo que apenas
11(onze) são independentes, devido à dependência linear entre os termos .
MATERIAL COM SIMETRIA ELÁSTICA EM TRÊS PLANOS
Um sólido referido a um sistema de eixos coordenados x i e agora sob uma
rotação de 180 o em torno do eixo x 1 (um dos eixos de simetria)
FIGURA 09 - Rotação de 180 o em torno do eixo x 1
tem-se, analogamente ao item anterior:
18

S
14
= S = S = S
24
34
56
= 0
Efetuando semelhante rotação nos eixos x2 e x3,
um de cada vez:
S
S
16
15
= S
= S
26
25
= S
= S
36
35
= S
= S
54
56
= 0
=
0,
sendo que S ij fica com a seguinte forma:
S ij
⎡S11
⎢
S
⎢ 12
⎢S13
= ⎢
⎢
0
⎢ 0
⎢
⎣ 0
S
S
S
12
22
23
0
0
0
S
S
S
13
23
33
0
0
0
S
0
0
0
44
0
0
S
Neste momento pode-se expressar os coeficientes do tensor
compliance, em termos dos coeficientes elásticos usuais de engenharia ,ou seja,
através do módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young Ei, do
coeficiente de Poisson νij e do módulo de elasticidade transversal ou de rigidez
Gij. Assim Sij torna-se:
S ij
⎡ 1
⎢
E
⎢ 1
⎢ ν
−
⎢ E
⎢ ν
⎢−
=
⎢ E
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢
0
⎢
⎢ 0
⎢⎣
12
1
13
1
ν
−
E
1
E2
ν
−
E
0
0
0
21
2
23
2
ν
−
E
ν
−
E
1
E
0
0
0
31
31
3
3
3
0
0
0
0
55
0
0
0
0
1
G
12
0
0
S
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
1
G
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
23
⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎥
1
⎥
G31
⎥⎦
19

onde devido à simetria existente pode-se escrever:
ν ij
−
E
i
ν
= −
E
Como observou-se anteriormente, é mais simples trabalhar com os coeficientes
do tensor compliance Sij, ao invés dos coeficientes do tensor de constantes de
elasticidade C ij . A título de ilustração, pode-se comparar os coeficientes a
seguir :
1
S 11 =
E
C
11
1
=
1 − 2ν
12
ν
23
ν
E ( 1 −ν
31
1
−ν
13
ν
32
31
ν
23)
−ν
)
12
ν
21
−ν
MATERIAL TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICO
Considera-se o plano x1− x2
de isotropia, ou seja, todas as direções contidas
neste plano são elasticamente equivalentes, o eixo x 3 é o eixo de simetria
elástica.
FIGURA 10- Plano de isotropia - material transversalmente isotrópico
Baseando-se nas operações dos ítens anteriores, de simetria elástica,
tem-se:
23
ν
32
ji
j
20

11
22
13
23
55
66
( S11
− S12
) S 44
S = S ; S = S ; S = S ; 2 =
Assim, com a utilização da notação usual de engenharia
S ij
⎡ 1
⎢ E
⎢ ν
⎢−
⎢ E
⎢ ν ′
−
⎢
= E
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎣
ν
−
E
1
E
ν ′
−
E′
0
0
0
ν ′
−
E
ν ′
−
E′
1
E′
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
0
1
G′
0
⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎥
′
⎥
G ⎦
onde E, E′=
módulo de elasticidade no plano de isotropia e na direção normal a
ele,ν , ν′=
coeficiente de Poisson no plano de isotropia e na direção normal a ele
e G , G′=módulo
de elasticidade transversal no plano de isotropia e, também,
( S )
2 S 11 12 = S 44
− ou
E
G =
2 1
( + ν )
Portanto, apenas 5 (cinco) coeficientes de S ij são independentes.É importante
salientar que a expressão do módulo de elasticidade transversal G indica a
isotropia no plano.
21

MATERIAL ISOTRÓPICO
Um material isotrópico é aquele em que todos os planos que passam por
um ponto são isotrópicos (planos de simetria), ou seja, todas as direções são
elasticamente equivalentes e principais. Assim:
E ′ = E , G′
= G eν
′ = ν ,
tornando-se o tensor S ij , com o uso dos coeficientes de engenharia:
S ij
⎡ 1
⎢ E
⎢ ν
⎢−
⎢ E
⎢ ν
−
⎢
= E
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎣
ν
−
E
1
E
ν
−
E
0
0
0
ν
−
E
ν
−
E
1
E
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
0
1
G
0
⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 ⎥
⎥
G ⎦
Portanto, o tensor S ij passa a ter apenas 2 (dois) coeficientes
independentes, ou seja, o módulo de elasticidade longitudinal E e o coeficiente
de Poisson ν , sendo que o módulo de elasticidade transversal G é definido
como:
E
G =
2 ν
( 1+
)
Alguns autores utilizam as constantes de Lamé λ e μ para caracterizar um
material isotrópico e seus coeficientes do tensor constitutivo, como por exemplo
onde:
ijkl
ij
kl
( δ δ δ )
C = λδ δ + μ + δ ,
ik
jl
il
jk
22

1
1
λ = C iijj = Cij
; μ = ( Ciiii − Ciijj
) = ( Cii
− Cij
)
2
2
e:
Ainda a respeito dos materiais isotrópicos, mais particularmente ao coeficiente de
Poisson , tem-se:
1
0 < ν < ; −1
< ν < 0 ,
2
BIBLIOGRAFIA
σ =
λε δ + 2με
ij
kk
ij
ij
CHEN, W.F., SALLEB. A. Constitutive equations for engineering materials.
New York, John Wiley e Sons, 1982. V.1 : Elasticity and Modeling ... p. 1-181 .
COWIN, S. C. Identification of materials symmetry for anisotropic elastic
materials. Quaterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, V.40, n.4,
p.451-476, Nov 1987.
DESAI, C. S.; SIRIWARDANE, H. J. Constitutive laws for engeeniring materials
with emphasis on geologic materials. New Jersey, Prentice-Hall, p.1-168, 1984.
LEKHNITSKII, S.G. Theory of elasticity of an anisotropic body. Moscou, Mir,
p.10-98, 1981.
LOVE, A. E. A treatise on the theory of elasticity. New York, Dover
Publications, p. 1-182. 1944.
23