PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

Experiências Aleatórias. Espaço de Resultados. 

Acontecimentos 

Experiência Aleatória 

É uma experiência em que: 

◮ não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar; 

◮ conhece-se o universo dos resultados possíveis. 

Espaço de Resultados 

Conjunto dos resultados possíveis de uma experiência aleatória. 

É usualmente representado por Ω ou S. 

1



Acontecimento 

É uma colecção de resultados possíveis de uma experiência 

aleatória, ou seja, um subconjunto do espaço de resultados Ω. 

◮ ∅ – acontecimento impossível; 

◮ Ω – acontecimento certo. 

Acontecimento Elementar 

Subconjunto de Ω com apenas um elemento (conjunto singular). 

2



Acontecimento Composto 

Subconjunto de Ω com mais de um elemento. 

Realização do Acontecimento A 

Diz-se que o acontecimento A se realizou se o resultado da 

experiência aleatória pertence a A. 

A – Acontecimento Contrário de A 

É o acontecimento Ω − A = Ω\A. 

3



A ∩ B – Intersecção de Dois Acontecimentos 

É o acontecimento que ocorre quando ocorrem simultaneamente 

ambos. 

A ∪ B – União de Dois Acontecimentos 

É o acontecimento que ocorre quando pelo menos um deles ocorre. 

Acontecimentos Incompatíveis ou Mutuamente Exclusivos 

São acontecimentos que nunca ocorrem simultaneamente 

(A ∩ B = ∅). 

4



Exemplo (2.1) 

Considere o lançamento de um dado cúbico com as faces 

numeradas de 1 a 6 e sejam os acontecimentos A “sair face par”e 

B “sair face múltipla de 3”. 

◮ A = {2, 4, 6}; 

◮ B = {3, 6}; 

◮ A = {1, 3, 5} → “sair face ímpar”; 

◮ A ∩ B = {6} → “sair face par múltipla de 3”; 

◮ A ∪ B = {2, 3, 4, 6} → “sair face par ou múltipla de 3”; 

◮ A − B = {2, 4} → “sair face par que não seja múltipla de 3”. 

5



Exemplo (2.2) 

Considere o lançamento de dois dados cúbicos com as faces 

numeradas de 1 a 6. Os acontecimentos A, “soma das faces é 7”e 

B, “faces iguais”, são acontecimentos incompatíveis, pois 

◮ A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}; 

◮ B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}; 

◮ A ∩ B = ∅. 

6

Conceito de Probabilidade. Axiomática de Kolmogorov. 

Interpretações Frequencista e Subjectivista 

Álgebra de Acontecimentos 

É toda a subfamília A de P(Ω) (partes de Ω) que verifique os 

axiomas das álgebras de conjuntos, isto é: 

A1) Ω ∈ A; 

A2) Se A ∈ A, então A ∈ A; 

A3) Se A ∈ A e B ∈ A, então A ∪ B ∈ A. 

Espaço de Acontecimentos 

Ao par (Ω, A) chamamos espaço de acontecimentos. 

7



Exercício (2.1) 


numeradas de 1 a 6. Verifique se (Ω, A) é um espaço de 

acontecimentos, onde 

A = {∅, {1, 2}, {4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. 

8



Se (Ω, A) é um espaço de acontecimentos, então: 

◮ ∅ ∈ A; 

◮ Se A ∈ A e B ∈ A, então A ∩ B ∈ A; 

◮ Se A ∈ A e B ∈ A, então A − B = A ∩ B ∈ A; 

◮ Se A1, . . . , An ∈ A, então n 

Ai ∈ A e n 

Ai ∈ A. 

i=1 

i=1 

9



σ-Álgebra 

É toda a subfamília de P(Ω) que verifique os axiomas A1, A2 das 

álgebra de acontecimentos e, em alternativa a A3, o axioma 

A3*) Se A1, A2, . . . são elementos de A, então ∞ 

Ai ∈ A. 

i=1 

10



Medida de Probabilidade (Axiomática de Kolmogorov) 

É toda a função de conjunto P : A → IR que verifique os axiomas: 

P1) P(A) ≥ 0, para todo o A ∈ A; 

P2) P(Ω) = 1; 

P3) Se A e B são acontecimentos incompatíveis, então 

P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 

11



Nota 

Se Ω é um conjunto infinito, exigimos em alternativa a P3 

P3*) Se A1, A2, . . . são acontecimentos mutuamente exclusivos 

dois a dois, então 

 

∞ 

P 

i=1 

Ai 

 

= 

∞ 

P(Ai). 

i=1 

Espaço de Probabilidade 

Ao terno (Ω, A, P) chamamos espaço de probabilidade. 

12



Se (Ω, A, P) é um espaço de probabilidade, então: 

◮ P(∅) = 0; 

◮ P(A) = 1 − P(A), A ∈ A; 

◮ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B), A, B ∈ A; 

◮ Se A, B ∈ A e A ⊆ B, então P(A) ≤ P(B); 

◮ 0 ≤ P(A) ≤ 1, A ∈ A; 

◮ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), A, B ∈ A. 

13



Teorema (Regra da Adição) 

Sejam (Ω, A, P) um espaço de probabilidade e A1, A2, . . . , An ∈ A. 

Então 

 

n 

P 

k=1 

Ak 

+ 

 

= 

k1



Caso Particular 

Considerando três acontecimentos A, B e C, 

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B)− 

− P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) . 

15



Corolário 

Se A1, A2, . . . , An são mutuamente exclusivos dois a dois, então 

 

n 

P 

k=1 

Ak 

 

= 

n 

P(Ak). 

k=1 

16



Regra de Laplace 

A probabilidade de um acontecimento A é dada por 

P(A) = 

número de casos favoráveis a A 

número de casos possíveis 

desde que se admita a priori que os acontecimentos elementares 

são equiprováveis. 

• A regra de Laplace obedece à axiomática de Kolmogorov. 

, 

17



Nota 

Quando o espaço de resultados é infinito, a exigência de 

equiprobabilidade imposta pela regra de Laplace pode ser 

ultrapassada considerando acontecimentos equiprováveis não 

elementares. 


Qual a probabilidade de um ponto escolhido ao acaso no intervalo 

[0,1] pertencer ao intervalo [0.25,0.5]? 

18



A Análise Combinatória fornece ferramentas adequadas para 

procedermos a contagens e dependerá da relevância ou não da 

ordem pela qual os elementos são considerados ou extraídos, e se 

há reposição ou não dos mesmos. 

Teorema Fundamental da Análise Combinatória 

Sejam X1, . . . , Xk conjuntos tais que #X1 = n1, . . . , #Xk = nk. 

Então 

#(X1 × · · · × Xk) = n1 × · · · × nk. 

19




Considere o lançamento de três moedas (ou lançamento de uma 

moeda três vezes). Quantos casos possíveis há? 

20



Arranjos com Repetição 

O número de sequências ordenadas com k elementos obtidas por 

extracções com repetição (ou reposição) de n elementos é 

n × · · · × n = n k , 

sendo por vezes chamado arranjos com reposição (ou completos) 

de n elementos, k a k. 

21




Quantos números distintos com três algarismos podemos obter com 

os algarismos 1, 2, 3 e 4, admitindo que não os podemos repetir? 

22



Arranjos sem Repetição 

O número de sequências ordenadas com k elementos obtidas por 

extracções sem repetição de n elementos é 

n × (n − 1) × · · · × (n − k + 1) 

denotado por n Ak ou n Pk , e denominado arranjos sem repetição 

(ou arranjos simples) de n elementos, k a k. 

23




Quantos subconjuntos de 3 elementos distintos podemos formar a 

partir de um conjunto com 4 elementos? 

24



Combinações (sem Repetição) 

O número de subconjuntos de k elementos que podemos obter a 

partir de um conjunto com n elementos (n ≥ k), em que cada 

elemento do universo só pode configurar uma vez no subconjunto, 

é dado pelas combinações de n, k a k, isto é, por 

n Ck = 

 

n 

k 

= 

n! 

k!(n − k)! = 

nAk k! . 

25



Combinações com Repetição 

O número de subconjuntos de k elementos que podemos obter a 

partir de um conjunto com n elementos admitindo que as tiragens 

são feitas com reposição é dado pelas combinações com repetição 

de n , k a k, ou seja, n + k − 1 

k 

 

. 

26




De quantas maneiras podemos distribuir 3 bolas por 4 urnas? 

27



Se uma experiência é realizada um número de vezes, sob idênticas 

condições, podem ocorrer resultados diferentes de cada vez ou 

alguns que se repetem. Esta “frequência de ocorrência”pode ser 

pensada como uma probabilidade. 

Probabilidade Frequencista 

P(A) = “limite”da frequência relativa com que se observa o 

acontecimento A. 

28



À medida que se adquire alguma informação sobre um 

acontecimento, há quem prefira proceder a uma reavaliação da 

probabilidade considerada a priori para o mesmo. 

Probabilidade Subjectivista 

É uma medida de credibilidade que, numa primeira fase, pode ser 

baseada em convicções, palpites, experiências, etc. 

29

Probabilidade Condicional. Independência 



numeradas de 1 a 6. 

Seja A o acontecimento “sair face 2”. Então P(A) = 1 

6 . 

Suponha agora que o dado foi lançado e que se registou a saída de 

face par. 

Qual é a probabilidade de ter saído a face 2? 

30


Probabilidade Condicional 

Sejam (Ω, A, P) um espaço de probabilidade e B um 

acontecimento tal que P(B) > 0. A probabilidade condicional de A 

dado B é 

P(A|B) = 

P(A ∩ B) 

. 

P(B) 

O acontecimento B é chamado acontecimento condicionante, e 

passa a funcionar como novo espaço de resultados. 

31


Da definição de probabilidade conjunta segue que 

P(A ∩ B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A). 

Teorema (Regra da Multiplicação) 

Sejam (Ω, A, P) um espaço de probabilidade e A1, A2, . . . , An ∈ A. 

Então 

 

n 

 

P = P(A1) × P(A2|A1) × P(A3|A1 ∩ A2)× 

k=1 

Ak 

× · · · × P(An|A1 ∩ . . . ∩ An−1) . 

32



Procede-se à tiragem sucessiva de 3 peças de um lote que contém 

30 peças das quais 10 são defeituosas. 

Qual a probabilidade de se obter a sequência DDN, onde D denota 

peça defeituosa e N peça não defeituosa? 

33



Considere novamente o lançamento de um dado cúbico. Sejam os 

acontecimentos A “sair face 2 ou 3”e B “sair face par”. 

Qual a probabilidade de A e a probabilidade de A dado B? 

34


Independência de Dois Acontecimentos 

Dois acontecimentos A e B dizem-se (mutuamente) independentes 

se, e só se, 

P(A ∩ B) = P(A)P(B). 

Nota 

Dois acontecimentos incompatíveis, ou mutuamente exclusivos, 

não podem ser independentes, excepto se um deles for impossível. 

35



Numa determinada cidade foi efectuado um levantamento de 

dados sobre certos acontecimentos. A probabilidade de ocorrência 

de cada um deles encontra-se registada no seguinte quadro: 

Cancro 

Sujeito Tem Não Tem 

Fumador 0.5 0.2 

Não Fumador 0.1 0.2 

Verifique se ser fumador e ter cancro são acontecimentos 

independentes nessa cidade. 

36


Por exemplo, três acontecimentos A, B e C são independentes se, 

e só se, 

◮ P(A ∩ B) = P(A)P(B); 

◮ P(A ∩ C) = P(A)P(C); 

◮ P(B ∩ C) = P(B)P(C); 

◮ P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C). 

Se os acontecimentos A1, A2, . . . , An forem independentes, então 

P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An) = P(A1) × P(A2) × · · · × P(An). 

37


Teorema da Probabilidade Total 

Sejam (Ω, A, P) um espaço de probabilidade, B um acontecimento 

e {Ak}k∈K uma partição de Ω. Então 

P(B) = 

P(Ak)P(B|Ak). 

k∈K 

Nota 

A probabildade de B está a ser calculada como uma média 

ponderadada das probabilidades condicionais P(B|Ak), onde 

 

k∈K P(Ak) = 1. 

38


Corolário 

Se A e B forem dois acontecimentos, então 

P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A). 

39


Exemplo (2.2) 

Numa urna há 10 bolas brancas e 10 bolas pretas. Tira-se uma 

bola, observa-se a cor, e a bola é reposta na urna com mais 100 

bolas da cor observada. Procede-se a uma segunda extracção de 

uma bola. 

Qual a probabilidade de sair bola branca? 

40


Sejam os acontecimentos: 

Então 

A : sair bola branca na 1 a extracção 

B : sair bola branca na 2 a extracção 

P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) 

= 10 110 10 10 1 

× + × = 

20 120 20 120 2 . 

41


Exemplo (2.3) 

Considere-se o exemplo anterior. Suponhamos que a cor da bola 

da segunda extracção é branca. 

Qual a probabilidade da primeira bola extraída ter sido branca? 

42


Pretende-se calcular 

P(A)P(B|A) 

P(A|B) = 

P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) 

= 

1 

2 

× 110 

120 

1 

2 

= 11 

≈ 0.917. 

12 

43


Teorema de Bayes 

Sejam (Ω, A, P) um espaço de probabilidade, B um acontecimento 

e {Ak}k∈K uma partição de Ω. Então 

P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj) 

 

, j ∈ K. 

P(Ak)P(B|Ak) 

k∈K 

Nota 

O teorema de Bayes também é conhecido pelo teorema da 

probabilidade inversa, ou das probabilidades das causas. 

44

PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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