Resumo de Trigonometria

Resumo de Trigonometria
Prof. Alexandre Costa Washington
1 Funções Trigonométricas do Ângulo Agudo
sen x =
cos x =
tg x =
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
hipotenusa
= BC
AB
= AC
AB
cateto oposto BC
=
cateto adjacente AC
2 Alguns Valores Notáveis
3 Conversão de Unidades
cosec x = 1 hipotenusa AB
= =
sen x cateto oposto BC
sec x = 1
cos x =
hipotenusa AB
=
cateto adjacente AC
cotg x = 1 cateto adjacente AC
= =
tg x cateto oposto BC
Ângulo em graus 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o
Ângulo em radianos 0 π/6
sen x 0 1/2
cos x 1
√
3/2
tg x 0
√
3/3
π/4
√ 2/2
√ 2/2
1
π/3
√ 3/2
π/2
1
1/2 0
√
3 não existe
Para efetuar a conversão de unidades, basta fazer uma regra de três simples baseada nas seguintes equivalências:
Por exemplo, para converter 20o para radianos:
180o 20
— π
o — x
⇒ x = π/9.
π radianos = 180 graus = 200 grados.
1

4 O Ciclo Trigonométrico
O ângulo x equivale ao arco AP .
Medidas algébricas:
sen x = ON cos x = OM tg x = AT
cosec x = OR sec x = OQ cotg x = OS
No triângulo retângulo hachurado:
teorema de Pitágoras: MP 2 + OM 2 = 1 ⇒ ON 2 + OM 2 = 1 ⇒ sen 2 x + cos 2 x = 1.
5 Identidades Trigonométricas
5.1 Relações Fundamentais
sen 2 x + cos 2 x = 1
5.2 Relações Auxiliares
tg x =
sen x
cos
cotg x = 1 cos x
=
tg x sen x
sec 2 x = 1 + tg 2 x cosec 2 x = 1 + cotg 2 x
2
sec x = 1
cos x
cosec x = 1
sen x

6 Funções Trigonométricas e seus Gráficos
6.1 Função Seno
Tipo: função ímpar, periódica, limitada, contínua.
Domínio: R.
Contradomínio: R.
Imagem: [−1, 1].
Período: 2π.
6.2 Função Co-seno (ou Cosseno)
Tipo: função par, periódica, limitada, contínua.
Domínio: R.
Contradomínio: R.
Imagem: [−1, 1].
Período: 2π.
6.3 Função Tangente
Tipo: função ímpar, periódica, ilimitada, descontínua.
Domínio: R − {π/2 + kπ | k ∈ Z}.
Contradomínio: R.
Imagem: R.
Período: π.
6.4 Função Co-tangente
Tipo: função ímpar, periódica, ilimitada, descontínua.
Domínio: R − {kπ | k ∈ Z}.
Contradomínio: R.
Imagem: R.
Período: π.
6.5 Função Secante
Tipo: função par, periódica, ilimitada, descontínua.
Domínio: R − {π/2 + kπ | k ∈ Z}.
Contradomínio: R.
Imagem: (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
Período: 2π.
6.6 Função Co-secante (ou Cossecante)
Tipo: função ímpar, periódica, ilimitada, descontínua.
Domínio: R − {kπ | k ∈ Z}.
Contradomínio: R.
Imagem: (−∞, −1] ∪ [1, +∞).
Período: 2π.
3

7 Breve Formulário de Trigonometria
7.1 Arco Soma e Arco Diferença
sen(x ± u) = sen x · cos u ± sen u · cos x
cos(x ± u) = cos x · cos u ∓ sen u · sen x
tg(x ± u) =
7.2 Arco Duplo
tg x ± tg u
1 ∓ tg x · tg u
cotg(x ± u) =
⎧
⎪⎩
cos 2 x − sen 2 x
⎪⎨
sen 2x = 2 · sen x · cos x cos 2x = 2 · cos2x − 1
7.3 Arco Triplo
1 − 2 · sen 2 x
cotg x · tg u ∓ 1
cotg x ± cotg u
tg 2x =
2 · tg x
1 − tg 2 x
sen 3x = 3 · sen x − 4sen 3 x cos 3x = 4cos 3 x − 3 · cos x tg 3x = 3 · tg x − tg3 x
1 − 3 · tg 2 x
7.4 Arco Metade
1 − cos x
sen(x/2) = ±
2
Se tg(x/2) = t, então:
sen x = 2t
1 + t 2
7.5 Fórmulas de Reversão
cos x =
cos(x/2) =
Estas fórmulas também são chamadas fórmulas de Werner:
cos(x + u) + cos(x − u) = 2 · cos x · cos u
cos(x + u) − cos(x − u) = −2 · sen x · sen u
sen(x + u) + sen(x − u) = 2 · sen x · cos u
sen(x + u) − sen(x − u) = 2 · cos x · sen u
1 + cos x
7.6 Fórmulas de Transformação em Produto
Estas fórmulas também são chamadas fórmulas de prostaférese:
x + u x − u
cos(x) + cos(u) = 2 · cos · cos
2
2
x + u x − u
cos(x) − cos(u) = −2 · sen · sen
2
2
x + u x − u
sen (x) + sen (u) = 2 · sen · cos
2
2
x + u x − u
sen (x) − sen (u) = 2 · cos · sen
2
2
2
1 − t2
1 + t2 tg x = 2t
1 − t2 4
1 − cos x
tg(x/2) = ±
1 + cos x

8 Funções Trigonométricas Inversas, Gráficos e Fórmulas
8.1 Função Arco Seno
Domínio: [−1, 1].
Contradomínio e imagem: [−π/2, π/2].
cos(arcsen x) = ± √ 1 − x 2
tg(arcsen x) =
±x
√ 1 − x 2
8.2 Função Arco Co-seno
Domínio: [−1, 1].
Contradomínio e imagem: [0, π].
sen(arccos x) = ± √ 1 − x 2
tg(arccos x) = ±√ 1 − x 2
8.3 Função Arco Tangente
x
Domínio: R.
Contradomínio e imagem: [−π/2, π/2].
sen(arctg x) =
cos(arctg x) =
±1
√ 1 + x 2
±x
√ 1 + x 2
9 Trigonometria em um Triângulo Qualquer
a b c
Lei dos senos: = = = 2R
sen α sen β sen γ
(R = raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC).
⎧
⎪⎨
Lei dos co-senos:
⎪⎩
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc · cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cos γ
a + b
Lei das tangentes:
a − b =
α + β
tg
2
α − β
tg
2
e analogamente para os outros lados.
5

10 Algumas Séries Envolvendo Trigonometria
sen x =
cos x =
∞
k=0
∞
k=0
arcsen x =
⎧
⎪⎨
arctg x =
⎪⎩
(−1) k · x 2k+1
(2k + 1)!
(−1) k · x 2k
∞
k=0
(2k)!
k
∞
k=0
π
2 +
ℓ=1
k ℓ=1 2k
= x − x3
3!
= 1 − x2
2!
(2k − 1)
(−1) k · x 2k+1
∞
k=0
− π
2 +
2k + 1
+ x4
4!
+ x5
5!
− x6
6!
− x7
7!
+ x8
8!
+ x9
9!
x11
− + · · · (x ∈ R)
11!
x10
− + · · · (x ∈ R)
10!
· x2k+1
2k + 1
= x + 1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7
· + · + · + · · ·
2 3 2 · 4 5 2 · 4 · 6 7
(−1 < x < 1)
= x − x3
3
+ x5
5
(−1) k+1 π 1
= −
(2k + 1) · x2k+1 2 x
∞
k=0
− x7
7
+ 1
3x
(−1) k+1
1
= −π −
(2k + 1) · x2k+1 2 x
+ x9
9
− x11
11
+ · · · (−1 < x < 1)
1 1 1
− + − + · · · (x ≥ 1)
3 5x5 7x7 9x9 + 1
3x
1 1 1
− + − + · · · (x ≤ −1)
3 5x5 7x7 9x9 6