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Séries – 2. Seqüências e Seqüências Limitadas
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br

Subseqüências
Conceito: Se os termos de uma seqüência aparecem em outra seqüência na
ordem dada delas, chamaremos a primeira de subseqüência da segunta.
Exemplo:
1.
Importância:
an : 1 2 3 4 . . . n . . .
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 8 27 64 . . . n 3 . . .
2.
an : 1 2 3 4 . . . n . . .
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 9 25 49 . . . (2n − 1) 2 . . .
1. Em alguns casos, sabendo que uma seqüência converge, pode ser mais
fácil calcular o valor do limite usando uma das subseqüências de {an}.
2. Se qualquer subseqüência de uma seqüência {an} diverge ou se duas
subseqüência têm limites diferentes, então {an} diverge.
Por exemplo: {an} = {(−1) n } = {−1, 1 − 1, 1, . . . }.
Neste caso, para n ímpar, temos a subseqüência {−1, −1, −1, . . . }.
Para n par: {1, 1, 1, . . . }. As duas subseqüências convergem para valores
diferentes. Logo {(−1) n } é divergente.

Seqüências Crescentes, Decrescentes, Monotônicas
Definição:
Uma seqüência {an} é crescente se:
an ≤ an+1 ∀ n ∈ N
Uma seqüência {an} é decrescente se:
an ≥ an+1 ∀ n ∈ N
Toda seqüência crescente ou decrescente é chamada de monotônica (ou
monótona).
Exemplos:
5
1. {an} =
n + 4
2. {an} = n + 1
n
= 1, 5 5
, , . . . é decrescente.
6 7
= 2, 2 + 1
2
Exemplo (1): Mostre que an = n
n 2 + 1
1
, 3 + , . . . é crescente.
3
é decrescente.

Seqüências Limitadas
Definição:
A seqüência {an} é limitada superiormente se existir um número M tq
an ≤ M, ∀ n ≥ 1
E é limitada inferiormente se existir um número m de forma que
m ≥ an, ∀ n ≥ 1
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, então {an} é uma
seqüência limitada.
Exemplos:
1. {an} = n é limitada inferiormente (an > 0) mas não superiormente.
2. {an} =
n
n + 1
é limitada, pois 0 < an < 1, para todo n.
3. {an} = (−1) n é limitada inferiormente e superiormente (−1 ≤ an ≤ 1),
mas não é convergente.

Seqüência Monotônica
Teorema: Toda seqüência limitada, monotônica, é convergente.
Seqüências Recursivas: São seqüências cujo termo an+1 é definido a partir
do termo an. Para isto precisamos conhecer:
• o termo inicial;
• a regra de formação da seqüência, chamada fórmula recursiva.
Exemplo (2): Investigue a seqüência {an} definida pela relação de recorrência:
a1 = 2, an+1 = 1
2 (an + 6) , para n = 1, 2, 3, . . .
Exercícios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas: 19 e 20;
Exercícios: 1 à 24.