Aula 4 - Adição e Subtração de Vetores Cartesianos

Mecânica Técnica
Aula 4 – Adição e Subtração de
Vetores Cartesianos
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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Tópicos Abordados Nesta Aula
Operações com Vetores Cartesianos.
Vetor Unitário.
Ângulos Diretores Coordenados.
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Componentes retangulares de um vetor
Um vetor A pode ter um, dois ou três
componentes ao longo dos eixos de
coordenadas x, y e z.
A quantidade de componentes
depende de como o vetor está
orientado em relação a esses eixos.
Sistema de coordenadas utilizando a
regra da mão direita.
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Vetor Unitário
A direção de A é especificada usando-se
um vetor unitário, que possui esse nome
por ter intensidade igual a 1.
Em três dimensões, r r r o conjunto de
vetores unitários i , j,
k é usado para
designar as direções dos eixos x, y e z
respectivamente.
Para um vetor A: Para um vetor Força:
r
r
r A
r F
u A =
uF =
A
F
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Representação de um Vetor Cartesiano
Um vetor cartesiano é escrito
sob a forma de suas
componentes retangulares.
As componentes representam a
projeção do vetor em relação
aos eixos de referência.
Quando se escreve um vetor na
forma cartesiana suas
componentes ficam separadas
em cada um dos eixos e facilita
a solução da álgebra vetorial.
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Vetor cartesiano:
r r r r
A = Axi
+ Ay
j + Azk
Módulo do vetor cartesiano:
2
x
2
y
A = A + A +
A
2
z
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Ângulos Diretores Coordenados
A orientação de um vetor no espaço é definida pelos ângulos
diretores coordenados α, β, e γ medidos entre a origem do vetor e os
eixos positivos x, y e z.
cosα
=
cos β =
cosγ
=
r
Ax A
r
Ay A
r
Az A
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Determinação dos Ângulos
Diretores Coordenados
r
u A
r
u
A
r
A A r A r A r
x y z
= = i + j + k
A A A A
r r
= cos α i + cosβ
j + cosγ
2
2
2
cos α
+ cos β + cos γ = 1
r
k
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Sistemas de Forças Concorrentes
Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de várias
forças concorrentes, a força resultante será a soma de todas as
forças do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:
r
r r r r
= F k
∑ F = ∑ Fxi
+ ∑ Fy
j + ∑
FR z
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Exercício 1
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1) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da
força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.
N N
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Solução do Exercício 1
r
F R
Vetor força resultante:
r
FR =
r r r
F = F1
+ F2
∑
r r r r r
= ( 50i
−100
j + 100k
) + ( 60 j + 80k
)
r
F R
r r r
= ( 50i
− 40 j + 180k
)
Módulo da força resultante:
FR
=
2 2
50 + 40 +
R
= 191
F N
180
2
N
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N
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Solução do Exercício 1
Vetor unitário da força resultante:
r
r F F r F r
R Rx Ry F r
Rz
uF
= = i + j + k
R F F F F
r
r
uFR uFR R
=
R
50 r
i −
191
40
191
R
r 180 r
j + k
191
r r r
= 0 , 261i
− 0,
209 j + 0,
942k
FRx FR
r
Ângulos diretores:
cosα
=
cos α = 0,
261
α = arccos( 0,
261)
α = 74,
8°
R
β =
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cosβ
=
F r
F
Ry
R
cos β = −0,
209
arccos(−0,
209)
cosγ
=
cos γ =
F r
F
Rz
R
0,
942
β = 102°
γ = arccos( 0,
942)
= 19,
6°
γ
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Exercício 2
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2) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique
os ângulos diretores coordenados de F 2 , de modo que a força
resultante F R atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de
800N.
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Solução do Exercício 2
Determinação de F1 :
r
r r r
F1
= F1
⋅cosα
1i
+ F1
⋅cos
β1
j + F1
⋅cos
γ 1k
r
r
r
r
F = 300 ⋅ cos 45°
i + 300 ⋅ cos 60°
j + 300 ⋅ cos120°
k
1
r
F
Força Resultante:
r r
= 800 j N
1
F R
r r r
= 212,
2i
+ 150 j −150k
N
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Determinação de F2 :
r r r
FR = F1
+ F2
r r r r r
800 j = 212,
2i
+ 150 j −150k
+ F2
r r r r r
F2
= 800 j − 212,
2i
−150
j + 150k
r r r r
F = −212,
2i
+ 650 j + 150k
N
2
F
2
Módulo de F 2 :
=
2 2
212 , 2 + 650 +
2 = F
700N
150
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2

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Solução do Exercício 2
Ângulos Diretores de F 2 :
α 2
⎛ 2
α = ⎜
2 arccos
⎝ F2
F x
⎞
⎟
⎠
⎛ − 212,
2
= arccos⎜
⎝ 700
α 2
= 108°
⎛ 2
β = ⎜
2 arccos
⎝ F
β 2
F y
2
⎞
⎟
⎠
⎛ 650 ⎞
= arccos⎜
⎟
⎝ 700 ⎠
β2
= 21,
8°
⎞
⎟
⎠
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γ
γ 2
2
⎛ 2 = arccos ⎜
⎝ F
F z
2
⎞
⎟
⎠
⎛ 150
= arccos⎜
⎝ 700
γ 2
= 77,
6°
⎞
⎟
⎠
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Exercícios Propostos
1) Expresse a força F como um vetor cartesiano.
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Exercícios Propostos
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2) A peça montada no torno está sujeita a uma força de 60N.
Determine o ângulo de direção β e expresse a força como um vetor
cartesiano.
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Exercícios Propostos
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3) O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os
ângulos diretores α1 , β1 , e γ1 de F1 , de modo que a força resultante
r r
que atua sobre o mastro seja =
( 350i
) N
F R
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Exercícios Propostos
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4) Os cabos presos ao olhal estão submetidos as três forças
mostradas. Expresse cada força na forma vetorial cartesiana e
determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força
resultante.
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Exercícios Propostos
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5) O suporte está sujeito as duas forças mostradas. Expresse cada
força como um vetor cartesiano e depois determine a força resultante,
a intensidade e os ângulos coordenados diretores dessa força.
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Vetores Posição.
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Vetor Força Orientado ao Longo de uma
Reta.
Produto Escalar Aplicado na Mecânica.
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