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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 

Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 

Cristina Almeida Magalhães 

ANÁLISE DE NOVOS MÉTODOS NUMÉRICOS NA TÉCNICA 

FOTOELÁSTICA DIGITAL USANDO O DESLOCAMENTO DE FASE 

Belo Horizonte 

2011


ANÁLISE DE NOVOS MÉTODOS NUMÉRICOS NA TÉCNICA 

FOTOELÁSTICA DIGITAL USANDO O DESLOCAMENTO DE FASE 

Tese apresentada ao programa de Pós- 

Graduação em Engenharia Mecânica da 

Pontifícia Universidade Católica de Minas 

Gerais, como requisito parcial para obtenção 

do título de Doutor em Engenharia Mecânica. 

Orientador: Perrin Smith Neto 

Co-orientador: Pedro Américo A. M. Júnior 

Belo Horizonte 

2011

FICHA CATALOGRÁFICA 

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 

Magalhães, Cristina Almeida 

M188a Análise de novos métodos numéricos na técnica fotoelástica digital usando o 

deslocamento de fase / Cristina Almeida Magalhães. Belo Horizonte, 2011. 

350f. : il. 

Orientador: Perrin Smith Neto 

Coorientador: Pedro Américo Almeida Magalhães Júnior 

Tese (Doutorado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. 

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. 

1. Fotoelasticidade. 2. Medidores de tensão. 3. Transformações de fase (Fisica 

estatistica). I. Smith Neto, Perrin. II. Mgalhães Júnior, Pedro Américo Almeida. 

III. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós- 

Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título. 

CDU: 539.3


ANÁLISE DE NOVOS MÉTODOS NUMÉRICOS NA TÉCNICA FOTOELÁSTICA DIGITAL 

USANDO O DESLOCAMENTO DE FASE 

Tese de Doutorado submetida à banca 

examinadora designada pelo Colegiado 

do Programa de Pós-Graduação em 

Engenharia Mecânica da Pontifícia 

Universidade Católica de Minas Gerais 

como parte dos requisitos necessários à 

obtenção do grau de Doutor em 

Engenharia Mecânica. 

Prof. Perrin Smith Neto - Presidente,(Orientador) - PUC Minas 

r. IJ 

r)v"L i; Ir "'", iv

Aos meus pais Pedro Américo e Maria das Graças, 

pelo exemplo e dedicação; 

ao meu noivo Henrique, 

pelo amor e compreensão; 

e aos meus queridos irmãos 

Pedro, Afonso, Marcos, Rodrigo e Rafael; 

pelo incentivo e carinho.

AGRADECIMENTOS 

Ao meu orientador, Professor Doutor Perrin Smith Neto, pela brilhante 

experiência e meticulosa orientação responsável pela realização deste trabalho. 

Ao meu co-orientador, Professor Doutor Pedro Américo Almeida Magalhães 

Júnior, pela admirável dedicação e assistência na confecção da tese. 

Aos professores Clovis e Paulo Roberto pelas construtivas sugestões feitas 

na qualificação, que contribuíram bastante para realização desta pesquisa. 

À CAPES pela bolsa de pesquisa que tornou possível minha dedicação 

exclusiva ao programa. 

À FAPEMIG pelo incentivo financeiro à compra de materiais fundamentais à 

pesquisa realizada. 

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica 

que, além de excelentes e essenciais exposições ministradas durante o curso, 

ofereceram absoluto estímulo além de seguras e preciosas orientações. 

Aos colegas e amigos, pelo apoio e conhecimento compartilhado. 

E a todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização desta 

pesquisa científica.

RESUMO 

A fotoelasticidade digital é um importante seguimento da metrologia ótica para 

análise de tensões e deformações de campo completo através de imagens 

fotográficas digitais. Os avanços no processamento digital de imagens, na aquisição 

de dados, nos procedimentos para reconhecimentos de padrões e na capacidade de 

armazenamento possibilitam a utilização das técnicas auxiliadas por computador na 

automatização e aperfeiçoamento da técnica fotoelástica digital. Objetivou-se, nesse 

trabalho, encontrar novas equações inéditas para o método de deslocamento de 

fase em fotoelasticidade digital. Algumas inovações são propostas, como em relação 

às mudanças de fase, realizadas apenas rotacionando o analisador, outra, pela 

dedução de novas equações aplicando uma técnica numérica em vez das técnicas 

algébricas usuais. Também, pode-se utilizar no cálculo uma maior sequência de 

imagens. Cada imagem representa uma observação da amostra e uma medição das 

tensões no objeto. Obteve-se diminuição dos erros médios com o aumento do 

número de observações. Toda imagem fotográfica apresenta erros e ruídos 

aleatórios, mas, com um número maior de observações, as incertezas devido a 

esses efeitos podem ser reduzidas. 

Palavras-chaves: Fotoelasticidade digital, deslocamento de fase, análise 

experimental, medição de tensão/deformação.

ABSTRACT 

Digital Photoelasticity is an important optical metrology follow-up for stresses and 

strains analysis using full field digital photographic images. Advances in digital image 

processing, data acquisition, procedures for pattern recognition and storage capacity 

enable the computer-aided techniques use in automation and improvement of digital 

photoelastic technique. The objective of this research is to find new equations for 

novel phase-shifting method in digital photoelasticity. Some innovations are 

proposed, as in relation to phase-shifting, only by rotating the analyzer, and the 

deduction of other equations by applying a new numerical technique instead of the 

usual algebraic techniques. Also, they can be used to calculate a larger sequence of 

images. Each image represents a pattern and measuring observation of the stresses 

on the object. A decrease in the mean errors was obtained by increasing number of 

observations. Every photographic image has errors and random noise, but the 

uncertainties due to these effects can be reduced with a larger number of 

observations. 

Keywords: Digital Photoelasticity, phase-shifting, experimental analysis, 

measurement of stress-strain.

LISTA DE FIGURAS 

FIGURA 1- Retardo da luz δ, devido à passagem por um meio 

transparente...................................................................................... 37 

FIGURA 2- Esquema ilustrando o fenômeno da birrefringência mecânica 

gerado pela refração dupla temporária............................................. 38 

FIGURA 3- Luz penetrando placa circular birrefringente..................................... 39 

FIGURA 4- Comportamento dos vetores de luz ao passarem pelo polarizador 

e analisador em um polariscópio plano............................................. 42 

FIGURA 5- Foto de franjas isocromáticas coloridas (utilização de luz branca) 

tirada no Laboratório de Análise estrutural da PUC Minas............... 44 

FIGURA 6- Modelo de franjas produzidas por computador em um disco 

comprimido diametralmente: (a) Franjas fotoelásticas; (b) Franjas 

Isocromáticas (c) Franjas Isoclínicas................................................ 45 

FIGURA 7- Exemplo da mudança das franjas isoclínicas produzidas pela 

rotação do conjunto de filtros: (a) 0 ; (b) π/8 ; (c) π/4 ; (d) 3π/8...... 45 

FIGURA 8- Disposição dos Elementos Óticos em um Polariscópio Circular....... 46 

FIGURA 9- Esquema de um polariscópio digital circular..................................... 49 

FIGURA 10- Esquema de um polariscópio digital plano........................................ 50 

FIGURA 11- Luz polarizada (a) entrando na placa birrefringente (b) deixando a 

placa birrefringente........................................................................... 50 

FIGURA 12- (a) Campo escuro e (b) Claro de franjas isocromáticas de um 

disco em um polariscópio circular (mesma configuração (a), 

exceto )................................................................................ 53 

FIGURA 13- Arranjo genérico de: (a) polariscópio plano; (b) polariscópio 

circular, e (c) polariscópio semi-circular............................................ 58 

FIGURA 14- Simulação teorica dos mapas de fase para um disco sob 

compressão diametral (um quarto é mostrado) (a) mapa de fase 

isoclínico com zona inconsistente e (b) mapa de fase das 

isocromáticas com zona ambígua. O esqueleto isocromático visto 

em (a) é onde a isoclínica não está definida..................................... 

FIGURA 15- Zona ambígua: (a) limite não visto distintamente: (b) limite visto 

distintamente, (c) limite é sutil; (d) variação das isoclínicas ao 

longo da profundidade do mapa de fase mostrado na (c). Zonas 

ambíguas são corrigidos por: (e) abordagem interativa; (f) 

Abordagem de processamento de imagem, (g) monitoramento do 

valor isoclínico; (h) a variação das isoclínicas ao longo da 

profundidade no mapa de fase mostrado na (g)............................... 67 

65

FIGURA 16- Fatia de tensão congelada de fuselagem quadrados (a) de cor as 

isocromáticas no campo escuro. A representação da imagem em 

escala de cinza de variação obtida por ordem de franja (b) TFP 

sem adaptação de cor, (c) TFP com a adaptação de cor, (d) RTFP 

pedida (c), (e) isocromáticas suavizadas na trama de cores............ 72 

FIGURA 17- Anel em compressão diametral. Obtidos experimentalmente: (a) 

mapa de fase envolvendo as isoclínicas (com zonas 

inconsistentes marcadas), (b) mapa de qualidade para identificar 

as zonas de boa qualidade e de má qualidade no mapa de fase de 

isoclínicas. Desempacotamento dos mapa de fase das isoclínicas: 

(c) antes do alisamento (esqueletos fracos das isocromáticas são 

realmente ruídosos), (d) após o alisamento. Enredo binário de 

isoclínicas: (e) antes de alisamento, e (f) após o alisamento, (g) 

mapa de fase das isocromáticas livre de zonas ambíguas obtidas 

pelo método de dez passos; (h) mapa de qualidade para identificar 

as zonas de boa qualidade e de má qualidade em mapa de fase 

das isocromáticas; (i) representação em cores de isocromáticas 

desempacotadas............................................................................... 76 

FIGURA 18- Variação de tensões individual (suavizada) para o problema de um 

anel em compressão diametral determinado pelo algoritmo de 

diferença de cisalhamento. Pseudo-tensão franja contornos: (a) 

; (b) ; (c) ; (d) comparação quantitativa de componentes de 

tensão individuais obtidos utilizando diferença de cisalhamento 

com componentes de tensão obtidas analiticamente....................... 78 

FIGURA 19- (a) Esfera submetido à compressão usando dez nós nos 

elementos; (b) localização da fatia; (c) imagem de campo 

experimental escuro, e (d) isocromáticas no campo escuro 

plotados a partir dos resultados FEM............................................... 80 

FIGURA 20- Disco circular em três cargas radiais: (a) malha FEM com 

condições de contorno, (b) obtidos numericamente embrulhados 

no mapa de fase isoclínico; (c) obtidos numericamente pelo 

desempacotamento do mapa de fase isoclínico, (d) experimental 

embrulhado no mapa de fase isoclínico; (e) obtidos 

experimentamente pelo desempacotamento do mapa de fase 

isoclínico; (f) obtido numericamente pelo mapa de fase das 

isocromáticas com zonas ambíguas; (g) obtidos numericamente 

pelo mapa de fase das isocromáticas sem zonas ambíguas; (h) 

mapa de fase experimental das isocromáticas com zonas 

ambíguas, e (i) mapa de fase experimental isocromáticas sem 

zonas ambíguas................................................................................ 81 

FIGURA 21- Os dois polariscópios convencionais utilizados por Asundi e Liu..... 90 

FIGURA 22- Arranjo ótico para um polariscópio circular..................................... 93 

FIGURA 23- Polariscópio da Strainoptic Technologies, Inc. modelo PS-100 

existente no laboratório análise experimental do programa de pósgraduação 

em Engenharia Mecânica da PUC-Minas....................... 96

FIGURA 24- Vista da graduação em graus do analisador do Polariscópio que 

irá rotacionar de -45 o a 45 o ............................................................... 97 

FIGURA 25- Gráfico da tangente de um arco em radianos................................... 211 

FIGURA 26- Algoritmo para teste numérico-matemático das novas equações 

de cálculo. A função Aleatorio() retorna um número real randômico 

(aleatório) entre -1 (menos um) e 1 (um), diferente a cada 

chamada da função........................................................................... 212 

FIGURA 27- Exemplo de amostra submetida a compressão................................ 214 

FIGURA 28- Exemplo de imagem de experimento fotoelástico em um disco 

circular submetido à cargas de compressão obtido pelo software 

MatLab®.......................................................................................... 215 

FIGURA 29- Exemplo de simulação de franjas usando as equações acima 

feitas no Microsoft Office Excel®, onde cada cor significa 0,5 N 

(ordem de franja)............................................................................... 215 

FIGURA 30- (a) mapa de fase de um disco circular em compressão diametral 

(b) variação da ordem de franja ao longo do diâmetro horizontal..... 222 

FIGURA 31- (a) Representação de um elemento típico para calcular 

incrementos na direção x e y e (b) representação da digitalização 

incrementos no sistema de coordenadas naturais............................ 230 

FIGURA 32- Disco submetido a compressão diametral........................................ 231 

FIGURA 33- (a) Ruído com padrão fixo, exposição longa e baixo ISO; (b) Ruído 

aleatório, exposição curta e alto ISO; (c) Ruído em banda, câmera 

suscetível e sombras clareadas........................................................ 233 

FIGURA 34- Conjunto com 3 imagens, passo igual a 45°, do disco sob 

compressão diametral....................................................................... 238 













FIGURA 41- Conjunto com 19 imagens, passo igual a 6°, do disco sob


FIGURA 41- Conjunto com 31 imagens, passo igual a 3°..................................... 244 

FIGURA 42- Exemplos de ruídos e imperfeições em fotografias de aplicações 

fotoelásticas reais............................................................................. 244 

FIGURA 43- Equipamentos básicos utilizados...................................................... 247 

FIGURA 44- Dispositivo desenvolvido para facilitar a rotação do analisador........ 248 

FIGURA 45- Fluxograma do processamento aplicado para Técnica Fotoelástica 

Digital com Deslocamento de Fase.................................................. 249 

FIGURA 46- Gráfico com a relação entre a média do erro médio encontrado 

para e número de imagens............................................................ 258 

FIGURA 47- Gráfico com a relação entre a média do erro médio encontrado 

para e número de imagens............................................................ 259 

FIGURA 48- Conjunto com 4 imagens geradas acrescidas de ruídos, com 

passo igual a 30°, do disco circular sob compressão diametral....... 271 

FIGURA 49- Imagens fotográficas com deslocamentos de fase necessários 

para aplicação do algoritmo de Patterson e Wang........................... 275

LISTA DE TABELAS 

TABELA 1- Arranjos óticos e as equações para estimação de parâmetros 

pelo método de dez imagens........................................................ 74 

TABELA 2- Algoritmo de Patterson e Wang.................................................... 88 

TABELA 3- Algoritmo de Asundi e Liu 91 

TABELA 4- Arranjos óticos e suas equações de intensidade........................ 94 

TABELA 5- Relação do número de imagens N e o posso constante em 

graus de rotação do analisador θ................................................. 97 

TABELA 6- Equações encontradas resolvendo os Modelos 4.39 e 4.40 ou o 

Modelo 4.41, usando o método Simplex com passo constante 

entre -π⁄4 e π⁄4 para N (número de imagens) igual a 3................ 

TABELA 7- Equações encontradas reescrita na configuração matricial, para 

melhorar o entendimento, com passo constante entre -π⁄4 e π⁄4 

para N (número de imagens) igual a 3......................................... 117 

TABELA 8- Equações encontradas resolvendo os modelos 4.39 e 4.40 ou o 


entre -π⁄4 e π⁄4 para N (número de imagens) igual a 4................ 118 

TABELA 9- Equações encontradas reescritas na configuração matricial, 

com passo constante entre -π⁄4 e π⁄4 para N (número de 

imagens) igual a 4......................................................................... 109 

TABELA 10- Equações encontradas resolvendo os Modelos 4.39 e 4.40 ou o 


entre -π⁄4 e π⁄4 para N (número de imagens) igual a 5................ 

TABELA 11- Equações encontradas reescrita na configuração matricial, para 

melhorar o entendimento, com passo constante entre -π⁄4 e π⁄4 














117 

120

TABELA 16- Equações encontradas com passo constante entre -π⁄4 e π⁄4 

para N (número de imagens) igual a 10....................................... 125 

TABELA 17- Equações encontradas com passo constante entre -π⁄4 e π⁄4 

para N (número de imagens) igual a 11....................................... 126 



entre -π⁄4 e π⁄4 para N (número de imagens) igual a 16.............. 127 



entre -π⁄4 e π⁄4 para N (número de imagens) igual a 19.............. 129 

TABELA 20- Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 3 

com igual a -45 o , -35 o e -25 o ...................................................... 132 

TABELA 21- Equações encontradas reescritas na configuração matricial 



com igual a -45 o , -35 o , -25 o e -15 o ............................................. 133 




com igual a -45 o , -35 o , -25 o , -15 o e -5 o ....................................... 134 

TABELA 25- Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 6.... 135 




TABELA 29- Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 10.. 139 

TABELA 30- Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 3 e 

passo igual a 9 o ............................................................................. 140 




passo igual a 9 o ............................................................................. 141 




passo igual a 9 o ............................................................................. 143 

TABELA 35- Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 6 e

passo igual a 9 o ............................................................................. 143 


passo igual a 9 o ............................................................................. 144 


passo igual a 9 o ............................................................................. 145 


passo igual a 9 o ............................................................................. 146 


e passo igual a 9 o .......................................................................... 147 




passo igual a 6 o ............................................................................. 149 




passo igual a 6 o ............................................................................. 150 




passo igual a 6 o ............................................................................. 152 


passo igual a 6 o ............................................................................. 152 


passo igual a 6 o ............................................................................. 153 


passo igual a 6 o ............................................................................. 154 


passo igual a 6 o ............................................................................. 155 






passo igual a 5 o ............................................................................. 158 


para N (número de imagens) igual a 3......................................... 158


passo igual a 5 o ............................................................................. 159 




passo igual a 5 o ............................................................................. 161 


passo igual a 5 o ............................................................................. 161 


passo igual a 5 o ............................................................................. 162 


passo igual a 5 o ............................................................................. 163 


passo igual a 5 o ............................................................................. 164 






passo igual a 3 o ............................................................................. 167 




passo igual a 3 o ............................................................................. 168 




passo igual a 3 o ............................................................................. 170 


passo igual a 3 o ............................................................................. 170 


passo igual a 3 o ............................................................................. 171 


passo igual a 3 o ............................................................................. 172 


passo igual a 3 o ............................................................................. 173 

TABELA 72- Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 10





passo igual a 1 o ............................................................................. 176 




passo igual a 1 o ............................................................................. 177 




passo igual a 1 o ............................................................................. 179 


passo igual a 1 o ............................................................................. 179 


passo igual a 1 o ............................................................................. 180 


passo igual a 1 o ............................................................................. 181 


passo igual a 1 o ............................................................................. 182 






com coeficientes inteiros............................................................... 185 










para N (número de imagens) igual a 5......................................... 189









TABELA 95- Quatro equações encontradas para N (número de imagens) 

igual a 4 e com passo constante de -45 o a 45 o ............................. 195 








igual a 4 e passo igual a 6 o ........................................................... 199 















TABELA 107- Estrutura dos dados de uma amostra pareada............................. 253 

TABELA 108- Erro médio em 10 -6 radianos dos 10 conjuntos de imagens 

aplicadas às tabelas de equações numeradas para o cálculo de 

α.................................................................................................... 

TABELA 109- Valor P para α das comparações dos erros médios das 

256

equações aplicadas...................................................................... 257 



.................................................................................................... 257 

TABELA 111- Valor P para das comparações dos erros médios das 




α.................................................................................................... 





.................................................................................................... 260 





α.................................................................................................... 





.................................................................................................... 262 





α com passo fixo de 6° e máximo de 16 imagens........................ 264 





com passo fixo de 6° e máximo de 16 imagens........................ 265 






259 

261




















α.................................................................................................... 





.................................................................................................... 273 



TABELA 136- Erro médio em 10 -6 radianos do conjunto de imagens da Figura 

6.15 para os cálculos de e ...................................................... 275 

TABELA 137- Média do erro médio em 10 -6 radianos dos 10 conjuntos de 

imagens com passo constante..................................................... 278 

272

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 

x = Média Aritmética da Amostra 

= = precisão = dimensão ou ordem do erro numérico 

= Número PI (3,1415926535897932384626433832795) 

a = erro de arredondamento 

d= valor médio das diferenças dj para a população de todos os pares 

2D = Bidimensional 

3D = Tridimensional 

* = ´ = ’ = Mapa de fase de = * [-/2, /2] 

* = ´ = ’ = Mapa de fase de = * [-, ] 

BB = Método de Branch-and-Bound = Método Branch-Bound = Método de 

Ramificar e Limitar 

bit = Unidade de medida da informação (Binary digIT) 

byte = Conjunto de 8 bits (BinarY TErm) 

e 

= complexos conjugados de e 

= analisador com ângulo θ em relação ao eixo x 

= primeira placa de um quarto de onda com o eixo rápido em 

= segunda placa de um quarto de onda com o eixo rápido em φ 

e = componentes ao longo do campo em luz e perpendicular ao eixo do 

analisador 

= intensidade de luz fundo/difusa 

= intensidade máxima da luz emergindo do analisador ou modulação de franja 

= pixel com ruído sal ou pimenta 

e = verdadeiros valores de e 

e = tensões principais 

e = tensões normais 

a = amplitude do vetor de luz 

A1 = componente do feixe de luz entrando ao longo do eixo lento da placa 

A2 = componente do feixe de luz entrando ao longo do eixo rápido da placa 

A3 = componente do feixe de luz saindo ao longo do eixo lento da placa 

A4 = componente do feixe de luz saindo ao longo do eixo rápido da placa

ABNT = Associação Brasileira de Normas Técnicas é o órgão responsável pela 

normalização técnica no país, fornecendo a base necessária ao desenvolvimento 

tecnológico brasileiro 

Abs = abs = ABS = Valor Absoluto = Modulo de um Número (símbolo | |) 

Aleatorio() = Função matemática de retorna um número randômico(aleatório) 

retorna entre -1 (menos um) e 1 (um) 

ASA = American Standards Association (americano) = Associação de Padronização 

Americana 

c1 = velocidade no eixo 1 

c2 = velocidade no eixo 2 

car = velocidade da luz no ar 

CD = disco compacto = Compact Disc = meio de armazenamento de dados digitais 

cm = velocidade da luz no meio transparente 

cos = COS = Função cosseno ângulos em radianos 

cr,s e er,s = coeficientes das matrizes dos numeradores 

DEN[r,s] =matriz de coeficientes do denominador 

dj= diferenças individuais entre os dois valores em um único par 

dr,s e fr,s = coeficientes das matrizes dos denominadores 

E = magnitude do vetor de luz 

E = Módulo de elasticidade = Módulo de Young 

FEM = métodos de elementos finitos (finite element modelling) 

Frames = Quadros = Imagens 

FT = Transformada de Fourier 

fσ = fator de franja do material 

Gbyte = Gigabyte = 2 30 bytes 

h = espessura do modelo fotoelástico 

H = hipótese alternativa 

I = intensidade luminosa de saída 

IN = intensidade luminosa emergente do polariscópio em cada ponto de cada 

imagem N. 

ISO = International Organization for Standardization = Organização Internacional de 

Padronização 

j = um número inteiro

k = amplitude ângular do vetor de luz 

K = constante proporcional ou intensidade máxima de luz emergindo do analisador 

Kbyte = Kilobyte = 1024 bytes = 2 10 bytes 

ko = coeficiente de tensão ótica 

LCD = Liquid Crystal Display (Display de Cristal Líquido) 

Megapixel = 2 20 pixéis 

mm = milímetro = 10 -3 metros 

N = número de imagens, quadros ou observações 

n = ordem de franja 

n1 = índice de refração no eixo 1 

n2 = índice de refração no eixo 2 

nm = índice de refração no meio transparente 

np= é o número de pares de dados 

NTESTE =número de testes 

NUM[r,s] =matriz de coeficientes do numerador 

P = carga aplicada 

pixel = Picture element (elemento da imagem) 

PL = Programação matemática linear (Otimização) 

PST = técnica de deslocamento de fase (phase-shifting technique) 

PUC-MG = PUC-Minas = Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 

Pβ = polarizador cujo eixo de transmissão faz ângulo com o eixo x. 

R = raio do disco fotoelástico 

r, s e = índices usados como contadores pelo modelo matemático 

rad = Radiano 

RGB = colorido em vermelho, verde e azul (red, green and blue) 

RGBP= fotoelasticidade em RGB (RGB Photoelasticity) 

RPT = monitoramento de regularização de fase (regularized phase tracking) 

Rα δ = amostra tensionada tomado δ como um retardo e cujo eixo é rápido em um 

ângulo α com o eixo x. 

s = Desvio Padrão da Amostra 

sen = sin = Função seno ângulos em radianos 

Sqrt = SQRT = sqrt = Square Root = Raiz Quadrada ( ) 

t = tempo

tan = tg = Função tangente ângulos em radianos 

tan -1 = arctan = arctg = Função tangente inversa ou arco tangente (Arco Tangente) 

Teste t = Teste “Student” = Teste Estatístico de Comparação de Duas Médias com 

Dados Emparelhados 

TFP = fotoelasticidade três franjas (three-fringe photoelasticity) 

Tm = gradiente limiar do ruído a ser removido 

U1 = componente do feixe de luz ao longo do eixo x 

Unwrapping = Unwrapped = Desempacotamento 

V1 = componente do feixe de luz ao longo do eixo y 

W = função de desempacotamento (unwrapping) 

x = posição do pixel na direção horizontal da imagem 

y = posição do pixel na direção vertical da imagem 

z1 = ponto arbitrário ao longo do eixo de propagação da luz 

= nível de significância = probabilidade de o teste estatístico cair na região de 

rejeição 

α’ e ’ valores atribuídos aleatoriamente para α e , respectivamente 

= probabilidade do erro tipo II 

Δ = deslocamento de fase em relação angular 

δ = retardo relativo fornecido pelas franjas isoclínicas 

ε1 e ε2 = deformações principais 

θ = ângulo do analisador em relação ao eixo x 

λ = comprimento de onda da luz 

Ψ = mapa de fase desempacotado 

Ψ(x) = função de modulação do padrão de franjas 

ω = frequência ângular do vetor de luz 

= constates reais do numerador de 

= constates reais do denominador de 



= número imaginário 

= direções das tensões principais dadas pelas franjas isoclínicas ou ângulo entre o 

eixo lento e eixo x da placa birefringente 

= ângulo do polarizador em relação ao eixo x

= tensão cisalhante 

= ângulo do segundo um quarto de onda entre o eixo lento e o eixo x 

= ângulo do primeiro um quarto de onda entre o eixo lento e o eixo x

SUMÁRIO 

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 29 

1.1 Justificativa ......................................................................................................... 30 

1.2 Hipóteses ........................................................................................................... 31 

1.3 Objetivos ............................................................................................................ 32 

1.3.1 Objetivo Geral ................................................................................................. 32 

1.3.2 Objetivos Específicos ...................................................................................... 33 

1.4 Organização da Tese ......................................................................................... 33 

2 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS ............................................................................ 35 

2.1 A Técnica Fotoelástica ....................................................................................... 35 

2.2 Breve Introdução a Fotoelasticidade Digital ....................................................... 48 

2.3 Conclusão do Capítulo ....................................................................................... 54 

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................. 55 

3.1 Introdução do capítulo ........................................................................................ 55 

3.2 Primeiros métodos de avaliação para o parâmetro fotoelástico ......................... 57 

3.3 Métodos para avaliar parâmetros isoclínicos .................................................... 62 

3.4 Zonas especiais dos mapas de fase e desempacotamento de fase .................. 63 

3.5 Métodos de quatro passos ................................................................................. 68 

3.6 Avaliação total da ordem de franja utilizando uma única imagem ...................... 69 

3.7 Métodos compostos para à estimação de parâmetros fotoelásticos .................. 73 

3.8 Separação das Tesões....................................................................................... 77 

3.9 Fusão de prototipagem rápida, FEM, e fotoelasticidade digital .......................... 79 

3.10 Conclusões do capítulo .................................................................................... 82 

4 METODOLOGIA MATEMÁTICA ........................................................................... 84 

4.1 Introdução do capítulo ........................................................................................ 85 

4.2 Deslocamento de fase na fotoelasticidade Digital .............................................. 85 

4.2.1 Método de compensação Tardy ..................................................................... 86 

4.2.2 Algoritmo de Patterson e Wang ...................................................................... 87 

4.2.3 Método de deslocamento de fase usando um polariscópio circular convencional 

(Algoritmo de Asundi e Liu (1999)) .................................................................. 89 

4.2.4 O método de deslocamento de fase em quatro passos .................................. 91 

4.2.5 Separação das franjas isocromáticas e isoclínicas pela técnica de 

deslocamento de fase ...................................................................................... 92 

4.3 Novo modelo matemático proposto nesta pesquisa ........................................... 95 

4.4 Modelo matemático .......................................................................................... 106 

4.5 Método de programação linear: o método simplex ........................................... 110 

4.5.1 O quadro simplex .......................................................................................... 110 

4.5.2 Uma simplificação do Quadro 4.1.................................................................. 111 

4.5.3 Modificações para programas com variáveis artificiais .................................. 112 

4.6 Método Branch-Bound ..................................................................................... 113 

4.7 Principais equações de cálculo obtidas ............................................................ 116 

4.7.1 Equações com passo constante no ângulo do analisador ( ) entre 

e .................................................................................................. 116 

4.7.2 Equações com passo fixo de variando entre e , máximo de 

10 imagens (N=10) ....................................................................................... 131

4.7.3 Equações com passo fixo de variando entre e , máximo de 16 

imagens (N=11) ............................................................................................ 140 


imagens (N=16) ............................................................................................ 149 


imagens (N=19) ............................................................................................ 158 


imagens (N=31) ............................................................................................ 167 


imagens (N=91) ............................................................................................ 176 

4.7.8 Equações com passo constante no ângulo do analisador (θ) e coeficientes 

inteiros .......................................................................................................... 185 

4.7.9 Outras equações obtidas .............................................................................. 195 

4.8 Testes das equações obtidas .......................................................................... 208 

4.8.1 Teste numérico matemático das equações obtidas ..................................... 209 

4.8.2 Testes pelo modelo matemático de análise analítica para as equações 

obtidas .......................................................................................................... 213 

4.9 Quantas imagens usar no cálculo de fase ....................................................... 216 

4.10 Conclusões do capítulo .................................................................................. 218 

5 METODOLOGIA DE TRATAMENTO DE IMAGENS .......................................... 219 

5.1 Passagem do retardo (δ) de [0, /2] para [-, ] e do ângulo isoclínico (α) de [0, 

/4] para [-/2, /2] ....................................................................................... 220 

5.2 Algoritmos de desempacotamento (unwrapping) ............................................. 221 

5.3 Geração de imagens das franjas fotoelásticas no computador ....................... 226 

5.4 Acréscimos de ruídos nas imagens ................................................................. 232 

5.5 Filtro aplicado nas imagens fotográficas .......................................................... 235 

5.6 Conclusão do capítulo ..................................................................................... 236 

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES ........................................................................ 237 

6.1 Equipamentos utilizados nos experimentos ..................................................... 246 

6.2 Inferências a partir de amostras emparelhadas ............................................... 250 

6.3 Experiências com fotografias com disco circular submetido à compressão 

diametral .......................................................................................................... 256 

6.4 Experiências com imagens geradas no computador e acrescidas de ruídos .. 270 

6.5 Comparação com Algoritmo de Patterson e Wang .......................................... 274 

6.6 Conclusão do capítulo ..................................................................................... 276 

7 CONCLUSÕES ................................................................................................... 278 

REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 282 

APÊNDICE A ......................................................................................................... 300 

GLOSSÁRIO .......................................................................................................... 350

1 INTRODUÇÃO 

A análise de tensão tem sido considerada há muito tempo uma atividade 

distinta no campo da engenharia, cujos objetivos são a determinação, melhoria e 

otimização da resistência mecânica de estruturas. A intuição, os cálculos 

matemáticos e a análise experimental são utilizados hoje de maneira adequada para 

o desenvolvimento de novos conhecimentos na análise de tensões. Contudo, 

freqüentemente, os limites de aplicabilidade dos métodos matemáticos de análise de 

tensões são obtidos muito rapidamente; havendo um grande número de problemas 

de concentração de tensões, nos quais nenhuma solução exata teórica tinha sido 

encontrada. Fortuitamente, os métodos fotoelásticos já estavam disponíveis no 

passado prevendo soluções de engenharia para muitos destes importantes 

problemas. Além disto, normalmente, as soluções matemáticas são baseadas em 

hipóteses simplificadas de homogeneidade, isotropia, linearidade, nem sempre 

correspondentes ao comportamento físico dos materiais de engenharia existentes. 

O desenvolvimento computacional e digital, junto com o de análises, 

utilizando o método dos elementos finitos e elementos de contorno, representa um 

modo de estudar as questões de análise de tensões. As soluções são aproximadas 

e muito influenciadas pela experiência do usuário em estabelecer o modelo com 

elementos finitos apropriado para o protótipo da estrutura. Resultados numéricos 

específicos são obtidos para cada problema específico. Contudo, é de vital 

importância esse resultado numérico, ou modelo em elementos finitos, ser 

comparado com um método experimental. 

A fotoelasticidade permite análise experimental de tensões em componentes 

bi e tridimensionais a serem avaliados pelas informações extraídas de dois grupos 

de padrões de franjas interferométricas. Afim de, evitar interpretações subjetivas e 

reduzir o tempo necessário para obter e processar dados experimentais, um grande 

número de métodos de análise automática de campo completo tem sido 

desenvolvido usando os polariscópios convencionais e digitais, câmeras de vídeo e 

computadores, técnica essa, denominada de Fotoelasticidade Digital. A 

fotoelasticidade encontrou vasta aplicação em vários setores da indústria e na 

bioengenharia, em particular na determinação de concentração de tensões. Uma 

nova escola de pensamentos começou a utilizar métodos híbridos onde vantagens 

29

30 

de ambos os métodos numérico e experimental são explorados. No entanto, 

recentes avanços e necessidades, como monitoramento contínuo on-line de 

estruturas, tensões residuais em vidros (plásticos) e material microeletrônico, 

produtos de prototipagem rápida, visualização dinâmica de ondas de tensões e 

estudos de tensões produzidas por prótese dentaria e ortopédica têm levado ao 

aumento da pesquisa em fotoelasticidade. 

Estas técnicas fotoelásticas podem ajudar na verificação experimental dos 

modelos numéricos por elementos finitos. Um grande desafio é a dificuldade de usar 

manualmente a fotoelasticidade nas medições de deformações e tensões. A 

automatização computacional, dessas medições, permitirá uma simplificação na sua 

utilização, tornando-a viável na área industrial, da bioengenharia e no controle de 

qualidade do projeto em peças mecânicas, odontológicas e ortopédicas. Além disso, 

espera-se uma grande melhoria na precisão da utilização das técnicas fotoelásticas 

digitais, considerando que os processos terão menor interferência humana e 

podendo utilizar uma quantidade maior de imagens. Estatisticamente quanto maior o 

número de observações (no caso de fotoelasticidade imagens fotográficas) menor 

será a incerteza no processo de medição. 

No Capítulo 2 será descrito os principais princípios da fotoelasticidade com o 

intuito de tornar o leitor desta tese mais familiarizado com a técnica. 

1.1 Justificativa 

O importante método da fotoelasticidade vem perdendo seu espaço devido 

aos avanços das técnicas numéricas auxiliadas por computador. Entretanto, 

avanços na digitalização de imagens para aquisição de dados, procedimentos 

digitais para reconhecimentos de padrões e aumentos da capacidade de 

processamento e armazenamento possibilitam a utilização dessas mesmas técnicas 

auxiliadas por computador na automatização e aperfeiçoamento da fotoelasticidade. 

Sendo assim, aumenta-se sua importância e aplicação em várias áreas do 

conhecimento como na mecânica dos sólidos, engenharia civil, mecânica e 

mecatrônica, e em vários campos da odontologia e medicina. 

A inovação pretendida utiliza modelos numéricos de otimização inéditos para 

deduzir novas equações com um número maior de imagens, diminuindo-se assim, 

às incertezas e influências dos erros aleatórios presentes nas imagens. Cria-se um

software que processa essas novas equações e se obtém os mapas de fase e 

consequentemente a diferença e as direções das tensões principais, podendo-se 

assim obter as tensões e deslocamentos ocorridos na peça. 

A técnica fotoelástica pode ser utilizada para comprovar se as análises 

estruturais de peças usando os modelos de simulação computacional aproximam-se 

da realidade medida experimentalmente, embora demande tempo e trabalho se 

utilizada manualmente. O uso da fotoelasticidade digital possibilitaria a viabilidade 

comercial e simplificaria a utilização, tornado-se atraente nas indústrias e campos 

onde o conhecimento das cargas aplicadas não são exatamente conhecidas e 

quando a simulação computacional é incerta. Reduzindo-se os custos de 

desenvolvimentos. 

1.2 Hipóteses 

Com base em revisão bibliográfica e estudo de outras pesquisas realizadas 

por diversos autores, o presente trabalho de pesquisa considera as seguintes 

hipóteses: 

a) É possível utilizar a Técnica de Fotoelasticidade Digital para determinar, com 

a necessária precisão, tensões e deformações de objetos sujeitos a forças 

externas. Ou seja, a Técnica Fotoelástica pode ser aplicada com resultados 

satisfatórios na análise experimental de tensões em peças industriais; 

b) As imagens fotográficas contêm ruídos e imperfeições que vão produzir erros 

nas medidas realizadas pela Técnica Fotoelástica. Há inúmeras fontes de 

erro provenientes de vibrações mecânicas, variações de temperatura, 

sombras e reflexos nas imagens, má calibração dos instrumentos de medição, 

além de muitas outras; 

c) Quanto maior a quantidade de medidas, menor a influência do erro aleatório 

nas medições, melhorando-se, assim, a precisão do processo. Em termos 

estatísticos, um aumento no número de medições reduz a incerteza das 

medidas; 

d) É possível deduzir novas equações matemáticas para o processo de 

fotoelasticidade digital com deslocamento de fase, em um arranjo que só 

31

32 

rotaciona o analisador, com o objetivo de diminuir as incertezas nas medições 

e suas fontes de erro para tornar as técnicas confiáveis; 

e) Podem-se usar métodos numéricos e estatísticos para se obter e testar as 

novas equações. Um grande número de testes numéricos pode avaliar ou 

verificar essas novas equações ou, pelo menos, tornar mínimas ou remotas a 

chance delas estarem erradas ou serem falsas. 

A finalidade da pesquisa é desenvolver técnica de fotoelasticidade digital a 

partir de novas equações inéditas rotacionando apenas o analizador, para que sua 

utilização fique mais rápida, fácil e precisa. Para isso, será utilizado avanços na área 

da computação, do processamento digital de imagens e métodos numéricos de 

cálculo. 

Na imagem fotográfica está presente certa quantidade de ruídos e 

imperfeições. Tais ruídos são as principais causas de erros nas medições realizadas 

pela Técnica de Fotoelasticidade. Acredita-se que com o aumento do número de 

observações ou imagens, seja possível reduzir esta falha e melhorar a precisão das 

medidas de tensão/deformação. 

1.3 Objetivos 

1.3.1 Objetivo geral 

O objetivo geral da tese é automatizar o processo de medição de tensões e 

deformação em campo completo de amostras com menor erro possível, através da 

fotoelasticidade digital, usando de forma inovadora a técnica de deslocamento de 

fase (Phase-Shifting) para deduzir novas equações, rotacionando apenas o 

analisador e usando a técnica de desempacotamento (Unwrapping technique), nas 

franjas fotoelásticas isoclínicas e isocromáticas. Pretende-se utilizar uma maior 

sequência de imagens e através de equações numéricas inéditas diminuir erros 

comuns nesse processo.

1.3.2 Objetivos específicos 

a) Utilizar a técnica fotoelástica de forma inovadora, com simulações 

automáticas em amostras, reduzindo erros e calculando áreas com maiores 

tensões e deformações aplicadas. 

b) Desenvolver equações inéditas utilizando um número maior de imagens para 

determinação das tensões pela técnica fotoelástica. 

c) Criar um software utilizando as novas equações para determinação 

automática das tensões através de fotografias de peças fotoelásticas. 

d) Comparar estatisticamente o novo software através do cálculo de tensões 

através de métodos numéricos e analíticos. 

e) Reduzir o número de objetos de prova nas fases do desenvolvimento de um 

produto substituindo os testes físicos por simulações, através das validações 

dos modelos computacionais com as medições experimentais de tensões, 

usando fotoelasticidade digital, onde as cargas não são completamente 

conhecidas. 

1.4 Organização da Tese 

Capítulo 2: Conceitos Fundamentais 

Apresenta-se os conceitos básicos necessários para o entendimento da 

técnica fotoelástica, bem como uma introdução ao conceito de fotoelasticidade 

digital. 

Capítulo 3: Revisão Bibliográfica 

Consiste numa abrangente revisão da literatura na área da fotoelasticidade 

digital, expondo os vários métodos desenvolvidos, seus avanços, suas vantagens e 

suas desvantagens, analisando o estado atual da fotoelasticidade digital. 

Capítulo 4: Metodologia Matemática 

É realizada uma rápida revisão dos métodos de deslocamento de fase que 

deram origem ao trabalho. Exibe-se a metodologia e o modelamento para chegar às 

33

34 

novas equações inéditas. Novas equações de cálculo são expostas e explicam-se 

como os primeiros testes são realizados para as equações deduzidas. 

Capítulo 5: Metodologia de Tratamento de Imagens 

Descrevem-se os principais tratamentos das imagens fotoelásticas para tornar 

mais preciso o método. 

Capítulo 6: Resultados e Discussões 

Os resultados obtidos e as imagens capturadas são expostos e analisa-se de 

forma completa o método proposto e as novas equações deduzidas. 

Capítulo 7: Conclusão 

Finalmente, conclui-se o trabalho e os resultados obtidos e propõe-se 

possíveis trabalhos futuros.

2 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS 

A técnica fotoelástica é baseada na propriedade de birrefringência exibida por 

alguns materiais não cristalinos, como a maioria dos plásticos transparentes, e da 

propriedade de polarização da luz. O ensaio é realizado em um equipamento 

denominado polariscópio, com uso luz branca ou com luz monocromática. São 

geradas imagens com dois tipos de franjas, as isoclínicas e as isocromáticas, onde 

podem ser obtidas as informações sobre as direções e diferença de tensões 

principais em corpos de prova sob ação de esforços. Com a simples observação da 

forma e cor dessas franjas fotoelásticas na imagem é possível se obter uma rápida 

análise qualitativa da distribuição global de tensões em região sob análise. 

Alguns materiais, como mica e cristais de quartzo, apresentam esse 

comportamento naturalmente, mas, em fotoelasticidade, os materiais escolhidos são 

aqueles que se tornam birrefringentes quando submetidos a cargas. David Brewster 

observou pela primeira vez este fenômeno no início do século XIX em vidro e ele 

previu sua aplicação à análise de tensão. Contudo, o vidro estava longe de ser o 

material ideal para fotoelasticidade e até a primeira metade deste século o método 

não deslanchou como uma ferramenta de diagnóstico analítico (Asundi, 2002). 

As obras de MM Frocht em 1948 e Coker e Filon, em 1957, foram pioneiras 

em explorar os diversos aspectos e aplicações da fotoelasticidade. Desde então, o 

método tem sido amplamente utilizado na indústria como um meio bi e tri dimencinal 

para análise de tensão. Sua simplicidade de uso e capacidade de campo global 

(completo) de visualização de tensões foram as forças motrizes na sua 

aceitabilidade por parte da indústria e organizações de pesquisa. Mas, com o 

advento do computador e com o desenvolvimento do método dos elementos finitos a 

popularidade do método diminuiu em certa forma. No entanto, fotoelasticidade, além 

de método de medir tensão, serve como método experimental onde os estudantes 

são expostos a uma ferramenta para visualização de todo o campo de tensão, em 

particular em sua aplicação para determinação do fator de concentração de tensão. 

2.1 A Técnica Fotoelástica 

Seu fundamento surgiu do trabalho de Sir Davis Brewster em 1816, 

estudando o comportamento físico dos materiais transparentes não cristalinos e 

35

36 

descrevendo o fenômeno denominado hoje de refração dupla temporária. Mas foram 

as Teorias de Maxwell sobre ondas eletromagnéticas, fenômeno da birrefringência, 

refração dos materiais transparentes, polarização da luz e outros que realmente 

formam os princípios básicos da fotoelasticidade. 

Huygens (1929-1965) e Hooke (1635-1703) descrevem o movimento da luz 

na forma de onda. Para Huygens, os efeitos da refração eram originados por 

pequenas ondas de luz secundárias e desta mesma forma explica-se hoje a difração 

e a interferência. 

Young (1773-1829) desenvolveu a teoria sobre a refração dos raios de luz 

entre dois materiais que se interagem. Fresnel (1788-1827) estudou a formação da 

luz polarizada, porém foi Maxwell (1831-1879) o desenvolvedor dos conceitos mais 

aplicados à fotoelasticidade, oriundos da Teoria Eletromagnética da Luz, 

esclarecendo a presença dos campos vetoriais elétricos e magnéticos destas ondas 

de luz. 

Uma das características da luz é a de percorrer diferentes meios em 

diferentes velocidades. No vácuo, a velocidade de propagação das radiações 

eletromagnéticas é de aproximadamente 3 x 10 8 m/s, variando o comprimento de 

onda e a sua frequência em função do tipo de radiação. Quando as ondas de luz 

atravessam do ar para um meio transparente cristalino sua velocidade reduz, 

permanecendo constante enquanto atravessa este meio isotrópico, retornando à sua 

velocidade inicial ao retornar ao ar. Nomeia-se de índice de refração nm a relação de 

divisão entre a velocidade da luz no ar car e a velocidade da luz no meio cm, pela 

equação: 

Devido à redução da velocidade da luz ao adentrar o meio transparente, 

ocorrerá um retardo δ em relação às ondas de luz originais, conforme demonstrado 

por Budinas (1999) e mostrado na Figura 1. 

(1)

Figura 1 - Retardo da luz δ, devido à passagem por um meio transparente. 

como: 

onde: 

t = tempo 

Fonte: Adaptado de Ribeiro (2001). 

Considerando o tempo do percurso no meio, este retardo pode ser descrito 

Logo, a equação do retardo da luz fica: 

h = espessura 

δ = retardo 

nm = índice de refração do meio transparente 

car = velocidade da luz no ar 

cm = velocidade da luz no meio transparente. 

Certos materiais não cristalinos transparentes, denominados hoje de materiais 

birrefringentes, apesar de proporcionarem isotropia ótica, ou seja, as mesmas 

características óticas em todas as direções. Quando submetidos a cargas, se 

(2) 

(3) 

(4) 

37

38 

deformam, proporcionando a propriedade de anisotrópica ótica, como nos materiais 

cristalinos. Essas propriedades são conferidas enquanto os carregamentos estão 

mantidos, desaparecendo quando as cargas são retiradas (Figura 2). Essa 

anisotropia ótica se dá na configuração de refração dupla temporária. 

Figura 2 - Esquema ilustrando o fenômeno da birrefringência mecânica gerado 

pela refração dupla temporária. 

Fonte: Soares (1997). 

Dally e Riley (2005) expõem o comportamento dos raios de luz em corpos 

teóricos através de um elipsóide com os índices principais de refração, 

confrontando-se as direções destes raios às direções das tensões a que são 

submetidos os corpos. Segundo Budynas (1999), para os materiais transparentes 

não cristalinos, o índice de refração nm se altera em função do ângulo em que a luz 

polarizada atravessa o material, definindo ainda os conceitos de eixos rápidos e 

lentos, essenciais para aplicação nos polariscópios circulares. A luz, ao passar pelo 

material, tem diferentes desempenhos nos chamados eixos rápidos e lentos, onde a 

refração se dá em menor ou maior grau, respectivamente. 

Em uma placa circular feita de material birrefringente tem-se no eixo 1 

refração n1 com velocidade c1 e no eixo 2 refração n2 com velocidade c2, como 

mostrado na Figura 3.

Figura 3 - Luz penetrando placa circular birrefringente. 

Fonte: Adaptado de Dally e Riley (2005). 

Pode-se averiguar na Figura 3 a grandeza do vetor de luz E se 

desmembrando nos componentes E1 e E2, em relação aos eixos rápido e lento. 

Sendo β °, conforme o caso da figura acima e das placas de um quarto de onda 

dos polariscópios circulares, essa relação fica: 

Os raios de luz ao emergirem da placa circular sofrem um efeito de retardo δ 

devido à diferença dos índices de refração nos eixos. Como δ1 = (n1-1).h e δ2 = (n2- 

1).h e se n2 > n1 logo δ2 > δ1. 

circular são: 


As equações que expressam estes vetores de luz ao emergirem da placa 

E = magnitude do vetor de luz 

z1 = ponto arbitrário ao longo do eixo de propagação da luz 

a = amplitude do vetor de luz 

λ = comprimento de onda. 

(5) 

(6) 

(7) 

39

40 

em: 

Após emergir da placa, os vetores de luz se juntarão novamente, resultando 

O ângulo do vetor de luz que emerge da placa, em relação ao eixo lento, será: 

(8) 

(9) 

(10) 

Conclui-se que o vetor da onda emergente terá uma grandeza constante igual 

a e fará uma rotação completa π por comprimento de onda (λ), resultando 

na denominada luz circularmente polarizada. 

Da radiação eletromagnética, estudada por Maxwell, para uma fonte de luz 

monocromática, levando em conta cada raio como sendo uma série de ondas na 

forma senoidal apresentada, tem-se a magnitude E descrita como: 

Se z1 for estimado como um ponto fixo de observação tem-se: 

(11) 

(12) 

Considerando o período T definido como a relação de divisão do comprimento 

de onda da luz pela velocidade da mesma, T λ c, e a freqüência da luz sendo o 

inverso do período, f = 1 / T, logo a freqüência da luz será f c λ, assim: 

(13)

Sabendo-se ω πf é freqüência circular da luz, pode-se substituir na 

equação anterior e obter: 

(14) 

A magnitude deste vetor de luz muda ao longo do eixo z e esta mudança 

ocorre entre os valores + E e – E. Decompondo-se este vetor em relação as direções 

x e y, obtém-se as expressões representando duas ondas que oscilam nestes eixos: 

c 

(15) 

(16) 

Essas equações dos vetores de luz podem ser descritas na forma a seguir, 

considerando-se um ponto arbitrário no percurso do feixe de luz ao longo do eixo z. 

Para um ponto Z1, tem-se: 

(17) 

(18) 

Quando as ondas de luz atravessam um polarizador plano, este elemento 

ótico decompõe as ondas em duas componentes perpendiculares. A componente 

paralela ao eixo de polarização é transmitida enquanto a componente perpendicular 

ao eixo de polarização é absorvida, sendo estas características das placas de 

polarização, denominadas de polarizador e analisador nos polariscópios. A Figura 4 

ilustra este fenômeno pelo esquema de um polariscópio plano, mostrando o arranjo 

das lentes e um corpo de prova sob compressão. 

41

42 

Figura 4 - Comportamento dos vetores de luz ao passarem pelo polarizador e 

analisador em um polariscópio plano. 


Observa-se, na figura anterior, que a tensão aplicada a um determinado 

modelo sob ação de forças externas, decomposta vetorialmente em suas direções 

principais, pode ser relacionado com os valores dos índices de refração principais n1 

e n2, onde estes variam proporcionalmente com as deformações sofridas pelo 

modelo. Um componente é retardado no tempo em relação ao outro. Este 

retardamento produz um deslocamento de fase relativo entre os dois componentes, 

calculado como: 

(19) 

O deslocamento de fase em relação angular Δ entre os dois componentes à 

medida que surgem a partir da placa é dada por: 

(20) 

Como na análise fotoelástica, utilizam-se os conceitos de estado plano de 

tensões e modelos bidimensionais birrefringentes de espessura fina constante h. As 

tensões principais σ1 e σ2 (σ3 = 0) serão relacionadas diretamente como mostra-se a 

seguir, a medida que, segundo a Lei de Brewster , n1 - n2 ≈ ε1 - ε2 :


ko = coeficiente de tensão ótica 

ε1 e ε2 = deformações principais 

(21) 

Os eixos 1 e 2 representam os eixos de deformação principal. Substituindo na 

Equação δ m – 1) . h obtem-se então: 

Assim: 

Logo: 

(22) 

(23) 

(24) 

(25) 

Quando se considera Δ λ , onde n = ordem de franja = 0 , 1 , 2 , 3 ,..., 

obtem-se sempre outra onda igual, pois a diferença de fase é completa para estes 

valores. 

A extinção da luz se apresenta em função de λ exceto quando n=0, ou então 

quando um determinado múltiplo de comprimento de onda gera outra onda 

completa, produzindo-se a citada extinção desta onda. Por este motivo, quando a luz 

branca é utilizada numa montagem, somente a franja zero será escura sendo as 

demais coloridas na mesma seqüência das cores do arco-íris, denominando-se 

franjas isocromáticas (Figura 5). 

43

44 

Figura 5: Foto de franjas isocromáticas coloridas (utilização de luz branca) 

tirada no Laboratório de Análise estrutural da PUC Minas. 

Substituindo Δ λ , obtém-se: 

Fonte: Dados da pesquisa. 

(26) 

Essa equação é considerada como equação básica da fotoelasticidade, pois 

permite quantificar a diferença entre as tensões principais σ1 - σ2, nos pontos onde a 

luz deixa de ser transmitida, para os casos de polariscópios planos (Figura 4) em 

que os modelos são posicionados entre duas placas polarizadoras cruzadas. 

Estas franjas isocromáticas dependem do efeito de tensão ótica e a 

orientação do conjunto de filtros cruzados não interfere neste efeito. Quando os 

filtros polarizador e analisador se encontram perpendiculares (90º) e um modelo 

birrefringente tensionado é introduzido entre eles, além do conjunto de franjas 

isocromáticas, surgem as franjas isoclínicas, onde encontra-se mais uma segunda 

condição para a extinção da luz. 

As franjas isoclínicas são mais largas que as isocromáticas e aparecem 

devido ao alinhamento das tensões principais com o polarizador, considerando todos 

os pontos de uma dada franja possuidores de tensões principais na mesma direção 

do polarizador (Figura 6). Elas são sempre negras independente da fonte de luz ser 

branca ou monocromática.

Figura 6 - Modelo de franjas produzidas por computador em um disco 

comprimido diametralmente: (a) Franjas fotoelásticas; (b) Franjas 

Isocromáticas (c) Franjas Isoclínicas. 

Fonte: Pinit (2009). 

Se o polarizador e o analisador são girados juntos em relação ao modelo 

tensionado e as suas orientações perpendiculares são mantidas, as franjas 

isoclínicas mudam, uma vez que elas se movem se o conjunto de filtros for 

rotacionado em relação ao modelo, pois somente os pontos em que as tensões se 

encontram alinhadas com o polarizador extinguem a luz (Figura 7). 

Figura 7 - Exemplo da mudança das franjas isoclínicas produzidas pela rotação 

do conjunto de filtros: (a) 0 ; (b) π/8 ; (c) π/4 ; (d) 3π/8 . 

(a) (b) (c) (d) 

Fonte: Pinit e Umezaki (2005). 

Assim, para determinar as direções da tensão principal num dado ponto, 

basta girar o conjunto ótico (o polarizador e o analisador) até que as franjas 

isoclínicas intersecionem o ponto, marcando-se então a orientação angular dos 

filtros. 

Como as franjas isoclínicas são largas e negras, elas têm a tendência a 

mascarar as franjas isocromáticas, tornando difícil sua análise. Existe, então, o 

método de se reposicionar as duas placas de quarto de onda, eliminando as franjas 

45

46 

isoclínicas. Estas duas placas de quarto de onda são usadas em polariscópios 

circulares cuja configuração é mostrada na Figura 8. 

Figura 8 - Disposição dos Elementos Óticos em um Polariscópio Circular. 


Em fotoelasticidade bidimensional, uma aplicação básica deve seguir alguns 

passos. O primeiro é a fabricação correta do modelo fotoelástico, pois eles devem 

possuir algumas características básicas, como serem transparentes e livres de 

tensões residuais, apresentarem uma boa resposta ótica, possuir resposta linear, 

serem homogêneos e isotrópicos, terem boa usinabilidade, livres de bolhas e 

apresentarem baixa absorção de umidade (ARAUJO, 2006). O segundo passo é a 

calibração do conjunto polariscópio/modelo encontrando o fator de franja do material 

(fσ) dado pela relação fσ λ k0 e assim, por último, determinando as ordens de 

franja. 

Dependendo do tipo de aplicação desejada, deve-se fazer também a 

separação de tensões (calcular separadamente σ1 e σ2) ou o cálculo e análise do 

campo de tensões completo (calcular todas as componentes de tensão). Para esta 

análise de campo completo (global) usa-se a fotoelasticidade digital, exposta na 

próxima seção deste capítulo. 

Algumas vezes, quando os problemas a serem analisados na engenharia 

estrutural são de uma complexidade tal que sua análise por métodos analíticos ou 

numéricos não são suficientes para se ter uma resposta convincente, recorre-se a

fotoelasticidade tridimensional onde os resultados desta análise possam servir como 

parâmetros de comparação para validação dos resultados finais. 

Na técnica experimental da fotoelasticidade tridimensional, os modelos em 

material fotoelástico são construídos carregados para se “congelar” as tensões, e 

planos em seu interior são fatiados e analisados. O método de congelamento das 

tensões é fundamentado no comportamento bifásico de vários polímeros quando 

aquecidos. 

Os polímeros são compostos por longas cadeias de moléculas de 

hidrocarbonetos conectados por uma forte estrutura elástica denominada cadeia de 

ligações primárias, não afetadas pelo calor (QUINAN, 2005). Contudo, grande parte 

desta estrutura é composta pelas chamadas ligações secundárias, mais fracas, mas 

em maiores quantidades. Na temperatura ambiente, as duas cadeias atuam juntas 

para resistir às deformações sofridas divido às cargas aplicadas. Quando se eleva a 

temperatura e atinge um determinado patamar, conhecido como temperatura crítica, 

as cadeias secundárias se rompem e apenas as ligações primárias suportam as 

cargas aplicadas. 

A deformação sofrida é elástica e muito sensível, pois as ligações 

secundárias estão rompidas e constituem a maior parte das ligações do polímero. 

Resfriando-se o polímero até a temperatura ambiente e mantendo-se a carga 

aplicada no modelo, as ligações secundárias se restauram entre as cadeias 

primárias altamente deformadas, ficando nesta posição. Quando a carga é 

removida, as ligações secundárias relaxam, restabelecendo uma pequena porção da 

deformação sofrida. A deformação e a resposta ótica dada pelo carregamento 

aplicado ao modelo fotoelástico são congeladas. Assim, o modelo pode ser fatiado e 

analisado fotoelasticamente para a obtenção da distribuição interna das tensões 

sem alterar as características adquiridas na deformação ou no padrão de franja. 

A fotoelasticidade foi provavelmente a técnica de análise de tensões mais 

utilizada nas décadas de 60 e 70. A partir dos anos 80, houve um declínio da sua 

aplicação, especialmente pelo aparecimento e difusão das técnicas de análises 

numéricas, aliadas ao aumento da capacidade dos computadores. Entretanto, esse 

mesmo aumento da capacidade computacional permitiu o desenvolvimento da 

técnica fotoelástica, com análise de imagens, reconhecimento de padrões de 

imagens, aquisição e análise de dados, entre outros (TOMIINSON; PATTERSON, 

1998; RAMESH; MANGAL, 1998; YONEMA; TAKASHI, 1998; YONEMA et al., 1997; 

47

48 

AJOVALASIT et al., 1998; TSAI et al., 1997, SMITH NETO; COELHO, 2001). Estas 

técnicas, aliadas às da fotoelasticidade convencional, permitem o desenvolvimento 

de novos trabalhos nas mais diversas áreas. Por outro lado, o desenvolvimento dos 

métodos numéricos demandou também métodos experimentais de validação. 

Uma competente revisão bibliográfica sobre a Técnica de Fotoelasticidade é 

iniciada com uma consulta a Cloud (1998) e a Dally e Riley (2005), cujo processo de 

pesquisa começa com um estudo sobre análise experimental de tensão e uso de 

técnicas óticas de análise em Engenharia Mecânica. Os autores citam diversos 

métodos óticos e, entre eles, a Técnica Fotoelasticidade. Trata-se de um ótimo 

ponto de partida por detalhar muitas aplicações em Engenharia. 

Com o aparecimento de métodos cada vez mais sofisticados de 

processamento de imagens digitais, os parâmetros fotoelásticos podem ser obtidos 

através de operações simples de soma, subtração, multiplicação e divisão numérica 

das intensidades luminosas nas imagens coletadas. Existem vários trabalhos 

publicados neste campo, denominado de fotoelasticidade digital, servindo de guia 

para uma completa automatização da leitura e interpretação dos parâmetros 

fotoelásticos. 

Em Ramesh (2000) é apresentado um estudo detalhado da fotoelasticidade 

digital e um programa em linguagem C++ é fornecido para várias técnicas de 

fotoelasticidade digital. Asundi (2002) também expõe algumas técnicas da 

fotoelasticidade digital e apresenta implementações completas em MatLab® com 

código-fonte da Técnica Fotoelástica. Esse estudo foi a base para se fazer o 

programa em MatLab® desta tese, que implementa a técnica de fotoelástica com 

deslocamento de fase, apresentada nos próximos capítulos. 

2.2 Breve Introdução a Fotoelasticidade Digital 

Segundo Asundi (2002), o método fotoelástico está sendo revivido 

recentemente com aplicações em sensores de fibra ótica, na avaliação de produtos 

com protótipo rápido e em medições de birrefringência de materiais (Si e CaF) 

utilizados na indústria eletrônica. Estas aplicações foram reforçadas pela evolução 

da fotoelasticidade digital, ou seja, a automatização da coleta de dados e análise 

fotoelástica. O procedimento clássico manual de análise é geralmente muito 

cansativo, demorado e requerendo pessoal qualificado e experiente.

Com o advento de técnicas de processamento digital de imagem em 

fotomecânica, fotoelasticidade digital tornou-se popular devido à sua capacidade de 

fornecer dados quantitativos com mínima mão de obra. No entanto, ao contrário de 

outras técnicas de interferometria, tais como interferometria de Moiré, a análise 

computacional das franjas fotoelásticas não é simples, considerando, em particular o 

método de mudança de fase para análise de padrões de franja. Este método requer 

deslocamentos de fase de um dos feixes do interferômetro em valores conhecidos, 

gerarando a fase deslocada necessária para análise das imagens. No entanto, em 

fotoelasticidade, desde que os dois feixes percorra o mesmo caminho ótico, é difícil 

a mudança de fase de um feixe sem a introdução de uma mudança no outro feixe. 

Além da fotoelasticidade, o outro método, que tem este problema, é o método de 

moiré de sombra (ASUNDI, 2002). Além disso, ao contrário de outras técnicas de 

interferometria, em fotoelasticidade, existem duas incógnitas que precisam ser 

determinadas. 

Polariscópios comerciais convencionais podem ser efetivamente usados 

como polariscópios digitais para avaliar ambos os parâmetros das franjas 

isocromáticas e isoclínicas. As figuras 9 e 10 apresentam esquemas de 

polariscópios digitais comuns. 

Um modelo feito de material birrefringente é inserido no polariscópio. Padrões 

de franjas relacionados com a diferença de tensões principais e a direção dessas na 

amostra são capturadas pela câmera digital, processados e exibidos por um 

computador. 

Figura 9: Esquema de um polariscópio digital circular. 

Fonte: Adaptado de Asundi (2002). 

49

50 

Figura 10 - Esquema de um polariscópio digital plano. 

Analisador 

Máquina 

Fotográfica Digital 

Modelo Fotoelástico 

Fonte: Pinit e Umezaki (2007). 

Os efeitos do modelo tensionado no polariscópio digital são revisitados 

usando Cálculo de Jones explicado a seguir. 

Computador 

Para uma placa birrefringente, o vetor de Jones considere em um feixe de luz 

com componente U1 ao longo do eixo-x e V1 ao longo do eixo-y ao colidir em uma 

placa birrefringente. Cada componente é resolvido em componentes, ao longo do 

eixo lento (A1) e ao longo do eixo rápido (A2) da placa (Figura 11 (a)). 

Figura 11 - Luz polarizada (a) entrando na placa birrefringente (b) 

deixando a placa birrefringente. 

Fonte: Asundi (2002). 

Fonte de Luz 

Polarizador

Se é o ângulo entre o eixo lento da placa e eixo x, então: 

c (27) 

(28) 

Quando a luz emerge da placa, os dois componentes ao longo do eixo rápido 

e o eixo lento resulta em componentes A3 e A4 (Figura 11 (b)): 

onde δ é o retardo relativo. 

c (29) 

(30) 

Em seguida, o componente ao longo do eixo-x, U2, e do componente ao longo 

do eixo y, V2, tornam-se: 

Das equações tem-se: 

c 

c c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c (31) 

c 

c 

c 

c 

c 

(32) 

(33) 

(34) 

(35) 

(36) 

51

52 

Esta última equação é a forma geral do vetor de Jones para qualquer placa 

birrefringente. 

Existem casos especiais, como na aplicação para a placa de um quarto de 

onda. Quando uma placa birrefringente é cortada paralelamente ao eixo ótico a uma 

espessura, resultando em uma diferença de fase entre os dois componentes de um 

quarto do comprimento de onda, obtem-se uma placa quarto de onda (λ ). Este 

elemento ótico é usado para converter a luz plano-polarizada em luz circularmente 

polarizada e vice-versa. O cálculo de Jones para uma placa de quarto de onda é 

realmente um caso especial da placa birrefringente. Na última equação, deixe 

, então: 

Para , tem-se 

c 

c (37) 

(38) 

Vetores de Jones para outros elementos podem ser igualmente derivadas. O 

polariscópio é uma combinação de diferentes elementos óticos e o cálculo de Jones 

permite que a intensidade da luz resultante emergentes do polariscópio possa ser 

facilmente deduzida. 

Usando o cálculo de Jones, os componentes perpendiculares ao vetor de luz 

transmitida e paralelamente ao eixo do analisador são obtidos como: 

onde JP, JQ1, JM, JQ2 e JA são o vetor de Jones para o polarizador, a primeira placa 

de quarto de onda, o modelo, a segunda placa de quarto de onda e, por fim, o 

analisador, respectivamente. Expandindo e multiplicando tem-se: 

(39)

c 

c 

Se , 

c c 

c 

e 

c 

c 

c 

c 

(40) 

53 

, obtem-se um polariscópio circular campo 

escuro e o padrão resultante é a margem de campo escuro. Com este arranjo, a 

última equação é simplifica para: 

onde 

(41) 

c c (42) 

é intensidade de luz fundo / difusa e 

intensidade máxima da luz emergindo do analisador ou modulação de franja. 

Configurações do polariscópio, tais como o campo escuro no polariscópio plano e 

campo de claro no polariscópio circular podem ser formado de forma semelhante. 

é a 

Desde o ângulo não aparece na expressão acima, as isoclínicas devem ter 

sido eliminadas do padrão de franjas. Da última equação de U, de extinção (I = 0) 

ocorre quando para . 

Um exemplo de isocromáticas de campo de luz escuro e claro para um disco 

sob compressão diametral é mostrado na Figura 12. 

Figura 12 - (a) Campo escuro e (b) Claro de franjas isocromáticas de um 

disco em um polariscópio circular (mesma configuração (a), exceto ). 

Fonte: Asundi (2002).

54 

Os padrões de franja precisam ser analisados usando a equação 

para . Logicamente, esta não é tarefa fácil, a menos que certas 

informações sejam conhecidas, como a localização da ordem de franja zero e o sinal 

de franjas, ou seja, se as ordens de franja estão aumentando ou diminuindo em 

diferentes regiões. Além disso, há isoclínicas, contornos de direções tensões 

principais, devendo ser registados e avaliados globalmente. Tradicionalmente, esta 

foi a tarefa do estudo da fotoelásticidade e uma das razões para a aplicação limitada 

da técnica. O processamento do computador aliviou esta lacuna, em particular na 

mudança de fase da fotoelasticidade, tornando possível determinar todo o campo, 

tanto das franjas isocromáticas e isoclínicas, mesmo para geometrias complexas 

(ASUNDI, 2002). 

2.3 Conclusão do Capítulo 

Este capítulo teve como objetivo central fornecer uma breve revisão dos 

principais conceitos necessários para o entendimento da presente tese. 

Primeiramente, foi exposto os conceitos mais básicos da fotoelasticidade. Depois, 

inicia-se um breve resumo das premissas da fotoelasticidade digital, descrevendo o 

conceito do cálculo do Jones, fudamento principal para a técnica de deslocamento 

de fase, utilizada nesta pesquisa. 

No próximo capítulo, será exposto uma ampla revisão da literatura sobre a 

técnica fotoelástica digital.

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 

A fotoelasticidade digital progrediu rapidamente nos últimos anos e 

amadureceu em uma técnica indústrial amigável (RAMESH et. al, 2009). Será 

apresentado neste capítulo uma revisão da literatura das principais técnicas de 

processamento digital de franja, classificando todos os desenvolvimentos na 

fotoelasticidade digital e destacando os méritos relativos e desvantagens das várias 

técnicas. A aplicação prática das novas tecnologias utiliza os instrumentos 

convencionais e discute-se sobre novos dispositivos óticos. Experimentos 

envolvendo mais de 1x10 6 medições quantitativas de ordem de franja são possíveis 

e práticas, usando a tecnologia atual. Muitas áreas de aplicação se abrem para 

fotoelasticidade, tais como eventos dinâmicos, análise em tempo real de trincas de 

fadiga, o monitoramento de mudanças de polarização em nível microscópico do 

material, validação numérica detalhada de simulações, principalmente de geometria 

complexa e carregamento (PATTERSON, 2002). O objetivo geral é fornecer 

informações suficientes e orientação para permitir que um usuário possa fazer uma 

escolha correta sobre o tipo de técnica a ser usada em cada situação particular. 

3.1 Introdução do capítulo 

Fotoelasticidade é uma técnica ótica experimental de campo global baseada 

no princípio de tensão/deformação vizualizada por birrefringência. Diretamente 

fornece informações sobre a diferença tensão/deformação principal (isocromáticas) 

e direção de tensão/deformação principal (isoclínicas) na forma de franjas. No 

princípio de seu desenvolvimento, os dados quantitativos foram obtidos facilmente 

apenas com os contornos das franjas isocromáticas, porém técnicas de 

compensação eram necessárias para avaliar outros lugares da amostra. Uso 

extensivo de computadores digitais em conjunto com sistemas rentáveis de 

processamento de imagem revolucionou significativamente a análise fotoelástica e 

pavimentou o caminho para um novo ramo da fotoelasticidade, conhecido como 

fotoelasticidade digital (RAMESH, 2000 e PARTTERSON, 2002). 

Fotoelasticidade digital é realmente uma técnica experimental de campo 

global e amadurece-se a nível de ser capaz de avaliar quantitativamente 

informações sobre as franjas isocromáticas e isoclínicas em cada ponto (pixel) do 

55

56 

domínio da amostra (RAMESH et al., 2011). Objetivando a apreciação visual dos 

dados de todo o campo experimental, esses valores são plotados em escala de 

cinza com valores de intensidade de 0 a 255 e são denominados como mapas de 

fase das isoclínicas e/ou isocromáticas. No início de 1990, o uso de computadores 

foi limitado em automatizar a coleta de dados digitais utilizado técnicas adequadas 

desenvolvidas para afinar as franjas, esqueletizá-la, e metodologias de multiplicação 

franja (RAMESH, 2000). Somente quando a aquisição de informação de intensidade 

de toda a imagem tornou-se possível através do desenvolvimento de hardware 

digital, a fotoelasticidade viu uma mudança de seu paradigma. O método de 

processamento baseado em intensidade tornou-se comum, e esses métodos de 

aquisição de dados podem ser classificados em métodos de domínio espacial ou de 

freqüência. O deslocamento de Fase, a intensificação da polarização, da carga e de 

múltiplos comprimentos de onda são técnicas que pertencem ao método de domínio 

espacial. 

A abordagem da Transformada de Fourier (FT) é um exemplo de abordagem 

no domínio da freqüência, no entanto, sua aplicação provou-se ser 

computacionalmente custosa e só pode fornecer dados das franjas isoclínicas ou 

isocromáticas, mas não as duas juntas (QUAN et al., 1993; MORIMOTO et al., 1994; 

e NG, 1997). As desvantagens dos métodos FT levaram à conclusão de que esta 

abordagem não é um caminho promissor para futuros desenvolvimentos na 

fotoelasticidade digital (RAMESH, 2000), e recentes trabalhos sobre os métodos FT 

(AJOVALASIT; ZUCCARELLO, 2000; ZUCCARELLO; TRIPOLI, 2002; e 

AJOVALASIT et al., 2007) têm reforçado esta afirmação. Sendo assim, o presente 

capítulo se concentra nos métodos de domínio espacial em fotoelasticidade digital. 

Os primeiros trabalhos sobre fotoelasticidade digital (PATTERSON et 

al.,1997; RAMESH; MANGAL, 1998; e AJOVALASIT et. al., 1998) apareceram no 

período 1997 e 1998 e se concentraram no uso de fotoelasticidade em 

computadores digitais. Destacou-se o potencial de abordagens baseadas em 

intensidade para futuras pesquisas. Comentários de Ramesh (2000) e Ramesh 

(2005) focam em questões específicas de forma bastante breve. Nos últimos 5 anos 

houveram avanços rápidos da fotoelasticidade digital e soluções para muitos 

problemas sutis levantados pelos pesquisadores foram obtidas. Além disso, um 

sucesso considerável são alcançados na resolução de problemas em ambientes 

industriais. Enquanto métodos fotoelásticos digitais iniciais necessitavam de regras

óticas específicas, que não podem ser obtidas em um polariscópio comercial 

convencional, novas técnicas têm resolvido este problema. Atualmente, há uma 

série de técnicas usadas para obter soluções aproximadas ou rápidas; e são cruciais 

os estudos detalhados nos casos em que a precisão dos parâmetros são avaliados. 

Sob o ponto de vista do usuário, para qualquer problema específico, é necessário 

saber qual é a melhor técnica a se usar. O conhecimento das vantagens e 

desvantagens das técnicas e algoritmos existentes permitirá o desenvolvimento de 

novos métodos para superar os inconvenientes e aumentar o avanço da 

fotoelasticidade digital. Portanto, este capítulo analisa o estado atual da 

fotoelasticidade digital e também tenta fornecer explicações lógicas para o 

desenvolvimento do campo na medida do possível. As próximas seções são 

organizadas tematicamente, em vez de cronologicamente, para facilitar o acesso 

fácil de informações. 

3.2 Primeiros métodos de avaliação para o parâmetro fotoelástico 

Para contemplar os vários algoritmos usados em fotoelasticidade digital é 

desejável conhecer os arranjos plano, semi-circular, e circular do polariscópio, e as 

expressões correspondentes para a intensidade da luz transmitida, como mostrado 

na Figura 13. Nas expressões de intensidade, e referem-se a orientação do 

polarizador e analisador, e referem-se à orientação do eixo lento da primeira e 

segunda placa de um quarto de onda, a intensidade máxima da luz emergindo do 

analisador, e para a intensidade da luz de fundo. Os parâmetros do modelo no 

ponto de interesse são o retardo de fase, , e a orientação do eixo de referência, . 

O deslocamento de fase das imagens são obtidas através de adequada rotação dos 

elementos óticos no polariscópio. Ramesh (2000) e Asundi (2002) usou o exemplo 

do método de compensação de Tardy para destacar a rotação de um elemento ótico 

como semelhante a proporcionar um deslocamento de fase (no Capítulo 4, esse 

método é descrito, uma vez sendo considerado o fundamento para o método de 

deslocamento de fase). Gravadas algumas imagens deslocadas como distribuições 

de intensidade, e posteriormente processando-as, obtem-se as distribuições dos 

parâmetros fotoelásticos sobre o domínio global da amostra. Embora existam muitos 

relatos na literatura sobre técnicas que utilizam este princípio, o crédito para chamar 

essas metodologias como técnicas de deslocamento de fase (phase-shifting 

57

58 

techniques -PSTs) atribui-se a Asundi (1993). O conceito de deslocamento de fase 

na fotoelasticidade foi introduzido pela primeira vez por Hecker e Morche (1986). 

Eles gravaram cinco imagens deslocadas e demonstraram as possibilidades para a 

determinação de dados de franjas isocromáticas sobre o domínio global, usando um 

arranjo em polariscópio circular (método também descrito no Capítulo 4). 

Mais tarde, Kihara (1990) relatou um método de oito imagens usando um 

arranjo em polariscópio semi-circular na aquisição de dados e analisando a luz de 

saída usando a combinação de uma placa de quarto de onda e um analisador. 

Patterson e Wang (1991) estenderam o trabalho de Hecker e Morche (1986) e 

propuseram um PST de seis passos (imagens) para a determinação de dados, tanto 

das franjas isoclínicas e isocromáticas, fornecendo um novo impulso à 

fotoelasticidade digital. Eles foram os primeiros a obter dados tanto das franjas 

isoclínicas quanto isocromáticas sobre o domínio global do modelo. A apresentação 

dos arranjos óticos para a PST com seis imagens propostas por Patterson e Wang 

(1991) usa luz circularmente polarizada à esquerda como a luz incidente em todos 

os seis passos. Novamente no próximo capítulo descreve-se o método Patterson e 

Wang (1991) com mais detalhes. 

Figura 13 - Arranjo genérico de: (a) polariscópio plano; (b) polariscópio 

circular, e (c) polariscópio semi-circular. 

(a) 

A θ 

Eixo 

Rápido 

c 

R α,δ 

A 

θ 

Analisador 

α 

P γ 

Eixo 

Lento 

x 

Eixo de polarização 

c 

Eixo de 

polarização 

Y P *Fonte de Luz 

γ 

Modelo 

Tensionado 

x 

Polarizador 

c

(b) 

(c) 

c 

A θ 

Eixo 

Rápido 

A 

Q φ 

θ 

Analisador 

A θ 

R α,δ 

Eixo 

Lento 

φ 

α 

x 


R α,δ 

A 

θ 

Analisador 

c c 


polarização 

P 

*Fonte de Luz 

Q45 Eixo 

Eixo 

Lento 

Rápido 

Π 

4 

Polarizador 

Segundo um 

quarto de onda 

α 

P 90 


Tensionado 

Primeiro um 


c δ c 

Q 

x 


P γ 


polarização 

Y P *Fonte de Luz 

x 

Eixo 

Lento 

Eixo 

Rápido 

Polarizador 


Tensionado 

c c 

γ 

Primeiro um 


c c c c 

Fonte: Ajustado de Ramesh et al. (2011). 

Considerando apenas a ordem de franja e a direção das tensões principais 

precisando ser determinadas, Sarma et al. (1992), focado em obter o menor 

59

60 

número de arranjos óticos para avaliar estes parâmetros, propôs um método de três 

etapas utilizando um polariscópio plano. Embora conceitualmente atraente, a 

determinação de todo o campo de parâmetros verdadeiros não foi possível 

(RAMESH; GANAPATHY, 1996). Asundi (1993), estendeu o método de 

compensação de Tardy por meio de quatro imagens de deslocamentos de fases 

para a avaliação de parâmetros das isocromáticas situado sobre um contorno 

isoclínico especial. Dupre et al. (1993) tentou um método de cinco etapas com 

diferentes arranjos óticos. Ramesh e Ganapathy (1996) analisaram o método do 

cálculo de Jones com seis passos do método de deslocamento de fase de Patterson 

e Wang (1991) e simplificaram a avaliação da expressão para a intensidade de luz 

transmitida. Esta abordagem abriu a possibilidade de explorar convenientemente 

novos arranjos óticos. 

Uma questão que afeta a avaliação dos parâmetros das isocromáticas 

consiste, em que, dependendo da escolha da equação básica, o denominador pode 

ir a zero para valores particulares de , e assim a estimativa do parâmetro sobre o 

domínio não é uniforme. Essa foi habilmente corrigida por Quiroga e Gonzàlez-Cano 

(1997) onde se sugeriu a seguinte equação de processamento da intensidade para 6 

imagens: 

(43) 

Embora ser enganosamente simples, é um desenvolvimento significativo 

como observado por Ramesh (2000). No entanto, demorou algum tempo para que 

os pesquisadores perceberem suas vantagens. 

Estabelecendo a metodologia básica para determinação dos parâmetros de 

todo o campo, o foco da pesquisa mudou a fim de refinar as metodologias existentes 

no intuito de obter-se maior precisão. Mangal e Ramesh (1998), utilizando um 

dispositivo de carga acoplada a câmera (CCD), experimentalmente registrou as 

variações de intensidade características em zonas de alta tensão criado pela fonte 

de luz monocromática inferior. 

Ajovalasit et al. (1998) propuseram uma modificação sutil no algoritmo de 

deslocamento de fase de seis passos básicos tendo na direita e esquerda luz 

circularmente polarizada incidente sobre o modelo. Eles mostraram que tal

modificação pode reduzir a influência dos desajustes das placas de quarto de onda 

sobre a precisão dos resultados. Sai Prasad e Ramesh (2003) realizaram um estudo 

sistemático sobre o papel de intensidade de fundo estudando o desempenho de 

vários PSTs, tanto para os arranjos do polariscópio plano e circular. Este estudo 

destacou a importância em expressar a intensidade da luz de fundo na concepção 

de um algoritmo de forma satisfatória e processar imagens gravadas 

experimentalmente. Este estudo também sugere uma maneira simples de avaliar 

qualquer novo PST. 

Embora vários diferentes algoritmos de mudança de fase fossem propostos 

(RAMESH, 2009), as expressões utilizadas para a intensidade da luz transmitida 

tendem a ser semelhantes. Ramesh (2000) relatou serem vários os possíveis 

arranjos óticos e apresentou essas modalidades de populares seis etapas de PST. 

Prashant e Ramesh (2006) observaram a escolha do arranjo ótico influenciando no 

processamento das imagens gravadas experimentalmente, uma vez que o papel do 

erro placa de um quarto de onda é altamente dependente da escolha do arranjo 

ótico. Embora hajam múltiplos arranjos óticos para os campos escuros e claros, a 

produtividade das diferentes equações de intensidade na presença de erro da placa 

de um quarto de onda ( ) dos múltiplos arranjos óticos resultando na mesma 

equação de intensidade , , e . No entanto, quando a lateralidade de entrada é 

alterada, o termo fica negativo como nas equações de intensidade. Isto 

oferece a possibilidade de combinar criteriosamente as luzes circularmente 

polarizada esquerda e direita, minimizando o erro da placa quarto de onda, sendo 

possível o princípio usado por Ajovalasit et al. (1998). Prashant e Ramesh (2008) e 

Prashant (2005) mostraram que seis grupos de tais arranjos são possíveis. 

Ramesh e Deshmukh (1997) introduziram PST para imagens coloridas. Eles 

sugeriram que o plano da imagem verde ( ≈ ) no domínio da cor pode atuar 

como um filtro ótico. Ji e Patterson (1998) realizaram um estudo sobre a simulação 

de erro na fotoelasticidade automatizada para o PST seis passos proposto em 

Patterson e Wang (1991). Eles consideraram o efeito da incompatibilidade da placa 

de um quarto de onda em parâmetros fotoelásticos para uma fonte de luz branca e 

inferiu serem os filtros de banda mediana, com um centro de comprimento de onda 

de , reduzindo o erro de incompatibilidade da placa de um quarto de onda. 

Tamrakar e Ramesh (2001) relataram uma simulação mais abrangente de erro de 

incompatibilidade da placa de quarto de onda e desalinhamento óticos em 

61

62 

fotoelasticidade digital para poucos PSTs usando uma abordagem do cálculo de 

Jones. Ajovalasit et al. (2002) analisaram o erro de incompatibilidade de placa quarto 

de onda na avaliação dos parâmetros de técnicas fotoelásticos para uma aquisição, 

em poucos dados, de fotoelasticidade automatizada. 

A pesquisa inicial em fotoelasticidade digital foi limitada a avaliar apenas a 

ordens de franjas isocromáticas. Embora o método de seis etapas proposto por 

Patterson e Wang (1991) permitir a estimativa de valores de parâmetro tanto 

isocromáticos quanto isoclínicas, o método é altamente sensível a qualquer 

incompatibilidade das placas de quarto de onda. A contribuição Ajovalasit et al. 

(2002) minimizou a influência de erro da placa de quarto de onda, fazendo 

alterações pertinentes no arranjo ótico ser um passo significativo, embora também 

consideramdo-se os valores dos parâmetros isoclínicos, estes métodos falham 

miseravelmente (RAMJI et al., 2006). 

3.3 Métodos para avaliar parâmetros isoclínicos 

Um dos primeiros métodos para avaliação de parâmetros isoclínicos de dados 

de processamento de intensidade foi proposto por Brown e Sullivan (1990). Eles 

gravaram quatro imagem das isoclínicas, em 0 o , 22,5 o , 45 o e 67,5 o usando uma fonte 

de luz monocromática de campo global para avaliação destas, denominando como 

um método de intensificação da polarização (polarization stepping). Considerando 

que um parâmetro isoclínico não pode ser definido em um esqueleto de 

isocromáticas, eles sugeriram que, enquanto haja intensificação da polarização para 

gravação de imagens, a carga deve ser minimizada de tal forma que apenas as 

ordens de franja menor ou igual a 0,5 estejam presentes. Chen e Lin (1998) 

propuseram um método de intensificação da polarização no qual ambos os 

polarizador e o analisador são mantidos em paralelo. Já Mangal e Ramesh (1999) 

descreveram um método de intensificação da carga combinado com um PST para 

obter o parâmetro contínuo isoclínico para todo o campo global. Os parâmetros 

isoclínicos obtidos a partir de duas diferentes cargas são logicamente adicionados 

para reduzir a interação isocromáticas nas isoclínicas. Petrucci (1997) utilizou o 

arranjo ótico de Brown e Sullivan (1990) e substituiu a fonte de luz monocromática 

com uma fonte de luz branca. Ao fazê-lo, o ruído devido às interações isocromáticas 

nas isoclínicas foi significativamente reduzido, mesmo em baixas ordens de franja.

Nurse (1997) utilizou uma câmera CCD monocromática com três filtros diferentes 

para obter três comprimentos de onda diferentes, utilizando uma fonte de luz branca. 

Ele adotou uma abordagem em mínimos quadrados sobre-determinista para reduzir 

o ruído na avaliação dos parâmetros isoclínicos. Kihara (1994) e Kihara (2003) usou 

três diferentes comprimentos de onda da luz linearmente polarizada e propôs uma 

técnica de desempacotamento usando uma função arco tangente para reduzir o erro 

devido às placas de quarto de onda. Zhenkun et al. (2003) propuseram um PST de 

cinco etapas e realizaram um estudo comparativo entre o uso de luz monocromática 

e luz branca. Eles concluíram que os parâmetros isoclínicos obtidos usando luz 

branca deu melhores resultados, com exceção para as zonas onde a ordem de 

franja foi zero. Ajovalasit et al. (2007) estudaram a influência do conteúdo espectral 

da fonte de luz, a resposta espectral da câmera e erro na placa de quarto de onda 

selecionado em PSTs usando luz branca. 

Os vários parâmetros PSTs para avaliação isocromáticas resultaram em 

parâmetros isoclínicos com precisão variável. Ramji et al. (2006) realizaram um 

estudo comparativo sobre vários algoritmos domínio espacial para a avaliação de 

parâmetros isoclínicos. Eles examinaram os valores isoclínicos obtidos utilizando 

arranjos polariscópio plano, circular e semi-cricular, e sugeriram que algoritmos 

baseados em polariscópio plano são melhores para a avaliação de parâmetros 

isoclínicos. 

3.4 Zonas especiais dos mapas de fase e metodologias de desempacotamento 

de fase 

Wang e Patterson (1995) notaram que o campo global de avaliação do 

parâmetro das franjas isocromáticas estava errados em regiões onde é além 

e propuseram o uso de conjuntos fuzzy para lidar com este problema. É lógico 

que a avaliação de parâmetros das isocromáticas ser influenciada pelas isoclínicas. 

Como o foco inicial em fotoelasticidade digital foi o de avaliar somente os dados das 

isocromáticas, pesquisadores centraram na obtenção de das franjas isocromáticas 

sem considerar a influência de . 

Buckberry e Torres (1996) sugeriram uma abordagem de três comprimentos 

de onda para a obtenção de parâmetros das isocromáticas independentes de 

parâmetros isoclínicos e, assim, livre de zonas ambíguas. Esta abordagem foi 

63

64 

prorrogada por Nurse (1997) para obter os parâmetros de ambas isocromáticas e 

isoclínicas. Ekman e Nurse (1998) sugeriram uma abordagem de intensificação das 

cargas (load stepping) combinado com um PST, sendo semelhante a abordagem 

múltipla de comprimento de onda, fazendo uma tentativa de determinar os 

parâmetros isoclínicos usando parâmetros de desempacotamento das 

isocromáticas. No entanto, os resultados foram ruidosos e, além disso, as 

informações obtidas nas regiões de baixa carga eram de má qualidade. Ramesh e 

Tamrakar (2000) propuseram uma nova abordagem para o tratamento dos dados 

gravados na abordagem de intensificação da carga pisando de Ekman e Nurse 

(1998) reduzindo o ruído significativamente na avaliação do mapa de fase das 

isocromáticas. Mais tarde, Asundi et al. (2000) e Liu et al. (2001), entusiasmados, 

propuseram um método de duas etapas de intensificação de carga. As principais 

desvantagens das abordagens de intensificação de carga são de exigirem um 

grande número de imagens (em comparação com um PST normal) e serem 

aplicáveis apenas aos modelos que vivem carregados. Houve tentativas para 

desenvolver uma expressão adequada para avaliação retardo fracionário, não 

usando . Ramesh e Mangal (2000) expuseram um método usando um PST de seis 

passos normais. No entanto, seu uso, infelizmente, introduziu uma ambigüidade no 

sinal do retardo fracionário. Isso poderia ser abordado, invocando a direção do 

gradiente de franja e chamando a sua metodologia para resolver essa ambigüidade 

de abordagem interativa. 

Em fotoelasticidade convencional, os eixos lento e rápido não têm nenhum 

papel a desempenhar na interpretação dos dados. No entanto, Vinayak et al. (2001) 

destacaram o papel dos eixos rápido e lento em fotoelasticidade digital, 

incorporando-os nas equações de intensidade final. O estudo reforçou as 

observações anteriores sobre a influência do valor das isoclínicas na avaliação do 

parâmetro das isocromáticas. A função arco tangente usado na maioria dos 

algoritmos retorna um valor principal isoclínicas na faixa 

que fisicamente o valor das isoclínicas está na faixa 

, enquanto 

. Considerando 

isso, os avaliados correspondem a diferentes direções de tensões principais em 

zonas diferentes podendo serem vistas no mapa de fase isoclínicos (Figura 14 (a)); 

as zonas correspondentes a uma das tensões principais são rotulados como zonas 

inconsistentes. Ramesh 2008 e Ramesh 2009 observou que as zonas inconsistente 

no mapa de fase isoclínico levam à formação de zonas ambíguas no mapa de fase

das isocromáticas (Figura 14 (b), onde a direção do gradiente franja fracionária 

ordem é invertida. Tal compreensão estava faltando nos desenvolvimentos iniciais 

da fotoelasticidade digital. Surpreendentemente, embora o aspecto da consistência 

das isoclínicas influencia a avaliação dos dados das isocromáticas, o ruído presente 

no nas isoclínicas não o afetá (Ramesh, 2000). 

Figura 14 - Simulação teorica dos mapas de fase para um disco sob 

compressão diametral (um quarto é mostrado) (a) mapa de fase isoclínico com 

zona inconsistente e (b) mapa de fase das isocromáticas com zona ambígua. O 

esqueleto isocromático visto em (a) é onde a isoclínica não está definida. 

Zona 2 

Zona inconsistente 

Zona 1 

Fonte: Ramash, 2009. 

O monitoramento de regularização de fase (RPT - regularized phase tracking) 

para desmodular um interferograma de único ruido (Servin et al., 1997) foi estendido 

para fotoelasticidade digital em Quiroga e Gonzàlez-Cano (2000). Eles usaram cinco 

imagens para estimar os parâmetros das isoclínicas e isocromáticas e um mapa de 

qualidade para determinar o caminho do RPT. Os parâmetros isoclínicos não foram 

utilizados na estimativa dos parâmetros das isocromáticas, estando livres de 

ambigüidade e também desempacotados diretamente. RPT é uma fase seqüencial e 

estratégica de estimação da freqüência que utiliza a informação contida em pixels 

anteriormente desmodulados para desmodular os pixels subseqüentes em um 

padrão de franjas. Ele funciona através da minimização de uma função custo com 

pelo menos dois termos: um para explicar a fidelidade entre a função estimada e o 

campo de franjas observado, e a outra (o chamado termo de regularização) para 

garantir a lisura da função estimada. A principal desvantagem de métodos RPT é de 

um grande tempo de processamento ser necessário para fazer uma boa estimativa 

dos parâmetros. Além disso, a estimativa é pobre em áreas de densidade elevada 

65 

Zona ambígua

66 

de franja e a técnica tem sido demonstrada funcionando apenas para campos de 

franja simples. 

O mapa de fase das isocromáticas precisa estar livre de zonas ambíguas para 

a fase de desempacotamento ser significativa. Figura 15 (a) mostra o mapa de fase 

de um disco sob compressão diametral (a partir de imagens gravadas 

experimentalmente), onde perto dos pontos de aplicação de carga observa-se uma 

faixa preta, e depois de haver uma inversão no gradiente de ordem de franja 

fracionária indicando uma zona ambígua. Apesar dos limites da zona ambígua não 

serem bem definidos, a abordagem interativa (RAMESH; MANGAL, 2000), que 

opera em todas as seis imagens de deslocamento de fase, cuida disso e do mapa 

de fase das isocromáticas; após a remoção das zonas ambíguas, como mostrado na 

Figura 15 (e). Para simplificar o processamento de dados, os esforços também têm 

sido destinados a desenvolver metodologias para trabalhar diretamente no mapa de 

fase. Prasad et al. (2004) desenvolveram uma metodologia de processamento de 

imagem, trabalhando diretamente sobre o mapa de fase, para remover as zonas de 

ambiguidade, a sua limitação consiste em que bordas da zona ambígua devem ser 

distintas e nítidas. Figura 15 (b) mostra o problema de um anel sob compressão 

diametral em que as fronteiras zona ambígua são vistos distintamente e Figura 15 (f) 

mostra o mapa de fase corrigido utilizando a metodologia de processamento de 

imagem. Prashant et al. (2004) introduziu uma abordagem verificação alfa para 

identificar sutis fronteiras ambíguas, monitorando dos valores isoclínicos, conforme 

demonstrado para o problema de uma viga sob flexão de três pontos (uma parcela 

pequena perto da região central é mostrada na Figura 15 (c)), sendo o mapa de fase 

corrigido como mostrado na Figura 15 (g). Figuras 15 (d) e 15 (h) mostram a 

variação de isoclínicas sobre a profundidade da viga. Ashokan e Ramesh (2006) 

criaram duas novas abordagens: a abordagem de campo escuro e simulado e a 

abordagem negação. A abordagem de campo escuro simulado fornece uma maneira 

simples de identificar as zonas ambíguas no mapa isocromáticas fase.

Figura 15 - Zona ambígua: (a) limite não visto distintamente: (b) limite visto 

distintamente, (c) limite é sutil; (d) variação das isoclínicas ao longo da 

profundidade do mapa de fase mostrado na (c). Zonas ambíguas são 

corrigidos por: (e) abordagem interativa; (f) Abordagem de processamento de 

imagem, (g) monitoramento do valor isoclínico; (h) a variação das isoclínicas 

ao longo da profundidade no mapa de fase mostrado na (g). 

Fonte: Ramesh, 2011. 

No caso de mapas de fase das isoclínicas, o desempacotamento refere ao 

processo de obtenção da direção de uma das tensões principais ou de forma 

consistente ao longo do domínio, enquanto no caso de mapas de fase das 

isocromáticas, desempacotamento refere-se a adição adequada do valor integral 

para os valores de retardo fracionados para obter dados de forma de franja contínua 

(RAMJI; RAMESH, 2010). A fase de desempacotamento em um mapa de fase das 

isocromáticas recebeu atenção inicial na fotoelasticidade digital. Para desempacotar 

a fase efetiva, o mapa de fase tem de ser livre de zonas ambíguas (ASHOKAN; 

RAMESH, 2006). As duas principais questões são: como evitar a propagação de 

erros e como lidar com geometrias complexas, com recortes. 

O esquema mais simples de desempacotamento de fase é a utilização de 

uma abordagem de varredura raster. Algoritmos de início adotaram essa estratégia e 

Madhu e Ramesh (2007) desenvolveram uma abordagem para desempacotar 

geometrias complexas contendo recortes. Os modelos conectados se multiplicam e 

são desempacotados dividindo-os em um conjunto de domínios simplesmente 

conexos. Este conceito é conhecido como delimitação de domínio. As informações 

necessárias para coordenar a fronteira que delimita é obtido através de técnicas de 

extração de contorno (ASHOKAN et al., 2006). Mascaramento de domínio é usado 

para mascarar a zona fora do domínio simplesmente conexo que atualmente está 

67

68 

sendo desempacotado. Asundi e Wensen (1998) adaptaram em escala de cinza e 

mascaram a abordagem cheias de preenchimento para desempacotamento de fase. 

Este é um algoritmo de desempacotamento de fase rápido onde áreas com maior 

confiabilidade são desempacotadas antes daqueles com menor confiabilidade. 

Seguindo a prática sobre o uso de mapas de qualidade nas técnicas de 

interferometria, Siegmann et al. (2005) introduziram o uso de algoritmos de 

qualidade guiada para desempacotamento em fotoelasticidade e sugeriram o uso de 

fase variância de derivativos para avaliar o mapa de qualidade. Ramji et al. (2008) 

realizaram um estudo comparativo autônomo de algoritmos desempacotamento da 

fase em fotoelasticidade digital e recomendaram o uso da fase variância de 

derivativos e abordagem inclinação máxima fase para avaliar um mapa de 

qualidade. 

3. 5 Métodos de quatro passos 

Em problemas de tempo variando, a gravação de múltiplas imagens pode ser 

complicada. A fim de estender a fotoelasticidade digital para tais situações, a 

atenção é centrada no desenvolvimento de PSTs que utilizam o número mínimo de 

imagens. Sarma et al. (1992) foram os primeiros a avançar nessa direção, seu 

método de três etapas foi considerado insuficiente, sendo, experimentalmente, 

quatro variáveis que precisam ser determinadas (RAMESH, 2000; AJOVALASIT et 

al., 1998; PATTERSON; WANG, 1991; e SAI PRASAD; RAMESH, 2003), ou seja, , 

, , e . Assim, o desenvolvimento de métodos de quatro etapas foi um passo 

lógico nesse sentido. 

A primeira metodologia de quatro etapas (PST - four-step methods) foi 

proposta por Barone et al. (1997). Eles utilizaram os primeiros quatro arranjos óticos 

de Patterson e Wang (1991) de seis passos para a avaliação de parâmetros de todo 

o campo fotoelástico. Mais tarde, o mesmo Patterson e Wang (1998) reduziram o 

seu método de seis passos para um método de quatro etapas removendo as 

modalidades óticas do segunda e última configuração e gravando quatro imagens 

defasadas simultaneamente por meio de quatro câmeras. Plouzennec et al. (1999) 

usou um PST em quatro etapas com arranjos polariscópio plano para a avaliação 

dos parâmetros fotoelásticos. A expressão para avaliar os parâmetros das 

isocromáticas continha uma função co-seno, colocando problemas no

desempacotamento. Asundi et al. (1999) desenvolveram um método de quatro 

etapas que poderiam ser definidos em um polariscópio comercial convencional, que 

utilizava os arranjos óticos de primeiro e segundo quarto de onda. Ajovalasit et al. 

(1998) e seu arranjo ótico de cinco imagens foi devidamente modificado. Ajovalasit 

et al. (2002) propuseram um método de quatro etapas ideal. Eles essencialmente 

utilizaram os quatro primeiros arranjos óticos de seu método de seis passos 

Ajovalasit et al. (1998) com uma modificação dos dois primeiros arranjos óticos para 

uso cruzado de quarto de onda, como em placas de fotoelasticidade convencional, 

melhorando a precisão geral dos parâmetros fotoelásticos avaliados. 

Prashant e Ramesh (2006) realizaram um estudo sistemático sobre o papel 

do erro placa de quarto de onda sobre o desempenho dos PSTs de vários métodos 

de quatro passos. Eles descobriram que o erro variou em função de 

e é menor, em um sentido geral, para o algoritmo proposto por Ajovalasit et al. 

(2002). 

3.6 Avaliação total da ordem de franja utilizando uma única imagem 

Houve várias tentativas para avaliar a ordem de franja total usando uma única 

imagem com isocromáticas tricolor, preto e branco, ou luz branca como fonte de 

iluminação. Servin e Quiroga (2001) usaram uma única imagem monocromática no 

campo claro para obter isocromáticas desempacotadas, pela aplicação de uma RPT 

com um mapa de qualidade em três níveis. Yoneyama et al. (1998) desenvolveram 

um sistema fotoelástico tricolor para a avaliação de parâmetros das isoclínicas e 

isocromáticas, utilizando uma única imagem tricolor. No entanto, relataram que a 

metodologia não tinham repetibilidade. Quiroga et al. (2002) adaptaram uma RPT 

para obter parâmetros isocromáticas a partir de uma única imagem tricolor, no 

entanto, esta abordagem foi de computação intensa. 

Em fotoelasticidade RGB (RGBP) (AJOVALASIT et al., 1995a e AJOVALASIT 

et al., 1995b) ou fotoelasticidade três franjas (TFP – three-fringe photoelasticity) 

(RAMESH; DESHMUKH, 1996), uma única imagem isocromáticas sob luz branca é 

usada para estimar a ordem de franja totais, comparando o vermelho (R), verde (G), 

e azul (B); valores do padrão desconhecido fotoelástico franja com uma tabela de 

calibração. Para qualquer ponto de dados de teste, um termo de erro ‘ ’ é definido 

como 

69

70 

onde os subscritos ‘e’ e ‘c’ se referem aos valores medidos experimentalmente e os 

valores na tabela de calibração, respectivamente. A tabela de calibração é 

pesquisada até o erro ‘ ’ ser o mínimo para obter a ordem de franja total. Embora a 

abordagem ser direta, o ruído está presente nas ordens de franja avaliadas. Ramesh 

e Deshmukh (1996) tentaram reduzir o ruído e descobriu que o uso da diferença de 

valores entre as imagens RGB de campo escuro e claro deu menos ruído, mas 

exigiu a gravação de duas imagens de cada vez. 

(44) 

Existem vários relatos na literatura sugerindo que os ruídos presentes na TFP 

poderem ser removidos através da imposição de continuidade de ordem de franja 

(AJOVALASIT et al., 1995b; QUIROGA et al., 2002; MADHU; RAMESH, 2007; 

ASHOKAN; RAMESH, 2008; e DUBEY; GREWAL, 2009). Ajovalasit et al. (1995b) 

desenvolveram um método para reduzir o ruído, identificando e selecionando dois 

mínimos que tinham uma ordem de franja mais próximo do pixel vizinho. Quiroga et 

al. (2002) propuseram o uso de um termo de regularização adicional para dar conta 

da suavidade da ordem de franja estimada e demonstrou-o para um problema 

simples. Ashokan e Ramesh (2008) desenvolveram assistência de qualidade TFP 

para identificar e remover o ruído iterativamente na ordem de franja totais avaliados 

usando TFP convencionais. Dubey e Grewal (2009) descobriram que, aplicando um 

filtro de mediana no campo escuro da imagem de isocromáticas gravada, pode-se 

obter a variação contínua a fim de a franja ser o processo de filtragem, repetindo um 

número suficiente de vezes. 

Madhu e Ramesh (2007) destacou o ruído na TFP como devido à repetição 

da cor e incorporou a continuidade ordem de franja, adicionando um novo termo na 

definição de erro como 

onde é a ordem de franja obtidos para o pixel da vizinhança ao ponto em 

consideração, na amostra, é a ordem de franja no ponto atual verificado na tabela 

de calibração, e é um fator problema dependente especificado pelo usuário. Esta 

(45)

abordagem foi batizado TFP refinado (RTFP) e a capacidade de aquisição de dados 

em uma única imagem tem sido demonstrada efetivamente por um problema de 

tensão térmica transitória (NEETHI SIMON, 2009). 

Idealmente, as condições de teste de mesmo espécime e iluminação são 

usadas em ambas as calibração e aplicação de experiências, muitas vezes não 

sendo possível em um cenário industrial, e maneiras simples de modificar a tabela 

de calibração foram investigados. Madhu et al. (2007) introduziu uma técnica de 

adaptação de cor em TFP onde imagens de campo claro sem carregamento na 

calibração e amostras de aplicativos são usados para ajustar a tabela de calibração 

desenvolvido para um material padrão, atendendo a amostra em teste. 

Recentemente, Neethi Simon e Ramesh (2010) propuseram um outro esquema de 

adaptação de cor usando uma única imagem, assim aplicável à análise de tensões 

congelados bem fatiadas. Embora o foco ser para acomodar apenas uma variação 

do matiz de pequeno porte, considerando o esquema de dois pontos adotados, o 

método utilizado também trabalha para grandes variações (NEETHI SIMON et al., 

2011). Fatias de tensões congeladas de um terminal quadrado da fuselagem foram 

escolhidos para ilustrar o uso de adaptação de cor em TFP ((Figura 16 (a)). Figura 

16 (b), mostrando a ordem de franja total obtido pela TFP convencional. O ruído 

presente nele é reduzido utilizando a técnica de adaptação de cor (Figura 16 (c)). As 

estrias na Figura 16 (c) são removidos por RTFP (Figura 16 (d) e melhorado por 

suavização (Figura 16 (e)). 

TFP foi originalmente usado para estimar ordens de franja total até um valor 

de ordem de franja três, além deste ponto as cores tendam a se fundir (RAMESH; 

DESHMUKH, 1996). No entanto, tem havido tentativas para aumentar esse limite. 

Ajovalasit e Petrucci (2007) combina os valores RGB e um PST para avaliar a ordem 

de franja contínua até um valor de quatro. Esta técnica híbrida elimina a etapa de 

desempacotamento na estimação de parâmetros das isocromáticas, mas requer 

mais de uma imagem. Jones e Wang (2003) combinaram proposta de harmonização 

franja para estender a estimação de parâmetros isocromáticas até um valor da 

ordem de franja de 5,5. Foi mostrado em Ajovalasit et al. (2010) que, através da 

implementação de uma busca seletiva dentro da tabela de calibração, a ordem de 

franja total até um valor de 12 pode ser estimado, sugerindo o uso de uma lâmpada 

com um espectro contínuo de medir até quatro ordens de franja, e uma lâmpada 

fluorescente com um espectro discreto para medir até 12 ordens de franja. Eles 

71

72 

também propuseram o uso de uma janela de busca na tabela de calibração de tal 

forma que se pode identificar diretamente os mínimos locais, de interesse, em vez 

de os mínimos globais, usando a equação padrão em si. 

Figura 16 - Fatia de tensão congelada de fuselagem quadrados (a) de cor as 

isocromáticas no campo escuro. A representação da imagem em escala de 

cinza de variação obtida por ordem de franja (b) TFP sem adaptação de cor, (c) 

TFP com a adaptação de cor, (d) RTFP pedida (c), (e) isocromáticas suavizadas 

na trama de cores. 

Fonte: Neethi Simon et al. (2011)

3.7 Métodos compostos para à estimação de parâmetros fotoelásticos 

Barone et al. (2002) propuseram um PST de seis etapas compostas, 

teoricamente livre de erros, da placa de um quarto de onda em estudos das franjas 

isoclínicas, e os erros são moderados nos estudos das franjas isocromáticas. Neste 

proposito foi realizada pela comunidade de pesquisa onde embora a avaliação de 

isoclínicas seja simples em fotoelasticidade convencionais, ela é bastante envolvida 

na fotoelasticidade digital. Assim, a atenção estava voltada para a melhoria da 

avaliação das isoclínicas pelo PST. Ramji e Ramesh (2006) relataram outra 

composição PST de seis etapas para minimizar os erros. No entanto, ambos os 

métodos relatados em Barone et al. (2002) e Ramji e Ramesh (2006) usam 

equações muito complexas para a avaliação dos parâmetros fotoelásticos. Estudos 

posteriores (RAMJI, 2007 e RAMJI et al., 2009) mostraram esses métodos como 

muito sensíveis a erros de desalinhamento ótico. Yoneyama e Kikuta (2006) 

tentaram reduzir a influência do erro da placa de quarto de onda, propondo um PST 

de sete passos. Embora a precisão das isoclínicas parecesse comparável ao de 

Barone et al. (2002), os parâmetros das isocromáticas eram pobres em comparação 

com os valores obtidos em Barone et al. (2002) e Patterson e Wang (1991). 

D'Acquisto et al. (2002) mostraram que o erro de incompatibilidade da placa de 

quarto de onda, geralmente considerado uma constante, é, na verdade, não 

uniforme, e distribuída ao longo da placa de quarto de onda. Recentemente, Ramji et 

al. (2008) realizaram uma análise de erro onde incorporou tanto os erros não- 

uniformes da placa de quarto de onda como o desalinhamento dos elementos óticos. 

A fim de melhorar a precisão da avaliação dos parâmetros fotoelásticos em 

problemas complexos, Ramji e Ramesh (2008a) propuseram um PST de dez 

passos. A metodologia proposta combina a abordagem de quatro etapas de Brown e 

Sullivan (1990) para a analise dos dados das isoclínicas e um método baseado em 

seis passos em polariscópio circular para avaliação dos dados das isocromáticas 

(Tabela 1). Os arranjos óticos foram cuidadosamente selecionados afim de 

minimizar a influência do erro de incompatibilidade da placa de quarto de onda. 

Como zonas inconsistentes nos mapas de fase de isoclínicas causam a formação de 

zonas ambígua em um mapa de fase das isocromáticas, (Figura 17 (a)), 

inicialmente, os isoclínicas precisam ser desempacotadas. 

73

74 

TABELA 1 - Arranjos óticos e as equações para estimação de parâmetros pelo 

método de dez imagens. 

- - 

- - 

- - 

- - 

Fonte: Adaptado de Ramji e Ramesh (2008a). 

Equação de intensidade 

c 

c 

c 

α 

c α 

α 

c α 

Das dez equações intensidade resumidas na Tabela 1, tanto o ângulo da 

isoclínica e o retardo de fase podem ser calculados como: 

c 

(46) 

(47) 

O desempacotamento do mapa de fase das isoclínicas é complicado pela 

presença de pontos isotrópico e -saltos. Em um ponto isotrópico todas isoclínicas 

se fundem, enquanto que um -salto é um salto repentino de 180 o nos valores das 

isoclínicas começando de um ponto isotrópico Ramesh, 2009. Para cuidar de pontos 

isotrópicos enquanto faz o desempacotamento, Pinit e Umezaki (2005) e Pinit e 

Umezaki (2007) propuseram um PST em cores de quatro etapas e um algoritmo de 

desempacotamento de fase simples, e Villa et al. (2008) propunseram um algoritmo 

de desempacotamento RPT. Zhang et al. (2007) descreveram um PST de 12 passos

para obter os parâmetros das isocromáticas e isoclínicas livres de inconsistências, 

mas a precisão obtida é limitada. Ramji e Ramesh (2010) propuseram uma 

adaptação de qualidade guiada para o algoritmo de desempacotamento de fase para 

desempacotar as isoclínicas capaz de acomodar a presença de pontos isotrópicos 

bem como -salto. Ele usa derivativos de variância de fase para gerar o mapa de 

qualidade (Figura 17 (b)), fornecendo as informações de pixels e de qualidade ruim, 

e convenientemente seleciona o caminho de desempacotamento para obter as 

isoclínicas contínuas (Figura 17 (c)). 

A aparência de um esqueleto de mapa de fase em isocromáticas e isoclínicas 

(Figura 17 (c)) é realmente o ruído devido à interação isocromáticas e isoclínicas e 

suavização de dados das isoclínicas são obrigatórias para a sua utilização em 

estudos de separação de tensão. Este ruído é claramente evidente quando se olha 

para a representação binária das isoclínicas (Figura 17 (e)). Ramji e Ramesh (2010) 

desenvolveram um algoritmo de suavização discrepante para reduzir o ruído devido 

à interação entre isocromáticas e isoclínicas (Figura 17 (f)), considerado ser robusto 

como descrito em Ramji e Ramesh (2008a). No entanto, este domínio é necessário 

para delimitar pontos isotrópicos e de -salto; Kasimayan e Ramesh (2009) 

melhoraram o algoritmo de suavização discrepante cuidando automaticamente deste 

problema. O desempacotamento e alisamento dos valores das isoclínicas (Figura 17 

(d)) são então usadas para obter isocromáticas, que são completamente livres de 

zonas ambíguas (Figura 17 (g)) e, posteriormente, desenvolvida para obter a ordem 

de franja contínua (Figura 17 (i)). 

75

76 

Figura 17: Anel em compressão diametral. Obtidos experimentalmente: (a) 

mapa de fase envolvendo as isoclínicas (com zonas inconsistentes marcadas), 

(b) mapa de qualidade para identificar as zonas de boa qualidade e de má 

qualidade no mapa de fase de isoclínicas. Desempacotamento dos mapa de 

fase das isoclínicas: (c) antes do alisamento (esqueletos fracos das 

isocromáticas são realmente ruídosos), (d) após o alisamento. Enredo binário 

de isoclínicas: (e) antes de alisamento, e (f) após o alisamento, (g) mapa de 

fase das isocromáticas livre de zonas ambíguas obtidas pelo método de dez 

passos; (h) mapa de qualidade para identificar as zonas de boa qualidade e de 

má qualidade em mapa de fase das isocromáticas; (i) representação em cores 

de isocromáticas desempacotadas. 

Fonte: Ramji e Ramesh (2010).

3.8 Separação das Tesões 

Em outra classe de problemas, é necessário encontrar as componentes de 

tensão individuais sobre o domínio. Embora existam trabalhos de revisão geral sobre 

metodologias de separação de tensão (HAAKE et al., 1996 e FERNANDES et al., 

2010), aqui são discutidos apenas as técnicas que utilizam métodos fotoelásticos 

digitais. 

Quiroga e Gonzàlez-Cano (1998) apresentaram um procedimento para a 

separação de tensão utilizando as diferenças de tensões principais com as técnicas 

fotoelásticas digitais disponíveis na época e a soma das tensões principais utilizando 

a técnica de multi-grade numérica para problemas de tensão plana. No entanto, a 

soma das tensões principais de dados para o problema de um disco sob 

compressão diametral ora obtida é distorcida e não tinha simetria. No ano seguinte, 

Mangal et al. (1999) utilizaram os métodos de elementos finitos (FEM - finite 

element modelling) para obter a soma das tensões principais e um PST de seis 

passos para calcular a diferença de tensões principal. Ramesh e Mangal (2000) 

propuseram uma metodologia para a separação de tensão utilizando apenas dados 

das isocromáticas com múltiplas incidências oblíquas. No entanto, a técnica de 

dados necessita uma precisão muito elevada. Yoneyama et al. (2005) combinou um 

interferômetro de Mach-Zehnder com um polariscópio circular para separar as 

tensões. Uma abordagem de intensificação da carga (RAMESH; TAMRAKAR, 2000) 

foi usado para obter ( ) e uma técnica de fase cinco etapas de intensificação 

calculou-se ( ). Zhenkun et al. (2007) propôs um método semelhante, onde 

eles adotaram intensificação de carga para corrigir inconsistências e zonas ambígua 

nos mapas de fase das isoclínicas e isocromáticas. Estes requerem a existência de 

dois métodos experimentais ou o uso de FEM. Petrucci e Restivo (2007) 

desenvolveram um procedimento para a separação de tensão ao longo das 

trajetórias de tensão, a partir de fronteiras livres, com base na integração de 

equações de Lame-Maxwell. Isso exige cálculo preciso para a trajetória e também se 

propôs um algoritmo. 

Os parâmetros obtidos pelo método de dez passos da Ramji e Ramesh 

(2008a) são precisos e podem ser usados para executar separação tensão pela 

técnica de diferença de cisalhamento (RAMJI; RAMESH, 2008a; e RAMJI; RAMESH, 

77

78 

2008b). Para a implementação digital, uma técnica de identificação adequada de 

fronteira (MADHU; RAMESH, 2007), bem como a cuidadosa digitalização e a 

administração dos valores são necessários. Figuras 18 (a) a (c) mostram a pseudo- 

franja suavizada nos contornos de tensão , , e para o problema de um anel 

em compressão diametral (um quarto do modelo). A comparação quantitativa dos 

componentes de tensão individuais com os valores obtidos analiticamente (Figura 18 

(d)) é interessante. Neste problema, é necessária a presença de fronteiras livres 

simplificadas na implementação da metodologia. Como a presença de uma fronteira 

livre não é sempre que possível, Ashokan e Ramesh (2008) expuseram uma 

abordagem adaptativa de varredura, suficiente para conhecer os componentes de 

tensão para apenas um ponto no domínio do modelo. 

Figura 18: Variação de tensões individual (suavizada) para o problema de um 

anel em compressão diametral determinado pelo algoritmo de diferença de 

cisalhamento. Pseudo-tensão franja contornos: (a) ; (b) ; (c) ; (d) 

comparação quantitativa de componentes de tensão individuais obtidos 

utilizando diferença de cisalhamento com componentes de tensão obtidas 

analiticamente. 

Fonte: Ramji e Ramesh (2008).

3.9 Fusão de prototipagem rápida, FEM, e fotoelasticidade digital 

O potencial de combinar prototipagem rápida para construção de modelos 

para análise experimental pela técnica fotoelasticidade digital e FEM para análise 

numérica de um cenário de projeto foi relatado por Ramesh et al. (1999). Questões 

relacionadas com a identificação de uma resina de estereolitografia adequada 

(CURTIS et al., 2003) e construir estilos (KARALEKAS; AGELOPOULOS, 2006) 

também foram abordados. O processo de estereolitografia introduz um ruído 

característico e um método para lidar com isso de forma eficaz na análise 

fotoelástica digital foi proposto recentemente (ASHOKAN et al., 2011). 

A comparação dos resultados FEM com a de fotoelasticidade poderia ser 

simplificado se o pós-processamento de resultados em FEM for adequadamente 

feito para traçar franjas fotoelásticas. Ramesh et al. (1995) foram os primeiros a 

apresentar uma forma realista de planejar contornos marginais a partir dos 

resultados FEM invocando um sistema de digitalização. A variação da espessura 

das franjas é imitada por conspirar variavelmente como ‘ ’ um termo de erro. O 

método foi posteriormente estendido para traçar contornos marginais, tanto em tons 

de cinza como a cores para revestimentos fotoelásticos (RAVICHANDRAN et al., 

2007). O uso de um esquema de planejamento para identificar erros no FEM 

(PATHAK; RAMESH, 1995) e as diretrizes gerais para as descontinuidades de 

melhores modelos de discretização na FEM também tem sido relatadas (RAMESH; 

PATHAK, 1999). Umezaki e Terauchi (2002) extraíram pontos isotrópicos de um 

mapa de fase isoclínicos usando os contornos simulados obtidos no FEM. Ragulskis 

e Ragulskis (2004) plotaram as isoclínicas por resultados de pós-processamento de 

FEM e utilizaram um procedimento de suavização gerando resultados adequados 

para a análise experimental e numérica híbrida. 

Um novo uso de franja para plotagem tridimensional de análise (3D) foi 

relatada por Karthick Babu e Ramesh (2006a). Isto facilita a seleção de uma carga 

adequada, de corte plano e visualização de direção para modelos de congelamento 

de tensões. Para uma fatia arbitrária, o pós-processamento de um modelo 3D do 

FEM é ilustrado para o problema de uma esfera sob compressão diametral (diâmetro 

= 61mm, carga = 378N, = 0,35 N/mm/franja). A esfera é modelada utilizando um 

pacote comercial FEM usando elementos tetraédricos (Figura 19 (a)). Para uma fatia 

cuja localização é mostrada na Figura 19 (b), as experimentais franjas isocromáticas 

79

80 

de campo escuro (Figura 19 (c)) se aproximam das isocromáticas plotadas a partir 

dos resultados FEM (Figura 19 (d)). 

Figura 19 - (a) Esfera submetido à compressão usando dez nós nos 

elementos; (b) localização da fatia; (c) imagem de campo experimental escuro, 

e (d) isocromáticas no campo escuro plotados a partir dos resultados FEM. 

Fonte: Karthick Babu e Ramesh (2006b). 

O sucesso dos resultados de pós-processamento de FEM para plotagem de 

contornos de franja também abriu novas possibilidades. Identificação de zonas 

inconsistente em um mapa de fase de isoclínicas e as zonas ambíguas em um mapa 

de fase isocromáticas são problemas trabalhosos e complexos. Para resolvê-los, 

Ashokan e Ramesh (2008) propuseram uma abordagem utilizando autovalores e 

traçando os mapas de fase com e sem zonas ambíguas/inconsistentes, por pós- 

processamento dos resultados FEM. Para um disco com menos de três cargas 

radiais (Figura 20 (a)), os mapas de fase plotados a partir dos resultados FEM 

(Figuras 20 (b), (c), (f) e (g)) comparam bem com os mapas de fase experimental 

(Figuras 20 (d), (e), (h), e (i)). Recentemente, a identificação de zonas 

inconsistentes traçando um mapa inconsistência de resultados FEM foi proposta por 

Neethi Simon e Ramesh (2010). A plotagem de franjas e mapas de fase pode ser

ainda mais simplificada, usando criteriosamente os recursos de pós-processamento 

dos pacotes FEM (NEETHI SIMON; RAMESH, 2010). 

Figura 20 - Disco circular em três cargas radiais: (a) malha FEM com condições 

de contorno, (b) obtidos numericamente embrulhados no mapa de fase 

isoclínico; (c) obtidos numericamente pelo desempacotamento do mapa de 

fase isoclínico, (d) experimental embrulhado no mapa de fase isoclínico; (e) 

obtidos experimentamente pelo desempacotamento do mapa de fase 

isoclínico; (f) obtido numericamente pelo mapa de fase das isocromáticas com 

zonas ambíguas; (g) obtidos numericamente pelo mapa de fase das 

isocromáticas sem zonas ambíguas; (h) mapa de fase experimental das 

isocromáticas com zonas ambíguas, e (i) mapa de fase experimental 

isocromáticas sem zonas ambíguas. 

Fonte: Ashokan e Ramesh (2008). 

81

82 

3.10 Conclusões do capítulo 

Fotoelasticidade digital fornece espaço para avaliação dos parâmetros 

fotoelásticos sobre o domínio inteiro do modelo. Entre as várias técnicas 

fotoelásticas digitais no domínio espacial, os métodos de deslocamento de fase 

(PSTs) desempenham um papel vital na avaliação dos parâmetros fotoelásticos 

(RAMESH et al., 2011). Por isso, ele foi escolhido nesta tese. Este capítulo destacou 

que, para a determinação de parâmetros das isocromáticas, um arranjo polariscópio 

circular é essencial; a influência do erro da placa de quarto de onda pode ser 

minimizado utilizando o senso comum de mantê-los na posição cruzada, na medida 

do possível, e também por combinar de forma inteligente o uso de luz polarizada 

circularmente incidente na direita e na esquerda. Para a determinação das 

isoclínicas, o uso de um polariscópio plano é vantajoso e uma abordagem passo-a- 

passo de polarização simples (BROWN; SULLIVAN, 1990) resulta em melhores 

resultados. Se uma fonte de luz monocromática for utilizada, então os parâmetros 

das isoclínicas não são definidos em esqueletos das isocromáticas; assim, 

alisamento do mapa de fase das isoclínicas é essencial e um algoritmo de 

suavização discrepante é encontrado para obter um melhor desempenho em relação 

as outras estratégias de suavização. Extração de dados nestas zonas é melhor 

quando a luz branca é usada, no entanto, alisamento ainda é desejável. 

Embora o papel das zonas inconsistentes e ambíguas nos mapas de fase das 

isoclínicas e isocromáticas foi apenas parcialmente compreendido no 

desenvolvimento inicial da fotoelasticidade digital, agora métodos eficazes foram 

desenvolvidos para lidar com essas zonas. O uso de desempacotamento de fase de 

qualidade adaptativa guiada (RAMJI; RAMESH, 2010) têm efetivamente removido as 

zonas inconsistentes nos mapas de fase das isoclínicas e o uso de 

desempacotamento das isoclínicas na avaliação de parâmetros das isocromáticas 

eliminou totalmente a aparência de zonas ambíguas em mapas de fase das 

isocromáticas. Identificação de zonas inconsistente é difícil para problemas 

complexos e nestas situações isso pode ser feito numericamente (ASHOKAN; 

RAMESH, 2008; e NEETHI SIMON; RAMESH, 2010) com adequadas metodologias 

de pós-processamento de resultados FEM que têm sido desenvolvidos. 

Apesar de, em princípio, um método de quatro etapas seja suficiente para 

avaliar todos os parâmetros necessários, se a precisão for igualmente importante,

logo, entre as várias técnicas, o uso do método de dez passos da Ramji e Ramesh 

(2010) é recomendado, considerando ser robusta, mesmo na presença dos 

desalinhamentos das óticas usuais e incompatibilidade de placas de um quarto de 

onda. É por este motivo que busca-se nesta pesquisa desenvolver novas equações 

para ser possível avaliar um número maior de imagens, objetivando melhores 

precisões. É importante ressaltar que em outras técnicas baseadas em 

interferometria, apesar de que apenas uma fase de informações precisa ser 

avaliada, o uso de um grande número de imagens é mostrada para melhorar a 

precisão (KUMAR et al., 2008). 

Diversos problemas de interesse prático, como a avaliação do fator de 

concentração de tensão, fatores de intensidade de tensão, e parâmetros de tensão 

de contato requer apenas dados das isocromáticas. Se o foco for apenas em dados 

das isocromáticas, é possível resolvê-los depois de um único passo de aquisição de 

dados através RGBP. Os recentes avanços na ampliação do leque de métodos RGB 

para ir além do número de três ordens de franja o tornam adequado para lidar com 

situações genéricas. No entanto, o desenvolvimento de uma tabela de calibração é 

bastante necessário. Se a ordem de franja for inferior a três (assim para muitos 

problemas, tais como problemas de rachadura bimaterial interface, modelo de 

congelados de tensão fatiados ou franjas em um teste de revestimento fotoelástico), 

TFP com seus avanços recentes da RTFP (MADHU; RAMESH, 2007) combinada 

com a adaptação de cor é recomendada (MADHU et al, 2007 e NEETHI SIMON; 

RAMESH, 2010). 

Segundo Ramesh (2011), novas pesquisas em fotoelasticidade digital 

precisam se concentrar no desenvolvimento de metodologias eficientes, melhoria da 

aquisição de dados e processamento em zonas de concentração de tensão, sendo 

justamente este o objetivo dessa pesquisa científica. 

83

84 

4 METODOLOGIA MATEMÁTICA 

A Técnica Fotoelástica se beneficia com a evolução das técnicas de 

processamento digital de imagens a partor do aparecimento dos microcomputadores 

populares de alta performance e baixo custo, viabilizando o tratamento de imagens 

de alta resolução em um tempo extremamente pequeno, questões de frações de 

segundos. Nos estágios iniciais de aquisição automática de dados fotoelásticos, 

vários métodos campo global (ponto a ponto) foram propostos utilizando a 

informação de intensidade para a automatização da técnica. Nessas, o analisador, 

primeiro e/ou segundo um quarto de onda, e/ou polarizador são girados 

continuamente para produzir um sinal deslocado de intensidade no ponto de 

interesse. Os dados são registrados com base em ambas as intensidades de sinal e 

monitorados pelo seu valor mínimo. Ou então a fase do sinal deslocado é 

comparada com a de um sinal de referência (RAMESH, 2000). Assim, o uso de 

informação de intensidade sempre atraiu pesquisadores com o intuito de melhorar a 

metodologia de aquisição de dados em fotoelasticidade. 

O processamento direto de dados de intensidade para extração quantitativa 

dos parâmetros de franjas isoclínicas e isocromáticas não foram pensados antes por 

causa das dificuldades envolvidas na gravação dos dados de intensidade para o 

campo completo da imagem. No entanto, este problema foi superado com 

processamento digital de imagem, abrindo a possibilidade de determinar os 

parâmetros de franjas isoclínicas e isocromáticas em cada ponto (pixel) do domínio. 

Segundo Ramesh (2000), a nova metodologia requer modificações no procedimento 

experimental e a maneira como os dados experimentais precisam ser capturados. 

Em geral é necessário capturar algumas imagens correspondentes aos diferentes 

arranjos óticos para uma dada situação experimental. Estas metodologias são 

conhecidas como técnicas de deslocamento de fase considerando os específicos 

deslocamentos de fase introduzidos pelos elementos de óticos entre as imagens 

gravadas. 

A determinação da fase é um problema geral e clássico, fundamental para a 

interpretação de todo interferograma envolvendo duas funções de onda senoidais. A 

chave para se criar um algoritmo robusto é preocupar-se com a correta detecção de 

deslocamentos de fase.

4.1 Introdução do capítulo 

O conceito deslocamento de fase na fotoelasticidade foi introduzido pela 

primeira vez por Hecker e Morche (1986). Estendendo este, Patterson e Wang 

(1991) relataram um procedimento totalmente automatizado para análise 

fotoelástica. Eles basicamente utilizaram um polariscópio circular. Uma grande gama 

de pesquisadores também propuseram técnicas baseadas em um polariscópio 

circular. Tentativas especiais também têm sido relatadas para melhorar a avaliação 

das franjas isocromáticas considerando as áreas de baixa modulação (QUIROGA; 

GONZÁLEZ-CANO, 1997), a influência da interação das franjas isoclínicas (WANG; 

PATTERSON, 1995; e RAMESH; MANGAL, 1999), e a influência das placas de 

quarto de onda (AJOVALASIT et al., 1998). Determinação de contínuos contornos 

isoclínicos também tem recebido atenção na literatura (MANGAL; RAMESH, 1999; e 

EKMAN; NURSE, 1998). Sarma et aI. (1992) relataram uma metodologia utilizando 

um polariscópio plano. Posteriormente, Asundi (1993), descreveu uma nova 

metodologia estendendo o método de compensação de Tardy em uma abordagem 

de campo global (ponto-a-ponto) para avaliar a ordem de franja fracionária em 

pontos e medir nestes a linha isoclínica. Baek et al. (2002) desenvolveram um novo 

sistema envolvendo a rotação de dois elementos óticos do polariscópio e uma 

câmera digital para a análise de todo o campo de ordem de franja, permitindo 

automatizar a coleta de dados a ser adquirido de forma rápida e eficiente. Com base 

nestes trabalhos, objetiva-se desenvolver nesta tese novas equações inéditas 

através de um modelamento numérico apenas rotacionando o analisador. 

Neste capítulo, uma breve exposição sobre algumas técnicas de 

deslocamento de fase são apresentadas. As equações de intensidade e os arranjos 

respectivamente usados por eles são descritas e o modelo matemático proposto 

nesta pesquisa é apresentado. 

4.2 Deslocamento de fase na fotoelasticidade Digital 

Enquanto o método de franja fracionária e os métodos de Transformada de 

Fourier foram e ainda estão sendo usados para a análise da franja na 

fotoelasticidade (ASUNDI, 2002), nesta pesquisa, concentra-se no deslocamento de 

fase. 

85

86 

O método de mudança de fase é baseado na avaliação de valores de fases 

de diversas medições, cada uma deslocando-se de uma fase outra. É necessário 

realizar pelo menos três medições de intensidade de fase deslocada a fim de 

determiná-la, com certa precisão em todos os pontos. Essa técnica possibilita um 

cálculo totalmente automático. Existem diversos algoritmos para o cálculo de 

deslocamento de fase que se diferem quanto ao número de etapas de fases, ao 

passo entre as capturas de imagens, a rotação dos elementos óticos e a sua 

sensibilidade para os fatores que influenciam os testes durante as medições. 

4.2.1 Método de compensação Tardy 

Antes do advento do processamento digital, o método mais comum para 

medir ordens de franja fracionária foi o método Tardy. O método exige nenhum 

equipamento adicional e pode ser usado com um polariscópio tradicional. As 

desvantagens são de ser um método de ponto-conhecido, portanto, tedioso e 

demorado para todo o campo de análise (ASUNDI, 2002). Porém, é um precursor do 

método de deslocamento de fase e, portanto, será explicado o método Tardy, a fim 

de determinar a ordem de franja em um ponto de interesse. Para empregá-lo o eixo 

do polarizador deve estar alinhado com a direção principal da sua tensão máxima no 

ponto em questão (α ). Todos os outros elementos do polariscópio são giradas 

em relação ao polarizador, objetivando a existencia um polariscópio de campo 

escuro padrão. O analisador é então rotacionado por um valor , produzindo a 

extinção de luz no ponto de interesse. O procedimento para determinar a ordem de 

franja é dado abaixo, substituindo α na equação do vetor de Jones para uma 

placa birrefringente como 

c 

A Equação 40 pode assim ser reescrita como: 

c 

(48)

c 

c c 

c 

A intensidade de campo escuro pode desevolver-se como 

Extinção ocorre quando 

fracionária n no ponto de interesse é dada por 

c 

87 

(49) 

(50) 

onde e a ordem de franja 

(51) 

Segundo Asundi (2002) esta foi a base do método de deslocamento de fase. 

Como o método se baseia em um polariscópio circular, somente aquelas técnicas 

utilizando este mencionado com a técnica mais atual para a comparação. Usando 

expressões de deslocamento de fase, Asundi (1993), estendeu o método de 

compensação de Tardy a uma técnica ponto-a-ponto para avaliar a ordem de franja 

fracionária em todos os pontos situados na linha isoclínica. O sistema ainda usou o 

polariscópio normal, mas suas aplicações eram limitadas. 

4.2.2 Algoritmo de Patterson e Wang 

Hecker e Morche (1986) deslocou a fase pela rotação da segunda placa de 

quarto de onda e do analisador, enquanto o eixo rápido da placa de quarto de onda 

primeiro foi definido para 45 o com relação ao eixo do polarizador. Este foi o início da 

evolução resultando na inutilização dos polariscópios convencionais. Patterson e 

Wang (1991) utilizou o arranjo básico sob a mesma ótica de Hecker e Morche. No 

entanto, usando diferentes passos de rotação ótica da segunda placa de quarto de 

onda e do analisador, o algoritmo de Patterson e Wang teve uma maior modulação

88 

sobre o campo. Algoritmo de Patterson e Wang usou seis equações de intensidade 

com as configurações da placa de segundo quarto de onda e analisador variando da 

seguinte forma: 

TABELA 2 - Algoritmo de Patterson e Wang. 

Equação de intensidade 

Fonte: Adaptado de Patterson e Wang (1991) 

c 

c 

α 

c α 

α 

c α 

Das seis equações de intensidade resumidas na Tabela 2, tanto o ângulo da 

isoclínica e o retardo de fase podem ser calculados como: 

(52) 

c (53) 

Todos os algoritmos existentes de deslocamento de fase têm uma 

ambigüidade ao determinar tanto os parâmetros das franjas isoclínicas e 

isocromáticas. O ângulo isoclínico α é calculado usando uma função inversa da 

tangente com um fator de multiplicação 1/2 e é expressa no intervalo ( para 

) em vez de sua escala verdadeira ( para ). Em polariscópio circular 

baseado em algoritmos de deslocamento de fase, embora o retardo de fase seja 

determinado em uma ampla gama (0, ) usando a função arco tangente de quatro 

quadrantes, sua interação com o ângulo isoclínico ainda leva a ambiguidades quanto 

ao seu sinal matemático.

Quando existe ambigüidade em um determinado ponto, no entanto, o simples 

relacionamento entre os valores calculados de e e seus verdadeiros valores de 

e são obtidos facilmente de qualquer do algoritmo de campo total com 

e . 

A restrição à aplicação generalizada do algoritmo Patterson & Wang está em 

não poder ser implementado com um polariscópio circular convencional. Neste 

algoritmo, o deslocamento de fase é obtida pela rotação dos elementos de saída 

ótica do polariscópio circular, ou seja, o analisador e a segunda placa de quarto de 

onda. Isso exige que a segunda placa de quarto de onda e o analisador no 

polariscópio circular girem independentemente. Infelizmente, este não é o caso de 

muitos polariscópios circulares disponíveis comercialmente e amplamente utilizados 

em laboratórios de organizações industriais e universidades. O requisito de design 

destes polariscopes envolve a mudança entre um polariscópio plano e um 

polariscópio circular com facilidade e precisão. Assim, as placas de quarto de onda 

foram interligados com uma capacidade de 45 o de rotação máxima. Isso requer 

algumas modificações permanentes no polariscópio, incluindo até a possível 

diminuição de sua exatidão e integridade. Assim, um método alternativo, que usa a 

técnica de deslocamento de fase sem modificar o polariscópio convencional, é 

desejável. 

4.2.3 Método de deslocamento de fase usando um polariscópio circular 

convencional - Algoritmo de Asundi e Liu (1999) 

Um polariscópio convencional (Figura 21) é um polariscópio circular com duas 

placas de um quarto de onda interligadas com as de polarização. Isso facilita a 

transformação do polariscópio de circular para plano com maior precisão. A maioria 

dos polariscópios comerciais são polariscópios convencionais. 

89

90 

Figura 21 - Os dois polariscópios convencionais utilizados por Asundi e Liu. 

Fonte: Asundi e Liu (1999). 

Um novo algoritmo melhorado é proposto aplicando à técnica de 

deslocamento de fase em um polariscópio convencional utilisando apenas quatro 

imagens. 

Para um polariscópio circular com , equação (49) e reescrita como 

c 

c 

c c 

c 

c 

c 

c 

c 

(54) 

A intensidade da luz que emerge de um ponto na amostra é então dada como 

onde é a luz de fundo. 

c 

c (55) 

Nestes polariscópios convencionais, as restrições são que pode assumir 

apenas valores de e e pode ter qualquer valor entre 0 e . Seis equações 

intensidade idênticas às do algoritmo de Patterson & Wang (Tabela 3) são obtidas 

por substituição de valores apropriados de e , conforme Tabela 3. Isso 

c

demonstra que, mesmo com a capacidade limitada de um polariscópio circular 

convencional, a técnica de deslocamento de fase pode ainda ser utilizada. Além 

disso, é evidente, através deste novo método, gere as equações (52) e (53) ainda 

podem ser usadas para determinar os parâmetros das franjas isoclínicas e 

isocromáticas aqui atualizados: 

(56) 

c (57) 

TABELA 3 - Algoritmo de Asundi e Liu. 

Imagem Ângulo QWP Ângulo analisador Equação de intensidade Padrão de franjas 

Fonte: Adaptado de Asundi e Liu (1999) 

4.2.4 O método de deslocamento de fase em quatro passos 

91 

c Campo claro 

c Campo escuro 

As equações (56) e (57) são baseadas na premissa de que o fundo / luz 

difusa e a intensidade máxima de luz são constantes em um ponto genérico 

durante o procedimento de intensificação de fase. Com este pressuposto, as seis 

etapas são simplificadas para quatro etapas usando intensidades, , , e da 

Tabela 3. Neste caso, e são deduzidos como 

c 

c 

(58) 

(59)

92 

c (60) 

A partir da equação acima, nota-se o ângulo de fase dependente da 

determinação adequada do ângulo isoclínico . Ambiguidades dessa determinação 

surgirão devido ao fator 

na equação para a determinação de . 

4.2.5 Separação das franjas isocromáticas e isoclínicas pela técnica de 

deslocamento de fase 

Baek et al. (2002) desenvolveu um novo sistema, envolvendo a rotação de 

dois elementos óticos do polariscópio e uma câmera digital para a análise de todo o 

campo de ordem de franja, permitindo automatizar a coleta de dados a ser adquirido 

de forma rápida e eficiente. A técnica de medição de fase desenvolvida utiliza oito 

imagens através de um polariscópio circular e a medição digital de isocromáticas e 

isoclinicas são apresentados, respectivamente, por franjas fotoelásticas em um disco 

circular sob compressão diametral. As franjas isocromáticas são obtidas diretamente 

usando o cálculo das isoclinicas pelo operador arco tangente. As distribuições de 

isoclinicas digitalmente determinadas estão em concordância com as medidas 

manuais. 

O arranjo ótico para separação das franjas fotoelásticas isoclínicas e 

isocromáticas em um polariscópio circular é mostrado na Figura 3. A orientação do 

elemento é escrito por um índice que significa o ângulo entre o eixo de polarização e 

o eixo x horizontal. Por exemplo, P90 indica um polarizador cuja transmissão eixo é 

perpendicular ao eixo x escolhido. Rα δ representa a amostra tensionada tomado δ 

como um retardo e cujo eixo é rápido em um ângulo α com o eixo x. Portanto, por 

pode-se dizer: 1) um polarizador a 90 °, 2) placa de um quarto de 

onda com o eixo rápido em 45°, 3) uma amostra tensionada considerando δ como 

um retardo e cujo eixo é rápido em um ângulo α com o eixo x, 4) segunda placa de 

um quarto de onda com o eixo rápido em φ e 5) analisador com ângulo θ.

A θ 

Figura 3 - Arranjo ótico para um polariscópio circular. 

A 

Q φ 

Eixo 

Rápido 

θ 

Analisador 

R α,δ 

Eixo 

Lento 

φ 

α 

Segundo um 


x 


P 90 


polarização 

P 

*Fonte de Luz 

Q45 Eixo 

Lento Π 

4 

Eixo 

Rápido 

Π 

4 Π 

4 

Polarizador 


Tensionado 

Primeiro um 


Fonte: Adaptado de Baek et al. (2002). 

Segundo Baek et al. (2002) o cálculo Jones para o arranjo de 

na Figura 3, os componentes ao longo do campo em luz e perpendicular ao eixo do 

analisador ( , ) são dados como: 

onde , θ e φ são os angulos do analisador e da segunda placa de um quarto 

de onda formada com o eixo x de referência, respectivamente. Os símbolos k e ω 

são a amplitude e a frequência ângular do vetor de luz, respectivamente. 

(61) 

(62) 

93

94 

onde é a intensidade da luz de saída, e 

e , respectivamente. 

e 

são os complexos conjugados de 

Após a operação simples das equações apresentadas, a intensidade de saída 

do polariscópio circular para o arranjo é dada por 

c c (63) 

onde K é uma constante de proporcionalidade, ou seja, a intensidade máxima de luz 

emergindo do analisador. Para a técnica de medição de fase, o ângulo α e o retardo 

relativo δ indicam a direção e a diferença de tensões principais, respectivamente, e 

são os parâmetros a serem obtidos. 

No trabalho Baek et al. (2002) utilizou oito imagens cujas equações de 

intensidade utilizadas são mostradas na Tabela 4 a seguir. 

TABELA 4 - Arranjos óticos e suas equações de intensidade. 

Nº Arranjo Intensidade de Saída 

1 c 

2 c 

3 c 

4 c 

5 

6 

7 c 

8 c 

Fonte: Adaptado de Baek et al. (1991) 

As equações apresentadas na Tabela 4 são utilizadas para os cálculos das 

isoclinicas α e ordem de franja fracionária δ como 

(64)

(65) 

O valor teórico das isocromáticas δ (BAEK et al., 2002) está relacionado a 

dois componentes de tensão principal σ1 e σ2 dado pela equação: 

(66) 

Por outro lado, o ângulo teórico α da isoclinica utiliza os componentes de 

tensão σx, σy e τxy, calculados pela equação: 

4.3 Novo modelo matemático proposto nesta pesquisa 

(67) 

Baseando-se na pesquisa de Baek et al. (2002), utilizou-se a Equação 63 

para gerar equações com novas configurações para o palariscópio. Fixou-se o 

ângulo do segundo um quarto de onda em -45 o , buscando rotacionar apenas o 

analisador de -45 o a 45 o . Objetiva-se conseguir equações inéditas para um número 

N quaisquer de imagens, melhorando a aplicação, já que, segundo Asundi (2000), 

nem todos os polaricópios existentes no mercado aceitam todas as configurações 

angulares do segundo um quarto de onda, como é o caso do polariscópio circular da 

Strainoptic Technologies, Inc. modelo PS-100 existente no laboratório análise 

experimental do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da PUC- 

Minas (Figura 23). Pode-se generalizar a distribuição de intensidade de cada 

imagem IN, segundo a Equação 63: 


c c logo, 

c c c (68) 

95

96 

IN: intensidade luminosa emergente do polariscópio em cada ponto de cada imagem 

N. 

K: é uma constante de proporcionalidade, ou seja, a intensidade máxima de luz 

emergindo do analisador. 

θ: ângulo do analisador. 

: retardo no modelo fotoelástico. 

α: ângulo entre a direção σ1 e o eixo de referência horizontal. 

N: número de imagens ou quadros. 

Por uma questão de limitação do polariscópio, o número de imagens N deve 

ter o ângulo do analisador θ com passo constante em graus inteiros, variando θ de - 

45 o a 45 o , já que não se consegue precisão em rotação fracionária do analisador, 

como mostrado na Figura 24 (com exceção de N igual a 5 imagens onde o passo em 

graus não é inteiro, mas 0,5; proporcionando ainda alguma precisão na rotação). 

Logo, a relação de N e o passo de θ em graus é mostrado na Tabela 5. 

Figura 23 - Polariscópio da Strainoptic Technologies, Inc. modelo PS-100 

existente no laboratório análise experimental do programa de pós-graduação 

em Engenharia Mecânica da PUC-Minas. 

Fonte: Dados da pesquisa.

TABELA 5 - Relação do número de imagens N e o posso constante em graus 

de rotação do analisador θ. 

N 3 4 5 6 7 10 11 16 19 31 

Passo 45 o 

30 o 22,5 o 18 o 15 o 10 o 9 o 6 o 5 o 3 o 


Figura 24: Vista da graduação em graus do analisador do Polariscópio que irá 

rotacionar de -45 o a 45 o . 

Fonte: PS-100 BULLETIN, 2011 e dados da pesquisa. 

Assim, para N = 3, tem-se: 

c 

c 

c 

Para N = 4, tem-se: 

c 

c 

c δ 

c δ 


c 

c 

(69) 

(70) 

97

98 

c 

c 

c 

c δ 

c δ 


c 

c 

c 

c 

c 

c 


c 

c 

c 

c 

c 

c δ 

c δ 


c 

c 

c c 

c c 

c c 

c c 

c 

c 

c 

c 

(71) 

(72) 

(73)

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c δ 

c δ 


c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 


c c 

c c 

c 

c c 

c c 

c 

c c 

c c 

c c 

c c 

c c 

c c 

c c 

c c 

c c 

c c 

(74) 

(75) 

99

100 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c δ 

c δ 

c c c 

c c c 

c c 

c c c 

c 

c c 

c c c 

c c c 

c c 

c 

c c c 

c c 

c c c 

c c c 

Da mesma forma para N = 19, tem-se: 

(76)

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c δ 

c δ 

c c c 

c c 

c 

c c 

c c c 

c 

c c c 

c c 

c c 

c c c 

c 

c c c 

c c 

c 

c c 

c c c 

E por fim, para N= 31 imagens, tem-se: 

(77) 

101

102 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c δ 

c δ 

c c c 

c c c 

c c 

c c c 

c 

c c 

c c c 

c c c 

c c 

c 

c c c 

c c 

c c c 

c c c 

c c c 

c c c 

c c 

c c c 

c 

c c 

c c c 

c c c 

c c 

c 

c c c 

c c 

c c c 

c c c 

(78)

Baseando na pesquisa realizada por Magalhães Júnior (2009), e adaptando 

para o caso específico de deslocamento de fase na fotoelásticidade, observa-se em 

ambas as equações de e o cálculo da tangente da fase usando a divisão de um 

numerador (a raiz quadrada da soma de constantes reais e , respectivamente, 

multiplicada por duas imagens IN) pela de um denominador (raiz quadrada da soma 

de constantes reais e , respectivamente, multiplicada por duas imagens IN). 

Reescrevendo essas equações para o caso de 4 imagens, obtém-se: 

2 

 

b1, 

1I1 

b1, 

2I 

1I 

2 b1, 

3I 

1I 

3 b1, 

4I 

1I 

4 

 

2 

b 

2, 

2I 

2 b2, 

3I 

2I 

3 b2, 

4I 

2I 

4 

 

 

2 

 

b3, 

3I 

3 b3, 

4I 

3I 

4 

 

2 

 

1 

b 

 

4, 

4I 

1 

4 

tan 

 

(79) 

2 2 

 

 

c1, 

1I1 

c1, 

2I 

1I 

2 c1, 

3I 

1I 

3 c1, 

4I 

1I 

4 

2 

c 

2, 

2I 

2 c2, 

3I 

2I 

3 c2, 

4I 

2I 

4 

 

2 

 

 

c3, 

3I 

3 c3, 

4I 

3I 

4 

 

2 

c 

 

4, 

4I 

4 

2 

 

e1, 

1I1 

e1, 

2I 

1I 

2 e1, 

3I 

1I 

3 e1, 

4I 

1I 

4 

 

2 

e 

2, 

2I 

2 e2, 

3I 

2I 

3 e2, 

4I 

2I 

4 

 

 

2 

 

e3, 

3I 

3 e3, 

4I 

3I 

4 

 

2 

e 

 

4, 

4I 

1 

4 

tan 

 

(80) 

2 

 

 

f1, 

1I1 

f1, 

2I 

1I 

2 f1, 

3I 

1I 

3 f1, 

4I 

1I 

4 

2 

f 

2, 

2I 

2 f 2, 

3I 

2I 

3 f 2, 

4I 

2I 

4 

 

2 

 

 

f 3, 

3I 

3 f 3, 

4I 

3I 

4 

 

2 

f 

 

4, 

4I 

4 

O símbolo | | representa o valor absoluto, considerando o único interesse em 

valores positivos de e . O uso do valor absoluto ou módulo simplifica as 

equações, a medida da raiz quadrada só pode ser definida para números positivos. 

Propõem-se, então, uma equação geral para o cálculo da fase para qualquer 

valor de N (Número de Imagens ou quadros) como: 

103

104 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

I 

I 

c 

I 

I 

b 

1 

, 

1 

, 

1 

tan 

2 

1 

(81) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

I 

I 

f 

I 

I 

e 

1 

, 

1 

, 

1 

tan 

(82) 

ou expandindo os somatórios: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

, 

4 

, 

4 

2 

4 

4 

, 

4 

3 

, 

3 

4 

3 

4 

, 

3 

2 

3 

3 

, 

3 

2 

, 

2 

4 

2 

4 

, 

2 

3 

2 

3 

, 

2 

2 

2 

2 

, 

2 

1 

, 

1 

4 

1 

4 

, 

1 

3 

1 

3 

, 

1 

2 

1 

2 

, 

1 

2 

1 

1 

, 

1 

2 

, 

4 

, 

4 

2 

4 

4 

, 

4 

3 

, 

3 

4 

3 

4 

, 

3 

2 

3 

3 

, 

3 

2 

, 

2 

4 

2 

4 

, 

2 

3 

2 

3 

, 

2 

2 

2 

2 

, 

2 

1 

, 

1 

4 

1 

4 

, 

1 

3 

1 

3 

, 

1 

2 

1 

2 

, 

1 

2 

1 

1 

, 

1 

1 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

tan 

2 

1 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

I 

c 

I 

c 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

I 

b 

I 

b 

(83)

105 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

, 

4 

, 

4 

2 

4 

4 

, 

4 

3 

, 

3 

4 

3 

4 

, 

3 

2 

3 

3 

, 

3 

2 

, 

2 

4 

2 

4 

, 

2 

3 

2 

3 

, 

2 

2 

2 

2 

, 

2 

1 

, 

1 

4 

1 

4 

, 

1 

3 

1 

3 

, 

1 

2 

1 

2 

, 

1 

2 

1 

1 

, 

1 

2 

, 

4 

, 

4 

2 

4 

4 

, 

4 

3 

, 

3 

4 

3 

4 

, 

3 

2 

3 

3 

, 

3 

2 

, 

2 

4 

2 

4 

, 

2 

3 

2 

3 

, 

2 

2 

2 

2 

, 

2 

1 

, 

1 

4 

1 

4 

, 

1 

3 

1 

3 

, 

1 

2 

1 

2 

, 

1 

2 

1 

1 

, 

1 

1 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

tan 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

I 

f 

I 

f 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

I 

e 

I 

e 

(84) 

ou enfatizando somente a matriz de coeficientes do numerador e do denominador: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

N 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

c 

Dem 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

Num 

Dem 

Num 

, 

, 

4 

4 

, 

4 

, 

3 

4 

, 

3 

3 

, 

3 

, 

2 

4 

, 

2 

3 

, 

2 

2 

, 

2 

, 

1 

4 

, 

1 

3 

, 

1 

2 

, 

1 

1 

, 

1 

, 

, 

4 

4 

, 

4 

, 

3 

4 

, 

3 

3 

, 

3 

, 

2 

4 

, 

2 

3 

, 

2 

2 

, 

2 

, 

1 

4 

, 

1 

3 

, 

1 

2 

, 

1 

1 

, 

1 

1 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

... 

tan 

2 

1 

(85)

106 

e1, 

1 e1, 

2 e1, 

3 e1, 

4 ... e1, 

N 

 

 

 

e2, 

2 e2, 

3 e2, 

4 ... e2, 

N 

e 

 

3, 

3 e3, 

4 ... e3, 

N 

Num 

 

 

 

e4, 

4 ... e4, 

N 

 

... ... 

 

 

Num 

e 

1 

N , N 

tan 

 

(86) 

Dem f1, 

1 f1, 

2 f1, 

3 f1, 

4 ... f1, 

N 

 

 

 

f 2, 

2 f 2, 

3 f 2, 

4 ... f 2, 

N 

f f f 

3, 

3 3, 

4 ... 3, 

N 

Dem 

 

 

 

f 4, 

4 ... f 4, 

N 

 

... ... 

 

 

 

f N , N 

Trabalhando com esse formato nas equações, expressa-se as equações 

utilizando apenas os coeficientes do numerador e do denominador. 

As equações permitem calcular e em cada ponto da imagem (cada pixel) 

usando os valores da intensidade luminosa IN das diversas imagens da amostra 

naquele ponto, independente do valor da mudança ou passo de fase. 

4.4 Modelo matemático 

Este presente estudo, assim como Magalhães Junior (2009), faz uma 

inovação ao tentar deduzir equações matemáticas para um número qualquer de 

imagens (N), não através de manipulações algébricas e relações trigonométricas, 

mas, por meios de métodos numéricos nas novas equações adaptadas para a 

fotoelásticadade. 

A mudança de enfoque do problema de obtenção de algoritmos do cálculo de 

fase em um problema analítico para uma visão numérica é uma grande inovação e 

quebra um paradigma até então usado por diversos autores anteriormente. 

Após várias tentativas de formulação numérica do problema, obtém-se os 

modelos matemáticos 87 e 88:

107 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... 

31 

19 

16 

, 

.. 

1 

, 

4 

1 

1 

2 

real 

e 

leatório 

] 

2 

; 

0 

[ 

real 

e 

leatório 

] 

4 

; 

0 

[ 

4 

- 

, 

real 

e 

leatório 

] 

255 

; 

0 

[ 

.. 

1 

, 

) 

sin( 

) 

( 

2 

cos 

) 

( 

2 

sin 

) 

cos( 

) 

( 

2 

sin 

1 

: 

cada 

para 


.. 

1 

reais 

números 

são 

.. 

1 

reais 

números 

são 

.. 

, 

.. 

1 

1 

1 

.. 

, 

.. 

1 

1 

1 

) 

1 

( 

.. 

1 

) 

2 

( 

tan 

is 

varíave 

de 

número 

|) 

Den 

|)/Sqrt(| 

Num 

Sqrt(| 

) 

tan(2 

) 

5 

) 

4 

) 

3 

) 

2 

) 

1 

, 

, 

, 

, 

1 

, 

1 

, 

2 

1 

, 

, 

ou 

ou 

ou 

N 

Passo 

N 

j 

Passo 

j 

a 

a 

a 

K 

N 

j 

K 

I 

v 

N 

r 

..N,s 

r 

c 

N 

r 

..N,s 

r 

b 

N 

r 

s 

N 

r 

c 

N 

r 

s 

N 

r 

b 

N 

N 

v 

I 

I 

b 

I 

I 

c 

a 

sujeito 

c 

b 

Maximizar 

j 

j 

j 

j 

s 

r 

s 

r 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(87) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... 

31 

19 

16 

, 

.. 

1 

, 

4 

1 

1 

2 

real 

e 

leatório 

] 

2 

; 

0 

[ 

real 

e 

leatório 

] 

4 

; 

0 

[ 

4 

- 

, 

real 

e 

leatório 

] 

255 

; 

0 

[ 

.. 

1 

, 

) 

sin( 

) 

( 

2 

cos 

) 

( 

2 

sin 

) 

cos( 

) 

( 

2 

sin 

1 

: 

cada 

para 


.. 

1 

reais 

números 

são 

.. 

1 

reais 

números 

são 

.. 

, 

.. 

1 

1 

1 

.. 

, 

.. 

1 

1 

1 

) 

1 

( 

.. 

1 

) 

( 

tan 

is 

varíave 

de 

número 

|) 

Den 

|)/Sqrt(| 

Num 

Sqrt(| 

) 

tan( 

) 

5 

) 

4 

) 

3 

) 

2 

) 

1 

, 

, 

, 

, 

1 

, 

1 

, 

2 

1 

, 

, 

ou 

ou 

ou 

N 

Passo 

N 

j 

Passo 

j 

a 

a 

a 

K 

N 

j 

K 

I 

v 

N 

r 

..N,s 

r 

f 

N 

r 

..N,s 

r 

e 

N 

r 

s 

N 

r 

f 

N 

r 

s 

N 

r 

e 

N 

N 

v 

I 

I 

e 

I 

I 

f 

a 

sujeito 

f 

e 

Maximizar 

j 

j 

j 

j 

s 

r 

s 

r 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

N 

r 

N 

r 

s 

s 

r 

s 

r 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(88)

108 

Aglutinando os modelos 87 e 88 em apenas um modelo, tem-se: 

Maximizar 

N N 

br , s cr 

, s er 

, s f r, 

s 

r1 

sr 

sujeito a 

tan(ang) Sqrt(| Num |)/Sqrt(| Den |) 

 

 

1) 

2 

tan ( 2 

) 

 

r1 

sr 

r1 

sr 

 

2) 

2 

tan ( ) 

r1 

sr 

r1 

sr 

 

 

3) 

1 

br, 

s 1, 

1 

cr 

, s 1 

 

1 

er 

, s 1, 

1 

f r, 

s 1 

 

4) 

br, 

s , c r, 

s são números reais 

 

 

er 

, s , f r, 

s são números reais 

 

onde para cada v : 

N N 

N N 

 

 

c r, 

s I r I s br , s I r I s v 1.. 

N( N 1) 

 

N N 

N N 

 

 

f r, 

s I r I s e r, 

s I r I s v 1.. 

N( N 1) 

 

 

 

 

1 sin2( 

) 

cos( ) sin2( 

) cos2( ) 

sin( 

) 

I 

j K 

j 

 

 

K [ 

0; 

255] 

aleatório 

e real 

 

 

 

[ 

0; 

4] 

aleatório 

e real 

 

 

[ 

0; 

2] 

aleatório 

e real 

j 1 

 

 

j , j 1.. 

N 

2 Passo 1 

4 

, 

, 

 

- 

4 

Passo N 

ou 

r 1.. 

N, 

s r.. 

N 

r 1.. 

N, 

s r.. 

N 

16 

Quantidade 

r 1..N,s 

r.. 

N 

r 1..N,s 

r.. 

N 

j 

ou 

19 

ou 

, j 1.. 

N 

31... 

Os coeficientes das matrizes dos numeradorer (cr,s; er,s) e denominadores (dr,s; 

fr,s), respectivamente, podem ser inteiros, mas inicia-se a pesquisa considerando 

como números reais. Os computadores atuais realizam cálculos matemáticos 

(adições e multiplicações) com números reais (com ponto flutuante) em uma boa 

velocidade de processamento computacional do algoritmo, pois os valores da 

intensidade das imagens (Ij) são inteiros, variando de 0 até 255. As variáveis r, s e 

são apenas índices usados como contadores pelo modelo. 

A ideia de se obter um máximo do somatório dos valores absolutos ou módulo 

dos coeficientes das matrizes dos numeradores (cr,s; er,s) e denominadores (dr,s; fr,s), 

objetiva-se na tentativa de diminuir o erro na medição em radianos. É importante 

também que estes coeficientes não sejam muito grandes para os valores do 

somatório do numerador e do denominador não terem valores muito altos, pois se 

multiplica um número por um valor muito alto, aumentando-se também o erro de 

(89)

arredondamento (a) do número, propagando-se e reduzindo a precisão. No 

algoritmo de cálculo, esses coeficientes vão multiplicar justamente os valores da 

intensidade das imagens (Ij) contendo erros devido a ruídos e a discretização em 

pontos (pixéis) em tons de cinza. Em Chapra (1988), a propagação numérica do erro 

de arredondamento é estudada em detalhes. 

A restrição (1) dos modelos 87 e 88 e (1) e (2) no Modelo 89 vem das 

Equações 4.33 e 4.34 elevada ao quadrado e representando o formado da equação 

buscada. O resultado da resolução dos Modelos 87, 88 e 89 são os coeficientes das 

matrizes dos numeradores (cr,s; er,s) e denominadores (dr,s; fr,s); assim, o número de 

incógnitas é dado por . Para garantir a obtenção de um problema hiper-restrito, 

sugere-se um número de restrições maior ou, pelo menos, igual ao número de 

variáveis. As restrições do modelo são obtidas através da escolha aleatória de 

valores para K (constante proporcional da intensidade máxima de luz emergindo do 

analisador), (retardo no modelo fotoelástico dado pelas franjas isocromáticas) e α 

(ângulo entre a direção σ1 e o eixo de referência horizontal). Usando a Equação 63, 

calculam-se os Ij (intensidade luminosa), considerando (ângulo do segundo um 

quarto de onda) igual a 

limitados entre 

109 

e θ (ângulo do analisador com passo constante) como: 

j 1 

 

j , j 1.. 

N com Passo N 

(90) 

2 Passo 1 

4 

e 

. É importante relembrar a Equação 63 desenvolvida 

para o arranjo ótico do polariscópio , como descrito na Seção 4.2.3 

deste capítulo. Logo, a configuração do polariscópio nesta pesquisa é dada por 

. 

Testes mostraram que, mesmo para outros valores menores de , o modelo 

matemático funciona apenas na busca por solução ótima, porém, mais demorada. 

Na verdade, os valores de K, e α podem ser qualquer número real, mas para 

manter uma compatibilidade com o problema, optou-se por limitar K entre 0 e 255, 

para que Ij fique entre 0 e 255. Limita-se também α entre 0 e 

valores usados na etapa seguinte de desempacotamento. 

e entre 0 e 

As restrições (2) e (3) dos modelos 87 e 88 e (3) do Modelo 89 são usadas 

para acelerar a resolução desse modelo matemático. Esta limitação no valor dos 

,

110 

coeficientes das matrizes dos numeradores (cr,s; er,s) e denominadores (dr,s; fr,s) 

representam uma significativa redução do universo de busca e pesquisa da solução 

do modelo de otimização. Tal redução no universo de busca traz soluções mais 

rápidas e com menos esforço computacional para resolver estes modelos de 

otimização linear. 

O caso em questão, é a busca por algoritmos válidos para o cálculo de e α, 

não existindo a preocupação dos modelos de otimização atinjirem um máximo 

global, pois em um máximo local (pontos de máximo de uma função em alguma 

vizinhança do ponto contido no domínio da função) já se atende aos objetivos 

desejados. Até mesmo ao se encontrar uma solução viável qualquer, pode-se 

satisfazer a pesquisa por novos algoritmos. Logo, a procura se restringe a 

coeficientes das matrizes dos numeradores (cr,s; er,s) e denominadores (dr,s; fr,s) reais 

e que atendam as restrições do modelo, não necessitando serem maximizados 

(desejável, mas não necessário). 

Ao se encontrar as equações com os modelos 87, 88 e 89, esta pode se 

tornar uma restrição para que uma nova equação diferente seja achada, usando 

novamente o modelo. Isso permite que os modelos 87, 88 e 89 encontrarem vários 

algoritmos para um dado valor de N (número de imagens), tornando bastante flexível 

e abrangente o modelo numérico. 

4.5 Método de programação linear: o método simplex 

Para resolver numericamente os modelos matemáticos 87 e 88, optou-se pelo 

uso do método simplex de programação linear. A proposta é apresentar apenas uma 

revisão didática do referido modelo. Um detalhamento mais aprofundado pode ser 

encontrado em Hillier (2006). Este mesmo método também é usado pelo software 

comercial LINGO ® 13.0 (2011) gratuito para testes da LINDO Systems Inc. 1 . 

4.5.1 O quadro simplex 

1 http://www.lindo.com

Segundo Bronson (1985), o método simplex, desenvolvido por George B. 

Dantzig em 1947, é um procedimento matricial para solucionar um modelo de 

programação linear na forma normal: 

Otimizar: 

Sujeito a: 

Com: 

onde e se conhece uma solução básica viável inicial . Começando com , 

o método localiza sucessivamente outras soluções básicas viáveis, alcançando 

melhores valores para a função que se quer encontrar até a obtenção de uma 

solução ótima para o problema. Para os programas de minimização, o método 

simplex utiliza o Quadro 1, no qual designa o vetor custo associado com as 

variáveis em . 

Quadro 1 – Método simplex. 

Fonte: Bronson (1985). 

Nos problemas de maximização o Quadro 1 é utilizável deste que os 

elementos da linha inferior sejam colocados com o sinal trocado. 

4.5.2 Uma simplificação do Quadro 1 

Defina-se, para cada j (j= 1, 2, ..., n), , produto escalar de com a j- 

ésima coluna de . O j-ésimo elemento na linha do Quadro 1 é (ou para um 

problema de maximização ), onde é o custo na segunda linha do quadro, 

imediatamente acima de . Uma vez obtida esta última linha, a segunda linha e a 

segunda coluna do quadro, correspondentes a e , respectivamente, tornam-se 

desnecessárias e poder ser eliminadas. 

111

112 

passos: 

Segundo Bronson (1985) o método simplex pode ser alcançado pelos seis 

Passo 1 – Localize o número mais negativo da última linha do quadro 

simplex, excluída a última coluna, e chame a coluna em que este 

número aparece de coluna de trabalho. Se existir mais de um 

candidato a número mais negativo, escolha um. 

Passo 2 – Forme quocientes da divisão de cada número positivo da coluna 

de trabalho pelo elemento da última coluna da linha 

correspondente (excluindo-se a última linha do quadro). Designe 

por pivô o elemento da coluna de trabalho que conduz ao menor 

quociente. Se mais de um elemento conduzir ao mesmo menor 

quociente, escolha um. Se nenhum elemento da coluna de 

trabalho for positivo, o problema não terá solução. 

Passo 3 – Use operações elementares sobre as linhas a fim de converter o 

elemento pivô em 1 e, em seguida, reduzir a zero todos os 

outros elementos da coluna de trabalho. 

Passo 4 – Substitua a variável x existente na linha pivô e primeira coluna 

pela variável x da primeira linha e coluna pivô. Esta nova 

primeira coluna é o novo conjunto de variáveis básicas. 

Passo 5 – Repita os passos de 1 a 4 até a inexistência de números 

negativos na última linha, excluindo-se desta apreciação a última 

coluna. 

Passo 6 – A solução ótima é obtida atribuindo-se a cada variável da 

primeira coluna o valor da linha correspondente, na última 

coluna. Às demais variáveis é atribuído o valor zero. O valor 

ótimo da função objetivo, associado a z, é o número resultante 

da última linha, última coluna, nos problemas de maximização ou 

o negativo deste número, nos problemas de minimização. 

(BRONSON, 1985, pág. 29). 

4.5.3 Modificações para programas com variáveis artificiais 

Sempre que existirem variáveis artificiais fazendo parte da solução inicial , 

a última linha do Quadro 1 conterá custos M de penalidade. A fim de minimizar os 

erros de arredondamento, incorporam-se ao método simplex as seguintes 

modificações, resultando o algoritmo dito método de duas fases. Segundo Bronson 

(1985) são realizadas cinco modificações a seguir: 

Modificação 1 – A última linha do Quadro 1 é decomposta em duas linhas, a 

primeira das quais envolve os termos que não contêm M, 

e a segunda os coeficientes M nos termos restantes. 

Modificação 2 – O passo 1 do método simplex é aplicado à última linha 

criada por meio da Modificação 1 (seguindo-se os Passos 

2, 3 e 4) até que esta linha não possua elementos 

negativos. Em seguida o Passo 1 é aplicado aos 

elementos da penúltima linha posicionados sobre os zeros 

da ultima linha. 

Modificação 3 – Sempre que uma variável artificial deixa de ser básica, isto 

é, de ser removida da primeira coluna do Quadro 1, como 

resultado do Passo 4, ela será retirada da linha superior 

do quadro, bem como toda a coluna sob a variável em 

questão. (Esta modificação simplifica os cálculos

4.6 Método Branch-Bound 

113 

realizados manualmente, mas não é implementada em 

muitos programas computacionais). 

Modificação 4 – A última linha do quadro pode ser eliminada sempre que 

constituída unicamente de zeros. 

Modificação 5 – Se variáveis artificiais não nulas estiverem presentes na 

solução final básica, então o problema não admitirá 

solução. (Em contrates, podem aparecer variáveis 

artificiais nulas com variáveis básicas, na solução final, 

quando existir redundância de uma ou mais das equações 

originais de restrição). (BRONSON, 1985, pág. 30). 

Como qualquer problema de programação tem um número finito de soluções 

viáveis, é natural se considerar o uso de algum tipo de procedimento de enumeração 

para encontrar uma solução ótima. Contudo, este número finito pode ser, e 

geralmente é, muito grande. Por exemplo, “se houver somente 10 variáveis, e cada 

uma tiver 10 valores viáveis, então poderão haver 10 10 soluções viáveis.” 

(MAGALHÃES JÚNIOR, 2009, pág. 84). Apesar do fato dos computadores atuais 

poderem executar diversos milhões de operações aritméticas elementares por 

segundo, a enumeração exaustiva consumiria um tempo negativo em problemas do 

tamanho deste. Por isso, é imperativo que qualquer procedimento de enumeração 

seja inteligentemente estruturado, onde apenas uma fração muito pequena das 

soluções viáveis, realmente, precise ser examinada. Por exemplo, a programação 

matemática dinâmica fornece um tipo de procedimento como esse para muitos 

problemas com um número finito de soluções viáveis. Outra abordagem desse tipo é 

fornecida pela técnica de branch-and-bound. “Essa técnica, e variações dela, têm 

sido aplicadas, com algum sucesso, a diversos problemas, inclusive, problemas de 

programação inteira não linear.” (MAGALHÃES JÚNIOR, 2009, pág. 85). 

A ideia básica da técnica branch-and-bound passa a ser descrita. Suponha- 

se, para o caso específico deste estudo, que a equação-objetivo deva ser 

maximizada e um limite inferior ao valor ótimo da equação-objetivo esteja disponível 

(usualmente, este é o valor da equação para a melhor solução viável identificada até 

o momento). O primeiro passo é subdividir o conjunto de todas as soluções viáveis 

em diversos subconjuntos e obter, para cada um deles, um limite superior para o 

valor da equação-objetivo das soluções dentro do respectivo subconjunto. Aqueles 

subconjuntos cujos limites superiores excedam o limite inferior corrente no valor da 

equação-objetivo serão, então, excluídos de futuras considerações (um subconjunto

114 

que seja excluído por esta ou outras razões legítimas é dito ser sondado). Um dos 

subconjuntos remanescentes, diga-se, aquele com o maior limite superior, será, 

então, novamente subdividido em diversos subconjuntos. Seus limites superiores 

serão obtidos, um de cada vez, e usados, como anteriormente, para excluir alguns 

desses subconjuntos de futuras considerações. Dentre todos os subconjuntos 

restantes, outro é selecionado para nova subdivisão, e assim por diante. Esse 

processo é repetido seguidamente, até se descobrir uma solução viável tal que o 

valor correspondente da função-objetivo não seja menor em relação ao limite 

superior para qualquer subconjunto. Tal solução terá de ser ótima, uma vez que 

nenhum dos subconjuntos poder conter uma solução melhor. 

Em resumo, a técnica branch-and-bound segue os passos descritos abaixo: 

Passo de inicialização – Faça Zi=- (limite inferior da função-objetivo). 

Comece com o conjunto completo de soluções em consideração 

(incluindo quaisquer soluções inviáveis que não possam ser 

convenientemente eliminadas) como o único subconjunto 

remanescente. Antes de começar as iterações regulares pelos 

passos abaixo, aplique apenas o passo de bound, o passo de 

sondagem e a regra de parada a este subconjunto (referindo-se a 

isto como iteração 0) 

Passo de ramificação – use alguma regra de ramificação para selecionar 

um dos subconjuntos remanescentes (aqueles nem sondados, nem 

subdivididos), e subdivida-o em dois ou mais subconjunto de 

soluções. 

Passo de limitação – para cada novo subconjunto, obtenha um limite 

superior Zs, no valor da função-objetivo para as soluções viáveis no 

subconjunto. 

Passo de sondagem – para cada novo subconjunto, exclua-o de futuras 

considerações, isto é, faça a sondagem se: 

Teste 1 de Sondagem: Zs Zi, ou 

Teste 2 de Sondagem: descobre-se que o subconjunto não contém 

soluções viáveis; ou 

Teste 3 de Sondagem: a melhor solução viável no subconjunto foi 

identificada (então, Zs corresponde a seu valor da função-objetivo): 

se isto ocorrer e Zs < Zi, então faça Zi = Zs, armazene esta solução 

como a solução incumbida, e reaplique o Teste 1 de Sondagem a 

todos os subconjuntos remanescentes. 

Regra de parada – pare quando não houver nenhum subconjunto 

remanescente insondado; a solução incumbida corrente é ótima (se 

não houver nenhuma solução incumbida isto é, Zi ainda for igual a - 

, então o problema não possuirá soluções viáveis.). Caso 

contrário, volte para o passo de ramificação. (MAGALHÃES 

JÚNIOR, 2009, pág. 86). 

Os passos de ramificação e limitação permitem uma apreciável flexibilidade 

quanto ao projeto de um algoritmo específico para o problema, e eles têm um efeito 

admirável na eficiência computacional do algoritmo. As duas regras de ramificação 

mais populares para selecionar o subconjunto a subdividir são a regra do melhor 

limite e a regra do limite mais novo. A primeira se refere para selecionar o

subconjunto que tenha o limite mais favorável (o maior limite superior no caso de 

maximização) porque este subconjunto pareceria ser o mais promissor para conter 

uma solução ótima. A outra regra serve para selecionar o subconjunto mais 

recentemente criado não sondado, desempatando entre subconjuntos que tenham 

sido criados ao mesmo tempo, tomando-se aquele com o limite mais favorável. As 

vantagens dessas regras são de obter uma manutenção de dados menos tediosa e 

de oferecer a oportunidade para se obter os limites de forma mais eficiente. 

As informações deste método são conseguidas de uma maneira 

razoavelmente eficiente usando-se programação linear do método simplex explicado 

na seção anterior. Para o algoritmo deste estudo, usa-se a regra do limite mais novo 

no intuito de escolher o próximo subconjunto de soluções a subdividir. O algoritmo, 

então, subdivide este subconjunto em dois outros novos. No entanto, como as 

variáveis podem ter vários valores possíveis, esta subdivisão é feita dividindo os 

valores possíveis de alguma variável em dois intervalos. Por conseguinte, a mesma 

variável pode, de vez em quando, ser subdividida mais de uma vez. 

O algoritmo começa (iteração 0) usando o método simplex para resolver o 

problema de programação linear correspondente. Se a solução resultante tiver 

valores reais para todos os xj, então, para j=1,2,...,I ela é a solução ótima desejada. 

Caso contrário, o passo de ramificação (a cada iteração) encontra a primeira dessas 

variáveis que não tem valor real, diga-se xj tal que k

116 

a) Teste 1 de Sondagem: ZsZi, ou 

b) Teste 2 de Sondagem: o método simplex descobre que não 

existe solução viável, ou 

c) Teste 3 de Sondagem: a solução ótima obtida tiver valores reais 

para todos os xj tais que j=1,2,...,I. 

Se o Teste 3 de Sondagem tiver sucesso e Zs

TABELA 6 - Equações encontradas resolvendo os Modelos 87 e 88 ou o 

Modelo 89, usando o método Simplex com passo constante entre - e 

para N (número de imagens) igual a 3. 

N=3 

Cálculo de α Cálculo de δ 

θ r, s Numerador (b) Denominador (c) Numerador (e) Denominador (f) 

(graus) 1, 1 -0,25 0,25 0 0,25 

= 1, 2 1 0 1 -1 

-45 1, 3 0,5 -0,5 0 0,5 

0 2, 2 -1 0 -0,999999998 0,999999999 

45 2, 3 1 0 1 -0,999999999 

3, 3 -0,25 0,25 0 0,25 

Fonte: Resultados da pesquisa. 

Com o intuito de ficar mais visível o entendimento da Tabela 6, reescre-se na 

forma matricial expostas nas equações 85 e 86 na Tabela 7. Infelizmente, o formato 

da Tabela 7 só pode ser empregado para pequenos N. Portanto, este formado só 

será apresentado até N igual a 7 imagens. 

TABELA 7 - Equações encontradas reescrita na configuração matricial, para 

melhorar o entendimento, com passo constante entre - e para N 

(número de imagens) igual a 3. 

N=3 

Cálculo de α 

Num -0,25 1 0,5 

b r,s -1 1 

θ -0,25 

(graus) Dem 0,25 0 -0,5 

= c r,s 0 0 

-45 0,25 

0 Num 0 1 0 

45 e r,s -0,999999998 1 

Cálculo de δ 

Dem 0,25 -1 0,5 

f r,s 0,999999999 -0,999999999 


As tabelas 6 e 7 mostram apenas os coeficientes do numerador e do 

denominador das equações 83 e 84 escritas (arrendando para 4 casas decimais) 

como as equações 91 e 92 abaixo: 

0 

0,25 

117

118 

(91) 

Serão apresentadas também as tabelas para os demais N (número de 

imagens) com os passos do ângulo em graus constantes e inteiros entre e 

(com exceção de N igual a 5 imagens que o passo em graus não é inteiro, mas é 

0,5; proporcionando ainda precisão na medida). 

TABELA 8 - Equações encontradas resolvendo os modelos 87 e 88 ou o 



N=4 



(graus) 1, 1 -0,5 -0,25 -0,125 0,5 

= 1, 2 1 1 1 -1 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 

-15 1, 4 0,5 0,5 -0,25 1 

15 2, 2 -0,5 0,5 -0,5 0,5 

45 2, 3 -1 -1 -1 1 

2, 4 1 -1 1 -1 

3, 3 -0,5 0,5 -0,5 0,5 

3, 4 1 1 1 -1 

4, 4 -0,5 -0,25 -0,125 0,5 


Novamente, com a intenção de ficar mais visível o entendimento da Tabela 8, 

ela é reescrita na forma matricial das equações 85 e 86 na Tabela 9. 

(92)

TABELA 9 - Equações encontradas reescritas na configuração matricial, com 

passo constante entre - e para N (número de imagens) igual a 4. 

N=4 


Num -0,5 1 1 0,5 

b r,s -0,5 -1 1 

-0,5 1 

θ -0,5 

(graus) Dem -0,25 1 -1 0,5 

= c r,s 0,5 -1 -1 

-45 

0,5 1 

-15 -0,25 

15 Num -0,125 1 1 -0,25 

45 e r,s -0,5 -1 1 


-0,5 1 

-0,125 

Dem 0,5 -1 -1 1 

f r,s 0,5 1 -1 

0,5 -1 

119 

0,5 


Da mesma forma, as tabelas 4.7 e 4.8 mostram apenas os coeficientes do 

numerador e do denominador das Equações 83 e 84 que podem ser escritas como 

as equações 93 e 94 abaixo: 

(93) 

(94)

120 




N=5 



(graus) 1, 1 -1 1 -0,2248735 1 

= 1, 2 1 -1 1 -0,5857869 

-45 1, 3 1 1 0,4142139 -1 

-22,5 1, 4 1 0,4142136 1 -0,8786797 

0 1, 5 0,7928932 -1 -0,9142138 1 

22,5 2, 2 0,3964466 0,3106602 0,2071058 -0,9999993 

45 2, 3 -1 -1 -1 1 

2, 4 -0,3786796 -0,6213204 1 1 

2, 5 1 -1 1 -1 

3, 3 -1 0,2071069 -1 1 

3, 4 -1 1 -1 1 

3, 5 1 1 1 -1 

4, 4 0,3964466 -0,1035534 -0,37868 -0,828427 

4, 5 1 -1 1 -0,7071069 

5, 5 -1 0,7928932 -0,1035533 1 


Novamente, com a intenção de ficar mais visível o entendimento da Tabela 

10, ela é reescrita na forma matricial das equações 85 e 86 na Tabela 11. 



N=5 


Num -1 1 1 1 0,7928932 

b r,s 0,3964466 -1 -0,3786796 1 

-1 -1 1 

0,3964466 1 

θ Dem 1 -1 1 0,4142136 -1 

(graus) c r,s 0,3106602 -1 -0,6213204 -1 

= 

-45 

-1 

0,2071069 1 1 

0 -1 

-22,5 0,7928932 

0 Num -0,2248735 1 0,4142139 1 -0,9142138 

22,5 e r,s 0,2071058 -1 1 1 

45 


-1 -1 1 

-0,37868 1 

-0,1035533 

Dem 1 -0,5857869 -1 -0,8786797 1 

f r,s -0,9999993 1 1 -1 


1 1 -1 

-0,828427 -0,7071069 

1

Da mesma forma, as tabelas 10 e 11 mostram apenas os coeficientes do 

numerador e do denominador das equações 83 e 84 que podem ser escritas 

(arrendando com 4 casas decimais) como as equações 95 e 96 abaixo: 




(95) 

N=6 



(graus) 1, 1 -1 1 -0,9124908 1 

= 1, 2 1 -0,5439141 1 -0,5397634 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 

-27 1, 4 1 1 1 -1 

-9 1, 5 1 -1 1 -1 

9 1, 6 -0,06346742 -1 -0,00266078 1 

27 2, 2 0,2504698 1 1 -1 

45 2, 3 -1 -1 -1 1 

2, 4 0,280794 -0,1405887 -0,1246118 0,3627124 

2, 5 1 1 -1 -0,1420473 

2, 6 1 -1 1 1 

3, 3 -1 0,8776114 -1 1 

3, 4 -1 0,9174811 -0,9787138 1 

3, 5 0,280794 -1 -1 -1 

3, 6 1 1 0,5364745 -1 

4, 4 -1 -1 1 1 

4, 5 -1 -1 -1 0,1972136 

4, 6 1 0,9734497 0,7684772 -1 

5, 5 0,2504698 1 1 -1 

5, 6 1 -1 1 0,1218847 

6, 6 -1 0,9159606 -1 1 


(96) 

121

122 





N=6 


Num -1 1 1 1 1 -0,06347 

b r,s 0,25047 -1 0,280794 1 1 

-1 -1 0,280794 1 

-1 -1 1 

0,25047 1 

θ Dem 1 -0,54391 -1 1 -1 -1 

(graus) c r,s 1 -1 -0,14059 1 -1 

= 

-45 

-27 

0,877611 0,917481 -1 1 

-1 

-1 -1 0,97345 

1 -1 

-9 0,915961 

9 Num -0,91249 1 1 1 1 -0,00266 

27 e r,s 1 -1 -0,12461 -1 1 

45 


-1 -0,97871 -1 0,536475 

1 -1 0,768477 

1 1 

Dem 1 -0,53976 -1 -1 -1 1 

f r,s -1 1 0,362712 -0,14205 1 


-1 

1 1 -1 -1 

1 0,197214 -1 

-1 0,121885 

Novamente, as tabelas 12 e 13 mostram apenas os coeficientes do 

numerador e do denominador das equações 83 e 84. Contudo, as equações 

referentes às tabelas não serão mais apresentadas, com o intuito, de não ficar muito 

repetitivo. 

1




N=7 



(graus) 1, 1 -1 0,1671295 -1 1 

= 1, 2 1 1 1 0,7735028 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 

-30 1, 4 1 1 0,1883452 -1 

-15 1, 5 1 -1 1 -1 

0 1, 6 1 -1 1 0,1547007 

15 1, 7 -0,7526623 1 -1 1 

30 2, 2 0,04122292 -1 1 -1 

45 2, 3 -1 1 0,8009901 -1 

2, 4 0,7938854 0,8598992 -1 -0,6905993 

2, 5 1 -1 0,2640459 1 

2, 6 1 0,8942325 1 -1 

2, 7 1 -1 0,7718528 1 

3, 3 -1 1 -1 1 

3, 4 -1 1 -1 1 

3, 5 -1 -1 -1 1 

3, 6 1 -1 1 -1 

3, 7 1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 -0,9358609 -1 1 

4, 5 -1 -1 -1 1 

4, 6 0,7938854 -0,9352935 1 -0,04145197 

4, 7 1 1 1 -1 

5, 5 -1 1 -0,4601977 1 

5, 6 -1 1 1 -1 

5, 7 1 -0,05010674 1 -1 

6, 6 0,04122292 1 -1 -1 

6, 7 1 1 1 0,8038476 

7, 7 -1 -1 -0,5650355 1 




123

124 

TABELA 15- Equações encontradas reescritas na configuração matricial, com 


N=7 


Num -1 1 1 1 1 1 -0,75266 

b r,s 0,041223 -1 0,793885 1 1 1 

-1 -1 -1 1 1 

-1 -1 0,793885 1 

-1 -1 1 

0,041223 1 

Dem 0,16713 1 -1 1 -1 -1 1 

θ c r,s -1 1 0,859899 -1 0,894233 -1 

(graus) 

= 

-45 

-30 

1 1 -1 -1 -1 

-0,93586 -1 -0,93529 1 

-1 

1 1 -0,05011 

1 1 

-15 -1 

0 Num -1 1 1 0,188345 1 1 -1 

15 e r,s 1 0,80099 -1 0,264046 1 0,771853 

30 

45 


-1 -1 -1 1 -1 

-1 -1 1 1 

-0,4602 1 1 

-1 1 

-0,56504 

Dem 1 0,773503 -1 -1 -1 0,154701 1 

f r,s -1 -1 -0,6906 1 -1 1 

1 1 1 -1 -1 


1 1 -0,04145 -1 

1 -1 -1 

-1 0,803848 

Devido ao tamanho das próximas tabelas, será apresentada apenas a 

primeira tabela para os próximos N (números de imagens) com ângulo do analisador 

θ com passo constante em graus inteiros, variando θ entre a . 

1

TABELA 16 - Equações encontradas com passo constante entre - 


N=10 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -1 -0,6724749 -0,7283453 1 

-45 1, 3 1 -1 1 -0,7585776 

-35 1, 4 1 -1 1 -1 

-25 1, 5 1 -1 1 -1 

-15 1, 6 1 1 0,6519989 -1 

-5 1, 7 1 -1 1 -1 

5 1, 8 1 -1 1 -0,548572 

15 1, 9 0,5638207 -1 1 1 

25 1, 10 -1 1 -1 1 

35 2, 2 -0,8762549 1 1 1 

45 2, 3 1 1 1 -1 

2, 4 1 1 1 -1 

2, 5 1 1 -1 -1 

2, 6 1 0,6580126 -1 -1 

2, 7 1 1 1 -1 

2, 8 1 -1 1 -1 

2, 9 1 -1 1 1 

2, 10 1 -1 -0,4087087 1 

3, 3 1 1 1 -1 

3, 4 -1 1 1 1 

3, 5 -1 -1 -1 1 

3, 6 -1 -1 -1 0,06781475 

3, 7 0,5263819 1 -0,3865731 -1 

3, 8 1 1 1 1 

3, 9 1 -1 1 1 

3, 10 1 -1 -1 0,7382241 

4, 4 -1 1 -1 1 

4, 5 -1 -1 -1 1 

4, 6 -1 -1 -1 1 

4, 7 -1 1 -1 1 

4, 8 -0,03206404 1 1 -1 

4, 9 1 -1 1 -1 

4, 10 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 -1 -1 1 

5, 6 -1 -1 -1 1 

5, 7 -1 0,8727792 -1 1 

5, 8 -1 1 -0,8972834 -1 

5, 9 1 1 1 -1 

5, 10 1 1 1 -1 

6, 6 -1 -1 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 -1 -0,3445896 1 0,5011108 

6, 9 1 -0,7301506 1 -1 

6, 10 1 1 1 -1 

7, 7 -1 -1 -1 1 

7, 8 -1 1 -0,007605057 -1 

7, 9 1 1 1 -1 

7, 10 1 -1 -1 -1 

8, 8 1 1 1 -1 

8, 9 1 1 1 1 

8, 10 1 -1 1 -1 

9, 9 -0,8111982 1 1 1 

9, 10 -1 -0,7835766 -1 1 

10, 10 -1 1 -1 1 


e 

125

126 

TABELA 17 - Equações encontradas com passo constante entre - 


N=11 



(graus) 1, 1 -1 1 -0,9800333 1 

= 1, 2 -1 1 -1 1 

-45 1, 3 1 -1 -1 -0,1257285 

-36 1, 4 1 1 1 -1 

-27 1, 5 1 1 1 -1 

-18 1, 6 1 0,08297487 1 -1 

-9 1, 7 1 1 1 -1 

0 1, 8 1 -1 1 -1 

9 1, 9 1 -1 1 1 

18 1, 10 0,423524 -1 -1 1 

27 1, 11 -1 1 1 1 

36 2, 2 -1 -1 1 1 

45 2, 3 1 -0,628511 1 1 

2, 4 1 -1 1 -1 

2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 1 0,8426649 -1 

2, 7 1 -1 1 -1 

2, 8 1 1 -1 -1 

2, 9 1 -1 1 -0,6368615 

2, 10 1 -1 1 1 

2, 11 -0,2270951 -1 -1 1 

3, 3 1 1 1 -1 

3, 4 -1 1 1 -1 

3, 5 -1 1 -1 -1 

3, 6 -0,9161979 -1 -1 -1 

3, 7 1 -1 -1 0,4145896 

3, 8 1 -1 1 -1 

3, 9 1 1 -1 1 

3, 10 1 1 1 -1 

3, 11 1 -1 -1 1 

4, 4 -1 -1 0,9762781 1 

4, 5 -1 1 -1 1 

4, 6 -1 1 -1 1 

4, 7 -1 -1 -1 1 

4, 8 -1 -1 -1 1 

4, 9 1 1 -1 1 

4, 10 1 -1 0,2374203 -1 

4, 11 1 -1 1 -1 

5, 5 -1 1 -1 1 

5, 6 -1 -0,3001754 -1 1 

5, 7 -1 -1 -1 1 

5, 8 -1 -1 -1 1 

5, 9 1 0,8313685 1 -1 

5, 10 1 -1 1 -1 

5, 11 1 -1 1 -1 

6, 6 -1 -1 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

6, 9 -0,3694472 1 0,2293504 -1 

6, 10 1 0,8771916 1 -1 

6, 11 1 1 1 -1 

7, 7 -1 1 -1 1 

7, 8 -1 1 0,8757459 1 

7, 9 -1 1 1 -0,2379787 

7, 10 1 1 1 -1 

7, 11 1 1 1 -1 

8, 8 -1 1 -1 1 

8, 9 -1 -0,8628419 1 -1 

8, 10 1 -1 1 -1 

8, 11 1 -1 1 -1 

9, 9 0,7463051 1 1 -0,4140181 

9, 10 1 1 -1 -1 

9, 11 1 -1 -1 1 

10, 10 -1 -1 -1 1 

10, 11 -1 1 -1 1 

11, 11 -1 1 1 1 


e




(Continua) 

N=16 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -1 0,8841619 -1 1 

-45 1, 3 -1 -1 -0,3935616 1 

-39 1, 4 1 -1 1 1 

-33 1, 5 1 -1 1 -1 

-27 1, 6 1 -1 -1 -1 

-21 1, 7 1 -1 -1 -1 

-15 1, 8 1 1 -1 -1 

-9 1, 9 1 -1 1 -1 

-3 1, 10 1 -1 -1 -1 

3 1, 11 1 0,2323261 1 -1 

9 1, 12 1 1 1 -1 

15 1, 13 1 -1 1 1 

21 1, 14 1 -1 -1 1 

27 1, 15 -1 -1 1 1 

33 1, 16 -1 1 -1 1 

39 2, 2 -1 1 -1 1 

45 2, 3 -1 1 1 1 

2, 4 1 -1 1 1 

2, 5 1 -1 1 -1 

2, 6 1 -1 1 -1 

2, 7 1 1 1 -1 

2, 8 1 1 1 -1 

2, 9 1 -1 1 -1 

2, 10 1 -1 1 -1 

2, 11 1 1 1 -1 

2, 12 1 1 1 -1 

2, 13 1 -1 1 1 

2, 14 1 -1 -1 1 

2, 15 -0,937257 -1 -1 1 

2, 16 -1 -1 -1 1 

3, 3 -0,8478166 1 1 1 

3, 4 1 1 1 0,05186405 

3, 5 1 1 1 -1 

3, 6 1 1 1 -1 

3, 7 1 1 1 -1 

3, 8 1 1 1 -1 

3, 9 1 -1 1 -1 

3, 10 1 -1 1 -1 

3, 11 1 -1 1 -1 

3, 12 1 1 1 -1 

3, 13 1 -1 1 1 

3, 14 1 -1 1 1 

3, 15 1 -1 -1 1 

3, 16 1 -1 -1 1 

4, 4 1 1 1 -1 

4, 5 -1 1 1 -1 

4, 6 -1 1 1 -1 

4, 7 -1 1 0,03481033 -1 

4, 8 -1 0,4241965 1 -1 

4, 9 1 -1 -0,3915912 -1 

4, 10 1 -1 -1 -1 

4, 11 1 1 1 -1 

4, 12 1 1 1 -1 

4, 13 1 1 1 0,3545594 

4, 14 1 -1 1 1 

4, 15 1 -1 1 1 

4, 16 1 -1 1 1 

5, 5 -1 1 -1 0,2708562 

5, 6 -1 1 -1 1 

5, 7 -1 1 -1 1 

5, 8 -1 1 -1 1 

5, 9 -1 -1 -1 1 

5, 10 -1 -1 -1 1 

5, 11 -1 -1 -1 1 

5, 12 -0,2771956 1 1 1 

5, 13 1 1 1 -1 

5, 14 1 -1 1 -1 

5, 15 1 -1 -1 -1 

5, 16 1 -1 1 -1 

6, 6 -1 1 -1 1 

6, 7 -1 1 -1 1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

127

128 

6, 9 -1 -1 -1 1 

6, 10 -1 -1 -1 1 

6, 11 -1 -1 -1 1 

6, 12 -1 1 -1 1 

6, 13 1 1 1 -1 

6, 14 1 1 1 -1 

6, 15 1 1 -1 -1 

6, 16 1 -1 1 -1 

7, 7 -1 -1 -1 1 

7, 8 -1 1 -1 1 

7, 9 -1 -1 -1 1 

7, 10 -1 -1 -1 1 

7, 11 -1 -1 -1 1 

7, 12 -1 -1 -1 1 

7, 13 1 1 1 -1 

7, 14 1 1 1 -1 

7, 15 1 1 -1 -1 

7, 16 1 1 1 -1 

8, 8 -1 -1 -1 1 

8, 9 -1 -1 -1 1 

8, 10 -1 -1 -1 1 

8, 11 -1 -1 -1 1 

8, 12 -1 1 -1 1 

8, 13 1 1 -0,6208907 -1 

8, 14 1 1 1 -1 

8, 15 1 1 1 -1 

8, 16 1 1 1 -1 

9, 9 -1 -1 -1 1 

9, 10 -1 0,1020834 -1 1 

9, 11 -1 1 -1 1 

9, 12 -1 1 -1 1 

9, 13 -1 1 -1 -1 

9, 14 1 1 0,9537245 -1 

9, 15 1 1 1 -1 

9, 16 1 -0,5486972 1 -1 

10, 10 -1 1 -1 1 

10, 11 -1 1 -1 1 

10, 12 -1 -1 -1 1 

10, 13 -1 -1 1 -1 

10, 14 1 -1 1 -1 

10, 15 1 -1 -1 -1 

10, 16 1 0,9059292 1 -1 

11, 11 -1 -1 -1 1 

11, 12 -1 -1 1 1 

11, 13 -1 -1 1 -1 

11, 14 1 1 1 -1 

11, 15 1 -1 -1 -1 

11, 16 1 -1 1 -1 

12, 12 -1 -1 1 0,2708563 

12, 13 -1 1 1 -1 

12, 14 1 1 1 -1 

12, 15 1 -1 1 -1 

12, 16 1 -1 1 -1 

13, 13 1 1 1 -1 

13, 14 1 1 1 0,05186403 

13, 15 1 -1 1 1 

13, 16 1 -1 0,3706117 1 

14, 14 -0,8478166 1 -1 1 

14, 15 -1 1 -1 1 

14, 16 -1 1 -1 1 

15, 15 -1 1 -1 1 

15, 16 -1 1 1 1 

16, 16 -1 1 -1 1 

Fonte: Resultados da pesquisa. (Conclusão) 

Por fim, será apresentado a tabela com N igual a 19 imagens. A tabela com N 

igual a 31 imagens encontra-se no Apêndece A, desta Tese.

TABELA 19 Equações encontradas resolvendo os modelos 87 e 88 ou o 



(Continua) 

N=19 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -1 1 -1 1 

-45 1, 3 -1 1 0,6276147 1 

-39 1, 4 -1 -1 1 1 

-33 1, 5 1 -1 1 -0,2792722 

-27 1, 6 1 -1 1 -1 

-21 1, 7 1 -1 1 -1 

-15 1, 8 1 -1 1 -1 

-9 1, 9 1 -1 1 -1 

-3 1, 10 1 1 1 -1 

3 1, 11 1 1 -1 -1 

9 1, 12 1 1 1 -1 

15 1, 13 1 -1 1 -1 

21 1, 14 1 -1 1 -1 

27 1, 15 1 -1 1 1 

33 1, 16 1 -1 1 1 

39 1, 17 -0,3421149 -1 -1 1 

45 1, 18 -1 1 -1 1 

1, 19 -1 1 -1 1 

2, 2 -1 1 -1 1 

2, 3 -1 1 -1 1 

2, 4 -1 -1 1 1 

2, 5 1 -1 -1 -1 

2, 6 1 -1 1 -1 

2, 7 1 -1 1 -1 

2, 8 1 1 -1 -1 

2, 9 1 -1 -1 -1 

2, 10 1 0,6314346 1 -1 

2, 11 1 1 -1 -1 

2, 12 1 1 -1 -1 

2, 13 1 -1 -1 -1 

2, 14 1 -1 1 -1 

2, 15 1 -1 1 1 

2, 16 1 -1 1 1 

2, 17 1 -1 1 1 

2, 18 -1 -1 1 1 

2, 19 -1 1 -1 1 

3, 3 -1 1 -1 1 

3, 4 0,07442492 1 1 1 

3, 5 1 1 1 1 

3, 6 1 1 1 -1 

3, 7 1 1 1 -1 

3, 8 1 1 1 -1 

3, 9 1 -1 1 -1 

3, 10 1 1 1 -1 

3, 11 1 1 -1 -1 

3, 12 1 1 1 -1 

3, 13 1 -1 1 -1 

3, 14 1 -1 1 -1 

3, 15 1 -1 1 -1 

3, 16 1 -1 1 1 

3, 17 1 -1 1 1 

3, 18 1 -1 1 1 

3, 19 -0,05021805 -1 -1 1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 1 1 1 1 

4, 6 1 1 1 -1 

4, 7 1 1 1 -1 

4, 8 1 1 1 -1 

4, 9 1 -1 1 -1 

4, 10 1 1 -0,7864331 -1 

4, 11 1 1 1 -1 

4, 12 1 1 1 -1 

4, 13 1 1 1 -1 

4, 14 1 -1 1 -1 

4, 15 1 1 -1 1 

4, 16 1 1 1 1 

4, 17 1 -1 -1 1 

4, 18 1 -1 -1 1 

4, 19 1 -1 -1 1 

5, 5 -1 1 1 -1 

5, 6 -1 1 -1 -1 

5, 7 -1 1 1 -1 

129

130 

5, 8 -1 -1 1 

(continua) 

-1 

5, 9 -1 -1 -1 -1 

5, 10 -1 -1 -1 -0,03339511 

5, 11 -1 -0,3836649 1 -1 

5, 12 -1 1 1 -1 

5, 13 0,7774911 1 1 1 

5, 14 1 -1 1 1 

5, 15 1 -1 1 -1 

5, 16 1 1 -1 -1 

5, 17 1 -1 1 1 

5, 18 1 -1 -1 0,9434776 

5, 19 1 -1 -1 1 

6, 6 -1 1 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

6, 9 -1 1 -1 1 

6, 10 -1 -1 -1 1 

6, 11 -1 1 -1 1 

6, 12 -1 1 1 1 

6, 13 -1 1 1 1 

6, 14 -1 1 -1 1 

6, 15 1 -1 1 -1 

6, 16 1 -1 -1 -1 

6, 17 1 -1 1 -1 

6, 18 1 -1 1 -1 

6, 19 1 -1 1 -1 

7, 7 -1 -1 -1 1 

7, 8 -1 -1 -1 1 

7, 9 -1 0,002562258 -1 1 

7, 10 -1 -1 -1 1 

7, 11 -1 1 -1 1 

7, 12 -1 1 -1 1 

7, 13 -1 1 -1 1 

7, 14 -1 1 -1 1 

7, 15 1 1 -1 -1 

7, 16 1 1 1 -1 

7, 17 1 -1 -1 -1 

7, 18 1 -1 1 -1 

7, 19 1 -1 1 -1 

8, 8 -1 -1 -1 1 

8, 9 -1 -1 -1 1 

8, 10 -1 -1 -0,6390109 1 

8, 11 -1 -1 -1 1 

8, 12 -1 1 -1 1 

8, 13 -1 1 -1 1 

8, 14 -1 1 -1 1 

8, 15 -1 1 1 -1 

8, 16 1 -1 1 -1 

8, 17 1 -1 1 -1 

8, 18 1 1 1 -1 

8, 19 1 -1 1 -1 

9, 9 -1 -1 -1 1 

9, 10 -1 -1 -1 1 

9, 11 -1 -1 -1 1 

9, 12 -1 1 -1 1 

9, 13 -1 1 -1 1 

9, 14 -1 1 -1 1 

9, 15 -1 1 1 -1 

9, 16 1 1 -0,3678065 -1 

9, 17 1 -1 1 -1 

9, 18 1 1 1 -1 

9, 19 1 1 1 -1 

10, 10 -1 -1 -1 1 

10, 11 -1 -1 -1 1 

10, 12 -1 -1 -1 1 

10, 13 -1 -0,9749118 -1 1 

10, 14 -1 1 -0,1361057 1 

10, 15 -1 1 -1 -0,8013161 

10, 16 1 1 -1 -1 

10, 17 1 1 -1 -1 

10, 18 1 1 1 -1 

10, 19 1 1 1 -1 

11, 11 -1 1 -1 1 

11, 12 -1 -1 -1 1 

11, 13 -1 -1 1 1 

11, 14 -1 -1 -1 1 

11, 15 -1 -1 -1 -1 

11, 16 1 -1 1 -1 

11, 17 1 -1 -1 -1 

11, 18 1 1 1 -1 

11, 19 1 1 1 -1

12, 12 -1 -1 1 1 

12, 13 -1 -1 -1 1 

12, 14 -1 -1 -1 1 

12, 15 -1 -1 1 -1 

12, 16 1 1 1 -1 

12, 17 1 -1 1 -1 

12, 18 1 1 1 -1 

12, 19 1 1 1 -1 

13, 13 -1 -1 -1 1 

13, 14 -1 -1 -1 1 

13, 15 -1 1 1 1 

13, 16 1 1 1 -1 

13, 17 1 1 1 -1 

13, 18 1 -1 1 -1 

13, 19 1 -1 1 -1 

14, 14 -1 1 -1 1 

14, 15 -1 1 -1 1 

14, 16 1 1 1 -1 

14, 17 1 1 1 -1 

14, 18 1 -1 -0,8285782 -1 

14, 19 1 -1 1 -1 

15, 15 -1 1 1 -1 

15, 16 1 1 -1 -1 

15, 17 1 0,587431 1 -1 

15, 18 1 -1 -1 -0,8295167 

15, 19 1 -1 1 1 

16, 16 1 1 1 1 

16, 17 -1 1 1 1 

16, 18 0,006739801 -1 1 1 

16, 19 -1 -1 1 1 

17, 17 -1 1 1 1 

17, 18 -1 1 -1 1 

17, 19 -1 1 -1 1 

18, 18 -1 1 -1 1 

18, 19 -1 1 -1 1 

19, 19 -1 0,1371839 -1 1 

Fonte: Resultados da pesquisa. (Conclusão) 

4.7.2 Equações com passo fixo de variando entre e , 

máximo de 10 imagens (N=10) 

Nesta seção, as tabelas apresentam as equações encontradas solucionando 

os modelos 87 e 88 ou o Modelo 89 usando o método Simplex com passo fixo igual 

a 10 o graus para rotação do ângulo do analisador . A ideia dessa seção é capturar 

apenas 10 imagens com ângulo de passo fixo constante igual a 10 o entre -45 o e 

45 o e as utilizar, primeiramente, para N=3 imagens. Logo, somente as três primeiras 

imagens ( igual a -45 o , -35 o e -25 o ) serão processadas na nova equação para 3 

imagens. Depois, serão processadas as 4 primeiras imagens ( igual a -45 o , -35 o , - 

25 o e -15 o ) na nova equação para 4 imagens e este processo se repetirá até para N 

(número de imagens) igual a 10. O intuito é mostrar que ao se aumentar o número 

de imagens, mais preciso é o resultado, e comparar com o método do capítulo 

passado, onde o passo variava de acordo com a Equação 90. 

131

132 

TABELA 20 - Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 3 com 

igual a -45 o , -35 o e -25 o . 

N=3 



(graus) 1, 1 -0,008271642 0,205737064 -0,333552738 0,027408571 

= 1, 2 0,064177771 -0,879385242 1 -0,478458279 

-45 1, 3 0,016543285 0,467911114 -0,015295925 0,600102957 

-35 2, 2 -0,12448515 0,939692621 -0,461535496 0,655372321 

-25 2, 3 0,064177771 -1 -1 -1 

3, 3 -0,008271642 0,266044443 0,908234522 0,176827451 


Novamente, como na seção anterior, com a intenção de ficar mais visível o 

entendimento da Tabela 20, ela é reescrita na forma matricial das Equações 85 e 86 

na Tabela 21. 

TABELA 21 - Equações encontradas reescritas na configuração matricial para 

N (número de imagens) igual a 3. 

N=3 


Num -0,008271642 0,064177771 0,016543285 

b r,s -0,12448515 0,064177771 

θ -0,008271642 

(graus) Dem 0,205737064 -0,879385242 0,467911114 

= c r,s 0,939692621 -1 

-45 0,266044443 

-35 Num -0,333552738 1 -0,015295925 

-25 e r,s -0,461535496 -1 


0,908234522 

Dem 0,027408571 -0,478458279 0,600102957 

f r,s 0,655372321 -1 


0,176827451 

Como na seção anterior, as tabelas 20 e 21 mostram apenas os coeficientes 

do numerador e do denominador das equações 83 e 84 escritas (arrendando para 4 

casas decimais) como as equações 97 e 98 abaixo: 

(97)


igual a -45 o , -35 o , -25 o e -15 o . 

N=4 



(graus) 1, 1 0,321950574 0,362841957 0,155691067 0,038655897 

= 1, 2 -1 -1 0 0,023441231 

-45 1, 3 1 -1 -0,851873988 -1 

-35 1, 4 -0,165980202 1 1 0,891105861 

-25 2, 2 0,129728473 0,972916029 -0,384868576 1 

-15 2, 3 0,20360486 0,844029629 1 -1 

2, 4 -0,215298837 -1 -1 -1 

3, 3 -1 0,183054342 0,567495486 0,591313286 

3, 4 1 -1 -1 0,793932396 

4, 4 -0,23638021 0,637158043 0,546927893 -0,338448674 


Mais uma última vez nesta seção, com a intenção de ficar mais visível o 

entendimento da Tabela 22, ela é reescrita na forma matricial das equações 85 e 86 

na Tabela 23. 



N=4 


(98) 

Num 0,321950574 -1 1 -0,165980202 

b r,s 0,129728473 0,20360486 -0,215298837 

-1 1 

θ -0,23638021 

(graus) Dem 0,362841957 -1 -1 1 

= c r,s 0,972916029 0,844029629 -1 

-45 

0,183054342 -1 

-35 0,637158043 

-25 Num 0,155691067 0 -0,851873988 1 

-15 e r,s -0,384868576 1 -1 


0,567495486 -1 

0,546927893 

Dem 0,038655897 0,023441231 -1 0,891105861 

f r,s 1 -1 -1 


0,591313286 0,793932396 

-0,338448674 

133

134 



(arrendondando para 4 casas decimais) como as equações 99 e 100 abaixo (a partir 

dessa seção, para não ficar repetitivo apenas serão escritas as equações até N=4): 

(99) 

(100) 


igual a -45 o , -35 o , -25 o , -15 o e -5 o . 

N=5 



(graus) 1, 1 -0,020404895 0,613340798 0,461981296 1 

= 1, 2 -1 -1 0 -0,22659546 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 

-35 1, 4 -0,856034824 -0,516543284 0,643901006 -0,178862464 

-25 1, 5 0,290808795 1 1 1 

-15 2, 2 1 0,073977952 -1 -1 

-5 2, 3 1 1 0,162504098 0,038896244 

2, 4 -1 1 1 -0,332997216 

2, 5 1 -1 -1 -1 

3, 3 -0,778974509 1 1 1 

3, 4 -1 0,142556973 0,131412319 1 

3, 5 1 -1 -1 -0,530277863 

4, 4 -1 -1 -1 1 

4, 5 0,706083555 -0,31333244 -0,189476007 -1 

5, 5 -0,165303725 1 1 0,229836744 

Fonte: Resultados da pesquisa.

TABELA 25 - Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 6. 

N=6 



(graus) 1, 1 0,143618685 0,809277683 -0,298772688 1 

= 1, 2 -1 -1 0 0,83609126 

-45 1, 3 -0,086835207 -1 0,545339788 -1 

-35 1, 4 1 -1 1 -1 

-25 1, 5 1 0,445622407 1 -0,777225451 

-15 1, 6 -0,555311246 1 1 1 

-5 2, 2 1 -0,401673948 1 -1 

5 2, 3 1 1 -1 -1 

2, 4 -1 1 -1 -1 

2, 5 0,815207469 -0,011859573 -1 1 

2, 6 1 -1 -0,312862938 -0,128705336 

3, 3 -1 1 -1 1 

3, 4 -1 1 -0,992332721 1 

3, 5 -1 -1 1 1 

3, 6 1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 1 1 1 

4, 5 -1 -1 1 0,748129506 

4, 6 1 -1 -1 -1 

5, 5 0,071734195 -0,841366569 0,560423682 -0,678290004 

5, 6 1 1 -0,994147279 -1 

6, 6 -0,690417618 1 1 1 


135

136 


N=7 



(graus) 1, 1 -1 0,49854673 -1 1 

= 1, 2 1 -1 1 1 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 

-35 1, 4 1 -1 1 -1 

-25 1, 5 1 -0,388389043 -0,011436769 -1 

-15 1, 6 1 1 -1 0,308833109 

-5 1, 7 -0,808051549 -0,069203052 1 1 

5 2, 2 0,636361511 1 -1 -0,346692626 

15 2, 3 -1 1 -0,678186271 -1 

2, 4 -0,843514849 -1 1 -1 

2, 5 1 -0,280752519 1 -1 

2, 6 1 1 -1 -1 

2, 7 1 -1 1 1 

3, 3 -1 1 1 0,523003836 

3, 4 -1 1 -1 1 

3, 5 -1 1 -1 1 

3, 6 1 0,749100864 -1 1 

3, 7 1 -1 0,675338857 -1 

4, 4 -1 1 1 1 

4, 5 -1 -1 -1 1 

4, 6 -0,843514849 -1 -1 -0,288025407 

4, 7 1 -1 1 -1 

5, 5 -1 -1 -1 1 

5, 6 -1 -1 0,376255447 -1 

5, 7 1 -0,509302979 -0,597849301 -1 

6, 6 0,636361511 1 1 0,802881076 

6, 7 1 1 -0,785879733 -1 

7, 7 -1 1 1 1 


Na Seção 4.7.1, deste capítulo, não se podia aplicar equações para N 

(número de imagens) igual a 8 e 9, pois o passo de rotação do analisador para N=8 

deveria ser de 12,857 o e para N=9 de 11,25 o . Infelizmente, os polariscópios 

presentes no Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, e provavelmente a 

maioria dos polariscópios existentes no mercado, não possuem tal precisão angular 

do analisador. 

Porém, para o caso com passo fixo igual a 10 o , é possível encontrar 

equações para N (número de imagens) igual a 8 e 9 como mostrado nas tabelas 27 

e 28, respectivamente. E por fim, é apresentado na Tabela 29 para N (número de 

imagens) igual a 10.


N=8 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -0,344746148 -1 0 1 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 

-35 1, 4 1 1 1 -1 

-25 1, 5 1 -0,771618265 -1 -1 

-15 1, 6 1 1 0,27969599 -1 

-5 1, 7 1 1 0,353330865 1 

5 1, 8 -1 -1 -1 1 

15 2, 2 1 1 0,930142393 1 

25 2, 3 1 1 1 -0,896442154 

2, 4 -0,368349603 -1 1 -1 

2, 5 -0,15125365 -1 1 -1 

2, 6 1 1 -1 -1 

2, 7 1 -0,77442809 1 -0,959685054 

2, 8 1 -1 1 1 

3, 3 -1 -1 1 -1 

3, 4 -1 -1 1 0,26004073 

3, 5 -1 1 -1 1 

3, 6 -1 1 -1 1 

3, 7 1 -1 1 1 

3, 8 1 -1 1 -1 

4, 4 -1 1 -1 1 

4, 5 -1 1 -1 1 

4, 6 -1 1 -1 1 

4, 7 1 -0,092285403 1 -0,234698651 

4, 8 1 -0,596266659 1 -1 

5, 5 -1 1 -0,644137163 1 

5, 6 -1 -1 -1 1 

5, 7 0,968353953 -1 -1 -1 

5, 8 1 1 1 -1 

6, 6 -1 -1 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 -1 

6, 8 1 0,646108152 -0,475395816 -1 

7, 7 -0,109454748 -0,411509736 1 -1 

7, 8 1 1 1 0,830784545 

8, 8 -1 1 0,369578602 1 


137

138 


N=9 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -1,000000001 -1 0 1 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 

-35 1, 4 1 1 -1 -1 

-25 1, 5 1 1 -1 -1 

-15 1, 6 1 -0,505982968 -0,091638226 -1 

-5 1, 7 1 -1 1 -1 

5 1, 8 1 0,531461107 1 1 

15 1, 9 -0,849250643 1 -1 1 

25 2, 2 0,680981818 -1 1 1 

35 2, 3 1 -0,282808926 0,114330258 0,226016608 

2, 4 1 1 1 -1 

2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 -1 1 -1 

2, 7 1 -1 1 -1 

2, 8 1 -1 -0,236034122 1 

2, 9 1 -1 -1 1 

3, 3 -1 1 1 -1 

3, 4 -1 1 1 -1 

3, 5 -1 1 -1 1 

3, 6 -1 -1 -1 0,193996193 

3, 7 -0,533945313 -1 1 1 

3, 8 1 -1 1 -1 

3, 9 1 1 1 -0,027700419 

4, 4 -1 1 -0,135567657 1 

4, 5 -1 1 -1 1 

4, 6 -1 -1 -1 1 

4, 7 -1 -1 -1 1 

4, 8 1 -1 1 -1 

4, 9 1 1 1 -1 

5, 5 -1 1 -1 1 

5, 6 -1 -1 -1 1 

5, 7 -1 -1 -1 1 

5, 8 1 -1 1 -1 

5, 9 1 -1 1 -1 

6, 6 -1 1 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 1 0,166510562 -1 -1 

6, 9 1 0,15434584 1 -1 

7, 7 -1 1 -1 -0,9658517 

7, 8 1 1 1 -1 

7, 9 1 1 1 -1 

8, 8 0,680981817 1 0,200130989 0,573539272 

8, 9 -1 0,936474385 1 1 

9, 9 -1 -1 -0,665398704 1 



N=10 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -1 1 1 1 

-45 1, 3 1 -1 1 0,617958268 

-35 1, 4 1 1 -1 -1 

-25 1, 5 1 1 1 -1 

-15 1, 6 1 -1 -0,651881616 -1 

-5 1, 7 1 1 1 -1 

5 1, 8 1 -1 1 1 

15 1, 9 1 -1 1 1 

25 1, 10 -1 -1 -1 1 

35 2, 2 -0,811198163 1 -0,873647625 1 

45 2, 3 1 -1 1 -1 

2, 4 1 -1 1 -1 

2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 -0,983541047 -1 -1 

2, 7 1 -1 1 -1 

2, 8 1 -1 1 -1 

2, 9 1 -1 1 1 

2, 10 0,563820655 -1 -1 1 

3, 3 1 -0,428548268 1 -1 

3, 4 -1 1 1 -1 

3, 5 -1 1 1 -0,074193982 

3, 6 -1 1 -1 1 

3, 7 -0,032064045 1 -1 -1 

3, 8 1 1 1 1 

3, 9 1 1 1 0,127043266 

3, 10 1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 -1 -0,609796831 1 

4, 5 -1 -1 -1 1 

4, 6 -1 -1 -1 1 

4, 7 -1 1 -1 1 

4, 8 0,526381911 -1 0,507492025 -1 

4, 9 1 1 1 -1 

4, 10 1 -1 1 -1 

5, 5 -1 -0,051183888 -1 1 

5, 6 -1 1 -1 1 

5, 7 -1 1 -1 1 

5, 8 -1 1 -1 1 

5, 9 1 1 1 -1 

5, 10 1 1 1 -1 

6, 6 -1 -0,622661155 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

6, 9 1 -1 -0,168001582 -1 

6, 10 1 -0,782306529 1 -1 

7, 7 -1 1 -1 1 

7, 8 -1 -1 1 -0,54552597 

7, 9 1 1 1 -1 

7, 10 1 1 1 -1 

8, 8 1 -1 1 -1 

8, 9 1 -1 1 -1 

8, 10 1 1 1 -0,125281489 

9, 9 -0,876254868 -0,131759111 -1 1 

9, 10 -1 1 0,019318332 1 

10, 10 -1 1 -1 1 


139

140 

4.7.3 Equações com passo fixo de variando entre e , máximo 

de 11 imagens (N=11) 

Nesta seção, como na anterior, as tabelas apresentam as equações 

encontradas resolvendo os modelos 87 e 88 ou o Modelo 89, usando o método 

Simplex com passo constante igual a 9 o para rotação do ângulo do analisador . A 

ideia dessa seção é capturar apenas 11 imagens com ângulo de passo fixo igual a 

9 o entre -45 o e 45 o . O objetivo novamente é mostrar que quanto maior o número de 

imagens mais preciso é o resultado e comparar com os métodos dos dois capítulo 

anteriores. 

TABELA 30 - Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 3 e 

passo igual a 9 o . 

N=3 



(graus) 1, 1 -0,006594148 0,213922072 -0,350434677 0,074007583 

= 1, 2 0,051462224 -0,902113032 1 -0,617041107 

-45 1, 3 0,013188296 0,474268888 -0,015421614 0,589345362 

-36 2, 2 -0,100405708 0,951056516 -0,397393869 0,756907336 

-27 2, 3 0,051462225 -1 -1 -1 

3, 3 -0,006594148 0,262865556 0,826153116 0,184758153 




na Tabela 31. 



N=3 


Num -0,006594148 0,051462224 0,013188296 

b r,s -0,100405708 0,051462225 

θ -0,006594148 

(graus) Dem 0,213922072 -0,902113032 0,474268888 

= c r,s 0,951056516 -1 

-45 0,262865556 

-36 Num -0,350434677 1 -0,015421614 

-27 e r,s -0,397393869 -1 


0,826153116 

Dem 0,074007583 -0,617041107 0,589345362 

f r,s 0,756907336 -1 


0,184758153


do numerador e do denominador das equações 83 e 84 que podem ser escritas 

(arrendando para 4 casas decimais) como as equações 101 e 102 abaixo: 

(101) 

(102) 



N=4 



(graus) 1, 1 0,351853313 0,397378512 0,164978742 0,420807835 

= 1, 2 -0,863445947 -1 0 -1 

-45 1, 3 1 -1 -0,944539716 -0,138181183 

-36 1, 4 -0,180339887 0,988225897 1 -0,358311431 

-27 2, 2 -0,519232367 0,814904046 -0,350651587 0,450263456 

-18 2, 3 1 1 1 1 

2, 4 -0,532123475 -1 -1 1 

3, 3 -1 0,185095954 0,634730497 -1 

3, 4 1 -1 -1 -0,762345802 

4, 4 -0,233163429 0,614395591 0,515902391 0,387767132 




na Tabela 33. 

141

142 



N=4 


Num 0,351853313 -0,863445947 1 -0,180339887 

b r,s -0,519232367 1 -0,532123475 

-1 1 

θ -0,233163429 

(graus) Dem 0,397378512 -1 -1 0,988225897 

= c r,s 0,814904046 1 -1 

-45 

0,185095954 -1 

-36 0,614395591 

-27 Num 0,164978742 0 -0,944539716 1 

-18 e r,s -0,350651587 1 -1 


0,634730497 -1 

0,515902391 

Dem 0,420807835 -1 -0,138181183 -0,358311431 

f r,s 0,450263456 1 1 


-1 -0,762345802 

0,387767132 


numerador e do denominador das Equações 83 e 84 que podem ser escritas 


(103) 

(104)



N=5 



(graus) 1, 1 0,495690337 0,713514718 0,493947947 0,926977442 

= 1, 2 -1 -1 0 -1 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 

-36 1, 4 0,481556097 -0,47169052 0,976977447 -1 

-27 1, 5 -0,61071575 1 1 -0,100456363 

-18 2, 2 -1 -0,20311326 -1 -0,057919688 

-9 2, 3 1 1 0,071118989 1 

2, 4 -1 1 -0,338656037 1 

2, 5 1 -1 -1 1 

3, 3 0,631222965 1 1 1 

3, 4 -1 0,425451029 1 -0,783813862 

3, 5 1 -1 -1 0,196639725 

4, 4 -1 -1 -0,084223027 -1 

4, 5 -0,104672488 -0,464161966 -1 -1 

5, 5 0,215466022 1 1 0,818572687 




N=6 



(graus) 1, 1 -1 1 0,377675502 1 

= 1, 2 0,337919056 -0,89999914 0 0,731189779 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 

-36 1, 4 0,287175525 -1 0,690914584 -1 

-27 1, 5 -1 0,829313879 1 -0,825747564 

-18 1, 6 1 1 1 1 

-9 2, 2 1 -1 -1 -1 

0 2, 3 1 1 1 -1 

2, 4 -1 1 -1 0,17503192 

2, 5 -1 -1 -1 -1 

2, 6 1 -0,925748586 -0,105459792 0,763770892 

3, 3 -1 1 1 1 

3, 4 -1 1 1 1 

3, 5 1 0,277117432 -1 1 

3, 6 0,240270109 -1 0,114395595 -1 

4, 4 -0,234392017 1 -0,259573091 1 

4, 5 -1 -1 -1 1 

4, 6 1 -1 -1 -1 

5, 5 -0,730762452 -1 1 -0,84424504 

5, 6 1 0,719316418 -0,416715743 -1 

6, 6 -0,498973194 1 1 1 


143

144 



N=7 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 1 -1 0,225758899 1 

-45 1, 3 0,361202689 -1 1 -1 

-36 1, 4 1 -1 1 -1 

-27 1, 5 1 -0,325172026 -1 -1 

-18 1, 6 1 1 0,146962737 -0,425397918 

-9 1, 7 -0,333569017 1 1 1 

0 2, 2 1 -0,775050111 1 -0,157007105 

9 2, 3 -1 1 -1 -1 

2, 4 -0,392289288 1 1 -1 

2, 5 1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 0,081949402 -1 1 

2, 7 1 -1 1 1 

3, 3 -1 1 -1 0,231091845 

3, 4 -1 1 0,164918864 1 

3, 5 -0,229404644 1 1 1 

3, 6 1 -1 -1 -0,567217086 

3, 7 1 -1 1 -1 

4, 4 -1 1 1 1 

4, 5 -1 0,895688395 0,451051989 1 

4, 6 -0,657170329 -1 -1 -1 

4, 7 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 -1 -1 1 

5, 6 -1 -1 -1 1 

5, 7 1 -0,87741566 1 -1 

6, 6 0,524908176 1 -0,845460549 -0,081469519 

6, 7 1 1 1 -1 

7, 7 -1 1 0,609652041 1 




N=8 



(graus) 1, 1 -1 1 0,594709536 1 

= 1, 2 0,435105558 -1 0 1 

-45 1, 3 1 -1 -1 -0,702117343 

-36 1, 4 1 -1 -0,439979436 -1 

-27 1, 5 1 -1 1 -1 

-18 1, 6 1 0,932446589 1 -1 

-9 1, 7 1 -0,135208215 1 -0,303121909 

0 1, 8 -1 1 -0,942530905 1 

9 2, 2 1 -0,584907954 1 1 

18 2, 3 -1 1 -1 -1 

2, 4 0,081868105 1 1 -1 

2, 5 1 -1 1 -1 

2, 6 1 1 1 -1 

2, 7 0,25409122 -1 1 1 

2, 8 1 -1 -1 1 

3, 3 -1 1 -1 -1 

3, 4 -1 1 -1 -0,100671745 

3, 5 -1 1 0,868371525 1 

3, 6 -1 1 1 1 

3, 7 1 -1 1 1 

3, 8 1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 1 -1 1 

4, 5 -1 1 -1 1 

4, 6 -1 -1 -1 1 

4, 7 1 -1 -1 -1 

4, 8 1 -1 1 -1 

5, 5 -1 -1 -1 1 

5, 6 -1 -1 1 1 

5, 7 0,591466743 1 -1 -1 

5, 8 1 0,796307973 0,699021568 -1 

6, 6 -1 -0,025978515 -1 1 

6, 7 -1 -1 1 -0,602084863 

6, 8 1 1 1 -1 

7, 7 0,050479502 -0,982659877 -1 -1 

7, 8 1 1 -0,434059326 0,707995688 

8, 8 -1 1 1 1 


145

146 



N=9 



(graus) 1, 1 -1 -0,20756856 -1 1 

= 1, 2 -0,75533225 1 0,024718168 1 

-45 1, 3 1 1 1 0,117439545 

-36 1, 4 1 -1 -1 -1 

-27 1, 5 1 1 -0,589421435 -1 

-18 1, 6 1 0,147571059 1 -1 

-9 1, 7 1 -1 1 -1 

0 1, 8 1 -1 -1 1 

9 1, 9 -1 1 -1 1 

18 2, 2 1 -1 1 1 

27 2, 3 0,296784261 -1 1 -1 

2, 4 1 -1 1 -1 

2, 5 1 -1 1 -1 

2, 6 1 1 1 -1 

2, 7 1 -1 1 -1 

2, 8 1 1 1 1 

2, 9 1 -0,868617059 1 1 

3, 3 -1 1 0,093418578 -1 

3, 4 -1 1 -1 -1 

3, 5 -1 1 -1 1 

3, 6 -1 1 1 1 

3, 7 -1 -1 1 -0,503193495 

3, 8 1 -1 1 -1 

3, 9 1 -1 0,865565276 0,379578701 

4, 4 -1 1 -1 1 

4, 5 -1 1 -1 1 

4, 6 -1 1 -1 1 

4, 7 -1 1 -1 1 

4, 8 1 -1 -1 -1 

4, 9 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 -0,913503397 -1 1 

5, 6 -1 1 -1 1 

5, 7 -1 -1 1 1 

5, 8 1 -1 1 -1 

5, 9 1 1 -1 -1 

6, 6 -1 -1 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 0,436524008 0,274632643 -0,130240577 -1 

6, 9 1 1 1 -1 

7, 7 -1 -1 -1 0,322584249 

7, 8 0,984919029 1 1 -1 

7, 9 1 1 1 -1 

8, 8 1 -1 1 -0,316409542 

8, 9 -0,943507844 0,567485314 1 1 

9, 9 -1 1 -0,929755759 1 




N=10 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -1 -1 0 1 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 

-36 1, 4 1 1 -1 -1 

-27 1, 5 1 -0,926583547 1 -1 

-18 1, 6 1 1 0,362379118 -1 

-9 1, 7 1 -0,415458319 0,791732783 -1 

0 1, 8 1 1 1 -1 

9 1, 9 0,65815717 -1 -1 1 

18 1, 10 -1 1 -1 1 

27 2, 2 -0,703846501 0,754030644 1 1 

36 2, 3 1 -1 0,804959862 1 

2, 4 1 1 1 -1 

2, 5 1 -1 1 -1 

2, 6 1 1 -1 -1 

2, 7 1 -1 1 -1 

2, 8 1 -1 1 -1 

2, 9 1 -1 1 1 

2, 10 1 -0,89084111 -1 1 

3, 3 1 1 -1 -1 

3, 4 -1 1 1 -1 

3, 5 -1 -1 1 0,831211677 

3, 6 -1 -1 -1 -1 

3, 7 -0,397823761 -1 1 0,500403105 

3, 8 1 1 -1 1 

3, 9 1 -1 1 1 

3, 10 1 -1 1 0,715415427 

4, 4 -1 1 -1 1 

4, 5 -1 1 -1 1 

4, 6 -1 1 -1 1 

4, 7 -1 -1 -1 1 

4, 8 -0,864741393 -1 1 -1 

4, 9 1 1 1 -1 

4, 10 1 1 -1 -1 

5, 5 -1 1 -1 1 

5, 6 -1 0,460388515 -1 1 

5, 7 -1 1 -1 1 

5, 8 -1 -1 1 -1 

5, 9 1 -1 1 -1 

5, 10 1 -1 1 -1 

6, 6 -1 1 -0,852316304 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 -1 -1 1 1 

6, 9 1 0,01846382 1 -1 

6, 10 1 1 1 -1 

7, 7 -1 -1 -1 1 

7, 8 -1 -1 -1 0,365470705 

7, 9 1 -1 0,359224801 -1 

7, 10 1 1 1 -1 

8, 8 1 1 -1 -1 

8, 9 1 1 -1 -1 

8, 10 1 1 1 -0,412501016 

9, 9 -0,656072176 1 -1 1 

9, 10 -1 1 0,323630176 1 

10, 10 -1 -1 1 1 


147

148 



N=11 



(graus) 1, 1 -1 -0,820641745 0,199796255 1 

= 1, 2 -1 1 1 1 

-45 1, 3 1 1 1 -0,293002578 

-36 1, 4 1 1 1 -1 

-27 1, 5 1 1 1 -1 

-18 1, 6 1 -1 1 -1 

-9 1, 7 1 -1 1 -1 

0 1, 8 1 -1 1 -1 

9 1, 9 1 1 1 1 

18 1, 10 -0,227094345 -0,847008739 1 1 

27 1, 11 -1 -1 -1 1 

36 2, 2 -1 1 -0,389855328 1 

45 2, 3 1 1 -1 -1 

2, 4 1 -1 1 -1 

2, 5 1 -1 1 -1 

2, 6 1 -1 1 -1 

2, 7 1 1 1 -1 

2, 8 1 1 1 -1 

2, 9 1 1 1 -1 

2, 10 1 -1 -0,138336465 1 

2, 11 0,423523099 -1 -1 1 

3, 3 0,74630573 -1 -1 1 

3, 4 -1 1 -1 -0,011122467 

3, 5 -1 1 -1 -1 

3, 6 -0,369449633 -1 -1 -1 

3, 7 1 -1 -1 -1 

3, 8 1 -1 1 -0,110474533 

3, 9 1 1 -1 1 

3, 10 1 -1 1 1 

3, 11 1 -1 -1 1 

4, 4 -1 1 0,6543979 1 

4, 5 -1 -1 -1 1 

4, 6 -1 -0,435329664 -1 1 

4, 7 -1 -1 1 1 

4, 8 -1 1 1 1 

4, 9 1 1 1 -1 

4, 10 1 1 1 -1 

4, 11 1 1 -1 -1 

5, 5 -1 1 -1 1 

5, 6 -1 1 -1 1 

5, 7 -1 -1 -1 1 

5, 8 -1 -1 0,451110571 1 

5, 9 1 -1 -1 -1 

5, 10 1 -1 -1 -1 

5, 11 1 1 1 -1 

6, 6 -1 1 -1 1 

6, 7 -1 1 -1 1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

6, 9 -0,916198884 -1 -1 -0,999999886 

6, 10 1 -1 1 -1 

6, 11 1 -1 1 -1 

7, 7 -1 0,053590539 -1 1 

7, 8 -1 -1 -0,5956549 1 

7, 9 -1 -1 1 -1 

7, 10 1 0,935710209 1 -1 

7, 11 1 -1 1 -1 

8, 8 -1 1 -1 1 

8, 9 -1 1 1 -1 

8, 10 1 1 1 -1 

8, 11 1 1 1 -1 

9, 9 1 1 1 0,414599401 

9, 10 1 1 1 1 

9, 11 1 -0,886320599 1 -1 

10, 10 -1 1 -1 1 

10, 11 -1 -1 -1 1 

11, 11 -1 1 


-1 1



Nesta seção, como nas duas anteriores, as tabelas apresentam as equações 



ideia dessa seção é capturar apenas 16 imagens com ângulo de passo constante. 

O objetivo novamente é mostrar que quanto maior o número de imagens mais 

preciso é o resultado e comparar com os métodos dos capítulo anteriores. Devido ao 

tamanho serão descritas apenas as tabelas até N igual a 11 imagens. 



N=3 



(graus) 1, 1 -0,002823423 0,233732749 -0,252737612 -0,0428158 

= 1, 2 0,022340594 -0,956295201 1 0,1438255 

-45 1, 3 0,005646848 0,488829703 -0,522784534 -0,060173189 

-39 2, 2 -0,044192993 0,978147601 -0,972532479 -0,133786258 

-33 2, 3 0,022340594 -1 1 0,127773521 

3, 3 -0,002823423 0,255585149 -0,252721167 -0,034831237 




na Tabela 42. 



N=3 


Num -0,002823423 0,022340594 0,005646848 

b r,s -0,044192993 0,022340594 

θ -0,002823423 

(graus) Dem 0,233732749 -0,956295201 0,488829703 

= c r,s 0,978147601 -1 

-45 0,255585149 

-39 Num -0,252737612 1 -0,522784534 

-33 e r,s -0,972532479 1 


-0,252721167 

Dem -0,0428158 0,1438255 -0,060173189 

f r,s -0,133786258 0,127773521 


-0,034831237 

149

150 




(105) 

(106) 



N=4 



(graus) 1, 1 0,2210762 0,4553421 0,478514 -0,1931943 

= 1, 2 -1 -1 -1 0,4246705 

-45 1, 3 0,4432188 -1 -0,8571737 -1 

-39 1, 4 -0,4258081 0,9979113 1 0,7699732 

-33 2, 2 1 0,6351092 0,4504392 1 

-27 2, 3 -0,2111457 1 1 -1 

2, 4 1 -1 -1 -0,8578158 

3, 3 -1 0,3648908 0,3843939 0,2165727 

3, 4 -0,2037363 -1 -1 1 

4, 4 0,1805724 0,5467465 0,5481114 -0,3602062 


Mais uma última vez, nesta seção, com a intenção de ficar mais visível o 


na Tabela 44.



N=4 


Num 0,2210762 -1 0,4432188 -0,4258081 

b r,s 1 -0,2111457 1 

-1 -0,2037363 

θ 0,1805724 

(graus) Dem 0,4553421 -1 -1 0,9979113 

= c r,s 0,6351092 1 -1 

-45 

0,3648908 -1 

-39 0,5467465 

-33 Num 0,478514 -1 -0,8571737 1 

-27 e r,s 0,4504392 1 -1 


0,3843939 -1 

0,5481114 

Dem -0,1931943 0,4246705 -1 0,7699732 

f r,s 1 -1 -0,8578158 


0,2165727 1 

-0,3602062 




(107) 

(108) 

151

152 



N=5 



(graus) 1, 1 0,2710335 0,9398372 1 0,5059566 

= 1, 2 -1 -1 -1 -1 

-45 1, 3 -0,4842466 -1 -1 -1 

-39 1, 4 1 -0,3334017 -0,06297658 0,7310835 

-33 1, 5 0,3365173 1 1 -0,2782916 

-27 2, 2 1 -0,8074717 -1 1 

-21 2, 3 1 1 0,9815223 1 

2, 4 -1 1 1 -1 

2, 5 -1 -1 -0,9183634 1 

3, 3 -0,9713024 1 1 -1 

3, 4 -1 0,6149434 0,2400969 0,1832264 

3, 5 1 -1 -1 -1 

4, 4 1 -0,4139072 -0,2202861 1 

4, 5 0,3818492 -1 -1 -0,144731 

5, 5 -0,5151945 1 1 0,002756087 




N=6 



(graus) 1, 1 0,3950433 1 1 1 

= 1, 2 -1 -1 -1 -1 

-45 1, 3 0,2246 -1 -1 -1 

-39 1, 4 -1 -1 -1 0,5434552 

-33 1, 5 1 1 -0,09909067 0,3213852 

-27 1, 6 -0,1254583 1 1 0,6595254 

-21 2, 2 0,3298348 0,4041823 0,40645 1 

-15 2, 3 1 -1 -1 -1 

2, 4 1 0,8182796 1 1 

2, 5 1 -1 1 -0,5123907 

2, 6 -1 -0,5076891 0,1702666 -1 

3, 3 -1 1 1 -1 

3, 4 -1 1 1 -1 

3, 5 -1 -0,4387875 -1 1 

3, 6 1 -1 -1 -1 

4, 4 0,1289965 1 1 1 

4, 5 -1 1 -0,8559976 1 

4, 6 1 -1 -1 -0,06320708 

5, 5 1 -1 -1 1 

5, 6 -1 -0,2759852 0,4427593 -1 

6, 6 0,1031734 1 1 0,05123197 




N=7 



(graus) 1, 1 1 1 1 1 

= 1, 2 -0,1591838 0,3380811 0,3297838 -0,5492216 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 4 -0,8724891 -1 -1 -0,9986291 

-33 1, 5 1 -1 -1 1 

-27 1, 6 1 1 1 -1 

-21 1, 7 -1 1 1 1 

-15 2, 2 -1 -1 -1 1 

-9 2, 3 -1 -0,7854785 -1 1 

2, 4 1 -1 -0,3740665 -1 

2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 1 1 -1 

2, 7 -0,6822027 -0,8326058 0,2191349 1 

3, 3 1 1 1 -1 

3, 4 1 1 1 -0,4992134 

3, 5 0,4649515 1 1 1 

3, 6 -1 -1 -1 -1 

3, 7 1 -1 -1 -0,3112913 

4, 4 -1 1 1 1 

4, 5 -1 1 0,7987197 1 

4, 6 -1 -1 -1 1 

4, 7 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 -1 1 

5, 6 -1 -1 -1 1 

5, 7 1 -1 -1 -0,5629943 

6, 6 0,0897073 -0,583171 0,2299914 -1 

6, 7 1 0,8631743 1 -1 

7, 7 -0,6742024 1 1 0,9213496 


153

154 



N=8 



(graus) 1, 1 1 1 -0,1877757 1 

= 1, 2 -1 -1 1 1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -0,2232095 

-39 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-33 1, 5 1 -1 -1 -1 

-27 1, 6 1 -1 1 -1 

-21 1, 7 1 1 1 0,4946483 

-15 1, 8 -1 1 1 1 

-9 2, 2 -0,06376896 1 0,8821872 1 

-3 2, 3 1 -0,3730912 1 -1 

2, 4 -1 -1 -1 -1 

2, 5 -0,9292344 -1 -1 -1 

2, 6 1 1 1 -1 

2, 7 1 -0,4083203 1 -1 

2, 8 -1 0,8216264 0,9407143 1 

3, 3 1 1 -1 -0,9681279 

3, 4 1 1 -0,7659957 -1 

3, 5 -1 1 1 1 

3, 6 -1 1 -1 1 

3, 7 1 -1 -1 1 

3, 8 0,6839499 -1 -1 -1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 1 

4, 6 -0,7163166 1 1 1 

4, 7 1 -1 -1 1 

4, 8 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 1 1 

5, 6 -1 -0,4782174 -1 1 

5, 7 -1 -1 -1 -0,6680591 

5, 8 1 -1 -1 -1 

6, 6 -1 -1 0,0185745 1 

6, 7 -1 -1 -0,3941474 -1 

6, 8 1 -0,5619974 -1 -1 

7, 7 0,2660228 1 1 -1 

7, 8 1 1 1 0,3647482 

8, 8 -0,8241967 1 1 1 




N=9 



(graus) 1, 1 1 1 -1 1 

= 1, 2 -1 -0,6596715 1 1 

-45 1, 3 -1 -1 0,2818516 0,9864035 

-39 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-33 1, 5 1 -1 -0,1718232 -1 

-27 1, 6 1 -1 1 -1 

-21 1, 7 -0,5753135 1 1 -1 

-15 1, 8 1 1 1 1 

-9 1, 9 -1 1 1 1 

-3 2, 2 -1 1 1 1 

3 2, 3 1 -1 1 -1 

2, 4 1 -1 -1 -1 

2, 5 1 -0,6093564 -1 -1 

2, 6 1 -1 1 -1 

2, 7 1 1 1 -1 

2, 8 1 -0,8669964 1 1 

2, 9 1 1 -0,08305143 1 

3, 3 1 1 1 -1 

3, 4 1 1 -1 -1 

3, 5 -1 1 -1 -1 

3, 6 -1 1 -1 0,9717821 

3, 7 -1 -1 -1 -1 

3, 8 1 -1 -1 1 

3, 9 -1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 1 -1 1 

4, 5 -0,517198 1 -1 1 

4, 6 -1 1 -0,01334214 1 

4, 7 -0,9152575 -1 1 1 

4, 8 1 -1 1 -0,7003126 

4, 9 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 -1 1 

5, 6 -1 1 1 1 

5, 7 -1 1 1 1 

5, 8 0,1853485 -1 -1 -1 

5, 9 1 -1 -1 -1 

6, 6 -1 1 1 1 

6, 7 -1 -0,7259883 1 1 

6, 8 -1 -1 -0,8201005 -1 

6, 9 1 -1 -1 -1 

7, 7 1 -1 1 1 

7, 8 1 -1 -1 -0,4262986 

7, 9 1 0,8620126 -1 -1 

8, 8 -0,518835 1 0,6159346 1 

8, 9 0,3005866 1 1 -0,8315744 

9, 9 -1 1 1 1 


155

156 



N=10 



(graus) 1, 1 -1 1 0,9130191 1 

= 1, 2 0,4361284 -0,06876917 -1 1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 1 

-39 1, 4 -0,6166034 -1 1 -1 

-33 1, 5 1 -1 -1 -1 

-27 1, 6 1 -1 1 -1 

-21 1, 7 1 -1 1 -1 

-15 1, 8 1 1 1 -1 

-9 1, 9 1 1 1 1 

-3 1, 10 -1 1 -1 1 

3 2, 2 1 -1 1 1 

9 2, 3 1 -1 1 0,2501051 

2, 4 1 1 -1 -1 

2, 5 1 0,4620979 -1 -1 

2, 6 1 -1 -1 -1 

2, 7 -1 -1 1 -1 

2, 8 1 -0,2917743 1 -1 

2, 9 1 1 1 1 

2, 10 -1 1 -1 1 

3, 3 1 1 1 -1 

3, 4 -1 1 -1 -1 

3, 5 -1 1 -1 -1 

3, 6 -1 1 -1 -1 

3, 7 -1 -0,1874002 1 -1 

3, 8 1 -1 1 0,08433135 

3, 9 1 -1 1 0,1527194 

3, 10 1 -1 -1 1 

4, 4 -1 1 -1 1 

4, 5 -1 1 -1 1 

4, 6 -1 1 1 1 

4, 7 -1 1 -0,6385053 1 

4, 8 1 -1 1 1 

4, 9 1 -1 1 -1 

4, 10 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 1 1 

5, 6 -1 1 1 1 

5, 7 -1 1 -1 1 

5, 8 1 -1 1 1 

5, 9 0,4794643 -1 0,7487848 -1 

5, 10 1 -1 1 -1 

6, 6 -1 1 -1 1 

6, 7 -1 0,08584573 -1 1 

6, 8 -1 -1 0,5417707 1 

6, 9 -1 -1 -1 -1 

6, 10 1 -1 -1 -1 

7, 7 -1 -1 -1 1 

7, 8 -1 -1 -1 1 

7, 9 1 -1 -1 -1 

7, 10 1 -1 -0,9360055 -1 

8, 8 -0,05054298 1 -1 -0,7591143 

8, 9 -1 1 -0,3138006 -1 

8, 10 0,9548589 1 1 -1 

9, 9 1 1 1 0,2719584 

9, 10 -0,07106497 1 1 1 

10, 10 -1 1 1 1 




N=11 



(graus) 1, 1 -1 1 -1 1 

= 1, 2 -1 -1 1 1 

-45 1, 3 1 -1 -1 1 

-39 1, 4 1 -1 1 -1 

-33 1, 5 1 -1 1 -1 

-27 1, 6 1 -1 1 -1 

-21 1, 7 1 -1 1 -1 

-15 1, 8 1 -1 0,7832759 -1 

-9 1, 9 1 1 -1 -0,9913295 

-3 1, 10 0,6339317 1 1 1 

3 1, 11 -1 0,6545676 -1 1 

9 2, 2 -0,5036672 -1 -1 1 

15 2, 3 1 0,204396 1 1 

2, 4 1 1 1 -1 

2, 5 1 1 -1 -1 

2, 6 1 -1 -1 -1 

2, 7 1 -1 0,5391244 -1 

2, 8 1 -1 -1 -1 

2, 9 1 1 -1 1 

2, 10 1 1 0,7690933 1 

2, 11 -0,2882078 1 1 1 

3, 3 1 1 -1 0,4670909 

3, 4 -1 1 -1 -1 

3, 5 -1 1 1 -1 

3, 6 -1 1 -1 -1 

3, 7 -1 1 1 -1 

3, 8 -0,3357958 -1 -1 -1 

3, 9 1 -0,03179896 -1 -0,330894 

3, 10 1 -1 1 1 

3, 11 1 -1 1 1 

4, 4 -1 1 1 -1 

4, 5 -1 1 -1 0,08549931 

4, 6 -1 1 1 1 

4, 7 -1 1 1 1 

4, 8 -1 -1 -1 1 

4, 9 1 -1 -1 -1 

4, 10 1 -1 1 -1 

4, 11 1 -1 1 -1 

5, 5 -1 1 1 1 

5, 6 -1 1 1 1 

5, 7 -1 1 1 1 

5, 8 -1 -1 -1 1 

5, 9 -1 -1 -1 1 

5, 10 1 -1 1 -1 

5, 11 1 -1 1 -1 

6, 6 -1 1 1 1 

6, 7 -1 1 -0,3337985 1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

6, 9 -1 -1 -1 1 

6, 10 1 -1 -1 -1 

6, 11 1 -1 1 -1 

7, 7 -1 1 -1 1 

7, 8 -1 -1 -1 1 

7, 9 -1 -1 -1 1 

7, 10 1 0,4727886 -1 -1 

7, 11 1 -1 1 -1 

8, 8 -1 -1 -1 1 

8, 9 -1 -1 -1 -1 

8, 10 1 1 -1 -1 

8, 11 1 1 -1 -1 

9, 9 1 0,4178745 0,3925243 -1 

9, 10 1 1 1 -0,2303668 

9, 11 1 1 -0,1859084 -1 

10, 10 -0,590145 0,2821723 1 1 

10, 11 -1 1 1 1 

11, 11 -1 1 


1 1 

157

158 



Nesta seção, como nas três anteriores, as tabelas apresentam as equações 



ideia dessa seção é capturar apenas 19 imagens com ângulo de passo constante. 

O objetivo novamente é mostrar que quanto maior o número de imagens mais 

preciso é o resultado e comparar com os métodos dos capítulo anteriores. Devido ao 

tamanho serão descritas apenas as tabelas até N igual a 11 imagens. 



N=3 



(graus) 1, 1 -0,001943089 0,238664406 -0,251371249 -0,023824092 

= 1, 2 0,015426623 -0,969615505 1 0,074437584 

-45 1, 3 0,003886167 0,492286694 -0,513564779 -0,027287197 

-40 2, 2 -0,030618871 0,984807753 -0,984220452 -0,063988006 

-35 2, 3 0,015426625 -1 1 0,054780269 

3, 3 -0,00194309 0,253856653 -0,251089349 -0,014129855 




na Tabela 53. 



N=3 Num -0,001943089 0,015426623 0,003886167 

b r,s -0,030618871 0,015426625 

θ -0,00194309 

(graus) Dem 0,238664406 -0,969615505 0,492286694 

= c r,s 0,984807753 -1 

-45 0,253856653 

-40 Num -0,251371249 1 -0,513564779 

-35 e r,s -0,984220452 1 

-0,251089349 

Dem -0,023824092 0,074437584 -0,027287197 



f r,s -0,063988006 0,054780269 

-0,014129855 





(109) 

(110) 



N=4 



(graus) 1, 1 -0,2601243 0,4691543 0,4849772 -0,1085555 

= 1, 2 1 -1 -1 0,4043085 

-45 1, 3 -0,8381405 -1 -0,9033768 -1 

-40 1, 4 -0,1422782 0,999018 1 -0,09518548 

-35 2, 2 -0,6919684 0,5930578 0,4668806 0,1460335 

-30 2, 3 1 1 1 1 

2, 4 1 -1 -1 1 

3, 3 -0,4516342 0,4069422 0,4210695 -1 

3, 4 -1 -1 -1 -0,6963754 

4, 4 0,3861096 0,5318276 0,5324468 0,3497745 




na Tabela 55. 

159

160 



N=4 


Num -0,2601243 1 -0,8381405 -0,1422782 

b r,s -0,6919684 1 1 

-0,4516342 -1 

θ 0,3861096 

(graus) Dem 0,4691543 -1 -1 0,999018 

= c r,s 0,5930578 1 -1 

-45 

0,4069422 -1 

-40 0,5318276 

-35 Num 0,4849772 -1 -0,9033768 1 

-30 e r,s 0,4668806 1 -1 


0,4210695 -1 

0,5324468 

Dem -0,1085555 0,4043085 -1 -0,09518548 

f r,s 0,1460335 1 1 


-1 -0,6963754 

0,3497745 




(111) 

(112)



N=5 



(graus) 1, 1 -0,4852751 0,9930316 1 0,225217 

= 1, 2 1 -1 -1 -1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 0,362685 

-40 1, 4 -0,05879081 -0,3489212 -0,1076463 -1 

-35 1, 5 -0,4808597 1 1 0,07752429 

-30 2, 2 1 -0,9460334 -0,7913365 1 

-25 2, 3 -1 1 0,5151729 1 

2, 4 1 1 1 -1 

2, 5 1 -1 -1 1 

3, 3 -0,8398654 1 1 -1 

3, 4 1 0,8920667 1 1 

3, 5 0,2079331 -1 -1 0,1867125 

4, 4 -1 -0,5901437 -0,6195758 -0,3672019 

4, 5 -1 -1 -0,987577 -1 

5, 5 0,6655706 1 1 0,5150631 




N=6 



(graus) 1, 1 1 1 1 0,1631967 

= 1, 2 -1 -0,7153842 -1 1 

-45 1, 3 0,2631327 -1 -1 -1 

-40 1, 4 1 -1 -1 -0,8578676 

-35 1, 5 0,4404454 -1 1 1 

-30 1, 6 -1 1 1 0,421127 

-25 2, 2 -1 -1 0,8092712 -1 

-20 2, 3 -1 1 -1 1 

2, 4 1 0,7556103 -1 -1 

2, 5 1 1 0,3519055 1 

2, 6 0,5065719 0,4910048 -0,7434572 -1 

3, 3 -1 1 1 0,8380758 

3, 4 1 1 1 -1 

3, 5 1 -1 1 1 

3, 6 -1 -1 -1 -1 

4, 4 -0,9951065 1 1 -1 

4, 5 -1 -1 -0,3499681 1 

4, 6 -0,7340165 -1 -1 -0,7978203 

5, 5 1 -0,646957 -1 1 

5, 6 1 0,1157261 -0,04040568 1 

6, 6 -0,4559114 1 1 -0,7667116 


161

162 



N=7 



(graus) 1, 1 0,4242371 1 1 1 

= 1, 2 -1 -0,1252018 -1 0,447503 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-40 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-35 1, 5 1 -1 -1 -0,5654972 

-30 1, 6 1 0,2292481 1 -1 

-25 1, 7 -1 1 1 -0,05916228 

-20 2, 2 1 -1 0,8842695 -1 

-15 2, 3 1 0,4356373 -0,139787 -1 

2, 4 -1 -1 -1 1 

2, 5 -1 1 -1 1 

2, 6 1 -0,5511604 0,5271785 1 

2, 7 0,4484739 1 1 1 

3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 1 

3, 5 -1 1 1 1 

3, 6 -1 -1 -1 0,5274428 

3, 7 1 -1 -1 -1 

4, 4 0,9402737 1 1 -0,8010317 

4, 5 -1 1 1 -1 

4, 6 -1 -1 -1 1 

4, 7 0,438613 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 0,4729562 -1 

5, 6 0,2757753 -1 -1 -1 

5, 7 1 -1 -1 1 

6, 6 -1 -0,988523 -0,6615682 1 

6, 7 1 1 1 -1 

7, 7 -0,4558467 1 1 0,4507453 




N=8 



(graus) 1, 1 1 1 1 0,6609188 

= 1, 2 -1 0,7266443 0,8847383 1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-40 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-35 1, 5 -0,06675974 -1 -1 0,05750657 

-30 1, 6 1 -1 -0,614058 -1 

-25 1, 7 1 1 1 1 

-20 1, 8 -1 1 1 1 

-15 2, 2 -0,03924427 -1 -1 -1 

-10 2, 3 1 -1 -1 1 

2, 4 -1 -1 -1 1 

2, 5 -1 0,5641689 -1 -1 

2, 6 1 -1 1 -1 

2, 7 1 1 1 -1 

2, 8 -1 0,47316 0,9317002 1 

3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 -1 

3, 5 1 1 1 -1 

3, 6 -1 1 1 -1 

3, 7 0,7646227 -1 -1 -0,1201058 

3, 8 0,7531126 -1 -1 -0,7508082 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 -1 

4, 6 -1 1 0,4376385 1 

4, 7 -1 -1 -1 1 

4, 8 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 1 1 

5, 6 -1 0,3540934 -1 1 

5, 7 1 -1 -1 1 

5, 8 1 -1 -1 -1 

6, 6 -1 -1 -1 1 

6, 7 -1 -1 -1 -0,3268772 

6, 8 1 -1 -0,4259299 -1 

7, 7 -0,6965165 0,8819334 1 1 

7, 8 1 1 1 -1 

8, 8 -0,5353714 1 1 0,4793658 


163

164 



N=9 



(graus) 1, 1 -0,2851125 1 1 1 

= 1, 2 -1 1 1 1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 0,9800488 

-40 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-35 1, 5 1 -1 -1 -1 

-30 1, 6 0,2466926 -1 -1 -1 

-25 1, 7 1 0,7233861 1 -1 

-20 1, 8 -1 1 1 -0,4909815 

-15 1, 9 1 1 1 1 

-10 2, 2 1 -0,9176083 0,08300082 1 

-5 2, 3 1 -1 -1 -1 

2, 4 1 -1 -1 -1 

2, 5 -1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 -1 -0,5444531 -1 

2, 7 -1 -1 1 -1 

2, 8 -0,181111 0,04008494 1 1 

2, 9 1 1 1 1 

3, 3 1 1 -1 -1 

3, 4 1 1 1 -1 

3, 5 1 1 1 -1 

3, 6 1 1 1 0,3595249 

3, 7 -1 1 1 1 

3, 8 -1 -1 -0,3402993 1 

3, 9 1 -1 -1 -1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 1 

4, 6 -1 1 1 1 

4, 7 -1 1 -1 1 

4, 8 -1 -1 -1 1 

4, 9 1 -1 -1 -0,6266184 

5, 5 -1 1 1 1 

5, 6 0,864902 1 1 1 

5, 7 -1 -0,319801 -1 1 

5, 8 1 -1 -1 -1 

5, 9 1 -1 -1 -1 

6, 6 -1 1 -0,4343642 1 

6, 7 -1 -1 -1 1 

6, 8 -0,9123493 -1 -1 -1 

6, 9 1 -1 -1 -1 

7, 7 -1 -1 -1 -1 

7, 8 1 -1 -0,2570256 -1 

7, 9 1 0,4739383 1 -0,4734957 

8, 8 1 1 1 -0,7484782 

8, 9 -0,3377762 1 1 1 

9, 9 -1 1 1 1 




N=10 



(graus) 1, 1 1 1 1 1 

= 1, 2 -0,4695515 1 -1 1 

-45 1, 3 -1 -1 0,7551331 1 

-40 1, 4 -1 -1 1 -1 

-35 1, 5 1 -1 -1 -1 

-30 1, 6 0,01363193 -1 1 -1 

-25 1, 7 1 -1 1 -1 

-20 1, 8 1 1 1 -1 

-15 1, 9 1 1 1 1 

-10 1, 10 -1 1 1 1 

-5 2, 2 -1 -0,3720337 -1 1 

0 2, 3 1 -1 0,5583211 0,5497379 

2, 4 -1 -1 1 -1 

2, 5 1 -1 -1 -1 

2, 6 1 -1 -1 -1 

2, 7 -1 -1 -1 -1 

2, 8 1 0,7771285 -1 -1 

2, 9 1 1 1 1 

2, 10 -0,5514732 1 1 1 

3, 3 1 0,2474161 -1 -1 

3, 4 -0,1623437 1 -1 -1 

3, 5 -1 1 -1 -1 

3, 6 -1 1 1 -1 

3, 7 -1 1 -1 -1 

3, 8 -1 -1 -1 -1 

3, 9 -1 -1 1 0,7772497 

3, 10 1 -1 0,01935414 1 

4, 4 1 1 -1 0,7977937 

4, 5 1 1 1 1 

4, 6 1 1 1 1 

4, 7 1 1 -1 1 

4, 8 1 -1 1 1 

4, 9 -0,9364819 -1 -1 -1 

4, 10 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 1 1 

5, 6 -1 1 1 1 

5, 7 -1 1 1 1 

5, 8 -1 -1 -1 1 

5, 9 1 -1 -1 -1 

5, 10 1 -1 -1 -1 

6, 6 -1 1 1 1 

6, 7 -1 1 1 1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

6, 9 1 -1 -1 -1 

6, 10 1 -1 -1 -1 

7, 7 -1 0,7977137 1 1 

7, 8 -1 -1 -1 1 

7, 9 1 -1 -1 -1 

7, 10 1 -1 -1 -1 

8, 8 -1 -1 -1 0,2470129 

8, 9 -1 0,5497612 0,7555433 -1 

8, 10 1 1 1 -1 

9, 9 1 1 1 -0,3718149 

9, 10 -0,03833985 1 0,8588645 1 

10, 10 -1 1 0,9083367 1 


165

166 



N=11 



(graus) 1, 1 1 1 -1 1 

= 1, 2 1 1 1 1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 1 

-40 1, 4 -1 -1 1 -0,809208 

-35 1, 5 -1 -1 0,5064437 -1 

-30 1, 6 1 -1 1 -1 

-25 1, 7 1 -1 -1 -1 

-20 1, 8 1 -0,6350441 -1 -1 

-15 1, 9 1 1 -1 -1 

-10 1, 10 -1 1 1 1 

-5 1, 11 -1 1 1 1 

0 2, 2 -0,6327616 -0,8424707 -0,9396986 1 

5 2, 3 -1 -1 1 1 

2, 4 -1 -1 1 -1 

2, 5 -1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 -1 1 -1 

2, 7 1 -1 1 -1 

2, 8 1 -1 1 -1 

2, 9 1 1 1 0,1650735 

2, 10 0,3416233 0,1430023 1 1 

2, 11 -1 1 -0,6114164 1 

3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 -1 -1 

3, 5 1 1 1 -1 

3, 6 -1 1 -1 -1 

3, 7 1 1 -1 -1 

3, 8 1 1 -1 -1 

3, 9 1 -1 1 -1 

3, 10 1 -1 1 1 

3, 11 -0,1415061 -1 1 1 

4, 4 1 1 -1 -1 

4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 -1 1 -1 1 

4, 7 1 1 -1 0,9555374 

4, 8 1 1 -1 1 

4, 9 -1 -1 -1 1 

4, 10 1 -1 0,7622927 -0,8431935 

4, 11 1 -1 1 -1 

5, 5 -1 1 -1 1 

5, 6 -1 1 -1 1 

5, 7 -1 1 1 1 

5, 8 -1 -1 1 1 

5, 9 -1 -1 1 1 

5, 10 1 -1 -1 -1 

5, 11 1 1 -1 -1 

6, 6 -1 1 1 1 

6, 7 -1 1 1 1 

6, 8 -1 1 -1 1 

6, 9 -1 -1 -0,8793136 1 

6, 10 1 -1 -1 -1 

6, 11 1 -1 -1 -1 

7, 7 -1 1 1 1 

7, 8 -1 -1 1 1 

7, 9 -1 -1 -1 1 

7, 10 1 -1 -1 -1 

7, 11 1 -0,1944807 -1 -1 

8, 8 -1 -1 -1 1 

8, 9 -1 -1 -1 -1 

8, 10 0,9325987 -1 -1 -1 

8, 11 1 1 -1 -1 

9, 9 -1 -1 0,4130461 -1 

9, 10 -1 0,7790026 1 -0,4682229 

9, 11 1 1 1 -1 

10, 10 -0,1234609 1 1 1 

10, 11 1 1 1 1 

11, 11 -1 0,7500144 


1 1 

As demais tabelas podem ser encontradas no Apêndice A.



Nesta seção, como nas quatro anteriores, as tabelas apresentam as 

equações encontradas resolvendo os modelos 87 e 88 ou o Modelo 89, usando o 

método Simplex com passo constante igual a 3 o para rotação do ângulo do 

analisador . A ideia dessa seção é capturar apenas 31 imagens com ângulo de 

passo fixo constante. O objetivo novamente é mostrar que quanto maior o número 

de imagens mais preciso é o resultado e comparar com os métodos dos capítulo 

anteriores. Devido ao tamanho serão descritas apenas as tabelas até N igual a 11 

imagens. 



N=3 



(graus) 1, 1 -0,000690349 0,245898967 -0,25061105 -0,013379958 

= 1, 2 0,005507958 -0,989043796 1 0,047544121 

-45 1, 3 0,001381023 0,497245861 -0,504612061 -0,020939259 

-42 2, 2 -0,010986048 0,994521899 -0,994219177 -0,04491552 

-39 2, 3 0,005507923 -1 1 0,042616689 

3, 3 -0,000690332 0,251377069 -0,250591208 -0,010926643 




na Tabela 64. 



N=3 


Num -0,000690349 0,005507958 0,001381023 

b r,s -0,010986048 0,005507923 

θ -0,000690332 

(graus) Dem 0,245898967 -0,989043796 0,497245861 

= c r,s 0,994521899 -1 

-45 0,251377069 

-42 Num -0,25061105 1 -0,504612061 

-39 e r,s -0,994219177 1 

-0,250591208 

Dem -0,013379958 0,047544121 -0,020939259 

f r,s -0,04491552 0,042616689 



-0,010926643 

167

168 




(113) 

(114) 



N=4 



(graus) 1, 1 0,388011556 0,488922454 0,494542651 0,398440945 

= 1, 2 -1 -1 -1 -1 

-45 1, 3 1 -1 -0,966453604 0,899085099 

-42 1, 4 -0,772265503 1 1 -0,741023799 

-39 2, 2 -0,48321523 0,533659452 0,488704723 -0,432661609 

-36 2, 3 1 0,998903612 1 1 

2, 4 1 -1 -1 1 

3, 3 -0,566955749 0,46743695 0,472240614 -0,516880943 

3, 4 -0,943968391 -1 -1 -1 

4, 4 0,378638742 0,511077532 0,51121244 0,393040307 




na Tabela 66.



N=4 


Num 0,388011556 -1 1 -0,772265503 

b r,s -0,48321523 1 1 

-0,566955749 -0,943968391 

θ 0,378638742 

(graus) Dem 0,488922454 -1 -1 1 

= c r,s 0,533659452 0,998903612 -1 

-45 

0,46743695 -1 

-42 0,511077532 

-39 Num 0,494542651 -1 -0,966453604 1 

-36 e r,s 0,488704723 1 -1 


0,472240614 -1 

0,51121244 

Dem 0,398440945 -1 0,899085099 -0,741023799 

f r,s -0,432661609 1 1 


-0,516880943 -1 

0,393040307 




(115) 

(116) 

169

170 



N=5 



(graus) 1, 1 -0,303600005 1 1 -0,502371768 

= 1, 2 1 -1 -1 1 

-45 1, 3 0,002271914 -1 -1 -1 

-42 1, 4 -1 -0,53954843 -0,472995875 -0,803526109 

-39 1, 5 0,670042722 1 1 -0,195168349 

-36 2, 2 -1 -0,884839508 -0,877610112 1 

-33 2, 3 0,955862959 1 1 -0,954385859 

2, 4 1 0,976051646 0,83103007 1 

2, 5 -1 -0,791341273 -0,727697906 1 

3, 3 -1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 -1 

3, 5 -0,019917867 -1 -1 0,772986066 

4, 4 -1 -0,760322436 -0,751654373 -1 

4, 5 1 -1 -1 -1 

5, 5 -0,303600159 1 1 0,682466019 




N=6 



(graus) 1, 1 -0,819710786 1 1 0,876440086 

= 1, 2 1 -0,608849911 -0,46389827 -1 

-45 1, 3 -0,710112065 -1 -1 1 

-42 1, 4 -1 -1 -1 -0,309389495 

-39 1, 5 0,054138253 -1 0,860095256 1 

-36 1, 6 1 1 1 -0,907643686 

-33 2, 2 1 -1 -1 -1 

-30 2, 3 1 1 1 -1 

2, 4 -1 0,36369672 -0,985704444 1 

2, 5 -1 1 -1 -1 

2, 6 -1 0,58215185 -0,110517265 1 

3, 3 0,259394672 1 1 -0,483186632 

3, 4 1 1 1 1 

3, 5 1 -1 1 1 

3, 6 0,647747702 -1 -1 -1 

4, 4 -1 1 1 1 

4, 5 -1 -0,367362173 -1 -1 

4, 6 1 -1 -1 -0,062457844 

5, 5 -1 -1 0,703032161 -1 

5, 6 1 0,030363515 -1 1 

6, 6 -0,428529218 1 1 -0,113762429 




N=7 



(graus) 1, 1 0,64386052 1 1 1 

= 1, 2 -1 -0,646898596 0,39518074 -1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-42 1, 4 1 -1 -1 -1 

-39 1, 5 -0,072798705 -1 -1 0,858126121 

-36 1, 6 1 1 1 -1 

-33 1, 7 -0,589122865 1 1 0,551967838 

-30 2, 2 1 1 -1 -0,676552825 

-27 2, 3 -1 -1 -1 1 

2, 4 -1 -1 0,285310936 1 

2, 5 1 -1 -0,186028055 -1 

2, 6 -1 0,880517265 -1 1 

2, 7 1 0,233999464 1 0,165703959 

3, 3 1 1 1 1 

3, 4 -1 1 1 1 

3, 5 1 1 1 1 

3, 6 -1 -1 -1 -1 

3, 7 -1 -1 -1 -1 

4, 4 0,679654588 1 1 0,120260625 

4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 -1 -1 -1 -1 

4, 7 1 -1 -1 1 

5, 5 -1 1 1 -1 

5, 6 -1 -0,925528847 0,109540995 -1 

5, 7 0,195869949 -1 -1 1 

6, 6 1 1 -1 1 

6, 7 1 -0,542089287 0,404305907 0,980494281 

7, 7 -0,849550133 1 1 -1 


171

172 



N=8 



(graus) 1, 1 -1 1 1 1 

= 1, 2 1 0,868345351 1 -1 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 

-42 1, 4 -1 -1 -1 0,973179522 

-39 1, 5 -0,563425561 -1 -1 -1 

-36 1, 6 1 -1 -1 -1 

-33 1, 7 1 1 1 -1 

-30 1, 8 1 1 1 -0,025287205 

-27 2, 2 -0,534848311 -1 -0,700689957 -0,097563692 

-24 2, 3 1 -0,515649039 -1 -1 

2, 4 -1 -1 -1 1 

2, 5 -1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 -1 -0,348583751 1 

2, 7 -1 0,95232771 1 1 

2, 8 0,140842914 1 1 1 

3, 3 1 1 0,615144907 1 

3, 4 1 1 1 1 

3, 5 1 1 1 1 

3, 6 -1 1 1 -1 

3, 7 -1 -1 -1 -1 

3, 8 -1 -1 -1 1 

4, 4 -0,774048698 1 1 1 

4, 5 1 1 1 1 

4, 6 -1 1 1 -1 

4, 7 -1 -1 -1 -1 

4, 8 0,271890131 -1 -1 1 

5, 5 1 1 1 0,669142951 

5, 6 -1 1 1 -1 

5, 7 1 -1 -1 -1 

5, 8 1 -1 -1 -0,88723509 

6, 6 -1 -0,356478437 -0,872652379 -1 

6, 7 1 -1 -1 -1 

6, 8 1 -1 -1 1 

7, 7 1 0,051454415 0,327403869 1 

7, 8 -0,520883194 1 1 1 

8, 8 -1 1 1 -0,632236486 




N=9 



(graus) 1, 1 0,568682732 1 1 1 

= 1, 2 1 1 1 1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-42 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 5 0,124645088 -1 -1 -1 

-36 1, 6 1 -1 -1 1 

-33 1, 7 1 -0,471609477 0,471491832 -1 

-30 1, 8 -1 1 1 1 

-27 1, 9 -1 1 1 -0,215075666 

-24 2, 2 -1 0,608529362 0,926344647 -0,996271264 

-21 2, 3 -1 -1 -1 -1 

2, 4 -1 -1 -1 -1 

2, 5 -1 -1 -1 1 

2, 6 -1 -1 -1 0,651629739 

2, 7 1 1 1 1 

2, 8 1 1 1 1 

2, 9 0,526643688 1 1 1 

3, 3 1 -1 -1 1 

3, 4 1 0,429179277 -0,534754787 1 

3, 5 1 1 1 1 

3, 6 1 1 1 -1 

3, 7 -1 -0,797051257 -1 -1 

3, 8 -1 -1 -1 -1 

3, 9 1 -1 -1 -1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 1 1 1 1 

4, 7 -1 1 0,072747646 -1 

4, 8 -1 -1 -1 -1 

4, 9 1 -1 -1 -1 

5, 5 1 1 1 -1 

5, 6 -1 1 1 -0,383256682 

5, 7 -1 1 1 -1 

5, 8 -1 -1 -1 -1 

5, 9 1 -1 -1 0,292209708 

6, 6 -1 1 1 1 

6, 7 -1 -1 1 1 

6, 8 1 -1 -1 1 

6, 9 0,278572492 -1 -1 1 

7, 7 -1 0,230952096 -1 1 

7, 8 -0,039893828 -1 -1 1 

7, 9 1 -1 -0,893269526 -1 

8, 8 -1 1 1 1 

8, 9 1 1 1 -1 

9, 9 -0,418574279 1 1 -0,349235836 


173

174 



N=10 



(graus) 1, 1 -1 1 1 0,336208438 

= 1, 2 1 1 1 1 

-45 1, 3 0,201445661 -1 0,048460034 -1 

-42 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 5 -1 -1 -1 -1 

-36 1, 6 -0,909639198 -1 -1 -1 

-33 1, 7 -1 -1 -1 -1 

-30 1, 8 1 1 1 -1 

-27 1, 9 -1 1 1 -1 

-24 1, 10 0,87718286 1 1 0,972561904 

-21 2, 2 -1 1 1 -1 

-18 2, 3 1 -0,918962894 -1 1 

2, 4 1 -1 -1 1 

2, 5 -1 -1 -1 1 

2, 6 -1 -1 -1 -1 

2, 7 1 -1 -1 -1 

2, 8 1 1 1 1 

2, 9 1 1 1 1 

2, 10 1 1 1 -1 

3, 3 1 -1 -1 1 

3, 4 1 1 -1 1 

3, 5 1 1 -1 -0,654155893 

3, 6 1 -1 1 -1 

3, 7 -1 -0,926254301 0,495327175 1 

3, 8 -1 1 1 1 

3, 9 -1 -1 -1 1 

3, 10 -1 -0,445010802 -0,699690988 1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 1 1 1 1 

4, 7 1 1 1 1 

4, 8 -1 -1 -1 1 

4, 9 -1 -1 -1 1 

4, 10 1 -1 -1 -0,792210546 

5, 5 0,172886883 1 1 1 

5, 6 -1 1 1 -1 

5, 7 -1 1 1 -1 

5, 8 -1 -0,869972063 1 -1 

5, 9 -1 -1 -1 -1 

5, 10 1 -1 -1 -1 

6, 6 -1 1 1 -1 

6, 7 -1 1 1 -1 

6, 8 -1 -1 -1 1 

6, 9 -0,173031526 -1 -1 1 

6, 10 1 -1 -1 1 

7, 7 -1 1 1 1 

7, 8 1 1 -0,446115726 0,405571081 

7, 9 1 -1 -1 -1 

7, 10 1 -1 -1 1 

8, 8 -1 1 -1 -1 

8, 9 1 -0,839799938 -1 -1 

8, 10 1 -1 0,685271131 -1 

9, 9 0,907382323 1 1 -1 

9, 10 -1 1 1 1 

10, 10 -1 1 1 0,732025015 




N=11 



(graus) 1, 1 1 1 1 1 

= 1, 2 1 1 1 1 

-45 1, 3 -0,885489514 0,54556033 -1 -1 

-42 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 5 -1 -1 -1 1 

-36 1, 6 1 -1 -1 1 

-33 1, 7 1 -1 -1 -1 

-30 1, 8 1 -1 -1 -1 

-27 1, 9 1 1 1 -1 

-24 1, 10 1 1 1 -1 

-21 1, 11 -1 1 1 1 

-18 2, 2 1 1 1 0,472876669 

-15 2, 3 -1 -1 -0,754845952 -1 

2, 4 -1 -1 -1 -1 

2, 5 -1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 -1 -1 -1 

2, 7 -1 -1 -1 -0,095609901 

2, 8 1 -1 -1 -1 

2, 9 1 1 1 -1 

2, 10 1 1 1 1 

2, 11 -1 1 1 0,996785167 

3, 3 -1 -1 1 -1 

3, 4 -1 -1 -1 1 

3, 5 -1 -1 1 1 

3, 6 1 1 -1 -1 

3, 7 1 -0,988146869 -0,655894432 1 

3, 8 1 1 -1 1 

3, 9 -0,868071231 1 1 1 

3, 10 1 -1 0,755656806 1 

3, 11 -1 -0,222773327 1 -1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 1 1 1 1 

4, 6 1 1 1 1 

4, 7 1 1 1 1 

4, 8 -1 1 1 -1 

4, 9 -1 -0,498900211 -1 -1 

4, 10 -1 -1 -1 -1 

4, 11 -1 -1 -1 1 

5, 5 1 1 1 1 

5, 6 1 1 1 -1 

5, 7 -1 1 1 -1 

5, 8 -1 1 1 -1 

5, 9 -1 -1 -1 1 

5, 10 1 -1 -1 1 

5, 11 -0,112817433 -1 -1 0,831425576 

6, 6 -1 1 1 1 

6, 7 -1 1 1 -1 

6, 8 -1 1 1 1 

6, 9 -1 -1 -1 -1 

6, 10 1 -1 -1 1 

6, 11 1 -1 -1 -1 

7, 7 1 1 1 0,214971455 

7, 8 -1 1 0,249967123 -1 

7, 9 -1 -1 -1 1 

7, 10 1 -1 -1 -1 

7, 11 1 -1 -1 -1 

8, 8 0,48914775 1 -1 1 

8, 9 -1 -1 -1 1 

8, 10 1 -1 -1 -1 

8, 11 1 -1 -1 -1 

9, 9 1 -1 -0,434792461 -1 

9, 10 -1 0,164260078 1 1 

9, 11 0,169433887 1 1 -1 

10, 10 1 1 1 1 

10, 11 -0,649360784 1 1 -0,420448967 

11, 11 -1 1 


1 1 

As tabelas para N até 19 imagens e para N=31 encontram-se no Apêndice A. 

175

176 



Nesta seção, como na anterior, as tabelas que serão apresentadas as 

equações foram encontradas resolvendo os modelos 87 e 88 ou o Modelo 89, 

usando o método Simplex com passo fixo constante igual a 1 o para rotação do 

ângulo do analisador . Devido ao tamanho serão descritas apenas as tabelas até N 

igual a 11 imagens. 



N=3 



(graus) 1, 1 -7,12318E-05 0,24954328 -0,485731932 0,296027339 

= 1, 2 0,000589304 -0,998781835 1 -1 

-45 1, 3 0,00016272 0,499695271 -0,006600166 0,403532557 

-44 2, 2 -0,001198172 0,999390922 -0,022954081 0,79004575 

-43 2, 3 0,000588662 -1 -1 -0,570362954 

3, 3 -7,09108E-05 0,250152363 0,515315187 0,08075036 




na Tabela 75. 



N=3 


Num -7,12318E-05 0,000589304 0,00016272 

b r,s -0,001198172 0,000588662 

θ -7,09108E-05 

(graus) Dem 0,24954328 -0,998781835 0,499695271 

= c r,s 0,999390922 -1 

-45 0,250152363 

-44 Num -0,485731932 1 -0,006600166 

-43 e r,s -0,022954081 -1 

0,515315187 

Dem 0,296027339 -1 0,403532557 


f r,s 0,79004575 -0,570362954 

0,08075036 




(arrendando para 4 casas decimais) como as equações 117 e 118 abaixo:

(117) 

(118) 



N=4 



(graus) 1, 1 0,482556541 0,50341764 0,498779854 0,391783724 

= 1, 2 -1 -1 -1 -1 

-45 1, 3 -0,993143857 -1 -1 1 

-44 1, 4 1 1 1 -0,773788875 

-43 2, 2 0,547766802 0,49029134 0,504271527 -0,509159364 

-42 2, 3 1 0,997610614 1 1 

2, 4 -1 -1 -0,996336759 0,988994919 

3, 3 0,443015802 0,512759095 0,491455629 -0,485338093 

3, 4 -1 -1 -1 -1 

4, 4 0,519811346 0,495921023 0,501832727 0,387507688 




na Tabela 77. 

177

178 



N=4 


Num 0,482556541 -1 -0,993143857 1 

b r,s 0,547766802 1 -1 

0,443015802 -1 

θ 0,519811346 

(graus) Dem 0,50341764 -1 -1 1 

= c r,s 0,49029134 0,997610614 -1 

-45 

0,512759095 -1 

-44 0,495921023 

-43 Num 0,498779854 -1 -1 1 

-42 e r,s 0,504271527 1 -0,996336759 


0,491455629 -1 

0,501832727 

Dem 0,391783724 -1 1 -0,773788875 

f r,s -0,509159364 1 0,988994919 


-0,485338093 -1 

0,387507688 




(119) 

(120)



N=5 



(graus) 1, 1 -0,256168741 1 1 0,476011323 

= 1, 2 1 -0,998768649 -1 -1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 1 

-44 1, 4 1 -0,652702754 -0,654922576 -0,116080801 

-43 1, 5 -0,542487418 1 1 -0,463453594 

-42 2, 2 -0,086849525 -0,841605173 -0,838218858 -1 

-41 2, 3 -1 1 1 1 

2, 4 -0,042844881 1 1 -1 

2, 5 1 -0,681591103 -0,673291902 0,611376589 

3, 3 1 1 1 1 

3, 4 -1 1 1 -0,06969925 

3, 5 -1 -1 -1 1 

4, 4 1 -0,825332321 -0,842581371 -1 

4, 5 -0,087510957 -1 -0,990972617 -1 

5, 5 0,015874193 1 1 0,561845736 




N=6 



(graus) 1, 1 -0,54633383 1 1 -0,519547807 

= 1, 2 1 -1 -0,03608679 1 

-45 1, 3 0,986503501 -1 -1 -0,719630522 

-44 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-43 1, 5 -1 -1 0,046244177 1 

-42 1, 6 1 1 1 -0,729020155 

-41 2, 2 -1 0,080564568 -1 1 

-40 2, 3 1 0,045579499 -1 0,042395696 

2, 4 1 1 1 -1 

2, 5 0,707469488 0,268964633 1 1 

2, 6 -0,775449656 1 -0,472951611 1 

3, 3 -1 1 1 -1 

3, 4 -1 1 1 1 

3, 5 1 -1 -1 1 

3, 6 -1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 1 1 -0,674902205 

4, 5 1 -1 0,017262046 -1 

4, 6 0,568921814 -1 -1 -1 

5, 5 1 0,081782805 0,445566635 1 

5, 6 -1 -0,476891505 -1 1 

6, 6 0,058923045 1 1 -0,399295008 


179

180 



N=7 



(graus) 1, 1 0,300805084 1 1 0,821498981 

= 1, 2 1 0,028273611 0,526936426 -1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -0,756205138 

-44 1, 4 0,316569248 -1 -1 -1 

-43 1, 5 1 -1 -1 1 

-42 1, 6 1 0,595182139 0,410808407 1 

-41 1, 7 -1 1 1 -0,926955702 

-40 2, 2 -1 -1 -1 1 

-39 2, 3 -1 0,786349571 -1 -1 

2, 4 1 -1 -0,574535345 -1 

2, 5 -1 -1 1 0,667636046 

2, 6 -1 -1 -1 1 

2, 7 -0,533901141 1 1 -1 

3, 3 -1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 1 

3, 5 1 1 1 1 

3, 6 1 0,962507565 -1 -1 

3, 7 1 -1 -1 1 

4, 4 -0,961580731 1 1 -1 

4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 -1 -1 0,095789943 -1 

4, 7 1 -1 -1 1 

5, 5 1 1 1 1 

5, 6 -0,44622834 -1 -1 -1 

5, 7 -1 -1 -1 -0,203310185 

6, 6 -1 -1 -1 1 

6, 7 -0,67557347 0,627687114 0,541091666 -1 

7, 7 1 1 1 0,397336 




N=8 



(graus) 1, 1 -0,471077505 1 1 0,91005205 

= 1, 2 1 1 1 -1 

-45 1, 3 -0,601640824 -1 -1 -1 

-44 1, 4 -1 -1 -1 1 

-43 1, 5 1 -1 -1 -0,939733232 

-42 1, 6 -1 -1 -1 1 

-41 1, 7 1 1 1 1 

-40 1, 8 -0,731669424 1 1 -1 

-39 2, 2 1 -0,561642112 -0,52317786 1 

-38 2, 3 -1 -1 -1 -1 

2, 4 1 -1 -1 1 

2, 5 -1 -1 -1 1 

2, 6 1 -1 -0,935211427 1 

2, 7 1 1 1 -1 

2, 8 1 1 1 -0,437709152 

3, 3 -1 0,60599085 0,515449033 -1 

3, 4 1 1 1 -1 

3, 5 -1 1 1 -1 

3, 6 -1 0,994541052 1 -1 

3, 7 -1 -1 -1 1 

3, 8 -1 -1 -1 1 

4, 4 1 1 1 -0,161053417 

4, 5 1 1 1 1 

4, 6 1 1 1 -1 

4, 7 -1 -1 -1 -1 

4, 8 0,67722661 -1 -1 -0,353415566 

5, 5 -1 1 1 1 

5, 6 -0,673404426 1 1 1 

5, 7 1 -1 -1 -1 

5, 8 -1 -1 -1 1 

6, 6 -1 0,397640531 0,360128743 1 

6, 7 1 -1 -1 1 

6, 8 -0,19921494 -1 -1 -1 

7, 7 1 -0,436530322 -0,416968027 -1 

7, 8 1 1 1 -1 

8, 8 -1 1 1 0,981859318 


181

182 



N=9 



(graus) 1, 1 -0,583712811 1 1 -0,493483419 

= 1, 2 1 1 1 1 

-45 1, 3 -0,524910875 -1 -1 1 

-44 1, 4 1 -1 -1 1 

-43 1, 5 1 -1 -1 1 

-42 1, 6 -1 -1 -1 -1 

-41 1, 7 -1 -1 -1 -1 

-40 1, 8 1 1 1 -1 

-39 1, 9 -0,228588768 1 1 -0,867230475 

-38 2, 2 -1 1 1 -1 

-37 2, 3 -1 -0,664224928 -1 -1 

2, 4 1 -1 -1 -1 

2, 5 1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 -1 -1 -1 

2, 7 -1 0,595750565 0,856667957 1 

2, 8 1 1 1 1 

2, 9 1 1 1 1 

3, 3 1 -1 -1 -1 

3, 4 1 -1 -0,127693989 1 

3, 5 -1 1 1 1 

3, 6 -1 1 1 1 

3, 7 0,508659881 1 -1 -1 

3, 8 -1 -1 0,18386434 1 

3, 9 1 -0,92404315 -1 1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 1 

4, 6 -1 1 1 1 

4, 7 1 1 1 -0,184667046 

4, 8 -1 -1 -1 -1 

4, 9 -1 -1 -1 1 

5, 5 -1 1 1 -1 

5, 6 1 1 1 1 

5, 7 -1 1 1 -1 

5, 8 -1 -1 -1 1 

5, 9 -0,122948956 -1 -1 -0,431169553 

6, 6 1 1 1 -1 

6, 7 1 -0,146978589 0,079323204 -1 

6, 8 -1 -1 -1 -1 

6, 9 -1 -1 -1 -1 

7, 7 1 -0,860503896 -1 -0,570109675 

7, 8 1 -1 -1 1 

7, 9 1 -1 -0,991723918 -0,453339831 

8, 8 1 1 1 1 

8, 9 -0,048063032 1 1 -1 

9, 9 -1 1 1 1 




N=10 



(graus) 1, 1 -1 1 1 -0,948957283 

= 1, 2 0,994098757 1 1 1 

-45 1, 3 1 0,197662107 -1 1 

-44 1, 4 1 -1 -1 -0,293537617 

-43 1, 5 -0,684975326 -1 -1 1 

-42 1, 6 1 -1 -1 1 

-41 1, 7 -1 -1 -1 -1 

-40 1, 8 1 1 1 -1 

-39 1, 9 -1 1 1 1 

-38 1, 10 -1 1 1 -0,609609309 

-37 2, 2 1 1 1 1 

-36 2, 3 -1 -1 -0,738646839 -1 

2, 4 -1 -1 -1 -1 

2, 5 -1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 -1 -1 -1 

2, 7 -1 -1 -1 -1 

2, 8 -0,366052946 -1 -1 1 

2, 9 1 1 1 1 

2, 10 1 1 1 1 

3, 3 -1 -1 -1 -1 

3, 4 -1 -1 1 -1 

3, 5 -0,759676972 0,170473442 1 1 

3, 6 1 -1 0,208842654 1 

3, 7 1 1 -1 1 

3, 8 1 1 -1 -1 

3, 9 1 -1 0,116648198 -1 

3, 10 1 -0,573910499 1 1 

4, 4 1 1 1 1 

4, 5 1 1 1 0,964944661 

4, 6 1 1 1 1 

4, 7 1 1 1 -1 

4, 8 -1 1 -1 1 

4, 9 -1 -1 -1 -1 

4, 10 -1 -1 -1 -1 

5, 5 1 1 1 -1 

5, 6 -1 1 1 -1 

5, 7 1 1 1 1 

5, 8 -1 1 -1 -1 

5, 9 -1 -1 -1 -1 

5, 10 1 -1 -1 -1 

6, 6 1 1 1 1 

6, 7 -1 1 1 1 

6, 8 -1 -1 1 -1 

6, 9 -1 -1 -1 -1 

6, 10 0,876606318 -1 -1 1 

7, 7 1 1 1 1 

7, 8 -1 0,474502587 1 -1 

7, 9 -1 -1 -1 -1 

7, 10 -1 -1 -1 1 

8, 8 -1 -1 -0,989783117 0,593260422 

8, 9 1 -1 -1 1 

8, 10 1 -0,268727638 -0,59626483 1 

9, 9 1 1 1 1 

9, 10 0,940790034 1 1 -1 

10, 10 -1 1 1 -0,706100874 


183

184 



N=11 



(graus) 1, 1 -1 1 1 0,667014434 

= 1, 2 0,108272862 1 1 -1 

-45 1, 3 1 -0,310180434 1 -1 

-44 1, 4 -1 -1 -1 -1 

-43 1, 5 -1 -1 -1 -1 

-42 1, 6 1 -1 -1 0,71453083 

-41 1, 7 1 -1 -1 -1 

-40 1, 8 -1 -1 -1 1 

-39 1, 9 1 0,404246274 0,696877893 1 

-38 1, 10 -0,900949543 1 1 -0,56106311 

-37 1, 11 -1 1 1 1 

-36 2, 2 1 1 1 1 

-35 2, 3 1 1 -1 1 

2, 4 -1 -1 -1 1 

2, 5 1 -1 -1 -1 

2, 6 -1 -1 -1 1 

2, 7 -1 -1 -1 -1 

2, 8 -1 -1 -1 1 

2, 9 -1 1 1 1 

2, 10 1 1 1 -1 

2, 11 1 1 1 -1 

3, 3 -1 -1 -1 1 

3, 4 1 -1 -1 1 

3, 5 1 -1 0,048536521 0,301615011 

3, 6 -0,249550364 -1 -1 -1 

3, 7 -1 -1 -1 1 

3, 8 -1 1 -0,049894952 -1 

3, 9 1 -1 1 -1 

3, 10 1 1 1 1 

3, 11 1 -0,177627268 -0,271431545 -1 

4, 4 -1 1 1 -1 

4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 -0,640168116 1 1 -1 

4, 7 1 1 1 1 

4, 8 -1 1 1 1 

4, 9 1 1 -1 1 

4, 10 -1 -1 -1 -1 

4, 11 1 -1 -1 -1 

5, 5 1 1 1 -1 

5, 6 1 1 1 -1 

5, 7 1 1 1 -1 

5, 8 1 1 1 -1 

5, 9 -1 -0,667649831 -1 1 

5, 10 -1 -1 -1 -1 

5, 11 1 -1 -1 1 

6, 6 -1 1 1 1 

6, 7 1 1 1 1 

6, 8 -1 1 1 1 

6, 9 -1 -1 -1 1 

6, 10 -1 -1 -1 -0,391955937 

6, 11 -0,994714367 -1 -1 1 

7, 7 1 1 1 -1 

7, 8 1 1 1 1 

7, 9 -1 -1 -1 1 

7, 10 -1 -1 -1 -1 

7, 11 1 -1 -1 1 

8, 8 -1 1 1 1 

8, 9 -1 -1 -1 -1 

8, 10 1 -1 -1 -1 

8, 11 -1 -1 -1 1 

9, 9 -1 -1 1 -1 

9, 10 1 1 0,577343411 1 

9, 11 1 -0,248788741 -1 -1 

10, 10 1 1 1 -1 

10, 11 0,678524734 1 1 -0,730141229 

11, 11 -1 1 


1 1

4.7.8 Equações com passo constante no ângulo do analisador ( ) e 

coeficientes inteiros 

Nesta, as tabelas apresentam as equações com coeficientes inteiros, usando 

Método de Branch-Bound com passo constante de rotação do analisador entre - 

e 

, a novidade vem do fato dos coeficientes das matrizes do numerador e 

denominador devem ser inteiros. Sendo assim, as restrições (2) e (3) dos modelos 

87 e 88 e (3) do Modelo 89 não podem ser mais usadas, pois só de ter a restrição de 

ser intero já uma grande limitação do algoritmo. Logo, as restrições dos coeficientes 

estarem entre -1 e 1 nos valores dos coeficientes das matrizes dos numeradores 

(cr,s; er,s) e denominadores (dr,s; fr,s) foram modificadas, alterando-se o intervalo de 

valores possíveis para os coeficientes, em cada execução do modelo, buscando 

sempre encontrar uma solução viável com os menores inteiros possíveis. Contudo 

aumenta em horas o tempo de processamento do algoritmo para encontrar as novas 

equações, por isso, será apresentado apenas as tabelas até N igual a sete imagens. 


com coeficientes inteiros. 

N=3 



(graus) 1, 1 -1 1 0 1 

= 1, 2 4 0 4 -4 

-45 1, 3 2 -2 0 2 

0 2, 2 -4 0 -4 4 

45 2, 3 4 0 4 -4 

3, 3 -1 1 0 1 




na Tabela 86. 

185

186 



N=3 


Num -1 4 2 

b r,s -4 4 

θ -1 

(graus) Dem 1 0 -2 

= c r,s 0 0 

-45 1 

0 Num 0 4 0 

45 e r,s -4 4 


Dem 1 -4 2 

f r,s 4 -4 




como as equações 121 e 122 abaixo: 

0 

1 

(121) 

(122)



N=4 



(graus) 1, 1 -1 2 0 1 

= 1, 2 2 -2 2 -2 

-45 1, 3 2 2 2 -2 

-15 1, 4 1 -2 -1 2 

15 2, 2 -1 -1 -2 1 

45 2, 3 -2 2 0 2 

2, 4 2 -2 2 -2 

3, 3 -1 -1 -2 1 

3, 4 2 2 2 -2 

4, 4 -1 0 0 1 




na Tabela 88. 



N=4 


Num -1 2 2 1 

b r,s -1 -2 2 

-1 2 

θ -1 

(graus) Dem 2 -2 2 -2 

= c r,s -1 2 -2 

-45 

-1 2 

-15 0 

15 Num 0 2 2 -1 

45 e r,s -2 0 2 


-2 2 

Dem 1 -2 -2 2 

f r,s 1 2 -2 


0 

1 -2 


numerador e do denominador das equações 83 e 84 que podem ser escritas como 

as equações 123 e 124 abaixo: 

1 

187

188 

(123) 

(124) 



N=5 



(graus) 1, 1 -1 2 1 0 

= 1, 2 2 -2 -1 0 

-45 1, 3 2 0 2 -1 

22,5 1, 4 2 0 0 -1 

0 1, 5 0 -2 -1 2 

22,5 2, 2 -2 0 -1 1 

45 2, 3 0 2 1 -1 

2, 4 0 0 2 0 

2, 5 2 0 0 -1 

3, 3 -2 0 -2 1 

3, 4 0 -2 -1 1 

3, 5 2 0 2 -1 

4, 4 -2 0 -1 1 

4, 5 2 2 1 -2 

5, 5 -1 0 0 1 


Reescrita na forma matricial das equações 85 e 86 a tabela anterior fica:



N=5 


Num -1 2 2 2 0 

b r,s -2 0 0 2 

-2 0 2 

-2 2 

θ Dem 2 -2 0 0 -2 

(graus) c r,s 0 2 0 0 

= 

-45 

-1 

0 -2 0 

0 2 

-35 0 

-25 Num 1 -1 2 0 -1 

-15 e r,s -1 1 2 0 

-5 


-2 -1 2 

-1 1 

Dem 0 0 -1 -1 2 

f r,s 1 -1 0 -1 


Na forma de equações as tabelas anteriores ficam: 

0 

1 1 -1 

1 -2 

1 

(125) 

189

190 

(126) 



N=6 



(graus) 1, 1 -2 1 0 2 

= 1, 2 2 2 2 -2 

-45 1, 3 2 -1 2 -2 

-27 1, 4 2 1 2 -2 

9 1, 5 2 -2 2 -2 

9 1, 6 1 -2 -3 4 

27 2, 2 -1 -1 -2 1 

45 2, 3 0 -2 0 0 

2, 4 0 2 0 0 

2, 5 -2 2 0 2 

2, 6 2 -2 2 -2 

3, 3 -1 1 -2 1 

3, 4 -2 -2 0 2 

3, 5 0 2 0 0 

3, 6 2 1 2 -2 

4, 4 -1 1 -2 1 

4, 5 0 -2 0 0 

4, 6 2 -1 2 -2 

5, 5 -1 -1 -2 1 

5, 6 2 2 2 -2 

6, 6 -2 1 0 2 





N=6 


Num -2 2 2 2 2 1 

b r,s 0 0 0 -2 2 

-1 -2 0 2 

-1 0 2 

-1 2 

θ Dem 1 2 -1 1 -2 -2 

(graus) c r,s -1 -2 2 2 -2 

= 

-45 

-27 

-2 

1 -2 2 1 

1 -2 -1 

-1 2 

-9 1 

9 Num 0 2 2 2 2 -3 

27 e r,s -2 0 0 0 2 

45 


-2 0 0 2 

-2 0 2 

-2 2 

Dem 2 -2 -2 -2 -2 4 

f r,s 1 0 0 2 -2 



1 2 0 -2 

0 

1 0 -2 

1 -2 

2 

(127) 

191

192 

(128) 



N=7 



(graus) 1, 1 -2 1 -2 2 

= 1, 2 0 0 2 0 

-45 1, 3 2 -1 2 -2 

-30 1, 4 2 2 0 -2 

-15 1, 5 2 -1 2 -2 

0 1, 6 0 0 2 0 

15 1, 7 2 -1 -2 2 

30 2, 2 1 0 2 -1 

45 2, 3 1 0 0 0 

2, 4 -1 0 -2 0 

2, 5 1 0 0 0 

2, 6 1 -2 0 2 

2, 7 0 0 2 0 

3, 3 -2 2 -2 2 

3, 4 -1 0 0 0 

3, 5 -1 -2 0 0 

3, 6 1 0 0 0 

3, 7 2 -1 2 -2 

4, 4 -2 -1 -1 2 

4, 5 -1 0 0 0 

4, 6 -1 0 -2 0 

4, 7 2 2 0 -2 

5, 5 -2 2 -2 2 

5, 6 1 0 0 0 

5, 7 2 -1 2 -2 

6, 6 1 0 2 -1 

6, 7 0 0 2 0 

7, 7 -2 1 -2 2 





N=7 


Num -2 0 2 2 2 0 2 

b r,s 1 1 -1 1 1 0 

-2 -1 -1 1 2 

-2 -1 -1 2 

-2 1 2 

1 0 

Dem 1 0 -1 2 -1 0 -1 

θ c r,s 0 0 0 0 -2 0 

(graus) 

= 

-45 

-30 

2 0 -2 0 -1 

-2 

-1 0 0 2 

2 0 -1 

0 0 

-15 1 

0 Num -2 2 2 0 2 2 -2 

15 e r,s 2 0 -2 0 0 2 

30 

45 


-2 0 0 0 2 

-1 0 -2 0 

-2 0 2 

2 2 

Dem 2 0 -2 -2 -2 0 2 

f r,s -1 0 0 0 2 0 



2 0 0 0 -2 

-2 

2 0 0 -2 

2 0 -2 

-1 0 

2 

193

194 

(129) 

(130) 

Não se viu, no presente trabalho, vantagens em utilizar coeficientes inteiros 

em vez de reais, pois a resolução do modelo matemático de otimização usando 

números reais se mostrou muito mais eficiente computacionalmente usando o 

Método Simplex e muito mais geral, não ficando restrito ao caso de passo constante 

do analisador entre - 

e 

. Além disso, os coeficientes reais ficam restritos ao 

intervalo de -1 a 1, evitando a propagação numérica de erros. Encontra-se uma 

maior quantidade de coeficientes iguais a zero, o que não é desejável, pois pode 

eliminar o uso de imagens de fase. Sobretudo, os computadores modernos realizam 

cálculos matemáticos em uma velocidade impressionante, não sendo expressiva a 

diferença de se trabalhar com números inteiros nas equações em vez de números 

reais. Mesmo atualmente, onde as câmeras fotográficas digitais comerciais já 

apresentam resolução gráfica acima de 12 megapixéis, e o cálculo de e deve ser 

feito pixel a pixel, não se observa um elevado aumento no tempo de processamento 

usando números reais nas equações de fotoelasticidade em comparação com o uso 

de equações com números inteiros.

4.7.9 Outras equações obtidas 

Uma vez obtida uma equação, como as descritas nos capítulos anteriores, 

pode-se executadar o programa novamente para que outra solução seja obtida. 

Como se trata de máximos locais e os valores de K, e α são aleatórios e diferentes 

para cada execução, basta rodar o programa de novo que, provavelmente, uma 

nova fórmula diferente será calculada. Se equações iguais começarem a aparecer, 

pode-se incluir alguma nova restrição para que diferentes coeficientes sejam 

encontrados. As tabelas a seguir mostram algumas equações obtidas com esse 

processo. 

TABELA 95 - Quatro equações encontradas para N (número de imagens) igual 

a 4 e com passo constante de -45 o a 45 o . 

N=4 Cálculo de α Cálculo de δ N=4 



θ r, s Num. (b) Den. (c) Num. (e) Den. (f) θ r, s Num. (b) Den. (c) Num. (e) Den. (f) 

(graus) 1, 1 0,3 -0,475 0,3 0,275 (graus) 1, 1 0,7 -0,5 0,333333 0,319444 

= 1, 2 -0,3 1 0,2 -0,9 = 1, 2 -1 1 0,111111 -1 

-45 1, 3 1 -1 1 -0,3 -45 1, 3 1 -1 1 -1 

-15 1, 4 -0,75 0,95 -0,9 1 -15 1, 4 -1 1 -0,944444 0,916667 

15 2, 2 -0,8 0,5 -1 1 15 2, 2 -0,7 -0,3 -1 1 

45 2, 3 1 -1 0,8 -0,8 45 2, 3 1 0,6 0,888889 0,888889 

2, 4 1 -1 1 -1 2, 4 0 -1 1 -1 

a) 3, 3 -1 0,5 -1 1 b) 3, 3 0,1 -0,3 -1 -0,777778 

3, 4 -0,1 1 0,2 -0,2 3, 4 -0,8 1 0,111111 0,777778 

4, 4 0,25 -0,475 0,3 -0,075 4, 4 0,4 -0,5 0,333333 -0,125 




(graus) 1, 1 0,333333 -0,486111 0,555 0,7225 (graus) 1, 1 0,707107 -0,5 -0,15 0,4875 

= 1, 2 -0,388889 1 -0,96 -1 = 1, 2 -1 1 1 -1 

-45 1, 3 1 -1 1 1 -45 1, 3 1 -1 0,9 -0,9 

-15 1, 4 -0,787037 0,972222 -1 -0,185 -15 1, 4 -1 1 -0,2125 1 

15 2, 2 -0,740741 0,5 -0,04 -0,76 15 2, 2 -0,718951 -0,328427 -0,425 0,5375 

45 2, 3 1 -1 0,52 1 45 2, 3 1 0,656854 -1 0,775 

2, 4 1 -1 1 -1 2, 4 -0,047379 -1 1 -1 

C) 3, 3 -1 0,5 -1 0,28 d) 3, 3 0,156854 -0,328427 -0,525 0,6375 

3, 4 -0,12963 1 0 -0,04 3, 4 -0,828427 1 1 -1 

4, 4 0,268519 -0,486111 0,315 -0,0175 4, 4 0,402369 -0,5 -0,125 0,4625 


195

196 



N=5 Cálculo de α 

Cálculo de δ N=5 



(graus) 1, 1 0,3 1 0,3 1 (graus) 1, 1 0,7 -0,517632 0,7 0,838909 

= 1, 2 -0,273674 -0,863576 -0,337258 -1 = 1, 2 -0,951607 1 -1 -1 

-45 1, 3 1 1 1 -0,385786 -45 1, 3 1 -0,974874 1 -1 

22,5 1, 4 1 0,156469 1 -1 22,5 1, 4 1 -1 1 -0,010051 

0 1, 5 -0,652882 -0,121593 -1 1 0 1, 5 -0,936837 0,777905 -1 1 

22,5 2, 2 -1 -1 0,652691 -0,784924 22,5 2, 2 -1 1 0,492893 -0,131371 

45 2, 3 0,541978 1 -1 1 45 2, 3 0,969483 0,292893 -0,614213 1 

2, 4 1 -1 0,723045 0,258579 2, 4 1 1 1 -1 

a) 2, 5 1 -1 1 -0,585786 b) 2, 5 1 -1 0,497056 -1 

3, 3 -1 0,5 -1 1 3, 3 -1 -1 -1 1 

3, 4 -1 -1 -1 0,868629 3, 4 -1 -1 -1 1 

3, 5 1 -0,085786 1 -1 3, 5 1 -0,06066 1 0,182843 

4, 4 -0,810281 1 -0,292893 -0,370711 4, 4 -0,98736 1 -0,292893 -0,614214 

4, 5 1 1 1 -1 4, 5 1 1 1 -1 

5, 5 -0,376129 -0,585514 -0,172792 1 5, 5 -0,278421 -0,517632 -0,241421 0,733883 




(graus) 1, 1 0,333333 -0,175754 0,333333 1 (graus) 1, 1 0,707107 -0,518581 0,707107 0,994796 

= 1, 2 -0,330169 1 -0,447715 -1 = 1, 2 -0,963652 1 -1 -1 

-45 1, 3 1 0,914214 1 -1 -45 1, 3 1 -0,974874 1 -0,050253 

22,5 1, 4 1 -1 1 -0,528596 22,5 1, 4 1 -1 1 -1 

0 1, 5 -0,676545 0,437294 -1 1 0 1, 5 -0,941882 0,779804 -1 0,868272 

22,5 2, 2 -1 -1 0,730796 -0,284518 22,5 2, 2 -1 1 0,464466 -1 

45 2, 3 0,577603 1 -1 1 45 2, 3 0,977079 0,292893 -0,585786 1 

2, 4 1 -1 0,700168 0,764298 2, 4 1 1 1 0,242641 

c) 2, 5 1 -1 1 -1 d) 2, 5 1 -1 0,485281 -1 

3, 3 -1 -0,914214 -1 0,166667 3, 3 -1 -1 -1 1 

3, 4 -1 1 -1 1 3, 4 -1 -1 -1 1 

3, 5 1 0,328427 1 -1 3, 5 1 -0,06066 1 -0,050253 

4, 4 -0,825037 1 -0,292893 0,048816 4, 4 -0,990506 1 -0,292893 -1 

4, 5 1 -1 1 -1 4, 5 1 1 1 -1 

5, 5 -0,367987 0,410033 -0,178511 0,833333 5, 5 -0,276685 -0,518581 -0,242641 0,994796 







(graus) 1, 1 0,3 1 0,3 1 (graus) 1, 1 0,7 1 0,7 1 

= 1, 2 -0,421749 -1 -1 -0,077254 = 1, 2 -1 -1 -1 -1 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 -45 1, 3 1 -1 1 -1 

-27 1, 4 1 1 -0,10154 -1 -27 1, 4 1 -0,37403 1 -1 

9 1, 5 1 -1 1 -1 9 1, 5 1 -1 1 1 

9 1, 6 -0,625903 -1 -1 1 9 1, 6 -0,938665 -1 -1 1 

27 2, 2 -1 1 1 -1 27 2, 2 -1 1 -0,035604 1 

45 2, 3 0,403715 1 0,557632 -0,168441 45 2, 3 0,581498 1 1 -0,972136 

2, 4 1 -0,124149 0,254853 1 2, 4 1 1 -1 -0,536475 

a) 2, 5 1 1 1 1 b) 2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 0,26099 0,932662 0,20922 2, 6 1 -1 0,490457 -0,314339 

3, 3 -1 -0,549613 -1 1 3, 3 -1 -0,66449 -1 1 

3, 4 -1 -1 -1 1 3, 4 -1 -0,176772 -0,158948 1 

3, 5 -0,495846 1 -1 -1 3, 5 -0,154302 1 -1 0,362712 

3, 6 1 -1 1 -1 3, 6 1 0,854102 1 -1 

4, 4 -1 -1 -0,939837 1 4, 4 -1 -1 -0,883181 1 

4, 5 -1 0,395408 -1 -1 4, 5 -1 -0,63881 -1 1 

4, 6 1 -0,827218 1 -1 4, 6 1 1 0,971045 -1 

5, 5 0,44951 1 1 0,654509 5, 5 0,058828 -1 1 -1 

5, 6 1 1 1 -0,618034 5, 6 1 0 1 -0,539763 

6, 6 -1 -0,155418 -0,717295 1 6, 6 -0,792967 1 -0,797295 1 




(graus) 1, 1 0,333333 1 0,333333 1 (graus) 1, 1 0,707107 1 0,707107 1 

= 1, 2 -0,477924 -1 -1 -0,077254 = 1, 2 -1 -1 -1 -1 

-45 1, 3 1 -0,870313 1 -1 -45 1, 3 1 -1 1 -1 

-27 1, 4 1 1 -0,041912 -1 -27 1, 4 1 -0,236068 1 -1 

9 1, 5 1 -1 1 -1 9 1, 5 1 -1 1 1 

9 1, 6 -0,637014 -1 -1 1 9 1, 6 -0,963455 -1 -1 1 

27 2, 2 -1 1 1 -1 27 2, 2 -1 1 -0,050489 1 

45 2, 3 0,434426 1 0,401523 -0,168441 45 2, 3 0,564211 1 1 -0,972136 

2, 4 1 0,165936 0,367815 1 2, 4 1 1 -1 -0,536475 

c) 2, 5 1 1 1 1 d) 2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 0,155917 0,862848 0,20922 2, 6 1 -1 0,481258 -0,314339 

3, 3 -1 -1 -1 1 3, 3 -1 -0,675804 -1 1 

3, 4 -1 -1 -1 1 3, 4 -1 -0,738561 -0,117807 1 

3, 5 -0,507577 1 -1 -1 3, 5 -0,096535 1 -1 0,362712 

3, 6 1 -1 1 -1 3, 6 1 0,854102 1 -1 

4, 4 -1 -1 -0,913171 1 4, 4 -1 -0,203668 -0,918636 1 

4, 5 -1 0,834064 -1 -1 4, 5 -1 -1 -1 1 

4, 6 1 -1 1 -1 4, 6 1 1 0,983758 -1 

5, 5 0,452752 1 1 0,654508 5, 5 0,005839 -1 1 -1 

5, 6 1 0,724415 1 -0,618034 5, 6 1 0 1 -0,539763 

6, 6 -1 -0,010019 -0,723962 1 6, 6 -0,767097 1 -0,798716 1 


197

198 







(graus) 1, 1 0,3 -0,252341 0,3 1 (graus) 1, 1 0,7 -0,498689 0,7 1 

= 1, 2 -1 1 -1 0,788675 = 1, 2 -1 1 -1 -0,690599 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 -45 1, 3 1 -1 1 -1 

-30 1, 4 1 0,136678 1 -1 -30 1, 4 1 1 1 -1 

-15 1, 5 1 -1 1 -1 -15 1, 5 1 -1 1 -1 

0 1, 6 1 -1 1 -0,154701 0 1, 6 1 -1 1 1 

15 1, 7 -1 -0,402955 -1 1 15 1, 7 -1 1 -1 1 

30 2, 2 -0,657964 1 1 -1 30 2, 2 -1 1 -0,124218 1 

45 2, 3 1 1 -0,261626 -1 45 2, 3 0,347721 1 1 -1 

2, 4 0,499431 -1 1 -0,732051 2, 4 1 0,464102 0,227688 -0,690599 

a) 2, 5 0,638021 1 -1 1 b) 2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 1 1 -1 2, 6 1 -1 -1 -1 

2, 7 1 -1 0,329618 0,943376 2, 7 0,40371 -1 -0,08334 1 

3, 3 -1 0,611818 -1 1 3, 3 -1 -1 -1 1 

3, 4 -1 -1 -0,055175 1 3, 4 -1 -1 -1 1 

3, 5 -1 1 -1 1 3, 5 -0,799666 1 -1 1 

3, 6 1 1 -1 0,154701 3, 6 1 -1 1 -0,511966 

3, 7 1 -1 1 -1 3, 7 1 -0,861649 1 -1 

4, 4 -1 -1 -1 1 4, 4 -1 -1 -1 1 

4, 5 -1 -1 -1 1 4, 5 -1 -0,267949 -1 1 

4, 6 0,696324 0,582274 0,122684 -1 4, 6 0,656909 1 1 0,267949 

4, 7 1 1 1 -1 4, 7 1 1 1 -1 

5, 5 -1 -1 0,198356 1 5, 5 -1 1 -0,777053 1 

5, 6 -1 1 1 -1 5, 6 -1 1 1 -1 

5, 7 1 -1 1 -1 5, 7 1 -0,942199 0,351289 -1 

6, 6 0,090855 1 -1 -1 6, 6 0,088873 -1 -1 -1 

6, 7 1 -0,675474 1 1 6, 7 1 1 1 0,625215 

7, 7 -1 1 -0,633857 1 7, 7 -1 0,106385 -0,294367 1 




(graus) 1, 1 0,333333 -0,254969 0,333333 1 (graus) 1, 1 0,707107 -0,50055 0,707107 1 

= 1, 2 -1 1 -1 0,57735 = 1, 2 -1 1 -1 -0,690599 

-45 1, 3 1 -1 1 -1 -45 1, 3 1 -1 1 -1 

-30 1, 4 1 0,137904 1 -1 -30 1, 4 1 1 1 -1 

-15 1, 5 1 -1 1 -1 -15 1, 5 1 -1 1 -1 

0 1, 6 1 -1 1 0,788675 0 1, 6 1 -1 1 1 

15 1, 7 -1 -0,398303 -1 1 15 1, 7 -1 1 -1 1 

30 2, 2 -0,756174 1 0,817483 -1 30 2, 2 -1 1 -0,139178 1 

45 2, 3 1 1 1 -1 45 2, 3 0,330626 1 1 -1 

2, 4 0,672176 -1 -1 0,57735 2, 4 1 0,464102 0,240881 -0,690599 

c) 2, 5 0,515338 1 0,985505 -1 d) 2, 5 1 1 1 -1 

2, 6 1 1 1 -1 2, 6 1 -1 -1 -1 

2, 7 1 -1 0,010297 1 2, 7 0,389232 -1 -0,088169 1 

3, 3 -1 0,610329 -1 1 3, 3 -1 -1 -1 1 

3, 4 -1 -1 -1 1 3, 4 -1 -1 -1 1 

3, 5 -1 1 -1 1 3, 5 -0,771263 1 -1 1 

3, 6 1 1 -1 -1 3, 6 1 -1 1 -0,511966 

3, 7 1 -1 1 -1 3, 7 1 -0,854206 1 -1 

4, 4 -1 -1 -1 1 4, 4 -1 -1 -1 1 

4, 5 -1 -1 -0,605662 1 4, 5 -1 -0,267949 -1 1 

4, 6 0,702279 0,584507 -0,847151 0,42265 4, 6 0,642459 1 1 0,267949 

4, 7 1 1 1 -1 4, 7 1 1 1 -1 

5, 5 -1 -1 1 1 5, 5 -1 1 -0,780861 1 

5, 6 -1 1 1 -1 5, 6 -1 1 1 -1 

5, 7 1 -1 1 -1 5, 7 1 -0,949642 0,356118 -1 

6, 6 0,088604 1 -1 -1 6, 6 0,091942 -1 -1 -1 

6, 7 1 -0,679468 1 0,633975 6, 7 1 1 1 0,625215 

7, 7 -1 1 -0,693805 1 7, 7 -1 0,108245 -0,295897 1 



a 4 e passo igual a 6 o . 




(graus) 1, 1 0,3 0,455342 0,3 0,487908 (graus) 1, 1 0,333333 0,455342 -0,020288 0,258368 

= 1, 2 -1 -1 -0,396571 -1 = 1, 2 -1 -1 0,7 -1 

-45 1, 3 1 -1 -1 1 -45 1, 3 0,775084 -1 -1 0,158318 

-39 1, 4 0,011859 0,997911 1 -0,638037 -39 1, 4 -0,130888 0,997911 0,823556 0,079226 

-33 2, 2 0,310231 0,635109 0,026515 -0,808576 -33 2, 2 0,018909 0,635109 -1 1 

-27 2, 3 -0,477618 1 0,914805 1 -27 2, 3 0,769946 1 0,976522 0,115263 

2, 4 -0,760518 -1 -1 0,618579 2, 4 -0,535602 -1 -1 -0,388843 

a) 3, 3 -0,043759 0,364891 0,674407 -0,000713 b) 3, 3 -1 0,364891 1 -1 

3, 4 1 -1 -1 -1 3, 4 1 -1 -0,752839 1 

4, 4 -0,336019 0,546747 0,484617 0,34084 4, 4 -0,226605 0,546747 0,275329 -0,222332 




(graus) 1, 1 0,12 0,455342 0,103659 0,268266 (graus) 1, 1 -0,12753 0,455342 -0,023435 0,258117 

= 1, 2 -0,024666 -1 0,333333 -1 = 1, 2 0,707107 -1 0,707107 -1 

-45 1, 3 0,820929 -1 -1 0,110974 -45 1, 3 -0,320527 -1 -1 0,15952 

-39 1, 4 -0,365235 0,997911 0,895046 0,101936 -39 1, 4 0,37048 0,997911 0,822486 0,078649 

-33 2, 2 -1 0,635109 -0,743556 1 -33 2, 2 -1 0,635109 -1 1 

-27 2, 3 -0,211145 1 1 0,148303 -27 2, 3 1 1 0,969416 0,114424 

2, 4 0,443218 -1 -1 -0,407581 2, 4 -1 -1 -1 -0,388368 

C) 3, 3 1 0,364891 1 -1 d) 3, 3 -0,211145 0,364891 1 -1 

3, 4 -1 -1 -0,974621 1 3, 4 0,852902 -1 -0,745006 1 

4, 4 0,221076 0,546747 0,389074 -0,221899 4, 4 -0,267109 0,546747 0,271696 -0,222343 


199

200 







(graus) 1, 1 0,3 0,939837 0,3 0,787909 (graus) 1, 1 0,045578 0,939837 0,7 0,814409 

= 1, 2 -0,224494 -1 0,343203 -1 = 1, 2 0,7 -1 -0,442822 -1 

-45 1, 3 0,580092 -1 -1 0,166985 -45 1, 3 -0,939973 -1 -1 -0,172212 

-39 1, 4 1 -0,399982 -1 1 -39 1, 4 1 -0,399982 -0,57676 1 

-33 1, 5 -0,672922 1 1 0,299046 -33 1, 5 -0,847897 1 1 -0,577398 

-27 2, 2 -1 -0,807472 -1 -1 -27 2, 2 -1 -0,807472 -1 -1 

-21 2, 3 -0,649164 1 0,775246 1 -21 2, 3 -0,143641 1 1 1 

2, 4 -1 1 1 -1 2, 4 1 1 1 -1 

a) 2, 5 1 -1 -0,215704 -1 b) 2, 5 1 -1 -0,562589 1 

3, 3 1 1 1 -0,575305 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 0,586716 1 3, 4 -1 1 0,614699 -1 

3, 5 -1 -1 -1 -1 3, 5 -0,726399 -1 -1 -1 

4, 4 -1 -0,929214 -1 1 4, 4 -1 -0,929214 -1 0,938863 

4, 5 0,761922 -0,80317 -0,773161 0,978087 4, 5 1 -0,803171 -0,714117 0,014478 

5, 5 -0,076777 1 1 -0,656722 5, 5 -0,069012 1 1 -0,01814 




(graus) 1, 1 0,185632 0,939837 0,333333 0,790033 (graus) 1, 1 0,042864 0,939837 0,707107 0,814837 

= 1, 2 0,333333 -1 0,265771 -1 = 1, 2 0,707107 -1 -0,456097 -1 

-45 1, 3 -0,665986 -1 -1 0,161237 -45 1, 3 -0,945283 -1 -1 -0,173151 

-39 1, 4 1 -0,333402 -1 1 -39 1, 4 1 -0,399982 -0,567199 1 

-33 1, 5 -0,895271 1 1 0,300197 -33 1, 5 -0,846978 1 1 -0,577153 

-27 2, 2 -1 -0,807472 -1 -1 -27 2, 2 -1 -0,807472 -1 -1 

-21 2, 3 -0,143641 1 0,862974 1 -21 2, 3 -0,143641 1 1 1 

2, 4 1 1 1 -1 2, 4 1 1 1 -1 

c) 2, 5 1 -1 -0,209341 -1 d) 2, 5 1 -1 -0,570793 1 

3, 3 1 1 1 -0,571414 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 -1 0,614943 0,52005 1 3, 4 -1 1 0,619189 -1 

3, 5 -0,726399 -1 -1 -1 3, 5 -0,726399 -1 -1 -1 

4, 4 -1 -0,413907 -1 1 4, 4 -1 -0,929214 -1 0,940348 

4, 5 1 -1 -0,75631 0,975366 4, 5 1 -0,803171 -0,713759 0,012763 

5, 5 -0,069012 1 1 -0,655417 5, 5 -0,069012 1 1 -0,017645 







(graus) 1, 1 0,3 1 0,3 0,660739 (graus) 1, 1 0,7 1 0,7 0,838951 

= 1, 2 0,227819 -1 0,59064 -1 = 1, 2 -0,644449 -1 -0,179714 -1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 -45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 4 -0,770764 -1 -1 1 -39 1, 4 0,254131 -1 -1 0,664132 

-33 1, 5 1 0,25986 1 -1 -33 1, 5 1 -0,110413 -0,46358 -1 

-27 1, 6 -1 1 1 1 -27 1, 6 -1 1 1 0,049551 

-21 2, 2 -1 -0,303761 -1 1 -21 2, 2 -1 -0,649579 -1 1 

-15 2, 3 1 1 0,898078 1 -15 2, 3 1 1 0,657105 -1 

2, 4 1 -1 -1 -1 2, 4 1 1 1 -1 

a) 2, 5 1 1 -1 0,571046 b) 2, 5 -1 -1 -0,109285 1 

2, 6 0,308783 -0,414799 0,401093 -1 2, 6 0,863341 0,607542 1 1 

3, 3 1 1 1 -0,985261 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 -0,412875 1 1 -1 3, 4 0,462922 1 1 1 

3, 5 -1 -1 -1 0,083842 3, 5 -1 -1 -1 -1 

3, 6 1 -1 -1 0,413694 3, 6 1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 1 1 1 4, 4 -1 1 1 1 

4, 5 -1 0,524488 1 1 4, 5 -1 0,076807 -1 -0,79784 

4, 6 1 -1 -1 -1 4, 6 1 -1 -1 1 

5, 5 -1 -1 -0,779009 1 5, 5 -1 -1 -1 -1 

5, 6 0,22027 -0,065788 -0,354147 -1 5, 6 0,342235 0,075644 0,456548 -0,022446 

6, 6 0,182956 1 1 0,255941 6, 6 0,07801 1 1 0,267652 




(graus) 1, 1 0,333333 1 0,333333 0,663667 (graus) 1, 1 0,707107 1 0,707107 0,839405 

= 1, 2 0,025485 -1 0,523364 -1 = 1, 2 -0,657434 -1 -0,193927 -1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 -45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 4 -0,18919 -1 -1 1 -39 1, 4 0,262723 -1 -1 0,66279 

-33 1, 5 1 -0,110413 1 -1 -33 1, 5 1 -0,110413 -0,457767 -1 

-27 1, 6 -0,944406 1 1 1 -27 1, 6 -1 1 1 0,049936 

-21 2, 2 -1 -0,649579 -1 1 -21 2, 2 -1 -0,649579 -1 1 

-15 2, 3 1 1 0,944122 1 -15 2, 3 1 1 0,666511 -1 

2, 4 1 1 -1 -1 2, 4 1 1 1 -1 

c) 2, 5 -1 -1 -1 0,560682 d) 2, 5 -1 -1 -0,11807 1 

2, 6 1 0,607542 0,402688 -0,990053 2, 6 0,858949 0,607542 1 1 

3, 3 1 1 1 -1 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 0,462922 1 1 -1 3, 4 0,462922 1 1 1 

3, 5 -1 -1 -1 0,121399 3, 5 -1 -1 -1 -1 

3, 6 1 -1 -1 0,387897 3, 6 1 -1 -1 -1 

4, 4 -1 1 1 1 4, 4 -1 1 1 1 

4, 5 -1 0,076807 1 1 4, 5 -1 0,076807 -1 -0,796043 

4, 6 1 -1 -1 -1 4, 6 1 -1 -1 1 

5, 5 -1 -1 -0,823125 1 5, 5 -1 -1 -1 -1 

5, 6 0,205576 0,075644 -0,323359 -1 5, 6 0,346627 0,075644 0,457299 -0,024928 

6, 6 0,16247 1 1 0,25641 6, 6 0,075296 1 1 0,268841 


201

202 







(graus) 1, 1 0,3 1 0,3 -0,209511 (graus) 1, 1 0,7 1 0,7 0,320084 

= 1, 2 0,123411 0,148994 1 1 = 1, 2 -1 0,155248 0,48125 0,279798 

-45 1, 3 -1 -1 -1 0,665849 -45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 4 1 -1 -1 -1 -39 1, 4 -0,185664 -1 -1 -1 

-33 1, 5 -1 -1 -1 -1 -33 1, 5 1 -1 -1 -1 

-27 1, 6 1 1 1 -1 -27 1, 6 1 1 1 -1 

-21 1, 7 -0,029178 1 1 1 -21 1, 7 -1 1 1 1 

-15 2, 2 -1 -1 -0,251439 1 -15 2, 2 0,034299 -1 -1 1 

-9 2, 3 1 -1 -1 -1 -9 2, 3 1 -1 -0,714826 1 

2, 4 -1 0,961134 -1 -1 2, 4 -1 0,256008 1 1 

a) 2, 5 1 -1 0,270447 -1 b) 2, 5 -0,996472 1 -1 -1 

2, 6 0,518348 1 1 -0,926396 2, 6 1 -1 0,54818 -1 

2, 7 -1 -0,390132 0,52662 1 2, 7 0,366498 0,256479 1 1 

3, 3 1 1 1 -1 3, 3 1 1 1 -1 

3, 4 1 1 1 1 3, 4 1 1 1 -1 

3, 5 -1 1 1 1 3, 5 -1 1 1 0,642676 

3, 6 1 -1 -1 1 3, 6 -1 -1 -1 1 

3, 7 1 -1 -1 0,400428 3, 7 1 -1 -1 0,731782 

4, 4 -1 1 1 1 4, 4 1 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 1 4, 5 -1 1 1 1 

4, 6 -0,677795 -1 -1 0,12632 4, 6 -1 -0,83457 -1 -1 

4, 7 -0,092115 -1 -1 -1 4, 7 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 -0,647284 1 5, 5 -1 1 -0,969845 1 

5, 6 -1 -1 -1 -1 5, 6 -1 -1 -1 0,412117 

5, 7 1 -1 -1 -1 5, 7 1 -1 -1 -1 

6, 6 1 -0,583171 -0,005111 -1 6, 6 -0,137347 -0,833164 0,154658 -1 

6, 7 1 0,863174 1 -0,056691 6, 7 1 1 1 -0,386456 

7, 7 -0,97609 1 1 1 7, 7 -0,614732 1 1 1 




(graus) 1, 1 0,333333 1 0,333333 0,879871 (graus) 1, 1 0,707107 1 0,707107 -0,060607 

= 1, 2 0,856084 -1 1 -1 = 1, 2 -1 0,155248 0,82938 1 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 -45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-39 1, 4 -1 -1 -1 -1 -39 1, 4 -0,178074 -1 -1 -1 

-33 1, 5 1 -1 -1 -1 -33 1, 5 1 -1 -1 -1 

-27 1, 6 1 1 1 -0,875525 -27 1, 6 1 1 1 -1 

-21 1, 7 -1 1 1 1 -21 1, 7 -1 1 1 1 

-15 2, 2 -1 1 -0,398226 1 -15 2, 2 0,01482 -1 -1 1 

-9 2, 3 -1 -0,656783 -1 1 -9 2, 3 1 -1 -1 1 

2, 4 1 -1 -1 1 2, 4 -1 0,256008 -0,757545 -1 

c) 2, 5 0,308528 -0,364763 1 -1 d) 2, 5 -0,985505 1 1 -0,020857 

2, 6 1 1 0,037979 -1 2, 6 1 -1 1 -0,14249 

2, 7 -0,160448 -0,258457 0,886624 1 2, 7 0,359409 0,256479 0,238665 1 

3, 3 1 1 1 1 3, 3 1 1 1 -1 

3, 4 1 1 1 -1 3, 4 1 1 1 1 

3, 5 -1 1 1 -1 3, 5 -1 1 1 -1 

3, 6 -1 -1 -1 1 3, 6 -1 -1 -1 -1 

3, 7 1 -1 -1 1 3, 7 1 -1 -1 0,749142 

4, 4 0,542283 1 1 1 4, 4 1 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 1 4, 5 -1 1 1 1 

4, 6 -1 -1 -1 -1 4, 6 -1 -0,83457 -1 1 

4, 7 1 -1 -1 -0,777456 4, 7 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 -0,674165 0,683017 5, 5 -1 1 -0,975576 1 

5, 6 -1 -1 -1 -1 5, 6 -1 -1 -1 -0,091126 

5, 7 1 -1 -1 -0,694262 5, 7 1 -1 -1 -1 

6, 6 -0,104719 -0,583171 0,008203 1 6, 6 -0,135615 -0,833164 0,157497 -1 

6, 7 1 0,863174 1 -1 6, 7 1 1 1 -0,434061 

7, 7 -0,608481 1 1 0,784355 7, 7 -0,615562 1 1 1 







(graus) 1, 1 0,3 0,469154 0,3 -0,175233 (graus) 1, 1 -0,124171 0,469154 -0,018592 -0,21798 

= 1, 2 -1 -1 -0,398929 0,745678 = 1, 2 0,7 -1 0,7 0,849401 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 -45 1, 3 -0,33069 -1 -1 -1 

-40 1, 4 0,029955 0,999018 1 -0,097539 -40 1, 4 0,360331 0,999018 0,806706 -0,104006 

-35 2, 2 0,307748 0,593058 0,0839 -0,330018 -35 2, 2 -1 0,593058 -1 -0,399344 

-30 2, 3 -0,518786 1 0,748505 1 -30 2, 3 1 1 0,973488 1 

2, 4 -0,838159 -1 -1 1 2, 4 -1 -1 -1 1 

a) 3, 3 0,067445 0,406942 0,811559 -0,542821 b) 3, 3 -0,143594 0,406942 1 -0,525357 

3, 4 1 -1 -1 -1 3, 4 0,792531 -1 -0,712707 -1 

4, 4 -0,346238 0,531828 0,456705 0,399933 4, 4 -0,252443 0,531828 0,252134 0,397286 




(graus) 1, 1 -0,000698 0,468663 0,554958 -0,200066 (graus) 1, 1 -0,126564 0,469154 0,553116 -0,218433 

= 1, 2 0,333333 -1 -1 0,805934 = 1, 2 0,707107 -1 -1 0,8505 

-45 1, 3 0,035976 -1 0,333333 -1 -45 1, 3 -0,337797 -1 0,707107 -1 

-40 1, 4 0,236859 1 0,42502 -0,101296 -40 1, 4 0,362724 0,999018 0,230876 -0,104075 

-35 2, 2 -1 0,597388 -0,745535 -0,370291 -35 2, 2 -1 0,593058 -1 -0,400079 

-30 2, 3 1 0,99134 1 1 -30 2, 3 1 1 0,966381 1 

2, 4 -1 -1 -1 1 2, 4 -1 -1 -1 1 

C) 3, 3 -0,143593 0,411272 1 -0,532675 d) 3, 3 -0,143594 0,406942 1 -0,525172 

3, 4 0,79253 -1 -0,926966 -1 3, 4 0,792531 -1 -0,70512 -1 

4, 4 -0,252443 0,531337 0,360517 0,398395 4, 4 -0,252443 0,531828 0,248663 0,397258 


203

204 







(graus) 1, 1 0,3 0,993032 0,3 0,412253 (graus) 1, 1 0,7 0,915809 0,7 0,478682 

= 1, 2 0,04864 -1 -0,231923 -1 = 1, 2 -1 -1 -0,415911 -1 

-45 1, 3 -0,484024 -1 -1 -1 -45 1, 3 0,164698 -1 -1 -0,4903 

-40 1, 4 1 -0,367374 -0,878954 0,801349 -40 1, 4 1 -0,1693 -0,717126 1 

-35 1, 5 -1 1 1 -0,289712 -35 1, 5 -1 1 1 -0,514734 

-30 2, 2 -1 -0,946033 0,110986 1 -30 2, 2 -1 -0,713005 -1 1 

-25 2, 3 -0,178691 1 1 1 -25 2, 3 0,071195 1 1 -1 

2, 4 1 1 -1 -1 2, 4 1 1 1 -1 

a) 2, 5 0,476075 -1 0,505984 1 b) 2, 5 0,787422 -1 -0,516198 1 

3, 3 1 1 1 -0,028165 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 -0,784565 1 1 -1 3, 4 -1 -0,639198 0,754283 0,769118 

3, 5 1 -1 -1 -1 3, 5 -0,628589 -1 -1 -1 

4, 4 -1 -0,734423 -0,798727 0,473719 4, 4 -1 0,876104 -1 -1 

4, 5 -1 -0,945201 -1 1 4, 5 1 -1 -0,796726 0,858174 

5, 5 0,631278 1 1 -0,369444 5, 5 -0,086816 0,72959 1 -0,10094 




(graus) 1, 1 0,333333 0,993032 0,333333 0,412975 (graus) 1, 1 0,707107 0,936505 0,707107 0,478983 

= 1, 2 -0,039123 -1 0,269802 -1 = 1, 2 -1 -1 -0,429202 -1 

-45 1, 3 -0,674869 -1 -1 -1 -45 1, 3 -0,001784 -1 -1 -0,491016 

-40 1, 4 1 -0,312575 -0,948746 0,795678 -40 1, 4 1 1 -0,707794 1 

-35 1, 5 -0,194792 1 1 -0,286805 -35 1, 5 -0,335327 0,08735 1 -0,514621 

-30 2, 2 -1 -0,946033 -1 1 -30 2, 2 -1 -1 -1 1 

-25 2, 3 1 1 1 1 -25 2, 3 1 0,793736 1 -1 

2, 4 1 0,892067 0,3422 -1 2, 4 1 1 1 -1 

c) 2, 5 -1 -1 -0,096255 1 d) 2, 5 -1 -1 -0,524338 1 

3, 3 -1 1 1 -0,024307 3, 3 -1 1 1 1 

3, 4 0,710232 1 1 -1 3, 4 0,887654 -1 0,759058 0,769847 

3, 5 0,19107 -1 -1 -1 3, 5 0,055256 0,140877 -1 -1 

4, 4 -1 -0,62649 -1 0,471398 4, 4 -1 0,478463 -1 -1 

4, 5 1 -1 -0,892888 1 4, 5 1 -1 -0,796493 0,857428 

5, 5 -0,317139 1 1 -0,368939 5, 5 -0,30832 0,563069 1 -0,10062 







(graus) 1, 1 0,3 1 0,3 1 (graus) 1, 1 0,7 1 0,7 1 

= 1, 2 -0,125197 -0,531563 0,680797 -0,641265 = 1, 2 -0,85241 -0,531563 0,374884 -0,829721 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 -45 1, 3 1 -1 -1 -1 

-40 1, 4 -1 -1 -1 -0,209964 -40 1, 4 -1 -1 -1 1 

-35 1, 5 1 1 -0,480177 1 -35 1, 5 1 0,412706 1 -0,705674 

-30 1, 6 -0,817601 1 1 0,069289 -30 1, 6 -1 1 1 -0,813643 

-25 2, 2 -1 -1 -1 -1 -25 2, 2 -1 -1 -1 -1 

-20 2, 3 -1 1 0,058444 1 -20 2, 3 -1 1 -1 1 

2, 4 0,239637 -1 1 -1 2, 4 0,947005 -1 1 -1 

a) 2, 5 1 0,08344 -1 1 b) 2, 5 1 1 -0,977303 1 

2, 6 1 -0,584163 1 -1 2, 6 0,897495 -0,584163 -0,300868 1 

3, 3 1 1 1 1 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 1 3, 4 1 1 1 1 

3, 5 -1 -1 0,292672 -1 3, 5 -1 -1 0,248163 -1 

3, 6 -1 -1 -1 -0,62999 3, 6 -0,864633 -1 -1 1 

4, 4 -1 1 1 -1 4, 4 -1 1 1 -1 

4, 5 -1 0,74168 -1 0,957032 4, 5 -1 0,989768 -1 1 

4, 6 0,346849 -1 -1 1 4, 6 1 -1 -1 -0,722258 

5, 5 0,626561 0,290607 -1 -1 5, 5 -0,439947 -1 0,981057 -0,970083 

5, 6 1 -1 0,172312 1 5, 6 1 -0,286748 -1 -0,95862 

6, 6 -0,545134 1 1 -0,545102 6, 6 -0,362394 1 1 1 




(graus) 1, 1 0,333333 1 0,333333 1 (graus) 1, 1 0,707107 1 0,707107 0,997036 

= 1, 2 -0,185798 -0,531563 0,61413 -0,638768 = 1, 2 -1 -0,528382 0,363602 -1 

-45 1, 3 1 -1 -1 -1 -45 1, 3 1 -1 -1 -1 

-40 1, 4 -1 -1 -1 -0,215595 -40 1, 4 0,977039 -1 -1 0,707773 

-35 1, 5 1 1 -0,471203 1 -35 1, 5 1 0,421082 1 -1 

-30 1, 6 -0,835112 1 1 0,072407 -30 1, 6 -0,565305 1 1 -0,124787 

-25 2, 2 -1 -1 -1 -1 -25 2, 2 -1 -1 -1 -1 

-20 2, 3 -1 1 0,102661 1 -20 2, 3 -1 0,989768 -1 1 

2, 4 0,298584 -1 1 -1 2, 4 -1 -1 1 1 

c) 2, 5 1 0,08344 -1 1 d) 2, 5 -0,752604 1 -0,956841 -1 

2, 6 1 -0,584163 1 -1 2, 6 1 -0,592539 -0,308586 1 

3, 3 1 1 1 1 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 1 3, 4 1 1 1 1 

3, 5 -1 -1 0,267292 -1 3, 5 -1 -1 0,236598 -1 

3, 6 -1 -1 -1 -0,634721 3, 6 -1 -1 -1 1 

4, 4 -1 1 1 -1 4, 4 -0,897609 1 1 -0,106282 

4, 5 -1 0,74168 -1 0,962266 4, 5 1 1 -1 -1 

4, 6 0,406893 -1 -1 1 4, 6 -0,689953 -1 -1 -0,515672 

5, 5 0,537685 0,290607 -1 -1 5, 5 1 -1 0,984086 -1 

5, 6 1 -1 0,177992 1 5, 6 1 -0,28993 -1 1 

6, 6 -0,530471 1 1 -0,545589 6, 6 -0,75356 1 1 0,041933 


205

206 







(graus) 1, 1 0,3 1 0,3 1 (graus) 1, 1 0,7 1 0,7 1 

= 1, 2 -0,51757 0,476213 1 -0,110416 = 1, 2 -1 0,476213 0,849502 -0,422426 

-45 1, 3 -1 -1 -1 -1 -45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-40 1, 4 -1 -1 -1 -1 -40 1, 4 0,272759 -1 -1 -1 

-35 1, 5 1 -1 -1 -1 -35 1, 5 1 -1 -1 -1 

-30 1, 6 0,127792 0,550247 1 0,064461 -30 1, 6 1 0,717209 1 -0,943103 

-25 1, 7 -0,624598 1 1 -0,000608 -25 1, 7 -0,961517 1 1 1 

-20 2, 2 1 -1 -0,280354 -1 -20 2, 2 -0,215692 -1 -1 -1 

-15 2, 3 -1 -1 -1 1 -15 2, 3 1 -1 -1 1 

2, 4 1 -1 -0,2241 1 2, 4 -1 -1 -0,583727 1 

a) 2, 5 1 1 -1 1 b) 2, 5 -1 1 1 1 

2, 6 -1 1 0,215418 1 2, 6 -1 1 -0,80584 -1 

2, 7 1 -0,480625 1 1 2, 7 1 -0,480625 1 0,569888 

3, 3 1 1 1 1 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 -1 3, 4 1 1 1 0,601457 

3, 5 -1 1 1 1 3, 5 -1 1 1 1 

3, 6 -1 -0,519254 -1 -1 3, 6 -1 -1 -1 -1 

3, 7 1 -1 -1 -1 3, 7 1 -1 -1 0,961692 

4, 4 0,462504 1 1 -1 4, 4 0,761267 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 -1 4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 -1 -1 -1 -0,57647 4, 6 -1 -1 -1 -1 

4, 7 1 -1 -1 -1 4, 7 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 0,96629 1 5, 5 -1 1 0,684385 -1 

5, 6 -1 -1 -1 1 5, 6 -1 -0,519254 -1 -1 

5, 7 1 -1 -1 0,574786 5, 7 1 -1 -1 1 

6, 6 1 -1 -0,89862 1 6, 6 -1 -1 -0,763162 1 

6, 7 -0,74936 0,973419 1 -1 6, 7 0,666025 0,806457 1 1 

7, 7 0,072758 1 1 0,048247 7, 7 -0,151316 1 1 -0,767508 




(graus) 1, 1 0,333333 1 0,333333 -0,211571 (graus) 1, 1 0,707107 1 0,707107 1 

= 1, 2 -0,254696 0,476213 1 1 = 1, 2 -1 0,476213 0,837418 -0,422271 

-45 1, 3 -1 -1 -1 1 -45 1, 3 -1 -1 -1 -1 

-40 1, 4 -0,558513 -1 -1 -0,581311 -40 1, 4 0,286541 -1 -1 -1 

-35 1, 5 1 -1 -1 -1 -35 1, 5 1 -1 -1 -1 

-30 1, 6 1 0,717209 1 -1 -30 1, 6 1 0,717209 1 -0,945215 

-25 1, 7 -1 1 1 1 -25 1, 7 -0,965053 1 1 1 

-20 2, 2 1 -1 -0,384739 -1 -20 2, 2 -0,237791 -1 -1 -1 

-15 2, 3 -1 -1 -1 -1 -15 2, 3 1 -1 -1 1 

2, 4 -1 -1 -0,114068 1 2, 4 -1 -1 -0,575029 1 

c) 2, 5 -1 1 -1 -1 d) 2, 5 -1 1 1 1 

2, 6 1 1 0,188852 -1 2, 6 -1 1 -0,806915 -1 

2, 7 -0,157694 -0,480625 1 0,796407 2, 7 1 -0,480625 1 0,573485 

3, 3 1 1 1 1 3, 3 1 1 1 1 

3, 4 1 1 1 1 3, 4 1 1 1 0,602161 

3, 5 1 1 1 -1 3, 5 -1 1 1 1 

3, 6 -1 -1 -1 1 3, 6 -1 -1 -1 -1 

3, 7 1 -1 -1 1 3, 7 1 -1 -1 0,959177 

4, 4 0,946741 1 1 0,742159 4, 4 0,767948 1 1 1 

4, 5 -1 1 1 -1 4, 5 1 1 1 -1 

4, 6 -1 -1 -1 -1 4, 6 -1 -1 -1 -1 

4, 7 1 -1 -1 -1 4, 7 1 -1 -1 -1 

5, 5 -1 1 0,942798 1 5, 5 -1 1 0,679376 -1 

5, 6 -1 -0,519254 -1 1 5, 6 -1 -0,519254 -1 -1 

5, 7 1 -1 -1 -1 5, 7 1 -1 -1 1 

6, 6 -0,939254 -1 -0,887332 0,577578 6, 6 -1 -1 -0,760755 1 

6, 7 1 0,806457 1 -1 6, 7 0,660856 0,806457 1 1 

7, 7 -0,29839 1 1 0,676739 7, 7 -0,148082 1 1 -0,767337 


Destaca-se que estas equações são importantes resultados inéditos e 

originais alcançados neste estudo, sendo uma nova metodologia para aplicação da 

Técnica Fotoelástica com deslocamento de fase, rotacionando apenas o analisador 

e aplicando uma técnica numérica em vez das técnicas algébricas usuais. Mais à 

frente, no Capítulo 6, será feita uma análise estatística de erros sobre as mesmas. 

Outras equações de cálculo, com mais imagens, podem ser encontradas no 

Apêndice A. 

Tentou-se neste estudo obter equações que utilizassem no cálculo uma maior 

quantidade de imagens uma vez que cada fotografia representa uma observação da 

amostra e uma medição das tensões no objeto. Com um numero maior de 

observações objetiva-se ter uma menor incerteza nas medidas e uma menor 

influência de erros aleatórias nos resultados. Esse objetivo foi atingido com as novas 

equações deduzidas. 

O uso de função objetiva para maximizar os coeficientes é que eles não 

devam ser iguais a zero, pois isso eliminaria imagens do cálculo de fases. Limitou-se 

nas restrições que os coeficientes tivessem valores maiores que -1 e menores que 

1, para evitar a propagação numérica dos erros. Tentativas de usar a função objetiva 

minimizando os coeficientes resultaram em vários coeficientes com valores iguais a 

zero, o que era indesejável no estudo. Usando o Método Simplex no modelo 

matemático para obter os coeficientes obteve-se um máximo global. Neste caso, 

este máximo representa coeficientes com valores absolutos maiores que zero e 

menores ou iguais a um. Coeficientes também muito próximos de zero praticamente 

eliminaria a imagem no cálculo de fase o que também é indesejável no estudo. 

Outras restrições podem ser impostas ao modelo matemático com o objetivo 

de obter equações de cálculo de fase diferentes dos aqui citados. Ou seja, o modelo 

matemático de otimização proposto na tese obteve sucesso em alcançar novas 

equações de calculo de fase com qualquer número de imagens. E obteve-se 

também diferentes equações para o mesmo número de imagens impondo-se 

restrições a valores de alguns dos coeficientes a serem obtidos. 

O modelo numérico de otimização para obtenção das equações de cálculo de 

fase evita uma extenso trabalho analítico e trigonométrico que seria necessário para 

encontrar os seus coeficientes. Como se tem um modelo de programação linear, 

além disso, tem-se um processamento rápido para se obter as equações, mesmo 

para um grande número de imagens. Esse processamento demandou questões de 

207

208 

apena alguns segundos usando atuais microcomputadores com processadores 

Pentium/Intel, não sendo necessário elevados tempos de processamento na 

execução do modelo de otimização e obtendo novas equações satisfatórias. 

Independente do sucesso obtido com este funcional de maximização do 

modelo matemático, acredita-se que diferentes funcionais possam também serem 

bem sucedidos não sendo no entanto testados nesta tese. O que se destaca aqui é 

a vantagem dos métodos numéricos em relação a métodos analíticos e 

trigonométricos usados até então por outros autores no desenvolvimento de 

estudos sobre fotoelasticidade. Por tanto, considera-se uma inovação interessante 

da tese em usar métodos numéricos de otimização para se obter as equações de 

cálculo de fase e ainda métodos de alta eficiência e baixo custo computacional como 

o Simplex. 

Obteve-se então neste estudo um novo caminho para se obter equações de 

cálculo de fase para praticamente qualquer número de imagens mesmo que este 

numero seja grande. Logo, tem-se uma nova metodologia para a obtenção de 

equações que possam ser usadas em fotoelasticidade. Acredita-se ser uma boa 

ideia usar modelos matemáticos de otimização semelhantes ao descrito na tese em 

outras situações de interferometria ótica com o objetivo de se obter equações de 

cálculo de deslocamento de fase em situações diferentes da fotoelasticidade. 

4.8 Testes das equações obtidas 

Uma vez obtidas as novas equações de cálculo α e , passa-se à realização 

vários testes com as mesmas, com o objetivo de verificar se podem ser usadas, e se 

não apresentam erros ou falhas. Neste estudo, são propostos quatro testes para 

avaliar as equações. 

O primeiro teste é uma verificação numérica matemática onde são atribuídos 

valores aleatórios a K (constante proporcional da intensidade máxima de luz 

emergindo do analisador), (retardo no modelo fotoelástico dado pelas franjas 

isocromáticas) e α (ângulo entre a direção σ1 e o eixo de referência horizontal), e 

então, é utilizada a Equação 68 para calcular os valores de Ij (intensidade luminosa) 

onde j=1,2,3,..N e N é o número de imagens. Uma vez obtido Ij, usam-se as novas

equações em teste para calcular α e e comparar com o valor de α e escolhido 

aleatoriamente. 

No segundo teste, são geradas no computador imagens de tensões pelo 

modelo matemático de análise analítica baseado no método fotoelástico para um 

dado objeto com dimensões conhecidas como, por exemplo, um disco circular. A 

forma como as imagens são geradas é detalhada no Capítulo 5. Usa-se um 

programa desenvolvido em MatLab® (da MathWorks, Inc.) 3 , que processa essas 

imagens aplicando as técnicas fotoelásticas. Esse software foi feito e testado usando 

a Técnica Fotoelástica para 8 imagens, mas modificado para usar N imagens e as 

novas equações desenvolvidas para retornar as tensões dos objetos. Essas tensões 

são então comparadas com as tensões conhecidas, e é aplicado uma tolerância de 

10% no erro das mesmas. A ideia é verificar se as novas equações funcionam de 

forma semelhante à Técnica de Fotoelástica. Vale notar que as imagens geradas 

têm entre 0,3 a 5 megapixéis. 

No terceiro teste, as imagens geradas no computador são acrescentadas de 

erros aleatórios e ruídos que, normalmente são encontrados em fotografias reais. 

Como estes erros são gerados nas imagens, são detalhados no Capítulo 5 desta 

tese, e podem ser encontrados em Gonzalez (2004). O mesmo programa 

computacional usado no segundo teste é usado no terceiro, e a mesma tolerância é 

5% das medidas. 

No quarto teste, é utilizado o mesmo processo do segundo e terceiro testes, 

porém, as imagens são fotografias reais usando a Técnica de Fotoelástica com 

deslocamento de fase. Essas fotografias foram tiradas no Laboratório de Análise 

Estrutural da Puc-Minas, usando-se a montagem descrita no Capítulo 6. 

A ideia desse testes não é fazer um estudo métrico das novas equações 

desenvolvidas, mas apenas verificar a validade, funcionalidade e desempenho 

desses novos algoritmos de cálculo de fase. 

4.8.1 Teste numérico matemático das equações obtidas 

Como as novas equações obtidas foram desenvolvidas por meio de 

algoritmos numéricos de cálculo, e não de expressões analíticas de relações 

3 http://www.matlab.com 

209

210 

trigonométricas, é necessário verificá-las. Acredita-se que um grande número de 

testes numéricos pode validar ou comprovar essas novas equações ou, pelo menos, 

tornar mínimas ou remotas a chance delas estarem erradas ou serem falsas. O 

objetivo aqui é verificar se as novas equações calculam realmente α e . 

Para isso, são atribuídos valores reais aleatórios a K (constante proporcional 

da intensidade máxima de luz emergindo do analisador), que variam de 0 a 255, 

sendo também atribuídos valores reais e aleatórios a α’ entre 0 e 

e ’ entre 0 e 

. Assim, como o cosseno varia de -1 até 1, os valores da intensidade luminosa Ij 

ficarão entre 0 e 255, que é o intervalo de valores dos pixéis obtidos em fotografias 

monocromáticas digitais dos modelos fotoelásticos. É interessante notar que, nas 

imagens digitais, os valores são inteiros, e aqui, para ampliar mais os testes, estes 

são feitos reais. 

Usa-se, então, a Equação 131, que é reescrita para cada ponto da imagem da 

Equação 63, para se calcular os valores de Ij (intensidade luminosa da imagem) com 

j variando de 1 até N e - 

4 

j 1 

 

e j , j 1.. 

N com Passo N . 

2 Passo 1 

4 

1 sin2( 

) 

cos( ) sin2( 

 

) cos2( ) 

sin( 

) , j 1.. 

N 

I j K j 

j 

(131) 

Aplicam-se, então, as novas equações com os valores de Ij, e obtém-se os 

valores de α e , que devem ser comparados com os valores atribuídos 

aleatoriamente de α’ e ’. Essa comparação se dá por meio de uma precisão bem 

pequena, em razão de erros numéricos de arredondamento que podem ocorrer nos 

cálculos, diga-se precisão () de 0,000001 ou 10 -6 ( 10 -6 ). Logo, testa-se |α’- α| 

10 -6 e |δ’ - δ| 10 -6 . Informações sobre precisão numérica e propagação numérica de 

erros podem ser obtidas em Cláudio (2000). 

Um cuidado especial deve ser tomado, pois como as equações contêm uma 

raiz quadrada, é calculado o valor absoluto da soma no numerador e denominador; 

logo, α e serão positivos, e os valores de α estará entre 0 e 

multiplicação por ½ no início da equação) e estará entre 0 e 

(por causa da 

. Observando a 

Figura 25, vê-se uma simetria e anti-simetria no gráfico da tangente de um arco em 

radianos. Assim como o valor real de α está entre -/2 e /2 e está entre - e , 

então por exemplo, se o valor de está entre 0 e /2, na verdade, quatro testes

devem ser feitos, ’ deve ser comparado com , -, - e -+, bastando que um 

deles esteja correto, portanto, se |’ - |10 -6 ou |’ - (-)|10 -6 ou |’ - (-)|10 -6 ou 

|’ - (-+)|10 -6, para que a equação seja analisada e considerada correta 

(MAGALHÃES JÚNIOR, 2009). 

Figura 25 – Gráfico da tangente de um arco em radianos. 

Fonte: Magalhães Júnior (2009). 

O procedimento de teste deve ser então realizado milhares ou milhões de 

vezes para verificar as novas equações. Segundo Magalhães Júnior (2009), o teste 

realizado com valores reais será mais geral e abrangente e, portanto, será usado no 

restante da pesquisa. 

O algoritmo para teste numérico das novas equações geradas pelo modelo de 

otimização é mostrado na Figura 26, onde se entra com N (Número de Imagens), 

NUM[r,s] (matriz de coeficientes do numerador), DEN[r,s] (matriz de coeficientes do 

denominador), o NTESTE (número de testes) e a precisão (por exemplo 10 -6 ). Na 

saída, tem-se o número de acertos e o número de erros. A função aleatória retorna 

um valor randômico real entre 0 e 1. 

211

212 

Figura 26 - Algoritmo para teste numérico-matemático das novas equações de 

cálculo. A função Aleatorio() retorna um número real randômico (aleatório) 

entre -1 (menos um) e 1 (um), diferente a cada chamada da função. 

Algoritmo 

|Entre com N // Número de Imagens 

|Entre com B[r,s], C[r,s], E[r,s], F[r,s] // Coeficientes das equações 

|Entre com NTESTE // Número de testes à serem feitos (tipo 

10000) 

|Entre com PRECISAO // Precisão dos testes (tipo 0,0000001) 

| 

|Pi = 3.1415926535897932 

|FI = - Pi / 4 

|PASSO = N ou 16 ou 19 

| 

|Para r de 1 até N 

| | TETA[r] = ( Pi / 2 ) * ( r – 1 ) / ( PASSO – 1 ) – Pi / 4 

|Fim Para 

| 

|CONTADOR = 0 

|ACERTOS = 0 

|ERROS = 0 

| 

|Repita 

|| 

||CONTADOR = CONTADOR + 1 

||ALFA = (Pi / 4) * Aleatorio() 

||DELTA = (Pi / 2) * Aleatorio() 

||K = 255 * Aleatorio() 

|| 

||Para r de 1 até N 

|| | I[r] = K*(1-sin(2*(TETA[r]-FI))*cos(DELTA)-sin(2*(FI-ALFA))*cos(2*(TETA[r]- 

FI))*sin(DELTA)) 

||Fim Para 

|| 

||SOMAB = 0 

||SOMAC = 0 

||SOMAE = 0 

||SOMAF = 0 

|| 

||Para r de 1 até N 

|| | Para s de r até N 

|| | | SOMAB = SOMAB + B[r,s] * I[r] * I[s] 

|| | | SOMAC = SOMAC + C[r,s] * I[r] * I[s] 

|| | | SOMAE = SOMAE + E[r,s] * I[r] * I[s] 

|| | | SOMAF = SOMAF + F[r,s] * I[r] * I[s] 

|| | Fim Para 

||Fim Para 

|| 

||Se Abs( ALFA – arctan(sqrt(abs( SOMAB / SOMAC ))) / 2 ) < PRECISAO e 

||| Abs( DELTA - arctan(sqrt(abs( SOMAE / SOMAF ))) ) < PRECISAO 

||| Então ACERTO = ACERTO + 1 

||| Senão ERRO = ERRO + 1 

||Fim Se 

|| 

|Até CONTADOR = NTESTE 

| 

|Escreva(ACERTO, ERRO) // Número de acertos e erros com utilização das 

equações 

Fim algoritmo 


Nota-se que todas as equações apresentadas nesta pesquisa passaram pelo 

teste numérico matemático acima descrito. Para isso, foi criado um programa em 

Delphi 7.0/Pascal® da Borland Software Corporation 4 , onde cada equação foi 

4 http://www.borland.com

testada pelo menos um milhão de vezes, e apresentou acerto em 99,9% dos testes. 

Alguns erros ocorrem em razão do valor do numerador e do denominador serem 

muito pequenos, gerando uma propagação do erro de arredondamento muito 

grande, maior que a precisão definida. Com esta enorme quantidade de testes e a 

precisão bem pequena, torna-se improvável, estatisticamente, que as equações 

estejam erradas. 

4.8.2 Testes pelo modelo matemático de análise analítica para as equações 

obtidas 

Testes de análise analítica para as equações obtidas são feitos usando uma 

rotina em MatLab® (da MathWorks, Inc. 5 ), que implementa o modelo matemático de 

técnica fotoelástica, descrita no Capítulo 2. Para exemplificar, descreve-se o 

equacionamento das franjas fotoelásticas em um disco circular submetido à cargas 

de compressão diametralmente opostas apresentadas por Marques Pereira et al. 

(2007). 

Dadas tensões normais máximas e mínimas que podem ser descritas pelas 

seguintes equações: 

(132) 

(133) 

A relação entre as ordens de franjas isocromáticas (n) e as tensões principais, 

já descritas anteriormente nesta tese, é dada pela equação: 


n = ordem de franja 

fσ = fator de franja do material 

h = espessura do modelo fotoelástico 

5 http://www.matlab.com 

(134) 

213

214 

Para realizar simulações matemáticas da fotoelasticidade, é necessário que 

se tenha todo o campo de ordens de franja como uma função de x e y, ou seja: n = 

n(x,y), ou então, para problemas discretos, um conjunto de dados nij =n(xi ,yj). 

Conhecendo-se as equações σ1 (x,y) e σ2 (x,y) (ou então σ1ij σ1 (xi,yj) e σ2ij σ2 

(xi,yj)), n é obtido com facilidade através da Equação 134. 

A amostra considerada é um disco circular submetido à cargas de 

compressão diametralmente opostas (Figura 27). O experimento a ser simulado é 

realizado por um polariscópio circular em campo escuro (franjas de ordem inteira são 

as de menor intensidade luminosa) ou campo claro (franjas de ordem inteira são as 

de maior intensidade luminosa). 

Figura 27 - Exemplo de amostra submetida a compressão. 

Fonte: Adaptado de Souza et al. (2005). 

Na literatura de teoria da elasticidade, encontra-se a função do campo de 

tensões para esse caso (MARQUES PEREIRA et al., 2007). As tensões são 

produzidas por: 


R = raio do disco fotoelástico 

P = carga aplicada 

(135) 

(136) 

(137)

h = espessura do disco fotoelástico 

Por meio das equações 132, 133, 135, 136 e 137, tem-se as tensões σ1 (x,y) e 

σ2 (x,y). Substituindo σ1 (x,y) e σ2 (x,y) encontrados n(x,y) na Equação 134. Gera-se 

uma malha de valores (x,y) e calcula-se n em todos esses pontos, Figura 28. 

Figura 28: Exemplo de imagem de experimento fotoelástico em um disco 

circular submetido à cargas de compressão obtido pelo software MatLab®. 

Fonte: Marques Pereira et al. (2007). 

Por se tratarem de equações simples, os valores de tensão as imagens 

deradas podem ser obtidos pelo software comercial Microsoft Office Excel®, como 

mostrado na Figura 29. 

Figura 29: Exemplo de simulação de franjas usando as equações acima feitas 

no Microsoft Office Excel®, onde cada cor significa 0,5 N (ordem de franja). 


215

216 

Aplica-se, ainda, uma tolerância de 5% no erro dos valores medidos. Ou seja, 

dada a medida conhecida em um dado pixel da imagem, vai-se aceitar um erro de 

5% desse valor. A ideia é verificar se as novas equações funcionam para o Método 

Fotoelástico. 

Nota-se que, como os valores da intensidade da imagem são inteiros de 0 a 

255, aplicando as equações desenvolvidas, pode acontecer que, para alguns pixéis, 

o valor do denominador seja zero. Neste caso, a medida é feita por interpolação dos 

pontos vizinhos. 

Todas as novas equações de cálculo mostradas até este ponto da pesquisa 

com N 31 foram verificadas por esse processo. 

No teste seguinte, usam-se imagens geradas por computação gráfica, só que, 

neste caso, elas contêm pequenas quantidades de erros aleatórios e ruídos. A ideia 

é tentar simular uma fotografia real da técnica fotoelástica. São adicionados e 

subtraídos pequenos valores aleatoriamente nos pontos (pixéis) das imagens. A 

finalidade é testar a estabilidade e sensibilidade das equações de cálculo a esses 

erros. 

O último teste seria o de aplicar as novas equações em casos reais de 

fotografias tiradas no Laboratório de Análise Estrutura da Puc-Minas ou de trabalhos 

anteriores. Destaca-se que este teste só foi feito para equação com N 31, em 

razão do trabalho de se obter as fotografias reais, e a dificuldade, em se manter o 

passo de fase constante. 

4.9 Quantas imagens usar no cálculo de fase 

Uma imagem de uma amostra fotoelástica tem, geralmente, milhares ou, até 

milhões de pontos (pixéis). Se imaginar agora um único ponto individual desta 

imagem e se observar a Equação 68, tem-se para este ponto três valores 

desconhecidos de K, e α. Teoricamente, para 3 incógnitas, necessita-se de pelo 

menos três equações para chegar-se ao algoritmo desenvolvido. 

Mas o problema surge realmente, quando nas imagens existem ruídos e 

imperfeições que dificultam o procedimento de aferição na Técnica Fotoelástica. 

E na realidade, há presença de ruídos em todas as imagens, sendo

modelado como um fenômeno estatístico inerente ao processo de medição. Sendo 

assim, o ideal é o número de imagens ser acrescido significativamente. 

Segundo Magalhães Júnior (2009), qualquer decisão que se toma, 

fundamentado em poucos números de dados, corre-se o risco de que ela seja 

equivocada. 

217 

Por exemplo, quando se sai de casa, carregando ou não um guarda-chuva, 

coletam-se certos dados: olha-se o céu, lê-se a previsão do tempo do jornal, 

escuta-se a televisão. Depois de avaliar rapidamente todos estes dados 

disponíveis, incluindo a previsão do rádio de "30% de probabilidade de 

haver chuva", toma-se uma decisão. De qualquer modo, faz-se o 

compromisso entre a inconveniência de carregar um guarda-chuva e a 

possibilidade de tomar uma chuva, sujando-se a roupa e pegando um 

resfriado. Neste exemplo, tomou-se uma decisão baseando-se na incerteza. 

A incerteza não implica falta de conhecimento, mas somente que o 

resultado exato não é completamente previsível. (MAGALHÃES JÚNIOR, 

2009). 

A problema da incerteza, ou do erro da medição, é que ela pode ofuscar a 

capacidade de se obter a informação que se quer: o valor verdadeiro da medida. 

Devido às incertezas, a precisão de uma medição nunca é exata. A estatística 

demonstra que o valor verdadeiro encontrado em um conjunto de medições é dado 

por sua média aritmética e a incerteza neste valor. Já que não é pessível antecipar e 

evitar os erros aleatórios, o máximo que o operador pode fazer é tentar minimizar 

seus efeitos, fazendo um tratamento estatístico de todas as medições replicadas. 

Como é impossível fazer uma aferição sem erro (incerteza), procura-se 

manter os erros dentro de limites toleráveis e estimar seus valores com exatidão 

admissível. Cada aferição é influenciada por várias possíveis incertezas, que se 

combinam para produzir resultados dispersos. 

O erro é a diferença algébrica entre a indicação e o valor verdadeiro 

convencional, já o real exato não há como ser conhecido. Erros aleatórios surgem 

de variações aleatórias das medições. A cada medição é realizada sob as mesmas 

condições, decorrências aleatórias de várias fontes afetam o valor medido. Uma 

série de medições produz um dispersão em torno de um valor médio. 

Aumentando o número de imagens (N), aumenta-se a quantidade de 

informação e a quantidade de observação. Com isso, pode-se reduzir a influência 

dos erros aleatórios provenientes de ruídos nas fotografias de amostras 

fotoelásticas. A Técnica Fotoelástica automatizada pode ser prejudicada com a 

diminuição da qualidade da imagem, pois pode-se perder a informação correta da 

ordem de franja (n) devido à redução do campo visual, com isso, ordens de franja

218 

podem estar divididas no meio de um ponto da imagem. Mesmo aplicando filtro e 

outros tratamentos nas imagens, o efeito de ruídos é prejudicial para se obter 

medidas corretas e precisas com a Técnica Fotoelástica. 

4.10 Conclusão do capítulo 

O presente capítulo teve como objetivo expor e destacar as novas equações 

de cálculo de e α, de caráter inédito e original, aplicado na Técnica Fotoelástica 

com deslocamento de fase. Este é o principal resultado desta pesquisa até o 

momento, pois além de inéditas, inova ao ser necessário rotacionar apenas o 

analisador do polariscópio. Além disso, elas foram deduzidas de forma numérica e 

não álgebrica, como realizado por outros autores, e podem ser aplicada com 

inúmeros configurações de números de imagens (N). Espera-se um menor erro 

aleatório com a medição de um maior número de imagens no uso da técnica 

fotoelástica e assim, obtenha-se uma maior precisão no cálculo. 

Refere-se como importante a verificação de como o método Simplex e de 

Branch-and-Bound consegue solucionar com sucesso o modelo de programação 

real linear proposto nesta tese. É relevante observar centenas de testes executados 

com a implementação do método e as equações obtiveram grande sucesso. Uma 

razão para isso pode ser atribuída à ideia da técnica numérica em obter a solução 

ótima com uma pequena quantidade de avaliações das equações, restringindo o 

universo de busca. 

A implementação computacional e os modelos desenvolvidos para se calcular 

e α foram os maiores desafios nesta pesquisa. São métodos complexos e 

necessitam de flexibilidade para alterar as restrições e evoluir o modelo matemático. 

O uso de programação orientada a objetos e o uso de métodos bem definidos foram 

de fundamental importância para o sucesso dos softwares. 

Enfatiza-se também de forma sucinta a tentativa em fazer um relato histórico 

e seqüencial de como as equações de deslocamento de fase na técnica foram 

desenvolvendo até a quantidade de 91 imagens e outras possibilidades. Como se 

trata de um trabalho cientifico, a ideia foi de registrar como o trabalho foi executado. 

Por fim, as novas equações podem ser demonstradas matematicamente por 

relações trigonométricas, apesar de ser um processo trabalhoso e demorado.

5 METODOLOGIA DE TRATAMENTO DE IMAGENS 

Além dos cálculos do retardo (δ) e do ângulo isoclínico (α) usando as 

equações desenvolvidas no capítulo anterior, as imagens fotoelásticas passam por 

outros processamentos descritos neste capítulo. Contudo, apenas será feito um 

resumo introdutório dos principais conceitos necessários para a compreensão desta 

tese, uma vez que este não é o foco principal do estudo. 

Primeiramente, ressalta-se uma determinação da ambiguidade de δ e α 

empacotado (wrapped). Nas equações anteriores, trabalhou-se com apenas o 

módulo dos valores; logo, α e serão positivos, e os valores de α estará entre 0 e 

(por causa da multiplicação por ½ no início da equação) e estará entre 0 e 

, mas os principais algoritmos de desempacotamento (unwrapped) trabalham 

com α’ entre – e e ’ entre e . As transformações de em ’ e em ’ 

são os primeiros processamentos realizados. 

Em seguida, tem-se a abordagem do processo de desempacotamento (phase 

unwrapping). No mapa de fase, resultado da aplicação das equações desenvolvidas, 

as ordens de franja fracionária na faixa de 0-1 são representados como um mapa de 

intensidade de 0-255. Para a utilização prática dos dados, é preciso encontrar a 

ordem de franja total sobre o domínio, isto é, um mapa contínuo da 

distribuição de fase, conseguido através de um processo chamado 

desempacotamento de fase. Alguns algoritmos são citados com este objetivo. 

A seguir é descrita a teoria de geração de imagens das franjas fotoelásticas 

pelo computador. Com o desenvolvimento do Processamento Digital de Imagens, 

podem-se criar imagens de franjas fotoelásticas para um determinado corpo de 

prova. Além de ser possível também simular os mapas de fase para as franjas 

isoclínicas e isocromáticas pelo método dos elementos finitos descrito em Ashokan e 

Ramesh (2009). Tais métodos ajudam na análise de erro e no teste do sistema 

computacional para análise automática das tensões. Um estudo de geração de 

ruídos nas imagens também é realizado, uma vez que as fotografias reais sempre 

apresentam imperfeições. 

O capítulo é finalizado com o estudo da remoção de ruído em mapas de fase 

utilizando o filtro recomendado por Ramesh (2000) nas imagens fotográficas antes 

219

220 

dos cálculos serem realizados, com a finalidade de diminuir os ruídos presentes nas 

fotografias. 

5.1 Passagem do retardo (δ) de [0, /2] para [-, ] e do ângulo isoclínico (α) 

de [0, /4] para [-/2, /2] 

As novas equações obtidas nesta pesquisa têm a forma das equações 85 e 

86. Como envolve raízes quadradas e valores absolutos do numerador e do 

denominador, os valores de δ e α da sempre será um número positivo. Quanto se 

aplica o arco tangente para encontrar o valor do retardo (δ), parâmetro isocromático, 

tem-se um número entre 0 e /2, ou seja, δ [0, /2] e quando se aplica ½ do arco 

tangente para determinar o paramento isoclínico (α) tem-se um número entre 0 e 

/4, ou seja, α [0, /4]. O problema é que a maioria dos algoritmos de 

desempacotamento (unwrapping) trabalha com os parâmetros isocromáticos entre - 

e radianos e os parâmetros isoclínicos entre -/2 e /2 radianos. Na literatura, 

podem ser encontradas algumas soluções para este problema, conforme apontam 

Baek et al. (2002) e Huang e Song (2009). 

Nesta tese, optou-se pela solução alternativa proposta por Magalhães Júnior 

(2009), adaptada ao caso específico. Observando o gráfico da tangente de um 

ângulo em radianos (Figura 25), vê-se que o valor absoluto da tangente de δ é o 

mesmo para quatro ângulos entre - e ; estes ângulos são: δ, -δ, δ- e -δ+. Tem- 

se a ideia de que, uma vez obtida à fase δ, testam-se as quatro possibilidades para 

se achar δ’ [-, ]. E da mesma forma o valor absoluto da tangente de α é o 

mesmo para quatro ângulos entre -/2 e /2; estes ângulos são: α, -α, α-/2 e - 

α+/2. Tem-se então a mesma ideia, de que, uma vez obtida à fase α, testam-se as 

quatro possibilidades para se achar α’ [-/2, /2]. E com isso, podem-se aplicar os 

algoritmos de desempacotamento (unwrapping). 

O teste se baseia em cada pixel que são, segundo posição (x, y) das 

imagens, somados ou subtraídos os valores das intensidades de luz Ij, e usando de 

relações trigonométricas objetivando verificar para qual das dezesseis combinações 

das relações δ, -δ, δ-, -δ+ e α, -α, α-/2, -α+/2 as sentenças ficam verdadeiras e 

com menor erro.

A partir da Equação 68, que pode ser reescrita como Equação 138, para um 

dado pixel (x,y) da imagem: 

c c 

(138) 

Para cada uma dezesseis combinações das relações δ, -δ, δ-, -δ+ e α, -α, 

α-/2, -α+/2, a Equação 138 é testada e a combinação que apresentar o menor erro 

é a combinação escolhida e está pronta para ser a entrada nos algoritmos de 

desempacotamento (unwrapping) descritos a seguir. 

5.3 Algoritmos de desempacotamento (unwrapping) 

Como não se trata de um foco principal da tese, apenas são citados aqui 

alguns conceitos básicos necessários para o entendimento dos algoritmos de 

desempacotamento de fase necessários na aplicação da fotoelasticidade realizada 

por deslocamento de fase. Uma boa revisão sobre o assunto pode ser encontrada 

em Ramesh (2000) e Su (1997) e os principais avanços da técnica são tratados em 

Huang e Sung (2009 e 2010) e Ramji e Ramesh (2010). 

Segundo Huang e Sung (2009), desempacotamento de fase (phase 

unwrapping) consiste na recuperação do campo de fase verdadeiro a partir de dados 

em formato empacotado, que é restrito em [-, ] e deve se estende além de 2 

(relativo a um ponto inicial predefinido). O desempacotamento de fase tem de ser 

feito para eliminar saltos de fase, presentes nos métodos de deslocamento de fase 

(Figura 30). 

221

222 

Figura 30: (a) mapa de fase de um disco circular em compressão diametral (b) 

variação da ordem de franja ao longo do diâmetro horizontal. 

Ordem de Franja 

Fonte: Adaptado de Ramesh (2000). 

por deslocamento de fase 

por teoria 

por deslocamento de fase 

O formato de colinas ou sela aparece nos pontos de maior ordem de franja, e 

deve-se ter muita atenção ao se interpretar essa região para se somar ou subtrair a 

ordem de franja, principalmente, em mapas de franja gerados de imagens com 

ruídos e imperfeições. 

A importante fonte de erro que ocorre na determinação do mapa de fase de 

detecção e resolução dos saltos de fase se dá em função da presença de ruídos. 

Uma característica desse tipo de análise é que a fase é determinada 

independentemente em cada ponto, ou seja, não é necessária a comparação de 

dados de outras partes da imagem. Isso significa que descontinuidades que possam 

aparecer no padrão de franjas serão corretamente interpretadas, e as ambiguidades 

serão resolvidas automaticamente. 

Desde que, a fase é calculada no intervalo entre - e , uma das mais críticas 

etapas do método é o processo de desempacotamento, ou seja, o processo de 

eliminação das descontinuidades. Imagens reais de mapas de fase são afetadas por 

muitos distúrbios, como a aquisição do ruído, problemas de iluminação, sombras e 

reflexos etc. A base em uma dimensão do algoritmo de desempacotamento trabalha 

apenas com um ponto da linha da imagem de cada vez e, em caso de imagens com 

ruídos, não garante um correto processo de desempacotamento. Segundo 

Magalhães Júnior (2009), o processo de desempacotamento em 2-D é o problema 

central na análise de interferometria ótica, em ressonância magnética de uso 

médico, em física do estado sólido, e em várias outras áreas de aplicação. Por essa 

razão, muitos algoritmos de desempacotamento têm sido desenvolvidos. Uma boa

introdução em 2-D é dada por Ghiglia et al. (1998), que é um dos principais 

algoritmos encontrados na literatura. 

O princípio básico da eliminação do salto de fase é integrar a fase com 

descontinuidades ao longo de uma trajetória pelos dados amostrados. Em cada 

ponto da imagem (pixel), os gradientes dos mapas de fase das isoclínicas e 

isocromáticas são calculados pela diferença: 

* 

* q 

* q1 

e * * q 

* q1 

(139) 

onde q é o número do pixel. Se os |*| excederem certo limiar como , por exemplo, 

então uma descontinuidade é identificada. Este salto de fase é corrigido 

adicionando-se ou subtraindo-se 2, de acordo com o sinal de *. 

Embora a eliminação do salto de fase possa ser desenvolvida por circuitos 

analógicos como parte de um processo de medição eletrônico, muitos 

pesquisadores empregam técnicas de Processamento Digital de Imagem. O 

princípio mais comumente utilizado é baseado no fato de que a diferença no mapa 

de fase entre quaisquer dois pontos medidos por integração da fase ao longo de um 

caminho entre estes dois pontos é independente da trajetória escolhida, se esta 

trajetória não passa através de uma descontinuidade. Assim, os Métodos de 

eliminação do salto de fase podem ser divididos em métodos dependentes e 

independentes do caminho, segundo Magalhães Júnior (2009). 

O método mais simples de eliminação do salto de fase é o método 

dependente do caminho que envolve o escaneamento sequencial ao longo dos 

dados amostrados, linha por linha. Ao final de cada linha, a diferença de mapa de 

fase entre o último ponto e o ponto da linha abaixo é determinado, e a linha posterior 

é escaneada na direção inversa. Esta técnica é amplamente aplicável para dados de 

alta qualidade, porém, variações mais complexas são necessárias na presença de 

ruídos. Uma maneira utilizada para se evitar a propagação de erros ao longo da 

matriz de dados é realizar a eliminação do salto de fase primeiramente nas regiões 

de pontos “bons”. Os pontos “ruins”, com grandes incertezas de medição, têm suas 

descontinuidades removidas posteriormente, todavia, a propagação de erros fica 

confinada a pequenas regiões (DEL-VECCHIO, 2006). 

223

224 

O método, independente do caminho, é desenvolvido a partir de uma máscara 

33, na qual as diferenças de mapa de fase, *, do ponto central e de seus quatro 

pontos vizinhos mais próximos, nas direções verticais e horizontais, são calculadas. 

Se uma das diferenças é maior, em valor absoluto, que , +2 ou -2, é adicionado a 

*, dependendo da maioria das quatro diferenças ser positiva ou negativa. Quando 

duas diferenças são positivas e duas são negativas, uma decisão arbitrária é tomada 

para adicionar 2. Quando nenhuma das diferenças absolutas excede , então * 

permanece imutável. Essas iterações se processam ao longo de toda a imagem até 

que repetições sequenciais não mais procedam em alterações do valor inicial para 

cada matriz(array). Nesse estágio, uma iteração global é realizada, substituindo-se 

cada valor de ponto pela média de cada par de pontos na matriz (array) corrente e 

na matriz (array) anterior. Esse algoritmo requer um processamento intensivo, 

sendo, no entanto, imune a ruídos e artefatos (DEL-VECCHIO, 2006). 

Uma forma de se evitar a propagação de erros a partir de vazios ao longo de 

toda a imagem é aplicar a eliminação do salto de fase temporal. A ideia principal 

deste método é que a fase em cada ponto é medida como uma função do tempo. 

Este método é aplicável em situações em que o deslocamento de fase ocorre ao 

longo do tempo. 

As opções de algoritmos de desempacotamento são muitas e várias 

alternativas poderiam ser usadas, inclusive, técnicas que dispensam a fase de 

passagem de [0, /2] para [-, ], descrita no item anterior. Nesta pesquisa, optou-se 

por uma implementação conservadora, bastante trabalhada e consolidada na 

literatura, uma vez que este não é o foco principal deste estudo, descrito em Ghiglia 

et al. (1994), e mostrada a seguir. 

Como exemplo, será considerado o mapa de fase das isocromáticas. O mapa 

de fase obtido pela Técnica Deslocamento de Fase é um mapa de fase empacotado 

(wrapped phase), que varia de - até radianos. Um mapa de fase empacotado tem 

de ser desempacotado (unwrapping), tal que, o valor da fase é incrementado por um 

fator de 2h. O relacionamento entre o mapa de fase empacotado e o mapa de fase 

desempacotado () é estabelecido como: 

 

W ( *) 

 

W 

( *) 

* 2j 

(140)

onde W é a função de desempacotamento (unwrapping) e j é um número inteiro, δ* é 

o mapa de fase das isocromáticas empacotado (wrapped) e é o mapa de fase 

desempacotado. Logo, para toda a imagem, tem-se: 

( x, y) 

* ( x, 

y) 

2. 

h( 

x, 

y) 

(141) 

No processo de desempacotamento, vários dos valores de mapa de fase são 

deslocados (adicionados e subtraídos) por um múltiplo inteiro de 2. Este processo é 

então resumido com adição e subtração de 2 em cada descontinuidade encontrada 

na distribuição de fase ( *) da imagem. O procedimento de desempacotamento 

consiste em achar o número de ordem correto para cada mapa de fase medido. 

Este método supõe que o mapa de fase da imagem é contínuo, e que a 

amostragem é densa o bastante, tal que o verdadeiro valor da fase entre dois pontos 

adjacentes não possa diferenciar mais que . O mapa de fase empacotado também 

chamado de principal é denotado por *, e é o valor verdadeiro da fase. As 

diferenças nos mapas de fases na direção horizontal e na direção vertical, podem 

ser estimadas por (índice i para o deslocamento de pontos na horizontal [x] e índice j 

para deslocamento de pontos na vertical [y]): 

 

 

 

 

x 

i, 

j 

y 

i, 

j 

W 

W 

* i1, 

j 

* i, 

j 

* 

* 

i, 

j1 

i, 

j 

(142) 

O quadrado do erro para uma imagem com resolução gráfica de Mx My é: 

2 

1 

M 

2 

1 

x y M M x y 

x 

y 

* i1 

, j 

* i, 

j i, 

j 

* i, 

j1 

* i, 

j i, 

j 

M 

S 

 

i1 

j1 

(143) 

Aplicando-se o critério dos mínimos quadrados chega-se a: 

i1 

j1 

225

226 

Q 

C 

 

 


 

2 2 

2 2 

Q i 

, j min( * i1, 

j; 

* i, 

j )( i 

1, 

j i 

, j ) min( * i, 

j; 

* i1, 

j )( i 

, j i 

1, 

j ) 

 

 

2 2 

2 2 

min( * 

 

 

i, 

j 1; 

* i, 

j )( i, 

j 1 

i, 

j ) min( * i, 

j; 

* i, 

j 1)( 

i, 

j i, 

j 1) 

 

2 2 x 

2 2 x 

2 2 y 

C min( * i1, 

j; 

* i, 

j ) i, 

j min( * i, 

j; 

* i1, 

j ). i 

1, 

j min( * i, 

j 1; 

* i, 

j ) i, 

 

 

2 2 y 

 

min( * i, 

j; 

* i, 

j 1) 

i, 

j 1 

j 

(144) 

onde min(r,s) é função que retorna o menor dos dois valores r ou s. Resultando-se a 

um sistema linear que pode ser resolvido pelo Método de Gauss com Pivotação 

Parcial para se obter o valor de . Matematicamente, a formulação 144 pode 

também ser vista como uma solução por Diferenças Finitas da equação diferencial 

de Laplace com condições de contorno do tipo de Neumann, para se ter uma 

continuidade dos valores da fase () (MAGALHÃES JÚNIOR, 2009). Mais detalhes 

podem ser encontrados também em Hunt (1979). 

A modulação de fase (), obtida no processo de desempacotamento 

representa fisicamente a fração do número de ordem de franja nas imagens de 

Fotoelásticas, multiplicada por 2. 

5.3 Geração de imagens das franjas fotoelásticas no computador 

Outro método deste estudo, para se testar a precisão das novas equações de 

cálculo desenvolvidas, é substituir as fotografias das franjas Fotoelásticas pela 

geração destas imagens no computador. Na Seção 4.8.2, do capítulo anterior, foi 

mostrado um exemplo de método analítico para obtenção de franjas Fotoelásticas. 

Outro método de se obter a geração de imagens das franjas fotoelásticas é pelo 

método de elementos finitos descrito por Ashokan e Ramesh (2009). Eles propõem 

uma metodologia para traçar todo o campo e mapas de fase isoclínico e 

isocromático a partir dos resultados em Elementos Finitos (FE – Finite Element) 2D 

usando a técnica de deslocamento de fase. É explicado usando o problema de um 

disco circular sob compressão diametral. 

Os valores das direções das tensões principais (isoclínicas, α) podem ser 

obtidos a partir dos resultados FE a partir da Equação 67, que pode ser reescrita 

como Equação 145:

(145) 

onde e são as tensões normais e é a tensão cisalhante do ponto de 

interesse. A Equação 145 fornece o valor de no intervalo de – a se a 

função arco tangente é usada. Em fotoelasticidade digital, obtém-se os valores das 

isoclínicas empacotados ( ) na faixa de – a . Assim, a Equação 145 é 

utilizada para traçar os valores emapacotados de . 

Se a direção de apenas uma das tensões principais é consistentemente 

representada, então pode-se obter um mapa de fase livre de zonas inconsistente. A 

Equação 5.8 não pode dar esta informação, no entanto, se a avaliação da direção da 

tensão principal é formulada como um problema autovetor, então pode-se avaliar de 

forma consistente apenas uma das direções da tensão principal. A direção da tensão 

principal ( ) correspondente à tensão principal máxima algebricamente ( ) é 

avaliada usando a abordagem de auvetores da seguinte forma: 

(146) 

(147) 

(148) 

Onde e são os cossenos de direção com relação ao eixo x e eixo y, 

respectivamente. 

Das equações 146 a 148, pode-se obter os cossenos de direção como: 

(149) 

(150) 

Os valores de correspondem a tensão principal são então calculadas como: 

(151) 

227

228 

Na Equação 151, a função arco tangente é usada para calcular 

computacionalmente o desempacotado, o que dá no intervalo de de – a 

e de forma consistente representa a direção da tensão . Para facilitar a apreciação 

visual dos dados, os valores de empacotados e desempacotados são convertidos 

para valores de níveis de cinza da seguinte forma: 

(152) 

A partir dos resultados FE, a diferença de tensões principais ( ) é 

calculado usando os valores nodais de , , e da seguinte forma: 

Usando a lei de tensão ótica, a ordem de franja total é obtida como: 

(153) 

(154) 

onde é a ordem de franja total, é a espessura do modelo e o valor da fator 

de franja do matrial. 

Um mapa de fase das isocromáticas empacotado reflete a ordem de franja 

fracionária na faixa de . A parte fracionária da ordem de franja pode ser 

avaliada de forma inequívoca usando a Equação 154 e então convertido em uma 

imagem em escala de cinza. Os valores de franja fracionária são avaliados 

utilizando a seguinte equação: 

(155) 

Onde é a parte inteira de . A plotagem de fornece o mapa de 

fase das isocromáticas livre de zonas ambíguas. 

Embora se obtenha experimentalmente apenas um mapa de fase com zonas 

ambíguas, numericamente obtem-se um mapa de fase sem zonas ambíguo. A

presença de zonas inconsistentes em mapa de fase isoclínico leva à formação de 

zonas ambíguas no mapa de fase das isocromáticas. Foi demonstrado por Ashokan 

e Ramesh (2006) que, em zonas ambíguas, uma simples inversão de valores de 

ordem de franja fracionária apaga isso. Sendo assim, para simulação de mapa de 

fase das isocromáticas com zonas ambíguas ( ), os valores obtidos 

numericamente das isocromáticas livre de zonas ambíguas são revertidos sempre 

que as zonas inconsistentes estão presentes no mapa de fase isoclínico. Isso é 

matematicamente representado como segue: 

(156) 

Os valores das isocromáticas obtidos pelas equações 155 e 156 são, então, 

representados como uma imagem em escala de cinza usando a seguinte equação: 

(157) 

O esquema de plotagem é desenvolvido para um elemento quadrilateral de 

oito nós para simular mapas de fase das isoclínicas e isocromáticas a partir dos 

resultados FE. O elemento tem dois graus de liberdade de translação por nó (ux, uy), 

que são adequados para a modelagem de modelos em 2D com cargas em geral. É 

sabido que quanto mais refinada a malha maior é a precisão. Contudo, sempre 

existe, mesmo que pequeno, um erro de precisão devido à discretização da malha 

por FE, que pode ser grave. Detalhes de entrada, como coordenadas dos nós, 

conectividade dos nós, componentes de tensão individual, e tensão principal máxima 

em cada nó são obtidos. As variáveis campo e , para o qual as parcelas devem 

ser feitas, em cada um dos nós do elemento são avaliados usando as equações 

145, 151, 155 e 156. O esquema de plotagem emprega um abordagem inversa em 

que cada elemento do domínio é plotado discretamente em coordenadas locais. 

Para cada um dos pontos plotados dentro do elemento, as coordenadas globais, e 

, são calculadas usando o formato das próprias funções de interpolação como: 

229

230 

(158) 

onde x1,...,x8 e y1,...,y8 são as coordenadas dos nós do elemento e xg, yg são as 

coordenadas globais do ponto, n1,...,n8 são as funções de forma, α1,... α8 são os 

valores das isoclínicas nos nós, αg é o valor de α para o presente ponto plotado, 

δ1, δ8 são os valores das isocromáticas nos nós e δg é o valor das isocromáticas 

correspondente ao ponto atual que está sendo plotado. A qualidade do contorno 

depende do intervalo de mudança de fase. Quanto mais fino o intervalo, melhor é o 

contorno resultante. Para cada um dos elementos plotados, a extensão das faces na 

direção x (xext) e direção y (yext) é calculado a partir das coordenadas globais dos 

nós (Figura 31(a)). Com estes, a mudança de fase em intervalos Δr e Δs (Figura 31 

(b)) são calculados de tal forma que eles estão igual ao tamanho do pixel ou mais 

finas do que o tamanho do pixel. 

Figura 31: (a) Representação de um elemento típico para calcular incrementos 

na direção x e y e (b) representação da digitalização incrementos no sistema 

de coordenadas naturais. 

Coordenadas globais Coordenadas locais 

Fonte: Adaptado por Ashokan e Ramesh (2009). 

Ashokan e Ramesh (2009) escolheram o problema de um disco circular sob 

compressão diametral para explicar o método. Um modelo 2D de um disco circular 

de 60 mm de diâmetro e 6 mm de espessura foi modelado, e a análise foi feita 

usando ABAQUS V6.4. O modelo foi discretizado utilizando elementos quadrilaterais 

com oito nós (Figura 32(a)) com 2064 elementos e 6339 nós. As condições de

contorno e a carga diametral de 574 N foi aplicada ao modelo FE. As propriedades 

do material utilizado para a simulação numérica são E = 3290 MPa, módulo de 

poisson = 0,3, e = 11,0 N/mm/franja. Os detalhes das coordenadas dos nós, 

conectividade dos nós, componentes de tensão e tensão principal máxima em cada 

nó são obtidos a partir do software ABAQUS ® . Os resultados foram, então, pós- 

processados por FE para avaliar os valores de e em cada nó. Estes valores 

foram então plotados como mapa de fase em escala de cinza usando o software 

desenvolvido para plotagem em VC++. Figuras 32(b) e 32(c) mostraram os mapas 

de fase isoclínicos obtidos numericamente empacotado e desempacotado em escala 

de cinza para o disco circular sob compressão diametral. Figuras 32(f) e 32(g) 

mostram o mapa de fase das isocromáticas obtido numericamente empacotado com 

e sem a presença de zonas ambígua em escala de cinza. 

Zonas inconsistentes 

Zonas inconsistentes 

Figura 32: Disco submetido a compressão diametral. 

Zonas ambíguas 

Zonas ambíguas 

Fonte: Ashokan e Ramesh (2009). 

231

232 

5.4 Acréscimos de ruídos nas imagens 

Como novamente não se trata do foco principal do trabalho, apenas será 

apresentado um resumo introdutório sobre ruídos em imagens digitais. A ideia é 

mostrar que fotografias reais sempre contém erros e distorções, as imagens geradas 

também devem apresentá-los com o intuito de torná-las mais próximas do real, já 

que esses ruídos afetam o processo de medição pela Técnica Fotoelástica. Mais 

detalhes podem ser encontrados em Gonzalez et al. (2000, 2004). 

Segundo Magalhães Júnior (2009), “o ruído é o equivalente digital dos grãos 

dos filmes utilizados em câmeras de filme”. Para as fotografias digitais, esse ruído 

está presente em forma de manchas aleatórias em uma superfície normalmente lisa, 

e compromete significativamente a qualidade das fotos. Apesar do ruído ser 

considerado uma deformidade de uma foto, ele pode ser causado propositalmente, 

já que pode conferir às fotos um aspecto antigo que remete aos filmes. Um pouco de 

ruído também pode aumentar a nitidez da imagem. O ruído aumenta 

proporcionalmente à sensibilidade escolhida (ISO - em inglês ISO setting ou ISO 

speed) e tempo de exposição. O número de ruídos também varia muito dependendo 

da câmera utilizada. Câmeras profissionais de alto nível costumam ter muito menos 

ruído que câmeras compactas comuns. 

Algum grau de ruído sempre existe em qualquer aparelho eletrônico que 

transmite ou recebe um ’sinal’. Para as câmeras digitais, o sinal é a luz que atinge o 

sensor da câmera. Mesmo sendo impossível de se evitar, o ruído pode se tornar tão 

pequeno relativamente ao sinal, que pode ser considerado inexistente. A razão entre 

o sinal e o ruído (SNR, do inglês signal to noise ratio) é uma forma útil e universal de 

comparar as quantidades relativas de sinal e ruído para qualquer sistema eletrônico, 

para razões altas terão pouco ruído visível, e para razões baixas terão muito ruído 

visível. 

O ISO de uma câmera é um padrão que descreve a sensibilidade absoluta da 

luz. O ISO normalmente é dado em razões de 2, como ISO 50, ISO 100, ISO 200 e 

ISO 400, e pode ter uma grande variedade de valores. Valores mais elevados 

representam maior sensibilidade, e a razão entre dois valores de ISO representa a 

sensibilidade relativa entre elas, ou seja, uma foto com ISO 400 demorará a metade 

do tempo que uma foto com ISO 200 para atingir o mesmo nível de exposição, se 

todos os outros parâmetros da câmera continuarem iguais. O ISO das câmeras

digitais é a mesma coisa que a ASA encontrada nos filmes para câmeras 

analógicas. O aumento do ISO é possível, amplificando-se o sinal do sensor da 

câmera, mas isso também aumenta o ruído. 

Existem vários tipos de ruídos em imagens digitais, mas os considerados 

básicos produzidos por câmeras digitais são os: aleatórios, de padrões fixos e de 

bandas (Figura 33). 

Figura 33: (a) Ruído com padrão fixo, exposição longa e baixo ISO; (b) Ruído 

aleatório, exposição curta e alto ISO; (c) Ruído em banda, câmera suscetível e 

sombras clareadas. 

(a) (b) (c) 

Fonte: MARCIO.EUGENIO. Entendendo ruído em fotografia digital (2008). 

Os ruídos aleatórios são caracterizados por flutuações de intensidade e tom 

de cor em relação à imagem real. Sempre haverá alguma quantidade de ruído 

aleatório em qualquer permanência de exposição, pois ela será muito influenciada 

pelo ISO. O padrão do ruído aleatório muda mesmo quando as propriedades da 

exposição são as mesmas, e é por isso que ele é chamado de aleatório. 

O ruído de padrão fixo abrange o que se costuma chamar de “hot pixels” 

(traduzindo “pontos quentes”), que são chamados assim, quando a intensidade de 

um ponto (pixel) ultrapassa muito a das flutuações de ruído aleatório. O ruído de 

padrão fixo geralmente aparece em situações de exposições longas, e é acentuado 

por altas temperaturas. Uma característica a se destacar é que ele mostra 

aproximadamente a mesma distribuição, se as condições de temperatura, exposição 

e ISO nas quais a imagem é produzida são as mesmas. 

O ruído em banda depende muito da câmera usada, e é introduzido pela 

própria câmera quando ela lê dados oriundos do sensor digital. Ele é mais visível 

quando são usados altos ISO e nas áreas de luz baixa ou quando uma imagem foi 

233

234 

editada, clareada, excessivamente. Dependendo da câmera, ele também pode ser 

majorado em função do balanço de branco selecionado. 

Magalhães Júnior (2009) considera o ruído de padrão fixo o mais fácil de ser 

removido, em razão da sua natureza repetitiva. A câmera fotográfica digital tem que, 

simplesmente, identificar o padrão e subtraí-lo da imagem capturada, para mostrar a 

imagem verdadeira. Em câmeras digitais de última geração, o ruído de padrão fixo é 

um problema bem menor que o ruído aleatório, apesar de pequenas quantidades 

serem ainda mais facilmente percebidas que o ruído aleatório. 

O ruído aleatório é mais complicado de ser removido, pois sua remoção pode 

danificar a imagem. Os algoritmos criados para isso ainda lutam para conseguir 

discernir entre o ruído e texturas reais. Assim, tentativas de remover o ruído acabam, 

também, removendo essas texturas e danificando a imagem real. 

A magnitude do ruído é normalmente descrita pelo “desvio padrão”, que 

quantifica a variação típica que um ponto tem de seu valor “real”. 

Imagens reais, na maioria das vezes, sofrem deteriorações durante seu 

processo de aquisição, transmissão ou processamento. Essa deterioração é 

normalmente chamada de ruído. O ruído pode ser considerado uma variável 

aleatória z, caracterizada por uma função-densidade de probabilidade p(z). Os tipos 

de ruído mais comumente modelados são ruídos impulsivo, Gaussiano, uniforme, 

Erlang, exponencial, Rayleigh e Poisson (GONZALEZ et al., 2004). 

O ruído é considerado como uma distribuição estatística na imagem em todos 

os modelos. Isso reforça a ideia de que a repetitividade e o aumento do número de 

imagens vai atenuar o efeito do ruído. 

Nesta pesquisa, os modelos de ruído, citados acima, foram aplicados nas 

fotografias com um percentual de 10% a 20% dos pontos de uma imagem, ou seja, 

aproximadamente um quinto dos pontos de uma imagem contém algum tipo de 

ruído. 

Para tornar as imagens geradas mais realistas, foi também aplicado nelas um 

processo de suavização (smoothing). A suavização linear calcula o novo valor de 

intensidade luminosa de um dado ponto, a partir de uma média linear dos valores de 

intensidade luminosa dos pontos vizinhos, de acordo com o tamanho da máscara de 

convolução utilizada. Com um Filtro Passa Baixa, numa configuração de máscara 

3X3, com todos os vizinhos sendo levados em conta da mesma maneira, o processo 

de suavização se resumiria na troca do valor do ponto central pela média aritmética

dos pontos mais próximos. Porém, é possível adotar uma máscara que priorize ou 

confira maior peso para vizinhos específicos, buscando um comportamento mais 

apropriado para a aplicação (GONZALEZ et al., 2000). 

Uma rotina em MatLab® foi desenvolvida, gerando aleatoriamente ruído as 

diversas imagens geradas pelo programa. Além disso, foi aplicada uma suavização 

linear. 

5.5 Filtro aplicado nas imagens fotográficas 

Uma vez que se obteve a fotografia das amostras fotoelásticas, esta deve, 

inicialmente, ser tratada com o objetivo de remover imperfeições, para atenuar os 

ruídos e as distorções. Neste estudo, foi aplicado, apenas, o filtro recomendado por 

Ramesh (2000) e mais nenhum tratamento foi dado inicialmente às imagens 

fotografadas digitais. 

Os mapas de fase, em geral, podem apresentar ruído binário do tipo sal e 

pimenta em alguns pontos do domínio. Para remover o ruído a partir de imagens que 

têm bordas finas geralmente um filtro de mediana é sugerido, pois outros filtros 

podem destruir as bordas finas. O filtro de mediana é um filtro não-linear de domínio 

espacial. Nele, o nível de cinza de cada pixel é substituído com a mediana dos 

níveis de cinza na vizinhança daquele pixel. O filtro da mediana preserva as bordas 

finas, mesmo assim, algumas informações nas bordas finas é perdido. O gradiente 

de intensidade empacotado na transição de regiões é o principal parâmetro para 

desempacotamento de fase. Qualquer diminuição na intensidade nas regiões de 

transição afetará negativamente o desempacotamento de fase. Assim, filtro de 

mediana não é uma escolha ideal para a presente aplicação. Para remover o ruído, 

sem perturbar as bordas finas, o algoritmo de remoção de ruído seguinte é sugerido. 

O algoritmo de remoção de ruído irá remover o ruído binário com base na 

diferença na intensidade entre os pixéis vizinhos ao longo da direção de varredura. 

Se a diferença de intensidade entre o pixel atual e os pixéis vizinhos ao longo da 

direção de varredura é além de um limiar, então o pixel atual é identificado como um 

pixel de ruído. Os níveis de cinza deste pixel é substituído com a média dos níveis 

de cinza dos pixéis da vizinhança. 

235

236 

Considere uma máscara de pixéis 3x3. Dado que o gradiente limiar do ruído a 

ser removido seja Tm. A imagem é percorrida horizontalmente, e o pixel em é 

um pixel com ruído sal quando a seguinte condição é satisfeita. 

satisfeita. 

> (159) 

O pixel é um pixel ruído pimenta quando a seguinte condição é 

> (160) 

O nível de cinza do pixel ruído é então substituída com os níveis de 

cinza dos pixéis da vizinhança . O procedimento de percorrer a 

imagem é repetido para 45°, 90° e 135°. Na prática, o esquema de remoção de ruído 

pode ser mesclado com o programa fazendo o cálculo retardo fracionário em si. 

O valor do Tm depende do gradiente máximo do nivél de cinza entre os pixéis 

vizinhos na região de dados e é preciso selecioná-lo por tentativa e erro. Um valor 

de 123 (o que corresponde a uma fase de ) será suficiente para uma variedade de 

problemas. 

5.6 Conclusão do capítulo 

Apesar do tratamento de imagens não ser o principal foco desta tese, ele é 

muito importante para a compreensão e entendimento do trabalho. Vale destacar 

que muitas técnicas e novos algoritmos são encontrados na literatura científica. 

Neste capítulo, foi apresentado apenas um resumo dos temas, sendo recomendável 

a consulta de outros trabalhos, já que também é interessante constatar a 

significativa evolução da Informática e do Processamento Digital de Imagens. 

A presença de ruídos nas imagens e erros da ordem de radianos nas 

medições usando a Técnica Fotoelástica serão importantes para testar, verificar e 

comparar a funcionalidade das novas equações de cálculo desenvolvidas. Essa 

temática será tratada no próximo capítulo.

6 RESULTADOS E DISCUSSÕES 

Existe, em quase todos os campos da atividade humana, uma busca contínua 

por novos métodos e procedimentos que, de alguma forma, melhorem ou superem 

aqueles já existentes. Ultimamente, na engenharia, especificamente na área de 

métodos experimentais de tensão aplicando a Técnica Fotoelástica Digital, existe a 

procura por métodos mais precisos e menos sujeitos a erros e falhas (RAMESH et 

al., 2011). Para isso, é necessário comparar as técnicas usuais com novos métodos 

alternativos. 

O presente capítulo aborda uma forma de comparação das novas equações 

de cálculo por meio da precisão média, para variadas quantidades de imagens, com 

os dados de forma emparelhados. Foram capturadas várias imagens fotográficas 

digitais, pela Técnica Fotoelástica, de um disco circular submetido à compressão 

diametral, e cada imagem apresentou um passo de rotação do analisador, descrito 

no Capítulo 4, entre -45° a 45°. 

Devido a uma questão de usabilidade, optou-se por não fazer o método com 

passo constante para 5 imagens pois a rotação tinha o passo de 22,5°, e esse 0,5° 

do passo pode comprometer a precisão, já que o analisador é dividido em graus 

inteiros. E optou-se também por não realizar o experimento com 91 imagens, pois a 

diferenciação de cada imagem em relação à próxima é tão pequena que só se 

consegue bons resultados no método usando um número muito grande de imagens, 

além do procedimento de captura ser mais exaustivo. 

Sendo assim, para se obter os outros passos, descritos no Capítulo 4, basta 

capturar as imagens com o ângulo do analisador θ em graus múltiplos de 3 e 5, com 

rotação entre -45° a 45°. Assim, para aplicar a equação com 3 imagens com passo 

constante, foram usadas as fotografias com o ângulo do analisador θ em -45°, 0° e 

45° (Figura 34); para a equação com 4 imagens, com passo constate, usou-se as 

fotografias com o ângulo do analisador θ em -45°, -15°, 15° e 45° (as fotografias de θ 

igual a -45° e 45° são as mesmas usadas para as 3 imagens) (Figura 35); e o 

mesmo se repediu para os testes com 6, 7, 10, 11, 16, 19 e 31 imagens, como 

mostrado nas figuras 36 a 42. Foram realizadas dez vezes as capturas de imagens 

do experimento. Já para as técnicas descritas nas seções 4.7.2 a 4.7.6, as equações 

com 3 imagens, foram usadas as três primeiras fotografias; para as equações com 4 

imagens, foram usadas as quatro primeiras fotografias (as três anteriores e mais 

237

238 

uma), e assim por diante, respeitado cada passo proposto. Para cada nova equação 

do cálculo de fase testada, calculou-se o erro médio, que é a soma das diferenças 

entre os valores calculados de α e δ (em radianos) pelo modelo matemático de 

análise analítica apresentado por Marques Pereira et al. (2007) (Seção 4.8.2) e os 

valores calculados de α e δ fornecidos pelas novas equações, em cada pixel. Com 

este resultado, aplicou-se o teste estatístico de hipótese em inferência a partir de 

amostras emparelhadas. É interessante ressaltar que nesta tese, usa-se o disco 

circular para analisar o erro médio, mas essas novas equações de cálculo podem 

ser aplicadas a outras montagens da Técnica Fotoelástica. Optou-se pelo disco 

circular, pois as equações matemáticas são bem definidas para o caso e pela 

facilidade de comparação com outras técnicas que também o usam. 

Figura 34 - Conjunto com 3 imagens, passo igual a 45°, do disco sob 

compressão diametral. 

-45° 

0° 

Fontes: Dados da pesquisa. 



-45° 

-15° 

15° 


45° 

45°



-45° 

9° 

-27° 

27° 




-45° 

15° 

-30° 

-15° 

30° 

45° 


-9° 

45° 

0° 

239

240 



-45° 

-5° 

35° 

-35° 

5° 

-25° 

15° 

45° 


-15° 

25°



-45° 

-9° 

27° 

-36° 

0° 

-27° 

9° 

36° 

45° 


-18° 

18° 

241

242 



-45° 

-21° 

3° 

27° 

-39° 

-15° 

9° 

-33° 

-9° 

15° 

33° 

39° 


-27° 

-3° 

21° 

45°



-45° 

-25° 

-5° 

15° 

35° 

-40° 

-20° 

0° 

20° 

-35° 

-15° 

5° 

25° 

40° 

45° 


-30° 

-10° 

10° 

30° 

243

244 

-45° 

-33° 

-21° 

-9° 

3° 

15° 

27° 

39° 

Figura 42 - Conjunto com 31 imagens, passo igual a 3°. 

-42° 

-30° 

-18° 

-6° 

6° 

18° 

30° 

42° 

-39° 

-27° 

-15° 

-3° 

9° 

21° 

33° 

45° 


-36° 

-24° 

-12° 

0° 

12° 

24° 

36°

A Figura 43, abaixo, mostra alguns exemplos de ruídos e imperfeições 

ocorridos em fotografias de aplicações fotoelásticas reais tiradas no Laboratório de 

Análise Estrutural da PUC-Minas. Notam-se na figura os mais variados tipos de 

defeitos e imperfeições dos modelos fotoelásticos como bolhas e tensões residuais, 

além de sujeiras e poeiras (na maioria das vezes presentes nos elementos óticos do 

polariscópio) e distorções nas fotografias obtidas. 

Figura 43: Exemplos de ruídos e imperfeições em fotografias de aplicações 

fotoelásticas reais. 


245

246 

Para se obter medidas automáticas, pela Fotoelasticidade Digital, nestes tipos 

de imagens, deve-se utilizar um grande número de técnicas de Processamento 

Digital de Imagens para contornar os efeitos dos ruídos. Além disso, os modelos 

devem apresentar espessura constante. 

6.1 Equipamentos utilizados nos experimentos 

O presente trabalho utilizou os equipamentos, softwares e materiais já 

presentes no Laboratório de Análise Estrutural do Programa de Pós-graduação em 

Engenharia Mecânica da PUC Minas. Os recursos incluem: 

a) Polariscópio de Transmissão. 

b) Polaríscópio da Strainoptic Technologies, Inc. 

c) Câmera Fotográfica Digital. 

d) Sistema de carga. 

Equipamento de ensaio tração/compressão. 

Células de carga. 

Equipamento de ensaio de impacto. 

e) Material para construção das peças fotoelásticas. 

Peça modelo. 

Borracha de silicone. 

Resina fotoelástica. 

f) Computadores para programação e simulação computacional. 

g) Softwares para programação e simulação. 

Lingo 12.0 (Otimização e Programação Matemática). 

Ansys 13.0 (Simulação por Elementos Finitos). 

Abaqus 6.9 (Simulação por Elementos Finitos). 

MatLab 2009 (Matemática Computacional). 

MiniTab 14.0 (Estatística). 

Microsoft Office (Editor de Texto e Planilha Eletrônica). 

AutoCAD 2010 (Desenho assistido por computador). 

A montagem efetuada para o experimento de teste das novas equações 

contém seis componentes físicos básicos, mostrados na Figura 44, são eles:

a) o Polariscópio Circular da Strainoptic Technologies, Inc. modelo PS-100 

existente no laboratório; 

b) câmera digital de captura de imagens Sony Cyber-shot modelo DSC-TX7 de 

10.2 mega pixels; 

c) Célula de carga da marca Kratos modelo 1 número de série 8IJ7984; 

d) indicador digital do tipo dinamômetro da marca Kratos Modelo IE-1000, 

número de série 3530, ano de fabricação 05/2004; 

e) sistema de aplicação de carga que traciona a célula de carga e comprime o 

material fotoelástico, 

f) disco circular com 50 mm de diâmetro e 0,5 mm de espessura em material 

fotoelástico - policarbonato PMS-1 (fabricado por Measurements Group, Inc. - 

Photoelastic Division). 

Figura 44 - Equipamentos básicos utilizados. 


A operação desses equipamentos é bem simples, uma vez batida a primeira 

fotografia com o ângulo do analisador θ em -45°, ajusta-se o novo ângulo, de forma 

a se deslocar a fase, em seguida, uma nova fotografia é realizada, e assim por 

diante. Buscando uma melhor precisão na rotação do analisador, criou-se um 

simples dispositivo central em metal torcido para rotação do analisador (Figura 45), 

que além de facilitar o manuseio da rotação ajuda na visualização do ângulo. Com 

este dispositivo, o equipamento apresentou um fácil manuseio. 

247

248 

Figura 45 - Dispositivo desenvolvido para facilitar a rotação do analisador. 


Após as fotos adquiridas serem armazenadas no computador, o trabalho de 

processamento é quase por inteiro realizado a partir de um software criado sob a 

plataforma MatLab®, especificamente, para o propósito do trabalho. Pode-se dividir 

a fase de processamento em sete etapas: 

a) seleção da área de interesse e transformação da imagem em tons de cinza; 

b) remoção de ruídos da imagem pelo filtro proposto por Ramesh (2000); 

c) cálculo do δ e α (com saltos) pelas novas equações; 

d) passagem do δ de [0, /2] para [-, ] e do α de [0, /4] para [-/2, /2]; 

e) remoção do salto de fase (desempacotamento); 

f) cálculo dos mapas de fase de δ e α; 

g) visualização gráfica do cálculo dos mapas de fase. 

Apenas a Etapa b foi realizada através do software disponível no CD que 

acompanha o livro “Digital Photoelasticity” (RAMESH, 2000), com a técnica de 

filtragem já programada pelo autor. As outras etapas foram executadas pelo 

software desenvolvido em MatLab®, especificamente, para esta pesquisa. Era 

sempre utilizada a mesma programação, apenas na etapa número 3 é que se 

alterava, pois eram utilizadas as várias equações do cálculo de δ e α para diferentes 

conjuntos de imagens, que foram descritas no Capítulo 4. 

Nesse software desenvolvido, entra-se sempre com um dado conjunto de 

imagens, contento a mudança de fase, com uma mesma resolução gráfica, isso é, 

cada imagem deve apresentar uma mesma relação entre o número de pontos na 

horizontal e na vertical. O programa retorna para cada ponto (pixel) o valor de α(x,y) e 

o valor de δ(x,y). E se obtém como resultado final a representação gráfica dos mapas 

de fase. O MatLab® foi empregado com o finalidade de fazer uma programação 

simples e didática, e que pudesse ser utilizada em outros projetos. A base do

programa é bem parecida com a demonstração da técnica de deslocamento de fase 

em Fotoelasticidade Digital descrita no Capítulo 3 do livro “Matlab® for 

Photomechanics: A Primer” (ASUNDI, 2002). Um fluxograma do processamento 

realizado pode ser visto na Figura 46. 

Figura 46 - Fluxograma do processamento aplicado para Técnica Fotoelástica 

Digital com Deslocamento de Fase. 

Imagens fotográficas digitais do 

modelo fotoelástico. Saída: 

Arquivos de Imagens (.JPG) 

Cálculo de δ e α empacotados 

usado as equações 

desenvolvidas. Saída: Valores 

de δ e α empacotados 

Passagem do δ de [0, π/2] para 

[-π, π] e do α de [0, π/4] para [-π/ 

2, π/2] Saída: Valores de δ’ e α’ 

Visualização gráfica dos mapas 

de fase. Saída: Arquivos de 

Imagens (.JPG) 


Seleção da área de interesse e 

transformação em tons de cinza 

Saída: I*1, I*2,...,I*N (.RAW) 

Aplicação do Filtro proposto e 

implementado por Ramesh 

(2000). Saída: I1, I2,...,IN 

Algoritmo de desempacotamento 

(Unwrapping). 

Saída: Valores de ψδ e ψα 

Cálculo dos mapas de fase de δ 

e α desempacotados. 

Saída: Valores de α (x,y) e δ (x,y) 

Uma vez obtidos os valores de α(x,y) e δ(x,y) para cada ponto da imagem, essas 

medidas são comparadas com um valor que se admite como sendo o valor exato 

calculado pelo modelo matemático apresentado por Marques Pereira et al. (2007) 

(Seção 4.8.2) do disco circular obtendo α e (x,y) e δ e (x,y) através de um programa 

desenvolvido em MatLab® para alcançar o valor teórico exato em cada ponto das 

imagens. É possível que algum erro ocorra nesse processo, mas acredita-se que 

esse erro seja muito menor que o erro das medidas obtidas pelas imagens 

fotográficas reais. Calcula-se, então, o erro médio para α e δ, usando as equações 

161 e 162 apresentadas abaixo. 

Erro 

Erro 

Mx 

My 

 

M 

i 

e 

, j 

i, 

j 

e 

i 

 

i 

i1 

j 1 

Médio ( E 

) Mx My 

1 

i1 

 

M 

(161) 

Mx 

My 

 

 

i1 

j 1 

M 

i 

e 

, j i, 

j 

e 

i 

i 

i1 

j 1 

Médio ( E 

) Mx My 

1 

i1 

 

M 

(162) 

 

i1 

j 1 

249

250 


Mx é o número de pixéis na horizontal da imagem; 

My é o número de pixéis na vertical da imagem; 

M=(Mx My) é o número total de pixéis da imagem; 

α e δ são os valores medidos em radianos pelas novas equações propostas em 

imagens fotografias; 

α e e δ e são os valores de referência em radianos obtidos pelas equações 

apresentadas por Marques Pereira et al. (2007) (Seção 4.8.2). 

Nota-se que a ideia é comparar as novas equações de cálculo, e que para 

todas elas usou-se o mesmo programa computacional, com os mesmos valores de 

α e e δ e . Várias resoluções gráficas de imagens foram utilizadas nos experimentos, 

até o limite de 2 megapixels da câmera digital utilizada, pois imagens muito grandes 

aumentam consideravelmente o tempo de processamento. 

Se fossem utilizados uma maior resolução nas imagens tiradas, ter-se-ia uma 

melhor precisão e um menor erro nas medidas. Uma alta resolução também 

melhoraria as medições por não haver grande diferença de medidas entre os pixeis 

vizinhos, proporcionando uma variação mais suave na evolução dos tons da imagem 

fotoelástica. O problema é que existe um limite técnico no aumento da resolução 

gráfica das câmeras digitais e uma exigência de maior tempo de processamento 

para se tratar as imagens. 

6.2 Inferências a partir de amostras emparelhadas 

É relevante descrever uma síntese das Inferências Estatísticas acerca das 

amostras emparelhadas. Outros detalhes relacionados ao tema são achados em 

Farias et al. (2003) e Triola (2008). O objetivo é indicar qual teste estatístico foi 

utilizado e sua forma de aplicação. 

No campo das pesquisas científicas, devem ser tomadas decisões a respeito 

de populações baseadas em informações de amostras. Essas decisões são 

chamadas de “decisões estatísticas”. Com isso e com base em dados amostrais são 

possíveis definir se um novo medicamento terá, realmente, eficácia na cura de uma 

doença, ou qual o procedimento educacional é mais adequado etc.

Ao buscar conclusões, é oportuna a formulação de hipóteses ou de 

proposições a respeito das populações interessadas. Essas proposições - 

verdadeiras ou não - são chamadas de hipóteses estatísticas e, em geral, são 

afirmações sobre as distribuições de probabilidade das populações. Em certos 

casos, é formulada uma hipótese estatística com o único objetivo de rejeitá-la ou 

torná-la inválida. 

É admitida uma hipótese particular como falsa, caso se verifique que os 

resultados visualizados em uma amostra aleatória diferem acentuadamente dos 

previstos para aquela hipótese. Partindo da probabilidade simples mediante o 

emprego da teoria da amostragem, pode-se chegar a conclusão de que as 

diferenças visualizadas são significativas. E, ainda, inclina-se a rejeição da hipótese. 

Os testes de hipótese, ou de significância, ou regras de decisão, são os 

procedimentos próprios para se decidir a respeito da aceitação ou rejeição de 

hipóteses, ou, ainda, para determinar se as amostras visualizadas são diferentes, de 

modo significativo, dos resultados esperados. 

Segundo Magalhães Júnior (2009), a “distribuição t” de Student é um modelo 

de distribuição contínua assemelhada à distribuição normal padrão, sendo 

aproveitada para Inferências Estatísticas, quando se tem amostras com dimensões 

inferiores a 30 elementos. 

Amostras pareadas são avaliadas em planejamentos onde são feitas duas 

medidas na mesma unidade amostral, ou seja, dados pareados, em que a unidade é 

o seu controle. Chamam-se também as observações pareadas de amostras 

dependentes. O teste adequado usado para diferenciar as médias entre as amostra 

pareadas consiste em definir, primeiramente, a diferença entre cada um dos pares 

de valores e, então, é testado se as médias das diferenças são iguais a zero. O 

número de graus de liberdade de um conjunto de dados satisfaz ao número de 

valores que podem modificar após terem sido atribuídas adequadas restrições a 

todos os valores. Em aplicações de distribuição, o número de graus de liberdade é 

dado pelo tamanho da amostra menos um: 

– (163) 

A região crítica, chamada também de região de rejeição, é o conjunto de 

todos os valores do teste estatístico que leva a recusar a hipótese nula. 

O nível de significância ( ) é a probabilidade de o teste estatístico cair na 

região de rejeição, quando a hipótese nula for verdadeira. Se o teste estatístico cair 

251

252 

na região de rejeição, recusa-se a hipótese nula, de modo que o nível de 

significância ( ) é a probabilidade de cometer o erro de recusar a hipótese nula, 

quando ela for verdadeira. 

Um valor crítico é algum valor que separa a região crítica - onde a hipótese 

nula é recusada - dos valores do teste estatístico que não levam à rejeição da 

hipótese nula. Sendo assim, os valores críticos são dependentes da natureza da 

hipótese nula, do nível de significância ( ) e da distribuição amostral aplicada. 

O valor de probabilidade (ou valor P ou valor-p ou ainda P-valor) é a 

probabilidade de se alcançar um valor do teste estatístico que possa ser, no mínimo, 

tão extremo quanto o que representa os dados amostrais, supondo que seja 

verdadeira a hipótese nula. A hipótese nula é recusada, se o valor P for bem 

pequeno, como 0,05 ou menos (MAGALHÃES JÚNIOR, 2009). 

Em uma distribuição, as caudas são as regiões extremas limitadas pelos 

valores de rejeição. A região de rejeição está nas duas regiões extremas (caudas) 

sob a curva no teste bilateral. 

É possível chegar à conclusão de recusá-la ou não recusá-la, ao se testar 

uma hipótese nula. Chama-se de erro tipo I, o erro de se recusar a hipótese nula 

quando ela é verdadeira. O símbolo (alfa maiúsculo) representa a probabilidade do 

erro do tipo I. E chame-se de erro tipo II, o erro de se aceitar a hipótese nula quando 

ela é falsa. O símbolo (beta maiúsculo) representa a probabilidade do erro tipo II. 

O poder de um teste de hipótese é a probabilidade (1- ) de se recusar uma 

hipótese nula falsa, que é calculada usando-se um nível de significância particular 

e um valor particular do parâmetro populacional, que seja uma alternativa ao valor 

assumido na hipótese nula. Sendo assim, o poder de um teste de hipótese é a 

probabilidade de se apoiar a uma outra hipótese alternativa verdadeira. 

Afirmativas a respeito de parâmetros populacionais podem ser avaliados 

usando o método do valor de probabilidade, através dos oito passos descridos 

abaixo: 

a) identifique à afirmativa ou hipótese específica a ser testada, e 

expresse-a em forma simbólica; 

b) dê a forma simbólica que tem que ser verdadeira, quando a 

afirmativa original é falsa; 

c) das duas expressões simbólicas obtidas até agora, faça da que não 

contém a igualdade a hipótese alternativa H1, de modo que H1 use o 

símbolo < ou > ou ≠. Deixe a hipótese nula H0 ser expressão 

simbólica que iguala o parâmetro ao valor fixo sendo considerado;

253 

d) selecione o nível de significância baseado na gravidade do erro 

tipo I. Faça pequeno, se as consequências de se rejeitar uma H0 

verdadeira forem graves. Os valores 0,05 e 0,01 são muito comuns; 

e) identifique a estatística de teste relevante para esse teste, e 

determine a distribuição amostral (tal como T-Student); 

f) ache a estatística de teste e o valor P. Desenhe um gráfico e mostre 

a estatística de teste e o valor P; 

g) rejeite H0, se o valor de P for menor do que ou igual ao nível de 

significância. Deixe de rejeitar H0, se o valor de P for maior que o 

nível de significância ; 

h) expresse a decisão anterior em termos simples e não-técnicos, 

remetendo à afirmativa original. (MAGALHÃES JÚNIOR, 2009, p. 

179) 

A hipótese nula precisa expressar igualdade e a hipótese alternativa não pode 

conter igualdade, de maneira que se tem: H0:d=0 versus H1:d≠0. 

TABELA 107 - Estrutura dos dados de uma amostra pareada. 

UNIDADE AMOSTRAL 1ª MEDIDA 

2ª MEDIDA Diferença entre as 

(antes) 

(depois) 

medidas 

1 x11 x12 d1 

2 x21 x22 d2 

. . . . 

. . . . 

np xn1 xn2 dnp 

Média x 1 x 2 d 

Desvio padrão s1 s2 sd 

Fonte: Adaptado de Triola 2008 


dj= diferenças individuais entre os dois valores em um único par; 

d= valor médio das diferenças dj para a população de todos os pares; 

np= é o número de pares de dados; 

e 

x 

j 

 

n 

x1j x2 j x nj 

i 1 

n 

 

 

n 

(164) 

2 

( xij 

x j ) 

s j i 1 

n 1 

(165) 

sendo para a 1ª medida j=1 e para a 2ª medida j=2.

254 

e 

d 

s 

d 

 

 

n 

1 2 

i 1 

d d d n 

n 

( d d ) 2 

i 1 

i 

n 1 

n 

(166) 

(167) 

Levando em conta que as medidas apresentam distribuição normal, a 

diferença entre essas medidas também apresentará distribuição normal. Deste 

modo, as distribuições t são adequadas para avaliar a hipótese nula, em que a 

média das diferenças é igual a zero. Já que os graus de liberdade são iguais ao 

número de amostras menos um e a estatística empregada para avaliar a hipótese de 

que não há diferença entre as condições antes e depois, é dado por: 

d 0 d 

 

(168) 

s / n s / n 

d 

p 

d 

p 

Se t n1, 

/ 2 ou tn1, 

/ 2 , recusa-se a hipótese nula, isto é, há diferença 

significativa entre as condições antes e depois. Se t n1, 

/ 2 tn1, 

/ 2 , não se 

recusa a hipótese nula, isto é, a amostra não gera evidência estatística de diferença 

entre as condições antes e depois. 

A área dos testes de hipóteses, na Estatística, um valor de 0,05 para o valor 

P, por exemplo, implica que existe uma probabilidade de 5% da amostra que se está 

testando possa ser extraída de uma população, supondo que a hipótese nula é 

verdadeira. Valor P próximo de 0 é um indicativo de que a hipótese nula é falsa. 

Com o valor P próximo de 1 não existe evidência aceitável para recusar a hipótese 

nula. Na maioria das vezes, um valor P de 0,05 é considerado como o patamar para 

analisar a hipótese nula. Se o valor P for menor que 0,05, pode-se recusar a 

hipótese nula, mas, se o valor P for acima de 0,05, não se tem evidência suficiente 

para recusar a hipótese nula, contudo, isso não significa automaticamente que a 

hipótese nula seja verdadeira. Nos casos com maior exigência, é comum o emprego 

de um valor P menor que 0,05.

Um resultado é considerado significante, na Estatística, se for improvável que 

ele tenha acontecido por acaso, caso uma dada hipótese nula seja verdadeira, no 

entanto, não sendo improvável se a hipótese base for falsa. Logo, nos testes de 

hipóteses fundamentadas em frequência estatística, a significância de um teste é a 

máxima probabilidade de se recusar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira 

(erro do tipo I). O nível de significância de um resultado é também chamado de e 

não deve ser confundido com o valor P (p-value), que é igual a 1 − e é chamado 

“poder do teste”. 

Quanto menor for o nível de significância mais significante é o resultado, por 

exemplo, um resultado que é "significante ao nível de 1%" é mais significante do que 

um resultado que é significante "ao nível de 5%". Porém, um teste ao nível de 1% de 

significância é mais sujeito a parecer o erro de tipo II do que um teste de 5% e, por 

isso, terá menor poder estatístico. Acreditava-se que um técnico deveria tentar 

maximizar o poder de uma dada significância. Atualmente, tenta-se, na verdade, 

alcançar uma melhor concordância entre significância e poder, em outras palavras, 

entre os erros de tipo I e tipo II. 

No presente trabalho, será usada a comparação de duas médias com dados 

emparelhados. O intuito é comparar duas equações diferentes, tanto do cálculo de 

como do cálculo de , por meio da comparação do erro médio (equações 6.x2 e 

6.x3) de vários conjuntos com variados números de imagens Fotoelásticas (N) de 

um disco sob compressão diametral. A escolha de se usar dados emparelhados se 

deve ao fato das mesmas imagens serem usadas em ambas as equações de cálculo 

- tanto para quanto para - e, por este tipo de teste, demandar uma menor 

quantidade de amostras. 

A média teórica das diferenças dos erros médios nos vários conjuntos de N 

imagens, d, fornece o ganho de precisão de uma equação de cálculo em relação à 

outra. Busca-se saber se d é ou não é igual a zero. Essa disposição é alcançada 

através do teste das hipóteses H0:d=0 versus H1:d≠0. A hipótese nula H0 deve ser 

recusada para um nível de significância =5%. Isto é, se o valor P for menor que 

5%, deve-se recusar a hipótese na qual H0:d=0. Sendo assim, pode se concluir que 

uma equação de cálculo é melhor, ou seja, mais precisa que a outra. Se o valor P for 

maior ou igual a 5%, deve-se aceitar a hipótese na qual H0:d=0 ou H0:1=2. Dessa 

255

256 

forma, conclui-se que as duas equações de cálculo têm o mesmo erro médio, ou 

seja, a mesma precisão no emprego da Técnica Fotoelástica. 

6.3 Experiências com fotografias com disco circular submetido à 

compressão diametral 

Para avaliar as novas equações propostas, foram fotografados 10 conjuntos 

de imagens com todos os ângulos θ (do analisador) necessários para aplicar as 

configurações propostas para as equações de cálculo. Para cada conjunto de 

imagem, toda a montagem, descrita na Seção 6.2, era novamente preparada, e um 

novo processo de aferição era executado. Após este processo, os 10 conjuntos com 

todas as fotos foram renomeados e separados de acordo com as equações de 

cálculo que foram aplicadas. 

Uma vez realizados os cálculos, estes são comparadas com a referência 

referencia teórica, usando-se as equação 161 e 162 para se calcular o erro médio, 

por meio de cada uma das novas equações de cálculo. O passo seguinte é calcular 

o valor P dos 10 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes equações. 

Primeiro aplicou-se as equações com passo constante, descritas na Seção 

4.7.1 e no Apêndice A, e pode-se visualizar um conjunto de todas as configurações 

de imagens com passo constante nas figuras 34 à 42. E os resultados obtidos para 

são mostrados nas tabelas 108 e 109 a seguir. 

TABELA 108 - Erro médio em 10 -6 radianos dos 10 conjuntos de imagens 

aplicadas às tabelas de equações numeradas para o cálculo de α. 

Erro Médio em 10 -6 rad 

do cálculo de α 

desempacotado 

Número de 

Imagens 

Equações 

das tabelas 

Conjunto de Imagens 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

3 4.5 4543 4536 4696 4512 4605 4578 4532 4697 4496 4551 

4 4.7 4249 4161 4324 4423 4206 4396 4404 4380 4287 4296 

6 4.11 3500 3375 3380 3495 3463 3286 3443 3352 3321 3418 

7 4.13 3196 3078 3259 3082 3008 3158 3265 3231 3114 3084 

10 4.15 1836 1905 1774 1854 1969 1964 1852 1887 1992 1759 

11 4.16 1641 1665 1555 1501 1632 1445 1577 1574 1584 1712 

16 4.17 1119 1081 1277 1039 1273 1281 1031 1032 1200 1261 

19 4.18 811 731 879 821 861 878 876 932 740 867 

31 A.1 485 505 484 671 685 713 492 518 437 476 


10

TABELA 109 - Valor P para α das comparações dos erros médios das 

equações aplicadas. 

3 4.5 

4 4.7 0% 

6 4.11 0% 0% 

7 4.13 0% 0% 0% 

10 4.15 0% 0% 0% 0% 

11 4.16 0% 0% 0% 0% 0% 

16 4.17 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 4.18 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

31 A.1 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


É interessante observar, na Tabela 109, que o valor P, quando comparado a 

equações com número de imagens diferentes, é igual 0%, o que faz recusar-se a 

hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Pode-se chegar a esta 

conclusão se o valor P for menor que 5%, como explicado na seção anterior. Com 

isso, conclui-se que as equações que utilizam número diferente de imagens têm 

precisão diferente, e isso pode ser notado na Tabela 108, quanto maior o número de 

imagens menor é o erro encontrado. 

111. 

Valor P de α 


Número de Imagens 

e Equações de 


Número de Imagens e Equações de Cálculo de α 

3 4 6 7 10 11 

16 19 31 

4.5 4.7 4.11 4.13 4.13 4.16 4.17 4.18 A.1 

A seguir serão apresentados os resultados obtidos para nas tabelas 110 e 


aplicadas às tabelas de equações numeradas para o cálculo de . 


do cálculo de δ 



Imagens 

Equações 

das tabelas 


1 2 3 4 5 6 7 

8 9 10 

3 4.5 13575 13513 13394 14522 13916 14638 13958 14258 14053 13459 

4 4.7 13697 13565 12698 12522 13844 13043 12763 13425 13464 13038 

6 4.11 10347 11035 10156 11074 10575 10970 10011 9996 11115 10524 

7 4.13 10098 9872 9689 9008 9366 9739 10391 9528 9299 9823 

10 4.15 5876 5774 5839 5472 6007 6283 6101 5334 6366 5889 

11 4.16 5564 4827 5335 5151 4868 5071 5531 4293 5492 5072 

16 4.17 3582 4123 4402 4416 3938 3959 3099 4371 3462 4405 

19 4.18 3284 3283 3222 3556 2954 3340 2928 2991 2447 3070 

31 A.1 1352 1346 1477 2512 1484 1868 2543 2553 1543 2242 


257

258 

TABELA 111 - Valor P para das comparações dos erros médios das 


Valor P de δ 





4.5 4.7 4.11 4.13 4.13 4.16 4.17 4.18 A.1 

3 4.5 

4 4.7 1% 

6 4.11 0% 0% 

7 4.13 0% 0% 0% 

10 4.15 0% 0% 0% 0% 

11 4.16 0% 0% 0% 0% 0% 

16 4.17 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 4.18 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

31 A.1 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


Novamente, a Tabela 111 apresenta o valor P menor que 5% quando 

comparado a equações com número de imagens diferentes, logo se recusar a 

hipótese nula, onde as médias dos erros são iguais. É relevante ressaltar que para 

cada equação desenvolvida, os erros médios encontrados para o retardo (Tabela 

110) são maiores que os erros médios encontrados para ângulo das franjas 

isoclínicas (Tabela 108). Acredita-se que este fato ocorra devido aos valores 

absolutos de serem maiores em relação aos os valores absolutos de . Pode-se 

observar, também, uma diminuição no erro médio encontrado quanto se usa mais 

imagens. As figuras 47 e 48 mostram essa relação entre a média do erro médio 

encontrado pelo número de imagens para os dois cálculos. 

Figura 47 - Gráfico com a relação entre a média do erro médio encontrado para 

e número de imagens. 

Média do Erro Médio (10-6 

rad) 

Número de Imagens e Equações de Cálculo de δ 

3 4 6 7 10 11 16 19 

Cálculo de Alfa Desempacotado 

5000 

4500 

4000 

3500 

3000 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 


Fonte: Resultados da Pesquisa. 

31

Figura 48: Gráfico com a relação entre a média do erro médio encontrado para 

e número de imagens. 

Média do Erro Médio (10-6 

rad) 

16000 

14000 

12000 

10000 

8000 

6000 

4000 

2000 

Cálculo de Delta Desempacotado 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 


Fonte: Resultados da Pesquisa. 

O segundo teste realizado foi com os resultados obtidos pelas equações com 

passo fixo igual a 10° (máximo de 10 imagens), descritas na Seção 4.7.2. Pode-se 

visualizar um conjunto de imagens com esse passo fixo na Figura 38. Neste caso, 

quando se executa o programa com a equação para três imagens, apenas as três 

primeiras imagens de cada conjunto são usadas; quando se executa o programa 

com a equação para quadro imagens, apenas as quatro primeiras imagens (as 3 

anteriores e mais uma) de cada conjunto são usadas; e assim por diante. 

Os resultados obtidos para são mostrados nas tabelas 112 e 113 a seguir. 







Imagens 

Equações 

das tabelas 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

3 4.19 11640 11594 11598 11630 11588 11692 11448 11595 11698 11700 

4 4.21 10480 10546 10566 10339 10569 10308 10316 10435 10431 10442 

5 4.23 9240 9308 9248 9231 9167 9262 9346 9188 9350 9317 

6 4.25 8236 8213 8007 8264 8040 8100 8148 8211 8005 8244 

7 4.26 7626 7455 7453 7676 7655 7476 7449 7435 7690 7648 

8 4.27 5227 5159 5326 5152 5290 5357 5393 5194 5236 5380 

9 4.28 2951 2946 2982 3137 2895 2919 3074 2933 3052 2861 

10 4.29 1857 1764 1773 1992 1845 1931 1951 1792 1748 1747 


259 

10

260 



3 4.19 

4 4.21 0% 

5 4.23 0% 0% 

6 4.25 0% 0% 0% 

7 4.26 0% 0% 0% 0% 

8 4.27 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.28 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.29 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


Observa-se, na Tabela 113, novamente o valor P abaixo de 5%, na 

comparação das equações com número de imagens diferentes, recusando-se então 

a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Já na Tabela 6.6, nota-se as 

equações com 3 imagens apresentando erros médios bem maiores que os obtidos 

com as equações de 3 imagens com passo constante (Tabela 108). Atribui-se este 

fato pela pequena diferença entre as 3 primeiras imagens com passo fixo de 10°. 

Mas, pode-se observar também que, para 10 imagens, as equações com passo fixo 

de 10° e as com passo constante apresentaram valores semelhantes para o erro 

médio. Isso era previsto, pois as imagens são as mesmas, porém os erros não são 

iguais, pois as equações utilizadas são diferentes, embora apresentem erros médios 

semelhantes. 

115. 







3 4 5 6 7 8 

4.19 4.21 4.25 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 








Imagens 

Equações 

das tabelas 

1 2 3 4 5 


3 4.19 35034 34838 34883 34636 34914 34762 34922 34760 35096 34293 

4 4.21 31127 31668 30987 31465 31507 30989 31538 31678 31424 31434 

5 4.23 27722 27721 28005 27544 28265 27858 27538 27495 27510 27632 

6 4.25 24133 24212 24638 24552 24291 24795 24094 24113 24298 24767 

7 4.26 22405 23098 22355 22336 23000 22403 22567 22458 22360 22622 

8 4.27 15691 16179 15750 16040 16103 15578 15685 15659 16003 16280 

9 4.28 9053 9312 8836 8742 8794 8784 9113 8744 8775 8964 

10 4.29 5689 5376 5276 5490 5794 5228 5527 5548 5629 5544 


9 

10 

6 7 8 9 10



3 4.19 

4 4.21 0% 

5 4.23 0% 0% 

6 4.25 0% 0% 0% 

7 4.26 0% 0% 0% 0% 

8 4.27 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.28 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.29 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


Neste caso também a Tabela 115 apresenta o valor P menor que 5%, quando 

comparado a equações com número de imagens diferentes, recusando-se também a 

hipótese nula. 







3 4 5 6 7 

8 9 10 

4.19 4.21 4.23 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 

O terceiro teste realizado foi com os resultados obtidos pelas equações com 

passo fixo igual a 9° (máximo de 11 imagens), descritas na Seção 4.7.3. Pode-se 

visualizar um conjunto de imagens com esse passo fixo na Figura 6.6. 

Os resultados obtidos para são mostrados nas tabelas 116 e 117 a seguir. 







Imagens 

Equações 

das tabelas 

1 2 3 


4 5 6 7 8 9 

3 4.30 15894 15979 15835 15943 15947 15918 15842 15836 15851 15891 

4 4.32 14352 14503 14631 14603 14466 14368 14328 14440 14404 14437 

5 4.34 13105 12917 13056 12942 13204 13167 12891 12996 12921 12977 

6 4.35 10772 10914 10736 10906 10840 11038 10905 10770 10870 10972 

7 4.36 9606 9382 9347 9624 9335 9460 9340 9288 9349 9498 

8 4.37 7299 7415 7315 7225 7292 7193 7494 7328 7171 7500 

9 4.38 6043 5741 6071 5838 6063 5975 6058 5916 5942 6015 

10 4.39 3142 3002 3078 2921 3037 2998 3142 3127 3212 2948 

11 4.40 1404 1379 1453 1520 1689 1521 1431 1495 1707 1565 


261 

10

262 

119. 









3 4 5 6 7 8 

9 10 

4.30 4.32 4.35 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.40 

3 4.30 

4 4.32 0% 

5 4.34 0% 0% 

6 4.35 0% 0% 0% 

7 4.36 0% 0% 0% 0% 

8 4.37 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.38 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.39 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.40 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 









Imagens 

Equações 

das tabelas 

1 2 3 4 


3 4.30 47376 47970 47829 47311 47911 47297 48179 47884 47863 47331 

4 4.32 43158 42883 43871 42888 43494 43482 43547 43759 43818 43335 

5 4.34 38999 39283 39628 39077 39131 38886 39278 38976 39228 39288 

6 4.35 32733 33011 33115 32670 32890 32835 32487 32196 33044 32687 

7 4.36 28247 28788 28902 27962 28893 28589 28444 28910 27870 27989 

8 4.37 21536 22236 21705 22430 22373 21910 22112 22459 21963 22084 

9 4.38 17843 18076 17513 18078 17683 18066 17195 17237 17653 17559 

10 4.39 9596 9074 8932 9481 8759 8812 8798 8763 8987 8999 

11 4.40 4356 4261 5022 4830 4311 4689 4979 4132 4607 4740 


11 

5 6 7 8 9 10









3 4 5 6 7 8 9 

4.30 4.32 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.40 

3 4.30 

4 4.32 0% 

5 4.34 0% 0% 

6 4.35 0% 0% 0% 

7 4.36 0% 0% 0% 0% 

8 4.37 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.38 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.39 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.40 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


Mais uma vez as tabela 117 e 119 apresentaram o valor P abaixo de 5% na 

comparação das equações com número de imagens diferentes, novamente 

recusando-se a hipótese nula. Já nas tabelas 116 e 118 observa-se, nas equações 

com 3 imagens erros médios maiores que os obtidos com as equações de 3 

imagens com passo fixo de 10° (tabelas 112 e 114). Atribui-se este fato pela ainda 

menor diferença entre as 3 primeiras imagens com passo fixo de 9°. Mas novamente 

para 11 imagens, as equações com passo fixo de 9° e as com passo constante 

(tabelas 108 e 110) apresentaram valores semelhantes para o erro médio. Isso 

também era de se esperar, já que as imagens são as mesmas, porém, com erros 

diferentes, pois as equações utilizadas são diferentes, embora apresentem erros 

médios semelhantes tanto para o cálculo de como para o cálculo de . 

A seguir, são apresentadas as tabelas de erro médio e valor P para passo fixo 

com máximo de 16, 19 e 31 imagens, descritos nas seções 4.7.4, 4.7.5 e 4.7.6 e 

com um conjunto de imagens mostradas nas figuras 40, 41 e 42, respectivamente. 

Nota-se nas conclusões observadas até aqui a mesma lógica. 

10 11 

263

264 


aplicadas às tabelas de equações numeradas para o cálculo de α com passo 

fixo de 6° e máximo de 16 imagens. 





Imagens 

Equações 

das tabelas 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

3 4.41 33242 33512 33468 33264 33420 33488 33181 33399 33435 33237 

4 4.43 30898 30905 30872 31148 31171 30870 31130 31128 30879 31028 

5 4.45 28631 28760 28860 28622 28613 28944 28932 28761 28765 28589 

6 4.46 26409 26650 26425 26615 26410 26316 26517 26506 26654 26297 

7 4.47 24109 24079 24005 24113 24080 24068 24374 24189 24102 24058 

8 4.48 21803 21751 21907 21924 21946 21988 21884 22065 22062 22050 

9 4.49 19498 19452 19672 19593 19806 19619 19719 19567 19529 19575 

10 4.50 17145 17414 17495 17266 17376 17400 17191 17272 17163 17487 

11 4.51 15035 15164 15207 14989 14952 15003 15092 15128 15155 15075 

12 A.2 10525 10472 10487 10511 10462 10661 10518 10437 10474 10405 

13 A.3 8349 8164 8348 8347 8221 8087 8272 8126 8277 8029 

14 A.4 5927 5905 5946 6049 5820 5857 5934 6094 5901 6064 

15 A.5 3682 3510 3763 3796 3453 3775 3661 3522 3533 3711 

16 A.6 1326 1086 1336 1033 1131 1094 1272 1354 1310 1279 


TABELA 121 - Valor P para α das comparações dos erros médios da tabela 

anterior. 






3 4 5 6 


7 8 

9 10 

4.41 4.43 4.46 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 4.51 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 

3 4.41 

4 4.43 0% 

5 4.45 0% 0% 

6 4.46 0% 0% 0% 

7 4.47 0% 0% 0% 0% 

8 4.48 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.49 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.50 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.51 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

12 A.2 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

13 A.3 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

14 A.4 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

15 A.5 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

16 A.6 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


11 12 

13 

10 

14 15 16


aplicadas às tabelas de equações numeradas para o cálculo de com passo 






Imagens 

3 4.41 75857 75826 75367 74871 75240 75521 74588 75703 74741 75646 

4 4.43 70513 69962 69556 69752 70313 69513 70538 69870 70688 69927 

5 4.45 65344 64886 64433 65137 65148 65462 65407 64298 64880 65129 

6 4.46 59986 59748 60305 59546 60079 59565 59598 60151 59225 60067 

7 4.47 54255 54234 54641 55128 54314 55149 55245 54724 54428 54309 

8 4.48 49931 49972 49970 49737 49459 49426 49916 49456 48890 49114 

9 4.49 44358 44413 44908 44015 44449 43817 44130 43718 44518 43997 

10 4.50 39607 39276 38602 39331 39106 39136 39516 39710 38681 39507 

11 4.51 34346 34336 34382 34477 34268 34092 34094 34085 34139 34540 

12 A.2 23211 23968 24077 24342 23628 23604 23656 23812 24294 24189 

13 A.3 18264 18192 18564 19212 19200 19275 18327 18456 18174 18986 

14 A.4 13648 13431 13104 13646 13150 13128 13034 13136 14029 14105 

15 A.5 8834 7725 8897 7845 8067 8455 8767 8921 8637 8640 

16 A.6 3215 2752 2420 3534 2382 3296 2985 3100 2739 3445 


TABELA 123 - Valor P para das comparações dos erros médios da tabela 

anterior. 






Equações 

das tabelas 

3 4 

1 2 3 4 5 



5 6 7 8 9 


6 7 8 9 10 

10 11 12 13 14 

4.41 4.43 4.45 4.46 4.47 4.48 4.49 4.50 4.51 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 

3 4.41 

4 4.43 0% 

5 4.45 0% 0% 

6 4.46 0% 0% 0% 

7 4.47 0% 0% 0% 0% 

8 4.48 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.49 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.50 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.51 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

12 A.2 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

13 A.3 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

14 A.4 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

15 A.5 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

16 A.6 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

265 

15 16

266 








Imagens 

Equações 

das tabelas 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

3 4.52 40052 40065 40018 39958 39907 39911 39916 40124 40107 40038 

4 4.54 36198 36196 36060 36226 36154 36236 36034 36062 36171 36033 

5 4.56 32331 32388 32349 32224 32367 32166 32244 32228 32273 32215 

6 4.57 31145 31058 30965 31160 31001 31012 31075 30951 30876 31166 

7 4.58 28354 28480 28515 28311 28512 28421 28574 28542 28577 28335 

8 4.59 25742 25958 25986 25786 25725 26021 25968 25809 25991 25765 

9 4.60 23207 23287 23313 23337 23203 23442 23150 23247 23283 23217 

10 4.61 20702 20757 20701 20640 20694 20726 20730 20734 20859 20650 

11 4.62 18292 18023 18009 18196 18152 18137 18302 18105 18234 18188 

12 A.7 16918 16853 16901 16808 17000 17006 16977 16898 16919 17004 

13 A.8 14331 14194 14219 14169 14233 14253 14350 14172 14191 14331 

14 A.9 11759 11785 11677 11867 11871 11814 11716 11645 11842 11643 

15 A.10 9307 9064 9249 9204 9296 9006 9174 9048 9001 9300 

16 A.11 6049 6080 5842 5919 6006 5934 5958 5852 6013 6057 

17 A.12 4169 3933 3881 4055 3904 4133 4173 4070 3861 3955 

18 A.13 2139 2153 2173 2089 1985 2153 2101 2039 2054 1954 

19 A.14 807 778 796 681 872 719 896 957 734 738 



anterior. 






3 4 5 6 

7 8 


9 10 

4.52 4.54 4.57 4.57 4.58 4.59 4.60 4.61 4.62 A.7 A.8 A.9 A.10 A.11 A.12 A.13 A.14 

3 4.52 

4 4.54 0% 

5 4.56 0% 0% 

6 4.57 0% 0% 0% 

7 4.58 0% 0% 0% 0% 

8 4.59 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.60 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.61 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.62 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

12 A.7 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

13 A.8 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

14 A.9 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

15 A.10 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

16 A.11 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

17 A.12 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

18 A.13 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 A.14 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


10 

11 12 13 14 15 16 17 18 19








Imagens 

3 4.52 84482 84541 84589 84332 84710 84735 84479 84562 84283 84641 

4 4.54 76072 76590 76071 76161 76004 76220 76313 76146 76137 76608 

5 4.56 68503 68279 68481 68047 68467 68336 68248 68199 68276 68305 

6 4.57 65653 65155 65199 65734 65713 65779 65368 65798 65432 65201 

7 4.58 59787 59726 59828 60250 59751 60135 59915 59821 59971 60351 

8 4.59 54868 54888 54310 54817 54855 54835 54482 54455 54523 54318 

9 4.60 48956 49231 49054 49127 49495 49292 48979 49093 49337 49094 

10 4.61 43531 43560 43878 43591 43882 43508 43563 43715 44048 43532 

11 4.62 38590 38418 38645 38044 38359 38008 38263 38345 38581 38544 

12 A.7 35459 35557 35774 35673 35506 35417 35479 35818 35498 35531 

13 A.8 30407 30076 30366 30477 30098 30214 30520 30233 30239 29919 

14 A.9 24922 25029 25021 24946 24836 24713 24821 25037 24696 24518 

15 A.10 19297 19464 19193 19518 19229 19011 19180 19445 19652 19579 

16 A.11 12743 12638 12629 12624 12800 12851 12715 12824 12678 12763 

17 A.12 8629 8808 8456 8298 8666 8391 8346 8568 8154 8406 

18 A.13 4425 4688 4551 4544 4255 4204 4506 4101 4468 4238 

19 A.14 3059 3006 3235 3275 2896 3062 2750 3090 2841 2864 



anterior. 






Equações 

das tabelas 

1 2 3 4 5 

3 4 5 6 7 8 9 



10 11 12 13 14 


6 7 8 9 10 

4.52 4.54 4.56 4.57 4.58 4.59 4.60 4.61 4.62 A.7 A.8 A.9 A.10 A.11 A.12 A.13 A.14 

3 4.52 

4 4.54 0% 

5 4.56 0% 0% 

6 4.57 0% 0% 0% 

7 4.58 0% 0% 0% 0% 

8 4.59 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.60 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.61 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.62 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

12 A.7 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

13 A.8 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

14 A.9 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

15 A.10 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

16 A.11 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

17 A.12 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

18 A.13 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 A.14 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

267 

15 16 17 18 19

268 








Imagens 

Equações 

das tabelas 


1 2 3 4 5 6 7 8 9 

3 4.63 68648 68587 68850 68783 68594 68592 68947 68640 68989 68754 

4 4.65 65214 65375 65476 65503 65394 65539 65478 65276 65464 65445 

5 4.67 61748 61974 62137 62049 61752 61745 62112 61820 62063 62121 

6 4.68 58395 58622 58369 58617 58579 58359 58506 58550 58654 58676 

7 4.69 55075 55039 55062 55086 55157 54948 55101 55259 55176 55118 

8 4.70 51745 51547 51839 51758 51451 51474 51627 51735 51502 51556 

9 4.71 48155 48121 48155 48099 48309 48250 48240 48350 48189 48138 

10 4.72 42982 43005 43018 42896 43252 43144 42981 42946 43137 42883 

11 4.73 39545 39512 39647 39444 39704 39473 39691 39651 39730 39574 

12 A.15 36179 36105 36036 36202 36424 36305 36412 36384 36297 36284 

13 A.16 32827 32889 32823 32575 32778 32829 32922 32737 32988 32903 

14 A.17 29569 29440 29357 29480 29309 29154 29533 29169 29488 29217 

15 A.18 25878 25786 25729 25902 25865 25849 26073 25937 26059 26003 

16 A.19 24363 24030 24366 24291 24142 24270 24262 24259 24251 24376 

17 A.20 20855 20605 20905 20776 20988 20783 20831 20767 20854 20724 

18 A.21 17172 17492 17294 17171 17158 17300 17325 17253 17198 17337 

19 A.22 14025 14009 13816 14117 13773 13818 14107 13985 14090 13720 

31 A.23 729 837 438 716 605 466 467 569 740 474 



anterior. 







3 4 5 6 7 8 9 10 11 

12 

4.63 4.65 4.68 4.68 4.69 4.70 4.71 4.72 4.73 A.15 A.16 A.17 A.18 A.19 A.20 A.21 A.22 A.23 

3 4.63 

4 4.65 0% 

5 4.67 0% 0% 

6 4.68 0% 0% 0% 

7 4.69 0% 0% 0% 0% 

8 4.70 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.71 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.72 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.73 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

12 A.15 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

13 A.16 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

14 A.17 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

15 A.18 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

16 A.19 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

17 A.20 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

18 A.21 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 A.22 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

31 A.23 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


13 14 15 16 17 18 19 

10 

31








Imagens 

Equações 

das tabelas 

1 2 3 4 5 


269 

3 4.63 144034 143850 143267 143770 143569 143916 143460 143313 143394 142967 

4 4.65 136105 136449 136264 136748 136010 136599 135972 136254 136173 135920 

5 4.67 128626 129129 128615 128605 129356 129742 128902 129663 128789 129108 

6 4.68 121647 121625 122516 121920 122037 121963 121637 121457 121761 122389 

7 4.69 115021 115469 115460 114825 115440 114755 115376 115353 115437 114967 

8 4.70 108257 107512 108208 108198 107417 108250 107596 108208 107881 107430 

9 4.71 100720 100005 100395 100888 100625 101040 100831 100200 100556 101045 

10 4.72 89881 89287 89991 89956 89315 89488 89967 89348 89944 89321 

11 4.73 82498 83257 82568 82446 82931 83128 82813 83152 82663 82759 

12 A.15 75074 75949 75680 75951 75712 75702 75500 75363 75573 75149 

13 A.16 68224 68987 68312 68189 68119 68663 68026 67959 68405 68587 

14 A.17 61248 61159 61841 61796 60798 61339 61775 60890 60914 61182 

15 A.18 54067 54471 53788 53753 53790 54699 54369 53865 53625 53851 

16 A.19 50389 50270 50602 50757 50845 50731 50184 50344 50510 50939 

17 A.20 43527 43454 43055 42866 42932 43138 43516 43446 43774 43026 

18 A.21 35790 36790 36053 36606 36780 36723 36298 36078 35781 36356 

19 A.22 29452 29516 29245 29353 29001 28760 28686 28960 28926 28693 

31 A.23 1958 1508 1383 2022 1011 1815 919 1665 1753 1764 



anterior. 






3 4 5 6 7 



6 7 8 9 10 

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 

4.63 4.65 4.67 4.68 4.69 4.70 4.71 4.72 4.73 A.15 A.16 A.17 A.18 A.19 A.20 A.21 A.22 A.23 

3 4.63 

4 4.65 0% 

5 4.67 0% 0% 

6 4.68 0% 0% 0% 

7 4.69 0% 0% 0% 0% 

8 4.70 0% 0% 0% 0% 0% 

9 4.71 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

10 4.72 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

11 4.73 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

12 A.15 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

13 A.16 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

14 A.17 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

15 A.18 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

16 A.19 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

17 A.20 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

18 A.21 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 A.22 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

31 A.23 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

As equações A.1 à A.23 encontram-se no Apêndice A, desta tese.

270 

Então, conclui-se que de uma forma geral os melhores resultados foram 

encontrados nas equações com passo constante entre -45° e 45°, principalmente 

para os conjuntos com menos de 10 imagens. Provavelmente isso ocorre devido às 

semelhanças entre as primeiras imagens de passo fixo com pouca rotação do 

ângulo . 

O deslocamento de fase foi realizado manualmente por meio da rotação do 

analisador, tornando-se susceptível a erros e não assegurando ao passo do 

deslocamento de fase exatamente o mesmo valor entre todas as imagens. 

Outra ressalva, consiste nas fotografias possuírem alta taxa de ruídos, 

imperfeições e incertezas em decorrência da poeira no ar, no conjunto ótico do 

polariscópio e na lente da câmera fotográfica, mesmo limpando os equipamentos 

antes dos testes; de vibrações mecânicas presentes no laboratório; de variações na 

temperatura da sala; de reflexo da luz, pelo fato do laboratório não ser 

completamente escuro; de erros no processo de deslocamento de fase; de redução 

das imagens em razão das áreas a serem analisadas; de erro no posicionamento 

dos elementos óticos; em relação à fonte de luz, corpo de prova e a câmera, que 

deveriam ficar exatamente lineares no centro; de erro na medição do diâmetro e da 

espessura do corpo de prova; erro da medição da carga pela célula de carga; e de 

erros na discretização da imagem em pontos e em tons de cinza. Apesar dos 

cuidados e de antecipadas calibrações, as fotografias apresentam muitos pequenos 

erros. 

6.4 Experiências com imagens geradas no computador e acrescidas de 

ruídos 

Na sequência da pesquisa, ao invez de capturar as fotografias com câmera 

digital, seguiu-se a proposta mostrada em Marques Pereira et al. (2007), onde, 

usando as equações de tensões expostas por eles e complementando com as 

equações do trabalho de Baek et al. (2002) (Seção 4.2.3), pode-se gerar, além dos 

mapas de fase, as imagens de modelos fotoelásticos com deslocamento de fase. 

Porém apenas de um disco circular foi submetido a compressão. O método em 

elementos finitos proposto por Ashokan e Ramesh (2009) é outro método, descrito 

na Seção 5.4 nesta tese, que pode gerar os resultados de mapas de fase, com a

vantagem de ser possível confeccionar vários tipos de configuração e não só o disco 

sob compressão diametral. 

Nesta pesquisa escolheu-se testar com método proposto por Marques Pereira 

et al. (2007), pois a implementação em MatLab das equações já foi realizada para 

gerar os mapas de fase considerados como valores de referência no cálculo do erro 

médio. Logo, são testados apenas imagens acrescidas dos três tipos de ruídos 

descritos na Seção 5.5 do Capítulo 5, pois, se não forem acrescentados os ruídos, 

as imagens seriam relativamente perfeitas e os erros médios muito pequenos, em 

razão apenas do processo de discretização em pixéis e em tons de cinza. Assim, 

foram criados 10 conjuntos com todas as configurações do ângulo θ acrescidas de 

ruídos aleatórios. A Figura 49 mostra, apenas como ilustração, um conjunto de 4 

imagens com passo constante gerado. 

Figura 49: Conjunto com 4 imagens geradas acrescidas de ruídos, com passo 

igual a 30°, do disco circular sob compressão diametral. 

-45° 

-15° 

15° 


A quantidade de imperfeições deve ser grande para se obter o efeito 

desejado. As tabelas seguintes mostram o resultado do erro médio e do valor P. 

Aplicou-se apenas para passo constante, pois este foi o melhor resultado obtido na 

seção anterior. 

45° 

271

272 


geradas no computador aplicadas às tabelas de equações numeradas para o 

cálculo de α. 





Imagens 

Equações 

das tabelas 

1 2 3 4 

3 4.5 1335 1334 1334 1335 1331 1335 1334 1331 1330 1332 

4 4.7 1244 1246 1250 1251 1246 1246 1250 1251 1251 1250 

6 4.11 989 990 990 990 991 991 992 987 986 992 

7 4.13 902 901 908 907 906 903 901 901 903 904 

10 4.15 516 518 516 521 521 519 520 521 518 518 

11 4.16 433 430 433 430 432 432 434 436 431 430 

16 4.17 306 304 301 306 300 303 300 304 304 301 

19 4.18 221 222 219 220 221 222 223 217 219 215 

31 A.1 132 135 129 133 136 130 133 129 135 129 


Após realizadas as comparações nos cálculos das imagens geradas com 

ruídos e os valores considerados de referência (Equação 161), o passo seguinte é 

calcular o valor P, comparando entre si cada par de diferentes equações de 

equações mostradas na Tabela 133. 


5 6 7 8 9 

TABELA 133 - Valor P das comparações dos erros médios das equações 

aplicadas às imagens geradas no computador com ruído aleatório 







3 4 6 7 10 11 

16 19 31 

4.5 4.7 4.11 4.13 4.13 4.16 4.17 4.18 A.1 

3 4.5 

4 4.7 0% 

6 4.11 0% 0% 

7 4.13 0% 0% 0% 

10 4.15 0% 0% 0% 0% 

11 4.16 0% 0% 0% 0% 0% 

16 4.17 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 4.18 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

31 A.1 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


10

Ressalta-se, na Tabela 133, o valor P, quando comparado a equações com 

número de imagens diferentes, é igual 0%, recusando-se então a hipótese nula. 

Com isso, conclui-se que as equações ao utilizarem número diferente de imagens 

têm precisão diferente, conforme a Tabela 132. Quanto maior o número de imagens 

menor é o erro encontrado. 


geradas no computador aplicadas às tabelas de equações numeradas para o 

cálculo de . 





Imagens 

Equações 

das tabelas 

1 2 3 4 5 


6 7 8 9 10 

3 4.5 4009 4007 4004 3989 4010 4004 3996 4003 4010 3998 

4 4.7 3745 3751 3746 3748 3739 3748 3746 3751 3740 3747 

6 4.11 2978 2983 2960 2975 2979 2968 2958 2973 2975 2973 

7 4.13 2721 2713 2700 2713 2708 2723 2708 2724 2707 2703 

10 4.15 1558 1568 1558 1553 1543 1564 1545 1555 1547 1559 

11 4.16 1301 1296 1291 1310 1300 1310 1299 1289 1289 1302 

16 4.17 922 916 922 921 917 914 902 919 919 916 

19 4.18 665 662 667 660 658 643 643 659 655 650 

31 A.1 392 410 396 400 395 387 399 389 392 388 


TABELA 135 - Valor P das comparações dos erros médios das equações 

aplicadas às imagens geradas no computador com ruído aleatório 







3 4 6 7 10 11 16 19 

4.5 4.7 4.11 4.13 4.13 4.16 4.17 4.18 A.1 

3 4.5 

4 4.7 0% 

6 4.11 0% 0% 

7 4.13 0% 0% 0% 

10 4.15 0% 0% 0% 0% 

11 4.16 0% 0% 0% 0% 0% 

16 4.17 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

19 4.18 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 

31 A.1 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 


31 

273

274 

Também, na Tabela 135 o valor P, quando comparado a equações com 

número de imagens diferentes, é 0%, logo se rejeita a hipótese nula. Com isso, 

conclui-se que as equações, ao utilizarem mais imagens, produzem um erro menor. 

Isso só ocorre porque as imagens geradas têm bastantes ruídos e imperfeições 

aleatórias, e mesmo assim apresentam melhores resultados que as fotografias reais. 

Pode-se citar como fontes de erros e sugestões de melhoria: 

a) resolução fotográfica maiores (acima de 2 megapixéis); 

b) melhor regulagem da rotação do ângulo do analisador, talvez tornando-o com 

ajuste mecânico automático; 

c) acertos finos ao colocar câmera, objeto e fonte de luz no mesmo plano 

geométrico; 

d) sala completamente escura; 

e) eliminação de vibrações mecânicas e ruídos sonoros de motores no 

laboratório; 

f) substituição da discretização monocromática em tons de cinza de 8 bits (256 

tons) para 16 bits (65536 tons); 

g) implementação de melhores filtros iniciais de Processamento Digital de 

Imagens nas fotografias; 

h) evitar contaminação de poeira e sujeira nos equipamento e na sala; 

i) aperfeiçoamentos no sistema de calibração da montagem experimental da 

Técnica Fotoelástica; e 

j) controlar as variações na temperatura e umidade do ar durante os 

experimentos. 

6.5 Comparação com Algoritmo de Patterson e Wang 

Objetivando de comparação das equações deduzidas nesta tese, utilizou-se a 

programação do algoritmo de Patterson e Wang, descrito na Seção 4.2.2, e um 

conjunto de 6 imagens para teste, mostradas na Figura 50, disponíveis no CD que 

acompanha o livro “Digital Photoelasticity” (RAMESH, 2000). Esta programação gera 

os mapas de fase comparadas com os valores de referência usados para os 

cálculos do valor médio nas seções anteriores. Foi necessário ajustar o tamanho dos 

mapas de fase fornecidos pelo programa. Esse processo, infelizmente, pode gerar

erros, mas ele também foi realizado nas imagens fotográficas feitas neste trabalho. 

O resultado é apresentado na Tabela 136. 

Figura 50: Imagens fotográficas com deslocamentos de fase necessários para 

aplicação do algoritmo de Patterson e Wang. 

Fonte: Arquivo do CD que acompanha o livro “Digital Photoelasticity” (RAMESH, 2000). 

TABELA 136 - Erro médio em 10 -6 radianos do conjunto de imagens da Figura 

50 para os cálculos de e . 

Erro Médio em 10 -6 rad do cálculo 



Imagens 

α δ 

6 1537 4556 


Visando uma melhor visualização da comparação entre as equações 

desenvolvidas e o algoritmo de Patterson e Wang, a Tabela 137 traz as médias dos 

erros médios calculados para os 10 conjuntos de imagens com passo constante, 

tanto para , como para dos valores apresentados nas tabelas 108 e 110. 

275

276 

TABELA 137 - Média do erro médio em 10 -6 radianos dos 10 conjuntos de 

imagens com passo constante. 

Pelo algoritmo de Patterson e Wang com 6 imagens encontra-se o erro médio 

menor do que para 6 imagens usando as novas equações propostas. Acredita-se 

que a razão pelo qual se obtém esse melhor resultado é a maior distinção entre as 

fotos de deslocamentos de fase. Porém, para chegar à essas imagens, é necessário 

rotacionar o analisador e a segunda placa de um quarto de onda do polariscópio 

com certa configuração que, por exemplo, no polarímetro circular da Strainoptic 

Technologies, Inc. modelo PS-100, existente no laboratório de Análise Estrutural da 

PUC-Minas, não é possível montar com os elementos óticos disponíveis. 

O erro médio do algoritmo de Patterson e Wang com 6 imagens está na faixa 

do erro médio encontrado para 11 imagens com o uso das novas equações 

desenvolvidas, mas a partir de 16 imagens podem-se constatar menores erros 

médios para as novas equações desenvolvidas, indicando que com um maior 

número de imagens obtém-se menores erros. 

6.6 Conclusões do capítulo 

Média do Erro Médio nos 10 conjuntos em 10 -6 

rad do cálculo de α e δ desempacotado 


Imagens 

Equações 

das tabelas 

α δ 

3 4.5 4547 14039 

4 4.7 4270 13295 

6 4.11 3405 10614 

7 4.13 3086 9780 

10 4.15 1850 5947 

11 4.16 1588 5064 

16 4.17 1158 3763 

19 4.18 835 2923 

31 A.1 545 2113 


Com base na inferência Estatística, pode-se concluir que para fotografias 

reais do método de deslocamento de fase e imagens geradas por computador com 

erros e ruídos aleatórios, quanto maior o número de imagens nas equações de

cálculo, menor o erro nas medições e maior a precisão no uso da Técnica 

Fotoelástica Digital. Todas as equações com o mesmo número de imagens 

apresentam precisão semelhante, não se podendo distinguir uma como melhor que 

a outra. 

A conclusão obtida estatisticamente é, empregando-se maior número de 

imagens, têm melhor precisão e provavelmente menor erro em relação às equações 

que utilizam um número menor de imagens. Uma provável razão para tal achado 

seria porque com mais imagens consegue-se mais informação e maior redundância 

de cálculo para cada ponto da imagem, reduzindo os efeitos causados pelos erros 

aleatórios das fotografias. 

A intenção deste capítulo foi testar as novas equações de cálculo de e 

que utilizam mais de três imagens, comprovando-se sua utilização como viável e 

indicada para compor algoritmos melhores e com maior precisão na implementação 

da Técnica Fotoelástica com Deslocamento de Fase. 

Após várias tentativas, tanto em referencias bibliográficas como em cálculos 

de padrões, não se conseguiu determinar o quanto o erro diminui com o aumento do 

número de imagens. Talvez a Técnica Fotoelástica não seja indicada para essa 

quantificação pelo fato do erro ser dependente de um grande número de variáveis, 

conforme descritas neste capítulo. 

277

278 

7 CONCLUSÕES 

Dos muitos métodos ópticos de análise de tensões que têm sido 

desenvolvidos, fotoelasticidade é a mais fácil de se utilizar. Os instrumentos óticos 

necessários para realizar uma análise fotoelástica são simples e relativamente 

baratos. Uma mesa para isolamento de vibrações, exigida por métodos 

interferométricos, não é necessária para o uso do polariscópio. Fontes de luz 

comuns podem ser usadas na formação de imagens com padrões de franjas 

fotoelásticas. Os modelos são relativamente fáceis de construir a partir de polímeros 

transparentes birrefringentes. Os dados fornecem um mapa de campo completo com 

informações das diferenças de tensões principais e suas direções. Tanto a análise 

em 2D e 3D são possíveis. Por fim, a teoria da fotoelasticidade é relativamente fácil 

de os alunos compreenderem e os resultados são bastante visuais. 

Os crecentes avanços no processamento digital de imagens, na capacidade 

de processamento e armazenamento de dados possibilitam o emprego da 

fotoelasticidade através de tecnologias auxiliadas por computador, chegando em 

uma automatização do método. Com isso, aumenta-se sua importância e 

aplicabilidade comercial e industrial em várias áreas do conhecimento como na 

mecânica dos sólidos, engenharia civil, mecânica e mecatrônica, e em vários 

campos da odontologia e medicina. Buscou-se no presente trabalho, aprimorar a 

precisão da técnica criando uma nova metodologia para automatização que 

possibilita o emprego de uma maior quantidade de imagens. 

Como proposto no objetivo geral, desta pesquisa, deduziram-se novas 

equações numéricas de cálculos das direções das tensões e dos retardos (mapas 

de fase das franjas isoclínicas e isocromáticas) para o campo completo da imagem 

de forma automática, através da programação do método de deslocamento de fase 

na Fotoelasticidade Digital. Com essas novas equações é possível utilizar um 

número maior de imagens com fase deslocada apenas pela rotação do analisador e 

obter cálculo com menores incertezas. 

Depois de realizada uma revisão bibliográfica pertinente ao tema em questão, 

os métodos numéricos foram empregados, de forma inédita para Técnica 

Fotoelástica, na obtenção de uma metodologia para deduzir as novas equações, 

onde o enfoque das metodologias, até então, eram tratadas por métodos algébricos 

e analíticos. Escolheu-se aplicar os métodos numéricos devido ao sucesso obtido

por Magalhães Júnior (2009) para o caso da Técnica Moiré de Sombra com 

Deslocamento de Fase. Porém, foi necessário adaptar completamente os métodos e 

algoritmos propostos. Com isso, estendeu-se a metodologia para o caso específico 

da Fotoelasticidade Digital. O Capítulo 4 apresenta o processo realizado, passo a 

passo, com as novas equações encontradas. 

Apesar do grande esforço, não foi possível estimar, com sucesso, a 

porcentagem de diminuição no erro médio alcançado na medida em que se aumenta 

o número de imagens. Uma razão para este fracasso foi a grande quantidade de 

variáveis que influenciaram os testes da Técnica Fotoelástica. Mas, é importante que 

estas novas equações de cálculo sejam mais pesquisadas e trabalhadas no futuro. 

Testando-se outros corpos de prova, com geometrias diferentes. 

Outras técnicas de deslocamento de fase na fotoelasticidade digital usam 

apenas configurações com grupo de quatro imagens até no máximo dez imagens, 

sendo dessa última configuração os melhores resultados apresentados até então, 

para encontrar os mapas de fase, como abordado no Capítulo 3. Porém, para 

chegar a estas configurações são necessários vários tipos de rotação de mais de um 

elemento ótico do polariscópio e até o uso de polariscópio circular, semi-circular e 

plano na mesma técnica. As equações desenvolvidas neste estudo pautam-se numa 

visão mais ampla, que considera ruídos nas imagens e podem usar um grande 

número de imagens para melhorar a precisão dos cálculos, fazendo o deslocamento 

de fase apenas com a rotação do analisador no polariscópio circular. A questão 

dessa abordagem é a melhoria dos cálculos obtidos com o aumento da quantidade 

de observação ou informações. A hipótese da existência de grande quantidade de 

ruídos nas imagens parece ser verdadeira. Os erros randômicos podem ser 

reduzidos com maior número de imagens, e os erros sistemáticos, só com 

calibração. 

No processo de avaliação das novas equações do cálculo de fase, usou-se a 

inferência estatística através do Teste T-Student, para determinar, pela média, qual 

era a mais precisa e qual apresentava menor incerteza nos cálculos de α e δ. 

Observou-se que, quanto maior o número de imagens fotográficas digitais ou com 

ruídos aleatórios, menores os erros médios em radianos dos mapas de fase 

medidos. 

O teste estatístico T-Student emparelhado mostrou, claramente, que quando 

se aumenta o número de imagens para se realizar a medição, tem-se uma melhor 

279

280 

precisão e um menor erro médio nos cálculos de mapas de fase. Com a alteração da 

equação do cálculo de fase, mantendo-se do número de imagens, situação que 

ocorria quando se aplicava o máximo número de imagens com passo fixo em 

comparação com o passo constante, não se nota melhoria na precisão e o erro 

médio é bem parecido. Este fenômeno se deve à presença de erros aleatórios nas 

fotografias, que foi comprovada, usando-se imagens geradas pelo computador. 

Dentre as vantagens das novas equações propostas nesta tese está a 

melhoria na precisão dos cálculos obtida, como mostrada pelo Teste T-Student no 

Capítulo 6, com um número maior que onze imagens, se comparado com o 

algoritmo de Patterson e Wang com seis imagens, e a maior imunidade a ruídos 

aleatórios presentes nas imagens fotográficas, já que é possível usar mais imagens. 

Entre as desvantagens, está a maior quantidade de imagens necessárias para 

realizar os cálculos com a mesma precisão, porém com uma configuração de 

deslocamento de fase mais simples. 

Nota-se que as imagens digitais fotografadas pela Técnica Fotoelástica com 

deslocamento de fase foram usadas apenas para se comparar as novas equações 

desenvolvidas. Não teve necessidade de se avaliar detalhadamente todas as 

prováveis fontes de erros e incertezas nas montagens experimentais. Uma vez que 

as mesmas imagens fotográficas eram empregadas em todas as equações de 

cálculo desenvolvidas. Isso facilitou bastante o trabalho experimental da tese. 

A principal contribuição inédita da tese trata das novas equações de cálculo 

desenvolvidas. Acredita-se que a tese seja uma contribuição no uso da 

Fotoelasticidade Digital com deslocamento de fase, que não fica mais restrito à dez 

imagens, buscando mais precisão e exatidão nas medidas com maior imunidade a 

ruídos e robustez na sua aplicação. 

A Técnica Fotoelástica com Deslocamento de Fase mostra-se perfeitamente 

utilizável em muitas aplicações práticas da indústria automobilística, na área médica 

e odontológica. Sendo possível melhorar, ainda mais, a sua precisão. Pelo que foi 

assimilado durante os testes, acredita-se que muitos avanços podem ser realizados 

no sentido de tornar esta técnica uma das mais importantes nas medições óticas de 

tensões. 

Antes do fim deste estudo, faz-se necessário apresentar a proposta de 

evolução da tese ora defendida, que representa um esforço significativo no âmbito 

das pesquisas sobre a importante Técnica Fotoelástica para análise experimental de

tensões, que deverá ter prosseguimento como parte do Programa de Pós-graduação 

em Engenharia Mecânica da Pontifícia Universidade de Minas Gerais, dada a 

existência de um substancial legado de pesquisas anteriores, como experimentos 

montados, equipamentos, programas e técnicas já desenvolvidas. 

Sugere-se melhores e mais detalhados estudos das novas equações de 

cálculo desenvolvidos nesta tese, principalmente das equações com grande 

quantidade de imagens, com outras geometrias e materiais. 

Propõem, também, estudos quantitativos de como o erro médio diminui a 

medida que se usa as novas equações do cálculo de fase aumentando a quantidade 

de imagens. Na tese conseguiu-se mostrar por meio do Teste T-Student que quando 

se utilizava para cálculo da fase equações com maiores quantidades de imagens, o 

erro médio das medições diminuía. Mas, comparou-se, apenas, com o algoritmo de 

Patterson e Wang de seis imagens. Seria relevante comparar com outras técnicas, 

entre elas, o método de dez imagens de Ramji e Ramesh (2010) é recomendado 

uma vez considerado pelos autores, como a mais robusta técnica desenvolvida. 

Ainda, novas regras e esquemas de geração de equações do cálculo de fase 

pode ser desenvolvidas com o uso de outros métodos computacionais além do 

Método Simplex e do Método Branch-and-Bound. Além disso, sugere fazer uma 

comparação mais detalhada entre equações com o mesmo número de imagens para 

verificar se existem vantagens em usar alguma preferencialmente do que outras. 

Estudos estatísticos e numéricos de erros podem colaborar nesta tarefa. 

E, por fim, pode-se propor estudar o uso dessa metodologia numérica e das 

novas equações para imagens coloridas em vez de tons de cinza. Pois, é esperado, 

com isso, uma melhora na discretização monocromática em tons de cinza de 8 bits 

(256 tons) para 16 bits (65536 tons). 

281

282 

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299

300 

APÊNDICE A – OUTRAS TABELAS COM AS NOVAS EQUAÇÕES DEDUZIDAS 

TABELA A.1 - Equações encontradas resolvendo os modelos 87 e 88 ou o 


(continua) 


N=31 Cálculo de α Cálculo de δ 

θ Numerador (b) Denominador (c) Numerador (e) Denominador (f) 

(graus) -1 1 1 1 

= -1 1 -1 1 

-45 -1 1 -1 1 

-42 -1 1 -1 1 

-39 -1 1 1 1 

-36 -1 -1 1 1 

-33 1 1 -1 1 

-30 1 1 -1 0,2263071 

-27 1 1 -1 -1 

-24 1 1 1 -1 

-21 1 -1 1 -1 

-18 1 1 -1 -1 

-15 1 1 1 -1 

-12 1 -1 1 -1 

-9 1 1 1 -1 

-6 1 1 1 -1 

-3 1 -1 1 -1 

0 1 -1 1 -1 

3 1 -1 1 -1 

6 1 -1 1 -1 

9 1 -1 -1 -1 

12 1 1 1 -1 

15 1 -1 -1 -1 

18 1 -1 -1 1 

21 1 -1 1 1 

24 1 -1 -1 1 

27 1 -1 1 1 

30 -1 -1 1 1 

33 -1 -1 -1 1 

36 -1 1 -1 1 

39 -1 1 -1 1 

42 -1 -1 -0,313618 1 

45 -1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -0,9221012 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -0,3241831 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

(continua) 

301

302 

(continua) 

0,5525053 -1 1 1 

-0,641414 1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

0,1978194 1 -1 -1 

1 1 -0,2437342 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -0,2102081 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 0,325693 0,9135845 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -0,6893192 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1

-1 -1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

(continua) 

303

304 

(continua) 

-1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 0,7778858 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -0,4428349 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -0,1985241 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 0,06843166 1 -1

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

0,5952963 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -0,01903609 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 0,8423456 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 0,0742739 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

(continua) 

305

306 

(conclusão) 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -0,1282557 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 -1 1 

-0,828721 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 


TABELA A.2 - Equações encontradas para N=12 e passo igual a 6 o . 

(continua) 



(graus) -1 0,4510842 -1 1 

= -1 1 1 1 

-45 1 -1 -0,5160199 1 

-39 1 -1 -1 -1 

-33 1 1 -1 -1 

-27 1 -1 1 -1 

-21 1 1 1 -1 

-15 1 1 -1 -1 

-9 1 -1 0,4266529 -1 

-3 1 1 1 1 

3 0,1348067 1 -1 1 

9 -1 1 1 1 

15 -1 -1 -1 1 

21 1 -1 -1 1 

1 1 1 0,5129624 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 -0,9569113 -1 

1 -0,2612716 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 1 1 1 

-0,311738 1 -1 -1

(conclusão) 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-0,842126 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 0,556738 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 1 -0,7748137 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -0,6560013 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 0,8476655 -1 1 

-1 -1 -1 1 

0,2430842 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 0,04199151 -1 1 

-1 -1 -1 0,1121617 

1 -1 -0,03187381 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-0,7343533 1 0,1566455 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -0,2268819 0,5929516 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -0,4234683 1 1 



(continua) 



(graus) -1 -1 -1 1 

= -1 1 -0,6096015 1 

-45 1 -1 -1 1 

-39 1 1 -1 -1 

-33 1 -1 1 -1 

-27 1 1 1 -1 

-21 1 1 1 -1 

-15 1 0,2235998 1 -1 

-9 1 -1 -1 -1 

-3 1 0,7126318 -0,1933749 -1 

3 1 -1 1 1 

9 -0,8595302 -1 -1 1 

15 -1 1 -1 1 

21 -1 -1 -1 1 

27 1 1 1 1 

1 -1 1 1 

307

308 

(conclusão) 

1 -1 1 -1 

1 -0,4431111 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

-0,7219275 1 -1 1 

-0,04211606 1 1 1 

-1 1 1 -0,3242959 

-0,8855949 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -0,2874122 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 -1 1 0,9110063 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 0,8493764 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -0,4920557 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 1 -1 

1 1 0,5001071 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 0,4206184 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -0,9516205 1 

-1 0,5783167 1 1 

-1 -1 -0,4124993 0,07661788 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

0,03852216 1 -1 -1 

1 1 1 -0,3759161 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 -0,2282528 1 

= -1 -1 -1 1 

-45 0,2239786 -1 -1 1 

-39 1 -1 -1 -0,152559 

-33 1 -1 -1 -1 

-27 1 -1 -1 -1 

-21 1 1 -0,880988 -1 

-15 1 1 1 -1 

-9 1 1 1 -1 

-3 1 -0,8754371 -0,9953685 -1 

3 1 -1 -1 -1 

9 1 -1 -1 1 

15 -1 1 -1 1 

21 -1 -1 1 1 

27 -1 1 -1 1 

33 -1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

-0,558472 1 -1 1 

0,1638335 1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

-1 -0,1766982 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -0,5785132 -0,2349317 

-1 1 1 -1 

-1 -1 -1 0,8078546 

1 -1 1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 0,3743682 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

309

310 

(conclusão) 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 1 0,5355563 -1 

1 1 1 -1 

1 -0,0629451 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 0,2204623 -1 1 

-1 -1 -1 -0,4560854 

1 1 -0,8696583 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 0,0357215 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-0,1234651 1 1 1 

-1 1 1 1 

0,4681281 -1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -0,47975 -1 1 



(continua) 



(graus) -1 -1 -1 1 

= -1 -1 1 1 

-45 -1 -1 -1 1 

-39 1 -0,7828506 1 1 

-33 1 -1 1 -1 

-27 1 1 1 -1 

-21 1 -1 1 -1 

-15 1 1 1 -1 

-9 1 -1 1 -1 

-3 1 -1 1 -1 

3 1 0,8965236 1 -1 

9 1 1 1 1 

15 1 -1 -1 1 

21 -1 -1 1 1 

27 -1 1 1 1 

33 -1 1 -1 1 

39 -1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 0,933551 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 1 

0,2200145 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1

(continua) 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 0,6539347 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

-0,5093173 1 1 -0,7512046 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

0,5776807 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 -0,8634065 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -0,08406022 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -0,5683604 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -0,3074196 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 0,2373565 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

0,5776808 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -0,6232737 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 0,5604398 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 0,1579391 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -0,8289066 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -0,5774324 1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-0,5093173 -1 -1 -1 

1 1 -0,4316378 -0,197263 

1 1 1 1 

311

312 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 


(conclusão) 


(continua) 



(graus) -1 1 -1 1 

= -1 0,8841619 -1 1 

-45 -1 -1 -0,3935616 1 

-39 1 -1 1 1 

-33 1 -1 1 -1 

-27 1 -1 -1 -1 

-21 1 -1 -1 -1 

-15 1 1 -1 -1 

-9 1 -1 1 -1 

-3 1 -1 -1 -1 

3 1 0,2323261 1 -1 

9 1 1 1 -1 

15 1 -1 1 1 

21 1 -1 -1 1 

27 -1 -1 1 1 

33 -1 1 -1 1 

39 -1 1 -1 1 

45 -1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

-0,937257 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-0,8478166 1 1 1 

1 1 1 0,05186405 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 0,03481033 -1 

-1 0,4241965 1 -1 

1 -1 -0,3915912 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 0,3545594 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 0,2708562 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1

(conclusão) 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-0,2771956 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 -0,6208907 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 0,1020834 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 0,9537245 -1 

1 1 1 -1 

1 -0,5486972 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 0,9059292 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 1 0,2708563 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 0,05186403 

1 -1 1 1 

1 -1 0,3706117 1 

-0,8478166 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 


313

314 


(continua) 



(graus) 1 1 -1 1 

= -0,6234541 1 1 1 

-45 -1 -1 -1 1 

-40 -1 -1 1 0,6615661 

-35 -1 -1 0,1132393 -1 

-30 1 -1 1 -1 

-25 1 1 1 -1 

-20 1 -1 1 -1 

-15 1 1 0,5199958 -1 

-10 1 1 -0,6721055 1 

-5 -1 1 1 1 

0 -1 -0,02507521 1 1 

5 1 1 1 1 

10 -1 -0,2583799 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -0,3290229 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -0,8228176 

-0,022221 1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -0,7948615 -1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -0,2724992 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-0,1091143 1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 0,06052935 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 0,4962111 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -0,7599421 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 0,6839626 -1 

1 -0,6532312 -1 -1 

1 1 -1 -1

(conclusão) 

0,2832666 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 0,6291141 0,1936959 

0,01299661 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 0,8004483 1 

= 1 1 -1 1 

-45 -1 -1 -1 1 

-40 -1 -1 1 1 

-35 1 -1 1 -1 

-30 -1 -1 -1 -1 

-25 -1 -1 -0,3276054 -1 

-20 1 -0,6606564 1 -1 

-15 -0,429215 -1 -1 -1 

-10 1 1 1 -1 

-5 1 -1 1 1 

0 0,9271896 1 0,8612714 1 

5 -1 1 -1 1 

10 -1 -1 1 1 

15 1 -1 1 1 

1 -1 1 0,009717565 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 0,5916962 1 -1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -0,5636962 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

0,6185993 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 0,1386306 

1 1 -1 1 

1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 0,3107739 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

315

316 

(conclusão) 

-1 1 -1 1 

-1 1 0,6137803 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

0,1473475 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -0,6953673 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 -0,5072252 

1 1 -1 -1 

1 1 0,1980441 -1 

-1 0,002359471 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-0,2676041 -1 1 -1 

1 1 1 0,9225732 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -0,5488169 -0,6117097 1 



(continua) 



(graus) -1 1 0,09600321 1 

= -1 1 -1 1 

-45 -0,8651685 -1 1 1 

-40 1 -1 1 1 

-35 1 -1 -1 -1 

-30 1 -1 -1 -1 

-25 1 -1 -0,3082017 -1 

-20 1 -1 -1 -1 

-15 1 -1 1 -1 

-10 1 1 -1 -1 

-5 1 1 -1 -1 

0 1 1 -1 1 

5 -1 1 1 1 

10 -1 1 -0,8873555 1 

15 -1 0,4454386 -1 1 

20 1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 0,6151678 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 0,2245361 -1 -1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 -1 -0,6179599 

0,2006953 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -0,8197653 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1

(conclusão) 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-0,03301094 -1 1 -0,09864711 

1 -1 1 -0,001817541 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 0,4176917 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 0,8604677 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -0,5285728 

-0,8299933 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -0,1041572 -1 

-1 1 1 -0,7530027 

0,5596591 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 -0,1284659 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -0,7790736 1 



(continua) 



(graus) -1 1 1 1 

= -1 1 -1 1 

-45 -1 -1 -1 1 

-40 1 -1 -1 1 

-35 1 -1 -1 -1 

317

318 

(continua) 

-30 1 1 -1 -1 

-25 1 -0,5896069 -1 -1 

-20 1 -1 -0,06280987 -1 

-15 1 1 1 -1 

-10 1 -1 1 -1 

-5 1 -1 -0,5408158 -1 

0 1 1 -1 -1 

5 1 -1 -1 1 

10 -1 -1 -1 1 

15 -1 1 -1 1 

20 -1 1 1 1 

25 -0,391776 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 0,5717529 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

0,4101542 1 -0,5302237 1 

-1 1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 0,9241425 

1 -1 1 1 

1 0,4482334 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 1 0,5278182 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 -1 -0,4731948 -1 

0,3556546 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 0,8785875 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

0,3556335 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1

(conclusão) 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 0,01997683 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -0,1907196 -1 0,9748397 

1 1 0,4122874 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 -0,3053109 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-0,3917774 1 1 1 

-1 1 0,1453903 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -0,2597387 1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 0,06514346 1 

= -1 1 -1 1 

-45 -1 -1 -1 1 

-40 1 -1 1 1 

-35 1 -1 1 -1 

-30 1 -1 1 -1 

-25 1 -1 -1 -1 

-20 1 -1 1 -1 

-15 1 -1 1 -1 

-10 1 1 1 -1 

-5 1 1 1 -1 

0 1 -1 -1 -1 

5 1 -1 -1 1 

10 0,9830376 -1 1 1 

15 -1 0,4335091 -1 1 

20 -1 1 -1 1 

25 -1 1 -1 1 

30 -1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

319

320 

(continua) 

-0,1088029 -0,1996591 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 0,440353 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

0,1236466 1 0,1784942 -1 

1 1 1 -1 

1 1 0,7192202 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 -1 0,2188702 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 -1 

-1 0,1663333 -1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

0,1056139 1 -1 -0,5472626 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -0,7543626 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1

(conclusão) 

-1 -0,9165442 -0,5477374 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 0,2075544 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 0,6591885 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 0,04460786 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 0,228766 

-0,105398 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -0,7295393 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 -1 1 

= -1 1 1 1 

-45 -1 -1 1 1 

-40 1 -1 1 1 

-35 1 -1 1 -1 

-30 1 -1 1 -1 

-25 1 1 1 -1 

-20 1 -1 1 -1 

-15 1 1 1 -1 

-10 1 1 1 -1 

-5 1 -1 1 -1 

0 1 -1 1 -1 

5 1 -1 -1 -1 

10 1 1 1 1 

15 0,6206372 -1 -1 1 

20 -1 1 -1 1 

25 -1 1 -1 1 

30 -1 1 -0,8840668 1 

35 -1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 0,9945271 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

321

322 

(continua) 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

-0,2392294 -1 1 1 

1 1 -1 1 

-0,3846073 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 0,2387276 1 -1 

0,003184122 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -0,1010461 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 0,913671 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 -0,3585491 -0,03898238 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 0,8035413 

1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -0,4225835 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 0,6095922 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1

(conclusão) 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 0,871217 1 1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 0,675132 1 -1 

-1 1 -0,8367827 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 0,8068361 

-0,8541273 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -0,4851474 

1 1 1 1 

1 -0,2615732 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 0,5227061 1 



(continua) 



(graus) -1 -1 -1 1 

= -1 1 0,0939456 1 

-45 -1 -1 1 1 

-40 1 -1 1 1 

-35 1 1 1 -1 

-30 1 1 1 -1 

-25 1 1 -1 -1 

-20 1 -1 1 -1 

-15 1 1 1 -1 

-10 1 1 1 -1 

-5 1 -1 1 -1 

0 1 1 1 -1 

5 1 1 1 -1 

10 1 1 1 -0,09811574 

15 1 -1 1 1 

20 1 1 -1 1 

25 -1 1 1 1 

30 -1 -1 -1 1 

35 -1 1 1 1 

40 -1 0,3029055 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 0,8550465 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

323

324 

(continua) 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 0,5679635 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -0,2894685 1 

-0,9625193 1 -1 1 

1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-0,8706543 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -0,8569126 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -0,08593987 

-1 -1 0,6920334 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

0,3227216 -1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1

(conclusão) 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 0,9680173 -1 1 

-1 1 -0,9178962 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 -0,2399687 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 0,6673785 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 0,8394633 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 0,7330918 -1 

-1 1 1 1 

-0,5214861 1 1 -0,4309066 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 1 

0,9673537 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -0,8216112 -1 1 

-1 1 -1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 -1 1 

= -1 1 -0,1539408 1 

-45 -1 1 -1 1 

-40 -1 -1 1 1 

-35 1 -1 1 1 

-30 1 -1 1 -1 

-25 1 -1 1 -1 

-20 1 -1 1 -1 

-15 1 -1 1 -1 

325

326 

(continua) 

-10 1 1 1 -1 

-5 1 1 -0,3100369 -1 

0 1 1 1 -1 

5 1 -1 1 -1 

10 1 -1 -1 -1 

15 1 -1 1 1 

20 1 -1 0,2338897 1 

25 -0,3421149 -1 -1 1 

30 -1 1 -1 1 

35 -1 1 -1 1 

40 -1 1 -1 1 

45 -1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 0,6314346 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

0,07442492 1 1 1 

1 1 1 -0,8274328 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

-0,05021805 -1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 0,04432776 -1 

-1 -1 -1 -0,4030116 

-1 -0,3836649 -1 1 

-1 1 -1 -1 

0,7774911 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -0,6560744 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 1

(continua) 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 0,002562258 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -0,04021152 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -0,9749118 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 -0,1681932 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

327

328 

(conclusão) 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 0,09549544 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 0,587431 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -0,945288 

1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

0,006739801 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 0,1371839 -1 1 



(continua) 



(graus) 1 1 1 1 

= 1 1 1 1 

-45 -0,318263059 1 1 -1 

-42 -1 -1 -1 -1 

-39 -1 -1 -1 1 

-36 -1 -1 -1 -1 

-33 1 -1 -1 -1 

-30 1 -1 -1 -1 

-27 1 -0,643935164 -0,292726831 -1 

-24 1 1 1 -1 

-21 -1 1 1 1 

-18 -1 1 1 1 

-15 1 1 1 -0,867613509 

-12 -1 -0,739252888 -0,917016941 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 0,355905913 

1 1 1 1 

-0,10572398 1 1 -1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 0,147300881 1 

1 -1 -1 1 

1 0,324921881 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 0,338630842 -1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 1 

-0,527890004 0,632957271 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 0,186385971

(conclusão) 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 1 0,271235384 

1 1 1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -0,5746911 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 0,147540521 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 0,01275317 -1 

-1 1 1 1 

1 1 1 -1 

0,952221577 1 1 -1 

0,952288083 1 1 -1 

-1 1 1 -0,09345428 

-0,700480069 1 1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 1 1 

= -1 1 1 1 

-45 1 0,104030125 1 -0,081587214 

-42 1 -1 -1 -1 

-39 1 -1 -1 1 

-36 -1 -1 -1 -1 

-33 -1 -1 -1 -1 

-30 1 -1 -1 -1 

-27 1 -1 -1 -1 

-24 1 1 1 -1 

-21 1 1 1 -1 

-18 -1 1 1 1 

-15 -1 1 1 1 

-12 -0,104674412 1 1 1 

-9 1 1 1 -1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 0,013143782 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 1 -0,145762378 

1 1 1 1 

1 -1 -0,986557273 -1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -0,581073793 -0,800147261 -1 

-1 -1 1 -1 

329

330 

(conclusão) 

1 1 1 -1 

-0,586163804 -0,011083352 1 1 

0,399544045 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 0,316095421 -1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 0,670926915 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 -1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

0,628373496 -1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 1 -0,88129743 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 0,839543131 -1 1 

1 -1 0,865116305 -0,261979775 

1 -0,351416116 1 -1 

-1 1 1 1 

-0,866685193 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 0,80525867 

-0,042541133 1 1 1 



(continua) 



(graus) 1 1 1 1 

= 1 1 1 1 

-45 -1 1 1 0,298840593 

-42 -1 -1 -1 1 

-39 -1 -1 -1 -1 

-36 -1 -1 -1 -1 

-33 -1 -1 -1 -1 

-30 0,336012967 -1 -1 -1 

-27 1 -1 -1 -1 

-24 1 -1 0,223433033 -1 

-21 1 0,990371106 1 -1

(continua) 

-18 1 1 1 -0,484994792 

-15 -1 1 1 1 

-12 -1 1 1 1 

-9 0,15731416 1 1 -1 

-6 1 0,734173126 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -0,433291445 

1 0,841808396 1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 0,071927892 -0,22346814 1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 0,557192007 1 

1 -1 -1 1 

-0,070555766 -1 -1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 0,630121985 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 0,754080153 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 1 

0,229749517 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -0,445371568 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

331

332 

(conclusão) 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

0,888191634 -1 -1 0,500280501 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 -0,63828052 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 0,489043161 

0,180527875 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 



(continua) 



(graus) 0,78543271 1 1 1 

= -1 1 1 1 

-45 -1 1 0,798234802 1 

-42 -1 -1 -1 1 

-39 1 -1 -0,271263424 -1 

-36 -1 -1 -1 -1 

-33 -1 -1 -1 -1 

-30 -1 -1 -1 -1 

-27 1 -1 -1 -1 

-24 1 -1 -1 -1 

-21 1 -0,504366475 1 -1 

-18 1 1 1 -1 

-15 1 1 1 1 

-12 1 1 1 1 

-9 -1 1 1 1 

-6 1 1 1 1 

-3 1 1 1 1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

0,754958613 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 0,776839037 -1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 0,635027441 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 0,634050539 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 0,763050033 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 1

(conclusão) 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 1 1 0,472522083 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 1 0,659567547 

1 -1 -1 -1 

-0,262296209 -1 -0,037880212 0,861832273 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -0,491964759 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 1 

-0,725838249 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -0,669573133 1 -1 

-1 1 0,742455624 0,602309533 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-0,553754369 1 1 0,403768543 

1 1 1 1 

-0,85117616 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 



(continua) 



(graus) 0,678324561 1 1 1 

333

334 

(continua) 

= -1 1 -0,803205552 1 

-45 -1 1 1 1 

-42 -1 -1 1 1 

-39 1 -1 -1 -0,304141801 

-36 -1 -1 -1 -1 

-33 -1 -1 -1 -1 

-30 0,794521873 -1 -1 -1 

-27 -1 -1 -1 -1 

-24 -1 -1 1 -1 

-21 1 -1 -1 -1 

-18 1 -0,300232591 1 -1 

-15 1 1 1 -1 

-12 1 1 1 1 

-9 -1 1 1 1 

-6 -1 1 1 1 

-3 -1 1 1 1 

0 -1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 0,608703398 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-0,528527925 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 -0,998064882 -1 1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 0,026280684 

1 1 -0,066929862 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 0,78537627 1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

0,198443313 -1 -1 1 

1 1 1 -0,801034004 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1

1 -1 -1 

(conclusão) 

-1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -0,703372923 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 0,863419269 -1 1 

-1 -1 1 0,970969555 

0,730128191 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 0,398325101 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 -0,892074438 

-1 -1 -1 -1 

1 0,649501961 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-0,083210869 1 1 -1 

1 1 0,35615899 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 



(continua) 



(graus) 1 1 0,00575916 1 

= 1 1 -1 1 

-45 1 1 1 1 

-42 -1 -1 1 1 

-39 -1 -1 -1 1 

-36 -1 -1 -1 -1 

-33 -1 -1 -1 -1 

-30 1 -1 1 -1 

-27 1 -1 -1 -1 

-24 1 -1 1 -1 

-21 1 -1 1 -1 

335

336 

(continua) 

-18 1 -1 1 -1 

-15 1 1 -1 -1 

-12 0,8613437 1 -1 -0,0836559 

-9 -1 1 1 1 

-6 -1 1 1 1 

-3 -1 1 1 1 

0 1 1 -1 1 

3 1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

0,3452737 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 0,9769017 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 0,386836 1 

-1 1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -0,6281664 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -0,1693768 -1 -1 

-0,1207066 -1 -1 1 

1 0,3987534 -1 1 

0,2547117 -1 1 1 

-1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 1 0,4196823 

-1 1 -1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -0,03921777 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 0,6040583 -1 

-1 1 -1 1

(conclusão) 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -0,211355 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

0,7784653 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 0,8617619 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 0,6101402 -1 1 

-1 1 -1 -0,5818105 

-1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -0,5014115 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -0,7311176 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-0,3472848 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 



(continua) 



(graus) 1 1 -1 1 

= 1 1 -1 1 

-45 1 1 1 1 

-42 1 0,3693682 1 1 

337

338 

(continua) 

-39 -1 -1 1 1 

-36 -1 -1 1 -1 

-33 -1 -1 1 -1 

-30 0,2361842 -1 1 -1 

-27 1 -1 -1 -1 

-24 1 -1 1 -1 

-21 1 -1 1 -1 

-18 1 -1 1 -1 

-15 1 1 1 -1 

-12 1 1 0,08393284 -1 

-9 1 1 -1 1 

-6 -1 1 1 1 

-3 -1 1 1 1 

0 -1 1 1 1 

3 1 1 -1 1 

6 -1 1 -1 1 

-1 -1 -0,6652623 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

0,9993946 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -0,5197744 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

1 -0,62475 1 -1 

1 -1 -1 -0,675182 

1 -1 -0,7241733 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-0,4882947 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 -1

(continua) 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -0,4468394 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 0,9959793 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 0,2387265 

-1 1 -1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -0,5026093 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 0,9914211 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -0,2162648 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

0,8008675 1 0,7812261 -1 

339

340 

(conclusão) 

1 1 1 -1 

0,3068407 1 1 -1 

1 1 0,9797454 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 1 -0,1126846 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-0,7010984 1 1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 -1 1 

= 1 1 -1 1 

-45 -1 1 -1 1 

-42 -1 -1 1 1 

-39 -1 -1 1 1 

-36 -1 -1 1 -1 

-33 1 -1 1 -1 

-30 -1 -1 1 -1 

-27 0,3532078 -1 1 -1 

-24 1 -1 1 -1 

-21 1 -1 1 -1 

-18 1 -1 -1 -1 

-15 1 -1 1 -1 

-12 1 1 1 -1 

-9 1 1 1 -1 

-6 1 1 1 1 

-3 -1 1 1 1 

0 -1 1 1 1 

3 -1 1 0,8484765 1 

6 1 1 -1 1 

9 1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

0,2063846 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1

(continua) 

-1 0,6228098 -1 0,5605698 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -0,4490863 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 0,5697357 1 1 

1 1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

-0,5756975 1 -0,4992649 1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 1 -0,7824123 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 0,5232264 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 1 

1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

1 -1 1 -0,2503339 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

0,2510436 -1 1 -1 

1 -1 0,5594588 -1 

341

342 

(conclusão) 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -0,5354958 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 0,7013467 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -0,9386236 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

-1 -0,4448064 -1 1 

-1 1 -1 1 

-0,5777002 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

-1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

0,5766791 1 -1 -1 

1 1 0,3058993 -1 

1 1 1 0,9489499 

1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 



(continua) 



(graus) -1 1 1 1 

= -1 1 -1 1 

-45 -1 1 -1 1 

-42 -1 1 -1 1 

-39 -1 1 1 1 

-36 -1 -1 1 1 

-33 1 1 -1 1 

-30 1 1 -1 0,2263071 

-27 1 1 -1 -1 

-24 1 1 1 -1 

-21 1 -1 1 -1 

-18 1 1 -1 -1

-15 1 1 1 -1 

-12 1 -1 1 -1 

-9 1 1 1 -1 

-6 1 1 1 -1 

-3 1 -1 1 -1 

0 1 -1 1 -1 

3 1 -1 1 -1 

6 1 -1 1 -1 

9 1 -1 -1 -1 

12 1 1 1 -1 

15 1 -1 -1 -1 

18 1 -1 -1 1 

21 1 -1 1 1 

24 1 -1 -1 1 

27 1 -1 1 1 

30 -1 -1 1 1 

33 -1 -1 -1 1 

36 -1 1 -1 1 

39 -1 1 -1 1 

42 -1 -1 -0,313618 1 

45 -1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -0,9221012 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

(continua) 

343

344 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -0,3241831 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

0,5525053 -1 1 1 

-0,641414 1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 1 -1 1 

(continua)

(continua) 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

0,1978194 1 -1 -1 

1 1 -0,2437342 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 -1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 1 -0,2102081 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 1 -1 -1 

-1 0,325693 0,9135845 -1 

-1 -1 1 -1 

-1 -1 -1 -1 

-1 -1 1 -1 

1 -1 1 1 

1 1 1 1 

1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -0,6893192 

1 1 -1 -1 

1 -1 -1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 1 1 

1 1 1 1 

1 -1 1 1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 -1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

345

346 

(continua) 

-1 -1 1 1 

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-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 -1 1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 1 1 

1 1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

1 -1 1 -1 

1 -1 1 -1 

1 1 1 -1 

1 1 -1 -1 

-1 1 1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 -1 -1 1 

-1 1 -1 1 

-1 1 1 1 

-1 1 -1 1 

1 1 -1 -1 

1 1 1 -1 

1 -1 1 -1 

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1 0,06843166 1 -1 

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0,5952963 -1 -1 -1 

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(continua) 

347

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(continua) 

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1 0,0742739 1 -1 

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1 1 -1 -0,1282557 

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-0,828721 1 1 1 

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(conclusão) 

349

350 

GLOSSÁRIO 

Associação Brasileira de Normas Técnicas – Órgão responsável pela 

normalização técnica no país, fornecendo a base necessária ao desenvolvimento 

tecnológico brasileiro. 

Erro – Resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do mensurando. 

Incerteza de medição – Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que 

caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentadamente atribuídos a 

um mensurando. 

Phase Shifting – Mudança de fase. 

Observador – Câmera. 

Pixel ou Picture element (elemento da imagem) – Ponto da imagem. 

Precisão – dimensão ou ordem do erro numérico. 

Teste t ou Teste “Student” – Teste estatístico de comparação de duas médias com 

dados emparelhados. 

Unwrapping ou Unwrapped – Desempacotamento.

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