Integração Numérica via Gauss-Legendre

Integração Numérica via Gauss-Legendre
Manaíra Lima e Loïc Cerf
16 de maio de 2013
UFMG – ICEx – DCC

Exercício
Exercício A
Calcular, usando 5 casas decimais,
π
0 sen 3x dx pela quadratura
de Gauss-Legendre:
1 usando 4 pontos;
2 usando 5 pontos.
3 Calcular os erros absolutos
dos dois resultados.
4 Comparar esses erros com as
cotas máximas calculadas a
partir da fórmula do erro de
integração.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Formulário
n t A
1 0 2
2 ±0, 57735 1
3 0 0, 88889
±0, 77460 0, 55556
4 ± 0, 33998 0, 65215
± 0, 86114 0, 34785
5 0 0, 56889
±0, 53847 0, 47863
±0, 90618 0, 23693
6 ±0, 23862 0, 46791
±0, 66121 0, 36076
±0, 93247 0, 17132
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2 / 11

Exercício
Exercício A
Calcular, usando 5 casas decimais,
π
0 sen 3x dx pela quadratura
de Gauss-Legendre:
1 usando 4 pontos;
2 usando 5 pontos.
3 Calcular os erros absolutos
dos dois resultados.
4 Comparar esses erros com as
cotas máximas calculadas a
partir da fórmula do erro de
integração.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Formulário
n t A
1 0 2
2 ±0, 57735 1
3 0 0, 88889
±0, 77460 0, 55556
4 ± 0, 33998 0, 65215
± 0, 86114 0, 34785
5 0 0, 56889
±0, 53847 0, 47863
±0, 90618 0, 23693
6 ±0, 23862 0, 46791
±0, 66121 0, 36076
±0, 93247 0, 17132
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2 / 11

Exercício
Exercício A
Calcular, usando 5 casas decimais,
π
0 sen 3x dx pela quadratura
de Gauss-Legendre:
1 usando 4 pontos;
2 usando 5 pontos.
3 Calcular os erros absolutos
dos dois resultados.
4 Comparar esses erros com as
cotas máximas calculadas a
partir da fórmula do erro de
integração.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Formulário
n t A
1 0 2
2 ±0, 57735 1
3 0 0, 88889
±0, 77460 0, 55556
4 ± 0, 33998 0, 65215
± 0, 86114 0, 34785
5 0 0, 56889
±0, 53847 0, 47863
±0, 90618 0, 23693
6 ±0, 23862 0, 46791
±0, 66121 0, 36076
±0, 93247 0, 17132
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2 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 34785
− 0, 33998 0, 65215
0, 33998 0, 65215
0, 86114 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 34785
− 0, 33998 0, 65215
0, 33998 0, 65215
0, 86114 0, 34785
x =
π − 0 π + 0
t +
2 2
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3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 34785
− 0, 33998 0, 65215
0, 33998 0, 65215
0, 86114 0, 34785
x = 1, 57080t + 1, 57080
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3 / 11

Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 (1, 57080)(−0, 86114) + 1, 57080 0, 34785
− 0, 33998 0, 65215
0, 33998 0, 65215
0, 86114 0, 34785
Manaíra Lima e Loïc Cerf
x = 1, 57080t + 1, 57080
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3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 34785
− 0, 33998 0, 65215
0, 33998 0, 65215
0, 86114 0, 34785
x = 1, 57080t + 1, 57080
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3 / 11

Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 34785
− 0, 33998 (1, 57080)(−0, 33998) + 1, 57080 0, 65215
0, 33998 0, 65215
0, 86114 0, 34785
Manaíra Lima e Loïc Cerf
x = 1, 57080t + 1, 57080
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3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 65215
0, 33998 0, 65215
0, 86114 0, 34785
x = 1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 65215
0, 33998 (1, 57080)(0, 33998) + 1, 57080 0, 65215
0, 86114 0, 34785
x = 1, 57080t + 1, 57080
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3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 65215
0, 86114 0, 34785
x = 1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 65215
0, 86114 (1, 57080)(0, 86114) + 1, 57080 0, 34785
x = 1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 sen(3 × 0, 21812) 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 sen(3 × 1, 03676) 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 03131 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 03131 0, 65215
0, 33998 2, 10484 sen(3 × 2, 10484) 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 03131 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 03133 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 03131 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 03133 0, 65215
0, 86114 2, 92347 sen(3 × 2, 92347) 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 03131 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 03133 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 60866 0, 34785
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

I4 =
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 03131 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 03133 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 60866 0, 34785
π − 0
2
(0, 34785 × 0, 60865 + 0, 65215 × 0, 03131+
0, 65215 × 0, 03133 + 0, 34785 × 0, 60866)
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.1
t x f (x) A
− 0, 86114 0, 21812 0, 60865 0, 34785
− 0, 33998 1, 03676 0, 03131 0, 65215
0, 33998 2, 10484 0, 03133 0, 65215
0, 86114 2, 92347 0, 60866 0, 34785
I4 = 0, 72931
Integração Numérica via Gauss-Legendre
3 / 11

Exercício
Exercício A
Calcular, usando 5 casas decimais,
π
0 sen 3x dx pela quadratura
de Gauss-Legendre:
1 usando 4 pontos;
2 usando 5 pontos.
3 Calcular os erros absolutos
dos dois resultados.
4 Comparar esses erros com as
cota máximas calculadas a
partir da fórmula do erro de
integração.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Formulário
n t A
1 0 2
2 ±0, 57735 1
3 0 0, 88889
±0, 77460 0, 55556
4 ±0, 33998 0, 65215
±0, 86114 0, 34785
5 0 0, 56889
± 0, 53847 0, 47863
± 0, 90618 0, 23693
6 ±0, 23862 0, 46791
±0, 66121 0, 36076
±0, 93247 0, 17132
Integração Numérica via Gauss-Legendre
4 / 11

Exercício
Exercício A
Calcular, usando 5 casas decimais,
π
0 sen 3x dx pela quadratura
de Gauss-Legendre:
1 usando 4 pontos;
2 usando 5 pontos.
3 Calcular os erros absolutos
dos dois resultados.
4 Comparar esses erros com as
cota máximas calculadas a
partir da fórmula do erro de
integração.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Formulário
n t A
1 0 2
2 ±0, 57735 1
3 0 0, 88889
±0, 77460 0, 55556
4 ±0, 33998 0, 65215
±0, 86114 0, 34785
5 0 0, 56889
± 0, 53847 0, 47863
± 0, 90618 0, 23693
6 ±0, 23862 0, 46791
±0, 66121 0, 36076
±0, 93247 0, 17132
Integração Numérica via Gauss-Legendre
4 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 23693
− 0, 53847 0, 47863
0, 00000 0, 56889
0, 53847 0, 47863
0, 90618 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 (1, 57080)(−0, 90618) + 1, 57080 0, 23693
− 0, 53847 0, 47863
0, 00000 0, 56889
0, 53847 0, 47863
0, 90618 0, 23693
Manaíra Lima e Loïc Cerf
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 47863
0, 00000 0, 56889
0, 53847 0, 47863
0, 90618 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 (1, 57080)(−0, 53847) + 1, 57080 0, 47863
0, 00000 0, 56889
0, 53847 0, 47863
0, 90618 0, 23693
Manaíra Lima e Loïc Cerf
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 0, 56889
0, 53847 0, 47863
0, 90618 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 (1, 57080)(0, 00000) + 1, 57080 0, 56889
0, 53847 0, 47863
0, 90618 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 0, 47863
0, 90618 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 (1, 57080)(0, 53847) + 1, 57080 0, 47863
0, 90618 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 (1, 57080)(0, 90618) + 1, 57080 0, 23693
1, 57080t + 1, 57080
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 sen(3 × 0, 14737) 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 sen(3 × 0, 72497) 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 sen(3 × 1, 57080) 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 − 1, 00000 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 − 1, 00000 0, 56889
0, 53847 2, 41662 sen(3 × 2, 41662) 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 − 1, 00000 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 82300 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 − 1, 00000 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 82300 0, 47863
0, 90618 2, 99422 sen(3 × 2, 99422) 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 − 1, 00000 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 82300 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 42785 0, 23693
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

I5 =
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 − 1, 00000 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 82300 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 42785 0, 23693
π − 0
2
(0, 23693 × 0, 42785 + 0, 47863 × 0, 82301+
0, 56889 × −1, 00000 + 0, 47863 × 0, 82300+
0, 23693 × 0, 42785)
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.2
t x f (x) A
− 0, 90618 0, 14737 0, 42785 0, 23693
− 0, 53847 0, 72497 0, 82301 0, 47863
0, 00000 1, 57080 − 1, 00000 0, 56889
0, 53847 2, 41662 0, 82300 0, 47863
0, 90618 2, 99422 0, 42785 0, 23693
I5 = 0, 66237
Integração Numérica via Gauss-Legendre
5 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.3
π
0
sen 3x dx
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.3
π
0 sen 3x dx = −
cos 3x π
3 0
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.3
π
0
cos 3π cos 0
sen 3x dx = (− 3 ) − (− 3 )
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Manaíra Lima e Loïc Cerf
Exercício A.3
π
0
sen 3x dx ≈ 0, 66667
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Exercício A.3
π
0
sen 3x dx ≈ 0, 66667
O erro cometido usando 4 pontos é |0, 72931 − 0, 66667|.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Exercício A.3
π
0
sen 3x dx ≈ 0, 66667
O erro cometido usando 4 pontos é 0, 06264.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Exercício A.3
π
0
sen 3x dx ≈ 0, 66667
O erro cometido usando 4 pontos é 0, 06264.
O erro cometido usando 5 pontos é |0, 66237 − 0, 66667|.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Exercício A.3
π
0
sen 3x dx ≈ 0, 66667
O erro cometido usando 4 pontos é 0, 06264.
O erro cometido usando 5 pontos é 0, 00430.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Exercício A.3
π
0
sen 3x dx ≈ 0, 66667
O erro cometido usando 4 pontos é 0, 06264.
O erro cometido usando 5 pontos é 0, 00430.
Mais avaliações da função permitem, como esperado, a sua
integração com uma maior exatidão.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
6 / 11

Exercício A.4
E4 = (b − a)9 (4!) 4
(8!) 3 f
(9)
(8) (θ), com θ ∈]a; b[
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
7 / 11

Exercício A.4
E4 = (b − a)9 (4!) 4
(8!) 3 f
(9)
(8) (θ), com θ ∈]a; b[
f (θ) = sen3θ ⇒ f (8) (θ) = 6561sen(3θ)
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
7 / 11

Exercício A.4
E4 = (π − 0)9 (4!) 4
(8!) 3 6561sen(3θ), com θ ∈]0; π[
(9)
f (θ) = sen3θ ⇒ f (8) (θ) = 6561sen(3θ)
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
7 / 11

Exercício A.4
E4 = 0, 10999sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é sup θ∈]0;π[ |E4|.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
7 / 11

Exercício A.4
E4 = 0, 10999sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é sup θ∈]0;π[ |0, 10999sen(3θ)|.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
7 / 11

Exercício A.4
E4 = 0, 10999sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é 0, 10999.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
7 / 11

Exercício A.4
E4 = 0, 10999sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é 0, 10999 >
0, 06264 como esperado.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
7 / 11

Exercício A.4
E5 = (b − a)11 (5!) 4
(10!) 3 f
(11)
(10) (θ), com θ ∈]a; b[
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
8 / 11

Exercício A.4
E5 = (b − a)11 (5!) 4
(10!) 3 f
(11)
(10) (θ), com θ ∈]a; b[
f (θ) = sen3θ ⇒ f (10) (θ) = − 59049sen(3θ)
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
8 / 11

Exercício A.4
E5 = − (π − 0)11 (5!) 4
(10!) 3 59049sen(3θ), com θ ∈]0; π[
(11)
f (θ) = sen3θ ⇒ f (10) (θ) = − 59049sen(3θ)
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
8 / 11

Exercício A.4
E5 = − 0, 00685sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é sup θ∈]0;π[ |E5|.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
8 / 11

Exercício A.4
E5 = − 0, 00685sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é sup θ∈]0;π[ | −
0, 00685sen(3θ)|.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
8 / 11

Exercício A.4
E5 = − 0, 00685sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é 0, 00685.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
8 / 11

Exercício A.4
E5 = − 0, 00685sen(3θ), com θ ∈]0; π[
A cota máxima do erro de integração é 0, 00685 >
0, 00430 como esperado.
Manaíra Lima e Loïc Cerf
Integração Numérica via Gauss-Legendre
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Exercício
Exercício B
Calcular,
com 4 casas decimais,
4,5
0,5 sen
1
x cos(x) dx usando a
quadratura de Gauss-Legendre e
4 pontos.
Formulário
x = b−a
2
In = b−a
2
Manaíra Lima e Loïc Cerf
t + a+b
2
n i=1 Aif (xi)
Formulário
n t A
1 0 2
2 ±0, 57735 1
3 0 0, 88889
±0, 77460 0, 55556
4 ±0, 33998 0, 65215
±0, 86114 0, 34785
5 0 0, 56889
±0, 53847 0, 47863
±0, 90618 0, 23693
6 ±0, 23862 0, 46791
±0, 66121 0, 36076
±0, 93247 0, 17132
Integração Numérica via Gauss-Legendre
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Exercício C
Exercício para entregar
Pela quadratura de Gauss-
Legendre, calcular, usando 3
pontos e 4 casas decimais, a
integral seguinte:
2
3
1 − x 2 dx
0
Formulário
x = b−a
2
In = b−a
2
Manaíra Lima e Loïc Cerf
t + a+b
2
n i=1 Aif (xi)
Formulário
n t A
1 0 2
2 ±0, 57735 1
3 0 0, 88889
±0, 77460 0, 55556
4 ±0, 33998 0, 65215
±0, 86114 0, 34785
5 0 0, 56889
±0, 53847 0, 47863
±0, 90618 0, 23693
6 ±0, 23862 0, 46791
±0, 66121 0, 36076
±0, 93247 0, 17132
Integração Numérica via Gauss-Legendre
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c○2013 Manaíra Lima e Loïc Cerf
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