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FUNDAMENTOS<br />
DA LÓGICA<br />
Professor Rodrigo Melo<br />
Rodrigo Melo
PRIMEIROS CONCEITOS<br />
O primeiro conceito que iremos estudar será<br />
a proposição.<br />
• Toda proposição deve:<br />
- ser uma oração, que tenha sujeito e<br />
predicado;<br />
- possuir apenas dois valores lógicos:<br />
verdadeiro (V) ou falso (F).<br />
- ser declarativa, ou seja, não pode ser<br />
interrogativas, exclamativas e nem imperativa.<br />
Rodrigo Melo
Exemplo:<br />
1) Qual <strong>dos</strong> itens abaixo é uma proposição?<br />
• a) “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”<br />
( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)<br />
• b) “como é o seu nome?”;“o jogo foi de quanto?”<br />
( R: não é proposição, é uma sentença interrogativa)<br />
• c) “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.<br />
( R: não é proposição, é uma sentença imperativa)<br />
• d) “Feliz ano novo!”<br />
( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)<br />
• e) A Terra é maior que a Lua.<br />
Rodrigo Melo<br />
( R: é proposição, pois é uma oração, tem sujeito e predicado)
Representação<br />
• As proposições, geralmente são representadas<br />
por letras minúsculas (p, q, r, s etc).<br />
São outros exemplos de proposições:<br />
Pedro é médico. = p<br />
5 < 8 (Cinco é menor que oito.) = q<br />
Luíza foi ao cinema ontem à noite = r<br />
Rodrigo Melo
LEIS FUNDAMENTAIS DO<br />
PENSAMENTO LÓGICO<br />
• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE<br />
Se uma proposição for verdadeira ela será<br />
verdadeira; uma proposição falsa é falsa.<br />
Rodrigo Melo<br />
• PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO<br />
Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa<br />
ao mesmo tempo.<br />
• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO<br />
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa:<br />
não há outra possibilidade
Dada uma proposição<br />
qualquer “p”, a negação<br />
dessa proposição é “não-p”.<br />
Representa-se essa negação<br />
como: “~”<br />
Se atribuirmos que essa<br />
proposição seja verdadeira a<br />
negação será falsa. Agora, se<br />
atribuirmos que p for falsa a<br />
sua negação será verdadeira.<br />
Com isso pode-se concluir<br />
que<br />
a negação de qualquer<br />
proposição atribui o valor<br />
lógico oposto.<br />
NEGAÇÃO ( ~ )<br />
p ~p<br />
V<br />
F<br />
F<br />
V<br />
Equivalências de<br />
Negação<br />
Não é verdade que A.<br />
É falso que A.<br />
Rodrigo Melo
PROPOSIÇÕES<br />
Existem dois tipos de proposições: simples e composta.<br />
• SIMPLES<br />
Serão proposições simples ou proposição atômica aquelas<br />
que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras orações.<br />
Exemplos:<br />
Todo homem é mortal. (Só existe uma oração)<br />
Rodrigo Melo<br />
• COMPOSTA<br />
Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si,<br />
formando uma só sentença, estaremos diante de uma<br />
proposição composta ou proposição molecular.
Exemplos de proposição<br />
composta:<br />
• João é médico e Pedro é dentista.<br />
( 1ª oração: João é médico e 2ª Pedro é dentista)<br />
• Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.<br />
• Ou Luís é baiano, ou é paulista.<br />
Rodrigo Melo<br />
• Se chover amanhã de manhã, então não<br />
irei à praia.
CONECTIVOS LÓGICOS<br />
Para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa,<br />
isso dependerá de duas coisas:<br />
1º) do valor lógico das proposições componentes;<br />
2º) do tipo de conectivo que as une.<br />
Tipos de conectivos lógicos que estudaremos:<br />
Rodrigo Melo
PROPOSIÇÃO COMPOSTA<br />
Conjunção Disjunção<br />
p q p ^ q p v q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
V<br />
F<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
V<br />
F<br />
Disjunção<br />
exclusiva<br />
F<br />
V<br />
V<br />
F<br />
Condicional Bicondicional<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
Rodrigo Melo<br />
V<br />
F<br />
F<br />
V
1) Considere os seguintes enuncia<strong>dos</strong>:<br />
16 é múltiplo de 2<br />
15 é múltiplo de 7<br />
8 é número primo<br />
V<br />
F<br />
F<br />
Rodrigo Melo<br />
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:<br />
a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo.<br />
F ou V então F<br />
V<br />
EXERCÍCIOS<br />
então<br />
F<br />
b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.<br />
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.<br />
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.<br />
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.<br />
F
1) Considere os seguintes enuncia<strong>dos</strong>:<br />
16 é múltiplo de 2<br />
15 é múltiplo de 7<br />
8 é número primo<br />
V<br />
F<br />
F<br />
Rodrigo Melo<br />
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:<br />
b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.<br />
V ou F então F<br />
V<br />
EXERCÍCIOS<br />
então<br />
F<br />
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.<br />
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.<br />
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.<br />
F
1) Considere os seguintes enuncia<strong>dos</strong>:<br />
16 é múltiplo de 2<br />
15 é múltiplo de 7<br />
8 é número primo<br />
V<br />
F<br />
F<br />
Rodrigo Melo<br />
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:<br />
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.<br />
V então F e F<br />
V<br />
EXERCÍCIOS<br />
então<br />
F<br />
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.<br />
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.<br />
F
1) Considere os seguintes enuncia<strong>dos</strong>:<br />
16 é múltiplo de 2<br />
15 é múltiplo de 7<br />
8 é número primo<br />
V<br />
F<br />
F<br />
Rodrigo Melo<br />
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:<br />
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.<br />
F e F então V<br />
F<br />
EXERCÍCIOS<br />
então<br />
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.<br />
V<br />
V
1) Considere os seguintes enuncia<strong>dos</strong>:<br />
16 é múltiplo de 2<br />
15 é múltiplo de 7<br />
8 é número primo<br />
V<br />
F<br />
F<br />
Rodrigo Melo<br />
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:<br />
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.<br />
V então F ou F<br />
V<br />
EXERCÍCIOS<br />
então F<br />
F
02. Uma sentença lógica equivalente a<br />
“Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é:<br />
p então<br />
q<br />
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.<br />
p<br />
v<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
Temos que encontrar essa<br />
sequência de valores lógicos<br />
q<br />
p q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
p v q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
Rodrigo Melo<br />
~p<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
~q<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
Resultado<br />
V<br />
V<br />
V<br />
F
• b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.<br />
p q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
~p<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
p v<br />
~q<br />
~q<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
p v ~q<br />
V<br />
v<br />
F<br />
F<br />
Não!!!!!!<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
Resultado<br />
V<br />
V<br />
F<br />
V<br />
Rodrigo Melo<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
São equivalentes????
• c) Se Luisa é solteira , Pedro é economista.<br />
p q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
~p<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
q então<br />
p<br />
~q<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
q p<br />
V<br />
F<br />
V<br />
F<br />
Não!!!!!!<br />
V<br />
V<br />
F<br />
F<br />
Resultado<br />
V<br />
V<br />
F<br />
V<br />
Rodrigo Melo<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
São equivalentes????
• d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.<br />
p q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
~p<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
~q<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
~p então ~q<br />
~p ~q<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
Não!!!!!!<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
Resultado<br />
V<br />
V<br />
F<br />
V<br />
Rodrigo Melo<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
São equivalentes????
• e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.<br />
p q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
~p<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
~q então ~p<br />
~q<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
~q ~p<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
Resultado<br />
SIM!!!!!!<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
Rodrigo Melo<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
São equivalentes????
Aula 2
PROPOSIÇÃO COMPOSTA<br />
Conjunção Disjunção<br />
p q p ^ q p v q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
V<br />
F<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
V<br />
F<br />
Disjunção<br />
exclusiva<br />
F<br />
V<br />
V<br />
F<br />
Condicional Bicondicional<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
Rodrigo Melo<br />
V<br />
F<br />
F<br />
V
Equivalências<br />
Rodrigo Melo<br />
São proposições cujas tabelas-verdade possuem os<br />
mesmos valores lógicos, ou seja, são iguais.<br />
p → q ~q → ~p<br />
V<br />
V<br />
F<br />
F<br />
CONTRAPOSITIVA<br />
V<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
V<br />
F<br />
V<br />
V<br />
p q<br />
V V<br />
V F<br />
F V<br />
F F<br />
~p<br />
p → q ~q → ~p<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
~q<br />
F<br />
V<br />
F<br />
V
Dizer que Carlos não é pedreiro ou Abel é paulista é, do pont<br />
de vista lógico, o mesmo que dizer que:<br />
a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista<br />
b) se Abel é paulista, então Carlos é pedreiro<br />
c) se Carlos não é pedreiro, então Abel é paulista<br />
d) se Carlos é pedreiro, então Abel não é paulista<br />
e) se Carlos não é pedreiro, então Abel não é paulista
arlos não é pedreiro ou Abel é paulista<br />
p ou q<br />
Temos que encontrar<br />
essa sequência de<br />
valores lógicos<br />
V<br />
V<br />
V<br />
F<br />
a) se Carlos é pedreiro, então Abel é paulista<br />
~p então q<br />
F<br />
F<br />
V<br />
V<br />
V<br />
F<br />
V<br />
F<br />
são<br />
equivalentes!<br />
V<br />
V<br />
V<br />
F
Expressões<br />
lógicas
1) (CESPE) Considere as seguintes proposições:<br />
A) 3 + 4 = 7 ou 7 – 4 = 3<br />
V ou V<br />
B) 3 + 4 = 7 ou 3 + 4 > 8<br />
C) 3 2 = –1 ou 3 2 = 9<br />
D) 3 2 = –1 ou 3 2 = 1<br />
= V<br />
ou = V<br />
V F<br />
F ou V = V<br />
F F<br />
ou = F<br />
Rodrigo Melo<br />
Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são V.
2) (CESPE) Considere as seguintes proposições:<br />
A) 6 – 1 = 7 ou 6 + 1 > 2<br />
F ou V<br />
B) 6 + 3 > 8 e 6 – 3 = 4<br />
C) 9 × 3 > 25 ou 6 × 7 < 45<br />
= V<br />
e = F<br />
V F<br />
V ou V = V<br />
Rodrigo Melo<br />
D) 5 + 2 é um número primo e todo número primo é ímpa<br />
V<br />
Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são F.<br />
e<br />
CORRETA<br />
F<br />
= F
Exercícios<br />
Rodrigo Melo<br />
(CESPE) Na comunicação, o elemento fundamental é<br />
a sentença, ou proposição simples, constituída<br />
esquematicamente por um sujeito e um predicado,<br />
sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluin<strong>dos</strong>e<br />
as interrogativas e exclamativas. Toda proposição<br />
pode ser julgada como falsa (F), ou verdadeira (V),<br />
excluindo-se qualquer outra forma. Novas<br />
proposições são formadas a partir de proposições<br />
simples, com os conectivos “e”, simbolizado por ;<br />
“ou”, simbolizado por ; “se ... então...”, simbolizado<br />
por .
Rodrigo Melo<br />
Usa-se também o modificador “não”, simbolizado por<br />
¬. As proposições são representadas por letras do<br />
alfabeto: A, B, C etc. A seguir são apresentadas as<br />
valorações para algumas proposições compostas a<br />
partir das valorações das proposições A e B que<br />
compõem essas proposições compostas. As<br />
valorações de uma proposição composta compõem a<br />
tabela-verdade da respectiva proposição.
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes<br />
1 Considere as seguintes sentenças:<br />
I) O Acre é um estado da Região Nordeste.<br />
II) Você viu o cometa Halley?<br />
III) Há vida no planeta Marte.<br />
IV) Se x < 2, então x + 3 > 1.<br />
Não<br />
Sim<br />
Sim<br />
Rodrigo Melo<br />
Sim<br />
Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são<br />
proposições.
2) ( ) Há duas proposições no seguinte conjunto de<br />
sentenças:<br />
(I) O BB foi criado em 1980.<br />
Sim<br />
(II) Faça seu trabalho corretamente.<br />
Não<br />
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.<br />
Rodrigo Melo<br />
Sim
Negação<br />
Rodrigo Melo
Negação de uma proposição<br />
CONJUNTIVA: ~(p e q)<br />
composta<br />
Rodrigo Melo<br />
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção<br />
(p e q), faremos o seguinte:<br />
1º) Negaremos a primeira (~p);<br />
2º) Negaremos a segunda (~q);<br />
3º) Trocaremos e por ou.
Negação de uma proposição<br />
DISJUNTIVA: ~(p ou q)<br />
composta<br />
Rodrigo Melo<br />
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou<br />
q), faremos o seguinte:<br />
1º) Negaremos a primeira (~p);<br />
2º) Negaremos a segunda (~q);<br />
3º) Trocaremos ou por e.
CONDICIONAL: ~(p → q)<br />
1º) Mantém-se a primeira parte ou afirma; e<br />
2º) Nega-se a segunda.<br />
BICONDICIONAL: ~(p ↔ q)<br />
Rodrigo Melo
1) A negação da afirmativa “Me caso ou compro<br />
sorvete.” é<br />
a) me caso e não compro sorvete.<br />
b) não me caso ou não compro sorvete.<br />
c) não me caso e não compro sorvete.<br />
d) não me caso ou compro sorvete.<br />
e) se me casar, não compro sorvete.<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
2) Negando a sentença “ Se a Nanci está feliz então<br />
está alegre e bonita.”<br />
a) Se a Nanci não está feliz então não está alegre e<br />
nem bonita.<br />
b) Se a Nanci está alegre e bonita então está feliz.<br />
c) Se a Nanci não está feliz então está alegre e bonita.<br />
d) Se a Nanci não está alegre e nem bonita então está<br />
feliz.<br />
e) A Nanci está feliz e não alegre ou não bonita.<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
3) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e<br />
Alberto é alto, é logicamente equivalente a<br />
dizer que é verdade que:<br />
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.<br />
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.<br />
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.<br />
Rodrigo Melo<br />
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.<br />
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é<br />
alto.
Sentenças<br />
abertas<br />
Rodrigo Melo
Sentenças abertas com uma<br />
variável<br />
TAUTOLOGIA<br />
• Uma proposição composta formada por duas ou<br />
mais proposições será dita uma Tautologia se ela<br />
for sempre verdadeira, independentemente <strong>dos</strong><br />
valores lógicos das proposições que a compõem.<br />
Exemplo:<br />
.<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo<br />
• CONTRADIÇÃO<br />
Uma proposição composta formada por duas ou mais<br />
proposições será dita uma contradição se ela for<br />
sempre falsa, independentemente <strong>dos</strong> valores lógicos<br />
das proposições que a compõem.<br />
Exemplo:<br />
• CONTIGÊNCIA<br />
Uma proposição composta será dita uma contingência<br />
sempre que não for uma tautologia nem uma<br />
contradição.
Rodrigo Melo<br />
1) Chama-se tautologia a toda proposição que é<br />
sempre verdadeira, independentemente da verdade <strong>dos</strong><br />
termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:<br />
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é<br />
gordo<br />
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo<br />
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então<br />
Guilherme é gordo<br />
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é<br />
alto e Guilherme é gordo<br />
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Rodrigo Melo<br />
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo<br />
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
Rodrigo Melo<br />
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo<br />
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e<br />
Guilherme é gordo
Rodrigo Melo<br />
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
Condição suficiente e<br />
condição necessária<br />
Rodrigo Melo<br />
Na condicional a primeira proposição é condição<br />
suficiente para a segunda e a segunda é<br />
condição necessária para a primeira. C.S<br />
p → q<br />
C.N<br />
Exemplo:<br />
Se Andréa e paulista então Andréa é brasileira.
Na bi condicional a primeira proposição é<br />
condição suficiente e necessária para a segunda<br />
e vice versa.<br />
C.S e CN<br />
p ↔ q<br />
C.S e CN<br />
Rodrigo Melo<br />
Exemplo:<br />
Rodrigo é sobrinho de Elisia se somente se Elisia<br />
for irmã de Ecleide, mãe de Rodrigo.
Exemplo:<br />
Se chover então faz frio. Assim sendo:<br />
Rodrigo Melo<br />
a) Chover é condição necessária para fazer frio.<br />
b) Fazer frio é condição suficiente para chover.<br />
c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer<br />
frio.<br />
d) Chover é condição suficiente para fazer frio.<br />
e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para<br />
chover.
Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:<br />
Rodrigo Melo<br />
a) Marcos estudar é condição necessária para João não<br />
passear<br />
b) Marcos estudar é condição suficiente para João<br />
passear.<br />
c) Marcos não estudar é condição necessária para João<br />
não passear.<br />
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João<br />
passear.<br />
e) Marcos estudar é condição necessária para João<br />
passear.
Rodrigo Melo
Aula 3<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo<br />
1. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, o mordomo e o<br />
jardineiro. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um<br />
ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente<br />
ou não. Sabe-se, ainda, que:<br />
•se o cozinheiro é inocente, então o mordomo é culpado;<br />
•ou o jardineiro é culpado ou o mordomo é culpado, mas não os<br />
dois;<br />
•o jardineiro não é inocente.<br />
Logo:<br />
a) o mordomo e o jardineiro são os culpa<strong>dos</strong><br />
b) o cozinheiro e o jardineiro são os culpa<strong>dos</strong><br />
c) somente o mordomo é culpado<br />
d) somente o cozinheiro é inocente<br />
e) somente o jardineiro é culpado
2. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por<br />
outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é<br />
difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:<br />
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.<br />
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.<br />
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.<br />
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.<br />
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo<br />
3. Se A é alegre então B é boa, se B é boa então C é calma.<br />
Sabe-se que C não é calma, nestas condições pode-se<br />
concluir que:<br />
a) A não é boa.<br />
b) B não é alegre.<br />
c) A não é calma.<br />
d) C não é alegre.<br />
e) A não é alegre.
Rodrigo Melo<br />
4. Considere as seguintes proposições:<br />
p: Eduardo é estudante.<br />
q: Carina é bailarina.<br />
A proposição composta ~(~p q) em linguagem corrente é<br />
a) “Não é verdade que Carina não é bailarina e Eduardo não é<br />
estudante”.<br />
b) “Carina não é bailarina ou Eduardo é estudante”.<br />
c) “Carina não é estudante ou Eduardo é bailarino”.<br />
d) “Não é verdade que Carina é bailarina ou Eduardo é estudante”.<br />
e) “Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante”.
Rodrigo Melo<br />
5. Considere a sentença “Se os juros baixarem, haverá<br />
crescimento econômico”.<br />
A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é<br />
a) Se os juros não baixarem, não haverá crescimento econômico.<br />
b) Se não houver crescimento econômico, os juros não baixam.<br />
c) Se os juros não baixarem, haverá crescimento econômico.<br />
d) Se houver crescimento econômico, os juros baixam.<br />
e) Se os juros não baixarem, haverá recessão.
Rodrigo Melo<br />
6. A NEGAÇÃO da sentença: “Hortelino saiu sem avisar e foi ao<br />
cinema” é<br />
a) “Hortelino saiu sem avisar e não foi ao cinema”.<br />
b) “Hortelino não saiu sem avisar e não foi ao cinema”.<br />
c) “Hortelino não saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.<br />
d) “Hortelino não saiu sem avisar e foi ao cinema”.<br />
e) “Hortelino saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
7. Sejam as declarações:<br />
Se ele me ama então ele casa comigo.<br />
Se ele casa comigo então não vou trabalhar.<br />
Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:<br />
a) Ele é pobre mas me ama.<br />
b) Ele é rico mas é pão duro.<br />
c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.<br />
d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar.<br />
e) Ele não me ama e não casa comigo.<br />
Rodrigo Melo
8. Sejam as declarações:<br />
Se o governo é bom então não há desemprego.<br />
Se não há desemprego então não há inflação.<br />
Ora, se há inflação podemos concluir que:<br />
a) A inflação não afeta o desemprego.<br />
b) Pode haver inflação independente do governo.<br />
c) O governo é bom e há desemprego.<br />
d) O governo é bom e não há desemprego.<br />
e) O governo não é bom e há desemprego.<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo<br />
9. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em<br />
um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade;<br />
e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz:<br />
“Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz:<br />
“Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é<br />
quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está<br />
sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:<br />
a) Janete, Tânia e Angélica<br />
b) Janete, Angélica e Tânia<br />
c) Angélica, Janete e Tânia<br />
d) Angélica, Tânia e Janete<br />
e) Tânia, Angélica e Janete
10. Se Bia briga com Lara, então Lara vai ao teatro. Se Lara vai ao teatro,<br />
então Sandra fica em casa. Se Sandra fica em casa, então Bruno briga<br />
com Sandra. Ora, Bruno não briga com Sandra. Logo...<br />
a) Sandra não fica em casa e Bia não briga com Lara.<br />
b) Sandra fica em casa e Lara vai ao teatro.<br />
c) Sandra não fica em casa e Lara vai ao teatro.<br />
d) Lara vai ao teatro e Bia briga com Lara.<br />
e) Lara não vai ao teatro e Bia briga com Lara.
11. Rafael quer ir ao teatro assistir a peça “Noviça Rebelde”, mas não<br />
tem certeza se a mesma está sendo exibida. Seus amigos, Luana, Luis e<br />
Ivan têm opiniões discordantes sobre se a peça está ou não em cartaz.<br />
Se Julia estiver certa, então Ivan está enganado. Se Ivan estiver<br />
enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então a<br />
peça não está sendo exibida. Ora, ou a peça “Noviça Rebelde” está<br />
sendo exibida, ou Rafael não ira ao teatro. Verificou-se que Julia está<br />
certa. Logo,<br />
a) A peça “Noviça Rebelde” está sendo exibida.<br />
b) Luis e Ivan não estão engana<strong>dos</strong>.<br />
c) Ivan está enganado, mas Luis não.<br />
d) Luis está enganado, mas Ivan não.<br />
e) Rafael não irá ao teatro.
12. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu,<br />
Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta<br />
sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,<br />
a) Nestor e Júlia disseram a verdade<br />
b) Nestor e Lauro mentiram<br />
c) Raul e Lauro mentiram<br />
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade<br />
e) Raul e Júlia mentiram.
(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma<br />
frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F),<br />
mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o<br />
tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições<br />
porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser<br />
nem V nem F. As proposições são representadas<br />
simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C<br />
etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem<br />
F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A<br />
então B” é F se A for V e B for F, caso contrário é V. Um<br />
raciocínio lógico considerado correto é formado por uma<br />
seqüência de proposições tais que a última proposição é<br />
verdadeira sempre que as proposições anteriores na<br />
seqüência forem verdadeiras.<br />
Considerando as informações contidas no texto acima,
13) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de<br />
proposições seguintes:<br />
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado<br />
no concurso.<br />
Maria é alta.<br />
Portanto José será aprovado no concurso.<br />
14) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de<br />
proposições seguintes:<br />
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um<br />
emprego.<br />
Ela conseguiu um emprego.<br />
Portanto, Célia tem um bom currículo.
Aula 4<br />
Rodrigo Melo
Proposições categóricas<br />
São quatro proposições categóricas possíveis. As<br />
proposições categóricas serão classificadas em:<br />
- Universais<br />
- Particulares<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo<br />
As proposições universais são aquelas em que o<br />
predicado refere-se à totalidade do conjunto.<br />
Exemplo:<br />
“To<strong>dos</strong> os homens são inteligentes.”<br />
Na proposição acima observamos que é universal<br />
onde englobam to<strong>dos</strong> os homens sem exceção,<br />
e que pode ser representado como:<br />
“Todo S é P”
As proposições particulares são aquelas em que o<br />
predicado refere-se apenas a uma parte do<br />
conjunto.<br />
Exemplo:<br />
“Alguns homens são inteligentes.”<br />
Rodrigo Melo<br />
Já nesta outra proposição acima, não são incluí<strong>dos</strong><br />
to<strong>dos</strong> os homens, só uma parte deles, que pode ser<br />
representado como:<br />
“Alguns S é P.”
Esses tipos de proposições também podem ser<br />
classifica<strong>dos</strong> em:<br />
- afirmativas (exemplo anterior)<br />
- negativas<br />
No caso da negativa podemos ter:<br />
“Nenhum homem é inteligente”<br />
Na proposição acima ela é universal negativa e<br />
simbolizamos por:<br />
“Nenhum S é P.”
- Outro exemplo:<br />
“Alguns homens não são inteligentes.”<br />
Ela é particular e negativa que poder ser representada<br />
por:<br />
“Algum S não é P.”
• Com isso podemos resumir essas<br />
Afirmativa Negativa<br />
Universal (A) Todo S é P (E) Nenhum S é P.<br />
Particular<br />
Rodrigo Melo<br />
(I) Algum S é P (O) Alguns S não é<br />
P.
(A) Todo S é P.<br />
(E) Nenhum S é P.<br />
Diagrama<br />
(I) Algum S é P.<br />
Rodrigo Melo<br />
(O)Algum S não é P.
Argumento<br />
Lógica da Argumentação<br />
Rodrigo Melo<br />
É um conjunto de proposições com uma estrutura<br />
lógica que podem ter como conseqüência outra<br />
proposição. Ou seja, conjunto de proposições p1, p2,<br />
p3, ..., pn que tem como conseqüência outra<br />
proposição r.<br />
As proposições p1, p2, p3, ..., pn serão<br />
chama<strong>dos</strong> de premissas do argumento, e a<br />
proposição r de conclusão do argumento.
Exemplo:<br />
Rodrigo Melo<br />
p1: Se eu passar no concurso então irei trabalhar.<br />
p2: Passei no concurso.<br />
r: Irei trabalhar
Validade ou Invalidade<br />
Rodrigo Melo<br />
Validade de um argumento<br />
Para um argumento ser válido a verdade das<br />
premissas deve garantir a verdade da conclusão do<br />
argumento. Significa dizer que jamais deverá ter uma<br />
conclusão falsa, independente da validade de suas<br />
premissas.<br />
Exemplo:<br />
To<strong>dos</strong> os peixes tem asas. (F)<br />
To<strong>dos</strong> os pássaros são peixes. (F)<br />
To<strong>dos</strong> os pássaros tem asas. (V)
Invalidade de um argumento<br />
Para um argumento inválido, quando há possibilidade<br />
de suas premissas serem verdadeiras e sua<br />
conclusão falsa, ou seja, a verdade de suas<br />
premissas não é suficiente para garantir a verdade da<br />
conclusão.<br />
Exemplos:<br />
To<strong>dos</strong> os cachorros são animais. (V)<br />
To<strong>dos</strong> os gatos animais. (V)<br />
To<strong>dos</strong> os cachorros são gatos. (F)<br />
Rodrigo Melo
To<strong>dos</strong> os alunos do curso passaram.<br />
Daniel não é aluno do curso.<br />
Portanto, Daniel não passou.<br />
Rodrigo Melo
Rodrigo Melo<br />
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS<br />
Os argumentos também podem ser classifica<strong>dos</strong> em:<br />
- dedutivos<br />
- indutivo<br />
O argumento dedutivo será quando suas premissas<br />
fornecerem prova conclusiva da veracidade da<br />
conclusão.<br />
Já o argumento indutivo quando possui informações<br />
que ultrapassam as fornecidas nas premissas.
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS<br />
Exemplos:<br />
Argumento dedutivo<br />
Todo ser humano tem pai.<br />
To<strong>dos</strong> os homens são humanos<br />
To<strong>dos</strong> os homens têm pai.<br />
Rodrigo Melo<br />
Argumento indutivo<br />
O Botafogo é um ótimo time de futebol.<br />
O Vasco é um ótimo time de futebol.<br />
O Fluminense é um ótimo time de futebol.<br />
To<strong>dos</strong> os times brasileiros são ótimos times de futebo
ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS<br />
Rodrigo Melo<br />
Lembrando que argumentos váli<strong>dos</strong> ou inváli<strong>dos</strong><br />
aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e<br />
que a validade depende apenas da forma do<br />
argumento e não <strong>dos</strong> valores das premissas.<br />
Afirmação do antecedente ou Modus ponens<br />
Se eu passar no concurso então irei trabalhar.<br />
Passei no concurso.<br />
Irei trabalhar
ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS<br />
Rodrigo Melo<br />
Negação do conseqüente ou Modus tollens<br />
Uma equivalência específica vista anteriormente<br />
de uma condicional é chamada de contra<br />
positiva.<br />
p→q = ~q→ ~p<br />
Exemplo:<br />
Se ela me ama, então casa comigo.<br />
Não casa comigo.<br />
Então ela não me ama.
Dilema<br />
Este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre<br />
duas alternativas indesejáveis.<br />
Exemplo:<br />
Maria inscreveu-se no concurso do TRT, porém não gostaria de sa<br />
do Rio de Janeiro, e seus colegas de trabalho estão torcendo po<br />
ela.<br />
Eis o dilema de Maria:<br />
- Se Maria passar no concurso vai ter que ir embora do Rio de<br />
Janeiro.<br />
- Se Maria não passar no concurso ficará com vergonha diante <strong>dos</strong><br />
colegas de trabalho.<br />
Portanto: Ou Maria vai embora do Rio de Janeiro ou Maria ficará<br />
com vergonha diante <strong>dos</strong> colegas de trabalho
ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO<br />
É a combinação da verdade com falsidade das<br />
premissas de qualquer maneira com a verdade ou<br />
falsidade da conclusão. Lembrando que as premissas<br />
não sustentam a conclusão.<br />
Exemplo:<br />
To<strong>dos</strong> os mamíferos são mortais.(V)<br />
To<strong>dos</strong> os cachorros são mortais.(V)<br />
To<strong>dos</strong> os cachorros são mamíferos.(V)<br />
Este argumento tem a seguinte forma:<br />
To<strong>dos</strong> os A são B.<br />
To<strong>dos</strong> o C são B.<br />
To<strong>dos</strong> os C são A.
ARGUMENTO DEDUTIVO<br />
INVÁLIDO<br />
Podemos observar que é um argumento inválido,<br />
pois suas premissas não sustentam a<br />
conclusão. Então to<strong>dos</strong> os argumentos inváli<strong>dos</strong><br />
chamaremos de falácias. Para compreender<br />
melhor basta substituir: A por humanos, B por<br />
mortais e C por cachorros. Logo teremos:<br />
To<strong>dos</strong> os humanos são mortais.(V)<br />
To<strong>dos</strong> o cachorros são mortais.(V)<br />
To<strong>dos</strong> os cachorros são humanos.(F)
SILOGISMO<br />
É o argumento formado por duas premissas e uma<br />
conclusão. No silogismo teremos três termos:<br />
- Termo menor: sujeito da conclusão<br />
- Termo médio: é o termo que aparece uma vez<br />
em cada premissa e não aparece na conclusão.<br />
- Termo maior: predicado da conclusão<br />
Adotaremos a premissa maior a que contém o<br />
termo maior e a premissa menor a que contém<br />
o termo menor
SILOGISMO<br />
Exemplo:<br />
• Todas as mulheres são bonitas.<br />
• Todas as princesas são mulheres.<br />
• Todas as princesas são bonitas<br />
- Termo menor: as princesas<br />
- Termo médio: mulheres<br />
- Termo maior: bonitas<br />
- Premissa menor: todas as princesas são<br />
mulheres<br />
- Premissa maior: todas as mulheres são bonitas
Regras para a validade de um<br />
Silogismo<br />
1) Todo silogismo deve conter apenas três termos;<br />
2) O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;<br />
3) O termo médio não pode constar na conclusão;<br />
4) Nenhum silogismo que tenha suas premissas negativas é<br />
válido;<br />
5) De duas premissas particulares não poderá ter uma<br />
conclusão;<br />
6) Se há uma premissa particular a conclusão será<br />
particular;<br />
7) Se há uma premissa particular negativa a conclusão será<br />
particular .negativa
EXERCÍCIOS<br />
1.Verifique a validade das seguintes argumentações. Se<br />
ela for válida indique por “v”, se for não válida<br />
indique por “nv”.<br />
a) Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você<br />
certamente vencerá. Logo, você é persistente. nv<br />
b) Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo,<br />
ele é inteligente.v
c) Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo,<br />
homem é macaco.nv<br />
d) Você é um patinho. Ora, a mãe do patinho é uma<br />
pata. Logo, a sua mãe é uma pata.v
2.(CESPE) Considerando que uma argumentação é<br />
correta quando, partindo-se de proposições<br />
presumidamente verdadeiras, se chega a conclusões<br />
também verdadeiras, julgue o próximo item. Suponha-se<br />
que as seguintes proposições sejam verdadeiras.<br />
I Todo brasileiro é artista.<br />
II Joaquim é um artista.<br />
Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é<br />
brasileiro”, então a argumentação é correta.( E )
3.Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G<br />
é R”, então é necessariamente verdadeiro que:<br />
*a) algum A não é G<br />
b) algum A é G.<br />
c) nenhum A é G<br />
d) algum G é A<br />
e) nenhum G é A
4.Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabese,<br />
também, que todo B é C. Segue-se, portanto,<br />
necessariamente que<br />
a) todo C é B<br />
b) todo C é A<br />
*c) algum A é C<br />
d) nada que não seja C é A<br />
e) algum A não é C
5.To<strong>dos</strong> os médicos são obesos. Nenhum obeso sabe nadar.<br />
Segue-se que:<br />
a) Algum médico não é obeso<br />
b) Algum médico sabe nadar<br />
c) Nenhum médico sabe nadar<br />
d) Nenhum médico é obeso<br />
e) Algum obeso sabe nadar
6.(CESPE) – Das premissas:<br />
A: “Nenhum herói é covarde.”<br />
B: Alguns solda<strong>dos</strong> são covardes.”<br />
Pode-se corretamente concluir que:<br />
a) alguns heróis são solda<strong>dos</strong>.<br />
b) alguns solda<strong>dos</strong> são heróis.<br />
c) nenhum herói é soldado.<br />
*d) alguns solda<strong>dos</strong> não são heróis.<br />
e) nenhum soldado é herói.
7.Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum<br />
filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos".<br />
Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta<br />
comunidade<br />
a) alguns filósofos são professores<br />
b) alguns professores são filósofos<br />
c) nenhum filósofo é professor<br />
*d) alguns professores não são filósofos<br />
e) nenhum professor filósofo
8.(CESPE) A forma de uma argumentação lógica<br />
consiste de uma seqüência finita de premissas seguida<br />
por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica<br />
consideradas válidas e há formas consideradas<br />
inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas<br />
formas de argumentação lógica, uma de cada tipo<br />
citada, em que “~” é o símbolo de negação.
A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.<br />
a) A seguinte argumentação é inválida.<br />
Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com<br />
orçamento conhece contabilidade.<br />
Premissa 2: João é funcionário e não conhece<br />
contabilidade.<br />
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.E
) A seguinte argumentação é válida.<br />
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos<br />
devi<strong>dos</strong>.<br />
Premissa 2: Carlos paga os impostos devi<strong>dos</strong>.<br />
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.E
9.Se é verdade que “Alguns B são R” e que “Nenhum Z é R”,<br />
então é necessariamente verdadeiro que:<br />
a) algum B não é Z<br />
b) algum B é Z<br />
c) nenhum B é Z<br />
d) algum Z é B<br />
e) nenhum Z é B
10. Se for verdade que “Nenhum hexágono é icoságono” e que<br />
“Nenhum eneágono é icoságono”, então é necessariamente<br />
verdadeiro que:<br />
a) algum hexágono não é eneágono<br />
b) algum hexágono é eneágono<br />
c) nenhum hexágono é eneágono<br />
d) algum eneágono é hexágono<br />
e) não se pode tirar conclusão
Aula 5<br />
Rodrigo Melo
Fatorial e o Principio<br />
Fundamental da<br />
Contagem<br />
Professor Rodrigo Melo
Fatorial<br />
Sendo n um número natural maior que um (1), podemos definir<br />
como fatorial de n (n!) o número:<br />
Lembrando que n N (n pertence aos números naturais) e<br />
n 1 ( n maior que 1 ).<br />
O símbolo n! (lê-se: fatorial de n ou n fatorial.)<br />
Exemplos:<br />
7! =<br />
6! =<br />
3! =<br />
7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040<br />
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 720<br />
3 . 2 . 1 = 6<br />
Observação:<br />
Por definição, para 0!=1 e 1! = 1
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA<br />
CONTAGEM<br />
Por este meio pode-se determinar quantas vezes, de modo<br />
diferente, um acontecimento pode ocorrer. Ou seja, é um<br />
princípio combinatório que indica de quantas formas se pode<br />
escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o<br />
primeiro conjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2<br />
elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de<br />
escolhas é dado por:<br />
T = k1 . k2 . k3 . ... kn
Princípio da Multiplicação<br />
Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e uma<br />
decisão d2 puder ser tomada de y maneiras então as decisões<br />
d1 e d2 podem ser tomadas de (x.y) maneiras.<br />
Exemplos:<br />
1) Uma homem possui quatro camisas e três calças. De quantos<br />
mo<strong>dos</strong> diferentes ele poderá se vestir?<br />
Solução<br />
Escolha de uma calça: 3 possibilidades<br />
Escolha de uma camisa: 4 possibilidades<br />
Total: 3 x 4 = 12 combinações<br />
A escolha de uma calça poderá ser feita de três maneiras diferentes, onde cada<br />
calça poderá ser combinada com as quatro camisas.
Exemplo 2:<br />
Para fazer uma viagem Rio - São Paulo - Rio, posso usar como<br />
meio de transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos<br />
mo<strong>dos</strong> posso escolher os transportes se não desejo usar na<br />
volta o meio de transporte usado na ida?<br />
Solução<br />
Há três mo<strong>dos</strong> de escolher o transporte de ida. Depois<br />
disso, há duas alternativas para a volta. A resposta é 3 x 2= 6<br />
mo<strong>dos</strong>.
Princípio da Adição<br />
Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 possibilidades,<br />
respectivamente, então o número de possibilidades para o<br />
evento A ou B é n1 + n2.<br />
Exemplo:<br />
1) Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?<br />
Solução<br />
Podemos considerar dois casos disjuntos:<br />
- números que começam por 4 =1x10x10x10 possibilidades<br />
- números que começam por 5 = 1x10x10x10 possibilidades e<br />
Então temos um total de 2x10x10x10 possibilidades, pois (1x10x10x10) +<br />
(1x10x10x10)= 2x10x10x10.
PERMUTAÇÃO<br />
São agrupamentos com n elementos, de forma que os n<br />
elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações<br />
podem ser simples, com repetição ou circulares.<br />
Permutação Simples<br />
Permutações simples de n elementos distintos são os<br />
agrupamentos forma<strong>dos</strong> com to<strong>dos</strong> os n elementos e que<br />
diferem uns <strong>dos</strong> outros pela ordem de seus elementos.<br />
P n = n!
PERMUTAÇÃO<br />
Exemplo:<br />
Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com<br />
os algarismos 1,2,3,4,5?<br />
Solução<br />
P5=5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120<br />
Logo, podemos formar 120 números
Permutação com Repetição<br />
Se entre os n elementos de um conjunto existem a elemento<br />
repeti<strong>dos</strong>, b elementos repeti<strong>dos</strong>, c elementos repeti<strong>dos</strong> e assim<br />
sucessivamente, o número total de permutações que podemos<br />
formar é dado por:<br />
Exemplo:<br />
Quantos são os anagramas da palavra:<br />
a) ELEGER<br />
b) CANDIDATA
Permutação Circular<br />
Chamamos de Permutação Circular a disposição <strong>dos</strong><br />
elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para<br />
determinarmos o número de disposições possíveis basta utilizar<br />
expressão abaixo:<br />
Pc = (n-1)!<br />
Exemplo:<br />
1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma<br />
mesa circular?<br />
Solução<br />
Pc = (4-1)! = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 arrumações possíveis
Arranjo Simples<br />
- não há repetição de elementos;<br />
- a ordem <strong>dos</strong> elementos é considerada um novo agrupamento;<br />
- Lê-se: arranjo de n elementos toma<strong>dos</strong> p a p.<br />
An, p<br />
n!<br />
<br />
( n p)!<br />
OBS: To<strong>dos</strong> os problemas de Arranjo Simples também poderão se<br />
resolvi<strong>dos</strong> pelo Princípio Multiplicativo.<br />
Exemplo:<br />
Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos<br />
distintos podemos formar com os elementos de A?
Combinação Simples<br />
- não há repetição de elementos;<br />
- a ordem <strong>dos</strong> elementos não é considerada um novo<br />
agrupamento;<br />
- Lê-se: combinação de n elementos toma<strong>dos</strong> p a p.<br />
C<br />
n, p<br />
n!<br />
<br />
( n p)! p!<br />
Exemplo:<br />
Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B , C?
Arranjo com Repetição<br />
- há repetição de elementos;<br />
- a ordem <strong>dos</strong> elementos é considerada um novo agrupamento;<br />
Exemplo:<br />
Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos<br />
distintos podemos formar com os elementos de A admitindo<br />
repetições?
Combinação com Repetição<br />
- há repetição de elementos;<br />
- a ordem <strong>dos</strong> elementos não é considerada um novo<br />
agrupamento;
Combinação com Repetição<br />
Exemplo:<br />
1) Um menino está em um parque de diversões e resolve comprar<br />
dois bilhetes. No parque há 4 tipos de brinque<strong>dos</strong>:<br />
C -- chapéu mexicano<br />
F -- trem fantasma<br />
M – montanha russa<br />
R – roda gigante<br />
O menino pode comprar dois bilhetes do mesmo tipo, se ele quiser<br />
ir duas vezes no mesmo brinquedo. Nessas condições, qual é o<br />
número total de possibilidades de compra <strong>dos</strong> bilhetes?
FIM