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São Carlos, v.10 n. 47 2008

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 

Reitora: 

Profa. Dra. SUELY VILELA 

Vice-Reitor: 

Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO 

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 

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Profa. Dra. MARIA DO CARMO CALIJURI 

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 

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Suplente do Chefe do Departamento: 

Prof. Dr. SERGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA 

Coordenador de Pós-Graduação: 

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Editor Responsável: 

Prof. Dr. MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA 

Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: 

MARIA NADIR MINATEL 

e-mail: minatel@sc.usp.br 

Editoração e Diagramação: 

FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO 

MARIA NADIR MINATEL 

MASAKI KAWABATA NETO 

MELINA BENATTI OSTINI 

RODRIGO RIBEIRO PACCOLA 

TATIANE MALVESTIO SILVA

São Carlos, v.10 n. 47 2008

Departamento de Engenharia de Estruturas 

Escola de Engenharia de São Carlos – USP 

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CEP: 13566-590 – São Carlos – SP 

Fone: (16) 3373-9481 Fax: (16) 3373-9482 

site: http://www.set.eesc.usp.br

SUMÁRIO 

Aplicação de recursos computacionais em projetos de edifícios em alvenaria 

Julio Antonio Razente & Marcio Antonio Ramalho 1 

Método dos elementos finitos e técnicas de enriquecimento da aproximação aplicados à 

análise de tubos cilíndricos e cascas esféricas 

Gustavo Cabrelli Nirschl & Sergio Persival Baroncini Proença 17 

Ladrilhos e revestimentos hidráulicos de alto desempenho 

Thiago Catoia & Jefferson Benedicto Libardi Liborio 53 

Plásticos reciclados para elementos estruturais 

Ricardo Alves Parente & Libânio Miranda Pinheiro 75 

Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e mistos 

de aço e concreto em situação de incêndio 

Ronaldo Rigobello & Jorge Munaiar Neto 97 

Sobre a formulação de um modelo de dano para o concreto 

José Julio de Cerqueira Pituba & Sergio Persival Baroncini Proença 117

ISSN 1809-5860 

APLICAÇÃO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS 

EM PROJETOS DE EDIFÍCIOS EM ALVENARIA 

Julio Antonio Razente 1 & Marcio Antonio Ramalho 2 

Resumo 

A finalidade deste trabalho é apresentar o desenvolvimento, através da utilização da 

linguagem de programação AutoLISP, de programa computacional relacionado à 

etapa de projeto de edifícios em alvenaria. O programa, intitulado ALVPLUS, auxilia 

nas atividades de modulação das alvenarias, geração automática de elevações e 

inserção de detalhes relacionados à alvenaria estrutural como disposições construtivas, 

armaduras, quantitativos de materiais e legendas, dispostos em arquivos eletrônicos do 

seu banco de dados. A utilização deste programa propicia o aumento da produtividade 

e da padronização dos projetos de alvenarias, assim como o aumento da qualidade e 

entendimento desses projetos. 

Palavras-chave: projetos de edifício;, alvenaria estrutural; AutoLISP. 

1 INTRODUÇÃO 

Por muitos anos a alvenaria estrutural foi pouco utilizada devido a muitos 

fatores tais como: preconceito, maior domínio da tecnologia do concreto armado por 

parte de construtores e projetistas e pouca divulgação do assunto nas universidades 

durante o processo de formação do profissional. Muitos projetistas são leigos no que 

diz respeito a este sistema construtivo e acabam, assim, optando pelo concreto 

armado. 

Nos últimos anos essa situação tem se alterado de forma significativa. O 

interesse por esse sistema estrutural cresceu de forma notável, especialmente pelas 

condições nitidamente favoráveis que se obtêm em termos de economia. E, no 

momento, o processo construtivo atende com sucesso ao desafio de se construir no 

prazo fixado, com qualidade e custo relativamente baixo, edificações residenciais, 

comerciais e industriais. O aperfeiçoamento dos métodos de cálculo e a melhoria dos 

componentes, ao longo dos anos, tornaram possível desenvolver edifícios de diversos 

padrões e estruturas cada vez mais altas. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, julio.razente@terra.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, ramalho@sc.usp.br 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 47, p. 1-15, 2008

2 

Julio Antonio Razente & Marcio Antonio Ramalho 

Além disso, técnicas relacionadas à elaboração de projetos foram 

aperfeiçoadas através da utilização de computadores e ferramentas específicas para 

a engenharia. A implementação da informática nas etapas de projeto permitiu que 

estes fossem elaborados enfocando os princípios da racionalização construtiva, 

destacando-se: a compatibilização entre projetos, coordenação modular, melhor 

apresentação de detalhes construtivos e eventualmente de algumas técnicas de 

execução. Os recursos de informática permitem ainda que os profissionais envolvidos 

com projeto sejam mais competitivos, diminuindo o tempo gasto para a elaboração 

dos trabalhos e possibilitando a garantia de prazos relacionados às etapas da obra. 

Neste trabalho, rotinas foram desenvolvidas, através da linguagem AutoLISP, 

para o programa AutoCAD®. Tais rotinas compõem um ambiente que auxilia o 

usuário nas atividades relacionadas com a representação gráfica de um projeto de 

alvenaria estrutural, permitindo que tarefas repetitivas e demoradas sejam eliminadas 

durante o desenvolvimento dos projetos de edifícios em alvenaria. O conjunto dessas 

rotinas permitiu-se criar o programa denominado ALVPLUS, com diversos comandos 

relacionados à técnica da coordenação modular. 

2 APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA ALVPLUS 

2.1 Considerações iniciais 

O conjunto de rotinas desenvolvidas possibilita a realização de atividades 

relacionadas à modulação e ao detalhamento do projeto executivo das alvenarias, 

através de uma barra de ferramenta e de um menu que auxiliam o usuário, 

possibilitando maior rapidez nestes projetos. 

Uma característica do ALVPLUS é que a ferramenta praticamente não altera o 

ambiente do AutoCAD definido inicialmente pelo usuário. Esta medida permite que o 

usuário adapte-se somente aos comandos do ALVPLUS, sendo que os demais 

recursos e comandos do AutoCAD permanecem inalterados. 

Todas as informações que são definidas e alteradas pelo usuário são 

armazenadas em arquivos que depois o ALVPLUS utiliza para auxiliar na modulação 

em planta das alvenarias e geração das elevações. O banco de dados das rotinas 

também apresenta biblioteca predefinida de blocos encontrados no mercado e mais 

utilizados atualmente. 

Além disso, existe uma biblioteca contendo alguns detalhes construtivos, tipos 

de folhas, notas e especificações. As informações especificadas no detalhamento do 

projeto estrutural devem estar de acordo com os critérios adotados durante a 

concepção do projeto estrutural. 

A unidade utilizada na entrada de dados e nos desenhos deve ser o 

centímetro, exceto onde indicado. 



3 

2.2 Tela inicial do ALVPLUS 

A Figura 1 indica a barra de ferramentas e o menu do ALVPLUS, onde as 

rotinas são acionadas quando selecionado um dos ícones desta barra ou através da 

escolha de um dos comandos apresentados no menu. 

Através dos botões, as barras de ferramentas são um modo rápido de se 

acionar comandos, sem ter que utilizar os menus suspensos. 

Figura 1 - Barra de ferramentas e menu do programa desenvolvido. 

2.3 Definição dos parâmetros de projeto 

2.3.1 Definição dos parâmetros do projeto de alvenaria 

Inicialmente, o ALVPLUS necessita de alguns dados, fornecidos 

através de caixas de diálogo, nas quais o usuário define os parâmetros iniciais do 

edifício. Nesta mesma caixa de diálogo, é possível definir, através do acionamento de 

botões, os demais parâmetros relacionados às portas, janelas, armaduras 

convencionais, armaduras utilizadas nas juntas a prumo e cintas. O usuário ainda 

pode definir a família de blocos corrente. 


4 


Durante os estudos relacionados à etapa de modulação, podem ser inseridos 

diversos blocos de distintas famílias de blocos, havendo apenas a necessidade de 

alterar a família de bloco utilizada. 

Nesta fase, é importante que o usuário entre com todas as informações 

solicitadas pelas caixas de diálogo, para que o banco de dados seja criado. 

2.3.2 Definição das aberturas 

A definição de portas e de janelas deve ser realizada com o preenchimento 

das informações de todos os itens que constam nas tabelas relacionadas a este 

comando, informando as principais dimensões das aberturas. 

2.3.3 Definição de armaduras e cintas 

Nesta etapa de trabalho, pode-se definir as armaduras convencionais e as 

armaduras utilizadas nas juntas a prumo através do acionamento de comandos que 

ativarão caixas de diálogo referentes a essas armaduras. Os critérios adotados 

durante a análise estrutural deverão ser inseridos nas caixas de diálogo, com o intuito 

de permitir que o programa obtenha todas as informações necessárias para a geração 

automática das elevações. 

Com relação às armaduras convencionais, a entrada de dados é feita em dois 

quadros da caixa de diálogo, onde o primeiro quadro refere às armaduras horizontais 

e o segundo quadro refere-se às armaduras verticais. Foi criado um auxílio ao 

usuário que permite a identificação de cada parâmetro da entrada de dados das 

armaduras. 

A caixa de diálogo de armaduras utilizadas nas juntas a prumo requer do 

usuário o preenchimento das informações referentes ao tipo de armadura, a qual será 

utilizada nas paredes que se encontram e que não apresentam amarração entre seus 

blocos. As possíveis soluções dessas armaduras são do tipo grampo, tela ou ferro 

corrido. É necessário que o usuário preencha todas as informações solicitadas na 

coluna do tipo de armadura a ser utilizada. As informações referentes aos demais 

tipos de armaduras das juntas a prumo serão descartadas 

A posição das cintas devem ser definidas utilizando a caixa de diálogo 

específica. Não é necessário o preenchimento de todos os espaços, já que serão 

ignoradas informações nulas ou inexistentes. 

2.4 Definição de critérios atuais 

2.4.1 Definição de “layers” 

O termo “layer” significa nível ou camada. Pode-se comparar um “layer” a uma 

folha de papel vegetal, onde várias folhas sobrepostas podem ser manipuladas, 

visualizando-as todas de uma só vez. Ao começar um desenho, é conveniente pensar 

na organização dos elementos em “layers”, facilitando a produção dos desenhos do 

projeto a ser desenvolvido. 



5 

Os nomes dos “layers” definidos pelo programa podem ser alterados desde 

que seja utilizada a rotina desenvolvida neste trabalho, permitindo que as demais 

configurações dos “layers” como cor, tipo de linha, e demais propriedades dos “layers” 

sejam alteradas conforme a necessidade do usuário. Recomenda-se que os “layers” 

sejam alterados no início do desenho, antes da inserção de blocos e aberturas. 

2.4.2 Definição de blocos atuais 

Antes do lançamento da modulação, é necessário que seja definido o bloco 

atual a ser inserido. Será apresentada uma listagem dos blocos da "Família de 

Blocos" corrente, onde o usuário pode observar uma exibição da vista em planta do 

bloco a ser escolhido. Para a inserção de bloco em elevação, pode-se escolher uma 

vista, mesmo em planta, e, através dos comandos relacionados à distribuição da 

modulação, o usuário optará pela vista a ser inserida. 

2.4.3 Definição de aberturas atuais 

O usuário deve também escolher quais as aberturas atuais a serem utilizadas 

para inserção de portas e janelas. A escolha da abertura pode ser feita através da 

escolha da janela ou da porta atual, ou mesmo ambos os itens. 

2.5 Modulações em planta 

As etapas de projeto de edifícios em alvenaria que despendem maior tempo 

dos profissionais envolvidos são o lançamento e o detalhamento das alvenarias. 

Todos os comandos relacionados às modulações em planta foram criados com o 

intuito de aumentar a produtividade da distribuição dos blocos, utilizando os conceitos 

de coordenação modular, e possibilitar a geração automática das elevações das 

paredes. 

2.5.1 Inserção de 1 bloco 

A rotina de inserção de um bloco, bloco atual, foi desenvolvida com o auxílio 

de uma caixa de diálogo que permite ao usuário escolher o ponto de inserção do 

bloco atual (Figura 2). 

Esse ponto de inserção deve ser um ponto qualquer do desenho, podendo 

aproveitar elementos da arquitetura. Deve-se escolher um canto ou o centro do bloco 

como ponto de inserção do bloco. Por exemplo, ao escolher o PT1, um bloco atual 

será inserido posicionando o canto inferior esquerdo do bloco no ponto selecionado 

pelo usuário. Também é possível informar o ângulo principal de inserção do bloco 

através do acionamento dos botões do tipo rádio ("radio_button"), permitindo a 

inserção de blocos para os ângulos principais iguais a 0º ou 90º, ou ainda, 

adicionando qualquer ângulo ao ângulo principal. É possível que o bloco inserido seja 

afastado de uma distância definida por valores denominados "offsets". Caso os 


6 


valores desses "offsets" sejam nulos, o canto ou centro do bloco escolhido será 

inserido exatamente no ponto selecionado. 

A opção de escolha da vista do bloco permite que sejam inseridos não apenas a vista 

em planta do bloco atual, mas também é permitido que sejam inseridas as demais 

vistas longitudinais e transversais do bloco. Por último, no quadro inferior direito da 

caixa de diálogo, pode-se definir o “layer” do bloco a ser inserido como 1ª ou 2ª fiada 

através dos botões de rádio. 

Figura 2 - Caixa de diálogo do comando “Inserção de 1 bloco”. 

2.5.2 Inserção de 1 bloco com referência 

A rotina de inserção de um bloco com referência foi desenvolvida para facilitar 

a inserção de um bloco atual com alinhamento automático em relação a um bloco 

existente, levando em consideração as juntas. Primeiramente, é necessário que o 

usuário, depois de definido o bloco atual, escolha um bloco já inserido em desenho e, 

em seguida, um ponto auxiliar, o qual definirá o sentido do bloco a ser inserido, na 

mesma direção do primeiro bloco. Todas as rotinas relacionadas a modulações foram 

criadas com um filtro de seleção para escolha de elementos do tipo “bloco”. 



7 

O bloco será inserido no mesmo “layer” do bloco existente, portanto, para 

realizar a modulação da 2ª fiada, por exemplo, recomenda-se que o usuário congele o 

“layer” da 1ª fiada, evitando escolha incorreta do ponto desejado. 

Esta rotina também foi desenvolvida para auxiliar no detalhamento das 

elevações. Caso seja selecionado um bloco em elevação, o comando solicitará ao 

usuário a escolha entre elevação longitudinal e transversal, inserindo a elevação do 

bloco atual com alinhamento automático em relação à elevação de um bloco 

existente. 

Todas as rotinas relacionadas à inserção de blocos com referência foram 

desenvolvidas para funcionar com alvenarias inseridas em qualquer ângulo, 

aumentando a produtividade durante o lançamento das modulações. 

2.5.3 Inserção de N blocos 

A rotina de inserção de N blocos solicita ao usuário qual o bloco de referência 

a ser considerado pelo programa. A próxima instrução pede para ser fornecida a 

quantidade de blocos a serem inseridos na mesma direção do primeiro bloco e em 

seguida também é necessário fornecer um ponto auxiliar, o qual definirá o sentido dos 

N blocos a serem inseridos. 

2.5.4 Inserção de 1 bloco rotacionado 

Foram desenvolvidas três rotinas relacionadas à inserção de um bloco 

rotacionado em relação a um bloco existente. A primeira rotina refere-se à inserção de 

um bloco ortogonal e alinhado a uma das faces do bloco existente. Este comando 

solicita ao usuário a escolha de um bloco já existente e ponto auxiliar, o qual definirá a 

posição do bloco a ser inserido. A Figura 3 indica algumas possibilidades de inserção 

de um bloco rotacionado e alinhado a uma das faces do bloco existente. 


8 


2 

3 

1 

6 

4 

5 

Comando: 

"Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado" 

Ponto sobre o bloco de referencia: 

B1 no PT1 

Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT2 

Comando: 



B1 no PT1 


Comando: 



B1 no PT4 


Comando: 



B1 no PT5 


Figura 3 - Insere 1 bloco rotacionado e alinhado em relação a uma das faces do bloco 

existente. 

A segunda rotina refere-se à inserção de um bloco cujo eixo seja 

perpendicular ao eixo longitudinal do bloco existente. O bloco será inserido na menor 

face do bloco existente. A Figura 4 indica algumas possibilidades de inserção do bloco 

ortogonal em relação ao primeiro bloco. 



9 

2 

1 

3 4 

Comando: 

"Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado2" 


B1 no PT1 


Comando: 



B1 no PT3 


Figura 4 - Insere 1 bloco rotacionado na menor face do bloco existente. 

A terceira rotina refere-se à inserção de um bloco cujo eixo seja perpendicular 

ao eixo longitudinal do bloco existente. O bloco será inserido na maior face do bloco 

existente. A Figura 5 indica algumas possibilidades de inserção do bloco ortogonal em 

relação ao primeiro bloco. 

1 

2 

4 

3 

Comando: 



B1 no PT1 


Comando: 



B1 no PT3 


Figura 5 - Insere 1 bloco rotacionado na maior face do bloco existente. 


10 


2.5.5 Rotaciona bloco 180º 

Através da seleção de um bloco existente, essa rotina acrescenta 180º ao 

ângulo de inserção do bloco escolhido e foi desenvolvida com o intuito de facilitar na 

rotação de blocos especiais inseridos em posição errada. 

2.5.6 Substitui bloco 

Este comando foi desenvolvido para substituir um bloco já inserido por um 

bloco definido como atual. Assim, é possível que o usuário, após definir a modulação 

sem se preocupar com os blocos a serem grauteados, substitua um bloco comum por 

um bloco grauteado, de acordo com as necessidades estruturais ou construtivas. 

2.5.7 Conta bloco em planta 

Ao selecionar a opção “Extrai Tabela de Blocos em Planta” do menu 

ALVPLUS, pode-se fazer a contagem e extração da tabela de blocos em planta, 

através da seleção de blocos da primeira fiada. Este comando pede que seja 

selecionada uma janela, dentro da qual serão contadas todas as entidades do tipo 

"insert". Por último, solicita-se um ponto onde será inserida a tabela de blocos em 

planta. 

2.6 Inserção de aberturas em planta 

2.6.1 Inserir janela atual 

Esta rotina possibilita maior agilidade na inserção de janelas em planta. A 

caixa de diálogo e o seu funcionamento são muito semelhantes à rotina "Inserção de 

1 bloco atual", o que facilita ao usuário o aprendizado e utilização do comando. 

A inserção das janelas em planta é feita através de um elemento do tipo 

“poliline”, na cota Z igual a 800,0 acrescida do número da janela, ou seja, como são 

permitidos 8 tipos de janelas, a janela J01 será inserida na cota Z=801,0, a janela J02 

na cota Z=802,0 e assim por diante. 

2.6.2 Inserir porta atual 

Esta rotina possibilita maior agilidade na inserção de portas em planta. A caixa 

de diálogo e o seu funcionamento são praticamente idênticos à rotina de inserção de 

janelas em planta. Apenas a cota Z adotada será igual a 700,0 acrescida do número 

da porta. 



11 

2.7 Geração automática de elevação de paredes 

2.7.1 Elevação através da 1ª e 2ª fiadas 

Primeiramente, o comando solicita ao usuário, a definição de uma janela 

contendo todos os elementos da elevação. Em seguida, devem ser definidos: a vista 

da elevação, título da parede, número de repetições e ponto de inserção da elevação. 

Conforme a escolha do ponto da vista da elevação, a rotina desenha o 

identificador da parede contendo o título da mesma e posicionando o identificador no 

centro da vista da parede. O título da parede deve ser definido com no máximo sete 

letras, não podendo haver espaços em branco entre os caracteres do título da parede. 

Durante a inserção automática das armaduras dos elementos estruturais, 

existe a verificação de que, caso a fiada da contraverga seja a mesma fiada que a da 

cinta, a armadura da contraverga não é detalhada. Outro critério adotado nas 

elevações foi que, nas paredes onde houvesse portas, não são detalhadas cintas 

intermediárias. Caso haja a necessidade de cinta nas paredes com portas, o usuário 

terá que fazer o detalhamento manualmente. O número de repetições da parede 

servirá como multiplicador das armaduras. 

2.7.2 Conta bloco em elevação 

Ao selecionar a opção “Extrai Tabela de Blocos em Elevação” do menu 

ALVPLUS, pode-se fazer a contagem e extração da tabela de blocos em planta, 

através da seleção de blocos da primeira fiada. Este comando pede que seja 

selecionada uma janela, dentro da qual serão contadas todas as entidades do tipo 

"insert". Por último, solicita-se um ponto onde será inserida a tabela de blocos em 

elevação. 

2.8 Detalhamento das armaduras 

2.8.1 Armaduras 

Os textos de armaduras inseridos nas elevações apresentam formato 

padronizado, de forma que a armadura seja incluída na tabela de armaduras. Cada 

elevação criada determina um conjunto de armação. Cada armadura a ser inserida é 

armazenada numa posição, não devendo se repetir. A quantidade e o diâmetro da 

armadura (“bitola”) são obtidos a partir da definição feita pelo usuário através da 

opção “Definição das Armaduras Convencionais” nos “Parâmetros de Alvenaria”. O 

comprimento de cada armadura é calculado automaticamente. Caso haja a 

necessidade de repetição de uma mesma posição, é possível acrescentar um 

multiplicador da posição seguindo o mesmo critério do comando “TA – Texto de 

Armadura”. Se o comprimento da armadura for superior a 12,00 metros, a armadura 

apresentada na elevação será do tipo corrida, havendo a necessidade do usuário 

inserir o comprimento da emenda da armadura. 


12 


2.8.2 Verificação das posições 

O comando VP é utilizado para verificar a existência de posições vazias em 

um conjunto de armação. Se for encontrada uma posição em branco, as armaduras 

são rearranjadas de maneira a existir sempre o menor número possível de posições. 

2.8.3 Quantitativos de armaduras 

Através desse comando, é possível extrair automaticamente a Tabela e o 

Resumo das Armaduras. 

2.9 Outras aplicações do programa 

2.9.1 Inserção de detalhes construtivos 

Esta rotina permite agilizar a inserção de detalhes construtivos no projeto 

estrutural. O comando exibe caixa de diálogo padrão do AutoCAD, selecionando 

todos os arquivos de desenho com extensão DWG contidos no banco de dados do 

programa. Estes desenhos podem ser alterados e outros arquivos podem ser 

adicionados a esta pasta com o objetivo de aumentar a produtividade e melhorar a 

apresentação dos projetos de edifícios em alvenaria. 

2.9.2 Criação de novos blocos na biblioteca de blocos 

Foram criados para as famílias dos blocos 30x15, 40x15 e 40x20 os blocos 

usuais empregados no mercado. Além dessas famílias, há a possibilidade de serem 

acrescentadas 3 novas famílias de blocos, denominadas Família 4, 5 e 6. Para cada 

família, não existe nenhuma limitação da quantidade de blocos que podem ser 

utilizados pelo usuário, permitindo-se a inserção de novos blocos mesmo para as 

famílias 30x15, 40x15 e 40x20. 

3 CONCLUSÕES 

Este trabalho atendeu ao objetivo proposto de desenvolvimento de um 

programa que auxiliasse nos projetos de edifícios em alvenaria, visando a redução do 

tempo dos projetos estruturais através da eliminação de tarefas repetitivas e, ao 

mesmo tempo, diminuindo a possibilidade de erros do projeto executivo das 

alvenarias. O programa ALVPLUS pode ser empregado nos projetos de edifícios em 

alvenaria estrutural, como também em qualquer outro sistema construtivo para o qual, 

através dos conceitos da coordenação modular, se deseja atingir um nível satisfatório 

de racionalização construtiva. 

Desde o início deste trabalho, a principal intenção foi realizar a distribuição 

das modulações em planta, desde que permitisse a geração automática das 

elevações. Para isso, preocupou-se em trabalhar com desenhos em planta, evitando o 



13 

detalhamento tridimensional das estruturas, já que a maioria dos profissionais não 

possui o conhecimento necessário para utilizar esse recurso. 

Com o intuito de atender às principais necessidades dos usuários em relação 

à inserção dos blocos, a primeira etapa do trabalho foi a criação das rotinas 

relacionadas à distribuição das modulações em planta. 

A interface gráfica do programa é apresentada através de menu e barras de 

ferramentas, ambos contendo os principais comandos do programa, sempre visando o 

aumento da produtividade do projeto estrutural. Outro recurso utilizado para melhorar 

a interface gráfica foi o desenvolvimento de diversas caixas de diálogo, facilitando a 

entrada de dados solicitada pelo programa. Todas as informações especificadas nas 

caixas de diálogo são salvas em um banco de dados para depois serem utilizadas nas 

demais etapas de projeto. A facilidade de operação deste programa proporciona ao 

usuário uma grande confiabilidade no resultado final do projeto. 

Diversos blocos estruturais encontrados no mercado foram inseridos no banco 

de dados do programa. Também foram desenvolvidos alguns detalhes construtivos 

típicos que podem ser utilizados nos projetos de alvenaria. Todos os desenhos 

desenvolvidos podem ser editados conforme a necessidade de cada usuário. 

Em seguida, foram criados comandos de inserção automática de aberturas 

em planta, possibilitando que as informações definidas nos parâmetros de projetos 

auxiliassem na geração das elevações. 

Outra etapa atingida satisfatoriamente foi o desenvolvimento das rotinas 

relacionadas à geração das elevações através das 1ª e 2ª fiadas, apresentando o 

posicionamento correto dos blocos em elevações longitudinal e transversal, a 

disposição das aberturas e das armaduras de vergas, contravergas e cintas. 

Rotinas relacionadas à extração de tabelas de blocos e armaduras foram 

feitas com o objetivo de quantificar os principais componentes empregados nas 

alvenarias. 

4 REFERÊNCIAS 

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estrutural sílico-calcárea. São Paulo. Dissertação (Mestrado) – Escola Politécnica – 

Universidade de São Paulo. 

THOMAZ, E.; HELENE, P. (2000). Qualidade no projeto e na execução de 

alvenaria estrutural e de alvenarias de vedação em edifícios. São Paulo: EPUSP. 

(Boletim técnico da Escola Politécnica da USP/Departamento de Construção Civil, 

BT/PCC/252). 

VILATÓ, R.R. (1998b). Estudo da metodologia do projeto para edifícios em 

alvenaria não-armada São Paulo. Dissertação (Mestrado) – Escola Politécnica – 



ISSN 1809-5860 

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TÉCNICAS 

DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAÇÃO 

APLICADOS À ANÁLISE DE TUBOS CILÍNDRICOS E 

CASCAS ESFÉRICAS 

Gustavo Cabrelli Nirschl 1 & Sergio Persival Baroncini Proença 2 

Resumo 

Sabe-se que o Método dos Elementos Finitos (MEF) em sua forma convencional é uma 

ferramenta poderosa no cálculo estrutural moderno. Porém, se o problema apresenta 

singularidades, como os efeitos de borda tipicamente introduzidos pelos vínculos nas 

estruturas em casca, a análise pode exigir grande refinamento da malha. Procurando 

resolver mais eficientemente esse tipo de problema, e restringindo o estudo às 

estruturas em casca com simetria de revolução como os tubos cilíndricos e as cúpulas 

esféricas, sugere-se neste trabalho o emprego de formas não-convencionais do Método 

dos Elementos Finitos. Dadas às simetrias de forma e carregamento, a abordagem 

pode ser feita em campo unidimensional. Inicialmente resumem-se as respostas 

analíticas, em termos de deslocamentos e esforços, para as estruturas citadas, 

partindo-se de suas equações diferenciais governantes. Em seguida, soluções 

aproximativas para as formas fracas correspondentes são propostas, aplicando-se o 

Método dos Elementos Finitos e incorporando-se alguns tipos de enriquecimento que 

caracterizam uma abordagem não-convencional para este método. Por fim, mediante 

exemplos de aplicação, confrontam-se os resultados aproximados entre si, tendo-se por 

base soluções analíticas, comprovando o bom desempenho e grande potencial das 

alternativas sugeridas. 

Palavras-chave: tubo cilíndrico; casca esférica; método dos elementos finitos; técnicas 

de enriquecimento. 


O Método dos Elementos Finitos é, sem dúvida, uma ferramenta bastante 

poderosa e eficiente para a solução numérica de problemas no âmbito da análise 

estrutural. Qualidade e representatividade da solução são garantidas na medida em 

que a solução exata é suficientemente “suave”, MELENK e BABUŠKA (1996). Boas 

propriedades de aproximação das soluções polinomiais geradas por elementos finitos 

decorrem ainda do emprego de técnicas de refinamento, como os refinamentos h 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, nirschl@bol.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, persival@sc.usp.br 


18 

Gustavo Cabrelli Nirschl & Sergio Persival Baroncini Proença 

(grau fixo do polinômio e refinamento progressivo da malha) e p (malha fixa e 

aumento progressivo do grau polinomial). 

Porém, dependendo da tipologia da estrutura e de particularidades 

relacionadas à sua geometria e carregamento, a boa qualidade dos resultados 

fornecidos pelo MEF pode exigir um refinamento considerável da malha, ou a 

utilização de polinômios de alta ordem, encarecendo os custos computacionais da 

análise. 

Nesse contexto, as técnicas não-convencionais de enriquecimento da 

aproximação construída com o MEF objetivam obter soluções satisfatórias, mesmo 

empregando-se malhas pouco refinadas e enriquecimentos da aproximação inicial 

definida por funções de forma polinomiais de baixo grau. O enriquecimento mediante 

funções especiais, por exemplo, constitui-se em alternativa que pode ser explorada 

com vantagens em problemas cuja solução exata tenha variações fortemente 

localizadas. Neste trabalho, esta e outras possibilidades são empregadas na análise 

de cascas cilíndricas e esféricas (fig. 1.1), particularmente porque essas estruturas 

apresentam efeitos de flexão que se concentram nas regiões de vinculação imposta e 

são de difícil reprodução numérica. 

Figura 1.1 - Estruturas estudadas. 

2 CASCAS DE REVOLUÇÃO 

A teoria linear das cascas delgadas, ou finas, GRAVINA (1957), tem por base 

as seguintes hipóteses fundamentais: 

1 – O material da estrutura é homogêneo, isótropo e obedece à Lei de Hooke. 

2 – A espessura é pequena em relação às outras dimensões. 

3 – As tensões normais à superfície média são desprezíveis em relação às demais 

componentes de tensão. 

4 – Os pontos pertencentes, antes da deformação, a retas normais à superfície média, 

encontram-se sobre retas perpendiculares à superfície média deformada. 

5 - Os deslocamentos são muito pequenos em relação à espessura. 

Observa-se que, no caso de estrutura de superfície com espessura muito 

pequena, a hipótese 5 perde validade, sendo necessário considerar uma abordagem 


Método dos elementos finitos e técnicas de enriquecimento da aproximação aplicados à... 19 

geometricamente não-linear. Este trabalho se restringe à abordagem linear, que 

preserva, em particular, a sobreposição de efeitos. 

2.1 Casca ou tubo cilíndrico 

A formulação analítica para o tubo cilíndrico em regime linear submetido a 

solicitação externa com simetria de revolução é clássica e encontra-se descrita em 

vários livros, entre eles: BELLUZZI (1967) e BILLINGTON (1965). Observa-se que o 

tubo cilíndrico submetido internamente à pressão linearmente distribuída, (fig. 2.1), 

recebe neste texto a denominação: reservatório cilíndrico. 

Figura 2.1 - Reservatório cilíndrico. 

Adotam-se, portanto, as hipóteses gerais de simetria axial em geometria e 

carregamento, além de espessura delgada. Essa última hipótese é garantida se a 

relação entre a espessura da parede e o raio do reservatório for menor ou igual a 

1/20. 

Em regime linear, o chamado problema dos reservatórios em regime de 

flexão, formulado em termos de deslocamentos axiais e radiais, resulta desacoplado, 

uma vez que as equações diferenciais que envolvem tais componentes são 

independentes. A equação que envolve os deslocamentos radiais é claramente 

aquela de maior interesse. Tendo-se em vista os comentários anteriores, pode-se 

mostrar que a combinação das relações de equilíbrio, compatibilidade e constitutiva 

leva à seguinte equação diferencial, BILLINGTON (1965): 

d 

2 

dy 

2 

⎛ 2 

d w ⎞ 

⎜ 

E * h(y) 

D(y) * (y) ⎟ + * w(y) = p(y) 

2 

2 

dy 

⎝ 

⎠ r 

(2.1) 

em que: 

y é uma coordenada de posição vertical, com origem na base do reservatório; 


20 


w(y) é a função que descreve o deslocamento horizontal ao longo da parede do 

reservatório, com valores positivos apontando para o centro da casca; 

E * h(y) 

D(y) é a rigidez à flexão da casca, igual a: 

; 

2 

12 * (1 − ν ) 

r é o raio médio do reservatório; 

ν é o coeficiente de Poisson; 

h(y) é a espessura da parede do reservatório na posição y; 

E é o módulo de elasticidade; 

p(y) é a função que descreve a solicitação externa, na forma de pressão interna 

linearmente distribuída. 

Acrescentam-se ainda os seguintes dados: 

γ P é o peso específico do material da parede do reservatório; e 

H é a altura total do tubo. 

Para o caso particular de espessura constante (h(y)=h), a eq. (2.1) passa a 

ser escrita como: 

4 

d w 

4 p(y) 

(y) + 4 * β * w(y) = 

4 

(2.2) 

dy 

D 

3 

O coeficiente β que aparece na relação anterior tem, por definição: 

2 

3 * (1− 

ν ) 

β = 4 

2 2 

(2.3) 

r 

* h 

Tem-se, em geral, para a solução da forma homogênea da eq. (2.2): 

w(y) 

h 

= e 

( β*y) 

* (C 

1 

* cos( β * y) + C 

+ e 

2 

−( 

β*y) 

* sen( β * y)) + 

* (C 

3 

* cos( β * y) + C 

4 

* sen( β * y)) 

(2.4) 

sendo C 1 a C 4 constantes a determinar. 

Para o caso de pressão interna linearmente distribuída, tem-se a seguinte 

solução particular: 

2 

p(y) * r 

w(y) p = (2.5) 

E * h 

Deve-se observar que a solução dada pela eq. (2.5) tem por correspondência 

o “regime de membrana” do reservatório, uma vez que dela decorrem esforços de 

flexão nulos. 

A solução geral para os deslocamentos horizontais da parede do reservatório 

compõe-se da soma das eqs. (2.4) e (2.5) – solução da homogênea mais solução 

particular. 

Em boa parte dos textos clássicos no tema, as constantes C 1 e C 2 são 

impostas como nulas para efeitos de simplificação dos cálculos. Desde que o 



reservatório seja longo, essa simplificação reproduz bem o fato de que efeitos de 

flexão de uma borda não se propagam até a outra borda. Neste trabalho, entretanto, 

pretende-se resolver o problema sem recorrer à tal simplificação. 

As constantes C 1 a C 4 dependem, portanto, dos vínculos adotados em cada 

caso considerado. De modo mais freqüente estão as condições de contorno para 

reservatórios de base engastada ou articulada fixa, com topo livre. 

Por outro lado, independente das condições de contorno consideradas, os 

esforços solicitantes (esforço normal tangencial N θ , momentos fletores M y e M θ e 

esforço cortante Q y ) relacionam-se com os deslocamentos radiais mediante as 

seguintes equações: 

E * h 

Nθ (y) = − * w(y) 

(2.6) 

r 

2 

d w 

My(y) 

= −D * (y) 

2 

(2.7) 

dy 

Mθ (y) = ν * M y 

(2.8) 

3 

d w 

Qy(y) 

= −D * (y) 

3 

(2.9) 

dy 

Na fig. 2.2, pode-se visualizar a convenção de sinais positivos para os 

esforços indicados nas eqs. (2.6) a (2.9). 

N 

y 

M 

y 

Q 

y 

N 

θ 

N θ 

M 

θ 

M θ 

y 

M y 

N y 

Q y 

w(y) 

w(y) 

Figura 2.2 - Convenções de sinal para esforços em reservatório cilíndrico. 

A relação para o esforço N y (y) resulta de uma análise de equilíbrio 

independente. Quando se considera o peso próprio da parede, a relação resultante é 

a seguinte: 


22 


N (y) = −γ * (H − y) * h 

(2.10) 

y 

p 

2.2 Casca esférica 

Uma casca esférica (ou, cúpula esférica) é uma estrutura laminar de dupla 

curvatura (ver fig. 1.1) usualmente empregada como cobertura. Os aspectos principais 

da teoria clássica, GRAVINA (1957), para formulação e resolução do problema da 

cúpula com carregamento de revolução são resumidos a seguir. 

Inicialmente, considera-se uma casca esférica sujeita ao peso próprio, 

conforme ilustra a fig. 2.3. Entre os elementos que lá aparecem indicados estão: 

g: a função representativa do peso próprio da cúpula (por unidade de área); 

t: a espessura (constante) da cúpula; 

R: o raio cúpula; 

ω C : o ângulo central de abertura da cúpula. 

Figura 2.3 - Casca esférica sujeita a peso próprio. 

Explorando as simetrias de revolução em forma e carregamento, segundo um 

sistema de coordenadas esféricas, os esforços internos solicitantes e suas variações 

podem ser representados como indicado na fig. 2.4. 

Figura 2.4 - Esforços atuantes na casca esférica. 



Combinando-se as relações de equilíbrio, de compatibilidade entre 

deslocamentos e deformações e constitutiva, é possível reduzir o conjunto de 

variáveis incógnitas à apenas duas, Q φ e Φ, e exprimir o equilíbrio mediante as 

seguintes relações: 

d 

2 

Qφ 

2 

dω 

dQφ 

( ω) 

+ 

dω 

( ω) 

* cot g( ω) 

− Q 

φ 

( ω) 

* cot g ( ω) 

+ ν 

− E 

C 

* t * 

2 

C 

* Q 

( ω) 

= 

Φ( 

ω) 

+ R * g * sen( ω) 

* (2 − ν 

φ 

C 

) 

(2.11) 

2 

d Φ dΦ 

( ω) 

+ ( ω) 

2 

dω 

dω 

* cot 

g( ω) 

− Φ( 

ω) 

* cot g ( ω) 

+ ν 

2 

C 

R 

* Φ( 

ω) 

= 

D 

2 

C 

* Q ( ω) 

(2.12) 

φ 

em que: 

ω é a posição angular medida a partir do topo da cúpula esférica (fig. 2.5); 

Φ(ω) é o giro sofrido pela tangente em ω ao meridiano, após a deformação da cúpula, 

como ilustrado na fig. 2.5; 

EC 

* t 

D C é a rigidez à flexão da cúpula, igual a: 

; 

2 

12 * (1 − νC 

) 

E C é o módulo de elasticidade do material da cúpula; e 

ν C é o coeficiente de Poisson do material da cúpula. 

3 

Φ(ω) 

ξ(ω) 

ω 

ω 

antes da 

deformação 

após a 

deformação 

Figura 2.5 - Deslocamento horizontal ξ e giro Φ, em função do ângulo ω, para casca esférica. 

As equações diferenciais (2.11) e (2.12) possuem solução geral composta 

pelas parcelas de solução homogênea e particular. Aqui, como no caso da casca 

cilíndrica, a solução de membrana constitui boa aproximação para a solução particular 

do sistema, desde que, BELLUZZI (1967), a espessura da casca seja suficientemente 

pequena em relação ao raio. 

Para o regime de membrana (em que Q φ = M φ = M θ = 0), reproduzem-se em 

seguida as relações representativas do deslocamento horizontal⎯ ξ e do giro Φ , além 

dos esforços 

N φ e 

N θ , todos em função do ângulo ω (ver figs. 2.4 e 2.5). 


24 


2 

g * R 

⎛ 1+ νC 

⎞ 

ξ ( ω) 

= * sen( ω) 

* ⎜ − cos( ω) 

⎟ 

EC 

* t ⎝1+ 

cos( ω) 

⎠ 

(2.13) 

g * R 

Φ ( ω) 

= * (2 + νC 

) * sen( ω) 

(2.14) 

E * t 

C 

g * R 

Ν φ ( ω) 

= − 

(2.15) 

(1+ 

cos( ω)) 

⎛ 1 

⎞ 

Ν θ ( ω) 

= g * R * ⎜ − cos( ω) 

⎟ 

(2.16) 

⎝1+ 

cos( ω) 

⎠ 

O problema de flexão reúne os efeitos dos vínculos nas bordas ou ainda, de 

forma equivalente, os efeitos da aplicação externa de uma força horizontal H C e 

momento externo M C distribuídos na borda da cúpula esférica (fig. 2.6). 

Figura 2.6 - Cúpula esférica sujeita a força horizontal H C e momento M C distribuído na borda. 

A solução rigorosa do problema de flexão é detalhada na literatura, 

envolvendo séries hipergeométricas, mas apresenta-se muito trabalhosa, 

especialmente nos casos de estruturas delgadas, ou seja, com valores elevados da 

constante λ (eq. (2.20)). Além disso, nesses casos, a convergência das séries se dá 

com razão muito pequena, BELLUZZI (1967). 

Uma solução analítica simplificada, válida para coeficientes λ mais elevados, 

que explora o amortecimento dos efeitos das singularidades de borda, como ocorre 

nos tubos, é fornecida pelo Método de Geckeler, GRAVINA (1957). A solução de 

Geckeler é válida também para cascas abatidas (ω C pequeno), desde que a relação 

R/t seja grande. 

Admitindo-se situações em que as hipóteses do Método de Geckeler sejam 

satisfeitas, os termos de ordem de derivação mais baixa da parte homogênea do 

sistema (2.11) e (2.12) podem ser desprezados em relação aos termos de ordens 

mais altas, obtendo-se: 



d 

2 

Q φ 

2 

dω 

( ω) 

= − E 

C 

* t * 

Φ ( ω) 

F 

(2.17) 

d 

2 

ΦF 

2 

dω 

R 

( ω) 

= 

D 

2 

C 

* Q ( ω) 

(2.18) 

φ 

em que Φ F é a parcela de flexão de Φ. 

Combinando-se (2.18) e (2.17), de modo a eliminar o giro Φ F , tem-se 

finalmente a equação diferencial que representa o regime de flexão da casca esférica: 

4 

d Qφ 

4 

( ω) 

+ 4 * λ 

4 

dω 

* Q 

φ 

( ω) 

= 0 

(2.19) 

em que: 

2 

4 

2 ⎛ R ⎞ 

λ = 3 * (1 − νC 

) * ⎜ ⎟ (2.20) 

⎠ 

⎝ t 

A solução da eq. (2.19) é semelhante àquela apresentada para a flexão do 

tubo cilíndrico (eq. (2.5)). Sendo assim: 

Q φ 

( ω) 

= e 

( λ* 

ω) 

* (L 

1 

* cos( λ * ω) 

+ L 

+ e 

−( 

λ* 

ω) 

* (L 

3 

2 

* sen( λ * ω)) 

+ 

* cos( λ * ω) 

+ L 

4 

* sen( λ * ω)) 

(2.21) 

em que: 

ω = ωC − ω (ver fig. 2.5); e 

L 1 a L 4 são constantes a determinar. 

A imposição das condições de contorno em cada caso permite identificar os 

valores das constantes L 1 a L 4 . 

Em função da solução acima, os esforços solicitantes e as variáveis 

cinemáticas, para o regime de flexão, podem ser determinadas pelas seguintes 

equações: 

R * sen( ω − ω) 

⎛ dQ 

C 

φ 

⎞ 

ξF( ω) 

= 

* ⎜ 

⎟ 

( ω) 

+ νC 

* Qφ( 

ω) 

* cot g( ωC 

− ω) 

E * t 

C ⎝ dω 

⎠ 

(2.22) 

2 

Q φ 

1 d 

ΦF ( ω) 

= * ( ω) 

E * t 

2 

(2.23) 

C dω 

N ω) 

= −Q 

( ω) 

* cot g( ω − ω) 

(2.24) 

φF( φ 

C 


26 


dQφ 

N θF( 

ω) 

= ( ω) 

(2.25) 

dω 

3 

D d Q 

C 

φ 

M φ( 

ω) 

= * ( ω) 

R * E * t 

3 

(2.26) 

C dω 

M ( ω) 

= νC * M ( ω) 

(2.27) 

θ 

φ 

3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) 

3.1 MEF aplicado a cascas cilíndricas 

De início, a equação diferencial da casca cilíndrica (eq. (2.1)) é reescrita de 

modo a permitir levar em conta, convenientemente, a possibilidade de variação da 

espessura. Nesse sentido, considere-se que a espessura do reservatório seja 

determinada por: 

h 0 

(y) = h * f(y) 

(3.1) 

em que h 0 é a espessura na base do reservatório. 

Para o caso de variação linear da espessura ao longo da altura, pode-se 

definir f(y) como: 

f(y) 

⎡(1− 

γ) 

⎤ 

= 1− 

⎢ * y 

H 

⎥ (3.2) 

⎣ ⎦ 

em que γ é um coeficiente adimensional definido pela razão entre a espessura no topo 

e a espessura na base do reservatório. 

Deste modo, a eq. (2.1) passa a apresentar a seguinte forma: 

d 

2 

dy 

2 

⎛ 

⎜f(y) 

⎝ 

3 

2 

d w ⎞ 

* (y) ⎟ + 4 * β 

2 

dy 

⎠ 

4 

0 

* f(y) * 

w(y) = 

p(y) 

D 

0 

(3.3) 

em que: 

D 

0 

3 

E * h0 

= 

2 

(3.4) 

12 * (1− ν ) 

E * h 

0 

β 0 = 4 

2 

(3.5) 

4 * r * D0 



Considerando-se uma função aproximativa w ~ (y) 

, com boas propriedades de 

representatividade da solução, pode-se escrever, inicialmente, a seguinte forma em 

resíduos ponderados: 

H ⎪⎧ 

2 

⎞ 

⎪⎫ 

∫ ⎨ 

⎟ + β 

− ⎬ = 

⎜ ⎛ 

2 

d 3 d w ~ 

4 

p(y) 

v (y)* f(y) * (y) 4 * 

0 

2 

2 

0 * * w ~ (y) * dy 0 

⎪⎩ 

f(y) 

(3.6) 

dy ⎝ dy ⎠ 

D0 

⎪⎭ 

em que: 

v(y) é uma função de ponderação; e 

w ~ (y) deve apresentar, pelo menos, continuidade até a ordem 3. 

Adota-se, em seguida, uma discretização para o domínio da solução mediante 

um conjunto de nós e elementos. Neste trabalho, cada elemento contém 2 nós nas 

suas extremidades. Na fig. 3.1, os graus de liberdade associados à cada nó são 

indicados sobre um elemento genérico. 

RESERVATÓRIO 

CILÍNDRICO 

DISCRETIZAÇÃO EM 

ELEMENTOS 

FINITOS 

ELEMENTO 

GENÉRICO 

ELEMENTO N 

~ 

w 

e 

3 

~ 

w e 4 

p(y) 

ELEMENTO 2 

ELEMENTO 1 

p(y) 

~ 

w e 1 

~ 

w 

e 

2 

h e 

y 

ye 

Figura 3.1 - Discretização de um reservatório cilíndrico para aplicação do MEF. 

Considerando a divisão do domínio, a integral que aparece na eq. (3.6) passa 

a ser composta pela soma das integrais sobre os elementos. Pode-se então 

representar a forma fraca para um elemento genérico derivando-se duas vezes por 

partes a primeira parcela da eq. (3.6): 

⎡ 

⎢ 

⎢⎣ 

+ 

= 

d 

dy 

y 2 

2 

e + 1 3 d d v 

f(y) * (y) * 

ye 

2 

2 

∫ 

∫ 

⎛ 

⎜f(y) 

⎝ 

ye+ 

1 

y e 

3 

p(y) 

D 

0 

2 

d w ~ ⎞ ⎤ 

* (y) ⎟ * v(y) 

⎥ 

2 

dy ⎠ ⎥⎦ 

dy 

w ~ 

* v(y) * 

dy 

dy 

y e + 1 

ye 

(y) * 

− f(y) 

dy + 

∫ 

3 

⎡ 2 

d w ~ 

* ⎢ 

2 

⎢⎣ 

dy 

y e + 1 

ye 

4*β 

(y) * 

4 

0 

dv ⎤ 

(y) ⎥ 

dy ⎥⎦ 

ye+ 

1 

y e 

+ 

* f(y)*w ~ (y) * v(y) * 

dy = 

(3.7) 


28 


em que y e e y e+1 são, respectivamente, as coordenadas dos nós inicial e final do 

elemento “e”. 

Note-se que na eq. (3.7) as derivadas sobre v(y) e w ~ (y) 

são da mesma 

ordem, proporcionando simetria à formulação. De modo a garantir a existência de 

solução dentro dos limites do elemento, as integrais envolvendo as funções 

aproximativa e ponderadora (‘formas bilineares’) somadas devem apresentar valor 

finito; nesse sentido, adota-se uma função aproximativa polinomial de grau 3, que é o 

menor grau que garante aquela condição. 

Nessas condições, a aproximação passa a ser representada por: 

∑ 

w ~ 4 

e 

(y) = w ~ * φ (y) 

(3.8) 

j= 

1 

e 

j 

e 

j 

e 

em que w ~ 

j são os graus de liberdade primários (deslocamento e giro nos nós de 

coordenadas locais 0 e h e ). 

As quatro funções de forma do elemento, indicadas em (3.8), são dadas por: 

e 

⎛ 

φ = − ⎜ 

1 (y) 1 3 * 

⎝ 

⎛ φ 

e 

⎜ 

2(y) 

= y * 

1 − 

⎝ 

y 

h 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

+ 2 * ⎜ 

⎝ 

2 

3 

e 

4 

e 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ 

y 

⎟ ⎜ 

y 

φ 

⎟ 

3(y) 

= 3 * 

− 2 * 

⎝ he 

⎠ ⎝ he 

⎠ 

⎡ 2 

⎛ ⎞ ⎤ 

φ = ⎢⎜ 

y 

⎟ 

y 

(y) y * − ⎥ 

⎢ 

⎥ 

⎣⎝ 

he 

⎠ he 

⎦ 

e 

y 

h 

e 

2 

2 

y 

h 

e 

⎟ ⎞ 

⎠ 

3 

(3.9) 

As funções de forma (3.9) constituem uma base aproximativa hermitiana 

cúbica para o MEF. Outra base de interesse é a linear, indicada abaixo: 

e 

1 

N (y) = 1− 

e 

2 

N (y) = 

y 

h 

e 

y 

h 

e 

(3.10) 

Utilizando-se a mesma base de aproximação para v(y) e w ~ (y) 

(‘Galerkin’), a 

sua substituição na eq. (3.7) leva ao seguinte conjunto de equações para o elemento 

finito genérico: 

4 

∑ 

j= 

1 

[ K * w ~ ] 

e 

j 

e 

j 

e 

i , − Fi 

= 0 ( i = 1,...,4 ) 

(3.11) 

em que: 



2 e 

2 e 

e 

he 

3 d φ d φ 

i 

j 

4 

e e 

K = ( ) * ( )* ( ) 4 * ( ) * ( )* 

i, j ∫ f y + y y y + * β f y + y * φ ( y) φ y dy 

0 e 2 2 

0 

e i j 

dy dy 

py ( + y) 

F y dy Q 

e 

h e e 

e e 

i 

= * φ ( )* 

0 

i 

+ 

i 

D0 

(3.12) 

∫ (3.13) 

Os termos (3.12) compõem os componentes da chamada matriz de rigidez do 

elemento que, neste caso, é simétrica; já a eq. (3.13) fornece os componentes do 

chamado vetor de forças nodais do elemento “e”, isto é: as forças nodais 

correspondentes às forças diretamente aplicadas e às forças nodais prescritas nas 

extremidades do elemento. 

A geração em forma matricial do sistema global resolvente a partir das 

contribuições dos elementos é indicada na fig. 3.2, sendo N o número de elementos. 

e 

Observa-se que, na ausência de forças nodais concentradas, os termos Q i (ver eq. 

(3.13)) anulam-se na sobreposição. 

Figura 3.2 - Matriz de rigidez (K ) e vetor de forças nodais (F ) obtidos na formulação do MEF. 

Na simbologia adotada para a matriz global K , indicada na fig. 3.2, cada 

quadrado preenchido representa a matriz de rigidez de um elemento, cujos valores 

são calculados pela eq. (3.12). No vetor global F , cada retângulo preenchido 

representa o vetor de forças nodais de um elemento, com seus valores calculados 

pela eq. (3.13). 


30 


A estrutura da matriz de rigidez global (K ) tem uma forma em banda, porque 

os nós do problema estão, por hipótese, numerados seqüencialmente no sentido 

crescente de y, e, além disso, é simétrica. 

As condições de contorno essenciais devem ser impostas diretamente no 

sistema global representado na fig. 3.2. Para o conjunto de problemas analisados, 

considera-se que o contorno superior é livre e o inferior pode ser engastado ou 

articulado fixo. 

Uma vez encontrado o vetor incógnito, é possível novamente considerar o 

arranjo de elementos e encontrar a distribuição de esforços ao longo de cada 

elemento finito: 

E * h(y y) 

N ~ 

e 

(y) 

* w ~ e 

θ = − 

(y) 

(3.14) 

r 

e + 

M ~ ⎛ 4 

e 

3 

(y) D * f(y y) * w ~ 

y = − 

⎜ 

0 e + 

⎜∑ 

⎝ j= 

1 

e 

j 

2 e 

j 

2 

d φ 

* 

dy 

(y) 

⎟ ⎟ ⎞ 

⎠ 

(3.15) 

dM ~ 

Q ~ 

e 

e 

y 

y (y) = (y) 

(3.16) 

dy 

M ~ e 

(y) * M ~ e 

θ = ν (y) 

(3.17) 

y 

3.2 MEF aplicado a cascas esféricas 

A resolução numérica do problema da casca esférica mediante aplicação do 

MEF, poderia partir analogamente ao caso dos tubos, da ponderação do sistema de 

equações diferenciais descrito pelas (2.11) e (2.12). Entretanto, trata-se de um 

sistema misto envolvendo duas variáveis distintas a serem aproximadas. Tal 

procedimento será aqui simplificado, considerando-se apenas os efeitos de uma força 

horizontal H C e de um momento externo M C distribuídos ao longo da borda da casca 

esférica (fig.3.3). Desse modo, pode-se reduzir o sistema a uma única equação na 

variável representativa do esforço cortante, além do que são para estes casos que 

existe solução analítica de confronto. 



CASCA ESFÉRICA 

ELEMENTOS 

FINITOS 

ELEMENTO 

GENÉRICO 

H c 

ω 

c 

M c 

Figura 3.3 - Discretização de uma casca esférica para aplicação do MEF. 

ELEMENTO 1 

ELEMENTO N 

1 

~ 

Q e 

2 

ω e 

ω 

ω E 

ω 

Q ~ e 

Q ~ e 

4 

~ e 

Q 3 

Uma vez obtida a forma fraca de (2.19), considerando-se uma solução 

~ 

aproximada Q φ( 

ω ) e adotada uma discretização formada por elementos finitos 

definidos em função do ângulo de abertura da casca, fig. 3.3, a relação para um 

elemento resulta: 

⎡ 3~ 

d Q 

⎢ 

3 

⎢⎣ 

dω 

+ 

ωe+ 

1 

ωe 

∫ 

φ 

ωe+ 

1 ~ 

ω 

2 

e+ 

1 

⎤ ⎡d 

Q dv ⎤ 

φ 

( ω) 

* v( ω) 

⎥ − ⎢ ( ω) 

* ( ω) 

⎥ + 

2 

⎥ ⎢ d dω 

⎦ 

e 

⎣ 

ω 

⎥ 

ω 

⎦ω 

e 

2~ 

d Q 

2 

φ d v 

ωe 

+ 1 4 ~ 

( ω) 

* ( ω) 

* dω + 4* λ * ( ω) 

* v( ω) 

* dω = 0 

2 

2 

dω 

dω 

∫ 

Qφ 

ωe 

(3.18) 

em que: 

v(ω) é uma função de ponderação; e 

ω e e ω e+1 são as coordenadas angulares do nó inicial e final do elemento “e”. 

Adotando-se uma função aproximadora polinomial de grau máximo 3, como 

feito para os tubos, em coordenadas esféricas locais do elemento os parâmetros 

nodais assumem os seguintes significados: 

~ 

Q 

~ 

Q 

e 

1 

e 

3 

~ 

= Q 

~ 

= Q 

e 

φ 

e 

φ 

(0) 

( ω 

E 

) 

~ e 

~ e 

dQφ 

Q2 

= (0) 

dω 

~ e 

~ e 

dQφ 

Q 4 = ( ω 

dω 

E 

) 

(3.19) 

Resulta, para o elemento finito genérico a seguinte aproximação: 

4 

~ e ~ e 

Q ( ω) 

= Q * φ ( ω) 

(3.20) 

φ 

∑ 

j= 

1 

e 

j 

j 


32 


sendo as funções de forma dadas por: 

e 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ ω ⎜ ω 

φ 

⎟ ⎟ 

1 ( ω) 

= 1− 

3 * + 2 * 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 

ωE 

⎠ ⎝ 

ωE 

⎠ 

2 

e ⎛ ⎞ 

⎜ ω 

φ 

⎟ 

2( 

ω) 

= ω * 1− 

⎜ ⎟ 

⎝ 

ωE 

⎠ 

2 

3 

e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ ω ⎟ ⎜ ω 

φ ω = − ⎟ 

3( 

) 3 * 2 * 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 

ωE 

⎠ ⎝ 

ωE 

⎠ 

⎡ 2 

⎛ ⎞ ⎤ 

e 

⎢⎜ 

ω ⎟ ω 

φ ω = ω − ⎥ 

4( 

) * 

⎢⎜ 

⎟ ω ⎥ 

⎢⎣ 

⎝ 

ωE 

⎠ E 

⎥⎦ 

2 

3 

(3.21) 

Nas relações anteriores: 

ω E é o ângulo de abertura do elemento “E”; e 

ω é a coordenada angular local, indicada na fig. 3.3. 

Substituindo-se (3.20) em (3.18) e considerando-se para v(ω) uma 

aproximação dada pelas mesmas funções de forma de Q 

~ ( ω ) , resulta: 

4 

∑ 

j= 

1 

~ 

[ K * ] 0 

e e 

i , j j = 

em que: 

Q (3.22) 

2 e 

2 e 

ωE 

d φ d φ 

i 

j 

4 e 

e 

∫ 0 

2 ω 

2 ω 4 λ φ 

i ω φ 

j ω ω 

(3.23) 

e 

K = i, j 

( )* ( ) * * ( )* ( )* d 

dω 

dω 

+ 

As contribuições das matrizes de rigidez e dos vetores de forças nodais dos 

elementos geram um sistema global que segue sistemática idêntica àquela 

apresentada para casca cilíndrica indicada na fig. 3.2. 

As condições de contorno que devem ser impostas diretamente ao sistema 

global correspondem à força H C e momento M C aplicados na borda inferior da casca. 

Depois de encontrado o vetor incógnito, é possível voltar ao arranjo de 

~ e 

elementos e encontrar as outras variáveis de interesse (deslocamento horizontal ξ , 

~ e 

~ e 

~ e 

~ e ~ e 

giro Φ , esforço normal N φ ,esforço tangencial N θ e momentos Mφ 

e M θ , de 

acordo com as figs. 2.4 e 2.5): 

φ 

~ 

ξ 

e 

⎛ ~ 

R * sen( ω + ω) 

ω = 

⎜ 

dQ 

e 

φ 

( ) 

* − 

E * t ⎜ 

C 

⎝ dω 

e 

( ω) 

+ ν 

C 

~ 

* Q 

e 

φ 

( ω) 

* cot 

g( ω 

e 

⎞ 

+ ω) 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

(3.24) 



~ 

Φ 

e 

1 

( ω) 

= 

E 

C 

* t 

2~ 

e 

d Q φ 

* ( ω) 

2 

(3.25) 

dω 

~ e ~ e 

N ( ω) 

= −Q 

( ω) 

* cot g( ω + ω) 

(3.26) 

φ 

φ 

e 

~ e 

~ e dQφ 

N θ ( ω) 

= − ( ω) 

(3.27) 

dω 

3~ 

e 

~ e D d Q 

C 

φ 

M φ ( ω) 

= − * ( ω) 

R * E * t 

3 

(3.28) 

C dω 

~ e ~ 

M ( ω) 

= ν * M 

e ( ω) 

(3.29) 

θ 

C 

φ 

4 ENRIQUECIMENTO DAS APROXIMAÇÕES DO MEF 

4.1 Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) 

O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), DUARTE, 

BABUŠKA e ODEN (2000), TORRES (2003), incorpora na estrutura básica do MEF 

técnicas e recursos dos chamados Métodos sem Malha, com o propósito de melhorar 

a aproximação no domínio do problema. O MEFG tem como principal característica o 

enriquecimento sobre aproximações que se caracterizam como “partição da unidade”, 

(PU), ou conjunto de funções cujo somatório dos valores num ponto do domínio é 

igual à unidade. 

No MEF clássico, embora seja possível construir espaços de funções nãopolinomiais 

que fornecem boas propriedades de aproximação local, tal procedimento 

não garante a continuidade entre elementos da função de aproximação global, 

MELENK e BABUŠKA (1996). Já o MEFG, ao explorar a PU, garante a construção de 

espaços de aproximação conformes, mesmo utilizando funções não-polinomiais. 

No MEFG, o número de funções de forma é composto pelas funções de forma 

originais do MEF, que constituem uma PU, mais uma combinação delas com outras 

funções, chamadas “enriquecedoras”. Porém, se forem enriquecidas também outras 

funções da base aproximativa que não constituam uma PU, o enriquecimento não é, a 

rigor, um MEFG, e sim um MEF hierárquico. 

Genericamente, a função aproximativa do MEFG para um campo u, num 

domínio governado pela variável x, tem a seguinte forma: 

n 

∑ 

n 

I( j) 

û(x) = ϕ (x) * û + ϕ (x) FE(x) * b 

(4.1) 

j= 

1 

j 

j 

∑ 

j= 

1 

j 

∑ 

α= 1 

α 

j 

α 

j 

em que 

α 

b j são parâmetros nodais acrescentados pelo enriquecimento. 


34 


Acrescenta-se que o enriquecimento pode ser seletivo, isto é, feito apenas em 

uma região específica do domínio, sendo a parte restante aproximada sem 

enriquecimento e com a estrutura convencional do MEF. 

Como exemplo do procedimento de enriquecimento, considere-se uma base 

aproximativa do MEF dada por 4 funções de forma, 

e 

ϕ 1 , 

função enriquecedora. Admita-se que, dessa base, apenas 

e 

ϕ 2 , 

e 

ϕ 3 e 

e 

ϕ 1 e 

e 

ϕ 4 , e seja FE uma 

e 

ϕ 3 formem uma PU. 

De acordo com o MEFG, para a região enriquecida, haverá 6 funções de forma: 

e e e e 

e 

ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 , ϕ 1 *FE e ϕ 3 *FE. Na fig. 4.1 está representado o sistema correspondente 

ao exemplo, para o caso de 2 elementos, com os três nós enriquecidos. 

e 

ϕ 1 , 

^ 

u 

^ 

b 

2 2 

u 

1 2 

u 

2 

1 ^ 1 1 

b u 

1 2 

^u 

^ 

u 1 1 

b 

3 2 4 

^ 

u 

^ 

2 

3 

b 

3 

K = F = 

^ 

u 

2 

4 

u^ 1 

1 

b 

1 

^ 

u 1 2 

u 

^ 1 

3 

b 2 

b 2 

^ 

u 1 

4 

^ 

u 2 3 

u 

^ 2 

1 

2 

u^ 2 

enriquecimento 

b 3 

2 

u^ 

4 

Figura 4.1 - Esquema de enriquecimento pelo MEFG. 

4.2 Alternativas de enriquecimento 

O procedimento chamado aqui de MEFH caracteriza-se por conter funções na 

base aproximativa que apesar de não formarem uma PU podem ser multiplicadas por 

funções de enriquecimento. 

Na fig. 4.2 está indicado um sistema genérico montado de acordo com o 

MEFH, para 2 elementos e 1 função enriquecedora adicionada à mesma base 

polinomial descrita no item 4.1. 

No procedimento denominado enriquecimento por base expandida, MEFBA, a 

base inicial é ampliada mediante adição de funções de forma especiais de interesse. 

Obviamente, à cada função adicionada se associa um grau de liberdade primário, 

não-atrelado à nó e sem qualquer significado físico. 

Neste caso, o sistema global terá um aumento em sua ordem igual ao número 

de funções enriquecedoras. Encontra-se na fig. 4.3 uma visualização de um sistema 

genérico do MEFBA com 2 elementos e 1 função enriquecedora adicionada à mesma 

base polinomial descrita no item 4.1. 

A função aproximadora de um campo u, num domínio governado pela variável 

x global, no caso do MEFBA, tem a seguinte forma: 



n 

∑ 

I( j) 

( FE(x) * b ) 

û(x) = ϕ (x) * û + 

(4.2) 

j= 

1 

j 

j 

∑ 

α= 1 

α 

α 

^ 

u 1 

1 

b u 

^ 1 

1 2 

b 4 

b 

^ 

u 

b u^ 2 

1 3 2 

b 2 

^ 

u 

b u 

^ 1 ^ 2 

u b 

3 3 4 

b 3 

u 

^ 2 

4 5 4 6 

1 

u^ 1 

b 

1 

^ 1 

u 

2 

b 

2 

1 

u^ 

3 

u 

^ 2 

1 

K = F = b 

3 

enriquecimento 

1 2 

u^ 

u 

^ 

b 3 

4 

b 

4 

^ 

u 

b 

u^ 

2 

3 

5 

2 

4 

b 

6 

b 4 

2 

Figura 4.2 - Esquema de enriquecimento MEFH. 

u 

^ 1 

1 

u 

^ 1 

2 

^ 

u 

^ 

u 

2 

1 

1 

3 

u 

^ 2 

2 

u 

^ 

^ 

1 2 

4 

u 3 

u 

^ 2 

4 

b 

1 

1 

u^ 1 

^ 1 

u 

2 

1 

u 

^ 

3 

u 

^ 2 

1 

1 

u 

^ ^ 2 

u 

4 2 

^ 2 

u 

3 

2 

u 

^ 

4 

K = F = enriquecimento 

b 

1 

Figura 4.3 - Esquema de enriquecimento MEFBA. 

4.3 Enriquecimentos do MEF aplicados aos tubos 

No caso dos tubos, empregam-se nas alternativas de enriquecimento 

comentadas no item anterior, funções que fazem parte da solução analítica para 

espessura constante. Assim, adotam-se: 

−β*y 

f3(y) 

= e * cos( β 

* y) 

(4.3) 

−β*y 

f4(y) 

= e * sen( β 

* y) 

(4.4) 


36 


As possibilidades de emprego do MEF testadas, que incluem as alternativas 

de enriquecimento, estão descritas abaixo com as siglas a elas associadas. 

1) RMEFL: Caso particular do MEF utilizando as funções de forma lineares dadas em 

(3.10). Aplica-se essa aproximação exclusivamente para análise do regime de 

membrana (base deslizante) do reservatório com espessura constante. 

2) RMEF: Caso particular do MEF convencional sem enriquecimento utilizando como 

base aproximativa as funções de forma dadas em (3.9). 

3) RMEFH: MEFH utilizando as funções (4.3) e (4.4) para enriquecer todas as funções 

da base (3.9). 

4) RMEFG: MEFG utilizando as funções (4.3) e (4.4) para enriquecer as funções da 

base (3.9) que constituem uma PU. 

5) RMEFBA: MEFBA utilizando como base aproximativa as funções de forma dadas 

em (3.9), sendo realizado enriquecimento com as funções (4.3) e (4.4). 

5 PROGRAMA 

Elaborou-se um programa em linguagem FORTRAN, cuja apresentação 

encontra-se descrita no que segue. 

1) Uma janela de apresentação (fig. 5.1) aparece quando o aplicativo é executado. 

Figura 5.1 - Janela de apresentação do aplicativo. 

2) Acionando-se o botão “INICIAR”, aparece a janela para as escolhas da estrutura a 

ser calculada e da base aproximativa de funções do MEF (fig. 5.2). Nota-se que, 

independentemente da escolha do método aproximado, os gráficos de respostas 

exibem sempre a solução analítica da estrutura. 



O reservatório cilíndrico pode ser analisado somente com forças linearmente 

distribuídas na parede e a cúpula admite análise dos efeitos de peso próprio (solução 

analítica) ou de forças e momentos distribuídos uniformemente em sua extremidade. 

Figura 5.2 - Janela para escolha da estrutura e método de cálculo aproximado. 

3) Aciona-se o botão “AVANÇAR” e, dependendo da escolha estrutural, uma janela 

aparece para a entrada de dados referentes à geometria, às forças externas e ao 

método de enriquecimento (se desejado). Na fig. 5.3 é mostrada a janela de entrada 

de dados para reservatório cilíndrico e, na fig. 5.4, a janela de entrada de dados para 

cúpula esférica sujeita a força horizontal (Hc) e momento concentrado na extremidade 

(Mc). 


38 


Figura 5.3 - Janela de entrada de dados referente a reservatório cilíndrico. 

Figura 5.4 - Janela de entrada de dados referente a cúpula esférica sujeita a Hc e Mc. 



Os dados referentes ao número de elementos finitos, seguindo a convenção 

dada na figura que aparece na janela de entrada de dados, devem ser preenchidos no 

grupo “DADOS SOBRE O MEF”. 

Para se utilizar elementos de comprimentos iguais em todo o domínio, devese 

informar o número de elementos na caixa de edição do grupo “TODOS OS 

ELEMENTOS COM O MESMO COMPRIMENTO” e acionar, em seguida, o botão 

“INCLUIR ELEMENTOS”. Fazendo isso, os comprimentos dos elementos são exibidos 

na lista do grupo “COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS”, bem como são exibidos o 

somatório dos comprimentos dos elementos e o número de elementos nas caixas 

estáticas do canto inferior direito do grupo “DADOS SOBRE O MEF”. 

Para se utilizar comprimentos diferentes dos elementos, seus valores devem 

ser cadastrados um a um, na caixa de edição do grupo “ELEMENTOS COM 

COMPRIMENTOS DIFERENTES”, acionando-se o botão “INCLUIR ELEMENTO” para 

incluir um elemento na lista do grupo “COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS”. 

Cadastrados os elementos, devem ser fornecidos os dados sobre o 

enriquecimento, no grupo “DADOS SOBRE O ENRIQUECIMENTO”. Deve-se 

escolher o tipo de enriquecimento por meio da caixa de lista no grupo “ESCOLHA O 

TIPO DE ENRIQUECIMENTO”, sendo que as funções enriquecedoras podem ser 

visualizadas acionando-se o botão “VER FUNÇÕES DISPONÍVEIS”. Feito isso, 

incluem-se os nós a serem enriquecidos por meio dos botões no grupo “NÓS A 

SEREM ENRIQUECIDOS”. Tais nós podem ser cadastrados um a um, no grupo 

“INCLUSÃO INDIVIDUAL”, ou todos de uma vez, pelo botão “TODOS”. Na lista “NÓS 

ENRIQUECIDOS” aparecem os nós a serem enriquecidos. 

Na fig. 5.5 aparece a janela de entrada de dados para cúpula esférica sujeita 

a peso próprio, em que apenas é possível a análise da solução analítica. 

Figura 5.5 - Janela de entrada de dados referente a cúpula esférica sujeita a peso próprio. 


40 


4) Preenchidos os dados de entrada, pode-se conferir visualmente os dados 

fornecidos, para os casos representados nas figs. 5.3 e 5.4, acionando-se o botão 

“VERIFICAR DADOS”. Aparece uma janela gráfica independente, como a das figs. 5.6 

(reservatório cilíndrico) e 5.7 (cúpula esférica), cujos desenhos são apenas para 

verificação, não apresentando uma escala definida. 

Figura 5.6 - Janela de verificação gráfica dos dados de entrada - reservatório cilíndrico. 

5) Preenchidos e verificados os dados de entrada, nas janelas das figs. 5.3, 5.4 ou 

5.5, aciona-se o botão “CALCULAR”, aparecendo uma janela de confirmação (fig. 5.8) 

depois de concluído o processamento. 

Figura 5.7 - Janela de verificação gráfica dos dados de entrada para cúpula esférica sujeita a 

força horizontal e momento concentrado na base. 



Figura 5.8 - Janela de confirmação do sucesso dos cálculos. 

Acionando-se o botão “CONTINUAR” na janela da fig. 5.8, aparece a janela 

referente aos resultados. Nas figs. 5.9, 5.10 e 5.11 são mostradas as janelas de 

resultados para os três casos representados nas figs. 5.3, 5.4 e 5.5, respectivamente. 

Figura 5.9 - Janela de resultados referente a reservatório cilíndrico. 


42 


Figura 5.10 - Janela de resultados referente a cúpula esférica sujeita a Hc e Mc. 

Figura 5.11 - Janela de resultados referente a cúpula esférica sujeita a peso próprio. 

Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, aparece uma figura referente à 

convenção para os sentidos positivos dos parâmetros de saída. Tal ilustração também 

não oferece interatividade nem obedece a uma escala geométrica. 

Os dados de saída têm seus valores impressos em listas organizadas 

segundo os valores nodais (caso haja método de cálculo aproximado) após pós- 



processamento (coluna esquerda) e segundo 200 pontos igualmente espaçados sobre 

o domínio (coluna direita). 

Além das janelas dos dados de saída no programa, os dados numéricos de 

saída são impressos no arquivo RESULTADOS.TXT. 

Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, existem ainda botões na parte superior 

que, depois de acionados, exibem, em uma janela gráfica independente, os gráficos 

correspondentes aos parâmetros ao longo do domínio. Na fig. 5.12 é exibido um 

exemplo de gráfico de saída de deslocamento para reservatório cilíndrico. 

Uma última consideração é que a aplicação criada não é restrita a um sistema 

fixo de unidades. Estão indicadas, ao lado das caixas de edição de entrada de dados 

e ao lado dos valores de saída, as dimensões de cada variável, sendo elas: L 

(dimensão de comprimento) e F (dimensão de força). 

Figura 5.12 - Exemplo de janela de gráfico de deslocamento referente a reservatório cilíndrico. 

6 EXEMPLOS NUMÉRICOS 

6.1 Resultados para reservatório cilíndrico 

A tabela 6.1 apresenta os dados de entrada escolhidos para o exemplo 

numérico de reservatório cilíndrico. 


44 


Tabela 6.1 - Dados de entrada utilizados para o cálculo de reservatório cilíndrico. 

PARÂMETRO 

VALOR 

Altura (m) 10,00 

Raio (m) 8,00 

Espessura constante (m) 0,05 

Coeficiente de Poisson 0,30 

Módulo de elasticidade (kN/m 2 ) 2,10*10 9 

Peso específico do líquido de 

preenchimento (kN/m 3 ) 

1000,00 

Colocam-se em confronto os valores de deslocamento horizontal w, esforço 

cortante Q y e momento fletor M y , com suas convenções de sinal e direção 

visualizadas nas fig. 2.2. Os valores de N θ e M θ não são aqui exibidos, já que são 

proporcionais a w e M y , respectivamente (ver eq. (3.14) e (3.17)). 

O primeiro resultado refere-se ao regime de membrana do reservatório (base 

deslizante), cujo único procedimento aproximado aplicado foi o RMEFL. No gráfico 6.1 

são apresentadas as soluções aproximada e analítica dos deslocamentos para 10 

elementos igualmente espaçados. Naturalmente, o esforço cortante Q y e o momento 

fletor M y são nulos, de acordo com as hipóteses do regime de membrana. 

10.0 

9.0 

8.0 

altura do reservatório (m) 

7.0 

6.0 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

0.0 

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00 

deslocamento horizontal w (m) - base deslizante 

Solução analítica RMEFL Posições dos nós 

Gráfico 6.1 - Curva de deslocamento w para o caso RMEFL. 

Acrescenta-se que com apenas um elemento os deslocamentos obtidos com 

o procedimento RMEFL são exatos, pois a solução analítica é regida por uma função 

linear. 

Para uma comparação entre os procedimentos descritos no caso de base 

articulada fixa, considera-se uma discretização como a mostrada na fig. 6.1. Lembrase 

que, no caso RMEFBA, o enriquecimento não é mais seletivo. 



Figura 6.1 - Discretização adotada para reservatório cilíndrico com base articulada fixa. 

Nos gráficos 6.2 a 6.4 mostram-se curvas obtidas para deslocamento 

horizontal w, momento fletor M y e esforço cortante Q y , pelos procedimentos RMEF, 

RMEFH, RMEFG e RMEFBA, além da solução analítica. 

10.0 

9.0 

8.0 


7.0 

6.0 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

0.0 

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00 

deslocamento horizontal w (m) - base articulada fixa 

Solução analítica RMEF RMEFH RMEFG 

RMEFBA Nós enriquecidos Nós não enriquecidos 

Gráfico 6.2 - Deslocamento horizontal - base articulada fixa. 


46 


10.0 

9.0 

8.0 


7.0 

6.0 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

-450 -350 -250 -150 -50 50 

0.0 

momento fletor M y (kN*m/m) - base articulada fixa 



Gráfico 6.3 - Momento fletor - base articulada fixa. 

10.0 

9.0 

8.0 


7.0 

6.0 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 

0.0 

esforço cortante Q y (kN/m) - base articulada fixa 



Gráfico 6.4 - Esforço cortante - base articulada fixa. 

As diferenças entre o RMEF e os procedimentos enriquecidos são mais 

marcantes quando se analisam os esforços (gráficos 6.3 e 6.4), já que nos 

procedimentos enriquecidos as derivadas das funções enriquecedoras exponenciais 

resultam ainda em funções exponenciais, o que não acontece no RMEF. 

Pode-se afirmar que o RMEFH e o RMEFBA apresentam os melhores 

resultados. Observa-se que o RMEFH tem custo computacional bem maior do que o 

RMEF ou o RMEFBA. Este fato, que é desprezível para o caso unidimensional, pode 

vir a ser importante num equacionamento em duas ou três dimensões. Acrescenta-se 

que o RMEFBA, com apenas 1 elemento, apresenta soluções exatas para 

deslocamento e esforços. 

Para reservatório com base engastada é necessário um número maior de 

elementos para aproximar bem os resultados, em comparação com a base articulada 



fixa. Os resultados comparativos são, entretanto, qualitativamente iguais aos 

apresentados para essa última base. 

6.2 Resultados para cúpula esférica 

Neste exemplo, os resultados numéricos obtidos com o MEF, aplicado 

segundo o procedimento descrito no item 3.2, para o problema da cúpula esférica são 

comparados com as respostas analíticas. Os dados da cúpula estão indicados na 

tabela 6.2 e a discretização adotada representada na fig. 6.2. 

Tabela 6.2 - Dados de entrada utilizados para a análise da cúpula esférica. 

PARÂMETRO 

VALOR 

Ângulo de abertura (graus) 60 

Raio (m) 8,00 

Espessura constante (m) 0,05 

Coeficiente de Poisson 0,30 

Módulo de elasticidade (kN/m 2 ) 2,10*10 9 

Hc (kN/m) 1,00 

Mc (KN*m/m) 1,00 

Figura 6.2 - Discretização adotada para cúpula esférica. 

Nos gráficos 6.5 a 6.9 estão as curvas para esforço cortante Q φ , momento 

fletor M φ , esforço tangencial N θ , giro Φ e deslocamento horizontal ξ, obtidos com o 

MEF e confrontados com a solução analítica. 


48 


60.0 

ângulo - base para topo (graus) 

50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

-1.1 -0.6 -0.1 0.4 0.9 1.4 

esforço cortante Q φ (kN/m) 

0.0 

Solução analítica CMEF Posições dos nós 

Gráfico 6.5 - Curva de esforço cortante Q φ para o caso MEF. 

60.0 


50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

-0.2 0.1 0.4 0.7 1 

momento M φ (kN*m/m) 

0.0 


Gráfico 6.6 - Curva de momento fletor M φ para o caso MEF. 



60.0 


50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

-25 -5 15 35 55 75 95 

esforço tangencial N θ (kN/m) 

0.0 


Gráfico 6.7 - Curva de esforço tangencial N θ para o caso MEF. 

60.0 


50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

-6.00E-06 4.00E-06 1.40E-05 2.40E-05 

giro Φ (radianos) 

0.0 


Gráfico 6.8 - Curva de giro Φ para o caso MEF. 


50 


60.0 


50.0 

40.0 

30.0 

20.0 

10.0 

-1.70E-06 3.00E-07 2.30E-06 4.30E-06 6.30E-06 

deslocamento ξ (m) 

0.0 


Gráfico 6.9 - Curva de deslocamento horizontal ξ para o caso MEF. 

Os valores de N φ e M θ não estão aqui exibidos porque são proporcionais a Q φ 

e M φ , respectivamente (ver eqs. (3.26) e (3.29)). 

Nota-se que as respostas, exceto momento fletor M φ (gráfico 6.6), são bem 

próximas das exatas. Para M φ a função aproximativa resulta uma composição de 

polinômios lineares (terceira derivada do esforço cortante), o que explica a menor 

precisão e a necessidade por uma discretização mais refinada. 

7 CONCLUSÕES 

Nota-se o grande potencial do enriquecimento com funções especiais para a 

solução numérica do problema do reservatório cilíndrico, principalmente em relação à 

descrição dos esforços. 

A aplicação convencional do MEF, que emprega base aproximativa hermitiana 

é limitada, particularmente no que se refere à descrição dos esforços internos 

generalizados. De fato, os gráficos dos esforços apresentam descontinuidades entre 

os elementos, em razão da menor ordem de continuidade das derivadas da base 

aproximativa, diretamente empregadas na descrição do momento fletor e da força 

cortante. As descontinuidades nos esforços são reduzidas com os procedimentos de 

enriquecimento propostos, quase desaparecendo para o RMEFH e para o RMEFBA. 

Cabe observar, entretanto, que a continuidade entre elementos da base 

aproximativa determina também a continuidade da aproximação enriquecida, 

independente do grau de enriquecimento atingido no interior do elemento. Portanto, a 

eficácia dos procedimentos de enriquecimento depende fortemente da continuidade 

da base aproximativa utilizada. De fato, considerando-se bases muito simples, apesar 

dos esforços serem mais bem representados pelos procedimentos enriquecidos em 

comparação com o MEF convencional, a continuidade entre os elementos, para as 

derivadas, não é necessariamente garantida. Nesse aspecto o enriquecimento por 

base estendida mostra-se mais eficiente, permitindo contornar a questão de 



continuidade, dispensando a alternativa de um aumento do grau de continuidade da 

aproximação base. 

Em relação às cúpulas esféricas, a variável aproximada pelas funções base 

foi diretamente um esforço solicitante, de modo que a forma convencional do MEF, 

recorrendo apenas ao refinamento da malha mostrou-se eficiente. 

8 AGRADECIMENTOS 

Agradecemos a CAPES, pelo apoio financeiro, e aos funcionários do 

Departamento de Estruturas da USP de São Carlos, que forneceram toda a estrutura 

necessária para a realização das pesquisas. 


BARROS, F. B. (2002). Métodos sem Malha e Método dos Elementos Finitos 

Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas. 222p. Tese (Doutorado) - 

Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 

BELLUZZI, O. (1967). Ciência de la Contruccion. v. 3. Madrid: Aguilar. 

BILLINGTON, D. P. (1965). Thin shell concrete structures. McGraw Hill Book 

Company, Inc. 

DUARTE, C. A.; BABUŠKA, I.; ODEN, J. (2000). Generalized finite element methods 

for three-dimensional structural mechanics problems. Computers & Structures, v. 77, 

n. 2, p. 215–232. 

GRAVINA, P. B. J. (1957). Teoria e cálculo das cascas. São Paulo. 

MELENK, J. M.; BABUŠKA, I. (1996). The partition of unity finite element method: 

Basic theory and applications. Computer Methods in Applied Mechanics and 

Engineering, v. 39, p. 289–314. 

NIRSCHL, G. C. (2005). Método dos elementos finitos e técnicas de 

enriquecimento da aproximação aplicados à análise de tubos cilíndricos e 

cascas esféricas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São 

Carlos – Universidade de São Paulo. 

REDDY, J. N. (1993). An introduction to the Finite Element Method. New York. 

McGraw-Hill. 

TORRES, I. F. R. (2003). Desenvolvimento e aplicação do método dos elementos 

finitos Generalizados em análise tridimensional não-linear de sólidos. São 

Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de 

São Paulo. 

ZIENKIEWICZ, O. C. (1986). The Finite element method. London; New-York. 

McGraw-Hill. 


ISSN 1809-5860 

LADRILHOS E REVESTIMENTOS HIDRÁULICOS DE 

ALTO DESEMPENHO 

Thiago Catoia 1 & Jefferson Benedicto Libardi Liborio 2 

Resumo 

Os ladrilhos hidráulicos são revestimentos produzidos utilizando aglomerante 

hidráulico, cuja tecnologia de produção não acompanhou a grande evolução 

tecnológica dos concretos, as disponibilidades de novos materiais e técnicas de 

utilização ocorrentes nos últimos anos, sendo assim esses revestimentos perderam 

espaço e competitividade no mercado pela característica artesanal de sua produção. O 

trabalho tem como objetivo desenvolver uma argamassa para produção de ladrilhos 

hidráulicos utilizando a tecnologia utilizada na produção de concretos de alto 

desempenho. Os agregados foram selecionados e compostos utilizando diferentes 

técnicas de empacotamento de partículas, essas técnicas foram implementadas 

experimentalmente e seus resultados foram analisados e comparados através da 

medida de massa unitária no estado compactado seco. Os aglomerantes foram 

selecionados de forma a atender a utilização de pigmentos claros e escuros necessários 

para a produção de ladrilhos hidráulicos decorativos, assim foram elaboradas duas 

diferentes composições de aglomerantes, a primeira com cimento Portland branco 

estrutural e metacaulinita branca, e a segunda com cimento Portland de alta 

resistência inicial resistente a sulfatos e sílica ativa de ferro-silício. Diferentes aditivos 

superplastificantes foram testados, sendo a medida de compatibilidade com os 

aglomerantes e a determinação dos teores ideais a serem utilizados com cada tipo de 

aglomerantes, realizadas através da medida de consistência em mesa cadente. A 

avaliação das argamassas desenvolvidas para produção dos ladrilhos hidráulicos foi 

realizada através dos ensaios de compressão axial simples, tração na compressão 

diametral, e determinação do módulo de elasticidade. Os ladrilhos hidráulicos foram 

produzidos em fôrmas previamente elaboradas e moldados com auxílio de vibração, 

após desmoldagem e cura foram avaliados através dos ensaios de módulo de flexão, 

desgaste por abrasão, absorção de água, retração por secagem, ação química, e 

determinação das variações de dimensões em diferentes tempos de cura. Após 

elaboração, produção e avaliação dos ladrilhos hidráulicos, também foram realizados 

alguns testes práticos, e avaliados os custos dos materiais para produção desses 

revestimentos, como parte de um estudo para implementação da produção desses 

elementos em escala industrial. Os ladrilhos hidráulicos desenvolvidos apresentaram 

alto desempenho nas características avaliadas, com resistência à compressão axial 

simples de até 143 MPa e absorção de água próxima a 1 %, também apresentando 

viabilidade de produção. 

Palavras-chave: ladrilho hidráulico; argamassa; CAD; revestimento; durabilidade. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas EESC-USP, tcatoia@sc.usp.br 

2 Coordenador do Laboratório de Materiais Avançados à Base de Cimento EESC-USP, liborioj@sc.usp.br 


54 

Thiago Catoia & Jefferson Benedicto Libardi Libório 


Os ladrilhos hidráulicos são revestimentos produzidos com aglomerantes 

hidráulicos (cimentos Portland), definido pela NBR 9457:1986 como placa de concreto 

de alta resistência ao desgaste para acabamento de paredes e pisos internos e 

externos, contendo uma superfície com textura lisa ou em relevo, colorido ou não, de 

formato quadrado, retangular ou outra forma geométrica definida. 

Os ladrilhos hidráulicos foram introduzidos no Brasil pelos italianos e, embora 

no passado fosse uma alternativa na produção de revestimentos, essencialmente com 

caráter decorativo, pelas disponibilidades existentes, seu uso foi abandonado com o 

advento da indústria cerâmica. 

Embora nos anos 80 arquitetos e decoradores começarem a valorizar 

novamente os revestimentos hidráulicos, como forma de personalizar projetos e até 

pela possibilidade de utilização em mosaicos, a inserção no mercado de produtos com 

bom aspecto visual ainda passa por uma produção artesanal que está embasada no 

empirismo, com pouco cientificismo, sendo ainda utilizada as técnicas trazidas da 

Itália. 

O advento do concreto de alto desempenho, com valores de resistência a 

compressão que podem atingir os 200 MPa, permite que seja transposto para a 

prática um novo conceito de um revestimento hidráulico, com realces marcantes no 

tocante à durabilidade, resistências mecânicas (flexão, compressão, tração, desgaste, 

etc) e resistências químicas proporcionadas inclusive pela alta impermeabilidade. 

Enquanto numa fábrica de cerâmica a média diária de produção por pessoa é 

de 10 mil m 2 , em empresas de ladrilhos não passa de 20 m 2 , justificada pela mão de 

obra artesanal. Com isso, seu preço não é módico: peças de 20 x 20, 15 x 15, 10 x 10 

e 5 x 5 centímetros custam entre R$ 1,50 e R$ 6,00 a unidade. Modelos que 

compõem barrados são vendidos aproximadamente a R$ 28,00 o metro linear. Esses 

custos poderiam então atingir valores, como os preços de março de 2003, de R$ 

150,00/m 2 , evidenciando que o uso desse material se deve hoje aos saudosistas e 

abastados, visto que a implantação final ultrapassaria hoje R$ 200,00/m 2 

(MEDEIROS, CAPPI e PALHAIS, 2003). 

Com isso, esse material não apresenta competitividade com outros 

revestimentos como os porcelanatos, granitos, e qualquer outro revestimento 

cerâmico, que podem inclusive imitar os mosaicos bizantinos. Daí a importância do 

trabalho, que pretendeu contribuir com a melhora do produto e da produção, podendo 

levar os ladrilhos hidráulicos a uma maior diversidade de aplicação e a uma melhor 

competitividade no mercado. 

O presente trabalho tem como objetivo demonstrar a possibilidade de 

produção de revestimentos hidráulicos para piso e paredes, de alto desempenho e 

alta resistência, a partir de toda tecnologia existente utilizada no desenvolvimento do 

concreto de alto desempenho. 



55 

2 DOSAGEM E CARACTERIZAÇÃO DAS ARGAMASSAS 

2.1 Seleção dos materiais 

Como fator relevante para a escolha dos agregados miúdos além de ser 

utilizada a granulometria foi levado em conta a disponibilidade comercial dos 

agregados, e a morfologia das partículas que os compõem, pois agregados mais 

arredondados possuem menor área superficial, o que pode reduzir a quantidade de 

água no produto final podendo aumentar a resistência mecânica e refinar a 

porosidade. As areias selecionadas foram as areias quartzosas (AM1 e AM2) de 

origens diversas com mesma massa específica (2,63 kg/dm 3 ). 

Um dos agregados miúdos utilizados se trata de um agregado bem mais fino 

que os agregados geralmente utilizados na construção civil (AM3), de origem 

quartzosa com massa específica de 2,63 kg/dm 3 , foi escolhida por apresentar 

partículas que promovem um bom empacotamento na composição dos agregados 

miúdos que são utilizados convencionalmente na construção civil. 

Na escolha dos cimentos para fabricação de ladrilhos e revestimentos 

hidráulicos não basta levar em conta somente a resistência mecânica e química, mas 

também as características decorativas. No presente trabalho, visando atender ao 

maior número possível de aplicações, foram selecionados dois tipos de cimentos 

estruturais, o CPB 40 Estrutural, e o CP V ARI RS. 

As adições foram escolhidas visando a reatividade pozolânica e o efeito 

microfiler para o refinamento dos poros. Considerando também as características 

decorativas, foi escolhida a metacaulinita branca, que foi utilizada conjuntamente com 

o cimento CPB 40 para compor uma mistura clara, para realçar a coloração dos 

pigmentos, e a sílica ativa utilizada juntamente com o cimento CP V ARI RS 

compondo uma mistura mais escura compatível com pigmentos mais escuros. 

O uso de aditivo superplastificante é justificado pela necessidade de redução 

de água de amassamento e refinamento da porosidade, que beneficia tanto os fatores 

de resistência quando os de durabilidades. O desempenho e a compatibilidade de 

alguns aditivos superplastificantes com os cimentos e adições selecionados foram 

medidos experimentalmente. 

Os pigmentos comercialmente disponível no mercado, utilizados para colorir a 

argamassa, atribuiram características decorativas aos revestimentos elaborados. 

2.2 Empacotamento de partículas dos agregados 

O empacotamento de partículas visa minimizar os vazios existentes na 

mistura tornando o produto final mais compacto e consequentemente mais resistente. 

No estudo do empacotamento dos agregados convencionais selecionados (AM1 AM2) 

utilizaram-se três modelos para encontrar a melhor composição entre os agregados 

miúdos que foram comparados através da massa unitária no estado compactado seco 

(NBR 7810:1983). 

2.2.1 Modelo 1 

O modelo 1, indicado por Helene e Terzian (1992), consiste na comparação 

da massa unitária no estado compactado seco de diferentes combinações de 

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, , v. 10, n. 47, p. 53-74, 2008

56 


proporções dos dois componentes em que se deseja obter o melhor empacotamento. 

Para determinar a melhor proporção entre os agregados miúdos (AM1 e AM2), 

estabeleceram-se diversas combinações com variação de 10 %, em seguida mediu-se 

a massa unitária no estado compactado seco de cada combinação como indicado na 

Figura 1. 

1,700 

1,690 

Massa unitária 

1,680 

1,670 

1,660 

1,650 

100/0 90/10 80/20 70/30 60/40 50/50 

Composição de areias AM1/AM2 

Figura 1 - Variação da massa unitária nas diversas proporções entre as areias. 

No modelo 1 conclui-se que a melhor proporção entre os agregados foi aquela 

composta por 80 % do agregado mais grosso (AM1) e 20 % do agregado mais fino 

(AM2), pois essa proporção apresentou a maior massa unitária no estado compactado 

seco (1,687 kg/dm 3 ) e proporcionou um maior preenchimento dos vazios existentes 

entre as partículas de agregados. 


Este modelo consiste em determinar a fração de cheios (F ch ) de um 

componente através da relação entre a massa unitária no estado compactado seco 

(γ comp. ) e a massa específica (ρ), para em seguida obter a fração de vazios (F vz ) 

ocupada pelo agregado e então determinar a quantidade de um componente com 

partículas menores necessária para preencher os vazios entre as partículas do 

componente inicial, relações indicadas por Bomfim (2005). Este modelo permite 

compor dois componentes e após a determinação da massa específica e unitária da 

mistura, compor um terceiro componente e assim sucessivamente, partindo do 

componente com partículas maiores para o com partículas menores. 

Assim determinou-se a fração de cheios do agregado mais grosso (AM1) 

dividindo sua massa unitária no estado compactado seco (1,66 kg/dm 3 ) por sua 

massa específica (2,63 kg/dm 3 ), em seguida encontrou-se a fração de vazios 

subtraindo de 1 a fração de cheios. Com a fração de vazios existente nesse agregado 

determinou-se a quantidade de agregado mais fino (AM2) necessária para ocupar 

esses vazios, multiplicando a fração de vazios de AM1 pela massa unitária no estado 

compactado seco de AM2 (1,59 kg/dm 3 ). Determinando a proporção de cada areia 

obteve-se 74 % de AM1 e 26 % de AM2 que resultou uma massa unitária no estado 

compactado seco de 1,689 kg/dm 3 . 



57 


O modelo 3 é o modelo de Alfred, descrito por Oliveira et al (2000), que 

consiste em estabelecer uma porcentagem acumulada de partículas (CPFT) menores 

que um determinado diâmetro D P (diâmetro da partícula), de acordo com a Equação 1. 

CPFT 

⎛ q q 

D D ⎞ 

⎜ P − S 

= ⎟ ⋅100 

(1) 

⎜ q q 

DL 

D ⎟ 

⎝ − S ⎠ 

Onde: D L = diâmetro da maior partícula; 

D S = Diâmetro da menor partícula; 

q = módulo ou coeficiente de distribuição, que de acordo com Funk e Dinger 

(1993) apud Oliveira et al (2000) assume o valor de 0,37 para os casos de máxima 

densidade de empacotamento. 

Neste modelo foi determinada uma distribuição granulométrica utilizando a 

equação proposta por Alfred com os diâmetros das partículas correspondentes aos 

diâmetros com quantidade mais significativas no estudo da granulometria dos 

agregados selecionados, de forma a obter uma curva granulométrica possível de ser 

montada utilizando os agregados selecionados, e compatível com os outros modelos 

do estudo de empacotamento dos agregados. Portanto utilizou-se D L = 0,6 mm, D S = 

0,037 mm e q = 0,37 para determinar a distribuição granulométrica teórica. 

Após a determinação da distribuição granulométrica do modelo 3 foram 

separadas as partículas de acordo com o diâmetro das peneiras e em seguida 

misturadas nas devidas proporções para se obter o agregado com a distribuição 

granulométrica calculada, em seguida foi realizado o ensaio para determinação da 

massa unitária no estado compactado seco que resultou em 1,724 kg/dm 3 . 

2.2.4 Comparação dos modelos 

Visando melhor comparar os três modelos de empacotamento de agregados 

apresentados foram reunidos os valores da massa unitária no estado compactado 

seco das areias e das diferentes composições na Figura 2, também foram 

sobrepostas as distribuições granulométricas dos agregados miúdos selecionados 

assim como a distribuição granulométrica do modelo 3 e as curvas granulométricas da 

composição obtida através do modelo 1 (80 % de AM1 e 20 % de AM2), e do modelo 

2 (74% de AM1 e 26 % de AM2). 

O modelo 3 apesar de apresentar a maior massa unitária no estado 

compactado seco é um modelo de aplicação prática inviável, pois para se obter a 

distribuição contínua indicada foi preciso separar as partículas em diferentes 

dimensões para depois juntá-las na proporção adequada o que consumiria um tempo 

inexistente na produção de revestimentos hidráulicos. 

Observando os resultados obtidos nos modelo 1 e 2, pode-se dizer que 

apesar desses modelos poderem alcançar valores semelhantes, eles apresentam 

diferenças significativas no trabalho e no tempo de realização de ensaios. O modelo 1 

poderia atingir o mesmo resultado que o modelo 2 se após a determinação da massa 

unitária das proporções pré-definidas fosse refinada as medições entre as proporções 

que alcançaram melhor resultado. Entretanto o modelo 2, que utiliza cálculos e 

medições práticas, apresentou a melhor composição com um menor número de 

ensaios. Portanto a proporção entre os agregados adotada é de 74 % do agregado 


58 


miúdo mais grosso (AM1) e 26 % do agregado miúdo mais fino (AM2) obtida através 

do modelo 2. 

% Retida Acumulada 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

50% 

40% 

30% 

20% 

10% 

0% 

0,037 

Areia (AM1) 

Areia (AM2) 

Distribuição do Modelo 3 

Composição Modelo 2 (74%AM1+26%AM2) 

Composição Modelo 1 (80%AM1+20%AM2) 

0,075 

0.15 

Abertura das Peneiras (mm) 

NBR 7810:1983 

1,660 kg/dm 3 

1,589 kg/dm 3 

1,724 kg/dm 3 

1,689 kg/dm 3 

1,687 kg/dm 3 

0.3 

0.6 

Figura 2 - Sobreposição da curvas granulométricas. 

2.3 Empacotamento de partículas do traço 

Para melhorar o empacotamento das partículas do traço utilizou-se um 

agregado (AM3) com partículas menores que as partículas que compõe o 

empacotamento dos agregados convencionais, com o intuito de preencher os vazios 

ainda existentes entre as partículas maiores de agregado e aproximar as dimensões 

entre as partículas de agregados e aglomerantes, além de melhorar o acabamento 

superficial dos ladrilhos, fator importante na produção de revestimentos. 

A quantidade aproximada desse agregado foi determinada pelo modelo 3, 

pela inviabilidade em determinar a massa unitária no estado compactado de partículas 

muito finas, estendendo o diâmetro das partículas até 25 μm (abertura da peneira que 

passa a grande maioria das partículas de AM3, 99,3 %) que resultou em um teor 

próximo a 9 %. Como o empacotamento de partículas dos agregados não possui a 

distribuição granulométrica do modelo 3, e consequentemente apresenta uma 

quantidade de vazios maior a ser preenchido, adotou-se um teor de 10 % de AM3 

dividindo os 90 % restantes de acordo com a proporção indicado no empacotamento 

das partículas dos agregados (74 % de AM1 e 26 % de AM2). Portanto o novo 

empacotamento de partículas é composto de 67 % de AM1, 23 % de AM2 e 10 % de 

AM3. 

Para verificar a eficiência do novo empacotamento, compôs-se dois traços 

semelhantes de argamassa, comparando o empacotamento de partículas dos 

agregados com o empacotamento de partículas do traço, assim o traço em que foi 

empregado AM3 apresentou aproximadamente 10 % de resistência a compressão 

axial simples a mais que o traço em que foi somente utilizado as areias AM1 e AM2, 

comprovando o preenchimento dos vazios e o refinamento dos poros da argamassa. 



59 

2.4 Traço da argamassa 

Ponderando os fatores de custo, calor de hidratação, e refinamento da 

porosidade, e tentando preencher os vazios existentes entre as partículas de 

agregados com partículas de cimento, fixou-se o traço em massa em 1:2, com 

incorporação das adições feita em substituição volumétrica com o intuito de manter o 

volume final da mistura. 

O teor de sílica ativa adotado foi 10 % em substituição volumétrica ao 

cimento, pois segundo Melo (2000) um teor de sílica ativa de aproximadamente 10 % 

é capaz de contribuir de modo eficiente para o ganho de resistência e o refinamento 

da porosidade, e teores de sílica acima de 10 % apesar de indicarem um significativo 

ganho de resistência nas primeiras idades, alcançam as mesmas resistências que 

menores teores de sílica nas idades avançadas. Adotou-se o teor de metacaulinita, 

em substituição volumétrica, de 10 % da massa do cimento, pois segundo Lacerda 

(2005) a sílica ativa e a metacaulinita podem apresentar atuações semelhantes 

quando utilizadas como adição. 

A trabalhabilidade da argamassa está diretamente relacionada à dificuldade 

de lançamento e moldagem das peças de revestimento, uma trabalhabilidade baixa 

pode ocasionar falha na moldagem ou necessitar de uma energia de adensamento 

muito elevada, e uma trabalhabilidade elevada pode prejudicar o refinamento da 

porosidade, pelo aumento da relação água/aglomerante, ou pelo uso antieconômico 

do aditivo superplastificante. Associando-se o parâmetro trabalhabilidade ao 

parâmetro consistência, foi determinada uma consistência (250 ± 20 mm) medida em 

ensaio de consistência em mesa cadente apresentado na Figura 3, como forma de 

resolver a problemática, possibilitando boas condições de lançamento e moldagem 

dos elementos de revestimento, levando em conta a relação água/aglomerante e o 

teor de aditivo superplastificante. 

Figura 3 - Medida de consistência de argamassa em mesa cadente. 

A ordem de mistura dos materiais para execução da argamassa está 

diretamente relacionada com a reologia da mistura e com a atuação dos 

componentes, assim foram testadas três diferentes ordens de mistura, e a que refletiu 

um melhor desempenho da mistura foi a que se misturaram inicialmente os 

aglomerantes e a água, em seguida foi acrescentado o aditivo em duas partes e por 

fim foram inseridos os agregados. 


60 


Após a seleção de todos os materiais e determinação do traço das 

argamassas verificou-se a compatibilidade do aditivo superplastificante com o 

pigmento, não se constatando qualquer incompatibilidade entre esses materiais. 

2.5 Caracterização da argamassa 

A caracterização das argamassas é importante para conhecer as 

características do material que irá constituir os ladrilhos hidráulicos, além de 

possibilitar a relação dos resultados da avaliação das argamassas com a avaliação 

dos revestimentos. 

2.5.1 Moldagem, preparo e cura de corpos-de-prova cilíndricos 

Foram moldados corpos-de-prova cilíndricos de argamassa com diâmetro de 

50 mm e altura de 100 mm de acordo com a NBR 7215:1991. A cura dos corpos-deprova 

se iniciou logo após a moldagem, isolando a superfície exposta dos corpos-deprova 

com filme plástico para impedir a perda de umidade da argamassa, pois uma 

parte significativa do processo de hidratação do cimento ocorre antes da mistura estar 

pronto para o desmolde. Os corpos-de-prova foram desmoldados 15 horas após a 

moldagem e permaneceram na cura por imersão até as datas de ensaio. 

O preparo dos corpos-de-prova para ensaios de compressão axial simples e 

determinação do módulo de elasticidade foi realizado retificando suas superfícies 

(topo e base) de acordo com a NBR 5738:1994, por meio de um faceador de corposde-prova 

com disco diamantado mostrado na Figura 4, com o intuito de promover a 

regularização das superfícies que terão contato com os pratos da prensa servohidráulica. 

Figura 4 - Faceador para corpos-de-prova com detalhe do disco. 

2.5.2 Resistência à compressão axial simples 

O ensaio de compressão axial simples em corpos-de-prova cilíndricos de 

argamassa foi realizado de acordo com a NBR 5739:1994, com velocidade de 

carregamento constante e igual a 0,6 MPa/s. Na Figura 5 mostra-se um corpo-de- 



61 

prova de argamassa sendo solicitado à compressão axial simples. Foi possível 

comprovar a validade dos ensaios de compressão axial simples através da ocorrência 

de ruptura cônica dos corpos-de-prova, apresentada na Figura 5, que representa a 

correta distribuição de tensões durante as solicitações. 

Figura 5 - Corpo-de-prova solicitado à compressão axial simples com ruptura cônica. 

2.5.3 Resistência à tração na compressão diametral 

O ensaio de tração na compressão simples diametral em corpos-de-prova 

cilíndricos de argamassa foi realizado de acordo com a NBR 7222:1994, com 

velocidade de carregamento constante e igual a 0,06 MPa/s. Exemplifica-se na Figura 

6 um corpo-de-prova de argamassa sendo solicitado à compressão simples diametral. 

Utilizou-se um aparato para manter o corpo-de-prova corretamente posicionado 

durante o ensaio. Foi possível comprovar a validade dos ensaios de compressão 

simples diametral através da ocorrência de ruptura colunar central dos corpos-deprova, 

demonstrada na Figura 6. 

Figura 6 - Corpo-de-prova solicitado à compressão diametral com ruptura colunar. 


62 


2.5.4 Módulo de elasticidade 

O módulo de elasticidade foi determinado seguindo recomendações da NBR 

8522:1984, solicitando os corpos-de-prova à compressão axial simples com 

velocidade de carregamento de 0,6 MPa/s até 80 % da carga de ruptura, e realizandose 

medições de deslocamento a cada 5 segundos através de extensômetros elétricos 

de base removível, posicionados em lados opostos do corpo-de-prova. Na Figura 7 é 

mostrado a realização do ensaio em um corpo-de-prova. 

Figura 7 - Ensaio para determinação do módulo de elasticidade. 

2.5.5 Resultados 

Para melhor apresentar as características de cada mistura estudada elaborouse 

a Tabela 1 onde são apresentados os materiais selecionados, o consumo de 

materiais por metro cúbico, as características da argamassa fresca, e os resultados 

dos ensaios mecânicos realizados nas idades de 3, 7, 28, 63 e 91 dias. 

Os resultados apresentados na Tabela 1 indicam alta resistência mecânica da 

argamassa logo nas primeiras idades, os valores de resistência à compressão simples 

e do módulo de elasticidade são valores dificilmente alcançados na produção de 

argamassa, estando compatível com a produção de ladrilhos hidráulicos de alto 

desempenho. 



63 

Tabela 1 - Características das misturas estudadas e resultados dos ensaios. 

Mistura Clara Escura 

Cimento CPB 40 Estrutural CP V ARI RS 

Materiais 

Adição Metacaulinita Sílica Ativa 

Aditivo Superplastificante Éster policarboxílico Éster policarboxílico 

1:m 1:2 1:2 

Traço 

Teor de adição (%) 10 10 

Relação a/a 0,30 0,30 

Teor de aditivo (%) 2,3 1,6 

Consistência em mesa cadente (mm) 250 ± 20 250 ± 20 

Massa específica (kg/m 3 ) 2255 2275 

Cimento 648,78 652,11 

Adição 54,41 44,46 

Consumo de 

Água 210,96 208,97 

materiais por m 3 

Aditivo 16,17 11,15 

(kg) 

AM1 (67%) 957,72 964,08 

Areia AM2 (23%) 328,77 330,95 

AM3 (10%) 142,94 143,89 

3 dias 60,2 79,8 

Resistência à 

7dias 74,1 98,8 

compressão 

28 dias 91,5 127,4 

axial simples 

(MPa) 

63 dias 96,6 141,0 

91 dias 97,2 142,9 

3 dias 3,1 3,5 

Resistência à 

7dias 3,2 3,9 

tração por 

28 dias 3,4 4,0 

compressão 

diametral (MPa) 

63 dias 3,5 4,0 

91 dias 3,5 4,0 

3 dias 27,4 31,9 

Módulo de 

7 dias 33,3 37,2 

elasticidade 

28 dias 34,8 42,2 

(GPa) 

63 dias 35,1 44,0 

91 dias 36,9 45,4 

3 PRODUÇÃO E AVALIAÇÃO DOS REVESTIMENTOS HIDRÁULICOS 

3.1 Produção dos ladrilhos hidráulicos 

Para definir o material da fôrma foram produzidos elementos hidráulicos, com 

fôrmas de diferentes materiais, tal que possibilitasse uma superfície lisa e brilhante. A 

Figura 8 mostra o bom acabamento superficial do elemento hidráulico produzido, sem 

qualquer tratamento da superfície após a desforma. 


64 


Figura 8 - Acabamento superficial obtido no elemento hidráulico. 

A utilização de uma fôrma com base metálica possibilita uma rigidez 

adequada para moldagem, além de suportar um grande número de ciclos de 

moldagem. Na Figura 9 apresenta-se a fôrma revestida com o material 

selecionado.Tomou-se o cuidado de se iniciar a cura logo após a moldagem, com a 

utilização de um filme plástico mostrado também na Figura 9. Após a desforma, a cura 

foi prosseguida por imersão em água, até as datas de ensaios. 

Figura 9 - Fôrma, moldagem e cura dos ladrilhos hidráulico. 

3.2 Avaliação dos ladrilhos hidráulicos 

A avaliação dos revestimentos produzidos com as argamassas (clara e 

escura) visou estabelecer as características dos revestimentos hidráulicos, da 

desmoldagem à situações de utilização. 

3.2.1 Variação dimensional 

Os ensaios dimensional e visual consistiram em verificar se as peças 

coincidem com os moldes, se a qualidade da superfície aparente foi alcançada 

uniformemente e mantida durante a cura, e se as dimensões das peças variaram no 



65 

intervalo de tempo entre a desmoldagem e o fim da cura. Foram utilizadas peças de 

20 x 20 cm e 10 mm de espessura, as medições foram realizadas em torre eletrônica 

de medição com resolução de 5 x 10-6 m sobre base plana, e a análise visual foi 

realizada em peças saturadas superfície seca, após desmoldagem e nas idades de 3 

e 28 dias. 

3.2.2 Resistência à flexão 

O ensaio de flexão em ladrilhos hidráulicos foi realizado em prensa servoelétrica 

até a ruptura, seguindo recomendações da NBR 13818:1997, solicitando as 

placas à flexão por três apoios com velocidade de carregamento controlada e igual a 

1,0 MPa/s. 

As placas utilizadas nos ensaios de flexão foram moldadas em fôrmas 

retangulares de 20 x 100 cm e 10 mm de espessura, em seguida cortadas nas 

dimensões de 20 x 45 cm. Na Figura 10 apresenta-se, o detalhe de uma placa de 

ladrilho hidráulico submetida à flexão com comprimento entre apoios de 40 cm, e a 

ruptura da placa no terço central permitindo a validação dos ensaios representando a 

correta solicitação da placa. 

Figura 10 - Ladrilho hidráulico solicitado à flexão com ruptura no terço central. 

Os apoios são barras cilíndricas com 38 mm de diâmetro com graus de 

liberdade que permitem a flexão das placas sem a solicitação em outras direções, 

foram também utilizadas borrachas entre os apoios e as placas para possibilitar uma 

melhor transferência de carga, distribuindo-as uniformemente. 

A carga de ruptura e o módulo de resistência à flexão foram calculados 

utilizando a força de ruptura obtida no ensaio, as disposições das peças e as 

Equações 2 e 3. 

CR 

F ⋅ L 

= (2) 

b 

Onde: CR = carga de ruptura (N); 

F = força de ruptura (N); 

L = distância entre as barras de apoio (mm); 

B = largura da placa ao longo da ruptura (mm). 


66 


MRF 

3 ⋅ F ⋅ L 

= (3) 

2 ⋅ b ⋅ 

2 

e min 

Onde: MRF = módulo de resistência a flexão (MPa); 

e min = espessura mínima da placa (mm). 

A carga de ruptura está relacionada com as dimensões da placa, enquanto o 

módulo de resistência a flexão está ligado ao material que constitui o revestimento. 

3.2.3 Desgaste por abrasão 

Para avaliar a resistência ao desgaste por abrasão dos ladrilhos hidráulicos 

utilizou-se a NBR 12042:1992, peças com dimensões de 7 x 7 cm foram cortadas a 

partir de peças de 20 x 20 cm com 25 mm de espessura. Após as medidas de 

espessura, dois corpos-de-prova foram colocados em uma máquina Amsler, onde 

ficaram dispostos diametralmente opostos, sob carga de 66 N em um disco de ferro 

fundido com 2 m de perímetro, alimentado com areia normal com vazão de 72 

cm 3 /min e posto a girar com 30 rpm, enquanto os corpos-de-prova rotacionam a 0,6 

rpm em torno de seu próprio eixo perpendicular a superfície de contato. O desgaste 

foi indicado pela média da redução da espessura, em milímetros, dos corpos-de-prova 

após um percurso equivalente a 1000 m. A Figura 11 apresenta a disposição dos 

corpos-de-prova sobre o disco metálico durante o ensaio, além de detalhar um corpode-prova 

sendo solicitado à abrasão. 

Figura 11 - Ensaio de abrasão em máquina Amsler com detalhe do corpo-de-prova. 

3.2.4 Absorção de água 

O ensaio para determinação da absorção de água dos ladrilhos hidráulicos foi 

realizado seguindo recomendações da NBR 9778:1987 e da NBR 13818:1997. Foram 

utilizadas peças com dimensões de 20 x 20 x 1 cm, imersas verticalmente com o nível 

de água de aproximadamente 5 cm acima delas. Na data do ensaio as peças foram 

retiradas da cura e após secagem de superfície com toalha absorvente foi 

determinada a massa saturada com superfície seca de cada peça em balança com 

resolução de 0,01 % da massa da peça, em seguida as peças foram encaminhas para 

a estufa e mantidas por 24 horas a temperatura de 60 ± 5 ºC onde atingiram 

constância de massa em pesagens com intervalo de 4 horas, então as peças foram 

retiradas da estufa e após equilíbrio térmico (25 ± 5 ºC) foi determinada a massa seca 



67 

de cada peça. O teor de absorção de água é porcentagem da diferença entre a peça 

saturada e a peça seca em relação à peça seca. 

3.2.5 Retração por secagem 

O ensaio de retração por secagem foi realizado conjuntamente com o ensaio 

de absorção de água medindo as peças de revestimentos hidráulicos saturadas com 

superfície seca, nas duas direções com dimensões de 20 cm. O equipamento utilizado 

para medição foi uma torre eletrônica de medição com resolução de 5 x 10 -6 m sobre 

base plana, onde as peças de ladrilhos hidráulicos foram apoiadas e medidas como 

se pode ver na Figura 12. 

Figura 12 - Medida de ladrilhos hidráulicos em torre eletrônica de medição. 

Utilizando diferentes peças para cada data de ensaio, as peças foram 

medidas antes e após a secagem, tomando o cuidado de aquecer as peças somente 

até 60º C, que simula a temperatura alcançada por esses revestimentos expostos à 

insolação, determinou-se a retração por secagem calculando a porcentagem de 

retração dos revestimentos pela diferença da peça seca com a saturada em relação à 

peça saturada. 

3.2.6 Resistência ao ataque químico 

O ensaio de ataque químico simula a ação de produtos químicos que 

normalmente entram em contato com esses revestimentos. Os reagentes utilizados 

foram o cloreto de amônia e o hipoclorito de sódio com aproximadamente 10 % de 

cloro ativo, indicados pela NBR 13818:1997. A solução que simula a ação de produtos 

químicos domésticos é composta de 100 g/l de cloreto de amônia, e a que simula a 

ação química de produtos para tratamento de água de piscina é composta de 20 mg/l 

de hipoclorito de sódio. 


68 


O ensaio consiste em submeter os revestimentos à ação dos reagentes e 

analisar, através de avaliação visual a olho nu, qualquer alteração na superfície das 

peças. Na data dos ensaios as peças foram imersas verticalmente nas soluções 

definidas, onde permaneceram por 12 dias a uma profundidade de 25 ± 2 mm, a 

temperatura de 25 ± 5 ºC. As análises visuais foram realizadas antes da imersão e 

após a retirada das peças das soluções, mediante lavagem e secagem a temperatura 

e umidade ambiente. 

3.2.7 Resultados 

Para melhor apresentar as características dos revestimentos produzidos com 

cada mistura elaborou-se a Tabela 2, onde são apresentados os materiais utilizados e 

os resultados dos ensaios realizados nas idades de 3 e 28 dias. 

Analisando os resultados dos ensaios de avaliação dos revestimentos 

desenvolvidos e comparando com alguns limites estabelecido pela NBR 9457:1986, 

como 8 % de absorção de água e 5 MPa de módulo de resistência a flexão, pode-se 

observar o elevado desempenho dos ladrilhos hidráulicos estudados. 

Tabela 2 - Características e resultados dos ensaios de ladrilhos hidráulicos. 

Revestimento Hidráulico Claro Escuro 

Cimento CPB 40 Estrutural CP V ARI RS 

Adição Metacaulinita Sílica Ativa 

Materiais 

Aditivo Superplastificante Éster policarboxílico 

AM1 (67 %) 

Agregado Miúdo 

AM2 (23 %) 

AM3 (10 %) 

Análise visual 

3 dias inalterada inalterada 

28 dias inalterada inalterada 

Expansão por cura (%) 

Carga de ruptura à flexão (N) 

Módulo de resistência à flexão (MPa) 

Desgaste por abrasão (mm) 

Resistência 

ao ataque 

químico 

Absorção de água (%) 

Retração por secagem (%) 

3 dias 0,022 0,012 

28 dias 0,016 0,008 

3 dias 455 480 

28 dias 520 573 

3 dias 6,83 7,20 

28 dias 7,80 8,60 

3 dias 7,58 4,62 

28 dias 4,64 3,26 

3 dias 3,19 2,79 

28 dias 1,63 1,27 

3 dias 0,064 0,072 

28 dias 0,063 0,048 

Produtos químicos 3 dias alta alta 

domésticos 28 dias alta alta 

Produtos para tratamento 3 dias alta alta 

de água de piscina 28 dias alta alta 



69 

Cabe ressaltar também a possibilidade de produção de uma grande variedade 

de tipos, cores, formas e texturas de revestimentos, para diversas aplicações com 

diferentes necessidades específicas de utilização. A Figura 13 ilustra a variedade de 

cores obtidas utilizando a argamassa escura e clara sem e com pigmentos. 

Figura 13 - Diversidade de ladrilhos hidráulicos moldados com e sem pigmento. 

3.3 Junção de peças 

Na produção atual dos ladrilhos hidráulicos, para se obter ladrilhos com 

figuras, as argamassas com diferentes pigmentos são misturadas ainda frescas com 

auxílio de moldes metálicos, isso torna a produção artesanal, pois as peças devem 

ser feitas uma a uma, exigindo profissionais ultra qualificados e tornando lenta a 

produção, que reflete no custo final do produto. 

Uma alternativa para acelerar o processo produtivo desses revestimentos 

decorados, seria utilizar peças em forma de desenhos ou figuras, previamente 

moldados com argamassa. A união de argamassas de diferentes idades poderia 

minimizar o trabalho e possibilitar maiores alternativas na produção de peças com 

figuras decorativas, além de propiciar a obtenção de efeitos inovadores. 

Esse processo de junção de peças de diferentes idades é facilitado pela 

utilização de adições aglomerantes, como é o caso da sílica ativa Fe-Si e da 

metacaulinita, e o conseqüente tratamento da zona de interface possibilitado pelo 

efeito micro-filer e pela reação pozolânica. Fagury (2002) demonstrou que a utilização 

de a sílica ativa Fe-Si possibilita o tratamento da zona de interface permitindo que a 

ligação de um concreto de alto desempenho (novo) com um concreto convencional 

(velho), seja mais resistente que o próprio concreto convencional. 

Para verificar a possibilidade de junção de peças produzidas com a 

argamassa desenvolvida nessa pesquisa, inicialmente moldaram-se elementos 

hidráulicos em fôrma plástica com a argamassa clara e diferentes pigmentos, em 

seguida os elementos foram cortados com serra policorte com disco rotativo 

diamantado, e posicionados na fôrma ocupando metade do espaço, por fim a metade 


70 


vazia das fôrmas foi preenchida com argamassa composta com outros pigmentos 

para facilitar a análise da interface. 

Após moldagem e cura, as peças foram desmoldadas, quando foi possível 

comprovar a possibilidade da junção dos elementos hidráulicos de diferentes idades, 

pois a interface entre a peça velha e a nova apresentou-se regular e contínua sem 

qualquer irregularidade ou falha de moldagem. A Figura 14 apresenta os elementos 

após a junção, demonstrando a boa qualidade da interface de união. 

Figura 14 - Elementos hidráulicos após junção de argamassas em diferentes idades. 

Portanto, peças de argamassa em forma de desenhos ou figuras, podem ser 

utilizadas na produção de ladrilhos decorados, unindo argamassas de diferentes 

idades para se obter desenhos ou efeitos, dispondo as peças de figuras na fôrma final 

para em seguida moldar o elemento em sua dimensão final. 

3.4 Restauração dos revestimentos 

Os ladrilhos hidráulicos são revestimentos moldados a frio que possuem toda 

a espessura, ou parte dela, composta pelo mesmo material (argamassa), diferente da 

maioria dos revestimentos cerâmicos que apresentam somente uma película 

esmaltada na superfície aparente. Essa característica possibilita que esses 

revestimentos hidráulicos sejam recuperados após o desgaste da superfície aparente. 

Com o intuito de confirmar a possibilidade de recuperação da superfície 

aparente dos ladrilhos hidráulicos, submeteram-se ladrilhos de 20 x 20 cm e 10 mm 

de espessura, ao processo de polimento semelhante ao utilizado em rochas 

ornamentais. Esse processo consiste em lixar, utilizando lixadeira elétrica, a superfície 

do revestimento como uma seqüência de lixas, partindo de uma lixa grossa até 

alcançar a lixa fina utilizada no polimento. 

A Figura 15 mostra os ladrilhos hidráulicos, produzidos com argamassa clara 

e escura, após recuperação de superfície pelo processo descrito. Através da análise 

da superfície restaurada do ladrilho é possível dizer que a vida útil desses 

revestimentos pode ser prolongada, utilizando um processo de polimento já difundido 



71 

no mercado. Processos semelhantes ao descrito são utilizados em pisos de madeira, 

em rochas ornamentais e até mesmo em concretos polidos. Portanto, quando os 

revestimentos hidráulicos chegam ao fim de sua vida útil, após um grande tempo de 

utilização, eles podem ser recuperados sem qualquer perda de suas características 

ornamentais e mecânicas, pois as características da argamassa são semelhantes em 

toda a espessura do revestimento. 

Figura 15 - Ladrilhos hidráulicos após restauração de superfície. 

3.5 Custo de materiais 

Para uma análise inicial do custo dos revestimentos desenvolvidos nesse 

estudo, determinou-se o custo dos materiais que compõem os revestimentos 

produzidos com argamassa clara e escura. Primeiramente determinou-se o custo de 

material por metro cúbico de cada argamassa, em seguida considerou-se a espessura 

dos revestimentos igual a 10 mm para o cálculo do custo de material por metro 

quadrado de cada tipo de revestimento. 

Tabela 3 - Custo dos materiais que compõem a mistura clara. 

Custo Consumo Custo 

Venda Preço Consumo 

Material 

Unidade Preço 

/ Kg / m 3 / m 3 / m 2 / m 2 

(R$) (R$) (Kg) (R$) (Kg) (R$) 

CPB 40 Estrutural 25 Kg 18,00 0,70 648,78 454,15 6,488 4,54 

Metacaulinita Branca 20 Kg 12,00 0,60 54,41 32,65 0,544 0,33 

Aditivo Superplastificante 20 Kg 200,00 10,00 16,17 161,70 0,162 1,62 

Areia (AM1) 5 m 3 64,00 0,01 957,72 8,34 9,577 0,08 

Areia (AM2) 5 m 3 70,00 0,01 328,77 3,34 3,288 0,03 

Areia (AM3) 1 Ton 500,00 0,50 142,94 71,47 1,429 0,71 

Custo de material /m 3 de argamassa e /m 2 de revestimento 731,64 7,32 


72 


Nessa análise inicial não foram consideradas as perdas de argamassa, o 

custo de fôrmas, ou qualquer custo produtivo como mão-de-obra, maquinário, infraestrutura 

ou impostos. Outro fator que não foi considerado foi o custo de pigmentos, 

devido a grande variedade de combinações e teores possíveis. Portanto foi 

determinado o custo dos revestimentos caracterizados, produzidos com argamassa 

clara e escura. 

Na Tabela 3 e na Tabela 4 que seguem, estão detalhados os materiais 

utilizados em cada mistura, seus respectivos preços por unidade de venda e por Kg, o 

consumo e custo de cada material por metro cúbico de argamassa e por metro 

quadrado de revestimento, além do custo total de materiais por metro cúbico de 

argamassa e por metro quadrado de revestimento. 

Apesar do custo por metro cúbico de argamassa ser maior que o custo de 

concretos ou argamassa convencionais, ele não representa um custo elevado dos 

revestimentos devido a seu emprego final e a sua espessura reduzida. Também cabe 

ressaltar que apesar do custo da metacaulinita ser inferior ao da sílica ativa Fe-Si, o 

custo da argamassa clara é superior devido ao maior custo do cimento Portland 

branco estrutural e sua maior representatividade no custo final da argamassa. 

Custo Consumo Custo 

Tabela 4 - Custo dos materiais que compõem a mistura escura. 

Venda Preço Consumo 

Material 

Unidade Preço 

/ Kg / m 3 / m 3 / m 2 / m 2 

(R$) (R$) (Kg) (R$) (Kg) (R$) 

CP V ARI RS 40 Kg 12,00 0,30 652,11 195,63 6,521 1,96 

Sílica Ativa de Fe-Si 25 Kg 20,00 0,80 44,46 35,57 0,445 0,36 

Aditivo Superplastificante 20 Kg 200,00 10,00 11,15 111,50 0,112 1,12 

Areia (AM1) 5 m 3 64,00 0,01 964,08 8,39 9,641 0,08 

Areia (AM2) 5 m 3 70,00 0,01 330,95 3,36 3,310 0,03 

Areia (AM3) 1 Ton 500,00 0,50 143,89 71,95 1,439 0,72 

Custo de material /m 3 de argamassa e /m 2 de revestimento 426,40 4,26 

4 CONCLUSÕES 

Com base no desenvolvimento experimental e nos resultados dos ensaios 

realizados conclui-se que o objetivo de produzir revestimentos hidráulicos para pisos e 

paredes, de alto desempenho e alta resistência, a partir da tecnologia utilizada no 

desenvolvimento do concreto de alto desempenho, foi alcançado. 

De maneira mais específica pode-se afirmar que os revestimentos hidráulicos 

produzidos com as argamassas de alto desempenho elaboradas, apresentam elevada 

resistência à compressão, elevado módulo de elasticidade, resistência à abrasão 

compatível, baixíssima absorção de água, alta resistência à ação química, baixa 

retração por secagem, elevada resistência à flexão, e bom acabamento superficial. 



73 


Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São 

Paulo (FAPESP) pelos apoios concedidos. 


ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (1994). NBR 5738 – 

Moldagem e cura de corpos-de-prova de concreto cilíndricos ou prismáticos. Rio 

de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. (1994). NBR 5739 – 

Concreto – Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos. Rio de Janeiro. 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. (1991). NBR 7215 – 

Cimento Portland – Determinação da resistência à compressão. Rio de Janeiro. 


Argamassa e concreto – Determinação da resistência à tração por compressão 

diametral de corpos-de-prova cilíndricos. São Paulo. 


Agregado em estado compactado e seco – Determinação da massa unitária. Rio 

de Janeiro. 


Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensãodeformação. 

São Paulo. 


Ladrilhos hidráulicos – Especificação. Rio de Janeiro. 


Argamassa e concreto endurecidos – Determinação da absorção de água por 

imersão – Índice de vazios e massa específica. Rio de Janeiro. 


Materiais inorgânicos – Determinação do desgaste por abrasão. Rio de Janeiro. 


Placas cerâmicas para revestimento – Especificação e métodos de ensaios. Rio 

de Janeiro. 

BOMFIM, D. A. (2005). Um novo método para dosagem de concretos estruturais 

de cimento Portland. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Ciência e Engenharia de 

Materiais – Universidade Federal de São Carlos. 

CATOIA, T. (2007). Ladrilhos e revestimentos hidráulicos de alto desempenho. 

São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – 



74 


FAGURY, S. C. (2002). Concretos e pastas de elevado desempenho: contribuição 

aos estudos de reparos estruturais e ligações entre concretos novo e velho, com 

tratamento da zona de interface. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – 

Interunidades em Ciências e Engenharia de Materiais, EESC / IQSC / IFSC – 


HELENE, P. R. L.; TERZIAN, P. (1992). Manual de dosagem e controle do 

concreto. São Paulo: Pini, 349p. 

LACERDA, C.S. (2005). Estudo da influência da substituição de cimento Portland 

por metacaulim em concretos. São Paulo. Dissertação (Mestrado) – Escola 

Politécnica, Universidade de São Paulo. 

MEDEIROS, F.; CAPPI, T.; PALHAIS, M. (2003). Ladrilhos hidráulicos: nasce um 

clássico. Revista Casa e Jardim, n. 578. São Paulo: Globo, mar. 2003. 

MELO, A. B. (2000). Influência da cura térmica (vapor) sob pressão atmosférica 

no desenvolvimento da microestrutura dos concretos de cimento Portland. São 

Carlos. Tese (Doutorado) – Interunidades em Ciências e Engenharia de Materiais, 

EESC / IQSC / IFSC – Universidade de São Paulo. 

OLIVEIRA, I. R. et al. (2000). Dispersão e empacotamento de partículas: princípios 

e aplicações em processamento cerâmico. São Paulo: Fazendo Arte Editorial, 

195p. 


ISSN 1809-5860 

PLÁSTICOS RECICLADOS PARA ELEMENTOS 

ESTRUTURAIS 

Ricardo Alves Parente 1 & Libânio Miranda Pinheiro 2 

Resumo 

Apresenta-se uma reunião da literatura existente, enfocando o estado da arte e os 

avanços obtidos no emprego do plástico, reciclado ou não, com função estrutural, na 

construção civil. São discutidos alguns aspectos pertinentes a um projeto de 

Engenharia e, posteriormente, apresentados alguns conceitos e considerações 

específicos a um projeto de estruturas de material plástico. Ao fim deste trabalho, podese 

concluir que o mercado dos elementos estruturais de plástico reciclado é um nicho a 

ser explorado e, como a pesquisa sobre o tema é ainda incipiente, há muito a ser 

estudado, pesquisado e, posteriormente, desenvolvido. Pode-se afirmar que a baixa 

rigidez do plástico reciclado frente aos materiais de construção tradicionais é a sua 

maior deficiência. O seu comportamento viscoelástico, dependente do tempo, e a sua 

sensibilidade à variação de temperatura tornam complexo o dimensionamento com esse 

material, desencorajando o seu emprego pelos projetistas de estruturas. Desde que 

sejam desenvolvidas formas de se contornar essas deficiências, como a adição de 

fibras, o emprego de armaduras de protensão nos elementos estruturais e a aplicação 

de aditivos, o plástico reciclado como elemento estrutural mostra-se não só 

tecnicamente viável, é também bastante promissor. 

Palavras-chave: plásticos reciclados; propriedades; elementos estruturais; projeto. 


É difícil imaginar o mundo moderno sem o uso dos plásticos. Desde a 

descoberta do primeiro plástico sintético, no início do século XX, eles vêm sendo 

aperfeiçoados e aplicados com sucesso, nas mais diversas atividades do ser humano. 

Formados a partir de longas cadeias de macromoléculas, ou polímeros, eles 

possuem propriedades que os tornam atrativos em relação a outros materiais: são 

leves, resilientes (resistem ao impacto sem se deformar definitivamente), indiferentes à 

deterioração por decomposição e por ataque de microorganismos, resistentes à 

corrosão, de fácil processamento e de reduzido custo de manutenção. 

Segundo Nielsen e Landel (1994), a maioria dos plásticos é aplicada em função 

das características mecânicas e do custo. Por essa razão, as propriedades mecânicas 


76 

Ricardo Alves Parente & Libânio Miranda Pinheiro 

são as mais importantes das propriedades físicas e químicas consideradas. 

Projetar elementos de plástico exige, ao menos, um conhecimento elementar do 

comportamento mecânico e de que forma esse comportamento pode variar em função 

de fatores estruturais que podem ser modificados nos polímeros. 

No entanto, essa liberdade possibilitada pelos plásticos é vista como uma 

confusa complexidade (NIELSEN e LANDEL, 1994). É necessária uma avaliação dos 

diversos aspectos que afetam o comportamento estrutural, bem como a reunião e a 

organização do conhecimento existente e o estado da arte. Dessa maneira, algumas 

contribuições deste trabalho são a desmistificação e a divulgação dos elementos 

estruturais de termoplásticos reciclados, junto às comunidades técnica e acadêmica. 

Nas propriedades mecânicas, a dependência do tempo e da temperatura é 

bastante acentuada. Isto se deve à natureza viscoelástica, que implica no 

comportamento dual de um líquido viscoso e de um sólido elástico. Nos sistemas 

viscosos, o trabalho é dissipado sob a forma de calor, enquanto que nos sistemas 

elásticos, é acumulado sob a forma de energia potencial (NIELSEN e LANDEL, 1994). 

É função do engenheiro de estruturas o estudo dos materiais que constituem a 

estrutura a ser projetada, para que haja uma concepção racional e uso otimizado dos 

recursos disponíveis. Em paralelo, com o avanço da ciência dos materiais e com o 

empenho do homem em buscar melhorias, novos materiais foram desenvolvidos. Com 

essa diversidade, a escolha do material tem se tornado, no projeto, um aspecto crítico 

na busca pela solução estrutural mais adequada. 

Este artigo é baseado na dissertação de mestrado de Parente (2006), na qual 

podem ser encontrados maiores detalhes sobre os assuntos aqui tratados. 

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 

Um projeto estrutural exige o conhecimento das propriedades mecânicas para 

definir o comportamento e adequar, com mais precisão, técnicas e métodos de análise 

e de previsão do desempenho do material, sob as ações de projeto. 

Os plásticos se comportam de maneira diferente da madeira, do aço e do 

concreto. Quando se objetiva viabilizar o plástico como material estrutural, é 

importante tratar minuciosa e claramente os fundamentos teóricos que tratam das 

suas propriedades mecânicas e dos seus modelos preditivos. 

2.1 Tipos de comportamento 

A figura 1 ilustra a diferença do diagrama da deformação ao longo do tempo para 

materiais elástico, viscoso e viscoelástico, quando sujeitos a tensão constante. Essa 



77 

tensão é aplicada no tempo t = 0 e mantida constante em um tempo t 1 

(figura 1a). 

Como mostrado na figura 1b, a resposta da deformação de um corpo-de-prova 

elástico tem a mesma forma da tensão aplicada. Na aplicação da força, a deformação 

alcança, instantaneamente, certo valor ε 

0 

e permanece constante. 

Figura 1 - Comparação da deformação para os materiais elástico, viscoso e viscoelástico 

submetidos a uma tensão constante durante o tempo t 1 . Fonte: HADDAD, 1995. 

Para um fluido viscoso (figura 1c), o material flui a uma taxa constante e a 

resposta da deformação é proporcional ao tempo. 

Já para o corpo-de-prova viscoelástico (figura 1d), existe um aumento 

relativamente rápido nas deformações, para pequenos valores de t , imediatamente 

após a aplicação da força. Com o aumento de t , a inclinação da tangente à curva 

diminui e aproxima-se de zero ou de um valor finito, mantida uma tensão constante. 

Com a remoção da força no tempo t 1 

, as deformações recuperar-se-ão das 

maneiras mostradas na figura 1. 

O sólido perfeitamente elástico recuperar-se-á instantaneamente (figura 1b). 

Entretanto, com a remoção da força, o corpo-de-prova viscoelástico recuperará 

rapidamente a sua deformação elástica; no entanto, a parte retardada da resposta 

necessitará de mais tempo para se recuperar (figura 1d). 


78 


Num estado de tensão constante, a deformação de um material viscoelástico 

por fluência pode ser dividida, com referência à figura 2, em três componentes 

(LETHERSICH, 1950 apud HADDAD, 1995): 

Figura 2 - Deformação de um material viscoelástico submetido a uma tensão constante durante 

o tempo t 1 . Fonte: HADDAD, 1995. 

(a) Deformação elástica instantânea ε 

e ( 0 + 

) 

. Essa parcela é atribuída às 

deformações das ligações moleculares, incluindo a deformação das ligações fracas de 

Van de Waals entre as cadeias moleculares. Essa deformação é reversível. 

(b) Deformação elástica retardada ε ( t) 

d 

. A taxa de crescimento dessa parcela 

da deformação diminui rapidamente com o tempo. Também é elástica, mas, depois da 

remoção da força, requer um tempo para uma completa recuperação. É, geralmente, 

chamada de “fluência primária” ou “efeito elástico posterior”. 

(c) Fluidez viscosa ε () t . Esse é um componente irreversível da deformação, 

v 

que pode ou não aumentar linearmente com a aplicação das tensões. Num material 

polimérico, é característico do escorregamento intermolecular. No descarregamento do 

corpo-de-prova viscoelástico no tempo t 1 

, a resposta elástica instantânea ocorre 

rapidamente e a resposta elástica retardada manifesta-se gradualmente, mas a fluidez 

viscosa permanece (WARD, 1983 apud HADDAD, 1995). 

2.2 Propriedades mecânicas 

Uma particularidade dos plásticos é seu caráter viscoelástico: suas propriedades 

mecânicas agregam características dos líquidos viscosos e dos sólidos elásticos. 

Essa natureza explica o seu comportamento complexo – dependente do tempo, 

da temperatura e da taxa de deformação. 

Os fenômenos da fluência e da relaxação das tensões também são verificados 



79 

nos plásticos, como conseqüência da sua natureza viscoelástica. A fluência é a 

denominação dada ao aumento das deformações para um nível de tensões constante. 

O comportamento restaurador dos plásticos, quando descarregado, tem sua 

explicação a partir do mesmo princípio da fluência. Na relaxação, ou seja, admitida 

uma deformação constante ao longo do tempo, as tensões necessárias para mantê-la 

reduzem-se ao longo do tempo (CRAWFORD, 1987). 

Conforme ilustra a figura 3, quando se aplica uma força, ocorre uma primeira 

deformação, instantânea, que representa a parcela elástica (intervalo O–A). Com a 

manutenção das tensões, ocorre o fenômeno da fluência, que aumenta as 

deformações, representando a parcela viscoelástica (intervalo A–B). A restauração 

das deformações, quando se descarrega o material, ocorre de maneira similar. Temse, 

inicialmente, uma parcela de restauração elástica (intervalo B–C) e, ao longo do 

tempo, a restauração viscoelástica (intervalo C–D). 

Figura 3 - Fluência e recuperação de um material plástico. Fonte: CRAWFORD, 1987. 

Assim como para os metais, a fadiga dos plásticos também deve ser 

considerada. O carregamento cíclico pode provocar a degradação do material, 

fazendo-o chegar à ruptura com forças inferiores à de um carregamento estático. A 

fluência pode também levar o material à ruptura, como conseqüência das deformações 

excessivas. Esse fenômeno é conhecido como fadiga estática (CRAWFORD, 1987). 

As propriedades mecânicas supracitadas, no entanto, podem variar em função 

de vários fatores, tanto externos como intrínsecos ao material. A tabela 1 sumariza 

algumas causas e os efeitos no módulo de elasticidade e na dutilidade. 


80 


Tabela 1 - Relações entre a rigidez e a dutilidade. Fonte: CRAWFORD, 1987. 

Causa 

Efeito 

Módulo de Elasticidade 

Dutilidade 

Redução da temperatura ↑ aumenta ↓ diminui 

Aumento da taxa de deformação ↑ aumenta ↓ diminui 

Campo multiaxial de tensões ↑ aumenta ↓ diminui 

Incorporação de plastificante 1 ↓ diminui ↑ aumenta 

Incorporação de material emborrachado ↓ diminui ↑ aumenta 

Incorporação de fibras de vidro ↑ aumenta ↓ diminui 

Incorporação de material particulado ↑ aumenta ↓ diminui 

1- Substância adicionada ao plástico com a função de torná-lo mais flexível. 

3 ESTADO DA ARTE 

O uso dos materiais poliméricos tem se intensificado nas últimas décadas, 

principalmente devido ao avanço da ciência dos materiais, às melhorias agregadas ao 

processamento dos plásticos e ao desenvolvimento dos materiais compósitos. 

Desde 1988, nos Estados Unidos, pesquisas têm sido desenvolvidas com o 

intuito de entender o comportamento do plástico reciclado, para a substituição em 

diversas aplicações na construção civil que, anteriormente, eram exclusivas da 

madeira. 

O progresso obtido reflete-se nas normas da ASTM, nos métodos de ensaios 

desenvolvidos e nos diversos produtos que surgiram: mourões, postes, dormentes de 

ferrovias e estruturas de portos, marinas e pontes (LAMPO e NOSKER, 2001). 

Krishnaswamy et al. (1997), a pedido do Departamento de Recursos Naturais de 

Ohio, nos Estados Unidos, realizaram ensaios em paletes de plástico reciclado (PPR). 

No relatório que descreve desde a concepção da forma do palete, a sua comparação 

com outros materiais, a análise do comportamento mecânico e o estudo de viabilidade 

econômica, Krishnaswamy et al. obtêm as seguintes conclusões: 

• Os PPR’s são uma opção viável e, dependendo da capacidade de carga 

requerida no projeto, podem ser dimensionados para casos particulares; 

• O desempenho dos PPR’s em laboratório e em campo alcança e até excede 

o de paletes de madeira e de aço galvanizado. A integridade estrutural e as 

características de durabilidade são excelentes; 

• Apesar de o custo inicial ser maior que o dos outros materiais, o desempenho 

e a vida útil viabilizam os PPR’s, tornando-os comercialmente aceitáveis. 



81 

Sullivan e Wolfgang (1999) desenvolveram um compósito polimérico a partir de 

plástico reciclado, um componente polimérico emborrachado e um de preenchimento 

contendo mica. 

O material resultante é sugerido para diversos usos na construção: dormentes 

de ferrovias, meio-fios de estacionamentos e estacas em marinas. Ainda, segundo os 

autores, um dos benefícios do uso do plástico é a combinação de baixo peso e 

adequada resistência. As propriedades químicas, elétricas e físicas podem ser 

modificadas de acordo com o critério de utilização dos materiais componentes. 

Pesquisadores da AMIPP, Centro de Materiais Avançados via Processamento de 

Polímeros Imiscíveis, da Universidade Rutgers em New Jersey/EUA, têm conseguido 

sucesso no desenvolvimento e na aplicação de materiais plásticos em estruturas. 

Nosker e Renfree são exemplos da inovação na AMIPP. 

Eles desenvolveram uma blenda, composta por 35% de poliestireno, PS, e 65% 

de polietileno de alta densidade, PEAD, obtendo um material mais resistente que o 

PEAD e mais rígido que o PS. A grande rigidez deve-se à densa estrutura molecular, 

resultado da interconexão do PS com o PEAD (GUTERMAN, 2003). 

A descoberta da blenda, a partir de dois polímeros imiscíveis, ocorreu em 1988, 

havendo pouco reconhecimento da comunidade científica por, aproximadamente, uma 

década. Em 1996, Nosker e Renfree iniciaram a construção de pequenas pontes, com 

o material desenvolvido. Em 1999, construiu-se uma ponte mista, de plástico e aço, no 

Missouri (EUA) e, dois anos depois, uma em New York, de plástico e fibra de vidro. 

Nosker e Renfree (1999a) desenvolveram um dormente para ferrovias a partir de 

um compósito de plástico reciclado. De acordo com esses autores, vários fatores 

limitam o uso dos dormentes tradicionais de madeira: a reduzida vida útil, devido à 

ação de microorganismos e da umidade; a maior rigidez das normas de controle e 

preservação, pois grandes áreas de florestas são necessárias para suprir o mercado 

de dormentes, além do uso de preservativos químicos na madeira. 

O dimensionamento do dormente com plástico reciclado (DCPR) baseou-se nas 

propriedades do tradicional dormente de madeira. Apesar do desempenho 

comprovado empiricamente através dos tempos, foi considerada a possibilidade de 

que as propriedades mecânicas da madeira não fossem otimizadas. Ensaios de flexão 

foram realizados com o DCPR e a resistência última e o módulo de elasticidade foram 

28MPa e 2069MPa, respectivamente. 

Os DCPR’s foram instalados em várias ferrovias, com resultados satisfatórios, 

sem evidências de fraturas, laminação ou quaisquer outros sinais de degradação. 

A empresa Polywood Plastic Lumber, de New Jersey/EUA, está utilizando a 


82 


tecnologia desenvolvida pela AMIPP, na fabricação de dormentes e de outros 

elementos estruturais. A figura 5 mostra os dormentes produzidos. 

Figura 5 - Dormentes de plástico reciclado produzidos pela Polywood Plastic Lumber. 

Além da Polywood, mais duas empresas estão investindo na fabricação de 

dormentes de plástico reciclado: TieTek e U.S. Plastic Lumber, ambas nos EUA. 

A produção das três empresas difere, mas todas partem do polietileno de alta 

densidade reciclado, misturado e não lavado, utilizam um sistema de extrusão e 

realizam uma moldagem sob pressão em moldes fechados, com a finalidade de evitar 

vazios no interior dos dormentes. 

A maioria dos processos utiliza maquinário pesado e são bastante lentos. Após o 

preenchimento dos moldes, eles são levados para uma banheira de resfriamento e, 

posteriormente, são desmoldados hidraulicamente e deixados ao ar livre para o 

resfriamento total. 

A partir do projeto e da fabricação de dormentes de compósito de plástico 

reciclado, Nosker e Renfree (1999b) continuaram a estudar as diversas aplicações 

desse material como substituto da madeira. Compararam-se as propriedades 

mecânicas dos elementos estruturais de plástico com as relativas aos de madeira, e 

observou-se que o módulo de elasticidade do plástico ainda é bastante deficiente. Isso 

é evidenciado quando se comparam os módulos de elasticidade do pinho, cerca de 

8.300MPa a 11.000MPa, com o mais alto valor obtido com o plástico, de 2.000MPa. 

A solução encontrada foi a adição de fibras de vidro dispostas de forma 

aproximadamente orientada, obtendo melhores resultados: aumento máximo de 68% 

na resistência e de até 176% no módulo de elasticidade. 

Albano e Sanchez (1999) estudaram as propriedades mecânicas e térmicas da 

blenda composta por polipropileno (PP) virgem e polietileno de alta densidade (PEAD), 



83 

sendo este último reciclado ou não. 

Verificou-se que, para o módulo de elasticidade, há um pequeno sinergismo 

entre os materiais constituintes. Observou-se, com microscópio eletrônico, que a 

grande quantidade de moléculas interligadas na interface, resultado da adição do 

PEAD, somado ao processo de decomposição do PEAD (ruptura e conseqüentes 

reações de intertravamento), tornam a blenda mais rígida. Os autores mostraram a 

possibilidade do aproveitamento do resíduo plástico, desde que fosse verificada a 

influência da proporção dos plásticos constituintes, nas propriedades térmicas e 

mecânicas. 

Produtos poliolefínicos reciclados com desempenho superior ao dos materiais 

virgens correspondentes foram obtidos por Martins et al. (1999). Utilizando as palavras 

dos autores: “O balanço das reações de reticulação e cisão em cadeias poliolefínicas, 

quando expostas a condições ambientais de radicais livres, pode resultar em boas 

propriedades e novas aplicações”. 

O comportamento mecânico da madeira plástica por eles desenvolvida, 

denominada IMAWOOD (constituída basicamente por polietileno), foi melhorado por 

efeito da radiação gama. Outro produto desenvolvido, o IMACAR (constituído de párachoques 

descartados de carros), revelou alta resistência ao impacto, muito superior à 

do material virgem de composição correspondente. 

Uma explicação para esse comportamento é que a exposição de polímeros às 

radiações ionizantes altera a sua estrutura molecular e as suas propriedades. Ocorre a 

formação de ligações cruzadas entre as cadeias, paralelamente à cisão entre átomos. 

A reticulação provoca um aumento do peso molecular, que geralmente ocasiona 

melhoria das propriedades, enquanto que a cisão de cadeias reduz o seu peso, tendo 

como resultado a deterioração das propriedades. Como o polietileno apresenta 

reticulação após a irradiação, pode-se esperar uma melhoria nas suas propriedades 

mecânicas (MARTINS et al., 1999). 

Após a irradiação ao ar em intensidade crescente de exposição, o IMAWOOD 

apresentou um aumento em torno de 15% na resistência à tração e uma diminuição da 

ordem de 80% no alongamento de ruptura. 

Houve também um aumento crescente no módulo de elasticidade no ensaio de 

compressão, o que indica maior rigidez do plástico reciclado, com o aumento do tempo 

de exposição (MARTINS et al., 1999). 

Carroll et al. (2001) estudaram as propriedades estruturais dos elementos de 

plástico reciclado, com adição de farinha de madeira. Os autores concluíram que o 

material é estruturalmente satisfatório, mas não se deve simplesmente substituir o 

elemento de madeira pelo de plástico, com as mesmas dimensões. 


84 


Eles enfatizam que as estruturas de compósitos plásticos devem ser 

projetadas como tal, e não utilizando parâmetros e conhecimentos teóricos e 

empíricos, válidos para outros materiais. 

Krishnaswamy et al. (2001a) desenvolveram um compósito polimérico e 

projetaram e construíram uma ponte sobre o rio Hudson, em New York/EUA. O 

comprimento total e a largura da ponte são, respectivamente, 9m e 3,35m. 

O projeto consumiu um total de 5.000kg de plástico (polietileno de alta 

densidade) reforçado com fibra de vidro e 2.500kg de aço para as conexões e os 

tirantes utilizados (KRISHNASWAMY, 2001b). A figura 6 mostra a ponte já construída. 

O monitoramento da ponte sob a ação das cargas de projeto é feito 

continuamente, por meio de dez pontos de observação. Utilizando uma referência fixa, 

são medidos os deslocamentos, por meio de uma estação total, com GPS (Sistema de 

Posicionamento Global) (KRISHNASWAMY, 2001b). 

Figura 6 - Ponte sobre o rio Hudson construída com plástico reforçado com fibra de vidro. 

Por meio de teste de carga padronizado pela AASHTO (American Association of 

State Highway and Transportation Officials), em abril de 2001, a uma temperatura de 

13ºC, o maior deslocamento, medido na parte inferior da ponte, foi de 32,5mm, 

denunciando a baixa rigidez do material utilizado, cerca de 20% a 30% da rigidez da 

madeira (KRISHNASWAMY, 2001b). 

De acordo com Krishnaswamy (2001b), os elementos estruturais de plástico 

reciclado reforçado com fibras, como os utilizados na ponte, oferecem uma alternativa 

economicamente viável para pequenos vãos. 

As vantagens são: não é um material biodegradável e não sofre corrosão de 



85 

qualquer espécie. Materiais ensaiados após dez anos de utilização mostraram um 

aumento na rigidez e na resistência. 

Além de ser um material ambientalmente responsável, quando se considera o 

custo em função da sua vida útil, o sistema construtivo torna-se competitivo. 

Em 2002, os pesquisadores da AMIPP, Nosker et al., construíram uma ponte 

inteiramente de plástico – guarda-corpos, vigas e plataforma –, com exceção dos 

pilares, aproveitados da estrutura de madeira anterior. Com 14m de comprimento e 

peso em torno de 14t, estima-se que essa ponte sobre o rio Mullica, em New Jersey, 

construída de material reciclado, tenha consumido 250.000 garrafas plásticas e 

750.000 copos de café (DOWNS, 2002; JACOBSON, 2003; SAWYER, 2003; 

GUTERMAN, 2003; GALIOTO, 2004). As figuras 7 e 8 ilustram a ponte e sua 

construção. 

Figura 7 - Detalhes das vigas I utilizadas na construção da ponte sobre o rio Mullica. 

Figura 8 - Ponte sobre o rio Mullica construída inteiramente de plástico. 


86 


As vigas “I” utilizadas possuem uma seção de 41cm x 43cm (16” x 17”). A 

ponte foi projetada para suportar o peso de caminhão de até 18t. Além do apelo 

ecológico, com a reciclagem dos resíduos plásticos, o material constituinte da ponte é 

resistente à ação da água, à corrosão e ao ataque por microorganismos. 

A pesquisa aplicada ao desenvolvimento de novos materiais pelo grupo de 

pesquisadores da AMIPP e o sucesso por eles alcançado é retratado pelas patentes 

registradas de novos materiais e de novas metodologias de reciclagem de plásticos. 

A primeira delas, nº 5.298.214 de 29/03/1994 (United States Patent), trata do 

processamento de plásticos. Ela discorre sobre o método de obtenção de compósitos 

de poliestireno (PS) e de outras poliolefinas, a partir de plásticos reciclados. 

Em seguida, as patentes nº 5.789.477 de 04/08/1998 e nº 5.916.932 de 

29/06/1999 (United States Patent) registram um material compósito destinado à 

construção civil, obtido a partir de materiais reciclados. O compósito é obtido do 

polietileno de alta densidade reciclado e fibras, como, por exemplo, a fibra de vidro. 

A patente nº 5.951.940 de 14/09/1999 (United States Patent) fornece subsídios 

para o processamento adequado dos plásticos reciclados. De acordo com os 

inventores, todo o esforço tem sido direcionado no sentido de tornar economicamente 

viável o processo de reciclagem do plástico pós-consumo, sem que haja a 

necessidade de uma triagem, ou seja, tornar exeqüível a reciclagem de plásticos 

misturados, poliolefinas ou não, juntamente com as impurezas. 

A construção com elementos de plástico reciclado é uma realidade, 

principalmente nos Estados Unidos e, em menor escala, no Canadá e na Inglaterra. A 

tecnologia desenvolvida nas universidades já ultrapassou a escala experimental de 

laboratório e chegou aos pátios das fábricas, com a produção em grande escala. 

Figura 9 - Marina construída com pilares de plástico reciclado desenvolvido na AMIPP. 



87 

Figura 10 - Deque e píer com elementos de plástico reciclado (Plastic Lumber Yard/EUA). 

As figuras 9 e 10 indicam amostras do que está sendo feito no mundo, 

comercialmente, e indicam um cenário que não deve ser ignorado, a dos elementos 

estruturais de material plástico reciclado. 

Dentre os tipos de processamento, o mais adequado à produção de perfis com 

fins estruturais é a pultrusão. Correia et al. (2005) ensaiaram perfis pultrusados e 

verificaram as mudanças ocorridas nas propriedades físicas, químicas, mecânicas e 

estéticas, quando submetidos à exposição acelerada de umidade, temperatura e 

radiação ultravioleta. O material estudado que compunha os perfis era o poliéster 

reforçado com fibra de vidro (GFRP). A partir dos resultados dos ensaios, concluiu-se 

que a resistência e a deformação na ruptura diminuíram com a umidade, e este efeito 

foi acelerado pelo aumento da temperatura. 

Correia et al. (2005) salientaram que a degradação ocorreu devido a um 

fenômeno físico, como a plastificação da matriz polimérica, não havendo uma 

degradação química passível de ser considerada. Apesar da redução dos valores das 

propriedades mecânicas, observados nos ensaios de durabilidade, a pesquisa 

confirmou que os perfis pultrusados de GFRP apresentaram excelente desempenho 

estrutural, indicando durabilidade maior, em comparação com materiais tradicionais. 

4 O PROJETO DE ESTRUTURAS DE MATERIAL PLÁSTICO 

A proposição de um novo sistema estrutural ou a substituição parcial de 

elementos tradicionais por outros de plástico deve vir seguida do estudo da alteração 

que será necessária na arquitetura, até para definir em quais soluções o plástico pode 

ser aplicado. Talvez um dos fatores mais importantes a se considerar seja o vão que 

pode ser alcançado com essa estrutura. De certa forma, é um problema de natureza 


88 


arquitetônica, e que evidencia a dependência óbvia entre estrutura e arquitetura. 

Além de manter a estabilidade da obra, o novo material deve também atender às 

condições de serviço. No caso dos plásticos, talvez o fator mais limitante seja a 

temperatura. Nos materiais viscoelásticos, à medida que se aumenta a temperatura, 

diminui-se o módulo de elasticidade. Em se tratando de materiais estruturais, a perda 

de rigidez torna-se crítica, pois é indesejável que surjam deformações excessivas, 

causa de desconforto aos usuários e até do colapso da estrutura. 

O uso de materiais combinados ou compósitos poliméricos contorna algumas 

deficiências dos plásticos, como a baixa rigidez e a suscetibilidade à variação de 

temperatura. Esses compósitos, antes aplicados exclusivamente na indústria 

aeronáutica e aeroespacial, passam a ser cada vez mais utilizados na construção civil, 

atendendo aos desafios impostos pela arquitetura cada vez mais arrojada e aos 

requisitos de durabilidade e de alto desempenho. 

O emprego de reforços é um conceito que tem sido extensivamente aplicado 

pelos projetistas, e com os materiais plásticos não é diferente. Desde o uso pelos 

egípcios de fibras naturais como reforço em estruturas de argila, os materiais 

compósitos atendem às demandas por soluções na área da construção. 

Por exemplo, a combinação de aço e concreto, formando concreto armado, tem 

sido a base para inúmeros sistemas estruturais adotados desde o início do século XX. 

Os projetistas, contudo, continuam a utilizar novos materiais, com o intuito de tornar as 

estruturas mais resistentes, maiores, mais duráveis, energeticamente eficientes e 

esteticamente agradáveis (LOPEZ-ANIDO e NAIK, 2000). 

4.1 Propriedades do plástico 

Para uma correta concepção da estrutura, visando o aproveitamento das 

vantagens do material plástico, certas propriedades devem ser observadas, a 

depender do fim a que se destina a estrutura, pois devem ser levadas em 

consideração as peculiaridades desse material, cujo comportamento é bastante 

diferente dos relativos aos metais, à madeira e ao concreto. 

As propriedades mais relevantes em um projeto estrutural são: 

• Resistência à tração, à compressão e à flexão; 

• Módulo de Elasticidade (para diversas temperaturas); 

• Coeficiente de Poisson; 

• Resistência ao impacto e à fadiga; 

• Fluência; 

• Relaxação; 



89 

• Absorção de água; 

• Temperatura de transição vítrea - T 

g 

; 

• Coeficiente de expansão térmica. 

O projetista que deseja dimensionar elementos estruturais deve fazer, durante o 

desenvolvimento do projeto estrutural, as seguintes perguntas: 

• Qual o nível de tensões a que o material será submetido? 

• Qual a solicitação predominante (tração, compressão, flexão, torção)? 

• Qual a vida útil esperada para a estrutura? 

• Será a estrutura submetida ao impacto? 

• Será a estrutura submetida a um carregamento cíclico (fadiga)? 

• Qual é a deformação admissível para a estrutura em questão? 

• Qual a máxima temperatura a que o plástico será submetido? 

• Será o plástico exposto à umidade e a substâncias químicas? 

4.2 Limitações de uma estrutura de material plástico 

A seguir são mostradas algumas das principais limitações do uso do material 

plástico em elementos estruturais. 

a) Inflamabilidade e influência da temperatura 

Para que o material plástico possa ser utilizado com segurança em edificações, 

podem-se utilizar normas específicas que prevejam o cuidado com a inflamabilidade 

das estruturas. 

A adição de produtos químicos retardantes de chama, durante a manufatura dos 

plásticos, é uma forma de se evitar o perigo de incêndio em estruturas com elementos 

de material plástico. 

O dimensionamento de uma estrutura de plástico, em função de sua baixa 

rigidez, deverá ser regido pelo estado limite de serviço, sendo a deformação o fator 

limitante de projeto. 

A perda da rigidez dos plásticos com a diminuição de seu módulo de 

elasticidade, à medida que se aumenta a temperatura, deve ser considerada em 

projeto. 

Por exemplo, um plástico como o poliestireno possui quatro estágios de 

deformação com o aumento da temperatura, como mostra a figura 11. O impacto da 

variação de temperatura sobre os plásticos é, talvez, o maior entrave à sua aplicação 

em estruturas, apesar de fibras reduzirem bastante essa influência. 


90 


Figura 11 - Módulo de elasticidade E versus temperatura. Fonte: PRINGLE e BAKER, 2000. 

b) Estabilidade aos raios ultravioletas (UV) 

Ao ser aplicado em elementos estruturais que, porventura, estarão expostos ao 

sol, deve-se observar a resistência dos plásticos aos efeitos dessa exposição. Isso 

porque a radiação ultravioleta pode tornar o plástico, antes durável e resistente, num 

material que se quebra ou se rompe sob uma força aplicada, e este é um processo 

irreversível (PRINGLE e BAKER, 2000). 

Como a deterioração em função dos raios UV é bastante lenta, são realizados 

ensaios utilizando luz artificial para acelerar o processo, para se medir essa 

estabilidade. Existem, no entanto, produtos químicos chamados de estabilizantes que 

retardam o efeito da radiação, minimizando bastante os efeitos maléficos que podem 

vir a surgir. 

Os plásticos reciclados podem conter estabilizantes UV, mas não é possível ter 

essa certeza, a não ser que sejam realizados ensaios que possam detectar essas 

substâncias, o que não é prático. De qualquer forma, raramente é possível determinar 

a quantidade de estabilizante utilizado e a degradação que o plástico já sofreu. Por 

isso, em algumas aplicações, para se garantir maior vida útil, utiliza-se uma proporção 

de material virgem com o material reciclado (PRINGLE e BAKER, 2000). 

Lynch et al. (2001) verificaram quais foram as mudanças nas propriedades 

mecânicas de elementos estruturais de material plástico reciclado, mais precisamente 

polietileno de alta densidade (PEAD), expostos ao sol e às intempéries por 11 anos. 

Os resultados, contudo, mostram um prognóstico positivo para a utilização de plástico 

reciclado, ao menos para o tipo de plástico estudado, o PEAD. 

Houve um clareamento superficial em função da radiação UV no lado que estava 



91 

exposto ao sol. A radiação ainda provocou uma minúscula degradação da superfície 

do PEAD, da ordem de 0,075mm/ano. No entanto, o clareamento e a minúscula 

degradação superficial não afetaram as propriedades mecânicas do material. 

A figura 12 permite comparar os lados do elemento estrutural, sendo o de cima o 

exposto ao sol, e o de baixo o que não foi submetido a essa exposição. A figura 13 

mostra a estrutura da passarela, da qual foi retirado o material para os ensaios. 

Figura 12 - Clareamento do PEAD como resultado da radiação UV. Fonte: LYNCH et al., 2001. 

Figura 13 - Passarela de onde foi retirado o material para ensaio. Fonte: LYNCH et al., 2001. 

Lynch et al. (2001) concluíram, após verificar um aumento de 3% no módulo de 

elasticidade e na resistência à flexão, que as mudanças climáticas ao longo dos 11 

anos aumentaram o grau de cristalização do plástico, e que essa redução das regiões 

amorfas contribuíram para o aumento da rigidez e da resistência do PEAD reciclado. 

c) Resistência aos solventes 

Em algumas aplicações, deve-se verificar se o plástico será exposto a solventes, 

como, por exemplo, o contato com combustíveis ou outros derivados do petróleo, haja 

vista que isso pode comprometer a sua integridade. 


92 


O mesmo cuidado deve ser dedicado aos plásticos reciclados e, caso 

necessário, o material deve ser processado de forma a melhorar sua resistência frente 

aos solventes (PRINGLE e BAKER, 2000). 

5 CONCLUSÕES 

Ao se introduzir um material estrutural alternativo como o plástico reciclado, 

desmistifica-se para a comunidade científica e para a sociedade o seu potencial e as 

suas vantagens que, dentre as várias, podem-se citar: o forte apelo ecológico, o baixo 

peso específico, a indiferença à deterioração por decomposição e por ataque de 

microorganismos, a alta resistência à corrosão, o fácil processamento e o reduzido 

custo de manutenção. 

A abundância de material plástico reciclado a baixo custo é uma alternativa a ser 

explorada em estruturas, e não deve mais ser desconsiderada. 

A pesquisa sobre o tema no Brasil é incipiente e a escassez de uma bibliografia 

nacional evidencia esse atraso. No entanto, em países como Estados Unidos, Japão e 

Canadá, os avanços na área são notáveis, tornando possível a construção de pontes, 

passarelas, deques, ferrovias e marinas com elementos estruturais de plástico, 

reciclado ou não. 

Com base no que foi abordado neste artigo, pode-se fazer observações 

indicadas nos parágrafos seguintes. 

Os materiais plásticos possuem uma baixa rigidez quando comparados com os 

materiais de construção tradicionais, como a madeira, o aço e o concreto. 

A adição de fibras aumenta substancialmente o módulo de elasticidade. Além 

disso, a adição de fibras pode ser empregada também para atenuar os fenômenos 

dependentes do tempo, como a fluência e a relaxação. 

A baixa rigidez também pode ser compensada com o emprego de armaduras 

protendidas ou com o desenvolvimento de geometrias ótimas, aproveitando a alta 

relação resistência/densidade desses materiais. 

Uma das principais vantagens dos plásticos, quando comparados aos materiais 

tradicionais, é a sua possibilidade de ser moldado nas mais diversas formas, não 

exigindo soldas ou outros processos de conformação, para a obtenção do produto 

final. Enquanto um perfil metálico possui diversas etapas para a sua manufatura, um 

perfil de material plástico pode ser confeccionado numa única etapa. 

A relação resistência/densidade para os materiais plásticos, principalmente os 

compósitos poliméricos, é superior à dos materiais tradicionais. Esse peso reduzido 



93 

permite um melhor aproveitamento da capacidade estrutural do elemento e a 

adoção de um sistema estrutural mais eficiente. 

As características de um plástico podem ser desenvolvidas a partir das 

necessidades de projeto, sendo esta possibilidade uma diferença básica perante os 

materiais tradicionais, que normalmente requerem que os projetos sejam adequados 

às propriedades mecânicas disponíveis comercialmente. 

Os termoplásticos possuem o comportamento dependente da temperatura e da 

taxa de deformação. A temperatura pode ser considerada um fator limitante. 

Nos materiais viscoelásticos, à medida que se aumenta a temperatura, diminui o 

seu módulo de elasticidade. Em se tratando de materiais estruturais, a perda de 

rigidez torna-se crítica, pois é indesejável o surgimento de deformações excessivas, 

causando desconforto aos usuários e até mesmo o colapso da estrutura. 

Antes de se projetar uma estrutura de plástico, deve-se observar com que 

intensidade os elementos estruturais estarão expostos ao calor, fazendo-se o 

dimensionamento para a pior condição possível, ou seja, a maior temperatura. 

A inflamabilidade dos plásticos deve ser considerada. Para que o material 

plástico possa ser utilizado com segurança em edificações, devem ser utilizadas 

normas que prevejam o cuidado com a inflamabilidade dessas estruturas e, até 

mesmo, o emprego de instalações especiais de combate ao incêndio. 

A adição de produtos químicos retardantes de chama é uma forma de se atenuar 

o perigo de incêndio em estruturas com elementos de material plástico. 

Outra solução é a utilização de uma camada protetora, de material isolante. 


À CAPES, pela bolsa de mestrado. 


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ISSN 1809-5860 

ANÁLISE NUMÉRICA DE SEÇÕES TRANSVERSAIS 

E DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE AÇO E 

MISTOS DE AÇO E CONCRETO EM SITUAÇÃO DE 

INCÊNDIO 

Ronaldo Rigobello 1 & Jorge Munaiar Neto 2 

Resumo 

O presente trabalho teve como objetivo principal estudar, em caráter essencialmente 

numérico via ANSYS v9.0, a elevação de temperatura em seções transversais de 

elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto, com vistas a uma avaliação 

das equações propostas pelo método simplificado de cálculo da NBR 14323:1999, em 

especial, para situações em que não ocorra aquecimento uniforme por todos os lados 

do elemento. São apresentados modelos numéricos de seções transversais de elementos 

estruturais de aço, mistos de aço e concreto e, em caráter complementar, de madeira, 

em situação de incêndio, para avaliar a evolução dos níveis de temperatura ao longo 

do tempo. São também construídos e analisados modelos numéricos com vistas à 

análise do efeito da elevação de temperatura no comportamento mecânico em vigas de 

aço de um edifício de interesse. A determinação dos níveis de temperatura em seções 

transversais de elementos estruturais, obtidas com base nas prescrições normativas da 

NBR 14323:1999, conduzem a resultados satisfatórios, porém, com temperaturas 

próximas às temperaturas máximas obtidas numericamente. Para os casos usuais não 

contemplados pela NBR 14323:1999 fica evidente a necessidade do emprego de método 

avançado de cálculo ou de desenvolvimento de ferramentas analíticas para emprego em 

tais situações. Com relação a análise do efeito da elevação de temperatura no 

comportamento mecânico, os fatores de redução de resistência em situação de incêndio 

obtidos via ANSYS resultaram inferiores àqueles obtidos via TCD v5.0, com base na 

análise da seção transversal e procedimento normativo. 

Palavras-chave: incêndio; estruturas de aço; estruturas mistas; análise térmica; 

análise numérica. 


O incêndio sempre constituiu um risco considerável à propriedade e à 

segurança humana. Quando ocorre de forma descontrolada pode ocasionar 

conseqüências devastadoras. 

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ronbello@gmail.com 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jmunaiar@sc.usp.br 


98 

Ronaldo Rigobello & Jorge Munaiar Neto 

Conforme mencionado em SILVA (2001), no passado acreditava-se que o 

incêndio era obra do acaso e a vítima uma infortunada. Hoje, sabe-se que o incêndio 

é uma ação que pode ser evitada, e as vítimas, quer por morte ou por perda do 

patrimônio, surgem por conseqüência de ignorância ou ato criminoso. 

Em WANG (2002) se afirma que, até recentemente, as medidas de combate a 

incêndios em edificações têm seguido procedimentos que evoluíram durante vários 

anos em resposta a desastres ocorridos anteriormente. Com relação às exigências de 

resistência ao fogo de elementos estruturais de aço e mistos em situação de incêndio, 

a maioria dos regulamentos e códigos normativos do mundo todo ainda tem por base 

ensaios de elementos isolados em fornos. 

Atualmente é reconhecido o fato de as prescrições normativas conduzirem, 

em geral, a projetos anti-econômicos e inflexíveis. Por esta razão, no contexto 

internacional, a regulamentação de segurança contra incêndio em edificações tem 

evoluído no sentido de se libertar progressivamente das exigências de caráter 

prescritivo, passando a basear-se mais no desempenho dos elementos construtivos 

expostos a situações de incêndios reais. 

Em uma abordagem baseada no desempenho, vários fatores tais como o tipo 

de incêndio, as conseqüências da exposição ao fogo, condições de carregamento ou 

mesmo a interação entre os vários elementos estruturais são ponderados e a 

temperatura do aço é apenas uma das muitas variáveis envolvidas. Nesta abordagem, 

apesar de consistir de um procedimento mais custoso, é possível obter uma resposta 

da estruturas, quando submetida a elevadas temperaturas, mais representativa 

quando comparada às reais situações de incêndio. 

Os avanços ocorridos no contexto mundial com relação ao entendimento do 

desempenho de estruturas em altas temperaturas e as maiores exigências quanto à 

segurança em situação de incêndio por parte do Corpo de Bombeiros nos grandes 

centros, têm estimulado, no Brasil, estudos relacionados ao tema “segurança contra 

incêndio” com destaque ao desempenho de estruturas em situações de incêndio. 

Nesse texto apresentam-se, de forma sucinta e resumida, os resultados do 

trabalho desenvolvido em REGOBELLO (2007). Tal trabalho, com título homônimo ao 

do presente artigo, apresenta de forma completa os casos de estudo aqui 

mencionados, bem como apresenta os fundamentos da análise térmica de elementos 

estruturais de aço e mistos em situação de incêndio. 

2 ELEVAÇÃO DA TEMPERATURA EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS 

Os modelos que permitem obter a evolução da temperatura dividem-se, 

basicamente, em modelos simplificados de cálculo e modelos avançados de cálculo. 

Os modelos simplificados de cálculo permitem obter a elevação de 

temperatura de modo homogêneo para toda a seção transversal e ao longo do 

comprimento do elemento de interesse, por meio de simples equações analíticas. Os 

modelos avançados de cálculo têm como base métodos numéricos como, por 

exemplo, diferenças finitas e elementos finitos, e permitem obter o campo de 

temperaturas no elemento ao longo do processo de aquecimento. 

2.1 Modelos simplificados de cálculo 

2.1.1 Hipótese de temperatura homogênea na seção 

Para a obtenção da distribuição de temperatura num elemento estrutural em 

situação de incêndio é, geralmente, necessário o emprego de métodos avançados de 


Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e mistos de... 

99 

cálculo (procedimentos numéricos). Entretanto, para os casos comuns de elementos 

de aço e mistos de aço e concreto expostos ao fogo, com ou sem revestimento, 

simples soluções analíticas podem ser obtidas possibilitando o cálculo da evolução de 

temperaturas de forma bastante rápida. 

Em WANG (2002) destaca-se que estas soluções analíticas foram 

desenvolvidas lançando-se mão do “Método da Massa Concentrada”, isto é, toda a 

massa do aço é sujeita a mesma temperatura. A validade desta hipótese depende da 

taxa de transferência de calor intrínseca ao material, isto é, de sua condutividade 

térmica e de sua espessura. 

Nos perfis de aço usuais, a espessura das almas, mesas ou chapas de aço 

constituintes destes perfis, resulta, normalmente, bem menor que o valor necessário 

para a consideração dessa hipótese. Portanto, o “Método da Massa Concentrada” 

pode ser usado e a hipótese de temperatura homogênea na seção resulta coerente e 

representativa. 

2.1.2 Temperatura em elementos não-revestidos 

A equação (1) é adotada pela NBR 14323:1999 para obtenção da elevação de 

temperatura em elementos não-revestidos. 

( u / A) 

Δ θa,t 

= ϕΔt 

(1) 

c ρ 

a 

a 

Na equação (1), Δ θ a, t 

representa a variação da temperatura (em ºC) no 

elemento estrutural de aço durante um intervalo de tempo Δ t (em s), e u/A é o fator 

de massividade para elementos estruturais de aço sem revestimento contra incêndio, 

com unidade em m -1 . 

Com relação aos demais parâmetros da última equação, u é o perímetro 

exposto ao incêndio do elemento estrutural de aço (m), A é a área da seção 

transversal do elemento estrutural (m 2 ), c a é o calor específico do aço (J/kgºC), ρ a é a 

massa específica do aço (kg/m 3 ) e ϕ é o fluxo de calor por unidade de área (W/m 2 ). 

A equação (1) difere basicamente daquela apresentada pelos EUROCODES 

3 (2005) e EUROCODE 4 (2005), no referente à introdução de um fator de correção, 

para o efeito de sombra, representado por k sh . O efeito de sombra é causado pela 

obstrução local à radiação térmica devido ao formato do perfil de aço. Têm influência 

em perfis de formato côncavo, tais como as seções do tipo I. 

Para seções transversais de formato convexo, tais como as seções caixão e 

circulares vazadas completamente envolvidas pelo incêndio, o efeito de sombra não 

tem influência e o fator de correção k sh deve ser tomado igual à unidade. 

Em VILA REAL (2003) afirma-se que a não consideração do efeito de sombra 

na equação (1), isto é, fazer k sh = 1, conduz a resultados conservadores. O uso do 

fator k sh está relacionado ao fato de o EUROCODE 3 recomendar o valor de 0,7 para o 

produto da emissividade do compartimento ε f pela emissividade do material ε m , no 

caso do aço carbono, em contraste com o valor de 0,5 adotado para a emissividade 

resultante ε res adotado pela NBR 14323:1999. 

2.1.3 Temperatura em elementos com revestimento contra fogo 

A equação (2), em que Δ θ a, t 

≥ 0, corresponde àquela mesma adotada pela 

NBR 14323:1999 e pelos EUROCODE 3 (2005) Part 1.2 e EUROCODE 4 (2005) Part 


100 


1.2 para o caso de elemento com revestimento contra fogo. Na equação (2) o termo ξ 

é dado pela equação (3). 

Δθ 

λ 

(u 

/ A) ( θ 

m m g,t a,t ξ /10 

a ,t = 

Δt 

− (e −1) 

t m ca 

ρa 

ξ 

1+ 

− θ 

3 

) 

Δθ 

g,t 

(2) 

c 

m 

ρm 

ξ = t 

m 

(u 

m 

/ A) 

(3) 

c ρ 

a 

a 

Para as equações (2) e (3), u m /A é o fator de massividade para elementos 

estruturais envolvidos por material de revestimento contra incêndio (m -1 ), enquanto u m 

é o perímetro efetivo do material de revestimento contra incêndio, ou seja, igual ao 

perímetro da face interna do material de revestimento contra incêndio mais metade 

dos afastamentos desta face ao perfil de aço (m). Ainda com relação à equação (2), A 

é a área da seção transversal do elemento estrutural (m 2 ), c a é o calor específico do 

aço (J/kgºC), c m é o calor específico do material de revestimento incêndio (J/kgºC), 

enquanto θ a,t é a temperatura do aço no tempo t (ºC) e θ g,t é a temperatura dos gases 

no tempo t (ºC). 

Com relação às demais variáveis de interesse, t m é a espessura do material 

de revestimento contra incêndio (m), λ m é a condutividade térmica do material de 

revestimento contra incêndio (W/mºC), ρ a é a massa específica do aço (kg/m 3 ), ρ m é a 

massa específica do material de revestimento contra incêndio (kg/m 3 ) e Δt é o 

intervalo de tempo compatível (≤ 30 s). 

Vale mencionar que A NBR 14323:1999 atualmente encontra-se em processo 

de revisão, razão pela qual, em substituição a equação (2), o Projeto de Revisão da 

NBR 14323:1999 prescreve a equação (4), proposta em SILVA (1999). Comparações 

entre os resultados obtidos com as equações (2) e (4) poderão ser vistos nos itens 

referentes à apresentação de resultados. 

λ 

m 

( u 

m 

/ A) ( θg,t 

− θa,t) 

Δθg, 

t 

Δ θa,t 

= 

Δt 

− 

(4) 

t c 1 

ξ 4 

m a 

ρa 

+ 

+ 1 

4 ξ 

2.2 Modelos avançados de cálculo 

Os modelos avançados de cálculo, os quais tomam geralmente como base 

métodos numéricos como o método das diferenças finitas e, principalmente, o método 

dos elementos finitos, permitem obter o campo de temperaturas no elemento ao longo 

do processo de aquecimento. 

Existe um grande número de referências que tratam da análise numérica de 

transferência de calor (por exemplo, BATHE (1996)) e vários códigos de cálculo 

(programas para microcomputadores) conhecidos no campo da análise de 

transferência de calor na engenharia de incêndio. Entre os programas de interesse, 

podem ser citados o ADAPTIC, o SUPERTEMPCALC (TCD), o SAFIR e o VULCAN. 

A análise numérica da transferência de calor também pode ser realizada por 

meio de um dos vários pacotes comerciais elaborados com base no método dos 

elementos finitos como o ANSYS, ABAQUS, ADINA ou DIANA, todos conhecidos 

mundialmente. 


Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e mistos de... 101 

Segundo aspectos descritos em WANG (2002), estes programas apresentam 

uma acurácia similar. Portanto, disponibilidade (custo, suporte técnico) e 

amigabilidade (interação usuário/programa, produtividade, etc.) podem ser os 

principais fatores de decisão na aquisição de um destes programas para utilização em 

aplicações termo-estruturais. 

3 VALIDAÇÃO DA ESTRATÉGIA NUMÉRICA PARA OS MODELOS 

CONSTRUÍDOS 

No presente item faz-se a apresentação dos resultados obtidos por meio de 

simulações numéricas realizadas com a utilização do programa ANSYS ® v9.0, 

referentes à evolução de temperatura em seções transversais de aço e mistos de aço 

e concreto, quando submetidos ao incêndio-padrão ISO 834 (ISO 834-1:1999). 

Para fim de validação dos resultados, inicialmente são elaborados modelos 

numéricos cujos resultados são comparados com resultados numéricos de trabalhos 

de outros pesquisadores, bem como comparados com resultados obtidos por meio de 

modelos simplificados de cálculo prescritos na norma brasileira NBR 14323:1999 e 

nos EUROCODES 3 e 4. 

Em caráter complementar, com vistas à calibração dos modelos numéricos, 

apresenta-se um modelo numérico para uma seção transversal de madeira 

Eucalyptus Citriodora cujos resultados numéricos foram confrontados com resultados 

experimentais apresentados em PINTO (2005). Com vista à validação da estratégia 

numérica, são apresentadas diversas comparações de resultados obtidos com os 

códigos ANSYS v9.0 (ANSYS 2004) e TCD v5.0 (ANDERBERG 1997), sendo este 

último voltado para análise térmica de estruturas em situação de incêndio. 

3.1 Elementos finitos utilizados 

Na elaboração dos modelos numéricos aqui apresentados foram utilizados 

dois tipos de elementos finitos: um do tipo plano (PLANE77), para modelar a seção 

transversal da viga de aço e o material de proteção, e outro do tipo superfície 

(SURF151), para aplicar ao modelo as condições de contorno representativas da ação 

térmica referente à convecção e à radiação. 

(a) 

(b) 

Figura 1 - (a) Elemento Finito PLANE77 e (b) Elemento Finito SURF151. 


102 


3.2 Aplicação da ação térmica 

Para aplicação dos efeitos térmicos (convecção e radiação) nos modelos 

numéricos, o elemento SURF 151 (figura 1b) é utilizado com a opção do nó extra. 

Com a aplicação de temperatura diretamente no nó extra é possível simular a 

temperatura dos gases quentes do ambiente em situação de incêndio. 

Assim, para simular os efeitos de convecção no contorno do modelo é 

necessário fornecer o coeficiente de transferência de calor por convecção (α c ). Além 

disso, é necessário definir para o elemento que o cálculo do fluxo de calor devido à 

convecção (ϕ c ) seja dado com base na diferença entre a temperatura dos gases 

quentes do ambiente (θ g ) e a temperatura na superfície do modelo (θ a ), conforme 

equação (5). 

( θ − θ ) 

ϕ c = αc 

g a 

(5) 

Com relação aos efeitos da radiação térmica, para o cálculo do fluxo de calor 

devido à radiação (ϕ r ) é necessário fornecer a emissividade resultante (ε res ) , a 

constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,67x10 -8 W/m 2 K 4 ) e o fator de configuração (Φ). 

Nas aplicações em segurança contra incêndio é assumido que os gases da 

combustão e os elementos estruturais estejam em contato direto, de modo que este 

fenômeno pode ser tratado como o caso de duas superfícies (placas) infinitas. Neste 

caso, o fator de configuração (Φ), por definição, é igual à unidade. 

No caso de se optar por trabalhar com a escala de temperatura em grau 

Celsius, é necessário fornecer ao programa ANSYS a diferença entre o zero da 

escala Celsius e o zero absoluto (escala Kelvin), no caso, igual a 273. Assim, o fluxo 

de calor devido à radiação no contorno passa a ser dado pela equação (6). 

ϕ 

4 

4 

[( θ + 273) − ( θ ) ] 

−8 

r = 5 ,67x10 εres 

g 

a + 273 

(6) 

3.3 Validação da estratégia numérica 

Neste item é apresentada a geometria e a malha de elementos finitos dos 

modelos numéricos analisados, modelos 1, 2 e 3, para fins de validação da estratégia 

numérica. Maiores detalhes sobre a geometria dos perfis dos modelos podem ser 

vistos em REGOBELLO (2007). 

O modelo 1, figura 2a, se refere à seção transversal de uma viga, perfil 180 

UB 16, sem revestimento térmico. O modelo 2, figura 2b, se refere à seção 

transversal de uma viga, perfil 530 UB 82, com revestimento térmico de argamassa 

projetada à base de cimento e vermiculita, com espessura de 20 mm. O modelo 3, 

figura 2c, consiste de seção transversal de uma viga mista de aço e concreto sem 

revestimento. O perfil de aço da viga é VS 650x114 e a laje de concreto têm 

espessura de 10 cm e largura efetiva de 100 cm. 

3.4 Propriedades térmicas dos materiais e condições de contorno 

3.4.1 Propriedades térmicas dos materiais 

Para o aço, as propriedades térmicas empregadas nos modelos estão de acordo com 

aquelas propostas na NBR 14323:1999 e no EUROCODE 3 (2005). As propriedades 

do material de proteção térmica do modelo 2, de acordo com LEWIS (2000) são: 



calor específico (c m ) igual a 1100 J/kgºC, condutividade térmica (λ m ) igual a 0,19 

W/mºC e massa específica (ρ m ) igual a 775 kg/m 3 . 

(a) (b) (c) 

Figura 2 - Geometria dos modelos e malha de elementos finitos: (a) Modelo 1 - Viga de aço 

sem revestimento, (b) Modelo 2 - Viga de aço com revestimento e (c) Modelo 3 - Viga mista de 

aço e concreto sem revestimento. 

Para o concreto da viga mista, modelo 3, foram utilizadas as mesmas 

propriedades apresentadas em SILVA (2002) para fins de comparação de resultados. 

Assim, o calor específico (c c ) foi assumido igual a 1139 J/kgºC e a massa específica 

(ρ c ) igual a 2403 kg/m 3 , bem como a condutividade térmica (λ c ) pela equação (7). 

λ 

[ 20; 

199] 

[ 199; 

899] 

⎧ 1,748 seθ ∈ (ºC) 

⎪ 

−3 

c 

( θ) 

= ⎨1,748 

−1,246x10 

seθ ∈ (ºC) 

(7) 

⎪ 

⎩ 0,876 seθ > 899 (ºC) 

3.4.2 Condições de contorno dos modelos 

Todos os modelos são submetidos à exposição ao incêndio padrão ISO 834. 

Os modelos 1 e 2 sofrem exposição por todos os lados, enquanto que o modelo 3 

sofre exposição em apenas três lados, isto é, a face superior da laje de concreto não é 

exposta ao calor. O valor adotado para o coeficiente de transferência de calor por 

convecção (α c ) foi igual a 25 W/m 2 ºC. A emissividade resultante (ε res ) fornecida ao 

ANSYS para os modelos 1 e 2 foi igual a 0,5. Para o modelo 3 adotou-se ε res = 0,522. 

3.5 Modelo 1 – Viga de aço sem revestimento 

Os resultados da elevação de temperatura média da seção transversal da viga 

de perfil 180 UB 16, quando exposta ao incêndio-padrão por todos os lados podem 

ser vistos na figura 3a. Na mesma figura têm-se os resultados obtidos com o 

programa SAFIR apresentados em LEWIS (2000), para a mesma viga. Nota-se uma 

boa aproximação entre os resultados numéricos fornecidos pelo ANSYS e pelo 

SAFIR. Na figura 3b têm-se os resultados de temperatura média da seção transversal 

obtidos via simulação numérica com o ANSYS, e aqueles obtidos por meio dos 


104 


modelos simplificados de cálculo (equações) apresentados pela NBR 14323:1999 e 

pelo EUROCODE 3 – Part 1-2 (2005). 

1000 

1000 

800 

800 

Temperatura (ºC) . 

600 

400 

200 

, 

SAFIR_media 

ANSYS_media 


600 

400 

200 

, 

ANSYS_media 

NBR14323 

EUROCODE 3 

NBR14323_ca_simp 

0 

0 10 20 30 40 50 60 

Tempo (min) 

0 

0 10 20 30 40 50 60 

Tempo (min) 

(a) 

(b) 

Figura 3 - (a) Curvas de temperatura média versus tempo para o perfil 180 UB 16, via ANSYS 

9.0 e SAFIR e (b) Resultados obtidos via ANSYS (temperatura média da seção transversal) e 

obtidos por meio de modelos simplificados de cálculo. 

Na mesma figura é possível notar que os resultados obtidos com o modelo 

simplificado de cálculo da NBR 14323:1999 são os que melhor se aproximam 

daqueles obtidos via simulação numérica. Os resultados do modelo simplificado do 

EUROCODE 3 se mostram um pouco acima daqueles resultados obtidos via 

simulação numérica, porém, apenas durante os primeiros 15 minutos. 

A NBR 14323:1999 permite o emprego de um valor igual a 600 J/kgºC 

(constante) para o calor específico do aço, c a , no caso do emprego do modelo 

simplificado de cálculo. A curva obtida com o valor simplificado apresentou uma 

diferença máxima de aproximadamente 25 ºC quando comparado àquela obtida via 

simulação numérica, num curto trecho, para aproximadamente 20 min de exposição 

ao incêndio-padrão (ver figura 3b). 

3.6 Modelo 2 – Viga de aço com revestimento contra fogo 

Na figura 4a são apresentados os resultados com relação à elevação de 

temperatura média da seção transversal da viga em questão. Nesta mesma figura, 

têm-se a comparação com os resultados obtidos com o programa SAFIR, 

apresentados em LEWIS (2000). Nota-se, por meio da figura 5a, uma boa 

aproximação entre os resultados dos programas ANSYS e SAFIR. 

Na figura 4b tem-se a comparação entre os resultados obtidos via ANSYS 

com aqueles obtidos por meio de modelos simplificados. O modelo simplificado de 

cálculo proposto pela NBR 14323:1999, para elementos com revestimento contra 

fogo, é idêntico ao proposto pelo EUROCODE 3 – Part 1-2 (2005). Na mesma figura, 

são apresentados os resultados obtidos com a equação proposta no Projeto de 

Revisão da NBR 14323:1999 para elementos com revestimento contra fogo. 

Os resultados dos modelos simplificados apresentaram temperaturas 

superiores àquelas obtidas via simulação numérica durante quase todo o processo. 

Nota-se uma diferença muito pequena entre os resultados obtidos com a equação 

proposta pelo Projeto de Revisão da NBR 14323:1999, apresentada em SILVA 



(1999), em relação à equação prescrita pela NBR 14323:1999 e pelo EUROCODE 3 – 

Part 1-2 (2005). 

600 

600 

500 

500 


400 

300 

200 

100 

SAFIR_media 

ANSYS_media 


400 

300 

200 

100 

ANSYS_media 

NBR14323; EUROCODE 3 

pr_NBR14323 

0 

0 10 20 30 40 50 60 

Tempo (min) 

0 

0 10 20 30 40 50 60 

Tempo (min) 

(a) 

(b) 

Figure 4 - (a) Curva temperatura média versus tempo obtida para o perfil 530 UB 82 com 

revestimento contra fogo e os resultados do programa SAFIR. (b) Resultados obtidos: ANSYS 

e modelos simplificados de cálculo. 

3.7 Modelo 3 – Viga mista de aço e concreto sem revestimento 

Na figura 5a têm-se os resultados de evolução de temperatura para uma viga 

mista de aço e concreto, cuja geometria foi descrita no item 3.3. A evolução de 

temperatura da alma (Alma), da mesa superior (MS) e da mesa inferior (MI), 

corresponde à temperatura obtida para os nós indicados na figura 2c. Na figura 5b, 

apresentam-se os resultados obtidos com o programa PFEM_2D, apresentados em 

SILVA (2002), para a mesma viga mista. Nota-se uma boa aproximação entre os 

resultados obtidos com os programas ANSYS e PFEM_2D. 

Na figura 5b tem-se a comparação entre os resultados obtidos via ANSYS e 

aqueles obtidos por meio de modelos simplificados de cálculo da NBR 14323:1999 e 

pelo EUROCODE 4 – Part 1-2 (2003). 

1000 

1000 

800 

800 


600 

400 

200 

0 

ANSYS_MI 

PFEM_2D_MI 

ANSYS_MS 

PFEM_2D_MS 

ANSYS_Alma 

PFEM_2D_Alma 

0 10 20 30 40 50 60 

Tempo (min) 


600 

400 

200 

0 

ANSYS_MI 

NBR14323_MI 

EUROCODE 4_MI 

ANSYS_MS 

NBR14323_MS 

EUROCODE 4_MS 

ANSYS_Alma 

EUROCODE 4_Alma 

0 10 20 30 40 50 60 

Tempo (min) 

(a) 

(b) 

Figura 5 - (a) Curva temperatura versus tempo obtida para a viga mista sem revestimento 

contra fogo e os resultados do programa PFEM_2D. (b) Resultado obtido via ANSYS e os 

obtidos por meio de modelos simplificados de cálculo. 


106 


Para alma, nota-se uma boa aproximação entre os resultados obtidos via 

ANSYS e aqueles obtidos com os modelos simplificados. Com relação à mesa 

superior, as temperaturas obtidas com os procedimentos normativos simplificados 

resultam superiores àquelas obtidas com simulação numérica via ANSYS. Com 

relação à mesa inferior, as temperaturas obtidas com os procedimentos normativos 

simplificados resultam inferiores àquelas obtidas com simulação numérica via ANSYS, 

em especial o EUROCODE 4, durante a fase inicial do aquecimento (até 25 minutos). 

4 ESTUDO DE CASOS E RESULTADOS OBTIDOS 

Nas tabelas 2 e 3 são descritas e esquematizadas as situações consideradas 

para fins de análise em temperaturas elevadas, para casos normativos e não 

normativos, respectivamente. Nestas tabelas estão indicados o tipo de elemento 

analisado e o esquema de exposição ao fogo a que foi submetido, considerando a 

elevação da temperatura dos gases de acordo com a curva de incêndio-padrão ISO 

834. 

Para cada caso analisado, a elevação de temperatura é obtida considerandose 

quatro perfis do tipo I previamente escolhidos, contemplando, com vistas a fatores 

de massividade, uma faixa entre 50 e 400 m -1 , e cujas características são 

apresentadas na tabela 1. No caso de análise de chapa de aço (caso 2 da tabela 2) 

essa mesma pode ser idealizada com a mesa de um perfil I, e terá dimensões em 

conformidade com aquelas apresentadas na tabela 1. 

Tabela 1 - Perfis adotados para os casos analisados. 

d b 

Perfil 

f t f t w 

(mm) (mm) (mm) (mm) 

u (m) 

A 

(cm 2 ) 

u/A 

(m -1 ) 

intervalo 

W 150x13 148 100 4,9 4,3 0.67 16.6 404 - 

W 250x25,3 257 102 8,4 6,1 0.89 32.6 273 131 

VS 400x78 400 200 19 6,3 1.59 98.8 161 112 

CS 550x502 550 550 45 31,5 3.24 639.9 51 110 

u – perímetro da seção; A – área da seção; u/A – fator de massividade 

Para os modelos numéricos referentes aos casos 1, 2, 3 e 6 (tabela 2), com 

relação às geometrias das lajes de concreto (superpostas aos perfis) e das alvenarias, 

se considera para ambas uma espessura com valor igual a 10 cm e um comprimento 

com valor igual a três vezes a largura das mesas dos perfis. Nos demais casos, 

conforme tabelas 3, a alvenaria tem comprimento igual à largura da mesa do perfil. 

As propriedades térmicas do aço e do concreto e da alvenaria a serem 

consideradas nos modelos numéricos estão de acordo com as informações 

apresentadas em REGOBELLO (2007). Para as alvenarias, as propriedades térmicas 

correspondem àquelas de blocos cerâmicos de tijolo vazado. 



4.1 Considerações sobre as condições de contorno e malha de 

elementos finitos 

Seguindo a estratégia adotada em LEWIS (2000), em todos os modelos a 

emissividade resultante ε res adotada tanto para o aço quanto para o concreto, bem 

como para a alvenaria e para os materiais de proteção, foi igual 0,5, lembrando que a 

NBR 14323:1999 menciona apenas o valor igual a 0,5 para a emissividade resultante 

do aço. 

Tabela 2 - Descrição e esquematização de casos normativos (NBR 14323:1999). 

Denominação Descrição do Caso Esquematização 

CASO 1 

• Seção aberta exposta ao incêndio 

por três lados 

CASO 2 

• Chapa exposta ao incêndio por 

três lados 

CASO 3 

• Mesa de seção I exposta ao 

incêndio por três lados 

CASO 4 

• Seção I com reforço em caixão 

exposta ao incêndio por todos os 

lados 

CASO 5 

• Seção I com proteção tipo caixa, 

de espessura uniforme, exposta 

ao incêndio por todos os lados 

CASO 6 

• Seção I com proteção tipo caixa, 

de espessura uniforme exposta ao 

incêndio por três lados 


108 


O coeficiente de transferência de calor por convecção (α c ) foi tomado igual a 

25 W/m 2 ºC, conforme prescrito pela NBR 14323:1999. A favor da segurança, a face 

da laje não exposta ao fogo foi aqui considerada como parede adiabática, exceto para 

os casos de estudo de 8 a 11, em que a troca de calor entre as superfícies não 

expostas ao incêndio e o meio é considerada por meio de um coeficiente α c igual a 9 

W/m 2 ºC, conforme recomendações prescritas pelo EUROCODE 1 (2002). 

Na discretização dos perfis de aço dos modelos numéricos procurou-se 

manter elementos finitos com tamanho máximo de 7 mm, o que implica numa malha 

suficientemente refinada. Como as lajes e alvenaria são elementos secundários nas 

análises aqui efetuadas procurou-se apenas compatibilizar as malhas na interface 

perfil-alvenaria e perfil-laje, não adotando uma malha tão rigorosa para essas partes 

do modelo, porém, com grau de discretização, apesar de simplificado, suficiente para 

a obtenção dos resultados de interesse do trabalho. 



Tabela 3 - Descrição e esquematização dos casos não normativos (situações usuais). 

Denominação Descrição do Caso Esquematização 

CASO 7 

• Viga I em contato com laje de 

concreto e alvenaria, exposta 

ao 

incêndio pelos dois lados da 

parede de alvenaria 

CASO 8 

• Pilar com mesas em contato 

com paredes de alvenaria, 

exposta ao incêndio pelos dois 

lados da parede de alvenaria 

CASO 9 

• Viga I em contato com laje de 

concreto e alvenaria, exposta 

ao incêndio em apenas um 

lado da parede de alvenaria 

CASO 10 

• Pilar com mesas em contato 


exposta ao incêndio em 

apenas 

um lado da parede de 

alvenaria 

CASO 11 

• Pilar com alma em contato 


exposta ao incêndio em 

apenas 

um lado da parede de 

alvenaria 

São apresentados a seguir os resultados referentes aos casos de estudo 1 

(normativo) e 10 (não-normativo). Maiores detalhes e resultados dos outros casos de 

estudo são apresentados em REGOBELLO (2007). 


110 


4.2 CASO 1 - Seção aberta e exposta ao incêndio por três lados 

A figura 6 ilustra a malha de elementos finitos e o campo de temperaturas 

para um tempo (TRRF) de 60 minutos de exposição ao incêndio-padrão para o caso 

1, considerando um perfil W 150x13 sobreposto por laje de concreto. Na figura 7 

estão apresentados os resultados da elevação de temperatura obtidos via modelo 

numérico e por meio de procedimentos simplificados de cálculo da NBR 14323:1999 e 

do EUROCODE 3 (2005). 

(a) 

(b) 

Figura 6 - (a) Malha de elementos finitos e (b) Campo de temperaturas correspondente a um 

tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil W 150x13. 

Temperatura (ºC) 

1200 

1100 

1000 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

Caso 1 - W 150x13 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 

Tempo (min) 

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp Eurocode 

Média Mínima Máxima 

Figura 7 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 1 considerando-se o 

perfil W 150x13. 



Com relação à norma NBR 14323:1999 será apresentada uma curva referente 

à consideração de um valor simplificado (constante) para o calor específico do aço 

igual a 600 J/(kgºC). 

Nas figuras 8 e 9 têm-se os resultados do estudo do caso 1 referentes ao perfil 

CS 550x502. Os resultados dos demais perfis da análise podem ser vistos em 

REGOBELLO (2007). 

(a) 

(b) 

Figura 8 - Caso 1: a) Malha de elementos finitos e b) Campo de temperaturas correspondente a 

um tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil CS 550x502. 


1200 

1100 

1000 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

Caso 1 - CS 550x502 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 

Tempo (min) 

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp Eurocode 

Média Mínima Máxima 

Figura 9 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 1 considerando-se o 

perfil CS 550x502. 


112 


4.3 CASO 10 - Pilar com mesas em contato com paredes de alvenaria, 

exposta ao incêndio em apenas um lado da parede de alvenaria 

Nesta situação, esquematizadas nas figuras 10 e 12, se considera a alvenaria 

como um caso efetivo de compartimentação, com o incêndio ocorrendo em apenas 

um lado da parede de alvenaria. 

(a) 

(b) 

Figura 10 - Caso 10: (a) Malha de elementos finitos e (b) Campo de temperaturas 

correspondente a um tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil W 150x13. 

Caso 10 - W 150x13 


1200 

1100 

1000 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 

Tempo (min) 

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp Média Mínima Máxima 

Figura 11 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 10 considerando-se 

o perfil W 150x13. 



A consideração da troca de calor com o meio nas superfícies não expostas do 

modelo é feita por meio da adoção de um coeficiente de transferência de calor por 

convecção igual a 9 W/m 2 ºC. 

Com relação ao procedimento simplificado, no cálculo do fator de massividade 

considera-se o perímetro do perfil que não está em contato com a alvenaria ou com a 

laje de concreto, no lado da parede exposta ao fogo, e a área total da seção. Os 

resultados de interesse obtidos para o caso 10 são apresentados nas figuras 11 e 13, 

apenas para os perfis W 150x13 e CS 550x502. Os resultados dos demais perfis 

podem ser vistos em REGOBELLO 2007. 

(a) 

(b) 

Figura 12 - Caso 10: (a) Malha de elementos finitos e (b) Campo de temperaturas 

correspondente a um tempo (TRRF) de 60 minutos para o perfil CS 550x502. 

Caso 10 - CS 550x502 


1200 

1100 

1000 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 

Tempo (min) 

ISO 834 NBR14323 NBR ca_simp Média Mínima Máxima 

Figura 13 - Curvas da evolução da temperatura versus tempo para o caso 10 considerando-se 

o perfil CS 550x502. 


114 


5 EFEITOS DA ELEVAÇÃO DE TEMPERATURA NA RESPOSTA 

ESTRUTURAL 

Em REGOBELLO (2007) apresenta-se uma estratégia de modelagem para 

análises em que são considerados os efeitos da elevação de temperatura na resposta 

de um elemento estrutural de interesse, ou seja, uma análise acoplada termoestrutural. 

Em estruturas em situação de incêndio, realiza-se uma análise acoplada 

quando, a partir de um campo de temperaturas obtido por meio de análise térmica, se 

determina os conseqüentes efeitos da elevação de temperatura na análise estrutural, 

seja de um elemento isolado ou de um sistema estrutural. 

Atualmente é de grande interesse a realização de análises acopladas em 

estruturas submetidas a altas temperaturas, em que se faz possível considerar efeitos 

mecânicos causadas pelas restrições axiais aos deslocamentos e os efeitos dos 

gradientes térmicos na seção, que podem ocasionar o surgimento de forças de 

compressão ou de tração nas vinculações bem como introduzir esforços adicionais de 

flexão. 

Para tanto, são apresentados resultados da análise numérica de vigas de aço 

pertencentes a um edifício (hipotético), com vistas a se obter o valor da resistência 

máxima à flexão de cada viga em função de elevação da temperatura. Como suporte 

para fins de validação, são paralelamente utilizados resultados de análises térmicas e 

de fatores de redução de resistência, obtidos com o TCD v5.0 cedidos por Valdir 

Pignatta e Silva, atualmente professor Doutor da Escola Politécnica da USP. 

6 CONCLUSÕES 

Neste trabalho foi estabelecido como objetivo principal estudar, em caráter 

essencialmente numérico, a elevação de temperatura em seções transversais de 

elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto, com vistas a uma avaliação 

das equações propostas pelo método simplificado de cálculo, para a determinação da 

temperatura, prescritas pela NBR 14323:1999. 

Com base nos resultados obtidos para os casos normativos estudados, 

referentes à tabela 6.2, é possível estabelecer, ainda que em caráter preliminar, os 

seguintes aspectos: 

a-) A determinação dos níveis de temperatura em seções transversais de 

elementos estruturais correntes, obtidas com base nas prescrições normativas da 

NBR 14323:1999, conduzem a resultados satisfatórios, porém, com temperaturas 

próximas às temperaturas máximas obtidas numericamente, principalmente para os 

casos em que a espessura das chapas pode ser entendida como considerável, se 

comparada àquelas espessuras de chapas usualmente empregadas na prática das 

construções correntes; 

b-) A consideração apresentada no item (a) permite estabelecer, apenas 

como sugestão para fins de ajuste dos fatores de massividade, a aplicação de um 

coeficiente de redução para tal parâmetro que seja função da espessura das chapas 

que constituem o perfil, de modo a estabelecer uma maior aproximação entre valores 

normativos e numéricos. Pode-se, eventualmente, ser admitida a possibilidade de que 

valores normativos fiquem situados entre os valores de temperaturas máxima e média 

identificadas nos processamentos; 

c-) No entanto, para os itens (a) e (b), a utilização de um coeficiente de 

redução em função da espessura das chapas deverá ser aplicado ao fator de 

massividade, desde que ocorra uma validação da necessidade deste por meio de 



análise experimental em elementos estruturais ou, eventualmente, em sistemas 

estruturais em incêndio. 

Com base nos resultados obtidos para os casos não-normativos estudados, 

referentes à tabela 6.3, chama-se atenção para os seguintes aspectos: 

a-) Quanto à análise térmica, a determinação dos níveis de temperatura em 

seções transversais de elementos estruturais correntes, obtidas com base nas 

adaptações das prescrições normativas da NBR 14323:1999 adotadas neste trabalho, 

evidenciam a necessidade da aplicação de modelos avançados de cálculo para tais 

situações ou estudos com vistas à obtenção de procedimentos simplificados mais 

adequados para estes casos, em razão de significativas diferenças entre 

temperaturas máximas e mínimas, obtidas numericamente; 

b-) As diferenças significativas entre temperaturas máximas e mínimas nas 

seções transversais para as situações da tabela 6.3, evidenciam a presença de 

gradientes térmicos que devem avaliados cuidadosamente quanto a possibilidade da 

introdução de efeitos nocivos na análise estrutural. Tal aspecto deve ser objeto de 

estudo futuro. 


Agradecemos ao CNPq e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta 

pesquisa não poderia ter sido realizada. 


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ISSN 1809-5860 

SOBRE A FORMULAÇÃO DE UM MODELO DE 

DANO PARA O CONCRETO 

José Julio de Cerqueira Pituba 1 & Sergio Persival Baroncini Proença 2 

Resumo 

Este trabalho trata da formulação de leis constitutivas para meios elásticos, que uma 

vez danificados passam a apresentar diferentes comportamentos em tração e em 

compressão e certo grau de anisotropia. Inicialmente é apresentada a extensão de uma 

formulação para meios elásticos anisótropos e bimodulares que incorpora os casos de 

meios elásticos com anisotropia e bimodularidade induzidas pelo dano. Seguindo os 

conceitos da Mecânica do Dano Contínuo e a extensão mencionada da formulação, 

propõe-se um modelo constitutivo para o concreto assumindo por hipótese 

fundamental, a equivalência de energia entre meio danificado real e meio contínuo 

equivalente. Tal hipótese garante a simetria do tensor constitutivo e a sua consistência 

termodinâmica. De acordo com o modelo proposto, o material é considerado como um 

meio elástico inicialmente isótropo que passa a apresentar anisotropia induzida pela 

evolução do dano. Além disso, a danificação pode também induzir uma resposta 

bimodular no material, isto é, respostas elásticas diferentes para estados de tensão de 

tração ou de compressão predominantes. Nesse sentido, dois tensores de dano 

governando as rigidezes em regimes predominantes de tração ou de compressão são 

introduzidos. Sugere-se então, um critério afim de caracterizar os estados dominantes. 

As deformações permanentes induzidas pelo dano são, de uma forma geral, 

desconsideradas. No entanto, propõe-se uma versão unidimensional do modelo que 

permite a sua consideração. Por outro lado, os critérios para a ativação inicial dos 

processos de danificação e de sua posterior evolução são escritos em termos de 

densidade de energia de deformação. Os parâmetros do modelo podem ser 

identificados mediante experimentos, onde estados de tensão uniaxial e biaxial são 

induzidos. Também propõem-se leis de evolução de dano com base nos resultados 

experimentais. A boa coerência do modelo é ilustrada comparando-se uma série de 

respostas experimentais e numéricas no concreto relativas a estados de tensão uni, bi e 

triaxiais. Por fim, o modelo é empregado em análises unidimensionais e planas de vigas 

e pórtico em concreto armado com o objetivo de mostrar a sua potencialidade. 

Palavras-chave: modelos constitutivos; concreto; mecânica do dano. 

1 Professor do Departamento de Engenharia Civil-CAC/UFG, jjpituba@yahoo.com.br 

2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, persival@sc.usp.br 


118 

José Julio de Cerqueira Pituba & Sergio Persival Baroncini Proença 


Muitos materiais compósitos, reforçados com fibras, apresentam-se 

claramente como meios anisótropos e bimodulares [JONES (1977)]. Já compósitos 

frágeis, como o concreto, pertencem a uma categoria de materiais que podem ser 

considerados inicialmente isótropos e unimodulares, porém, quando danificados 

passam a exibir anisotropia e diferentes rigidezes em tração e em compressão 

[MAZARS et all (1990)]. Dentro do regime de pequenas deformações, a formulação de 

leis constitutivas para materiais com isotropia ou anisotropia elástica que apresentam 

diferentes comportamentos em tração e em compressão é apresentada por CURNIER 

et all (1995), estendendo tais características para os casos bi e tridimensional. A 

proposta dessa formulação consiste em admitir para a modelagem de um material 

hiperelástico bimodular, que a densidade de energia potencial elástica deva ser uma 

vez diferenciável continuamente (em qualquer ponto) porém diferenciável duas vezes 

continuamente apenas por partes. A relação tensão-deformação derivada de tal 

potencial tem continuidade (em qualquer ponto) e apresenta um tensor de elasticidade 

descontínuo em relação a uma hipersuperfície que contém a origem e que divide o 

espaço das deformações em regiões de tração e de compressão; nessas condições 

torna-se possível reproduzir uma resposta bimodular. 

A formulação que se propõe neste trabalho pretende introduzir no 

desenvolvimento de CURNIER et all (1995) as condições que permitam levar em 

conta a danificação. Dessa formulação origina-se um modelo constitutivo para o 

concreto que pode então ser simulado como um meio contínuo inicialmente isótropo 

com anisotropia induzida pelo dano. A classe de anisotropia induzida, adotada no 

modelo, decorre do pressuposto que localmente o concreto solicitado apresenta 

sempre uma distribuição de danificação com orientação bem definida. Essa 

suposição, aliás, está justificada na observação do comportamento do material em 

ensaios experimentais [WILLAM et all (1988), KUPFER et all (1969) e VAN MIER 

(1984)]. Em outras palavras, considera-se que a danificação orientada é responsável 

pela mudança de característica do material, passando de um meio inicialmente 

isótropo para um meio com isotropia transversal. 

Outro aspecto importante da formulação do modelo é o caráter bimodular 

adquirido pelo concreto danificado. Isso é possível pela definição de dois tensores de 

dano, um para estados predominantes de tração e um outro para compressão. 

O texto que segue é composto por cinco seções. Na seção 2, discute-se a 

generalização da formulação de CURNIER et all (1995) para incorporar a danificação 

do material. Na seção 3 apresenta-se a proposta de um modelo de dano onde alguns 

de seus aspectos complementares são abordados. Nas seções 4 e 5 apresentam-se 

alguns resultados numéricos do emprego do modelo proposto. Na última seção são 

apresentadas as conclusões deste trabalho. 



119 

2 PROPOSTA DE FORMULAÇÃO PARA MEIOS ELÁSTICOS 

ANISÓTROPOS COM DANIFICAÇÃO E RESPOSTA BIMODULAR 

Esta proposta de formulação visa estender os modelos de elasticidade linear 

em meios anisótropos bimodulares postulados por CURNIER et all (1995), de modo a 

se levar em conta a danificação nesses meios. Propõe-se que os coeficientes ditos 

volumétricos λ ab e de cisalhamento μ a passem a ser funções de variáveis de 

danificação, sendo assim a lei tensão-deformação passa a sofrer a influência das 

variáveis de dano. Como o critério para a identificação das respostas constitutivas de 

compressão ou de tração, hipersuperfície separadora g(ε,D i ), é função das 

componentes de deformação, este critério é então influenciado pelas variáveis de 

dano. 

Outra observação pertinente é sobre a introdução de variáveis associadas ao 

dano, que podem ser interpretadas como taxas de energia liberadas durante o 

processo de evolução do dano. Tais variáveis podem ser empregadas na definição 

dos critérios que identificam o início e a evolução da danificação e que são 

necessários para a complementação da formulação, conforme será discutido mais 

adiante. 

A expressão para a função de energia, válida para casos gerais de anisotropia, 

é escrita na seguinte forma: 

λab 

(D i,g( 

ε)) 

W(D i,g( 

ε), 

ε) 

= 

tr(A a ε)tr(A b ε) + μ a ( Di 

) tr(A a ε 2 ) (a, b =1, d) (1) 

2 

onde o sub-índice i pode assumir valores de 1 até o número de variáveis escalares de 

dano que os modelos venham a considerar, sendo ainda d = 1 para isotropia 

(envolvendo as duas constantes de Lamè), d = 2 para isotropia transversal (5 

constantes) e d = 3 para ortotropia (9 constantes). Os tensores A a e A b são: (A 1 = I) 

para materiais isótropos, (A 1 = I, A 2 = A) para materiais com isotropia transversal e (A 1 

= I, A 2 = A, A 3 = B) para materiais ortótropos. 

Considere-se neste momento que o material comporta-se inicialmente como 

um meio isótropo com iguais rigidezes em tração e em compressão; com o 

surgimento e a evolução da danificação, o material passa a apresentar um 

comportamento bimodular com anisotropia. Admitindo-se, pois, uma situação genérica 

em que o meio já apresente um certo nível de dano, que gerou um estado de isotropia 

transversal, as relações derivadas do potencial elástico passam a ser dadas pelas 

seguintes relações: 

12( i ε i 

λ11 

W (D i ,g(ε,D i ),ε)= tr 2 (ε)+μ 1 tr(ε 2 λ 

)- 22 ( D i,g( 

ε,Di 

)) 

tr 2 (Aε)- 

2 2 

λ D ,g( ,D )) tr(ε)tr(Aε)-μ 2 (D i )tr(Aε 2 ) (2) 

σ(D i ,g(ε,D i ),ε)= λ 11 tr(ε)I+2μ 1 ε- λ D ,g( ,D )) tr(Aε)A- 

22( i ε i 

λ D ,g( ,D )) [tr(ε)A+tr(Aε)I]-μ 2 (D i )[Aε+εA T ] (3) 

12( i ε i 


120 


E (D i ,g(ε,D i ),ε) = E 0 - λ D ,g( ,D )) [A⊗A] - λ D ,g( ,D )) [A⊗I+ I⊗A]-μ 2 (D i ) 

22( i ε i 

12( i ε i 

[A ⊗ I+I ⊗ A] (4) 

As variáveis associadas ao dano são obtidas da variação da função de energia 

(Eq. (1)) em relação ao incremento dos processos de danificação. Portanto, 

∂W 

Y(D i ,g(ε,D i ),ε)=∇ D W= 

∂D 

i 

= − 

1 

2 

∂λ 

22 

(D i,g( 

ε,Di 

)) 

tr 2 ∂λ 

(Aε) − 

∂D 

i 

12 

(D i,g( 

ε,Di 

)) 

tr(ε)tr(A 

∂D 

∂ 2(Di 

) 

ε) − μ tr(Aε 2 ) (5) 

∂D 

i 

i 

sendo λ 11 = λ 0 e μ 1 =μ 0 as constantes de Lamè e E 0 o tensor de rigidez elástica 

isótropo. 

O caráter bimodular é levado em conta pelas seguintes condições: 

⎛ − 

⎜ 

λ12(Di 

) se 

λ 12(D i,g( 

ε,Di 

)) : = 

+ 

⎝λ12(Di 

) se 

g( ε,Di 

) < 0 

; 

g( ε,D 

) > 0 

i 

⎛ − 

⎜ 

λ 22(Di 

) se 

λ 22(D i,g( 

ε,Di 

)) : = 

+ 

⎝λ 

22(Di 

) se 

g( ε,Di 

) < 0 

g( ε,D 

) > 0 

i 

(6) 

Observa-se ainda que para valores nulos das variáveis de dano todos os 

coeficientes dependentes delas se anulam e o material tem um comportamento de 

meio isótropo. Além disso, nessas condições o meio exibe uma característica 

unimodular. Vale ressaltar que as condições de salto tangencial nulo do tensor 

constitutivo devem também ser obedecidas aqui. Com isso os coeficientes de 

cisalhamento μ a devem ser iguais em tração e em compressão. 

A escolha das variáveis de dano e da classe de anisotropia consideradas num 

modelo depende do material que se deseja simular. Nesse sentido, é importante 

observar que a danificação influencia também a forma de variação dos tensores de 

quarta de ordem [ A a ⊗ Ab 

] e [ A a ⊗ I + I⊗A 

a ]. 

Observa-se que a formulação proposta pode ser empregada tanto para 

materiais elásticos danificados possuindo anisotropia e caráter bimodular iniciais, 

como para materiais elásticos danificados com anisotropia e bimodularidade induzidas 

pelo dano. Neste último caso, a inserção das variáveis de dano na formulação é feita 

de modo criterioso para gerar um certo grau de anisotropia do material, assim como 

para induzir o surgimento do caráter bimodular. 

3 PROPOSTA DE MODELO PARA O CONCRETO 

O concreto é aqui entendido como um material que pertence à categoria dos 

meios inicialmente isótropos que passam a apresentar isotropia transversal e resposta 



121 

bimodular induzidas pelo dano. A formulação do modelo para o concreto tem por base 

o formalismo apresentado no item anterior e, além disso, procura atender ao princípio 

de equivalência de energia entre meio real danificado e meio contínuo equivalente 

estabelecido na Mecânica do Dano [LEMAITRE (1996)]. Dessa forma, os tensores 

constitutivos de rigidez e de flexibilidade do meio contínuo equivalente resultam 

simétricos. 

Observa-se que formas gerais que permitem contemplar a anisotropia induzida 

pela danificação podem ser consideradas na definição do tensor de dano de quarta 

ordem D. Neste trabalho para a definição de D, opta-se por uma forma dita de dano 

escalar dada por: D = f j (D i ) M j , onde f j (D i ) são funções de valor escalar das variáveis 

escalares de dano escolhidas e M j são tensores de anisotropia. No caso deste 

modelo, adotam-se para M j tensores que permitem representar a isotropia transversal. 

Tendo-se em vista o caráter bimodular gerado pela danificação, é interessante 

definir dois tensores de dano, um para estados predominantes de tração e um outro 

para estados predominantes de compressão. 

Para estados predominantes de tração, propõe-se o seguinte tensor de dano 

escalar: 

D T = f 1 (D 1 , D 4 , D 5 )( A ⊗ A) 

+ 2 f 2 (D 4 , D 5 )[( A⊗ I + I⊗A 

) − ( A ⊗ A)] 

(7) 

sendo f 1 (D 1 , D 4 , D 5 ) = D 1 – 2 f 2 (D 4 , D 5 ) e f 2 (D 4 , D 5 ) = 1 – (1-D 4 ) (1-D 5 ). 

O tensor de dano apresenta duas variáveis escalares na sua composição (D 1 e 

D 4 ) e uma terceira variável de dano D 5 , ativada somente se tiver havido compressão 

prévia com danificação correspondente. A variável D 1 representa a danificação na 

direção perpendicular ao plano local de isotropia transversal do material e D 4 é a 

variável representativa da danificação gerada pelo cisalhamento entre as bordas das 

fissuras pertencentes àquele plano. 

Na Eq. (7), o tensor I é o tensor identidade de segunda ordem e o tensor A é, 

por definição, CURNIER et all (1995), formado pelo produto tensorial do versor 

perpendicular ao plano de isotropia transversal por ele mesmo. 

Para estados predominantes de compressão, propõe-se para o tensor de dano 

a seguinte relação: 

D C =f 1 (D 2 ,D 4 ,D 5 )( A ⊗ A) 

+f 2 (D 3 ) [( I⊗ 

I) 

− ( A ⊗ A)] 

+2f 3 (D 4 ,D 5 )[( A⊗ I + I⊗A 

) − ( A ⊗ A)] 

(8) 

sendo f 1 (D 2 , D 4 , D 5 ) = D 2 – 2 f 3 (D 4 , D 5 ) ,f 2 (D 3 ) = D 3 e f 3 (D 4 , D 5 )= 1 – (1-D 4 ) (1-D 5 ). 

Notam-se três variáveis escalares na sua composição: D 2 , D 3 e D 5 , além de D 4 , 

relacionada a efeitos de tração pré-existentes. A variável D 2 (danificação 

perpendicular ao plano local de isotropia transversal do material) penaliza o módulo 

de elasticidade nessa direção, e juntamente com D 3 (representante da danificação no 

plano de isotropia transversal) penaliza o coeficiente de Poisson em planos 

perpendiculares ao de isotropia transversal. Observa-se que, com a forma descrita, é 

possível capturar a danificação dos módulos de cisalhamento e ao mesmo tempo 

atender à hipótese de salto tangencial nulo do tensor constitutivo. 


122 


É possível mostrar que as formas adotadas para D T e D C atendem ao princípio 

de equivalência de energia no sentido de que proporcionam um tensor de rigidez 

simétrico. Finalmente, os tensores constitutivos resultantes são descritos por: 

E = λ I ⊗ I] 

+ 2μ 

[ I⊗ 

] − λ D ,D ,D ) [ A ⊗ A] 

− λ D ) [A⊗I+I⊗A] 

T 

11[ 1 I 

+ 

22( 1 4 5 

+ 

12( 1 

− D ,D ) [ A⊗ I + I⊗A] 

(9) 

μ 2 ( 4 5 

E = λ I ⊗ I] 

+ 2μ 

[ I⊗ 

] − λ D ,D ,D ,D ) [ A ⊗ A] 

− λ D , ) [A⊗I+I⊗A] 

C 

11[ 1 I 

− 

22( 2 3 4 5 

− 

12( 2 D3 

− 

(1 − 2ν 

0 ) − 

− λ11( D3 

) [I⊗I]- λ11(D3 

) [I ⊗ I] − μ 2( D4, 

D5 

) [ A⊗ I + I⊗A] 

(10) 

ν 

0 

onde λ 

11 

= λ 

0 

e μ 

1 

= μ 

0 

. Os outros parâmetros só existem para dano não-nulo, 

evidenciando dessa forma a anisotropia e bimodularidade induzidas pelo dano, e são 

definidos por: 

λ 

+ 

2 + 

22 1 4 5 0 0 1 1 

μ 

( D ,D ,D ) = ( λ + 2μ 

)(2D − D ) − 2λ12(D1) 

− 2 2(D4,D5 

) 

λ + ; μ (D ,D ) = 2μ 

[1 − (1 − D ) (1 D ) ] 

12( D1) 

= λ0D1 

2 

2 4 5 0 

4 − 

5 

2 

− 

λ 22 ( D2,D3,D4,D5 

) = ( λ 0 + 2μ 

0 )(2D 2 − D2 

) − 2λ12 

(D2,D3 

) 

( ν 0 − 1) − 

+ λ11(D3 

) − 2μ 

2(D 

4,D5 

) 

ν 

0 

2 

− 

(11) 

2 

12 ( 2 3 0 3 

2 − 3 

λ − D ,D ) = λ [(1 − D ) − (1 − D )(1 D )] ; (D ) = λ (2D D ) 

λ − 

11 3 0 3 − 

Numa interpretação puramente matricial, os diferentes produtos tensoriais das 

Eqs. (9) e (10) possuem a função de alocar as constantes que os multiplicam em 

determinadas posições nos tensores de rigidez (ver Apêndice). 

2 

3 

3.1 Critério para a divisão do espaço das deformações 

Em CURNIER et all (1995) define-se uma hipersuperfície, no espaço das 

tensões ou das deformações, a ser empregada como critério para a identificação das 

respostas constitutivas de compressão ou de tração. Neste trabalho adota-se uma 

forma particular para a hipersuperfície no espaço das deformações: um hiperplano g 

(ε), caracterizado por sua normal unitária N (||N|| = 1). 

Este critério é ainda estendido de modo que o estado de dano existente passe 

a ter influência sobre a definição do hiperplano. Por simplificação, restringindo-se o 

estudo ao caso em que o sistema local de referência adotado para o material é aquele 

obtido impondo-se a direção 1 como sendo perpendicular ao plano local de isotropia 



123 

transversal, e em correspondência aos casos mais gerais de solicitação propõe-se 

para o hiperplano a seguinte relação: 

g(ε,D T ,D C ) = N(D T ,D C ) . ε e = γ 1 (D 1 ,D 2 ) 

e 

ε V + γ 2 (D 1 ,D 2 ) 

e 

ε 11 

(12) 

onde γ 1 (D 1 ,D 2 ) = {1+H(D 2 )[H(D 1 )-1]}η(D 1 )+{1+H(D 1 )[H(D 2 )-1]}η(D 2 ) e γ 2 (D 1 ,D 2 ) = D 1 +D 2 . 

As funções de Heaveside empregadas na última relação são dadas por: 

H(D i ) = 1 para D i > 0; H(D i ) = 0 para D i = 0 (i = 1, 2) (13) 

As funções η(D 1 ) e η(D 2 ) são definidas, respectivamente, para os casos de 

tração, supondo que não tenha danificação prévia de compressão, e de compressão, 

supondo que não tenha havido danificação prévia de tração. 

η (D 1 ) = 

2 

− D 1 + 3 − 2D 1 

3 

; η (D 2 ) = 

2 

− D 2 + 3 − 2D 2 

3 

(14) 

3.2 Critérios e leis de evolução de danificação 

Como visto, na formulação do modelo a danificação induz anisotropia no 

concreto. Sendo, portanto, conveniente separar os critérios de danificação em: critério 

para início de danificação, quando o material deixa de ser isótropo; e critério para 

carga e descarga, entendido aqui num sentido de evolução ou não das variáveis de 

dano, quando o material já apresentar-se como transversalmente isótropo. Sugere-se 

como critério para identificação de início da danificação a comparação entre a energia 

∗ 

de deformação elástica complementar W e , calculada localmente considerando-se o 

meio inicialmente íntegro, isótropo e puramente elástico, e um certo valor de 

referência Y 0T , ou Y 0C , obtido de ensaios uniaxiais de tração, ou de compressão, 

respectivamente. 

O critério para ativação inicial de processos de danificação em tração ou 

compressão é dado por: 

f T,C (σ) = 

∗ 

W e - Y 0T,0C < 0 (15) 

então D T = 0 (ou seja, D1 = D4 

= 0 ) para estados predominantes de tração ou 

D C = 0 (ou seja, D2 = D3 

= D5 

= 0 ) para estados de compressão, onde o regime de 

resposta do material é elástico linear e isótropo. 

Os valores de referência Y 0T e Y 0C são parâmetros do modelo definidos pelas 

seguintes expressões: 

Y 

0T 

2 

0T 

σ 

= ; 

2E 

0 

Y 

0C 

2 

0C 

σ 

= (16) 

2E 

0 


124 


onde σ 0T 

e σ 0C 

são as tensões dos limites elásticos determinados em regimes 

uniaxiais de tração e de compressão. 

É importante notar que o meio danificado apresenta um plano de isotropia 

transversal em correspondência ao nível atual de dano. No que segue, por 

conveniência, admite-se que seja conhecido o plano de isotropia transversal e que 

tenha sido adotado um sistema de coordenadas locais tal que a direção 1 seja 

perpendicular àquele plano. 

A energia elástica complementar do meio danificado expressa-se segundo 

formas diferentes, dependendo se os estados de deformação predominantes são de 

tração ou de compressão. Para o caso de estados predominantes de tração 

(g(ε,D T ,D C ) > 0) vale a relação: 

W 

∗ 

e+ 

0 

2 

11 

σ 

= 

2E (1− 

D 

0 

2 

0)( 

σ12 

2 

D4) 

( σ 

+ 

2 

1) 

2 

13 ) 

2 

D5) 

2 

22 

+ σ 

2E 

0 

2 

33 

0 

) ν 

− 

2 

23 

0 

σ11( 

σ22 

+ σ 

E (1− 

D ) 

0 

1 

33 

) ν 

− 

0 

σ22σ 

E 

( 1 + ν + σ (1 + ν0) 

σ 

+ + 

(17) 

E (1 − (1 − 

E 

0 

33 

Por outro lado, para estados predominantes de compressão (g(ε,D T ,D C ) < 0), a 

energia elástica complementar para um material com isotropia transversal induzida 

pelo dano é expressa por: 

W 

∗ 

e− 

0 

2 

11 

σ 

= 

2E (1− 

D 

0 

2 

0 )( σ12 

2 

D4) 

(1 

2 

2) 

2 

13 ) 

2 

D5 

) 

2 

22 

( σ + σ 

+ 

2E (1− 

0 

2 

33 ) 

2 

D3) 

2 

0 ) 23 

0 

ν0σ11( 

σ22 

+ σ33 

) ν0σ22σ 

− 

− 

E (1− 

D )(1− 

D ) E (1− 

D 

0 

( 1+ ν + σ (1+ ν σ 

+ + 

(18) 

E (1− 

− E 

2 

3 

0 

33 

2 

3 ) 

Considerando-se, então, uma situação geral de meio danificado em regime 

predominante de tração, o critério para a identificação de acréscimos de danificação é 

representado pela seguinte relação: 

∗ 

e + 

0 

∗ 

T 

f T (σ) = W − Y ≤ 0 

(19) 

∗ 

onde o valor de referência Y 0T é definido pela máxima energia elástica complementar 

determinada ao longo do processo de danificação até o estado atual, isto é: 

∗ 

T 0 

∗ 

T 0 

∗ 

Y = MAX ( Y , W e + 

) (20) 

Para o meio danificado em regime predominante de compressão, valem 

relações análogas ao caso de tração. 

Nos casos onde configura-se carregamento, isto é, onde D& T ≠ 0 ou D& 

C ≠ 0 , é 

necessário atualizar os valores das variáveis escalares de dano que aparecem nos 

tensores D T e D C , considerando-se suas leis de evolução. 



125 

De um modo geral, nota-se que as relações que definem as variáveis 

associadas podem ser representadas por: 

Y T,C = F(σ, E 0 , D T,C ) (21) 

Também usando de uma representação implícita, as leis de evolução das 

variáveis de dano podem ser dadas por: 

& = F * (Y T,C , b T,C ) (22) 

D T , C 

onde b T,C são conjuntos de parâmetros contidos nas leis de evolução de D T ou D C . 

Observa-se que para situações de carregamento monotônico crescente, as Eqs. (22) 

podem ser integradas diretamente. Entretanto, as relações para Y T,C e D T,C formam 

um sistema implícito. A solução do sistema pode ser obtida por meio de um 

procedimento iterativo. 

Limitando-se a análise ao caso de carregamento monotônico crescente, as leis 

de evolução propostas para as variáveis escalares de dano são resultantes de ajustes 

sobre resultados experimentais e apresentam características similares àquelas 

encontradas nos trabalhos de MAZARS (1984) e LA BORDERIE (1991). A forma geral 

proposta é: 

D 

i 

1+ 

A i 

= 1− 

com i = 1, 5 (23) 

A + exp B (Y 

i 

[ − Y )] 

i 

i 

0i 

onde A i , B i e Y 0i são parâmetros a serem identificados. Os parâmetros Y 0i são 

entendidos como limites iniciais para a ativação da danificação, os mesmos utilizados 

na Eq. (15). 

3.3 Critério para a definição do plano local de isotropia transversal do 

material 

Inicialmente estabelece-se um critério geral para a existência do plano de 

isotropia transversal. Propõe-se, neste trabalho, que a isotropia transversal decorrente 

da danificação se manifesta somente se existirem taxas positivas de deformação, ao 

menos em uma das direções principais. Estabelecido o critério geral para existência 

do plano, definem-se algumas regras para identificar sua localização. Imaginando-se, 

em primeiro lugar, um estado de deformação em que uma das taxas de deformação é 

não-nula ou de sinal contrário às demais, aplica-se a seguinte regra: 

“No espaço das deformações principais, se duas das três taxas de deformação 

forem de alongamento, de encurtamento ou nulas, o plano definido por elas será o 

plano local de isotropia transversal do material.” 

Nesse caso enquadra-se, por exemplo, a tração uniaxial; resultando que o 

plano de isotropia transversal é perpendicular à direção da tensão de tração. 

Há casos não abrangidos por essa regra. Por exemplo, o estado de 

deformação plana em que as deformações não-nulas são de sinais contrários. Com a 


126 


primeira regra proposta torna-se impossível identificar o plano local de isotropia 

transversal do material. Para essa situação, vale uma segunda regra: 

“Num estado de deformação plana, onde as taxas de deformação principal no 

plano tenham sinais contrários, o plano local de isotropia transversal do material fica 

definido pelas direções da deformação principal permanentemente nula e da 

deformação cuja taxa seja positiva.” 

Um outro caso particular ocorre quando todas as taxas de deformação 

principal são positivas. Para esses estados vale uma terceira regra, segundo a qual 

assume-se que a direção de maior alongamento seja perpendicular ao plano local de 

isotropia transversal do material. 

3.4 Proposta de modelo de dano com deformações anelásticas – versão 

uniaxial 

Observações experimentais indicam que as deformações permanentes não 

são desprezíveis nas situações de descarregamento. Alguns modelos de dano levam 

em conta na sua formulação tais deformações associando-as exclusivamente ao 

fenômeno da danificação. Neste contexto, pode-se citar os modelos propostos por 

COMI (2000), PAPA & TALIERCIO (1996), RAMTANI (1990), entre outros. 

Dentro da formulação do modelo proposto neste trabalho, admite-se que as 

deformações permanentes surgem após o início da danificação, limitando-se a 

proposta apenas aos casos uniaxiais. 

Admitindo-se, por simplificação, que as deformações plásticas são compostas 

exclusivamente por deformações volumétricas, nos moldes de alguns modelos 

contidos na literatura [RAMTANI et all (1992)], e ainda levando-se em conta o efeito 

unilateral, a lei de evolução para as deformações plásticas resulta: 

ε& 

p 

⎛ 

= ⎜ 

βT 

⎜ 

⎝ 1− 

D 

β ⎞ 

C 

D& + D& 

I (24) 

( ) ( ) ⎟ ⎟ 2 1 

2 2 

1 1− 

D2 

⎠ 

Observa-se que nesta proposta, β T e β C são parâmetros diretamente 

relacionados às evoluções das deformações plásticas induzidas pelo dano em tração 

e em compressão, respectivamente. 

4 RESULTADOS NUMÉRICOS DA CALIBRAÇÃO 

O primeiro exemplo trata de um ensaio tração uniaxial de um corpo de prova 

de concreto (E 0 = 15600 MPa e ν 0 = 0.2). Os resultados experimentais foram 

apresentados por MAZARS et all (1990) num ensaio denominado PIED (“Pour 

Identifier L’Endommagement Diffus”). Os parâmetros do modelo foram obtidos por 

calibração da curva tensão normal contra deformação na direção da força aplicada, 

resultando em: A 1 = 70, B 1 = 22110 MPa -1 e Y 01 = 1.5 x 10 -5 MPa. 



127 

Na Figura 1 a resposta numérica fornecida pelo modelo proposto é comparada 

com a resposta experimental do ensaio PIED. Observa-se que as deformações 

transversais ilustradas (direções 2 e 3) correspondem apenas aos resultados obtidos 

com os parâmetros identificados, não havendo registro experimental para confronto. 

1.2 

1 

0.8 

σ11 (MPa) 

Experimental - 

MAZARS et all (1990) 

Modelo 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.00005 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 

ε22 = ε33 (strain) 

ε11 (strain) 

Figura 1 - Simulação do teste de tração uniaxial: resultados experimentais e numéricos. 

Pelos resultados, nota-se que o conjunto de parâmetros identificados para o 

modelo permite reproduzir bastante bem os dados experimentais. Quanto às 

deformações transversais previstas pelo modelo, um bom indicativo é que elas estão 

em correspondência com a forma descrita em WILLAM et all (1988). 

O modelo também foi empregado na simulação de ensaios biaxiais e uniaxiais 

de tensão realizados por KUPFER et all (1969) em espécimes de concreto. O módulo 

de elasticidade e o coeficiente de Poisson utilizados na simulação numérica foram: E 0 

= 31850 MPa, ν 0 = 0.2. Chama-se a atenção para o fato de que em casos mais 

complexos de tensão, a calibração do conjunto de parâmetros que aparecem nas leis 

de evolução das variáveis de dano envolvidas exige ensaios uniaxiais e biaxiais. Em 

particular, os parâmetros relativos às variáveis D 1 e D 2 foram determinados por 

ensaios uniaxiais de tração e de compressão, respectivamente: A 1 = 69.4, B 1 = 9500 

MPa -1 , Y 01 = 0.8 x 10 -4 MPa, A 2 = -0.80, B 2 = 0.90 MPa -1 e Y 02 = 0.2 x 10 -2 MPa. 

Já os parâmetros relativos a D 3 foram obtidos do ensaio de compressão biaxial 

(σ 11 = σ 22 ), através da calibração das curvas experimentais tensão-deformação nas 

direções 1 e 2. Os parâmetros obtidos foram: A 3 = -0.60, B 3 = 1.305 MPa -1 e Y 03 = Y 02 

= 0.2 x 10 -2 MPa. 

A Figura 2a mostra a comparação entre as curvas experimentais tensãodeformação 

e as curvas obtidas com o modelo proposto para testes de compressão 

uniaxial e biaxial com diferentes níveis de solicitação. Vale ressaltar que as outras 

combinações de solicitação, por exemplo, compressão biaxial σ 22 = 0.52 σ 11 , 

compressão-tração, foram simuladas com os parâmetros A i , B i e Y 0i acima descritos. 

Observa-se uma boa concordância entre resultados experimentais e numéricos nas 

curvas que envolvem as deformações diretas, de compressão nos casos analisados. 

Porém, os resultados das deformações transversais, ou de tração, subestimam a 

ductilidade observada experimentalmente. Isso se deve ao fato que na região próxima 

à tensão de pico, as deformações residuais passam a desempenhar um papel 

importante no comportamento do concreto. Um outro resultado de interesse é o 

domínio de ruptura (Fig. 2b), caracterizado pelos picos de tensão, obtido 


128 


numericamente em correspondência a solicitações uniaxiais e biaxiais. Pode-se 

observar que o modelo consegue prever o domínio de ruptura satisfatoriamente. 

-45 

-40 

-35 

-30 

-25 

-20 

-15 

-10 

-5 

0 

0.005 

σ 11 (MPa) 

0.004 

σ 

nσ 

0.003 0.002 0.001 0 -0.001 -0.002 -0.003 

ε > 0 ε< 0 

-0.004 

-0.005 

Experimental- n=0 

Modelo - n=0 

Experimental - n=1 

Modelo - n=1 

Experimental - n=0.52 

Modelo - n=0.52 

a) 

σ 11(MPa) 

0 

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 

Experimental - KUPFER et 

all (1969) 

Modelo 

10 

-10 

-20 

-30 

-40 

-50 

σ 22(MPa) 

b) 

Figura 2 - Simulação de testes uniaxiais e biaxiais: a) resultados experimentais e numéricos 

b) domínio de falha biaxial. 

Considera-se agora a aplicação do modelo na simulação numérica de um 

ensaio realizado por VAN MIER (1984), em corpo de prova de concreto (E 0 = 23250 

MPa e ν 0 = 0.2) submetido a uma compressão triaxial segundo a relação σ 11 < 0; σ 22 = 

0.10 σ 11 ; σ 33 = 0.05σ 11 (Fig. 3). Como a resposta experimental em compressão 

uniaxial e biaxial deste concreto não é conhecida, optou-se por fazer a calibração dos 

parâmetros do modelo através da curva experimental tensão-deformação na direção 

1. A obtenção dos parâmetros relativos às variáveis de dano D 2 e D 3 resulta em: A 2 = - 

0.80, B 2 = 0.15 MPa -1 , A 3 = -0.60, B 3 = 1.305 MPa -1 e Y 02 = Y 03 = 0.2 x 10 -2 MPa. 

ε 33 

ε 22 

σ11 (MPa) Experimental - 

-80 

-70 

VAN MIER (1984) 

Modelo 

-60 

-50 

ε 22 

-40 

-30 

-20 

-10 

0 

0.03 0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 

ε 33 ε 11 x 10 -3 

Figura 3 - Simulação de teste de compressão triaxial: resultados experimentais e numéricos. 

Observa-se na curva σ 11 x ε 11 uma boa concordância entre os resultados 

experimentais e numéricos. Porém, os resultados das deformações transversais, mais 

uma vez não conseguem reproduzir a evidente ductilidade experimental. Contudo, o 

modelo é capaz de simular de modo bastante razoável o comportamento experimental 

até a tensão máxima. 

A versão uniaxial do modelo considerando-se deformações anelásticas foi 

empregada na simulação do ensaio uniaxial de compressão realizado por KUPFER et 



129 

all (1969). Os parâmetros do modelo foram obtidos pela calibração da curva tensãodeformação 

experimental, resultando em: A 2 = 0,70, B 2 = 5,50 MPa -1 , Y 02 = 2,0 x 10 -3 

MPa e β C = 1,58 x 10 -3 . A Figura 4 evidencia que a incorporação das deformações 

plásticas melhora significativamente a captura das deformações transversais. Além 

disso, o modelo prevê corretamente a inversão no sentido da deformação volumétrica. 

σ 11 (MPa) 

-35 

-30 

-25 

-20 

-15 

-10 

-5 

Experimental 

Modelo 

σ 11 (MPa) 

-35 

-30 

-25 

-20 

-15 

-10 

-5 

Experimental 

Modelo - sem def. plásticas 

Modelo - com def. plásticas 

0.002 0.001 

ε 22 =ε 33 (strain) 

0 

0 

-0.001 -0.002 

ε 11 (strain) 

-0.003 

-0.004 

0.001 

0.0005 

0 

0 -0.0005 -0.001 

-0.0015 

-0.002 -0.0025 

ε vol (strain) 

Figura 4 - Simulação do teste de compressão uniaxial: resultados experimentais e numéricos. 

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 

5.1 Análises unidimensionais 

As versões unidimensionais dos modelos de dano de MAZARS (1984), LA 

BORDERIE (1991) e do modelo proposto, foram implementadas num programa para 

análise de estruturas de barras discretizadas com elementos finitos estratificados em 

camadas (EFICoS – “Eléments Finis à Couches Superposées”). 

São assumidas, como hipóteses de cálculo, a negligência de deformações por 

distorção. Para o concreto valem os modelos de danificação em estudo, e para as 

barras de aço longitudinais admite-se um comportamento elasto-plástico. 

Na seção transversal em concreto armado discretizada, uma certa camada 

pode conter aço e concreto. Admitindo-se perfeita aderência entre os materiais, 

definem-se, para a camada em questão, um módulo elástico e uma deformação 

anelástica equivalentes, utilizando-se de regra de homogeneização. 

5.1.1 Vigas em concreto armado 

Na confecção das vigas foi utilizado um concreto com E c = 29200 MPa. Para o 

aço das armaduras adotou-se E a = 196000 MPa e tensão de escoamento de 420 

MPa, admitindo-se um comportamento elasto-plástico perfeito. O coeficiente de 

Poisson adotado foi de 0,20. Maiores detalhes sobre a resposta experimental de cada 

tipo de viga, colhida a partir de provas realizadas com controle de carga, encontramse 

em ÁLVARES (1993). Na Figura 5 são fornecidos os detalhes de geometria e 

armação das vigas. 


130 


P 

P 

2#5 

300 

deslocamento 

100 800 

800 

800 100 

240 

2#5 

2#5 

300 270 

90 

120 

# 5 

30 

30 

7#10 

# 5 

300 270 300 270 

3#10 

90 90 

120 120 

# 5 

30 

5#10 

Dimensões 

em mm 

Figura 5 - Geometria e armação das vigas. 

Os parâmetros de compressão de todos os modelos empregados na análise 

numérica foram identificados a partir das medidas de ensaios experimentais em 

corpos de prova submetidos à compressão uniaxial, realizados por ÁLVARES (1993). 

Já os parâmetros de tração foram identificados sobre uma resposta em tração uniaxial 

descrita pelo modelo de Mazars e proposta por ÁLVARES (1993) para o concreto das 

vigas. A Tabela 1 contém os valores dos parâmetros. 

Tabela 1 - Parâmetros dos modelos de MAZARS (1984), LA BORDERIE (1991) e proposto. 

MAZARS LA BORDERIE Proposto 

Tração Compressão Tração Compressão 

A T = 0,995 Y 01 =3,05x10 -4 MPa Y 02 =0,5 x 10 -2 MPa Y 01 = 0,72x10 -4 MPa Y 02 =0,5x10 -3 MPa 

B T = 8000 A 1 =3,50x10 +3 MPa -1 A 2 = 6,80 MPa -1 A 1 = 50 A 2 = -0,9 

A C = 0,85 B 1 = 0,95 B 2 = 0,7705 B 1 = 6700 MPa -1 B 2 = 0,4MPa -1 

B C = 1050 β 1 = 1,00 MPa β 2 = -10,00 MPa 

ε d0 =0,00007 σ f = 3,50 MPa 

Fazendo-se uso das simetrias de carregamento e de geometria, analisaram-se 

apenas as metades das vigas, impondo-se incrementos de deslocamentos. Nas 

análises foram utilizados 20 elementos finitos, discretizaram-se as seções 

transversais em 15 camadas, sendo uma camada de aço e concreto na viga com 

3#10.0 mm, duas na viga com 5#10.0 mm e três na viga com 7#10.0 mm. Os 

confrontos entre os resultados numéricos e experimentais, mediante curvas carga 

aplicada (P) por deslocamento vertical no meio do vão das vigas estão ilustrados na 

Figura 6. 

Pode-se observar que as respostas numéricas tendem a reproduzir uma forte 

quebra de rigidez inicial das vigas seguida de uma recuperação de rigidez 

subseqüente à redistribuição de esforços. Os próprios resultados experimentais 

apontam que esse processo é mais evidente no caso da viga pouco armada em razão 

da menor interação entre concreto e armadura, o que leva a um panorama de 

fissuração mais localizado entre as forças aplicadas. 



131 

VIGA 3#10.0 mm - ÁLVARES (1993) 

VIGA 5#10.0 mm - álvares (1993) 

45,00 

70,00 

40,00 

60,00 

35,00 

30,00 

50,00 

Força (kN) 

25,00 

20,00 

Força (kN) 

40,00 

30,00 

15,00 

10,00 

20,00 

5,00 

10,00 

0,00 

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 

Deslocamento (mm) 

0,00 

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 



Força (kN) 

80,00 

70,00 

60,00 

50,00 

40,00 

30,00 

20,00 

Resultado Experimental 

LA BORDERIE (1991) 

MAZARS (1984) 

Modelo 

10,00 

0,00 

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 


Figura 6 - Resultados numéricos da análise unidimensional. 

Em regime de serviço, observa-se ainda que os modelos de dano isótropo de 

Mazars e de La Borderie apresentam respostas similares às obtidas com o emprego 

do modelo proposto, porém devido ao tipo simplificado de análise (unidimensional) 

não é possível verificar alguma possível vantagem do emprego do modelo proposto 

anisótropo sobre modelos de dano isótropo. 

Já em regime de ruptura, o modelo proposto evidencia uma resistência maior 

aos esforços quando comparado aos modelos isótropos, exceto no caso da viga com 

3#10.0 mm, onde a fissuração é intensa. Acredita-se que essa diferença é devida à 

hipótese de equivalência de energia feita na formulação do modelo proposto, fazendo 

com que em altos níveis de carga surja uma penalização da rigidez menos intensa, 

levando ao concreto a resistir de forma mais eficiente e consequentemente a uma 

plastificação mais tardia das armaduras. Ainda nesse contexto, observa-se que as 

respostas numéricas indicam que a plastificação das armaduras ocorrem em 

diferentes níveis de solicitação quando comparadas com as respostas experimentais, 

principalmente nos casos das vigas com cinco e sete barras de aço. Isso pode ser 

explicado pelo fato de ser assumida perfeita aderência entre a armadura e o concreto 

como hipótese para a simulação numérica. 

5.1.2 Pórtico em concreto armado 

O concreto utilizado na confecção do pórtico tem módulo de elasticidade E c = 

30400 MPa; o aço possui E a = 192500 MPa, tensão de início de plastificação de 418 

MPa e tensão última de 596 MPa. Foi adotado um modelo elasto-plástico bilinear com 

um módulo de elasticidade reduzido no segundo trecho: E a2 = 0,009 E a . 

No ensaio experimental inicialmente aplicou-se uma força axial total de 700 kN 

para cada coluna, mantida então constante durante toda a aplicação da força lateral. 

Esta força foi aplicada em estágios até a capacidade última do pórtico ser atingida. 


132 


Maiores detalhes encontram-se em VECCHIO et all (1992). As características 

geométricas do pórtico, assim como a distribuição das armaduras estão ilustradas na 

Figura 7. Já a Tabela 2 contém os valores dos parâmetros. 

4600 

400 

1600 

400 

1800 

Q 

B 

Coluna 

Norte 

700 kN 700 kN 

A 

B 

A 

B B B B 

Dimensões 

em mm 

A 

A 

B 

B 

Coluna 

Sul 

300 

30 

20 

SEÇÃO A 

300 

SEÇÃO B 

20 

20 

20 

50 

30 

30 

4 # 20 

400 

300 

75 50 75 

20 

20 

4 # 20 

4 # 20 

# 10 

4 # 20 

30 

# 10 

400 

120 

300 

900 400 3100 400 900 800 

5700 

20 

20 

50 

320 

20 20 20 20 

Figura 7 - Geometria e armação do pórtico. 

Tabela 2 - Parâmetros dos modelos de MAZARS (1984), LA BORDERIE (1991) e proposto. 

MAZARS LA BORDERIE Proposto 


A T = 0,995 Y 01 = 2,25x10 -4 MPa Y 02 = 0,5 x 10 -2 MPa Y 01 =0,72x10 -4 MPa Y 02 =1,7x10 -3 MPa 

B T = 8000 A 1 = 2,78x10 +3 MPa -1 A 2 = 14,00 MPa -1 A 1 = 50 A 2 = -0,8 

A C = 1,30 B 1 = 0,93 B 2 = 0,90 B 1 = 6700 MPa -1 B 2 =1,1MPa -1 

B C = 1890 β 1 = 0,50 MPa β 2 = -2,00 MPa 

ε d0 =0,00007 

σ f = 3,50 MPa 

Para a análise numérica foram impostos incrementos de deslocamentos no 

ponto de aplicação da força horizontal. Utilizaram-se 30 elementos finitos na 

discretização, sendo empregados 10 por coluna e 5 elementos por viga. As seções 

transversais foram estratificadas em 10 camadas. Na Figura 8 apresentam-se em 

gráficos as respostas numéricas obtidas confrontadas com a experimental. Os 

gráficos representam a relação entre força horizontal aplicada e deslocamento 

horizontal no andar superior do pórtico. 

Os resultados obtidos pelos modelos são julgados satisfatórios apesar da 

limitada identificação paramétrica. Por permitir considerar deformações permanentes 

em sua formulação, reproduziram-se com o modelo de LA BORDERIE (1991) 

inclusive os deslocamentos residuais gerados. 



133 

450 

Força (kN) 

Pórtico em concreto armado - VECCHIO & EMARA (1992) 

400 

350 

300 

250 

200 

150 

Experimental 

Mazars - 10 camadas 

La Borderie - 10 camadas 

Modelo Proposto - 10 camadas 

100 

50 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 


Figura 8 - Resultados numéricos do pórtico em concreto armado. 

Observa-se que os modelos de MAZARS (1984) e o proposto apresentam a 

possibilidade de se colher uma boa resposta numérica, sem a necessidade de um 

custo computacional maior com o refinamento da discretização. 

Pode-se concluir, pelos exemplos apresentados, pela validade do emprego do 

modelo proposto em combinação com a técnica de discretização adotada na 

simulação do comportamento de estruturas lineares em concreto armado. 

5.2 Análises bidimensionais 

Uma versão bidimensional do modelo proposto foi implementada num código 

de cálculo em elementos finitos para análises planas. Nestas análises, apenas o 

concreto possui comportamento não-linear, para o aço admite-se uma relação 

constitutiva linear. Com relação à interação entre os dois materiais, admitiu-se perfeita 

aderência entre o aço e o concreto. 

De acordo com o objetivo de avaliar a resposta numérica fornecida pelo 

modelo proposto em análises planas, com o emprego do método dos elementos 

finitos, dois aspectos de interesse são enfatizados: a verificação de eventuais 

problemas numéricos ligados a este tipo de discretização e a capacidade do modelo 

em reproduzir a zona de distribuição de dano de acordo com a fissuração evidenciada 

experimentalmente. 

5.2.1 Viga em concreto armado [PEREGO (1989)] 

Trata-se de uma viga em concreto armado analisada por PEREGO (1989), que 

possui 5,00 m de vão livre e apresenta uma seção transversal retangular de dimensão 

20 x 50 cm. A armadura longitudinal é constituída por 6 barras de 32 mm de diâmetro, 

posicionadas em três camadas na zona inferior da seção, e por 2 barras de diâmetro 

de 8 mm, dispostas na parte superior e com função construtiva. Na confecção da viga 


134 


foi utilizado um concreto com E c = 24700 MPa e aço das armaduras com E a = 210000 

MPa. Na Figura 9 são fornecidos os detalhes da geometria da viga. 

medidas em cm 

P 

160 

P 

50 50 

f 

20 500 

20 

P 

80 

50 

2 φ 8 mm 

6 φ 32 mm 

20 

250 

20 

Figura 9 - Viga em concreto armado: geometria, simetria geométrica e de carregamento e 

disposição da armadura. 

Neste exemplo, para os parâmetros do modelo proposto relativos a D 1 e D 2 , 

foram adotados os mesmos valores utilizados no estudo das vigas do item 5.1.1. Na 

análise plana é necessária também a obtenção dos parâmetros relativos à lei de 

evolução da variável D 3 , os quais foram identificados com base na resposta ilustrada 

na Figura 2a. Para efeito de comparação de resultados, além das medidas 

experimentais apresenta-se a resposta numérica obtida por PEREGO (1989) com o 

modelo de Mazars. A Tabela 3 resume os parâmetros utilizados pelos modelos 

envolvidos na análise. 

Tabela 3 - Parâmetros dos modelos de Mazars [PEREGO (1989)] e proposto. 

Mazars 

Proposto 


A T = 0,995 A C = 1,13 Y 01 =0,72x10 -4 MPa Y 02 =0,5x10 -3 MPa Y 03 =0,5x10 -3 MPa 

B T = 8000 B C = 1643,5 A 1 =50 A 2 = -0,9 A 3 = -0,6 

ε d0 =0,000067 B 1 = 6700 MPa -1 B 2 =0,4MPa -1 B 3 =70000 MPa -1 

Alguns comentários adicionais devem ser feitos em relação à discretização e 

idealização adotadas. 

Com relação ao comportamento elástico-linear para o aço, tal hipótese é 

justificável no caso de vigas que possuem alta taxa de armadura, onde o colapso 

acontece sobretudo pelo comprometimento do concreto. 

A discretização da viga foi efetuada utilizando-se uma malha constituída por 

342 elementos finitos quadrangulares de 4 nós, dispostos no plano médio da viga. A 

altura da viga foi subdividida em 38 camadas de elementos onde uma única camada 

representa a armadura, com área equivalente disposta no baricentro geométrico das 

barras de aço. 



135 

A força concentrada aplicada foi representada por uma carga distribuída em 

torno do ponto de aplicação para evitar qualquer problema de concentração 

exagerada de tensões nesta zona. O mesmo procedimento foi adotado na simulação 

do apoio da viga. 

A resposta obtida em termos da curva carga-deslocamento (Fig. 10) mostra, 

em sua maior parte, uma ótima coerência com os resultados experimentais 

apresentados em PEREGO (1989). De fato, o modelo proposto é capaz de colher com 

boa precisão a não-linearidade da curva até o nível de força de 220 kN, a partir do 

qual surge uma instabilidade na resposta numérica, decorrente dos elevados níveis de 

danificação. Na análise efetuada por PEREGO (1989), com o modelo de Mazars, 

apresentou-se a instabilidade numérica já por volta da força de 120 kN. 

VIGA 6#32 mm - PEREGO (1989) 

300 

Força (kN) 

250 

200 

150 

100 

50 

Experimental 

Modelo Proposto 

Modelo de Mazars - PEREGO (1989) 

0 

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 

Deslocamento (cm) 

Figura 10 - Resultados numéricos: curva carga-deslocamento no meio do vão. 

Observa-se mais uma vez, que o modelo proposto penaliza seletivamente a 

rigidez do material de acordo com a direção considerada. Isso não ocorre com o 

modelo de Mazars, que por danificar exageradamente a rigidez do material em todas 

as direções em torno de um ponto, acaba por apresentar problemas de ordem 

numérica devido ao mal condicionamento da matriz de rigidez global da estrutura, 

logo num nível intermediário de carga. 

É possível dar uma explicação plausível para a instabilidade observada. O 

modelo numérico na verdade procura reproduzir uma situação de danificação 

fortemente localizada, que seria equivalente à formação de uma zona de fissuração 

intensa. Fisicamente essa zona se manifesta efetivamente entre as forças aplicadas. 

Para visualizar a distribuição de dano na viga, representam-se curvas de 

isodano (curvas caracterizadas por D = constante), obtidas com base na interpolação 

dos valores das variáveis de dano nos pontos de integração adotados. Deve-se 

observar que esta representação é mais eficiente quanto maior for o número de 

pontos adotados. Na figura seguir são ilustradas as curvas de isodano para as 


136 


diferentes variáveis de dano do modelo proposto e em diversos instantes da história 

de carregamento. 

0.30 

0.00 

NÍVEL 40 kN 

NÍVEL 40 kN 

0.50 

0.20 

0.50 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.10 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.00 

0.00 

0.08 

0.90 

NÍVEL 120 kN 

0.80 

NÍVEL 120 kN 

0.50 

0.70 

0.60 

0.50 

0.50 

0.04 

0.40 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.30 

0.20 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.10 

0.00 

0.00 

0.90 

0.50 

NÍVEL 220 kN 

0.80 

0.70 

NÍVEL 220 kN 

0.12 

0.60 

0.50 

0.50 

0.40 

0.08 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.30 

0.20 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.04 

0.10 

0.00 

0.00 

0.90 

0.50 

NÍVEL 260 kN 

0.80 

0.70 

NÍVEL 260 kN 

0.20 

0.60 

0.50 

0.50 

0.16 

0.40 

0.12 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.30 

0.20 

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 

0.08 

0.10 

0.04 

0.00 

0.00 

Figura 11 - Viga em concreto armado – viga 6φ32.0 mm: a) distribuição de dano D 1 ; b) 

distribuição de dano D 2 ; c) distribuição de dano D 3 . 

Como se pode observar, já para um nível de solicitação correspondente a 15% 

da força máxima, tem-se uma considerável danificação em tração na parte inferior da 

viga. Nos sucessivos níveis de carregamento observa-se que a zona de dano em 

tração se propaga de baixo para cima e em direção à zona do apoio. Na região 

superior da viga, valores de dano em compressão D 2 surgem somente por volta de 

50% da força máxima. Próximo à intensidade de 220 kN para a força máxima aplicada 

observa-se uma zona de dano D 3 com razoáveis valores, inclusive indicando uma 

certa concentração de danificação junto ao apoio, e uma vasta região inferior com 

dano D 1 chegando a atingir valores próximos a 1. Esta evolução de danificação está 

de acordo com o exposto em PEREGO (1989). 



137 

5.2.2 Vigas em concreto armado [ÁLVARES (1993)] 

As vigas analisadas no item 5.1.1 com aplicação do modelo proposto em sua 

versão uniaxial, passam agora a ser estudadas com o emprego de uma versão para 

análise plana. Portanto os parâmetros elásticos do concreto e do aço são mantidos. O 

mesmo acontece com os parâmetros do modelo proposto relativos às leis de evolução 

das variáveis de dano D 1 e D 2 . 

Em sua versão bidimensional, o modelo utiliza a variável de dano D 3 e os 

valores adotados para os parâmetros envolvidos com essa variável são os mesmos 

utilizados no exemplo anterior (item 5.2.1). Para efeito de comparação, apresentam-se 

nos gráficos de resultados além da reposta experimental, a resposta numérica obtida 

com o modelo em sua versão uniaxial. A tabela a seguir contém os valores dos 

parâmetros para o modelo proposto. 

Tabela 4 - Parâmetros do modelo proposto. 

Proposto 

Tração 

Compressão 

Y 01 = 0,72x10 -4 MPa Y 02 = 0,5x10 -3 MPa Y 03 = 0,5x10 -3 MPa 

A 1 = 50 A 2 = -0,9 A 3 = -0,6 

B 1 = 6700 MPa -1 B 2 = 0,4MPa -1 B 3 = 70000 MPa -1 

Os primeiros testes realizados com malhas formadas por 342 elementos finitos 

quadrangulares de 4 nós dispostos no plano médio da viga, aproveitando-se a 

simetria das vigas, não apresentaram resultados satisfatórios. De fato, notaram-se 

tanto irregularidades nas curvas-resposta quanto rigidez exagerada. 

O problema de irregularidade da resposta foi contornado adotando-se uma 

alternativa eficaz porém com custo computacional crescente com o avanço da análise. 

Trata-se da não contribuição para a atualização da matriz de rigidez global da 

estrutura, somente para fins de reaplicação do resíduo, de pontos que apresentam 

certo nível de dano (0,65 por exemplo). 

Já o problema de travamento dos elementos, que poderia ser em parte 

responsável pela rigidez excessiva, pôde ser contornado com o emprego de uma 

discretização mais refinada na direção longitudinal, diminuindo assim a diferença 

entre a espessura e o comprimento dos elementos representativos do aço em relação 

aos demais. Para tanto adotou-se uma discretização composta por 7200 elementos 

finitos quadrangulares de 4 nós subdividindo a altura da viga em 60 camadas. 

A Figura 12 ilustra as respostas obtidas. Observa-se que nas vigas super 

armada e normalmente armada a resposta numérica consegue simular bem o 

comportamento experimental até níveis intermediários de carga. Já o mesmo não 

acontece no caso da viga de 3#10.0 mm. Acredita-se que a incorporação de leis de 

evolução e a identificação paramétrica das variáveis de dano relativas ao 

cisalhamento possam contribuir para melhorar as respostas nesse caso. De fato, a 

danificação relativa ao cisalhamento, gerando uma contribuição importante na 

dissipação de energia, é possível de ser fornecida pelo modelo proposto, e 

potencialmente visa melhorar sua capacidade de simular o comportamento do 

concreto em situações onde haja uma perda mais intensa de resistência ao 

cisalhamento. Contudo, é importante observar que mesmo essa consideração pode 


138 


ser limitada se houver forte localização da danificação, o que ocorre próximo da 

situação de carregamento último. 



45,00 

70,00 

40,00 

60,00 

35,00 

30,00 

50,00 

Força (kN) 

25,00 

20,00 

Força (kN) 

40,00 

30,00 

15,00 

10,00 

20,00 

5,00 

10,00 

0,00 

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 

0,00 

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 




90,00 

80,00 

Resultado Experimental 

70,00 

60,00 

Modelo Proposto (Análise Unidimensional) 

Força (kN) 

50,00 

40,00 

Modelo Proposto (Análise Plana)-7200 elem 

30,00 

20,00 

10,00 

0,00 

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 


Figura 12 - Resultados numéricos da análise bidimensional. 

Na figura a seguir são ilustradas as distribuições dos valores das variáveis de 

dano para a viga com alta taxa de armadura em algumas etapas de carregamento. 

Observa-se que para baixos níveis de carregamento a danificação em tração 

possui valores significativos na parte inferior da viga. Com o incremento da força 

aplicada a zona de danificação aumenta de baixo para cima e em direção à zona do 

apoio. Na parte superior da viga, a variável de dano D 2 possui valores baixos em 

relação à variável D 3 e ambas surgem também na zona do apoio em níveis próximos 

a força máxima. 



139 

NÍVEL 15 kN 

0.70 

0.60 

NíVEL 15 kN 

0.10 

NÍVEL 15 kN 

0.50 

0.40 

0.50 

0.20 

0.40 

0.20 

0.20 

0.30 

0.10 

0.30 

0.10 

0.10 

0.20 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.20 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.10 

0.10 

0.00 

0.00 

0.00 

NÍVEL 36 kN 

1.00 

0.90 

0.80 

NÍVEL 36 kN 

0.60 

0.50 

NÍVEL 36 kN 

0.80 

0.70 

0.70 

0.60 

0.20 

0.10 

0.60 

0.50 

0.40 

0.20 

0.10 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

0.50 

0.40 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.30 

0.20 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.20 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.30 

0.20 

0.10 

0.10 

0.10 

0.00 

0.00 

0.00 

NÍVEL 51 kN 

0.90 

0.80 

0.70 

NÍVEL 51 kN 

0.60 

0.50 

NÍVEL 51 kN 

0.80 

0.70 

0.20 

0.60 

0.50 

0.20 

0.40 

0.60 

0.50 

0.10 

0.40 

0.10 

0.30 

0.20 

0.40 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.30 

0.20 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.20 

0.10 

0.30 

0.10 

0.10 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.20 

0.00 

0.10 

0.00 

0.00 

1.00 

0.60 

0.80 

NÍVEL 61 kN 

0.90 

0.80 

NÍVEL 61 kN 

0.50 

NÍVEL 61 kN 

0.70 

0.70 

0.60 

0.20 

0.10 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.60 

0.50 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

0.20 

0.10 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

0.20 

0.10 

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 

0.50 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

0.00 

Figura 13 - Viga em concreto armado – viga 7φ10.0 mm: a) distribuição de dano D 1 ; b) 

distribuição de dano D 2 ; c) distribuição de dano D 3 . 

0.00 

0.00 

Conclui-se, que o objetivo de validar o emprego da proposta de modelo na 

simulação do comportamento de estruturas em concreto armado foi alcançado. 

Entretanto, nas análises planas ficaram evidentes alguns problemas de ordem 

numérica principalmente no caso da viga pouco armada onde o panorama de 

fissuração é mais localizado [ver ÁLVARES (1993)]. Problemas similares surgidos na 

análise dessas vigas encontram-se em BARROS (2002). Pode-se concluir ainda que 

a fissuração localizada é claramente uma situação limitante do emprego do modelo 

proposto. 

6 CONCLUSÕES 

Neste trabalho, apresentou-se uma extensão da formulação de modelos 

constitutivos para materiais elásticos anisótropos que possuem diferentes 

comportamentos em tração e em compressão, proposta por CURNIER et all (1995), 

para os casos onde a danificação induz anisotropia e comportamento bimodular. 

Entre os aspectos característicos da Mecânica do Dano incorporados ao 

modelo derivado da extensão da formulação mencionada, destaca-se a equivalência 

energética visando a obtenção de tensores constitutivos simétricos. A consideração 

do caráter bimodular induzido pela danificação foi levada em conta pela definição de 

dois tensores de dano, um para estados dominantes de tração e um outro para 


140 


compressão. Essa consideração levou à necessidade da definição de um critério para 

a divisão do espaço das deformações. 

Em seguida, abordaram-se os critérios em energia para identificação do início 

e evolução dos processos de danificação. Outro detalhe importante do modelo disse 

respeito à determinação do plano local de isotropia transversal do material, necessário 

para estabelecer a forma do tensor A utilizado quando o processo de danificação é 

ativado. 

De uma maneira geral, os resultados de aplicação inicial do modelo foram 

satisfatórios, principalmente no que diz respeito à recuperação dos valores de tensão 

de pico e do comportamento do concreto até valores elevados de tensão. Destacamse 

as formas das curvas tensão-deformação em tração e compressão uniaxial e a 

obtenção da envoltória de ruptura do concreto em estados biaxiais de tensão, 

comprovando, dessa maneira, a validade do modelo quando aplicado à simulação do 

comportamento mecânico do concreto. Os resultados obtidos apontam, ainda, que as 

deformações residuais podem ter significativa importância nas respostas pós-pico. 

Para confirmar essa afirmação, foram apresentadas respostas numéricas que 

consideram deformações permanentes na formulação do modelo proposto 

originalmente. 

O emprego do modelo proposto na análise de estruturas de concreto se 

mostrou bastante satisfatório. No caso das análises unidimensionais, verificou-se 

ótima concordância entre as respostas obtidas com o modelo proposto e as respostas 

experimentais de vigas em concreto armado ensaiadas por ÁLVARES (1993). No 

confronto com modelos isótropos de dano, propostos por La Borderie e Mazars, 

observou-se uma grande semelhança da resposta estrutural dentro dos limites do 

regime de serviço. Contudo, nesse regime, dada a simplificação dimensional, não 

ficaram evidenciadas as vantagens de se empregar um modelo com anisotropia 

induzida. Já nas proximidades do regime de ruptura, o modelo proposto, em razão de 

proporcionar um processo de danificação menos intenso, e por se tratar de um 

modelo formulado com a hipótese de equivalência de energia, apresentou uma 

resposta em que o concreto acabou por resistir aos esforços solicitantes de maneira 

mais eficiente. Os reflexos desse comportamento se manifestaram nos níveis de 

plastificação das armaduras, que aconteceram com valores de força aplicada mais 

próximos dos experimentais particularmente nos casos das vigas armadas com 

5φ10.0 mm e com 7φ10.0 mm, por se tratarem de vigas com uma fissuração mais 

difusa em relação à viga armada com 3φ10.0 mm. Pensa-se que estas conclusões 

podem servir de indício para o que acontece nas análises bidimensionais. 

Na análise do pórtico em concreto armado, apesar das limitações quanto à 

identificação paramétrica, o modelo proposto permitiu simular o comportamento da 

estrutura de maneira bastante satisfatória, sem requerer um refinamento mais 

apurado da malha. As evidências experimentais de início de fissuração e de 

plastificação das armaduras, relatadas em VECCHIO et all (1992), foram colhidas com 

suficiente precisão. 

No caso das análises bidimensionais, pôde-se observar o bom resultado 

obtido pela aplicação do modelo na simulação do comportamento da viga ensaiada 

por PEREGO (1989). Essa viga tem a particularidade de apresentar uma elevada taxa 

de armadura, sendo a não-linearidade quase que exclusivamente decorrente do dano 

no concreto. Contudo, nos exemplos compostos por três séries de vigas, com 



141 

diferentes taxas de armadura, surgiram problemas de ordem numérica inerentes à 

análise plana. Nos casos com menor taxa de armadura a fissuração passa a ser 

localizada após um certo nível de solicitação, limitando a aplicação de um modelo que 

pressupõe dano distribuído. Por fim, nos casos de maior taxa de armadura, constatouse 

que pode ser importante a identificação das leis de evolução das variáveis de dano 

ligadas ao cisalhamento, recurso disponível pelo modelo mas que não foi explorado 

nos exemplos. 

Pelas respostas apresentadas pelo modelo verificou-se a validação e a 

potencialidade do seu emprego na análise de estruturas em concreto armado. 


Agradecemos à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não 

poderia ser realizada. Agradecemos também ao LMT (Laboratoire de Mécanique et 

Technologie – Université Paris VI) pela utilização do programa EFICoS. 


ÁLVARES, M. S. (1993). Estudo de um modelo de dano para o concreto: 

formulação, identificação paramétrica e aplicação com emprego do método dos 

elementos finitos. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de 

São Carlos - Universidade de São Paulo. 

BARROS, F. B. (2002). Métodos sem malha e método dos elementos finitos 

generalizados em análise não-linear de estruturas. São Carlos. Tese (Doutorado) - 

Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. 

CAUVIN, A.; TESTA, R. B. (1999). Elastoplastic materials with isotropic damage. 

International Journal of Solids and Structures, v. 36, p. 727-746. 

CAUVIN, A.; TESTA, R. B. (1999). Damage mechanics: basic variables in continuum 

theories. International Journal of Solids and Structures, v. 36, p. 747-761. 

COMI, C. (2000). A nonlocal damage model with permanent strains for quasibrittle 

materials. Continuous Damage and Fracture. Ahmed Benallal (Ed.). p. 221- 

232. 

COMI, C.; PEREGO, U. (2000). A bi-dissipative damage model for concrete with 

applications to dam engineering. European Congress on Computational Methods in 

Applied Sciencs and Engineering – ECOMAS 2000. 

CORDEBOIS, J. P.; SIDOROFF, F. (1979). Damage induced elastic anisotropy. 

Colloque Euromech, 115, Villars de Lans. 


142 


CURNIER, A.; HE, Q.; ZYSSET, P. (1995). Conewise linear elastic materials. Journal 

of Elasticity, v. 37, p. 1-38. 

HE, Q.; CURNIER, A. (1995). A more fundamental approach to damage elastic stressstrain 

relations. International Journal of Solids and Structures, v. 32, p. 1433-1457. 

JONES, R. M. (1977). Stress-strain relations for materials with different moduli in 

tension and compression. AIAA Journal, v. 15, p. 16-23. 

KUPFER, H.; HILSDORF, H. K.; RUSCH, H. (1969). Behavior of concrete under biaxial 

stresses. ACI Journal, v. 66, p. 656-666. 

LA BORDERIE, C. (1991). Phenomenes unilateraux dans un materiau 

endommageable: modelisation et application a l’analyse de structures en beton. 

These de Doctorat de l’universite Paris. 

LEMAITRE, J. (1996). A course on damage mechanics. Springer Verlag. 

MAZARS, J. (1984). Application de la mécanique de l’endommagement au 

comportement non lineaire et à la rupture du béton de structure. Thése de 

Doctorat d’État, Université Paris 6. 

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concrete. Engineering Fracture Mechanics, v. 35, n. 4/5, p. 629-635. 

PAPA, E.; TALIERCIO (1996). Anisotropic damage model for the multiaxial static and 

fatigue behaviour of plain concrete. Engineering Fracture Mechanics, v. 55, n. 2, p. 

163-179. 

PEREGO, M. (1989). Danneggiamento dei materiali lapidei: leggi constitutive, 

analisis per elementi finiti ed applicazioni. Tesi di Laurea, Politecnico di Milano. 

PITUBA, J. J. C. (1998). Estudo e aplicação de modelos constitutivos para o 

concreto fundamentados na mecânica do dano contínuo. São Carlos. Dissertação 

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du béton endommagé avec discription du caractère unilatéral. Thèse de Doctorat 

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VAN MIER, G. M. (1984). Strain-softening of concrete under multiaxial loading 

conditions. PhD Thesis, Eindhoven Tech. Univ. 



143 

VECCHIO, F. J.; EMARA, M. B. (1992). Shear deformations in reinforced concrete 

frames. ACI Structural Journal, v. 89, n. 1, p. 46-56. 

WILLAM, K.; STANKOWSKI, T.; STURE, S. (1988). Theory and basic concepts for 

modelling concrete behavior. Contribution to the 26 th CEB Plenary Session, 

Dubrovnik. 

9 APÊNDICE – RELAÇÕES MATEMÁTICAS DE INTERESSE 

Existem três tensores isótropos de quarta ordem linearmente independentes: 

I ⊗ I = δ ij δ kl (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

(A1) 

I 

⊗ I = δ ik δ jl (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

− 

(A2) 

I − ⊗ I = δ il δ jk (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

(A3) 

Um tensor decorrente dos anteriores é o seguinte: 

I ⊗ − I = 

− 

1 

2 

− 

⎡ ⎤ 

⎢ 

I ⊗I 

+ I ⊗I 

⎣ 

− ⎥ 

⎦ 

(A4) 

Com as propriedades dos tensores (A1) a (A4), decorrem os tensores de 

quarta ordem envolvidos na formulação: 

A ⊗ A = A ij A kl (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

(A5) 

A ⊗ I = A ij δ kl (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

(A6) 

I ⊗ A = δ ij A kl (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

(A7) 

A − 1 

⊗ I = (Aik δ jl + δ il A jk ) (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

− 2 

(A8) 

I − 1 

⊗ A = (δik A jl + A il δ jk ) (e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l ) 

− 2 

(A9) 

Pode-se, então, definir as operações de produtos tensoriais entre tensores de 

segunda ordem, descritas em CURNIER et all (1995), como 


144 


[ R ⊗ T]X = (X.T)R ∀ X ∈ ξ (espaço dos tensores de 2° ordem simétricos) 

[ R ⊗T]X 

= RXT 

− 

T 

; 

_ 

[ R ⊗ T] 

X = RX 

T T T 

_ 

[ R ⊗T] 

X = ( RXT + TX 

− 

T 

T 

R 

T 

− 

)/ 2 , isto é, R ⊗ T = [ R ⊗T 

+ T ⊗R]/ 

2 (A10) 

− 

− 

− 

Numa representação puramente matricial, os produtos tensoriais anteriores 

possuem a função de alocar as constantes elásticas do material em determinadas 

posições nos tensores constitutivos. 

Considere-se o caso em que o versor a perpendicular ao plano local de 

isotropia transversal está contido no plano XY e possui uma inclinação α em relação 

ao eixo X segundo o sistema de coordenadas locais XYZ (Fig. 14). 

Y 

a = (cosα; senα; 0) 

α 

X 

Z 

Figura 14 - Sistema local de referência do material. O plano local de isotropia transversal 

rotaciona em torno do eixo Z. 

Portanto, o plano local de isotropia transversal rotaciona em trono do eixo Z de 

acordo com a variação do ângulo α. Sendo assim, a forma matricial do tensor A é 

dada por: 

⎧cos 

α⎫ 

A T 

= a ⊗ a = aa = ⎪ ⎪ 

⎨sen 

α⎬ 

{ cos α sen α 0 } 

⎪ 0 ⎪ 

⎩ ⎭ 

⎧ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

cos 

sen 

2 

2 

α 

α 

0 

⎪ ⎪ 

A = ⎡ 

2 

cos α cos α sen α 0⎤ 

⎪cos 

α sen α⎪ 

(A11) 

⎢ 

2 ⎥ 

⎢cos 

α sen α sen α 0⎥ 

= ⎨ 0 ⎬ 

⎢ 

⎥ ⎪ ⎪ 

⎣ 

0 

0 0 

⎦ ⎪ 

cos α sen α 

⎪ 

⎪ 0 ⎪ 

⎪ ⎪ 

⎪ 0 ⎪ 

⎪ 

⎩ 0 ⎪ 

⎭ 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 



Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 10, n. 47, p. 117-146, 2008 

145 

Logo, observando o sistema de coordenadas descrito na Figura 14, os 

tensores de quarta ordem envolvidos na formulação assumem as seguintes formas: 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= 

⊗ 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

I 

I 

(A12) 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= 

⊗ 

2 

1 

0 

2 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

2 

1 

0 

0 

2 

1 

0 

0 

0 

0 

2 

1 

0 

2 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

2 

1 

0 

2 

1 

0 

0 

0 

0 

2 

1 

0 

0 

2 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

2 

1 

0 

2 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

I 

I 

(A13) 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= 

⊗ 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

I 

I 

(A14) 

A ⊗ A = 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

α 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

cos 

sen 

cos 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

cos 

sen 

cos 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

sen 

cos 

0 

0 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

cos 

0 

sen 

cos 

cos 

2 

2 

2 

2 

3 

3 

2 

2 

2 

2 

3 

3 

3 

3 

4 

2 

2 

3 

3 

2 

2 

4 

(A15)

146 


( A ⊗ I) + ( I ⊗ A)= 

⎡ 

2 

2cos α 

⎢ 2 

2 

⎢cos 

α + sen α 

2 

cos α 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

cosα 

senα 

0 

cosα 

senα 

0 

0 

0 

2 

cos α + sen α 

2sen 

sen 

2 

2 

α 

α 

2 

cosα 

senα 

0 

cosα 

senα 

0 

0 

0 

cos 

sen 

2 

2 

α 

α 

0 

cosα 

senα 

0 

cosα 

senα 

0 

0 

0 

cosα 

senα 

cosα 

senα 

cosα 

senα 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

cosα 

senα 

cosα 

senα 

cosα 

senα 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0⎤ 

⎥ 

0⎥ 

0⎥ 

⎥ 

0⎥ 

0⎥ 

⎥ 

0⎥ 

⎥ 

0 

⎥ 

0⎥ 

⎥ 

0⎦ 

(A16) 

( A⊗I) + ( I⊗A 

) = 

⎡ 

2 

2 cos α 

⎢ 

⎢ 0 

⎢ 0 

⎢ 

⎢cos 

α sen α 

⎢ 

⎢ 

⎢ 0 

⎢ 

⎢cos 

α sen α 

⎢ 

⎢ 

⎢ 0 

⎢ 

⎢ 

⎢ 0 

⎢ 

⎢ 0 

⎢⎣ 

0 

2 sen 

0 

α 

cos α sen α 

0 

cos α sen α 

0 

0 

0 

2 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

2 

1 

2 

cos α sen α 0 cos α sen α 

cos α sen α 0 cos α sen α 

0 

2 

2 

1 2 

2 

( cos α + sen α) 0 ( cos α + sen α) 

0 

2 

2 

1 2 

2 

( cos α + sen α) 0 ( cos α + sen α) 

0 

0 

0 

0 

cos 

2 

2 

α 

2 

2 

cos α sen α 

2 

2 

cos α 

2 

cos α sen α 

2 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

cos α sen α 

2 

0 

sen 

2 

α 

2 

cos α sen α 

2 

2 

sen α 

2 

0 

0 

0 

0 

cos 

2 

α 

2 

0 

cos α sen α 

2 

2 

cos α 

2 

cos α sen α 

2 

0 ⎤ 

⎥ 

0 ⎥ 

0 ⎥ 

⎥ 

0 ⎥ 

⎥ 

cos α sen α⎥ 

⎥ 

2 

⎥ 

0 ⎥ 

⎥ 

2 

sen α ⎥ 

⎥ 

2 ⎥ 

cos α sen α⎥ 

⎥ 

2 

2 ⎥ 

sen α ⎥ 

2 ⎥⎦ 

(A17) 

Observa-se que os tensores constituintes do tensor constitutivo do modelo 

proposto, (A15), (A16) e (A17), além dos tensores isótropos (A12), (A13) e (A14), são 

simétricos. 

Cabe ressaltar que adotando-se α = 0° define-se o caso em que o plano local 

de isotropia local do material é dado por YZ. 

Finalmente, no caso mais geral, o versor a contém componentes segundo os 

eixos X, Y e Z do sistema de coordenadas locais. Com isso, os tensores de quarta 

ordem contidos na formulação do modelo proposto possuem componentes 

dependentes dos cosenos e senos dos ângulos entre o versor a e os eixos X, Y e Z.

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