Teoria dos Grafos Conjunto Independente de Vértices Conjunto ...

Teoria dos Grafos
Conjunto Independente de Vértices
• Seja um grafo G= (V, E):
– Um conjunto independente de de vértices V IND IND
de de G é um
subconjunto de de V em que não existe nenhuma aresta entre
qualquer par de de elementos de de V IND . IND .
Conjunto Independente de Vértices, Clique e
Cobertura de Vértices
Grafo G
Conjunto Independente de G
Teoria dos Grafos
© Jorge Figueiredo, DSC/UFCG
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Conjunto Independente de Vértices
Conjunto Independente de Vértice
• V IND IND
é máximo se se não existe um V IND IND
’’ tal talque |V |V IND IND
’| ’| > |V |V IND IND
|. |.
• V IND IND
é maximal se se não existe um V IND IND
’’ tal talque V IND IND
’’ ⊃ V IND IND
..
• O conjunto independente do do exemplo abaixo é máximo? É
maximal?
Exercício 1: 1:
• Encontre no no grafo abaixo um Conjunto Independente Maximal
que não é máximo. Qual a cardinalidade do do Conjunto
Independente máximo?
A B C D
E F G H
Grafo G
Conjunto Independente de G
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© Jorge Figueiredo, DSC/UFCG
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Conjunto Independente de Vértice
Conjunto Independente de Vértice
Exercício 2: 2:
• Considere o algoritmo abaixo. Ele resolve o problema do do
conjunto independente máximo?
Exercício 3: 3:
• Considere o algoritmo abaixo. Ele resolve o problema do do
conjunto independente máximo?
CINDMax1(G)
C IND
← ∅
while ∃v ∈ V-C IND | C IND ∪ {v} é independente do
C IND
← C IND
∪ {v}
CINDMax2(G)
C IND
← ∅
Y ← V
while Y ≠ ∅do
escolher v ∈ V, com |N(v)| mínimo
C IND
← C IND
∪ {v}
Y ← Y – {v}
Y ← Y – N(v)
return C IND
return C IND
Teoria dos Grafos © Jorge Figueiredo, DSC/UFCG
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Cobertura de Vértices
Clique
• Seja um grafo G= (V, E):
– Uma cobertura de de vértices V COB COB
de de G é um subconjunto de de
V em que para qualquer aresta (u, (u, v) v) ∈ E, E, u ∈V COB ou COB ouv ∈
V COB . COB .
• Seja um grafo G= (V, E):
– Um clique V CLQ CLQ
de de G é um subconjunto de de V, V, em que
quaisquer dois vértices u, u, v ∈ V CLQ , CLQ , a aresta (u, (u, v) v) ∈ E. E.
Duas possíveis cobertura de vértices de G
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© Jorge Figueiredo, DSC/UFCG
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Exercício
• Não existe nenhum algoritmo de de tempo polinomial que
resolva estes problemas.
• É possível, entretanto, verificar em tempo polinomial se se um
determinado conjunto de de vértices é um conjunto
independente, um clique ou ou uma cobertura de de vértices.
• Um conjunto indepenedente de de G é um clique do do
complemento de de G. G.
• A Vila de de Grafos é uma área que consiste de de um grande
número de de ruas retilíneas que ligam pequenas praças. Um
guarda postado em uma praça é capaz de de vigiar todas as as
ruas que saem da da praça. Qual o número mínimo guardas
necessário para vigiar toda a Vila? Resolva usando grafos.
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