1. Calcule o valor de m e n para que as matrizes A e B ... - UTFPR

1. Calcule o valor de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais.
[ ] [ ]
m 2 − 40 n 2 + 4
41 13
A =
e B =
.
6 3
6 3
2. Dadas as matrizes A =
calcule:
[
2 3 8
4 −1 −6
] [ ] [
5 −7 −9
0 9 8
, B =
e C =
0 4 1
1 4 6
]
,
(a) A + B
(b) A − C
(c) X = 4A − 3B + 5C.
⎡
⎤ ⎡ ⎤
1 2 3
x 1
3. Efetue a multiplicação das matrizes A = ⎢
⎣ −2 −5 7 ⎥
⎦ e X = ⎢
⎣ x 2
⎥
⎦ .
3 9 −8
x 3
⎡ ⎤
1 −2
[ ]
3 1
1 3 −5 −7
4. Dadas as matrizes A =
e B =
, calcule:
⎢
⎣
7 −4 ⎥
⎦
6 2 −8 3
5 9
(a) A.B
(b) B.A
5. Nos exercícios abaixo, verifique se a matriz B é a inversa da matriz A:
⎡
⎤ ⎡
⎤
−2 −4 −6
− 3 (a) A = ⎢
⎣ −4 −6 −6 ⎥
⎦ e B = 2
2 − 3 2
⎢
⎣ 2 − 5 3 ⎥
2 2 ⎦
−4 −4 −2
−1 1 − 1 2
⎡
⎤ ⎡
⎤
4 5 0
9 3 4
(b) A = ⎢
⎣ 2 3 0 ⎥
⎦ e B = ⎢
⎣ −7 2 5 ⎥
⎦ .
−6 −1 −2
1 6 8
6. Calcule os valores de m e n para que a matriz B seja a inversa da matriz A.
[ ] [ ]
m −22
5 22
A =
e B =
−2 n
2 9
1

⎡
7. Dadas as matrizes A =
⎢
⎣
(AB) T .
5 0 6
−8 0 3
−2 2 7
1 −1 −5
⎤
⎥
⎦
e B =
⎡
⎢
⎣
1 −3 −2 4
7 8 5 9
0 6 3 −8
⎤
⎥
⎦ , calcule
8. Dadas as matirzes:
[ ] [
0 1
6 9
A = , B =
1 0 −4 −6
] [
5 10
, C =
−2 −4
]
e D =
⎡
⎢
⎣
−1 2 6
3 −2 −9
−2 0 3
⎤
⎥
⎦
(a) Calcule A.A T
(c) Calcule C 2
(b) Calcule B 2 (d) Calcule D 3
⎡
⎤ ⎡
⎤
3 4 1
4 −1 3
9. Dadas as matrizes A = ⎢
⎣ −5 −2 −9 ⎥
⎦ e B = ⎢
⎣ 3 0 1 ⎥
⎦ , calcule:
7 8 6
7 2 −4
(a) detA
(b) detB
(c) det(A + B)
10. Verifique, usando o exercício anterior, se det(A + B) = detA + detB.
⎡
⎤
−2 3 1 −1
0 1 2 3
11. Calcule o determinante da matriz A =
.
⎢
⎣
1 −1 1 −2 ⎥
⎦
4 −3 5 1
5 1 3
12. Resolva a equação
3x 0 1
= 100.
∣ 7x 2 1 ∣
13. Encontre a inversa das seguintes matrizes:
[ ]
3 5
(a) A =
1 2
⎡
⎤
1 0 0 0
2 1 0 0
(b) A =
⎢
⎣
3 2 1 0 ⎥
⎦
4 3 2 1
(c) A =
(d) A =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
2 2 2
3 4 7
1 2 5
2 0 0
0 3 0
0 0 7
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
2

14. Classifique e resolva os sistemas:
{
5x + 8y = 34
(a)
10x + 16y = 50
⎧
⎪⎨ 4x − y − 3z = 15
(b) 3x − 2y + 5z = −7
⎪⎩
2x + 3y + 4z = 7
{
x + 4y + 6z = 0
(c)
− 3 2
− 6y − 9z = 0
(d)
⎧
⎪⎨ x + 4y + 6z = 11
2x + 3y + 4z = 9
⎪⎩
3x + 2y + 2z = 7
⎧
⎪⎨ 2x + 2y + 4z = 0
(e) 3x + 5y + 8z = 0
⎪⎩
5x + 25y + 20z = 0
15. Encontre o valor dos termos independentes para que o sistema tenha solução:
⎧
⎪⎨ 4x + 12y + 8z = a
2x + 5y + 3z = b
⎪⎩
−4y − 4z = c
16. Resolva os sistemas abaixo pelo método matricial:
⎧
−2x 1 − x 2 + 2x 4 = b 1
⎪⎨
3x 1 + x 2 − 2x 3 − 2x 4 = b 2
⎪⎩
−4x 1 − x 2 + 2x 3 + 3x 4 = b 3
3x 1 + x 2 − x 3 − 2x 4 = b 4
(a) b 1 = 5, b 2 = 3, b 3 = 12 e b 4 = 10
(b) b 1 = −8, b 2 = −4, b 3 = −9 e b 4 = 8
(c) b 1 = 4, b 2 = 0, b 3 = −2 e b 4 = 3
(d) b 1 = −9, b 2 = 6, b 3 = 3 e b 4 = 1
Respostas dos exercícios
1. m = ±9 e n = ±3
2. (a)
3. A.X =
[
7 −4 −1
4 3 −5
⎡
⎢
⎣
]
x 1 + 2x 2 + 3x 3
−2x 1 − 5x 2 + 7x 3
3x 1 + 9x 2 − 8x 3
(b)
⎤
⎥
⎦ .
⎡
⎤
−11 −1 11 −13
9 11 −23 −18
4. (a)
⎢
⎣
−17 13 1 −61 ⎥
⎦
59 33 −97 −8
[
2 −6 0
3 −5 −12
(b)
]
(c)
[
−60 −42
−29 49
[
−7 78 99
]
21 4 3
]
3

5. (a) sim (b) não
6. m = 9 e n = 5
⎡
5 −8 12 −6
21 42 64 −41
7.
⎢
⎣
8 25 35 −22
−28 −56 −46 35
[ ]
1 0
8. (a)
0 1
[ ]
0 0
(b)
0 0
⎤
⎥
⎦
[ ]
5 10
(c)
−2 −4
⎡
⎤
−1 2 6
(d) ⎢
⎣ 3 −2 −9 ⎥
⎦
−2 0 3
9. (a) 22
(b) −9
(c) 240
10. Não
11. 2
12. x = 5
[ ]
2 −5
13. (a) A −1 =
−1 3
⎡
1 0 0 0
(b) A −1 −2 1 0 0
=
⎢
⎣
1 −2 1 0
0 1 −2 1
⎤
⎥
⎦
(c) A não tem inversa
⎡ ⎤
1
2
0 0
(d) A −1 = ⎢ 1
⎣ 0
3
0 ⎥
⎦
1
0 0
7
14. (a) o sistema é incompatível
(b) o sistema é compatível e determinado: x = 3, y = 3 e z = −2
(c) o sistema é compatível e indeterminado: grau de liberdade g = 2
solução trivial: x = y = z = 0
soluções próprias: x = −4y − 6z
(d) o sistema é compatível e indeterminado: grau de liberdade: g=1
x = 3+2z
5
e y = 13−8z
5
(e) o sistema é compatível e determinado: admite apenas a solução trivial: x =
y = z = 0
4

15. 2a − 4b + c = 0
16. (a) x 1 = 22, x 2 = 25, x 3 = 7 e x 4 = 37
(b) x 1 = 12, x 2 = −18, x 3 = 12 e x 4 = −1
(c) x 1 = 10, x 2 = −8, x 3 = 3 e x 4 = 8
(d) x 1 = −13, x 2 = 27, x 3 = −5 e x 4 = −4
5