Vetores no plano e no espaço - UTFPR

1. Mostrar que os pontos (2, −2), (−8, 4) e (5, 3) são os vértices de um triângulo
retângulo e calcular sua área.
2. Em um paralelogramo ABCD, dois vértices consecutivos têm extremidades
nos pontos (−3, 5) e (1, 7). Se o ponto de encontro das diagonais é o
ponto (2, 2), determine as coordenadas dos outros vértices.
3. Na gura abaixo tem-se um hexágono regular inscrito numa circunferência
de centro O e raio 4. O lado AB do hexágono é paralelo ao eixo das
abscissas.
Nessas condições, assinale as armativas corretas:
O ponto de ordenada máxima da circunferência é (0, 4).
O ponto de abscissa mínima do hexágono é (−4, 0).
A distância entre os pontos C e D é 4 √ 3 unidades de comprimento.
O baricentro do triângulo ABD é o ponto (0, 2√ 3
). 3
A área do triângulo OAB é 4 √ 3 unidades de área.
A área do trapézio ABEF é 12 √ 3 unidades de área.
4. Na gura seguinte temos um quadrado ABCD com centro no ponto Q =
(2, 2).
Nessas condições, assinale a única alternativa correta:
1

(a) A diagonal AC do quadrado mede 6 unidades de comprimento.
(b) A área do triângulo AOB mede 12 unidades de área.
(c) O perímetro do quadrado mede 6 √ 2 unidades de comprimento.
(d) Os pontos A, B e M = (0, 7) estão alinhados.
(e) O baricentro do triângulo AOB coincide com o centro Q do quadrado.
5. Seja ABCD a base de uma pirâmide cujo vértice é o ponto P = (2, 2, 8).
Calcule o volume da pirâmide sabendo que A = (2, 1, 2), B = (3, 2, 2), C =
(2, 3, 2) e D = (1, 2, 2).
6. Dados representantes dos vetores −→ u e −→ v conforme a gura, ache um
representante de −→ x tal que −→ u + −→ v + −→ x = −→ 0 .
7. Ache a soma dos vetores indicados na gura, nos casos:
Figure 1: Cubo
Figure 2: Hexágono regular
Figure 3: Hexágono regular
8. Dados quatro pontos A, B, C e X tais que −−→ AX = m −−→ XB, exprima −−→ CX em
função de −→ CA e −→ CB (e m).
9. Represente gracamente o vetor −→ u = 3 −→ i + 4 −→ j + 2 −→ k .
2

10. Verique se os vetores ⃗u = (1, −1, 2), ⃗v = (0, 1, 3) e ⃗w = (4, −3, 11) são
coplanares.
11. Os vetores ⃗u = (1, 1, 1), ⃗v = (0, 0, 1) e ⃗w = (0, 1, 1) formam uma base? Se
formam, escreva o vetor ⃗t = (−1, 4, 9) como combinação linear de ⃗u, ⃗v e
⃗w. Senão, escreva ⃗u como combinação linear de ⃗v e ⃗w.
12. Verique se os pontos A = (4, 5, 1), B = (−4, 4, 4), C = (0, −1, −1) e
D = (3, 9, 4) são coplanares.
13. Determine m, sabendo-se ortogonais os vetores ⃗u = 3⃗i + m⃗j + ⃗ k e ⃗v =
⃗i − √ 2⃗j − ⃗ k.
14. Encontre o vetor ⃗u = (x, y, z) sabendo que:
1) ⃗u é paralelo a ⃗v = (−1, 1, 2);
2) ⃗u · ⃗w = 15, onde ⃗w = (2, 1, 3).
15. Calcular o valor de m para que o vetor ⃗u+⃗v seja ortogonal ao vetor ⃗w −⃗u,
onde ⃗u = (2, 1, m), ⃗v = (m + 2, −5, 2) e ⃗w = (2m, 8, m).
16. Os pontos A = (2, 1, 2), B = (1, 2, z) e C = (−1, 0, −1) são vértices de um
triângulo retângulo, com ângulo reto em B. Calcule z.
17. Sendo ⃗v = (1, −1, 1), ache o vetor ⃗u = (x, y, z) que satisfaça as três
condições seguintes:
1) ⃗u seja ortogonal ao eixo x;
2) ⃗u · ⃗v = 0;
3) ‖⃗v × ⃗u‖ = 3 √ 6.
18. Determine o vetor unitário ⃗n, ortogonal aos vetores ⃗u = (2, 3, −1) e ⃗v =
(1, 1, 2).
19. Sendo ‖⃗u‖ = 5, ‖⃗v‖ = 6 e θ ⃗u⃗v = 30 o , calcule:
(a) a área do triângulo construído sobre ⃗u e ⃗v;
(b) a área do paralelogramo construído sobre ⃗u + 2⃗v e 3⃗u − ⃗v.
20. Dados os vetores ⃗u = 2⃗i + ⃗j − ⃗ k, ⃗v =⃗i − 2⃗j + 2 ⃗ k e ⃗w = −⃗i + 3 ⃗ k, calcule:
(a) a área do paralelogramo construído sobre ⃗u e ⃗v;
(b) o volume do paralelepípedo construído sobre ⃗u, ⃗v e ⃗w;
(c) a altura do paralelepípedo;
(d) o volume do tetraedro construído sobre ⃗u, ⃗v e ⃗w.
21. Sejam ⃗u = (0, 1, 2), ⃗v = (1, 1, 0) e ⃗w = (2, 0, 0), calcule:
(a) ⃗u · ⃗v;
(b) ‖⃗u × ⃗v‖;
(c) ⃗u × ⃗v · ⃗w;
(d) (⃗u × ⃗v) × ⃗w;
(e) ⃗u × (⃗v × ⃗w);
(f) (⃗u · ⃗w)⃗v − (⃗v · ⃗w)⃗u.
22. Sendo ⃗u = (1, 1, 2) e ⃗v = (2, 3, 3), encontre o vetor projeção ortogonal de
⃗v sobre ⃗u.
3

23. Considere o triângulo de vértices A = (5, 3, 3), B = (8, 10, 2) e C =
(1, 3, 2). Encontre a área do triângulo ABC.
24. Encontre a projeção do vetor ⃗u = 4⃗i + ⃗j − 2 ⃗ k sobre os eixos x, y e z.
25. Seja ⃗u = 4⃗i + 5⃗j − 3 ⃗ k. Encontre os co-senos diretores do vetor ⃗u.
26. Seja o vetor ⃗v, com ‖⃗v‖ = 4 e seus ângulos diretores α = 45 o , β = 60 o e
γ = 120 o . Calcule as projeções do vetor ⃗v sobre os eixos cartesianos.
Respostas
1. Área = 34 u.a. Obs: Não esqueça de mostrar que o triângulo é retângulo.
2. (7, −1) e (3, −3)
3. Todas são verdadeiras.
4. (e)
5. Volume = 4 u.a.
6. Faça gracamente −→ u + −→ v e o vetor representante de −→ x deve ser oposto
a este, isto é, −→ x = −( −→ u + −→ v )
−→ −→ −→
7. Figura 1: BG + BG ou 2BG
8. −−→ CX =
m −→
CB + 1 −→
CA
1+m
1+m
Figura 2:
−→ BF
Figura 3:
−→ AD
9.
10. Os vetores ⃗u, ⃗v e ⃗w são coplanares.
11. Os vetores ⃗u, ⃗v e ⃗w formam uma base e ⃗t = −1⃗u + 5⃗v + 5 ⃗w.
12. Os pontos A, B, C e D são coplanares.
13. m = √ 2.
14. ⃗u = (−3, 3, 6).
15. m = 3 ou m = −6.
16. z = −1 ou z = 2.
17. ⃗u = (0, 3, 3) ou ⃗u = (0, −3, −3).
18. ⃗n = ( 7
5 √ 3 , −1 √
3
, −1
5 √ 3 ).
4

19. (a) S ∆ = 15
2 u.a. (b) S ⋄ = 105 u.a.
20. (a) S ⋄ = 5 √ 2 u.a.
(b) V p = 10 u.v.
(c) h p = √ 2
(d) V t = 5 3 u.v.
21. (a) 1
(b) 3
(c) −4
(d) −2⃗j − 4 ⃗ k
(e) −2⃗i
(f) −2⃗i − 4 ⃗ k.
22. proj ⃗u ⃗v = ( 11
6 , 11
6 , 11
3 ). 23. S ∆ = 21√ 2
2
.
24. proj ⃗ i ⃗u = 4 ⃗i, proj ⃗ j ⃗u = ⃗j e proj ⃗k ⃗u = −2 ⃗ k.
25. cos α = 4
5 √ 2 , cos β = 1 √
2
e cos γ = −3
5 √ 2 .
26. 2 √ 2⃗i, 2⃗j e −2 ⃗ k.
5