Ficha de revisão nº

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ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 10º ANO DE MATEMÁTICA – A Ficha de revisão nº 12 – Proposta de resolução 1. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável. A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica. • O cilindro tem uma das bases no plano xOz. • O centro dessa base é o ponto de coordenadas ( 3,0,3 ) • A outra base está contida no plano de equação y = 12 • As bolas são esferas de raio igual a 3. • Os diâmetros das esferas e das bases do cilindro são iguais 1.1. A superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano xOz tem centro no ponto ( 3,9,3 ) porque dista 3 do plano yOz por ser 3 o raio de cada esfera, dista 9 do plano xOz por essa distância ser o diâmetro da outra esfera mais o raio desta e finalmente dista 3 do plano xOy por ser 3 o raio da esfera. 1.2. Uma equação da superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano xOz é ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x− 3 + y− 9 + z− 3 = 9 1.3. Para verificarmos se o ponto ( 1,8,1 ) pertence à superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano xOz vamos ver se as suas coordenadas verificam a equação da 2 2 2 1− 3 + 8− 9 + 1− 3 = 9⇔ 4+ 1+ 4= 9⇔ 9= 9 alínea anterior: ( ) ( ) ( ) 1.4. Consideremos agora a caixa vazia. Seccionou-se a caixa pelo plano de equação z = 4 . Supondo que a unidade do referencial é o centímetro, determinemos o perímetro da secção obtida. Temos de começar por ver que a secção é um rectângulo de comprimento igual a 12 (altura do 3 1 x 3 cilindro) falta-nos encontrar a largura do rectângulo que podemos calcular a partir da vista em verdadeira grandeza desse segmento que de acordo com a figura é 2x. Vamos calcular x utilizando o Teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 x + 1 = 3 ⇔ x = 8⇔ x = 2 2 . A largura do rectângulo mede 4 2 e o perímetro será P = 12+ 12+ 4 2 + 4 2 ⇔ P= 24+ 8 2 Professora Rosa Canelas 2 Ano lectivo 2006/2007
1.5. Uma equação do plano paralelo a xOz e que passa no centro da esfera tangente ao plano xOz é y = 3 . 1.6. Para escrever uma equação vectorial da recta definida pelos centros das duas esferas precisamos de um ponto e de um vector. Um ponto pode ser (3,9,3) e um vector pode ser o vector que tem origem no centro da esfera tangente a xOz e extremidade no centro da outra esfera. Esse vector tem coordenadas (0,6,0). Uma equação da recta é ( x, y,z) = ( 3,9,3 ) + k ( 0,6,0 ), k ∈ 1.7. As coordenadas do ponto de intersecção das duas esferas são ( 3,6,3 ) 2. Na entrada dum túnel existe um arco assente em dois pilares de igual altura. A altura do arco a x metros de distância do pilar da esquerda é dada, em metros, por h( x) =− 1 ( x− 4) 2 + 7. 8 h0 =− 1 0− 4 + 7= 5o que significa que cada pilar mede 5 metros. 8 2.1. ( ) ( ) 2 2.2. A altura máxima do arco é dada pela ordenada do vértice da parábola que representa a função e que neste caso é 7 metros porque V( 4,7 ) . 2.3. O túnel tem 8 metros de largura pois o vértice pertence ao eixo de simetria da figura e se dista 4m do primeiro pilar também dista 4 metros do segundo pilar o que nos leva a concluir que a distância entre os dois pilares é 8 m. 2.4. Para sabermos a que distância do pilar da esquerda a altura do arco é superior a 6,5 metros, vamos utilizar a calculadora Concluímos assim que a altura do arco é superior a 6,5 metros desde o ponto do arco que dista 2 metros do pilar da esquerda até ao ponto do arco que dista 6 metros do pilar da esquerda. Podíamos resolver analiticamente resolvendo a inequação: 1 ( x 4 ) 2 7 6,5 x 2 8x 16 56 52 0 x 2 − − + > ⇔ − + − + − > ⇔ − + 8x − 12 > 0 8 Cálculo dos zeros: 2 − 8± 64−48 − 8± 4 − x + 8x− 12= 0⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = 6∨ x = 2 −2 −2 Atendendo agora a que a parábola tem a concavidade voltada para baixo positivo quando x∈ ] 2,6[ . 2 − x + 8x− 12 é Professora Rosa Canelas 3 Ano lectivo 2006/2007
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