FUV20021f Port - CPV
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Seu pé direito agora também na MEDICINA.<br />
UNIFESP - 20/12/2001<br />
MATEMÁTICA<br />
01. A solução do sistema de equações lineares<br />
⎧x–2y–2z = –1<br />
⎪<br />
⎨x – 2z = 3<br />
⎪<br />
⎩ y– z = 1<br />
UNIFESP2002<br />
é:<br />
a) x = –5, y = –2 e z = –1.<br />
b) x = –5, y = –2 e z = 1.<br />
c) x = –5, y = 2 e z = 1.<br />
d) x = 5, y = 2 e z = –1.<br />
e) x = 5, y = 2 e z = 1.<br />
Resolução: Alternativa E<br />
()<br />
( )<br />
( )<br />
⎧ x–2y–2z = –1 I<br />
⎪<br />
⎨x – 2z = 3 II<br />
⎪<br />
⎪⎩ y – z = 1 III<br />
Substituindo a equação (II) em (I), temos:<br />
x – 2y – 2z = –1 ⇒ –2y + 3 = – 1 ⇒ y = 2<br />
Substituindo y = 2 em (III), obtemos:<br />
y – z = 1 ⇒ 2 – z = 1 ⇒ z = 1<br />
Substituindo y = 2 e z = 1 em (I), obtemos:<br />
x – 2y – 2z = – 1 ⇒ x – 4 – 2 = –1 ⇒ x = 5<br />
S = {(5, 2, 1)}<br />
02. Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram<br />
convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher<br />
um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo<br />
proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser<br />
feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes<br />
será possível fazer estas escolhas?<br />
a) 64. b) 126. c) 252. d) 640. e) 1260.<br />
Resolução: Alternativa E<br />
Para a escolha de 1 síndico, temos 10 possibilidades.<br />
Para a escolha de 4 membros do conselho fiscal, temos:<br />
9!<br />
C 9,4 =<br />
5! 4! = 126<br />
<strong>Port</strong>anto, devemos ter 10 . 126 = 1260 maneiras<br />
03. Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um<br />
polinômio com coeficientes reais, de grau 8. O número de<br />
raízes reais deste polinômio, no máximo, é:<br />
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.<br />
Resolução: Alternativa C<br />
Segundo o teorema das raízes complexas, esse polinômio<br />
admite, como raízes:<br />
⎧x1<br />
= 1+<br />
i<br />
⎪<br />
⎪x2<br />
= 1– i<br />
⎨<br />
⎪x3<br />
= 1– 2i<br />
⎪<br />
⎩x4<br />
= 1+<br />
2i<br />
e outras 4 raízes, que podem ser reais ou não.<br />
Assim, o número máximo de raízes reais admissíveis pelo<br />
polinômio é 4.<br />
04. No triângulo QPP’ do plano cartesiano, temos Q = (a, 0),<br />
com a < 0, P = (4, 2) e P’ o simétrico de P em relação ao eixo<br />
x. Sabendo que a área desse triângulo é 16, o valor de a é:<br />
a) – 5. b) – 4. c) – 3. d) – 2. e) – 1.<br />
Resolução: Alternativa B<br />
Q = (a, 0), a < 0<br />
P (4, 2) e P’ (4, –2) simétrico a P em relação ao eixo Ox.<br />
Graficamente, temos:<br />
y<br />
Q (a, 0)<br />
2<br />
–2<br />
Considerando PP’ = 4 como base, então h = –a + 4 será a<br />
altura do triângulo. Como a área do triângulo é 16, temos<br />
4 .(–a + 4)<br />
que 16 =<br />
⇒ a = – 4<br />
2<br />
4<br />
P (4, 2)<br />
x<br />
P’ (4, –2)<br />
1
2<br />
<strong>CPV</strong> - Seu pé direito agora também na MEDICINA<br />
05. Um número inteiro n, quando dividido por 7, deixa resto 5.<br />
Qual será o resto na divisão de n 2 + n por 7?<br />
a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. e) 1.<br />
Resolução: Alternativa D<br />
Para n 7 temos n = 7q + 5 (I)<br />
5 q<br />
Para n 2 + n 7 temos n . (n + 1) = 7q’ + R (II)<br />
R q’<br />
Substituindo (I) em (II), obtemos:<br />
(7q + 5) . (7q + 6) = 7q’ + R ⇒<br />
49q 2 + 77q + 30 = 7q’ + R ⇒<br />
30 – R = 7 (q’ – 7q 2 – 11q)<br />
Logo: 30 – R é múltiplo de 7.<br />
<strong>Port</strong>anto R = 2 (0 ≤ R < 7)<br />
Resolução: Alternativa B<br />
x 2 + y 2 ≤ 16 (I)<br />
y<br />
y ≥ x 2 (II)<br />
07. Um ponto do plano cartesiano é representado pelas<br />
coordenadas (x + 3y, – x – y) e também por (4 + y, 2x + y),<br />
em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas<br />
condições, x y é igual a:<br />
a) – 8.<br />
b) – 6.<br />
c) 1.<br />
d) 8.<br />
e) 9.<br />
Resolução: Alternativa A<br />
Se o ponto (x + 3y, –x – y) também pode ser representado<br />
por (4 + y, 2x + y), então:<br />
⎧x + 3y = 4 + y ⎧x = 4 – 2y<br />
06. A região do plano cartesiano, determinada simultaneamente<br />
pelas três condições<br />
–x–y= 2x+ y –3x=<br />
2y<br />
⎨<br />
: ⎨<br />
+<br />
y<br />
⎩<br />
⎩<br />
x = – 2 e y = 3<br />
⎧ 2 2<br />
y = x<br />
x + y ≤ 16<br />
2 A B<br />
⎪<br />
2<br />
⎨ y ≥ x<br />
C D<br />
<strong>Port</strong>anto, x y = (–2) 3 = – 8<br />
⎪x ≥ 0<br />
4 x<br />
⎪<br />
⎩<br />
E<br />
08. A equação x 2 + y 2 + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas<br />
é aquela, na figura, indicada<br />
cartesianas, representa uma circunferência de raio 1 e<br />
com a letra<br />
centro:<br />
a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.<br />
4<br />
y<br />
a) (– 6, 4).<br />
b) (6, 4).<br />
c) (3, 2).<br />
d) (– 3, – 2).<br />
e) (6, – 4).<br />
–4<br />
4<br />
x<br />
x<br />
Resolução: Alternativa D<br />
–4<br />
x ≥ 0 (III)<br />
y<br />
Interseccionando as<br />
3 regiões, temos:<br />
y<br />
B<br />
x 2 + y 2 +<br />
{<br />
6 x +<br />
{<br />
4 y + 12<br />
{<br />
= 0<br />
α β γ<br />
x C =<br />
y C =<br />
α 6 = ⇒ xC = –3<br />
–2 –2<br />
β 4 = ⇒ yC = –2<br />
–2 –2<br />
Verificando se o raio da circunferência é 1:<br />
x<br />
x<br />
R 2 = x C<br />
2 + y C<br />
2 – γ = (–3) 2 + (–2) 2 – 12 ⇒ R = 1<br />
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3<br />
⎧1, se 0 ≤ x ≤ 2,<br />
09. Considere a função f(x) = ⎨<br />
⎩–2, se – 2 ≤ x < 0.<br />
A função g(x) = | f(x) | – 1 terá o seguinte gráfico:<br />
a)<br />
y<br />
b)<br />
y<br />
2<br />
1<br />
10. O gráfico da função f (x) = ax 2 + bx + c (a, b, c, números<br />
reais) contém os pontos (–1, –1), (0, –3) e (1, –1). O valor<br />
de b é:<br />
a) – 2.<br />
b) – 1.<br />
c) 0.<br />
d) 1.<br />
e) 2.<br />
–2<br />
–1<br />
2<br />
x<br />
–2<br />
–2<br />
2<br />
x<br />
Resolução: Alternativa C<br />
Aplicando os pontos citados na equação y = ax 2 + bx + c:<br />
c) y<br />
d)<br />
1<br />
–2<br />
2<br />
x<br />
e)<br />
y<br />
2<br />
–2<br />
y<br />
1<br />
2<br />
x<br />
(–1; 1) ⇒ – 1 = a (–1) 2 + b (–1) + c (I)<br />
( 0; 3) ⇒ – 3 = a (0) 2 + b (0) + c (II)<br />
( 1; –1) ⇒ – 1 = a (1) 2 + b (1) + c (III)<br />
Fazendo (III) – (I) vem: 0 = 2b ⇒ b = 0<br />
11. Há funções y = f (x) que possuem a seguinte propriedade:<br />
“a valores distintos de x correspondem valores distintos<br />
de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre<br />
as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?<br />
1<br />
a) y<br />
b)<br />
y<br />
–2<br />
2<br />
x<br />
Resolução: Alternativa D<br />
⎧1, se 0 ≤ x ≤ 2<br />
f(x) = ⎨<br />
⎩–2, se – 2 ≤ x < 0<br />
Pede-se o gráfico de g(x) = | f (x) | – 1<br />
I. O gráfico de f(x) é: II. O gráfico de y = | f (x)| é:<br />
y<br />
y<br />
1 x<br />
1<br />
x<br />
y<br />
y<br />
c) d)<br />
1<br />
x<br />
1 x<br />
2<br />
1<br />
1<br />
e)<br />
y<br />
–2<br />
2<br />
x<br />
–2<br />
2<br />
x<br />
–2<br />
III. O gráfico de g(x) = | f (x)| – 1:<br />
y<br />
1<br />
–2<br />
2<br />
x<br />
1<br />
x<br />
Resolução: Alternativa E<br />
Numa função injetora, cada valor de y deve corresponder a<br />
um único valor de x, ou seja, não pode haver, na curva,<br />
pontos distintos com mesma ordenada (mesma altura). A<br />
única curva que atende a essas restrições corresponde à<br />
alternativa E.<br />
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4<br />
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12. O valor de x que é solução da equação<br />
log 10 2 + log 10 (x + 1) – log 10 x = 1 é:<br />
a) 0,15. b) 0,25. c) 0,35. d) 0,45. e) 0,55.<br />
Resolução: Alternativa B<br />
Inicialmente, como condição de existência, temos: x > – 1.<br />
Aplicando as propriedades de logaritmos, vem:<br />
log 10 2 + log 10 (x + 1) – log 10 x = 1<br />
( + ) ( + ) 1<br />
2 x 1 2 x 1<br />
log10<br />
= 1 ⇒ = 10<br />
x<br />
x<br />
de onde: x =<br />
1<br />
4 = 0,25.<br />
13. Seja a função f : R → R, dada por f (x) = sen x.<br />
Considere as afirmações seguintes.<br />
1. A função f (x) é uma função par, isto é, f (x) = f (–x),<br />
para todo x real.<br />
2. A função f (x) é periódica de período 2π, isto é,<br />
f (x + 2π) = f (x), para todo x real.<br />
3. A função f (x) é sobrejetora.<br />
4. f (0) = 0,<br />
São verdadeiras as afirmações<br />
a) 1 e 3, apenas.<br />
b) 3 e 4, apenas.<br />
c) 2 e 4, apenas.<br />
d) 1, 2 e 3, apenas.<br />
e) 1, 2, 3 e 4.<br />
⎛π⎞ 3 ⎛π⎞<br />
f⎜ e f 1<br />
3⎟ = =<br />
2 ⎜ 2⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Resolução: Alternativa C<br />
Montando o gráfico da função y = f (x), definida em IR → IR:<br />
y<br />
2. Verdadeira.<br />
3. Falsa. A função tem I m = [–1; 1] e contra-domínio<br />
real, não sendo sobrejetora.<br />
4. Verdadeira.<br />
⎧<br />
⎪ f( 0)<br />
= sen0 = 0<br />
⎪<br />
⎪ ⎛π⎞<br />
π 3<br />
⎨f⎜<br />
sen<br />
3⎟<br />
= =<br />
⎪ ⎝ ⎠ 3 2<br />
⎪ ⎛π⎞<br />
π<br />
⎪ f⎜<br />
= sen = 1<br />
2⎟<br />
⎩⎪ ⎝ ⎠ 2<br />
14. A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C 1 ,<br />
que tangencia internamente a circunferência maior, de raio<br />
R e centro C 2 . Sabe-se que A e B são pontos da<br />
circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a<br />
circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que<br />
passa por C 1 e C 2 . A área da região hachurada é:<br />
a) 9π.<br />
b) 12π.<br />
c) 15π.<br />
d) 18π.<br />
e) 21π.<br />
B<br />
Resolução: Alternativa A<br />
Chamando-se o ponto de intersecção das duas<br />
circunferências de D, temos que:<br />
se DT = 8 e DC 2 = R, então C 2 T = 8 – R;<br />
se AB = 8, então AT = 4.<br />
No ∆ C 2 AT temos R 2 = 4 2 + (8 – R) 2 , portanto R = 5.<br />
Logo, a área é A = π 5 2 – π 4 2 ⇒ A = 9π<br />
15. Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos<br />
consecutivos estão na razão 1 : 3. O ângulo menor desse<br />
paralelogramo mede:<br />
4<br />
64748<br />
C 1 C 2<br />
R<br />
A<br />
T<br />
– ð 2<br />
1<br />
3ð<br />
2<br />
a) 45º. b) 50º. c) 55º. d) 60º. e) 65º.<br />
Resolução: Alternativa A<br />
–1<br />
ð<br />
2<br />
π<br />
2π<br />
x<br />
A<br />
(<br />
(<br />
B<br />
1. Falsa. A função apresentada não é par.<br />
⎛π<br />
⎞<br />
Por exemplo: f ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ ≠ f ⎛ π ⎞<br />
⎜– 2 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
D<br />
(<br />
Se a razão dos ângulos consecutivos é 1 : 3 concluímos<br />
que Dˆ<br />
= Bˆ<br />
= α e Aˆ = Cˆ<br />
= 3α.<br />
Logo: 2α + 2 (3α) = 360º ⇒ α = 45º<br />
(<br />
C<br />
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