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Seu pé direito agora também na MEDICINA.
UNIFESP - 20/12/2001
MATEMÁTICA
01. A solução do sistema de equações lineares
⎧x–2y–2z = –1
⎪
⎨x – 2z = 3
⎪
⎩ y– z = 1
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é:
a) x = –5, y = –2 e z = –1.
b) x = –5, y = –2 e z = 1.
c) x = –5, y = 2 e z = 1.
d) x = 5, y = 2 e z = –1.
e) x = 5, y = 2 e z = 1.
Resolução: Alternativa E
()
( )
( )
⎧ x–2y–2z = –1 I
⎪
⎨x – 2z = 3 II
⎪
⎪⎩ y – z = 1 III
Substituindo a equação (II) em (I), temos:
x – 2y – 2z = –1 ⇒ –2y + 3 = – 1 ⇒ y = 2
Substituindo y = 2 em (III), obtemos:
y – z = 1 ⇒ 2 – z = 1 ⇒ z = 1
Substituindo y = 2 e z = 1 em (I), obtemos:
x – 2y – 2z = – 1 ⇒ x – 4 – 2 = –1 ⇒ x = 5
S = {(5, 2, 1)}
02. Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram
convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher
um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo
proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser
feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes
será possível fazer estas escolhas?
a) 64. b) 126. c) 252. d) 640. e) 1260.
Resolução: Alternativa E
Para a escolha de 1 síndico, temos 10 possibilidades.
Para a escolha de 4 membros do conselho fiscal, temos:
9!
C 9,4 =
5! 4! = 126
Portanto, devemos ter 10 . 126 = 1260 maneiras
03. Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um
polinômio com coeficientes reais, de grau 8. O número de
raízes reais deste polinômio, no máximo, é:
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
Resolução: Alternativa C
Segundo o teorema das raízes complexas, esse polinômio
admite, como raízes:
⎧x1
= 1+
i
⎪
⎪x2
= 1– i
⎨
⎪x3
= 1– 2i
⎪
⎩x4
= 1+
2i
e outras 4 raízes, que podem ser reais ou não.
Assim, o número máximo de raízes reais admissíveis pelo
polinômio é 4.
04. No triângulo QPP’ do plano cartesiano, temos Q = (a, 0),
com a < 0, P = (4, 2) e P’ o simétrico de P em relação ao eixo
x. Sabendo que a área desse triângulo é 16, o valor de a é:
a) – 5. b) – 4. c) – 3. d) – 2. e) – 1.
Resolução: Alternativa B
Q = (a, 0), a < 0
P (4, 2) e P’ (4, –2) simétrico a P em relação ao eixo Ox.
Graficamente, temos:
y
Q (a, 0)
2
–2
Considerando PP’ = 4 como base, então h = –a + 4 será a
altura do triângulo. Como a área do triângulo é 16, temos
4 .(–a + 4)
que 16 =
⇒ a = – 4
2
4
P (4, 2)
x
P’ (4, –2)
1

2
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05. Um número inteiro n, quando dividido por 7, deixa resto 5.
Qual será o resto na divisão de n 2 + n por 7?
a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. e) 1.
Resolução: Alternativa D
Para n 7 temos n = 7q + 5 (I)
5 q
Para n 2 + n 7 temos n . (n + 1) = 7q’ + R (II)
R q’
Substituindo (I) em (II), obtemos:
(7q + 5) . (7q + 6) = 7q’ + R ⇒
49q 2 + 77q + 30 = 7q’ + R ⇒
30 – R = 7 (q’ – 7q 2 – 11q)
Logo: 30 – R é múltiplo de 7.
Portanto R = 2 (0 ≤ R < 7)
Resolução: Alternativa B
x 2 + y 2 ≤ 16 (I)
y
y ≥ x 2 (II)
07. Um ponto do plano cartesiano é representado pelas
coordenadas (x + 3y, – x – y) e também por (4 + y, 2x + y),
em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas
condições, x y é igual a:
a) – 8.
b) – 6.
c) 1.
d) 8.
e) 9.
Resolução: Alternativa A
Se o ponto (x + 3y, –x – y) também pode ser representado
por (4 + y, 2x + y), então:
⎧x + 3y = 4 + y ⎧x = 4 – 2y
06. A região do plano cartesiano, determinada simultaneamente
pelas três condições
–x–y= 2x+ y –3x=
2y
⎨
: ⎨
+
y
⎩
⎩
x = – 2 e y = 3
⎧ 2 2
y = x
x + y ≤ 16
2 A B
⎪
2
⎨ y ≥ x
C D
Portanto, x y = (–2) 3 = – 8
⎪x ≥ 0
4 x
⎪
⎩
E
08. A equação x 2 + y 2 + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas
é aquela, na figura, indicada
cartesianas, representa uma circunferência de raio 1 e
com a letra
centro:
a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.
4
y
a) (– 6, 4).
b) (6, 4).
c) (3, 2).
d) (– 3, – 2).
e) (6, – 4).
–4
4
x
x
Resolução: Alternativa D
–4
x ≥ 0 (III)
y
Interseccionando as
3 regiões, temos:
y
B
x 2 + y 2 +
{
6 x +
{
4 y + 12
{
= 0
α β γ
x C =
y C =
α 6 = ⇒ xC = –3
–2 –2
β 4 = ⇒ yC = –2
–2 –2
Verificando se o raio da circunferência é 1:
x
x
R 2 = x C
2 + y C
2 – γ = (–3) 2 + (–2) 2 – 12 ⇒ R = 1
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⎧1, se 0 ≤ x ≤ 2,
09. Considere a função f(x) = ⎨
⎩–2, se – 2 ≤ x < 0.
A função g(x) = | f(x) | – 1 terá o seguinte gráfico:
a)
y
b)
y
2
1
10. O gráfico da função f (x) = ax 2 + bx + c (a, b, c, números
reais) contém os pontos (–1, –1), (0, –3) e (1, –1). O valor
de b é:
a) – 2.
b) – 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
–2
–1
2
x
–2
–2
2
x
Resolução: Alternativa C
Aplicando os pontos citados na equação y = ax 2 + bx + c:
c) y
d)
1
–2
2
x
e)
y
2
–2
y
1
2
x
(–1; 1) ⇒ – 1 = a (–1) 2 + b (–1) + c (I)
( 0; 3) ⇒ – 3 = a (0) 2 + b (0) + c (II)
( 1; –1) ⇒ – 1 = a (1) 2 + b (1) + c (III)
Fazendo (III) – (I) vem: 0 = 2b ⇒ b = 0
11. Há funções y = f (x) que possuem a seguinte propriedade:
“a valores distintos de x correspondem valores distintos
de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre
as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?
1
a) y
b)
y
–2
2
x
Resolução: Alternativa D
⎧1, se 0 ≤ x ≤ 2
f(x) = ⎨
⎩–2, se – 2 ≤ x < 0
Pede-se o gráfico de g(x) = | f (x) | – 1
I. O gráfico de f(x) é: II. O gráfico de y = | f (x)| é:
y
y
1 x
1
x
y
y
c) d)
1
x
1 x
2
1
1
e)
y
–2
2
x
–2
2
x
–2
III. O gráfico de g(x) = | f (x)| – 1:
y
1
–2
2
x
1
x
Resolução: Alternativa E
Numa função injetora, cada valor de y deve corresponder a
um único valor de x, ou seja, não pode haver, na curva,
pontos distintos com mesma ordenada (mesma altura). A
única curva que atende a essas restrições corresponde à
alternativa E.
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12. O valor de x que é solução da equação
log 10 2 + log 10 (x + 1) – log 10 x = 1 é:
a) 0,15. b) 0,25. c) 0,35. d) 0,45. e) 0,55.
Resolução: Alternativa B
Inicialmente, como condição de existência, temos: x > – 1.
Aplicando as propriedades de logaritmos, vem:
log 10 2 + log 10 (x + 1) – log 10 x = 1
( + ) ( + ) 1
2 x 1 2 x 1
log10
= 1 ⇒ = 10
x
x
de onde: x =
1
4 = 0,25.
13. Seja a função f : R → R, dada por f (x) = sen x.
Considere as afirmações seguintes.
1. A função f (x) é uma função par, isto é, f (x) = f (–x),
para todo x real.
2. A função f (x) é periódica de período 2π, isto é,
f (x + 2π) = f (x), para todo x real.
3. A função f (x) é sobrejetora.
4. f (0) = 0,
São verdadeiras as afirmações
a) 1 e 3, apenas.
b) 3 e 4, apenas.
c) 2 e 4, apenas.
d) 1, 2 e 3, apenas.
e) 1, 2, 3 e 4.
⎛π⎞ 3 ⎛π⎞
f⎜ e f 1
3⎟ = =
2 ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Resolução: Alternativa C
Montando o gráfico da função y = f (x), definida em IR → IR:
y
2. Verdadeira.
3. Falsa. A função tem I m = [–1; 1] e contra-domínio
real, não sendo sobrejetora.
4. Verdadeira.
⎧
⎪ f( 0)
= sen0 = 0
⎪
⎪ ⎛π⎞
π 3
⎨f⎜
sen
3⎟
= =
⎪ ⎝ ⎠ 3 2
⎪ ⎛π⎞
π
⎪ f⎜
= sen = 1
2⎟
⎩⎪ ⎝ ⎠ 2
14. A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C 1 ,
que tangencia internamente a circunferência maior, de raio
R e centro C 2 . Sabe-se que A e B são pontos da
circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a
circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que
passa por C 1 e C 2 . A área da região hachurada é:
a) 9π.
b) 12π.
c) 15π.
d) 18π.
e) 21π.
B
Resolução: Alternativa A
Chamando-se o ponto de intersecção das duas
circunferências de D, temos que:
se DT = 8 e DC 2 = R, então C 2 T = 8 – R;
se AB = 8, então AT = 4.
No ∆ C 2 AT temos R 2 = 4 2 + (8 – R) 2 , portanto R = 5.
Logo, a área é A = π 5 2 – π 4 2 ⇒ A = 9π
15. Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos
consecutivos estão na razão 1 : 3. O ângulo menor desse
paralelogramo mede:
4
64748
C 1 C 2
R
A
T
– ð 2
1
3ð
2
a) 45º. b) 50º. c) 55º. d) 60º. e) 65º.
Resolução: Alternativa A
–1
ð
2
π
2π
x
A
(
(
B
1. Falsa. A função apresentada não é par.
⎛π
⎞
Por exemplo: f ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ≠ f ⎛ π ⎞
⎜– 2 ⎟
⎝ ⎠
D
(
Se a razão dos ângulos consecutivos é 1 : 3 concluímos
que Dˆ
= Bˆ
= α e Aˆ = Cˆ
= 3α.
Logo: 2α + 2 (3α) = 360º ⇒ α = 45º
(
C
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