Tarefa 8

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema III – Sucessões Reais
Tarefa Intermédia nº 8
1. Consideremos a seguinte sequência de figuras
A esta sequência de figuras associou-se a seguinte sucessão numérica:
1.1. O que representa esta sucessão?
( u
n ) : 1 7 13 19 ...
1.2. Indique o quinto termo de ( u
n ) e interprete o seu valor.
1.3. Qual é o termo geral da sucessão ( u
n ) ?
1.4. Justifique que se trata de uma progressão aritmética e indique a razão.
2. Considere a sucessão de termo geral an
4n + 5
=
n + 1
2.1. Indique o primeiro e o vigésimo termos da sucessão.
2.2. Averigúe se 15 4
é termo da sucessão
2.3. Mostre que ( a
n ) é monótona.
2.4. ( an
) é limitada? Justifique devidamente.
3. A Teresa resolveu fazer economias. Na primeira semana guardou 25 euros no mealheiro, na
segunda semana colocou no mealheiro mais 5 euros do que na primeira semana, na semana
seguinte guardou mais 5 euros do que na semana anterior, e assim sucessivamente. No dia
seguinte àquele em que, pela centésima vez, guardou dinheiro, a Teresa decidiu depositá-lo
no banco. Quanto dinheiro depositou a Teresa?
FIM
QUESTÃO 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3 TOTAL
COTAÇÃO 10 10 10 10 10 10 10 10 20 100
Professora: Rosa Canelas 1
Ano Lectivo 2010/2011

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema III – Sucessões Reais
Tarefa Intermédia nº 8 – Proposta de resolução
1. Consideremos a seguinte sequência de figuras
A esta sequência de figuras associou-se a seguinte sucessão numérica:
( u
n ) : 1 7 13 19 ...
1.1. Esta sucessão representa o número de hexágonos necessários à construção de cada
figura da sequência
1.2. O quinto termo de ( u
n ) é u5
= 19 + 6 = 25 e este valor representa o número de hexágonos
necessários para construir a quinta figura da sequência.
1.3. O termo geral da sucessão ( u
n ) é un
= 6n − 5
1.4. Trata de uma progressão aritmética porque é constante a diferença entra cada termo e o
u − u = 6 n + 1 − 1− 6n − 1 = 6n + 6 − 1− 6n + 1= 6 e por isso a razão é 6.
anterior: ( ) ( )
n+ 1
n
4n + 5
2. Consideremos a sucessão de termo geral an
=
n + 1
4 × 1+
5 9
4 × 20 + 5 85
2.1. O primeiro termo é a1
= = e o vigésimo termo é a20
= = .
1+
1 2
20 + 1 21
2.2. Averiguemos se 15 4 é termo da sucessão: 15 4n +
= 5 ⇔ 15n + 15 = 14n + 20 ⇔ n = −5
.
4 n + 1
15
4
não é termo da sucessão porque − 5 ∉ IN
2.3. Mostremos que ( a
n ) é monótona:
a
n+
1
2 2
4n + 4n + 9n + 9 − 4n − 8n − 5n − 10 −1
( )
( )
( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2)
Concluímos que an 1
an
0
+ − < e ( )
=
4 n + 1 + 5 4n + 5 4n + 9 4n + 5
− an
= − = − =
n + 1 + 1 n + 1 n + 2 n + 1
a é monótona decrescente
n
Professora: Rosa Canelas 2
Ano Lectivo 2010/2011

2.4. ( ) n
9
a é limitada porque, sendo decrescente tem a1
= como majorante e porque
2
4n + 5 n+1
−4n − 4 4
1
minorante pois todos os termos são maiores que 4 :
4n + 5 1
an
= = 4 + e podemos concluir que 4 é
n + 1 n + 1
1 1
≥ 0 ⇔ 4 + ≥ 4
n + 1 n + 1
3. A Teresa resolveu fazer economias. Na primeira semana guardou 25 euros no mealheiro, na
segunda semana colocou no mealheiro mais 5 euros do que na primeira semana, na semana
seguinte guardou mais 5 euros do que na semana anterior, e assim sucessivamente. No dia
seguinte àquele em que, pela centésima vez, guardou dinheiro, a Teresa decidiu depositá-lo
no banco. Quanto dinheiro depositou a Teresa?
O modo como a Teresa guardou as suas economias no mealheiro seguiu uma progressão
aritmética de razão 5 e com primeiro termo 25 e o que pretendemos calcular é soma dos 100
primeiros termos dessa progressão.
• Calculemos o termo geral ( )
• Calculemos u 100
= 5 × 100 + 20 = 520
u = 25 + 5 n − 1 ⇔ u = 5n + 20
25 + 520
• Calculemos a soma: S100 = × 100 ⇔ S100
= 27250
2
Concluímos assim que a Teresa depositou 27 250 euros.
n
n
Professora: Rosa Canelas 3
Ano Lectivo 2010/2011

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema III – Sucessões Reais
Tarefa intermédia nº 8 – Critérios de classificação
1. 40
1.1. 10
1.2. 10
• Calcular u
5
5
• Justificar 5
1.3. 10
1.4. 10
• Justificar que é progressão aritmética 5
• Indicar a razão 5
2. 40
2.1. 10
9
• Calcular a1
= 5
2
• Calcular a20
85
= 5
21
2.2. 10
• Resolver a equação 15 4n +
= 5 ⇔ n = −5
4 n + 1
5
• Dar a resposta 5
2.3. 10
• Calcular
a
n+
1
− a =
n
−1
( n + 2)( n + 1)
5
• Dar a resposta 5
2.4. 10
• Reconhecer que a sucessão tem minorante 3
Professora: Rosa Canelas 4
Ano Lectivo 2010/2011

• Reconhecer que a sucessão tem majorante 5
• Dar a resposta 2
3. 20
• Reconhecer a progressão aritmética 5
• Calcular a soma de 100 termos 10
• Dar a resposta 5
Total 100
Professora: Rosa Canelas 5
Ano Lectivo 2010/2011